3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示(1)

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课件14：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示

解：连接 BO，则BF ＝21BP＝12(BO＋OP) ＝12(BA＋ AO＋OP)＝21(c－b－a)＝－21a－12b＋12c. BE＝BC ＋CE＝－a＋12CP ＝－a＋21(CO ＋OP )＝－a－21b＋12c.
AE ＝ AP＋PE＝ AO＋OP＋12(PO＋OC ) ＝－a＋c＋12(－c＋b)＝－a＋12b＋12c. EF ＝12CB＝21OA＝12a.
(2)∵ A1B＝OB－OA1 ＝OB－(OA＋ AA1 ) ＝OB－OA－ AA1 ＝2e2－4e1－4e3, ∴ A1B＝(－4,2，－4)．
(1)三个向量不共面是三个向量构成空间一个基底的充要条件． (2)用基底可表示空间任一向量，且表示方式是唯一的，解题时要注意三角形法则和平行四边形法则的应用；若基底{a，b，c}为单位正交基底，可由p＝ xa＋yb＋zc得到p的坐标为(x，y，z)．
∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底， ∴e1，e2，e3 不共面，
－3x＋y＝1，
∴x＋y＝2， 2x－y＝－1.
此方程组无解，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
即不存在实数 x,y 使OA＝xOB＋yOC.
∴OA，OB ，OC 不共面．
故{OA，OB ，OC }能作为空间的一个基底.
考点二用基底表示向量例 2 四棱锥 P－OABC 的底面为一矩形，PO⊥平面 OABC. 设OA＝a，OC＝b，OP＝c，E,F 分别是 PC 和 PB 的中点，试用 a，b，c 表示BF ,BE, AE ,EF .
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
在一次消防演习中，一消防官兵特别行动小组接到命令，由此往南500米，再往东400米处的某大厦5楼发生火灾．行动小组迅速赶到现场，经过1个多小时的奋战，终于将大火扑灭．火灾的发源地点是由消防官兵驻地“南 500米”、“东400米”“5楼”三个量确定. 设e1是向南的单位向量，e2是向东的单位向量，e3是向上的单位向量．

课件16：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示

2．若A→B＝(a，b，c)，则B→A的坐标是多少？ [提示] B→A＝(－a，－b，－c)．
例 3 如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面△ABC 中， CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱 AA1＝2，M，N 分别为 A1B1，A1A 的中点，试建立恰当的坐标系求向量B→N， B→A1，A→1B的坐标．
课堂小结 1．基底中不能有零向量．因零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面，所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量． 2．空间几何体中，要得到有关点的坐标时，先建立适当的坐标系，一般选择两两垂直的三条线段所在直线为坐标轴，然后选择基向量，根据已知条件和图形关系将所求向量用基向量表示，即得所求向量的坐标．
空间向
量的坐 {x，y，z}，使得 p＝xe1＋ye2＋ze3，则把 x，
标表示
y，z 称作向量 p 在单位正交基底 e1，e2，e3 下的坐标，记作__p_＝__(x_，__y_，__z_)__
合作探究
类型1 基底的判断
例 1 设 x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个
1＝μ， ∴1＝λ，
0＝λ＋μ，
此方程组无解．
即不存在实数 λ，μ，使得 a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，
∴a＋b，b＋c，c＋a 不共面．
故{a＋b，b＋c，c＋a}能作为空间的一个基底．
类型2 用基底表示向量例 2 如图，四棱锥 P-OABC 的底面为一矩形，PO⊥平面 OABC，设O→A＝a，O→C＝b，O→P＝c，E，F 分别是 PC， PB 的中点，试用 a，b，c 表示：B→F，B→E，A→E，E→F．
3．三棱锥 P-ABC 中，∠ABC 为直角，PB⊥平面 ABC， AB＝BC＝PB＝1，M 为 PC 的中点，N 为 AC 的中点，以{B→A，B→C，B→P}为基底，则M→N的坐标为________．

