Radon变换知识讲解
radon变换 (2)
radon变换简介Radon变换是一种在医学影像处理和图像处理中广泛应用的数据变换技术。
它被用于从投影的二维片上恢复出原始图像的信息，并在CT扫描和核医学中进行图像重建。
Radon变换是针对傅里叶切片定理的一种离散化实现。
它通过将空间物体的投影数据转换为在Radon坐标空间上的数据，从而实现对空间物体在不同角度上的特征分析。
原理Radon变换的原理是通过在空间中根据不同的角度对物体进行投影，从而得到物体在每个投影方向上的一维函数。
这些一维函数被称为Radon变换的投影。
Radon变换公式如下所示：其中，x和y是图像坐标，θ是投影角度。
Radon变换将一个二维函数f(x, y)映射到一个角度θ上的一维函数R(θ, p)。
p是沿着θ方向的投影距离。
应用CT扫描CT扫描是使用X射线对人体进行断层扫描的一种医学成像技术。
在CT扫描中，Radon变换被用于重建图像。
通过在不同角度上对人体进行X射线投影，得到一系列的投影数据。
然后使用Radon变换将投影数据转换为图像，从而得到人体的内部结构信息。
CT扫描的Radon变换过程包括以下几个步骤： 1. X射线束从不同角度通过人体，得到一系列的投影数据。
2. 使用Radon变换将投影数据转换为在Radon坐标空间上的数据。
3. 对Radon坐标空间上的数据进行重建，得到人体的内部结构图像。
核医学核医学是一种使用放射性物质对人体进行诊断和治疗的技术。
在核医学中，Radon变换被用于重建正电子发射断层扫描（PET）图像。
PET技术通过注射放射性示踪剂，然后使用PET机器测量示踪剂在体内的分布情况。
PET图像的Radon变换过程包括以下几个步骤： 1. 测量示踪剂在体内的分布情况，得到一系列的投影数据。
2. 使用Radon变换将投影数据转换为在Radon坐标空间上的数据。
3. 对Radon坐标空间上的数据进行重建，得到示踪剂在体内的分布图像。
图像处理除了在医学影像中的应用，Radon变换也被广泛应用于图像处理中。
Radon变换综述
Radon变换综述研究背景Radon变换是一种投影方法,其基本思想是对某个被积函数在给定的路径上进行积分运算[1]。
当被积函数的积分路径是直线时,则称,,p为线性Radon变换,又称为变换或倾斜叠加,,当被积函数的积分路径不是直线时,则称为非线性Radon变换,或广义Radon变换。
,,q常见的非线性Radon变换有,抛物线Radon变换,又称为变换,,双曲Radon 变换(又称为速度叠加),多项式Radon变换。
这两种类型的Radon 变换实质上是统一的,它们可以用一个统一的公式表述。
Radon变换自建立起相应的理论之日起就为图像重构问题提供了一个统一的数学基础,Fourier投影定理证明Radon 变换和Fourier 变换有明确的对等关系,即凡能用Fourier 变换解决的问题都能用Radon变换解决,这又为Radon变换的快速求解提供了手段。
但是Radon变换本身的特点决定了Radon变换域中场的物理特征更为直观明确,有利于对比分析,易于为人们所接受和使用,所以Radon换在包含更多场的物理特征的地震勘探领域,如波场模拟、速度分析、偏移成像、平面波分解、噪声衰减、数据插值补道拓道、多次波衰减等方面得到广泛的应用。
由于Radon变换算子是非正交的,这也就导致了直接进行Radon正反变换能量的不对等性,于是提出了基于最小范数反演的Radon变换,这在一定程度上减少了拖尾现象,但是最小范数约束将会产生平滑效应,不能保证能量足够集中,所以不能在Radon域获得期望的分辨率。
因此要想获得高分辨率的Radon变换结果,消除平滑效应,必须采用新的方法改进反演约束的方式。
首次提出高分辨率Radon变换方法是在频率空间域,是一种稀疏约束反演算法,得到频率域的稀疏解。
对应于Radon变换在频率域的Toeplitz结构[2],求解方法有,Levinson递推算法、Cholesky分解法、共轭梯度法、预条件共轭梯度法等。
现代信号处理方法2-1
第二章 Radon-Wignel 变换2.1 Radon 变换Radon 变换是Radon J .于1917年提出的，随着快速Fourier 变换广泛应用和改进，Radon 变换已成为医学成像和其它许多遥感成像等的主要工具而受到广泛重视，诸如医学上的X 射线层析成像（CT ）就是Radon 变换的应用之一。
1962年，Hough P .又从图形特征检测角度提出了Hough 变换。
由于以直线图形为特征的Radon 变换与Hough 变换相当，所以在有些文献里，把Radon 变换与Hough 变换视为等同概念。
Radon 变换是一种直线积分的投影变换。
如图2.1.1所示，将原直角坐标旋转α角得到新的直角坐标),(v u ，这时以不同的u 值平行于v 轴积分，所得的结果即为Radon 变换。
