1.1.2-导数的应用—函数的极值
函数的性质应用知识点总结
函数的性质应用知识点总结1. 函数的定义及性质函数是将一个自变量的取值对应到一个因变量的取值的规则。
函数的性质包括定义域、值域，单调性，奇偶性，周期性等。
1.1 定义域和值域函数的定义域是指自变量可能的取值范围，而值域则是因变量可能的取值范围。
在应用中，定义域和值域的确定对于建立函数模型、分析函数图像等都有重要作用。
1.2 单调性函数的单调性指的是函数在定义域上的增减性。
分为严格单调增、非严格单调增、严格单调减、非严格单调减等四种情况。
函数的单调性在优化问题、曲线的切线斜率、函数的极值等问题中有重要应用。
1.3 奇偶性函数的奇偶性指的是函数图像关于原点、y轴对称的性质。
奇函数满足f(x)=-f(-x)，即关于原点对称；偶函数满足f(x)=f(-x)，即关于y轴对称。
奇偶函数在函数的积分、对称性、解方程等问题中有应用。
1.4 周期性函数的周期性是指存在正数T，使得对于函数f(x)有f(x+T)=f(x)，即在区间[T,∞)上有函数值相同。
周期函数在周期性信号、振动问题、波动问题等方面有重要应用。
2. 函数的导数及应用函数的导数是函数在某一点的切线斜率，表示函数的变化速率。
导数的应用包括函数的极值、函数的凹凸性、函数的图像等方面。
2.1 函数的极值函数的极值包括极大值和极小值，是函数的局部最值。
通过导数的符号和次序可以判断函数的极值，从而在优化问题、生产实践、资源配置等方面有重要应用。
2.2 函数的凹凸性函数的凹凸性描述的是函数图像的曲率，通过导数的次序和符号可以判断函数的凹凸性。
凹凸函数在优化问题、物理问题、经济问题等方面有应用。
2.3 函数的图像函数的导数可以揭示函数图像的特征，包括拐点、切线、凹凸性等。
函数的图像在科学研究、工程设计、数学建模等方面有重要作用。
3. 函数的积分及应用函数的积分是函数的反导数，表示函数的面积、体积等。
积分的应用包括求面积、求体积、求物理量等方面。
3.1 函数的不定积分函数的不定积分是原函数的一种形式，通过不定积分可以求解函数的积分。
导数的应用：函数的极值问题 高中数学课堂教学ppT课件
练习1.函数f (x) 2x3 3x2 a的极大值为6，则a （C ）
A.5
B.0
C.6
D.1
练习2.函数f (x) x3 ax2 3x 9，已知f (x)在x 3时取得极值，
则a （A）
A.5
B.0
C.6
D.1
练习3，若函数f (x) x3 ax2 3x 9无极值，则a的
(2)如果函数 y＝f(x)在区间(a，x0)上是 单调递减 的，在区 间(x0，b)上是 单调递增 的，则 x0 是极小值点，f(x0)是极小值.
注：在不为单调函数的前提下，极值点是导函数的零点，即方程 的根。
如：已知函数f (x)的图象如下,则函数f (x)在区间[a, h] 上的极大值点和极小值点分别有（ ）个
取值范围为（ C）
注：以下五点点加深对极值的理解 ，所有函数为可导函数
四、课堂小结
1.函数的极值的概念 2.会求函数的极值
答：极大值点有c,e,g 极小值点有：b,d,f
o
abc d e f
gh x
A.2,没有 C.4,0
B.(0,0), (4,0) D.(4,0), (0,0)
三、求函数的极值
注：求函数极值的步骤 (1)确定函数的定义域； (2)求方程 f′(x)＝0 的根； (3)用方程 f′(x)＝0 的根顺次将函数的定义域分成若干个 小开区间，并列成表格；(写出单调区间) (4)由 f′(x)在方程 f′(x)＝0 的根左右的符号，来判断 f(x) 在这个根处取极值的情况．
提示：f(x)在(a，x0)上单调递增，导数大于零，在(x0，b)上单 调递减，导数小于零．
问题 4：函数 y＝g(x)在(a，b)上，结论如何？ 提示：与 y＝f(x)在(a，b)上结论相反．
导数的应用的单调性与极值
导数的应用的单调性与极值在微积分学中，导数是一个非常重要的概念，它有着广泛的应用。
本文将讨论导数的应用方面，着重探讨其与单调性和极值的关系。
一、导数与函数的单调性在研究函数的单调性时，导数是一个非常重要的工具。
通过求函数的导数，我们可以得到函数的增减性质。
1. 单调递增如果一个函数在某个区间内的导数恒大于零，那么这个函数在该区间内是单调递增的。
也就是说，函数的图像在这个区间上是向上的。
举个例子，考虑函数f(x) = x^2，我们可以求得它的导数f'(x) = 2x。
由于2x大于零，所以函数f(x)在整个实数轴上都是单调递增的。
2. 单调递减类似地，如果一个函数在某个区间内的导数恒小于零，那么这个函数在该区间内是单调递减的。
还是以前面的例子f(x) = x^2为例，我们可以看到，函数f(x)的导数2x在负数区间上小于零，因此函数f(x)在负数区间上是单调递减的。
通过上述例子可以看出，导数可以帮助我们分析函数的单调性，从而更好地理解函数的变化规律。
二、导数与函数的极值另一个与导数密切相关的概念是函数的极值。
极值分为极大值和极小值，而导数可以帮助我们判断函数的极值点。
1. 极值点一个函数在某个点上的导数等于零时，该点就是函数的极值点。
根据导数的定义，导数为零表示函数在该点附近的变化趋势趋向于水平。
2. 极大值如果一个函数在某个点的导数从正数变为负数，那么这个点就是函数的极大值点。
在极大值点上，函数的图像从上升转向下降。
3. 极小值与极大值相反，如果一个函数在某个点的导数从负数变为正数，那么这个点就是函数的极小值点。
在极小值点上，函数的图像从下降转向上升。
例如，考虑函数f(x) = x^3，我们可以求得它的导数f'(x) = 3x^2。
当x等于零时，导数为零，说明函数在x=0处有极值。
通过进一步的分析，我们可以得知这个点是极小值点。
三、综合应用导数的应用不仅仅局限于单调性和极值的讨论，还可以应用于其他问题的求解。
导数的应用--函数的最大值与最小值
L 1 q 21
令
L
，0 即
4
1 4
q
21
，0 求得唯一的极值点
q 84
答：产量为84时，利润L最大。
课堂练习
1．下列说法正确的是( D )
A.函数的极大值就是函数的最大值
B.函数的极小值就是函数的最小值
C.函数的最值一定是极值
D.在闭区间上的连续函数一定存在最值
2. 函 数 y=f(x) 在 区 间 ［ a,b ］ 上 的 最 大 值 是 M ， 最 小 值 是 m,若
(3)检查f ′(x)在方程f ′(x)=0的根的左右的符号，
并根据符号确定极大值与极小值. 口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。
3、f x
=
0是可导函数
f
(x)在x
=
x
处取极值的必
0
要而不充分条件。
4、f x
在x
0两侧的导数异号是x
为极值点的充要条件。
0
新课讲授
1.函数的最大值和最小值
值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而 这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值
例4圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径 应怎样选取，才能使所用的材料最省？
解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积
S=2πRh+2πR2
由V=πR2h，得
S(R)= 2πR V
h
V ，则 R2 2V
y
f (x)
a
x1
O x2
x3
bx
例题讲解
例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内的最大值 和最小值 法一 (利用二次函数单调性)、 将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，结合二次函数图像来解决。
导数与函数的极值、最值
导数与函数的极值、最值一、基础知识1．函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.①函数f(x)在x0处有极值的必要不充分条件是f′(x0)＝0，极值点是f′(x)＝0的根，但f′(x)＝0的根不都是极值点(例如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点).②极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质.极值点是函数在区间内部的点，不会是端点.2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．二、常用结论(1)若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值．(2)若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．(3)若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．考点一利用导数解决函数的极值问题考法(一)利用导数求函数的极值或极值点[典例](优质试题·天津高考改编)设函数f(x)＝(x－t1)·(x－t2)(x－t3)，其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列．(1)若t2＝0，d＝1，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)若d＝3，求f(x)的极小值点及极大值．[解](1)由已知，可得f(x)＝x(x－1)(x＋1)＝x3－x，故f′(x)＝3x2－1.因此f(0)＝0，f′(0)＝－1.因此曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－f(0)＝f′(0)(x－0)，故所求切线方程为x＋y＝0.(2)由已知可得f(x)＝(x－t2＋3)(x－t2)(x－t2－3)＝(x－t2)3－9(x－t2)＝x3－3t2x2＋(3t22－9)x－t32＋9t2.故f′(x)＝3x2－6t2x＋3t22－9.令f′(x)＝0，解得x＝t2－3或x＝t2＋ 3.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以函数f (x )的极小值点为x ＝t 2＋3，极大值为f (t 2－3)＝(－3)3－9×(－3)＝6 3.[解题技法] 求函数的极值或极值点的步骤 (1)求导数f ′(x )，不要忘记函数f (x )的定义域； (2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)检查在方程的根的左右两侧f ′(x )的符号，确定极值点或函数的极值． 考法(二) 已知函数极值点或极值求参数的值或范围[典例] (优质试题·北京高考节选)设函数f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x ，若f (x )在x ＝1处取得极小值，求a 的取值范围．[解] 由f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x ， 得f ′(x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x ＝(ax －1)(x －1)e x . 若a >1，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，1时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在x ＝1处取得极小值．若a ≤1，则当x ∈(0,1)时，ax －1≤x －1<0， 所以f ′(x )>0.所以1不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是(1，＋∞)． [解题技法]已知函数极值点或极值求参数的2个要领[专题训练]1．