1.5独立性
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1.5 事件的独立性
二、有限个事件的独立性
定义2 定义 设 A、B、C 为三个事件， 、 、 为三个事件， 若满足等式
P ( AB ) = P ( A) P ( B ), P ( AC ) = P ( A) P (C ), P ( BC ) = P ( B ) P (C ), P ( ABC ) = P ( A) P ( B ) P (C ),
乙最终获胜的概率相同. 种赛制 甲,乙最终获胜的概率相同.
三、伯努利概型
如果随机试验只有两种可能的结果： 如果随机试验只有两种可能的结果： 记为 发生(记为 或事件 事件 A 发生 记为 A )或事件 A 不发生(记为 A ), 试验. 则称这样的试验为伯努利 (Bernoulli) 试验 则称这样的试验为伯努利 设
性质3 性质
设 A1 , A2 ,L, An 是 n( n ≥ 2) 个随机事件， 个随机事件，
相互独立， 可推出 A1 , A2 ,L, An 则 A1 , A2 ,L, An 相互独立， 两两独立. 反之不然 两两独立 反之不然. 即相互独立性是比两两独立性更强的性质. 注： 即相互独立性是比两两独立性更强的性质
P (D ) = P ( A1 U A2 U A3 U A4 ) = 1 − P ( A1 U A2 U A3 U A4 )
= 1 − P ( A1 U A2 U A3 U A4 )
= 1 − P ( A1 A2 A3 A4 )
= 1 − P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) P ( A4 )
相互独立. A与 B 相互独立
从一副不含大小王的扑克牌中任取一张, 例 1 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张, 记 抽到的牌是黑色的}, 抽到 , 抽到的牌是黑色的 A = {抽到 K }, B = {抽到的牌是黑色的 , 问事件
概率论及数理统计：1.5 事件的独立性
同时成立：
P( AB) P( A)P(B)
两两相互独立
P( AC ) P( A)P(C )
(1)
P(C ) P( A)P(B)P(C ) (2)
注1：三个事件A,B,C相互独立的性质类似两个事件的性质.
例 八组事件 A, B,C; A, B,C; A, B,C 任何一组相互独立，则其它各组也相互独立
解 设取出的5个数按由小到大排列为
x1 x2 x3 x4 x5
令 ( x3 4) 表示所求的事件 ( x3 4) ( x3 4) ( x3 3)
( x3 4) : 1,1,2,3,3; 1,1,2,3,4;
1,1,4,4,5; 1,1,4,5,8;
— 所取的5个数字中至少有3个数字不大于4
P( AB) P( AC ) P( ABC ) P( A) P(B) P(C ) P(BC )
P( A)P(B C )
结论：
若 n 个事件 A1, A2, …, An 相互独立，将这 n个事件 任意分成 k 组，同一个事件不能同时 属于两个不 同的组，则对每组的事件进行求和、积、差、对立 等运算所得到的 k 个事件也相互独立
P( A1 A2 An ) P( A1 )P( A2 ) P( An )
事件独立性的判别: 常根据实际问题的意义
例 已知事件 A, B, C 相互独立，证明事件
A 与 B C 也相互独立
证 P A(B C ) P(B C ) P A(B C )
P(B) P(C ) P(BC )
Pn(k ) k = 0, 1 , 2, …, n
例 八门炮同时独立地向一目标各射击一发炮 弹, 若有不少于2发炮弹命中目标时, 目标 就被击毁. 如果每门炮命中目标的概率为
1.5事件的独立性(课件)
定义 两个事件 A 与 B , 如果其中任何一个 事件发生的概率， 都不受另一个事件发生与否 的影响,则称事件 A 与 B 是相互独立的.
例 掷一枚均匀的骰子,(1)A表示“点数小于 则 B表示“点数为奇数” 5”,
P ( A)
4 6
2 3
P(B)
1 2 1 3
3 6
P ( AB )
一个独立试验序列.
定义1.8 由一个贝努利试验 独立重复进行,形成 的随机试验序列称为贝努利试验序列. 由一个贝努利试验 独立重复进行n次,形成的 随机试验序列 称为n 重贝努利试验. 在n 重贝努利试验中， 事件A发生 每一次试验, 的概率都是 p , 事件 A 发生的概率都是 q 1 p
P ( A1 ) P ( A 5 ) P ( A 6 )
A1 , A 2 , ..., A n 两两独立.
A1 , A 2 , ..., A n 相互独立
例 一个袋中装有4个球,其中全红、全黑、全白色 的球 各一个,另一个是涂有红、黑、白三色的彩球. 事件A、B、C 分别表示取到的球上 从中任取一个, 有红色、黑色、 白色, 判别A,B,C的独立性. 2 2 解 P(A) 2 P(B ) P (C )
§1.5 事件的独立性
一般地
P ( A B ) P ( A)
但在有些情况下， 事件B发生与否并不影响事件 A发生的机会. 如 甲、乙两人各掷一次硬币,
B表示 “乙掷出正面”,
A表示 “甲掷出正面”, 又如， 某校毕业班进行统考，
B表示 “乙同学英语及格.” A表示 “甲同学数学及格.”
一、两个事件的独立性 当事件B对事件A 发生的概率 没有任何影响时, 应有 P A B P ( A ) 其中 P ( B ) 0 当事件A对事件B 发生的概率 没有任何影响时, 应有 P B A P ( B ) 其中 P ( A ) 0 当 P ( B ) 0 时,
1.5事件的独立性与独立试验概型
P( AB) = P( AB) P( AB) = P( A) = P( A B) = P(B | A) P( AB) / P( A) P(B)
相对于B也独立 故称A, 相互独立 相互独立. 即A相对于 也独立 故称 B相互独立 相对于 也独立,故称
事件的独立性 判别
事件Ａ与事件Ｂ 事件Ａ与事件Ｂ独立的充分必要条件是
6 1 3 P( A) = , P( B) = , P( AB) = 8 2 8
此种情形下，事件 、 是独立的 是独立的。 此种情形下，事件A、B是独立的。
定理 若 事 件 A与 事 件 B 相 互 独 立 ,则 A与 B，
A与 B , A与 B 也 是 相 互 独 立 的 .