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

a,b, c都叫做基向量
空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底
c 共面
推论：设点O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组 x、y、 z ，使
OP xOA yOB zOC
O
PC APBFra bibliotekP红对勾 5．若向量M→A，M→B，M→C的起点与终点互不重合且无三点共线，则下列关系(O 是空间任一点)中，能使向量M→A，M→B，M→C 成为空间的一个基底的是( C )
[分析] 若向量 a 可以用基向量 e1、 e2、e3 表示为 a＝xe1＋ye2＋ze3，则(x，y， z)就是 a 在基底{e1，e2，e3}下的坐标．
[＝ AA＝解＝AA＝→→→→[＝AA＝解→→解GFGFGFA(：A(→→＝A(＝析＝ 12＝1→＝析＝12DD，D，，AA]＋ A＋A→A→]＋A→→A1→1ABB(→A1B12,112,′′＋12,1＋1(′＋1A)A(1A))A1)→．＋A→．→＋)ABB．＋A→→)→BAE→→′A′G→G′G＝EAAAE＝＝＝ ′＝＝′＝＝′＝A→→→→AA→AD→D((DA→→AD(0→0BB0DB′＋′,D,′＋,1＋1＋1＋＋，，D＋＋，→＋121212DE→AD12A12D→→→DA12D→E＝))DDE)→D，→′，′→，＝′＝＝＝A＝→FFAFD→(A(＝→＝(1D1＝＋1D，，，＋AA＋12A12A→A→12，DA→1212，12′′，D′→DD0D→ 0＋)′＋D→0＋，)′)，′A，A→→A→DDD＋＋＋12112AAA→→A→BBBB, AD, AA
∴∴∴ zxxxxz＝＋－ xxz＝＋－＝＋－3yy3yy3.＝＝ yy.＝＝.＝＝121212，，，，，，

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示(1)

练习 2: ⑴已知 A（ 2, 3)、B（ 2,1,6), C(1, 1,5) , 0, 7 3 则 △ ABC 的面积 S=_____.
2
⑵ a ( x, 2,1) , b (3, x 2 , 5) 且 a 与 b 的夹角为 5 钝角，则 x 的取值范围为 ( 1, ) . 2
k j O i
x
p
P
y Q
在
i, j, k上的分向量。
探究：在空间中，如果用任意三个不共面向量
代替两两垂直的向量 i, j , k
结论吗？
a, b, c
，你能得出类似的
空间向量基本定理：
如果三个向量 a, b, c不共面，那么对空间任一
向量 p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使 p xa yb zc.
1 1 1 y （ b （x y a （x y b xc a ））） 2 2 2
1 （） 2 x y 1 x 1 ∴ B1C OD OC1， ∴1 （x y 0 即） y 1 2 x 1
证明: 设正方体的棱长为1,
1 则 AD ( 1,0,0), D1F (0, , 1), 1 2 AD D1F (1,0,0) (0, , 1) 0. 2 1
∴m＝17，n＝－5，z＝－30.
∴O→＝17O→－5O→－30O→. P A B C
练习
1、已知向量{a，b，c}是空间的一个基底．求证：向量a+b，a-b，c能构成空间的一个基底．
2.设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组： ①{a，b，x}；②{a，b，y}；③{x，y，z}；④{a，x，y}； ⑤{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间基底的向量组有( C ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

M
一.空间向量基本定理：
如果三个向量 a, b, c 不共面，那么对空间任一向量 p ,存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使 p xa yb z c
E A D c
b
C
O
p
B
思路：作 AB // b, BD // a, BC // c
a
p OB BA OC OD OE x a yb z c
BAA1 CAA1 60 ， AB AC AA1 1 ，求 MN 的长。
A1 M A B B1 N C1
C
1 1 BA1 AB B1C1 解：（Ⅰ） MN MA 1A 1B 1B 1N 3 3 1 1 1 1 1 (c a ) a (b a ) a b c 。 3 3 3 3 3
（Ⅱ） (a b c)2 a 2 b2 c 2 2a b 2b c 2c a
1 1 1 1 1 0 2 1 1 2 1 1 5 ， 2 2
1 5 。 | a b c | 5 ， | MN | | a b c | 3 3
a, b, c 都不等于 0
③一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。
例1：已知四面体OABC，M和N分别
是OA、BC的中点，P和Q分别是MN的三等分点，试用基底 OA, OB, OC 表示向量 OP , OQ O

