【新步步高】2017版高考数学(文江苏专用)大二轮总复习
【新步步高】2017版高考数学(文 全国甲卷)大二轮总复习与增分策略配套课件 第四篇 回归教材5
5. 立体几何
栏目索引
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要点回扣 易错警示
查缺补漏
2
3
要点回扣
1.几何体的三视图排列规则：俯视图放在正 (主)视图下面，侧(左)视图
放在正(主)视图右面，“长对正，高平齐，宽相等.”
由几何体的三视图确定几何体时，要注意以下几点：
(1)还原后的几何体一般为较熟悉的柱、锥、台、球的组合体.
面.( × )
(2)如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行.( × )
(3)如果直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，那么a∥b.( × )
(4)如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α.( √ )
答案
4.空间垂直问题的转化关系
线面垂直的判定 面面垂直的判定 线线垂直 线面垂直 面面垂直 线面垂直的定义 面面垂直的性质
(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂
直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球
内接长方体，则4R2＝a2＋b2＋c2求解.
[问题 5]
一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知 )
32π 这个球的体积是 3 ，那么这个三棱柱的体积是( A.96 3 C.24 3 B.16 3
√
B.② D.④
解析
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AM AN 6.如图，在空间四边形 ABCD 中，M∈AB，N∈AD，若MB＝ND，则直线
平行 MN 与平面 BDC 的位置关系是________.
【新步步高】2017版高考数学(文江苏专用)大二轮总复习与增分策略配套课件专题七概率与统计 第2讲统计初步
2.5×(0.16＋0.08＋0.04)×200＝140.
解析答案
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3.(2016· 上海)某次体检，6位同学的身高(单位：米)分别为 1.76 1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77，则这组数据的中位数是________( 米).
答案
考情考向分析
1.以填空题的形式考查随机抽样、样本的数字特征、统计图表等；
解析答案
(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率.
解 由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150.
由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7， 所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.
思维升华
解析答案
跟踪演练3
从某校高中男生中随机抽取100名学生，将他们的体重(单
2
思维升华
解析答案
跟踪演练2
(1)某学生在一门功课的22次考试中，所得分数茎叶图如图
118 所示，则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为______. 解析 22次考试中，所得分数最高
的为98，最低的为56，所以极差为
98－56＝42，将分数从小到大排列，
中间两数为76,76，所以中位数为76，
位： kg) 数据绘制成频率分布直方图 ( 如图 ). 若要从体重在 [60,70) ， [70,80) ，[80,90] 三组内的男生中，用分层抽样的方法选取 6 人组成一 个活动队，再从这6人中选2人当正、副队长，则这2人的体重不在同一 11 组 15 内的概率为________.
解析
答案
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高考押题精练
解析答案
(2)某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7， 现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样
【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.6 对数与对数函数 理.
【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.6 对数与对数函数 理1．对数的概念一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b＝N ，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，N 叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )；④log m n a M ＝n mlog a M (m ，n ∈R ，且m ≠0)． (2)对数的性质 ①log a Na＝__N __；②log a a N＝__N __(a >0且a ≠1)．(3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .3．对数函数的图象与性质a >1 0<a <1图象性质(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0(4)当x>1时，y>0当0<x<1时，y<0(5)当x>1时，y<0当0<x<1时，y>0(6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数4.指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数，它们的图象关于直线__y＝x__对称．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若MN>0，则log a(MN)＝log a M＋log a N.( ×)(2)log a x·log a y＝log a(x＋y)．( ×)(3)函数y＝log2x及13log＝3y x都是对数函数．( ×)(4)对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( ×)(5)函数y＝ln1＋x1－x与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．( √)(6)对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝⎛⎭⎪⎫1a，－1，函数图象只在第一、四象限．( √)1．(2015·湖南改编)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则有关f(x)的性质判断正确的是________．(填序号)①奇函数，且在(0,1)上是增函数；②奇函数，且在(0,1)上是减函数；③偶函数，且在(0,1)上是增函数；④偶函数，且在(0,1)上是减函数．答案①解析易知函数定义域为(－1，1)，f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数，又f(x)＝ln1＋x1－x＝ln⎝⎛⎭⎪⎫－1－2x－1，由复合函数单调性判断方法知，f(x)在(0,1)上是增函数．2．已知1213113log log232＝，＝，＝，a b c则a，b，c的大小关系为________．答案a>b>c解析131131,0log log2log log3023322＝＝＝1，＝＝－，a b c><<<故a>b>c.3．函数f(x)＝lg(|x|－1)的大致图象是________．(填图象序号)答案②解析由函数f(x)＝lg(|x|－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，值域为R.又当x>1时，函数单调递增，所以只有②正确．4．(2015·浙江)若a＝log43，则2a＋2－a＝________.答案4 33解析23loglog3log3log3222222244－－＋＝＋＝＋a a＝3＋33＝4 33.5．(教材改编)若log a34<1(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是________________．答案⎝⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞)解析当0<a<1时，log a34<log a a＝1，∴0<a<34；当a>1时，log a34<log a a＝1，∴a>1.∴实数a的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞).题型一对数式的运算例1 (1)设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝________.(2)lg 5＋lg 20的值是________． 答案 (1)10 (2)1解析 (1)∵2a ＝5b＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2. ∴m ＝10.(2)原式＝lg 100＝lg 10＝1.思维升华 在对数运算中，要熟练掌握对数的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量先化成同底的形式再进行运算．(1)计算：1－log 632＋log 62·log 618log 64＝________.(2)已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n＝________.答案 (1)1 (2)12 解析 (1)原式 ＝1－2log 63＋log 632＋log 663·log 66×3log 64＝1－2log 63＋log 632＋1－log 631＋log 63log 64＝1－2log 63＋log 632＋1－log 632log 64＝21－log 632log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.(2)∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a m＝2，a n＝3， ∴a2m ＋n＝(a m )2·a n ＝22×3＝12.题型二 对数函数的图象及应用例2 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是________．(填序号)(2)当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值范围是____________．答案 (1)③ (2)(22，1) 解析 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除①、②； 又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除④.故③正确． (2)构造函数f (x )＝4x和g (x )＝log a x ，当a >1时不满足条件，当0<a <1时，画出两个函数在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上的图象，可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 即2<log a 12，则a >22，所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1. 思维升华 应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．(1)已知lg a ＋lg b ＝0，则函数f (x )＝a x与函数g (x )＝－log b x 的图象可能是________．(2)设方程10x＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则________． ①x 1x 2<0 ②x 1x 2＝1 ③x 1x 2>1④0<x 1x 2<1答案 (1)② (2)④解析 (1)∵lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1，∵g (x )＝－log b x 的定义域是(0，＋∞)，故排除①. 若a >1，则0<b <1，此时f (x )＝a x是增函数，g (x )＝－log b x 是增函数，②符合，排除④.若0<a <1，则b >1，g (x )＝－log b x 是减函数，排除③，故填②. (2)构造函数y ＝10x与y ＝|lg(－x )|， 并作出它们的图象，如图所示．因为x 1，x 2是10x＝|lg(－x )|的两个根，则两个函数图象交点的横坐标分别为x 1，x 2，不妨设x 2<－1，－1<x 1<0，则0lg()111＝－－，x x 0lg()221＝－，x x 因此()00lg 21121－1＝，x x x x 因为000211－1，x x <所以lg(x 1x 2)<0，即0<x 1x 2<1，④正确． 题型三 对数函数的性质及应用 命题点1 比较对数值的大小例3 设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则a ，b ，c 的大小关系为__________． 答案 a >b >c解析 由对数运算法则得a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝1＋log 52，c ＝1＋log 72，由对数函数图象得log 32>log 52>log 72，所以a >b >c . 命题点2 解对数不等式例4 若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是__________． 答案 (12，1)解析 由题意得a >0，故必有a 2＋1>2a ， 又log a (a 2＋1)<log a 2a <0，所以0<a <1， 同时2a >1，所以a >12.综上，a ∈(12，1)．命题点3 和对数函数有关的复合函数 例5 已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由． 解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0,2]时，t (x )的最小值为3－2a ，当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立． ∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a ∈(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x )为减函数． ∵f (x )在区间[1,2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1,2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a 3－a＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1. 思维升华 在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件．(1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则a ，b ，c 的大小关系为____________．(2)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为__________． (3)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，12log ()0－，，x x <若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是__________．答案 (1)c >a >b (2)[1,2) (3)(－1,0)∪(1，＋∞) 解析 (1)∵3<2<3,1<2<5，3>2， ∴log 33<log 32<log 33，log 51<log 52<log 55，log 23>log 22， ∴12<a <1,0<b <12，c >1，∴c >a >b . (2)令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧g 1>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1,2)．(3)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，212log log a a >或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，12log ()log ()2－－，a a >解得a >1或－1<a <0.2．比较指数式、对数式的大小典例 (1)设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是__________． (2)设a ＝log 2π，12log ＝，b π c ＝π－2，则a ，b ，c 的大小关系为____________．(3)已知log 3.4log 3.6log 0.3155()5243＝，＝，＝，a b c 则a ，b ，c 大小关系为__________．思维点拨 (1)可根据幂函数y ＝x 0.5的单调性或比商法确定a ，b 的大小关系，然后利用中间值比较a ，c 大小．(2)a ，b 均为对数式，可化为同底，再利用中间变量和c 比较．(3)化为同底的指数式．解析 (1)根据幂函数y ＝x 0.5的单调性， 可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b <a <1；根据对数函数y ＝log 0.3x 的单调性，可得log 0.30.2>log 0.30.3＝1，即c >1. 所以b <a <c .(2)∵a ＝log 2π>log 22＝1，b ＝log 12π＝log 21π<log 21＝0,0<c ＝1π2<1，∴b <c <a .(3)33310log log 0.3log 0.331()55.5－＝＝＝c 方法一 在同一坐标系中分别作出函数y ＝log 2x ，y ＝log 3x ，y ＝log 4x 的图象，如图所示． 由图象知：log 23.4>log 3103>log 43.6.