独立， 证明 若A、B独立，则 P ( AB) = P ( A) ⋅ P ( B) 、 独立
P ( B A) = P ( B ) 一、事件的独立性引例 例 一个盒子中有６只黑球、 只白球， 一个盒子中有６只黑球、４只白球，从中有放回
地摸球。 地摸球。求（1） 第一次摸到黑球的条件下，第二 ） 第一次摸到黑球的条件下， 次摸到黑球的概率；（ ） 次摸到黑球的概率；（2） 第二次摸到黑球的概 ；（ 率。 解 第一次摸到黑球 ， 第二次摸到黑球
概念辨析 事件Ａ与事件Ｂ 事件Ａ与事件Ｂ独立
P( AB) = P ( A) ⋅ P( B)
事件Ａ与事件Ｂ 事件Ａ与事件Ｂ互不相容
AB = Φ AB = Φ
P( AB) = 0
事件Ａ与事件Ｂ 事件Ａ与事件Ｂ为对立事件
AU B = Ω
P ( A) + P( B ) = 1
例
甲乙二人向同一目标射击， 甲乙二人向同一目标射击，甲击中目标的概 率为0.6，乙击中目标的概率为 。 率为 ，乙击中目标的概率为0.5。试计算 1）两人都击中目标的概率；2）恰有一人击 ）两人都击中目标的概率； ） 中目标的概率； ）目标被击中的概率。 中目标的概率；3）目标被击中的概率。
§1.5 事件的独立性于贝努利概型
n! rk r1 r2 p1 p2 ... pk r1 ! r2 !...rk !
其中r1 r2 ... rk n
2016/5/30 20
§1.5 事件的独立性与贝努利概型 事件的独立性 由前面知识知，一般地有 P A | B P A， 但也有例外。 这就是在 A 与 B 发生不相互影响，就有 P A | B P A。 由此，引出了两事件的相互独立性。 我们先看一个例子。 例 袋中有 a 只黑球，b 只白球。每次从中取出一 球，取后放回。令 A = “第一次取出白球”， B = “第 二次取出白球”，则
2016/5/30
19
定理1.4 多项概率公式
A1 , A2 ,..., Ak 且 P ( Ai ) pi (0,1), pi 1
i 1
n 重独立试验中,每次试验可能的结果是 n
则 A1 , A2 ,..., Ak 在n 次试验中各发生 r1 , r2 ,...,rk 次的概率为
P B P B A 。这表明， 启发：由例 1可见， 事件A 是否发生对事件 B 是否发生在概率上是 没有影响的， 即事件 A 的发生与事件 B 的发生 呈现出某种独立性。因为 P A 0且 P B A P B , 故有 P AB
b2
ab
P B P B A
1
2
5 4 6
3
当A发生条件下，系统的可靠性就是
2016/5/30
P ( B | A)
15
当A不正常工作时，原系统转化为
1
2
3
5
4 6
则A不发生，系统正常工作的概率： P ( B | A) 利用全概率公式 P( B) P( A)P( B | A) P( A) P( B | A)
概率论§1.5 事件独立性
例1 三人独立地去破译一份密码, 已知每个人 能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4。问三人中 至少有一人能将密码译出的概率是多少？
解：将三人分别编号为1, 2, 3， 记 Ai ={第i个人破译出密码}，i=1, 2, 3。
故，所求为 P(A1∪A2∪A3)
已知 P(A1)=1/5, P(A2)=1/3, P(A3)=1/4，
P ( A) P ( B) P (C ) 1 2
说明事件A,B,C两两相互独立,但不是总体相互独立。
定理8
A1, A2, …, An 相互独立,则
Ai1 , Ai2 , , Ai m , Ai m1 , Ai n 也相互独立
(1≤m≤n, i1, i2, …, in为1, 2, …, n 的一个全排 列) 注意: 在实际应用中,对于n个事件的相互独立性, 我们往往不是根据定义来判断,而是根据实际意义 来加以判断的
A 与 B 也相互独立
证明:(1) A AB AB 且 AB AB
P ( A) P ( AB) P ( AB )
又 P(AB)=P(A)P(B) 则有:
P ( AB ) P ( A) P ( A) P ( B ) P ( A) P ( B )
故, A与 B 相互独立
等价定义
定理6 设A，B是两个随机事件，若P(A)>0，则 事件B关于事件A独立的充要条件是 P(AB)=P(A)P(B)
证明：若事件B关于事件A独立，即P(B|A)=P(B)
则由乘法公式可得 P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B) 反之，若P(AB)=P(A)P(B)，已知P(A)>0
且 A1，A2，A3相互独立 可得 P(A1∪A2∪A3) 1 P ( A1 A2 An )
1.5随机事件的独立性
概率统计（ZYH）
(2) 若事件 与B相互独立 则以下三对事件 若事件A与 相互独立 相互独立, 也相互独立. 也相互独立 ① 注 称此为二事件的独立性 关于逆运算封闭. 关于逆运算封闭
A与B； ② A 与 B； 与 ③ A与B.
证 ① ∵A = A = A(B + B) = AB+ AB
∴ P( A) = P( AB) + P( AB) P( AB) = P( A) P( AB)
B A
P( A B) = 0
这表明: B的发生会影响 A发生的可能性 造成 发生的可能性(造成 这表明 的发生会影响 发生的可能性 A不发生 即B的发生造成 A发生的概率为零 不发生), 发生的概率为零. 不发生 的发生造成 发生的概率为零 所以A与 不独立 不独立. 所以 与B不独立
概率统计（ZYH）
证明： 证明： (1) A , A2, A3两两相互独立 ; 1
(2) A , A2, A3不相互独立 . 1
概率统计（ZYH）
2 1 证 (1) P( A ) = = = P( A ) = P( A ) 1 2 3 4 2 1 110，101， ， ， ∵ P( A A ) = = P( A )P( A2 ) 1 2 1 4 011，000 ， 1 P( A A ) = = P( A )P( A3 ) 1 3 1 4 1 P( A A ) = = P( A2 )P( A3 ) 2 3 4
概率统计（ZYH）
又∵ A与B相互独立 与 相互独立
∴ P( AB) = P( A) P( AB)
= P( A) P( A)P(B) = P( A)[1 P(B)] = P( A)P(B)
③ ∵AB = A∪ B (对偶律 对偶律 )
(2) 若事件 与B相互独立 则以下三对事件 若事件A与 相互独立 相互独立, 也相互独立. 也相互独立 ① 注 称此为二事件的独立性 关于逆运算封闭. 关于逆运算封闭
A与B； ② A 与 B； 与 ③ A与B.
