1初中证明直线垂直平行的方法

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立体几何常见证明方法

立体几何方法归纳小结一、线线平行的证明方法1、根据公理4，证明两直线都与第三条直线平行。

2、根据线面平行的性质定理，若直线a平行于平面A ，过a的平面B与平面A相交于b ，则a//b。

3、根据线面垂直的性质定理，若直线a与直线b都与平面A垂直，则a//b 。

4、根据面面平行的性质定理，若平面A//平面B，平面C与平面A和平面B的交线分别为直线a与直线b，则a//b 。

二、线面平行的证明方法1、根据线面平行的定义，证直线与平面没有公共点。

2、根据线面平行的判定定理，若平面A内存在一条直线b与平面外的直线a平行，则a//A 。

(用相似三角形或平行四边形)3、根据平面与平面平行的性质定理，若两平面平行，则一个平面内的任一直线与另一个平面平行。

三、面面平行的证明方法1、根据定义，若两平面没有公共点，则两平面平行。

2、根据两平面平行的判定定理，一个平面内有两相交直线与另一平面平行，则两平面平行。

或根据两平面平行的判定定理的推论，一平面内有两相交直线与另一平面内两相交直线平行，则两平面平行。

3、垂直同一直线的两平面平行。

4、平行同一平面的两平面平行。

四、两直线垂直的证明方法1、根据定义,证明两直线所成的角为90°2、一直线垂直于两平行直线中的一条,也垂直于另一条.3、一直线垂直于一个平面,则它垂直于平面内的所有直线.4、根据三垂线定理及逆定理,若平面内的直线垂直于平面的一条斜线(或斜线在平面内的射影),则它垂直于斜线在平面内的射影(或平面的斜线).五、线面垂直的证明方法1、根据定义,证明一直线与平面内的任一(所有)直线垂直,则直线垂直于平面.2、根据判定定理,一直线垂直于平面内的两相交直线,则直线垂直于平面.3、一直线垂直于两平行平面中的一个,也垂直于另一个.4、两平行直线中的一条垂直于一个平面,另一条也垂直于这个平面.5、根据两平面垂直的性质定理,两平面垂直,则一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.六、面面垂直的证明方法1、根据面面垂直的定义，两平面相交所成的二面角为直二面角，则两平面垂直。

证明线面平行的方法

证明线面平行的方法
要证明线面平行，可以采用以下方法：
1. 使用向量法：设直线L上一点为P，平面M上一点为Q，
其中从直线L的方向向量可以得到直线L的法向量nL，从平
面M的法向量可以得到平面M的法向量nM。

若nL与nM相
互垂直，则可以判断直线L与平面M是平行的。

2. 使用点法式：设直线L的方程为Ax + By + Cz + D = 0，其
中(A,B,C)为直线方向向量，(x,y,z)为直线上任意一点的坐标。

设平面M的方程为Ax + By + Cz + D' = 0，其中(A,B,C)为平面的法向量，(x,y,z)为平面上任意一点的坐标。

如果直线L的法
向量与平面M的法向量平行，则直线L与平面M是平行的。

3. 使用斜率法：对于直线L，找出直线上两点的坐标(x1, y1,
z1)和(x2, y2, z2)，计算直线的斜率mL = (y2 - y1) / (x2 - x1)。

对于平面M，找出平面上两点的坐标(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)，计算平面的斜率mM = (z2 - z1) / (y2 - y1)。

如果直线L和平面
M的斜率相等，则直线L与平面M是平行的。

以上三种方法可以用来证明直线与平面之间的平行关系，其实质上是通过分析向量或者坐标的关系来判断直线和平面是否平行。

完整版)立体几何中平行与垂直证明方法归纳

完整版)立体几何中平行与垂直证明方法归纳本文系统总结了立体几何中平行与垂直证明方法，适合高三总复时学生构建知识网络、探求解题思路、归纳梳理解题方法。

以下是常见证明方法：一、“平行关系”常见证明方法一）直线与直线平行的证明1.利用平行四边形的对边互相平行的特性；2.利用三角形中位线性质；3.利用空间平行线的传递性（即公理4）；4.利用直线与平面平行的性质定理；5.利用平面与平面平行的性质定理；6.利用直线与平面垂直的性质定理；7.利用平面内直线与直线垂直的性质；8.利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点。

二）直线与平面平行的证明1.利用直线与平面平行的判定定理；2.利用平面与平面平行的性质推论；3.利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点。

三）平面与平面平行的证明1.利用平面与平面平行的判定定理；2.利用某些空间几何体的特性；3.利用定义：两个平面没有公共点。

二、“垂直关系”常见证明方法一）直线与直线垂直的证明1.利用直角三角形的两条直角边互相垂直的特性；2.看夹角：两条共（异）面直线的夹角为90°，则两直线互相垂直；3.利用直线与平面垂直的性质：如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于此平面内的所有直线。