方法二 ∵log 3103>log 33＝1，且103<3.4，∴log 3103<log 33.4<log 23.4.∵log 43.6<log 44＝1，log 3103>1，∴log 43.6<log 3103.∴log 23.4>log 3103>log 43.6.由于y ＝5x为增函数，32410log log 3.4log 3.63555.∴>>即324log 0.3log 3.4log 3.615()55，>>故a >c >b . 答案 (1)b <a <c (2)a >c >b (3)a >c >b温馨提醒 (1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.[方法与技巧]1．对数值取正、负值的规律当a >1且b >1或0<a <1且0<b <1时，log a b >0； 当a >1且0<b <1或0<a <1且b >1时，log a b <0. 2．对数函数的定义域及单调性在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为(0，＋∞)．对数函数的单调性和a 的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0<a <1和a >1进行分类讨论．3．比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性． 4．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定． [失误与防范]1．在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M ＞0的条件下应为log a M α＝αlog a |M |(α∈N *，且α为偶数)．2．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1.若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是________(填序号)．答案 ②解析 由题图可知y ＝log a x 的图象过点(3,1)， ∴log a 3＝1，即a ＝3.①中，y ＝3－x＝(13)x 在R 上为减函数，错误；②中，y ＝x 3符合；③中，y ＝(－x )3＝－x 3在R 上为减函数，错误； ④中，y ＝log 3(－x )在(－∞，0)上为减函数，错误．2．已知x ＝ln π，y ＝log 52，12＝e ，z -则x ，y ，z 的大小关系为____________． 答案 y <z <x解析 ∵x ＝ln π>ln e，∴x >1. ∵y ＝log 52<log 55，∴0<y <12.∵z ＝12e-＝1e>14＝12，∴12<z <1.综上可得，y <z <x .3．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x x ≥4，f x ＋1 x <4，则f (log 23)＝________.答案124解析 ∵1<log 23<log 24＝2，∴3＋log 23∈(4,5)， ∴f (log 23)＝f (log 23＋1)＝f (log 23＋2)＝f (log 23＋3)＝f (log 224)22log 24log 24122－＝＝⎛⎫ ⎪⎝⎭ 21log 2412.24＝＝ 4．设f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是__________． 答案 (－1,0) 解析 由f (x )是奇函数可得a ＝－1，∴f (x )＝lg 1＋x 1－x，定义域为(－1,1)． 由f (x )<0，可得0<1＋x 1－x<1，∴－1<x <0. 5．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)＝________. 答案 －1解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)，得f (x )＝f (x ＋4)，因为4＜log 220＜5，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f (log 245)＝24log 51(2) 1.5－＋＝－ 6．函数f (x )＝log 2x(2x )的最小值为________．答案 －14 解析 显然x >0，∴f (x )＝log 2x ·log(2x )＝12log 2x ·log 2(4x 2)＝12log 2x ·(log 24＋2log 2x )＝log 2x ＋(log 2x )2＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14≥－14.当且仅当x ＝22时，有f (x )min ＝－14. 7．设函数f (x )满足f (x )＝1＋f (12)log 2x ，则f (2)＝_____________________________. 答案 32解析 由已知得f (12)＝1－f (12)·log 22，则f (12)＝12，则f (x )＝1＋12·log 2x ，故f (2)＝1＋12·log 22＝32. 8．(2015·福建)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是_________________________． 答案 (1,2] 解析 由题意f (x )的图象如右图，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞1，3＋log a 2≥4，∴1＜a≤2. 9．已知函数212log ()＝－＋y x ax a 在区间(－∞，2)上是增函数，求a 的取值范围．解 函数212log ()＝－＋y x ax a 是由函数12log ＝y t 和t ＝x 2－ax ＋a 复合而成．因为函数12log ＝y t 在区间(0，＋∞)上单调递减，而函数t ＝x 2－ax ＋a 在区间(－∞，a2)上单调递减，又因为函数212log ()＝－＋y x ax a 在区间(－∞，2)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2≤a2，22－2a ＋a ≥0，解得⎩⎨⎧ a ≥22，a ≤22＋1，即22≤a ≤2(2＋1)．10．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间[0，32]上的最大值．解 (1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x >0，3－x >0，得x ∈(－1,3)， ∴函数f (x )的定义域为(－1,3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在[0，32]上的最大值是f (1)＝log 24＝2.B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．(2015·陕西改编)设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则p 、q 、r 的大小关系是____________．答案 p ＝r <q解析 ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b 2＞ab ，又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p . 又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝p ， 故p ＝r ＜q .12．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (2)的大小关系是______________．答案 f (12)<f (13)<f (2) 解析 由f (2－x )＝f (x )知f (x )的图象关于直线x ＝2－x ＋x 2＝1对称，又当x ≥1时，f (x )＝ln x ，所以离对称轴x ＝1距离大的x 的函数值大，∵|2－1|>|13－1|>|12－1|， ∴f (12)<f (13)<f (2)． 13．函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0,1]，则b －a 的最小值为________．答案 23解析 由题意可知求b －a 的最小值即求区间[a ，b ]的长度的最小值，当f (x )＝0时x ＝1，当f (x )＝1时x ＝3或13，所以区间[a ，b ]的最短长度为1－13＝23，所以b －a 的最小值为23. 14．已知函数f (x )＝ln x1－x ，若f (a )＋f (b )＝0，且0<a <b <1，则ab 的取值范围是________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 解析 由题意可知ln a 1－a ＋ln b1－b ＝0，即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b 1－b ＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14， 又0<a <b <1，∴0<a <12，故0<－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14<14. 15．设x ∈[2,8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值． 解 由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2) ＝12(log 2a x ＋3log a x ＋2)＝12(log a x ＋32)2－18. 当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32. 又∵x ∈[2,8]，∴a ∈(0,1)．∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得．若12(log a 2＋32)2－18＝1，则a ＝132,- 此时f (x )取得最小值时，1332(2)＝x --＝2∉[2,8]，舍去．若12(log a 8＋32)2－18＝1，则a ＝12，此时f (x )取得最小值时，[]321()2,82＝＝，x - 符合题意，∴a ＝12.。
【步步高】2017版高考数学(文,江苏专用)大二轮总复习练习：专题六第1讲直线与圆.doc
第1讲 直线与圆1．(2016·山东改编)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是________． 答案 相交解析 ∵圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2， ∴圆心坐标为M (0，a )，半径r 1为a ， 圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|a |2， 由几何知识得⎝⎛⎭⎫|a |22＋(2)2＝a 2，解得a ＝2. ∴M (0,2)，r 1＝2.又圆N 的圆心坐标为N (1,1)，半径r 2＝1， ∴MN ＝(1－0)2＋(1－2)2＝2， r 1＋r 2＝3，r 1－r 2＝1.∴r 1－r 2＜MN ＜r 1＋r 2，∴两圆相交．2．(2016·上海)已知平行直线l 1：2x ＋y －1＝0，l 2：2x ＋y ＋1＝0，则l 1与l 2的距离是________． 答案2553．(2016·浙江)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是______．半径是______． 答案 (－2，－4) 5解析 由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2， 解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去． 当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25， 表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆．4．(2016·课标全国乙)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若AB ＝23，则圆C 的面积为________． 答案 4π解析 圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0，即C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，圆心为C (0，a )，C 到直线y ＝x ＋2a 的距离为d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2.又由AB ＝23，得⎝⎛⎭⎫2322＋⎝⎛⎭⎫|a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以圆的面积为π(a 2＋2)＝4π.考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题．直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)，此类问题难度属于中低档，一般以填空题的形式出现．热点一 直线的方程及应用 1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在． 2．求直线方程要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x 轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线． 3．两个距离公式(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0， l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.(2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.例1 (1)已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是________．(2)过点(5,2)且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程是______________． 答案 (1)3或5 (2)2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0解析 (1)两直线平行，则A 1B 2－A 2B 1＝0且A 1C 2－A 2C 1≠0，所以有－2(k －3)－2(k －3)(4－k )＝0，解得k ＝3或5，且满足条件A 1C 2－A 2C 1≠0.(2)若直线在坐标轴上的截距为0，设直线方程为y ＝kx ，由直线过点(5,2)，可得k ＝25，此时直线方程为2x －5y ＝0；若直线在坐标轴上的截距不为0，根据题意设直线方程为x a ＋y2a ＝1，由直线过点(5,2)，可得a ＝6，此时直线方程为2x ＋y －12＝0.思维升华 (1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况；(2)对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究．跟踪演练1 已知直线l 1：ax ＋2y ＋1＝0与直线l 2：(3－a )x －y ＋a ＝0，若l 1⊥l 2，则a 的值为________． 答案 1或2解析 由l 1⊥l 2，则a (3－a )－2＝0， 即a ＝1或a ＝2.热点二 圆的方程及应用 1．圆的标准方程当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2. 2．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F >0，表示以(－D 2，－E2)为圆心，D 2＋E 2－4F 2为半径的圆．例2 (1)若圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为______________． (2)过点A (a ，a )可作圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＋2a －3＝0的两条切线，则实数a 的取值范围为________________．答案 (1)(x －2)2＋(y ±3)2＝4 (2)a <－3或1<a <32解析 (1)因为圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x ＝2上，又圆与y 轴相切，所以半径r ＝2，设圆心坐标为(2，b )，则(2－1)2＋b 2＝4，b 2＝3，b ＝±3.(2)圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＋2a －3＝0的圆心为(a,0)，且a <32，并且(a ，a )在圆外，即有a 2>3－2a ，解得a <－3或1<a <32.思维升华 解决与圆有关的问题一般有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．跟踪演练2 (1)(2015·课标全国Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________________．(2)两条互相垂直的直线2x ＋y ＋2＝0和ax ＋4y －2＝0的交点为P ，若圆C 过点P 和点M (－3,2)，且圆心在直线y ＝12x 上，则圆C 的标准方程为______________．答案 (1)⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254 (2)(x ＋6)2＋(y ＋3)2＝34解析 (1)由题意知圆过(4,0)，(0,2)，(0，－2)三点， (4,0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为y ＋1＝－2(x －2)， 令y ＝0，解得x ＝32，圆心为⎝⎛⎭⎫32，0，半径为52. 得该圆的标准方程为(x －32)2＋y 2＝254.(2)由直线2x ＋y ＋2＝0和直线ax ＋4y －2＝0垂直得2a ＋4＝0，故a ＝－2，代入直线方程，联立解得交点坐标为P (－1,0)，易求得线段MP 的垂直平分线的方程为x －y ＋3＝0，设圆C 的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2 (r >0)，则圆心(a ，b )为直线x －y ＋3＝0与直线y ＝12x 的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3＝0，y ＝12x ，解得圆心坐标为(－6，－3)，从而得到r 2＝34，所以圆C 的标准方程为(x ＋6)2＋(y ＋3)2＝34.