加权算术平均值的标准差
不等精度直接测量不确定度的评定
不等精度直接测量不确定度的评定国家质检总局福州培训中心彭靖一、问题的提出在不等精度直接测量时，由各测量值x i及其标准差σi计算加权算术平均值的标准差时，有两个计算公式式中:p i——各测量值的权；σi——各测量值的标准差；σ——单位权标准差；——加权算术平均值的标准差。
但这两个公式的计算结果有时会相差很大。
那么，在这种情况下，采用哪个公式更为合理呢？本文对此从公式的推导到公式的选用进行探讨，并给出了一般性的原则。
二、公式的数学推导在不等精度测量时，各测量值的权的定义式为:测量结果的最佳估计值为:则测量结果的不确定度评定为:对式(5)求方差有设各测量值x i的方差都存在，且已知分别为，即D(x i)=由(4)式有=σ2/p i从公式(1)的推导，我们可以看出，此时各测量值的方差(或标准差)必须是已知的。
而在实际测量中，常常各测量值的方差(或标准差)是未知的，无法直接应用公式(1)进行不确定度评定。
但是，从分析来看，如果能由各测量值的残差(其权等于测量值的权)求出单位权标准差的估计值，并将其代入公式(1)中，就可计算出加权算术平均值标准差的估计值。
为此，作如下推导:由残差νi=x i-i=1，2，……n对νi单位权化由于v i的权都相等，因而可设为1，故用v i代替贝塞尔公式中的νi可得单位权标准差的估计值将此式代入公式(1)，即得到加权算术平均值标准差的估计值从上面的推导我们可以看出，公式(1)是在各测量值的标准差已知时计算出的不等精度测量结果的不确定度的准确值；而公式(2)是在各测量值的标准差未知时计算出的不等精度测量结果的不确定度的估计值。
从概率论与数理统计知识可知，只有在n→∞时，其单位权标准差的估计值才能等于单位权的标准差，而由于测量次数的有限性和随机抽样取值的分散性，这两者是不相等的，所以由公式(1)和公式(2)确定的不确定度的值是也不相同的。
三、公式选用的一般原则笔者用了较大的篇幅来进行公式的数学推导，主要是为了说明这两个公式推导的前提是不一样的，其应用当然也就不同。
《误差理论与数据处理》答案
《误差理论与数据处理》第一章 绪论1-1．研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容.答： 研究误差的意义为:（1）正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差；（2）正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果,以便在一定条件下得到更接近于真值的数据；（3)正确组织实验过程,合理设计仪器或选用仪器和测量方法,以便在最经济条件下,得到理想的结果。
误差理论的主要内容:误差定义、误差来源及误差分类等。
1-2．试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么?答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质,可分为系统误差、随机误差、粗大误差。
系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）；随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化； 粗大误差的特点是可取性。
1-3．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。
答：(1）误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量,不反映是“大了"还是“小了”，只是差别量；绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值.+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。
（2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的,后者是指系统本身标准值未定1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o00’02”，试求测量的绝对误差和相对误差 解：绝对误差等于： 相对误差等于：1-6．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm ，已知其最大绝对误差为 1μm ，试问该被测件的真实长度为多少？解: 绝对误差＝测得值－真值，即: △L ＝L －L 0 已知：L ＝50，△L ＝1μm ＝0.001mm ，测件的真实长度Ｌ0＝L －△L ＝50－0.001＝49。
999（mm ） 1-7．用二等标准活塞压力计测量某压力得 100。
《误差理论与数据处理(第6版)》费业泰-课后答案全
《误差理论与数据处理》练习题第一章 绪论1-7 用二等标准活塞压力计测量某压力得100.2Pa ，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa ，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？【解】在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。
故二等标准活塞压力计测量值的绝对误差＝测得值－实际值＝100.2－100.5＝－0.3（ Pa ）。
相对误差=0.3100%0.3%100.5-⨯≈- 1-9 使用凯特摆时，g 由公式g=4π2（h 1+h 2）/T 2给定。