1.利用空间几何体的特性：例如长方体侧棱垂直于底面。

2.观察直线与平面所成角度：若直线与平面所成角为90度，则该直线垂直于平面。

3.利用直线与平面垂直的判定定理：若一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线垂直于此平面。

4.利用平面与平面垂直的性质定理：若两个平面互相垂直，则在这两个平面内分别作垂直于交线的直线，则这两条直线互相垂直。

5.利用常用结论：例如若一条直线平行于一个平面的垂线，则该直线也垂直于此平面。

初中数学什么是平行线和垂直线

初中数学什么是平行线和垂直线平行线和垂直线是初中数学中重要的几何概念。

本文将详细介绍平行线和垂直线的定义、性质和常见应用。

一、平行线平行线是指在同一个平面上永远不会相交的直线。

简单来说，平行线是永远保持相同距离的直线。

平行线的定义：给定平面上的两条直线l和m，如果它们在平面上永远不会相交，那么我们称l 与m是平行线。

记作l || m。

平行线的性质：1. 平行线上的任意两个点与另一条平行线上的任意两个点之间的线段长度相等。

2. 平行线的斜率相等或者有一个不存在斜率。

平行线的应用：1. 在几何证明中，平行线常用于构造图形、定位和描述。

2. 平行线的性质被广泛应用于测量、计算和解决实际问题。

二、垂直线垂直线是指两条直线在相交点处形成的四个相邻角中，两个相邻角是直角的直线。

垂直线的定义：给定平面上的两条直线l和m，如果它们在相交点处形成的四个相邻角中，两个相邻角是直角，则我们称l与m是垂直线。

记作l ⊥ m。

垂直线的性质：1. 垂直线上的任意两个角是直角。

2. 垂直线与平行线的交角是直角。

垂直线的应用：1. 在几何证明中，垂直线常用于构造图形、定位和描述。

2. 垂直线的性质被广泛应用于测量、计算和解决实际问题。

总结：本文详细介绍了初中数学中的平行线和垂直线的定义、性质和常见应用。

平行线是指在同一个平面上永远不会相交的直线，垂直线是指两条直线在相交点处形成的四个相邻角中，两个相邻角是直角的直线。

平行线和垂直线在几何证明、测量和解决实际问题中都有重要的应用。

通过理解和应用这些概念，学生可以更好地理解几何学的基本概念和性质。

1初中证明直线垂直平行的方法

1初中证明直线垂直平行的方法
初中证明直线垂直和平行的方法常见有以下几种：
证明直线垂直的方法：
1.垂直交线法：如果两条直线交于一点，并且交角为90度，则可以证明这两条直线是垂直的。

可以使用直尺和量角器来测量交角。

2.垂直斜交线法：如果两条直线的斜率乘积为-1，则可以证明这两条直线是垂直的。

根据斜率的定义，可以求出两条直线的斜率，然后计算斜率的乘积，若为-1则证明两条直线垂直。

3.垂直平移法：如果一条直线上的所有点按照垂直方向平移得到的点仍然在另一条直线上，则可以证明这两条直线是垂直的。

可以分别求出两条直线上的点的坐标，然后将其中一条直线上的点按照垂直方向平移，如果得到的点在另一条直线上，则证明两条直线垂直。

证明直线平行的方法：
1.平行性质法：根据平行线的性质，如果两条直线与第三条直线的交角分别相等，则可以证明这两条直线是平行的。

可以使用直尺和量角器来测量交角。

2.斜率法：如果两条直线的斜率相等，则可以证明这两条直线是平行的。

可以分别求出两条直线的斜率，如果相等则证明两条直线平行。

3.互补角法：如果两条直线间的相邻内角和为180度，则可以证明这两条直线是平行的。

可以使用直尺和量角器求出相邻内角和，如果等于180度则证明两条直线平行。

以上是一些常见的初中证明直线垂直和平行的方法，学生可以根据具体问题选择合适的方法进行证明。

证明过程中需要使用几何图形的性质和一些基本的几何知识，同时需要运用一些几何推理的方法。

垂直与平行线的性质

垂直与平行线的性质垂直与平行线是几何学中的基本概念，它们之间有着一系列独特的性质和关系。

本文将详细介绍垂直与平行线的性质，包括定义、判定方法、性质特点以及在几何证明中的应用。

一、垂直线的性质垂直线是指在同一平面上，两条线段相交时，相交角度为90度（也称为直角）。

根据垂直线的定义，我们可以得出以下两个性质：1. 垂直线的判定方法判定两条线段是否垂直的方法有多种，其中最常用的方法是判断两条线段的斜率是否相乘为-1。

若两条线段的斜率（垂直或倾斜）之积等于-1，则可以确定它们是相互垂直的。

2. 垂直线的性质垂直线的性质有许多，以下是其中几个重要的性质：(1) 相交直线的垂直角度为90度；(2) 一个点到一条直线的垂直距离为两线段间的最短距离；(3) 垂直线与水平线之间无斜率关系，即水平线的斜率为0，垂直线的斜率不存在。

二、平行线的性质平行线是指在同一平面上，永不相交且始终保持等间距的两条直线。

平行线也有一系列与之相关的性质和定理。

1. 平行线的判定方法判定两条直线是否平行也有多种方法，其中常用的有以下几种：(1) 借助对应角、内错角或同位角等角度关系判断是否平行；(2) 判断两条直线的斜率是否相等或互为倒数关系；(3) 求取两条直线上两个点的坐标，并验证斜率是否相等。

2. 平行线的性质平行线的性质有：(1) 平行线之间的夹角为0度，即平行线之间没有交叉点；(2) 平行线具有等间距性，两条平行线上任意一点到另一条线的距离保持不变。