热点三 直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法． (1)点线距离法：设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则d <r ⇔直线与圆相交，d ＝r ⇔直线与圆相切，d >r ⇔直线与圆相离．(2)判别式法：设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，方程组⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，(x －a )2＋(y －b )2＝r 2消去y ，得关于x 的一元二次方程根的判别式Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．设圆C 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21，圆C 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22，两圆心之间的距离为d ，则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下： (1)d >r 1＋r 2⇔两圆外离； (2)d ＝r 1＋r 2⇔两圆外切； (3)|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2⇔两圆相交； (4)d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆内切；(5)0≤d <|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆内含．例3 (1)已知直线y ＝kx (k >0)与圆C ：(x －2)2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，若AB ＝255，则k＝_________.(2)若直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2恰有一个公共点，则b 的取值范围是____________． 答案 (1)12(2)(－1,1]∪{－2}解析 (1)圆心C ()2，0，半径为1，圆心到直线的距离d ＝||2k k 2＋1，而AB ＝255，得(||2k k 2＋1)2＋⎝⎛⎭⎫552＝1，解得k ＝12.(2)曲线x ＝1－y 2，即x 2＋y 2＝1(x ≥0)表示一个半径为1的半圆，如图所示．当直线y ＝x ＋b 经过点A (0,1)时，求得b ＝1； 当直线y ＝x ＋b 经过点B (1,0)时，求得b ＝－1；当直线和半圆相切于点D 时，由圆心O 到直线y ＝x ＋b 的距离等于半径， 可得|0－0＋b |2＝1，求得b ＝－2，或b ＝2(舍去)．故当直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2恰有一个公共点时，b 的取值范围是－1<b ≤1或b ＝－ 2. 思维升华 (1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．跟踪演练3 (1)过点P (－4,0)的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝5相交于A ，B 两点，若点A 恰好是线段PB 的中点，则直线l 的方程为____________．(2)已知在平面直角坐标系中，点A (22，0)，B (0,1)到直线l 的距离分别为1,2，则这样的直线l 共有________条． 答案 (1)x ±3y ＋4＝0 (2)3解析 (1)如果直线l 与x 轴平行，则A (1－5，0)，B (1＋5，0)，A 不是PB 的中点，则直线l 与x 轴不平行；设l ：x ＝my －4，圆心C 到直线l 的距离d ＝5m 2＋1，令AB 中点为Q ，则AQ ＝5－d 2，PQ ＝3AQ ＝35－d 2，在Rt △CPQ 中PQ 2＋CQ 2＝PC 2，得d 2＝52＝251＋m 2，解得m ＝±3，则直线l 的方程为x ±3y ＋4＝0.(2)由题意得直线l 为圆(x －22)2＋y 2＝1(A 为圆心)与圆x 2＋(y －1)2＝4(B 为圆心)的公切线，∵AB ＝(22)2＋(－1)2＝3＝1＋2，∴两圆外切， ∴两圆共有3条公切线．故答案为3.1．已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成的两段弧长比为1∶2，则圆C 的方程为______________．押题依据 直线和圆的方程是高考的必考点，经常以填空题的形式出现，利用几何法求圆的方程也是数形结合思想的应用． 答案 x 2＋(y ±33)2＝43解析 由已知得圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为23π.设圆心坐标为(0，a )，半径为r ， 则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23， 即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33， 故圆C 的方程为x 2＋(y ±33)2＝43.2．设m ，n 为正实数，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －4＝0与圆x 2＋y 2－4x －4y ＋4＝0相切，则mn 的最小值为________．押题依据 直线与圆的位置关系是高考命题的热点，本题与基本不等式结合考查，灵活新颖，加之直线与圆的位置关系本身承载着不等关系，因此此类题在高考中出现的可能性很大． 答案 3＋2 2解析 根据圆心到直线的距离是2得到m ，n 的关系，然后结合不等式即可求解．由直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －4＝0与圆(x －2)2＋(y －2)2＝4相切，可得2|m ＋n |(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝2，整理得m ＋n ＋1＝mn ，由m ，n 为正实数，可知m ＋n ≥2mn ，令t ＝mn ，则2t ＋1≤t 2，因为t >0，所以t ≥1＋2，所以mn ≥3＋2 2.故mn 有最小值3＋22，无最大值．3．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0(a >0)相交，公共弦的长为22，则a ＝________. 押题依据 本题已知公共弦长，求参数的范围，情境新颖，符合高考命题的思路． 答案102解析 联立两圆方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0，可得公共弦所在直线方程为ax ＋2ay －5＝0， 故圆心(0,0)到直线ax ＋2ay －5＝0的距离为|－5|a 2＋4a 2＝5a (a >0)．故222－(5a)2＝22， 解得a 2＝52，因为a >0，所以a ＝102.A 组 专题通关1．设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且P A ＝PB ，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是____________． 答案 x ＋y －5＝0解析 由于直线P A 的倾斜角为45°，且P A ＝PB ，故直线PB 的倾斜角为135°，又由题意知P (2,3)，∴直线PB 的方程为y －3＝－(x －2)，即x ＋y －5＝0.2．(教材改编)设直线ax －y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23，则a ＝________. 答案 0解析 由弦心距、半弦长、半径构成直角三角形，得(|a ＋1|a 2＋1)2＋(－3)2＝22，解得a ＝0.3．过坐标原点且与圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋52＝0相切的直线的方程为________________．答案 3x ＋y ＝0或x －3y ＝0解析 设直线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0. ∵圆方程可化为(x －2)2＋(y ＋1)2＝52，∴圆心为(2，－1)，半径为102. 依题意有|2k ＋1|k 2＋1＝102，解得k ＝－3或k ＝13，∴直线方程为3x ＋y ＝0或x －3y ＝0.4．已知圆O 1的方程为x 2＋y 2＝4，圆O 2的方程为(x －a )2＋y 2＝1，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a 的所有取值构成的集合是____________． 答案 {1，－1,3，－3}解析 ∵两个圆有且只有一个公共点， ∴两个圆内切或外切．内切时，|a |＝1；外切时，|a |＝3，∴实数a 的取值集合是{1，－1,3，－3}．5．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM ＋PN 的最小值为__________． 答案 52－4解析 两圆的圆心均在第一象限，先求PC 1＋PC 2的最小值，作点C 1关于x 轴的对称点C 1′(2，－3)，则(PC 1＋PC 2)min ＝C 1′C 2＝52，所以(PM ＋PN )min ＝52－(1＋3)＝52－4.6．已知直线l 1：ax －y ＋1＝0，l 2：x ＋y ＋1＝0，l 1∥l 2，则a 的值为________，直线l 1与l 2间的距离为________． 答案 －12解析 ∵l 1∥l 2，∴a ·1＝－1·1⇒a ＝－1， 此时l 1：x ＋y －1＝0，∴l 1，l 2之间的距离为|1－(－1)|2＝ 2.7．在平面直角坐标系xOy 中，过点P ()－2，0的直线与圆x 2＋y 2＝1相切于点T ，与圆()x －a 2＋()y －32＝3相交于点R ，S ，且PT ＝RS ，则正数a 的值为________．答案 4解析 由题意得PT ＝22－1＝3，k PT ＝33，PT ：y ＝33(x ＋2)，即x －3y ＋2＝0，又RS ＝PT ＝3，所以圆()x －a 2＋()y －32＝3的圆心到直线PT 距离为3－(32)2＝32，从而|a －1|2＝32，因此正数a 的值为4.8．(2016·课标全国丙)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若AB ＝23，则CD ＝______. 答案 4解析 设AB 的中点为M ，由题意知，圆的半径R ＝23，AB ＝23，所以OM ＝3，解得m ＝－33， 由⎩⎨⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12，解得A (－3，3)，B (0,23)，则AC 的直线方程为y －3＝－3(x ＋3)，BD 的直线方程为y －23＝－3x ，令y ＝0，解得C (－2,0)，D (2,0)，所以CD ＝4. 9．已知点A (3,3)，B (5,2)到直线l 的距离相等，且直线l 经过两直线l 1：3x －y －1＝0和l 2：x ＋y －3＝0的交点，求直线l 的方程．解 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝0，x ＋y －3＝0，得交点P (1,2)．①若点A ，B 在直线l 的同侧，则l ∥AB . 而k AB ＝3－23－5＝－12，由点斜式得直线l 的方程为 y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.②若点A ，B 分别在直线l 的异侧，则直线l 经过线段AB 的中点(4，52)，由两点式得直线l 的方程为y －2x －1＝52－24－1，即x －6y ＋11＝0.综上所述，直线l 的方程为 x ＋2y －5＝0或x －6y ＋11＝0.10．(2015·课标全国Ⅰ)已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求MN . 解 (1)由题设可知，直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1.解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1， 整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0. 所以x 1＋x 2＝4(1＋k )1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2. OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝4k (1＋k )1＋k 2＋8.由题设可得4k (1＋k )1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在l 上，所以MN ＝2.B 组 能力提高11．直线y ＝k (x －1)与以A (3,2)，B (2，3)为端点的线段有公共点，则k 的取值范围是________． 答案 [1,3]解析 因为直线y ＝k (x －1)恒过P (1,0)，画出图形，直线y ＝k (x －1)与以A (3,2)，B (2,3)为端点的线段有公共点，则直线落在阴影区域内，因为k P A ＝2－03－1＝1， k PB ＝3－02－1＝3，故k 的取值范围是[1,3]．12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 1：(x －1)2＋y 2＝2，圆C 2：(x －m )2＋(y ＋m )2＝m 2，若圆C 2上存在点P 满足：过点P 向圆C 1作两条切线P A ，PB ，切点为A ，B ，△ABP 的面积为1，则正数m 的取值范围是__________． 答案 [1,3＋23]解析 设P (x ，y )，设P A ，PB 的夹角为2θ.△ABP 的面积S ＝12P A 2sin 2θ ＝P A 2·2PC 1·P A PC 1＝1. 由2P A 3＝PC 21＝P A 2＋2，解得PA ＝2， 所以PC 1＝2，所以点P 在圆(x －1)2＋y 2＝4上．所以|m －2|≤(m －1)2＋(－m )2≤m ＋2，解得1≤m ≤3＋2 3.13．已知圆O ：x 2＋y 2＝4，若不过原点O 的直线l 与圆O 交于P 、Q 两点，且满足直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列，则直线l 的斜率为________．答案 ±1解析 设l ：y ＝kx ＋b (b ≠0)，代入圆的方程，化简得(1＋k 2)x 2＋2kbx ＋b 2－4＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，得x 1＋x 2＝－2kb 1＋k 2，x 1x 2＝b 2－41＋k 2， k OP ·k OQ ＝y 1x 1·y 2x 2＝(k ＋b x 1)(k ＋b x 2) ＝k 2＋kb (x 1＋x 2x 1x 2)＋b 2x 1x 2 ＝k 2＋kb (－2kb b 2－4)＋b 2(1＋k 2)b 2－4 ＝k 2(b 2－4)－2k 2b 2＋k 2b 2＋b 2b 2－4＝b 2－4k 2b 2－4， 由k OP ·k OQ ＝k 2l ，得b 2－4k 2b 2－4＝k 2， 解得k ＝±1.14．已知以点C (t ，2t)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点． (1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程．(1)证明 由题意知圆C 过原点O ，且OC 2＝t 2＋4t2. 则圆C 的方程为(x －t )2＋(y －2t )2＝t 2＋4t2，令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t； 令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t .故S △OAB ＝12OA ×OB ＝12×|2t |×|4t|＝4， 即△OAB 的面积为定值．(2)解 ∵OM ＝ON ，CM ＝CN ，∴OC 垂直平分线段MN .∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12，∴直线OC 的方程为y ＝12x ， ∴2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2. 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，OC ＝5，此时圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15＜5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点；当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，OC ＝5，此时圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95>5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交， ∴t ＝－2不符合题意，应舍去．综上，圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.。
【新步步高】2017版高考数学(文江苏专用)大二轮总复习与增分策略专题一第2讲不等式与线性规划
x0>1，所以x0的取值范围是(－∞，0]∪(1，＋∞).
思维升华
解析答案
跟踪演练1
(1) 已知 m， n 为实数，若关于 x的不等式 x2 ＋ mx＋ n<0 的解
－5 集为(－1,3)，则m＋n的值为______.
解析 由题意得：－1,3为方程x2＋mx＋n＝0的两根，
因此－1＋3＝－m，－1×3＝n⇒m＝－2，n＝－3，m＋n＝－5. (2)不等式 2 解析 ∵ 2
(2，＋∞) 则 a＋b 的取值范围是__________.
解析
由已知得，ab＝1，且 a≠b，∴a＋b>2 ab＝2.
解析答案
考情考向分析
1. 利用不等式性质比较大小，利用基本不等式求最值及线性规划问题 是高考的热点； 2. 一元二次不等式常与函数、数列结合考查一元二次不等式的解法和 参数的取值范围； 3.利用不等式解决实际问题.
如图阴影部分所示，
由图知当目标函数z＝4x＋y经过点B(2,0)时z取得
最大值，最大值为4×2＋0＝8；
当目标函数z＝4x＋y经过点O(0,0)时z取得最小值，
最小值为4×0＋0＝0，所以z＝4x＋y的取值范围是[0,8].
