上海市浦东新区2015届高三数学二模考试试卷文(含解析)

上海市浦东新区2015届高考数学二模试卷（文科）一、填空题（本大题共有14题，满分56 分）;考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4分，否则一律得零分• 1 •不等式3x >2的解为__________.2. ______________________________________________________________ 设i 是虚数单位，复数（a+3i ） （1 - i ）是实数，则实数 a= ________________________________ .fl -1 213•已知一个关于x , y 的二元一次方程组的增广矩阵为，则x - y= __________2 14. 已知数列｛a n ｝的前n 项和S=n 2+ n ，那么它的通项公式为 a n = ___________ .5. 已知（/ —丄）盒展开式中二项式系数之和为1024，则含x 2项的系数为 ____________ .z2 2 2 .. ..6. ______________________________________________________________________ 已知直线3x+4y+2=0与（x - 1） +y =r 圆相切，则该圆的半径大小为 __________________________ .&若对任意x € R ，不等式sin2x - 2sin 2x - m< 0恒成立，则 m 的取值范围是__________.29.已知球的表面积为 64 ncm ，用一个平面截球，使截面球的半径为 2cm,则截面与球心的距离是 ___________ cm.10. 已知 a ，b € ｛1，2，3，4，5，6｝，直线 I 仁 x - 2y -仁0，12： ax+by -仁0,则直线 l 1丄1 2 的概率为 ___________ .11.若函数f （Q 二J+x$- 4的零点m €（ a ，a+1），a 为整数，则所以满足条件 a 的值为12. 若正项数列｛a n ｝是以q 为公比的等比数列，已知该数列的每一项7. 已知x ，y 满足则x+y 的最大值为a k 的值都大于从a k+2开始的各项和，则公比q的取值范围是______________13. 已知等比数列｛a n｝的首项a1、公比q是关于x的方程（t - 1）x2+2x+ （2t - 1）=0的实数解，若数列｛a n｝有且只有一个，则实数t的取值集合为 .14.给定函数f ( x )和g (x ),若存在实常数k , b ,使得函数f (x )和g ( x )对其公共定义域D 上的任何实数x 分别满足f (x )> kx+b 和g (x ) < kx+b ,则称直线l : y=kx+b 为函数f (x )和g (x )的"隔离直线”.给出下列四组函数：① f ( x ) = - +1, g (x ) =sinx ;I別② f ( x ) =x 3, g (x ) =-2;③ f ( x ) =x+_ ,g (x ) =lgx ;④f ( x ) =2x -1其中函数f (x )和g (x )存在“1隔离直线”的序号是二、选择题(本大题共有 4题，满分20分);每小题给出四个选项，其中有且只有一个选项 是正确的，考生应在答题纸相应的位置上，选对得5分，否则一律不得分•15. 已知a , b 都是实数，那么“ O v a v b ”是“丄>2”的()a bA.充分不必要条件 B .必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件17 .若直线ax+by - 3=0与圆x 2+y 2=3没有公共点，设点 P 的坐标(a , b ),那过点P 的一条直 2 2线与椭圆 '=1的公共点的个数为()4 3 A. 0B . 1C. 2D. 1 或 218.如图，由四个边长为 1的等边三角形拼成一个边长为2的等边三角形，各项点依次为，A , A 2, A ，…A 则(1' jG [If 2, 3,…6])的值组成的集合为()16.平面a 上存在不同的三点到平面 关系是() A.平行B .相交 3的距离相等且不为零，则平面a 与平面3的位置C.平行或重合D.平行或相交B.-1,C.{-3-1,D.2,_ 3-V三、解答题(本大题共有5题，满分74 分):解答下列各题必须在答题纸的相应位置上，写出必要的步骤.19. 