设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点 C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点解析：选D ∵f (x )＝2x ＋ln x (x >0)， ∴f ′(x )＝－2x 2＋1x ，令f ′(x )＝0，则x ＝2. 当0<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0. 所以x ＝2为f (x )的极小值点．2．(优质试题·广州高中综合测试)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处的极值为10，则数对(a ，b )为( )A ．(－3,3)B ．(－11,4)C ．(4，－11)D ．(－3,3)或(4，－11)解析：选C f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b ＋a 2＝10，消去b 可得a 2－a －12＝0，解得a ＝－3或a ＝4，故⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11.当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，这时f (x )无极值，不合题意，舍去，故选C.3．设函数f (x )＝ax 3－2x 2＋x ＋c (a >0)．(1)当a ＝1，且函数f (x )的图象过点(0,1)时，求函数f (x )的极小值； (2)若f (x )在(－∞，＋∞)上无极值点，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1.(1)函数f (x )的图象过点(0,1)时，有f (0)＝c ＝1.当a ＝1时，f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋1，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1， 由f ′(x )>0，解得x <13或x >1； 由f ′(x )<0，解得13<x <1.所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13和(1，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1上单调递减，所以函数f (x )的极小值是f (1)＝13－2×12＋1＋1＝1. (2)若f (x )在(－∞，＋∞)上无极值点， 则f (x )在(－∞，＋∞)上是单调函数，即f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1≥0或f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1≤0恒成立． 因为a >0，所以f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 则有Δ＝(－4)2－4×3a ×1≤0，即16－12a ≤0，解得a ≥43. 故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞.考点二 利用导数解决函数的最值问题[典例] (优质试题·北京高考)已知函数f (x )＝e x cos x －x . (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值． [解] (1)因为f (x )＝e x cos x －x ，所以f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，f ′(0)＝0. 又因为f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1. (2)设h (x )＝e x (cos x －sin x )－1，则h ′(x )＝e x (cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e x sin x .当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，h ′(x )＜0，所以h (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减．所以对任意x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，有h (x )＜h (0)＝0，即f ′(x )＜0.所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减．因此f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为f (0)＝1，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2.[解题技法]导数法求给定区间上函数的最值问题的一般步骤(1)求函数f (x )的导数f ′(x )；(2)求f (x )在给定区间上的单调性和极值； (3)求f (x )在给定区间上的端点值；(4)将f (x )的各极值与f (x )的端点值进行比较，确定f (x )的最大值与最小值； (5)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范． [专题训练]1.(优质试题·珠海摸底)如图，将一张16 cm ×10 cm 的长方形纸片剪下四个全等的小正方形，使得剩余部分经过折叠能糊成一个无盖的长方体纸盒，则这个纸盒的最大容积是________ cm 3.解析：设剪下的四个小正方形的边长为x cm ，则经过折叠以后，糊成的长方体纸盒是一个底面是长为(16－2x ) cm ，宽为(10－2x ) cm 的长方形，其面积为(16－2x )(10－2x )cm 2，长方体纸盒的高为x cm ，则体积V ＝(16－2x )(10－2x )×x ＝4x 3－52x 2＋160x (0<x <5)cm 3，所以V ′＝12(x －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －203，由V ′>0，得0<x <2，则函数V ＝4x 3－52x 2＋160x (0<x <5)在(0,2)上单调递增；由V ′<0，得2<x <5，则函数V ＝4x 3－52x 2＋160x (0<x <5)在(2,5)上单调递减，所以当x ＝2时，V max ＝144(cm 3)．答案：1442．已知函数f (x )＝ln x －ax .(1)若a >0，试判断f (x )在定义域内的单调性； (2)若f (x )在[1，e]上的最小值为32，求实数a 的值．解：(1)由题意得f (x )的定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝x ＋ax 2， 因为a >0，所以f ′(x )>0， 故f (x )在(0，＋∞)上单调递增． (2)由(1)可得f ′(x )＝x ＋ax 2， 因为x ∈[1，e]，①若a ≥－1，则x ＋a ≥0，即f ′(x )≥0在[1，e]上恒成立， 此时f (x )在[1，e]上单调递增， 所以f (x )min ＝f (1)＝－a ＝32， 所以a ＝－32(舍去)．②若a ≤－e ，则x ＋a ≤0，即f ′(x )≤0在[1，e]上恒成立， 此时f (x )在[1，e]上单调递减， 所以f (x )min ＝f (e)＝1－a e ＝32， 所以a ＝－e2(舍去)．③若－e<a <－1，令f ′(x )＝0，得x ＝－a ，当1<x<－a时，f′(x)<0，所以f(x)在(1，－a)上单调递减；当－a<x<e时，f′(x)>0，所以f(x)在(－a，e)上单调递增，所以f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝32，所以a＝－ e.综上，a＝－ e.[课时跟踪检测]A级1．(优质试题·辽宁鞍山一中模拟)已知函数f(x)＝x3－3x－1，在区间[－3,2]上的最大值为M，最小值为N，则M－N＝()A．20B．18C．3 D．0解析：选A∵f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，∴f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减，又∵f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，∴M＝1，N＝－19，M－N＝1－(－19)＝20.2．(优质试题·梅州期末)函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是()A．(－1,3)为函数y＝f(x)的单调递增区间B．(3,5)为函数y＝f(x)的单调递减区间C．函数y＝f(x)在x＝0处取得极大值D．函数y＝f(x)在x＝5处取得极小值解析：选C由函数y＝f(x)的导函数的图象可知，当x<－1或3<x<5时，f′(x)<0，y＝f(x)单调递减；当x>5或－1<x<3时，f′(x)>0，y＝f(x)单调递增．所以函数y＝f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3,5)，单调递增区间为(－1,3)，(5，＋∞)．函数y＝f(x)在x＝－1,5处取得极小值，在x＝3处取得极大值，故选项C 错误．3．(优质试题·湖北襄阳四校联考)函数f(x)＝12x2＋x ln x－3x的极值点一定在区间()A．(0,1)内B．(1,2)内C．(2,3)内D．(3,4)内解析：选B函数的极值点即导函数的零点，f′(x)＝x＋ln x＋1－3＝x＋ln x －2，则f′(1)＝－1<0，f′(2)＝ln 2>0，由零点存在性定理得f′(x)的零点在(1,2)内，故选B.4．已知函数f(x)＝x3＋3x2－9x＋1，若f(x)在区间[k,2]上的最大值为28，则实数k的取值范围为()A．[－3，＋∞) B．(－3，＋∞)C．(－∞，－3) D．(－∞，－3]解析：选D由题意知f′(x)＝3x2＋6x－9，令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－3，所以f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：又f(－3)＝28，f(1)＝－4，f(2)＝3，f(x)在区间[k,2]上的最大值为28，所以k≤－3.5．(优质试题·皖南八校联考)已知函数f (x )＝－13x 3＋bx 2＋cx ＋bc 在x ＝1处有极值－43，则b ＝( )A ．－1B ．1C ．1或－1D ．－1或3解析：选A f ′(x )＝－x 2＋2bx ＋c ，因为f (x )在x ＝1处有极值－43，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝－1＋2b ＋c ＝0，f (1)＝－13＋b ＋c ＋bc ＝－43，Δ＝4b 2＋4c >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝3，故选A.6．设直线x ＝t 与函数h (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |最小时t 的值为( )A ．1 B.12 C.52D.22解析：选D 由已知条件可得|MN |＝t 2－ln t ， 设f (t )＝t 2－ln t (t >0)，则f ′(t )＝2t －1t ， 令f ′(t )＝0，得t ＝22，当0<t <22时，f ′(t )<0；当t ＞22时，f ′(t )＞0.∴当t ＝22时，f (t )取得最小值，即|MN |取得最小值时t ＝22.7．(优质试题·江西阶段性检测)已知函数y ＝ax －1x 2在x ＝－1处取得极值，则a ＝________.解析：因为y ′＝a ＋2x 3，所以当x ＝－1时，a －2＝0，所以a ＝2，经验证，。
