南京师大附中2015届高三数学模拟考试试卷2

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湖南师大附中2025届高三月考数学(三)试卷及答案

大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷(三)数学时量:120分钟满分:150分一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.集合{}0,1,2,3的真子集个数是()A .7B .8C .15D .162.“11x -<”是“240x x -<”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件3.已知角α的终边上有一点P 的坐标是)4,3(a a ,其中0a ≠,则sin2α=()A .43B .725C .2425D .2425-4.设向量a,b 满足+=-=a b a b ,则⋅a b 等于()A .B .2C .5D .85.若无论θ为何值,直线sin cos 10y x θθ⋅+⋅+=与双曲线2215x y m -=总有公共点,则m的取值范围是()A.1m ≥B .01m <≤C .05m <<,且1m ≠D .1m ≥,且5m ≠6.已知函数()2f x 的图象关于原点对称,且满足()()130f x f x ++-=,且当()2,4x ∈时,()()12log 2f x x m =--+,若()()2025112f f -=-,则m 等于()A .13B .23C .23-D .13-7.已知正三棱台111ABC A B C -所有顶点均在半径为5的半球球面上,且AB =11A B =()A .1B .4C .7D .1或78.北宋数学家沈括博学多才、善于观察.据说有一天,他走进一家酒馆,看见一层层垒起的酒坛,不禁想到:“怎么求这些酒坛的总数呢?”经过反复尝试,沈括提出对于上底有ab 个,下底有cd 个,共n 层的堆积物(如图所示),可以用公式()()()2266n nS b d a b d c c a ⎡⎤=++++-⎣⎦求出物体的总数,这就是所谓的“隙积术”,相当于求数列()()(),11,2ab a b a +++.()()()2,,11b a n b n cd ++-+-= 的和.若由小球堆成的上述垛积共7层,小球总个数为238,则该垛积最上层的小球个数为()A .2B .6C .12D .20二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.若()202422024012202412x a a x a x a x +=++++ ,则下列正确的是()A .02024a =B .20240120243a a a +++= C .012320241a a a a a -+-++= D .12320242320242024a a a a -+--=- 10.对于函数()sin cos f x x x =+和()sin cos 22g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,下列说法中正确的有()A .()f x 与()g x 有相同的零点B .()f x 与()g x 有相同的最大值点C .()f x 与()g x 有相同的最小正周期D .()f x 与()g x 的图象有相同的对称轴11.过点()0,2P 的直线与抛物线2:4C x y =交于()()1122,,,A x y B x y 两点,抛物线C 在点A 处的切线与直线2y =-交于点N ,作NM AP ⊥交AB 于点M ,则()A .5OA OB ⋅=-B .直线MN 恒过定点C .点M 的轨迹方程是()()22110y x y -+=≠D .AB MN选择题答题卡题号1234567891011得分答案三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知复数12,z z 的模长为1,且21111z z +=,则12z z +=_____.13.在ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 已知5,4a b ==,()31cos 32A B -=,则sin B =_____.14.若正实数1x 是函数()2e e x f x x x =--的一个零点,2x 是函数()g x =()()3e ln 1e x x ---的一个大于e 的零点,则()122e ex x -的值为_____.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)现有某企业计划用10年的时间进行技术革新,有两种方案:贷款利润A 方案一次性向银行贷款10万元第1年利润1万元,以后每年比前一年增加25%的利润B 方案每年初向银行贷款1万元第1年利润1万元,以后每年比前一年增加利润3000元两方案使用期都是10年,贷款10年后一次性还本付息(年末结息),若银行贷款利息均按10%的复利计算.(1)计算10年后,A 方案到期一次性需要付银行多少本息?(2)试比较A B 、两方案的优劣.(结果精确到万元,参考数据:10101.1 2.594,1.259.313≈≈)如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为等腰梯形,22AD AB BC ==2=.点P 在底面的射影点Q 在线段AC 上.(1)在图中过A 作平面PCD 的垂线段,H 为垂足,并给出严谨的作图过程;(2)若2PA PD ==.求平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值.已知函数()()e sin cos ,x f x x x f x =+-'为()f x 的导数.(1)证明:当0x ≥时,()2f x '≥;(2)设()()21g x f x x =--,证明:()g x 有且仅有2个零点.在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的两个焦点为12,F F P、为椭圆C 上一动点,设12F PF ∠θ=,当23πθ=时,12F PF ∆.(1)求椭圆C 的标准方程.(2)过点()0,2B 的直线l 与椭圆交于不同的两点(M N M 、在,B N 之间),若Q 为椭圆C上一点,且OQ OM ON =+,①求OBM OBNSS ∆∆的取值范围;②求四边形OMQN 的面积.飞行棋是大家熟悉的棋类游戏,玩家通过投掷骰子来决定飞机起飞与飞行的步数.当且仅当玩家投掷出6点时,飞机才能起飞.并且掷得6点的游戏者可以连续投掷骰子,直至显示点数不是6点.飞机起飞后,飞行步数即骰子向上的点数.(1)求甲玩家第一轮投掷中,投掷次数X 的均值()()1(k E X kP k ∞===∑()1lim n n k kP k ∞→=⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎭∑;(2)对于两个离散型随机变量,ξη,我们将其可能出现的结果作为一个有序数对,类似于离散型随机变量的分布列,我们可以用如下表格来表示这个有序数对的概率分布:(记()()()()()(1211,,mni i i j j j i j i p x p x p x y p y p y p x ξη========∑∑,)j y .)ξη1x 2x ...n X 1y ()11,p x y ()21,p x y ...()1,n p x y ()21p y 2y ()12,p x y ()22,p x y ...()2,n p x y ()22p y ...⋯⋯...⋯...my ()1,m p x y ()2,m p x y ...(),n m p x y ()2m p y ()11p x ()12p x ...()1n p x 1若已知i x ξ=,则事件{}j y η=的条件概率为{}j i P y x ηξ===∣{}{}()()1,,j i i j i i P y x p x y P x p x ηξξ====.可以发现i x ηξ=∣依然是一个随机变量,可以对其求期望{}{}()111mi j j i j i E x y P y x p x ηξηξ===⋅===∑∣∣.()1,mj i j j y p x y =∑(i )上述期望依旧是一个随机变量(ξ取值不同时,期望也不同),不妨记为{}E ηξ∣,求{}E E ηξ⎡⎤⎣⎦∣;(ii )若修改游戏规则,需连续掷出两次6点飞机才能起飞,记0ξ=表示“甲第一次未能掷出6点”,1ξ=表示“甲第一次掷出6点且第二次未能掷出6点”,2ξ=表示“甲第一次第二次均掷出6点”,η为甲首次使得飞机起飞时抛掷骰子的次数,求E η.炎德・英才大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷(三)数学参考答案题号1234567891011答案C A C B B D A B BC ACD BC一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.C 【解析】集合{}0,1,2,3共有42115-=(个)真子集.故选C .2.A 【解析】解不等式240x x -<,得04x <<,解不等式11x -<,得02x <<,所以“11x -<”是“240x x -<”的充分不必要条件.3.C 【解析】根据三角函数的概念,2442sin cos 2tan 24tan ,sin23311tan 25y a x a αααααα======+,故选C .4.B 【解析】()()()22111911244⎡⎤⋅=+--=-=⎣⎦a b a b a b .5.B 【解析】易得原点到直线的距离1d ==,故直线为单位圆的切线,由于直线与双曲线2215x y m -=总有公共点,所以点()1,0±必在双曲线内或双曲线上,则01m <≤.6.D 【解析】依题意函数()f x 的图象关于原点对称,所以()f x 为奇函数,因为()()()133f x f x f x +=--=-,故函数()f x 的周期为4,则()()20251f f =,而()()11f f -=-,所以由()()2025112f f -=-可得()113f =,而()()13f f =-,所以()121log 323m --=,解得13m =-.7.A 【解析】上下底面所在外接圆的半径分别为123,4r r ==,过点112,,,A A O O 的截面如图:22222121534,543,1OO OO h OO OO =-==-∴=-=,故选A .8.B 【解析】由题意,得6,6c a d b =+=+,则由()()()772223866b d a b d c c a ⎡⎤++++-=⎣⎦得()()7[26212(6b b a b b a ++++++6)]()762386a a ++-=,整理得()321ab a b ++=,所以773aba b +=-<.因为,a b 为正整数,所以3ab =或6.因此有6,3a b ab +=⎧⎨=⎩或5,6.a b ab +=⎧⎨=⎩而63a b ab +=⎧⎨=⎩无整数解,因此6ab =.故选B .二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.BC 【解析】对于A :令0x =,则01a =,故A 错误;对于B :令1x =,则20240120243a a a +++= ,故B 正确;对于C :令1x =-,则012320241a a a a a -+-++= ,故C 正确;对于D ,由()202422024012202412x a a x a x a x +=++++ ,两边同时求导得()20232202312320242024212232024x a a x a x a x ⨯⨯+=++++ ,令1x =-,则12320242320244048a a a a -++-=- ,故D 错误.故选BC .10.ACD 【解析】()()32sin ,2sin 2sin 4244f x x g x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.令()0f x =,则,4x k k ππ=-+∈Z ;令()0g x =,则3,4x k k ππ=+∈Z ,两个函数的零点是相同的,故选项A 正确.()f x 的最大值点是()2,,4k k g x ππ+∈Z 的最大值点是32,4k k ππ-+∈Z ,两个函数的最大值虽然是相同的,但最大值点是不同的,故选项B 不正确.由正弦型函数的最小正周期为2πω可知()f x 与()g x 有相同的最小正周期2π,故选项C 正确.曲线()y f x =的对称轴为,4x k k ππ=+∈Z ,曲线()y g x =的对称轴为5,4x k k ππ=+∈Z ,两个函数的图象有相同的对称轴,故选项D 正确.故选ACD.设直线AB 的方程为2y tx =+(斜率显然存在),221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,联立22,4,y tx x y =+⎧⎨=⎩消去x 整理可得2480x tx --=,由韦达定理得12124,8x x t x x +==-,A .22121212124,84444x x y y OA OB x x y y =⋅=⋅=+=-+=- ,故A 错误;B .抛物线C 在点A 处的切线为21124x x x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,当2y =-时,11121244282222x x x x x t x x =-=-=+=-,即()2,2N t -,直线MN 的方程为()122y x t t +=--,整理得xy t=-,直线MN 恒过定点(0,0),故B 正确;C .由选项B 可得点M 在以线段OP 为直径的圆上,点O 除外,故点M 的轨迹方程是()()22110y x y -+=≠,故C 正确;D.222t MN +==,AB =则()2221412222t AB MNt +⎫==+,,m m =≥则12ABm MN m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,设()1,f m m m m =-≥,则()2110f m m=+>',当m ≥,()f m 单调递增,所以()min f m f==,故D 错误.故选BC .三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.1【解析】设()()12i ,,i ,z a b a b z c d c d =+∈=+∈R R ,因为21111z z +=,所以2122111z zz z z z +=.因为11221,1z z z z ==,所以121z z +=,所以()()i i i 1a b c d a c b d -+-=+-+=,所以1,0a c b d +=+=,所以()()12i 1z z a c b d +=+++=.13.74【解析】在ABC 中,因为a b >,所以A B >.又()31cos 32A B -=,可知A B-为锐角且()sin 32A B -=.由正弦定理,sin 5sin 4A aB b ==,于是()()()5sin sin sin sin cos cos sin 4B A A B B A B B A B B ⎡⎤==-+=-+-⎣⎦.将()cos A B -及()sin AB -的值代入可得3sin B B =,平方得2229sin 7cos 77sin B B B ==-,故7sin 4B =.14.e 【解析】依题意得,1211e e 0x x x --=,即()()12311122e e ,0,e ln 1e 0x x x x x x -=>---=,即()()3222e ln 1e ,e x x x --=>,()()()131122e e e e ln 1x x x x x ∴-==--,()()()()()()211ln 111112212e e ln 1e ,e e ln 1e e x x x x x x x x -+++⎡⎤∴-=--∴-=--⎣⎦,又22ln 1,ln 10,x x >->∴ 同构函数:()()1e e ,0x F x x x +=->,则()()312ln 1e F x F x =-=,又()()111e e e e e 1e x x x x F x x x +++=-+=-+',00,e e 1,e 10x x x >∴>=∴-> ,又()()1e 0,0,x x F x F x +>'>∴单调递增,()()()3122212222e ln 1e e ln 1,e e e ex x x x x x ---∴=-∴===.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【解析】(1)A 方案到期时银行贷款本息为()1010110%26⨯+≈(万元).……(3分)(2)A 方案10年共获利:()()1091.2511125%125%33.31.251-+++++=≈- (万元),……(5分)到期时银行贷款本息为()1010110%25.9⨯+≈(万元),所以A 方案净收益为:33.325.97-≈(万元),……(7分)B 方案10年共获利:()()101010.31 1.3190.310123.52⨯-⨯++++⨯=⨯+= (万元),……(9分)到期时银行贷款本息为()()()()101091.11.11110%110%110%17.51.11-++++++=≈- (万元),……(11分)所以B 方案净收益为:23.517.56-≈(万元),……(12分)由比较知A 方案比B 方案更优.……(13分)16.【解析】(1)连接PQ ,有PQ ⊥平面ABCD ,所以PQ CD ⊥.在ACD 中,2222cos 54cos AC AD CD AD CD ADC ADC ∠∠=+-⋅⋅=-.同理,在ABC 中,有222cos AC ABC ∠=-.又因为180ABC ADC ∠∠+= ,所以()1cos ,0,1802ADC ADC ∠∠=∈ ,所以60ADC ∠= ,3AC =故222AC CD AD +=,即AC CD ⊥.又因为,,PQ AC Q PQ AC ⋂=⊂平面PAC ,所以CD ⊥平面PAC .CD ⊂平面PCD ,所以平面PCD ⊥平面PAC .……(5分)过A 作AH 垂直PC 于点H ,因为平面PCD ⊥平面PAC ,平面PCD ⋂平面PAC PC =,且AH ⊂平面PAC ,有AH ⊥平面PCD .……(7分)(2)依题意,22AQ PA PQ DQ =-=.故Q 为,AC BD 的交点,且2AQ ADCQ BC==.所以2222326,333AQ AC PQ PA AQ ===-.过C 作直线PQ 的平行线l ,则,,l AC CD 两两垂直,以C 为原点建立如图所示空间直角坐标系,则:()()36131,0,0,0,,0,3,0,,,03322D P A B ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以()326232613261,0,0,0,,0,,,,,3333263CD CP AP BP ⎛⎛⎛===-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .设平面PCD 的法向量为(),,x y z =m ,则()0,0,3CD x CP y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩m m取()0,=-m .同理,平面PAB的法向量)1=-n ,1cos<,3⋅>==m n m n m n ……(14分)故所求锐二面角余弦值为13.……(15分)17.【解析】(1)由()e cos sin x f x x x =++',设()e cos sin x h x x x =++,则()e sin cos x h x x x '=-+,当0x ≥时,设()()e 1,sin x p x x q x x x =--=-,()()e 10,1cos 0x p x q x x ''=-≥=-≥ ,()p x ∴和()q x 在[)0,∞+上单调递增,()()()()00,00p x p q x q ∴≥=≥=,∴当0x ≥时,e 1,sin x x x x ≥+≥,则()()()e sin cos 1sin cos sin 1cos 0x h x x x x x x x x x '=-+≥+-+=-++≥,∴函数()e cos sin x h x x x =++在[)0,∞+上单调递增,()()02h x h ∴≥=,即当0x ≥时,()2f x '≥.……(7分)(2)由已知得()e sin cos 21x g x x x x =+---.①当0x ≥时,()()()e cos sin 220,x g x x x f x g x ≥''=++-=-∴ 在[)0,∞+上单调递增,又()()010,e 20g g πππ=-<=->∴ 由零点存在定理可知,()g x 在[)0,∞+上仅有一个零点.……(10分)②当0x <时,设()()2sin cos 0e x x xm x x --=<,则()()2sin 10exx m x '-=≤,()m x ∴在(),0∞-上单调递减,()()01m x m ∴>=,()e cos sin 20,e cos sin 20x x x x g x x x '∴++-<∴=++-<,()g x ∴在(),0∞-上单调递减,又()()010,e 20g g πππ-=-<-=+> ,∴由零点存在定理可知()g x 在(),0∞-上仅有一个零点,综上所述,()g x 有且仅有2个零点.……(15分)18.【解析】(1)设()00,,P x y c 为椭圆C 的焦半距,12122F PF p S c y ∆=⋅⋅,00y b <≤ ,当0y b =时,12F PF S 最大,此时()0,P b 或()0,P b -,不妨设()0,P b ,当23πθ=时,得213OPF OPF π∠∠==,所以c =,又因为12F PF S bc ∆==,所以1,b c ==从而2,a =∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=.……(3分)(2)由题意,直线l 的斜率显然存在.设()()1122: 2.,,,l y kx M x y N x y =+.……(4分)1112OBM S OB x x ∆∴=⋅=,同理,2OBN S x ∆=.12OBM OBN S xS x ∆∆∴= (6))联立()22222,141612044y kx k x kx x y =+⎧⇒+++=⎨+=⎩,……(8分)()()()22223164121416430,4k k k k ∴∆=-⨯⨯+=->∴>.……(9分)又121212221612,0,,1414k x x x x x x k k-+==>∴++ 同号.()()2222122121212216641421231414k x x x x k k x x x x kk-⎛⎫ ⎪++⎝⎭∴===+++.()22212122364641616,4,,42143331434x x k k x x k k ⎛⎫>∴=∈∴<++< ⎪⎛⎫+⎝⎭+ ⎪⎝⎭ .令()120x x λλ=≠,则116423λλ<++<,解得()()11,11,3,,11,333OBM OBN S S λ∆∆⎛⎫⎛⎫∈∴∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .……(12分)(3)()1212,,OQ OM ON Q x x y y =+∴++.且四边形OMQN 为平行四边形.由(2)知()12121222164,41414k x x y y k x x k k-+=∴+=++=++,22164,1414kQ k k -⎛⎫∴ ⎪++⎝⎭.而Q 在椭圆C 上,2222164441414k k k -⎛⎫⎛⎫∴+⨯= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.化简得2154k =.……(14分)∴线段161219357115224MN ==⋅+,……(15分)O到直线MN的距离d == (16))OMQN 574S MN d ∴=⋅=四边形.……(17分)19.【解析】(1)()115,1,2,3,66k P X k k -⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭ ,所以()()215111,1,2,3,,5126666nk n k k k P X k k kP k n =⎛⎫⋅====⨯+⨯+⨯ ⎪⎝⎭∑ ,记211112666n n S n =⨯+⨯++⨯ ,则2311111126666n n S n +=⨯+⨯++⨯ .作差得:1211111511111111661666666556616nn n n n n n S n n ++⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++-⨯=-⨯=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭- ,所以()16111661,555566556n nn n n k n S kP k S n =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+==-+⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑.故()()()116616lim lim 5565nn n n k k E X kP k kP k n ∞∞∞→→==⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑.……(6分)(2)(i ){}E ηξ∣所有可能的取值为:{},1,2,,i E x i n ηξ== ∣.且对应的概率{}{}()()()1,1,2,,i i i p E E x p x p x i n ηξηξξ====== ∣∣.所以{}{}()()()()()111111111,,,nnmn m i i j i j i j i j i i j i j i E E E x p x y p x y p x y p x y p x ηξηξ=====⎛⎫⎡⎤==⋅=⋅= ⎪⎣⎦ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∣∣又()()()()21111111,,,nmmnmn mj i j j i j j i j j j i j j i j i j y p x y y p x y y p x y y p y E η=======⎛⎫⋅=⋅==⋅= ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑,所以{}E E E ηξη⎡⎤=⎣⎦∣.……(12分)(ii ){}{}{}12355101,;12,;22,63636E E p E E p E p ηξηηξηη==+===+====∣∣,{}()()5513542122636363636E E E E E ηηξηηη⎡⎤==++++⨯=+⎣⎦∣,故42E η=.……(17分)。