已知函数f(X)二h十;I* G>0) , a(1)当a=- 1时，判断函数y=f (x)在(1, +R)上的单调性，并加以证明;(2)根据实数a的不同取值，讨论函数y=f (x)的最小值.20. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABC［为边长为2的正方形，PU底面ABCD PA=2(1)求异面直线PC与BD所成角的大小；(2)求点A到平面PBD的距离.21. 一颗人造卫星在地球上空1630千米处沿着圆形轨道匀速运行，每2小时绕地球一周，将地球近似为一个球体，半径为6370千米，卫星轨道所在圆的圆心与地球球心重合，已知卫星与中午12点整通过卫星跟踪站A点的正上空A', 12: 03时卫星通过 C 点，(卫星接收天线发出的无线电信号所需时间忽略不计)(1)求人造卫星在12: 03时与卫星跟踪站A之间的距离.(精确到1千米)(2)求此时天线方向AC与水平线的夹角(精确到1分).为实数.22. ( 16分)已知直线I 与圆锥曲线C 相交于两点A , B,与x 轴，y 轴分别交于D 、E 两点, 且满足 IL-. :. . L ,| v' .. j |已知直线I 的方程为y=2x - 4,抛物线C 的方程为y 2=4x ,求入i +入2的值;2 J 已知直线I : x=my+1 (m> 1),椭圆C:卡+乎2=1，求23. (18分)记无穷数列｛a n ｝的前n 项a i , a 2,…，a n 的最大项为A n ,第n 项之后的各项a n+i , a n+2,…的最小项为 B,令b n =A -B.(1) 若数列｛a n ｝的通项公式为a n =2 n 2-n+1，写出b 1, b 2,并求数列｛b n ｝的通项公式； (2) 若数列｛a n ｝递增，且｛a n+1 - a n ｝是等差数列，求证：｛b n ｝为等差数列；(3) 若数列｛b n ｝的通项公式为b n =1 - 2n ,判断｛a n+1 - a n ｝是否为等差数列，若是，求出公差； 若不是，说明理由.上海市浦东新区2015届高考数学二模试卷(文科)一、填空题(本大题共有 14题，满分56 分);考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结 果，每个空格填对得 4分，否则一律得零分• 1. 不等式3x >2的解为x > log 32.考点：指、对数不等式的解法. 专题：不等式的解法及应用. 分析：将原不等式两端同时取对数，转化为对数不等式即可. 解答： 解：•••3x >2> 0,••• 1口电3 吕3?，即 x > log 32. 故答案为：x > log 32.点评：本题考查指数不等式的解法，将其转化为对数不等式是解题的关键，属于基础题. 2. 设i 是虚数单位，复数(a+3i ) (1 - i )是实数，则实数 a=3. 考点：复数代数形式的乘除运算. 专题：数系的扩充和复数.分析：利用复数的运算法则、复数为实数的充要条件即可得出. 解答： 解：复数(a+3i ) (1 - i ) =a+3+ ( 3 - a ) i 是实数， 3 — a=0,解得 a=3.(1) (2) (3)2 “已知双曲线C:-...,:，求点D 的坐标.的取值范围;故答案为：3.点评：本题考查了复数的运算法则、复数为实数的充要条件，属于基础题.fl 八3.已知一个关于 x , y 的二元一次方程组的增广矩阵为丄 * ,则x - y=2.Io 12)-考点：二阶矩阵. 专题：矩阵和变换.分析：由增广矩阵写出原二元线性方程组，再根据方程求解 x , y 即可.[0-Fy=2解答： 解：由二元线性方程组的增广矩阵可得到 二元线性方程组的表达式 丿,k O+y=2解得 x=4 , y=2, 故答案为：2.点评：本题考查增广矩阵，解答的关键是二元线性方程组的增广矩阵的涵义，属于基础题. 4. 已知数列｛a n ｝的前n 项和S=n 2+ n ，那么它的通项公式为 a n =2n . 考点：等差数列的前 n 项和；数列递推式. 专题：等差数列与等比数列.解答： 解：a 1=S=1+1=2,2a n =S — S n -1= (n+n )_ =2n .当 n=1 时，2n=2=a i ,--a n=2n .故答案为：2n .点评：本题主要考查了利用数列的递推公式a n = S - S n - 1求解数列的通项公式，属于基础题.5. 