导数与函数的极值
导数与函数的极值函数的极值是指函数在某个区间上取得的最大值或最小值。
导数是函数变化率的度量，通过导数我们可以研究函数的极值情况。
在本文中，我们将讨论导数与函数的极值之间的关系以及如何运用导数来确定函数的极值。
1. 导数的定义导数表示函数在某一点上的变化速率。
对于可导函数f(x)，其导数定义为：f'(x) = lim(Δx→0) [f(x+Δx) - f(x)] / Δx其中，Δx表示x的增量，Δx→0表示Δx趋近于0。
导数的值代表了函数在该点的瞬时变化率。
2. 极值的定义函数的极值包括最大值和最小值。
在某个区间上，如果函数在某一点的导数为0，那么该点可能是函数的极值点。
具体而言，若函数在该点的导数由正变负，这个点就是极大值点；若函数在该点的导数由负变正，这个点就是极小值点。
3. 导数与函数极值的关系函数的极值点必然是函数的驻点，即导数为0的点。
然而，只有导数为0的点不一定是极值点。
根据导数的定义，我们可以利用导数判断函数的极值点。
具体来说：- 如果函数在某一点的导数为0，并且导数的符号在此点前后改变，那么该点就是函数的极值点。
- 如果函数在某一点的导数为0，并且导数的符号在此点前后不改变，那么该点可能是函数的驻点但不是极值点。
4. 导数的应用利用导数判断函数的极值点可以帮助我们解决许多实际问题。
例如，在经济学中，我们可以通过求解某种产品的利润函数来确定最大化利润的产量。
通过求解利润函数的导数，我们可以找到使利润最大化的产量。
同样地，在物理学中，我们可以使用导数来分析物体的运动情况。
通过求解位置函数的导数，我们可以找到物体的最大速度和最大加速度的时刻。
此外，在数学建模和优化问题中，导数也是一种重要的工具。
通过确定函数的极值点，我们可以优化函数的性能，以满足特定需求。
5. 导数与极值的例子例如，我们考虑函数f(x) = x^2在区间[0, 2]上的极值问题。
首先，我们求解函数的导数f'(x) = 2x。
导数的应用2----函数极值
令 f ( x ) 0 ,得-ax2-2bx+a=0,Δ =4b2+4a2>0, 故 f ( x ) 0 有不相等的两实根α、β,设α<β. 又设g(x)=-ax2-2bx+a, 由于-a<0,g(x)的图象开口 向下,g(x)的值在α的右正左负,在β的左正右负. 注意到 f ( x ) 与g(x)的符号相同,可知α为极小值点, β为极大值点.
论
1、可导函数的极值点
3
导数为0
不可导点也可能是极值点，主要按定义判断 2**、 （即左右导数异号） 拓展 例.求函数f ( x )
(2 x x 2 ) 2的极值
（答案见下页）
知识拓展
例.求函数f ( x) 3 (2 x x 2 ) 2的极值
4(1 x) f ( x) 3 3 x(2 x)
'
解 : f ( x)的定义域为(, )
令f ' ( x) 0, 解得x 1 当x 0及x 2时, f ' ( x)不存在.
由x 0, x 1, x 2, 将定义域分成四个区间, f ' ( x), f ( x)的变化情况如表 :
x f’(x) f(x) (-∞, 0) ↘ 0 不存在 极小值0 (0,1) + ↗ 1 0 极大值1 (1,2) ↘ 2 不存在 极小值0 (2,+∞) + ↗
x (b, …) f ’(x) -
(…,b) b 0 + f ’(x)
x
(…,a) a 0 f(a)
(a, …) +
f (x)
f(b)
f (x)
（4）结论
表格法
注意：表格要体现定义域
导数与函数的极值和最值考点及题型
第三节导数与函数的极值、最值❖基础知识1．函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.①函数f(x)在x0处有极值的必要不充分条件是f′(x0)＝0，极值点是f′(x)＝0的根，但f′(x)＝0的根不都是极值点(例如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点).②极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质.极值点是函数在区间内部的点，不会是端点.2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．❖常用结论(1)若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值．(2)若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．(3)若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．考点一利用导数解决函数的极值问题考法(一)利用导数求函数的极值或极值点[典例](2018·天津高考改编)设函数f(x)＝(x－t1)·(x－t2)(x－t3)，其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列．(1)若t2＝0，d＝1，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)若d ＝3，求f (x )的极小值点及极大值．[解] (1)由已知，可得f (x )＝x (x －1)(x ＋1)＝x 3－x ，故f ′(x )＝3x 2－1.因此f (0)＝0，f ′(0)＝－1.因此曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y －f (0)＝f ′(0)(x －0)，故所求切线方程为x ＋y ＝0. (2)由已知可得f (x )＝(x －t 2＋3)(x －t 2)(x －t 2－3) ＝(x －t 2)3－9(x －t 2)＝x 3－3t 2x 2＋(3t 22－9)x －t 32＋9t 2.故f ′(x )＝3x 2－6t 2x ＋3t 22－9.令f ′(x )＝0，解得x ＝t 2－3或x ＝t 2＋ 3. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：[解题技法] 求函数的极值或极值点的步骤(1)求导数f ′(x )，不要忘记函数f (x )的定义域； (2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)检查在方程的根的左右两侧f ′(x )的符号，确定极值点或函数的极值． 考法(二) 已知函数极值点或极值求参数的值或范围[典例] (2018·北京高考节选)设函数f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x ，若f (x )在x ＝1处取得极小值，求a 的取值范围．[解] 由f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x ，得f ′(x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x ＝(ax －1)(x －1)e x . 若a >1，则当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，1时，f ′(x )<0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在x ＝1处取得极小值．若a ≤1，则当x ∈(0,1)时，ax －1≤x －1<0， 所以f ′(x )>0.所以1不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是(1，＋∞)．[解题技法]已知函数极值点或极值求参数的2个要领[题组训练]1．设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点解析：选D ∵f (x )＝2x＋ln x (x >0)，∴f ′(x )＝－2x 2＋1x ，令f ′(x )＝0，则x ＝2.当0<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0. 所以x ＝2为f (x )的极小值点．2．(2019·广州高中综合测试)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处的极值为10，则数对(a ，b )为( )A ．(－3,3)B ．(－11,4)C ．(4，－11)D ．(－3,3)或(4，－11)解析：选Cf ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b ＋a 2＝10，消去b 可得a 2－a －12＝0，解得a ＝－3或a ＝4，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11.当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x－1)2≥0，这时f (x )无极值，不合题意，舍去，故选C.3．设函数f (x )＝ax 3－2x 2＋x ＋c (a >0)．(1)当a ＝1，且函数f (x )的图象过点(0,1)时，求函数f (x )的极小值； (2)若f (x )在(－∞，＋∞)上无极值点，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1.(1)函数f (x )的图象过点(0,1)时，有f (0)＝c ＝1.当a ＝1时，f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋1，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1， 由f ′(x )>0，解得x <13或x >1；由f ′(x )<0，解得13<x <1.所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，13和(1，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫13，1上单调递减， 所以函数f (x )的极小值是f (1)＝13－2×12＋1＋1＝1. (2)若f (x )在(－∞，＋∞)上无极值点， 则f (x )在(－∞，＋∞)上是单调函数，即f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1≥0或f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1≤0恒成立． 因为a >0，所以f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 则有Δ＝(－4)2－4×3a ×1≤0，即16－12a ≤0，解得a ≥43.故a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫43，＋∞. 考点二 利用导数解决函数的最值问题[典例] (2017·北京高考)已知函数f (x )＝e x cos x －x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． [解] (1)因为f (x )＝e x cos x －x ，所以f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，f ′(0)＝0. 又因为f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1. (2)设h (x )＝e x (cos x －sin x )－1，则h ′(x )＝e x (cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e x sin x . 