【苏教版】数学必修四：教案学案.1.2 两角和与差的正弦

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高中数学《两角和与差的正弦》教案2 苏教版必修4

第 3 课时：§3.1.2 两角和与差的正弦（二）【三维目标】：一、知识与技能1.进一步熟悉两角和与差的正（余）弦公式，能正确运用公式进行简单的三角函数的化简、求值；2.掌握一些角的变换技巧，能选择恰当的公式解决有关问题；了解由三角函数值求角的方法；3.能将x b x a cos sin +化为一个角的一个三角函数式，培养学生逆向思维的意识和习惯；培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。

4.能灵活运用公式在三角形内求角的三角函数。

二、过程与方法讲解例题，总结方法，巩固练习.三、情感、态度与价值观感受数学美【教学重点与难点】：重点: ()C αβ±、()S αβ±公式的运用.难点: ()C αβ±、()S αβ±公式的运用.【学法与教学用具】：1. 学法：(1)自主性学习法：通过自学熟练掌握两组公式.(2)探究式学习法：通过分析、探索、掌握两角和与差的正余弦公式的化简、求值、证明方法与技巧。

.(3)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题()C αβ±、()S αβ±公式；二、研探新知，质疑答辩，排难解惑，发展思维例1 已知)2,0(,1010cos ),2,0(,55sin πββπαα∈=∈=，（1）求)cos(βα-的值；（2）求)sin(βα-【说明】：求某一角的一般方法：（1）确定此角的范围；（2）求出此角的某一三角函数值；（3）确定此角【举一反三】：1.已知26παπ<<，1715)6cos(=-πα，求ααsin ,cos 的值例2 （教材97P 例4）求证：A B B A A B A sin sin )cos(2sin )2sin(=+-+例3 （教材97P 例6）32)sin(=+βα，51)sin(-=-βα，求βαtan tan 的值【举一反三】：1.已知432παβπ<<<，1312)cos(=-βα，53)sin(-=+βα，求β2cos 的值例4.求证：)6sin(2sin 3cos απαα+=+【说明】：一般地，式子sin cos a x b x +可以化为一个角的一个三角函数式。

高中数学 3.1.2《两角和与差的正弦》教案苏教版必修4.doc

3.1.2 两角和与差的正弦教学目标1.能推导2πα±，32πα±的诱导公式，并能灵活运用； 2.掌握()S αβ±公式的推导，并能熟练进行公式正逆向运用。

教学重点()S αβ±公式及诱导公式的推导、运用；教学难点()S αβ±公式及诱导公式的运用。

教学过程（一）复习：1．()C αβ±公式；2．练习：化简：（1）cos3cos sin3sin αααα+；（2）cos()cos()66ππαα++-；（3）cos15cos75-．（二）新课讲解：1．诱导公式（1）cos()cos cos sin sin sin 222πππαααα-=+=；（2）把公式（1）中2πα-换成α，则cos sin()2παα=-．即：cos()sin 2παα-= sin()cos 2παα-=． 2．两角和与差的正弦公式的推导sin()cos[()]2παβαβ+=-+ cos[()]2παβ=-- cos()cos sin()sin 22ππαβαβ=-+- sin cos cos sin αβαβ=+即：sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+ （()S αβ+）在公式()S αβ+中用β-代替β，就得到： sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=- （()S αβ-）说明：（1）公式()C αβ±对于任意的,αβ都成立。

练习：习题4.6第二题，补充证明：sin()cos 2παα+= cos()sin 2παα+=-. （2）2πα±，32πα±的三角函数等于α的余名三角函数，前面再加上一个把α看作锐角时原三角函数的符号；（3）诱导公式用一句话概括为奇变偶不变，符号看象限。

3．例题分析：例1：求值(1)sin 75； (2)sin195；（3）cos79cos56cos11cos34-．例2：已知2sin ,(,)32πααπ=∈，33cos ,(,)42πββπ=-∈，求sin()αβ-，cos(),tan()αβαβ++．．例3：已知5cos 13θ=-，求cos()6πθ+及sin()6πθ+的值。

苏教版高中数学必修四学案两角和与差的正弦学案

一、学习目标1．能由余弦的和差角公式推导出正弦的和差角公式，并从推导的过程中体会到化归思想的作用；2．能用正弦的和差角公式进行简单的三角函数的化简、求值及恒等式证明。

二、学习重点、难点重点：利用两角和与差的正弦公式进行简单的三角函数式的求值、化简和证明难点：利用两角和与差的正弦公式进行简单的三角函数式的求值、化简和证明三、学习过程问题1．回顾3．1．1小节例2中求︒15sin 的过程，我们先将︒15sin 转化为︒75cos ，再利用两角和的余弦公式来计算。

而)3045sin(15sin ︒-︒=︒，那么有没有两角和（差）的正弦公式呢？问题2．由诱导公式五ααπsin )2cos(=-；ααπcos )2sin(=-，可实现正弦与余弦之间的转化，能否借助它求两角的正弦转化为求余弦的问题？练一练：求︒15sin 的值。

那么将上式中的︒︒3045、换成βα、你将得到什么呢？ =-)sin(βα即 )()(βα-S这就是两角差的正弦公式。

那么，在两角差的正弦公式中，用β-代替β，能得到一个什么样的等式呢？ =+)sin(βα即 )()(βα+S这就是两角和的正弦公式。

练一练：1．求下列各式的值：（1）︒︒+︒︒27sin 18cos 27cos 18sin （2）︒825sin（3）︒+︒-︒+︒25sin )25cos(25cos )25sin(αα （4）︒︒+︒︒65sin 35sin 35cos 25sin2．求︒75sin 的值。

