28.2_解直角三角形_达标训练(含答案)
初中数学 28.2 解直角三角形配套课时练习(2)及答案
28.2 解直角三角形配套课时练习(2)1．在下面条件中不能解直角三角形的是（）A．已知两条边B．已知两锐角C．已知一边一锐角D．已知三边2．在△ABC中，∠C=90°，a=5，c=13，用科学计算器求∠A约等于（）A．24°38′ B．65°22′ C．67°23′ D．22°37′3．在△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，有下列关系式：•①b=ccosB，②b=atanB，③a=csinA，④a=bcotB，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．为测一河两岸相对两电线杆A、B间距离，在距A点15m的C处，（AC⊥AB），测得∠ACB=50°，则A、B间的距离应为( )mA．15sin50°B．15cos50°C．15tan50°D．15cot50°5．在△ABC中，∠C=90°，三角形面积为，则斜边c=_____，∠A的度数是____．6．在直角三角形中，三个内角度数的比为1：2：3，若斜边为a，•则两条直角边的和为________．7．四边形ABCD中，∠C=90°，AB=12，BC=4，CD=3，AD=13，•则四边形ABCD•的面积为________．8．如图，小明想测量电线杆AB•的高度，•发展电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=4米，BC=10米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度约为_______米．（结果保留≈1.41≈1.73）9．如图所示，在Rt△ABC中，a，b分别是∠A，∠B的对边，c为斜边，如果已知两个元素a，∠B，就可以求出其余三个未知元素b，c，∠A．52（1）求解的方法有多种，请你按照下列步骤，完成一种求解过程．第一步：已知：a,∠B,用关系式:_______________,求出:_________________;第二步：已知：_____,用关系式:_______________,求出:_________________;第三步：已知：_____,用关系式:_______________,求出:_________________.（2）请你分别给出a，∠B的一个具体数据，然后按照（1）中的思路，求出b，c，∠A的值．10．在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，CD=3cm，AB=7cm，高为cm，求底角B的度数．b caA11．国家电力总公司为了改善农村用电量过高的现状，目前正在全面改造各地农村的运行电网，莲花村六组有四个村庄A，B，C，D正好位于一个正方形的四个顶点，•现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图所示的实线部分，请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线=1.414=1.732=2.236）．12．在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边c=5，两直角边的长a，b是关于x的一元二次方程x2-mx+2m-2=0的两个根，求Rt△ABC中较小锐角的余弦值．参考答案：1．B 。
28.2_解直角三角形_达标训练(含答案)
28.2 解直角三角形 达标训练一、基础·巩固达标1.如图28.2－21，电线杆AB 的中点C 处有一标志物，在地面D 点处测得标志物的仰角为45°，若点D 到电线杆底部点B 的距离为a ，则电线杆AB 的长可表示为( )A.aB.2aC.a 23D.a 25图28.2－21 图28.2－22 (第3题)2.如图28.2－22，梯形护坡石坝的斜坡AB 的坡度i=1∶3，坝高BC 为2米，则斜坡AB 的长是( ) A.52米 B.102米 C.54米 D.6米3.AE 、CF 是锐角△ABC 的两条高，如果AE ∶CF=3∶2，则sinA ∶sinC 等于( )A.3∶2B.2∶3C.9∶4D.4∶94.如图28.2－23，等腰三角形ABC 的顶角为120°，腰长为10，则底边上的高AD=________.图28.2－23 图28.2－24 5.如图28.2－24是一口直径AB 为4米，深BC 为2米的圆柱形养蛙池，小青蛙们晚上经常坐在池底中心O 观赏月亮，则它们看见月亮的最大视角∠COD=_______度(不考虑青蛙的身高).6.如图28.2－25，小勇想估测家门前的一棵树的高度，他站在窗户C 处，观察到树顶端A 正好与C 处在同一水平线上，小勇测得树底B 的俯角为60°，并发现B 点距墙脚D 之间恰好铺设有六块边长为0.5米的正方形地砖，因此测算出B 点到墙脚之间的距离为3米，请你帮助小勇算出树的高度AB 约多少米？(结果保留1位小数)图28.2－25二、综合•应用达标7.如图28.2－26，天空中有一个静止的广告气球C，从地面A点测得C点的仰角为45°，从地面B点测得C点的仰角为60°.已知AB=20 米，点C和直线AB在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度(结果保留一位小数).图28.2－268.初三(5)班综合实践小组去湖滨花园测量人工湖的长，如图28.2－27所示，A、D是人工湖边的两座雕塑，AB、BC是湖滨花园的小路，小东同学进行如下测量，B点在A点北偏东60°方向，C点在B点北偏东45°方向，C点在D点正东方向，且测得AB=20米，BC=40米，求AD的长. (结果精确到0.01米)图28.2－279.如图28.2－28，城市规划期间，要拆除一电线杆AB ，已知距电线杆水平距离14米的D 处有一大坝，背水坡的坡度i=2∶1，坝高CF 为2米，在坝顶C 处测得杆顶A 的仰角为30°，D 、E 之间是宽为2米的人行道.请问：在拆除电线杆AB 时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上?请说明理由(在地面上，以点B 为圆心，以AB 长为半径的圆形区域为危险区域).图28.2－28三、回顾•展望达标10.如图28.2－29，某飞机于空中A 处探测倒地面目标B ，此时从飞机上看目标B 的俯角α=30°，飞行高度AC=1 200米，则飞机到目标B 的距离AB 为( )A.1 200米B.2 400米C.3400米D.31200米图28.2－29 图28.2－30 图28.2－3111.一人乘雪橇沿坡比1∶3的斜坡笔直滑下，滑下的距离s(米)与时间t(秒)间的关系为s=10t ＋2t 2，若滑到坡底的时间为4秒，则此人下降的高度为( )A.72 mB.36 mC.36 mD.318 m12.如图28.2－31，测量队为了测量某地区山顶P 的海拔高度，选M 点作为观测点，从M 点测量山顶P 的仰角为30°，在比例尺为1∶50 000的该地区等高线地形图上，量得这两点的图上距离为6厘米，则山顶P的海拔高度为( )A.1 732米B.1 982米C.3 000米D.3 250米13. 某商场门前的台阶截面积如图28.2－32所示.已知每级台阶的席度(如CD)均为0.3 m，高度(如BE)均为0.2 m.现将此台阶改造成供轮椅行走的斜坡，并且设计斜坡的倾斜角∠A 为9°，计算从斜坡的起点A到台阶前点B的距离(精确到0.1 m)(参考数据：sin9°≈0.16，cos9°≈0.99，tan9°≈0.16).图28.2－3214.如图28.2－33，海上有一灯塔P，在它周围3海里处有暗礁.一艘客轮以9海里/时 的速度由西向东航行,行至A点处测得P在它的北偏东60°的方向,继续行驶20分钟后,到达B 处又测得灯塔P在它的北偏东45°方向.问客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险?图28.2－3315.如图28.2－34，由山脚下的一点A测得山顶D的仰角是45°，从A沿倾斜角为30°的山坡前进1 500米到B，再次测得山顶D的仰角为60°，求山高CD.图28.2－3416.如图28.2－35所示，A、B为两个村庄，AB、BC、CD为公路，BD为田地，AD为河宽，且CD与AD互相垂直.现在要从E处开始铺设通往村庄A、村庄B的一条电缆，共有如下两种铺设方案：方案一：E→D→A→B;方案二：E→C→B→A.4千米，BC=10千米，C E=6千米，∠BDC=45°，∠ABD=15°.经测量得AB=3已知：地下电缆的修建费为2万元/千米，水下电缆的修建费为4万元/千米.(1)求出河宽AD(结果保留根号)；(2)求出公路CD的长；(3)哪种方案铺设电缆的费用低？请说明你的理由.图28.2－3517.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力.如图28.2－36，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30°方向往C移动，且台风中心风力不变.若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响.(1)该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由.(2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长?(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级?图28.2－36参考答案一、基础·巩固达标1.如图28.2－21，电线杆AB 的中点C 处有一标志物，在地面D 点处测得标志物的仰角为45°，若点D 到电线杆底部点B 的距离为a ，则电线杆AB 的长可表示为( )图28.2－21A.aB.2aC.a 23 D.a 25 思路解析：直接用等腰直角三角形的性质.答案：B2.如图28.2－22，梯形护坡石坝的斜坡AB 的坡度i=1∶3，坝高BC 为2米，则斜坡AB 的长是( )图28.2－22 A.52米 B.102米 C.54米 D.6米思路解析：坡度的定义ACBC i，所以BC ∶AC ∶AB=1∶3∶10. 答案：B3.AE 、CF 是锐角△ABC 的两条高，如果AE ∶CF=3∶2，则sinA ∶sinC 等于( )A.3∶2B.2∶3C.9∶4D.4∶9思路解析：画出图形，在Rt △AFC 中，sinA=AC CF ；在Rt △AEC 中，sinC=ACAE .所以sinA ∶sinC=ACAE AC CF :=CF ∶AE=2∶3. 答案：B 4.如图28.2－23，等腰三角形ABC 的顶角为120°，腰长为10，则底边上的高AD=________.图28.2－23思路解析：等腰三角形顶角平分线垂直平分底边，Rt △ADC 中，AC=10，∠DAC=60°. 答案：55.如图28.2－24是一口直径AB 为4米，深BC 为2米的圆柱形养蛙池，小青蛙们晚上经常坐在池底中心O 观赏月亮，则它们看见月亮的最大视角∠COD=_______度(不考虑青蛙的身高).图28.2－24思路解析：在Rt △OBC 中，OB=OC ，可以得到∠BOC=45°，所以∠COD=2∠BOC=90°. 答案：90°6.如图28.2－25，小勇想估测家门前的一棵树的高度，他站在窗户C 处，观察到树顶端A 正好与C 处在同一水平线上，小勇测得树底B 的俯角为60°，并发现B 点距墙脚D 之间恰好铺设有六块边长为0.5米的正方形地砖，因此测算出B 点到墙脚之间的距离为3米，请你帮助小勇算出树的高度AB 约多少米？(结果保留1位小数)图28.2－25思路解析：在Rt △ABC 中，∠A=90°,∠BCA=60°，AC=3米，用正切函数关系求出AB 的长.解：如图，在Rt △ABC 中，AC=BD=3米，tan ∠BCA=ACAB ， 所以AB=AC×tan ∠BCA=3×tan60°=3×3≈5.2 (米).答：树的高度AB 约为5.2米.二、综合•应用达标 7.如图28.2－26，天空中有一个静止的广告气球C ，从地面A 点测得C 点的仰角为45°，从地面B 点测得C 点的仰角为60°.已知AB=20 米，点C 和直线AB 在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度(结果保留一位小数).图28.2－26思路解析：作出气球离地面的高度，构成了直角三角形，利用直角三角形求解.解：作CD ⊥AB,垂足为D.设气球离地面的高度是x 米.在Rt △ACD 中，∠CAD=45°，所以AD=CD=x.在Rt △CBD 中，∠CBD=60°，所以tan60°=BD CD ，BD=x 33. 因为AB=AD －BD ，所以20=x －x 33.解得x≈47.3(米). 答：气球离地面的高度约是47.3米.8.初三(5)班综合实践小组去湖滨花园测量人工湖的长，如图28.2－27所示，A 、D 是人工湖边的两座雕塑，AB 、BC 是湖滨花园的小路，小东同学进行如下测量，B 点在A 点北偏东60°方向，C 点在B 点北偏东45°方向，C 点在D 点正东方向，且测得AB=20米，BC=40米，求AD 的长. (结果精确到0.01米)图28.2－27思路解析：作高构造直角三角形并寻找线段之间的关系.解：过点B 作BE ⊥AD ，BF ⊥CD ，垂足分别为E 、F.由题意，知AD ⊥CD.因为四边形BFDE 为矩形，所以BF=ED.在Rt △ABE 中，AE=AB×cos ∠EAB ，在Rt △BCF 中，BF=BC×cos ∠FBC ，所以AD=AE+BF=20×cos60°+40×cos45°=20×21+40×22=10+220， 即AD≈10+20×1.414=38.28(米).9.如图28.2－28，城市规划期间，要拆除一电线杆AB ，已知距电线杆水平距离14米的D 处有一大坝，背水坡的坡度i=2∶1，坝高CF 为2米，在坝顶C 处测得杆顶A 的仰角为30°，D 、E 之间是宽为2米的人行道.请问：在拆除电线杆AB 时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上?请说明理由(在地面上，以点B 为圆心，以AB 长为半径的圆形区域为危险区域).图28.2－28思路解析：有没有必要将此人行道封上，就要看电线杆倒下时，能不能到达人行道上，若AB ＞BE ，则电线杆会倒到人行道上.只要计算出AB 的长，利用30°仰角这个条件，可以在点Ｃ处作CH ⊥AB ，在Rt △AHC 中解直角三角形.解：在拆除电线杆AB 时，不需要将此人行道封上.理由如下：作CH ⊥AB ，垂足为H.在Rt △CDF 中，I=1:2 DF CF ，所以DF=21 CF=21×2=1(米). 