证 ① ∵A = A = A(B + B) = AB+ AB
∴ P( A) = P( AB) + P( AB) P( AB) = P( A) P( AB)
B A
P( A B) = 0
这表明: B的发生会影响 A发生的可能性 造成 发生的可能性(造成 这表明 的发生会影响 发生的可能性 A不发生 即B的发生造成 A发生的概率为零 不发生), 发生的概率为零. 不发生 的发生造成 发生的概率为零 所以A与 不独立 不独立. 所以 与B不独立
概率统计（ZYH）
证明： 证明： (1) A , A2, A3两两相互独立 ; 1
(2) A , A2, A3不相互独立 . 1
概率统计（ZYH）
2 1 证 (1) P( A ) = = = P( A ) = P( A ) 1 2 3 4 2 1 110，101， ， ， ∵ P( A A ) = = P( A )P( A2 ) 1 2 1 4 011，000 ， 1 P( A A ) = = P( A )P( A3 ) 1 3 1 4 1 P( A A ) = = P( A2 )P( A3 ) 2 3 4
概率统计（ZYH）
又∵ A与B相互独立 与 相互独立
∴ P( AB) = P( A) P( AB)
= P( A) P( A)P(B) = P( A)[1 P(B)] = P( A)P(B)
③ ∵AB = A∪ B (对偶律 对偶律 )
1.5独立性及伯努利概型 《概率论与数理统计》课件
则称 A1,A2,An 相互独立.
n 个事件相互独立，则必须满足 2n n1个等式.
显然 n 个事件相互独立，则它们中的任意
m （2 mn）个事件也相互独立.
2.事件独立性的性质
定理1.5.1 四对事件{A、B}，{ A , B }，{A，B }、
{ A 、B }中有一对相互独立，则其它三对也相互独立.
证明 不失一般性.设事件 A 与 B 独立，仅证 A 与 B
相互独立，其余情况类似证明 因为 P ( A B ) P ( B A ) P ( B A ) P B ( B ) P ( A )B
又 A 与 B 独立，所以 P (A)B P (A )P (B )
从而 P ( A B ) P ( B ) P ( A ) P ( B ) P ( B ) 1 P ( ( A ) P ) ( A ) P ( B ) 所以， A 与 B 相互独立.
AB=｛（男、女），（女、男）｝
于是
P(A)= 1 , P(B)= 3 , P(AB)= 1
2
4
2
由此可知 P(AB) P(A) P(B).
所以 A与B 不独立.
2）有三个小孩的家庭，样本空间Ω=｛（男、
男、男），（男、男、女），（男、女、男），
（女、男、男）（男、女、女），（女、女、男），
（女、男、女），（女、女、女）｝
= 1 P(A1A2An) = 1 P(A 1)P(A 2)P(A n)
这个公式比起非独立的场合，要简便的多，它 在实际问题中经常用到.
例1.5.6 假若每个人血清中含有肝炎病的概率为 0.4%，混合100个人的血清，求此血清中含有肝炎病 毒的概率？
解: 设 A i={第 i 个人血清中含有肝炎病毒}
n 个事件相互独立，则必须满足 2n n1个等式.
显然 n 个事件相互独立，则它们中的任意
m （2 mn）个事件也相互独立.
2.事件独立性的性质
定理1.5.1 四对事件{A、B}，{ A , B }，{A，B }、
{ A 、B }中有一对相互独立，则其它三对也相互独立.
证明 不失一般性.设事件 A 与 B 独立，仅证 A 与 B
相互独立，其余情况类似证明 因为 P ( A B ) P ( B A ) P ( B A ) P B ( B ) P ( A )B
又 A 与 B 独立，所以 P (A)B P (A )P (B )
从而 P ( A B ) P ( B ) P ( A ) P ( B ) P ( B ) 1 P ( ( A ) P ) ( A ) P ( B ) 所以， A 与 B 相互独立.
AB=｛（男、女），（女、男）｝
于是
P(A)= 1 , P(B)= 3 , P(AB)= 1
2
4
2
由此可知 P(AB) P(A) P(B).
所以 A与B 不独立.
2）有三个小孩的家庭，样本空间Ω=｛（男、
男、男），（男、男、女），（男、女、男），
（女、男、男）（男、女、女），（女、女、男），
（女、男、女），（女、女、女）｝
= 1 P(A1A2An) = 1 P(A 1)P(A 2)P(A n)
这个公式比起非独立的场合，要简便的多，它 在实际问题中经常用到.
例1.5.6 假若每个人血清中含有肝炎病的概率为 0.4%，混合100个人的血清，求此血清中含有肝炎病 毒的概率？
解: 设 A i={第 i 个人血清中含有肝炎病毒}
1.5-独立性
即事件A 发生与否对事 件B发生的概率没有影响
在事件A、B相互独立的情况下，乘法公式可写成： P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B)
两个事件的独立性定义 设A, B 是两个随机试验, 如果P(AB)=P(A)P(B) 则称A, B是相互独立的随机事件
则
性质1：A, B 是两个事件， 而且P(A)>0, 则A与B相互独立的充要条件是 P(B/A)=P(B)
Pn k C p q
k n k
n k
q 1 p
k 0， 1， 2， ， n
在n次贝努利试验中，P(A)=p，则 1、事件A发生的次数不多于k次的概率：
C
i 0 n
k
i n
pq
i
n i
２、事件A发生的次数至少发生k次的概率
i i n i C np q ik
4、一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以 直接出厂，以概率0.30需进一步调试，经调 试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不 合格不能出厂。现该厂新生产了n(n≥2)台 仪器（各台仪器生产过程相互独立）。求 （1）全部能出厂的概率； （2）恰有两件不能出厂的概率； （3）至少有两件不能出厂的概率。
推论1 : 若A, B, C相互独立, 则A与A , B与B , C与C 每 对事件中任选一个事件得到的三个事件相互独立.
推论2 : 若A, B, C相互独立, 则A与BC , A与B C , A与B C 均相互独立.