今测出长度（h 1+h 2）为（1.04230±0.00005）m ，振动时间T 为（2.0480±0.0005）s 。
试求g 及其最大相对误差。
如果（h 1+h 2）测出为（1.04220±0.0005）m ，为了使g 的误差能小于0.001m/s 2，T 的测量必须精确到多少？ 【解】测得（h 1+h 2）的平均值为1.04230（m ），T 的平均值为2.0480（s ）。
由21224()g h h Tπ=+,得：2224 1.042309.81053(/)2.0480g m s π=⨯= 当12()h h +有微小变化12()h h ∆+、T 有T ∆变化时，令12h h h =+ g 的变化量为：22121212231221212248()()()()42[()()]g g g h h T h h h h Th h T T TTh h h h T Tπππ∂∂∆=∆++∆=∆+-+∆∂+∂∆=∆+-+2223224842()g g g h T h h Th T T T T h h T Tπππ∂∂∆=∆+∆=∆-∆∂∂∆=∆- g 的最大相对误差为：22222222124422[][]244()0.000052(0.0005)[]100%0.054%1.04230 2.0480T T h h h h g h T T T T T g h Th h h T Tππππ∆∆∆-∆-∆∆∆===-+±⨯±=-⨯≈± 如果12()h h +测出为（1.04220±0.0005）m ，为使g 的误差能小于0.001m/s 2，即：0.001g ∆<也即 21212242[()()]0.001Tg h h h h T Tπ∆∆=∆+-+< 22420.0005 1.042200.0012.0480 2.04800.0005 1.017780.00106TT T π∆±-⨯<±-∆< 求得：0.00055()T s ∆<1-10. 检定2.5级（即引用误差为2.5%）的全量程为100V 的电压表，发现50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差，问该电压表是否合格？【解】 引用误差＝示值误差／测量范围上限。
《误差理论与数据处理》习题2及解答
(mm)
② 重复测量 10 次，计算其算术平均值为： x = 26.2025(mm). 取与①相同的置信度，则测量结果为：26.2025±3σ= 26.2025±0.0015 (mm). ③ 若无该仪器测量的标准差资料，则依 10 次重复测量数据计算标准差和表示测量结 果。选参考值 x0 = 26.202，计算差值 ∆x i = x i − 26.202 、 ∆ x 0 和残差ν i 等列于表中。 序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 号
∑ν
i =1
i
n( n − 1)
= 1.253
0.0008 5× 4
= 0.000224 （mm）
σx =
σ
n
=
0.000255 5
= 0.000114 ； σ x =
'
σ'
n
=
0.000224 5
= 0.0001
⑤求单次测量的极限误差和算术平均值的极限误差 因假设测量值服从正态分布，并且置信概率 P=2Φ(t)=99%，则Φ(t)=0.495，查附录
∆ x0 = 1 10 ∑ ∆xi = 0.0005 10 i =1
νi
0 +0.0003 +0.0003 0 +0.0001 -0.0003 -0.0002 0 +0.0001 -0.0003
ν i2
0 9×10 9×10 0 1×10
平均值的标准差公式
平均值的标准差公式在统计学中，平均值的标准差是一种用来衡量数据离散程度的指标。
它可以帮助我们了解数据集中数值的分布情况，以及数据点与平均值之间的差异程度。
在实际应用中，我们经常会用到平均值的标准差来评估数据的稳定性和可靠性，从而做出合理的决策和预测。
平均值的标准差公式可以用数学符号来表示，其计算方法如下：首先，我们需要计算每个数据点与平均值的差值，然后将这些差值进行平方。
接着，将所有平方差值相加，并除以数据点的个数。
最后，将得到的结果进行开方，即可得到平均值的标准差。
用公式表示如下：标准差 = √[Σ(xi μ)² / N]其中，Σ代表求和，xi代表每个数据点，μ代表平均值，N代表数据点的个数。
这个公式的推导过程并不复杂，但是它能够为我们提供丰富的信息。
通过计算平均值的标准差，我们可以了解数据的波动程度，从而判断数据的稳定性和可靠性。
在实际应用中，平均值的标准差经常被用来评估股票的风险、商品的价格波动、生产过程的稳定性等。
除了上述的标准差公式外，还有一种修正样本标准差的公式，它在样本较小的情况下更为准确。
修正样本标准差公式如下：标准差 = √[Σ(xi μ)² / (N-1)]其中，N-1代表修正后的样本容量。
需要注意的是，计算平均值的标准差并不是一项简单的任务，它需要耗费一定的时间和精力。
在实际操作中，我们可以借助计算机软件来快速、准确地完成这项工作。
例如，Excel软件中提供了STDEV函数来计算标准差，这大大提高了工作效率。
在数据分析和决策过程中，平均值的标准差是一项非常重要的指标。
它能够帮助我们更好地理解数据的特征，为我们的决策提供有力的支持。
因此，掌握平均值的标准差公式及其计算方法，对于提高数据分析能力和决策水平具有重要意义。
总之，平均值的标准差是统计学中一项重要的工具，它能够帮助我们更好地理解数据的分布情况，为我们的决策提供有力的支持。
通过学习和掌握平均值的标准差公式及其计算方法，我们能够更加准确地评估数据的稳定性和可靠性，为实际工作和生活中的问题提供科学的解决方案。
加权算术平均值的标准偏差
m 1
i 1
2 xi
残余误差
vxi xi x
1 1 1
m1
...
