极坐标与参数方程导学案

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4-4导学案

极坐标与参数方程单元练习21.已知点P 的极坐标是（1，π），则过点P 且垂直极轴的直线极坐标方程是 .2.在极坐标系中，曲线)3sin(4πθρ-=一条对称轴的极坐标方程 .3.在极坐标中，若过点(3，0)且与极轴垂直的直线交曲线θρcos 4=于A 、B 两点. 则|AB|= .4.已知三点A(5，2π)，B(-8，π611)，C(3，π67)，则ΔABC 形状为 . 5.已知某圆的极坐标方程为：ρ2–42ρcon(θ-π/4)+6=0则：①圆的普通方程；②参数方程；③圆上所有点（x,y ）中xy 的最大值和最小值分别为、 .6.设椭圆的参数方程为()πθθθ≤≤⎩⎨⎧==0sin cos b y a x ，()11,y x M ，()22,y x N 是椭圆上两点， M 、N 对应的参数为21,θθ且21x x <，则12,θθ大小关系是 . 7.直线：3x-4y-9=0与圆：⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是 .8.经过点M 0(1，5)且倾斜角为3π的直线，以定点M 0到动点P 的位移t 为参数的参数方程是 . 且与直线032=--y x 交于M ,则0MM 的长为 .9.参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=+=21y t t x (t 为参数)所表示的图形是 .10.方程⎩⎨⎧-=+=12322t y t x (t 是参数)的普通方程是 .与x 轴交点的直角坐标是 11.画出参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-==1112t t y t x （t 为参数）所表示的曲线12.已知动圆：),,(0sin 2cos 222是参数是正常数θθθb ，a b a by ax y x ≠=--+，则圆心的轨迹是 .13.已知过曲线()⎩⎨⎧≤≤==πθθθθ0sin 4cos 3，y x 为参数上一点P ，原点为O ，直线PO 的倾斜角为4π，则P 点坐标是 . 14.直线221x ty t =+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)上对应t=0, t=1两点间的距离是 .15.直线03sin 201cos 20x t y t ⎧=+⎨=-+⎩(t 为参数)的倾斜角是 .16.设0>r ,那么直线()是常数θθθr y x =+sin cos 与圆()是参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==sin cos r y r x 的位置关系是 .17.直线()为参数t t y tx ⎩⎨⎧+=--=2322上与点()32，P -距离等于2的点的坐标是 .18.过抛物线y 2=4x 的焦点作倾斜角为的弦，若弦长不超过8，则的取值范围是________.19.若动点(x ,y )在曲线14222=+by x (b >0)上变化，则x 2 + 2y 的最大值为 .页教师寄语：原谅别人，就是善待自己；恭敬别人，就是庄严自己。

极坐标参数方程导学案(一)

极坐标参数方程复习学案（一）【高考要求】：（1）坐标系①理解坐标系的作用②了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况③能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化④能在极坐标中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程。

理解用方程表示平面图形时选择适合坐标系的意义(2)参数方程①了解参数方程，了解参数的意义②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程【教学目标】：1、知识与技能：理解极坐标的概念，会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化，会正确将极坐标方程化为直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程，不要求利用曲线方程或极坐标方程求两条曲线的交点。

}2、过程与方法：在坐标系的教学中，可以引导学生自己尝试建立坐标系，说明建立坐标系的原则，激励学生的发散思维和创新思维，并通过具体实例说明这样建立坐标系有哪些方便之处。

3、情感、态度与价值观：体会从实际问题中抽象出数学问题的过程，培养探究数学问题的兴趣和能力，体会数学在实际中的应用价值，提高应用意识和实践能力。

【自主探究】已知直线l 的极坐标方程为sin()63πρθ-=，圆C 的参数方程为10cos 10sin x y θθ=⎧⎨=⎩．（1）化直线l 的方程为直角坐标方程；（2）化圆的方程为普通方程；（3）求直线l 被圆截得的弦长．)【巩固练习】1、已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6πα=，设l 与曲线2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）交于两点,A B ，求（1）|PA||PB|，|PA|+|PB|的值；（2）弦长|AB|; （3）弦AB 中点M 与点P 的距离。

,、2、在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为cos ,sin ,x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）曲线C 2的参数方程为cos ,sin ,x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（0a b >>，ϕ为参数）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ=α与C 1，C 2各有一个交点.当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=2π时，这两个交点重合. )（I ）分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值； (II)设当α=4π时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1,当α=-4π时，l 与C 1， C 2的交点为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积..【课堂小结】【课后作业】已知极点与原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．若曲线1C 的极坐标方程为：2sin ρ=θ，曲线2C的参数方程为：x 2cos y =θ⎧⎪⎨θ⎪⎩（θ为参数），曲线1C 与2C 交于M ，N 两点，求M ，N 两点间的距离．。

选修4-4坐标系与参数方程学案资料

§4.1.2极坐标系（1）学习目的：1、理解极坐标的概念；2、能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别；学习重点：理解极坐标的意义学习难点：能够在极坐标系中用极坐标确定点位置学习过程：一、新知导入：情境1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将它们引爆？情境2：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。

⑴他向东偏60方向走120m后到达什么位置？该位置惟一确定吗？⑵如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？问题2：如何刻画这些点的位置？二、建构数学：1、极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。

（其中O称为，射线OX称为。

）2、极坐标系内一点的极坐标的规定3、负极径的规定ρθ是点M的极坐标，那么点M也可表示一般地，如果(,)成：。

三、例题讲解例1：写出下图中各点的极坐标思考：①平面上一点的极坐标是否唯一？②若不唯一，那有多少种表示方法？③坐标不唯一是怎么引起的？④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？变式训练：在上面的极坐标系里描出下列各点45(3,0),(6,2),(3,),(5,),(3,),(4,)236A B C D E F πππππ 例2：在极坐标系中，⑴已知两点5(5,),(1,)44P Q ππ，求线段PQ 的长度； ⑵已知M 的极坐标为(,)ρθ且,3R πθρ=∈，说明满足上述条件的点M 所组成的图形。

变式训练：若,A B 两点的极坐标为),(),,(2211θρθρ求AB 的长以及AOB ∆的面积。

（O 为极点）例3 已知(,)P ρθ，分别按下列条件求出点P 的极坐标。

⑴P 是点Q 关于极点O 的对称点；⑵P 是点Q 关于直线2πθ=的对称点；⑶P 是点Q 关于极轴的对称点。

高中数学坐标系与参数方程学案

基础知识极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。

设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。

有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM .说明：①极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。