注：此结论对两两相互独立的情况不一定成立 例一即可说明
对于任意有限个事件的独立性有： 定义：设 A1,A2,…,An 是 n 个事件，若 对于其中任意m (2 m n)个事件
性质3 : 若A1 , A2 ,... An 相互独立, 则 P( A1 A2 ... An ) 1 P( A1 A2 ... An ) 1 P( A1 ) P( A2 )...P( An )
民间艺术团章程
民间艺术团章程一、总则1.1 团名：本团的名称为XXX民间艺术团（以下简称“本团”）。
1.2 宗旨：本团旨在传承和发扬中华民间艺术，推动民间艺术的繁荣发展，丰富社会文化生活。
1.3 法律依据：本团的组织和活动遵守中华人民共和国相关法律法规以及社会主义核心价值观。
1.4 民间性质：本团为非营利性组织，不以盈利为目的。
1.5 独立性：本团独立自主，不受任何政府、团体或个人的干预。
二、组织结构2.1 团长：本团设有一名团长，负责团务的整体管理和决策。
2.2 副团长：本团设有一至多名副团长，协助团长工作。
2.3 部门设置：本团设有艺术创作部、演出部、宣传部、财务部等部门，具体设置根据团队需求而定。
2.4 人员招募：本团根据需要，可以招募艺术家、演员、导演、编剧、舞台设计师等相关人员，并签订合同。
三、团务管理3.1 决策机构：本团设有团务会议，由团长主持，团长、副团长及各部门负责人组成，负责重要事项的讨论和决策。
3.2 例会制度：本团每月召开一次团务例会，由团长或副团长主持，各部门负责人汇报工作进展和问题，共同商讨解决方案。
3.3 财务管理：本团设立财务部门，负责团队的财务收支管理、会计核算和审计工作，确保财务的透明和合规。
3.4 活动策划：本团根据需要，制定年度活动计划和预算，并及时向上级主管部门报备。
3.5 紧急事务处理：本团设有紧急事务处理机制，由团长或副团长负责组织应急措施，确保团队正常运转。
四、成员权利和义务4.1 入团条件：本团欢迎对民间艺术有热情和专业素养的个人加入，入团需经过团队评审和面试。
4.2 成员权利：本团成员享有参与团队艺术创作、演出、培训等活动的权利，有平等参与决策和表达意见的权利。
4.3 成员义务：本团成员应遵守团队章程，服从团队的组织和管理，积极参与团队活动，保护团队的声誉和利益。
4.4 退出团队：本团成员如需退出团队，应提前向团长提出书面申请，经团长批准后方可生效。
五、经费管理5.1 资金来源：本团的经费来源包括政府补助、社会捐赠、演出收入等。
§1.5事件的独立性
16
甲、乙两个乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛，已知 练习2： 每一局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4。比赛时 可以采用三局两胜或五局三胜，问在哪一种比赛制度 下，甲获胜的可能性较大？ 解 (1)三局两胜，设 A1 甲∶乙=2:0 甲净胜二局
A2
甲∶乙=2:1
前两局中各胜一局，第三局甲胜
P A1 0.62 0.36
立的射击一次, 已知目标被命中, 则它是乙命中的概率是多少? 解: 设
12
二、独立试验序列
n次重复试验
每次试验相互独立 每次试验的结果只有两个： A, A
这样的试验类型叫做n重独立试验序列或n重伯努利(Bernoulli)概型。 在n重独立试验序列中，A出现 m 次的概率为：
m m n m P ( m ) C n n p q
3 i 0
2
P( A | B1 ) 0.992 (1 0.95) P( A | B3 ) (1 0.95)3
P( A) P( Bi ) P( A | Bi ) 0.8629
10
例3 若干人独立地向一游动目标射击，每人击中目标的概率都是 0.6，问至少需要多少人，才能以0.99以上的概率击中目标？ 解
p K N
k K P ( A) Cn N k
K 1 N
nk
, k 0,1, 2,..., n.
14
例5 一张英语试卷，有10道选择题，每题有4个选择答案，且其 中只有一个是正确答案. 某同学投机取巧，随意填空，试问他 至少填对6道题的概率是多大？ 解 B =“他至少填对6道题”. 作10道题就是10重伯努利试验，
P( A) 0.9
P( A
P( B) 0.8
甲、乙两个乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛，已知 练习2： 每一局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4。比赛时 可以采用三局两胜或五局三胜，问在哪一种比赛制度 下，甲获胜的可能性较大？ 解 (1)三局两胜，设 A1 甲∶乙=2:0 甲净胜二局
A2
甲∶乙=2:1
前两局中各胜一局，第三局甲胜
P A1 0.62 0.36
立的射击一次, 已知目标被命中, 则它是乙命中的概率是多少? 解: 设
12
二、独立试验序列
n次重复试验
每次试验相互独立 每次试验的结果只有两个： A, A
这样的试验类型叫做n重独立试验序列或n重伯努利(Bernoulli)概型。 在n重独立试验序列中，A出现 m 次的概率为：
m m n m P ( m ) C n n p q
3 i 0
2
P( A | B1 ) 0.992 (1 0.95) P( A | B3 ) (1 0.95)3
P( A) P( Bi ) P( A | Bi ) 0.8629
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例3 若干人独立地向一游动目标射击，每人击中目标的概率都是 0.6，问至少需要多少人，才能以0.99以上的概率击中目标？ 解
p K N
k K P ( A) Cn N k
K 1 N
nk
, k 0,1, 2,..., n.
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例5 一张英语试卷，有10道选择题，每题有4个选择答案，且其 中只有一个是正确答案. 某同学投机取巧，随意填空，试问他 至少填对6道题的概率是多大？ 解 B =“他至少填对6道题”. 作10道题就是10重伯努利试验，
P( A) 0.9
P( A
P( B) 0.8
1.5事件的独立性
推广到n个事件的独立性定义,可类似写出：
设A1,A2, …,An是 n个事件，如果对任意k
(1<k n),任意1 i1<i2< …<ik n,具有等式
P( Ai1 Ai2 Aik ) P( Ai1 )P( Ai2 )P( Aik )
则称A1,A2, …,An为相互独立的事件.
包含等式总数为：
由于“甲命中”并不影响“乙命中”的
概率，故认为A、B独立 .
（即一事件发生与否并不影响另一事件发生 的概率）
又如：一批产品共n件抽取是有放回的, 则A1与A2独立.
因为第二次抽取的结果
不受第一次抽取的影响. 若抽取是无放回的，则A1 与A2不独立.
因为第二次抽取的结果受到 第一次抽取的影响.
请问：如图的两个事件是独立的吗？ 我们来计算： P(AB)=0 而P(A) ≠0, P(B) ≠0
A B 即 P(AB) ≠ P(A)P(B)
故 A、B不独立
即: 若A、B互斥，且P(A)>0, P(B)>0,
则A与B不独立.
反之，若A与B独立，且P(A)>0,P(B)>0, 则A 、B不互斥.