3．已知⎪⎭⎫ ⎝⎛∈-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=2353cos 232sin ππββππαα，，，，，，求()βα+sin 的值。

4．已知54cos 135)cos(==+ββα，，βα、均为锐角，求αsin 的值。

5．求函数x x y cos 23sin 21+=的最大值。

四、巩固练习1．已知21cos -=α，23sin -=β，且⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππα,2，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈23,ππβ，则()=-βαsin 。

苏教版必修4高中数学3.1.2两角和与差的正弦公式word导

3.1.2 两角和与差的正弦公式【学习目标】一、掌握两角和与差的正弦公式及其推导方式。

二、通过公式的推导，了解它们的内在联系，培育逻辑推理能力。

并运用进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。

3、掌握诱导公式 s in =co s α，sin = cos α,sin =- cos α, sin =- cos α,【学习重点难点】（一）预习指导：两角和与差的余弦公式：（二）大体概念：大体概念：1.两角和的正弦公式的推导 sin(α+β)=sin(α-β)=sin αcos β-sin αcos β（二）、典型例题选讲：例１求值sin(χ+60°)+2sin(χ-60°)-3cos(120°-χ)⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ2⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ2⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ23⎪⎭⎫⎝⎛-απ23例２：已知sin(2α+β)=3sin β,tan α=1,求tan(α-β)的值.例３：已知sin(α+β)= ,sin(α-β)= 求的值例４：（１）已知sin(α-β)= ,si n(α+β)= ,求tan α:tan β)的值.【课堂练习】１.在△ABC 中，已知cosA = ,cosB= ,则cosC 的值为2.已知＜α＜，0＜β＜α，cos( +α)=- ,sin( +β)= ,求sin(α+β)的值.3.已知sin α+sin β= ,求cos α+cos β的范围.3252βαtan tan 312131544π43π4π5343π135224.已知sin(α+β)= ,sin(α-β)= ,求的值.5.已知sin α+sin β= cos α+cos β= 求cos(α-β)6.化简2cos χ-6sin χ解：咱们取得一组有效的公式：（1）sin α±sin α=2sin =2cos .（3）sin α3±cos α=2sin =2cos（4）αsin α+bco s α=22b a +sin （α+ϕ）=22b a +cos(α-θ)7.化解3cos χχsin -8.求证：co s χ+sin χ=2cos （χ - ）21101βαtan tan 5354 ⎝⎛⎪⎭⎫±4πα ⎝⎛⎪⎭⎫4πα ⎝⎛⎪⎭⎫±3πα ⎝⎛⎪⎭⎫3πα 4π9.求证：c os α+3sin α=2sin （）.10.已知，求函数у=cos （）-cos的值域.11.求的值.【课堂小结】απ+6⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πχχπ-12⎝⎛⎪⎭⎫+χπ125︒︒-︒20cos 20sin 10cos 2。