极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ. ②若0<ρ,0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。

③如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。

极坐标与直角坐标的互化：θρθρsin cos ==y x ；⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛≠=2tan πθθx y ；222y x +=ρ. 常用极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是 r =ρ；在极坐标系中，以 )0,(a C )0(>a 为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是 θρcos 2a =；在极坐标系中，以 )2,(πa C )0(>a 为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是θρsin 2a =；在极坐标系中，)0(≥=ραθ为以极点为起点的一条射线；)R (∈=ραθ为过极点的一条直线. 在极坐标系中，过点)0)(0,(>a a A ，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是a =θρcos . 参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧==),(),(t g y t f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简称参数。

圆锥曲线----极坐标与参数方程(导学案)

圆锥曲线------ 极坐标系与参数方程【目标】:1、掌握点的极坐标与直角坐标的互化；2、掌握曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化；3、会把极坐标系的问题转化为直角坐标系的问题解决；4、掌握曲线的参数方程与普通（直角坐标）方程的互化；5、会参数方程解决曲线的交点与最值问题。

坐标系一、知识要点1. 对于极坐标系内任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，用θ表示从Ox 到OM 的角度，则ρ叫做点M 的，θ叫做点M 的，点M 的极坐标是。

2. 极坐标与直角坐标的互化公式：x = ，y = ，2ρ = ， θtan = 。

3. 特殊的圆的极坐标方程: r,2cos ,2sin ,cos sin a a a b ρρθρθρθθ====+4. 特殊的直线的极坐标方程：sin ,cos ,(R),a a ρθρθθαρ===∈ 二、例题与练习1. 点M 的直角坐标是 (1-，则M 点的极坐标为（）2.(2,).(2,).(2,).(2,2),()3333A B C D k k Z πππππ-+∈2. 曲线的极坐标方程θρsin 4=化为直角坐标方程为 .3. 在极坐标系中，过点4π⎛⎫⎪⎝⎭作圆4sin ρθ=的切线，则切线的极坐标方程是．4. 在极坐标系中，已知直线过点（1，0），且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为3π，则直线的极坐标方程为______________.5. 在极坐标系中，圆C 的极坐标方程是π4cos 6ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭。

现以极点为原点，以极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则圆C 的半径是，圆心的直角坐标是。

6.极坐标内曲线2sin ρθ=的中心O 与点D ()1,π的距离为．7. 在极坐标系中，点A (1,)4π到直线sin 2ρθ=-的距离是__ _ _.8. 已知圆的极坐标方程2cos ρθ=，直线的极坐标方程为cos 2sin 70ρθρθ-+=,则圆心到直线距离为．9. 极坐标系中，曲线4sin ρθ=-和cos 1ρθ=相交于点,A B ，则AB ＝；10. 在极坐标系中，直线π3θ=（ρ∈R ）与圆4cos ρθ=+θ交于A 、B 两点，则AB = ．11. 设Ｍ、Ｎ分别是曲线2sin 0ρθ+=和s ()4in πρθ+=上的动点，则Ｍ、Ｎ的最小距离是12. 在极坐标系中，圆2cos ρθ=的圆心的极坐标是，它与方程π4θ=（0ρ>）所表示的图形的交点的极坐标是．13. 已知曲线21,C C 的极坐标方程分别为θρθρcos 4,3cos ==（20,0πθρ<≤≥），则曲线1C 与2C 交点的极坐标为__ ___.14. 极坐标系下，直线2)4cos(=-πθρ 与圆2=ρ的公共点个数是_____．15. 在极坐标系中，过点π4,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭引圆4sin ρθ=的一条切线，则切线长为．参数方程一、知识要点1．在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个变数t 的函数 x f (t),y g(t),=⎧⎨=⎩,并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y 的变数t 叫做参变数，简称参数。

参数方程与极坐标教学案

参数方程与极坐标教学案一、引言参数方程与极坐标是高中数学教学中的重要内容，它们在解决几何问题和计算问题中具有广泛的应用。

本教学案主要介绍参数方程与极坐标的概念、性质和应用，旨在帮助学生深入理解和掌握这两种坐标系的特点和使用方法。

二、参数方程的概念与性质1.1 参数方程的定义参数方程是以参数为自变量，通过参数与变量之间的对应关系描述曲线的一种坐标系表示方法。

1.2 参数方程的性质（1）参数方程可以表示平面曲线上的任意一点。

（2）参数方程描述的曲线不一定是函数图像。

（3）参数方程能够简化一些复杂的曲线方程的求解过程。

三、参数方程与几何图形2.1 直线的参数方程（1）斜率存在时的参数方程：设直线的斜率为k，过点P(x₁, y₁)，则直线的参数方程为：x = x₁ + ty = y₁ + kt其中t为参数，表示直线上任意一点的坐标。

（2）斜率不存在时的参数方程：设直线垂直于x轴，交点为(x₀, y₁)，则直线的参数方程为：x = x₀y = y₁ + t其中t为参数，表示直线上任意一点的坐标。

2.2 曲线的参数方程（1）椭圆的参数方程：椭圆的参数方程可以表示为：x = a*cos(t)y = b*sin(t)其中a和b分别为椭圆的两个半轴长度。

（2）抛物线的参数方程：抛物线的参数方程可以表示为：x = at²y = 2at其中a为抛物线的参数和焦点到准线的距离。

四、极坐标的概念与性质3.1 极坐标的定义极坐标是以极径和极角为坐标的一种表示方法，其中极径表示点到原点的距离，极角表示点与正半轴的夹角。

3.2 极坐标的性质（1）极坐标中的极径和极角是有序对，唯一确定一点的。

（2）同一点在极坐标和直角坐标系中的表示不同。

五、极坐标的转化与应用4.1 直角坐标转极坐标已知点P(x, y)，其极坐标就可以表示为：r = √(x² + y²)θ = arctan(y/x)4.2 极坐标转直角坐标已知点P(r, θ)，其直角坐标可以表示为：x = r*cos(θ)y = r*sin(θ)六、参数方程与极坐标的应用5.1 参数方程在运动学中的应用通过用参数方程描述物体的运动轨迹，可以更方便地计算物体的位置、速度和加速度等运动学问题。