已知(£ -丄)八展开式中二项式系数之和为乂考点：二项式系数的性质. 专题：计算题；二项式定理.分析：依题意得，由二项式系数和 2n =1024，求得n 的值，再求展开式的第 k+1项的通项公式, 再令通项公式中x 的幕指数等于2,求得r 的值，即可求得展开式中含 x 2项的系数.解答： 解：依题意得，由二项式系数和2 n =1024，解得n=10;由于展开式的第k+1项为T r+1=C|0 ( - 1 ) 'r"7‘，由此可知数列｛a n ｝的通项公式a n .1024，则含x 2项的系数为210 .分析：由题意知得令20 - 3r=2，解得r=6 , •••展开式中含x2项的系数为：: 故答案为：210.点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数,项式系数的性质，属于中档题.2 2 2 .. ..6. 已知直线3x+4y+2=0与（x - 1）+y=r圆相切，则该圆的半径大小为1.考点：圆的切线方程. 专题：直线与圆.分析：由圆的方程求出圆心坐标，直接用圆心到直线的距离等于半径求得答案. 解答：解：由（x - 1）2+y2=r2,可知圆心坐标为（1, 0）,半径为r, •••直线3x+4y+2=0 与（x - 1）2+y2=r2圆相切,由圆心到直线的距离d」1心心Q+2 |二］,可得圆的半径为1.故答案为：1.点评：本题考查了直线和圆的位置关系，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题.7.已知x, y满足，则x+y的最大值为2.考点：简单线性规划.专题：不等式的解法及应用.分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求x+y的最大值.解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）.设z=x+y 得y= - x+z ,平移直线y= - x+z,由图象可知当直线y= - x+z经过点B时，直线y= - x+z的截距最大，此时z最大.由,解得|沪1 ,即B（1, 1）,［2x+y=3 ［尸1代入目标函数z=x+y得z=1+仁2.即目标函数z=x+y的最大值为2.故答案为：2.利用平点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键.&若对任意x € R,不等式sin2x - 2sin 2x - m K 0恒成立，则m的取值范围是 J - 1, +m).考点：三角函数的最值.专题：三角函数的求值.分析：问题转化为m>sin2x - 2sin2x对任意x€ R恒成立，只需由三角函数求出求t=sin2x - 2sin 2x的最大值即可.2解答：解：T对任意x€ R,不等式sin2x - 2sin x - m K 0恒成立，m> sin2x - 2sin x 对任意x€ R恒成立，•••只需求t=sin2x —2sin x的最大值，■/t=sin2x - 2sin x=sin2x -( 1 - cos2x)=sin2x+cos2x -仁v 7sin (2x+——)-1,4•••当sin (2x+—) =1 时，t 取最大值\/ \- 1,• m的取值范围为(二-1, +7故答案为：C.-1 , +8)点评：本题考查三角函数的最值，涉及恒成立问题和三角函数公式的应用，属基础题.9.已知球的表面积为64 n cm2，用一个平面截球，使截面球的半径为2cm,则截面与球心的距离是2:-;cm.考点：球的体积和表面积.专题：计算题；空间位置关系与距离.分析：先求出球的半径，再利用勾股定理，即可求出截面与球心的距离.解答：解：球的表面积为64 n cm2，则球的半径为4cm,•••用一个平面截球，使截面球的半径为 2 cm,•截面与球心的距离是一£2=Wcm.故答案为：2 ::.点评：本题考查截面与球心的距离，考查球的表面积，求出球的半径是关键.10.已知 a , b € {1 , 2, 3, 4, 5, 6}，直线 11： x - 2y -仁 0, 12： ax+by -仁 0,则直线 l 1丄1 2 的概率为丄.12考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系；等可能事件的概率. 专题：计算题.