由图2.1.1可以看出，实际上Radon 变换相当于广义的边缘积分，也相当于一种投影积分（对u 积分投影）。
为在一般意义上讨论Radon 变换，设二维平面),(ωt 有一任意的二维函数（如非平稳信号的时－频分布）),(ωt f ，则其Radon 变换可写成⎰=线PQ dv t f u P ),()(ωα （2.1.1） 利用三角运算，可以得出),(ωt 与),(v u 两平面坐标之间的关系为: ⎩⎨⎧+=-=ααωααcos sin sin cos v u v u t （2.1.2）将（2.1.2）代入（2.1.1）得⎰+-=线PQ dv v u v u f u P )cos sin ,sin cos ()(ααααα （2.1.3） 由（2.1.3）可以看出Radon 变换)(u P α是关于α和u 的二维函数，通常用符号),(αu P f 表图2.1.1 Radon变换的几何关系 ωf示),(ωt f 的Radon 变换。
若用ℜ表示Radon 变换算子，则（2.1.3）可换写成 ⎰+-==ℜ线PQ f dv v u v u f u P t f )cos sin ,sin cos (),()],([αααααω ''''''')()cos sin ,sin cos (⎰⎰∞∞-∞∞--+-=dv du u u v u v u f δαααα （2.1.4）而Hough 变换是一种特征检测方法，它可以将平面（可以推广为空间）里符合某种特征的图形映射为另一个二维平面上的一个点。
Radon变换资料讲解
写成极坐标形式为：
f
x,
y
0
d
q
F
qt
exp
j
2qpdp
• 上式中方括号内是 q F qt 的1-D傅里叶反变换。 利用傅里叶变换的卷积定理可得：
F 1 q F q tF 1 q F 1 F q t
• 上式等号右边的第二项等于Radon变换 Rf x,y
• 4、平移性
• 给定 R f x, y Rf p, cos ,sin ，则对任意的常数
a和b，f x a, y b的Radon变换可以如下计算：
R f x a, y b Rf p a cos bsin,t
• 5、微分
•
这里只考虑 到。
f x
，其他结果可以用相同的方法得
f
y sin y sin
0 0
• 即在线l上的点（x，y）满足 (x ) 1 ，其他 非l上点 (x) 0 的Radon变换可以写为：
R f ( p, ) f (x, y) ( p x cos y sin)dxdy --
由于直线l的方程 p x cos y sin 给出，
fx ,y 0 dF 1 q R fq ,t
• 将 q 的1-D傅里叶反变换表示为：
F1
q
F
1 q
sgn
q
F
1j2q
F
1
sgn q
j2
• 利用微分性质，可将上式第2个等号右边的第一 个反变换表示为：
F -1 j2 p
• 利用柯西值 ，可将上式第2个等号右边的第2 个反变换表示为：
• 正变换：图像空间到其他空间 • 反变换：其他空间到图像空间
Radon变换
f x, y
0
d q F qt exp j 2qp dp
• 上式中方括号内是 q F qt 的1-D傅里叶反变换。 利用傅里叶变换的卷积定理可得：
F q F qt F q F F qt
R f ( p, ) f ( x, y) ( p x cos y sin )dxdy
- -
由于直线l的方程 p x cos y sin 给出， 所以借助Delta函数的性质，可知上式就为l的线积 分。 Rf (p , ) 并不是定义在极坐标系统中的， 注意： 而是定义在一个半圆柱的表面。Radon空间示例如 下：
• 3、Radon变换的盲图像恢复 • 所谓盲图像恢复，就 是仅从降质图像中将扩展 函数（PSF）和原始图像都恢复出来。 • 在获取图像的过程中有许多因素会导致图像质量 的下降即降质，如光学系统的像差、大气扰动、 运动、散焦和系统噪音，它们造成图像的模糊和 变形。图像恢复的目的就是对退化图像进行处理， 使其恢复成没有退化前的理想图像。图像质量的 优劣对视觉判读以及各种计算机视觉系统都十分 重要，因此图像恢复一直是图像处理领域中的研 究热点之一。
• 经典的图像恢复方法主要是针对已知或对图像 有特殊的限制和规定的情况下对图像进行恢复， 但是点扩展函数 (PSF)的信息在实际中很难获取 或者说测量代价高，因此这些对PSF要求有先验 知识的方法在实际中并不可取。实际中，PS... 展开 在获取图像的过程中有许多因素会 导致图 像质量的下降即降质，如光学系统的像差、大气 扰动、运动、散焦和系统噪音，它们造成图像的 模糊和变形。
R f ap, at
拉冬变换
图七 f-ρ域映射到F-X域的频谱图
图八 F-X域Radon变换后返回到t-x域
的信号图
模型测试与分析
为了更加明确的看到Radon变换前后信号是否相近，我们取Radon变换 前后t-x域中的第5道数据进行比较，如图九所示。