江苏省南京师大附中2015届高三12月月考数学试题苏教版

15．（本小题满分 14 分）
设△ ABC 的内角 A， B， C 的对边长分别为
a， b， c，且
b
2＝
1 2
ac．
(1) 求证： cos B≥34；
(2) 若 cos(A－ C)＋ cos B＝1，求角 B 的大小．
16．（本小题满分 14 分）如图，在直三棱柱 ABC－ A1B1C1 中，已知∠ ACB＝ 90°，BC＝ CC1，E，F 分别为 AB，AA1
则输出 i 的值为
▲
．
8．若等边三角形 ABC 的边长为 2 3 ，平面内一点 M 满足
1
2
CM CB CA ，则 MA MB ＝
▲
．
6
3
9．有下面四个判断：
①命题 “设 a、b∈ R，若 a＋b≠６，则 a≠３或 b≠3”是一个假命题；
②若 “p 或 q”为真命题，则 p、 q 均为真命题； ③命题 “? a、 b∈ R， a2＋ b2≥ 2a( －b－ 1) ”的否定是 “? a、 b∈ R， a2＋ b2≤ 2a(－b－ 1) ”；
的中点． (1) 求证：直线 EF ∥平面 BC1A1； (2) 求证： EF⊥ B1C．
17． (本小题满分 14 分 ) 经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以
30 天计），日旅游人数 f (t ) （万．人．）与
时间 t （天）的函数关系近似满足
f (t )
4
1
，人均消费
t
g (t ) （元．）与时间 t （天）的函数
1．在复平面内，复数－ 3＋ i 和 1－ i 对应的点间的距离为
▲
．
2．在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在正方形内切圆的

南京市南师附中2022-2023学年高三上学期第一次月考数学试题(含答案)

z南京师大附中2022-2023学年度第1学期高三年级阶段考试数学试卷一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则 A. B. C. D.2. 已知复数z 的共轭复数，则复数z 在复平面内对应的点位于（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限D. 第四象限3. 已知函数值域为，则a 的最小值为（）A. 1B. 2C. 3D. 44. 函数的部分图象如图所示，则图象的一个对称中心是（）A. B. C. D. 5. 已知过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于不同的两点，，与轴交于点，点，是线段的三等分点，则该椭圆的标准方程是（）A.B.C.D.2{|230}A x x x =--<2{|log 2}B x x =<A B Ç=(1,4)-(1,3)-(0,3)(0,4)2i3iz +=-()222,0,0x x x f x x a x ì-+>=í-+£î的[)1,+¥()()cos 0,2f x x p w j w j æö=+><ç÷èø()fx ,03p æöç÷èø,03p æ-öç÷èø5,06p æöç÷èø5,06p æö-ç÷èø()222210x y a b a b+=>>()1,0F -A B y C C F AB 22165x y +=22154x y +=22132x y +=22143x y +=z6. 如图，已知正四棱锥的底面边长和高的比值为，若点是棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（）A.B.C.D.7. 已知函数，，若直线与曲线，都相切，则实数的值为（） A.B.C.D.8. 已知双曲线：的右焦点为，直线与交于，两点（点在第一象限），线段的中点为，为坐标原点．若，，则的两条渐近线的斜率之积为（） A.B.C.D.二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的.每题全选对者得5分，部分选对者得2分，其他情况不得分.9. 教育统计学中，为了解某考生的成绩在全体考生成绩中的位置，通常将考生的原始分数转化为标准分数．定义标准分数，其中为原始分数，为原始分数的平均数，为原始分数的标准差．已知某校的一次数学考试，全体考生的平均成绩，标准差，转化为标准分数后，记平均成绩为，标准差为，则( ) A.B.C.D.10. 已知动点M 到点的距离M 的运动轨迹为，则（）P ABCD -t E PD PB CE ()()ln e f x x x =+()()2131a g x x -=--2y xb =+()y f x =()y g x =a 54171617817e8G ()222210,0x y a b a b-=>>F y kx =G A B A AF P O OA OF=2OP =G 4--3--3-4-+()()11,2,,i i z x x i n s=-=L i x x s 115x =10.8s =m s 115m =0m =10.8s =1s =(2,1)N k k -GA. 直线把分成面积相等的两部分B. 直线与没有公共点C. 对任意的，直线被截得的弦长都相等D. 存在，使得与x 轴和y 轴均相切 11. 已知等比数列满足，公比，且，则（）A.B. 当时，最小C. 当时，最小D. 存在，使得 12 已知函数，则（）A. 曲线在点处的切线方程为B. 曲线的极小值为C. 当时，仅有一个整数解 D 当时，仅有一个整数解三､填空题：本大题个共4小题5个空，每题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.13. 若，则______． 14. 某学校团委周末安排甲、乙、丙三名志愿者到市图书馆和科技馆服务，每个人只能去一个地方，每个地方都必须有人去，则图书馆恰好只有丙去的概率为______．15. 若对任意的，都有，则实数的取值范围为___________.16. 有一张面积为矩形纸片，其中为的中点，为的中点，将矩形绕旋转得到圆柱，如图所示，若点为的中点，直线与底面圆所成角的正切值为，为圆柱的一条母线（与，不重合），则当三棱锥的体积取最大值时，三棱锥外12xy =-G 230x y -+=G k ÎR 2xy =G k ÎR G {}n a 10a >1q >1220211220221,1a a a a a a <>!!20221a >2021n =12n a a a !1011n =12n a a a !1011n <12n n n a a a ++=()e xf x x =()y f x =()0,0y x =()y f x =e -2213e 2ea £<()()1f x a x <-223e 2e 2a £<()()1f x a x <-π0,2a æöÎç÷èøsin 1a a -=cos 2=a []1,4x Î234x x a x x ->-+a ABCD O AB 1O CD ABCD 1OO 1OO M BC AM O 4EF AD BC A EFM -A EFM -z接球的表面积为___________.四､解答题：本题共6个小题，共70分.请在答案卡指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 在.中，角，，的对边分别为，，，已知，. （1）求角；（2）若点在边上，且，求面积的最大值.18. 已知数列的前n 项和.（1）求的通项公式；（2）若数列满足对任意的正整数n ，恒成立，求证：. 19. 随着生活节奏加快､生活质量的提升，越来越多的居民倾向于生活用品的方便智能.如图是根据2016—2020年全国居民每百户家用汽车拥有量（单位：辆）与全国居民人均可支配收入（单位：万元）绘制的散点图.（1）由图可知，可以用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程；（过程和结果保留两位小数）（2）已知2020年全国居民人均可支配收入为32189元，若从2020年开始，以后每年全国居民人均可支配收入均以6%的速度增长，预计哪一年全国居民每百户家用汽车拥有量可以达到50辆.ABC !A B C a b c 2cos cos b c Ca A-=3a =A D AC 1233BD BA BC =+"""BCD △{}n a 22n n nS +={}n a {}n b 2312123(1)n nb b b b n a a a a ××××××××=+4n b ³的yx y x y xz参考数据：，，.参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.20. 如图1，在平行四边形中，，将沿折起，使得点到点的位置，如图2，设经过直线且与直线平行的平面为，平面平面为，平面平面为.（1）证明：；（2）若求二面角的正弦值.21. 已知椭圆的离心率为，且点在C 上. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设，为椭圆C 的左，右焦点，过右焦点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若内切圆的半径求直线l 的方程. 22. 已知函数．（1）证明：当时，；（2）记函数，判断在区间上零点的个数．()510.06 1.34+»()610.06 1.42+»()710.06 1.50+»!!y abx =+!()()()121nii i nii xx y yb xx==--=-åå!a y bx =-$$ABCD ,1,2AB AC AB BC ^==ACD △AC D P PB AC a a !PAC m =a !ABC n =//m n PB =A PBC --()2222:10x y C a b a b +=>>22P æççèø1F 2F 2F 1ABF !()sin cos f x x x x =-()0,x p Î()0f x >()()g x f x x =-()g x ()2,2p p -南京师大附中2022-2023学年度第1学期高三年级阶段考试数学试卷一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】B二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的.每题全选对者得5分，部分选对者得2分，其他情况不得分.【9题答案】【答案】BD【10题答案】【答案】ABC【11题答案】【答案】AC【12题答案】【答案】AC三､填空题：本大题个共4小题5个空，每题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】【15题答案】【答案】【16题答案】【答案】四､解答题：本题共6个小题，共70分.请在答案卡指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.【17题答案】【答案】（1）（2【18题答案】【答案】（1）（2）证明见解析【19题答案】【答案】（1）；（2）预计2026年全国居民每百户家用汽车拥有量可以达到50辆. 【20题答案】【答案】（1）证明见解析（2）【21题答案】7916()(),16,-¥-È+¥412p 3pn a n =11.460.24y x =+$5【答案】（1）（2）或. 【22题答案】【答案】（1）证明见解析（2）个零点2212x y +=10x +-=10x -=5。

南师附中2015届高三数学备战市一模试题

南师附中2015届高三数学备战市一模试题2015.12已知数列{a n}是各项均不为0的等差数列，公差为d，S n为其前n项和，且满足a n2=S2n-1，n ∈N*，数列{b n}满足，T n为数列{b n}的前n项和，（1）求a1、d和T n；（2）若对任意的n∈N*，不等式λT n＜n+8·（-1）n恒成立，求实数λ的取值范围；（3）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，T m，T n成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由。

解：（1）在中，令n=1，n=2，得，解得，∴，，∴。

（2）①当n为偶数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立，，等号在n=2时取得，∴此时λ需满足λ＜25；②当n为奇数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立，是随n的增大而增大，∴n=1时，取得最小值-6，∴此时λ需满足λ＜-21；综合①、②可得λ的取值范围是λ＜-21。

（3），若成等比数列，则，由，即，∴，又m∈N，且m＞1，所以m=2，此时n=12，因此，当且仅当m=2，n=12时，数列{T n}中的成等比数列2.设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n（n∈N*）。

（1）若a1，S2，-2a2成等比数列，求S2和a3；（2）求证：对k≥3有0≤a k+1≤a k≤。

解：（1）由题意得由S2是等比中项知S2≠0因此S2=-2由解得。

（2）由题设条件有故S n≠1，a n+1≠1且从而对k≥3有①因且，由①得a k≥0 要证由①只要证即证即（a k-1-2）2≥0，此式明显成立因此（k≥3）最后证若不然又因a k≥0，故即（a k-1）2＜0，矛盾因此a k+1≤a k（k≥3）。

3已知数列{a n}满足：（n∈N*，a∈R，a为常数），数列{b n}中，．（1）求a1，a2，a3；（2）证明：数列{b n}为等差数列；（3）求证：数列{b n}中存在三项构成等比数列时，a为有理数．解：（1）由已知，得，，．（2），∴b n+1﹣b n=1，又b1=a3=a，∴数列{b n}是首项为a，公差为1的等差数列．（3）证明：由（2）知b n=a+n﹣1，若三个不同的项a+i，a+j，a+k成等比数列，i、j、k为非负整数，且i＜j＜k，则（a+j）2=（a+i）（a+k），得a（i+k﹣2j）=j2﹣ik，若i+k﹣2j=0，则j2﹣ik=0，得i=j=k，这与i＜j＜k矛盾．若i+k﹣2j≠0，则，∵i、j、k为非负整数，∴a是有理数．4. 商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b(b＞a)以及常数x(0＜x＜1)确定实际销售价格c=a+x(b-a)，这里，x被称为乐观系数。

江苏省南京师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期10月月考数学试卷(原卷版)

高三数学试卷第 1 页 (共 6 页)南京师大附中2022—2023学年度高三第一学期10月检测数学 2022.10一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合M ＝{x |x ≤－1或x ≥1}，N ＝{x |－3＜x ＜1}，则M ∩N ＝( )A ．{x |－3＜x ≤－1}B ．{x |－3＜x ＜－1}C ．RD ．{x |－3≤x ≤1} 2．若(z －1)i ＝i －2，则z ＝( )A ．2－2iB ．2＋2iC ．2iD ．－2i3．顶角为36°的等腰三角形被称为最美三角形，已知其顶角的余弦值为5＋14，则最美三角形底角的余弦值为( )A ．5－14 B ．5－12 C ．5＋14 D ．5＋124．在△ABC 中，→AB ·→AC ＝9，AB ＝3，点E 满足→AE ＝2→EC ，则→AB ·→BE ＝( )A ．－6B ．－3C ．3D ．65．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝1，点E 为线段DC 上一动点．现将△ADE 沿AE 折起，使点D 在平面ABC 内的射影K 在直线AE 上．当点E 从D 运动到C 时，则点K 所形成轨迹的长度为( )A ．233B ．32C ．π2 D．π3高三数学试卷第 2 页 (共 6 页)6．已知椭圆长轴AB 的长为4，N 为椭圆点，满足|NA |＝1，∠NAB ＝60°，则椭圆的离心率为( )A ．55 B ．255 C ．277 D ．3777．第十三届冬残奥会于2022年3月4日至3月13日在北京举行．现从4名男生，2名女生中选3人分别担任冬季两项、单板滑雪、轮椅冰壶志愿者，且至多有1名女生被选中，则不同的选择方案有( )A ．72种B ．84种C ．96种D ．124种 8．若a ＝sin1＋tan1，b ＝2，c ＝ln4＋12，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．a ＜b ＜cD ．b ＜c ＜a 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2015年江苏省南京市高三三模考试数学试卷试题及答案

在四棱锥P－ABCD中，BC∥AD，PA⊥PD，AD＝2BC，AB＝PB，E为PA的中点．
（1）求证：BE∥平面PCD；
（2）求证：平面PAB⊥平面PCD．
17．（本小题满分14分）
如图，摩天轮的半径OA为50m，它的最低点A距地面的高度忽略不计．地面上有一长度为240m的景观带MN，它与摩天轮在同一竖直平面内，且AM＝60m．点P从最低点A处按逆时针方向转动到最高点B处，记AOP＝，∈(0，π)．
排队人数
0
1
2
3
4
≥5
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是▲．
3．若变量x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值是▲．
4．右图是一个算法流程图，则输出k的值
是▲．
5．如图是甲、乙两位射击运动员的5次
训练成绩（单位：环）的茎叶图，则
成绩较为稳定（方差较小）的运动员
2015年南京市高三年级第三次模拟考试
数学2015.05
注意事项：
1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、班级、学校写在答题纸上．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．
南京市2015届高三年级第三次模拟考试
数学附加题2015.05
注意事项：
1．附加题供选修物理的考生使用．
2．本试卷共40分，考试时间30分钟．
3．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、学校写在答题纸上．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．