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，h ′(x )＜0， 所以h (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减． 所以对任意x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2，有h (x )＜h (0)＝0， 即f ′(x )＜0.所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减． 因此f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为f (0)＝1， 最小值为f ⎝⎛⎭⎫π2＝－π2.[解题技法]导数法求给定区间上函数的最值问题的一般步骤(1)求函数f (x )的导数f ′(x )；(2)求f (x )在给定区间上的单调性和极值； (3)求f (x )在给定区间上的端点值；(4)将f (x )的各极值与f (x )的端点值进行比较，确定f (x )的最大值与最小值； (5)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范． [题组训练]1.(2018·珠海摸底)如图，将一张16 cm ×10 cm 的长方形纸片剪下四个全等的小正方形，使得剩余部分经过折叠能糊成一个无盖的长方体纸盒，则这个纸盒的最大容积是________ cm 3.解析：设剪下的四个小正方形的边长为x cm ，则经过折叠以后，糊成的长方体纸盒是一个底面是长为(16－2x ) cm ，宽为(10－2x ) cm 的长方形，其面积为(16－2x )(10－2x )cm 2，长方体纸盒的高为x cm ，则体积V ＝(16－2x )(10－2x )×x ＝4x 3－52x 2＋160x (0<x <5)cm 3，所以V ′＝12(x －2)·⎝⎛⎭⎫x －203，由V ′>0，得0<x <2，则函数V ＝4x 3－52x 2＋160x (0<x <5)在(0,2)上单调递增；由V ′<0，得2<x <5，则函数V ＝4x 3－52x 2＋160x (0<x <5)在(2,5)上单调递减，所以当x ＝2时，V max ＝144(cm 3)． 答案：1442．已知函数f (x )＝ln x －a x.(1)若a >0，试判断f (x )在定义域内的单调性； (2)若f (x )在[1，e]上的最小值为32，求实数a 的值．解：(1)由题意得f (x )的定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝x ＋ax 2， 因为a >0，所以f ′(x )>0， 故f (x )在(0，＋∞)上单调递增． (2)由(1)可得f ′(x )＝x ＋ax 2，因为x ∈[1，e]，①若a ≥－1，则x ＋a ≥0，即f ′(x )≥0在[1，e]上恒成立， 此时f (x )在[1，e]上单调递增， 所以f (x )min ＝f (1)＝－a ＝32，所以a ＝－32(舍去)．②若a ≤－e ，则x ＋a ≤0，即f ′(x )≤0在[1，e]上恒成立， 此时f (x )在[1，e]上单调递减， 所以f (x )min ＝f (e)＝1－a e ＝32，所以a ＝－e2(舍去)．③若－e<a <－1，令f ′(x )＝0，得x ＝－a ， 当1<x <－a 时，f ′(x )<0， 所以f (x )在(1，－a )上单调递减； 当－a <x <e 时，f ′(x )>0， 所以f (x )在(－a ，e)上单调递增，所以f (x )min ＝f (－a )＝ln(－a )＋1＝32，所以a ＝－ e.综上，a ＝－ e.[课时跟踪检测]A 级1．(2019·辽宁鞍山一中模拟)已知函数f (x )＝x 3－3x －1，在区间[－3,2]上的最大值为M ，最小值为N ，则M －N ＝( )A ．20B ．18C ．3D ．0解析：选A ∵f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，∴f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减，又∵f (－3)＝－19，f (－1)＝1，f (1)＝－3，f (2)＝1，∴M ＝1，N ＝－19，M －N ＝1－(－19)＝20.2．(2018·梅州期末)函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是( )A ．(－1,3)为函数y ＝f (x )的单调递增区间B ．(3,5)为函数y ＝f (x )的单调递减区间C ．函数y ＝f (x )在x ＝0处取得极大值D ．函数y ＝f (x )在x ＝5处取得极小值解析：选C 由函数y ＝f (x )的导函数的图象可知，当x <－1或3<x <5时，f ′(x )<0，y ＝f (x )单调递减；当x >5或－1<x <3时，f ′(x )>0，y ＝f (x )单调递增．所以函数y ＝f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，(3,5)，单调递增区间为(－1,3)，(5，＋∞)．函数y ＝f (x )在x ＝－1,5处取得极小值，在x ＝3处取得极大值，故选项C 错误．3．(2019·湖北襄阳四校联考)函数f (x )＝12x 2＋x ln x －3x 的极值点一定在区间( )A ．(0,1)内B ．(1,2)内C ．(2,3)内D ．(3,4)内解析：选B 函数的极值点即导函数的零点，f ′(x )＝x ＋ln x ＋1－3＝x ＋ln x －2，则f ′(1)＝－1<0，f ′(2)＝ln 2>0，由零点存在性定理得f ′(x )的零点在(1,2)内，故选B.4．已知函数f (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋1，若f (x )在区间[k,2]上的最大值为28，则实数k 的取值范围为( ) A ．[－3，＋∞) B ．(－3，＋∞) C ．(－∞，－3)D ．(－∞，－3]解析：选D 由题意知f ′(x )＝3x 2＋6x －9，令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝－3，所以f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：5．(2019·皖南八校联考)已知函数f (x )＝－13x 3＋bx 2＋cx ＋bc 在x ＝1处有极值－43，则b ＝( )A ．－1B ．1C ．1或－1D ．－1或3解析：选A f ′(x )＝－x 2＋2bx ＋c ，因为f (x )在x ＝1处有极值－43，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝－1＋2b ＋c ＝0，f (1)＝－13＋b ＋c ＋bc ＝－43，Δ＝4b 2＋4c >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝3，故选A.6．设直线x ＝t 与函数h (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |最小时t 的值为( )A ．1 B.12C.52D.22解析：选D 由已知条件可得|MN |＝t 2－ln t ，设f (t )＝t 2－ln t (t >0)，则f ′(t )＝2t －1t ，令f ′(t )＝0，得t ＝22， 当0<t <22时，f ′(t )<0；当t ＞22时，f ′(t )＞0. ∴当t ＝22时，f (t )取得最小值，即|MN |取得最小值时t ＝22. 7．(2019·江西阶段性检测)已知函数y ＝ax －1x2在x ＝－1处取得极值，则a ＝________.解析：因为y ′＝a ＋2x 3，所以当x ＝－1时，a －2＝0，所以a ＝2，经验证，可得函数y ＝2x －1x 2在x ＝－1处取得极值，因此a ＝2. 答案：28．f (x )＝2x ＋1x 2＋2的极小值为________．解析：f ′(x )＝2(x 2＋2)－2x (2x ＋1)(x 2＋2)2＝－2(x ＋2)(x －1)(x 2＋2)2.令f ′(x )<0，得x <－2或x >1； 令f ′(x )>0，得－2<x <1.∴f (x )在(－∞，－2)，(1，＋∞)上是减函数，在(－2,1)上是增函数， ∴f (x )极小值＝f (－2)＝－12.答案：－129．若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式为y ＝－x 3＋27x ＋123(x >0)，则获得最大利润时的年产量为________百万件． 解析：y ′＝－3x 2＋27＝－3(x ＋3)(x －3)，当0<x <3时，y ′>0；当x >3时，y ′<0. 故当x ＝3时，该商品的年利润最大． 答案：310．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )的极大值与极小值之差为________． 解析：因为f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(2)＝3×22＋6a ×2＋3b ＝0，f ′(1)＝3×12＋6a ＋3b ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0.所以y ′＝3x 2－6x ，令3x 2－6x ＝0，得x ＝0或x ＝2. 当x <0或x >2时，y ′>0；当0<x <2时，y ′<0.故当x ＝0时，f (x )取得极大值，当x ＝2时，f (x )取得极小值， 所以f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4. 答案：411．设函数f (x )＝a ln xx＋b (a ，b ∈R )，已知曲线y ＝f (x )在点(1,0)处的切线方程为y ＝x －1.(1)求实数a ，b 的值； (2)求f (x )的最大值．解：(1)因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a (1－ln x )x 2.所以f ′(1)＝a ，又因为切线斜率为1，所以a ＝1. 由曲线y ＝f (x )过点(1,0)，得f (1)＝b ＝0. 故a ＝1，b ＝0.(2)由(1)知f (x )＝ln xx ，f ′(x )＝1－ln x x 2.令f ′(x )＝0，得x ＝e.当0<x <e 时，有f ′(x )>0，得f (x )在(0，e)上是增函数； 当x >e 时，有f ′(x )<0，得f (x )在(e ，＋∞)上是减函数． 故f (x )在x ＝e 处取得最大值f (e)＝1e .12．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )．(1)当a ＝12时，求f (x )的极值；(2)讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数．解：(1)当a ＝12时，f (x )＝ln x －12x ，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －12＝2－x2x.令f ′(x )＝0，得x ＝2，于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故f (x )(2)由(1)知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x(x >0)．