解析答案
x＋y≤1， (2)已知变量 x，y 满足约束条件x－y≤1， x≥a，
4m n 又 m>0，n<0，所以－ n －m≥4，
4m n 当且仅当 n＝－2m 时取等号，故 5＋ n ＋m≤5－4＝1， 1 当且仅当 m＝2，n＝－1 时取等号.
思维升华 解析答案
2 a b 跟踪演练 2 (1)若正数 a， b 满足 a＋b＝1， 则 ＋ 的最大值为_____. 3
a＋1 b＋1
步步高届高考数学江苏专用(文)二轮专题突破专题六第2讲统计PPT课件
中，做问卷 B 的人数为________．
热点分类突破
专题六 第3讲
解析 由系统抽样的特点知：
抽取号码的间隔为93620＝30，抽取的号码依次为 9,39,69，…，
939.
本
讲 栏
落入区间[451,750]的有 459,489，…，729，这些数构成首项为
目 459，公差为 30 的等差数列，
开
考点二 用样本估计总体 例 2 (2012·广东)某校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分
布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50,60)，[60,70)， [70,80)，[80,90)，[90,100]．
本 讲 栏 目 开 关
热点分类突破
专题六 第3讲
(1)求图中 a 的值； (2)根据频率分布直方图，估计这 100 名学生语文成绩的平均分； (3)若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相
主干知识梳理
专题六 第3讲
2．常用的统计图表
(1)频率分布直方图
频率
本
①小长方形的面积＝组距×组距＝频率；
讲 栏②各小长方Biblioteka 的面积之和等于1；目 开 关
③小长方形的高＝频组率距，所有小长方形的高的和为组1距.
(2)茎叶图
在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好．
主干知识梳理
专题六 第3讲
3．用样本的数字特征估计总体的数字特征
专题六 第3讲
1．随机抽样
(1)简单随机抽样特点为从总体中逐个抽取，适用范围：总
本 讲
体中的个体较少．
栏 目
(2)系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规
开 关
则在各部分中抽取，适用范围：总体中的个体数较多．
《新步步高》高考数学大二轮总复习与增分策略(全国通用,理科)第二篇第2讲填空题的解法技巧.doc
第2讲填空题的解法技巧【题型概述】填空题是一种只要求写出结论，不要求解答过程的客观性试题，有小巧灵活、覆盖面广、跨 度大等特点，突出考查准确、严谨、灵活运用知识的能力.由于填空题不像选择题那样有备选提示，不像解答题那样有步骤得分，所填结果必须准确、 规范，因此得分率较低，解答填空题的第一要求是“准”，然后才是“快”、“巧”，要合 理灵活地运用恰当的方法，不可“小题大做”.方法一直接法直接法就是直接从题设出发，利用有关性质或结论，通过巧妙地变形，直接得到结果的方 法.要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的方法解决问题.直接法是求解填空 题的基木方法•13445556678 1若将运动员按成绩由好到差编为1〜35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在 区间［139J51］上的运动员人数是 _______ .sin2/4（2）（2015-北京）在厶ABC 中，a=4, b = 5, c = 6,则不石= __________ •解析（1）由题意知，将1〜35号分成7组，每组5名运动员，落在区间［139,151］上的运动员 共有4组，故由系统抽样法知，共抽取4名. (2)白余弦定理：b 2-\~c 2—a 225 + 36—16 3. 羽cosA=—页—=2X5X6・：皿=4 '—a 2~\~b 2—c 216+25 — 361 .小 3^/7cosC=~2^ —= 2X4X5 =0 ・：smC= 8 52/_2><钗¥ ••sinC_ ■匸例1（1）（2015-湖南）在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所14 15答案(1)4 (2)1思维升华利用直接法求解填空题要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键.跟踪演练1 (1)(2015-韶关联考)已知椭圆1的左、右焦点分别为鬥、尺，点P在椭圆上，则|"1|・『局|的最大值是 ________ .(2)己知方程x2 + 3ax + 3a + 1 = 0(a>2)的两根tana, tan0,且a f 0W (—号，号)，贝!] a+p=方法二特例法当填空题己知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选収一些符合条件的恰当特殊值(特殊函数，特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等)进行处理，从而得出待求的结论.这样可大大地简化推理、论证的过程.例2 (1)如图所示，在平行四边形ABCD +，APLBD,垂足为P,且4- ------------------------------------(2)已知定义在R上的奇函数./(X)满足./(x—4)=—/(x),且在区间[0,2]上是增函数，若方程./(X)=加(加>0)在区间[―8,8]±有四个不同的根X], X2，兀3，X4，则X\+x2+x3+x4 = ___________ .解析(1)把平行四边形ABCD看成正方形，则点尸为对角线的交点，AC=6f则APAC= 18.(2)此题考查抽象函数的奇偶性，周期性，单调性和对称轴方程，条件多，将各种特殊条件结合的最有效方法是把抽象函数具体化.根据函数特点取./(x)=sin¥x,再由图象可得(X| +^2)+(%3 + JV4)=(—6 X 2) + (2 X 2) = — &答案(1)18 (2)-8思维升华求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解.跟踪演练2 (2015•课标全国I )若函数./(Q=xlnC卄寸忑？)为偶函数，贝山= _____________ .方法三数形结合法对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果.这类问题的几何意义一般较为明显，如一次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析儿何中两点间距离等，求解的关键是明确儿何含义，准确规范地作出相应的图形.兀—2y+120,例3 (1)已知点P(x,尹)的坐标x, y满足，，一则x2+y2~6x+9的取值范围是⑵已知函数fix)=x\x~2\f则不等式/(迈一x)W/(l)的解集为______________解析⑴画出可行域如图，所求的x2+y2-6x+9 = (x-3)2+y2是点0(3,0)到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为0到射线x-y -1 =0(x^0)的距离〃的平方，晶in == (-V2)2 = 2.最大值为点0到点/的距离的平方，•：d爲x=16.・•・取值范围是[2,16].(2)函数y=j{x)的图象如图，由不等式./(迈一x)W/⑴知，y[2-x^y[2+ 1,从而得到不等式/(、问一QW/(1)的解集为[一1, +°°)・答案(1)[2,16] (2)[-1, +oo)思维升华数形结合法可直观快捷得到问题的结论，充分应用了图形的直观性，数中思形，以形助数.数形结合法是高考的热点，应用时要准确把握各种数式和几何图形中变量之间的关系.跟踪演练3 (1)(2015-山西大学附中月考)若方程x3~3x=k有3个不等的实根，则常数k的取值范围是_______________________________________________________________________ .J+bx+c,兀W0,⑵(2015•兰州一中期中)设函数心)=仁°若/(—4)=/(0), /(—2)=—2,贝IJ函2,x>0.方法四构造法构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推 理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基本方法的积 累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决.456上单调递增，因此有_/(4)</(5)</(6),即芳沅.456答案(1从兀(2)y^<25<36 思维升华 构造法解题的关键是由条件和结论的特征构造数学模型.在立体几何中，补形构 造是常用的解题技巧，构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用. 跟踪演练4已知三个互不重合的平面a 、卩、丫, G Q“=〃2，且直线n 不重合，由下 列三个条件：①〃?〃？，刃U0； n//p ； @wCy, n//p.能推得m//n 的条件是 __________方法五归纳推理法做关于归纳推理的填空题的时候，一般是由题目的已知可以得出儿个结论(或直接给出了儿个 结论)，然后根据这几个结论可以归纳出一个更一般性的结论，再利用这个一般性的结论来解 决问题.归纳推理是从个别或特殊认识到一般性认识的推演过程，这里可以大胆地猜想. 例5 (1)(2014-陕西)观察分析下表中的数据：例4 (1)如图，已知球0的球面上有四点4, B, C, D, D4丄平面ABC,丄BC, DA=AB=BC=^2,则球O 的体积等于 __________________ .456(2)怎，士, 士(其中e 为自然对数的底数)的大小关系是解析⑴如图，以加，AB, BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为凡 则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以|CD| =7(何+(廊 +(何=2R,所以R 書,故球O 的体积7=警=4 4(2)由于討知 x 425 —雪=&，故可构造函数金)=?,于是.")=花，雁)=石，夬6)=36,e' ・ 丫厶—c"・ 2x e' (x? — 2 工)= - = 丿令・f (x)>0得x<0或x>2,即函数几丫)在(2, +oo) e 5 e 5 e 6 e 6 e 6e 5多面体面数(F)顶点数(耳棱数(E)三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F, r, E所满足的等式是______________________________________按照上面的规律，笫〃个“金鱼”图需要火柴棒的根数为解析(1)观察F, V, E的变化得F+V~E=2.(2)观察题图①，共有8根火柴，以后依次增加6根火柴，即构成首项为8,公差为6的等差数列，所以，第”个“金鱼”图需要火柴棒的根数为6/7 + 2.答案(1)F+/—E=2 (2)6〃+ 2思维升华归纳推理法主要用于与自然数有关的结论，这类问题是近几年高考的热点，解题的关键在于找准归纳对象及其规律，如数列中项与项数之间的对应关系. 跟踪演练5观察下列各个等式：13=1;2—3 + 5；3‘ = 7 + 9+11；¥=13 + 15 + 17+19；若某数/按上述规律展开后，发现等式右边含有“2016”这个数，则加= ___________________ .方法六正反互推法多选型问题给出多个命题或结论，耍求从中选出所有满足条件的命题或结论.这类问题耍求较高，涉及图形、符号和文字语言，要准确阅读题目，读懂题意，通过推理证明，命题或结论之I'可互反互推，相互印证，也可举反例判断错误的命题或结论.例6已知/(x)为定义在R上的偶函数，当时，有/(x+l)=—/(x),且当xW[0,l)日寸，./(X) = log2(x+l),给岀下列命题：©A2013)+/(-2014)的值为0；②函数/(x)在定义域上为周期是2的周期函数；③直线与函数.心)的图象有1个交点；④两数.心)的值域为(一1,1).其中(2)用火柴棒摆“金鱼”正确的命题序号有 _________ .解析根据题意，可在同一坐标系中画出直线尹=兀和函数人力的图象如下:y/_丄__ _____ 丄」丄______ 丄____p\ n n >\-5：-4 审-2 -y >O \1 2 4 ：5 x__ i^So，.•・•L__\ 1 < -111 11根据图象可知©A2013）+A-2014）=0正确，②函数./（x）在定义域上不是周期函数，所以②不正确，③根据图象确实只有一个交点，所以正确，④根据图象，函数.几丫）的值域是（-1,1）,正确.答案①③④思维升华正反互推法适用于多选型问题，这类问题一般有两种形式，一是给出总的已知条件，判断多种结论的真假；二是多种知识点的汇总考查，主要覆盖考点功能.两种多选题在处理上不同，前者需要扣住已知条件进行分析，后者需要独立利用知识逐项进行判断.利用正反互推结合可以快速解决这类问題.跟踪演练6给出以下命题：2①双曲线号一x?=l的渐近线方程为y=±y[2x；②命题p：u R+»是真命题；m LAA③已知线性冋归方程为y=3+2x,当变量x增加2个单位，其预报值平均增加4个单位；④设随机变量F服从正态分布N（O,1）,若尸（。
【新步步高】2017版高考数学文江苏专用大二轮总复习与增分策略配套课件第三篇建模板看细则突破高考拿高分
M 的坐标；若不存在，请说明理由．
评分细则
构建答题模板
规范解答·评分标准
审题路线图
跟踪演练 7
如图， 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知圆 O： x2＋y2＝4，
x2 2 椭圆 C： 4 ＋y ＝1，A 为椭圆右顶点．过原点 O 且异于坐标轴的直线 与椭圆 C 交于 B，C 两点，直线 AB 与圆 O 的另一交点为 P，直线 PD 6 与圆 O 的另一交点为 Q，其中 D(－5，0)． 设直线 AB，AC 的斜率分别为 k1，k2.
