D11_4函数展开成幂级数
D11-4幂级数
x
由S (0) 1 得 S ( x) e , 故得
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例6.
的和函数
解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , x＝±1 时级数发 散,
n x ( x ) x x n
x x 1 x
n 1
an 1 1 2 (1) an 2 2 (1) n
能否确定它的收敛半径不存在 ?
3 1
2 6
, ,
n 为奇数 n 为偶数
答: 不能. 因为
n
lim
n
u n ( x) lim
n
n
x 2 (1) 2
n
当
时级数收敛 , 比值判别法成立
时级数发散 ,
说明: 可以证明
当4 x2 1 当4 x2 1
( 2 n 1)(2 n 2) 2 2 4 x lim x n ( n 1 )2 时级数收敛 1 故收敛半径为 R . 2 时级数发散
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例4. 解: 令 级数变为
的收敛域.
1 an R lim lim 2 n n n an 1 n
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内容小结
1. 求幂级数收敛域的方法
1) 对标准型幂级数
先求收敛半径 , 再讨论端点的收敛性 . 2) 对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式) 求收敛半径时直接用比值法或根值法, 也可通过换元化为标准型再求 . 2. 幂级数的性质 1) 两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与 乘法运算.
(证明见第六节)
高等数学-函数展开成幂级数.ppt
因此
将
待解决的问题 :
若函数
的某邻域内具有任意阶导数,
为f (x) 的
泰勒级数 .
麦克劳林级数 .
定理1
各阶导数,
则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要
条件是
f (x) 的泰勒公式余项满足:
证明
令
设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域
内具有
定理2
若 f (x) 能展成 x 的幂级数,
定义且连续,
域为
利用此题可得
上式右端的幂级数在 x ＝1 收敛 ,
所以展开式对 x ＝1 也是成立的,
于是收敛
将函数
例6
展成
解
的幂级数.
将
例7
展成 x－1 的幂级数.
解
将
内容小结
1. 函数的幂级数展开法
(1) 直接展开法
— 利用泰勒公式 ;
(2) 间接展开法
— 利用幂级数的性质及已知展开
第三步 判别在收敛区间(－R, R) 内
是否为
骤如下 :
展开方法
直接展开法
— 利用泰勒公式
间接展开法
— 利用已知其级数展开式
0.
的函数展开
例1
展开成 x 的幂级数.
解
其收敛半径为
对任何有限数 x , 其余项满足
故
( 在0与x 之间)
故得级数
将函数
例2
展开成 x 的幂级数.
解
得级数:
由此得
二项展开式 .
二项式定理.
就是代数学中的
对应
的二项展开式分别为
例3 附注
2. 间接展开法
高数下课件 ch11_4
f (0) = 1，
(n = 1,2,3,)，
f (n)(0=) m(m − 1)(m − n + 1)，
∴ f ( x)的麦克劳林级数为
1 + mx + m(m − 1) x2 + + m(m − 1)(m − n + 1) xn + .
2!
n!
(2) ρ = lim an+1
a n→∞ n
m(m − 1)(m − n)
x ∈[−1,1].
直接展开法的缺点：
(1) 求 f (n)( x0 ) 计算量较大；
(2)
证明
lim
n→∞
Rn
(
x
)
=
0
困难.
2. 间接展开法
利用已知的展开式、幂级数的代数与分析运算以及 变量代换等，将函数展开成幂级数. 因为函数展开 成幂级数是唯一的，所以用此方法与直接法展开具 有相同的结果，其优点在于可以避免对余项的研究， 也不用求高阶导数，从而计算比较简单.
+
f
(n) ( x0 n!
)
(
x
−
x0
)n
+
，x
∈U
(
x0
).
当 x0 = 0 时，
f ( x=) f (0) + f ′(0)x + f ′′(0) x2 + + f (n)(0) xn +
2!
n!
称为 f ( x)的麦克劳林级数.
4. 展开式的唯一性
能
设 f ( x)=a0 + a1 x + a2 x2 + + an xn + ，则展开式唯一， 且就是 f ( x)的麦克劳林级数.
函数的幂级数展开式
函数的幂级数展开式
函数的幂级数展开式是将一个函数表示成幂函数的和的形式，即
f(x) = a_0 + a_1*x + a_2*x^2 + a_3*x^3 + ...