2
2
2
x
x1
x2
2
i1 xi
x
m
pi
v2 xi
i 1 m
(m 1) pi
i 1
m
i 1
v2 xi
2 xi
m
(m 1)
i 1
1
2 xi
8
感谢下 载
感谢下 载
1 n2
n 2
D(x) x
2 2
xn
x
n
1
1.单次测量的标准差
在等精度测量列中，单次测量的标准误差按下式计算：
n
12
2 2
...
2 n
2 i
i 1
n
n
n 式中： ——测量次数；
——测得值与被测量的真值之差。 i
2
n
12
2 2
...
2 n
2 i
i 1
n
n
当被测量的真值为未知时，不能用上式求得标准差。实际上，在有限次测量情况下，
算术平均值： 取方差：
x l1 l2 ... ln n
D(x)
1 n2
D(l1)
D(l2 )
...
D(ln )
n
2
1i
Hale Waihona Puke ijjD(x)
1 n2
D(l1)
D(l2 )
...
D(ln )
因为： D(l1) D(l2 ) ... D(ln ) D(l) 2
定义：
D(x)
xm已, 知单位权测得值的标准差 ，则：
《误差理论与数据处理》答案
《误差理论与数据处理》第一章绪论1-1．研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。
答：研究误差的意义为：(1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差；(2)正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据；(3)正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。
误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。
1-2．试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。
系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）；随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化；粗大误差的特点是可取性。
1-3．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。
答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量；绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。
+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。
(2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差解：绝对误差等于：相对误差等于：1-6．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm，已知其最大绝对误差为 1μm，试问该被测件的真实长度为多少？解：绝对误差＝测得值－真值，即：△L＝L－L0已知：L＝50，△L＝1μm＝0.001mm，测件的真实长度Ｌ0＝L－△L＝50－0.001＝49.999（mm）1-7．用二等标准活塞压力计测量某压力得 100.2Pa，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？解：在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。
《误差理论与数据处理》习题2及解答
= 1.253 0.0008 = 0.000224 （mm）
n(n − 1)
5×4
④求算术平均值的标准差
σ = σ = 0.000255 = 0.000114 ；σ ' = σ ' = 0.000224 = 0.0001
x
n
5
x
n
5
⑤求单次测量的极限误差和算术平均值的极限误差 因假设测量值服从正态分布，并且置信概率 P=2Φ(t)=99%，则Φ(t)=0.495，查附录
0 1×10-8 9×10-8 4×10-8
0 1×10-8 9×10-8
10
∑ν
2 i
=
42 ×10−8
i =1
5
算术平均值的标准差：σ = σ = 0.00022 = 0.00007 (mm).
（3） 最大误差法计算
8 个测量数据的最大残差为： ν i max = ν 4 = 0.09 查教材P19 表 2-5，n=8 时，1/K’n＝0.61
σ = ν i max = 0.09 × 0.61 = 0.0549 ( g ) Kn'