三、垂直线与平行线的关系垂直线与平行线之间存在一系列重要的关系，我们来看一下：1. 垂直线与平行线的关系(1) 垂直线与平行线不可能同时存在于同一平面上；(2) 两条平行线分别与第三条垂直线相交，则它们与垂直线的交点之间的角度相等。

2. 平行线之间的垂直线关系(1) 两条平行线与一条垂直线相交，则垂直线与平行线上的各个角度之和为180度。

(2) 平行线之间的垂直线等于从平行线上的任意一点到垂直线的距离。

第二阶段专题9：证明直线的垂直平行

⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧.*......形的第三边则这条直线平行于三角，所得的对应线段成比例边（或两边的延长线）一条直线截三角形的两两底）位线平行于第三边（或三角形（或梯形）的中梯形的两底平行平行四边形的对边平行），则这两条直线平行相等，或同旁内角互补同位角相等（或内错角互相平行线平行，这两条直线也两条直线都和第三条直两条直线平行在同一平面内不相交的⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧.............于两圆的公共弦相交两圆的连心线垂直点的半径圆的切线垂直于经过切圆周角是直角半圆（或直径）所对的直于该弦分弦所对的弧的直径垂径垂直于这条弦，或平平分弦（非直径）的直圆菱形的对角线互相垂直矩形的两邻边互相垂直四边形垂直于底边线（或底边上的中线）等腰三角形的顶角平分边上的高垂直于这边三角形（或多边形）一这边所对的内角为直角其他两边的平方和，则三角形一边的平方等于所对的内角为直角于这边的一半，则这边三角形一边上的中线等，则第三个内角为直角三角形的两个锐角互余互相垂直直角三角形的两直角边三角形垂直角时，这两条直线互相个角中，有一个角是直两条直线相交所成的四【专题】证明直线的垂直或平行：直线的平行与垂直是直线形的重要内容，也是平面几何的基础内容.掌握好“三线八角”是学好平行线的基础.直线垂直的定义是有关垂直知识的基础，直线的平行与垂直常常融于三角形、四边形及圆的有关命题中，因此，掌握好本专题的内容是非常必要的.一、专题知识网络：证明两直线平行的主要方法证明两直线垂直的主要方法二、典型例题分析：例1：如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上一点，下面有四个条件（1）AC AE AB AD =（2）AC EC AB DB =（3）EC AE DB AD =（4）BCDE DB AD =. 其中一定能判定DE ∥BC 的有个.分析：在前三个比例式中，都符合一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例这个条件，因此能判定DE ∥BC.在（4）中比例式的各线段不是对应线段，故比例式不成立，从而不能判定.因此有3个条件是正确的.例2：如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，边AD 、BC 的延长线相交于点P ，直线AE 切⊙O 于点A ，且AB ⋅CD=AD ⋅PC ，求证：（1）△ABD ∽△CPD ；（2）AE ∥BP.分析：要证（1）△ABD ∽△CPD ，由等积式得AB:PC=AD:CD ，只须证∠BAD=∠DCP 即可.由四边形ABCD 内接于⊙O 便得.要证（2）AD ∥BP ，若能证∠EAP=∠P 即可.由△ABD ∽△CPD 得∠ABD=∠P ，又∠ABD=∠EAP ，问题即可得到解决.证明：（1）∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠BAD=∠PCD.∵AB ⋅CD=AD ⋅PC ，∴AB:PC=AD:CD ，∴△ABD ∽△CPD.（2）∵AE 切⊙O 于点A ，AD 是弦，∴∠EAP=∠ABD.（弦切角等于夹弧所对的圆周角）由（1）得∠ABD=∠P ，∴∠EAP=∠P ，∴AE ∥BP.例3：如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF交⊙O于点E，过点E作直线与AF垂直交AF延长线于D点，且交AB延长线于C点.求证：CD与⊙O相切于点E.分析：要证相切，通过连接OE，只要能证OE⊥CD即可.由∠1=∠2，∠1=∠3，则∠2=∠3，从而OE∥AD，由AD⊥CD便可得到OE⊥CD.证明：如图，连结OE.∵AE平分∠BAF，∴∠1=∠2，.∵OE=OA, ∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴OE∥AD，∴∠OED+∠D=180°.∵AD⊥CD，∴∠D=90°，∴∠OED=90°，∴OE⊥CD.又∵E为⊙O上的点，∴CD与⊙O相切于点E.[本题还有其他证法，如：连结BF、OE，交于点G；或连结BE、OE.]例4：已知如图，△ABC中，AB=AC，D为AB上一点，E为AC延长线上一点，且BD=CE，DE交BC于F.求证：DF=FE.分析：在证明不在同一个三角形中的两条线段相等时，通过作平行线，利用相似原理或平行线分线段成比例的性质可得.此题要充分利用条件AB=AC，作平行线的方式不止一种，可尝试不同的作法.证明：过点D作DN∥BC交AC于N，则有BD:AB=CN:AC.∵AB=AC，∴BD=CN.∵BD=CE，∴CN=CE,∴DF=FE.三、应用练习：1、已知如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E为梯形内一点，且EA=ED.求证：EB=EC.2、已知如图，在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，点E在BC上，点F在AD上，AF=CE，EF与对角线BD相交于点O.求证：OB=OD.3、已知如图，AB=AC，D、E是BC上两点，且BD=CE，作GE⊥BC，FD⊥BC，分别与BA、CA的延长线交于点G、F，求证：GE=FD.4、已知如图，△ABC中，D是AB的中点，E是BC上一点，EF∥AC，EM∥CD.求证：BM=MF.5、如图，A是⊙O的直径EF上的一点，半径OB⊥EF，BA的延长线与⊙O相交于另一点C，若 .(1)求∠B的度数；（2）过C作⊙O的切线CD和OA的延长线交于点D.求证：AC=CD=AD.6、已知如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，AD与△ABC的外接圆相交于点D，求证：DB=DC. 5题图4题图3题图6题图7、已知如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，PC切⊙O于C，PD⊥AB于D，交AC于E.求证：PE=PC.8、已知如图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC于D，P是上一动点，连结PB分别交AD、AC于点E、F.（1）当时，求证：AE=BE；（2）当点P在什么位置时，AF=EF？（3）证明你的结论.。