2014江苏省南京师大附中5月高考模拟化学试题及答案

南京师大附中2014届高三模拟考试试卷化学2014．05注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

共120分。

考试用时100分钟。

2、答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题卡上。

考试结束后，交回答题卡。

3、可能用到的相对原子质量： C 12H 1 O 16 S 32 N 14 Fe 56 Al 27 Ba 137 Cl 35.5Na 23 Cu 64 Ag 108选择题（共40分）单项选择题：本题包括10小题，每小题2分，共计20分。

每小题只有一个选项符合题意。

1．2014年的南京青奥会将秉持“绿色青奥”这一理念，下列行为不符合．．．这一主题的是A．推广使用一次性木筷，减少疾病传染B．推广使用电动汽车、天然气汽车等环保公共交通工具C．大力发展太阳能和风力发电机可缓解电力紧张问题D．将地沟油回收加工为燃料油，提高资源的利用率2．下列有关化学用语表示正确的是A．四氯化碳分子球棍模型：B．二氧化硅的分子式：SiO2C．S2－离子结构示意图D ．聚丙烯的结构简式：3．常温下，下列各组离子在指定溶液中一定能大量共存的是A．水电离出的c(H+)·c(OH-)=10-22的溶液：K+、Na＋、SO42－、S2O32－B．澄清透明溶液：Mg2＋、Cu2＋、Cl－、SO42－C．使酚酞变红色的溶液：NH4＋、K＋、AlO2－、NO3－D．含0.1mol·L-1 KI的溶液：Fe3＋、Na＋、NO3－、Cl－4．下列有关物质性质的应用正确的是A．石英坩埚耐高温，可用来加热熔化NaOH固体B．浓硫酸有脱水性，可用作干燥剂C．二氧化硫有漂白性，可大量用于加工食品使食品漂白D．医用酒精能使蛋白质变性，可用来消毒杀菌5．用下列实验装置进行相应实验，设计正确且能达到实验目的的是A．用图1所示装置制取少量H2B．用图2所示装置分离Na2CO3溶液和CH3COOC2H5的混合物C．用图3所示装置验证Na和水反应的热效应D．用图4所示装置蒸干NH4Cl饱和溶液制备NH4Cl晶体6．下图为A、B两种物质间的转化关系(其中C、D是反应物，部分产物已省略)。

南京市2015届高三第三次模拟考试数学试题及答案

南京市2015届高三年级第三次模拟考试注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、班级、学校写在答题纸上．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．参考公式样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n i ＝1∑n (x i －－x )2，其中－x ＝1n i ＝1∑n x i ．锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置．．．．．．．上． 1．已知复数z ＝2i 1－i－1，其中i 为虚数单位，则z 的模为 ▲ ．2．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是 ▲ ．3．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥1，y ≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值是 ▲ ．4．下图是一个算法流程图，则输出k 的值是 ▲ ．5．如图是甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环）的茎叶图，则成绩较为稳定（方差较小）的运动员是 ▲ ．6．记不等式x 2＋x －6＜0的解集为集合A ，函数y ＝lg(x －a )的定义域为集合B ．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则实数a 的取值范围为 ▲ ．7．在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点F 作x 轴的垂线l ，则l 与双曲线C 的两条渐近线所围成的三角形的面积是 ▲ ．8．已知正六棱锥P －ABCDEF 的底面边长为2，侧棱长为4，则此六棱锥的体积为 ▲ ． 9．在△ABC 中， ABC ＝，BA ＝2，BC ＝3，D ，E 是线段AC 的三等分点，则BD ·BE的值为 ▲ ．10．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若S k －1＝8，S k ＝0，S k ＋1＝－10，则正整数k ＝ ▲ ． 11．若将函数f (x )＝∣sin(－6)∣(＞0)的图象向左平移9个单位后，所得图象对应的函数为偶函数，则实数的最小值是 ▲ ． 12．已知x ，y 为正实数，则4x 4x ＋y ＋y x ＋y的最大值为 ▲ ． 13．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝9，直线l ：y ＝kx ＋3与圆C 相交于A ，B 两点，M 为弦AB 上一动点，以M 为圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点，则实数k 的取值范围为 ▲ ．14．已知a ，t 为正实数，函数f (x )＝x 2－2x ＋a ，且对任意的x ∈[0，t ]，都有f (x )∈[－a ，a ]．若对每一个正实数a ，记t 的最大值为g (a )，则函数g (a )的值域为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a cos C ＋c cos A ＝2b cos A ．（1）求角A的值；（2）求sin B＋sin C的取值范围．16．（本小题满分14分）在四棱锥P－ABCD中，BC∥AD，P A⊥PD，AD＝2BC，AB＝PB，E为P A的中点．（1）求证：BE∥平面PCD；（2）求证：平面P AB⊥平面PCD．17.（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，设中心在坐标原点的椭圆C的左、右焦点分别为F1、F2，右准线l：x＝m＋1与x轴的交点为B，BF2＝m．（1）已知点(62，1)在椭圆C上，求实数m的值；（2）已知定点A(－2，0)．①若椭圆C 上存在点T ，使得TATF 1＝2，求椭圆C 的离心率的取值范围；②当m ＝1时，记M 为椭圆C 上的动点，直线AM ，BM 分别与椭圆C 交于另一点P ，Q ，若AM → ＝λAP →，BM →＝BQ →，求证：λ＋为定值．18．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝x 2－x ＋t ，t ≥0，g (x )＝ln x ．（1）令h (x )＝f (x )＋g (x )，求证：h (x )是增函数；（2）直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切．对于确定的正实数t ，讨论直线l 的条数，并说明理由．19．（本小题满分16分）已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项的和为S n ，且对任意的m ，n ∈N*，都有(S m ＋n ＋S 1)2＝4a 2m a 2n ．（1）求a 2a 1的值；（2）求证：{a n }为等比数列；（3）已知数列{c n }，{d n }满足|c n |＝|d n |＝a n ，p (p ≥3)是给定的正整数，数列{c n }，{d n }的前p 项的和分别为T p ，R p ，且T p ＝R p ，求证：对任意正整数k (1≤k ≤p )，c k ＝d k ．南京市2015届高三年级第三次模拟考试数学附加题注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、学校写在答题纸上．试题的答案写在答题．．纸．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 20．选做题：在A 、B 、C 、D 四小题中只要选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷纸指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，AB ，AC 是⊙O 的切线，ADE 是⊙O 的割线，求证：BE · CD ＝BD · CE ．B ．选修4－2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤a 11a ，直线l ：x －y ＋4＝0在矩阵A 对应的变换作用下变为直线l ：x －y ＋2a ＝0．（1）求实数a 的值；（2）求A 2．C ．选修4－5：不等式选讲已知实数x ，y 满足x ＞y ，求证：2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3．必做题：第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．（本小题满分10分）如图，四棱锥P －ABCD 中，P A 平面ABCD ，AD ∥BC ，AB AD ，BC ＝233，AB ＝1，BD ＝P A ＝2．（1）求异面直线BD 与PC 所成角的余弦值；（2）求二面角A －PD －C 的余弦值．23．（本小题满分10分）已知集合A 是集合P n ＝{1，2，3，…，n } (n ≥3，n ∈N*)的子集，且A 中恰有3个元素，同时这3个元素的和是3的倍数．记符合上述条件的集合A 的个数为f (n )．（1）求f (3)，f (4)；（2）求f (n )（用含n 的式子表示）．南京市2015届高三第三次模拟考试数学参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1． 5 2．0.74 3．4 4．6 5．甲 6．(－∞，－3] 7．4 3 8．12 9．119 10．911．32 12． 43 13．[－34，＋∞) 14．(0，1)∪{2}二、解答题：本大题共6小题，共90分．15．解：（1）因为a cos C ＋c cos A ＝2b cos A ，所以sin A cos C ＋sin C cos A ＝2sin B cos A ，即sin(A ＋C )＝2sin B cos A ．因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋C )＝sin B ．从而sin B ＝2sin B cos A ． ………………………… 4分因为sin B ≠0，所以cos A ＝12．因为0＜A ＜π，所以A ＝π3． ………………………… 7分（2）sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin(2π3－B )＝sin B ＋sin 2π3cos B －cos 2π3sin B＝32sin B ＋32cos B ＝3sin(B ＋π6)． ………………………… 11分因为0＜B ＜2π3，所以π6＜B ＋π6＜5π6．所以sin B ＋sin C 的取值范围为(32，3]． ………………………… 14分16．证明：（1）取PD 的中点F ，连接EF ，CF ．因为E 为P A 的中点，所以EF ∥AD ，EF ＝12AD ．因为BC ∥AD ，BC ＝12AD ，所以EF ∥BC ，EF ＝BC ．所以四边形BCFE 为平行四边形．所以BE ∥CF ． ………………………… 4分因为BE 平面PCD ，CF 平面PCD ，所以BE ∥平面PCD ． ………………………… 6分（2）因为AB ＝PB ，E 为P A 的中点，所以P A ⊥BE ．因为BE ∥CF ，所以P A ⊥CF ． ………………………… 9分因为P A ⊥PD ，PD 平面PCD ，CF 平面PCD ，PD ∩CF ＝F ，所以P A ⊥平面PCD ． ………………………… 12分因为P A 平面P AB ，所以平面P AB 平面PCD ． ………………………… 14分17．解：（1）设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2c ＝m ＋1，(m ＋1)－c ＝m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝m ＋1，b 2＝m ，c ＝1．所以椭圆方程为x 2m ＋1＋y 2m ＝1．因为椭圆C 过点(62，1)，所以32(m ＋1)＋1m＝1，解得m ＝2或m ＝－12(舍去）．所以m ＝2． ………………………… 4分（2）①设点T (x ，y )．由TATF 1＝2，得(x ＋2)2＋y 2＝2[(x ＋1)2＋y 2]，即x 2＋y 2＝2． ………………… 6分由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝2，x 2m ＋1＋y 2m＝1，得y 2＝m 2－m ．因此0≤m 2－m ≤m ，解得1≤m ≤2．所以椭圆C 的离心率e ＝1m ＋1∈[33，22]． ………………………… 10分②（方法一）设M (x 0，y 0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．则AM ＝(x 0＋2，y 0)，AP ＝(x 1＋2，y 1)．由AM ＝AP ，得 ⎩⎨⎧x 0＋2＝(x 1＋2)，y 0＝1．从而⎩⎨⎧x 0＝1＋2(－1)，y 0＝1．………………………… 12分因为x 022＋y 02＝1，所以[1＋2(－1)]22＋(1)2＝1．即2(x 122＋y 12)＋2(－1)x 1＋2(－1)2－1＝0．因为 x 122＋y 12＝1，代入得2(－1)x 1＋32－4＋1＝0．由题意知，≠1，故x 1＝－3－12，所以x 0＝－32．同理可得x 0＝－＋32． ………………………… 14分因此－32＝－＋32，所以＋＝6． ………………………… 16分（方法二）设M (x 0，y 0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．直线AM 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)．将y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)代入x 22＋y 2＝1，得(12(x 0＋2)2＋y 20)x 2＋4y 20x ＋4y 20－(x 0＋2)2＝0(*)．因为x 022＋y 02＝1，所以（*）可化为(2x 0＋3)x 2＋4y 20x －3x 20－4x 0＝0．因为x 0x 1＝－3x 20＋4x 02x 0＋3，所以x 1＝－3x 0＋42x 0＋3．同理x 2＝3x 0－42x 0－3． ………………………… 14分因为AM ＝AP ，BM →＝BQ →，所以＋＝x 0＋2x 1＋2＋x 0－2x 1－2＝x 0＋2－3x 0＋42x 0＋3＋2＋x 0－23x 0－42x 0－3－2＝(x 0＋2)(2x 0＋3)x 0＋2＋(x 0－2)(2x 0－3)－x 0＋2＝6．即λ＋为定值6． ………………………… 16分 18．解：（1）由h (x )＝f (x )＋g (x )＝x 2－x ＋t ＋ln x ，得h' (x )＝2x －1＋1x，x ＞0．因为2x ＋1x≥22x ·1x＝22，所以h' (x )＞0，从而函数h (x )是增函数． ………………………… 3分（2）记直线l 分别切f (x )，g (x )的图象于点(x 1，x 12－x 1＋t )，(x 2，ln x 2)，由f'(x )＝2x －1，得l 的方程为y －(x 12－x 1＋t )＝(2x 1－1)(x －x 1)，即y ＝(2x 1－1)x －x 12＋t ．由g'(x )＝1x ，得l 的方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2· x ＋ln x 2－1．所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 1－1＝1x 2，－x 12＋t ＝ln x 2－1．(*) 消去x 1得ln x 2＋(1＋x 2)24x 22－(t ＋1)＝0 (**)． ………………………… 7分令F (x )＝ln x ＋(1＋x )24x 2－(t ＋1)，则F'(x )＝1x －1＋x 2x 3＝2x 2－x －12x 3＝(2x ＋1)(x －1)2x 3，x ＞0．由F'(x )＝0，解得x ＝1．当0＜x ＜1时，F'(x )＜0，当x ＞1时，F'(x )＞0，所以F (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，从而F (x )min ＝F (1)＝－t ． ………………………… 9分当t ＝0时，方程(**)只有唯一正数解，从而方程组(*)有唯一一组解，即存在唯一一条满足题意的直线； ………………………… 11分当t ＞0时，F (1)＜0，由于F (e t ＋1)＞ln(e t ＋1)－(t ＋1)＝0，故方程(**)在(1，＋∞)上存在唯一解； ………………………… 13分令k (x )＝ln x ＋1x －1(x ≤1)，由于k' (x )＝1x －1x 2＝x －1x 2≤0，故k (x )在(0，1]上单调递减，故当0＜x ＜1时，k (x )＞k (1)＝0，即ln x ＞1－1x ，从而ln x ＋(1＋x )24x 2 －(t ＋1)＞(12x －12)2－t ．所以F (12(t ＋1))＞(t ＋12)2－t ＝t ＋14＞0，又0＜12(t ＋1)＜1，故方程(**)在(0，1)上存在唯一解．所以当t ＞0时，方程(**)有两个不同的正数解，方程组(*)有两组解．即存在两条满足题意的直线．综上，当t ＝0时，与两个函数图象同时相切的直线的条数为1；当t ＞0时，与两个函数图象同时相切的直线的条数为2．………………………… 16分19．解：（1）由(S m ＋n ＋S 1)2＝4a 2n a 2m ，得(S 2＋S 1)2＝4a 22，即(a 2＋2a 1)2＝4a 22．因为a 1＞0，a 2＞0，所以a 2＋2a 1＝a 2，即a 2a 1＝2． ………………………… 3分证明：（2）（方法一）令m ＝1，n ＝2，得(S 3＋S 1)2＝4a 2a 4，即(2a 1＋a 2＋a 3)2＝4a 2a 4，令m ＝n ＝2，得S 4＋S 1＝2a 4，即2a 1＋a 2＋a 3＝a 4．所以a 4＝4a 2＝8a 1．又因为a 2a 1＝2，所以a 3＝4a 1． ………………………… 6分由(S m ＋n ＋S 1)2＝4a 2n a 2m ，得(S n ＋1＋S 1)2＝4a 2n a 2，(S n ＋2＋S 1)2＝4a 2n a 4．两式相除，得(S n ＋2＋S 1)2(S n ＋1＋S 1)2＝a 4a 2，所以S n ＋2＋S 1S n ＋1＋S 1＝a 4a 2＝2．即S n ＋2＋S 1＝2(S n ＋1＋S 1)，从而S n ＋3＋S 1＝2(S n ＋2＋S 1)．所以a n ＋3＝2a n ＋2，故当n ≥3时，{a n }是公比为2的等比数列．又因为a 3＝2a 2＝4a 1，从而a n ＝a 1·2 n －1，n ∈N*．显然，a n ＝a 1·2 n－1满足题设，因此{a n }是首项为a 1，公比为2的等比数列． ………………………… 10分（方法二）在(S m ＋n ＋S 1)2＝4a 2n a 2m 中，令m ＝n ，得S 2n ＋S 1＝2a 2n ． ① 令m ＝n ＋1，得S 2n ＋1＋S 1＝2a 2n a 2n ＋2 ， ② 在①中，用n ＋1代n 得，S 2n ＋2＋S 1＝2a 2n ＋2． ③ ②－①，得a 2n ＋1＝2a 2n a 2n ＋2－2a 2n ＝2a 2n (a 2n ＋2－a 2n )， ④ ③－②，得a 2n ＋2＝2a 2n ＋2－2a 2n a 2n ＋2＝2a 2n ＋2(a 2n ＋2－a 2n )， ⑤ 由④⑤得a 2n ＋1＝a 2n a 2n ＋2． ⑥………………………… 8分⑥代入④，得a 2n ＋1＝2a 2n ；⑥代入⑤得a 2n ＋2＝2a 2n ＋1，所以a 2n ＋2a 2n ＋1＝a 2n ＋1a 2n ＝2．又a 2a 1＝2，从而a n ＝a 1·2 n －1，n ∈N*．显然，a n ＝a 1·2 n－1满足题设，因此{a n }是首项为a 1，公比为2的等比数列． ………………………… 10分（3）由（2）知，a n ＝a 1·2 n －1．因为|c p |＝|d p |＝a 1·2p －1，所以c p ＝d p 或c p ＝－d p ．若c p ＝－d p ，不妨设c p ＞0，d p ＜0，则T p ≥a 1·2p －1－(a 1·2p －2＋a 1·2p －3＋…＋a 1)＝a 1·2p －1－a 1·(2p －1－1)＝a 1＞0．R p ≤－a 1·2p －1＋(a 1·2p －2＋a 1·2p －3＋…＋a 1)＝－a 1·2p －1＋a 1·(2p －1－1)＝－a 1＜0．这与T p ＝R p 矛盾，所以c p ＝d p ．从而T p －1＝R p －1．由上证明，同理可得c p －1＝d p －1．如此下去，可得c p －2＝d p －2，c p －3＝d p －3．…，c 1＝d 1．即对任意正整数k (1≤k ≤p )，c k ＝d k ． ………………………… 16分南京市2015届高三第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准 2015.0520．选做题：在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：因为AB 是⊙O 的切线，所以ABD ＝AEB ．又因为BAD ＝EAB ，所以△BAD ∽△EAB ．所以BD BE ＝ABAE ． ………………………… 5分同理，CD CE ＝AC AE.．因为AB ，AC 是⊙O 的切线，所以AB ＝AC ．因此BD BE ＝CDCE ，即BE · CD ＝BD · CE ． ………………………… 10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：（1）设直线l 上一点M 0(x 0，y 0)在矩阵A 对应的变换作用下变为l上点M (x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤a 11a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax 0＋y 0x 0＋ay 0，所以⎩⎨⎧x ＝ax 0＋y 0，y ＝x 0＋ay 0．………………………… 3分代入l 方程得(ax 0＋y 0)－(x 0＋ay 0)＋2a ＝0，即(a －1)x 0－(a －1)y 0＋2a ＝0．因为(x 0，y 0)满足x 0－y 0＋4＝0，所以2a a －1＝4，解得a ＝2． ………………………… 6分（2）由A ＝⎣⎡⎦⎤2112，得A 2＝⎣⎡⎦⎤2112⎣⎡⎦⎤2112＝⎣⎡⎦⎤5445． ………………… 10分C ．选修4—5：不等式选讲证明：因为x ＞y ，所以x －y ＞0，从而左边＝(x －y )＋(x －y )＋1(x －y )2＋2y≥33(x －y )(x －y )1(x －y )2＋2y ＝2y ＋3 ＝右边．即原不等式成立． ………………………… 10分 21．解：（1）因为P A 平面ABCD ，AB 平面ABCD ，AD 平面ABCD ，所以P A AB ，P A AD ．又AD AB ，故分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．根据条件得AD ＝3．所以B (1，0，0)，D (0，3，0)，C (1，233，0)，P (0，0，2)．从而BD ＝(－1，3，0)，PC ＝(1，233，－2)．………………………… 3分设异面直线BD ，PC 所成角为x ，则cos x ＝|cos ＜→BD ，→PC ＞|＝|BDPC ∣BD ∣∣PC ∣|＝|(－1，3，0)·(1，233，－2)2×193|＝5738．即异面直线BD 与PC 所成角的余弦值为5738． ………………………… 5分（2）因为AB 平面P AD ，所以平面P AD 的一个法向量为 AB ＝(1，0，0)．设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，由nPC ，nPD ，PC ＝(1，233，－2)，PD ＝(0，3，－2)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋233y －2z ＝0，3y －2z ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝23z ，y ＝233z ．不妨取z ＝3，则得n ＝(2，23，3)． ………………………… 8分设二面角A －PD －C 的大小为，则cos ＝cos ＜AB ，n ＞＝AB · n∣AB ∣×∣n ∣＝(1，0，0)·(2，23，3)1×5＝25．即二面角A －PD －C 的余弦值为25． ………………………… 10分22．解：（1）f (3)＝1，f (4)＝2； ………………………… 2分（2）设A 0＝{m ∣m ＝3p ，p ∈N*，p ≤n 3}，A 1＝{m ∣m ＝3p －1，p ∈N*，p ≤n ＋13}， A 2＝{m ∣m ＝3p －2，p ∈N*，p ≤n ＋23}，它们所含元素的个数分别记为∣A 0∣，∣A 1∣，∣A 2∣．……………………… 4分 ①当n ＝3k 时，则∣A 0∣＝∣A 1∣＝∣A 2∣＝k ． k ＝1，2时，f (n )＝(C 1k)3＝k 3；k ≥3时，f (n )＝3C 3k ＋(C 1k )3＝32k 3－32k 2＋k ．从而 f (n )＝118n 3－16n 2＋13n ，n ＝3k ，k ∈N*． ………………………… 6分②当n ＝3k －1时，则∣A 0∣＝k －1，∣A 1∣＝∣A 2∣＝k ． k ＝2时，f (n )＝f (5)＝2×2×1＝4； k ＝3时，f (n )＝f (8)＝1＋1＋3×3×2＝20；k ＞3时，f (n )＝C 3k －1＋2C 3k ＋C 1k －1 (C 1k )2＝32k 3－3k 2＋52k －1；从而 f (n )＝118n 3－16n 2＋13n －49，n ＝3k －1，k ∈N*． ………………………… 8分③当n ＝3k －2时，∣A 0∣＝k －1，∣A 1∣＝k －1，∣A 2∣＝k ． k ＝2时，f (n )＝f (4)＝2×1×1＝2； k ＝3时，f (n )＝f (7)＝1＋3×2×2＝13；k ＞3时，f (n )＝2C 3k －1＋C 3k ＋(C 1k －1)2 C 1k ＝32k 3－92k 2＋5k －2；从而 f (n )＝118n 3－16n 2＋13n －29，n ＝3k －2，k ∈N*．所以f (n )＝⎩⎨⎧118n 3－16n 2＋13n ，n ＝3k ，k ∈N*，118n 3－16n 2＋13n －49，n ＝3k －1，k ∈N*，118n 3－16n 2＋13n －29，n ＝3k －2，k ∈N*． …………………… 10分。