极坐标与参数方程教学设计

极坐标与参数方程教学设计教学目标:1.了解极坐标和参数方程的概念和特点。

2.掌握极坐标和参数方程的转换关系。

3.能够利用极坐标和参数方程描述和绘制简单的图形。

教学内容:1.极坐标的引入极坐标是一种用极径和极角表示平面上点的坐标系统。

极坐标中，每个点由它到极点的距离和与极轴的夹角确定。

极点是坐标轴的原点，极轴是一条从极点到无穷远处的射线。

极径通常用正数表示，极角用角度或弧度表示。

2.参数方程的引入参数方程是一种用参数表示物体的坐标方程。

在参数方程中，坐标值都是由参数决定的表达式，用来描述一个曲线或曲面的运动或变化。

3.极坐标和参数方程的转换方法(1)极坐标转参数方程:已知点P的极坐标(r,θ)，则其对应的参数方程为x = rcosθ，y = rsinθ。

(2)参数方程转极坐标:已知参数方程x = f(t)，y = g(t)，则其对应的极坐标为r =√(f(t)²+g(t)²)，θ = tan^(-1)⁡(g(t)/f(t))。

4.极坐标和参数方程的应用利用极坐标和参数方程可以描述和绘制很多有趣的图形，如圆、椭圆、心形线等。

教学步骤:步骤一:导入1.引出极坐标和参数方程的概念和特点。

2.通过示例和图示介绍极坐标和参数方程的基本表示方法。

步骤二:极坐标和参数方程的转换关系1.介绍极坐标和参数方程的转换关系，包括极坐标转参数方程和参数方程转极坐标的方法。

2.通过示例演示转换过程，让学生理解和掌握转换的思路和方法。

步骤三:极坐标和参数方程的绘制1.引导学生利用极坐标和参数方程描述和绘制简单的图形，如圆、椭圆、心形线等。

2.通过实例演示和练习让学生掌握绘制图形的方法和技巧。

步骤四:综合应用1.引导学生利用极坐标和参数方程解决实际问题，如天文学中的行星运动、工程中的曲线绘制等。

2.通过实例和讨论，激发学生的兴趣和创造力，培养学生的实际应用能力。

步骤五:总结和拓展1.对极坐标和参数方程的知识进行总结归纳。

极坐标与参数方程导学案

2．会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化． 3．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程.
【教学重点】了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．
【教学难点】会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．【学习方法】学案导学法
【合作探究1】平面直角坐标系中的伸缩变换
例1 在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨
⎪⎧
x ′＝3x ，
2y ′＝y ，
(1)求点A (1
3，－2)经过φ变换所得的点A ′的坐标；
(2)求直线l ：y ＝6x 经过φ变换后所得的直线l ′的方程；
(3)求双曲线C ：x 2
－y 2
64
＝1经过φ变换后所得到的曲线C ′的焦点坐标．
思维升华平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ′＝λ·x λ>0 ，
y ′＝μ·y μ>0 下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆．
【学后反思】。

极坐标及参数方程导学案

第一部分坐标系导学案一、坐标系的有关概念1．平面直角坐标系： 2．空间直角坐标系：3．极坐标系：在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线OX ，同时确定一个单位长度和一个角度单位及其正方向（通常取方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。

（其中O 称为，射线OX 称为）如图，设M 是平面上的任一点，ρ表示OM 的长度，θ表示以射线OX 为始边，射线OM 为终边所成的角。

那么有序数对(,)ρθ称为点M 的极坐标。

其中ρ称为，θ称为 .二、极坐标方程与直角坐标互化以直角坐标系的O 为极点，x 轴正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的单位长度平面内的任一点P 的直角坐标极坐标分别为（x ，y ）和(,)ρθ，则x = 2ρ=y = tan θ=练习：①将下列各点的极坐标化为直角坐标：()5,π= ； 34,2π⎛⎫-⎪⎝⎭= ； 342,4π⎛⎫-⎪⎝⎭= . ②将下列各点的直角坐标化为极坐标： ()0,5= ； ()4,43-= ； ()3,1-= .三、简单曲线的极坐标方程1．直线的极坐标方程：若直线过点00(,)M ρθ，且直线与极轴所成的角为α，则它的方程为： .注：几个特殊位置的直线的极坐标方程（1）直线过极点方程：（2）直线过点M （a ,0）（a>0）,且垂直于极轴方程：（3）直线过(,)2M b π且平行于极轴方程：练习：按下列条件写出直线的极坐标方程：π②经过点2,4A π⎛⎫⎪⎝⎭，且垂直于极轴的直线； ③经过点3,3B π⎛⎫-⎪⎝⎭，且平行于极轴的直线； ④经过点()4,0C ，且倾斜角为34π的直线. 2．圆的极坐标方程：若圆心为00(,)M ρθ，半径为r 的圆方程为：注：几个特殊位置的圆的极坐标方程（1）当圆心位于极点（2）当圆心位于(,0)M r （3）当圆心位于(,)2M r π练习：按下列条件写出圆的极坐标方程： ① 以()2,0A 为圆心，2为半径的圆； ②以4,2B π⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，4为半径的圆； ② 以()5,C π为圆心，且过极点的圆； ④以2,4D π⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，1为半径的圆. 考点1 极坐标与直角坐标互化例1 在极坐标中，求两点)4,2(),4,2(ππ-Q P 之间的距离以及过它们的直线的极坐标方程.练习1 已知圆C ：22(1)(3)1x y ++-=，则圆心C 的极坐标为___ (0,02)ρθπ>≤<练习2 在极坐标中，求两点间的距离：（1）A(5,35)，B(12,215) （2）A(3,)12π，5B(8,)12π练习3 （1）在极坐标中，点P(,)ρθ关于极轴的对称点的坐标为；（2）在极坐标中，求点M(5,)6π关于直线4πθ=的对称点的坐标为 .考点2 极坐标方程与直角坐标方程互化例2 已知曲线C 的极坐标方程是4sin ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的方程是40x y --=，点P 是曲线C 上的动点，点Q 是直线l 上的动点，求PQ 的最小值．练习1 在极坐标系中，圆ρ=cos θ与直线ρcos θ=1的位置关系是．练习2 在极坐标系中，圆2ρ=上的点到直线()6sin 3cos =+θθρ的距离的最小值是 ___ ．练习3在极坐标系中，过点4π⎛⎫⎪⎝⎭作圆4sin ρθ=的切线，则切线的极坐标方程是练习 4 设过原点O 的直线与圆C ：22(1)1x y -+=的一个交点为P ，点M 为线段OP 的中点. ⑴求圆C 的极坐标方程；⑵求点M 轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．第二部分参数方程1．参数方程的意义在平面直角坐标系中，若曲线C 上的点(,)P x y 满足()()x f t y f t =⎧⎨=⎩，该方程叫曲线C 的参数方程，变量t 是参变数，简称参数.2．参数方程与普通方程的互化（1）参数方程化为普通方程常见参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：①cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）；②00(x x att y y bt=+⎧⎨=+⎩为参数）；③2sin cos x y θθ=⎧⎨=⎩[0,2)θπ∈； ④1()21()2a x t t b y t t⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）； ⑤cos sin x a r y b r ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（ϕ为参数）.注：参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围！（2）普通方程化为参数方程①经过点P 00()x y α，倾斜角为的参数方程；②圆222()()x a y b r -+-=的参数方程；③椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的参数方程；④抛物线22(0)y px p =>的参数方程.注：普通方程化为参数方程需要引入参数，选择的参数不同，所得的参数方程也不一样。