平行线和垂直线的解题技巧和方法

地理学
在地图制作中，利用平行线间距离的计算可以确定不同地理位置之间的相对距离和方向。
03
CATALOGUE
垂直线间角度关系分析
垂直线与水平线间角度关系
垂直线与水平线形成的角度
当一条直线与水平线垂直时，它与水平线形成的角度为90度。
角度的性质
在垂直线与水平线的交点上，两个锐角的角度和为90度。
平行线和垂直线的解题技巧和方法
目录
• 平行线与垂直线基本概念 • 平行线间距离计算 • 垂直线间角度关系分析 • 平行线与垂直线在几何图形中应用 • 解题技巧总结与提高
01
CATALOGUE
平行线与垂直线基本概念
定Hale Waihona Puke 及性质平行线定义在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线
。
垂直线定义
两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直
是两条平行线。
使用方法
首先确定两条平行线的方程，然后提取出a、b、c1和c2的值，代入公式进行计算即可得到平行线间的距离。
注意事项
在使用公式时，要确保两条直线是平行的，即它们的斜率相等。
特殊情况下距离计算
水平线和竖直线间的距离
当两条平行线中有一条是水平线或竖直线时，可以直接使用点到直线的距离公式进行计算。
图形表示
平行线的图形表示
用两条平行的直线表示，通常标注为 “//”。
垂直线的图形表示
用两条相交的直线表示，标注为 “⊥”，表示两直线垂直相交。
02
CATALOGUE
平行线间距离计算
公式法求距离
公式介绍
平行线间距离的公式为d = |c1 c2| / √(a^2 + b^2)，其中ax + by + c1 = 0和ax + by + c2 = 0

立体几何中的向量方法——证明平行及垂直

立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直1．直线的方向向量与平面的法向量确实定(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎨⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0.2．用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔v 1∥v 2.(2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数*，y ，使v ＝*v 1＋y v 2.(3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u .(4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β⇔u 1∥u 2.3．用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0.(2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v ∥u .(3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打"√〞或"×〞)(1)直线的方向向量是唯一确定的．()(2)平面的单位法向量是唯一确定的．()(3)假设两平面的法向量平行，则两平面平行．()(4)假设两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．()(5)假设a ∥b ，则a 所在直线与b 所在直线平行．()(6)假设空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行．()1．以下各组向量中不平行的是()A ．a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－4,4)B ．c ＝(1,0,0)，d ＝(－3,0,0)C ．e ＝(2,3,0)，f ＝(0,0,0)D ．g ＝(－2,3,5)，h ＝(16,24,40)2．平面α有一点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3,6)，则以下点P 中，在平面α的是()A ．P (2,3,3)B ．P (－2,0,1)C ．P (－4,4,0)D ．P (3，－3,4)3．AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，假设AB →⊥BC →，BP →＝(*－1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数*，y ，z 分别为______________．4．假设A (0,2，198)，B (1，－1，58)，C (－2,1，58)是平面α的三点，设平面α的法向量n ＝(*，y ，z )，则*∶y ∶z ＝________.题型一证明平行问题例1(2013·改编)如图，在四面体A －BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD ＝2，BD ＝22，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ ＝3QC .证明：PQ ∥平面BCD .如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ ；(2)是否存在λ，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角？假设存在，求出λ的值；假设不存在，说明理由．题型二证明垂直问题例2 如下图，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点．求证：AB 1⊥平面A 1BD .如下图，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，PB ＝4PM ，PB 与平面ABCD 成30°角．(1)求证：CM ∥平面PAD ；(2)求证：平面PAB ⊥平面PAD .题型三解决探索性问题例3 如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求证：BD⊥AA1；(2)求二面角D－A1A－C的余弦值；(3)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，假设存在，求出点P的位置，假设不存在，请说明理由．如下图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD.(2)假设SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.假设存在，求SE∶EC的值；假设不存在，试说明理由．利用向量法解决立体几何问题典例：如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设二面角D－AE－C为60°，AP＝1，AD＝3，求三棱锥E－ACD的体积．A组专项根底训练1．假设直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则()A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α相交2．假设AB→＝λCD→＋μCE→，则直线AB与平面CDE的位置关系是()A．相交B．平行C．在平面D．平行或在平面3．A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，则平行四边形ABCD的顶点D的坐标是() A．(2,4，－1) B．(2,3,1)C．(－3,1,5) D．(5,13，－3)4．a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，假设a，b，c三向量共面，则实数λ等于()A.627B.637C.607D.6575．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，AD ＝22，P 为C 1D 1的中点，M 为BC 的中点．则AM 与PM 所成的角为()A ．60°B ．45°C ．90°D ．以上都不正确6．平面α的三点A (0,0,1)，B (0,1,0)，C (1,0,0)，平面β的一个法向量n ＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．7．设点C (2a ＋1，a ＋1,2)在点P (2,0,0)、A (1，－3,2)、B (8，－1，4)确定的平面上，则a ＝________.8．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a 3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是________． 9．如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB＝12PD .证明：平面PQC ⊥平面DCQ . 10．如图，在底面是矩形的四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，PA ＝AB ＝1，BC ＝2.(1)求证：EF ∥平面PAB ；(2)求证：平面PAD ⊥平面PDC .B 组专项能力提升11．如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE ，则M 点的坐标为()A ．(1,1,1)B ．(23，23，1) C ．(22，22，1) D ．(24，24，1)12．设u ＝(－2,2，t )，v ＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量，假设α⊥β，则t 等于()A ．3B ．4C ．5D ．613．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，点Q 为平面ABCD 一点，线段D 1Q 与OP 互相平分，则满足MQ →＝λMN→的实数λ有________个．14．如下图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，D 、E 、F 分别为B 1A 、C 1C 、BC 的中点．求证：(1)DE ∥平面ABC ；(2)B 1F ⊥平面AEF .15．在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E 、F 分别是AB 、PB 的中点．(1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面PAD 求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论．。