2-4. 测量某电路电流共 5 次，测得数据（单位为 mA）为 168.41，168.54，168.59，168.40， 168.50，试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差。
【解】①选参考值 x0 = 168.5 ，计算差值 ∆xi = xi −168.5 、 ∆x0 和残差ν i 等列于表中。
序号
1 2 3 4 5
xi
Δx i
168.41 168.54 168.59 168.40 168.50
x = x0 + ∆x 0 = 168.488
-0.09 0.04 0.09 -0.10
传感器习题及答案
1.用测量范围为-50~150kPa 的压力传感器测量140kPa 压力时，传感器测得示值为142kPa ，求该示值的绝对误差、实际相对误差、标称相对误差和引用误差。
解：真值L=140kPa, 测量值x=142 kPa 绝对误差Δ=x-L=142-140=2 kPa实际相对误差 标称相对误差 引用误差2 .用电位差计测量电势信号x E （如图所示）,已知:,10,10,5,2,42121Ω=Ω=Ω===p r R R mA I mA I 电路中电阻p r R R ,,21的定值系统误差分别为,005.0,01.0,01.021Ω+=∆Ω+=∆Ω+=∆p r R R 设检流计A 、上支路电流1I 和下支路电流2I 的误差忽略不计。
求修正后的x E 的大小。
解：1122()x p E r R I R I =+-当不考虑系统误差时，有0(105)410240x E mV =+⨯-⨯= 已知12,,p r R R 存在系统误差，按照误差合成理论，可得2100% 1.43%140L δ∆=⨯==2100% 1.41%142x δ∆'=⨯==100%100%21%150(50)m x γ∆∆=⨯=⨯==--测量上限－测量下限1112240.00540.0120.010.04x p E I r I R I R mV∆=∆+∆-∆=⨯+⨯-⨯=修正后的E x 为0400.0439.96x x x E E E mV =-∆=-=3. 某压力传感器测试数据如表所示，计算非线性误差、迟滞和重复性误差。
2)． 再用最小二乘法拟合直线： 设拟合直线为：b kx y +=则误差方程为：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+-=+-=+-=+-=+-=+--654321)10.0(45.14)08.0(93.10)06.0(47.7)04.0(04.4)02.0(64.0)0(7.2v b k v b k v b k v b k vb k v b k 其正规方程为：⎩⎨⎧=+=+83.3463.0942.23.0022.0b k b k 解得⎩⎨⎧-==77.25.171b k所以，用最小二乘法拟合后的直线为：77.25.171-=x y 3)．满量程值为：mV k x x Y FS 15.175.1711.0)(1max =⨯=-= 由表知，09667.0max =∆L ，所以： 非线性误差为：%56.0%10015.1709667.0%100max ≈⨯=⨯∆=FS L Y L γ； 又0.09333=∆max H ，所以： 迟滞误差为：%54.0%10015.1709333.0%100max ≈⨯=⨯∆=FS H Y H γ； 求重复性误差的标准差σ：正反行程的子样方差的平方根：2131⎪⎭⎫⎝⎛--=-y y i σ其标准差0.0274370.009033==⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=∑∑==12621616122i i i i 反正σσσ；所以重复性误差为：%48.0%10015.17027437.03%100)3~2(≈⨯⨯=⨯=FS R Y σγ4. 当被测介质温度为t 1，测温传感器示值温度为t 2时，有下列方程式成立：ττd dt t t 221+=。
误差理论与数据处理 试卷三套有答案!
三、 甲乙两人分别对某地的重力加速度进行了测量。甲共测量 16 次，平均值为 9.808m/s2，单次测量标准差为 0.015m/s2；乙共测量 25 次，平均值为 9.810m/s2，其单次测量标准差为 0.020m/s2。若由甲乙两人的测量数据计算 测量结果，求该测量结果及其标准差。（本题 15 分）
（2 分）
P = P'+0.2 + δ = 200.90 ± 0.12 mW lim P'
（2 分）
第三题 18 分：
1
解： 解：建立误差方程：
⎧v1 = 50.04 − (x + y)
⎡50.04 ⎤
⎡1
⎪⎪⎪⎨vv32
= =
70.02 − (2x + y) 80.01− (x + 2 y)