2. P(A|B)=P(A) 4. P(AB)=P(A)P(B)
设A、B为独立事件，且P(A)>0,P(B)>0,
下面四个结论中，正确的是：
1. P(B|A)>0 3. P(A|B)=0
2. P(A|B)=P(A) 4. P(AB)=P(A)P(B)
容易证明,若两事件A、B独立，则 A与B, A与B, A与B 也相互独立.
问：能否在样本空间Ω中找两个事件,它们 既相互独立又互斥?
这两个事件就是和
概率论1.5
推广到n个事件的独立性定义 可类似写出 推广到 个事件的独立性定义,可类似写出： 个事件的独立性定义 可类似写出： 设A1,A2, …,An是 n个事件，如果对任意 个事件，如果对任意k (1<k n),任意 ≤ 1<i2< …<ik ≤ 具有等式 任意1 i n,具有等式 任意
P( Ai1 Ai2 ⋯Ain ) = P( Ai1 )P( Ai2 )⋯P( Ain )
前面我们是根据两事件独立的定义作 出结论的，也可以通过计算条件概率去做: 出结论的，也可以通过计算条件概率去做 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张 记 A={抽到 抽到K}, B={抽到的牌是黑色的 抽到的牌是黑色的} 抽到 抽到的牌是黑色的 则 由于 P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13 P(A)= P(A|B), 说明事件 、B独立 说明事件A 独立. 独立 在实际应用中, 往往根据问题的实际意 在实际应用中 往往根据问题的实际意 义去判断两事件是否独立. 义去判断两事件是否独立
1
个人破译出密码} 记 Ai={第i个人破译出密码 i=1,2,3 第 个人破译出密码 所求为 P(A1+A2+A3) 已知, 已知 P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4 P(A1+A2+A3) = 1− P( A + A + A ) 1 2 n
3
2
= 1− P( A A2 A ) 1 3
p1 = p + 2 p (1− p).
2 2
采用五局三胜制, 甲最终获胜, 采用五局三胜制, 甲最终获胜, 至少需比赛 3 局 (可能赛 3 局, 也可能赛 4 局或 5 局), 可能赛
1.5事件的独立性
法多，人多智慧高的一种赞誉。可从概率的计算 得到证实。用 A i 表示“第 i 个臭皮匠独立解决某 问题”( i =1,2,3)，B表示“问题被解决”，并设每 个臭皮匠单独解决某问题的概率分别为： P(A1) = 0.45 P(A 2) = 0.55 P(A 3) = 0.60 则：
B= A1 ∪A2 ∪A3
P( B ) 1 P( B )
P( AB ) P( A B ) P( A AB ) P( A ) P( AB )
P ( AB ) P ( A ) P ( AB ) P( B ) 1 P( B )
解得
P ( AB ) P ( A A，B独立，有：P(AB)=P(A)P(B)
P(AB)=P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)= P(A)-P(A)P(B) =P(A)[1-P(B)]=P(A)P(B)
即事件A,B独立
（3）若P(A)=0或1，则A与任何事件独立
证明：若P(A)=0，则P(AB)=0,P(AB)=P(A)P(B)成立,则A与B独立 若P(A)=1,则P(A)=0,A与B独立,即A与B独立
k
pq
k
nk
例1：随机地掷一个骰子，连掷６次，求：
（1）恰有一次出现“６点”的概率；
（2）至多有两次出现“６点”的概率； 解：设Ａ＝“出现６点”，则：P(A)＝1/6 连掷６次骰子，可以看成６重贝努利试验，其中：p = 1/6 （1）恰有一次出现“６点”的概率为：
（2）至多有两次出现“６点”的概率为：
P(B) = 1- P(B) = 1– P(A1∪A2∪A3) = 1 – P(A1) P(A2) P(A3) = 1- (1- 0.45) (1- 0.55) (1- 0.60)= 1- 0.55×0.45×0.40
B= A1 ∪A2 ∪A3
P( B ) 1 P( B )
P( AB ) P( A B ) P( A AB ) P( A ) P( AB )
P ( AB ) P ( A ) P ( AB ) P( B ) 1 P( B )
解得
P ( AB ) P ( A A，B独立，有：P(AB)=P(A)P(B)
P(AB)=P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)= P(A)-P(A)P(B) =P(A)[1-P(B)]=P(A)P(B)
即事件A,B独立
（3）若P(A)=0或1，则A与任何事件独立
证明：若P(A)=0，则P(AB)=0,P(AB)=P(A)P(B)成立,则A与B独立 若P(A)=1,则P(A)=0,A与B独立,即A与B独立
k
pq
k
nk
例1：随机地掷一个骰子，连掷６次，求：
（1）恰有一次出现“６点”的概率；
（2）至多有两次出现“６点”的概率； 解：设Ａ＝“出现６点”，则：P(A)＝1/6 连掷６次骰子，可以看成６重贝努利试验，其中：p = 1/6 （1）恰有一次出现“６点”的概率为：
（2）至多有两次出现“６点”的概率为：
P(B) = 1- P(B) = 1– P(A1∪A2∪A3) = 1 – P(A1) P(A2) P(A3) = 1- (1- 0.45) (1- 0.55) (1- 0.60)= 1- 0.55×0.45×0.40
1.5随机事件的独立性
1.5 随机事件的独立性
一般情况下, 事件B的发生对事件A的发生是有 影响的. 如果事件B发生与否并不影响A的发生, 即
P(A B) P(A B) 则称事件A相对B独立, 此时A 相对 B也独立.
如果事件A相对B独立,事件B相对A也独立, 则 称它们是相互独立的.
概率统计（ZYH）
性质 设A与B是两随机事件, 那么 1º如果A相对B独立, 则事件 A 相对B也独立, 并且
P( Ai1 Ai2 Aik ) P( Ai1 )P( Ai2 )P( Aik )
事实上，在实际应用中，对于事件的独立性，
往往可由实际问题本身的意义判定.
概率统计（ZYH）
例1（伯恩斯坦反例） 一 个 均 匀 的 正 四 面 体 , 其第一面染成红色, 第二面染成白色 , 第三面染成 黑色, 而第四面同时染上红、白、黑三种颜色. 现 以 A, B, C 分别记投一次四面体出现红, 白, 黑颜色 朝下的事件, 问事件 A, B, C是否相互独立?