(教师用书)高中数学 3.1.2 两角和与差的正弦教案苏教版必修4

3．1.2 两角和与差的正弦(教师用书独具)●三维目标 1．知识与技能(1)能够利用两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦公式． (2)能够利用两角和与差的正弦公式进行化简、求值、证明．(3)创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识． 2．过程与方法通过诱导公式导出两角和与差的正弦公式，认识整个公式体系的推理和形成过程，领会其中体现出来的数学基本思想，掌握研究数学的基本方法，从而提高基本的数学素养．3．情感、态度与价值观通过本节的学习，使同学们对两角和与差的三角函数有了一个全新的认识；理解掌握两角和与差的三角的各种变形，提高逆向思维的能力，培养利用联系、变化的辩证唯物主义观点去分析问题的能力．●重点难点重点：两角和与差的正弦公式的推导及利用公式化简求值．难点：灵活运用公式进行化简求值．(教师用书独具)●教学建议1．关于由C (α±β)推导S (α±β)的教学建议教师先引导学生回忆正弦、余弦函数之间相互转化的方法即诱导公式，再让学生思考具体的操作方法，特别注意用哪个公式、公式的结构特征如何，比如：sin(α＋β)＝cos[π2－(α＋β)]＝cos[(π2－α)－β]，sin(α－β)＝cos[π2－(α－β)]＝cos[(π2－α)＋β]＝cos[(π2＋β)－α]，sin(α＋β)＝－cos[π2＋(α＋β)]＝－cos[(π2＋α)＋β]等，方法很多，可借此培养学生的发散思维能力．2．关于f (x )＝a sin x ＋b cos x 的教学建议教师一方面讲清变形原理——逆用两角和与差的正弦、余弦公式，说明提取a 2＋b 2的原因，另一方面讲清如何恰当选择公式以便于研究函数的性质．●教学流程创设问题情境，提出问题：如何利用诱导公式及两角和与差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式？⇒引导学生推导出两角和与差的正弦公式，并探究公式成立的条件及公式的特征.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握两角和与差的正弦公式解决给角求值问题的方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握利用两角和与差的正弦公式解决给值求值问题的方法.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握已知三角函数值求角问题的求解思路和方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.1．如何利用两角和(差)的余弦公式推导出两角和的正弦公式？【提示】 sin(α＋β)＝cos[π2－(α＋β)]＝cos[(π2－α) －β]＝cos(π2－α)cos β＋sin(π2－α)sin β＝sin αcos β＋cos αsin β.即sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.2．把公式sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β中的β用－β代替，结果如何？【提示】 sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β. (1)两角和的正弦公式：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β(α，β∈R )．(2)两角差的正弦公式：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β(α，β∈R ).(1)(2)求sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)的值．【思路探究】 (1)的形式与公式有差异，应先由诱导公式化角，再逆用公式求值． (2)所给角有差异，应先拆角，将角统一再用公式，θ＋75°＝(θ＋15°)＋60°，θ＋45°＝(θ＋15°)＋30°.【自主解答】 (1)原式＝sin(180°－23°)cos 67°＋co s 23°sin 67°＝sin 23°cos 67°＋cos 23°sin 67°＝sin(23°＋67°)＝sin 90°＝1.(2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)＝sin(θ＋15°＋60°)＋cos(θ＋15°＋30°)－3cos(θ＋15°)＝sin(θ＋15°)cos 60°＋cos(θ＋15°)sin 60°＋cos(θ＋15°)cos 30°－sin(θ＋15°)sin 30°－3cos(θ＋15°)＝12sin(θ＋15°)＋32cos(θ＋15°)＋32cos(θ＋15°)－12sin(θ＋15°)－3cos(θ＋15°)＝0.1．对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径(1)化为特殊角的三角函数值；(2)化为正负相消的项，消去，求值；(3)化为分子、分母形式，进行约分再求值．2．在进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基本原则，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部的变换．求下列各式的值：(1)sin 165°；(2)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°.【解】 (1)法一 sin 165°＝sin(90°＋75°)＝cos 75°＝cos(45°＋30°)＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°＝6－24.法二 sin 165°＝sin(180°－15°)＝sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝ 6－24.(2)法一 sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝12.法二 sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝cos 76°cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos(76°－16°)＝cos 60°＝12.已知2＜β＜α＜4，cos(α－β)＝13，sin(α＋β)＝－35，求sin 2α的值．【思路探究】观察出角的关系，即2α＝(α－β)＋(α＋β)，然后求出sin(α－β)和cos(α＋β)的值，利用两角和的正弦公式求解结果．【自主解答】因为π2＜β＜α＜3π4，所以0＜α－β＜π4，π＜α＋β＜32π.又cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，所以sin(α－β)＝ 1－cos 2α－β ＝ 1－ 1213 2＝513，cos(α＋β)＝－ 1－sin 2α＋β＝－ 1－－35 2＝－45.所以sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β) ＝513³(－45)＋1213³(－35)＝－5665.解答此类问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示出来，一般注意以下几方面： (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两“已知角”的和与差的形式． (2)当“已知角”有一个时，应注意“所求角”与“已知角”的和与差的形式，“所求角”再用诱导公式变成“已知角”．(3)角的拆分方法不惟一，应根据题目合理拆分．(4)用同角三角函数的基本关系式求值时，一定要注意角的范围．(2013²北京高一检测)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，则sin β＝________.【解析】 ∵0＜β＜α＜π2，∴0＜α－β＜π2，sin α＝1－cos 2α＝437.∴sin(α－β)＝1－cos 2α－β ＝3314. ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝32. 【答案】32α＋β的值．【思路探究】解决本题的关键是根据已知条件，分别求出角α的余弦值与β的正弦值，再由和角的正弦公式求出sin(α＋β)，从而可根据α＋β的范围求出α＋β的值．【自主解答】 ∵0＜α＜π2，sin α＝255，∴cos α＝1－sin 2α＝55. 又∵－π2＜β＜0，cos β＝31010，∴sin β＝－1－cos 2β＝－1010， ∴sin(α＋β)＝255³31010＋55³(－1010)＝22.又∵0＜α＜π2，－π2＜β＜0，∴－π2＜α＋β＜π2.∴α＋β＝π4.已知三角函数值求角的步骤：(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．(2)求所求角的某种三角函数值，为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数． (3)结合三角函数值及角的范围求角．已知cos(α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213，且α－β∈(π2，π)，α＋β∈(3π2，2π)，求角β的值．【解】由α－β∈(π2，π)，且cos(α－β)＝－1213，得sin(α－β)＝513.由α＋β∈(3π2，2π)，且cos(α＋β)＝1213，得sin(α＋β)＝－513，sin 2β＝sin[(α＋β)－(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)－cos(α＋β)sin(α－β)＝(－513)³(－1213)－1213³513＝0.