南京师大附中2014届高三模拟考试试卷2

第I卷（选择题，共21小题，每小题6分，共126分）一、选择题（本大题共13小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）7．2013年7月23日，央视记者分别在北京崇文门附近的麦当劳、肯德基以及真功夫3家大型快餐店取回可食用冰块进行抽样检测。

检测结果显示:3家快餐店食用冰块菌落总数严重超标。

下列说法正确的是A.肉毒杆菌有毒，可在其中加入硫酸铜使其变性后食用B.肉毒杆菌在体内水解生成的氨基酸不能成为人体重要的营养物质C.大肠杆菌分子中不一定含羧基和氨基D.出血性大肠杆菌和油脂均为能水解的高分子化合物8. 短周期原子序数依次增大的主族元素R、T、Q、W、Y具有如下信息：① R、Y原子的最外层电子数与电子层数相同；② Q是地壳中含量最高的元素，R与T的核电荷数之和等于Q的核电荷数；③ W与R同主族。

下列说法正确的是A．元素Q与W形成的两种常见化合物中含有相同比例的阴、阳离子，属于同种晶体类型B．元素T、Q、W、Y的原子半径大小为：T<Q<Y<WC．Q与Y组成的常见物质是一种两性物质，结构中含有共价键D．由Y和T组成的物质YT是原子晶体，在电子和陶瓷工业上有广泛应用，可以直接由单质Y和T在低温下合成9. 对于实验I〜IV的描述正确的是A．实验I ：逐滴滴加稀盐酸时，试管中立即产生大量气泡B．实验II：充分振荡后静置，下层溶液为橙红色，上层无色C．实验III：从饱和食盐水中提取NaCl晶体D．装置IV：酸性KMn O4溶液中有气泡出现，且溶液颜色逐渐变浅乃至褪去2MgCl 2 6H 2无水MgCl 2Br 2SO 2水溶液吸收Br 2④⑤．NaHCO 3△2CO 3H O 、NH 10．海洋中有丰富的食品、矿产、能源、药物和水产资源，下图为海水利用的部分过程。

下列有关说法正确的是A ．制取NaHCO 3的反应是利用其溶解度小于NaClB ．用澄清的石灰水可鉴别NaHCO 3和Na 2CO 3C ．在第③、④、⑤步骤中，溴元素均被氧化D ．工业上通过电解饱和MgCl 2溶液制取金属镁11.Cyrneine A 对治疗神经系统疾病有着很好的疗效．可用香芹酮经过多步反应合成。

2023-2024学年江苏省南京师大附中高一(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年江苏省南京师大附中高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案直接填写在答题卡相应位置上1．已知集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B ＝{x |x ＝3k +1，k ∈Z }，则集合A ∩B ＝（） A ．{0，2}B ．{﹣1，2}C ．{﹣2，0，2}D ．{1，﹣2}2．函数f(x)=√x 2+2x 的增区间是（） A ．[0，+∞）B ．[﹣1，+∞）C ．（﹣∞，﹣2]D ．（﹣∞，﹣1]3．若命题“∃x ∈R ，使得x 2﹣2x +m ＝0”是真命题，则实数m 的取值范围是（） A ．（1，+∞）B ．[1，+∞）C ．（﹣∞，1）D ．（﹣∞，1]4．已知幂函数f(x)=x −m2+2m的定义域为R ，且m ∈Z ，则m 的值为（）A ．﹣1B ．0C ．1D ．25．已知二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象与x 轴交于（﹣1，0），（2，0）两点，则关于x 的不等式cx 2+x ﹣b ＞0的解集为（） A ．(−12，1) B ．(−∞，−12)∪(1，+∞) C ．(−1，12)D ．(−∞，−1)∪(12，+∞)6．设n 为正整数，f(n)=1+12+13+⋯+1n，人们对于f （n ）的研究已经持续了几百年，迄今为止仍没有得到求和公式，只是得到了它的近似公式：当n 很大时，f （n ）≈lnn +γ，其中γ称为欧拉﹣马歇罗尼常数，γ≈0.5772，至今还不确定γ是有理数还是无理数．由于上式在n 很大时才成立，故当n 较小时计算出的结果与实际值之间存在一定的误差，已知ln 2≈0.6931，用上式估算出的ln 4与实际的ln 4的误差绝对值近似为（） A ．0.03B ．0.12C ．0.17D ．0.217．函数f(x)=1+x 21−x 2的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．8．已知互不相同的实数x ，y ，z ，满足3x＝4y＝6z，则2z x 3−z2y 的值为（）A ．12B ．1C ．2D ．3二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏南京师大附中2015届高三模拟考试试卷

江苏南京师大附中2015届高三模拟考试试卷高三2014-05-26 18:11南京师大附中2015届高三模拟考试试卷语文2014.05注意事项：1.本试卷共160分。

考试用时150分钟。

2.答题前，考生务必将学校、姓名、班级写在答题卡上。

答案写在答题卡上对应位置。

考试结束后，请交回答题卡。

一、语言文字运用(15分)1.下列词语中加点的字，每对读音都相同的一组是（）（3分）A. 秧歌/怏怏不乐罢黜/相形见绌阿胶/阿谀奉承B. 造诣/自怨自艾懈怠/百战不殆饯行/践规踏矩C. 驰骋/锃光瓦亮搪塞/敷衍塞责蛮横/横行霸道D. 纰缪/未雨绸缪粮饷/不稂不莠俳句/徘徊不前2.下列各句中，加点的成语使用恰当的一句是（）（3分）A.每晚六时许，城市的马路上来往的车辆不绝如缕，一些马路志愿者们站在路口，面带微笑地提醒那些准备“中国式过马路”的行人：为了您的安全，请遵守交通规则！B.中国将用十年左右的时间，突破重型运载火箭关键技术，建设中国独立自主的空间站，这一振奋人心的消息让科学家们蠢蠢欲动。

C.在河南的一场矿难中，三十三名矿工尽管年龄不一，性格各异，但是他们相濡以沫，共同度过了一个多月的井下生活。

D.李嘉诚这位曾表态财富应该“取诸社会，还诸社会”的富翁，挥金如土，至今已向社会捐款近13.7亿美元，这位富翁还称他的“李嘉诚基金会”是自己的“第三个儿子”。

3.请补写出下面语段的空缺部分。

要求：符合情境，简明得体。

（4分）著名教授沈志云先生是两院院士，在物理学方面颇有建树。

在一次访问现场，他提到“沈氏理论”是1983年在麻省理工学院召开的第八届国际车辆系统动力学会议上发表的，如今已经过了几十年，还在被引用。

现场响起一片掌声，他却打住喝彩：“你们别鼓掌，这不是个好现象。

一篇文章过了几十年还在被引用，我认为是坏事，说明。

如果，我认为才值得鼓掌。

”此番言语，又引起现场掌声一片。

4.阅读下面这幅漫画，回答问题。

（5分）（1）简要说明漫画的主要内容。

南京师大附中2014届高三模拟考试(5月)数学

联立方程组，消去y可得5x2＋8λx＋4λ2－4＝0，
若直线m与椭圆只有一个交点，则满足△＝64λ2－20(4λ2－4)＝0，解得λ＝± ．……………6分
当直线m为y＝x－时，直线l与m之间的距离为d1＝＝；
当直线m为y＝x＋时，直线l与m之间的距离为d2＝＝；………………8分
设点C到MN的距离为d，要使△CMN的面积为S的点C恰有两个，
又∠ACD＝90°，则，而PA∩AC＝A，
所以CD⊥平面PAC，因为CD平面ACD，………………4分
所以，平面PAC⊥平面PCD．………………7分
（2）证法一：取AD中点M，连EM，CM，则EM∥PA．
因为EM 平面PAB，PA 平面PAB，
所以EM∥平面PAB．………………9分
在Rt△ACD中，AM=CM，所以∠CAD=∠ACM，
11．在△ABC中，已知∠BAC＝90°，AB＝6，若D点在斜边BC上，CD＝2DB，则 ·
的值为▲．
12．在平面直角坐标系xOy中，点M是椭圆＋＝1（a＞b＞0）上的点，以M为圆心的
圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P，Q两点．若△PQM是钝角三角
形，则该椭圆离心率的取值范围是▲．
13．对于定义域内的任意实数x，函数f(x)＝的值恒为正数，则实数a的取值范围是▲．
B分别在曲线C1：（θ为参数）和曲线C2：ρ＝1上，求线段AB的最小值．
D．（不等式选做题）
设a，b，c均为正数，abc＝1．求证：＋＋ ≥ ＋＋ .
22．【必做题】
在一个盒子中放有大小质量相同的四个小球，标号分别为，，，4，现从这个盒
子中有放回地先后摸出两个小球,它们的标号分别为x，y，记ξ＝|x－y|．