评分细则
构建答题模板
规范解答·评分标准
审题路线图
1 an 跟踪演练 3 在等差数列{an}中，首项 a1＝－1，数列{bn}满足 bn ( ) , 2
1 且 b1b2b3＝64. (1)求数列{an}的通项公式；
解
设等差数列{an}的公差为d.
1 an 1 1 3d－3 1 6 1 a a a 1 2 3 ∵数列{bn}满足 bn ( ) , 且 b1b2b3＝64，∴ ( ) ＝ ( 2) ＝ ( 2) ， 2 2
解
x2 y2 由题意可设椭圆方程为a2＋b2＝1(a>b>0)，
3 2 1 c 2 2 2 则a＝ 2 (其中 c ＝a －b ，c>0)，且a2＋2b2＝1，
故a＝2，b＝1.
x2 2 所以椭圆的方程为 4 ＋y ＝1.
解析答案
(2)设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，
第三篇 建模板，看细则，
突破高考拿高分
模板·细则概述
“答题模板”是指针对解答数学解答题的某一类型，分析解题的 一般思路，规划解题的程序和格式，拟定解题的最佳方案，实现答题 效率的最优化． 评分细则是阅卷的依据，通过认真研读评分细则，重视解题步骤 的书写，规范解题过程，做到会做的题得全分；对于最后的压轴题也 可以按步得分，踩点得分，一分也要抢.
【新步步高】2017版高考数学(理 全国甲卷)大二轮总复习与增分策略配套三轮增分练 高考中档大题规范练(一)
高考中档大题规范练(一)三角函数与平面向量1．(2015·广东)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值；(2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值． 解 (1)因为m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m ⊥n . 所以m ·n ＝0，即22sin x －22cos x ＝0， 所以sin x ＝cos x ，所以tan x ＝1.(2)因为|m |＝|n |＝1，所以m ·n ＝cos π3＝12， 即22sin x －22cos x ＝12，所以sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12， 因为0<x <π2，所以－π4<x －π4<π4， 所以x －π4＝π6，即x ＝5π12. 2．(2016·山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2(tan A ＋tan B )＝tan A cos B＋tan B cos A. (1)证明：a ＋b ＝2c ；(2)求cos C 的最小值．(1)证明 由题意知2⎝⎛⎭⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos A cos B ＋sin B cos A cos B ，化简得2(sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin A ＋sin B ，即2sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B ，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，从而sin A ＋sin B ＝2sin C ，由正弦定理得a ＋b ＝2c . (2)解 由(1)知c ＝a ＋b 2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－⎝⎛⎭⎫a ＋b 222ab ＝38⎝⎛⎭⎫a b ＋b a －14≥12，当且仅当a ＝b 时，等号成立，故cos C 的最小值为12. 3．(2016·北京)在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac .(1)求B 的大小；(2)求2cos A ＋cos C 的最大值．解 (1)由a 2＋c 2＝b 2＋2ac 得，a 2＋c 2－b 2＝2ac .由余弦定理得，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22. 又0＜B ＜π，所以B ＝π4. (2)A ＋C ＝π－B ＝π－π4＝3π4， 所以C ＝3π4－A,0＜A ＜3π4. 所以2cos A ＋cos C＝2cos A ＋cos ⎝⎛⎭⎫3π4－A＝2cos A ＋cos 3π4cos A ＋sin 3π4sin A ＝2cos A －22cos A ＋22sin A ＝22sin A ＋22cos A ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4. 因为0＜A ＜3π4， 所以π4＜A ＋π4＜π，故当A ＋π4＝π2， 即A ＝π4时，2cos A ＋cos C 取得最大值1. 4．(2016·天津)已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ·cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3. (1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的单调性． 解 (1)f (x )的定义域为{x |x ≠π2＋k π，k ∈Z }． f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3 ＝4sin x ⎝⎛⎭⎫12cos x ＋32sin x － 3 ＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3＝sin2x ＋3(1－cos2x )－ 3＝sin2x －3cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z . 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ， 得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z . 设A ＝⎣⎡⎦⎤－π4，π4，B ＝{x |－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z }，易知A ∩B ＝⎣⎡⎦⎤－π12，π4. 所以当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤－π4，－π12上单调递减． 5．(2016·浙江)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B .(1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小． (1)证明 由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π，所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ， 因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B .(2)解 由S ＝a 24得12ab sin C ＝a 24， 故有sin B sin C ＝12sin A ＝12sin2B ＝sin B cos B ， 由sin B ≠0，得sin C ＝cos B .又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B . 当B ＋C ＝π2时，A ＝π2； 当C －B ＝π2时，A ＝π4. 综上，A ＝π2或A ＝π4.。
步步高江苏专用理高三数学大二轮专题复习与增分策略专题四第讲
空间直角坐标系．
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热点分类突破
干知识梳理 点分类突破 押题精练
(1)设 AB＝1，则 AD＝AE＝1， A(0,0,0)，B(0,1,0)，D(1,0,0)，E(0,0,1)，C(1,1,0)，
∵FA＝FE，∠AEF＝45°，∴∠AFE＝90°，
本 讲
从而 F0，－12，12，E→F＝0，－12，－12，
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热点分类突破
干知识梳理 点分类突破 押题精练
证明 方法一 由题意，得 AB，AD，AE 两两垂直，以 A 为原点建立如图所示的空间 直角坐标系．
设正方形边长为 1，则 A(0,0,0)，B(1，0,0)，
本 讲 栏 目 开
C(1,1,0)，D(0,1,0)，F(1,0,1)，M12，0，0， O12，12，12.
栏 目
B→E＝(0，－1,1)，B→C＝(1,0,0)．
开 关
于是E→F·B→E＝0＋12－12＝0，E→F·B→C＝0，
∴EF⊥BE，EF⊥BC，
∵BE⊂平面 BCE，BC⊂平面 BCE，BC∩BE＝B， ∴EF⊥平面 BCE.
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热点分类突破
干知识梳理 点分类突破 押题精练
(2)M0，0，12，P1，12，0，
z1＝－12x1，
令 x1＝1，则 n1＝1，12，－12.
同理可得 n2＝(0,1,1)．
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热点分类突破
干知识梳理 点分类突破 押题精练
∵n1·n2＝0，∴平面 MDF⊥平面 EFCD.
方法二 (1)O→M＝O→F＋F→B＋B→M＝12D→F－B→F＋12B→A
＝12(D→B＋B→F)－B→F＋12B→A＝－12B→D－12B→F＋12B→A
【新步步高】2017版高考数学(文江苏专用)大二轮总复习与增分策略配套课件专题七概率与统计 第1讲概 率
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高考押题精练
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2 3 1.将一骰子抛掷两次，所得向上的点数分别为 m 和 n，则函数 y＝3mx － 5 6 nx＋1 在[1，＋∞)上为增函数的概率是_____.
押题依据
古典概型是高考考查概率问题的核心，考查频率很高；古
典概型和函数、方程、不等式、向量等知识的交汇是高考命题的热点.
“朝上一面的数为3,5”，则C，D互斥，
1 1 且 P(C)＝3，P(D)＝3，
2 ∴P(A＋B)＝P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝3.
押题依据 解析答案
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解析 将4种颜色的花任选两种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花 坛，有((红黄)、(白紫))，((白紫)、(红黄))，((红白)、(黄紫))，((黄紫)、 (红白))，((红紫)、(黄白))，((黄白)、(红紫))，共6种种法， 其中红色和紫色不在一个花坛的种数有((红黄)、(白紫))，((白紫)、(红 黄))，((红白)、(黄紫))，((黄紫)，(红白))，共4种， 4 2 故所求概率为 P＝6＝3.
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1,2,3,4,5,6)，事件A表示“朝上一面的数是奇数”，事件B表示“朝上 2 一面的数不超过2”，则P(A＋B)＝_____. 3 押题依据
解析
事件之间关系的正确判断是解题的基础，将复杂事件拆分
成n个互斥事件的和可以更方便求解事件的概率，体现了化归思想. 将事件 A ＋ B 分为：事件 C ： “ 朝上一面的数为 1,2” 与事件 D ：
√
②乙盒中红球与丙盒中黑球一样多； ③乙盒中红球不多于丙盒中红球； ④乙盒中黑球与丙盒中红球一样多.