，得
12 −1
2、判断有无粗大误差：根据莱以特准则，认为 25.40 值存在粗大误差，应 予剔除。 3、重新计算：
12
∑ xi
x' = i=1,i≠4 = 25.64mm, σ = 11
12
∑(xi − x)2
⎪⎩v4 = 100.05 − (2x + 2 y)
L
=
⎢⎢70.02
⎥ ⎥
，
A=
⎢⎢2
⎢80.01 ⎥
⎢1
⎢⎣100.05⎥⎦
⎢⎣2
1⎤
1⎥⎥ ， 2⎥ 2⎥⎦
Xˆ
=
⎡x⎤
⎢ ⎣
y⎥⎦
量块 x、y 的最佳估计值为：
( ) Xˆ
=
⎡x⎤
⎢ ⎣
y⎥⎦
=
AT
A
−1
AT
L
中国计量差理论与数据处理试卷答案E
-可编辑修改-一、 填空题（每空0.5分，共10分）1、服从正态分布的随机误差具有四个特征：单峰性、有界性、对称性、抵偿性。
2、保留四位有效数字时4.51050应为 4.510 ，6.378501应为 6.379 。
3、用二等标准活塞压力计测量某压力，测得值为9000.5N/cm 2,若该压力用高一等级的精确方法测得值为9000.2N/cm 2，则二等标准活塞压力计的测量误差为 0.3 N/cm 2。
4、量块的公称尺寸为10mm ，实际尺寸为10.001mm ，若按公称尺寸使用，始终会存在 -0.001 mm 的系统误差，可用 实验对比 方法发现。
采用修正方法消除，则修正值为0.001 mm ，当用此量块作为标准件测得圆柱体直径为10.002mm ，则此圆柱体的最可信赖值 为 10.003 mm 。
5、使用σ3准则（莱以特准则）判别粗差，观测次数必须大于 10 次。
6、按公式h D V 42π=求圆柱体体积，已给定体积测量的允许极限误差为v δ，按等作用原则确定直径D 和高h 的测量极限误差分别为D δ=Dh π2v δ ，h δ= 222D πv δ 。
， 7、设校准证书给出名义值10Ω的标准电阻器的电阻Ω±Ωμ129000742.10，测量结果服从正态分布，置信水平为99％,则其标准不确定度u 为 Ωμ50， 。
这属于 B 类评定。
如评定u 的相对不确定度为0.25，则u 的自由度为 8 。
8、对某量重复测量49次，已知每次测量的标准差为0.7mH ，则算术平均值的或然误差为 0.067 mH 。
9、对于相同的被测量，采用 绝对 误差评定不同测量方法的精度高低；而对于不同的被测量，采用 相对 误差评定不同测量方法的精度高低。
二、 单项选择题（每题2分，共20分）1、进行两次测量过程时，数据凑整的误差服从（ B ）。
A ．均匀分布B ．三角误差C ．反正弦分布D ．正态分布-可编辑修改-2、用算术平均值作为被测量的量值估计值是为了减小（ A ）的影响。
一级注册计量师考试相关公式大全
)()(),(),(y s x s y x s y x r残差——i υ=i x -x计算标准偏差的方法：·“最大残差法”计算试验标准偏差为 max ,,1i n c s υ•= ·最大误差法max ,,2i n c s ∆•= ·极差法s=)(11min ,max ,,3,3i i nn x x c c -•=•ω ·较差法：)1(2)()()(21223212--++-+-=-n x x x x x x s n n算术平均值试验标准偏差——s ns x•=-1算术平均值：试验标准偏差的估量方法：1、贝塞尔公式：2、最大残差法：3、极差法：4、较差法：算术平均值试验标准差：判别特殊值的统计方法：1、拉依达准则：≥3s2、格拉布斯准则：p ;a为显著性水平，p为置信概率.3、狄克逊准则：设所得到的观测值从小到大的规律排列为：x1,x2,…,x n，其中x1最小，x n最大；（1）在n=3~7状况下：（2）在n=8~10状况下：（3）在n=11~13状况下：（4）在n≥14状况下：当则xn 为特殊值；当则x1为特殊值；加权算术平均值的计算： Wi为第i组观测结果的权，m为重复观测的组数；加权算术平均值试验标准差的计算：符合性评定：1、2、标准不确定度重量的A类评定方法：1、基本测量标准不确定度A类评定：2、测量过程的A类标准不确定度评定：若每次核查时测量次数n相同，每次核查时的样本标准偏差为si，共核查k次，则有合并样本偏差：，自由度v=（n-1）k；，n’为测量结果时的测量次数。
3、规范化常规测量时A类标准不确定度评定：测量m个组数据，每组测量n次，第j组的平均值为，则合并样本标准偏差为：，自由度v=m（n-1）；若每组被测次数nj 不同，各组自由度vj不等，各组试验标准偏差为sj，则：测量不确定度的传播律，不相关时：输入量间不相关时合称标准不确定度的评定：（1）对于直接测量：（2）当被测量的函数形式为：Y=A1X1+A2X2+…+ANXN，（3）当被测量的函数形式为：Y=A()，输入量相关，且相关系数为1时，合成标准不确定度的评定：计算自由度 222)()(21)]([)(21-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=≈i i i i i x u x u x u x u σσν有效自由度eff ν可由韦尔奇－萨特思韦特（Welch-Satterthwaite ）公式计算：∑=i i c eff y u y u νν/)()(44 式中：i ν——)(i x u 的自由度。