其中a_0, a_1, a_2, a_3, ...是待定的常数系数，x是变量。
这个
等式表示了函数f(x)在某个点(可以是无限远)附近的展开形式。
当x接近0的时候，这个级数可以收敛到函数f(x)。
幂级数展
开式的一个常见形式是泰勒级数展开式。
泰勒级数展开式是一种特殊的幂级数展开式，用于将一个光滑函数表示成无穷级数的形式。
泰勒级数展开式的一般形式是：
f(x) = a_0 + a_1*x + a_2*x^2 + a_3*x^3 + ...
其中a_0, a_1, a_2, a_3, ...是待定的常数系数，x是变量。
这个
级数的系数可以通过函数在某个点处的导数来计算。
泰勒级数展开式在数学分析和物理学中有广泛的应用，可以用于近似计算函数的值、求导和积分等问题。
函数的幂级数展开式
函数的幂级数展开式摘要：1.幂级数展开式的概念与意义2.幂级数展开式的基本公式3.常见函数的幂级数展开式4.幂级数展开式的应用5.总结与展望正文：**一、幂级数展开式的概念与意义**在数学中，幂级数展开式是一种将函数表示为无穷级数的方法。
它通过将函数的自变量逐步代入，展开成一个无穷多项的级数，从而实现对函数的近似表示。
幂级数展开式具有重要的理论意义和实际应用价值，是数学、物理等领域研究的基础工具。
**二、幂级数展开式的基本公式**对于一个幂级数展开式，通常形式如下：f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 + ...其中，ai（i=0,1,2,...）为展开式各项的系数，x为自变量。
通过选择合适的级数项数，可以实现对函数f(x)的近似表示。
**三、常见函数的幂级数展开式**1.指数函数：e^x = 1 + x/1! + x^2/2! + x^3/3! + ...2.三角函数：sin(x) ≈ x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...cos(x) ≈ 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ...3.多项式函数：f(x) = ax^n + bx^(n-1) + ...+ zx + k其中，a、b、c...、k为多项式各项的系数，n为最高次数。
**四、幂级数展开式的应用**1.数值计算：在科学计算中，幂级数展开式可用于求解微分方程、积分等问题。
2.近似计算：在工程、物理等领域，通过幂级数展开式，可以对复杂函数进行近似表示，从而简化问题。
3.函数分析：在数学分析中，幂级数展开式是研究函数性质、求解方程等问题的有力工具。
**五、总结与展望**幂级数展开式是数学中一种重要的表示方法，它在理论研究和实际应用中具有广泛的应用。
掌握幂级数展开式的基本概念、公式和常见函数的展开式，有助于提高我们在各个领域中的计算能力和问题解决能力。
11-4函数展开成幂级数
复数项级数绝对收敛的概念
若 u v u v u v 收敛,
2 1
则 un , vn 绝对收敛,称复数项级数绝对收敛.
n 1 n 1
2 1
2 2
2 2
2 n
2 n
三个基本展开式
2 n x x ( x ) e x 1 x , 2! n! 2 n1 x3 x5 x sin x x ( 1)n1 , ( x ) 3! 5! ( 2n 1)! 2n x2 x4 x cos x 1 ( 1)n , ( x ) 2! 4! ( 2n)!
x
揭示了三角函数和复变数指数函数之间的 一种关系.
arctan x
x
0
dx 1 x2
2 n 1 1 3 1 5 x x x x ( 1) n 3 5 2n 1 x [1,1]
dx ln(1 x ) 0 1 x n 1 2 1 3 x x x x ( 1) n1 2 3 n x ( 1,1]
1 1 1 3 2 1 3 5 3 n ( 2n 1)!! n 1 x x x ( 1) x 1 x 2 2 4 2 4 6 ( 2n)!! [1,1]
双阶乘
2.间接法 根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算ห้องสมุดไป่ตู้ 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方 法,求展开式. 例如 cos x (sin x )
由e 的幂级数展开式
x
1 1 2 e 1 ix (ix) (ix) n 2! n!