又∵α－β∈(π2，π)，α＋β∈(3π2，2π)，∴2β∈(π2，32π)，∴2β＝π，则β＝π2.忽略限制角范围的条件致误已知sin α＝55，sin β＝1010，0＜α＜π2，0＜β＜π2，求α＋β的值．【错解】 ∵sin α＝55，sin β＝1010，0＜α＜π2，0＜β＜π2， ∴cos α＝255，cos β＝31010，∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝55³31010＋255³1010＝22. ∵0＜α＜π2，0＜β＜π2，∴0＜α＋β＜π.∴α＋β＝π4或3π4.【错因分析】错解原因在于没有利用三角函数值缩小角的范围，从而导致出现两个解的错误．【防范措施】对于已知三角函数值求角的大小问题，注意以下两个步骤缺一不可． (1)根据题设条件求角的某一三角函数值； (2)讨论角的范围，必要时还需根据已知三角函数值缩小角的范围，从而确定角的大小．【正解】 ∵sin α＝55，sin β＝1010，0＜α＜π2，0＜β＜π2，∴cos α＝255，cos β＝31010.又sin α＝55＜12，sin β＝1010＜12， ∴0＜α＜π4，0＜β＜π4，0＜α＋β＜π2.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝255³31010－55³1010＝22.∴α＋β＝π4.1．公式记忆(1)理顺公式间的逻辑关系C (α＋β)――→以－β代βC (α－β)――→诱导公式S (α＋β)――→以－β代βS (α－β)． (2)注意公式的结构特征和符号规律对于公式C (α－β)，C (α＋β)可记为“同名相乘，符号反”；对于公式S (α－β)，S (α＋β)可记为“异名相乘，符号同”． 2．应用公式需注意的两点(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式．(2)注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式.1．sin 75°＝________.【解析】 sin 75°＝sin(30°＋45°) ＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45° ＝12³22＋32³22＝2＋64. 【答案】2＋642．计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于________．【解析】 sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°＝sin(43°－13°)＝sin 30°＝12.【答案】 123．若cos α＝－45，α是第三象限角，则sin(α＋π4)＝_______________________________.【解析】 ∵cos α＝－45，α是第三象限角，∴sin α＝－35，∴sin(α＋π4)＝22sin α＋22cos α，＝22³(－35)＋22³(－45)＝－7210. 【答案】－72104．已知α∈(0，π2)，β∈(－π2，0)，且cos(α－β)＝35，sin β＝－210，求α.【解】 ∵α∈(0，π2)，β∈(－π2，0)，∴α∈(0，π2)，－β∈(0，π2)，从而α－β∈(0，π)．∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45.∵β∈(－π2，0)，sin β＝－210，∴cos β＝7210，∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝45³7210＋35³(－210)＝22， ∵α∈(0，π2)，∴α＝π4.一、填空题1．化简：sin 21°cos 81°－cos 21°sin 81°＝________.【解析】 sin 21°cos 81°－cos 21°sin 81°＝sin(21°－81°)＝－sin 60°＝－32. 【答案】－322.sin α＋30° －sin α－30° cos α的值为________．【解析】原式＝sin αcos 30°＋cos αsin 30°－sin αcos 30°＋cos αsin 30°cos α＝2cos αsin 30°cos α＝2sin 30°＝1.【答案】 13．已知π4＜β＜π2，sin β＝223，则sin(β＋π3)＝________.【解析】 ∵π4＜β＜π2，∴cos β＝1－sin 2β＝1－ 223 2＝13，∴sin(β＋π3)＝12sin β＋32cos β＝12³223＋32³13＝22＋36.【答案】22＋364．cos(π6－α)sin α＋cos(π3＋α)cos α＝________.【解析】由于cos(π3＋α)＝sin(π6－α)，所以原式＝sin(π6－α)cos α＋cos(π6－α)sin α＝sin(π6－α＋α)＝sin π6＝12.【答案】 125．在△ABC 中，2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是________．【解析】在△ABC 中，C ＝π－(A ＋B )， ∴2cos B sin A ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B . ∴－sin A cos B ＋cos A sin B ＝0. 即sin(B －A )＝0.∴A ＝B . 【答案】等腰三角形6．若8sin α＋5cos β＝6,8cos α＋5sin β＝10，则sin(α＋β)＝________. 【解析】由8sin α＋5cos β＝6，两边平方，得64sin 2α＋80sin αcos β＋25cos 2β＝36.① 由8cos α＋5sin β＝10，两边平方，得64cos 2α＋80 cos α sin β＋25sin 2β＝100.②①＋②，得64＋25＋80(sin αcos β＋cos αsin β)＝136.∴sin(α＋β)＝4780.【答案】 47807．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则β等于________．【解析】由条件知cos α＝255，cos(α－β)＝31010(因为－π2＜α－β＜0)，所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝55³31010－255³(－1010)＝22，又β为锐角，所以β＝π4. 【答案】 π48．求值：sin 10°－3cos 10°cos 40°＝________.【解析】sin 10°－3cos 10°cos 40°＝2 12sin 10°－32cos 10° cos 40°＝2sin 10°－60° cos 40°＝－2sin 50°cos 40°＝－2.【答案】－2 二、解答题9．设α∈(π2，π)，β∈(3π2，2π)，若cos α＝－12，sin β＝－32，求sin(α＋β)的值．【解】 ∵α∈(π2，π)，cos α＝－12，∴sin α＝32，∵β∈(3π2，2π)，sin β＝－32，∴cos β＝12.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝32³12＋(－12)³(－32)＝32. 10．已知：π6＜α＜π2，且cos(α－π6)＝1517，求cos α，sin α的值．【解】因为π6＜α＜π2，所以0＜α－π6＜π3.因为cos(α－π6)＝1517，所以sin(α－π6)＝1－cos 2α－π6 ＝817.所以sin α＝sin[(α－π6)＋π6]＝sin(α－π6)cos π6＋cos(α－π6)sin π6＝83＋1534，cos α＝cos[(α－π6)＋π6]＝cos(α－π6)cos π6－sin(α－π6)sin π6＝153－834.11．求证：sin 2α＋β sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.【证明】 ∵左边＝sin 2α＋β －2cos α＋β sin αsin α＝sin[ α＋β ＋α]－2cos α＋β sin αsin α＝sin α＋β cos α－cos α＋β s in αsin α＝sin[ α＋β －α]sin α＝sin βsin α＝右边．∴原等式得证.(教师用书独具)若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x ＜π2.(1)把f (x )化成A sin(ωx ＋φ) 或A cos(ωx ＋φ)的形式；(2)判断f (x )在[0，π2)上的单调性，并求f (x )的最大值．【思路探究】先用同角三角函数基本关系化简f (x )，再把解析式f (x )用构造辅助角法化成A sin(ωx ＋φ)的形式，最后求单调性与最值．【自主解答】 (1)f (x )＝(1＋3tan x )²cos x＝cos x ＋3²sin xcos x²cos x ＝cos x ＋3sin x＝2(12cos x ＋32sin x )＝2(sin π6cos x ＋cos π6sin x )＝2sin(x ＋π6)(0≤x ＜π2)．(2)∵0≤x ＜π2，∴f (x )在[0，π3]上是单调增函数，在(π3，π2)上是单调减函数．∴当x ＝π3时，f (x )有最大值为2.求函数y ＝sin(x ＋π3)＋2sin(x －π3)的单调增区间．【解】 y ＝sin x cos π3＋cos x sin π3＋2(sin x cos π3－cos x sin π3) ＝32sin x －32cos x ＝3(32sin x －12cos x ) ＝3sin(x －π6)．由－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π，得－π3＋2k π≤x ≤2π3＋2k π(k ∈Z )．所以函数y 的单调增区间为[－π3＋2k π，2π3＋2k π](k ∈Z )．。