加权算术平均值的标准偏差
…
定义：
n ln x x L0
x
L ，称为算术平均值的误差
0
x
3
1
v1
x
2
v2
x
…
n
vn
x
两边平方后再求和得：
n
n
i
vi
n x
i 1
i 1
n
n
n
i vi i
i1 i1 i1
x
n
n
n
n
n
n
n
2 i
vi2
n 2 x
2 x
vi
vi2
n 2 x
i 1
i 1
i 1
m
pi
v2 xi
i 1 m
(m 1) pi
i 1
m
i 1
v2 xi
2 xi
m
(m 1)
i 1
1
2 xi
8
感谢下 载
感谢下 载
x
n1 n2 ... nm
m
ni
i 1
x
xi
ni
m
xi
pi
m
m
ni
pi pi
i 1
i 1
i 1
当各组测量结果的标准差为未知时，必须由各测量结果的残余误差来计算加权算
术平均值的标准差。
6
不等精度测量的平均值与标准差
加权平均值
m
pi xi
x
i 1 m
pi
i 1
残余误差
vxi xi x
i 1
由于
n
2
i
n
n
2 i
2
i j
《传感器原理及工程应用》第四版郁有文)课后答案
第一章传感与检测技术的理论基础1．什么是测量值的绝对误差、相对误差、引用误差？答：某量值的测得值和真值之差称为绝对误差。
相对误差有实际相对误差和标称相对误差两种表示方法。
实际相对误差是绝对误差与被测量的真值之比；标称相对误差是绝对误差与测得值之比。
引用误差是仪表中通用的一种误差表示方法，也用相对误差表示，它是相对于仪表满量程的一种误差。
引用误差是绝对误差（在仪表中指的是某一刻度点的示值误差）与仪表的量程之比。
2．什么是测量误差？测量误差有几种表示方法？它们通常应用在什么场合？答：测量误差是测得值与被测量的真值之差。
测量误差可用绝对误差和相对误差表示,引用误差也是相对误差的一种表示方法。
在实际测量中，有时要用到修正值，而修正值是与绝对误差大小相等符号相反的值。
在计算相对误差时也必须知道绝对误差的大小才能计算。
采用绝对误差难以评定测量精度的高低，而采用相对误差比较客观地反映测量精度。
引用误差是仪表中应用的一种相对误差，仪表的精度是用引用误差表示的。
3． 用测量范围为-50～+150kPa 的压力传感器测量140kPa 压力时，传感器测得示值为142kPa ，求该示值的绝对误差、实际相对误差、标称相对误差和引用误差。
解：绝对误差 2140142=-=∆kPa实际相对误差%43.1%100140140142=⨯-=δ 标称相对误差%41.1%100142140142=⨯-=δ 引用误差 %1%10050150140142=⨯---=）（γ 4． 什么是随机误差？随机误差产生的原因是什么？如何减小随机误差对测量结果的影响？答：在同一测量条件下，多次测量同一被测量时，其绝对值和符号以不可预定方式变化着的误差称为随机误差。
随机误差是由很多不便掌握或暂时未能掌握的微小因素（测量装置方面的因素、环境方面的因素、人员方面的因素），如电磁场的微变，零件的摩擦、间隙，热起伏，空气扰动，气压及湿度的变化，测量人员感觉器官的生理变化等，对测量值的综合影响所造成的。
误差作业答案
-2-
测量结果为： x + δ lim x = ( 26.2025 ± 0.0015 ) mm ； ② 测量列的算术平均值为：
26.2025+26.2028+26.2028+26.2025+26.2026+26.2022+26.2023+26.2025+26.2026+26.2022 mm 10 10 = 26.2025mm 各测量值的残差分别为 0，＋0.0003，＋0.0003，0，＋0.0001，－0.0003，－0.0002， 0，＋0.0001，－0.0003。 x=
i =1
∑l
8
i
=
0.024988 g = 0.0597 g n −1 8 −1 σ 0.0597 算术平均值的标准差为： σ x = = g = 0.0211g 。 n 8
标准差为： σ =
i =1
∑v
n
2 i
=
-1-
2-3：用别捷尔斯法、极差法和最大误差法计算习题 2-2 的标准差，并比较之。 别捷尔斯法： σ x = 1.253 × 极差法： σ=
σ
n
=
0.0525 g = 0.0186 g 8