图九 F-X域Radon前后t-x域信号比较
模型测试与分析
从图九我们可以看到F-X域Radon变换前后两信号重叠， 同样，图四与图八、图五与图七也表明了F-X域Radon变 换前后信号的一致性，因此，返回到t-x域，保持了波 的形态，说明该算法是稳定的。
H 1
Radon变换原理
拉当变换有明显的物理意义，它是将时间、空间域t-x的 一条直线t=τ +ρ x映射到τ -ρ 域上的一个点，如图1所示。
（a）t-x域一条直线
（b）由t-x域映射到τ -ρ 域中的一个点
图1 t-x域一条直线与τ -ρ 域中一个点的关系
Radon变换原理
在二维连续空间-时间域的Radon正反变换对：
（，） d ( x, t x ) x （， =t- x） d '( x, t )
2.4
Radon变换原理
2.2 F_X域拉当变换的数学原理
由于在t-x域中直接运算时间是非常大的，为了降低运算 时间，可以将t-x域中求逆转换到F-X域中。 在F-X域拉当变换对为：
在图六中我们可以看到图中存在一个脉冲，由于在x-t域共炮点道集 是有限的，做Radon变换会引起畸变端点效应，即能够看到端点发 散效应，变换到f-ρ域是一个能量团，这与理论是一致的。
模型测试与分析
我们把f-ρ 域的信号返回到F-X域，信号谱图如图七所示，经过反傅立 叶变换我们将Radon变换后的F-X信号变换到t-x域，信号图如图八所示。
拉冬变换数学基础
模型测试与分析
5．4 F-X域拉当变换在去噪处理中的可行性测试
给上一节地震数据加入信噪比为4分贝（这里：信噪比=20log2S/N） 的白噪声，则我们可以得到信噪比为4分贝白噪声的t-x域信号如图十 所示，它的频谱如图十一所示。
图十 信噪比为4分贝的地震 信号
图十一 被白噪声污染的地震 信号的频谱
图十四 去噪后F-X域信号频谱
图十五 去噪后t-x域的信号
模型测试与分析
为了更加明确的看到通过F-X域Radon变换去噪的质量，我们取加 噪前第5道数据与F-X域Radon变换后t-x域中的第5道数据进行比 较，结果如图十七所示。
图十七 去噪前后信号的比较
模型测试与分析
从图十五与图十一的比较中，可以看到将高频段的噪声频率去除的 很干净，从图十五中可以看到去噪后的t-x域信号与没有加噪时的几 乎一样。这里我们再分析一下没有加噪的t-x域信号与加噪后通过 Radon变换滤波后t-x域信号幅度的相对误差，如图十八所示。
(,t x)d
2.3
Radon变换原理
在计算机实现中，由于在时间域和空间域的离散采样， 不能应用连续函数方程，因此用离散的累加来代替连续域 的积分运算；为了消除离散采样的有限孔径的影响，利用 最小平方法计算离τ -ρ 变换。二维离散时间、空间域的 拉当正反变换对：
（，） d (x,t x)
Radon变换原理
2.1 拉当变换的数学原理
自1917年Radon先生提出这个变换以后,拉当变换在医学、 物理学、天文学等许多领域都已得到了广泛的应用。 设函数y=g(x)连续可导,而且其反函数是单值的，d(x,t) 满足可积,则定义：
U( , ) R[d(x,t)] d[x, g(x)]dx (2.1)
Radon变换
1、Radon变换定义
对f(x,y)的Radon变换Rf(p, θ)定义为沿由p和θ 定义的直线l的线积分。
1、Radon变换定义
上述线积f(xyd
f
如果借助Delta函数，上述线积分还可写为：
( p , ) f ( x , yp ) ( x c o s y s i n ) d x d y R
(4)平移性
给定
，则对任意的
常数a和b，f(x-a,y-b)的Radon变换可如下计 算：
2、Radon变换基本性质
(5)微分 这里仅考虑 ，其他结果可用相同方法得到。
f x
e ) f f [ x ( y ] f (, x y ) c o s , i m e xl e 0 c o s
现在对上式两边取Radon变换，利用平移性质 得到：
[ pe ,] t [,] p t f R R f f [ ] c o s l i m x e e 0
2、Radon变换基本性质
根据偏微分的定义得到：
R [p ,t] f f [ ]c o s x p
s g n q { q } = { q s g n q } { j 2 q } { } F F F F j 2
1 1 1 1
利 用 微 分 性 质 ， 可 将 上 式 第 2 个 等 号 右 边 的 第 一 个 反 变 换 表 示 为 ：
3、Radon反变换
{2} j （ p ） F
1 ，
利 用 柯 西 主 值 ， 可 将 上 式 第 2 个 等 号 右 边 的 第 2 个 反 变 换 表 示 为 ：
s g nq 1 1 { } = ( ) 2 F j2 2 p
radon变换和中心切片定理关系
一、概述Radon变换和中心切片定理是在医学影像学、地球物理学和其他领域经常使用的数学工具。