高中数学 3.1.2 两角和与差的正弦(2)教案苏教版必修4(2021年整理)

阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为江苏省镇江市丹徒镇高中数学3.1.2 两角和与差的正弦（2）教案苏教版必修4的全部内容。

教学目标：进一步熟悉两角和与差的正（余）弦公式，掌握一些角的变换技巧，能选择恰当的公式解决有关问题.教学重点:灵活运用两角和与差的正（余）弦公式，巧妙进行角的变换．教学难点：教学过程备课札记一、数学运用 1．进一步的运用．例1 求证：A BB A A B A sin sin )cos(2sin )2sin(=+-+讨论解题思路，探讨不同的解法，并展开讨论：（1）课本中的解法体现了什么样的解题思想？（2)为什么把式中的角统一用A ＋B 及A 角表示？(3）能不能把式中的角统一用A 及B 角表示？这样做行吗？（4)能不能把式中的角统一用A ＋B 及B 角表示？这样做行吗？例2 求2cos10sin 20cos 20︒-︒︒的值。

讨论解题思路,探讨不同的解法,并展开讨论：（1)课本中的解法体现了什么样的解题思想?(2）为什么把式中的10°角用30°－20°角表示？（3）能不能把式中的20°角用30°－10°角表示？这样做行吗？例3 已知32)sin(=+βα，51)sin(-=-βα，求βαtan tan 的值．讨论解题思路，探讨不同的解法,并展开讨论．2．练习．教材第111页练习第1题，第2题．二、回顾小结让学生回顾小结本节课所学内容及主要收获，教师总结:1．通过角的变换消除角的差异，这是三角变换的重要思路之一.2．要注意公式的“正用"、“逆用”、“创造条件用”．3．注意体会方程思想在解题中的应用三、课外作业教材第112页习题第10题、第11题．教学反思：课题。

两角和与差的正弦一教案1苏教版必修4

第 2 课时：§3.1.2 两角和与差的正弦（一）【三维目标】：一、知识与技能1. 能由两角和与差的余弦公式导出两角和与差的正弦公式，并从推导的过程中体会到化归思想的作用2. 能用两角和与差的正弦公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形，并能熟练进行公式正逆向运用。

3. 揭示知识背景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识，引发学生学习兴趣；培养学生的推理能力，提高学生的数学素质.二、过程与方法通过创设情境：通过两角差的余弦函数导出两角和与差的正弦公式；讲解例题，总结方法，巩固练习.三、情感、态度与价值观通过本节的学习，使同学们对两角和与差的三角函数有了一个全新的认识；理解掌握两角和与差的三角的各种变形，提高逆用思维的能力.【教学重点与难点】：重点: ()S αβ±公式的推导、应用.难点: ()S αβ±公式的推导.【学法与教学用具】：1. 学法：(1)自主性学习法：通过自学掌握两角差的余弦公式.(2)探究式学习法：通过分析、探索、掌握两角差的余弦公式的过程.(3)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1. ()C αβ±公式；2．化简：（1）cos3cos sin3sin αααα+；（2）cos()cos()66ππαα++-；（3）cos15cos75-o o ．二、研探新知1．诱导公式（1）cos()cos cos sin sin sin 222πππαααα-=+=；（2）把公式（1）中2πα-换成α，则cos sin()2παα=-．即： cos()sin 2παα-= sin()cos 2παα-=． 2．两角和与差的正弦公式的推导sin()cos[()]2παβαβ+=-+ cos[()]2παβ=-- cos()cos sin()sin 22ππαβαβ=-+-sin cos cos sin αβαβ=+ 即：sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+ （()S αβ+）在公式()S αβ+中用β-代替β,就得到：sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=- （()S αβ-）说明：（1）公式()C αβ±对于任意的,αβ都成立。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修4 3.1.2 两角和与差的正弦》

两角和与差的正弦教学目标：1．两角和与差的正弦公式如何推导，回忆余弦公式的向量证法，利用向量旋转的知识可以求得两角和的正弦公式，此证法建立在模仿两角和与差的余弦根底上；而化归思想是数学的重要思想方法，以已有的余弦公式为根底，利用诱导公式进行推导显得轻松和谐．可以让学生自己进行比拟．2．如何用好公式解题是关键，为了克服这一难点，除讲清公式的特点和用途外，还需要训练从正面直接套用公式，从反面逆用公式，更要能创造条件使用公式，教材中例1－例6就是从这几个层面上来表达公式的运用．四、教学例如〔苏教版〕随着根底教育课程改革的逐步推进，课堂教学正发生着实质性的变化。