2-5：在立式测长仪上测量某校对量具，重复测量 5 次，测得数据（单位为 mm）为 20.0015，20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。若测量值服从正态分布，试以 99％的 置信概率确定测量结果。 测量列的算术平均值为：
x=
i
各测量值的残差分别为 +1′′ ， −11′′ 。 A = 1′′
i =1 i
2
-3-
A = 10.5′′ ，故计算正确。 2 加权算术平均值的标准差为：
测试误差分析与数据处理考试题(附答案)
P U 2 * I 2 I 2 *U 2 1.8052 * 0.352 50.252 * 0.1002 5.06 mW
4．设 x1 、 x2 无关， y x1 x2 ，若 u(x1) 1.73mg ， u(x2 ) 1.15mg ，求其 合成标准不确定度，按照正态分布，在 99.73%概率下的扩展不确定 度为多少？（十分） 解：
（）
6. A 类不确定度是用统计分析方法进行评定的。
（）
7. 二阶系统的频域性能指标包括通频带和工作频带。
（）
8. 阻尼比系数小于 1 时二阶系统的阶跃响应会出现振荡。
（）
9. 单次测量和多次测量情况下误差合成的公式是相同的。
（）
10. 等精度测量的计算过程是不等精度测量的特例。
（）
二、 简答题（每题五分0.35% ； h% 0.283 100% 0.71%
10
40
4. 为确定电阻随温度变化的关系，测得不同温度下的电阻如下表所示， 试用最小二乘法确定关系式：R=a+bt，并利用相关系数法判断显著性 水平。（二十分）。
（ r0.001 0.898, r0.01 0.798, r0.05 0.666 ）
特征量的实际估计时，平稳随机过程采用什么样的方法？各态历 经随机过程采用什么样的方法？ 答： 对于各态历经随机过程，当 增加时其相关函数趋于零，这就是 判断各态历经随机过程的基本原则。（1 分） 在进行随机过程特征量的实际估计时，平稳随机过程采用总体平 均法（或几何平均法），各态历经随机过程采用时间平均法。（每个 2 分，共计 4 分）
一．简答题（每题五分，共十分）
1. 什么是系统误差，什么是随机误差，两者的区别是什么？ 答：
《传感器原理及工程应用》第四版(郁有文)课后答案
第一章传感与检测技术的理论基础1．什么是测量值的绝对误差、相对误差、引用误差？答：某量值的测得值和真值之差称为绝对误差。
相对误差有实际相对误差和标称相对误差两种表示方法。
实际相对误差是绝对误差与被测量的真值之比；标称相对误差是绝对误差与测得值之比。
引用误差是仪表中通用的一种误差表示方法，也用相对误差表示，它是相对于仪表满量程的一种误差。
引用误差是绝对误差（在仪表中指的是某一刻度点的示值误差）与仪表的量程之比。
2．什么是测量误差？测量误差有几种表示方法？它们通常应用在什么场合？答：测量误差是测得值与被测量的真值之差。
测量误差可用绝对误差和相对误差表示,引用误差也是相对误差的一种表示方法。
在实际测量中，有时要用到修正值，而修正值是与绝对误差大小相等符号相反的值。
在计算相对误差时也必须知道绝对误差的大小才能计算。
采用绝对误差难以评定测量精度的高低，而采用相对误差比较客观地反映测量精度。
引用误差是仪表中应用的一种相对误差，仪表的精度是用引用误差表示的。
3．用测量范围为-50～+150kPa的压力传感器测量140kPa压力时，传感器测得示值为142kPa，求该示值的绝对误差、实际相对误差、标称相对误差和引用误差。
解：绝对误差 kPa实际相对误差标称相对误差引用误差4．什么是随机误差？随机误差产生的原因是什么？如何减小随机误差对测量结果的影响？答：在同一测量条件下，多次测量同一被测量时，其绝对值和符号以不可预定方式变化着的误差称为随机误差。
随机误差是由很多不便掌握或暂时未能掌握的微小因素（测量装置方面的因素、环境方面的因素、人员方面的因素），如电磁场的微变，零件的摩擦、间隙，热起伏，空气扰动，气压及湿度的变化，测量人员感觉器官的生理变化等，对测量值的综合影响所造成的。
对于测量列中的某一个测得值来说，随机误差的出现具有随机性，即误差的大小和符号是不能预知的，但当测量次数增大，随机误差又具有统计的规律性，测量次数越多，这种规律性表现得越明显。
11测量数据处理习题与参考答案
一、思考题1.如何发现存在系统误差?答:(1)在规定的测量条件下多次测量同一个被测量,从所得测量结果与计量标准所复现的量值之差可以发现并得到恒定的系统误差的估计值。
(2)在测量条件改变时,例如随时间、温度、频率等条件改变时,测量结果按某一确定的规律变化,可能是线性地或非线性地增长或减少,就可以发现测量结果中存在可变的系统误差。
2.减小系统误差的方法有哪些?答:(1)采用修正值的方法。
(2)在实验过程中尽可能减少或消除一切产生系统误差的因素。
(3)选择适当的测量方法,使系统误差抵消而不致带入测量结果中3.举例说明几种消除恒定系统误差的方法。