南京师大附中2015届高三数学模拟考试试卷

南师大附中2015高考数学模拟题南师大《数学之友》一. 填空题1. 在ABC ∆中,已知2=AC ，3=BC ，54cos -=A ，则=+)62sin(πB ▲ .2．已知中心为O 的正方形ABCD 的边长为2，点M 、N 分别为线段BC 、CD 上的两个1≤，则⋅的取值范围是 ▲ ．3. 若函数f (x )＝xx 2＋a (a ＞0)在[1，＋∞)上的最大值为22，则a 的值为___▲_____．4．设 x 、y 均为正实数，且33122x y+=++，以点),(y x 为圆心,xy R =为半径的圆的面积最小时圆的标准方程为 ▲ ．5. 任给实数,a b ，定义,0,0ab ab a b a ab b≥⎧⎪*=⎨<⎪⎩，设函数()ln f x x x =*. {}n a 是公比大于0的等比数列，且51a =，()()()()()187321a a f a f a f a f a f =+++++ ，则1a = ▲ . 6. 已知函数()11--=x x f ，如果关于x 的方程()m x f =()R m ∈恰有4个互不相等的实数根1x ，2x ，3x ，4x ，则4321x x x x 的取值范围是 ▲ .二、解答题7. 某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线一段．已知跳水板AB 长为m 2，跳水板距水面CD 的高BC 为3m ，5CE m =,m CF 6=.为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点A 处水平距h m （1≥h ）时达到距水面最大高度4m ．规定：以CD 为横轴，BC 为纵轴建立直角坐标系．（1）当h =1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；（2）若跳水运动员在区域EF 内入水时才能达到压水花的训练要求，求达到压水花的训练要求时，h 的取值范围．8. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，点A 、B 分别是椭圆C 的左顶点和上顶点，直线AB 与圆G ： 2224c x y +=（c 是椭圆的半焦距）相离，P 是直线AB 上一动点，过点P作圆G 的两切线，切点分别为M 、N ．（1）若椭圆C 经过点(1,3，离心率35=e ，求椭圆C 的方程；（2）若存在点P 使得△PMN 为正三角形，试求椭圆离心率e 的取值范围．9. 已知等比数列}{n a 的首项20151=a ，公比21-=q ，数列}{n a 前n 项和记为n S . （1）证明：21n S S S ≤≤；（2）证明：若数列}{n a 中的任意相邻三项按从小到大排列，则总可以使其成等差数列；若所有这些等差数列的公差按从大到小的顺序依次记为n d d d ,,,21 ，则数列}{n d 为等比数列.10．对于函数)(x f y =，若存在开区间D ，同时满足：①存在D a ∈，当a x <时，函数)(x f 单调递减，当a x >时，函数)(x f 单调递增； ②对任意0>x ，只要D x a x a ∈+-,，都有)()(x a f x a f +>-．则称)(x f y =为D 内的“勾函数”．（1）证明：函数x y ln =为),0(+∞内的“勾函数”．（2）对于给定常数λ，是否存在m ，使函数122131)(3223+--=x x x x h λλλ在),(+∞m 内为“勾函数”？若存在，试求出m 的取值范围，若不存在，说明理由．理科加试11. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，12AB AC AA ===，E 是BC 的中点. (1)若棱1AA 上存在一点M ，满足11B M C E ⊥，求AM 的长； (2)求平面1AEC 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值.12.在数列}{n a 和}{n b 中，nn a a =，b n a b n ++=)1(， ,3,2,1=n ，其中2≥a 且*N a ∈，R b ∈.设},,,{321 a a a A =，},,,{321 b b b B =，试问在区间],1[a 上是否存在实数b 使得φ≠=B A C .若存在，求出b 的一切可能的取值及相应的集合C ；若不存在，试说明理由.1B参考答案一、填空题1. 答案：.5017712+ 解：在ABC ∆中，.53)54(1cos 1sin 22=--=-=A A 由正弦定理，,sin sin B AC A BC =所以.525332sin sin =⨯=⋅=A BC AC B 又因为54cos -=A ，所以A ∠为钝角，从而B ∠为锐角，于是,521)52(1sin 1cos 22=-=-=B B ,25171)521(21cos 22cos 22=-⨯=-=B B .21254521522cos sin 22sin =⨯⨯==B B B .501771221251723252146sin 2cos 6cos 2sin 62sin +=⨯+⨯=+=+πππB B B ）（2. 答案：)2⎡⎣. 解：以O 为原点，平行于AB 的直线为x 轴作平面直角坐标系（如图1），不妨设),1(y M 、)1,(x N .由题意知1≤，故 ⎪⎩⎪⎨⎧+=⋅≤-+-yx y x 1)1()1(22，其中10≤≤x ，10≤≤y .在41圆PRQ 中找一点),(y x 使y x +取最大最小.设目标函数为y x z +=.①由图2可知，当直线0=-+z y x 与在41圆PRQ 相切于点R 时，z 取得最小值，即y x =，得1)1(22=-x ，21)1(2=-x ，由于10≤≤x ，故122+-=x . 因此min z 22)122(2-=+-=. 由图2可知，当直线0=-+z y x 经过点C 时，即1==y x ，z 取得最大值，最大值为211=+=z ，但是由题意知M 、N 是两个不同点，故最大值2取不到.综上可得，OM ON ⋅的取值范围是)2⎡⎣.图 1 图 2 3. 答案：12-.解：f (x )＝x x 2＋a＝1x ＋a x(x ≥1)，当a ≥1时，f (x )的最大值为12a＝22，得a ＝21＜1(舍去)；当0<a <1时，f (x )的在[1，＋∞)上单调递减，其最大值为11＋a ＝22，得a ＝12-. 所以a 的值为12-.4. 答案: 256)4()4(22=-+-y x .解：由12323=+++y x 得：18-+=y yx .182-+=∴y yy xy .令1-=y z ，则1+=z y .z z z z xy 88122++++=∴ z z z 9102++=109+⎪⎭⎫⎝⎛+=z z .6929≥⋅≥+z z z z ,当且仅当zz 9=时，等号成立. 此时xy 最小，即圆的面积最小，此时3=z ，4=y ，4=x ， ∴圆的标准方程：256)4()4(22=-+-y x . 5. 答案：e .解：5()(1)0f a f ==,设数列{}n a 公比为q ， 551()()()()0i i i i f a f a f f q q-++=+=, 所以 283746()()()()()()0f a f a f a f a f a f a +=+=+=, 因此11()f a a =.当11a ≥时,1111ln ,a a a a e *==, 当11a <时，111ln a a a =无解. 6. 答案：()0,3-.解：函数11)(--=x x f 的图像如右图所示：由图可知，若()m x f =的四个互不相等的实数根，则()1,0∈m ，且1x ，2x ，3x ，4x 分别为：m x =1，m x -=22，23+=m x ，m x -=4，所以，4321x x x x ()()222+--=m m m()4222--=m ()0,3-∈.二、解答题7.解：由题意可知最高点为)1)(4,2(≥+h h .可设抛物线方程为4)]2([2++-=h x a y .（1）当1=h 时，最高点为)4,3(，方程为4)3(2+-=x a y将)3,2(A 代入，得抛物线方程为562-+-=x x y . （2）将点)3,2(A 代入4)]2([2++-=h x a y ，得12-=ah . 由题意，得方程2[(2)]40a x h -++=在区间]6,5[内有一解. 令2221(x)[(2)]4[(2)]4f a x h x h h =-++=--++，则04)3(1)5(22≥+--=h hf ，且 221(6)(4)40f h h =--+≤，解得341≤≤h . 所以要达到压水花的训练要求h 的取值范围为]34,1[.8. 解：（1）椭圆为22194x y +=．（2）由直线AB 与圆G ： 2224c x y +=（c 是椭圆的焦半距）相离，2c >，即222224()a b c a b >+，2222224()(2)a a c c a c ->-，得42640e e -+>因为01e <<，所以203e <<连接,,,ON OM OP 若存在点P 使PMN ∆为正三角形，则在Rt OPN ∆中， 22OP ON r c ===，所以，点O 到直线AB 的距离不大于cc ≤，∴22222()a b c a b ≤+，222222()(2)a a c c a c -≤-，得42310e e -+≤因为01e <<21e ≤<，②由①②，2332e ≤<122e ≤< 9.（1）证明：12111111[1()]112[1()]1321()2n n n a S S S a S ----=+=---≤--，当1=n 时，等号成立.23222121[1()]112[1()]621()2n n n a S S S a S ----=+=+--≥--，当2=n 时，等号成立.∴21n S S S ≤≤.（2）证明： 1)21(2015--=n n a ，∴n a 随n 增大而减小，n a 奇数项均正，偶数项均负.①当k 是奇数时，}{n a 中的任意相邻三项按从小到大排列为1k a +，2k a +，k a ，则kk kk k a a a a a 2)21()21(11111=-+-=+-+，k k k a a a 2)21(221112=-=++， ∴122k k k a a a +++=，因此k k k a a a ,,21++成等差数列，公差11111223])21()21[(++++=---=-=k k k k k k a a a a d .②当k 是偶数时，设}{n a 中的任意相邻三项按从小到大排列为k a ，2k a +，1k a +，则1111111()()222k k k k ka a a a a -++=-+-=-，1121122()22k k k a a a ++=-=-， ∴122k k k a a a +++=，因此k k k a a a ,,21++成等差数列，公差111211311[()()]222k k k k k k a d a a a +-++=-=---=.综上可知，}{n a 中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列，且1123+=k k a d ，211=+n n d d ，∴数列}{n d 为等比数列. 10. 证明：（1）①存在1=a ，当x x f x ln )(),1,0(-=∈为减函数，当x x f x ln )(),,1(=+∞∈为增函数；②对任意0>x ，当01>-x 时，),1ln()1ln()1(x x x f --=-=- ).1ln()1ln()1(x x x f +=+=+所以,0)1ln()1ln()1ln()1()1(2>--=+---=+--x x x x f x f 即).1()1(x f x f +>-所以函数x y ln =为),0(+∞内的“勾函数”．（2）①当0=λ时，1)(=x h ，不存在m 使函数)(x h 在),(+∞m 内为“勾函数”；②当0<λ时，).2)((2)(322'λλλλλλ-+=--=x x x x x h当),2(λλ-∈x 时，0)('>x h ，)(x h 为增函数；当),(+∞-∈λx 时，0)('<x h ，)(x h 为减函数，因此不存在m 及常数0x ，使函数)(x h 在),(0x m 为减函数，同时在),(0+∞x 为增函数. 所以不存在m 使函数)(x h 在),(+∞m 内为“勾函数”.③当0>λ时，)(x h 在)2,(λλ-为减函数，在),2(+∞λ为增函数.当)2,[λλ-∈m ，则在),(+∞m 上存在λ2=a ，使)(x h 在),(a m 内为减函数，在),(+∞a 内为增函数.当0>x ，),(,+∞∈+-m x a x a 时，因为)()(x a h x a h +--)]2()2[(2])2()2[(21])2()2[(31322233x x x x x x +---+---+--=λλλλλλλλλ .0323<-=x λ所以)()(x a h x a h +<-.所以也不存在m 使函数)(x h 在),(+∞m 内为“勾函数”.综上所述，不论常数λ取何值，都不存在m ，使函数)(x h 在),(+∞m 内为“勾函数”.理科加试11. 解：（1）如图，建立直角坐标系.则1A (0,0,2)，B (2,0,0)，1(2,0,2)B ，(0,2,0)C ，1(0,2,2)C ，(1,1,0)E ，(0,0,)M m ， 1B M=(2,0,2)m --,1C E =()2,1,1--.因为11B M C E ⊥，所以11B M C E ⋅=22(2)m ---=0. 解得1m =所以1AM =.（2）AE =(1,1,0)，1(0,2,2)AC =,设平面1AEC 的法向量n =(,,)x y z , 则：1220n AE x y n AC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩,令1y =-，则1x =，1z =.(1,1,1)n =- . 因为1AA AC ⊥，BA AC ⊥，所以AC ⊥平面11ABB A ， AC 为平面11ABB A 的法向量，AC=(0,2,0).c o s ,A C n <> =AC n AC n⋅⋅.所以平面1AEC 与平面11ABB A. 12.解：设存在实数],1[a b ∈，使φ≠=B A C ，设C m ∈0，则0m A ∈，且0m B ∈.设)(*0N t a m t ∈=，)()1(*0N S b S a m ∈++=,则(1)t a a S b =++，所以1+-=a ba S t ,因为*,,N s t a ∈，且2≥a ，所以b a t -能被1+a 整除.① 当1=t 时，因为],1[a b ∈，]1,0[-∈-a b a ，所以*1a bS N a -=∉+； ② 当)(2*N n n t ∈=时,b a C a b a b a n n n n -++-++=--+=-1)1()1(]1)1[(12222 , 由于],1[a b ∈，所以]1,0[1-∈-a b ，110+<-≤a b ，所以，当且仅当1=b 时，b a t-能被1+a 整除.③ 当*21()t n n N =+∈时，212121121[(1)1](1)(1)1n n n n a b a b a C a b ++++-=+--=++++-- ，由于],1[a b ∈，所以]1,2[1+∈+a b ，所以，当且仅当11+=+a b ，即a b =时，b a t-能被1+a 整除.综上，在区间],1[a 上存在实数b ，使φ≠=B A C 成立.当1=b 时，},{*2N n a y y C n ∈==；当a b =时，21*{,}n C y y a n N +==∈.2015高考数学模拟题(2)南师大《数学之友》一. 填空题1. 已知),2(ππα∈且53cos -=α，则)42tan(πα-的值为 ▲ . 2. 在平面直角坐标系xOy 中，设A 是曲线1C ：31(0)y ax a =+>与曲线2C ：2252x y +=的一个公共点，若1C 在A 处的切线与2C 在A 处的切线互相垂直，则实数a 的值是 ▲ .3. 椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，若椭圆上恰好有6个不同的点P ,使得12F F P ∆为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是 ▲ .4. 已知2,3,60,2,(1),(0,1)AB AC BAC CD BC AE xAD x AB x ==∠===+-∈，则AE 在AC上的投影的取值范围是 ▲ .5. 设函数⎩⎨⎧≤-≤≤--=20,102,1)(x x x x f <，若函数ax x f x g -=)()(，]2,2[-∈x 为偶函数，则实数a 的值为 ▲ .6. 各项为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有 ▲ 项．二、解答题7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝64，圆O 1与圆O 相交，圆心为O 1(9,0). (1) 经过1O 作圆O 的切线，求切线方程；(2) 过定点()0,6P 作动直线l 与圆O ，圆1O 都相交，且直线l 被圆O ，圆1O 截得的弦长分别为d ，1d .若d 与1d 的比值总等于同一常数λ，求λ的值和圆1O 的方程．8. 某港湾的平面示意图如图所示，直线1l 、2l 是两条海岸线，点O 为1l 、2l 交点，A 位于O 的正南方向6km 处，B 位于O 的北偏东︒60方向10km 处．(1) 求集镇A ，B 间的距离；(2) 随着经济的发展，为缓解集镇O 的交通压力，拟在海岸线1l ，2l 上分别修建码头N M 、，开辟水上航线．勘测时发现：以O 为圆心，3km 为半径的扇形区域为浅水区，不适宜船只航行．请确定码头N M 、的位置，使得N M 、之间的直线航线最短．9. 有n 个首项都是1的等差数列，设第m 个数列的第k 项为mk a (,1,2,3,,, 3)m k n n = ≥,公差为m d ，并且123,,,,n n n nn a a a a 成等差数列．（1）证明()()2112d m d m d m -+-=；（2）设3,121==d d ，当6≥n 时，不等式n n d n >-+12)32(501恒成立．10.已知函数x b xx a x f ln )1()(--=（R b a ∈,），2)(x x g =.(1) 若1=a ，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与y 轴垂直，求b 的值； (2) 在（1）的条件下，求证2ln 2)()(->x f x g ；(3) 若2b =，函数)(x f 与)(x g 在其公共点处是否存在公切线.若存在，求出a 值的个数；若不存在，说明理由.理科加试11. 在正方体1111D C B A ABCD -中，O 是AC 的中点，E 是线段O D 1上一点，且 EO E D λ=1.（1）若1=λ，求异面直线DE 与1CD 所成角的余弦值；（2）若平面CDE ⊥平面O CD 1，求λ的值.12. 如图，椭圆1C ：1422=+y x 的离心率为23，x 轴被曲线2C ：12-=x y 截得的线段长等于1C 的长半轴长.设2C 与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与2C 相交于点A ，B ，直线MA ，MB 分别与1C 相交于点D ，E .（1）证明：ME MD ⊥；(2) 记MAB ∆，MDE ∆的面积分别为1S ，2S ，问：是否存在直线l ，使得21S S 3217=成立？请说明理由.A C 1参考答案一. 填空题1.答案：31. 解：224παπ<<，12cos2cos 2-=αα，∴21cos 25α=，552cos =α，5522sin =α， 22tan=α，tan112tan()2431tan2ααπα--==+. 2.答案: 4.解：设()00,y x A ，所以1C 在A 处的切线斜率为()200'3ax x f =，2C 在A 处的切线斜率为001y x k OA -=-，又1C 在A 处的切线与2C 在A 处的切线互相垂直，所以，132000-=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ax y x ，即3003ax y =. 又1030-=y ax ，故230=y .代入25:222=+y x C ，得210±=x ，将210±=x ，230=y 代入()013>+=a ax y ，得4=a . 3.答案：111(,)(,1)322⋃.解：422111232c a c e e c a>-⎧⇒<<≠⎨≠⎩且，故离心率范围为111(,)(,1)322⋃. 4.答案：[]7,1.解：如图，(3,0),(1(7,C B D -.(61,AE x =+-,3(61)cos 61,(0,1)361[1,7]AE AC x AE EAC x x ACx ∙+∠===+∈∴+∈5.答案：21. 解：由题设，⎩⎨⎧≤--≤≤---=20,1)1(02,1)(x x a x ax x g <，则⎩⎨⎧≤-<--≤-≤--=-20,1)1(02,1)(x x a x ax x g ⎩⎨⎧≤≤-≤----=20.1,02,1)1(x ax x x a < 因为)(x g 为偶函数，故)()(x g x g -=. 则1)1(1--=-x a ax 对于]2,2[-∈x 恒成立，从而有a a -=1，得21=a . 6.答案: 8.解：设n a a a a ,,,,321 是公差为4的等差数列，则1003221≤++++n a a a a ，即()()[]()100121441121≤-⋅-++++n n a a a ，=∆ ()()010*******1≤--+-+n n a n a ，因此，=∆0401672≤--n n ，解得21n n n ≤≤，其中()028163711<-=n ，≤897281632<+=n ，所以，自然数n 的最大值为8，故这样的数列至多有8项. 故答案为：8.二、解答题7.解：(1)设切线的斜率为k ，则由题意可得切线方程为 09=+-k kx y ,由圆心O )0,0(到切线的距离为圆O 的半径得：219kk +8=,解得817±=k .所以切线方程为8179817-=x y 或8179817+-=x y . (2) 当直线l 的斜率存在时，设直线l 为)6(-=x k y ，即06=+-k kx y .则点O ，O 1到直线l 的距离分别为216kk h +=，h 1＝213kk +，设圆1O 的半径为r ,从而22136642k k d +-=，2221192k k r d +-=.由d d 1＝λ，得2122d d λ=. 所以64－22136k k +＝)19(2222k k r +-λ. 整理得：064)928(222222=+-+-r k r λλλ. 由题意，知上式对于任意实数k 恒成立，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-064092822222r r λλλ.解得λ＝2(负根舍去)，162=r .综上所述，λ＝2．圆1O 的标准方程为16)9(22=+-y x .8. 解：(1) 在ABO ∆中，6=OA ,10=OB ,︒=∠120AOB ,︒⨯⨯⨯-+=120cos 2222OB OA OB OA AB 19621106210622=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯⨯-+=. 14=∴AB ,即A ，B 间的距离为14km .(2) 依题意，直线MN 与圆O 相切，设切点为C ，连接OC ，则MN OC ⊥. 设x OM =，y ON =，u MN =，在OMN ∆中，OC MN ON OM ⋅⋅=⋅⋅⋅︒2160sin 21, 即u xy 32=.由余弦定理，︒-+=120cos 2222xy y x u xy y x ++=22xy 3≥.所以，u u 362≥，36≥u ，当且仅当6==y x 时，u 取得最小值. 答：N M 、建在距离O 点均为km 6处航线最短．9. 证明:（1）因为123,,,,n n n nn a a a a 成等差数列，所以2322212,......,,,n a a a a 成等差数列．)1()1()1()1()1()1(12312-+-+==+-+=+-+∴n n d d d d d d即12312--==-=-n n d d d d d d ，所以，}{n d 成等差数列，公差为12d d -，所以12112(1)()(2)(1)m d d m d d m d m d =+--=-+-．（2）由题知,12-=n d n ,2)32(5011n n d n >-+即 1(23)250(21)n n n +->-．即为不等式1(23)250(21)0n n n +--->的解, 考虑函数1()(23)250(21)n f n n n +=---, 由于]502)12[(2)()1(-+=-+nn n f n f ，当3≥n 时，(1)()f n f n +>．即 <<<<)6()5()4()3(f f f f , 而(6)9(12850)1006020f =--=>，所以，当6n ≥时，有()0f n >.因此当6n ≥时，1(23)250(21)n n n +->-恒成立，即n n d n >-+12)32(501恒成立． 10. 解：（1）1=a ，1()ln f x x b x x =--，222'111)(x bx x x b x x f +-=-+=，依题意,02)1('=-=b f .∴2=b .（2）由（1）得1()2ln f x x x x=--，),0(+∞∈x . 要证2ln 2)()(->x f x g ，只须证02ln 2ln 212>+++-x xx x . 设21(x)2ln 2ln 2F x x x x=-+++（0>x ）. 222232')1)(12(2122112)(xx x x x x x x x x x F +-=+--=+--= . 令'()0F x =，得21=x . 当210<<x 时，'()0F x <；当21>x 时，'()0F x >.所以，当12x =时，)(x F 取极小值，也是最小值，047)21()(min >==F x F .因此()0F x >，2ln 2)()(->x f x g .（3）设函数)(x f 与)(x g 的图像在其公共点),(00y x 处存在公切线.1()()2ln f x a x x x =--,2'22()ax x a f x x -+=,x x g 2)('=.由)()(0'0'x g x f =，可得到0202022x x a x ax =+-，即02202030=-+-a x ax x ， 200(2)(1)0x a x -+=，得20ax =.)(x f 的定义域为(0,)+∞. 当0≤a 时，0(0,)2ax =∉+∞.函数)(x f 与)(x g 在其公共点处没有公切线；当0a >时，令)2()2(a g a f =，22412ln 2221a a a =--，即)2ln(882aa =-. 02ln 88ln 82=-+-a a .设2()8ln 88ln 2h x x x =-+-（0>x ），x xx h 28)('-=.令'()0h x =，得2=x . 当(0,2)x ∈时，'()0h x >，)(x h 递增；当(2,)x ∈+∞时，'()0h x <，)(x h 递减. 所以04)2()(max >==h x h .22224()8ln ()88ln 20h e e e e -=-+-=<，在(0,2)上存在唯一1x ，使得0)(1=x h ；又082ln 8)2(2<-=h ，在(2,)+∞上存在唯一2x ，2()0h x =.综上，0≤a 时，不存在公切线；0a >时，存在公切线，适合题意的a 值有两个.理科加试11. 解：(1)不妨设正方体的棱长为1，以1,,DD DC DA 为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系xyz D -，由题设，E 为O D 1的中点，则 )0,0,1(A ，)0,21,21(O ，)0,1,0(C ， )1,0,0(1D ，)21,41,41(E ，于是)21,41,41(=，)1,1,0(1-=CD ，)0,21,21(-=CO ,由63,cos 1=>=<CD . 所以异面直线AE 与1CD 所成角的余弦值为63. （2）设平面O CD 1的法向量为),,(111z y x =m ，由0=⋅m ,01=⋅CD m ,得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-,0,021211111z y y x 取11=x ，得111==z y ，即)1,1,1(=m .由EO E D λ=1，得)11,)1(2,)1(2(λλλλλ+++E ，1(,,)2(1)2(1)1DE λλλλλ=+++ . 又设平面CDE 的法向量为),,(222z y x =n ，由0=⋅n ，0=⋅n ，得⎪⎩⎪⎨⎧=+++++=,0)1(2)1(2)1(2,02222λλλλλλz y x y 取22=x ，得λ-=2z ，即),0,2(λ-=n . 因为平面CDE ⊥平面1CD E ，所以0=⋅n m ，得2=λ.12. 解：(1) 由题意知，直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为kx y =.由⎩⎨⎧-==12x y kxy 得012=--kx x .设),(11y x A ，),(22y x B ，则1x ，2x 是上述方程的两个实根，于是k x x =+21，21x x 1-=.又点M 的坐标)1,0(-，所以 =⋅MB MA k k 111x y +221x y +⋅2121)1)(1(x x kx kx ++=21212121)(x x x x k x x k +++=1122-++-=k k 1-=.故ME MD ⊥.(2) 设直线MA 的斜率为1k ，则直线MA 的方程为11-=x k y , 由⎩⎨⎧-=-=1121x y x k y 解得⎩⎨⎧-==10y x 或⎩⎨⎧-==1211k y k x .故点A 的坐标为)1,(211-k k . 又直线MB 的斜率为11k -，同理可得点B 的坐标为)11,1(211--k k . 于是1S MB MA ⋅=21121121111121k k k k -+⋅⋅+=12121k k +=, 由⎩⎨⎧=-+-=0441221y x x k y 得08)41(1221=-+x k x k .解得⎩⎨⎧-==10y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=21212114114418k k y k k x , 故点D 的坐标为)4114,418(2121211k k k k +-+, 又直线ME 的斜率为11k -，同理可得点E 的坐标为)44,48(2121211k k k k +-+-,于是2S ME MD ⋅=21)4)(41()1(322121121++⋅+=k k k k .因此)1744(641212121++=k k S S 由题意知，)1744(641212121++=k k S S 3217=, 解得421=k 或4121=k .又由点A ，B 的坐标可知，11212111k k k k k +-==111k k -,所以23±=k . 故满足条件的直线l 存在，且有两条，其方程分别为x y 23=，x y 23-=.当a b =时，21*{,}n C y y a n N +==∈.。