解析
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【步步高】(江苏专用)高考数学二轮专题突破 专题二 第2讲 三角变换与解三角形 文
第2讲 三角变换与解三角形【高考考情解读】 1.从近几年的考情来看，对于三角恒等变换，高考命题以公式的基本运用、计算为主，其中与角所在范围、三角函数的性质、三角形等知识结合为命题的热点；解三角形与其他知识以及生活中的实际问题联系紧密，有利于考查考生的各种能力，因而成了高考命题的一大热点.2.分析近年考情可知，命题一般为1～2题，其中，填空题多为低档题，解答题则一般为与其他知识(尤其是三角函数、向量)交汇的综合题或实际应用题，难度中等．1． 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2． 二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝2sin αcos α.(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. (3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 3． 三角恒等式的证明方法(1)从等式的一边推导变形到另一边，一般是化繁为简． (2)等式的两边同时变形为同一个式子． (3)将式子变形后再证明． 4． 正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)．变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.a ∶b ∶c ＝sin A ∶si n B ∶sin C .5． 余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C .6． 面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .7． 解三角形(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解．(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一． (3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解． (4)已知三边，利用余弦定理求解．考点一 三角变换例1 (2013·广东)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，x ∈R . (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6的值； (2)若cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求f ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π3. 解 (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－π12＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝2cos π4＝1.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3－π12＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝cos 2θ－sin 2θ，又cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，∴sin θ＝－45，∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝－2425，cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－725，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝cos 2θ－sin 2θ＝－725＋2425＝1725.当已知条件中的角与所求角不同时，需要通过“拆”、“配”等方法实现角的转化，一般是寻求它们的和、差、倍、半关系，再通过三角变换得出所要求的结果． 化简常用技巧：①常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等；②项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等；③降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； ④弦、切互化：一般是切化弦．(1)(2013·四川)设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是________．(2)(2012·江苏)设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为________．答案 (1) 3 (2)17250解析 (1)∵sin 2α＝－sin α，∴sin α(2cos α＋1)＝0，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin α≠0,2cos α＋1＝0即cos α＝－12，sin α＝32，tan α＝－3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－－32＝ 3.(2)∵α为锐角且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π4－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1 ＝2×35×45－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝12225－7250＝17250. 考点二 正、余弦定理例2 (2013·课标全国Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C＋c sin B . (1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值． 解 (1)由已知及正弦定理得 sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ，①又A ＝π－(B ＋C )，故sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ．②由①②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B . 又B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(2)△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝24ac .由已知及余弦定理得4＝a 2＋c 2－2ac cos π4.又a 2＋c 2≥2ac ，故ac ≤42－2，当且仅当a ＝c 时，等号成立． 因此△ABC 面积的最大值为2＋1.三角形问题的求解一般是从两个角度，即从“角”或从“边”进行转化突破，实现“边”或“角”的统一，问题便可突破． 几种常见变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(2)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，其中R 为△ABC 外接圆的半径； (3)sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C .设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且(2b －3c )cos A＝3a cos C . (1)求角A 的大小；(2)若角B ＝π6，BC 边上的中线AM 的长为7，求△ABC 的面积．解 (1)∵(2b －3c )cos A ＝3a cos C ， ∴(2sin B －3sin C )cos A ＝3sin A cos C . 即2sin B cos A ＝3sin A cos C ＋3sin C cos A .∴2sin B cos A ＝3sin B . ∵sin B ≠0，∴cos A ＝32， ∵0<A <π，∴A ＝π6.(2)由(1)知A ＝B ＝π6，所以AC ＝BC ，C ＝2π3，设AC ＝x ，则MC ＝12x .又AM ＝7，在△AMC 中，由余弦定理得AC 2＋MC 2－2AC ·MC cos C ＝AM 2， 即x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－2x ·x2·cos 120°＝(7)2，解得x ＝2，故S △ABC ＝12x 2sin 2π3＝ 3.考点三 正、余弦定理的实际应用例3 (2013·江苏)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速 步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解 (1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365. 由正弦定理AB sin C ＝ACsin B，得AB ＝ACsin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)． 所以索道AB 的长为1 040 m.(2)假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ， 所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)， 由于0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537 min 时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理BC sin A ＝ACsin B，得BC ＝AC sin B ×sin A ＝1 2606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C . 设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过 3 min ，乙步行的速度应控制在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内．应用解三角形知识解决实际问题一般分为下列四步：(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．在南沙某海岛上一观察哨A 上午11时测得一轮船在海岛北偏东60°的C 处，12时20分测得船在海岛北偏西60°的B 处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5 km 的E 港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速为多少？解 由题意，得轮船从C 到B 用时80分钟，从B 到E 用时20分钟． 又船始终匀速前进，所以BC ＝4EB . 设EB ＝x ，则BC ＝4x .由已知，得∠BAE ＝30°，∠EAC ＝150°. 在△AEC 中，由正弦定理，得EC sin∠EAC ＝AEsin C，所以sin C ＝AE ·sin∠EAC EC ＝5sin 150°5x ＝12x.在△ABC 中，由正弦定理，得BC sin 120°＝ABsin C，∴AB ＝BC ·sin Csin 120°＝4x ·12x 32＝433.在△ABE 中，由余弦定理，得BE 2＝AB 2＋AE 2－2AB ·AE ·cos 30°＝163＋25－2×433×5×32＝313， 故BE ＝313. 所以船速v ＝BE t＝31313＝93(km/h)．所以该船的速度为93 km/h.1． 求解恒等变换的基本思路一角二名三结构，即用化归转化思想“去异求同”的过程，具体分析如下：(1)首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变换形式，角的变换是三角函数变换的核心．(2)其次看函数名称之间的关系，通常“切化弦”． (3)再次观察代数式的结构特点． 2． 解三角形的两个关键点(1)正、余弦定理是实现三角形中边角互化的依据，注意定理的灵活变形，如a ＝2R sinA ，sin A ＝a2R(其中2R 为三角形外接圆的直径)，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C 等，灵活根据条件求解三角形中的边与角．(2)三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用，如利用“三角形的内角和等于π”和诱导公式可得到sin(A ＋B )＝sin C ，sin A ＋B2＝cos C2等，利用“大边对大角”可以解决解三角形中的增解问题等.1． 在△ABC 中，已知tanA ＋B2＝sin C ，给出以下四个结论：①tan Atan B＝1； ②1<sin A ＋sin B ≤2； ③sin 2A ＋cos 2B ＝1； ④cos 2A ＋cos 2B ＝sin 2C . 其中正确的序号为________． 答案 ②④解析 依题意，tan A ＋B2＝sinA ＋B 2cosA ＋B2＝2sin A ＋B2cos A ＋B22cos2A ＋B2＝A ＋B1＋A ＋B＝sin C1＋A ＋B＝sin C .∵sin C ≠0，∴1＋cos(A ＋B )＝1，cos(A ＋B )＝0. ∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝π2，即△ABC 是以角C 为直角的直角三角形． 对于①，由tan Atan B ＝1，得tan A ＝tan B ，即A ＝B ，不一定成立，故①不正确； 对于②，∵A ＋B ＝π2，∴sin A ＋sin B ＝sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋π4)，∴1<sin A ＋sin B ≤2，故②正确； 对于③，∵A ＋B ＝π2，∴sin 2A ＋cos 2B ＝sin 2A ＋sin 2A ＝2sin 2A ， 其值不确定，故③不正确； 对于④，∵A ＋B ＝π2，∴cos 2A ＋cos 2B ＝cos 2A ＋sin 2A ＝1＝sin 2C ，故④正确． 2． 已知函数f (x )＝3sin x 4cos x4＋cos 2x4.(1)若f (x )＝1，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－x 的值；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足a cos C ＋12c ＝b ，求f (B )的取值范围．解 (1)f (x )＝3sin x 4cos x4＋cos 2x4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12. 由f (x )＝1，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12.cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝cos[π－(π3＋x )]＝－cos(π3＋x )＝2sin 2(x 2＋π6)－1＝－12. (2)由a cos C ＋12c ＝b ，得a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋12c ＝b ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，B ＋C ＝2π3， 所以0<B <2π3，所以π6<B 2＋π6<π2，所以f (B )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B 2＋π6＋12∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.(推荐时间：60分钟)一、填空题1． 设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于________． 答案2525解析 根据α、β都是锐角，且cos α＝55，sin 2α＋cos 2α＝1， 得sin α＝255⇒π4<α<π2，又∵sin(α＋β)＝35，∴cos(α＋β)＝－45.又cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝2525. 2． 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝453，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是________． 答案 －45解析 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝453， ∴32cos α＋32sin α＝453， 3⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos α＋32sin α＝453，3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝453，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝45，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝－45.3． (2013·辽宁)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sinB cos A ＝12b ，且a ＞b ，则∠B 等于________．答案π6解析 由条件得a b sin B cos C ＋c b sin B cos A ＝12，依正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，∴sin(A ＋C )＝12，从而sin B ＝12，又a ＞b ，且B ∈(0，π)，因此B ＝π6.4． 锐角三角形ABC 中，若C ＝2B ，则AB AC的范围是________．答案 (2，3)解析 设△ABC 三内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，则有AB AC ＝c b ＝sin C sin B ＝sin 2B sin B＝2cos B .又∵C ＝2B <π2，∴B <π4.又A ＝π－(B ＋C )＝π－3B <π2，∴B >π6，即π6<B <π4，∴22<cos B <32，2<2cos B < 3. 5． 已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且tan B ＝2－3a 2－b 2＋c 2，BC →·BA →＝12，则tan B 等于________． 答案 2－ 3解析 由题意得，BC →·BA →＝|BC →|·|BA →|cos B ＝ac cos B ＝12，即cos B ＝12ac，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12ac⇒a 2＋c 2－b 2＝1，所以tan B ＝2－3a 2－b 2＋c 2＝2－ 3.6． (2013·重庆改编)计算：4cos 50°－tan 40°＝________.答案3解析 4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝＋3－sin 40°cos 40°＝3sin 50°＋cos 50°－sin 40°cos 40°＝3sin 50°cos 40°＝ 3.7． (2013·福建)如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为______．答案3解析 sin∠BAC ＝sin(π2＋∠BAD )＝cos∠BAD ，∴cos∠BAD ＝223.BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos∠BAD＝(32)2＋32－2×32×3×223，即BD 2＝3，BD ＝ 3.8． 已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝________. 答案 －255解析 由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝12， 得tan α＝－13. 又－π2<α<0，可得sin α＝－1010.故2sin 2α＋sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2sin αα＋cos α22α＋cos α＝22sin α＝－255.9． 在△ABC 中，C ＝60°，AB ＝3，AB 边上的高为43，则AC ＋BC ＝________.答案11解析 依题意，利用三角形面积相等有： 12AB ×h ＝12AC ·BCsin 60°， ∴12×3×43＝12ACBC ·sin 60°，∴AC ·BC ＝83.利用余弦定理可知cos 60°＝AC 2＋BC 2－AB 22ACBC，∴cos 60°＝AC 2＋BC 2－32×83，解得：AC 2＋BC 2＝173.又因(AC ＋BC )2＝AC 2＋BC 2＋2AC ·BC ＝173＋163＝11， ∴AC ＋BC ＝11. 二、解答题10．已知函数f (x )＝sin(2x －π6)＋2cos 2x －1(x ∈R )．(1)求f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝12，2a ＝b ＋c ，bc＝18，求a 的值．解 (1)f (x )＝sin(2x －π6)＋2cos 2x －1＝32sin 2x －12cos 2x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，即f (x )的单调递增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )．(2)由f (A )＝12，得sin(2A ＋π6)＝12.∵π6<2A ＋π6<2π＋π6，∴2A ＋π6＝5π6. ∴A ＝π3.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc .又2a ＝b ＋c ，bc ＝18，∴a 2＝4a 2－3×18，即a 2＝18，a ＝3 2.11．(2013·四川)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos2A －B2cos B －sin(A－B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35.(1)求cos A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影． 解 (1)由2cos2A －B2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35，得 [cos(A －B )＋1]cos B －sin(A －B )sin B －cos B ＝－35，即cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35.则cos(A －B ＋B )＝－35，即cos A ＝－35.(2)由cos A ＝－35，0<A <π，得sin A ＝45，由正弦定理，有a sin A ＝bsin B ，所以，sin B ＝b sin A a ＝22. 由题意知a >b ，则A >B ，故B ＝π4，根据余弦定理，有(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1或c ＝－7(舍去)．故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝22.12．(2013·福建)如图，在等腰直角△OPQ 中，∠POQ ＝90°，OP ＝22，点M 在线段PQ 上，(1)若OM ＝5，求PM 的长；(2)若点N 在线段MQ 上，且∠MON ＝30°，问：当∠POM 取何值时，△OMN 的面积最小？并求出面积的最小值．解 (1)在△OMP 中，∠OPM ＝45°，OM ＝5，OP ＝22， 由余弦定理得，OM 2＝OP 2＋MP 2－2×OP ×MP ×cos 45°， 得MP 2－4MP ＋3＝0， 解得MP ＝1或MP ＝3.(2)设∠POM ＝α，0°≤α≤60°， 在△OMP 中，由正弦定理，得OM sin∠OPM ＝OPsin∠OMP，所以OM ＝OP sin 45°＋α， 同理ON ＝OP sin 45°＋α.故S △OMN ＝12×OM ×ON ×sin∠MON＝14×OP 2sin 245°＋α＋α＝1＋α＋α＋＝1＋α32＋α＋12＋α＝132sin 2＋α＋12＋α＋α＝134[1－＋2α＋14＋2α＝134＋34sin 2α＋14cos 2α＝134＋12α＋.因为0°≤α≤60°，30°≤2α＋30°≤150°，所以当α＝30°时，sin(2α＋30°)取最大值1，此时△OMN 的面积取到最小值，即∠POM ＝30°时，△OMN 的面积的最小值为8－4 3.。
【新步步高】2017版高考数学(文 全国甲卷)大二轮总复习与增分策略配套课件 第四篇 回归教材7
误解基本事件的等可能性
例3 若将一枚质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的 正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率为______. 易错分析 解本题时易出现的错误在于对等可能性事件的概率中 “基
本事件”以及“等可能性”等概念的理解不深刻，错误地认为基本事 件总数为11(点数和等于2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)，或者将点数和为4的事 件错误地计算为(1,3)(2,2)两种，从而导致出错.