分析：本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数是36，满足条件的事件是直线1』1，得到关于a , b 的关系式，写出满足条件的事件数，即可得到结果. 解答：解：设事件A 为“直线丨1丄1”，••a b € {1 , 2, 3, 4, 5, 6}的总事件数为(1, 1), (1 , 2)…，(1 , 6), (2 , 1), (2 , 2),…,(2 , 6),…,(5 , 6),…,(6 , 6)共 36种， 而 11： x - 2y - 1=0 , l 2： ax+by - 1=0 , I 1 丄12? 1?a - 2b=0 , ••• a=2 时,b=1; a=4 时，b=2; a=6 时，b=3; 共3种情形.=-- .136 1.2•- P (A •直线I 1丄1 2的概率为: 1 12故答案为:点评：本题考查等可能事件的概率, 考查两条直线的垂直， 关键在于掌握等可能事件的概率公式，属于中档题.211.若函数f (誉)二x*- 4的零点m €( a , a+1), a 为整数，则所以满足条件 a 的值为a=1 或 a= - 2.考点：函数零点的判定定理. 专题：计算题；函数的性质及应用.2-\1- 4是偶函数，且在C 卜寻7 一寺0.寺1.劭3_ 1 仃 113 川分析：首先可判断函数 f 二 D. {-戈,考点：平面向量数量积的运算. 专题：平面向量及应用. 分析：通过观察图形知道向量AjA ；分成以下三个类型：①小三角形边上的向量，②大三角形边上的向量，③大三角形中线向量，这样求出每种情况下.. 「的值，从而求得答案.解答：解：对向量分成以下几种类型:门产1边长为1的小三角形边上的向量，只需找一个小三角形AAA，它其它小三角形边上的向量相等; 大三角形AAA边上的向量，和它的中线上的向量，所以有:■ 1 ■ ■A | A 2 ■ A 2 人6—<A | A • A 各A 2 - 0所有值组成的集合为{1，- 1—一一. . / . — - — . |}- 12门他 2 2 2 2故选：D.点评：考查相等向量，相反向量的概念，向量数量积的计算公式，等边三角形中线的特点.三、解答题(本大题共有5题，满分74分)：解答下列各题必须在答题纸的相应位置上，写出必要的步骤•19.已知函数f (x) =|x+-L G>0),迅为实数.X(1)当a=- 1时，判断函数y=f (x)在(1, +8)上的单调性，并加以证明；(2)根据实数a的不同取值，讨论函数y=f (x)的最小值.考点：函数的最值及其几何意义；分段函数的应用. 专题：计算题；函数的性质及应用.分析：(1) f (x) =|x -丄|=x -丄在(1, +8)上单调递增，利用f'( x) =1丄7 > 0可得;工R 胡(2) a<0时，x= •-时，函数取得最小值0; a> 0时，f (x) =x+，时，利用基本不等式求出y=f (x)的最小值为 2 .-I.解答：解：(1) f (x) =|x - 2|=x -二在(1, +8)上单调递增.恻x•-f '( x) =1+ ：> 0 ,X••• y=f ( 乂)在(1, +8)上在(1, +8)上单调递增；(2) a v 0时，x=(-尸时，函数取得最小值0; a=0时函数无最小值；a> 0时，f (x) =x+上>2 -1,当且仅当x= . 1时，y=f (x)的最小值为2 i.点评：本题考查函数的最值，考查导数知识的运用，考查基本不等式，属于中档题.土丄：■… A _，| 1i ■■- ■，.，A A 2 p A A Q -才二' A ! A2* A.e Aj = l，.■ | ■.，’― ■亡1 - ，|/■20. 如图，在四棱锥 P -ABCD 中，底面ABCD 为边长为2的正方形，PU 底面 ABCD PA=2 (1) 求异面直线PC 与BD 所成角的大小； (2) 求点A 到平面PBD 的距离.考点：点、线、面间的距离计算；异面直线及其所成的角. 专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角.分析：(1)令AC 与 BD 交点为O, PA 的中点为E ,连接OE BE,则OE/ PC 则直线 PC 与BD 所成角等于直线 OE 与BD 所成角，解三角形 OEB 即可得到答案.(2)过A 作AH L OE 垂足为 H,贝U AH L 平面PBD 求出AH,即可求点 A 到平面PBD 的距离. 