所以HC=BF=BD+DF=14+1=15(米). 在Rt △AHC 中，tan ∠ACH=AC AH ， 所以AH=HC×tan ∠ACH=15×tan30°=15×33≈8.7(米). 因此AB=AH+HB=AH+CF=8.7+2=10.7(米).因为BE=BD －DE=14－2=12(米)，10.7<12,所以电线杆不会倒到人行道上，不需要将此人行道封上.三、回顾•展望达标10.如图28.2－29，某飞机于空中A 处探测倒地面目标B ，此时从飞机上看目标B 的俯角α=30°，飞行高度AC=1 200米，则飞机到目标B 的距离AB 为( )图28.2－29A.1 200米B.2 400米C.3400米D.31200米 思路解析：∠ABC=α，解直角三角形.答案：B11.一人乘雪橇沿坡比1∶3的斜坡笔直滑下，滑下的距离s(米)与时间t(秒)间的关系为s=10t ＋2t 2，若滑到坡底的时间为4秒，则此人下降的高度为( )图28.2－30A.72 mB.36 mC.36 mD.318 m思路解析：根据公式，算出斜坡的坡长，构造斜边为s 的直角三角形，用坡比的定义解答.答案：C12.如图28.2－31，测量队为了测量某地区山顶P 的海拔高度，选M 点作为观测点，从M 点测量山顶P 的仰角为30°，在比例尺为1∶50 000的该地区等高线地形图上，量得这两点的图上距离为6厘米，则山顶P 的海拔高度为( )图28.2－31A.1 732米B.1 982米C.3 000米D.3 250米 思路解析：等高线地图上，两点的图上距离是指两点的水平距离，山顶的海拔高度是指P 点的竖直高度，画出视线、两点的水平距离、高度的示意图，它们可以构成直角三角形，通过解直角三角形求出.如图，在Rt △POM 中，∠O=90°，∠M=30°，OM=6×500=3 000(米)，因为tanM=OM OP ，所以OP=OM×tan30°=3 000×33≈1 732(米). 答案：A13. 某商场门前的台阶截面积如图28.2－32所示.已知每级台阶的席度(如CD)均为0.3 m ，高度(如BE)均为0.2 m.现将此台阶改造成供轮椅行走的斜坡，并且设计斜坡的倾斜角∠A 为9°，计算从斜坡的起点A 到台阶前点B 的距离(精确到0.1 m)(参考数据：sin9°≈0.16，cos9°≈0.99，tan9°≈0.16).图28.2－32思路解析：根据图形，构造直角三角形.解：如图，过C 作CF ⊥AB 交AB 的延长线于F.由条件，得CF=0.8 m ，BF=0.9 m.在Rt △CAF 中，∵tanA=AF CF ，∴AF≈16.08.0=5(m). ∴AB=AF －BF=5－0.9=4.1(m).答：从斜坡起点A 到台阶前点B 的距离约为4.1 m.14.如图28.2－33，海上有一灯塔P ，在它周围3海里处有暗礁.一艘客轮以9海里/时 的速度由西向东航行,行至A 点处测得P 在它的北偏东60°的方向,继续行驶20分钟后,到达B 处又测得灯塔P 在它的北偏东45°方向.问客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险?图28.2－33思路解析：构造直角三角形，用方程求解点P 到AB 的距离，若这个距离大于3海里，表明客轮在暗礁范围外，客轮不会触礁.解：过P 作PC ⊥AB 于C 点，据题意知: AB=9×62=3.∵∠PCB=90°，∠PBC=90°－45°=45°,∴PC=BC.在Rt △PAC 中，∠PAB=90°－60°=30°，∴tan30°=PCPC BC AB PC AC PC +=+=3, 即PC PC +=333.∴32333>+=PC . ∴客轮不改变方向继续前进无触礁危险.15.如图28.2－34，由山脚下的一点A 测得山顶D 的仰角是45°，从A 沿倾斜角为30°的山坡前进1 500米到B ，再次测得山顶D 的仰角为60°，求山高CD.图28.2－34思路解析：题目中知道AB的长，需要把AB转化到直角三角形中，考虑∠DBE=60°，过点B分别向AC、DC作垂线，构成直角三角形.解：过点B作CD、AC的垂线，垂足分别为E、F.∵∠BAC=30°，AB=1 500米,750米.∴BF=EC=750米，AF=3设FC=x米,∵∠DBE=60°,∴DE=x3米.又∵∠DAC=45°,∴AC=CD,750+x=750+3米.得x=750.即3750)米.∴CD=(750+3750)米.答：山高CD为(750+316.如图28.2－35所示，A、B为两个村庄，AB、BC、CD为公路，BD为田地，AD为河宽，且CD与AD互相垂直.现在要从E处开始铺设通往村庄A、村庄B的一条电缆，共有如下两种铺设方案：图28.2－35方案一：E→D→A→B;方案二：E→C→B→A.经测量得AB=34千米，BC=10千米，C E=6千米，∠BDC=45°，∠ABD=15°. 已知：地下电缆的修建费为2万元/千米，水下电缆的修建费为4万元/千米.(1)求出河宽AD(结果保留根号)；(2)求出公路CD 的长；(3)哪种方案铺设电缆的费用低？请说明你的理由.思路解析：这是一道几何应用题，解题时要善于把实际问题抽象成几何图形，并领会图形中的几何元素代表的意义，由题意可分析出，当A 点距台风中心不超过160千米时，会受台风影响，若过A 作AD ⊥BC 于D ，设E ，F 分别表示A 市受台风影响的最初、最后时台风中心的位置，则AE=AF=160千米；当台风中心位于D 处时，A 市受台风影响的风力最大.解：(1)如图，经过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D.在Rt △ABD 中，AB=220，∠B=30°.所以AD=110(千米).由题意，当A 点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响.故该城市会受到这次台风的影响.(2)由题意，当A 点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响，由对称性可以知道AE=AF=160千米.当台风中心从E 处移到F 处时，该城市都会受到这次台风的影响.在Rt △ADE 中，由勾股定理，得530502701101602222=⨯=-=-=AD AE DE .所以EF=1560 (千米).因为该台风中心以15千米／时的速度移动. 所以这次台风影响该城市的持续时间为154151560= (小时). (3)当台风中心位于D 处时，A 市所受这次台风的风力最大，其最大风力为5.62011012=-(级). 17.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力.如图28.2－36，据气象观测，距沿海某城市A 的正南方向220千米B 处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30°方向往C 移动，且台风中心风力不变.若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响.图28.2－36(1)该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由.(2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长?(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级?思路解析：本题的实质是解两个非直角三角形，一般是适当作高，运用特殊角解直角三角形.在△ABD 中，过点B 作AD 边的高，得到一个等腰直角三角形(大三角形)和一个含30°的特殊直角三角形.同理，CD 的长也可以在△BCD 中作高计算得到.比较两个方案，就是计算两种方案的铺设费用大小，A→D 需铺设水下电缆.解：(1)过点B 作BF ⊥AD ，交DA 的延长线于F(如图)， 在Rt △ABF 中，AB=34,∠BAF=60°，所以BF=AB×sin60°=2334⨯=6(千米)， AF=AB×cos60°=322134=⨯(千米). 在Rt △BDF 中，DF=BF=6(千米)，所以 BD=262/2645sin ==︒AB (千米).因此，河宽AD=DF －AF=6－32(千米).(2)作BH ⊥CD 于点H.在Rt △BDH 中，BH=HD=6千米，在Rt △CBH 中，86102222=-=-=BH BC CH (千米). 因此，公路CD=CH+HD=14(千米).(3)选择方案二铺设电缆的费用低.理由如下：方案一需要的费用：8×2+(6－32)×4+34×2=40(万元)；方案二需要的费用：6×2＋10×2＋34×2=22＋38≈35.9(万元).。
28.2 解直角三角形(2)精讲精练(含答案).doc
一、基础知识1、解直角三角形在实际问题中的应用：（1）弄清题中名词、术语的意义，把握题意画出几何图形；（2）将实际问题的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系，当有些图形不是直角三角形时，可添加适当的辅助线，把它们分割成直角三角形或者矩形；（3）寻找基础三角形，并解这个三角形.2、仰角、俯角概念：如图所示，在测量中，我们把在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角.二、重难点分析重点：把实际问题转化为数学问题. 并能选用适当的锐角三角函数关系式去解答直角三角形问题 .难点：把实际问题转化为数学问题.例1、在山脚C处测得山顶A的仰角为45º，沿着坡角为30 °的斜坡前进400米到达D点，在D点测得山顶A的仰角为60 º ,求山高AB。
【点评】将实际问题转化为数学问题，并正确画出示意图，构造直角三角形，根据AB=BC 建立方程求解.例2、两座建筑AB及CD，其地面距离AC为50米，从AB的顶点B测得CD的顶部D的仰角β＝30°,测得其底部C的俯角a＝60°, 求两座建筑物AB及CD的高.（精确到0.1米）∴CE=BE•tanα【点评】本题考查俯角、仰角的知识，难度适中，要求学生能借助其关系构造直角三角形并解直角三角形．三、中考感悟1、（2014•百色）从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点C处的俯角为45°，看到楼顶部点D处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，则教学楼的高CD是（）A. (6+6)米B. （6+3米C. （6+2米D. 12米2、（2014•随州）如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得AC=100米，则B点到河岸AD的距离为（）A. 100米B. 50C.D. 50米【解析】过B作BM⊥AD，根据三角形内角与外角的关系可得∠ABC=30°，再根据等角对等边可得BC=AC，然后再计算出∠CBM的度数，进而得到CM长，最后利用勾股定理可得答案．四、专项训练（一）基础练习1、如图，AC是电杆AB的一根拉线，测得BC=6米，∠ACB=52°，则拉线AC的长为（）A.6sin52︒米B.6tan52︒米C. 6·cos52º米D.6cos52︒米【答案】D2、如图，某侦察机在空中A处发现敌方地面目标B，此时从飞机上看目标B的俯角为α，已知飞行高度AC=4500米，tanα，则飞机到目标B的水平距离BC为（）A BC D故选A.【答案】A3、初三（1）班研究性学习小组为了测量学校旗杆的高度（如图），他们在离旗杆底部E 点30米的D处，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为30°，已知测角仪器高AD=1.4米，则旗杆BE的高为米（结果保留根号）4、如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB）为1.6m，则这棵树的高度为（）（结果精确到0.1m）．A. 3.5mB. 3.6mC. 4.3mD. 5.1m5、如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（）A. 200米B米C米D. 100+1）米【答案】D6、如图，某学校新建了一座吴玉章雕塑，小林站在距离雕塑2.7米的A处自B点看雕塑头顶D的仰角为45°，看雕塑底部C的仰角为30°，求塑像CD的高度．（最后结果精确到0.1≈1.7）【解析】首先分析图形：根据题意构造两个直角三角（二）提升练习7、在中俄“海上联合-2014”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30°，位于军舰A正上方1000米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68°，试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度．（结果保留整数，参考数据：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5）8、如图，某翼装飞行员从离水平地面高AC=500m的A处出发，沿着俯角为15°的方向，直线滑行1600米到达D点，然后打开降落伞以75°的俯角降落到地面上的B点．求他飞行的水平距离BC（结果精确到1m）．。
解直角三角形练习题(带答案)
