第一讲正弦理和余弦定理的应用(一)

第一讲 正弦定理和余弦定理的应用（一）

【知识要点】

1． 关于三角形边、角的主要关系式 （1）正弦定理：

A a sin =

C

c

sin =2R ；

变形：①a=2RsinA ②sinA=错误!未找到引用源。

B

b

sin ③ a: b: c = sinA:sinB:sinC ④错误!未找到引用源。=

A a sin =

B b sin =

C

c

sin =2R ；

（2）余弦定理：A bc c b a

cos 2222

-+=，B ac c a b cos 2222-+=

C ab b a c cos 2222-+=．

变形：.2cos ,2cos ,2cos 2

22222222ab

c b a C ac b c a B bc a c b A -+=-+=-+=

（3）三角形面积公式

ah S ABC 21

=∆（其中h 是a 边上的高）

． A bc B ac C ab S ABC sin 2

1

sin 21sin 21===∆；

（4）三角形内角和等于180°；任一内角α

（0°，180°）

（5）三角形中大边对大角，大角对大边：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 （6）常用等式：

C B A sin )sin(=+，C B A cos )cos(-=+，2cos 2sin

C B A =+,2

sin 2cos C

B A =+．

2． 三角形解的个数

在△ABC 中，已知a 、b 和A 时解的情况如下：

A 为锐角 A 为钝角或直角

【典例精讲】

题型一 利用正、余弦定理及三角形面积公式解斜三角形

例1 在锐角ABC ∆中，BC=1，∠B=2∠A ，则A

AC cos 的值等于 ．

例2 在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为c b a 、、，若C a A c b cos cos )3(=-，

则A cos = ．

例3 在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是c b a 、、，若a 2

-b 2

=

3bc ，sinC=23sinB ，则∠A=

（ ）

A ． 30°

B ． 60°

C ． 120°

D ． 150°

例4 ABC ∆中，内角A 、B 、 C 的对边分别为c b a 、、，已知c =2，C=3

π

． （1）若ABC ∆的面积等于

3，求b a 、；

（2）记m =（sinC+sin （B-A ），2），n =（sin2A ，1）若m 与n 共线，求△ABC 的面积．

图形

关系式 a b a ≤b

解的个数

无解 一解 两解 一解 一解 无解

题型二 利用正、余弦定理判断三角形的形状

例5 ABC ∆中，c b a 、、分别表示三个内角A 、B 、C 的对边，如果

)sin()()sin()(2222B A b a B A b a +-=-+，试判断该三角形的形状．

题型三 三角形解的个数

例6 在ABC ∆中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）

A ． b =10，∠A=45°，C ∠=70°

B ． a =60，c =48，∠B=60°

C ． a =7，b =5，∠A=80°

D ．a =14，b =16，∠A=45°

题型四 正、余弦定理与其他知识的交汇

例7 在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为c b a 、、，且ab b a c -+=2

22．

（1）若tanA-tanB=

3

3

（1+tanA ·tanB ），求B ； （2）设m =（sinA ，1），n =（3，cos2A ），试求m ·n 的取值范围．

【课堂练习】

1． 在ABC ∆中，a=15，b=10，∠A=60°，则cosB=（ ）

A ．

3

6

B ．

3

22 C ． -

3

6 D ． -

3

22

2． 在ABC ∆中，BD 为∠ABC 的平分线，AB=3，BC=2，AC=7，则sin ∠ABD=（ ）

A ．

21 B ． 2

3 C ．

2

2

D ．

3

3

3． 在ABC ∆中，若sinC=2cosA sinB ，则此ABC ∆一定是（ ）

A ． 直角三角形

B ． 正三角形

C ． 等腰三角形

D ． 等腰直角三角形 4． 在ABC ∆中，a =80，b =100，∠A=45°，则此三角形解的情况是（ ） A ． 一解 B ． 两解 C ． 一解或两解 D ． 无解

5. ABC ∆的三内角A 、B 、C 所对边分别是c b a 、、，设向量m =（b a +，sinC ），n =（3a +c ，

sinB-sinA ）， 若m //n ，则角B 的大小为（ ） A ．

6π B ． 6

5π

C ．

3π D ． 3

2π

【思维拓展】

例1 已知ABC ∆的外接圆半径为R ，角A 、B 、C 的对边分别为c b a 、、，且2R （sin 2A- sin 2C ）

=（

2a -b ）sinB ，那么∠C 的大小为（ ）

A ． 4

3π

B ．

4π C ． 3π D ． 2

π

例 2 已知

ABC

∆中，

c

b a 、、分别是三个内角A 、B 、C 的对边，关于

x

的不等式

06sin 4cos 2<++C x C x 的解集是空集．

（1）求∠C 的最大值；

（2）若c=27，ABC ∆的面积S=2

33，求当∠C 取得最大值时b a +的值．

例3 在ABC ∆中，c b a 、、分别为角A 、B 、C 的对边，已知向量m =（sinB ，1-cosB ）与向量n =（0，1）的夹角为

6

π

． （1）求∠B 的大小； （2）求b

c

a +的取值范围．