它们通过对数据的变换和分析，能够提供关于物体内部结构的重要信息。
本文将介绍Radon变换和中心切片定理的基本概念、原理和应用，并探讨它们之间的关系。
二、Radon变换的概念和原理1. Radon变换的基本概念Radon变换是一种数学变换，用于将一个函数在一定范围内的各个方向上的投影转换为另一个函数。
它最早由数学家约翰·瑞登(John Radon)于1917年提出，并在20世纪50年代被广泛应用于医学影像学中。
Radon变换可以将二维或三维空间中的物体投影到较低维度的空间中，并提供了物体在不同方向上的投影信息。
2. Radon变换的原理对于一个平面上的函数f(x, y)，其在方向θ上的Radon变换可表示为Rf(ρ, θ)，其中ρ表示在方向θ上的截距，θ表示投影的方向。
Radon 变换可以看作是对函数在不同方向上的一维积分，通过对这些一维投影的分析，可以获取原始函数的重要信息。
三、中心切片定理的概念和原理1. 中心切片定理的基本概念中心切片定理是指信号的傅里叶变换的绝对值的平方等于信号的Radon变换。
它是傅里叶变换和Radon变换之间的重要关系，在不同的领域中都有着广泛的应用。
中心切片定理的提出，为遥感图像处理、医学影像重建等方面的问题提供了重要的理论支持。
2. 中心切片定理的原理中心切片定理可以表示为：假设f(x, y)是一个平面上的函数，其Radon变换为Rf(ρ, θ)，则f(x, y)的二维傅里叶变换的绝对值的平方等于Rf(ρ, θ)的积分。
这一定理为进一步分析信号的频谱提供了重要的数学工具。
四、Radon变换和中心切片定理的关系1. 两者的数学表示Radon变换和中心切片定理之间有着直接的数学通联，在数学上可以表示为：f(x, y)的傅里叶变换的绝对值的平方 = f(x, y)的Radon变换这一等式表明了两者之间的紧密关系，对于信号在频域和投影域的分析具有重要的意义。
2_3---radon变换
关于radon变换Radon变换，先是图像在某个方向上的投影后，将重叠在一起的像素的大小加在一起得到的一组数据。
比如如下的一个正方形：a=ones(100,100);%用上述的语句画一个正方形。
b=radon(a,0);%这句话表示在0度这个方向，也就是水平轴方向的投影后对重合的像素点进行求和，图像如下：45度的radon变换如下图所示：可以验证radon变换就是将图像投影到一个方向后，再对这个方向上的投影点重合在一起的所有像素点加在一起。
求所有角度的radon变换：Theta=0:179;c=radon(a,theta);imshow(c);colormap(jet);colorbar;上图中，x 轴上第一个点代表的东西是一个角度数，Y 轴上的一串点对应的就是上面在这个度数下的radon 变换数据，只不过用plot 画的时候，是在一维空间画的，现在画的是二维的空间。
从图中我们可以看出来，随着投影角度的越来越大，投影的长度也越来越大，中心值有大小 也越来越大，这些都可以验证radon 变换。
判定图像中的直线pic=imread('e:\test11.jpg'); figure(1); imshow(pic); title('彩色图像');figure(2); pic=rgb2gray(pic); imshow(pic); title('灰度图像');pic=edge(pic); figure(4);imshow(pic);title('边缘图像');figure(5);pic=double(pic); theta=0:179;r=radon(pic,theta);imshow(r,[]);colormap(hot);colorbar;从radon 变换图中，根据极值点，就可以判断出来原图中的直线了。
Radon变换ppt课件
形式为：
因 为 f x , y 可 用 F （ u , v ) 的 2 D 傅 里 叶 反 变 换 表 示 ， 写 成 极 坐 标
f ( x ,) y d [ q F ( q t ) e x p ( j 2)] q p d p
Radon变换
目录
1、Radon变换定义 2、Radon变换基本性质
3、Radon反变换
1、Radon变换定义
图像变换：为了有效和快速地对图像进行处理， 常需要将原定义在图像空间的图像以某种形式转 换到另外一些空间，并利用在这些空间的特有性 质方便地进行一定的加工，最后再转换回图像空 间以得到所需的效果。 正变换： 图像空间到其他空间 反变换： 其他空间到图像空间
2、Radon变换基本性质
根据偏微分的定义得到：
[pt ,] f R f [ ]c o s x p
(6)卷积 这里用 表示1-D卷积，而用 表示2-D 卷积以示区别。对Radon变换的卷积定理可 ( x ,) yg ( x ,) y h ( x ,) y 如下表示：如果 f ，那么对
2、Radon变换基本性质
(5)微分 这里仅考虑 ，其他结果可用相同方法得到。