3 o. 若n个 事 件 A1 , A2 , , An (n 2)相 互 独 立, 则 将 A1 , A2 , , An 中 任 意 多 个 事 件 换 成 它们 的 对 立 事 件, 所 得 的n 个 事 件 仍 相 互 独 立
概率统计（ZYH）
概率统计（ZYH）
性质2º表明：在0<P(A)<1, 0<P(B)<1的条件下 A相对B独立 B相对A独立 A与B相互独立
性质1º与性质2º的证明过程也已经证明了 定理1 在0<P(A)<1, 0<P(B)<1的条件下 A与B相互独立 P(AB) P(A)P(B)
正因为此定理的成立，为了 叙述简单，有些教科书也把 此公式作为相互独立的定义
一般情况下, 事件B的发生对事件A的发生是有 影响的. 如果事件B发生与否并不影响A的发生, 即
P(A B) P(A B) 则称事件A相对B独立, 此时A 相对 B也独立.
如果事件A相对B独立,事件B相对A也独立, 则 称它们是相互独立的.
概率统计（ZYH）
性质 设A与B是两随机事件, 那么 1º如果A相对B独立, 则事件 A 相对B也独立, 并且
P( Ai1 Ai2 Aik ) P( Ai1 )P( Ai2 )P( Aik )
事实上，在实际应用中，对于事件的独立性，
往往可由实际问题本身的意义判定.
概率统计（ZYH）
例1（伯恩斯坦反例） 一 个 均 匀 的 正 四 面 体 , 其第一面染成红色, 第二面染成白色 , 第三面染成 黑色, 而第四面同时染上红、白、黑三种颜色. 现 以 A, B, C 分别记投一次四面体出现红, 白, 黑颜色 朝下的事件, 问事件 A, B, C是否相互独立?
3 o. 若n个 事 件 A1 , A2 , , An (n 2)相 互 独 立, 则 将 A1 , A2 , , An 中 任 意 多 个 事 件 换 成 它们 的 对 立 事 件, 所 得 的n 个 事 件 仍 相 互 独 立
概率统计（ZYH）
概率统计（ZYH）
性质2º表明：在0<P(A)<1, 0<P(B)<1的条件下 A相对B独立 B相对A独立 A与B相互独立
性质1º与性质2º的证明过程也已经证明了 定理1 在0<P(A)<1, 0<P(B)<1的条件下 A与B相互独立 P(AB) P(A)P(B)
正因为此定理的成立，为了 叙述简单，有些教科书也把 此公式作为相互独立的定义
概率论与数理统计1.5
例3(续) 3(续
由此可见
P ( AB ) = P( A)P(B )
P ( AC ) = P ( A)P (C )
P (BC ) = P (B )P (C ) 但是
1 1 P( ABC ) = ≠ = P( A)P(B )P(C ) 4 8
这表明A、 、 这三个事件是 这三个事件是两两相互独立 这表明 、B、C这三个事件是两两相互独立 但不是相互独立的． 的，但不是相互独立的．
称多个或可数无穷多个试验的集合为试验序列。 称多个或可数无穷多个试验的集合为试验序列。 试验序列 如果一个试验序列的各试验的结果之间是相互独立 则称该试验序列为一个独立试验序列 独立试验序列。 的，则称该试验序列为一个独立试验序列。 称只有两个基本结果的试验为伯努利试验 伯努利试验。 称只有两个基本结果的试验为伯努利试验。 有些试验的基本结果虽然不只两个， 有些试验的基本结果虽然不只两个，但若我们感兴 趣的是某个事件A是否发生，那么可以把A 趣的是某个事件A是否发生，那么可以把A作为一个基本 结果， 的对立事件作为另一个基本结果， 结果，A的对立事件作为另一个基本结果，从而也可归 结为伯努利试验。若试验结果是A发生，那么我们称试 结为伯努利试验。若试验结果是A发生，那么我们称试 发生的概率则称为成功概率 成功概率。 验成功， 验成功，而A发生的概率则称为成功概率。 由一个伯努利试验独立重复进行所形成的试验序列 称为伯努利试验序列 如果重复的次数是n 伯努利试验序列， 称为伯努利试验序列，如果重复的次数是n，则称该试 验序列为n重伯努利试验。 验序列为n重伯努利试验。
P( A1 + A2 + ⋯ + An ) = 1 − P( A1 A2 ⋯ An )
= 1 − P( A1 ) P( A2 ) ⋯ P( An ) = 1 − (1 − 0.7 )n = 1 − 0.3 n
第4讲 事件的独立性 第一章习题课
件A和B都不发生的概率为1/9,A发生而B不发 生的概率与B发生而A不发生的概率相等,则P(A)=( ).
2.已知A与B相互独立，且互不相容则 min(P(A),P(B))=( ) 三、选择题
3.设A,B是两个随机事件,且 0 P( A) 1, P( B) 0 P( B | A) P( B | A) ,则必有
A) P( A | B) P( A | B)
C ) P( AB) P( A) P( B)
B) P( A | B) P( A | B)
D) P( AB) P( A) P( B)
四、计算题
一、课后习题部分
1.7若W表示昆虫出现残翅，E表示有退化性眼睛，且
P(W) 0.125P(E) 0.075P(WE) 0.025 , , ,
§1.5 事件的独立性
一、两事件独立
定义 1.5.1 设A、B是两事件，若 P(AB)＝P(A)P(B) 则称事件A与B相互独立。
注 ：当P(A) ≠0,式(1.4.3)等价于：
P(B)＝P(B|A)
从一付52张的扑克牌中任意抽取一张， 以A表示抽出一张A，以B表示抽出一张 黑桃,问:
(1) A与B是否独立 ? (2) A与B是否独立 ?
§1.4 条件概率
一、内容回顾 1.条件概率的定义及性质 2.条件概率的计算公式：a 在缩减的样本空间下的计算公式；b 在原 来的样本空间下的计算公式 3.乘法公式、全概公式、贝叶斯公式 二、注意要点 1.条件概率也是概率，具有概率的一切性质 2.注意计算条件概率的二种方法的合理使用 3.乘法公式、全概公式、贝叶斯公式的使用场合 三、会做的习题 1.会判断所求概率是否为条件概率，并选择一种合适的方法计算之 2.会判断使用乘法公式、全概公式、贝叶斯公式的场合、条件，正 确使用之计算概率
2.已知A与B相互独立，且互不相容则 min(P(A),P(B))=( ) 三、选择题
3.设A,B是两个随机事件,且 0 P( A) 1, P( B) 0 P( B | A) P( B | A) ,则必有
A) P( A | B) P( A | B)
C ) P( AB) P( A) P( B)
B) P( A | B) P( A | B)
D) P( AB) P( A) P( B)
四、计算题
一、课后习题部分
1.7若W表示昆虫出现残翅，E表示有退化性眼睛，且
P(W) 0.125P(E) 0.075P(WE) 0.025 , , ,
§1.5 事件的独立性
一、两事件独立
定义 1.5.1 设A、B是两事件，若 P(AB)＝P(A)P(B) 则称事件A与B相互独立。
注 ：当P(A) ≠0,式(1.4.3)等价于：
P(B)＝P(B|A)
从一付52张的扑克牌中任意抽取一张， 以A表示抽出一张A，以B表示抽出一张 黑桃,问:
(1) A与B是否独立 ? (2) A与B是否独立 ?