ix
2n 1 2 x (1 x (1) n ) 2! (2n)! cos x 2 n 1 1 3 x n i ( x x (1) ) 3! (2n 1)! sin x
函数的幂级数展开式
函数的幂级数展开式【实用版】目录1.幂级数展开式的定义2.幂级数展开式的性质3.幂级数展开式的求法4.幂级数展开式的应用正文一、幂级数展开式的定义幂级数展开式，是数学分析中的一种重要概念，主要用于描述函数在某一点附近的近似值。
设函数 f(x) 在点 a 附近展开为幂级数，即：f(x) = a_0 + a_1(x-a) + a_2(x-a)^2 +...+ a_n(x-a)^n +...其中，a_0, a_1, a_2,..., a_n,...为泰勒级数展开式的各项系数，(x-a) 为展开的基函数。
二、幂级数展开式的性质幂级数展开式具有以下性质：1.在收敛域内，幂级数展开式是唯一的。
2.幂级数展开式的各项系数满足：a_n = f^(n)(a) / n!，其中 f^(n)(a) 表示 f(x) 在点 a 处的 n 阶导数。
3.幂级数展开式在收敛域内是连续的，且其极限值为函数 f(x) 在点a 处的值。
4.幂级数展开式可以推广到复数域，此时需要考虑收敛半径。
三、幂级数展开式的求法求幂级数展开式，一般采用泰勒级数展开法。
具体步骤如下：1.确定展开点 a，求出函数 f(x) 在点 a 处的各阶导数 f^(n)(a)。
2.根据泰勒级数展开式的定义，计算各项系数 a_n = f^(n)(a) / n!。
3.将系数代入幂级数展开式的基函数 (x-a)，得到幂级数展开式。
四、幂级数展开式的应用幂级数展开式在数学分析中有广泛应用，如求函数的近似值、求解微分方程、研究函数的性质等。
特别是在数值计算中，幂级数展开式可以作为一种有效的逼近方法，用于求解一些难解的问题。
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1 2 n 1 x x x 1 x
(1 x 1)
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2. 间接展开法 利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 将所给函数展开成 幂级数. 例4. 将函数
展开成 x 的幂级数.
解: 因为 1 2 n n 1 x x (1) x ( 1 x 1 ) 1 x
1 8
(1)
n 0 n
1 2
n2
1 2
2n 3
( x 1) n
机动
( 1 x 3 )
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内容小结
1. 函数的幂级数展开法 (1) 直接展开法 — 利用泰勒公式 ; (2) 间接展开法 — 利用幂级数的性质及已知展开 式的函数 . 2. 常用函数的幂级数展开式 1 2 1 n x e 1 x x x , 2! n!
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思考与练习
m 1 (m 1) (m n 1) n 1 F ( x) m 1 x x 1 (n 1) ! (1 x) F ( x) mF (x), F (0) 1 推导 x F ( x) x m 0 F ( x) d x 0 1 x d x ln F ( x) ln F (0) m ln(1 x)
f ( n ) (0) m(m 1)(m 2) (m n 1) , m(m 1) 2 x 于是得 级数 1 mx 2! m(m 1) (m n 1) n x n! an n 1 由于 0, (0) (1) k , n 2 k 1
(k 0 , 1, 2 ,)
1 1 x 3! x 3 5! x 5 (1) n 1 ( 2n1 1)! x 2n 1 得级数:
其收敛半径为 R , 对任何有限数 x , 其余项满足
x ( , )
(1) n n 1 ln(1 x) x 1 x 2 1 x 3 1 x 4 x n 1 2 3 4 x (1, 1]
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x3 x5 x7 x 2 n 1 (1) n sin x x 3! 5! 7 ! (2n 1) ! x ( , ) x2 x 4 x6 x 2n (1) n cos x 1 2 ! 4 ! 6! ( 2n) ! x ( , ) m(m 1) 2 m (1 x) 1 m x x 2! m(m 1) (m n 1) n x x (1, 1) n! 当 m = –1 时 1 1 x x 2 x 3 (1) n x n , x (1, 1) 1 x
第四节 函数展开成幂级数
两类问题: 在收敛域内 求和
第十一章
和函数
展开
本节内容: 一、泰勒 ( Taylor ) 级数 二、函数展开成幂级数
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一、泰勒 ( Taylor ) 级数
若函数 该邻域内有 : 的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在
f ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! (n) f ( x0 ) ( x x0 ) n Rn (x) n! 此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 , 其中
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例7. 将
展成 x－1 的幂级数.