极坐标与参数方程学案

2.已知直线l的参数方程为 (t为参数)，圆C的参数方程为
(θ为参数).
(1)求直线l和圆C的普通方程；
(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围.
3.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为
和 (t为参数)，
求曲线C1与C2的交点坐标.
考点三极坐标方程与参数方程的综合应用
【例3】(新课标高考全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C1： (t为参数，t≠0)，其中0≤α<π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝2 cosθ.
(1)写出直线l的参数方程和圆C的极坐标方程．
(2)试判断直线l与圆C的位置关系．
考点4极坐标方程与参数方程的综合问题
【例4】(新课标高考全国卷Ⅰ)(本小题满分12分)已知曲线C1的参数方程为 (t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．
【答题模板】
第一步：消去参数，将曲线C1的参数方程化为普通方程；
第二步：将曲线C1的普通方程化为极坐标方程；
第三步：将曲线C2的极坐标方程化为普通方程；
第四步：将曲线C1与曲线C2的普通方程联立，求得交点的直角坐标；
第五步：把交点的直角坐标化为极坐标．
(t为参数)
圆心在点M0(x0，y0)，半径为R的圆
(θ为参数)
圆心在原点，半径为R的圆
(θ为参数)
椭圆＋＝1(a＞b＞0)
(φ为参数)
4．直线的参数方程的标准形式的应用
过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参பைடு நூலகம்方程是 (t是参数)