f x
e ) f fx [ ( , y ] fx (, y ) c o s i m e xl e 0 c o s
现在对上式两边取Radon变换，利用平移性质 得到：
[ p e ,] t [,] p t f R R f f [ ] c o s l i m x e e 0
1、Radon变换定义
对f(x,y)的Radon变换Rf(p, θ)定义为沿由p和θ 定义的直线l的线积分。
radon变换矫正 原理
radon变换矫正原理
Radon变换矫正是一种用于医学影像处理的技术，它可以将医学影像中的伪影和噪声去除，从而提高影像的质量和准确性。
该技术的原理是基于Radon变换，下面将详细介绍Radon变换矫正的原理。
Radon变换是一种数学变换，它可以将二维平面上的图像转换为一组一维的投影数据。
具体来说，Radon变换将图像中的每个像素点沿着一定的方向进行积分，得到该方向上的投影值。
通过对不同方向上的投影值进行组合，就可以重建出原始图像。
在医学影像处理中，Radon变换可以用于去除伪影和噪声。
伪影是由于影像采集过程中的物理因素或处理过程中的算法缺陷导致的图像畸变，而噪声则是由于影像采集设备的电子噪声或环境干扰等因素引起的图像随机波动。
这些因素会影响医学影像的质量和准确性，因此需要进行矫正。
Radon变换矫正的过程包括以下几个步骤：
1. 对原始影像进行Radon变换，得到一组投影数据。
2. 对投影数据进行滤波，去除高频噪声和伪影。
3. 对滤波后的投影数据进行反变换，得到矫正后的影像。
具体来说，滤波的过程可以采用不同的算法，如Butterworth滤波、高斯滤波等。
这些算法可以根据不同的需求进行调整，以达到最佳的矫正效果。
总之，Radon变换矫正是一种有效的医学影像处理技术，它可以去除伪影和噪声，提高影像的质量和准确性。
在实际应用中，需要根据具体情况进行调整和优化，以达到最佳的矫正效果。
Radon变换图像重构
适用于需要从投影数据中重建出完整图像的场景，如CT成像、三 维重建等。
03 Radon变换的算法实现
离散Radon变换算法
离散Radon变换算法是一种将图像投影到一系列方向上的算法，通过在每个方向上 对图像进行投影，可以得到一组投影数据。
该算法通常使用快速傅里叶变换（FFT）来实现，可以在较短的时间内完成对大规模 图像的变换。
性质
Radon变换具有线性、可逆性和空间 不变性等性质，广泛应用于图像处理 和计算机视觉领域。
Radon变换的数学表达
数学表达式
Radon变换可以表示为将图像函数f(x, y)投影到射线θ=α，其中α是射线与x轴 的夹角，通过积分得到投影数据P(α, t)，即对每个角度进行积分运算。
逆变换
对于给定的投影数据，可以通过逆Radon变换重构原始图像。逆变换的过程是 通过对每个角度进行反投影运算，得到重构图像的像素值。
机器学习算法在Radon变换中的应用
利用机器学习算法对Radon变换进行改进，例如支持向量机、随机森林等，以提高图像重构的准确性和效率。
特征提取与分类
通过机器学习算法对Radon变换后的图像进行特征提取和分类，以实现更加精准的图像重构。
基于深度学习的Radon变换改进
深度学习模型在Radon变换中的应用
加鲜明。
细节提取
02
利用Radon变换的特性，可以从图像中提取出更多的细节信息，
提高图像的分辨率。
应用场景
03
适用于需要增强图像对比度和细节的场景，如安防监控、医学
影像分析等。
图像重建
逆Radon变换
通过逆Radon变换，可以从投影数据中重建出完整的图像。
投影数据获取
radon变换原理
radon变换原理Radon变换原理是一种常用于图像处理和分析的数学方法，它能够将二维图像转换为一维信号，并提取图像中的特征信息。
通过对图像进行Radon变换，可以实现对图像的边缘检测、形状分析、图像重建等多种应用。
Radon变换的基本原理是利用投影将二维图像转换为一维信号。
首先，将图像沿着一定方向进行投影，得到一系列的投影线。
然后，将每条投影线上的像素值相加，得到一维信号。
通过变换不同的方向，可以得到一系列的一维信号，从而提取出图像中的特征信息。
Radon变换的过程可以用数学公式来表示，但为了避免输出公式，下面通过描述来解释Radon变换的原理。
假设有一幅二维图像，其像素值可以表示为一个矩阵。
我们需要将这个矩阵转换为一维信号，首先选择一个方向，比如水平方向。
然后，将每一行的像素值相加，得到一个一维信号。
这个一维信号表示了图像在水平方向上的投影信息。
同样地，我们可以选择其他的方向，比如垂直方向、45度方向等，得到相应方向上的投影信息。
通过Radon变换，我们可以得到图像在不同方向上的投影信息，从而实现对图像的特征提取。
例如，通过对图像进行Radon变换，并对变换结果进行适当的处理，可以实现边缘检测。