1 1 解: 2 x 4 x 3 ( x 1)( x 3)
x 1 2 x 1 4
2
( x 1 2 )
n
x 1 (x 1) n ( x 1) (1) 1 2 n 2 2 2
第三步 判别在收敛区间(－R, R) 内 lim Rn ( x) 是否为
n
0.
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例1. 将函数
展开成 x 的幂级数.
解: f ( n) ( x) e x , f ( n) (0) 1 (n 0 ,1,), 故得级数 1 n 1 2 1 3 1 x x 3! x x n! 2! 1 1 R lim 其收敛半径为 n n ! ( n 1) ! 对任何有限数 x , 其余项满足
把 x 换成 x 2 , 得 1 1 x 2 x 4 (1) n x 2 n 1 x2
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( 1 x 1 )
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1 解: f ( x) (1) n x n ( 1 x 1 ) 1 x n 0 从 0 到 x 积分, 得 x (1) n n 1 ln(1 x) (1) n x n d x x , 1 x 1 1 x 1 n 0 n 0 n 1 0
1 a n n! f ( n ) (0)
显然结论成立 .
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二、函数展开成幂级数
展开方法 直接展开法 — 利用泰勒公式 间接展开法 — 利用已知其级数展开式 的函数展开 1. 直接展开法
由泰勒级数理论可知, 函数 f (x) 展开成幂级数的步
骤如下 :
第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ; 第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ;
1 cos( x ) sin( x ) 4 4
2
sin cos( x ) cos sin( x ) 4 4 4 4
( x ) 1 ( x ) 3 1 ( x ) 5 4 5! 4 4 3! 1 1 2 1 3 1 ( x ) ( x ) ( x ) 2 4 2! 4 3! 4
F ( x) (1 x) m
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由此得
m(m 1) 2 x (1 x) 1 m x 2! m(m 1) (m n 1) n x n!
m
称为二项展开式 .
说明：
(1) 在 x＝±1 处的收敛性与 m 有关 .
(2) 当 m 为正整数时, 级数为 x 的 m 次多项式, 上式 就是代数学中的二项式定理.
e n n 1 x x e (n 1)! ( 在0与x 之间) 1 2 1 3 1 n x 故 e 1 x x x x , 2! 3! n!
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例2. 将
解: f
(n)
展开成 x 的幂级数.
( x)
f
(n )
a0 f (0) a1 f (0)
f ( x) a1 2a2 x nan x n 1 ;
1 f ( x) 2!a2 n(n 1)an x n 2 ; a 2 2! f (0)
f
( n)
( x ) n ! an ;
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对应 m 1 , 1 ,1 的二项展开式分别为 2 2
1 2 1 1 3 3 1 3 5 4 x 1 x 1 x x x 2 4 2 246 2 4 6 8 ( 1 x 1) 1 3 2 1 3 5 3 1 3 5 7 4 1 1 x x x 1 x 2 4 2 246 2 4 6 8 1 x ( 1 x 1) 1 2 3 (1) n x n 1 x x x ( 1 x 1) 1 x
f ( n 1) ( ) Rn (x) ( x x0 ) n 1 ( 在 x 与 x0 之间) (n 1) ! 称为拉格朗日余项 .
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若函数
的某邻域内具有任意阶导数, 则称
f ( x0 ) ( x x0 ) 2 f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) 2! f ( n ) ( x0 ) ( x x0 ) n n! 为f (x) 的泰勒级数 .
sin( (n 1) ) 2
(n 1)!
x
n 1
n
1 1 sin x x 3! x 3 5! x 5 (1) n 1 ( 2n1 1)! x 2n 1
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1 3 1 5 1 n 1 2 n 1 sin x x x x (1) x 3! 5! (2n 1) !
lim Rn ( x) lim f ( x) S n 1 ( x) 0 ,
n
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x ( x0 )
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定理2. 若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是 唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同. 证: 设 f (x) 所展成的幂级数为 则
因此对任意常数 m, 级数在开区间 (－1, 1) 内收敛.
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为避免研究余项 , 设此级数的和函数为F ( x) ,1 x 1 则 F ( x) 1 m x m(m 1) x 2 2! m(m 1) (m n 1) n x n!
当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 . 待解决的问题 :
1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？
2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?
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定理1 . 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域
内具有
各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足: lim Rn ( x) 0 .