湖南师大附中2025届高三第二次模拟考试数学试卷含解析

湖南师大附中2025届高三第二次模拟考试数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()sinx12sinxf x =+的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（）①绕着x 轴上一点旋转180︒; ②沿x 轴正方向平移; ③以x 轴为轴作轴对称;④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称. A ．①③B ．③④C ．②③D ．②④2．台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球（中国粤港澳地区的叫法）、撞球（中国地区的叫法）控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术，一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正方形ABCD ，在点E ，F 处各放一个目标球，表演者先将母球放在点A 处，通过击打母球，使其依次撞击点E ，F 处的目标球，最后停在点C 处，若AE =50cm ．EF =40cm ．FC =30cm ，∠AEF =∠CFE =60°，则该正方形的边长为（）A ．2cmB ．2cmC ．50cmD ．6cm3．已知()5x a +展开式的二项式系数和与展开式中常数项相等，则2x 项系数为（）A ．10B ．32C ．40D ．804．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：()()2262x m y m -+--=与圆2C ：()()22121x y ++-=交于A ，B 两点，若OA OB =，则实数m 的值为（） A ．1B ．2C ．-1D ．-25．若x,y 满足约束条件x 0x+y-30z 2x-2y 0x y ≥⎧⎪≥=+⎨⎪≤⎩，则的取值范围是A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6, +∞）D ．[4, +∞）6．设复数z 满足12z zz +=+，z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y 则（） A ．221x y =+ B ．221y x =+ C ．221x y =-D ．221y x =-7．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为2317,,927n S S S ==，则12n a a a 的最小值为（） A ．24()27 B ．34()27C ．44()27D ．54()278．2(1ii +=- ) A ．132i +B ．32i+ C ．32i- D ．132i-+ 9．小张家订了一份报纸，送报人可能在早上6:307:30-之间把报送到小张家，小张离开家去工作的时间在早上7.008:00-之间.用A 表示事件：“小张在离开家前能得到报纸”，设送报人到达的时间为x ，小张离开家的时间为y ，(,)x y 看成平面中的点，则用几何概型的公式得到事件A 的概率()P A 等于（）A ．58B ．25C ．35D ．7810．直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（） A ．B ．C ．D ．11．对于函数()f x ，若12,x x 满足()()()1212f x f x f x x +=+，则称12,x x 为函数()f x 的一对“线性对称点”．若实数a 与b 和+a b 与c 为函数()3x f x =的两对“线性对称点”，则c 的最大值为（）A ．3log 4B ．3log 41+C ．43D ．3log 41-12．如图，在三棱锥D ABC -中，DC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，2AC BC CD ===，E ，F ，G 分别是棱AB ，AC ，AD 的中点，则异面直线BG 与EF 所成角的余弦值为A ．0B ．63C ．33D ．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2025届上师大附中高三数学上学期10月考试卷一附答案解析