答:①异号法改变测量中的某些条件,例如测量方向、电压极性等,使两种条件下的测量结果中的误差符号相反,取其平均值以消除系统误差。
【案例】带有螺杆式读数装置的测量仪存在空行程,即螺旋旋转时,刻度变化而量杆不动,引起测量的系统误差。
为消除这一系统误差,可从两个方向对线,第一次顺时针旋转对准刻度读数为d,设不含系统误差的值为α ,空行程引起的恒定系统误差为ε ,则d=α +ε ;第二次逆时针旋转对准刻度读数为d’,此时空行程引起的恒定系统误差为-ε ,即d’=α -ε 。
于是取平均值就可以得到消除了系统误差的测量结果:α =(d+d’)/2。
②交换法将测量中的某些条件适当交换,例如被测物的位置相互交换,设法使两次测量中的误差源对测量结果的作用相反,从而抵消了系统误差。
例如:用等臂天平称重,第一次在右边秤盘中放置被测物X,在左边秤盘中放置砝码P,使天平平衡,这时被测物的质量为X=Pl1/l2,当两臂相等(l1= l2)时X=P,如果两臂存在微小的差异(l1≠l2),而仍以X=P 为测量结果,就会使测量结果中存在系统误差。
为了抵消这一系统误差,可以将被测物与砝码互换位置,此时天平不会平衡,改变砝码质量到P’时天平平衡,则这时被测物的质量为X=P' l2/l1。
所以可以用位置交换前后的两次测得值的几何平均值得到消除了系统误差的测量结果P P X③替代法保持测量条件不变,用某一已知量值的标准器替代被测件再作测量,使指示仪器的指示不变或指零,这时被测量等于已知的标准量,达到消除系统误差的目的。
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残差——i υ=i x -x 计算标准偏差的方法：·“最大残差法”计算实验标准偏差为 max ,,1i n c s υ•= ·最大误差法max ,,2i n c s ∆•= ·极差法s=)(11min ,max ,,3,3i i nn x x c c -•=•ω ·较差法：)1(2)()()(21223212--++-+-=-n x x x x x x s n n Λ算术平均值实验标准偏差——s ns x•=-1算术平均值：x ̅=1n ∑x i n i =1 实验标准偏差的估计方法：1、贝塞尔公式：s (x )=√∑(x i −x )2n i =1n −12、最大残差法：s (x )=c n |υmax |，υi =x i −x 3、极差法：s (x )=（x max −x min )C⁄ 4、较差法：s (x )=√（x 2−x 1)2+（x 3−x 2)2+⋯+（x n −x n −1)22（n −1）算术平均值实验标准差：s（x）=√n判别异常值的统计方法：1、 拉依达准则：|x d −x |≥3s ≥3s2、 格拉布斯准则：|x d −x |s≥G (α，n )，α=1−p，p ;a 为显着性水平，p 为置信概率.3、 狄克逊准则：设所得到的观测值从小到大的规律排列为：x 1,x 2,…,x n ，其中x 1最小，x n 最大； （1）在n=3~7情况下：γ10=x n −x n −1x n −x 1，γ,10=x 2−x 1x n −x 1（2） 在n=8~10情况下：γ11=x n −x n −1x n −x 2，γ,11=x 2−x 1x n −1−x 1（3） 在n=11~13情况下：γ21=x n −x n −2x n −x 2，γ,21=x 3−x 1x n −1−x 1（4） 在n ≥14情况下：γ22=x n −x n −2x n −x 3，γ,10=x 3−x 1x n −2−x 1当γij >γ,ij ，γij >D (α，n )，则x n 为异常值；当γij <γ,ij ，γ,ij >D (α，n )，则x 1为异常值；加权算术平均值的计算：x w =∑W i x i m i =1∑W ii =1，W i =u 02u ci2⁄ Wi 为第i 组观测结果的权，m 为重复观测的组数；加权算术平均值实验标准差的计算：s w =√∑W i (x i −x w )2m i =1(m −1)∑W im i =1符合性评定：1、D 95≤13MPEV，|Δ|≤MPEV 合格，|Δ|>DDDD 不合格；2、D 95>13MPEV，|Δ|≤MPEV −D 95合格，|Δ|>DDDD +D 95不合格，MPEV −D 95<|Δ|<DDDD +D 95 待定；标准不确定度分量的A 类评定方法：1、基本测量标准不确定度A 类评定：D D （x）=n2、测量过程的A 类标准不确定度评定：若每次核查时测量次数n 相同，每次核查时的样本标准偏差为s i ，共核查k 次，则有合并样本偏差： s p =√∑s i2k i =1k，自由度v=（n-1）k ；D D =sp √n ′⁄，n ’为测量结果时的测量次数。