解直角三角形—题集1.如图，在地面上的点处测得树顶的仰角为度，米，则树高为（ ）．A.米B.米C.米D.米【答案】A【解析】米．【标注】【知识点】仰角与俯角2.如图，斜坡，坡顶到水平地面的距离为米，坡底为米，在处，处分别测得顶部点的仰角为，，求的长度．（结果保留根号）．【答案】的长度为米．【解析】设米，则米，由题意得，四边形为矩形，∴，在中，∴ ，在中，，∴，∴，解得，，∴．答：的长度为米．【标注】【知识点】仰角与俯角A.的值越小，梯子越陡B.的值越小，梯子越陡C.的值越小，梯子越陡D.陡缓程度与的函数值无关3.如图，梯子跟地面的夹角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（）．【答案】B【标注】【知识点】坡度4.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为米，坡面的坡度为，文化墙在天桥底部正前方米处（的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为．（1）（2）若新坡面坡角为，求坡角度数．有关部门规定，文化墙距天桥底部小于米时应拆除，天桥改造后，该文化墙是否需要拆除？请说明理由．（参考数据：，）【答案】（1）（2）．该文化墙需要拆除，证明见解析．【解析】（1）（2）∵新坡面坡角为，新坡面的坡度为，∴，∴．作于点，则米，∵新坡面的坡度为，∴，解得，米，∵坡面的坡度为，米，∴米，∴米，又∵米，∴米米，故该文化墙需要拆除．【标注】【知识点】坡度游船港口海警船北（1）（2）5.一艘观光游船从港口以北偏东的方向出港观光，航行海里至处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东方向，马上以海里每小时的速度前往救援．求点到直线的距离．求海警船到达事故船处所需的大约时间．（温馨提示：，）【答案】（1）（2）海里．小时．【解析】游船港口海警船北（1）（2）如图，过点作交延长线于．在中，∵，，海里，∴点到直线距离海里．在中，∵，，∴（海里），∴海警船到达事故船处所需的时间大约为：（小时）．【标注】【知识点】方位角在锐角三角函数中的应用6.一副直角三角板按如图所示放置，点在的延长线上，，，，，，则的长为 ．【答案】【解析】过点作于点，在中，，，，∴．∵，∴．，在中，，，∴，∴，∴．【标注】【知识点】三角板拼接问题7.如图，是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧与墙平行且距离为米，一辆小汽车车门宽为米，当车门打开角度为时，车门是否会碰到墙？ ．（填“是”或“否”）请简述你的理由 ．（参考数据：，，）．【答案】否 ; 点到的距离小于与墙的距离【解析】过点作，垂足为点，如图．在中，∵，米，∴米，∵汽车靠墙一侧与墙平行且距离为米，∴车门不会碰到墙(点到的距离小于与墙的距离)．故答案为：否；点到的距离小于与墙的距离．【标注】【知识点】测量物体之间的距离8.小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为米，坡面上的影长为米．已知斜坡的坡角为，同一时刻，一根长为米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为米，求树的高度．【答案】米．【解析】延长交延长线于点，则，作于，在中，，，∴（米），（米），在中，∵同一时刻，一根长为米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为米，（米），，∴（米），∴（米），在中，（米），故答案为：米．【标注】【知识点】影子问题（1）（2）9.如图，在中，，点是边的中点，，．求和的长．求的值．【答案】（1）（2），．．【解析】（1）（2）∵点是边的中点，且∴．∵，∴．∵在中，，，∴．在中，，，∴．故，．如图，作交于点．∵在中，，，∴设，，由勾股定理可得，解得，∴．在中，∵，，∴．即．【标注】【知识点】解直角三角形的综合应用10.如图，在四边形中，，于点，已知，，，求的长．【答案】．【解析】过点作于．∵在中，，，∴，．∵，，∴，∵，∴．∴在中，，，∴，．又∵在中，，，．∴．【标注】【知识点】解直角三角形的综合应用11.如图，在中，，，=， ，求．【答案】．【解析】 在中，，，，，，由勾股定理得：，∵，∴，∵∴，，∴．【标注】【知识点】解直角三角形的综合应用。
28.2_解直角三角形(二)同步测控优化训练(含答案)
28.2 解直角三角形（二）一、课前预习 (5分钟训练)1.在△ABC 中，已知∠C=90°，BC=3，tanB=2，那么AC 为( )A.3B.4C.5D.62.如图28－2－2－1，在△ABC 中,∠C=90°,点D 在BC 上，CD=3，AD=BC,且cos ∠ADC=53，则BD 的长是( )A.4B.3C.2D.1图28－2－2－1 图28－2－2－２3.如图28－2－2－２，在离地面高度5 m 处引拉线固定电线杆，拉线与地面成60°角，则AC=______，AD=__________.（用根号表示）二、课中强化(10分钟训练)1.等腰三角形的两条边长分别是4 cm 、9 cm ，则等腰三角形的底角的余弦值是( )A.94 B.45.4 C.92 D.932.如果由点A 测得点B 在北偏东15°方向，那么点B 测得点A 的方向为___________.3.如图28－2－2－3，已知在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝6，∠ABC ＝45°，求BC 长及tanC.图28－2－2－34.如图28－2－2－４，初三年级某同学要测量校园内的旗杆AB的高度.在地面上C点用测角仪测得旗杆顶A点的仰角为∠AFE=60°，再沿着直线BC后退8米到D，在D点又测得旗杆顶A的仰角∠AGE=45°.已知测角仪的高度为1.6米，求旗杆AB的高度.（3的近似值取1.7，结果保留1位小数）图28－2－2－４5.如图28－2－2－５，在比水面高2 m的A地，观测河对岸有一直立树BC的顶部B的仰角为30°，它在水中的倒影B′C顶部B′的俯角是45°，求树高BC.（结果保留根号）图28－2－2－５三、课后巩固(30分钟训练)1.如图28－2－2－6，两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角为β，则较低建筑物CD的高度为( )A.aB.atanαC.a(sinα－cosα)D.a(tanβ－tanα)图28－2－2－6 图28－2－2－72.有人说，数学家就是不用爬树或把树砍倒就能够知道树高的人.小敏想知道校园内一棵大树的高度（如图28－2－2－7），他测得CB=10米，∠ACB=50°，请你帮他算出树高AB,约为________________米.（注：①树垂直于地面；②供选用数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）3.某片绿地的形状如图28－2－2－8所示，其中∠A=60°，AB⊥BC，AD⊥CD，AB=200 m，CD=100 m，求AD、BC的长.（精确到1 m，3≈1.732）图28－2－2－84.如图28－2－2－9，在△ABC中，∠B=30°,∠C=45°,AC=2,求AB和BC.图28－2－2－95.如图28－2－2－10，塔AB和楼CD的水平距离为80米，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别是45°和60°.求塔高与楼高.（精确到0.01米）（参考数据2=1.414 21，3=1.732 05）图28－2－2－106.如图28－2－2－11,某船向正东方向航行,在A处望见某岛C在北偏东60°方向，前进6海里到B点，测得该岛在北偏东30°方向.已知该岛周围6海里内有暗礁,若该船继续向东航行,有无触礁危险?请说明理由.(参考数据:3≈1.732)图28－2－2－117.如图28－2－2－12，武当山风景管理区，为提高游客到某景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，把倾角由44°减至32°，已知原台阶AB的长为5米（BC所在地面为水平面）.（1）改善后的台阶会加长多少？（精确到0.01米）（2）改善后的台阶多占多长一段地面？（精确到0.01米）图28－2－2－128.如图28－2－2－13,某海关缉私艇巡逻到达A处时接到情报，在A处北偏西60°方向的B 处发现一艘可疑船只正以24海里/时的速度向正东方向前进，上级命令要对可疑船只进行检查，该艇立即沿北偏西45°的方向快速前进，经过1个小时的航行，恰好在C处截住可疑船只，求该艇的速度.(结果保留整数,6=2.449,3=1.732,2=1.414)图28－2－2－13参考答案一、课前预习 (5分钟训练)1.在△ABC 中，已知∠C=90°，BC=3，tanB=2，那么AC 为( )A.3B.4C.5D.6 解析：AC=BC·tanB=6. 答案：D2.如图28－2－2－1，在△ABC 中,∠C=90°,点D 在BC 上，CD=3，AD=BC,且cos ∠ADC=53，则BD 的长是( )图28－2－2－1A.4B.3C.2D.1解析：求BD 需求BC,而BC=AD,在Rt △ADC 中,已知一角一边,可求出AD. 在Rt △ADC 中，CD=3，且cos ∠ADC=53，∴AD=5,∴BC=AD=5.∴BD=2. 答案：C3.如图28－2－2－２，在离地面高度5 m 处引拉线固定电线杆，拉线与地面成60°角，则AC=______，AD=__________.（用根号表示）图28－2－2－２解析：在Rt △ABD 中,∠A=60°，CD=5，∴AC=331060sin =︒CD ,AD=33560tan =︒CD .答案:3310 335二、课中强化(10分钟训练)1.等腰三角形的两条边长分别是4 cm 、9 cm ，则等腰三角形的底角的余弦值是( )A.94 B.45.4 C.92 D.93 解析：根据构成三角形的条件，该等腰三角形的三边长为9、9、4，∴其底角的余弦值为92. 答案：C2.如果由点A 测得点B 在北偏东15°方向，那么点B 测得点A 的方向为___________.解析：搞清观察方向，可以借助示意图来解决. 答案:南偏西15°或西偏南75°3.如图28－2－2－3，已知在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝6，∠ABC ＝45°，求BC 长及tanC.图28－2－2－3分析：作BC 边上的高AD ，构造直角三角形.在Rt △ADB 中已知一角一边，可求得AD 、BD ，在Rt △ADC 中由勾股定理求出CD.解：过点A 作AD ⊥BC 于D, 在Rt △ABD 中，∠B ＝45°， ∵sinB=ABAD, ∴AD=AB·sinB=4·sin45°=4×22=22, ∴BD=22.在Rt △ADC 中，AC=6, 由勾股定理得DC=72)22(62222=-=-AD AC ,∴BC=BD+DC=7222+,tanC=7147222==DC AD . 4.如图28－2－2－４，初三年级某同学要测量校园内的旗杆AB 的高度.在地面上C 点用测角仪测得旗杆顶A 点的仰角为∠AFE=60°，再沿着直线BC 后退8米到D ，在D 点又测得旗杆顶A的仰角∠AGE=45°.已知测角仪的高度为1.6米，求旗杆AB的高度.（3的近似值取1.7，结果保留1位小数）图28－2－2－４解：设EF为x米，在Rt△AEF中,∠AFE=60°，∴AE=EF·tan60°=3x，在Rt△AGE中,∠AGE=45°，∴AE=GE·tan45°=GE=8+x.∴3x=8+x.解之,得x=4+43.∴AE=12+43≈18.8.∴AB=20.4(米).答:旗杆AB高20.4米.5.如图28－2－2－５，在比水面高2 m的A地，观测河对岸有一直立树BC的顶部B的仰角为30°，它在水中的倒影B′C顶部B′的俯角是45°，求树高BC.（结果保留根号）图28－2－2－５解Rt△AEB与Rt△AEB′,得AE与BE、EB′的关系，解关于x的方程可求得答案.解：设树高BC=x(m)，过A作AE⊥BC于E，在Rt △ABE 中，BE=x －2,∠BAE=30°,cot ∠BAE=BEAE, ∴AE=BE·cot ∠BAE=(x －2)·3=3 (x －2). ∵∠B′AE=45°,AE ⊥BC. ∴B′E=AE=3(x －2).又∵B′E=B′C+EC=BC+AD=x+2, ∴3(x －2)=x+2.∴x=(4+23)(m). 答：树高BC 为(4+23) m. 三、课后巩固(30分钟训练)1.如图28－2－2－6，两建筑物的水平距离为a 米，从A 点测得D 点的俯角为α，测得C 点的俯角为β，则较低建筑物CD 的高度为( )图28－2－2－6A.aB.atanαC.a(sinα－cosα)D.a(tanβ－tanα) 解析:过D 点作AB 的垂线交AB 于E 点，在 Rt △ADE 中,∠ADE=α,DE=a, ∴AE=a·tanα.在Rt △ABC 中,∠ACB=β,BC=a, ∴AB=a·tan β.∴CD=AB －AE=a·tan β－a·tan α. 答案:D2.有人说，数学家就是不用爬树或把树砍倒就能够知道树高的人.小敏想知道校园内一棵大树的高度（如图28－2－2－7），他测得CB=10米，∠ACB=50°，请你帮他算出树高AB,约为________________米.（注：①树垂直于地面；②供选用数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）图28－2－2－7解析:AB=BC·tanC=12(米). 答案:123.某片绿地的形状如图28－2－2－8所示，其中∠A=60°，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，AB=200 m ，CD =100 m ，求AD 、BC 的长.（精确到1 m ，3≈1.732）图28－2－2－8解：延长AD ，交BC 的延长线于点E ，在Rt △ABE 中，∠A=60°，AB=200 m ， ∴BE=AB·tanA=3200 (m). AE=2120060cos =︒AB =400(m). 在Rt △CDE 中，∠CED=30°，CD=100 m ， ∴DE=CD·cot ∠CED=3100(m), CE=21100sin =∠CEDCD =200m. ∴AD=AE －DE=400－3100≈227(m),BC=BE －CE=3200－200≈146(m).4.如图28－2－2－9，在△ABC 中，∠B=30°,∠C=45°,AC=2,求AB 和BC.图28－2－2－9解：作三角形的高AD.在Rt △ACD 中,∠ACD=45°,AC=2,∴AD=CD=2.在Rt △ABD 中,∠B=30°,AD=2， ∴BD=630tan =︒AD ，AB=2230sin =︒AD.∴CB=BD+CD=2+6.5.如图28－2－2－10，塔AB 和楼CD 的水平距离为80米，从楼顶C 处及楼底D 处测得塔顶A 的仰角分别是45°和60°.求塔高与楼高.（精确到0.01米）（参考数据2=1.414 21，3=1.732 05）图28－2－2－10解：在Rt △ABD 中,BD=80米，∠BDA=60°， ∴AB=BD·tan60°=803≈138.56（米）. Rt △AEC 中,EC=BD=80,∠ACE=45°， ∴AE=CE=80(米).∴CD=AB －AE≈58.56（米）.答:塔高与楼高分别为138.56米、58.56米.6.如图28－2－2－11,某船向正东方向航行,在A 处望见某岛C 在北偏东60°方向，前进6海里到B 点，测得该岛在北偏东30°方向.已知该岛周围6海里内有暗礁,若该船继续向东航行,有无触礁危险?请说明理由.(参考数据:3≈1.732)图28－2－2－11解:继续向东行驶,有触礁的危险.过点C作CD垂直AB的延长线于D,∵∠CAB=30°,∠CBD=60°,∴∠BCD=30°.设CD的长为x,则tan∠CBD=BDxBDCD=,∴BD=33x.∴tan∠CAB=tan30°=xxADCD33633+==.∴x=33.∴x≈5.2<6.∴继续向东行驶,有触礁的危险.7.如图28－2－2－12，武当山风景管理区，为提高游客到某景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，把倾角由44°减至32°，已知原台阶AB的长为5米（BC所在地面为水平面）.（1）改善后的台阶会加长多少？（精确到0.01米）（2）改善后的台阶多占多长一段地面？（精确到0.01米）图28－2－2－12解：（1）如图，在Rt△ABC中，AC=AB·sin44°=5sin 44°≈3.473.在Rt △ACD 中，AD=︒=︒32sin 473.332sin AC ≈6.554. ∴AD －AB=6.554－5≈1.55.即改善后的台阶会加长1.55米,（2）如图，在Rt △ABC 中，BC =ABcos44°=5cos44°≈3.597.在Rt △ACD 中，CD=︒=︒32tan 473.332tan AC ≈5.558， ∴BD=CD －BC=5.558－3.597≈1.96,即改善后的台阶多占1.96米长的一段地面.8.如图28－2－2－13,某海关缉私艇巡逻到达A 处时接到情报，在A 处北偏西60°方向的B 处发现一艘可疑船只正以24海里/时的速度向正东方向前进，上级命令要对可疑船只进行检查，该艇立即沿北偏西45°的方向快速前进，经过1个小时的航行，恰好在C 处截住可疑船只，求该艇的速度.(结果保留整数,6=2.449,3=1.732,2=1.414)图28－2－2－13解：设OA 的长为x ，由于点C 在点A 的北偏西45°的方向上，∴OC=OA=x.根据题意,得tan30°=312243324=⇒+==⇒+x xx x x x +12. AC 2=x 2+x 2⇒AC=22x x +,∴AC≈46（海里）.答：该艇的速度是46海里/时.。