课堂是开放的，教学是生成的。

课堂教学是一个个鲜活生命在特定情景中的交流与对话，动态生成是它的重要特点，教学过程是“精心预设〞在课堂中“动态生成〞的过程．课例?两角和与差的三角函数?，正是在新课程改革背景下，运用“动态生成〞的教育理念，从生成与建构的实际需要出发，对课堂进行了多个维度的预设，在动态实施的课堂中更关注学生的智慧生成，充分依托学生的已有知识经验和认知开展水平进行教学的一种尝试．一、两角和与差的正弦公式的引入〔学生活动〕1．回忆上一课：可转化为来进行计算．而，，那么有没有两角和与差的正弦公式呢？2．学生就上述问题展开讨论：考虑问题的合理性：能否用α，β的三角函数来表示．如果上述问题是合理的，那么怎样推导两角和与差的正弦公式．预设一：引导学生回忆两角差的余弦公式的推导方法，知识，模仿两角差的余弦的证法，可以求得两角和的正弦公式．如图，设a＝〔inα，coα〕＝〔co〔90°－α〕，in〔90°－α〕〕，b＝〔co β，inβ〕，那么一方面，a·b＝inαcoβ＋coαinβ；另一方面，向量a与b 的夹角是〔90°－α〕－β＝90°－〔α＋β〕，a·b＝|a||b|co[90°－〔α＋β〕]＝in〔α＋β〕．比拟两方面得in〔α＋β〕＝inαcoβ＋coαinβ．预设二：研究in〔α＋β〕与co〔α＋β〕之间的关系，引导学生从诱导公式的角度来思考。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修4 3.1.2 两角和与差的正弦》9

课题: 两角和与差的正弦一
学习目标:
1、能由余弦的和差角公式推导出正弦的和差角公式并从推导的过程中体会到化归思想的作用
2、能用正弦的和差角公式进行简单的三角函数式的化简, 求值
学习重点: 推导、理解并熟记正弦的和差角公式, 并能用公式解决相关问题学习难点: 灵活应用公式进行简单的求值, 化简
预习任务：看书P107-P108（至少3遍）弄懂下列概念，完成第4、5、6题 1、cos(
)2πα-= ； 2、sin()2π
α-= ； 3、两角和与差的正弦公式：（写推导过程）
；
探究:：能不能利用同角三角函数的关系, 从C α±β推导出S α±β 这样做有什么困难
；
4、计算：in15°= ；
5、计算：in105°= ；
6、已知12sin ,cos ,sin().33αβαβαβ=-=
-且，在同一象限，求
探究一：
●已知in α=32， α∈2
π, π, co β=－53 ，β∈π, 23π , 求in αβ的值
变式：化简: in
3π2in －3π－3co 32π－
探究二：
●已知co αβ=
135 , co β=54,α、β均为锐角, 求in α的值
变式：已知
62ππα，且15cos()617
πα-=，求in α的值探究三： ●求函数=
21in 2
3co 的最大值
变式：函数cos y x x =+是否为周期函数？。

苏教版高中数学必修四《两角和与差的正弦》教案2

3.1.2 两角和与差的正弦一、课题：两角和与差的正弦二、教学目标：1.能推导2πα±，32πα±的诱导公式，并能灵活运用； 2.掌握()S αβ±公式的推导，并能熟练进行公式正逆向运用。

三、教学重点：()S αβ±公式及诱导公式的推导、运用；四、教学难点：()S αβ±公式及诱导公式的运用。

五、教学过程：（一）复习： 1．()C αβ±公式； 2．练习：化简：（1）cos3cos sin 3sin αααα+；（2）cos()cos()66ππαα++-；（3）cos15cos75-．（二）新课讲解： 1．诱导公式（1）cos()cos cos sin sin sin 222πππαααα-=+=；（2）把公式（1）中2πα-换成α，则cos sin()2παα=-．即：cos()sin 2παα-= s i n ()co s 2παα-=． 2．两角和与差的正弦公式的推导sin()cos[()]2παβαβ+=-+ cos[()]2παβ=--cos()cos sin()sin 22ππαβαβ=-+- sin cos cos sin αβαβ=+即：sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+ （()S αβ+）在公式()S αβ+中用β-代替β，就得到：sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=- （()S αβ-）说明：（1）公式()C αβ±对于任意的,αβ都成立。

练习：习题4.6第二题，补充证明：sin()cos 2παα+= c o s ()si n 2παα+=-. （2）2πα±，32πα±的三角函数等于α的余名三角函数，前面再加上一个把α看作锐角时原三角函数的符号；（3）诱导公式用一句话概括为奇变偶不变，符号看象限。

3．例题分析：例1：求值(1)sin 75； (2)sin195；（3）cos79cos56cos11cos34-．解：（1）sin 75sin 30cos 45cos30sin 45=+=12322222⨯+⨯ 624+=；（2）sin195sin(18015)=+sin15(sin 45cos30cos45sin30)=-=-- 624-=-；（3）cos79cos56cos11cos34-2cos(7956)2=+=-．例2：已知2sin ,(,)32πααπ=∈，33cos ,(,)42πββπ=-∈，求s i n ()αβ-，cos(),tan()αβαβ++．解： 2sin ,(,)32πααπ=∈， ∴25cos 1sin 3αα=--=-，33cos ,(,)42πββπ=-∈， ∴27sin 1cos 4ββ=--=-， ∴sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-63512+=-，cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-352712+=．又635sin()12αβ-++=， ∴sin()tan()cos()αβαβαβ++=+ 635325277173527-+-+==+．例3：已知5cos 13θ=-，求cos()6πθ+及sin()6πθ+的值。

