2009-2010第二学期线性代数试卷A参考答案

2009-2010 第二学期线性代数试题A 参考答案

一．1．（D ）；2．（C ）；3．（A ）；4．（D ）；5（B ）。

二．1．2-；2．2

1

-；3．1或3；4．0；5. 24。 三．

1．

1

01

1011

1011011111111111111114321--------++--+---+---a a a a a a c c c c a a a a

1

01

001

1

0000 4321------a a

a a

a

r r r r ()410

01100a a a a

a c =---展开按

2．由分块法可求得

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛----=-810

0000212300

021*******

110004

31

A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛----=-810

0021230232702

1

1631T

B A 3．证：由()32A E A A =-得：O A A A =+-2223 改写为E E A A A -=-+-2223

即()()

E E A A A E =+--2，则A E -可逆 且()E A A A E +-=--21

4．解：设存在321,,k k k ，使得βααα=++332211k k k ，即

()()()⎪⎩⎪

⎨⎧=+++=+++=+++23213213211101λ

λλλλk k k k k k k k k

其系数行列式

()3111

1111

112+=+++λλλ

λλ （1）当0≠λ且3-≠λ时，方程组有惟一解，即β可由321,,ααα线性表示，且表示惟一。

（2）当0=λ时，方程组是齐次线性方程组，由于系数行列式等于零，β可由

321,,ααα线性表示，但表示不惟一。

5．解：（1）由O B AB =+2及()2=B R 知，齐次方程()02=+x E A 的基础解系有2个线性无关的解向量，

即2-=λ是矩阵A 的二重特征值，且有2个线性无关的特征向量， 由02=-=+E A E A 知，1-和2也是A 的特征值，故A 的特征值为

2,1,23221=-=-==λλλλ-

（2）由于2-有两个线性无关的特征向量，且不同的特征向量一定线性无关，因此A 有4个线性无关的特征向量，故A 可以对角化。 （3）E A 3+的特征值为5,2,1,1，则103=+E A 6.证明：法一

设存在s λλλλ,,,,21 使得02211=+++s s βλβλβλλα ，则

()022112211=+++=+++s s s s A A A A A βλβλβλαλβλβλβλλα 由题设可得 ()s i A b A i ,,2,10, ===βα，

即0=b λ，由于0≠b ，则0=λ，即02211=++s s βλβλβλ 。 由于s βββ,,,21 是齐次线性方程组的基础解系，必线性无关 则021=====λλλλs ，因此s βββα,,,,21 线性无关。 法二：反证法

假设s βββα,,,,21 线性相关，由于s βββ,,,21 是齐次线性方程组的基础解系，必线性无关，则α可由s βββ,,,21 线性表示。

则存在一组数s λλλ,,,21 ，使得s s βλβλβλα ++=2211

两边同左乘矩阵A ，得：s s A A A A βλβλβλα ++=2211 由题设 ()s i A b A i ,,2,10, ===βα， 得0=b ，矛盾。因此s βββα,,,,21 线性无关。

7．解（1）二次型()3231212

32221321222,,x bx x x x ax x x x x x x f +++++=的矩阵

⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=11111b b a a A -

由于其标准型的矩阵⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=210B ，显然有0==B A 。

则b a =，又1是A 的特征值，即0=-E A ，得0==b a 。 （2）矩阵A 有3个特征值2,1,0，

由()00=-X E A ，得A 的一个特征向量⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛-=210211P

由()0=-X E A ，得A 的一个特征向量⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=0102P

由()02=-X E A ，得A 的一个特征向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=210213P 令⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝

⎛-

=210

21010

21021

P 即为所求正交变换矩阵。