人教版-数学-九年级下册--28.2解直角三角形 本站原创 完整版
解直角三角形一、选择题1．（2009年甘肃兰州）如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为A．5m B．6m C．7m D．8m【关键词】解直角三角形．坡度【答案】A2．（2009年吉林长春）．菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，452AOC OC∠==°，B的坐标为（）A．2，B．2)，C．211)，D．(121)，【关键词】菱形的性质与判定．直角三角形的有关计算．平面内点的坐标的意义【答案】C3．(2009年河北)图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB．CD分别表示一楼．二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（）A833m B．4 m C．43m D．8 m【关键词】解直角三角形【答案】B4．(2009年山东潍坊)如图，小明要测量河内小岛B到河边公路l的距离，在A点测得30BAD∠=°，在C点测得60BCD∠=°，又测得50AC=米，则小岛B到公路l的距离为（）米．C D150°hxyOC BAA．25 B．253C．1003D．25253+【关键词】解直角三角形【答案】B5．（2009年湖北恩施）如图5，在ABC△中，C∠9060B D=∠=°，°，是AC上一点，DE AB⊥于E，且21CD DE==，，则BC的长为（）A．2 B．433C．23D．43【关键词】解直角三角形．【答案】B6．（200 9年浙江丽水）如图，已知△ABC中，∠ABC=90°,AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2 , l2，l3之间的距离为3 ,则AC的长是（）A．172B．52C．24D．7【关键词】直线与直线的距离．勾股定理，解直角三角形【答案】A7.（2009年山东泰安）在一次夏令营活动中，小亮从位于A点的营地出发，沿北偏东60°方向走了5km到达B地，然后再沿北偏西30°方向走了若干千米到达C地，测得A地在C 地南偏西30°方向，则A．C两地的距离为l1l2l3ACBBCA D lA ．km 3310 B.km 335 C.km 25 D.km 35 【关键词】解直角三角形【答案】A8．（2009年甘肃白银）某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（ ）A ．8米B ．83米C ．833米D ．433米 【关键词】倾斜角．直角三角形的有关计算【答案】C9.（2009年湖南益阳）如图3，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB 为A. αcos 5B. αcos 5C. αsin 5D. αsin 5【关键词】解直角三角形【答案】B10.．(2009年甘肃定西)某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（ ）A ．8米B ．83米C ．833米D ．433米 【关键词】解直角三角形【答案】C11.（2009年青海）一根电线杆的接线柱部分AB 在阳光下的投影CD 的长为1米，太阳光线与地面的夹角60ACD ∠=°，则AB 的长为（ ）A ．12米B ．3米α5米AB图3 第9题图C．32米D．33米【关键词】解直角三角形【答案】B二、填空题1.（2009年湖北仙桃）如图所示，小华同学在距离某建筑物6米的点A处测得广告牌B点．C 点的仰角分别为52°和35°，则广告牌的高度BC为_____________米(精确到0.1米)．(sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70；sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28)【关键词】解直角三角形.【答案】3.52. （2009年广西桂林）如图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部B与钢缆固定点C 的距离为4米，钢缆与地面的夹角为60º，则这条钢缆在电线杆上的固定点A到地面的距离AB是米．（结果保留根号）．【关键词】直角三角形【答案】33.（2009年黑龙江齐齐哈尔）（用直角边分别为3和4的两个直角三角形拼成凸四边形，所得的四边形的周长是____________．【关键词】直角三角形性质【答案】14或16或184.（2009年浙江宁波）如图，在坡屋顶的设计图中，AB AC=，屋顶的宽度l为10米，坡角α为35°，则坡屋顶高度h为米．（结果精确到0.1米）【关键词】直角三角形的有关计算【答案】3.55.（2009浙江丽水）将一副三角板按如图1位置摆放,使得两块三角板的直角边AC和MDAB Chlα第15题图AB C重合.已知AB=AC=8 cm,将△MED绕点A(M)逆时针旋转60°后(图2),两个三角形重叠（阴影）部分的面积约是▲cm2 (结果精确到0.1，73.13≈).【关键词】特殊三角形【答案】20.36．（2009年湖南怀化）如图8，小明从A地沿北偏东ο30方向走1003m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时小明离A地m．【关键词】直角三角形的有关计算【答案】1007.（2009年湖北鄂州) 小明同学在东西方向的沿江大道A处，测得江中灯塔P在北偏东60°方向上，在A处正东400米的B处，测得江中灯塔P在北偏东30°方向上，则灯塔P到沿江大道的距离为____________米．【关键词】方位角【答案】32008．（2009年广西南宁）如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔2A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为_____________海里（结果保留根号）．图2图1A(M)EDCBDCB A(M)【关键词】直角三角形的有关计算【答案】()40340+9.（2009年甘肃白银）如图7，在△ABC 中，5cm AB AC ==，cos B 35=．如果⊙O 的半径为10cm ，且经过点B ．C ，那么线段AO = cm ．【关键词】直角三角形的有关计算【答案】510.（2009年湖南衡阳）某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为52米，则这个破面的坡度为_________.【关键词】三角函数．坡度【答案】1:211．（2009年广西梧州）在△ABC 中，∠C ＝90°， BC ＝6 cm ，53sin =A ，则AB 的长是 cm ． 【关键词】解直角三角形【答案】1012.（2009年内蒙古包头）如图，已知ACB △与DFE △是两个全等的直角三角形，量得它们的斜边长为10cm ，较小锐角为30°，将这两个三角形摆成如图（1）所示的形状，使点B C F D 、、、在同一条直线上，且点C 与点F 重合，将图（1）中的ACB △绕点C 顺时针方向旋转到图（2）的位置，点E 在AB 边上，AC 交DE 于点G ，则线段FG 的长为 cm （保留根号）．【关键词】旋转．直角三角形答案：213．（2009年山东青岛）如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要 cm ；如果从点A 开始经过4个侧面缠绕n 圈到达点B ，那么所用细线最短需要 cm ．【关键词】直角三角形的有关计算．勾股定理【答案】10，14．（2009年安徽）长为4m 的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了 m ．【关键词】直角三角形的有关计算【答案】三、解答题1．（2009年辽宁朝阳）一艘小船从码头A 出发，沿北偏东53°方向航行，航行一段时间到达小岛B 处后，又沿着北偏西22°方向航行了10海里到达C 处，这时从码头测得小船在码头北偏东23°的方向上，求此时小船与码头之间的距离1.4 1.7，结果保留整数）．第13题图 BA 6cm 3cm1cm第4题图 AEC (F )B 图（1） E A G BC (F )D 图（2）【关键词】解直角三角形 【答案】解：由题意知：532330BAC ∠=-︒=︒°（1分）232245C ∠=+︒=︒°过点B 作BD AC ⊥，垂足为D ，则CD BD =10BC =Q 2cos 4510527.0CD BC ∴=︒=⨯=·≈ 352525235 1.4 1.711.9tan3033BC AD ==÷=⨯=⨯⨯⨯≈≈° 11.97.018.919AC AD CD ∴=+=+=≈答：小船到码头的距离约为19海里．2．（2009四川眉山）海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A 处看见灯塔B 在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C 处，发现此时灯塔B 在海船的北偏西45方向，求此时灯塔B 到C 处的距离．【关键词】解直角三角形【答案】解：如图，过B 点作BD ⊥AC 于D∴∠DAB ＝90°－60°＝30°，∠DCB ＝90°－45°＝45°设BD ＝x在Rt △ABD 中，AD ＝x ⋅tan30°＝33x 在Rt △BDC 中BD ＝DC ＝x BC 2x 又AD ＝5×2＝10 310x x +=得5(31)x = ∴25(31)62)BC ==（海里）答：灯塔B 距C 处5(62)海里3．（2009年广东中山）如图所示，A ．B 两城市相距100km ，现计划在这两座城市间修建一条高速公路（即线段AB ），经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向上，已知森林保护区的范围在以P 点为圆心，50km 为半径的圆形区域内，请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区，为什么？（参考数据：3 1.732，2 1.414）【关键词】方位角问题【答案】过点P 作PC AB ⊥，C 是垂足，则30APC ∠=°，45BPC ∠=°，tan30AC PC =g °，tan 45BC PC =g °，AC BC AB +=Q ，tan30tan 45100PC PC ∴+=g g °°， 31100PC ⎫∴+=⎪⎪⎝⎭，50(33)50(3 1.732)63.450PC ∴=⨯->≈≈，答：森林保护区的中心与直线AB 的距离大于保护区的半径，所以计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区．4．（2009年黑龙江哈尔滨）如图，一艘轮船以每小时20海里的速度沿正北方向航行，在A 处测得灯塔C 在北偏西30°方向，轮船航行2小时后到达B 处，在B 处测得灯塔C 在北偏西60°方向．当轮船到达灯塔C 的正东方向的D 处时，求此时轮船与灯塔C 的距离．（结果保留根号）【关键词】方位角问题【答案】先把此题转化为数学问题，本题即是求CD 的长，再利用速度与时间的乘积计算出线段AB 的长，再利用直角三角形的性质，结合方程即可求解.由题意得306030CAB CBD ACB ∠=∠=∴∠=°，°，°，BCA CAB ∴∠=∠，20240BC AB ∴==⨯=．C DBA北60°30° A B FE PC90sin CD CDB CBD BC ∠=∴∠=Q °，．sin 60CD BC ∴==°40CD BC ∴===． ∴此时轮船与灯塔C的距离为5．（2009年四川凉山州）如图，要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路MN ，已知C 点周围200米范围内为原始森林保护区，在MN 上的点A 处测得C 在A 的北偏东45°方向上，从A 向东走600米到达B 处，测得C 在点B 的北偏西60°方向上．（1）MN1.732）（2）若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高25%，则原计划完成这项工程需要多少天？【关键词】三角函数．列方程解应用题【答案】（1）理由如下：如图，过C 作CH AB ⊥于H ，设CH x =，由已知有4560EAC FBC ∠=∠=°，°则4530CAH CBA ∠=∠=°，°，在Rt ACH △中，AH CH x ==，在Rt HBC △中，tan CH HBC HB∠=tan 30CH HB ∴===°，AH HB AB +=Q600x ∴=解得220x =（米）>200（米）．MN ∴不会穿过森林保护区． （2）解：设原计划完成这项工程需要y 天，则实际完成工程需要(5)y -天． CHF B N M A E60° 45°（第21题答图） CB N M A（第21题）根据题意得：11(125%)5y y=+⨯-，解得：25y=，经检验知：25y=是原方程的根．