高中数学学案坐标系与参数方程Word版

学案73 坐标系与参数方程导学目标： 1.了解坐标系的有关概念，理解简单图形的极坐标方程.2.会进行极坐标方程与直角坐标方程的互化.3.理解直线、圆及椭圆的参数方程，会进行参数方程与普通方程的互化，并能进行简单应用．自主梳理1．极坐标系的概念在平面上取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做________；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个____________．设M 是平面上任一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的________，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的________，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的__________，记作(ρ，θ)．2．极坐标和直角坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x ＝__________，y ＝__________.另一种关系为：ρ2＝__________，tan θ＝______________.3．简单曲线的极坐标方程(1)一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程φ(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程φ(ρ，θ)＝0的点都在曲线上，那么方程φ(ρ，θ)＝0叫做曲线的________________________________________________________________________．(2)常见曲线的极坐标方程 ①圆的极坐标方程____________表示圆心在(r,0)半径为|r |的圆；____________表示圆心在(r ，π2)半径为|r |的圆；________表示圆心在极点，半径为|r |的圆． ②直线的极坐标方程________________表示过极点且与极轴成α角的直线； __________表示过(a,0)且垂直于极轴的直线；__________表示过(b ，π2)且平行于极轴的直线；ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)表示过(ρ0，θ0)且与极轴成α角的直线方程． 4．常见曲线的参数方程 (1)直线的参数方程若直线过(x 0，y 0)，α为直线的倾斜角，则直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋l cos α，y ＝y 0＋l sin α.这是直线的参数方程，其中参数l 有明显的几何意义．(2)圆的参数方程若圆心在点M (a ，b )，半径为R ，则圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α，0≤α<2π.(3)椭圆的参数方程中心在坐标原点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数)．(4)抛物线的参数方程抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt .自我检测1．(教材改编题)点M 的直角坐标为(－3，－1)，则它的极坐标为________．2．(原创题)在极坐标系中，点(ρ，θ)与(－ρ，π＋θ)的位置关系为________． 3．(2011·陕西)在直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为________．4．(2011·广州一模)在极坐标中，直线ρsin(θ＋π4)＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．5．(2010·陕西)已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝1，则直线l 与圆C 的交点的直角坐标为________________.探究点一求曲线的极坐标方程例1 在极坐标系中，以(a 2，π2)为圆心，a2为半径的圆的方程为________．变式迁移1 如图，求经过点A (a,0)(a >0)，且与极轴垂直的直线l 的极坐标方程．探究点二极坐标方程与直角坐标方程的互化例2 (2009·辽宁)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M 、N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点． (1)写出C 的直角坐标方程，并求M 、N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．变式迁移2 (2010·东北三校第一次联考)在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin(θ－π4)＝22，(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标．探究点三参数方程与普通方程的互化例3 将下列参数方程化为普通方程：(1)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3k 1＋k 2y ＝6k21＋k2；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－sin 2θy ＝sin θ＋cos θ；(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t2y ＝t1＋t2.变式迁移3 化下列参数方程为普通方程，并作出曲线的草图． (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12sin 2θy ＝sin θ＋cos θ(θ为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1ty ＝1tt 2－1(t 为参数)．探究点四参数方程与极坐标的综合应用例4 求圆ρ＝3cos θ被直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2ty ＝1＋4t (t 是参数)截得的弦长．变式迁移 4 (2011·课标全国)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α.(α为参数)M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，P 点的轨迹为曲线C 2. (1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.本节内容要注意以下两点：一、简单曲线的极坐标方程可结合极坐标系中ρ和θ的具体含义求出，也可利用极坐标方程与直角坐标方程的互化得出．同直角坐标方程一样，由于建系的不同，曲线的极坐标方程也会不同．在没有充分理解极坐标的前提下，可先化成直角坐标解决问题．二、在普通方程中，有些F (x ，y )＝0不易得到，这时可借助于一个中间变量(即参数)来找到变量x ，y 之间的关系．同时，在直角坐标系中，很多比较复杂的计算(如圆锥曲线)，若借助于参数方程来解决，将会大大简化计算量．将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数，此时要注意其中的x ，y (它们都是参数的函数)的取值范围，也即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．参数方程化普通方程常用的消参技巧有：代入消元、加减消元、平方后相加减消元等．同极坐标方程一样，在没有充分理解参数方程的前提下，可先化成直角坐标方程再去解决相关问题．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．直角⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋at ，y ＝－1＋4t (t 为参数)恒过定点________．2．点M (5，π6)为极坐标系中的一点，给出如下各点的坐标：①(－5，－π6)；②(5，7π6)；③(－5，π6)；④(－5，－7π6)．其中可以作为点M 关于极点的对称点的坐标的是______(填序号)．3．在极坐标系中，若点A ，B 的坐标分别为(3，π3)，(4，－π6)，则AB ＝________，S△AOB ＝________.(其中O 是极点)4．(2011·广东)已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )，它们的交点坐标为________．5．(2011·天津)已知抛物线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t2y ＝8t (t 为参数)．若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点，且与圆(x －4)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝________.6．(2010·广东韶关一模)在极坐标系中，圆心在(2，π)且过极点的圆的方程为________．7．(2009·安徽)以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，它与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)相交于两点A 和B ，则AB ＝________.8．(2010·广东深圳高级中学一模)在直角坐标系中圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos αy ＝2＋2sin α(α为参数)，若以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C 的极坐标方程为________．二、解答题(共42分)9．(14分)⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ. (1)把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程．10．(14分)(2011·江苏，21C)在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t(t 为参数)平行的直线的普通方程．11．(14分)(2010·福建)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.(1)求圆C的直角坐标方程；(2)设圆C与直线l交于点A，B.若点P的坐标为(3，5)，求PA＋PB.学案73 坐标系与参数方程答案自主梳理1．极轴极坐标系极径极角极坐标 2.ρcos θ ρsin θ x 2＋y 2y x(x ≠0) 3.(1)极坐标方程 (2)①ρ＝2r cos θ ρ＝2r sin θ ρ＝r ②θ＝α(ρ∈R ) ρcos θ＝a ρsin θ＝b自我检测1．(2，76π)(答案不唯一)2．重合 3．3解析 ∵C 1：(x －3)2＋(y －4)2＝1，C 2：x 2＋y 2＝1，∴两圆心之间的距离为d ＝32＋42＝5.