解答： 解：(1)令AC 与BD 交点为O, PA 的中点为E ,连接OE BE 如图所示： •••O 为 BD 的中点，贝U EO=-PC= ：■;,且 OE/ PC2又TPAL 面 ABCD 且 PA=AD=2 AB=2 BD=2 :■:. • OB 千 BD= :'： , BE= 口 ,3+2-5 _ |=0 , 2^77^72 即异面直线PC 与BD 所成角为90°；••• |cos / EOB|=|(2)过A 作AHL OE 垂足为 H ,贝U AHL 平面 PBD 在直角三角形 AOE 中 , AE=1 , OA= : , OE=:;,点评：本题考查异面直线及其所成的角，点A到平面PBD的距离，将空间问题转化为一个平面解三角形的问题是解题的关键.21. 一颗人造卫星在地球上空1630千米处沿着圆形轨道匀速运行，每2小时绕地球一周，将地球近似为一个球体，半径为6370千米，卫星轨道所在圆的圆心与地球球心重合，已知卫星与中午12点整通过卫星跟踪站A点的正上空A', 12: 03时卫星通过C点，(卫星接收天线发出的无线电信号所需时间忽略不计)(1)求人造卫星在12: 03时与卫星跟踪站A之间的距离.(精确到1千米)(2)求此时天线方向AC与水平线的夹角(精确到1分).考点：球面距离及相关计算.专题：计算题；空间位置关系与距离.分析：(1)求出/AOC在厶ACO中利用余弦定理，即可求人造卫星在12: 03时与卫星跟踪站A之间的距离；(2)设此时天线方向AC与水平线的夹角为0,则/ CAO外+90°,所以在厶ACO中, AC f=63702+80002- 2X 6370X 8000X cos9° =3911704.327,所以A01978 (千米)，所以人造卫星在12: 03时与卫星跟踪站A之间的距离为1978千米;(2)设此时天线方向AC与水平线的夹角为0,则/ CAO=0+90°,所以• •所以sin (0 +90°)~ 0.6327 ,所以cos 0~ 0.6327 ,所以0~ 50° 45',所以此时天线方向AC与水平线的夹角为50° 45'.点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题.sin9°sin(e+gcr ) |1978_8000AC与水平线的夹角.(1)设/ AOC==，则即可求此时天线方向解答: 解:22. ( 16分)已知直线I 与圆锥曲线C 相交于两点A , B,与x 轴，y 轴分别交于D 、E 两点, 且满足:. . f,l ;1.' .. J I已知直线I 的方程为y=2x - 4,抛物线C 的方程为y 2=4x ,求入计入2的值;2 J已知直线I : x=my+1 (m > 1),椭圆C:竺丄审2=1,2 y (1) (2) (3)2 “已知双曲线C:-...,'，求点 D 的坐标.考点 专题 分析EA=直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质. 圆锥曲线的定义、性质与方程.(1)通过直线I 的方程可得 D 、E 坐标，将y=2x - 4代入y 2=4x 可得点A 、B 坐标，利用 ..Ij.］：',计算即可；2⑵通过联立X =my+1(m >"与―T ，利用韦达定理、八• IJ 、「一」，计算即得结论;(3)通过设直线I 的方程并与双曲线 C 方程联立，利用韦达定理、计算即可.解答： 解：(1)将 y=2x - 4 代入 y 2=4x ，求得点 A (1,- 2), B (4, 4), 又•/ D( 2, 0), E ( 0,- 4),且 q 一 ],.,•••( 1 , 2)=入 1 ( 1 , 2)=(入 1 , 2 入 1),即入1=1, 同理由-卜一 “,可得入2=- 2 ,•••入计入2= - 1 ；(2)联立 x=my+1 (m> 1)与^卜=1,2消去 x 可得：(2+m )y 2+2my-仁0, •••D ( 1, 0), E (0,「)，且+—=-入 i y i ,•入 1=- 1T同理由-卜-「广『，可得y 2丄-入 2y 2，— 2=-( 1 + 丄「 IT m y- ),•••入 1+ 入 2= -( 1+ ~ ~) = — 2— 口 y=-2计吃尸-4,的取值范围;求 由韦达定理可得：y 1+y 2=-2D 2+m 2,y i y 2=-•••入 i +入 2=6,.・.2+丄？