答：原计划完成这项工程需要25天．6．（2009年吉林长春）如图，两条笔直的公路AB CD、相交于点O，AOC∠为36°，指挥中心M设在OA路段上，与O地的距离为18千米．一次行动中，王警官带队从O地出发，沿OC方向行进，王警官与指挥中心均配有对讲机，两部对讲机只能在10千米之内进行通话，通过计算判断王警官在行进过程中能否实现与指挥中心用对讲机通话．【参考数据：sin360.59cos360.81tan360.73===°，°，°．】【关键词】直角三角形的有关计算【答案】解：过点M作MH⊥OC于点H.在Rt△MOH中，sin∠MOH=OMMH.（3分）∵OM=18，∠MOH=36°，∴MH=18×sin36°=18×0.59=10.62>10.即王警官在行进过程中不能实现与指挥中心用对讲机通话.（6分）7. （2009年辽宁锦州）为了加快城市经济发展，某市准备修建一座横跨南北的大桥.如图10所示，测量队在点A处观测河对岸水边有一点C，测得C在北偏东60°的方向上，沿河岸向东前行30米到达B处，测得C在北偏东45°的方向上，请你根据以上数据帮助该测量队计算出这条河的宽度.(结果保留根号)【关键词】直角三角形的有关计算．分式方程【答案】C解：过点C作CD⊥AB于D.设CD=x米.在Rt△BCD中，∠CBD=45°，OAMB36°∴BD=CD=x米.在Rt△ACD中，∠DAC=30°，AD=AB+BD=(30+x)米.∵tan∠DAC=，∴.∴x=.答:这条河的宽度为()米.8.（2009年湖南郴州）如图7，数学活动小组来到校园内的一盏路灯下测量路灯的高度，测角仪AB的高度为1.5米，测得仰角α为30°，点B到电灯杆底端N的距离BN为10米，求路灯的高度MN2=1.4143，结果保留两位小数）【关键词】直角三角形【答案】解：在直角三角形MPA中，30α∠=°，10AP=米310tan3010 5.773MP=窗=椿米因为 1.5AB=米所以 1.5 5.87.27MN=+=米答：路灯的高度为7.27米9.（2009年湖南常德）如图5，某人在D处测得山顶C的仰角为30o，向前走200米来到山脚A处，测得山坡AC的坡度为i=1∶0.5，求山的高度（不计测角仪的高度，3 1.73，结果保留整数）．αN BAPM图7【关键词】直角三角形【答案】设山高BC =x ，则AB =12x ， 由tan 3012002BC x BDx ==+o ，得 (231)400x -=，解得400(231)162231x +==-≈米 10. (2009年四川达州) 阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学去操场上测量旗杆的高度，他们带了以下测量工具：皮具．三角尺．标杆．小平面镜等.首先，小明说：“我们用皮尺和三角尺（含30︒角）来测量”.于是大家一起动手，测得小明与旗杆的距离AC 为15㎝，小明的眼睛与地面的距离为1.6㎝，如图9（甲）所示.然后，小红和小强提出了自己的想法.小红说：“我用皮尺和标杆能测出旗杆的高度.”小强说：“我用皮尺和小平面镜也能测出旗杆的高度！”根据以上情景，解答下列问题：（1）利用图9（甲），请你帮助小明求出旗杆AB 的高度（结果保留整数.参考数据：5.030sin =︒，87.030cos ≈︒，58.030tan ≈︒，73.130cot ≈︒）；（2）你认为小红和小强提出的方案可行吗？如果可行，请选择一中．．方案在图9（乙）中画出测量示意图，并简述．．测量步骤. 图5【关键词】解直角三角形【答案】20.解：（1）过点D 作DE ⊥AB 于点E ，在Rt △BDE 中，DE=AC=15m ，∠BDE=30°∴BE=DE·tan30°≈15×058=870(m)∴AB=BE+AE=870m+16m=103m≈10m（2）小红和小强提出的方案都是可行的小红的方案：利用皮尺和标杆：（1）测量旗杆的影长AG（2）测量标杆EF 的长度（3）测量同一时刻标杆影长FH小强的方案：把小平面镜放在适当的位置（如图点P 处），使得小强可以在镜中看到旗杆AB 的顶端 步骤：（1）测出AP 的长度（2）测出NP 的长度（3）测出小强眼睛离地面的高度MN11．(2009年福建宁德) 某大学计划为新生配备如图（1）所示的折叠椅．图（2）是折叠椅撑开后的侧面示意图，其中椅腿AB 和CD 的长相等，O 是它们的中点．为使折叠椅既舒适又牢固，厂家将撑开后的折叠椅高度设计为32cm ，∠DOB ＝100°，那么椅腿的长AB 和篷布面的宽AD 各应设计为多少cm ？（结果精确到0.1cm ）【关键词】解直角三角形解法1：连接AC ，BD∵OA=OB=OC=OB∴四边形ACBD 为矩形∵∠DOB=100º, ∴∠ABC=50º A O D100º 32 cm图（2）由已知得AC=32在Rt △ABC 中，sin ∠ABC=ABAC ∴AB=ABC AC ∠sin =︒50sin 32≈41.8（cm ） tan ∠ABC=BC AC ，∴BC=ABC AC ∠tan =︒50tan 32≈26.9 （cm ） ∴AD=BC =26.9 （cm ）答：椅腿AB 的长为41.8cm ,篷布面的宽AD 为26.9cm .解法2：作OE ⊥AD 于E.∵OA=OB=OC=OD, ∠AOD=∠BOC∴△AOD ≌△BOC∵∠DOB =100º, ∴∠OAD =50º∴OE =3221⨯=16在Rt △AOE 中，sin ∠OAE =AOOE ∴AO =OAEOE ∠sin = ︒50sin 16≈20.89 ∴AB =2AO ≈41.8（cm ）tan ∠OAE =AE OE ，AE=OAE OE ∠tan =︒50tan 16≈13.43 ∴AD =2 AE ≈26.9（cm ）答：椅腿AB 的长为41.8cm ,篷布面的宽AD 为26.9cm .12.(2009年河北) 图10是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且CD = 24 m ，OE ⊥CD 于点E ．已测得sin ∠DOE = 1213．（1）求半径OD ；（2）根据需要，水面要以每小时0.5 m 的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？【关键词】解直角三角形,勾股定理,O图10图（2）解：（1）∵OE ⊥CD 于点E ，CD =24，∴ED =12CD =12． 在Rt △DOE 中，∵sin ∠DOE =ED OD =1213， ∴OD =13（m ）．（2）OE =22OD ED - =2213125-=．∴将水排干需：5÷0.5=10（小时）．13.(2009年湖北黄冈) 如图，在海面上生产了一股强台风，台风中心（记为点M ）位于海滨城市（记作点A ）的南偏西15°，距离为612千米，且位于临海市（记作点B ）正西方向603千米处．台风中心正以72千米/时的速度沿北偏东60°的方向移动（假设台风在移动过程中的风力保持不变），距离台风中心60千米的圆形区域内均会受到此次强台风的侵袭．（1）滨海市．临海市是否会受到此次台风的侵袭？请说明理由．（2）若受到此次台风侵袭，该城市受到台风侵袭的持续时间有多少小时？【关键词】解直角三角形的应用【答案】（1）过点A 作AC ⊥MN 于C,过点B 作BD ⊥MN 于D.在Rt △AMC 中, ∠AMC=60°－15°=45°∴AC=612=AM>60∴滨海市不会受到此次台风的侵袭在Rt △MBD 中, ∠BMD=90°－60°=30°∴BD=3302=BM <60 ∴临海市会受到此次台风的侵袭（2）设台风中心在EF 段移动时临海市受侵袭.则EB=FB=60NC DEF由勾股定理知ED=()303306022=-∴EF=60受影响的时间是7260÷=65(时) 14.(2009年四川成都)某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”一章时，开展测量物体高度的实践活动，他们要测量学校一幢教学楼的高度．如图，他们先在点C 测得教学楼AB 的顶点A 的仰角为30°，然后向教学楼前进60米到达点D ，又测得点A 的仰角为45°．请你根据这些数据，求出这幢教学楼的高度．(计算过程和结果均不取近似值) AB C D 【关键词】仰角，俯角【答案】如图，由已知可得∠ACB=30°，∠ADB=45°∴在Rt △ABD 中，BD=AB又在Rt △ABC 中，∵ tan30°=BCAB ∴33=BC AB ，即BC=3AB ∵BC=CD+BD ，∴3AB=CD+AB 即（3-1）AB=60∴AB=1360-=30(3+1)米∴教学楼高度为30(3+1)米15.（2009四川綦江）如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE=BC ，DF ⊥AE ，垂足为F ，连接DE ． （1）求证：ABE △DFA ≌△；（2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值．【关键词】全等三角形，矩形，三角函数 DA B C E F【答案】（1）证明：在矩形ABCD中，90BC AD AD BC B=∠=，∥，°DAF AEB∴∠=∠DF AE AE BC⊥=Q，90AFD B∴∠=∠°=AE AD=ABE DFA∴△≌△．（2）解：由（1）知ABE DFA△≌△6AB DF∴==在直角ADF△中，8 AF===2EF AE AF AD AF∴=-=-=在直角DFE△中，DE==sinEFEDFDE∴∠===16.（2009山东威海）如图，一巡逻艇航行至海面B处时，得知其正北方向上C处一渔船发生故障．已知港口A处在B处的北偏西37°方向上，距B处20海里；C处在A处的北偏东65°方向上．求B,C之间的距离（结果精确到0.1海里）．参考数据：sin370.60cos370.80tan370.75≈≈≈o o o，，，sin650.91cos650.42tan65 2.14.≈≈≈o o o，，【关键词】方位角问题【答案】过点A作AD BC⊥，垂足为D在Rt ABD△中，20AB=，37B∠=°，∴sin3720sin3712AD AB==·°°≈．cos3720cos3716BD AB==·°°≈．在Rt ADC△中，65ACD∠=°，∴12 5.61tan 65 2.14AD CD =≈≈° 5.611621.6121.6BC BD CD ∴=++=≈≈（海里）答：B C ，之间的距离约为21.6海里．17．（2009年湖南长沙）某校九年级数学兴趣小组的同学开展了测量湘江宽度的活动．如图，他们在河东岸边的A 点测得河西岸边的标志物B 在它的正西方向，然后从A 点出发沿河岸向正北方向行进550米到点C 处，测得B 在点C 的南偏西60°方向上，他们测得的湘江宽1.4141.732）【答案】解：由题意得：ABC △中，9060550BAC ACB AC ∠=∠==°，°，， tan AB AC ACB =∠g≈952.6≈953≈（米）． 答：他们测得湘江宽度为953米．18．（2009年内蒙古包头）如图，线段AB DC 、分别表示甲．乙两建筑物的高，AB BC DC BC ⊥，⊥，从B 点测得D 点的仰角α为60°从A 点测得D 点的仰角β为30°，已知甲建筑物高36AB =米．（1）求乙建筑物的高DC ；（2）求甲．乙两建筑物之间的距离BC （结果精确到0.01米）．1.414 1.732）【答案】本题考查三角函数在实际生活中测物高的应用，涉及到仰角有关概念．解方程及近似计算等．(1)过点A 作AE ⊥CD 于E ，根据题意，得60,30,DBC DAE αβ∠=∠=︒∠=∠=︒AE=BC ，EC=AB=36米，设DE=x ，则DC=DE+EC=X+36, αβ D乙 C B A甲北东西在RT AED ∆，tan tan 30DE DAE AE ∠=︒=，∴AE =，∴BC AE ==在RT DCB ∆中，tan tan 60DC DBC BC ∠=︒= ，= ∴336,18,x x x =+= ∴DC=54(米)(2)．∵,18BC AE x ===，∴1818 1.73231.18BC ==⨯≈(米)19. （2009年山西太原）如图，从热气球C 上测得两建筑物A ．B 底部的俯角分别为30°和60°．如果这时气球的高度CD 为90米．且点A ．D ．B 在同一直线上，求建筑物A ．B 间的距离．【关键词】解直角三角形【答案】解：由已知，得306090ECA FCB CD ∠=∠==°，°，，EF AB CD AB ⊥∥，于点D ．3060A ECA B FCB ∴∠=∠=∠=∠=°，°．在Rt ACD △中，90tan CD CDA A AD∠=°，=，90tan CD AD A ∴==== 在Rt BCD △中，90tan CD CDB B BD∠=°，=，tan CD DB B ∴===AB AD BD ∴=+==（米）．答：建筑物A B 、间的距离为米．20.（2009湖北襄樊）为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往该海域执行护航任务．某天我护航舰正在某小岛A 北偏西45︒并距该岛20海里的B 处待命．位于该岛正西方向C 处的某外国商船遭到海盗袭击，船长发现在其北偏东60︒的方向有我军护航舰（如图9所示），便发出紧急求救信号．我护航舰接警后，立即沿BC 航线以每小时60海里的速度前去救援．问我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置C 处？（结果精确到个位．参考数据：2 1.43 1.7≈，≈）【关键词】解直角三角形【答案】解：由图可知，3045ACB BAC =︒=︒∠，∠作BD AC ⊥于D （如图），在Rt ADB △中，20AB = ∴2sin 4520102BD AB ==⨯=g ° 在Rt BDC △中，30ACB =︒∠∴210220228BC =⨯=≈∴280.4760≈ ∴0.476028.228⨯=≈（分钟） 答：我护航舰约需28分钟就可到达该商船所在的位置C ．21.（2009年贵州黔东南州）如图7，在凯里市某广场上空飘着一只汽球P ，A ．B 是地面上相距90米的两点，它们分别在汽球的正西和正东，测得仰角∠PAB=45o ，仰角∠PBA=30o ，求汽球P 的高度（精确到0.1米，3=1.732）C AB60°45° 北北D C A B60°45° 北北图9【关键词】仰角，俯角【答案】解：过点P 作PC ⊥AB 于C 点，设PC=x 米．在Rt △PAC 中，tan ∠PAB=ACPC ，∴︒=45tan PC AC =PC=x （米） 在Rt △PBC 中，tan ∠PBA=BCPC ∴BC=︒30tan PC =x 3（米） 又∵AB=90∴AB=AC+BC=903=+x x∴)13(453190-=+=x （米） ∴PC=45(1.732－1)=32.9（米）答：略22.