M
Q
A
P
C N
B
例2 空间四边形OABC中，G、H分别是 Δ ABC，Δ OBC的重心，设 OA a, OB b, OC c ,试用基向量 a, b, c 表示向量 OG, GH. O

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

C
N
B
仲元中学黄锡泉
作业课本第98页,习题A组第11题
仲元中学黄锡泉
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
设 i, j, k 是空间三个两两垂直的向量,
p 是空间中任一向量,则存在一个有序
实数对{x,y,z},使得
z
p xi y j zk
P
k
io
j
y
x 仲元中学黄锡泉
Q
空间向量的基本定理
如果三个向量 a,b,c 不共面,那么对空间
任一向量 p ,存在有序实数组{x,y,z},使得
AB’的中点为M,BC’的中点为N,求下列向量
的坐标:
(1, 1 , 1 )
(1)OM ________2_2
(2)ON _______(12_,_1_, 12) (3)MN ______(__12_,_12 ,0)
(4)C ' M

_____(_1_, _12_,_
1 2
)
z
O'
C' B'
G C
B
发展性训练1
1.在直角坐标系中,A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2),则 AB _(_x_2-_x_1_,y_2_-_y_1_,z_2_-_z1_), BA _(_x_1_-_x_2,_y_1_-y__2,_z_1-_z_2.)
仲元中学黄锡泉
发展性训练２
2.如图,边长为1的正方体OABC-O’A’B’C’中,
p xa yb zc {a, b, c}叫做空间一个基底(base) a,b,c都叫做基向量(base vectors).
仲元中学黄锡泉
单位正任一向量,则存在一个有序

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

x k O i
j
P y
Q
如果i,j,k是空间三个两两垂直的向量，对空间任一个向量p，存在一个有序实数组使得 p=xi+yj+zk. xi,yj,zk为向量p在i,j,k上的分向量。
z P y
k O
i x
j
Q
思考：在空间中，如果用任意三个不
共面向量a,b,c代替两两垂直的向量i,j,k,能得到类似的结论吗？
A E= A , D1F 平面ADE .
另证 : 可以用三垂线定理证D 1F AD, AE AD得证.
练习 3⑵.如图，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中， O 是 B1D1 的中点，求证：B1C∥面 ODC1.
1 ba ） c 则ca x （ 2
点O叫做原点，向量I、j、k都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。
z
以 i , j , k 为单位正交基底
P ( x, y, z )
k

z

建立空间直角坐标系O—xyz
p xi y j zk
i , j , k 为基底 ( x, y, z ) p
x
i
O
y
j
y 记
练习 2: ⑴已知 A（ 0, 2, 3)、B（ 2,1,6), C(1, 1,5) , 7 3 则 △ ABC 的面积 S=_____.
2
⑵ a ( x, 2,1) , b (3, x 2 , 5) 且 a 与 b 的夹角为 5 钝角，则 x 的取值范围为 ( 1, ) . 2 ⑶正方体 A1 B1C1 D1 ─ABCD 的棱长为 2, E 、F 分别是 C1C 、 D1 A1 的中点 , 求点 A 到直线 EF 的 174 距离. 6

人教版高中数学选修3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示 (1)ppt课件

基底的判断
设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，
给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b
＋c}，其中可以作为空间的基底的向量组有( A．1个 B．2个 )
C．3个
D．4个
分析：能否作为空间的基底，即判断给出的向量组中的三个向量是否共面．由于a、b、c是不共面向量，所以可以构造图形，利用平行六面体中从某一点出发的三条棱所对应的向量与相应面上的对角线所对应的向量的关系直观判断．
3．正交基底
4．设e1、e2、e3为有公共起点O的三个两两互相垂直的单位向量，称这个基
底为单位正交基底，以e1、e2、e3的公共起点O为原点，分别以e1、e2、e3的方向为 x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量＝p.由空间向量基本定
①空间中的任何一个向量都可用a，b，c表示 ②空间中的任何一个向量都可用基向量a，b，c表示 ③空间中的任何一个向量都可用不共面的三个向量表示
④平面内的任何一个向量都可用平面内的两个向量表示
A．4个 C．2个 B．3个 D．1个
2．已知{a，b，c}是空间向量的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝ a－b构成基底的向量是( ) D A．a C．a＋2b B．b D．a＋2c
∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c.
∵{a，b，c}为基底，∴a、b、c不共面，
1＝μ ∴1＝λ 0＝λ＋μ
此方程组无解． ∴a＋b，b＋c，c＋a不共面，
∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．
用基底表示向量
2NC，设