∵A ∈曲线C 1，B ∈曲线C 2，∴|AB |min ＝5－2＝3. 4．43解析直线ρsin(θ＋π4)＝2可化为x ＋y －22＝0，圆ρ＝4可化为x 2＋y 2＝16，由圆中的弦长公式得2r 2－d 2＝242－2222＝4 3.5．(－1,1)，(1,1) 解析 ∵y ＝ρsin θ，∴直线l 的直角坐标方程为y ＝1. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α得x 2＋(y －1)2＝1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，x 2＋y －12＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴直线l 与圆C 的交点的直角坐标为(－1,1)和(1,1)．课堂活动区例1 解题导引求曲线的极坐标方程的步骤：①建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点；②由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；③将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线上的极坐标方程；④证明所得方程就是曲线的极坐标方程，若方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，这一证明可以省略．答案 ρ＝a sin θ，0≤θ<π解析圆的直径为a ，设圆心为C ，在圆上任取一点A (ρ，θ)，则∠AOC ＝π2－θ或θ－π2，即∠AOC ＝|θ－π2|.又ρ＝a cos ∠AOC ＝a cos|θ－π2|＝a sin θ.∴圆的方程是ρ＝a sin θ，0≤θ<π.变式迁移1 解设P(ρ，θ)是直线l上任意一点，OP cos θ＝OA，即ρcos θ＝a，故所求直线的极坐标方程为ρcos θ＝a.例2解题导引直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验．解 (1)由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1. 从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2，当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)．当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2.(2)M 点的直角坐标为(2,0)．N 点的直角坐标为(0，233)．所以P 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，则P 点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫233，π6，所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6，ρ∈(－∞，＋∞)．变式迁移2 解 (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝x ＋y ，即x 2＋y 2－x －y ＝0.直线l ：ρsin(θ－π4)＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1. 故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为(1，π2)．例3 解题导引参数方程通过消去参数化为普通方程．对于(1)直接消去参数k 有困难，可通过两式相除，先降低k 的次数，再运用代入法消去k ；对于(2)可运用恒等式(sinθ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ消去θ；对于(3)可运用恒等式(1－t 21＋t 2)2＋(2t 1＋t2)2＝1消去t .另外，参数方程化为普通方程时，不仅要消去参数，还应注意普通方程与原参数方程的取值范围保持一致．解 (1)两式相除，得k ＝y 2x .将k ＝y2x 代入，得x ＝3·y2x1＋y 2x2.化简，得所求的普通方程是4x 2＋y 2－6y ＝0(y ≠6)．(2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ)，得y 2＝2－x .又x ＝1－sin 2θ∈[0,2]，得所求的普通方程是y 2＝2－x ，x ∈[0,2]．(3)由(1－t 21＋t 2)2＋(2t 1＋t2)2＝1，得x 2＋4y 2＝1.又x ＝1－t21＋t 2≠－1，得所求的普通方程是x 2＋4y 2＝1(x ≠－1)．变式迁移3 解 (1)由y 2＝(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝1＋2x ，得y 2＝2x ＋1.∵－12≤12sin 2θ≤12，∴－12≤x ≤12.∵－2≤sin θ＋cos θ≤2，∴－2≤y ≤ 2. 故所求普通方程为y 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12 (－12≤x ≤12，－2≤y ≤2)，图形为抛物线的一部分．图形如图甲所示．(2)由x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1t t 2－12＝1及x ＝1t ≠0，xy ＝t 2－1t2≥0知，所求轨迹为两段圆弧x 2＋y 2＝1 (0<x ≤1,0≤y <1或－1≤x <0，－1<y ≤0)．图形如图乙所示．例4 解题导引一般将参数方程化为普通方程，极坐标方程化成直角坐标方程解决．解将极坐标方程转化成直角坐标方程：ρ＝3cos θ即：x 2＋y 2＝3x ，即(x －32)2＋y 2＝94.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2ty ＝1＋4t 即：2x －y －3＝0.所以圆心到直线的距离d ＝|2×32－0－3|22＋－12＝0，即直线经过圆心，所以圆被直线截得的弦长为3. 变式迁移4 解 (1)设P (x ，y )，则由条件知M (x 2，y2)．由于M 点在C 1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2cos α，y2＝2＋2sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.(α为参数)(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2 3.课后练习区1．(3，－1)解析由题知，x －3＝a4(y ＋1)，∴恒过定点(3，－1)．2．②③ 3．5 6解析 ∵∠AOB ＝π2，∴∠AOB 为直角三角形．∴AB ＝32＋42＝5，S △AOB ＝12×3×4＝6.4．(1，255)解析将两曲线的参数方程化为一般方程分别为x 25＋y 2＝1(0≤y ≤1，－5<x ≤5)和y 2＝45x ，联立解得交点坐标为(1，255)． 5.2解析由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t 得y 2＝8x ，抛物线C 的焦点坐标为F (2,0)，直线方程为y ＝x －2，即x －y －2＝0.因为直线y ＝x －2与圆(x －4)2＋y 2＝r 2相切，由题意得r ＝|4－0－2|2＝2.6．ρ＝－22cos θ解析如图，O 为极点，OB 为直径，A (ρ，θ)，则∠ABO ＝θ－90°，OB ＝22＝ρsin θ－90°，化简得ρ＝－22cos θ. 7．14解析直线的极坐标方程为θ＝π4(且ρ∈R )，故其直角坐标系下对应的方程为y ＝x ，参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)的直角坐标系下对应的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝4.圆心(1,2)到直线y ＝x 的距离为22.又半径为2，故弦长为24－12＝14. 8．ρ＝4sin θ解析由参数方程消去α得圆C 的方程为x 2＋(y －2)2＝4，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsinθ代入得(ρcos θ)2＋(ρsin θ－2)2＝4，整理得ρ＝4sin θ.9．解以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．(1分)(1)x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，所以x 2＋y 2＝4x .即x 2＋y 2－4x ＝0为⊙O 1的直角坐标系方程，(4分)同理x 2＋y 2＋4y ＝0为⊙O 2的直角坐标系方程．(7分)(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－4x ＝0，x 2＋y 2＋4y ＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝0， ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝－2.(11分)即⊙O 1，⊙O 2交于点(0,0)和(2，－2)，过交点的直线的直角坐标系方程为y ＝－x .(14分)10．解由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3，从而c ＝a 2－b 2＝4，所以右焦点为(4,0)．将已知直线的参数方程化为普通方程：x －2y ＋2＝0.(6分)故所求直线的斜率为12，因此其方程为y ＝12(x －4)，(8分)即x －2y －4＝0.(14分)11．解方法一 (1)ρ＝25sin θ，得x 2＋y 2－25y ＝0，即x 2＋(y －5)2＝5.(6分)(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得(3－22t )2＋(22t )2＝5，即t 2－32t ＋4＝0.(8分)由于Δ＝(32)2－4×4＝2>0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根，所以⎩⎨⎧t 1＋t 2＝32，t 1t 2＝4.(10分)又直线l 过点P (3，5)，故由上式及t 的几何意义得PA ＋PB ＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2. (14分) 方法二 (1)同方法一． (6分)(2)因为圆C 的圆心为点(0，5)，半径r ＝5，直线l 的普通方程为y ＝－x ＋3＋ 5.由⎩⎨⎧x 2＋y －52＝5，y ＝－x ＋3＋5得x 2－3x ＋2＝0.解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2＋5或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1＋ 5.(10分)不妨设A (1,2＋5)，B (2,1＋5)，又点P 的坐标为(3，5)，故PA ＋PB ＝8＋2＝3 2. (14分)（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。