（2009年江苏）如图，在航线l 的两侧分别有观测点A 和B ，点A 到航线l 的距离为2km ，点B 位于点A 北偏东60°方向且与A 相距10km 处．现有一艘轮船从位于点B 南偏西76°方向的C 处，正沿该航线自西向东航行，5min 后该轮船行至点A 的正北方向的D 处．（1）求观测点B 到航线l 的距离；（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1km/h ）．（参考数据：3 1.73≈，sin760.97°≈， cos760.24°≈，tan76 4.01°≈）【关键词】方位角问题【答案】（1）设AB 与l 交于点O ．在Rt AOD △中，6024cos60AD OAD AD OA ∠====°，，°． 又106AB OB AB OA =∴=-=，．在Rt BOE △中，60cos603OBE OAD BE OB ∠=∠=∴==g °，°（km ）．∴观测点B 到航线l 的距离为3km ．（2）在Rt AOD △中，tan 60OD AD ==g °在Rt BOE △中，tan 60OE BE ==g °DE OD OE ∴=+=．在Rt CBE △中，763tan 3tan76CBE BE CE BE CBE ∠==∴=∠=g °，，°．3tan 76 3.38CD CE DE ∴=-=-°．15min h 12=，1212 3.3840.6112CD CD ∴==⨯≈（km/h ）． 答：该轮船航行的速度约为40.6km/h ．23．（2009年吉林）小鹏学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题：“如图所示，把一张长方形卡片ABCD 放在每格宽度为12mm 的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知α=36°，求长方形卡片的周长．”请你帮小艳解答这道题．（精确到1mm ）（参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36°≈0.75）【关键词】解直角三角形【答案】解：作BE l ⊥于点E ，DF l ⊥于点F ．18018090909036.DAF BAD ADF DAF ADF αα+∠=-∠=-=∠+∠=︒∴∠==︒Q °°°°，，根据题意，得BE =24mm ，DF =48mm.在Rt ABE △中，sin BE ABα=， 2440sin 360.60BE AB ∴===°mm ClC在Rt ADF △中，cos DF ADF AD∠=， 4860cos360.80DF AD ∴===°mm ． ∴矩形ABCD 的周长=2（40+60）=200mm ．24.（2009年浙江台州）如图，有一段斜坡BC 长为10米，坡角12CBD ︒∠=，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为5°．（1）求坡高CD ;（2）求斜坡新起点A 与原起点B 的距离（精确到0.1米）．【关键词】直角三角形的有关计算【答案】解：（1）在BCD Rt ∆中，︒=12sin BC CD1.221.010=⨯≈（米）．（2）在BCD Rt ∆中，︒=12cos BC BD8.998.010=⨯≈（米）；在ACD Rt ∆中，︒=5tan CD AD 2.123.330.09≈≈（米）， 23.339.813.5313.5AB AD BD =-≈-=≈（米）． 答：坡高2.1米，斜坡新起点与原起点的距离为13.5米25.（2009年浙江宁波）已知，如图，O ⊙的直径AB 与弦CD 相交于E ，»»BCBD =，O ⊙的切线BF 与弦AD 的延长线相交于点F ．（1）求证：CD BF ∥；（2）连结BC ，若O ⊙的半径为4，3cos 4BCD ∠=，求线段AD ．CD 的长． 【关键词】直角三角形的有关计算 【答案】解：（1）Q 直径AB 平分»CD， ∴AB CD ⊥．BF Q 与O ⊙相切，AB 是O ⊙的直径，AB BF ∴⊥．CD BF ∴∥．（2）连结BD ，D CBA 5°12°Q AB 是O ⊙的直径，90ADB ∴∠=°，在Rt ADB △中， 3cos cos 4A C ∠=∠=Q ，428AB =⨯=． 3cos 864AD AB A ∴=∠=⨯=g ． AB CD Q ⊥于E ，在Rt AED △3cos cos 4A C ∠=∠=Q ，7sin 4A ∠=． 73sin 672DE AD A ∴=∠=⨯=g ． Q 直径AB 平分»CD， 237CD DE ∴==．26.（2009年广西河池）如图8，为测量某塔AB 的高度，在离该塔底部20米处目测其顶A ，仰角为60o ，目高1.5米，试求该塔的高度(3 1.7)≈．【关键词】解直角三角形【答案】解：如图，CD =20，∠ACD =60°，1.5 图8 C o A1.5AD B COECD ∴ 3=20AD ∴ AD =203≈34又∵ BD =1.5∴ 塔高AB =34 1.535.5+=(米)27.（2009年广西柳州） 如图8，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为︒60，看这栋高楼底部的俯角为︒30，热气球与高楼的水平距离为66 m ，这栋高楼有多高？（结果精确到0.1 m ，参考数据：73.13≈）【关键词】解直角三角形【答案】解：如图8，过点A 作BC AD ⊥，垂足为D根据题意，可得 ︒=∠60BAD ，︒=∠30CAD ，66=AD在Rt △ADB 中，由ADBD BAD =∠tan 得36636660tan 66tan =⨯=︒⨯=∠⋅=BAD AD BD ．DCAB图8CAB图8AD得322336630tan 66tan =⨯=︒⨯=∠⋅=CAD AD CD ． ∴663223883152.2BC BD CD =+=+=≈．答：这栋楼高约为152.2 m ．（其它解法参照给分）28.（2009年湖南娄底）在学习实践科学发展观的活动中，某单位在如图8所示的办公楼迎街的墙面上垂挂一长为30米的宣传条幅AE ，张明同学站在离办公楼的地面C 处测得条幅顶端A 的仰角为50°，测得条幅底端E 的仰角为30°. 问张明同学是在离该单位办公楼水平距离多远的地方进行测量？（精确到整数米）（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20，sin30°=0.50，cos30°≈0.87，tan30°≈0.58）【关键词】解直角三角形．三角函数【答案】解：方法一：过D 点作DF ⊥AB 于F 点在Rt △DEF 中，设EF =x ，则DF =3x在Rt △ADF 中，tan 50°=303x x+≈1.204分30+x=3x×1.20x≈27.8∴DF =3x≈48答：张明同学站在离办公楼约48米处进行测量的方法二：过点D 作DF ⊥AB 于F 点在Rt △DEF 中，EF =FD·tan 30°在Rt △AFD 中，AF =FD·tan 30°∵AE +EF =AF∴30+FDtan 30°=FD·tan 50°∴FD ≈48答：张明同学站在离办公楼约48米处进行测量的29.(2009年山东烟台) 腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑（如图①）.为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C ，利用三角板测得雕塑顶端A 点的仰角为30°，底部B 点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D ，利用三角板测得A 点的俯角为60°（如图②）.若已知CD 为10米，请求出雕塑AB 的高度．（结果精确到0.1米，参考数据3173.=）．【关键词】特殊三角形【答案】解：过点C 作CE AB ⊥于E ．906030903060D ACD ∠=-︒=∠=-=Q °°，°°°，90CAD ∴∠=°．11052CD AC CD =∴==Q ，． 在Rt ACE △中，5sin 5sin 302AE AC ACE =∠==g g °， 5cos 5cos3032CE AC ACE =∠==g g °， 在Rt BCE △中，545tan 4532BCE BE CE ∠=∴==Q g °，°， 5553(31) 6.8222AB AE BE ∴=+=+=+≈（米）． 所以，雕塑AB 的高度约为6.8米．30．（2009年湖南邵阳）如图（十一），家住江北广场的小李经西湖桥到教育局上班，路线为A →B →C →D ．因西湖桥维修封桥，他只能改道经临津门渡口乘船上班，路线为A →F →E →D ．已知BC EF ∥，BF CE ∥，AB BF ⊥，CD DE ⊥，200AB =米，100BC =米，37AFB ∠=°，53DCE ∠=°．请你计算小李上班的路程因改道增加了多少？（结果保留整数）温馨提示：sin370.60cos370.80tan370.75︒°≈，≈，°≈．DCB A ② ①【关键词】直角三角形的有关计算【答案】在Rt ABF△中，37200333sin37ABAFB AB AF∠===°，，≈，°267tan37ABBF=≈°，BC EF BF CE∴Q∥，∥，四边形BCEF为平行四边形．267CE BF∴==，100BC EF==．在Rt CDE△中，53DCE∠=°，CD DE⊥，37CED∴∠=°，cos37214DE CE=≈·°，sin37160CD CE=︒≈·，∴增加的路程=()()AF EF DE AB BC DC++-++(333100214)++≈-(200100160)187++=（米）．31．(2009年湖北鄂州) 如图所示，某居民楼Ⅰ高20米，窗户朝南．该楼内一楼住户的窗台离地面距离CM为2米，窗户CD高1.8米．现计划在I楼的正南方距I楼30米处新建一居民楼Ⅱ．当正午时刻太阳光线与地面成30°角时，要使Ⅱ楼的影子不影响I楼所有住户的采光，新建Ⅱ楼最高只能盖多少米?【关键词】三角函数在实际中的应用【答案】设正午时，太阳光线正好照在I楼的窗台处，此时新建居民楼II高x米，过C作CF⊥l于F，在Rt△ECF中，EF=x－2，FC=30，∠ECF=30°∴30230tan-==︒xFCEF∴2310+=x答：新建居民楼II最高只能建）（2310+米．DCB FEA 江北广场渡口渡口教育局西湖桥资江53°图十一37°32.（2009年河南）如图所示，电工李师傅借助梯子安装天花板上距地面2 .90m的顶灯.已知梯子由两个相同的矩形面组成，每个矩形面的长都被六条踏板七等分，使用时梯脚的固定跨度为1m．矩形面与地面所成的角α为78°.李师傅的身高为l.78m，当他攀升到头顶距天花板0.05～0.20m时，安装起来比较方便.他现在竖直站立在梯子的第三级踏板上，请你通过计算判断他安装是否比较方便?(参考数据：sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4.70.)【关键词】三角函数在实际中的应用【答案】过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F．∵AB=AC,∴CE=12BC=0.5．在Rt△ABC和Rt△DFC中，∵tan780=AE EC，∴AE=EC×tan780≈0.5×4.70=2.35.又∵sinα=AEAC=DFDC，DF=DCAC·AE=37×AE≈1.007．李师傅站在第三级踏板上时，头顶距地面高度约为：1.007+1.78=2.787．头顶与天花板的距离约为：2.90-2.787≈0.11．∵0.05＜0.11＜0.20，∴它安装比较方便．33.（2009年山东烟台）腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑（如图①）.为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C ，利用三角板测得雕塑顶端A 点的仰角为30°，底部B 点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D ，利用三角板测得A 点的俯角为60°（如图②）.若已知CD 为10米，请求出雕塑AB 的高度．（结果精确到0.1米，参考数据3173.=）．【关键词】直角三角形的有关计算【答案】解：过点C 作CE AB ⊥于E ．906030903060D ACD ∠=-︒=∠=-=Q °°，°°°，90CAD ∴∠=°．11052CD AC CD =∴==Q ，． 在Rt ACE △中，5sin 5sin 302AE AC ACE =∠==g g °， 5cos 5cos3032CE AC ACE =∠==g g °， 在Rt BCE △中，545tan 4532BCE BE CE ∠=∴==Q g °，°， 5553(31) 6.8222AB AE BE ∴=+=+=+≈（米）． 所以，雕塑AB 的高度约为6.8米．34. （ 2009年浙江嘉兴）如图，已知一次函数b kx y +=的图象经过)1,2(--A ，)3,1(B 两点，并且交x 轴于点C ，交y 轴于点D ，（1）求该一次函数的解析式；（2）求OCD ∠tan 的值；DCB A② ①。
2020年春人教版九年级数学下册28.2解直角三角形同步练习附答案
1
，
ED 2
∴ ED＝ 2CE＝2×4＝ 8．
∴ AD＝ AF＋ FE＋ ED＝ 3＋ 4＋ 8＝ 15(m) ．
4．解：过点 O作水平地面的垂线，垂足为 E．
在 Rt△ AOB中， cos∠ OAB＝ AB ， OA
即 cos28 °＝ 12 ，∴ OA＝ 12
OA
cos 28
∵∠ BAE＝ 16°，
28.2 解直角三角形
专题一 利用解直角三角形测河宽与山高 1．如图，小丽想知道自家门前小河的宽度，于是她按以下办法测出了如下数据：小丽在河岸边选
取点 A，在点 A 的对岸选取一个参照点 C，测得∠ CAD＝ 30°；小丽沿河岸向前走 30 m 选取点 B, 并测得∠ CBD＝ 60°. 请根据以上数据 , 用你所学的数学知识 , 帮助小丽计算小河的宽度 .
2．在一次暑假旅游中，小亮在仙岛湖的游船上（
A 处），测得湖西岸的山峰太婆尖（ C 处）和湖东
岸的山峰老君岭（ D处）的仰角都是 45°，游船向东航行 100 米后（ B处），测得太婆尖、老君
岭的仰角分别为 30°、 60°．试问太婆尖、老君岭的高度为多少米？（
3 ≈ 1.732 ，结果精确
到 1 米）
∴∠ OAE＝ 28°＋ 16°＝ 44° .
12 13.333 .
0.9
OE 在 Rt△ AOE中， sin ∠ OAE＝ ，
OA
即 sin44 °
OE
，
13.333
∴ OE 13.333 0.7 9.333，
9.333 ＋1.5 ≈10.83(m) .
∴雕塑最顶端到水平地面的垂直距离约为
10.83 m ．
的思路一定是正确的 .