2025届上师大附中高三10月月考数学试卷一一、填空题（1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.函数()f x =的定义域为__．【答案】(0,1]．【解析】【分析】由函数有意义需要的条件，求解函数定义域【详解】函数的意义，有0110x x≠⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得01x <≤，即函数()f x =定义域为(0,1]．故答案为：(0,1]2. 已知0a >=________.【答案】34a 【解析】【分析】根式形式化为分数指数幂形式再由指数运算化简即可.1113322224a a a a ⎛⎫⎛⎫=⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：34a .3. 已知幂函数()f x 的图象经过点13,9⎛⎫ ⎪⎝⎭，求(3)f -=_________．【答案】19【解析】【分析】设幂函数为(),R f x x αα=∈，根据题意求得2α=-，得到2()f x x -=，代入即可求解.【详解】设幂函数为(),R f x x αα=∈，因为幂函数()f x 的图象经过点13,9⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得139α=，解得2α=-，即2()f x x -=，所以21(3)(3)9f --=-=.故答案为：19.4. 若1sin 3α=，则cos(2)πα-=____.【答案】79-【解析】【分析】原式利用诱导公式化简后，再利用二倍角的余弦函数公式变形，将sin α的值代入计算即可求出值．【详解】因为1sin 3α=，所以()2227cos(2)cos 212sin12sin 199παααα-=-=--=-+=-+=-．故答案为： 79-5. 已知集合{|3sin ,}M y y x x =∈=R ，{|||}N x x a =<，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是___________.【答案】(3,)+∞【解析】【分析】先求出集合M ，N ，再由M N ⊆可求出实数a 的取值范围【详解】解：由题意得{}{|3sin ,}33M y y x x y y ===-≤∈≤R ，{}{|||}N x x a x a x a =<=-<<，因为M N ⊆，所以3a >，故答案为：(3,)+∞6. 设a ，b ∈R ．已知关于x 的不等式250ax x b -+>的解集为21,34⎛⎫-⎪⎝⎭，则不等式250ax x b ++<的解集为__________．【答案】12,,43⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】先由不等式250ax x b -+>的解集为21,34⎛⎫- ⎪⎝⎭求出实数a ，b 的值，再求不等式250ax x b ++<的解集.【详解】∵不等式250ax x b -+>的解集为21,34⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴方程250ax x b -+=的两根分别为123x =-，214x =，且0a <∴由韦达定理可知，1212215342134x x a b x x a ⎧+=-+=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=-⨯= ⎪⎪⎝⎭⎩解得122a b =-⎧⎨=⎩，∴将a ，b 代入不等式250ax x b ++<得212520x x -++<，即212520x x -->()()32410x x ⇔-+>∴不等式250ax x b ++<的解集为12,,43⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：12,,43⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.7. 已知锐角α的顶点为原点，始边为x 轴的正半轴，将α的终边绕原点逆时针旋转π6后交单位圆于点1,3P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则sin α的值为________．【解析】【分析】先求得ππcos ,sin 66αα⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后利用三角恒等变换的知识求得sin α【详解】由于1,3P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭在单位圆上，所以222181,39y y ⎛⎫-+== ⎪⎝⎭，由于α是锐角，所以289y y =⇒=13P ⎛- ⎝，所以π1πcos ,sin 636αα⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以ππππππsin sin sin cos cos sin 666666αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1132=⨯=.8. 已知()()()()1f x x x a x b =+++.若()y f x =为奇函数，则()0f '=__________.【答案】1-【解析】【分析】根据题意，求得()3f x x x =-，得到()231f x x ='-，即可求解.【详解】由函数()()()()321(1)()f x x x a x b x a b x a b ab x ab =+++=+++++++，可得()32(1)()f x x a b x a b ab x ab -=-+++-+++因为函数()f x 为R 上的奇函数，可得()()f x f x -=-，即3232(1)()(1)()x a b x a b ab x ab x a b x a b ab x ab -+++-+++=--++-++-，所以100a b ab ++=⎧⎨=⎩，解得01a b =⎧⎨=-⎩或10=-⎧⎨=⎩a b ，所以()3f x x x =-，可得()231f x x ='-，所以()01f '=-.故答案为：1-.9. 如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN ，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB ，高约为37m ，在地面上点C 处（,,B C N 三点共线）测得建筑物顶部A ，鹳雀楼顶部M 的仰角分别为30o 和45 ，在A 处测得楼顶部M 的仰角为15 ，则鹳雀楼的高度约为___________m .【答案】74【解析】【分析】根据题意在Rt △ABC 中求出AC ，在△MCA 中利用正弦定理求出MC ，然后在Rt △MNC 中可求得结果.【详解】在Rt △ABC 中，274AC AB ==，在△MCA 中，105MCA ︒∠=，45MAC ︒∠=，则18030AMC MCA MAC ︒︒∠=-∠-∠=，由正弦定理得sin sin MC AC MAC AMC=∠∠，即74sin 45sin 30MC ︒︒=，解得MC =，在Rt △MNC中，74m MN ==.故答案：7410. 对于函数()f x 和()g x ，设(){}|0x f x α∈=，(){}|0x g x β∈=，若存在α，β，使得1αβ-<，则称()f x 与()g x 互为“零点相邻函数”.若函数()1e 2x f x x -=+-与()21g x x ax =-+互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围是______.【答案】[2,)+∞【解析】【分析】由题知函数()f x 有唯一零点1，进而得210x ax -+=在(0,2)上有解，再根据二次函数零点分布求解即可.【详解】因为1()e 2-=+-x f x x ，所以()f x 在R 上为增函数，又0(1)e 120f =+-=，所以()f x 有唯一零点为1，令()g x 的零点为0x ，依题意知0||11x -<，即002x <<，即函数()g x 在(0,2)上有零点，令()0g x =，则210x ax -+=(0,2)上有解，即1x a x +=在(0,2)上有解，因为12x x +≥=，当且仅当1x x =，即1x =时，取等号，所以2a ≥，故答案为：[2,)+∞.为为在11. 若函数()y f x =的图像上存在不同的两点M (x 1,y 1)和N (x 2,y 2)，满足1212x x y y +≥()y f x =具有性质P ，给出下列函数：①()sin f x x =；②()x f x e =；③1(),(0,)f x x x x=+∈+∞；④()||1f x x =+．其中其有性质p 的函数为________（填上所有正确序号）．【答案】①②【解析】【分析】利用数量积性质得出过点O 的直线与函数图像存在至少两个不同的交点，结合函数图象可得．【详解】1212||||cos ,,|||OM ON x x y y OM ON OM ON OM ON ⋅=+=〈〉==所以1212cos ,1x x y y OM ON +≥⇔〈〉≥ ，即cos ,1OM ON 〈〉=± ．即O ，M ，N 三点共线，即过点O 的直线与函数图像存在至少两个不同的交点，由图可知，①②符合．故答案为：①②12. 已知函数()ln 1f x b x =--，若关于x 的方程()0f x =在2e,e ⎡⎤⎣⎦上有解，则22a b +的最小值为______．【答案】29e 【解析】【分析】设函数()f x 在2e,e ⎡⎤⎣⎦上的零点为m ，则由ln 10b m +--=，则(),P a b 在直线:ln 10l x y m +--=上，则22a b +可看作是O 到直线l 的距离的平方，利用导数求出其最小值即可得到答案【详解】解：设函数()f x 在2e,e ⎡⎤⎣⎦上的零点为m ，则ln 10b m --=，所以点(),P a b 在直线ln 10l x y m +--=上，设O 为坐标原点，则222||a b OP +=，其最小值就是O 到直线l 的距离的平方，，2e,eméùÎêúëû，设t⎤=⎦，设()2ln1tg tt+=，则()()212lntg t tt-⎤'=≤∈⎦，所以()g t在⎤⎦上单调递减，所以()()min3eeg t g==，3e≥即2229ea b+≥，所以22a b+的最小值为29e，故答案为：29e二、选择题（13-14每题4分，15-16每题5分，共18分）13. 已知a b∈R，且0ab≠，则“22a b>”是“11a b<”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】结合指数函数单调性，根据充分必要条件的定义分别进行判断即可．【详解】22a b a b>⇔>Q，当0a b>>时，11a b<不成立，当11a b<<时，a b>不成立.所以a b>是11a b<的既不充分也不必要条件，即22a b>是11a b<的既不充分也不必要条件.故选：D.14. 设函数()sinf x x=，若对于任意5π2π,63α⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，在区间[0,]m上总存在唯一确定的β，使得()()0f fαβ+=，则m的值可能是（）A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】B【解析】的【分析】由等量关系找α与β的关系，由α的范围求出sin β的范围，从而得出m 的值.【详解】∵()()0f f αβ+=，∴sin sin 0αβ+=，即()sin sin sin βαα=-=-，∵5π2π,63α⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，即2π5π,36α⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，∴()1sin sin 2βα⎡=-∈⎢⎣，又∵[]0,m β∈，∴π3m =故选：B15. 已知在ABC V 中，0P 是边AB 上一定点，满足023P B AB = ，且对于边AB 上任意一点P ，都有00PB PC P B P C ⋅≥⋅ ，则ABC V 是（）A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 无法确定【答案】A【解析】【分析】取BC 的中点D ，DC 的中点E ，连接0P D ，AE ，根据向量的线性运算计算向量00,P B P C 并计算00P B P C ⋅ ，同理计算PB PC ⋅ ，根据不等关系可得出对于边AB 上任意一点P 都有0PD P D ≥ ，从而确定0P D AB ⊥，从而得到结果.【详解】取BC 的中点D ，DC 的中点E ，连接0P D ，AE （如图所示），则()()0000P B P C P D DB P D DC ⋅=+⋅+ ()()22000P D DB P D DB P D DB =+⋅-=- ，同理22PB PC PD DB ⋅=- ，因为00PB PC P B P C ⋅≥⋅ ，所以22220PD DB P D DB -≥- ，即220PD P D ≥ ，所以对于边AB 上任意一点P 都有0PD P D ≥ ，因此0P D AB ⊥，又023P B AB = ，D 为BC 中点，E 为DC 中点，所以023P B BD AB BE ==，所以0//P D AE ，即90BAE ∠=︒，所以90BAC ∠>︒，即ABC V 为钝角三角形.故选：A ．16. 设函数,()2,2x x P f x x x M x∈⎧⎪=⎨+∈⎪⎩其中,P M 是实数集R 的两个非空子集，又规定(){(),},(){(),}A P y y f x x P A M y y f x x M ==∈==∈∣∣，有下列命题：①对任意满足P M ⋃=R 的集合P 和M ，都有()()A P A M ⋃=R ；②对任意满足P M ⋃≠R 的集合P 和M ，都有()()A P A M ⋃≠R ，则对于两个命题真假判断正确的是（）A. ①和②都是真命题B. ①和②都是假命题C. ①是真命题，②是假命题D. ①是假命题，②是真命题【答案】B【解析】【分析】根据集合的新定义对两个命题进行分析，从而确定正确答案.【详解】对于①可举反例，(,0],(0,)P M =-∞=+∞此时()()()()(),0,2,,A P A M A P A M ∞∞⎤⎡=-=+⋃≠⎦⎣R ，故①是假命题；对于②，可举反例(,4],(4)P M =-∞=++∞，此时()(,4],()(4,),()()R A P A M A P A M =-∞=+∞= ，故②是假命题；故选：B【点睛】解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.三、解答题（共5题，满分78分）17. 已知向量3sin ,,(cos ,1)4a x b x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ ．（1）当a b∥时，求tan 2x 的值；（2）设函数()2()f x a b b =+⋅ ，且π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求()f x 的值域．【答案】（1）247- （2）1322⎛⎤+ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据向量平行列出等式，计算tan x 的值，二倍角公式即可计算tan 2x ；（2）计算()f x ，并用辅助角公式化简，根据角的范围可求出值域.【小问1详解】因为a b∥，所以3sin cos 4x x -=，因为cos 0x ≠，所以3tan 4x =-，所以22tan 24tan 21tan 7x x x ==--．【小问2详解】213π3()2()2sin cos 2cos sin 2cos 222242f x a b b x x x x x x ⎛⎫=+⋅=++=++=++ ⎪⎝⎭ ，因为π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ5π2,444x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以πsin 24x ⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，所以()f x的值域为1322⎛⎤ ⎥⎝⎦．18. 已知函数()22x x a f x =+其中a 为实常数.（1）若()07f =,解关于x 的方程()5f x =;（2）判断函数()f x 的奇偶性,并说明理由.【答案】（1）1x =或2log 3（2）答案见解析【解析】【分析】（1）因为()22x x a f x =+,()07f =,可得6a =,故6()22x x f x =+,因为()5f x =,即6252x x+=,通过换元法,即可求得答案;（2）因为函数定义域为R ,分别讨论()f x 为奇函数和()f x 为偶函数,即可求得答案.【详解】（1） ()22x xa f x =+,∴()07f =,即17a +=解得:6a =可得:6()22x xf x =+ ()5f x =∴6252x x+=令2x t =(0t >)∴65t t+=,即:2560t t -+=解得:12t =或23t =即:122x =,223x =∴11x =或22log 3x =.（2）函数定义域为R ,①当()f x 为奇函数时,根据奇函数性质()()f x f x -=-可得2222x x x x a a --⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭恒成立即1(1)202x x a ⎛⎫+⋅+= ⎪⎝⎭恒成立,∴1a =-.②当()f x 为偶函数时,根据偶函数性质()()f x f x -=可得2222x x x x a a --+=+恒成立即1(1)202x x a ⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭恒成立,∴1a =.③当1a ≠±时,函数为非奇非偶函数.【点睛】本题主要考查了解指数方程和根据奇偶性求参数,解题关键是掌握指数方程的解法和奇偶函数的定义,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.19. 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y （万元）随投资收益x （万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%.（1）若建立函数()f x 模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数()f x 模型的基本要求；（2）现有两个奖励函数模型：①()2150x f x =+；②()ln 2f x x =-；问这两个函数模型是否符合公司要求，并说明理由？【答案】（1）答案见解析（2）()2150x f x =+不符合公司要求，()ln 2f x x =-符合公司要求，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意，用数学语言依次写出函数()f x 的要求即可；（2）判断两个函数模型的单调性，并判断()9f x ≤，()5x f x ≤是否成立得解.【小问1详解】设奖励函数模型为()y f x =，则公司对奖励函数模型基本要求是：当[]10,1000x ∈时，()f x 是严格增函数，()9f x ≤恒成立，()5x f x ≤恒成立.【小问2详解】①对于函数模型()2150x f x =+，易知当[]10,1000x ∈时，()f x 为增函数，且()()max 26100093f x f ==<，所以()9f x ≤恒成立，但是()101005f ->，不满足()5x f x ≤恒成立，所以()2150x f x =+不符合公司要求；②对于函数模型()ln 2f x x =-，的当[]10,1000x ∈时，()10f x x'=>，所以()f x 为增函数，且()max f x f =()100023ln109=-+<，所以()9f x ≤恒成立，令()()ln 255x x g x f x x =-=--，则()1105g x x '=-<，所以()()10ln1040g x g =-<≤，所以()5x f x ≤恒成立，所以()ln 2f x x =-符合公司要求.20. 已知函数()y f x =的定义域为区间D ，若对于给定的非零实数m ，存在0x ，使得()()00f f x x m =+，则称函数()y f x =在区间D 上具有性质()P m .（1）判断函数()2f x x =在区间[]1,1-上是否具有性质12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，并说明理由；（2）若函数()sin f x x =在区间()()0,0>n n 上具有性质4P π⎛⎫⎪⎝⎭，求n 的取值范围；（3）已知函数()y f x =的图像是连续不断的曲线，且()()02f f =，求证：函数()y f x =在区间[]0,2上具有性质13P ⎛⎫ ⎪⎝⎭.【答案】（1）具有性质12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，理由见解析（2）5,8π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由题可得220012x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则014x =-，结合条件即得；（2）由00sin sin 4x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，解得038x k ππ=+，()()050,N 48x k n k πππ+=+∈∈，可得58n π>，即得；（3）设()()13g x f x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，50,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得()()()1150200333k g g g g f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当()0g 、13g ⎛⎫ ⎪⎝⎭、⋅⋅⋅、13k g -⎛⎫ ⎪⎝⎭、⋅⋅⋅、53g ⎛⎫ ⎪⎝⎭中有一个为0时，可得111333i i f f --⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，{}1,2,3,,6i ∈⋅⋅⋅，即证；当()0g 、13g ⎛⎫ ⎪⎝⎭、⋅⋅⋅、13n g -⎛⎫ ⎪⎝⎭、⋅⋅⋅、53g ⎛⎫ ⎪⎝⎭中均不为0时，由于其和为0，则其中必存在正数和负数，不妨设103i g -⎛⎫> ⎪⎝⎭，103j g -⎛⎫< ⎪⎝⎭，结合条件可知，存在0x ，()()000103g x f x f x ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，即证.【小问1详解】函数()2f x x =在[]1,1-上具有性质12P ⎛⎫⎪⎝⎭.若220012x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则014x =-，因为[]11,14-∈-，且[]1111,1424-+=∈-，所以函数()2f x x =在[]1,1-上具有性质12P ⎛⎫⎪⎝⎭.【小问2详解】解法1：由题意，存在()00,x n ∈，使得00sin sin 4x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得0024x x k ππ+=+（舍）或0024x k x πππ+=+-()k ∈Z ，则得038x k ππ=+.因为0308x k ππ=+>，所以k ∈N .又因为()030,8x k n ππ=+∈且()()050,48x k n k πππ+=+∈∈N ，所以58n π>，即所求n 的取值范围是5,8π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.解法2：当02n π<≤时，函数()sin f x x =，()0,x n ∈是增函数，所以不符合题意；当2n π>时，因为直线2x π=是函数()sin f x x =的一条对称轴，而函数()sin f x x =在区间()()0,0>n n 上具有性质4P π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以224n ππ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，解得58n π>，即所求n 的取值范围是5,8π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【小问3详解】设()()13g x f x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，50,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.则有()()1003g f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，112333g f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()22133g f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，⋅⋅⋅，11333k k k g f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，⋅⋅⋅，()55233g f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭{}()1,2,3,,6k ∈⋅⋅⋅.以上各式相加得()()()115020333k g g g g f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即()11500333k g g g g -⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（ⅰ）当()0g 、13g ⎛⎫ ⎪⎝⎭、⋅⋅⋅、13k g -⎛⎫ ⎪⎝⎭、⋅⋅⋅、53g ⎛⎫ ⎪⎝⎭中有一个为0时，不妨设103i g -⎛⎫= ⎪⎝⎭，{}1,2,3,,6i ∈⋅⋅⋅，即110333i i i g f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即111333i i f f --⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，{}1,2,3,,6i ∈⋅⋅⋅，所以函数()y f x =在区间[]0,2上具有性质13P ⎛⎫⎪⎝⎭.（ⅱ）当()0g 、13g ⎛⎫ ⎪⎝⎭、⋅⋅⋅、13n g -⎛⎫ ⎪⎝⎭、⋅⋅⋅、53g ⎛⎫ ⎪⎝⎭中均不为0时，由于其和为0，则其中必存在正数和负数，不妨设103i g -⎛⎫>⎪⎝⎭，103j g -⎛⎫< ⎪⎝⎭，其中i j ≠，{}1,2,3,,6i j ∈⋅⋅⋅、.由于函数()y g x =的图像是连续不断的曲线，所以当i j <时，至少存在一个实数011,33i j x --⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（当i j >时，至少存在一个实数011,33j i x --⎛⎫∈ ⎪⎝⎭），其中{}1,2,3,,6i j ∈⋅⋅⋅、，使得()00g x =，即()()000103g x f x f x ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，即存在0x ，使得()0013f x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以函数()y f x =在区间[]0,2上也具有性质13P ⎛⎫⎪⎝⎭.综上，函数()y f x =在区间[]0,2上具有性质13P ⎛⎫⎪⎝⎭.21. 已知函数()e (,1),()(,)k x f x x k k g x cx m c m =∈≥=+∈N R ，其中e 是自然对数的底数．（1）当1k =时，若曲线()y f x =在1x =处的切线恰好是直线()y g x =，求c 和m 的值；（2）当1k =，e m =-时，关于x 的方程()()f x g x =有正实数根，求c 的取值范围：（3）当2,1k m ==-时，关于x 的不等式2()e ()f x ax bx g x -≥+≥对于任意[1,)x ∈+∞恒成立（其中,a b ∈R ），当c 取得最大值时，求a 的最小值．【答案】（1）2e,e c m ==-（2）[2e,)+∞（3）1【解析】【分析】（1）利用导数求得()f x 在1x =处的切线方程，通过对比系数求得,c m .（2）由()()f x g x =分离c ，利用构造函数法，结合导数来求得c 的取值范围.（3）由恒成立的不等式得到e 1e xc x x-≤-恒成立，利用构造函数法，结合导数来求得c 的最大值，进而求得a 的最小值，并利用构造函数法，结合导数来判断a 的最小值符合题意.【小问1详解】当1k =时，()e x f x x =，所以()(1)e x f x x '=+，由(1)e,(1)2e f f '==，得曲线()y f x =在1x =处的切线方程为e 2e(1)y x -=-，即2e e y x =-，由题意，2e,e c m ==-．【小问2详解】当1k =，e m =-时，()e ,()e x f x x g x cx ==-，由题意，方程e e x x cx =-在(0,)+∞上有解，即e e x c x =+在(0,)+∞上有解，令e ()e (0)x h x x x =+>，则2e e ()x h x x'=-，由()0h x '=得1x =，()h x '在()0,∞+上严格递增，所以：当(0,1)x ∈时，()0h x '<，所以()h x 严格递减，当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，所以()h x 严格递增，所以min ()(1)2e h x h ==，又x →+∞时，()h x →+∞，所以()h x 的值域为[2e,)+∞，所以c 的取值范围为[2e,)+∞．【小问3详解】当2,1k m ==-时，2()e ,()1x f x x g x cx ==-，由题意，对于任意2[1,),()e ()x f x ax bx g x ∈+∞-≥+≥恒成立，即：22e e 1x x ax bx cx -≥+≥-（*）恒成立，那么，2e 1x x cx ≥-恒成立，所以e 1e xc x x-≤-恒成立，令e 1()e (1)x x x x x ϕ-=-≥，则2e 1()(1)e 0x x x x ϕ-'=++>在[1,)+∞上恒成立，所以()ϕx 在[1,)+∞上严格递增，所以min ()(1)1x ϕϕ==，从而1c ≤，即c 的最大值为1，1c =时，取1x =代入（*）式，得00a b ≥+≥，所以=-b a ，所以21ax ax x -≥-在[1,)+∞上恒成立，得1a ≥，即a 的最小值为1，当1a =时，记()222()()e e e (1)x F x f x x x x x x x =---=--+≥，则()2()2e 21x F x x x x '=+-+，设()()()()222e 21,42e 2x x x x x u u x x x x '+-+=++-=，因为()u x '在[1,)+∞上严格递增，所以()()17e 20u x u ''≥=->，所以()F x '在[1,)+∞上严格递增，所以()(1)3e 10F x F ''≥=->，所以()F x 在[1,)+∞上严格递增，所以()(1)0F x F ≥=，从而对于任意2[1,),()e ()x f x ax bx g x ∈+∞-≥+≥恒成立，综上，a 的最小值为1．【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理，。

2015届高三模拟考试试卷-南师三模数学.