苏教版数学高一苏教版必修4学案两角和与差的正弦

课堂导学三点剖析1.两角和与差的正弦公式应用初步【例1】求值.（1）sin12π; (2)sin 187πcos 92π-sin 9πsin 92π. 解：（1）sin 12π=sin(3π-4π) =sin 3πcos 4π-cos 3πsin 4π =23×22-21×22=426-. (2)原式=sin187πcos 92π-cos(2π-9π)sin 92π =sin 187πcos 92π-cos 187πsin 92π =sin(187π-92π)=sin 6π=21. 温馨提示解决给角求值这类问题，一般是将所求角表示成两个特殊角的和或差，就可以利用两角和或差的正余弦公式求值.在运用两角和或差的正余弦公式前注意结合诱导公式先化简.2.两角和与差的正弦公式的综合应用【例2】已知2π＜β＜α＜π43，cos （α-β）=1312，sin （α+β）=35-，求sin2α的值. 思路分析：如果发现2α=（α-β）+（α+β）的关系，便可迅速获得该题的解答；否则，若采用将cos （α-β）和sin （α+β）展开的做法，解答过程不仅要用不少三角函数公式，而且大大增加了运算量.解：由2π＜β＜α＜π43，得 α-β∈（0，4π），α+β∈（π，π23）. ∴sin （α-β）=135)1312(1)(cos 122=-=--βα. cos （α+β）=)(sin 12βα+-- =54)53(12-=--. 故sin2α=sin[（α-β）+（α+β）]=sin （α-β）cos （α+β）+cos （α-β）sin （α+β）=135×（54-）+1312×（35-）=-6556. 温馨提示（1）已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解这类问题应认真分析已知式中角与未知式中角的关系，再决定如何利用已知条件，避免盲目地处理相关角的三角函数式，以免造成解题时不必要的麻烦.（2）要注意观察和分析问题中角与角之间的内在联系，尽量整体的运用条件中给出的有关角的三角函数值.（3）许多问题都给出了角的范围，解题时一定要重视角的范围对三角函数值的制约关系，从而恰当、准确地求出三角函数值.3.变形或逆用两角和与差的正弦公式【例3】化简下列各三角函数式.（1）3sinα-cosα;(2)sin(x+60°)+2sin(x-60°)-3cos(120°-x).思路分析：采取配系数的方法，构造和、差角的正弦公式，再利用和、差角的正弦公式化简. 解析：（1）3sinα-cosα=2(23sinα-21cosα) =2(sinαcos6π-cosαsin 6π) =2sin(α-6π). (2)解法1：原式=sinxcos60°+cosxsin60°+2sinxcos60°-2cosxsin60°-3cos120°cosx-3·sin120° sinx=（cos60°+2cos60°-3sin120°）sinx+(sin60°-2sin60°-3cos120°)cosx =(21+2×21-3×23)sinx+(23-2×23+3×21)cosx=0; 解法2：原式=sin(x+60°)+3cos(x+60°)+2sin(x-60°)=2［21sin(x+60°)+ 23cos(x+60°)］+2sin(x-60°) =2［cos60°·sin(x+60°)+sin60°·cos(x+60°)］+2sin(x-60°)=2sin ［60°+(x+60°)］+2sin(x-60°)=2sin(x+120°)+2sin(x-60°)=-2sin(x-60°)+2sin(x-60°)=0.温馨提示（2）中解法1是顺用两角和差的正弦、余弦公式计算.解法2的关键在于构造能逆用两角和差的正弦公式的式子.观察到（x+3π）和（π32-x ）互补是顺利解决问题的前提条件，这种技巧在三角函数解题中经常用到.而这往往又是容易忽略的地方.各个击破类题演练1求下列各式的值.（1）sin75°；（2）sin15°；（3）sin13°cos17°+cos13°sin17°.解：（1）sin75°=sin （45°+30°）=sin45°cos30°+cos45°sin30° =22·23-22·21=426+；（2）sin15°=sin （45°-30°）=sin45°cos30°-cos45°sin30° =22·23-22·21=426-；（3）原式=sin （13°+17°）=sin30°=21. 变式提升1已知cosφ=53，φ∈（0，2π），求sin （φ-6π）. 思路分析：先求出sinφ的值，再代入公式运算.解：∵cosφ=53，φ∈（0，2π），∴sinφ=54. ∴sin （φ-6π）=sinφcos 6π-cosφsin 6π =54×2335-×21=10334-. 类题演练2已知cosα=54，sin （α-β）=35-，且α、β∈（0，2π），求sinβ的值. 解：∵cosα=54，α∈（0，2π）， ∴sinα=53.又∵α，β∈（0，2π）， ∴α-β∈（-2π，2π）∵sin （α-β）=35-， ∴cos （α-β）=54.∴sinβ=sin[α-（α-β）] =sinαcos （α-β）-cosαsin （α-β） =53×5454-×（35-）=2524.变式提升2已知cos （α+β）=31-，cos2α=-135，α、β均为钝角，求sin （α-β）. 思路分析：将已知条件整体使用，并且发现α-β=2α-（α+β），因此要求sin （α-β）的值，关键是求出sin （α+β）及sin2α.解：∵α、β∈（90°，180°），∴α+β，2α∈（180°，360°）.∵cos （α+β）=31-＜0，cos2α=-135＜0， ∴α+β，2α∈（180°，270°）. ∴sin （α+β）=322)31(1)(cos 122-=---=+--βα. sin2α=1312)135(12cos 122-=-----α. ∴sin （α-β）=sin[2α-（α+β）]=sin2αcos （α+β）-cos2αsin （α+β）=（-1312）（31-）-（-135）（322-） =3921012-. 类题演练3求值：［2sin50°+sin10°(1+3tan10°)］·︒80sin 22.解析：原式=（2sin50°+sin10°·︒︒+︒10cos 10sin 310cos ）·2sin80° =(2sin50°+2sin10°·︒︒+︒10cos 10sin 2310cos 21)·2cos10°=22［sin50°cos10°+sin10°cos （60°-10°）］=22sin （50°+10°）=22sin60°=22×623=. 变式提升3（1）若sin （α+β）=21,sin(α-β)=101,则βαtan tan =_________________. 思路分析：欲求βαtan tan −−→−切化弦βαtan tan =βαβαsin cos cos sin ,从而转化为由条件求出sinαcosβ、cosαsinβ.解析：由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+,101)sin(,21)sin(βαβα 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+.101sin cos cos sin ,21sin cos cos sin βαβαβαβα 解得，sinαcosβ=103,cosαsinβ=51. 则有βαtan tan =βαβαsin cos cos sin =103×5=23. （2）已知A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且lgsinA-lgsinB-lgsinC=lg2.试判断此三角形的形状.解析：由lgsinA-lgsinB-lgcosC=lg2可得，lgsinA=lg2+lgsinB+lgcosC=lg2sinBcosC ，即sinA=2sinBcosC.∵A=π-(B+C),∴sin ［π-(B+C)］=2sinBcosC,即sin （B+C ）=2sinBcosC ，sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC ，移项：sinBcosC-cosBsinC=0，即sin （B-C ）=0.∴B=C.∴△ABC 为等腰三角形.。