当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，此时函数f (x )在定义域上无极值点； 当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝1a .当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )>0， 当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0， 故函数f (x )在x ＝1a处有极大值．综上所述，当a ≤0时，函数f (x )无极值点； 当a >0时，函数f (x )有一个极大值点．B 级1．已知函数f (x )＝x 3－3ax ＋b 的单调递减区间为(－1,1)，其极小值为2，则f (x )的极大值是________． 解析：因为f (x )的单调递减区间为(－1,1)，所以a >0.由f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x －a )(x ＋a )，可得a ＝1， 由f (x )＝x 3－3x ＋b 在x ＝1处取得极小值2， 可得1－3＋b ＝2，故b ＝4.所以f (x )＝x 3－3x ＋4的极大值为f (－1)＝(－1)3－3×(－1)＋4＝6. 答案：62．(2019·“超级全能生”高考全国卷26省联考)已知函数f (x )＝t 3x 3－32x 2＋2x ＋t 在区间(0，＋∞)上既有极大值又有极小值，则t 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝tx 2－3x ＋2，由题意可得f ′(x )＝0在(0，＋∞)上有两个不等实根，即tx 2－3x ＋2＝0在(0，＋∞)有两个不等实根，所以⎩⎪⎨⎪⎧t ≠0，3t >0，2t >0，Δ＝9－8t >0，解得0<t <98.答案：⎝⎛⎭⎫0，98 3．已知函数f (x )＝a ln x ＋1x(a >0)．(1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)是否存在实数a ，使得函数f (x )在[1，e]上的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．贾老师数学解：由题意，知函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a x －1x 2＝ax －1x 2(a >0)． (1)由f ′(x )>0，解得x >1a， 所以函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞； 由f ′(x )<0，解得0<x <1a， 所以函数f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，1a . 所以当x ＝1a 时，函数f (x )有极小值f ⎝⎛⎭⎫1a ＝a ln 1a＋a ＝a －a ln a ，无极大值． (2)不存在实数a 满足条件．由(1)可知，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，函数f (x )单调递减； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，函数f (x )单调递增．①若0<1a≤1，即a ≥1时，函数f (x )在[1，e]上为增函数， 故函数f (x )的最小值为f (1)＝a ln 1＋1＝1，显然1≠0，故不满足条件a ≥1.②若1<1a <e ，即1e<a <1时，函数f (x )在⎣⎡⎭⎫1，1a 上为减函数，在⎝⎛⎦⎤1a ，e 上为增函数， 故函数f (x )的最小值为f (x )的极小值f ⎝⎛⎭⎫1a ＝a ln 1a＋a ＝a －a ln a ＝a (1－ln a )＝0，即ln a ＝1，解得a ＝e ，故不满足条件1e<a <1. ③若1a ≥e ，即0<a ≤1e 时，函数f (x )在[1，e]上为减函数，故函数f (x )的最小值为f (e)＝a ln e ＋1e＝a ＋1e＝0， 即a ＝－1e ，故不满足条件0<a ≤1e. 综上所述，不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在[1，e]上的最小值为0.。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.2 导数的概念教案 新人教A版选修2-2(2021年整理)
江苏省苏州市高中数学第一章导数及其应用1.1.2 导数的概念教案新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（江苏省苏州市高中数学第一章导数及其应用1.1.2 导数的概念教案新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为江苏省苏州市高中数学第一章导数及其应用1.1.2 导数的概念教案新人教A版选修2-2的全部内容。
导数的概念本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A版）数学选修2－2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念》是第2课时．教学内容分析1．导数的地位、作用导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度．导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用．导数概念是我们今后学习微积分的基础．同时,导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具。
2．本课内容剖析教材安排导数内容时，学生是没有学习极限概念的．教材这样处理的原因,一方面是因为极限概念高度抽象，不适合在没有任何极限认识的基础上学习．所以，让学生通过学习导数这个特殊的极限去体会极限的思想,这为今后学习极限提供了认识基础．另一方面,函数是高中的重要数学概念，而导数是研究函数的有力工具，因此，安排先学习导数方便学生学习和研究函数．基于学生已经在高一年级的物理课程中学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度，再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型,并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的．进行导数概念教学时还应该看到，通过若干个特殊时刻的瞬时速度过渡到任意时刻的瞬时速度；从物体运动的平均速度的极限是瞬时速度过渡到函数的平均变化率的极限是瞬时变化率,我们可以向学生渗透从特殊到一般的研究问题基本思想．教学目的1．使学生认识到：当时间间隔越来越小时，运动物体在某一时刻附近的平均速度趋向于一个常数，并且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度；2．使学生通过运动物体瞬时速度的探求，体会函数在某点附近的平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此建构导数的概念；3．掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤；4．通过导数概念的构建，使学生体会极限思想，为将来学习极限概念积累学习经验;5．通过导数概念的教学教程,使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的重要过程．教学重点通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求，抽象概括出函数导数的概念．教学难点使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念．教学准备1．查找实际测速中测量瞬时速度的方法;2．为学生每人准备一台Ti－nspire CAS图形计算器，并对学生进行技术培训；3．制作《数学实验记录单》及上课课件．教学流程框图教学流程设计充分尊重学生认知事物的基本规律，使学生在操作感知的基础上形成导数概念的表象，再通过表象抽象出导数概念，并通过运用导数概念解决实际问题使学生进一步体会导数的本质．教学的主要过程设计如下：复习准备理解平均速度与瞬时速度的区别与联系．体会模型感受当△t→0时，平均速度逼近于某个常数．提炼模型从形式上完成从平均速度向瞬时速度的过渡．形成概念由物体运动的瞬时速度推广到函数瞬时变化率，并由此得出导数的定义．应用概念理解导数概念，熟悉求导的步骤，应用计算结果解释瞬时变化率的意义．小结作业通过师生共同小结，使学生进一步感受极限思想对人类思维的重大影响．教学过程设计5分钟1．复习准备设计意图：让学生理解平均速度与瞬时速度的区别与联系,感受到平均速度在时间间隔很小时可以近似地表示瞬时速度．（1）提问：请说出函数从x1到x2的平均变化率公式．（2)提问：如果用x1与增量△x表示平均变化率的公式是怎样的？(3）高台跳水的例子中，在时间段]4965,0[里的平均速度是零，而实际上运动员并不是静止的．这说明平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态。
导数与函数的极值
导数与函数的极值引言：导数与函数的极值是微积分中的重要概念，它们被广泛应用于最优化问题、求解方程和曲线的特点等数学和实际问题中。
本文将详细介绍导数和函数的极值以及它们之间的关系。
一、导数的概念和计算方法1.1 导数的定义在数学中，导数是用来描述函数变化率的概念。
对于函数y=f(x)，在某点x处的导数可以定义为函数在该点处的切线斜率。
导数的定义可以表示为：\[f'(x)=\lim_{{\Delta x\to 0}} \frac{{f(x+\Delta x)-f(x)}}{{\Delta x}}\]其中，f'(x)表示函数f(x)在x点处的导数。
1.2 导数的计算方法常见的计算导数的方法有以下几种：（1）使用导数的定义进行计算，即通过求极限的方式；（2）利用函数的基本性质和导数的基本运算法则，如加减法、乘法法则、链式法则等；（3）应用求导法则，例如幂函数、指数函数、对数函数等的导数公式；（4）利用导数的几何意义，例如求直线与曲线的切点等。
二、函数的极值及其判定方法2.1 极大值和极小值在函数的定义域上，如果函数在某一点附近取到最大值或最小值，那么这个点就被称为函数的极大值点或极小值点。
2.2 极值的判定方法常见的判定函数极值的方法有以下几种：（1）利用导数的性质，根据导数的正负可以判断函数在某一点处的增减性。
当导数在极值点处变号时，可以判定函数在该点处取得极值；（2）利用函数的二阶导数，通过判断二阶导数的正负可以确定函数的极值点。
当二阶导数大于零时，函数在该点处取得极小值，当二阶导数小于零时，函数在该点处取得极大值。
三、导数与函数的极值的关系3.1 极值与导数的关系在函数的极值点处，导数必然为零或不存在。
这是因为在极值点附近，函数的变化率为零，即切线的斜率为零。
因此，可以通过导数的零点来确定函数的极值点。
3.2 函数极值点的判定方法如果函数在某点处的导数为零或不存在，那么该点可能是函数的极值点。
导数的应用——函数的极值
2 故当 x 2 时,x2>2,由条件①可知 f ( x ) 0,即: g( x ) f ( x 2 ) 2 x 0; 2 当 0 x 2 时,x2<2,由条件②可知 f ( x ) 0,即: g( x ) f ( x 2 ) 2 x 0;
x 2 4 ( x 2)( x 2). 解: y
令 y 0 ,解得x1=-2,x2=2. 当x变化时, y ,y的变化情况如下表: x y’ y (-∞,-2) + ↗ -2 0 极大值28/3 (-2,2) ↘ 2 0 极小值-4/3 (2,+∞) + ↗
因此,当x=-2时有极大值,并且,y极大值=28/3; 而,当x=2时有极小值,并且,y极小值=- 4/3.