高中数学 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示课件

【名师点评】判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何图形进行判断．
互动探究 1．若本例条件不变，试判断向量a＋b，a－b，c能否作为空间的一个基底．
解：假设a＋b，a－b，c共面，则存在实数x，y，使c＝x(a＋b)＋y(a－b)，即c＝(x＋y)a＋(x－y)b，从而由共面向量知c与a，b共面，这与a，b，c不共面矛盾． ∴a＋b，a－b，c不共面，即可以作为空间的一个基底．
∴x＝12，y＝12，z＝1.
【名师点评】用基底表示向量的方法： (1)根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底； (2)用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．
跟踪训练 2．四棱锥 P－OABC 的底面为一矩形，PO⊥平面 OABC，设O→A＝a，O→C＝b，O→P＝c，E，F 分别是 PC 和 PB 的中点，试用 a，b，c 表示：B→F，B→E，A→E，E→F.
做一做设{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，且m＝2i＋3j－ 4k，n＝－i＋2j－5k，则m、n的坐标分别为__________．答案：(2,3，－4)、(－1,2，－5)
典题例证技法归纳
题型探究
题型一基底的判断例1 若{a，b，c}是空间一个基底，试判断{a＋b，b
＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底．
想一想 1.空间向量的基底是唯一的吗？提示：不唯一． 2．0能是基向量吗？提示：不能．
2．空间向量的正交分解及坐标表示 (1)单位正交基底：由三个两__两__垂__直__的有公共起点的_单__位__向__量_ 组成的基底称为单位正交基底． (2)空间向量的正交分解：在空间直角坐标系 Oxyz 中，沿 x 轴、y 轴、z 轴的正方向各有一个单位向量 i，j，k(组成空间一个单位正交基底

3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示

��
=
��
+
��
+
1 2
(��
+
�� )=-a+c+12(-c+b)=-a+12b+12c.
��
=
1 2
��
=
1 2
��
=
12a.
延伸探究若本例条件不变,试用 a,b,c 表示向量��.
xa+yb+zc=0,则有x=y=z=0.( )
答案(1)× (2)√ (3)√ (4)√
课前篇自主预习
2.空间向量的正交分解及其坐标表示 (1)单位正交基底三个有公共起点的两两垂直的单位向量e1,e2,e3称为单位正交基底. (2)空间直角坐标系以e1,e2,e3的公共起点O为原点,分别以e1,e2,e3的方向为x轴、y轴、 z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz. (3)空间向量的坐标表示对于空间任意一个向量p,一定可以把它平移,使它的起点与原点 O重合,得到向量 �� =p,由空间向量基本定理可知,存在有序实数组{x,y,z},使得p=xe1+ye2+ze3.把x,y,z称作向量p在单位正交基底 e1,e2,e3下的坐标,记作p=(x,y,z),即点P的坐标为(x,y,z).
设��=xi+yj,则向量��的坐标(x,y)就是点 A 的坐标,即若 ��=(x,y),则 A 点坐标为(x,y),反之亦成立(O 是坐标原点).

3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示

例 3 已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，M、N 分别是 AB、PC 的中点，并且 PA＝AD＝1，求向量M→N、D→C
的坐标．解如图所示，因为 PA＝AD＝AB＝1，
且 PA⊥平面 ABCD，AD⊥AB，所以可设D→A＝e1，A→B＝e2，A→P＝e3.
以{e1，e2，e3}为基底建立空间直角坐标系 Axyz. 因为M→N＝M→A＋A→P＋P→N＝M→A＋A→P＋12P→C ＝M→A＋A→P＋12(P→A＋A→D＋D→C) ＝－12e2＋e3＋12(－e3－e1＋e2)＝－12e1＋12e3，所以M→N＝－12，0，12，D→C＝(0,1,0)．
1．空间向量基本定理定理：如果三个向量 a，b，c_不___共__面__，那么对于空间任一向量 p，存在有序实数组 {x，y，z}，使得 p＝ __x_a_＋__y_b_＋__z_c_. 其中_{_a_，__b_，__c_}_叫做空间的一个基底，__a_，__b_，__c__都叫做基向量．
2．空间向量的正交分解及其坐标表示 (1)单位正交基底
又|O→O1|＝4，|O→A|＝4，|O→B|＝2， ∴D→O＝(－2，－1，－4)，
∵A→1B＝O→B－O→A1＝O→B－(O→A＋A→A1) ＝O→B－O→A－A→A1. 又|O→B|＝2，|O→A|＝4，|A→A1|＝4， ∴A→1B＝(－4,2，－4)．
作业练习册3.1.4
晚自习下课前，科代表完成检查登记
跟踪训练 1 设 x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a：①{a，b，x}，②{x，
y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为
空间的基底的向量组有
( C)
A．1 个 B．2 个