2015届高三模拟考试试卷数学(满分160分，考试时间120分钟)2015．5 参考公式：棱锥的体积公式V 棱锥＝13Sh ，其中为S 棱锥的底面积，h 为棱锥的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 若A ＝{a}，B ＝{0，a 2}，A B ，则A ＝________．2. 设复数z ＝1＋i ，若1，1z对应的向量分别为OA →和OB →，则|AB →|的值为________．3. P 是平面直角坐标系中的点，其横坐标与纵坐标都是集合A ＝{－1，0，1，2}中的元素，则此点正好落在抛物线y ＝x 2－1上的概率为________．4. 下图是某个容量为100的样本的频率分布直方图，则在区间[4，5)上的数据的频数为________．(第4题)(第5题)5. 上图是一个算法的流程图，则输出的n ＝________．6. 一块边长为10 cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P 为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器．当x ＝6 cm 时，该容器的容积为________cm 3.7. 若双曲线x 2－my 2＝1的焦点到渐近线的距离为2，则实数m 的值是________．8. 不等式1x≤2的解集是________．9. 已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为________．(第10题)10. 已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ＜2π)的部分图象如图所示，则f(π)＝________．11. 设f(x)是定义在R 上的奇函数，且y ＝f(x)的图象关于直线x ＝12对称，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝________．12. 已知正三角形ABC 的边长为23，圆O 是该三角形的内切圆，P 是圆O 上的任意一点，则PA →·PB →的最大值为________．13. 非空集合G 关于运算满足：(1) 对任意a 、b∈G，都有a ＋b∈G；(2) 存在e∈G，使得对一切a∈G，都有a e ＝ea ＝a ，则称G 关于运算为“融洽集”．现给出下列集合和运算：① G ＝{非负整数}，为整数的加法； ② G ＝{平面向量}，为平面向量的加法； ③ G ＝{二次三项式}，为多项式的加法；④ G ＝{虚数}，为复数的乘法．其中G 关于运算为“融洽集”的是________．(写出所有“融洽集”的序号)14. 设曲线y ＝(ax －1)e x在点A(x 0，y 1)处的切线为l 1，曲线y ＝1－x ex 在点B(x 0，y 2)处的切线为l 2.若存在x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围是________．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在四边形ABEF 中，AF ⊥BF ，O 为AB 的中点，矩形ABCD 所在的平面和平面ABEF 互相垂直．(1) 求证：AF⊥平面CBF ；(2) 设FC 的中点为M ，求证：OM∥平面DAF.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知3cos2C －10cos(A ＋B)－1＝0. (1) 求cosC 的值；(2) 若c ＝1，cosA ＋cosB ＝233，求边a 的值．17. (本小题满分14分) 某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地年产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金y(单位：万元)随年产值x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不低于7万元，同时奖金不超过年产值的15%.(1) 若某企业年产值100万元，核定可得9万元奖金，试分析函数y ＝lgx ＋kx ＋5(k 为常数)是否为符合政府要求的奖励函数模型，并说明原因(已知lg2≈0.3，lg5≈0.7)；(2) 若采用函数f(x)＝15x －ax ＋8作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a 的值．已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为e.直线l ：y ＝ex ＋a 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设AM →＝λAB →.(1) 证明：λ＝1－e 2；(2) 若λ＝34，△MF 1F 2的周长为6，写出椭圆C 的方程；(3) 确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形．设函数f(x)＝(x－1)e x－ax2，其中a∈R.(1) 当a＝0时，求函数f(x)的单调区间；(2) 求函数f(x)的极值；(3) 当a∈(0，1]时，若函数f(x)在[0，a]上的最大值为M(a)，求M(a)．已知无穷数列{a n}满足a n＋1＝a·a n＋ba n，且a1＝5.(1) 若ab＝0，求数列{a n}的前n项和S n；(2) 若a＝b＝1，是否存在整数a，使得0<a1 001－a<0.1成立？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．2015届高三模拟考试试卷数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲) 如图，∠PAQ 是直角，圆O 与AP 相切于点T ，与AQ 相交于两点B ，C.求证：BT 平分∠OBA.B. (选修42：矩阵与变换)变换T 1是逆时针旋转π2角的旋转变换，对应的变换矩阵是M 1；变换T 2对应的变换矩阵是M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101.(1) 求点P(2，1)在T 1作用下的点P′的坐标；(2) 求曲线y ＝x 2依次在T 1，T 2变换的作用下所得曲线的方程．C. (选修44：坐标系与参数方程)极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos α，y ＝tsin α(t 为参数)．(1) 当α＝π4时，求曲线C 1与C 2公共点的直角坐标；(2) 若α≠π2，当α变化时，设曲线C 1与C 2的公共点为A ，B ，试求AB 中点M 轨迹的极坐标方程，并指出它表示什么曲线．D. (选修45：不等式选讲)已知x，y均为正数，且x>y，求证：2x＋1x2－2xy＋y2≥2y＋3.【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1.(1) 求直线DF与平面ACEF所成角的正弦值；(2) M为AB的中点，试在线段EF上找一点P，使平面PCD与平面PCM相互垂直．23. 设数列{a n}，定义如下：a n表示小于等于n的正整数中完全平方数的个数，即当k2≤n≤k2＋2k(k∈N*)时，a n＝k，记S n＝a1＋a2＋…＋a n(n∈N*)．(1) 分别求a88，S88的值；(2) 是否存在n使S n＝880？若存在，求出n；若不存在，说明理由．2015届高三模拟考试试卷数学参考答案及评分标准1. {1}2. 223. 3164. 30 解析：对于在区间[4，5)的频率/组距的数值为0.3，而总数为100，因此频数为30.5. 96. 487. 128. (－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞9. 3116 解析：显然q≠1，所以9（1－q 3）1－q ＝1－q 61－q 1＋q 3＝9q ＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公比为12的等比数列，前5项和T 5＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116.10. 2 解析：由图象知最小正周期T ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－π4＝2π3＝2πω，故ω＝3.又x ＝π4时，3·π4＋φ＝2k π(k∈Z )，可得φ＝5π4，所以f(π)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π＋5π4＝ 2. 11. 0 解析：f(－0)＝－f(0)得f(0)＝0，假设f(n)＝0，因为点(－n ，0)和点(n ＋1，0)关于x ＝12对称，所以f(n ＋1)＝f(－n)＝－f(n)＝0，因此，对一切正整数n 都有f(n)＝0，从而f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0.12. 6＋ 5 13. ①② 14. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32 15. 证明：(1) 因为平面ABCD⊥平面ABEF ，CB ⊥AB ，平面ABCD∩平面ABEF ＝AB ，所以CB⊥平面ABEF.(2分)又AF平面ABEF ，则AF⊥CB，(4分)又AF⊥BF，且BF∩BC＝B ，BF ，BC平面CBF ，所以AF⊥平面CBF.(7分)(2) 设DF 的中点为N ，则MN 綊12CD.又AO 綊12CD ，则MN 綊AO ，所以四边形MNAO 为平行四边形，所以OM∥AN.(12分)又AN 平面DAF ，OM 平面DAF ，所以OM∥平面DAF.(14分)16. 解：(1) 由3cos2C －10cos(A ＋B)－1＝0，得3cos 2C ＋5cosC －2＝0，(3分)即(cosC ＋2)(3cosC －1)＝0，解得cosC ＝13或cosC ＝－2(舍去)．(6分)(2) 由cosC ＝13得sinC ＝223，则cosB ＝－cos(A ＋C)＝－13cosA ＋223sinA ，(9分)代入cosA ＋cosB ＝233，得cosA ＋2sinA ＝3，从而得sin(A ＋φ)＝1，其中sin φ＝33，cos φ＝63，0<φ<π2. 则A ＋φ＝π2，于是sinA ＝63.(12分)由正弦定理得a ＝csinA sinC ＝32.(14分)17. 解：(1) 对于函数模型f(x)＝lgx ＋kx ＋5(k 为常数)，x ＝100时，y ＝9，代入解得k ＝150，(3分) 所以f(x)＝lgx ＋150x ＋5.当x∈[50，500]时，f(x)是增函数，但x ＝50时，f(50)＝8－lg2>7.5，即f (x)≤320x不恒成立，故该函数模型不符合要求．(6分)(2) 对于函数模型f(x)＝15x －a x ＋8，即f(x)＝15－120＋ax ＋8，a 为正整数，函数在[50，500]上递增；f(x)min ＝f(50)>7，解得a<344；(9分)要使f(x)≤3x20对x∈[50，500]恒成立，即15x －a x ＋8≤3x 20，3x 2－276x ＋20a≥0恒成立，(11分) 所以a≥315.综上所述，315≤a<344，所以满足条件的最小的正整数a 的值为315.(14分)18. (1) 证明：(证法1)因为A 、B 分别是直线l ：y ＝ex ＋a 与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫－a e ，0，(0，a)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ex ＋a ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－c ，y ＝b 2a.这里c ＝a 2＋b 2，所以点M 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a .(2分)由AM →＝λAB →得⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ＋a e ，b 2a ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫a e ，a . 即⎩⎪⎨⎪⎧a e －c ＝λa e ，b2a＝λa，解得λ＝1－e 2.(4分)(证法2)因为A 、B 分别是直线l ：y ＝ex ＋a 与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫－a e ，0，(0，a)．设M 的坐标是(x 0，y 0)．由AM →＝λAB →，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋a e ，y 0＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫a e ，a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝a e （λ－1），y 0＝λa.(2分)因为点M 在椭圆上，所以x 20a 2＋y 2b2＝1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a e （λ－1）2a2＋（λa）2b 2＝1，所以（1－λ）2e2＋λ21－e2＝1. e 4－2(1－λ)e 2＋(1－λ)2＝0，解得e 2＝1－λ，即λ＝1－e 2.(4分)(2) 解：当λ＝34时，c ＝12，所以a ＝2c.(6分)由△MF 1F 2的周长为6，得2a ＋2c ＝6.(8分)所以a ＝2，c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3.椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(10分)(3) 解：(解法1)因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2＝90°＋∠BAF 1为钝角，要使△MF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|＝|F 1F 2|，即12|PF 1|＝c.(12分)设点F 1到l 的距离为d ，由12|PF 1|＝d ＝|e （－c ）＋0＋a|1＋e 2＝|a －ec|1＋e2＝c ，(14分) 得1－e21＋e2＝e.所以e 2＝13，于是λ＝1－e 2＝23. 即当λ＝23时，△PF 1F 2为等腰三角形．(16分)(解法2)因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2＝90°＋∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|＝|F 1F 2|.设点P 的坐标是(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－0x 0＋c ＝－1e ，y 0＋02＝e x 0－c 2＋a.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝e 2－3e 2＋1c ，y 0＝2（1－e 2）ae 2＋1.(10分) 由|PF 1|＝|F 1F 2|得⎣⎢⎡⎦⎥⎤（e 2－3）c e 2＋1＋c 2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（1－e 2）a e 2＋12＝4c 2，两边同时除以4a 2，化简得（e 2－1）2e 2＋1＝e 2.从而e 2＝13.(14分) 于是λ＝1－e 2＝23.即当λ＝23时，△PF 1F 2为等腰三角形．(16分)19. 解：(1) 当a ＝0时，f(x)＝(x －1)e x ，f ′(x)＝xe x，(2分) x ∈(－∞，0)时，f ′(x)<0，函数单调递减；x ∈(0，＋∞)时，f ′(x)>0，函数单调递增．(4分)(2) f′(x)＝x(e x－2a)，① a ≤0时，因为e x－2a>0，x ∈(－∞，0)时，f ′(x)<0，函数单调递减；x∈(0，＋∞)时，f ′(x)>0，函数单调递增．x ＝0时，函数f(x)取极小值f(0)＝－1.(6分)② a>0时，令f′(x)＝x(e x－2a)＝0，解出x 1＝0或x 2＝ln(2a)．若ln(2a)＝0，即a ＝12，f(x)＝x(e x－1)≥0，x ∈R ，函数f(x)单调递增，没有极值；若ln(2a)>0，即a>12，x ∈(－∞，0)和x∈(ln(2a)，＋∞)时，f ′(x)>0，函数单调递增；x∈(0，ln(2a))时，f ′(x)<0，函数单调递减；函数f(x)的极大值是f(0)＝－1，极小值是f(ln(2a))＝2a(ln(2a)－1)－a(ln(2a))2；若ln(2a)<0，即0<a<12，x ∈(－∞，ln(2a))和x∈(0，＋∞)时，f ′(x)>0，函数单调递增；x∈(ln(2a)，0)时，f ′(x)<0，函数单调递减；函数f(x)的极大值是f(ln(2a))＝2a(ln(2a)－1)－a(ln(2a))2，极小值是f(0)＝－1.综上，当a≤0时，f(x)有极小值－1，无极大值；当a>12时，f(x)有极大值－1，极小值2a(ln(2a)－1)－a(ln(2a))2；当0<a<12时，f(x)有极大值2a(ln(2a)－1)－a(ln(2a))2，极小值－1；当a ＝12时，没有极值．(10分)(3) f′(x)＝x(e x －2a)，f ′(x)＝e x(x －2a)＝0，解出x 1＝0或x 2＝ln(2a)．① 若ln (2a)≤0，即0<a≤12时，x ∈[0，a]，f ′(x)≥0，函数在[0，a]上单调递增，M(a)＝f(a)＝(a －1)e a －a 3.② 若ln(2a)>0，即12<a ≤1，令g(a)＝ln(2a)－a ，g′(a)＝1－a a >0，所以g(a)在⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1上递增，所以g(a)≤g(1)＝ln2－1＝ln 2e<0，从而ln(2a)<a ，所以ln (2a)∈(0，a)，所以x∈(0，ln(2a))时，f ′(x)<0，当x∈(ln(2a)，＋∞)时，f ′(x)>0，M(a)＝max{f(a)，f(0)}＝{(a －1)e a －a 3，－1}．令h(a)＝(a －1)e a －a 3＋1，h ′(a)＝a(e a －3a)，令k(a)＝e a －3a ，则k′(a)＝e a－3<e －3<0，所以k(a)在⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1上递减，而k ⎝ ⎛⎭⎪⎫12k(1)＝⎝⎛⎭⎪⎫e －32(e －3)<0，所以存在唯一的零点x 0∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1使得k(x 0)＝0，且当a∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，x 0时，k(a)>0，则h′(a)>0；当a∈(x 0，1)时，k(a)<0，则h′(a)<0.所以h(a)在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，x 0上单调递增，在(x 0，1)上单调递减．h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12e ＋78>0，h(1)＝0，所以h(a)≥0在⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1上恒成立，当a ＝1时，等号成立．即f(a)≥f(0)．综上，M(a)＝f(a)＝(a －1)e a －a 3.(16分)20. 解：(1) 若a ＝0，b ≠0，a n ＋1＝b a n ，∴ a 1＝5，a 2＝b 5，a 3＝5，a 4＝b5，…所以当n 为奇数时，S n ＝5·n ＋12＋b 5·n －12＝25n ＋bn －b ＋2510；当n 为偶数时，S n ＝5·n 2＋b 5·n 2＝25n ＋bn10.(3分)若a≠0，b ＝0时，a n ＋1＝a·a n ，所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5（a n－1）a －1，a ≠0，a ≠15n ，a ＝1；(6分)若a ＝0，b ＝0时，a n ＋1＝0，不合题意．(2) n≥2时，∵ a n ＝a n －1＋1a n －1，∴ a 2n ＝a 2n －1＋1a 2n －1＋2.∴ a 22＝a 21＋1a 21＋2，a 23＝a 22＋1a 22＋2，…，a 21 001＝a 21 000＋1a 21 000＋2，∴ a 21 001＝a 21＋2 000＋1a 21＋1a 22＋…＋1a 21 000>2 025, ∴ a 1 001>45.(10分)下面证明a 1 001<45.1.∵ 45.12＝(45＋0.1)2＝2 025＋9＋0.01，只要证a21 001<2 034.∵ {a n}是单调递增数列，a2101＝a21＋200＋1a21＋1a22＋…＋1a2100>225，∴ a21 001＝2 025＋1a21＋1a22＋…＋1a2100＋1a2101＋…＋1a21 000<2 025＋100a21＋900a2101<2 025＋4＋4＝2033.∴ a1 001<45.1.综上所述，存在a＝45.(16分)2015届高三模拟考试试卷数学附加题参考答案及评分标准21. B. 解：(1) M 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－110，(2分) M 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，所以点P(2，1)在T 1作用下的点P′的坐标是P′(－1，2)．(5分) (2) M ＝M 2·M 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－110，(7分)设⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 是变换后图象上任一点，与之对应的变换前的点是⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，则M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，也就是⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝x ，x 0＝y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y ，y 0＝y －x ，所以，所求曲线的方程是y －x ＝y 2.(10分)C. 解：(1) 曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0.①当α＝π4时，曲线C 2的普通为y ＝x.②由①，②得曲线C 1与C 2公共点的直角坐标方程为(0，0)，(1，1)．(4分) (2) C 1是过极点的圆，C 2是过极点的直线．设M(ρ，θ)，不妨取A(0，θ)，B (2ρ，θ)，则2ρ＝2cos θ.(7分)故点M 轨迹的极坐标方程为ρ＝cos θ⎝⎛⎭⎪⎫θ≠π2. 它表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为圆心，以12为半径的圆，去掉点(0，0)．(10分) 22. 解：(1) 以C 为原点，CD ，CB ，CE 方向为轴建系， DF →＝(0，2，1)，平面ACEF 的法向量BD →＝(2，－2，0)，(2分)|cos 〈DF →，BD →〉|＝105，所以直线DF 与平面ACEF 所成角的正弦值为105.(5分)(2) 设P(t ，t ，1)(0≤t≤2)，平面PCD 的一个法向量为m ＝(0，1，－t)，平面PCM 的一个法向量为n ＝(－2，1，t)，(7分)∵ 平面PCD⊥平面PCM ，∴ m ·n ＝0，解得t ＝1，即P 为EF 的中点．(10分) 23. 解：(1) ∵ 81<88<100，故a 88＝9；(2分)S 88＝（4分）(2i ＋1)i ＝k （k ＋1）（4k ＋5）6，(7分)从而可得S 120＝S 102＋2·10＝∑i ＝110(2i ＋1)i ＝k （k ＋1）（4k ＋5）6＝10×11×456＝825，而880－82511＝5，故S 125＝S 120＋5a 121＝825＋5×11＝880.(10分)。