苏教版数学高一必修4学案《两角和与差的正弦》(1)

3.1.2 两角和与差的正弦（1）一、教学目标1．能由余弦的和差公式推导出正弦的和差公式，并从推导的过程中体会到化归思想的作用2．能用正弦的和差公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明二、教学重难点教学重点两角和与差的正弦公式的推导与应用教学难点两角和与差的正弦公式的推导三、教学过程一、问题情境1．情境：我们已学过两角和与差的余弦公式，给出了角和与差的余弦公式．2．问题1 0sin15?=3．问题2 sin()αβ+如何用α的三角函数和β的三角函数表示？怎样表示？3．仿照推导两角和的余弦公式时，将其中的β用－β代替，推导()S αβ-:sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-4．问题6 请同学们根据积的函数名称及运算符号，仔细观察两角差、两角和的正弦公式，它们之间有什么区别和联系？四、数学运用1．简单运用例1 已知)23,(,53cos ),,2(,32sin ππββππα∈-=∈=a ，求sin()αβ+的值．直接应用公式．例2 已知5cos()13αβ+=，4cos 5β=，αβ、均为锐角，求sin α的值．讨论解题思路,探讨不同的解法,并展开讨论.(1) 课本上的解法体现了什么思想?(2) 课本上的解法是三角变换上的什么技巧？(3) 本题可以不可以用同角三角函数关系式求解？2．进一步地运用例3 求函数1y sin x cos x 22=+的最大值．讨论解题思路,探讨不同的解法,并展开讨论.(1)课本上的解法体现了什么思想？(2)可以不可以用余弦公式求解？ 3．课堂练习教材第96页练习第1，2，3，4，5， 6，7，8题．五、回顾小结本节课学习了以下内容：1．利用两角和与差的余弦公式推出了两角和与差的正弦公式，要牢记公式的结构特点，注意和余弦公式的区别，学会逆用公式．2．强调1：公式中α，β的任意性；强调2：()S αβ+与()S αβ-公式的区别．强调3：在三角变换过程中注意“拆角”技巧的运用；学会转化思想．六、课外作业教材习题3.1(2)第1题，第2题，第3题，第4题选做题：第9题、第10题，第11题．。

高中数学：3.1.2 两角和与差的正弦(一) 教案(苏教版必修4)

第 2 课时： 3.1.2两角和与差的正弦（一）【三维目标】：一、知识与技能1. 能由两角和与差的余弦公式导出两角和与差的正弦公式，并从推导的过程中体会到化归思想的作用2. 能用两角和与差的正弦公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形，并能熟练进行公式正逆向运用。

3. 揭示知识背景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识，引发学生学习兴趣；培养学生的推理能力，提高学生的数学素质. 二、过程与方法通过创设情境：通过两角差的余弦函数导出两角和与差的正弦公式；讲解例题，总结方法，巩固练习. 三、情感、态度与价值观通过本节的学习，使同学们对两角和与差的三角函数有了一个全新的认识；理解掌握两角和与差的三角的各种变形，提高逆用思维的能力.【教学重点与难点】：重点: ()S αβ±公式的推导、应用. 难点: ()S αβ±公式的推导. 【学法与教学用具】： 1. 学法：(1)自主性学习法：通过自学掌握两角差的余弦公式.(2)探究式学习法：通过分析、探索、掌握两角差的余弦公式的过程.(3)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.2. 教学用具：多媒体、实物投影仪. 【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题 1. ()C αβ±公式；2．化简：（1）cos3cos sin3sin αααα+；（2）cos()cos()66ππαα++-；（3）cos15cos75-．二、研探新知 1．诱导公式（1）cos()cos cos sin sin sin 222πππαααα-=+=；（2）把公式（1）中2πα-换成α，则cos sin()2παα=-．即： cos()sin 2παα-= sin()cos 2παα-=．2．两角和与差的正弦公式的推导即：sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+ （()S αβ+）在公式()S αβ+中用β-代替β,就得到：sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=- （()S αβ-）说明：（1）公式()C αβ±对于任意的,αβ都成立。