边缘是图像中像素值变化较大的区域，通过对投影信息进行分析，我们可以找到这些变化较大的区域，从而实现边缘检测。
除了边缘检测，Radon变换还可以应用于形状分析和图像重建等领域。
在形状分析中，通过对图像进行Radon变换，并对变换结果进行分析，可以得到图像中不同形状的特征信息，从而实现对形状的识别和分类。
在图像重建中，可以利用Radon变换将图像进行投影，然后通过逆变换将投影信息转换回原始图像，从而实现图像的重建。
Radon变换是一种常用的图像处理方法，通过将二维图像转换为一维信号，并提取图像中的特征信息，可以实现对图像的边缘检测、形状分析、图像重建等多种应用。
虽然Radon变换的原理可以用数学公式来表示，但通过描述也能够清晰地理解其基本原理和应用。
图像变换基础RadonHadamardFt
实现Hadamard变换的方法
定义： Hadamard变换 是一种离散变换， 用于将输入信号映 射到输出信号
实现步骤：通过迭 代的方式，对输入 信号进行逐级变换， 最终得到输出信号
算法复杂度：时间 复杂度和空间复杂 度均为O(nlogn)
应用场景：在图像 处理、信号处理等 领域广泛应用
实现Fourier变换的方法
01
添加目录项标题
02
Radon变换
Radon变换的定义
Radon变换是 图像处理中的一 种重要变换，用 于将图像从空间 域转换到 Radon域
它通过对图像中 的每个像素点进 行线性积分来计 算Radon变换
Radon变换在 图像处理中广泛 应用于图像增强、 图像恢复和图像 压缩等领域
通过对Radon 变换的逆变换操 作，可以将图像 从Radon域转 换回空间域
离散傅里叶变换（DFT）：对图像进行傅里叶变换，将图像从空间域转换到频率域。 快速傅里叶变换（FFT）：基于DFT的算法，通过减少计算量来提高变换速度。 傅里叶变换滤波器：在频率域对图像进行滤波处理，实现图像的增强和降噪。 傅里叶逆变换：将处理后的图像从频率域转换回空间域，得到最终的变换结果。
和通信领域
添加标题
优缺点比较：Radon 变换能够提供图像在 各个方向上的信息，
但计算量大； Hadamard变换具有 高效性，但在处理灰 度图像时可能会引入 误差；Fourier变换能 够揭示图像的频率成 分，但无法提供空间
信息
Radon-Hadamard-Fourier变换的优劣比较
添加标题
Radon变换：在图像处理中，Radon变换是一种重要的线性变换，能够将图像从空间域转换 到角度域，从而提取出图像中的方向信息。
radon定理
radon定理
摘要：
1.引言
2.radon 定理的定义
3.radon 定理的证明
4.radon 定理的应用
5.总结
正文：
1.引言
Radon 定理是数学中一个非常重要的定理，它涉及到线性算子和有界函数空间之间的关系。
该定理在数学、物理和工程等领域都有广泛的应用。
2.radon 定理的定义
Radon 定理的定义如下：设X 和Y 是两个可度量的空间，A 是一个线性算子，如果A 把有界函数空间B(X) 映射到有界函数空间B(Y)，那么存在一个连续的线性算子A"，它把X 映射到Y，使得A" = A|B(X)。
3.radon 定理的证明
Radon 定理的证明比较复杂，需要利用一些高级的数学知识，如Hahn-Banach 定理和Riesz 表示定理等。
具体的证明过程可以参考相关的数学教材或论文。
4.radon 定理的应用
Radon 定理在数学、物理和工程等领域都有广泛的应用。
例如，在数学
中，它可以用来证明一些重要的定理，如Hahn-Banach 定理和Riesz 定理等；在物理中，它可以用来描述一些物理现象，如波动方程和薛定谔方程等；在工程中，它可以用来解决一些实际问题，如信号处理和图像处理等。
5.总结
Radon 定理是数学中一个非常重要的定理，它涉及到线性算子和有界函数空间之间的关系。
Radon变换知识讲解_2022年学习资料
包回厄闻包回厄回包回囘回甩回尼回厄闻厄回囘回-结合直线方程，则Deta函数可以表示为：-0,p-xcos0 ysin0≠0-6p-x coso-ysine=-1,p-x cos0-ysine=0-画巴-即在线上的点 ,y满足6x=1,-其他-非l上点δ x=O的Radon变换可以写为：-西巴田巴田-●-R,p.0=[fx. p-xcos0-ysin 0dxdy--00-00-园国甩国国国国-画画回画囡画回画囡回画囡画画囡画回画回
甩回囘闻已国囘国厄国囘回囘国厄回囘回尼回囘回-西巴西巴西巴西巴西巴西巴西巴-Radon变换及其应用-甩国国 国国园国甩国国国国国-回囡画回画囡画西回画囡画西回固回西回囡回画回回
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甩回囘闻已国囘国厄国囘回囘国厄回囘回尼回囘回-西回-Radon变换的基本性质-·1、线性-Rlaf+bgJ aR;+bRg-2、相似性-若R[af,bg]=Rrp,cosO,sin0,则-甩国国国国国园国甩国国国国 -画回-固画囡画回画固画西画画画西画西画固画回回固回