x [0,1] 恒成立.
所以,a≥1是k≥-1成立的充要条件.
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例题讲解
例.求函数f ( x) 3 (2 x x 2 ) 2的极值
解 : f ( x)的定义域为(, )
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a2 例:求函数 f ( x ) x (a 0) 的极值. x 解:函数的定义域为 ( ,0) (0,), a 2 ( x a )( x a ) f ( x ) 1 2 . 2 x x 令 f ( x ) 0 ,解得x1=-a,x2=a(a>0).
y
f ( x4 ) f ( x1 )
o
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a
X1
导数在函数中的应用
导数在函数中的应用
现代社会中，微积分在各个领域都有着广泛的应用，而其中最重要的就是导数的应用。
导数可以帮助我们研究函数的变化趋势，可以提供有关函数的关键信息，它在科学、工程、数学、物理等众多领域有着重要的作用。
首先，导数可以用来确定函数的极值，即求解函数的最大值和最小值。
函数的极值是指函数在定义域内所取得的最大值或最小值，利用导数可以轻松地求出函数的极值。
其次，导数可以用来分析函数的变化趋势，即函数图像的上升或下降速度。
函数的变化趋势是指函数在定义域内的变化状况，其中导数可以用来描述函数的变化速度，可以帮助我们更清楚地了解函数的变化趋势。
此外，导数可以用来解决最优化问题，即找出某一函数的最优解。
最优化问题是指在一定条件下，求出能够使函数取得最大值或最小值的解，用导数可以计算出函数的极值，从而可以找出函数的最优解。
最后，导数还可以用来研究函数的变化率，即求出函数在某一点的变化率。
函数的变化率是指函数在某一点的变化率，其中导数可以用来描述函数在某一点的变化率，可以帮助我们更清楚地了解函数的变化状况。
总之，导数在函数中有着重要的作用，它可以用来求解函数的极值、分析函数的变化趋势、解决最优化问题和研究函数的变化率，它在各个领域都有着重要的作用。
《函数的极值与导数》教案完美版
《函数的极值与导数》教案完美版第一章：极值的概念与定义1.1 极值的概念引入极值的概念，让学生了解函数在某一点取得局部最值的含义。
通过图像和实际例子来说明极值的存在和重要性。
1.2 极值的定义介绍极值的定义，包括局部极值和全局极值。
解释极值的必要条件和充分条件。
第二章：导数与极值的关系2.1 导数的定义与性质复习导数的定义和基本性质，包括导数的符号变化与函数单调性的关系。
2.2 导数与极值的关系引入导数与极值的关系，讲解导数为零的点可能是极值点的原理。
通过实例来说明导数在判断极值中的作用。
第三章：一元函数的极值判定3.1 判定极值的存在性介绍判定极值存在性的方法，包括罗尔定理和拉格朗日中值定理。
3.2 判定极值的具体方法讲解利用导数符号变化判断极值的方法，包括导数单调性和零点存在性定理。
第四章：多元函数的极值4.1 多元函数极值的概念引入多元函数极值的概念，让学生了解多元函数在不同维度上的极值问题。
4.2 多元函数极值的判定讲解多元函数极值的判定方法，包括拉格朗日乘数法和海森矩阵。
第五章：实际应用中的极值问题5.1 应用背景介绍通过实际例子介绍极值在各个领域中的应用，如优化问题、物理学、经济学等。
5.2 实际应用案例分析分析具体案例，让学生了解如何运用极值理论和方法解决问题。
第六章：利用极值解决实际问题6.1 优化问题概述介绍优化问题的概念，解释最小值和最大值在优化问题中的作用。
举例说明优化问题在工程、经济等领域的应用。
6.2 利用极值解决优化问题讲解如何利用函数的极值解决优化问题，包括确定最优解的方法和步骤。
通过实际案例分析，让学生掌握优化问题的解决技巧。
第七章：函数极值的存在性定理7.1 拉格朗日中值定理复习拉格朗日中值定理的内容，解释其在函数极值存在性判断中的应用。
利用拉格朗日中值定理证明函数极值的存在性。
7.2 罗尔定理与极值存在性讲解罗尔定理的内容及其在函数极值存在性判断中的应用。
结合罗尔定理和拉格朗日中值定理，证明函数极值的存在性。
课题：导数的应用--极值点
(-∞,-2) ∞,f′(x) +
x
-2
(-2,2)
0
极大值28/3 极大值
-
2 0
极小值极小值 4/3
(2,+∞) +
f(x)
=2时 ∴ 当x=2时,y极小值=28/3；当x=-2时, y极大值=-4/3. =2 =
2010-12-30 7
28 1 （2）f(－3)=7，f(4)=9 = ） － ， ， 3 3 与极值点的函数值比较得到该函数在区
16
3 2
f / ( x）＝ ax2 + 2bx + c ≠ 0) 3 (a (2) f (1) = a + b + c = 5
2b f / (1) = 3a + 2b + c = 0 － =3 3a 或 c f / (2) = 12a + 4b + c＝ 0 =2 3a
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注意代 入检验
课题：导数的应用－－极值点 课题：导数的应用－－极值点 －－
我行 我能 我要成功 我能成功
庖丁解牛篇(感受高考） 庖丁解牛篇 感受高考） 感受高考 年天津卷)函数 （2006年天津卷 函数 f (x ) 的定义域为开区间(a, b) 年天津卷 内的图像如图所示， 导函数 f ′(x)在 (a, b) 内的图像如图所示，则函数f (x ) 内有（ 个极小值点。 在开区间 (a, b) 内有（ A ）个极小值点。 A.1 B.2 C.3 D. 4
o
a x1
x
函数图像在P点附近从左侧到右侧由“上升 变为 函数图像在 点附近从左侧到右侧由“上升”变为 点附近从左侧到右侧由 下降” 函数由单调递增变为单调递减）， ），在 点 “下降”（函数由单调递增变为单调递减），在P点 附近， 点的位置最高 点的位置最高， 附近，P点的位置最高，函数值最大
导数的应用二---函数的极值_知识讲解
导数的应用二——函数的极值【要点梳理】 要点一：函数的极值 函数的极值的定义：一般地，设函数)(x f 在点0x x =及其附近有定义，（1）若对0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f <，则称函数)(x f 在0x 处取极大值，记作0()y f x =极大；并把0x 称为函数)(x f 的一个极大值点.（2）若对0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f >，，则称函数)(x f 在0x 处取极小值，记作0()y f x =极小；并把0x 称为函数)(x f 的一个极小值点.极大值与极小值统称极值.在定义中，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. 要点诠释：由函数的极值定义可知：①在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x 0及其附近有定义，否则无从比较.②函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值.由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.③极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.极小值不一定是整个定义区间上的最小值.④函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.用导数求函数极值的的基本步骤： （1）确定函数的定义域； （2）求导数)(x f '； （3）求方程0)(='x f 的根；（4）检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.（最好通过列表法）要点诠释：①可导函数的极值点一定是导函数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点. 即0()0f x '=是可导函数)(x f 在点0x 取得极值的必要非充分条件. 例如函数y=x 3，在x=0处，'(0)0f =，但x=0不是函数的极值点.②可导函数)(x f 在点0x 取得极值的充要条件是0()0f x '=，且在0x 两侧)(x f '的符号相异。
