2016高考_一中一轮-数理-作业8 (5)

第5讲 空间向量及其运算

基础巩固题组 (建议用时：40分钟)

一、选择题 1．在下列命题中：

①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；

②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面； ③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；

④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c . 其中正确命题的个数是

( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

解析 a 与b 共线，a ，b 所在直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任两向量a ，b 都共面，故②错误；三个向量a ，b ，c 中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a ，b ，c 不共面时，空间任意一向量p 才能表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A. 答案 A

2．在空间直角坐标系中，A (1，2，3)，B (－2，－1，6)，C (3，2，1)，D (4，3，0)，则直线AB 与CD 的位置关系是

( )

A ．垂直

B ．平行

C ．异面

D ．相交但不垂直

解析 由题意得，AB →＝(－3，－3，3)，CD →

＝(1，1，－1)， ∴AB →＝－3CD →，∴AB →与CD →共线，又AB →与CD →

没有公共点． ∴AB ∥CD . 答案 B

3．(2015·济南月考)O 为空间任意一点，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →

，则A ，B ，C ，P 四点

( )

A ．一定不共面

B ．一定共面

C ．不一定共面

D ．无法判断

解析 因为OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →， 且34＋18＋1

8＝1.所以P ，A ，B ，C 四点共面． 答案 B

4．已知a ＝(－2，1，3)，b ＝(－1，2，1)，若a ⊥(a －λb )，则实数λ的值为( ) A ．－2 B ．－143 C.14

5 D ．2 解析 由题意知a ·(a －λb )＝0，即a 2－λa ·b ＝0， 所以14－7λ＝0，解得λ＝2. 答案 D

5．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →

的值为 ( )

A ．a 2

B.1

2a 2

C.1

4a 2 D.34a 2

解析 如图，设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →

＝c ，

则|a |＝|b |＝|c |＝a ，且a ，b ，c 三向量两两夹角为60°.

AE →＝12(a ＋b )，AF →＝12c ， ∴AE →·AF →＝1

2(a ＋b )·

12c

＝14(a ·c ＋b ·c )＝14(a 2cos 60°＋a 2cos 60°)＝14a 2. 答案 C 二、填空题

6．已知a ＝(2，－1，3)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(7，5，λ)，若a ，b ，c 三个向量共面，则实数λ等于________．

解析 ∵a ，b ，c 共面，且显然a ，b 不共线， ∴c ＝x a ＋y b ，

∴⎩⎨⎧7＝2x －y ， ①5＝－x ＋4y ， ②λ＝3x －2y ，

③

由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝337，y ＝177，代入③得λ＝65

7.

答案 65

7

7．在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →

＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →

＝________(用a ，b ，c 表示)．

解析 OE →＝OA →＋12AD →＝OA →＋12×12(AB →＋AC →) ＝OA →＋14×(OB →－OA →＋OC →－OA →) ＝12OA →＋14OB →＋14OC → ＝12a ＋14b ＋14c . 答案 12a ＋14b ＋14c

8．A ，B ，C ，D 是空间不共面四点，且AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →

＝0，则△BCD 的形状是________三角形(填锐角、直角、钝角中的一个)． 解析 因为BC →·BD →＝(AC →－AB →)·(AD →－AB →

) ＝AC →·AD →－AC →·AB →－AB →·AD →＋AB →

2 ＝AB →

2＞0，所以∠CBD 为锐角． 同理∠BCD ，∠BDC 均为锐角． 答案 锐角

三、解答题

9．已知空间中三点A (－2，0，2)，B (－1，1，2)，C (－3，0，4)，设a ＝AB →

，b ＝AC →

.

(1)若|c |＝3，且c ∥BC →

，求向量c . (2)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值．

解 (1)∵c ∥BC →，BC →

＝(－3，0，4)－(－1，1，2)＝(－2，－1，2)， ∴c ＝mBC →

＝m (－2，－1，2)＝(－2m ，－m ，2m )， ∴|c |＝（－2m ）2＋（－m ）2＋（2m ）2＝3|m |＝3， ∴m ＝±1.

∴c ＝(－2，－1，2)或(2，1，－2)． (2)∵a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)， ∴a·b ＝(1，1，0)·(－1，0，2)＝－1， 又∵|a |＝12＋12＋02＝2， |b |＝（－1）2＋02＋22＝5， ∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a |·|b |＝－110＝－

1010， 即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－10

10.

10.如图，在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，G 为△BC 1D 的重心，

(1)试证：A 1，G ，C 三点共线； (2)试证：A 1C ⊥平面BC 1D .

证明 (1)CA 1→＝CB →＋BA →＋AA 1→＝CB →＋CD →＋CC 1→

， 可以证明：CG →＝13(CB →＋CD →＋CC 1→

)＝13CA 1→， ∴CG →∥CA 1→

，即A 1，G ，C 三点共线．

(2)设CB →＝a ，CD →＝b ，CC 1→

＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝a ， 且a·b ＝b·c ＝c·a ＝0，