包回厄闻包回厄回包回囘回甩回尼回厄闻厄回囘回-sin-3、对称性-画回-若考虑下面的等式（其中t=cos0 sin0为与引垂-直方向上的单位矢量。-R,ap,at-[fx.yap-axcos0-aysin Odxd -固画囡画回画固画西画画画西画西画固画回回固回
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radon变换构造频域算子
radon变换构造频域算子
Radon变换是一种用于图像处理和计算机视觉任务中的频域算子，它可以将图像从空域转换到频域，用于提取图像中的频域特征。
Radon变换的基本思想是将图像中的像素值在不同的角度上进行投影，然后对每个投影进行傅里叶变换，得到图像在不同频率上的响应。
这样可以得到一组频域投影数据，用于描述图像的频域特征。
具体的Radon变换可以按照以下步骤进行构造：
1. 选择一组角度值，例如0°、45°、90°、135°等。
2. 对于每个角度，将图像中的像素值沿该角度进行投影。
投影可以使用正弦和余弦函数来实现，计算每个像素在投影线上的位置和对应的像素值，并将其累加得到投影值。
3. 对每个投影值进行傅里叶变换，得到图像在不同频率上的响应。
4. 将得到的频域投影数据进行合并或处理，可以通过加权平均或选择特定频率范围的响应来提取图像的频域特征。
Radon变换可以用于图像恢复、图像分析、医学图像处理等领域，可以提取图像中的纹理信息、边缘信息等频域特征，对图像的处理和分析具有重要作用。
RADON变换说明及MATLAB例子
Radon变换:又称为Hough Transform(数字图像处理课程里学过——数字图像处理课件3-P37)考虑b=ax+y，将原来的XY平面内的点映射到AB平面上。
则原来在XY平面上的一条直线的所有的点，在AB平面上都位于同一个点。
通过记录下AB平面上的点的积累厚度，可反知XY面上的一条线的存在。
在新平面下得到相应的点积累的峰值，可得出原平面的显著的线集。
例如：XY平面上的一个直线y=2x-3;变换-3=-2x+y;其中：a=-2,b=-3若有两个点在XY平面:（0，-3），（2，1），此两点都过直线，则可知有AB平面上，此两点在(-2,-3)AB平面上。
一种更好的表示方法是用ρ和θ来代替ab。
即：xcosθ+ysinθ=ρ以图像的中心为极坐标原点，直线X`即为新的投影坐标，θ为角度。
我们所要求的原坐标上的一条直线，是一条垂直于上图X`的一条直线，而非X`本身。
如下例：function radontestI=zeros(200,200);%I(100:170,100:170)=1;A=eye(100,100);I(101:200,1:100)=A;figure,imshow(I);title('orginal image');orginal imagetheta=0:180;[R,xp]=radon(I,theta);%R是点的数量多少%xp是R对应的坐标位置,即为X`，另一解释为直线跟原点间距离%0-180代表0到180度%此变换是以图像的中心点为原点的变换figure,imagesc(theta,xp,R);title('R_theta X');xlabel('theta(degree)');ylabel('X\prime');colormap(hot);colorbar;即所求 =45度，X`=-75左右。
意思是在原XY坐标下的45度的直线X`上，距离原点75的位置有条与X`垂直的直线。
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• 对f(x,y)的Radon变换R f ( p, ) 定义为沿由 p 和
定义的直线l的线积分 。其用于Radon变换的坐 标系如下：
Y
（x,y)
t| zq
p t
l X
• 上述线的积分可以表示为：
Rf(p, ) f(x,y )dl
Rf ap,at
f (x, y) (ap ax cos ay sin )dxdy
• 常熟因子a可以从Delta函数中提取出来，得到：
•
Rf af , at a 1 Rf p,t （放缩性）
• 若a=-1，则表明Radon变换是阶为-1的偶函数
R f p , t R f p , t
二、Radon变换的基本性质
• 1、线性
Raf bg aRf bRg
• 2、相似性
• 若 Raf，bg Rf ( p, cos , sin ) ，则
R f ax,by
1 ab
R
f
(
p,
cos
a
, sin )
b
• 3、对称性
• 若考虑下面的等式（其中 t cos,sin ）为与l垂
直方向上的单位矢量。
• Delta函数（狄克拉函数）是一个广义函数，并 没有具体的定义，该函数在非零点取值均为0， 而在整个定义域的积分为1，下面为一个最简单 的Delta函数：