高中数学知识点总结导数的应用之函数的极值与最值
高中数学知识点总结导数的应用之函数的极值与最值高中数学知识点总结：导数的应用之函数的极值与最值在高中数学中，导数是一个重要的概念和工具，它被广泛应用于各个数学领域。
其中的一个应用就是求解函数的极值与最值。
本文将针对这一知识点进行总结和讨论。
I. 导数和极值函数的极值指的是函数在某个区间上的最大值或最小值。
在求解极值问题时，我们可以利用导数的性质来进行分析和计算。
下面是一些常见的求解函数极值的方法：1. 极值的必要条件若函数f(x)在x=a处取得极值，那么导数f'(a)存在，且f'(a)=0，或者导数不存在（函数在该点有间断点或者不可导）。
2. 极值的充分条件若函数f(x)在x=a点的左右两侧导数符号相反，即f'(a-)和f'(a+)异号，那么f(x)在x=a处取得极值。
- 若f'(a-)>0且f'(a+)<0，那么极值为极大值；- 若f'(a-)<0且f'(a+)>0，那么极值为极小值。
3. 临界点和拐点临界点是指导数为零或不存在的点，对于一元函数来说，临界点多对应于函数的极值点。
拐点是指在函数图像上出现凹凸性突变的点，即曲线的凸度方向改变的点。
II. 求解函数的极值步骤在应用导数求解函数极值时，一般需要按照以下步骤进行：1. 求取函数f(x)的导数f'(x)。
2. 解方程f'(x)=0，求得导数为零的临界点。
3. 利用极值的充分条件，对临界点进行分析判断。
4. 若需要，进一步计算临界点处的函数值和边界点处的函数值进行比较。
5. 得到函数的极值。
III. 求解函数的最值函数的最大值和最小值称为最值，求解最值问题需要考虑函数的定义域和导数的变化情况。
下面是一些常见的求解函数最值的方法：1. 函数在开区间内求最值若函数f(x)在开区间(a, b)内进行求最大值，我们需要进行以下步骤：- 求取函数f(x)的导数f'(x)。
导数应用与极值问题
导数应用与极值问题在微积分中，导数是研究函数变化率的重要工具。
通过求导可以得到函数的导数，而导数可以帮助我们解决一系列的应用问题，其中包括极值问题。
本文将探讨导数应用于极值问题的方法和步骤。
一、导数的基本概念在介绍导数应用于极值问题之前，首先需要了解导数的基本概念。
对于一个函数f(x)，它在某点x处的导数表示函数在该点处的变化率，可以用以下的方式表示：f'(x) = lim(h -> 0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，lim表示极限，h表示自变量x的增量。
导数的几何意义是函数曲线在该点处的切线斜率。
当导数为正时，函数在该点处递增；当导数为负时，函数在该点处递减；当导数为零时，函数在该点处取得极值。
二、极值问题的求解在解决极值问题时，我们通常要对函数f(x)进行求导，并通过导数的性质来分析函数的极值点。
1. 导数为零的点首先，我们需要找到函数f(x)的导数为零的点，即f'(x) = 0。
这些点可能是函数的极值点。
2. 导数的符号接下来，我们要确定导数在导数为零的点的两侧的符号。
当导数从正数变成负数时，函数在该点有极大值；当导数从负数变成正数时，函数在该点有极小值。
3. 极值点的判断通过对导数的符号进行分析，我们可以判断出函数的极值点。
需要注意的是，导数为零的点并不一定都是极值点，还需要进行二阶导数的判断。
3.1 二阶导数的求解求得函数f(x)的导数为零的点后，我们可以进一步求解它的二阶导数f''(x)。
二阶导数可以帮助我们判断导数为零的点处的极值类型。
3.2 二阶导数的判断当二阶导数f''(x)大于零时，函数在导数为零的点处有极小值；当二阶导数f''(x)小于零时，函数在导数为零的点处有极大值；当二阶导数f''(x)等于零时，判断不明确，需要进行其他方法的分析。
4. 求解极值点通过以上的步骤，我们可以确定函数f(x)的极值点。
导数的应用函数的增减与极值
导数的应用函数的增减与极值随着数学的发展，人们对导数的研究也越来越深入。
导数是微积分的重要概念之一，不仅可以帮助我们求解函数的极值，还可以用于描述函数的增减趋势。
本文将通过实际问题和示例，介绍导数的应用以及函数的增减与极值。
在日常生活中，我们经常会遇到需要分析变化趋势的问题。
而导数正是我们解决这类问题的有力工具之一。
例如，我们可以利用导数来确定某一时刻物体的速度、加速度等。
假设一个物体的位置函数为s(t)，我们可以通过对s(t)求导，得到物体的速度函数v(t)，再对v(t)求导，得到物体的加速度函数a(t)。
通过对a(t)的分析，我们可以判断物体在某一时刻的加速度是正还是负，从而得知物体的运动趋势。
除了运动学中的应用之外，导数在经济学中也有广泛的应用。
例如，我们可以利用导数来研究市场需求曲线的弹性。
需求曲线的斜率可以表示某一价格下单位变动的需求量，也就是导数。
通过对需求曲线的导数进行分析，我们可以得知某一价格下市场需求的变化趋势，进而为企业的定价策略提供参考。
导数在生物学中也有重要的应用。
例如，我们可以利用导数来研究细胞的增长速率。
假设一个细胞的大小随时间变化可以用函数f(t)来表示，通过对f(t)求导，我们可以获得细胞大小随时间的变化率，这对于研究细胞的生长机理具有重要意义。
除了应用之外，我们还可以通过导数来研究函数的增减和极值。
对于一个可导的函数，如果导数在某一区间内恒大于零，那么这个函数在该区间上是单调递增的；如果导数在某一区间内恒小于零，那么这个函数在该区间上是单调递减的。
这种单调性的变化对于我们理解函数的增减趋势非常重要。
另外，我们可以通过导数来判断函数的极值。
对于一个可导的函数，如果其导数在某一点发生变号，那么这个点就是函数的极值点。
特别地，在导数从正数变为负数的点处，函数有一个极大值；而在导数从负数变为正数的点处，函数有一个极小值。
这种极值点的判断对于我们求解最优化问题非常有帮助。
导函数的极值
导函数的极值极值是微积分学中非常重要的概念，可以通过理解极值，来帮助更好地理解复杂的函数。
函数极值是一些重要的函数概念，它们可以用来对函数的前后变化进行分析。
本文将重点介绍导函数极值的概念，其基本概念，特征点，以及如何求解。
一、什么是导函数极值导函数极值是指曲线函数的一次导数极大值或极小值，它通过比较一次导数的不同部分，可以明确函数的上下升沿，从而确定极值点。
二、导函数极值的基本概念导函数极值包括极大值和极小值，它们分别表示函数在某一部分有最大值和最小值。
这两个点都可以用求导的方法来确定，比如在某个点，函数的一次导数大于0，则此点为极大值；反之，如果此点的一次导数小于0，则此点为极小值。
三、导函数极值的特征点1、函数极值是函数变化的转折点，它是函数变化的重要特征;2、极值点一定出现在函数的转折点；3、极值点一定是函数一次导数的零点；4、极大值点和极小值点都可能是临界点，也可以是拐点。
四、求解导函数极值1、求解极大值若函数f (x)的一次导数f’(x)的值大于零，则f (x)的极大值点位于f’(x)的零点上。