初中数学几何证明的口诀

初中数学几何证明的口诀数学几何证明是中学数学学习中的重要一环，通过证明可以深入理解几何定理和推理方法，并培养学生的逻辑思维和创造力。

然而，对于初学者来说，证明过程可能会显得复杂而困难。

为了帮助初中生更好地理解和掌握几何证明，下面将提供几个口诀，帮助他们记忆和应用。

一、相似三角形的证明在几何证明中，相似三角形是经常出现的题型。

相似三角形有一些重要的证明方法：1. 边比例法：两个三角形的对应边比例相等，则两个三角形相似。

2. 角对应法：两个三角形的对应角相等，则两个三角形相似。

3. 边角对应法：两个三角形有一个对应边比例相等，另外两个对应角相等，则两个三角形相似。

二、垂直性的证明证明两条线段或两条直线垂直的方法有：1. 互余角法：两条直线相交，且相交角互为余角，则两条直线垂直。

2. 垂直角法：两条直线相交，且形成的四个角中，两个相邻角为垂直角，则两条直线垂直。

三、平行性的证明证明两条线段或两条直线平行的方法有：1. 对顶角法：两条直线被一条直线截断，截断直线上的对顶角相等，则两条直线平行。

2. 平行线夹角法：两条直线被一条直线截断，截断直线上的内错角相等，则两条直线平行。

四、三角形形状与大小的证明证明三角形形状和大小的方法有：1. 等腰三角形证明：两条边相等的三角形，其对应的两个角也相等。

2. 直角三角形证明：一个角为直角的三角形，其余两个角为锐角或钝角。

3. 等边三角形证明：三条边相等的三角形，其对应的三个角也相等。

以上是初中数学几何证明中常见的口诀，通过记忆这些口诀，学生可以更好地理解和应用几何证明的方法。

当然，这些口诀只是一个指导，要想在实际学习中获得更好的成果，还需要多做几何证明的练习，不断提升自己的证明能力与思维能力。

祝愿大家在数学学习中取得好成绩！。

立体几何中平行与垂直证明方法归纳

a ∥
a∥
α
a a
β
3) 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点
（三）平面与平面平行的证明
常见证明方法：
1) 利用平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
3
a ⊂ b ⊂
a ∩b P
a // b //
⇒ /性：如正方体的上下底面互相平行等
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线垂直于此平面。
a
b
ab
A
l
l a l b
l
b
Aa
4) 利用平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
5
l
a
a
a l
l
5) 利用常用结论：
① 一条直线平行于一个平面的一条垂线，则该直线也垂直于此平面。
在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
8) 利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点
（二）直线与平面平行的证明
1) 利用直线与平面平行的判定定理：
平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
a
a
b a∥
a∥b
b
2) 利用平面与平面平行的性质推论：
两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。
a b ba
b a
α
4) 利用平面与平面垂直的性质推论：
如果两个平面互相垂直，在这两个平面内分别作垂直于交线的直线，则这
两条直线互相垂直。
4
l a b al
bl
ab
β b