解析
由直方图估计评分的平均值为 55×0.05 ＋ 65×0.2 ＋ 75×0.35 ＋
85×0.25＋95×0.15＝77.5.
解析答案
4.变量间的相关关系 假设我们有如下一组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，„，(xn，yn).线性回归方程 y＝bx＋a，
n n xi－ x yi－ y xiyi－n x y ^ i＝1 i＝1 ＝ ， b＝ n n 其中 2 2 2 x － n x x － x i i i＝1 i＝1 ^ ^ a＝ y － b x .
解析
6 480－200－160 由抽样比例可知x ＝ ，则 x ＝ 24. 480
解析答案
2. 对于统计图表问题，求解时，最重要的就是认真观察图表，从中提 取有用信息和数据.对于频率分布直方图，应注意的是图中的每一个小 矩形的面积是数据落在该区间上的频率 .茎叶图没有原始数据信息的损 失，但数据很大或有多组数据时，茎叶图就不那么直观、清晰了. [ 问题 2] (2015· 湖南 ) 在一次马拉松比赛中， 35 名运动员的成绩 ( 单位： 分钟)的茎叶图如图所示：
心，认为员工中年薪在 1.4 万元～ 1.6 万元之间的频率为 1 － (0.02 ＋ 0.08 ＋ 0.10)×2 ＝ 0.60 ，从而得到员工中年薪在 1.4 万元～ 1.6 万元之间的共 有300×[1－(0.02＋0.08＋0.10)×2]＝180(人)的错误答案.
【新步步高】2017版高考数学(文江苏专用)大二轮总复习与增分策略专题二函数与导数 第4讲导数的热点问题
函数与导数
第4讲 导数的热点问题
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(2016· 课标全国乙)已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2有两个零点． (1)求a的取值范围；
解析答案
(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1＋x2<2. 证明 不 妨 设 x1<x2 ， 由 (1) 知 ， x1∈( － ∞ ， 1) ， x2∈(1 ， ＋ ∞) ， 2 －
解 根据题意，得f′(x)＝ex－2x，则f′(0)＝1＝b.
由切线方程可得切点坐标为(0,0)，将其代入y＝f(x)，
得a＝－1，故f(x)＝ex－x2－1.
解析答案
(2)当x∈R时，求证：f(x)≥－x2＋x；
证明 令g(x)＝f(x)＋x2－x＝ex－x－1.
由g′(x)＝ex－1＝0，得x＝0，
1 ， e (2)若函数 g(x)＝f(x)－ax＋m 在e 上有两个零点， 求实数 m 的取值范围．
解析答案
热点三
利用导数解决生活中的优化问题
生活中的实际问题受某些主要变量的制约，解决生活中的优化问题就
是把制约问题的主要变量找出来，建立目标问题即关于这个变量的函
数，然后通过研究这个函数的性质，从而找到变量在什么情况下可以
解析答案
(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．
π 解 因为 V(r)＝5(300r－4r3)， π 故 V′(r)＝5(300－12r2)，
令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因为r2＝－5不在定义域内，舍去)． 当r∈(0,5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上为增函数；
【推荐】第05天 解析几何(回顾基础篇)-2017年高考数学自由复习步步高系列(江苏版)
1．直线的倾斜角与斜率(1)倾斜角的范围为0，π)．(2)直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k，即k＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；②斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率为k＝y1－y2x1－x2(x1≠x2)；③直线的方向向量a＝(1，k)；④应用：证明三点共线：k AB＝k BC.2．直线方程的五种形式(1)点斜式：已知直线过点(x0，y0)，其斜率为k，则直线方程为y－y0＝k(x－x0)，它不包括垂直于x轴的直线．(2)斜截式：已知直线在y轴上的截距为b，斜率为k，则直线方程为y＝kx＋b，它不包括垂直于x轴的直线．(3)两点式：已知直线经过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，则直线方程为y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1，它不包括垂直于坐标轴的直线．(4)截距式：已知直线在x轴和y轴上的截距为a，b，则直线方程为xa＋yb＝1，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线．(5)一般式：任何直线均可写成Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的形式．3．两条直线的位置关系(1)若已知直线的斜截式方程，l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则：①l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2；②l1⊥l2⇔k1·k2＝－1；③l1与l2相交⇔k1≠k2.(2)若已知直线的一般方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则：①l1∥l2平行⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0；②l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0；③l1与l2相交⇔A1B2－A2B1≠0；④l1与l2重合⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1＝0.4．点到直线的距离及两平行直线间的距离(1)点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离为d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2；(2)两平行线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝|C1－C2| A2＋B2.5．圆的方程(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，只有当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0才表示圆心为(－D2，－E2)，半径为12D2＋E2－4F的圆．6．直线与圆的位置关系的判断(1)几何法：根据圆心到直线的距离d与圆半径r的大小关系来判定．(2)代数法：将直线方程代入圆的方程消元得一元二次方程，根据Δ的符号来判断．7．圆锥曲线的定义和性质8．(1)在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意二次项的系数是否为零，利用解的情况可判断位置关系：有两解时相交；无解时相离；有唯一解时，在椭圆中相切，在双曲线中需注意直线与渐近线的关系，在抛物线中需注意直线与对称轴的关系，而后判断是否相切．(2)直线与圆锥曲线相交时的弦长问题斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P 1P 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]或|P 1P 2|＝(1＋1k 2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2].(3)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则①焦半径|CF |＝x 1＋p2；②弦长|CD |＝x 1＋x 2＋p ；③x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.热点一： 直线方程【典例】已知直线220a x y ++=与直线()2110bx a y -+-=互相垂直，值为___________________.【答案】2【题型概述】若给定的方程是一般式，即l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则有下列结论：l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0；l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0. 给定两条直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1和l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则有下列结论：l 1∥l 2⇔k 1＝k 2且b 1≠b 2；l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1；求解两条直线平行的问题时，在利用A 1B 2－A 2B 1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．求直线方程就是求出确定直线的几何要素，即直线经过的点和直线的倾斜角，当直线的斜率存在时，只需求出直线的斜率和直线经过的点即可．对于直线的点斜式方程和两点式方程，前者是直线的斜率和直线经过的一点确定直线，后者是两点确定直线．【跟踪练习1】．若直线l 1：x ＋2y －4＝0与l 2：mx ＋(2－m)y －3＝0平行，则实数m 的值为 ．考点：两直线位置关系【跟踪练习2】在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,2),(2,0),(1,0)A B C -，分别以ABC ∆的边AB AC 、向外作正方形ABEF 与ACGH ，则直线FH 的一般式方程为 .【答案】4140x y +-=【解析】分别过H F 、作y 轴的垂线，垂足分别为M N 、，因为四边形ACGH 为正方形，所以Rt AHM Rt CAO ∆∆≌，可得,AM OC MH OA ==，(0,2),(1,0)A C ，2,1MH OA AM OC ∴====，可得3OM OA AM =+=，由此可得H 坐标为(2,3)，同理得到(2,4)F -，所以直线FH 的斜率为，可得直线FH 的方程为，化简得4140x y +-=.考点：直线的一般式方程.热点二： 圆的方程及应用上，且与直线210x y ++=相切的面积最小的圆的方程为_________________.【答案】22(1)(2)5x y -+-=【题型概述】求圆的方程一般有两类方法：几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.其一般步骤：①根据题意选择方程的形式：标准方程或一般方程；②利用条件列出关于,,a b R ，或,,D E F 的方程组；③解出,,a b R ，或,,D E F 的值，代入标准方程或一般方程，此外，根据条件要尽量减少参数设方程，这样可减少运算量．【跟踪练习1】若直线220ax by +-=，(0,0)a b >>平分圆222460x y x y +---=，则的最小值是 .考点：1.圆的方程；2.基本不等式求最值．【跟踪练习2】在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,0)P 在圆222:24280C x y mx y m +--+-=内，动直线AB 过点P 且交圆C 于,A B 两点，若△ABC 的面积的最大值为16，则实数m 的取值范围为 ．7)(327,3-【解析】圆C 的标准方程为22()(2)32x m y -+-=，首先由点P 在圆内，则22(3)(02)32m -+-<，解得，由题意存在90ACB ∠=︒，此时圆心C 到直线AB 的距离4d =，因此总是等价于过P 点的直线中有一条与圆心C 的距离d 为4，显然因此m 的取值范围是考点：点与圆的位置关系，圆心到弦的距离．热点三：直线与圆的位置关系【典例】【2017南通三模】在平面直角坐标系xOy 中，已知点，点，为圆上一动点，则的最大值是____．【答案】2点睛：首先根据问题将的表达式列出来，做最值问题的小题，首先得明确问题表达式，然后根据函数或者基本不等式求解最值，本题解题关键在于，写出表达式后要将其化为斜率的定义求法来理解从而求得结论【题型概述】直线与圆的位置关系由圆心到直线的距离d 与半径的关系确定，d r =相切；d r <相交，此时半弦长、弦心距、半径构成直角三角形；d r >时相离.解有关直线与圆的相交问题要灵活运用圆的几何性质，特别是半弦长、弦心距、半径构成直角三角形，满足勾股定理．圆的切线问题一般利用d r =求解，但要注意切线斜率不存在的情形，与圆有关的最值，范围问题要注意数形结合思想的运用．直线与圆中常见的最值问题：①圆外一点与圆上任一点的距离的最值．②直线与圆相离，圆上任一点到直线的距离的最值．③过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最值．④直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值问题．⑤两圆相离，两圆上点的距离的最值.【跟踪练习1】【2017南京三模】在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x ＋a ＋3)2＋(y －2a )2＝1(a 为实数)．若圆O 与圆M 上分别存在点P ，Q ，使得∠OQP ＝30︒，则a 的取值范围为 ▲ ．【考点】圆与圆的位置关系 【答案】－65，0]【解析】由题意圆M 上任意一点Q 向圆O 作切线，切点为P ，∠PQM=30，所以OQ=4， 即【跟踪练习2】【2017苏锡常镇三模】已知直线：210mx y m +--=，圆C ：22240x y x y +--=，当直线被圆C 所截得的弦长最短时，实数m = ▲ ． 