3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示

3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示【选题明细表】【基础巩固】1.有以下三个命题:①三个非零向量不能构成空间的一个基底,则共面;②若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则共线;③若是两个不共线向量,而λμb(λ,μ∈R且λμ≠0),则{}能构成空间的一个基底.其中真命题的个数是( C )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:①②正确,③中,由平面向量的基本定理可知共面,故③为假命题.选C.2.设是三个非零向量:{}为空间的一个基底,则p是q的( B )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:当非零向量不共面时,{}可以当基底,否则不能当基底.当{}为基底时,一定有为非零向量.因此p⇒/ ⇒p.故选B.3.在空间直角坐标系中,下列说法正确的是( D )(A)向量的坐标与点B的坐标相同(B)向量的坐标与点A的坐标相同(C)向量与向量的坐标相同(D)向量与向量-的坐标相同解析:因为A点不一定为坐标原点,所以A不正确;同理都不正确;由于,所以D正确.4.(2019·武汉检测)长方体1B1C1D1中与的交点为M.设,则下列向量中与相等的向量是( A )(A) (B)(C) (D)解析(+)(+)().故选A.5.三棱锥中,∠为直角⊥平面1为的中点为的中点,以{,,}为基底,则的坐标为解析(+)-(+),即=(,0).答案:(,0)6.已知四面体,点M在棱上3为中点,则= .解析:如图所示,连接,则(+).答案7.已知1B 1C 1D 1是棱长为2的正方体分别为1和的中点,建立如图所示的空间直角坐标系,试写出,,的坐标.解:设轴的单位向量分别为e 123, 其方向与各轴的正方向相同,则2e 1+2e 2+2e 3, 所以=(2,2,2).因为2e 1+2e 23,所以=(2,2,1). 因为2,所以=(0,1,0).【能力提升】8.以棱长为1的正方体1B 1C 1D 1的棱1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则平面1B 1B 对角线交点的坐标为( B ) (A)(0,,) (B)(,0,)(C)(,,0) (D)(,,)解析:如图,由题意知平面1B 1B 对角线交点的横坐标为的中点值,竖坐标为1的中点值,纵坐标为0,所以平面1B 1B 对角线交点的坐标为(,0,).故选B.9.如图,在平行六面体1B 1C 1D 1中为和的交点,若,,则= .解析(+)-(+).答案10.在平行六面体1B1C1D1中分别在B1B和D1D上,且1,1.(1)证明1四点共面;(2)若,求的值.(1)证明:因为(+)+(+)=(+)+(+),所以1四点共面.(2)解:因为(+),所以11,所以.【探究创新】11.如图,在平行六面体′B′C′D′中分别是A′D′′′C′的中点,请选择恰当的基底向量证明:(1)∥;(2)平面∥平面′C.证明:取基底{,,},(1)因为,2,所以∥.(2)因为,2,所以∥′,由(1)知∥,所以平面∥平面′C.。