直线的五种方程形式,适用条件,平行垂直的充要条件

直线的五种方程形式,适用条件,平行垂直的充要条件在数学中，直线是一种最基本的平行图形，它由两个点构成并连接在一起。

据统计，直线在日常生活和科学研究中都有广泛的应用。

直线可以用不同的方程式来表示，其中最基本的形式是一元一次方程形式。

这比较常见，可以解决许多基本的几何问题。

因此，识别并理解直线的不同方程式、适用条件以及直线平行和垂直的充要条件是非常重要的。

二、直线的五种方程形式1.一元一次方程形式：y=mx+b，其中m表示斜率，b表示y轴截距。

该方程描述的是一条斜率不等于0的直线。

2.斜截式：y-y1=m(x-x1)，其中m表示斜率，(x1,y1)表示直线上一点。

该方程描述的是一条斜率不等于0的直线。

3.方程形式的优势在于可以以变换的斜率m来描述直线。

m=(y2-y1)/(x2-x1)，其中(x1,y1)(x2,y2)是直线上两个不同的点。

4.点斜式：(y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)，其中(x1,y1)(x2,y2)是直线上两个不同的点。

该方程描述的是一条斜率不等于0的直线。

5.垂直方程形式：x=a，其中a是直线上的一点坐标。

该方程描述的是一条斜率等于0的直线。

三、适用条件1.一元一次方程形式及其变体适用于斜率不等于0的直线，即斜率存在时可以直接用一元一次方程形式或它的变体表示。

2.而对于斜率为0的直线，可以直接用垂直方程形式y=a来表示其斜率为0，其中a是直线上的一点坐标。

四、平行垂直的充要条件1.线平行：两条不同的直线平行的充要条件是它们的斜率相等，即m1=m2。

2.线垂直：两条不同的直线垂直的充要条件是它们的斜率的乘积等于-1，即m1*m2=-1。

五、结论以上介绍了直线的五种方程形式、适用条件以及直线平行和垂直的充要条件。

这些充分条件对于解决几何问题非常重要，因此在学习中一定要了解相关知识。

证明垂直和平行的判定方法(一)

证明垂直和平行的判定方法(一)证明垂直和平行的判定方法一、垂直的判定方法要证明两条直线垂直，需要满足两个条件：•对于直线上的点，其斜率乘积为-1；•如果两条直线的斜率为k1和k2，则k1×k2=−1。

我们可以通过斜率判断两条直线是否垂直。

如果两条直线的斜率成乘积为-1，则这两条直线垂直。

二、平行的判定方法要证明两条直线平行，需要满足两个条件：•两条直线的斜率相等；•两条直线上的点连成的向量平行。

如果两条直线的斜率相等，则这两条直线平行。

如果两条线段的斜率相等，且它们之间没有交点，则这两条直线平行。

三、总结证明直线垂直和平行的方法非常实用。

对于特定的问题和情况，可以使用不同的方法进行判定。

通过学习这些方法，我们可以更快速地解决数学问题。

四、实例分析假设有两条直线，分别可以表示为y=2x+3和y=−12x+5，现在需要判断这两条直线是否垂直和平行。

我们可以先求出两条直线的斜率，斜率分别为k1=2和k2=−12。

对于垂直的判定方法，我们可以计算两个斜率的乘积，k1×k2= =−1，因此这两条直线垂直。

2×−12对于平行的判定方法，我们可以直接比较两个斜率的大小，发现k1≠k2，因此这两条直线不平行。

五、注意事项在使用垂直和平行的判定方法时，需要注意以下几点：•两条直线的斜率必须存在，如果某条直线垂直于x轴或与y轴平行，则无法计算斜率；•计算斜率时需要注意分母为0的情况；•对于平行的判定方法，需要注意两条直线之间是否有交点。

六、结论通过以上的分析，我们可以得出结论：•如果两条直线的斜率乘积为-1，则这两条直线垂直；•如果两条直线的斜率相等，且它们之间没有交点，则这两条直线平行。

因此，在实际的数学问题中，我们可以利用这些判定方法来判断两个线段之间的关系，方便我们快速、准确地求解。

线线平行的五种证法

线线平行的五种证法湖南省龙志明一、定义法即证明两条直线在同一个平面上且没有公共点。

【例1】如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．已知：//,,a b αβγαγβ==，求证：//a b ．证明：∵//,,a b αβαβ⊂⊂，∴,a b 没有公共点，又∵,a b γγ⊂⊂，∴//a b ．二、平行公理平行于同一直线的两条直线平行【例2】经过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱BB 1作一平面交平面AA 1D 1D 于E 1E ，求证：E 1E ∥B 1B证明：11111111111////B BEE AA B BEE BB B BEE AA BB AA ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄1111111111111////EE AA EE B BEE A ADD A ADD AA B BEE AA ⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊂ 111111//////EE BB EE AA BB AA ⇒⎭⎬⎫三、利用“平行链”即利用直线与平面平行的判定与性质定理。

【例3】已知直线a ∥平面α，直线a ∥平面β，平面α平面β=b ，求证//a b ．证明：经过a 作两个平面γ和δ，与平面α和β分别相交于直线c 和d ，∵a ∥平面α，a ∥平面β，∴a ∥c ，a ∥d ，∴c ∥d ，又∵d ⊂平面β，c ∉平面β，∴c ∥平面β，又c ⊂平面α，平面α∩平面β=b ，∴c ∥b ，又∵a ∥c ，所以，a ∥b ．点评：本题的证明综合了直线与平面平行的判定与性质定理以及公理4，利用了一系列的“平行链”。