28.2解直角三角形及其应用课时训练(含答案)
28.2解直角三角形及其应用课时训练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（每小题4分，共计40分）1．如图，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，//DE AC 交AB 于点E ，//DF AB 交AC 于点F ，且AD 交EF 于点O ，若8AF EF ==，则sin DAC ∠的值为（ ）A ．13BC ．12D 2．如图，沿AC 方向修山路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC 上的一点B 取145ABD ∠=︒，1000BD =米，55D ∠=︒，使A 、C 、E 在一条直线上，那么开挖点E 与D 的距离是（ ）A ．1000sin55︒米B ．1000cos35︒米C ．1000tan55︒米D ．1000cos55︒米3．如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，4tan 3B =，若10BC =，则AD 的长为（ ）A ．6B ．323C ．7.5D ．10 4．如图，ABC 与A B C '''都是等腰三角形，且AB AC a ==，A B A C b ''''==，若180A A '∠+∠=︒，则ABC 与A B C '''的面积比为（ ）A ．:a bB ．:b aC ．22:a bD ．22:b a 5．如图，传送带和地面所成斜坡AB 的坡度为1∶2，物体从地面沿着该斜坡前进了10米，那么物体离地面的高度为（ ）A ．5米BC ．D ． 6．在Rt ABC 中，90,3,2C BC AC ∠=︒==，则sin A 的值为（ ）A ．32B ．23C ．13D ．13 7．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A 滑行至B ，已知AB=500米，则这名滑雪运动员的高度下降了__米．(sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67) ( )A ．415B ．280C ．335D ．250 8．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CA=CB ，AD 为△ABC 的角平分线，CE 是△ABC 的中线，AD 、CE 相交于点F ，则EF CD的值为（ ）A ．2B ．32CD ．29．如图，已知ABC 中，30CAB B ∠=∠=︒，AB =点D 在BC 边上，把ABC 沿AD 翻折使AB 与AC 重合，得AB D '，则ABC 与AB D '重叠部分的面积为（ ）A B C ．3 D10．一人乘雪橇沿坡比1s （m ）与时间t （s ）之间的关系为s ＝8t ＋2t 2，若滑到坡底的时间为5s ，则此人下降的高度为（ ）A ．B ．45mC ．mD ．90m二、填空题（每小题4分，共计24分）11．如图，矩形OABC 的顶点,A C 分别在x 轴、y 轴上，顶点B 在第二象限，AB =将线段OA 绕点О按顺时针方向旋转60︒得到线段,OD 连接,AD 反比例函数()0k y k x=≠的图象经过,D B 两点，则k 的值为____．12．如图，在ABC 中，,AB AC =点D 在BC 上，连接,AD BE AD ⊥于点E ，连接,CE DEC BAC ∠=∠，若47CE AE =，则tan BAE ∠的值为____．13．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则()2sin cos θθ-=________．14．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，3sin 5A =，10AB =，，则AC 的长为_________． 15．如图，在边长为4cm 的正六边形ABCDEF 中，点P 在BC 上，则PEF 的面积为________2cm ．16．已知一条斜坡的长度是10米，高度是6米，那么坡角的角度约为_______． （备用数据tan31° = cot59°≈0.6， sin37° = cos 53°≈0.6)三、解答题（每小题9分，共计36分）17．如图所示，AC 与O 相切于点C ，线段AO 交O 于点B ．过点B 作//BD AC交O 于点D ，连结,CD OC ，且OC 交DB 于点E ．若30,∠=︒=CDB DB ．（1）求COB ∠的大小和O 的半径长．（2）求由弦,CD BD 与弧BC 所围成的阴影部分的面积（结果保留π）．18．如图，为了测量出楼房AB 的高度，从距离楼底B 处D （BD 为水平地面）出发，沿斜面坡度为1:2i =的斜坡DC 前进30米到达点C ，在点C 处测得楼顶A 的仰角为53︒．（1）求点C 到水平地面的距离．（计算结果用根号表示）（2）求楼房AB 的高度（参考数据：sin530.8︒≈，cos530.6︒≈，tan 5343︒≈，2.236≈，结果精确到0.1米）． 19．如图，小明家在A 处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l ，AB 是A 到l 的小路，现新修一条路AC 到公路l ，小明测量出30ACD ︒∠=，45ABD ︒∠=，50BC m =．请你帮他计算出他家到公路l 的距离AD 的长度(结果保留根号)．20．如图，已知AB 是O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PD 切O 于点,D 过点B 作,BE PD ⊥交PD 的延长线于点,C 连接AD 并延长，交BE 于点E ．（1）求证：AB BE =；（2）如果60PD ABC =∠=，求BC 的长．答案第1页，总1页 参考答案1．C2．D3．B4．C5．C6．D7．B8．A9．A10．B11．-12．713．15 14．8．15．16．37°．17．（1）60COB ∠=︒，O 的半径长为5cm ；（2）()225cm 6π 18．（1）点C 到水平地面的距离CE为（2）楼房AB 的高度约为31.3米 19．AD的长度为)251m ． 20．（1）无（2）BC=3。
九年级数学下册 28.2.1 解直角三角形达标题 新人教版(2021年整理)
九年级数学下册28.2.1 解直角三角形达标题（新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学下册28.2.1 解直角三角形达标题（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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28.2.1解直角三角形一、选择题1、在△ABC 中,已知AC ＝3、BC ＝4、AB ＝5，那么下列结论成立的是（ ）A.SinA ＝45B.cosA ＝53C.tanA ＝43 D 。
cosA ＝54 2、在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，BC ＝2,则6cos B 等于( ）A 。
3B 。
2C 。
33 D. 323、为测楼房BC 的高，在距楼房30米的A 处,测得楼顶B 的仰角为α，则楼房BC 的高为（ ）。
A ．30tan α米B ．30tan α米 C ．30sin α米 D ．30sin α米 4、从边长为1的等边三角形内一点分别向三边作垂线，三条垂线段长的和为（ ） A.23 B 。
32 C.2 D 。
22 二、填空题5、求值：1sin 60452︒+2sin30°－tan60°＋tan45°=__________。
: 6、若∠A 是锐角,cos A ＝23,则∠A ＝ 。
7、在△ABC 中，∠C ＝90°,若tan A ＝21，则sin A ＝ .8、如图：某同学用一个有60°角的直角三角板估测学校旗杆AB 的高度，他将60°角的直角边水平放在1.5米高的支架CD 上，三角板的斜边与旗杆的顶点在同一直线上，他又量得D 、A B C αE D CB A第10题图D CBAB 的距离为5米，则旗杆AB 的高度约为 米。
人教版九年级数学下册28.2 解直角三角形 同步练习附答案
28.2 解直角三角形第3课时坡角、方向角与解直角三角形1. 如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1:3，堤坝高BC=50 m，则迎水坡面AB的长度是（）A．100 m B．1003 mC．150 m D．503 m2. 小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（）A．(6+3)米 B. 12米 C. (4－23)米 D. 10米3. 如图，小明要测量河内小岛B到河边公路l的距离，在A点测得∠BAD＝30°，在C点测得∠BCD＝60°，又测得AC＝50米，则小岛B到公路l的距离为米．4. 如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18 cm，深为30 cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起始点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i=1:5，则AC的长度是cm．5. 如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了5003 m到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500 m到达目的地C点．（1）求A、C两点之间的距离；（2）确定目的地C在营地A的什么方向？参考答案1．A2．A3．4．2105．解：（1）过B 点作BE ∥AD ，如图，∴∠DAB =∠ABE =60°.∵30°+∠CBA +∠ABE =180°，∴∠CBA =90°， 即△ABC 为直角三角形.由已知可得：BC =500 m ，AB ，由勾股定理可得：AC 2=BC 2+AB 2，∴1000(m)=AC .（2）在Rt △ABC 中，∵BC =500 m ，AC =1000 m ， ∴∠CAB =30°.∵∠DAB =60°，∴∠DAC =30°. 即点C 在点A 的北偏东30°的方向.。
2022年初中数学精选《解直角三角形的简单应用》课时练(附答案)
28.2.2 应用举例第1课时 解直角三角形的简单应用1.某市在“旧城改造〞中方案在一块如下列图的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，这种草皮每平方米a 元，那么购置这种草皮至少要〔 〕． A .450a 元 B .225a 元 C .150a 元 D .300a 元第1题图 第2题图2.某校自行车棚的人字架棚顶为等腰三角形，D 是AB 的中点，中柱CD = 1米，∠A=27°， 那么跨度AB 的长为 (精确到0.01米).3.如图,从A 地到B 地的公路需经过C 地,图中AC=10km,∠CAB=250,∠CBA=370,因城市规划的需要,将在A 、B 两地之间修建一条笔直的公路． 〔1〕求改直的公路AB 的长；〔2〕问公路改直后比原来缩短了多少千米？〔sin250≈0.42,cos250≈0.91,sin370≈0.60,tan370≈0.75〕4.中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C ，再在笔直的车道l 上确定点D ，使CD 与l 垂直,测得CD 的长等于21米，在l 上点D 的同侧取点A 、B ，使∠CAD=300，∠CBD=600． 〔1〕求AB 的长；〔2〕本路段对校车限速为40千米/小时，假设测得某辆校车从A 到B 用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．5.如图,在同一平面内,两条平行高速公路l 1和l 2间有一条“Z 〞型道路连通,其中AB 段与高速公路l 1成300角,长为20km ；BC 段与AB 、CD 段都垂直,长为10km ，CD 段长为30km,求两高速公路间的距离．B CD 跨度 中柱 15020米30米6.图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，踏板CD长为1.6m，CD与地面DE的夹角∠CDE为120，支架AC长为0.8m，∠ACD为800，求跑步机手柄的一端A的高度h〔精确到0.1m〕．〔参考数据：sin120=cos780≈0.21，sin680=cos220≈0.93，tan680≈2.48〕1．以下等式成立的是( )A.〔3a2+a〕÷a=3aB.〔2ax2+a2x〕÷4ax=2x+4aC.〔15a2-10a〕÷〔-5〕=3a+2D.〔a3+a2〕÷a=a2+a2．(24 x8-21x6)÷( )＝8 x3-7x.3．( )÷0.3x3y2＝27 x4 y3+7 x3 y2-9 x2y.4．6 a2 x3·( )=36 a4 x5-24a3 x4+18 a2 x3．5．计算：(a 2b 3-a 2b 2)÷(ab )2=_____．6．七年级二班教室后墙上的“学习园地〞是一个长方形，它的面积为6a 2-9ab +3a ，其中一边长为3a ，那么这个“学习园地〞的另一边长为_____．7．被除式为x 3+3x 2-1，商式是x ，余式是-1，那么除式是_____． 8．计算：(6x 5y -3x 2)÷(-3x 2)=_____． 9.计算．(1)(30x 4-20x 3+10x )÷10x (2)(32x 3y 3z +16x 2y 3z -8xyz )÷8xyz (3)(6a n +1-9a n +1+3a n -1)÷3a n -1．10．计算．(1)⎪⎭⎫⎝⎛--3322216y x xy y x ÷(-3xy )；(2)[6 a 2m+1·(-a 2)2-3 a 2m+2-9(a m+1) 2]÷⎪⎭⎫⎝⎛-+231m a ．11．(1)按以下程序计算，把答案写在表格内．答案平方→-→÷→+→→n n n n 输入n 3 21 -2 -3 … 输出答案 11…(2)请将(1)题中的计算程序用代数式表示出来，并给予化简．参考答案1．D 2．3x 5 3．8.1x 7y 5+2.1 x 6y 4-2.7 x 5 y 3 4．6 x 2 a 2-4ax +3 5．b -1 6．2a -3b +1 7．x 2+3x 8．-2x 3y +1 9．解：〔1〕〔30x 4-20x 3+10x 〕÷10x =3x 3-2x 2+1； 〔2〕〔32x 3y 3z +16x 2y 3z -8xyz 〕÷8xyz =4x 2y 2+16xy 2-1；〔3〕〔6a n +1-9a n +1+3a n -1〕÷3a n -1=〔-3a n +1+3a n -1〕÷3a n -1=-3a 2+1． 10．(1)-2x +y 31+2261y x ． (2)-18 a m+3+36 a m ． 11．解：(1)l 1 (2)代数式为(n 2+n )÷n -n 〞，化简得原式＝n +l-n ＝1．。