因此，要求函数的极大值，首先要求函数的一次导数为零，也就是：f’(x)=0然后根据等式求解得到该函数的极大值点。
2、求解极小值若函数f (x)的一次导数f’ (x)的值小于零，则函数的极小值点位于f’(x)的零点上。
因此，要求函数的极小值，首先要求函数的一次导数为零，也就是：f’(x)=0然后根据等式求解得到该函数的极小值点。
五、例题求函数f (x)=x4-4x2+4的极大值和极小值解：先求一次导数f’(x)=4x3-8x当4x3-8x=0时，即x=0，或x=±2/2，也就是x=±1由此可知，x=0处为极大值点，x=±1处为极小值点，对应的极大值为f (0)=4；极小值为f (±1)=2。
六、结论1、导函数极值是指曲线函数的一次导数极大值或极小值，它可以明确函数的上下升沿，从而确定极值点；2、极大值点和极小值点一定出现在函数的转折点，它们一定是函数一次导数的零点；3、要求函数的极值，首先要求函数的一次导数为零，再根据此等式求解得到该函数的极值点；4、通过正确理解导函数极值，可以更好地理解函数的变化，从而发现更多函数中的特征。
导函数极值
导函数极值在微积分中，导函数是研究函数的变化率和极值的重要工具。
导函数的极值在数学和实际生活中都有广泛的应用。
本文将从数学和实际应用的角度，探讨导函数极值的意义和应用。
一、导函数的概念导函数，又称为一阶导数，是函数在某一点处的变化率。
在微积分中，我们通过求函数的导数来了解函数在各点的变化情况。
导函数描述了函数在某一点的斜率，即函数曲线在该点的切线斜率。
导函数的计算公式是通过求函数的极限来得到的，但在本文中，我们遵循要求，不插入数学公式。
二、导函数的极值导函数的极值是导函数在某一点处的最大值或最小值。
导函数的极值点对应着原函数的极值点，也就是说，原函数在该点处有极大值或极小值。
导函数的极大值对应着原函数的凹点，而导函数的极小值对应着原函数的凸点。
三、导函数极值的意义导函数极值的意义在数学和实际应用中都非常重要。
在数学中，导函数的极值点帮助我们找到函数的极值点，进而研究函数的性质和变化趋势。
通过导函数的极值，我们可以确定函数的凹凸性和拐点，进一步了解函数的曲线形状。
在实际应用中，导函数的极值有广泛的应用。
例如，在经济学中，导函数极值可以帮助我们确定企业的最大利润点或最低成本点。
在物理学中，导函数极值可以帮助我们找到物体的最大速度或最小时间。
导函数极值还在工程学、生物学等领域得到广泛应用。
四、导函数极值的求解方法求解导函数极值的方法有很多，常用的方法有导数为零点法和二阶导数法。
导数为零点法是通过求导函数的零点来确定极值点，即导数为零的点。
二阶导数法是通过求导函数的二阶导数来确定极值点，即二阶导数为零的点。
五、导函数极值的应用举例1. 在经济学中，企业的利润函数通常是一个关于产量的函数。
通过求导函数的极值，可以确定企业的最大利润点，即产量达到最大值时的利润最大。
2. 在物理学中，物体的位移函数通常是一个关于时间的函数。
通过求导函数的极值，可以确定物体的最大速度点，即位移函数在某一时刻的导数达到最大值。
3. 在生物学中，人口增长函数通常是一个关于时间的函数。
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(3) 检查f `(x)在方程f `(x)=0的根的左右 的符号，并根据符号确定极大值与极小值.
x (…,b) b (b, …) x (…,a) a (a, …)
f ’(x) + 0
-
f ’(x)
-0
+
f (x)
f(b)
f (x)
f(a)
（4）结论
表格法也可用于求单调区间
二、已知极值 (x0, y0) 求参数
7、函数f(x)在某区间内有极值,它的极值点的分布
是有规律的,相邻两个极大值点之间必有一个极小值
点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.
一般地,当函数f(x)在某区间上可导且有有限极值
点时,函数f(x)在该区间内的极大值点与极小值点
是交替出现的.
y
o
x
二、极值点左右的导数符号变化情况
函数y=f(x)在极值点的导数值为多少?在极值点左 右附近的导数符号有什么规律?
f (x0) y0
f
( x0 )
0
五、极值应用-已知极值求参数
例4.已知f (x) ax3 bx2 cx(a 0)在x 1 时取得极值，且 f (1) 1. （1）求常数a、b、c的值； （2）判断x 1分别是极大值点还是极小值点？
练习：
（1）已知 f (x) ax5 bx3 c 在 x 1 处有极值，
且极大值为 4,极小值为0.试确定a,b,c的值.
（2） 函数 f (x) 2x3 ax2 1 在区间 ,0和2,
递增，在区间（0，2）递减，则实数 a 的值为
(3)若f (x) x3 3ax2 3(a 2)x 1既有极大 值，又有极小值.求a的取值范围。
小结：
一、求极值
(1) 求导函数f `(x)及定义域；
(2) 求解方程f `(x)=0；
一、函数极值的定义：
一般函数y=f(x)在a,b,d,e,f,g,h,i等点的 函数值与这些点附近的函数值有什么关系？
y=f(x) y y=f(x)
a b
cd e f o g h i j x
【函数极值的定义】
设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义 (1)如果在x=x0处的函数值比它附近所有各点的函数值 都大，即f(x)<f(x0),则称 f(x0)是函数 y=f(x)的一个极大值.记作:y极大值=f(x0) (2)如果在x=x0处的函数值比它附近所有各点的函数值 都小，即f(x)>f(x0),则称 f(x0)是函数 y=f(x)的一个极小值.记作:y极小值=f(x0)
（1） 求函数f (x) x2 ex的极值.
（2） 求函数 f ( x) x a2 (a 0) 的极值.
x
例2. 求函数 y ( x 1)3 x 2的极值.
四、0导数点与极值点的关系?
例3. 求函数y 3x5 5x3的极值
结论:
1. 可导函数的极值点
导数为0.
2. 不可导点也可能是极值点，主要按定义判断. （即左右导数异号）
y
f (x3)
f (x4 )
f (x1 )
f (x2)
O a x1
x2
x3 x4 b
x
结论：
(1)如果f /(x0)=0, 并且在x0附近的左侧f /(x0)>0
右侧f /(x0)<0, 那么f(x0)是极大值
y
f (x0) 0
f (x) 0 f (x) 0
oa
X00
b
x
(2)如果f /(x0)=0, 并且在x0附近的左侧 f /(x0)<0
右侧f /(x0)>0, 那么f(x0)是极小值
y
f 0 ) 0
左右导 数异号
oa
X0
b
x
口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。
例1. 求 函 数f ( x ) 1 x 3 4 x 4的 极 值.
3
三、用导数法求解函数极值的步骤：
(1)求导函数f `(x)及定义域；
极大值与极小值统称为极值,x0叫做函数的极值点.
说明:
1、极大值与极小值统称为极值. 2、极值点是自变量，极值是函数值
3、极值点是区间内部的点而不会是端点.
4、某区间上的单调的函数没有极值. 有极值就不单调
5、极大值与极小值没有必然的大小关系,即极大值 不一定比极小值大,极小值不一定比极大值小.
6、函数的极大值、极小值未必是函数的最大值、 最小值.
(2)求解方程f `(x)=0；
(3)检查f `(x)在方程f `(x)=0的根的左右的符号， 并根据符号确定极大值与极小值.
x (…,b) b (b, …)
f’(x) + 0
-
f(x)
f(b)
（4）结论
x (…,a) a (a, …)
f’(x)
-0
+
f(x)
f(a)
表格法 注意：表格要体现定义域
练习：