§1.4 条件概率
一、内容回顾 1.条件概率的定义及性质 2.条件概率的计算公式：a 在缩减的样本空间下的计算公式；b 在原 来的样本空间下的计算公式 3.乘法公式、全概公式、贝叶斯公式 二、注意要点 1.条件概率也是概率，具有概率的一切性质 2.注意计算条件概率的二种方法的合理使用 3.乘法公式、全概公式、贝叶斯公式的使用场合 三、会做的习题 1.会判断所求概率是否为条件概率，并选择一种合适的方法计算之 2.会判断使用乘法公式、全概公式、贝叶斯公式的场合、条件，正 确使用之计算概率
§1.5 事件的独立性(课堂使用)
P(B) P( A1 A2 A3 ) P( A1 A2 A3 ) P( A1 A2 A3 ) 0.395
基础教学
14
例 若 0 P( A) 1,0 P(B) 1,则A与B互 不相容和A与B独立不能同时发生.
*例 证明：若 P( A | B) P( A | B), 则事件A 与B独立.
28
即它们不互相独立.
基础教学
9
注 事件的独立性在概率论的理论分析及 实际应用中都十分重要.但在实际应用时,我们 通常是根据事件的实际背景而不是由定义来 判断其独立性，即是看一个事件的发生对另 一个事件是否有影响，若没有就独立.
基础教学
10
例1.5.3 敌机俯冲时,被一门高射机枪击中 的概率为0.05,现集中40门高射机枪,求击中敌 机的概率.
基础教学
8
P( AB) P( AC ) P(BC ) 4 / 16 1/ 4.
可见 P( AB) P( A)P(B), P(BC ) P(B)P(C ),
P( AC ) P( A)P(C ),
即A,B,C三事件两两独立.而 P( ABC) P( ) 0, P( A)P(B)P(C ) (1)3 1 .
P(B | A) P(B | A)，
基础教学
24
例 设P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(A|B)=0.8,则下 列结论中正确的是( ) (A) 事件A与B互不相容; (B) A B； (C)事件A与B互相独立; (D)P(A∪B)=P(A)+P(B).
基础教学
25
例 事件A,B满足 P( A) P(B) 1, 则 A与B
基础教学
11
解 设 Ai 表示“敌机被第i门高射机枪击
中”, i 1,2,,40；则各 Ai 之间独立。又设A表 示“敌机被击中”,则 A 40 Ai且每个P( Ai ) 0.05.
概率论与数理统计1.5事件的独立性
概率论与数理统计1.5事件的独立性概率论与数理统计的概念"事件的独立性"是指事件A与事件B之间没有共同点或联系，A发生不会影响B的发生，反之亦然，只要当给定的概率分布，事件的独立性也可以用来衡量两个事件之间的联系程度。
在大多数情况下，来讨论两个事件之间的独立性，通常讨论其概率，比如A和B是独立的就意味着，如果每个事件发生的概率都是一样的，那么它们每一个发生的概率也是一样的，这也意味着A、B是特征独立的，它们各自发生的概率不受对方的影响；当对给定的概率分布，两个事件的独立性也可以用来衡量它们之间的联系程度，尤其是在检验它们之间是否有统计相关时，可以用两个独立的事件的概率比较，以确定两个事件的独立性，因而事件的独立性是统计概率理论中非常重要的概念，广泛应用于现实问题的推断和分析当中。
要想知道两个事件是否是独立的，一般通过比较他们的概率来确定，如果两个事件之间没有共同点，或者是它们之间没有关联，那么就可以用它们的概率相乘来验证其独立性。
例如，A和B的独立性可以按照P（A）*P（B）= P（A和B）来验证，即如果此式成立，则说明A与B是独立事件，反之则不是。
事件的独立性不但在单独的概率计算中用到，还可以用在计算多个条件概率和条件独立性，信息论和模式识别领域里，事件独立性也经常使用。
例如，在机器学习领域，特征独立性是重要的一项假设，其可以依据特征之间事件的独立性，通过构建朴素贝叶斯模型来识别和分类数据等。
总而言之，事件的独立性是概率论与数理统计中一个非常重要的概念，它是概率论的基本概念，广泛应用于现实中的推断分析中，使用了它可以方便的得出更准确的答案，也有利于更准确的预测，从而使得事件独立性得到充分发挥。
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主讲人： 苏本堂
2．n个事件的独立性 n个事件A1, A2, …, An，如果对于任意k(1<k≤n), 任意1≤i1＜i2＜…ik≤n，满足等式
P( Ai1 Ai2 Aik ) P( Ai1 )P( Ai2 ) P( Aik ),
则称A1, A2, …, An是相互独立 的事件。 注：(1)若n个事件A1,A2,…,An独立, 则其部分事件组也独立； (2)若n个事件A1, A2, …, An独立，则将其中部分事件 换为对立事件所得的事件组也独立．
P(S2 ) P(( A1 A2 )( A3 A4 )) P( A1 A2 )P( A3 A4 )
p2 (2 p)2 (2 p p )
2 2
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系统一：先串联后并联 P(S1 ) p2 (2 p2 ) 系统二：先并联后串联
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一、 两个事件的独立性 定义 设A、B二事件，如果满足等式 P(AB)=P(A)P(B), 则称A、B为相互独立的事件(Mutual independence )。 由定义得：必然事件Ω及不可能事件与Φ任何事件 都相互独立。 性质 (1)若P(A)>0, P(B)>0, 则Ａ和Ｂ独立当且仅当 P(B|A)=P(B); P(A|B)=P(A). (2) 若Ａ与Ｂ独立, 则A与 B ; A 与 B; A 与 B 也独立.
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二、多个事件的独立性
1. 三个事件的独立性 三个事件A、B、C，如果满足下面四个等式
P( AB) P( A) P( B), P( AC ) P( A) P(C ), 则称三事件A、B、C相互独立。 P BC P( B) P(C ), P( ABC ) P( A) P( B) P(C ), (independence each other)
所以A∪B与C独立. 类似可证AB与C; A-B与C也独立.