四、利用线面垂直的性质定理即垂直于同一平面的两直线平行。

【例4】如图，已知.,,,,AB a a B EB A EA l ⊥⊂⊥⊥=⋂αβαβα于于求证a ∥l证明：d c b aδγβαD 1C 1B 1ABCDA 1E 1E,,,,,//.EA EB l EA l EABl l EB a EA a EA a AB a EAB a l αβαβαα⊥⊥⊥⎫⎫⇒⇒⊥⎬⎬⋂=⊥⎭⎭⊂⊥∴⊥⊥∴⊥∴平面又又平面五、利用面面平行的性质定理如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

初中数学竞赛精品标准教程及练习38平行和垂直

初中数学竞赛精品标准教程及练习38平行和垂直本教程将详细介绍初中数学竞赛中与平行和垂直相关的知识点，并提供练习题供同学们练习。

一、平行线的性质：1.若两直线的斜率相等，则它们平行。

2.若两直线分别与第三条直线平行，则这两条直线也平行。

3.若两条平行线分别与一条直线相交，所得的对应的内角或外角相等。

二、垂直线的性质：1.若两直线的斜率乘积为-1，则它们互为垂直。

2.如果一条直线与另一条直线垂直，那么通过它们交点的所有直线都与另一条直线垂直。

三、平行线与垂直线的证明方法：1.利用定义证明法，根据平行线和垂直线的定义，逐步推导出结论。

2.利用性质证明法，根据平行线和垂直线的性质，通过已知条件推导出结论。

四、练习题：1.已知直线l1过点A(-1,3)，斜率为2，直线l2过点B(5,-1)，斜率为k。

求k的值，使得l1与l2平行。

2.如图，ABCD为长方形，M为对角线BD上一点，且AC平分∠BAC，垂直于AC的直线经过点M与CE、BF交于点O，求证：∠BOC=90°。

3.如图，四边形ABCD中，AB平行于CD，∠DAB=75°，∠CAD=50°，求∠BCD的度数。

4. 如图，四边形ABCD中，AB平行于CD，AD垂直于BC，且AD = BC = 5cm，AB = 3cm，求AD的度数。

五、解答：1.根据已知斜率求平行线的性质，l1与l2平行，说明斜率相等，即2=k，解得k=22.由已知AC平分∠BAC，说明∠BAM=∠CAM。

又由于垂直于AC的直线经过点M与CE、BF交于点O，说明O是AC的垂直平分线。

所以，OB=OC，同时∠BOM=∠COM=90°。

所以，∠BOC=180°-∠BOM-∠COM=180°-90°-90°=90°。

3.由已知AB平行于CD，说明∠DAB=∠DCB=75°。

又由于∠CAD=50°，所以∠ACD=180°-∠CAD=180°-50°=130°。

证明直线平行的方法介绍

证明直线平行的方法介绍证明直线平行方法证明：如果a‖b,a‖c,那么b‖c 证明:假使b、c不平行则b、c交于一点O 又因为a‖b,a‖c 所以过O有b、c两条直线平行于a 这就与平行公理矛盾所以假使不成立所以b‖c 由同位角相等，两直线平行，可推出：内错角相等，两直线平行。

同旁内角互补，两直线平行。

因为a‖b,a‖c, 所以b‖c (平行公理的推论)2“两直线平行，同位角相等.”是公理，是无法证明的，书上给的也只是说明而已，并没有给出严格证明，而“两直线平行，内错角相等“则是由上面的公理推导出来的，利用了对等角相等做了一个替换，上面两位给出的都不是严格的证明。

一、怎样证明两直线平行证明两直线平行的常用定理(性质)有: 1.两直线平行的判定定理:①同位角相等,两直线平行;②内错角相等,两直线平行;③同旁内角互补,两直线平行;④平行(或垂直)于同一直线的两直线平行. 2、三角形或梯形的中位线定理. 3、如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边. 4、平行四边形的性质定理.5、若一直线上有两点在另一直线的同旁 ).(A)艺l=匕3(B)/2=艺3(C)匕4二艺5(D)匕2+/4=18)分析:利用平行线判定定理可判断答案选 C \认六一值!小人�晗�叱的一试勺洲洲川JL ZE一B \/(一、图月一飞 /匕\一|求且它们到该直线的距离相等,则两直线平行. 例1(2003年南通市)已知:如图l,下列条件中,不能判断直线l,//l:的是(B). 例2(2003年泉州市)如图2,△注Bc中,匕BAC的平分线AD 交BC于D,④O过点A,且和BC切于D,和AB、Ac分别交B于E、F,设EF交AD于C,连结DF. (l)求证:EF// Bc(1)根据定义。