江苏省海门市证大中学高二数学《极坐标与参数方程》学案

周末导学案（极坐标与参数方程）班级________姓名___________学号_____一、基础知识（一）极坐标1．极坐标系（1）极坐标系的建立在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系．其中O 称为极点，射线Ox 称为极轴．（2）极坐标系内点的极坐标对于平面上任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，用θ表示从Ox 到OM 的角度，ρ叫做点M 的极径， θ叫做点M 的极角，有序数对（ρ，θ）就叫做M 的极坐标.特别强调：由极径的意义可知ρ≥0，当极角θ的取值范围是[0,2π)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标（ρ，θ）建立一一对应的关系.我们约定,极点的极坐标是极径ρ=0,极角是任意角.（3）负极径的意义在极坐标系中，极径ρ允许取负值，极角θ也可以去任意的正角或负角，当ρ＜0时，点M （ρ，θ）位于极角终边的反向延长线上，且OM =ρ.M （ρ，θ）也可以表示为)2(θπρ+k ，或))12((θπρ++-k ，)(z k ∈.2．极坐标与直角坐标的互化以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位．平面内任意一点P 的直角坐标与极坐标分别为)(y x ，与)(θρ，，则⎩⎨⎧==；，θρθρsin cos y x （把点的极坐标化为直角坐标） ⎪⎩⎪⎨⎧=+=．，x y y x θρtan 222（把点的直角坐标化为极坐标，注意θ的象限由P 点的位置来确定）曲线的极坐标方程与直角坐标方程也利用上面的关系式互相转化．3．极坐标方程（1）曲线的极坐标方程定义一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程0),(=θρf ；并且的极坐标适合方程0),(=θρf 点都在曲线上．那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线．（2）求曲线的极坐标方程的基本步骤：①建立适当的极坐标系；②在曲线上任取一点)(θρ，P ；③根据曲线上的点所满足的条件写出等式；④用极坐标θρ，表示上述等式，并化简得极坐标方程；⑤证明所得的方程是曲线的极坐标方程（一般省略，必要时说明）．4．常见曲线的极坐标方程（1）直线与圆直线与圆的极坐标方程不要死记，但是要能够熟练推导，有时也可结合直角坐标方程．（2）圆锥曲线以圆锥曲线的焦点（椭圆的左焦点，双曲线的右焦点）为极点，以过焦点垂直于准线的直线为极轴，建立极坐标系．圆锥曲线的极坐标方程为．θρcos 1e ep -=这里e 是离心率，p 是焦准距．当10<<e 时，方程θρcos 1e ep -=表示椭圆；当1=e 时，方程θρcos 1e ep -=即为方程θρcos 1-=p ，表示抛物线；当1>e 时，方程θρcos 1e ep -=表示双曲线，其中，R ∈ρ．若0>ρ，则方程表示双曲线的右支；若0<ρ，则方程表示双曲线的左支．（二）参数方程1．参数方程的意义一般地，在取定的坐标中，如果曲线C 上任一点P 的坐标x 和y 都可以表示为某个变量t 的函数⎩⎨⎧==)()(t g y t f x ；反过来，对于t 的每个允许值，由函数式⎩⎨⎧==)()(t g y t f x 所确定的点),(y x P 都在曲线C 上，那么方程⎩⎨⎧==)()(t g y t f x 叫做曲线C 的参数方程，变量t 是参变数，简称参数．几点说明：① 参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义；② 同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样；③ 在实际问题中要确定参数的取值范围．2．参数方程的意义：参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来，参数方程与普通方程同等地描述了曲线，参数方程实际上是一个方程组，其中x ，y 分别为曲线上点M 的横坐标和纵坐标．3．参数方程求法（1）建立直角坐标系；（2）设曲线上任一点P 坐标为),(y x ；（3）选取适当的参数，根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P 坐标与参数的函数式；（4）简化函数关系式；（5）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程（一般省略，特殊情况进行说明）．1．极坐标方程2sin 2cos 0ρθθ-=表示的曲线是_______ _ ．抛物线x y 22=2．在极坐标中，若过点()0,3且与极轴垂直的直线交曲线θρcos 4=于B A ,两点.则AB =____________．323．已知三点），（25πA ，)6118(π，-B ，,673），（πC 则ABC ∆形状为．等边三角形 4．已知某圆的极坐标方程为：06)4cos(24-2=+-πθρρ，则①圆的普通方程；2)2()2(22=-+-y x②参数方程；⎩⎨⎧+=+=θθsin 22cos 22y x （θ为参数）③圆上所有点()y x ,中xy 的最大值和最小值分别为、．9、15．参数方程⎩⎨⎧-=+=--)(2t t t t e e y e e x （t 为参数）的普通方程为______ ．221,(2)416x y x -=≥ 6．已知直线⎩⎨⎧-=+=t y t x l 4231:1（t 为参数）与直线2:245l x y -=相交于点B ，又点(1,2)A ，则AB =______________．25 7．直线⎩⎨⎧+-=+=ty at x 413（t 为参数）过定点____________．)1-3(，三、典型例题例1．直线l 过抛物线0(22>=p px y 且是常数)的焦点F ，与抛物线交于),(11y x A 、),(22y x B 两点．请用三种方法证明FB FA 11+是一个定值．证法1：利用直角坐标普通方程解决设直线l 的斜率为k 的，依题意x y 42=的焦点F 坐标是（2p ，0），当k 存在时，直线l 的方程：)2(p x k y -=，由)22(2⎪⎩⎪⎨⎧=-=pxy p x k y ，得04)2(22222=++-k p x p pk x k ，所以0)2(4222>-+=∆k p p pk ，22212k p pk x x +=+，4221p x x =， 2,221p x FB p x FA +=+=∴， p p x x p x x p x x p x p x FB FA 24)(2212111221212121=+++++=+++=+∴．当k 不存在时，不难证得这个结论也成立（请同学们自己去做）．故FB FA 11+是一个定值p2．证法2：利用参数方程解决证法3：利用极坐标方程（利用这种方法还可以发现圆锥曲线的共同性质）四、自主练习1．极点到直线()cos sin ρθθ+=_____ _．26 2．已知直线的极坐标方程为22)4sin(=+πθρ，则极点到直线的距离是．22 3．在极坐标系中，点⎪⎭⎫ ⎝⎛611,2πP 到直线1)6sin(=-πθρ的距离等于_______．13+ 4．与曲线01cos =+θρ关于4πθ=对称的曲线的极坐标方程是______．01sin =+θρ 5．直线cos sin 0x y αα+=的极坐标方程为______________．2πθα=+ 6．曲线的极坐标方程为tan cos θρθ=，则曲线的直角坐标方程为_______．)0(2≠=x x y 7．直线l 过点()5,10M ，倾斜角是3π，且与直线032=--y x 交于M ，则0MM 的长为．3610+8．过抛物线x y 42=的焦点作倾斜角为α的弦，若弦长不超过8，则α的取值范围是___． 3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是．)2(053≥=--x y x ，)05(，11．椭圆⎩⎨⎧+=+-=θθsin 52cos 41y x 的焦点坐标是．)1-1-(，和)51-(，12．点()y x P ,是椭圆222312x y +=上的一个动点，则2x y +的最大值为______13．设tx y =（t 为参数），则圆2240x y y +-=的参数方程为________．2224141t x t ty t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩14．已知曲线⎩⎨⎧==pt y pt x 222（t 为参数，p 为正常数）上的两点,M N 对应的参数分别为12,t t 和，120t t +=且，那么MN =______________．14p t15．圆的参数方程为 ⎝⎛-=+=θθθθcos 3sin 4cos 4sin 3y x （θ为参数），则此圆的半径为______．5 16．直线cos sin x t y t θθ=⎧⎨=⎩与圆42cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩相切，则θ=__________．6π或56π 17．设过原点O 的直线与圆C ：1)1(22=+-y x 的一个交点为P ，点M 为线段OP 的中点．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）求点M 的轨迹方程，并说明它是什么曲线．答案：（1）θρcos 2=；（2）θρcos =．圆．五、预习1．空间几何体概念；2．斜二测画法；3．平面的基本性质．。

极坐标(学案)【范本模板】

§2.1 极坐标系的的概念（学案)学习目的：理解极坐标的概念；能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.学习重点：理解极坐标的意义学习难点:能够在极坐标系中用极坐标确定点位置一、学习过程:情境1:军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷,如何确定它们的位置以便将它们引爆？情境2：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。

（1）他向东偏60°方向走120m到达什么位置？该位置唯一确定吗？(2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置,应创建怎样的坐标系呢？问题2:如何刻画这些点的位置？二．构建新知:在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置.这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。

1．极坐标系的建立：在平面上取一个定点o,自点o引一条__________,选定一个___________和_______________（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个____________。