(x )
0,x 1,x
0 0
• 结合直线方程，则Delta函数可以表示为：
(p
x
cos
y
sin )
0,p 1,p
x cos x cos
fx ,y 0 dF 1 q R fq ,t
• 将 q 的1-D傅里叶反变换表示为：
F1
q
F
1 q
sgn
q
F
1j2q
F
1
sgn q
j2
• 利用微分性质，可将上式第2个等号右边的第一 个反变换表示为：
F -1 j2 p
• 利用柯西值 ，可将上式第2个等号右边的第2 个反变换表示为：
• 经典的图像恢复方法主要是针对已知或对图像 有特殊的限制和规定的情况下对图像进行恢复， 但是点扩展函数(PSF)的信息在实际中很难获取 或者说测量代价高，因此这些对PSF要求有先验 知识的方法在实际中并不可取。实际中，PS... 展开 在获取图像的过程中有许多因素会 导致图 像质量的下降即降质，如光学系统的像差、大气 扰动、运动、散焦和系统噪音，它们造成图像的 模糊和变形。
x
lim e0
f
x
e
cos
,
y
e
f x, y
• 对上面式子两边取Radon变换，利用平移性质得
到：
R
f x
cos
lim e0
R
f
p
e,
e
R
f
p,
t
• 根据偏微分的定义得到
R
f x
cos
R f p, t
p
Radon的反变换
• Radon反变换给出从投影重建的解。对Radon反 变换的推导可借助傅里叶变换进行。
y sin y sin
0 0
• 即在线l上的点（x，y）满足 (x ) 1 ，其他 非l上点 (x) 0 的Radon变换可以写为：
R f ( p, ) f (x, y) ( p x cos y sin)dxdy --
由于直线l的方程 p x cos y sin 给出，
• 4、平移性
• 给定 R f x, y Rf p, cos ,sin ，则对任意的常数
a和b，f x a, y b的Radon变换可以如下计算：
R f x a, y b Rf p a cos bsin,t
• 5、微分
•
这里只考虑 到。
f x
，其他结果可以用相同的方法得
f
函数（PSF）和原始图像都恢复出来。
• 在获取图像的过程中有许多因素会导致图像质量 的下降即降质，如光学系统的像差、大气扰动、 运动、散焦和系统噪音，它们造成图像的模糊和 变形。图像恢复的目的就是对退化图像进行处理， 使其恢复成没有退化前的理想图像。图像质量的 优劣对视觉判读以及各种计算机视觉系统都十分 重要，因此图像恢复一直是图像处理领域中的研 究热点之一。
所以借助Delta函数的性质，可知上式就为l的线积 分。
注意：Rf(p, ) 并不是定义在极坐标系统中的，
而是定义在一个半圆柱的表面。Radon空间示例如 下：
• Radon变换可以理解为图像在 ( p,) 空间的投影，
• ( p, ) 空间上的每一点对应(x,y)空间中的一条直
线。
• Radon变换可以用于直线检测，可以针对非二值 图像，它的积分运算环节抵消了噪声所引起的亮 度起伏。
• 2、Radon变换在排水线地质雷达探测图像处理中 的应用
• Radon变换对地下管线雷达资料成像处理非常有 用,它能够消除地质雷达资料成像中存在的各种 干扰,以得到真实的图像。利用Matlab中的 Radon变换模块实现地质雷达图像的Radon变换与 反变换。
• 3、Radon变换的盲图像恢复 • 所谓盲图像恢复，就 是仅从降质图像中将扩展
• 因为 f x, y 可用 Fu,v 的2-D傅里叶反变换表示，
写成极坐标形式为：
f
x,
y
0
d
q
F
qt
exp
j
2qpdp
• 上式中方括号内是 q F qt 的1-D傅里叶反变换。 利用傅里叶变换的卷积定理可得：
F 1 q F q tF 1 q F 1 F q t
• 上式等号右边的第二项等于Radon变换 Rf x,y
Radon变换及其应用
• 主要介绍内容：
• Radon变换的定义 • Radon变换的基本性质 • Radon反变换 • Radon变换的应用
一、Radon变换的定义
• 图像变换：为了有效和快速地对图像进行处理， 常需要将原定义在图像空间的图像以某种形式转 换到另外一些空间，并利用在这些空间特有性质 方便地进行一些加工，最后再转换回图像空间以 得到所需要的效果。
F
-1
sgn q
j 2
1
2 2
1 p
• 所以
F
1 q
p
1
2
2
1 p
• 经整理得到Radon反变换：
f x, y 1
2 2
0
d
Rf
p,t
1
2
2
1 p
Radon变换的应用
• 1、Radon变换在合成孔径雷达（SAR）图像船行 尾迹检测的
• 在Radon空间进行处理后,得到逆变换图像.通过 图像后处理,可得到二值图像,以用于尾迹自动检 测.对海洋卫星合成孔径雷达(SEASAT SAR)图像 及模拟乘性斑点噪声中舰船尾迹进行了检测