(- ) =- 6，解得 t= ± 2,' | :•点 D (± 2, 0);当直线I 与X 轴重合时，入1 = -」^，入2=_— 或者 入1=_，入2=-」^,t+a t ~ □ t _ □ t+aI p a 2 I•都有入计入2=…=6也满足要求，•••在x 轴上存在定点 D (± 2, 0). 点评：本题是一道直线与圆锥曲线的综合题， 考查运算求解能力， 注意解题方法的积累， 属于中档题.23. (18分)记无穷数列｛a n ｝的前n 项a i , a 2,…，a n 的最大项为A n ,第n 项之后的各项a n+i , a n+2,…的最小项为 B,令b n =A - B n .(1) 若数列｛a n ｝的通项公式为a n =2 n 2-n+1，写出b i , b 2,并求数列｛b n ｝的通项公式； (2) 若数列｛a n ｝递增，且｛a n+1 - a n ｝是等差数列，求证：｛b n ｝为等差数列；(3) 若数列｛b n ｝的通项公式为b n =i - 2n ,判断｛a n+i - a n ｝是否为等差数列，若是，求出公差； 若不是，说明理由.考点：数列递推式；等差关系的确定；等比关系的确定. 专题：等差数列与等比数列.分析：(1)数列｛a n ｝的通项公式为a n =2n 2 - n+i ,可得：a i =2, a n , n 》l 时为单调递增数列.可 得 A i =a i =2, B=a 2=7, b i =- 5.同理可得 b 2=A - E 2=a 2 - a 3.可得数列｛b n ｝的通项公式 b n =A - B=a n—a n+i .(2) 由数列｛a n ｝递增，可得 A n =a n , B=a n+1,可得 b n =A n - B = a n - a n+1=-( a n+1 - a n ),即可证明. (3) 设d 是非负整数，先证明：b n =- d (n=1, 2, 3…)的充分必要条件为｛a n ｝是公差为d 的 等差数列，即可得出.解答： (1 )解：数列｛a n ｝的通项公式为a n =2n 2 - n+1,--=4卜 1 E! £-4••• m> 1,「.点A 在椭圆上位于第三象限的部分上运动, 由分点的性质可得入i €•••丄 -€(-^,- | 1 ' 2(3) 设直线I 的方程为：(:-,0),2 )； x=my+t ，代入双曲线 C 方程,消去 x 得：(-3+吊)y 2+2mty+ (t 2- 3) =0, 由韦达定理可得: y i +y 2=-由］一，“ .n 可得：-(入1+ 入 2)=2—? (- + -),M ^1 V2y i y 2=丄丄=a i=2, - ' 丄n》l时为单调递增数列.“ 4 82/•A i=2, Bi=a2=2X2 - 2+1=7b i=2 - 7=- 5.同理可得b2=A2- B2=a2- a3=- 9./•数列｛b n｝的通项公式b n=A - B=a n - a n+i=2n2- n+1 - = - 4n —1;(2)证明：•.•数列｛a n｝递增，/.A n=a n, B = a n+1 ,/•b n=A n —B n=a n —a n+i = -( a n+i - a n),T ｛a n+1 - a n｝是等差数列，•/｛b n｝为等差数列.(3)解：设d是非负整数，先证明：b n=- d (n=1, 2, 3…)的充分必要条件为｛a n｝是公差为d的等差数列；充分性：设d是非负整数，若｛a n｝是公差为d的等差数列，贝U a n=a1+ (n- 1) d,/•A n=a n=a1+ (n- 1) d, B=a n+1=a1+nd,--d n=A n —B n= —d, ( n=1, 2, 3, 4 …).必要性：若b n=Ai —B n= —d, (n=1, 2, 3, 4…).假设a k是第一个使a k —a—1< 0的项，则d k=A - B<=a k-1 - B k》a k-1- a k >0，这与d n= - d<0 相矛盾，故｛a n｝是一个不减的数列.--d n=A n —B n=a n —a n+1 = —d，即a n+1 —a n=d,故｛a n｝是公差为d的等差数列.而数列｛b n｝的通项公式为b n = 1 - 2n,b n+1 —b n= —2 ,/• ｛a n+1 - a n｝是公差为2等差数列.点评：本题考查了新定义、等差数列的通项公式、数列的单调性、充要条件，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题.。