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28.2 解直角三角形 达标训练一、基础·巩固达标1.如图28.2－21，电线杆AB 的中点C 处有一标志物，在地面D 点处测得标志物的仰角为45°，若点D 到电线杆底部点B 的距离为a ，则电线杆AB 的长可表示为( )A.aB.2aC.a 23D.a 25图28.2－21 图28.2－22 (第3题)2.如图28.2－22，梯形护坡石坝的斜坡AB 的坡度i=1∶3，坝高BC 为2米，则斜坡AB 的长是( ) A.52米 B.102米 C.54米 D.6米3.AE 、CF 是锐角△ABC 的两条高，如果AE ∶CF=3∶2，则sinA ∶sinC 等于( )A.3∶2B.2∶3C.9∶4D.4∶94.如图28.2－23，等腰三角形ABC 的顶角为120°，腰长为10，则底边上的高AD=________.图28.2－23 图28.2－24 5.如图28.2－24是一口直径AB 为4米，深BC 为2米的圆柱形养蛙池，小青蛙们晚上经常坐在池底中心O 观赏月亮，则它们看见月亮的最大视角∠COD=_______度(不考虑青蛙的身高).6.如图28.2－25，小勇想估测家门前的一棵树的高度，他站在窗户C 处，观察到树顶端A 正好与C 处在同一水平线上，小勇测得树底B 的俯角为60°，并发现B 点距墙脚D 之间恰好铺设有六块边长为0.5米的正方形地砖，因此测算出B 点到墙脚之间的距离为3米，请你帮助小勇算出树的高度AB 约多少米？(结果保留1位小数)图28.2－25二、综合•应用达标7.如图28.2－26，天空中有一个静止的广告气球C，从地面A点测得C点的仰角为45°，从地面B点测得C点的仰角为60°.已知AB=20 米，点C和直线AB在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度(结果保留一位小数).图28.2－268.初三(5)班综合实践小组去湖滨花园测量人工湖的长，如图28.2－27所示，A、D是人工湖边的两座雕塑，AB、BC是湖滨花园的小路，小东同学进行如下测量，B点在A点北偏东60°方向，C点在B点北偏东45°方向，C点在D点正东方向，且测得AB=20米，BC=40米，求AD的长. (结果精确到0.01米)图28.2－279.如图28.2－28，城市规划期间，要拆除一电线杆AB ，已知距电线杆水平距离14米的D 处有一大坝，背水坡的坡度i=2∶1，坝高CF 为2米，在坝顶C 处测得杆顶A 的仰角为30°，D 、E 之间是宽为2米的人行道.请问：在拆除电线杆AB 时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上?请说明理由(在地面上，以点B 为圆心，以AB 长为半径的圆形区域为危险区域).图28.2－28三、回顾•展望达标10.如图28.2－29，某飞机于空中A 处探测倒地面目标B ，此时从飞机上看目标B 的俯角α=30°，飞行高度AC=1 200米，则飞机到目标B 的距离AB 为( )A.1 200米B.2 400米C.3400米D.31200米图28.2－29 图28.2－30 图28.2－3111.一人乘雪橇沿坡比1∶3的斜坡笔直滑下，滑下的距离s(米)与时间t(秒)间的关系为s=10t ＋2t 2，若滑到坡底的时间为4秒，则此人下降的高度为( )A.72 mB.36 mC.36 mD.318 m12.如图28.2－31，测量队为了测量某地区山顶P 的海拔高度，选M 点作为观测点，从M 点测量山顶P 的仰角为30°，在比例尺为1∶50 000的该地区等高线地形图上，量得这两点的图上距离为6厘米，则山顶P的海拔高度为( )A.1 732米B.1 982米C.3 000米D.3 250米13. 某商场门前的台阶截面积如图28.2－32所示.已知每级台阶的席度(如CD)均为0.3 m，高度(如BE)均为0.2 m.现将此台阶改造成供轮椅行走的斜坡，并且设计斜坡的倾斜角∠A 为9°，计算从斜坡的起点A到台阶前点B的距离(精确到0.1 m)(参考数据：sin9°≈0.16，cos9°≈0.99，tan9°≈0.16).图28.2－3214.如图28.2－33，海上有一灯塔P，在它周围3海里处有暗礁.一艘客轮以9海里/时 的速度由西向东航行,行至A点处测得P在它的北偏东60°的方向,继续行驶20分钟后,到达B 处又测得灯塔P在它的北偏东45°方向.问客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险?图28.2－3315.如图28.2－34，由山脚下的一点A测得山顶D的仰角是45°，从A沿倾斜角为30°的山坡前进1 500米到B，再次测得山顶D的仰角为60°，求山高CD.图28.2－3416.如图28.2－35所示，A、B为两个村庄，AB、BC、CD为公路，BD为田地，AD为河宽，且CD与AD互相垂直.现在要从E处开始铺设通往村庄A、村庄B的一条电缆，共有如下两种铺设方案：方案一：E→D→A→B;方案二：E→C→B→A.4千米，BC=10千米，C E=6千米，∠BDC=45°，∠ABD=15°.经测量得AB=3已知：地下电缆的修建费为2万元/千米，水下电缆的修建费为4万元/千米.(1)求出河宽AD(结果保留根号)；(2)求出公路CD的长；(3)哪种方案铺设电缆的费用低？请说明你的理由.图28.2－3517.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力.如图28.2－36，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30°方向往C移动，且台风中心风力不变.若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响.(1)该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由.(2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长?(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级?图28.2－36参考答案一、基础·巩固达标1.如图28.2－21，电线杆AB 的中点C 处有一标志物，在地面D 点处测得标志物的仰角为45°，若点D 到电线杆底部点B 的距离为a ，则电线杆AB 的长可表示为( )图28.2－21A.aB.2aC.a 23 D.a 25 思路解析：直接用等腰直角三角形的性质.答案：B2.如图28.2－22，梯形护坡石坝的斜坡AB 的坡度i=1∶3，坝高BC 为2米，则斜坡AB 的长是( )图28.2－22 A.52米 B.102米 C.54米 D.6米思路解析：坡度的定义ACBC i，所以BC ∶AC ∶AB=1∶3∶10. 答案：B3.AE 、CF 是锐角△ABC 的两条高，如果AE ∶CF=3∶2，则sinA ∶sinC 等于( )A.3∶2B.2∶3C.9∶4D.4∶9思路解析：画出图形，在Rt △AFC 中，sinA=AC CF ；在Rt △AEC 中，sinC=ACAE .所以sinA ∶sinC=ACAE AC CF :=CF ∶AE=2∶3. 答案：B 4.如图28.2－23，等腰三角形ABC 的顶角为120°，腰长为10，则底边上的高AD=________.图28.2－23思路解析：等腰三角形顶角平分线垂直平分底边，Rt △ADC 中，AC=10，∠DAC=60°. 答案：55.如图28.2－24是一口直径AB 为4米，深BC 为2米的圆柱形养蛙池，小青蛙们晚上经常坐在池底中心O 观赏月亮，则它们看见月亮的最大视角∠COD=_______度(不考虑青蛙的身高).图28.2－24思路解析：在Rt △OBC 中，OB=OC ，可以得到∠BOC=45°，所以∠COD=2∠BOC=90°. 答案：90°6.如图28.2－25，小勇想估测家门前的一棵树的高度，他站在窗户C 处，观察到树顶端A 正好与C 处在同一水平线上，小勇测得树底B 的俯角为60°，并发现B 点距墙脚D 之间恰好铺设有六块边长为0.5米的正方形地砖，因此测算出B 点到墙脚之间的距离为3米，请你帮助小勇算出树的高度AB 约多少米？(结果保留1位小数)图28.2－25思路解析：在Rt △ABC 中，∠A=90°,∠BCA=60°，AC=3米，用正切函数关系求出AB 的长.解：如图，在Rt △ABC 中，AC=BD=3米，tan ∠BCA=ACAB ， 所以AB=AC×tan ∠BCA=3×tan60°=3×3≈5.2 (米).答：树的高度AB 约为5.2米.二、综合•应用达标 7.如图28.2－26，天空中有一个静止的广告气球C ，从地面A 点测得C 点的仰角为45°，从地面B 点测得C 点的仰角为60°.已知AB=20 米，点C 和直线AB 在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度(结果保留一位小数).图28.2－26思路解析：作出气球离地面的高度，构成了直角三角形，利用直角三角形求解.解：作CD ⊥AB,垂足为D.设气球离地面的高度是x 米.在Rt △ACD 中，∠CAD=45°，所以AD=CD=x.在Rt △CBD 中，∠CBD=60°，所以tan60°=BD CD ，BD=x 33. 因为AB=AD －BD ，所以20=x －x 33.解得x≈47.3(米). 答：气球离地面的高度约是47.3米.8.初三(5)班综合实践小组去湖滨花园测量人工湖的长，如图28.2－27所示，A 、D 是人工湖边的两座雕塑，AB 、BC 是湖滨花园的小路，小东同学进行如下测量，B 点在A 点北偏东60°方向，C 点在B 点北偏东45°方向，C 点在D 点正东方向，且测得AB=20米，BC=40米，求AD 的长. (结果精确到0.01米)图28.2－27思路解析：作高构造直角三角形并寻找线段之间的关系.解：过点B 作BE ⊥AD ，BF ⊥CD ，垂足分别为E 、F.由题意，知AD ⊥CD.因为四边形BFDE 为矩形，所以BF=ED.在Rt △ABE 中，AE=AB×cos ∠EAB ，在Rt △BCF 中，BF=BC×cos ∠FBC ，所以AD=AE+BF=20×cos60°+40×cos45°=20×21+40×22=10+220， 即AD≈10+20×1.414=38.28(米).9.如图28.2－28，城市规划期间，要拆除一电线杆AB ，已知距电线杆水平距离14米的D 处有一大坝，背水坡的坡度i=2∶1，坝高CF 为2米，在坝顶C 处测得杆顶A 的仰角为30°，D 、E 之间是宽为2米的人行道.请问：在拆除电线杆AB 时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上?请说明理由(在地面上，以点B 为圆心，以AB 长为半径的圆形区域为危险区域).图28.2－28思路解析：有没有必要将此人行道封上，就要看电线杆倒下时，能不能到达人行道上，若AB ＞BE ，则电线杆会倒到人行道上.只要计算出AB 的长，利用30°仰角这个条件，可以在点Ｃ处作CH ⊥AB ，在Rt △AHC 中解直角三角形.解：在拆除电线杆AB 时，不需要将此人行道封上.理由如下：作CH ⊥AB ，垂足为H.在Rt △CDF 中，I=1:2 DF CF ，所以DF=21 CF=21×2=1(米). 所以HC=BF=BD+DF=14+1=15(米). 在Rt △AHC 中，tan ∠ACH=AC AH ， 所以AH=HC×tan ∠ACH=15×tan30°=15×33≈8.7(米). 因此AB=AH+HB=AH+CF=8.7+2=10.7(米).因为BE=BD －DE=14－2=12(米)，10.7<12,所以电线杆不会倒到人行道上，不需要将此人行道封上.三、回顾•展望达标10.如图28.2－29，某飞机于空中A 处探测倒地面目标B ，此时从飞机上看目标B 的俯角α=30°，飞行高度AC=1 200米，则飞机到目标B 的距离AB 为( )图28.2－29A.1 200米B.2 400米C.3400米D.31200米 思路解析：∠ABC=α，解直角三角形.答案：B11.一人乘雪橇沿坡比1∶3的斜坡笔直滑下，滑下的距离s(米)与时间t(秒)间的关系为s=10t ＋2t 2，若滑到坡底的时间为4秒，则此人下降的高度为( )图28.2－30A.72 mB.36 mC.36 mD.318 m思路解析：根据公式，算出斜坡的坡长，构造斜边为s 的直角三角形，用坡比的定义解答.答案：C12.如图28.2－31，测量队为了测量某地区山顶P 的海拔高度，选M 点作为观测点，从M 点测量山顶P 的仰角为30°，在比例尺为1∶50 000的该地区等高线地形图上，量得这两点的图上距离为6厘米，则山顶P 的海拔高度为( )图28.2－31A.1 732米B.1 982米C.3 000米D.3 250米 思路解析：等高线地图上，两点的图上距离是指两点的水平距离，山顶的海拔高度是指P 点的竖直高度，画出视线、两点的水平距离、高度的示意图，它们可以构成直角三角形，通过解直角三角形求出.如图，在Rt △POM 中，∠O=90°，∠M=30°，OM=6×500=3 000(米)，因为tanM=OM OP ，所以OP=OM×tan30°=3 000×33≈1 732(米). 答案：A13. 某商场门前的台阶截面积如图28.2－32所示.已知每级台阶的席度(如CD)均为0.3 m ，高度(如BE)均为0.2 m.现将此台阶改造成供轮椅行走的斜坡，并且设计斜坡的倾斜角∠A 为9°，计算从斜坡的起点A 到台阶前点B 的距离(精确到0.1 m)(参考数据：sin9°≈0.16，cos9°≈0.99，tan9°≈0.16).图28.2－32思路解析：根据图形，构造直角三角形.解：如图，过C 作CF ⊥AB 交AB 的延长线于F.由条件，得CF=0.8 m ，BF=0.9 m.在Rt △CAF 中，∵tanA=AF CF ，∴AF≈16.08.0=5(m). ∴AB=AF －BF=5－0.9=4.1(m).答：从斜坡起点A 到台阶前点B 的距离约为4.1 m.14.如图28.2－33，海上有一灯塔P ，在它周围3海里处有暗礁.一艘客轮以9海里/时 的速度由西向东航行,行至A 点处测得P 在它的北偏东60°的方向,继续行驶20分钟后,到达B 处又测得灯塔P 在它的北偏东45°方向.问客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险?图28.2－33思路解析：构造直角三角形，用方程求解点P 到AB 的距离，若这个距离大于3海里，表明客轮在暗礁范围外，客轮不会触礁.解：过P 作PC ⊥AB 于C 点，据题意知: AB=9×62=3.∵∠PCB=90°，∠PBC=90°－45°=45°,∴PC=BC.在Rt △PAC 中，∠PAB=90°－60°=30°，∴tan30°=PCPC BC AB PC AC PC +=+=3, 即PC PC +=333.∴32333>+=PC . ∴客轮不改变方向继续前进无触礁危险.15.如图28.2－34，由山脚下的一点A 测得山顶D 的仰角是45°，从A 沿倾斜角为30°的山坡前进1 500米到B ，再次测得山顶D 的仰角为60°，求山高CD.图28.2－34思路解析：题目中知道AB的长，需要把AB转化到直角三角形中，考虑∠DBE=60°，过点B分别向AC、DC作垂线，构成直角三角形.解：过点B作CD、AC的垂线，垂足分别为E、F.∵∠BAC=30°，AB=1 500米,750米.∴BF=EC=750米，AF=3设FC=x米,∵∠DBE=60°,∴DE=x3米.又∵∠DAC=45°,∴AC=CD,750+x=750+3米.得x=750.即3750)米.∴CD=(750+3750)米.答：山高CD为(750+316.如图28.2－35所示，A、B为两个村庄，AB、BC、CD为公路，BD为田地，AD为河宽，且CD与AD互相垂直.现在要从E处开始铺设通往村庄A、村庄B的一条电缆，共有如下两种铺设方案：图28.2－35方案一：E→D→A→B;方案二：E→C→B→A.经测量得AB=34千米，BC=10千米，C E=6千米，∠BDC=45°，∠ABD=15°. 已知：地下电缆的修建费为2万元/千米，水下电缆的修建费为4万元/千米.(1)求出河宽AD(结果保留根号)；(2)求出公路CD 的长；(3)哪种方案铺设电缆的费用低？请说明你的理由.思路解析：这是一道几何应用题，解题时要善于把实际问题抽象成几何图形，并领会图形中的几何元素代表的意义，由题意可分析出，当A 点距台风中心不超过160千米时，会受台风影响，若过A 作AD ⊥BC 于D ，设E ，F 分别表示A 市受台风影响的最初、最后时台风中心的位置，则AE=AF=160千米；当台风中心位于D 处时，A 市受台风影响的风力最大.解：(1)如图，经过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D.在Rt △ABD 中，AB=220，∠B=30°.所以AD=110(千米).由题意，当A 点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响.故该城市会受到这次台风的影响.(2)由题意，当A 点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响，由对称性可以知道AE=AF=160千米.当台风中心从E 处移到F 处时，该城市都会受到这次台风的影响.在Rt △ADE 中，由勾股定理，得530502701101602222=⨯=-=-=AD AE DE .所以EF=1560 (千米).因为该台风中心以15千米／时的速度移动. 所以这次台风影响该城市的持续时间为154151560= (小时). (3)当台风中心位于D 处时，A 市所受这次台风的风力最大，其最大风力为5.62011012=-(级). 17.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力.如图28.2－36，据气象观测，距沿海某城市A 的正南方向220千米B 处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30°方向往C 移动，且台风中心风力不变.若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响.图28.2－36(1)该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由.(2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长?(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级?思路解析：本题的实质是解两个非直角三角形，一般是适当作高，运用特殊角解直角三角形.在△ABD 中，过点B 作AD 边的高，得到一个等腰直角三角形(大三角形)和一个含30°的特殊直角三角形.同理，CD 的长也可以在△BCD 中作高计算得到.比较两个方案，就是计算两种方案的铺设费用大小，A→D 需铺设水下电缆.解：(1)过点B 作BF ⊥AD ，交DA 的延长线于F(如图)， 在Rt △ABF 中，AB=34,∠BAF=60°，所以BF=AB×sin60°=2334⨯=6(千米)， AF=AB×cos60°=322134=⨯(千米). 在Rt △BDF 中，DF=BF=6(千米)，所以 BD=262/2645sin ==︒AB (千米).因此，河宽AD=DF －AF=6－32(千米).(2)作BH ⊥CD 于点H.在Rt △BDH 中，BH=HD=6千米，在Rt △CBH 中，86102222=-=-=BH BC CH (千米). 因此，公路CD=CH+HD=14(千米).(3)选择方案二铺设电缆的费用低.理由如下：方案一需要的费用：8×2+(6－32)×4+34×2=40(万元)；方案二需要的费用：6×2＋10×2＋34×2=22＋38≈35.9(万元).。