思考：建立一个极坐标系要具备哪些要素？当点M在极点时，它的极径和极角分别是什么?2。

点的极坐标设M点是平面内任意一点,用ρ表示线段OM的长度，θ表示射线Ox到OM的角度，那么ρ叫做M点的极径，θ叫做M点的极角,有序数对____________叫做M点的极坐标.3．负极径的规定:在极坐标系中，极径ρ允许取负值，极角θ也可以去任意的正角或负角，当ρ＜0时，点M (ρ，θ)位于极角终边的________________上,且OM=_______。

三．实例分析：例1在极坐标中描出下列各点。

A(4，0）；B（2,2π）；C（6,34π）；D(4，43π-)；E(6,0-120）；F（—6，π3）；G（—3，3π2）.⎭⎬⎫≤π21。

柱坐标与直角坐标互化公式及各字母表示的意义？2.球坐标与直角坐标互化公式及各字母表示的意义?。

第36讲极坐标与参数方程-学案

一.自我诊断知己知彼1. 若圆M的方程为，则圆M 的参数方程为． .2．已知圆M ：x 2+y 2-2x -4y +1=0，则圆心M 到直线43,31,x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）的距离为．3在极坐标系中，点（2，6π）到直线θρsin ＝2的距离等于________． 4设曲线的参数方程为（是参数，），直线的极坐标方程为，若曲线与直线只有一个公共点，则实数的值是．5．直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程是cos ,(1sin ,x y θθθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，则圆心C 的极坐标是．二.温故知新夯实基础1．平面直角坐标系422=+y x C 4cos 14sin x a y θθ=+⎧⎨=+⎩θ0>a l 3cos 4sin 5ρθρθ+=C l a设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎪⎩⎪⎨⎧==0>,0>,''λμλλy y x x 的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 2．极坐标系(1)极坐标与极坐标系的概念在平面内取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．点O 称为极点，射线Ox 称为极轴．平面内任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从射线Ox 到射线OM 的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角．一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ) (ρ≠0)建立一一对应的关系．我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角．(2)极坐标与直角坐标的互化设M 为平面内的一点，它的直角坐标为(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面关系式成立：⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 或⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=0,tan 222x x yy x θρ，这就是极坐标与直角坐标的互化公式． 3．常见曲线的极坐标方程4.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎨⎧==)()(t g y t f x 就是曲线的参数方程．5．常见曲线的参数方程和普通方程三.典例剖析举一反三考点一坐标系（一）典例剖析例1在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12,22x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），又以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos 24sin 30ρθρθ+-=．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 方程相交于A ，B 两点，求||AB ．（二）举一反三1. 已知圆C的参数方程为为参数），直线的极坐标方程为，则直线与圆C的交点的直角坐标为． 2. 将曲线22132x y +=按ϕ：变换后的曲线的参数方程为（）A. B. C.D.3.【2017北京卷理11】在极坐标系中，点A 在圆04sin 4-cos 2-2=+θρθρρ上，点P 的坐标为（1，0），则|AP |的最小值为 .4．【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离．考点二参数方程（一）典例剖析例1已知曲线C 的极坐标方程式2cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建cos ,(1sin .x y ααα=⎧⎨=+⎩l sin 1ρθ=l立平面直角坐标系，直线L的参数方程是12x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数）．（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线L 的普通方程；（2）设点(,0)P m ，若直线L 与曲线C 交于两点,A B ，且||||1PA PB ⋅=，求实数m 的值．例2. 在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程是4cos (0)2πρθθ=≤≤，直线l 的参数方程是3cos 6()sin6x t t y t ππ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数．（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的参数方程；（2）求曲线C 上的动点M 到直线l 的距离的范围．（二）举一反三 1. 若P 为椭圆上的点，则的取值范围是．2. 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程是5222=+y x ，2C 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧-==ty t x 3（t 为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标是． 3. 参数方程sin cos 2x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）化为普通方程为．),(n m n m +4.（2019天津理12）设a ∈R ，直线20ax y -+=和圆22cos ,12sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）相切，则a 的值为 .考点三综合问题（一）典例剖析例1在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为为参数，0απ≤<），曲线C 的参数方程为为参数），以坐标原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设C 与l 交于,M N 两点（异于原点），求OM ON +的最大值.例2. 【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD ．（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标．例 3. 在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为，（ α为参数），以原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线1C 上的动点，求点P 到2C 上点的距离的最小值.（二）举一反三例 1. 已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是（t 是参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρθ=．（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设(),M x y 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围．例2. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为 (α为参数)，以平面直角坐标系的原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C 的极坐标方程；(2)过原点O 的直线12,l l 分别与曲线C 交于除原点外的,A B 两点，若3AOB π=，求AOB 的面积的最大值.例3. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是（α为参数），以该直角坐标系的原点O为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l sin cos 0m θρθ-+=. （1）写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设点(),0P m ，直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，且1PA PB =，求实数m 的值.四.分层训练能力进阶【基础】1. 曲线⎩⎨⎧==θθsin 4cos 5y x （θ为参数）的焦距是．2. 把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线： ⑴⎩⎨⎧==ϕϕsin 4cos 5y x （ϕ为参数）； ⑵⎩⎨⎧=-=ty tx 431（t 为参数）3.【2019北京卷理3】已知直线l 的参数方程为)(4231为参数t ty t x ⎩⎨⎧+=+=，则点()0,1到直线l 的距离是A ．51 B ．52 C ．54 D ．56 4. 已知直线l 的方程为2)4sin(=+πθρ，曲线C 的方程为()为参数θθθ⎩⎨⎧==sin cos y x ．（1）把直线l 和曲线C 的方程分别化为直角坐标方程和普通方程；（2）求曲线C 上的点到直线l 距离的最大值．5. 已知曲线C 的极坐标方程是ρ=4cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为χ轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧+==t m x t y 2222（t 是参数）．（Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，直线l 的参数方程化为普通方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且|AB |=14，试求实数m 的值．【巩固】1.【2018北京卷理7】在平面直角坐标系中，记d 为点P （cosθ，sinθ）到直线x -my －2＝0的距离．当θ，m 变化时，d 的最大值为 A ．1B ．2C ．3D ．42.【2018天津卷12】)已知圆2220x y x +-=的圆心为C ，直线1,232⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩x y (t 为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则ABC △的面积为 .3.【2018天津卷11】在极坐标系中，直线4ρcos (θ-6π)+1=0与圆ρ= 2sinθ的公共点的个数为。

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