课件1：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示

4．用基底中的基向量表示向量(即向量的分解)，关键是结合图形，运用三角形法则、平行四边形法则及多边形法则，逐步把待求向量转化为基向量的“代数和”． 5．空间向量基本定理的证明
设 a、b、c 不共面，过点 O 作O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，O→P ＝p；过点 P 作直线 PP′平行于 OC，交平面 OAB 于点 P′；在平
z＝3
x＝32 ，解得3)．
.∴p 在基底{a＋b，a－b，c}
易错辨析
[例 4] 设 a，b，c 是三个不共面的向量，现从①a＋b，②a－b， ③a＋c，④b＋c，⑤a＋b－c 中选出一个，使其与 a，b 构成空间向量的一个基底，则可以选择的向量有________．
巩固训练
一、选择题
1．如果向量 a，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底，
则( )
A．a 与 b 共线
B．a 与 b 同向
C．a 与 b 反向
D．a 与 b 共面
[答案] A
[解析] 由空间向量基底的概念知，A 正确．
2．如果 a、b、c 共面，b、c、d 也共面，则下列说法正确的是( )
A．若 b 与 c 不共线，则 a、b、c、d 共面 B．若 b 与 c 共线，则 a、b、c、d 共面 C．当且仅当 c＝0 时，a、b、c、d 共面 D．若 b 与 c 不共线，则 a、b、c、d 不共面
[解析] 假设 a＋b，b＋c，c＋a 共面，则存在实数 λ、μ 使得 a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c. ∵{a，b，c}为基底．∴a，b，c 不共面．
1＝μ ∴1＝λ
0＝λ＋μ
.此方程组无解．
∴a＋b，b＋c，c＋a 不共面． ∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．

原创1：3.1.4 空间向量的正交分解及坐标表示

以e1，e2， e3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立
P(x，y，z)
e3
空间直角坐标系Oxyz.
对于空间任一向量p，可以把它平移到以原点O为起点， O
e1
e2
y
得到OP=p.由空间向量基本定理可知，
存在有序实数组{x，y，z}，使得p= xe1 + e2 +ze3
Q (x，y，0)
x，y，z称为向量p在单位正交基底下的坐标，
2
2
D
x
N
M
C
B
y
归纳小结
(1)用基底来表示空间中的向量是向量解决数学问题的关键，
解题时注意三角形法则或平行四边形法则的应用．
(2)根据空间向量基本定理，任一向量都可表示为基向量的
线性关系式．
三个基向量的对应系数即为向量在这个基底下的坐标．
所以，求向量的坐标，关键是灵活应用基底表示该向量．
当堂训练
＝ OA＝ a.
2
2
典例分析

在直三棱柱ABO－A1B1O1中，∠AOB＝，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，
2
D为A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求、1 的坐标．
【解析】(1)∵DO＝－OD＝－(OO1＋O1D)
1
＝－[OO1＋ (OA＋OB)]
2
1
1
＝－OO1－ OA－ OB.
第三章空间向量与立体几何
§3.1.2
空间向量的正交分解及坐标表示
高中数学选修2-1·精品课件
引入课题
平面向量基本定理是什么？空间向量中有类似的结论吗？
三个不共面的向量
如果有，应该如何表述？
,
Ԧ , Ԧ

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

新知探究
问题6、上述结论就是空间向量基本定理，其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量.那么空间任意三个向量都能构成一个基底吗？零向量能否作基向量？一个基底中的三个基向量是否要起点相同？
新知探究
问题7、若空间向量的一个基底中的三个基向量互相垂直，则称这个基底为正交基底，若三个基向量是互相垂直的单位向量，则称这个基底为单位正交基底，在哪些空间几何图形中能找到正交基底和单位正交基底？
新知探究
问题8、设e1，e2，e3为有公共起点O的单位正交基底，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、 y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系 Oxyz. 对于空间任意一个向量p，用基底 {e1，e2，e3}可以怎样表示？
z
p e3 e2 e1 O
p＝xe1＋ye2＋ze3
y
x
新知探究
问题9、若p＝xe1＋ye2＋ze3，则把 x, y，z称为向量p在单位正交基底e1， e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z). 对一个给定的向量p，其坐标唯一吗？
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
复习巩固
1.平面向量基本定理是什么？
如果a、b是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量p，有且只有一对实数λ1，λ2，使p＝λ1a＋λ2b.
{a,b}叫做平面的一个基底
复习巩固
2.平面向量的坐标表示的基本原理是什么？
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、 y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，若a＝xi＋yj，则把有序数对（x， y）叫做向量a的坐标，记作：
相等向量的坐标相等吗？z
p e3 e2
e1 O
y
x