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例4．设每门炮的命中率为0.6，今有一敌机入侵， 欲以99％的把握击中敌机，应设几门炮． 解 设配置n门炮，Ai=“第i门炮击中敌机”，i=1,2,…,n. A=“敌机被击中”． 由题意知： A１, A2,…, An相互独立．且 A= A１∪A2∪…∪An 要使 P(A)≥0.99. 由于 P(A)= P(A１∪A2∪…∪An) 1 P( A1 A2 An )
1 P( A1 ) P( A2 ) P( An ) 1 0.4n
须 １－0.4n≥0.99 解得
lg 0.01 n 5.026 lg 0.4
所以至少配置６门炮
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例5 两射手轮流对同一目标进行射击，甲先射， 谁先击中则得胜。每次射击中，甲、乙命中目标 的概率分别为 和 ，求甲、乙分别得胜的概率。 解: 因为 P(甲胜) = + (1 )(1 ) P(甲胜) 所以 P(甲胜) = / [1 (1 )(1 ) ] . P(乙胜) = (1 ) + (1 )(1 ) P(乙胜) 所以 P(乙胜) = (1 ) / [1 (1 )(1 ) ] .
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例3 设A,B,C三事件相互独立, 证明A∪B与C独立. 证明: P(( A B)C )
P( AC BC ) P( AC ) P( BC ) P( ABC ) P( A) P(C ) P( B) P(C ) P( A) P( B) P(C ) [ P( A) P( B) P( A) P( B)]P(C ) P( A B) P(C )
例7 有2500人参加保险，已知一年里死亡率为0.002， 每人一年付120元保险费，而在死亡后取 20000元，问（不计利息） （1）A=“保险公司亏本”的概率是多少？ （2）B=“保险公司每年获利不少于100000元”的概率 是多少？ 解 若一年死亡X人，则保险公司支出20000X(元),一年 中保险公司收入为2500×120=300000（元），于是 （1）当20000X＞300000即X＞15时，保险公司亏 本，故 P(A)=P(X＞15)=1-P(X≤15).
1 C
k 0
15
k 2500
(0.002) (0.998)
k
2500k
0.000069.
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例7 有2500人参加保险，已知一年里死亡率为0.002， 每人一年付120元保险费，而在死亡后取 20000元，问（不计利息） （1）A=“保险公司亏本”的概率是多少？ （2）B=“保险公司每年获利不少于100000元”的概率 是多少？ （2）B等价于事件(300000-20000X≥100000)，即(X≤10)， 故
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§1.5 独立性
Independence of Events
一 两个事件的独立性 二 多个事件的独立性 三 试验的独立性
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一、 两个事件的独立性
引入：一般地 P(B|A)≠P(B),即A的发生，会对B的发 生产生影响，但在某些情况下有Ｐ(B|A)＝P(B)，如： 设盒中３个白球,２个红球, 从中取球两次, 每次一个, 在 a)不放回取样；b)放回取样，求下列事件的概率： (1)第二次取得红球的概率； (2)在第一次取白球的条件下,第二次取得红球的概率 解：设Ａ＝“第一次取得白球”，Ｂ＝“第二次取得红球” a)不放回取样 (1) P(B)=2/5, (2) P(B|A)=2/4, P(B)≠Ｐ(B|A); b)放回取样 (1) P(B)=2/5, (2) P(B|A)= 2/5 , P(B)＝Ｐ(B|A) .
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三、试验的独立性
若试验E1的任一结果与试验E2的任一 结果都是相互 独立的事件，则称这两个试验相互独立，或称独立试验.
贝努里试验：
若某种试验只有两个结果 (成功、失败； 黑球、白球；正面、反面)， 则称这个试验为贝努里试验. 在贝努里试验中，一般记“成功”的概率为p. n 重贝努里试验： n次独立重复的贝努里试验.
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例6 元件工作独立，求下列系统正常工作的概率. 记 Ai = “第i个元件正常工作” ， pi = P(Ai) . 系统一：先串联后并联
A1
A2
A3
A4
系统二：先并联后串联
A1
A2
A3
A4
系统三：桥式系统
A1
A3
A5
A2
A3
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例6 元件工作独立，求下列系统正常工作的概率. 记 Ai = “第i个元件正常工作” ， p= P(Ai) .
k P( B) P( X 10) C2500 (0.002)k (0.998)2500k k 0 10
0.986305.
即保险公司亏本的概率约为10万分之6.9，不足万分 之一， 每年获利不少于100000元的概率在98%以上.
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系统一：先串联后并联
A1
A2
A3
A4
A3
系统二：先并联后串联
解:
S1 A1 A3 A2 A4 ,
A1
A2
A4
S2 ( A1 A2 )( A3 A4 )
P(S1 ) P( A1 A3 ) P( A2 A4 ) P( A1 A2 A3 A4 ) 2p2 p4 p2 (2 p2 )
山东农业大学
概率论与数理统计教程
主讲人： 苏本堂
n 重贝努里试验成功的次数
在n 重贝努里试验中，记成功的次数为X.
X 的可能取值为： 0，1，……，n.
X 取值为 k 的概率为：
P(X k) Cnk pk (1 p)n k
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主讲人： 苏本堂
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主讲人： 苏本堂
练习题 口袋中有3个白球、5个黑球，甲、乙 两人轮流从口袋中有返回地取一球，甲先取.谁先取到 白球为胜，求甲胜的概率.
解：P(甲胜) = 3/8 + (5/8)(5/8) P(甲胜) 所以 P(甲胜) = 8/13.
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验证:易知 但是 P(A)=P(B)=P(C)=1/2, P(AB)=P(BC)=P(CA)=1/4 P(ABC)=1/4≠ P(A)P(B)P(C)=1/8 所以 P(AB)=P(A)P(B) P(ABC)≠ P(A)P(B)P(C) P(BC)=P(B)P(C) 故A,B,C不相互独立. P(CA)=P(C)P(A) 即事件A,B,C两两独立.
P(S2 ) p (2 p)
2 2
A1
A2
A1
A3
A4
A3
A2
A4
系统三：桥式系统
利用全概率公式
A1
A3
A5
A2
A3
P(S3 ) P( A5 )(S3 | A5 ) P( A5 )(S3 | A5 )
pp2 (2 p)2 (1 p) p2 (2 p2 ) p3 (2 p)2 (1 p) p2 (2 p2 )