证明两个平面没有公共点。

由于两个平面平行的定义是否定形式，所以直接判定两个平面平行较困难，因此通常用反证法证明。

1.初中证明直线垂直、平行的方法

证明两条直线垂直（直角）的常用方法（一）相交线与平行线1.定义法:两条直线相交成直角则两直线垂直。

2.两条平行线中有一条垂直第三直线,则另一条也垂直第三直线。

即：若a‖b，a⊥c,则b⊥c。

3.邻补角的平分线互相垂直。

4.到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上.（二)三角形5。

证直角三角形：直角三角形的两直角边互相垂直。

①三角形的两内角互余，则第三个内角为直角。

②三角形一边上的中线等于这条边的一半，则这边所对的内角为直角。

③勾股定理的逆定理：三角形一边的平方等于其他两边的平方和，则这边所对的内角为直角。

6。

三线合一法:等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。

7.三角形相似法：证一个三角形与直角三角形相似。

8。

三角形全等法：证一个三角形与直角三角形全等。

（三）四边形9。

矩形的两邻边互相垂直。

10。

菱形的两条对角线互相垂直平分,且平分每一组对角。

（四）圆12.半圆或直径所对的圆周角是直角。

13.圆的切线垂直于过切点的半径.(五）图形变换法14。

轴对称图形的对称轴垂直平分对应点之间的连线。

15。

同一法或反证法（不要求掌握）证明直线平行的常用方法（一)平行线与相交线:1。

在同一平面内，两条不相交的直线互相平行。

2。

在同一平面内,垂直于同一直线的两直线互相平行。

3。

平行于同一直线的两直线互相平行。

4.平行线的判定方法:(1）同位角相等，两直线平行；（2）内错角相等，两直线平行；（3）同旁内角互补，两直线平行.（二）三角形5.三角形中位线定理：三角形的中位线平行且等于第三边的一半。

6.一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，则这条直线平行于三角形的第三边.（三)四边形7。

平行四边形的两组对边互相平行。

8。

梯形的两底边平行.9。

梯形的中位线平行于两底.（四）同一法或反证法（不要求掌握）证明两线段相等的常用方法（一）三角形1。

等角对等边：两线段在同一三角形中，证明等腰或等边三角形。

垂直于同一平面的两条直线平行证明

垂直于同一平面的两条直线平行证明在几何学中，平行是一个重要的概念。

平行线是指在同一平面上，永远不会相交的直线。

本文将从几何学的角度探讨垂直于同一平面的两条直线平行的证明。

我们需要明确什么是垂直于同一平面的两条直线。

垂直是指两条直线或线段之间的夹角为90度。

同一平面是指两条直线或线段都在同一个平面上。

假设我们有两条直线AB和CD，它们垂直于同一平面。

我们的目标是证明这两条直线是平行的。

我们可以选择在这个平面上取一点E，使得AE与CD相交于点F，如下图所示：E|||------------------------ CD||||A------------------------ B我们可以假设AE与CD相交的点为F，即AE与CD的延长线交于点F。

那么我们可以得到三角形AEF与三角形CDE是相似三角形。

因为EF 与ED垂直，所以∠AEF = ∠CDE = 90度。

接下来，我们可以观察三角形AEF与三角形CDE的另外两个角。

由于CD与AB是垂直于同一平面的两条直线，所以∠CDE = ∠BAE。

而∠AEF = ∠BA E，因为它们是三角形AEF的内角。

所以我们可以得到∠AEF = ∠CDE。

根据相似三角形的性质，相似三角形的对应角是相等的。

因此，我们可以得出结论∠AEF = ∠CDE = ∠CDE。

这说明三角形AEF与三角形CDE是全等的。

换句话说，它们的对应边长也是相等的。

我们可以推出EF = DE，即点E到直线CD的距离等于点F到直线CD 的距离。

根据平行线的定义，两条平行线上的任意两点到另一条平行线的距离相等。

因此，我们可以得出结论，点E到直线CD的距离等于点A到直线CD的距离。

即AE = EF = DE。

现在我们可以观察三角形ABE。

由于AE = EF，根据三角形的等腰性质，我们可以得出∠EAB = ∠EBA。

而∠EAB + ∠EBA = 180度，因为它们是三角形ABE的内角。

所以我们可以得到∠EAB = ∠EBA = 90度。

线线平行判定定理

线线平行判定定理
线线平行判定定理是初中数学中的一个重要定理，它是判断两条直线是否平行的基本方法之一。

该定理的表述为：如果两条直线分别与第三条直线平行，则这两条直线互相平行。

这个定理的证明可以通过反证法来进行。

假设两条直线不平行，那么它们一定会相交于某一点，而这个点又一定会与第三条直线相交，这样就会出现一个三角形。

根据三角形内角和定理，三角形的三个内角之和为180度，而由于两条直线不平行，所以它们的夹角不为180度，因此这个三角形的内角之和也不为180度，这就产生了矛盾。

因此，假设不成立，两条直线必定平行。

这个定理在初中数学中的应用非常广泛。

例如，在解决平面几何中的一些问题时，我们常常需要判断两条直线是否平行，这时就可以利用线线平行判定定理来进行判断。

此外，在解决一些实际问题时，也可以利用这个定理来进行分析。

例如，在建筑设计中，我们需要判断两面墙是否平行，这时就可以利用线线平行判定定理来进行判断。

除了线线平行判定定理之外，还有一些其他的方法可以用来判断两条直线是否平行。

例如，我们可以利用两条直线的斜率来进行判断。

如果两条直线的斜率相等，则它们平行；如果两条直线的斜率乘积为-1，则它们垂直。

此外，我们还可以利用两条直线的截距来进行判断。

如果两条直线的截距相等，则它们平行；如果两条直线的截
距之和为0，则它们垂直。

线线平行判定定理是初中数学中的一个重要定理，它可以帮助我们判断两条直线是否平行，从而解决一些实际问题。

在学习数学时，我们应该认真掌握这个定理，并且学会灵活运用它。

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