【答案】1-【解析】直线过定点(2,1)A ，当直线被圆C 所截得的弦长最短时，热点四：圆锥曲线的定义及标准方程【典例】以原点为中心，焦点在y 轴上的双曲线C (0,2)A -，则双曲线C 的方程为________________.【题型概述】圆锥曲线的定义反映了它们的基本特征，理解定义是掌握其性质的基础.因此，对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求的方法：(1)定义法；(2)待定系数法，①顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为22y ax =或22x ay =(0a ≠)，避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时不具有p 的几何意义．②椭【跟踪练习1】已知双曲线C 的左右焦点为21,F F ，P 为双曲线C右支上异于顶点的一点，21F PF ∆的内切圆与轴切于点()01，，且P 与点1F 关于直线对称，则双曲线方程为 ．【解析】设点A （1，0），因为21F PF ∆的内切圆与轴切于点（1，0）所以)1()1(2--+=c c a ，则1=a ．因为P 与点F 1解得2=b ．所以考点：双曲线与圆的位置关系【跟踪练习2】设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ,已知B A ,为抛物线上的两个动点，且满足 60=∠AFB ,过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ,垂足为N ,值为 ． 【答案】考点：抛物线定义,余弦定理,基本不等式．热点五：圆锥曲线的几何性质【典例】【2017南通三模】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线（）经过抛物线的焦点，则该双曲线的离心率是____．【答案】【解析】抛物线的焦点为：（2,0）所以双曲线的a=2，又b=1，故离心率为：【题型概述】求椭圆、双曲线的离心率，关键是根据已知条件确定,,a b c 的等量关系，然后把用,a c 代换，故双曲线的渐近线与离心率密切相关，求离心率的范围问题关键是确立一个关于,,a b c 的不等式，再根据,,a b c 的关系消掉得到关于,a c 的不等式，由这个不等式确定,a c 的关系．【跟踪练习1】【2017南京三模】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 22m 2－y 23m ＝1的焦距为6，则所有满足条件的实数m 构成的集合是 ▲ ．【考点】双曲线的性质【跟踪练习2的右顶点为,A P 是椭圆C 上一点，O 为坐标原点,已知60,POA ∠=︒ 且OP AP ⊥，则椭圆C 的离心率为__________.的右顶点为,A P 是椭圆C 上一点，O 为坐标原点，60,POA ∠=︒且OP AP ⊥，所以由题意得602a=，所有题意得考点：椭圆的几何性质的应用.热点六：直线与圆锥曲线的位置关系【典例】【2017南通三模】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左焦点为，且经过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的弦过点F，且与轴不垂直．若D为轴上的一点，，求的值．【答案】(1) ;(2)4.② 若k≠0时，，，AB的中点为，代入椭圆方程，整理得，所以，所以,所以，所以AB的垂直平分线方程为．所以因为椭圆的左准线的方程为，离心率为，由，得，同理．所以．所以．试题解析：（1）方法一：由题意，得解得所以椭圆的标准方程为．方法二：由题意，知，所以．又，，所以，所以椭圆的标准方程为．因为椭圆的左准线的方程为，离心率为，由，得，同理．所以．所以．综上，得的值为4．方法2：设，，AB的中点为，若直线与x轴重合，；② 若直线不与x轴重合，设，，AB的中点为，由得，所以，所以直线的斜率为，所以AB的垂直平分线方程为．因为DA=DB，所以点D为AB的垂直平分线与x轴的交点，所以，所以. 同方法一，有，所以．综上，得的值为4．方法3：① 若直线AB与x轴重合，．综上，得的值为4．【题型概述】1.直线与椭圆的位置关系的判定方法：将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程.若0>，则直线与椭圆相交；若0=，则直线与椭圆相切；若0<，则直线与椭圆相离.2.直线与双曲线的位置关系的判定方法：将直线方程与双曲线方程联立，消去y 或，得到一个一元方程20ax bx c ++=或20ay by c ++=,若0a ≠，当0>时，直线与双曲线相交；当0=时，直线与双曲线相切；当0<时，直线与双曲线相离；若0a =，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点.3.直线与抛物线的位置关系的判定方法：将直线方程与抛物线方程联立，消去y 或，得到一个一元方程20ax bx c ++=或20ay by c ++=,当0a ≠时，用判定，方法同上；当0a =时，直线与抛物线的对称轴平行，与抛物线有一个交点.抛物线()220y px p =>的过焦点的弦AB ，若),(11y x A ，()22,y x B ，则，212y y p =-，同样可得抛物线22y px =-，22x py =，22x py =-类似的性质．4．解决直线与圆锥曲线相交时的弦长问题方法是：设而不求，根据韦达定理，进行整体代入．即当直线与圆锥曲线交于点),(11y x A ，()22,y x B ，时，【跟踪练习1】已知抛物线C:x 2=4y 的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线与抛物线相交于M ，N 两点．设直线l 是抛物线C 的切线，且l ∥MN ，P 为l 上一点，则PM PN ⋅uuu r uu u r的最小值为______ 【答案】14-考点：1.直线与抛物线的位置关系；2.向量数量积的坐标运算．【跟踪练习2】已知抛物线22x py =上点P 处的切线方程为10x y --=． （Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设11(,)A x y 和22(,)B x y 为抛物线上的两个动点，其中12y y ≠且124y y +=，线段AB 的垂直平分线与轴交于点C ，求ABC ∆面积的最大值．【解析】（Ⅰ）由22x py =得因为直线PQ 的斜率为1，，解得2p =，所以抛物线的方程为24x y =． （Ⅱ）设线段AB 中点()00,M x y ，则设()4,0C 到AB的距离即20±=x 时取等号，ABC S ∆∴的最大值为8.考点：1、导数几何意义；2、直线与圆锥曲线位置关系.热点七：圆锥曲线中的范围问题【典例】【2017的左焦点为(1,0)F -，左准线方程为2x =-．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）已知直线交椭圆C 于，两点．①若直线经过椭圆C 的左焦点F ，交轴于点，且满足PA AF λ=，PB BF μ=．求证：λμ+为定值；②若A ，B 两点满足OA OB ⊥（O 为 坐标原点），求△AOB 面积的取值范围．②当直线,OA OB 分别与坐标轴重合时，易知△AOB 10分 当直线,OA OB 的斜率均存在且不为零时，设设1122(,),(,)A x y B x y ，将y kx =代入椭圆C 得到22222x k x +=，…………………12分△AOB ………………………………13分令[)211,t k =+∈+∞，……………15分 ………………………………………………………16分【题型概述】求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围.在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件，把需要的量都用我们选用的变量表示，有时为了运算的方便，在建立关系的过程中也可以采用多个变量，只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可，同时要特别注意变量的取值范围.求解特定字母取值范围问题的常用方法：(1)构造不等式法：根据题设条件以及曲线的几何性质(如：曲线的范围、对称性、位置关系等)，建立关于特定字母的不等式(或不等式组)，然后解不等式(或不等式组)，求得特定字母的取值范围．(2)构造函数法：根据题设条件，用其他的变量或参数表示欲求范围的特定字母，即建立关于特定字母的目标函数，然后研究该函数的值域或最值情况，从而得到特定字母的取值范围．(3)数形结合法：研究特定字母所对应的几何意义，然后根据相关曲线的定义、几何性质，利用数形结合的方法求解．【跟踪练习1】在棱长为的正方体1111ABCDA B C D -中，点P 是正方体棱上一点（不包括棱①若2m =，则满足条件的点P 的个数为________；的点P 的个数为，则m 的取值范围是________．【答案】5){21}+设,(01)AP a a =<<，则12C P =由于2m =，所以此时有六个交点.考点：椭圆的标准方程及其性质.【跟踪练习2】焦点()()120,,0,F c F c -过1F 的直线交椭圆于,M N 两点，且2F MN ∆的周长为.（1）求椭圆方程；（2）与y 轴不重合的直线与y 轴交于点()()0,0P m m ≠，与椭圆C 交于相异两点,A B 且AP PB λ=,若4OA OB OP λ+=，求m 的取值范围.【解析】(1) 设2220,c c a b >=-，，故C 的方程为：2221y x +=. (2) 设:l y kx m =+与椭圆C 的交点为()()1122,,,A x y B x y ，将y kx m =+代入2221y x +=，得()()222222210,4220k x kmx m k m +++-=∴∆=-+>① ,4,3AP PB OA OB OP AP PB λλ=+=∴=，21221222,3x x x x x x ∴+=-=-， 消去2x 得即22224220k m m k +--=,当时，22224220k m m k +--<，由①得2222k m >-，解得考点：椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质；直线与圆锥曲线综合应用．热点八：圆锥曲线中的探索性问题【典例】【2017苏北三市三模】如图，在平面直角坐标系xOy 中，左、右顶点分别为A ，B ，过右焦点F 的直线与椭圆C 交于P ，Q 两点(点P 在轴上方)． （1）若2QF FP =，求直线的方程；（2）设直线AP ，BQ 的斜率分别为1k ，2k ．是否存在常数，使得12k k λ=？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．（2）由（18分………………………………………12分14分【题型概述】所谓存在性问题，就是判断满足某个(某些)条件的点、直线、曲线(或参数)等几何元素是否存在的问题．这类问题通常以开放性的设问方式给出，若存在符合条件的几何元素或参数值，就求出这些几何元素或参数值，若不存在，则要求说明理由．求解存在性问题时，通常的方法是首先假设满足条件的几何元素或参数值存在，然后利用这些条件并结合题目的其他已知条件进行推理与计算，若不出现矛盾，并且得到了相应的几何元素或参数值，就说明满足条件的几何元素或参数值存在；若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条件的几何元素或参数值不存在，同时推理与计算的过程就是说明理由的过程．解决存在性问题应注意以下几点：当条件和结论不唯一时要分类讨论；当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径.解决存在性问题的解题步骤：第一步：先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程（组）或不等式（组）；第二步：解此方程（组）或不等式（组），若有解则存在，若无解则不存在；第三步：得出结论【跟踪练习1】设点)0,(1c F -、)0,(2c F 分别是椭圆右焦点,P 为椭圆C 上任意一点,且21PF PF ⋅的最小值为． （1）求椭圆C 的方程;（2）设直线12:,:l y kx m l y kx n =+=+（直线、不重合）,若、均与椭圆C 相切，试探究在轴上是否存在定点Q ,使点Q 到、的距离之积恒为1?若存在,请求出点Q 坐标;若不存在,请说明理由．【解析】（1）设),(y x P ,则有),(1y c x P F +=,),(2y c x P F -=，，由21PF PF ⋅最小值为得210122=⇒=⇒=-a c c , ∴椭圆C 的方程为考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆的综合问题.【跟踪练习2】已知抛物线()220y px p =>上一点(),8M t 到焦点F（1）求抛物线C 的方程；（2）过F 的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，是否存在一个定圆恒以AB 为直径的圆内切，若存在，求该定圆的方程；若不存在，请说明理由.【解析】（1），()2,8M p ∴ 点M 在抛物线22y px =上，216p ∴= 0p > ，解得4p =,所以抛物线方程为28y x =.(2)当直线l 的斜率存在，设直线的方程为()2y k x =-，l 与抛物线交于点()()1122,,,A x y B x y 联立()228y k x y x =-=和 ，化简得()22224840k x k x k -++= 设A,B的中点为M ，假设定圆存在，设定圆的方程为()()222x a y b r -+-= ，()()222328328,24,a r a b r ∴-=--+=-且 得3,0,3a b r === 定圆的方程为()22-39x y += ，当直线斜率不存在使，以A,B 为直径的圆的方程为()22-216x y +=，该圆也与定圆()22-39x y +=内切，综上存在定圆()22-39x y +=恒与以A,B 为直径的圆内切.考点：抛物线的标准方程；圆的标准方程及直线与圆锥曲线的位置关系的应用.。