2019年高中数学《平面向量》公式

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平面向量及运算法则

平面向量及运算法则平面向量是指可以完整描述平面上的有方向和大小的物理量。

在数学中，平面向量通常用箭头上的字母表示，例如a或b，有时也用粗体字母表示，例如a或a。

平面向量具有位移、速度、加速度、力等物理量的特性。

平面向量的运算包括加法、减法、数量乘法、点积和叉积等。

1.平面向量的加法：设有两个平面向量a=aa+aa和a=aa+aa，它们的加法结果为a+a=(a+a)a+(a+a)a。

即，将两个向量的分量分别相加得到新向量的分量。

2.平面向量的减法：设有两个平面向量a=aa+aa和a=aa+aa，它们的减法结果为a-a=(a-a)a+(a-a)a。

即，将两个向量的分量分别相减得到新向量的分量。

3.平面向量的数量乘法：设有一个平面向量a=aa+aa，它的数量乘法结果为aa=aaa+aaa。

即，将向量的每个分量都乘以一个标量k得到新向量的分量。

4.平面向量的点积（内积）：设有两个平面向量a=aa+aa和a=aa+aa，它们的点积结果为a·a=aa+aa。

即，将两个向量的对应分量相乘并相加得到点积的结果。

点积的结果是一个标量，表示两个向量的夹角余弦乘以两个向量的长度之积。

5.平面向量的叉积（外积）：设有两个平面向量a=aa+aa和a=aa+aa，它们的叉积结果为a×a=(0,0,aaa)，其中k为垂直于平面向量的单位向量。

即，叉积的结果是一个新的向量，其方向垂直于两个向量所在的平面，大小为两个向量长度的乘积与它们夹角的正弦值之积。

平面向量的运算法则有很多，下面列举几个常用的法则。

1.交换律：平面向量的加法满足交换律，即a+a=a+a。

2.结合律：平面向量的加法满足结合律，即(a+a)+a=a+(a+a)。

3.分配律：数量乘法和加法之间满足分配律，即a(a+a)=aa+aa。

4.点积的分配律：点积的分配律表示为(a+a)·a=a·a+a·a，其中a、a和a 分别是平面向量。

高中数学平面向量知识点总结

高中数学平面向量知识点总结一、平面向量的基本概念1. 定义：平面向量是有大小和方向的量，可以用有序实数对表示。

2. 表示法：通常用小写字母加箭头表示，如 $\vec{a}$。

3. 相等：两个向量大小相等且方向相同时，这两个向量相等。

4. 零向量：大小为零的向量，没有特定方向。

二、平面向量的运算1. 加法：- 规则：平行四边形法则或三角形法则。

- 交换律：$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$。

- 结合律：$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$。

2. 减法：- 规则：与加法类似，但方向相反。

- 逆向量：$\vec{a} - \vec{a} = \vec{0}$。

3. 数乘：- 定义：向量与实数相乘。

- 规则：$k\vec{a} = \vec{a}$ 的长度变为 $|k|$ 倍，方向与$k$ 的符号一致。

- 分配律：$(k + l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a}$。

- 结合律：$k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$。

三、平面向量的坐标表示1. 坐标表示：$\vec{a} = (x, y)$，其中 $x$ 和 $y$ 是向量在坐标轴上的分量。

2. 几何意义：$x$ 分量表示向量在 $x$ 轴上的长度，$y$ 分量表示向量在 $y$ 轴上的长度。

3. 坐标运算：- 加法：$(x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$。

- 减法：$(x_1, y_1) - (x_2, y_2) = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$。

- 数乘：$k(x, y) = (kx, ky)$。

四、平面向量的模与单位向量1. 模（长度）：- 定义：向量从原点到其终点的距离。

平面向量的所有公式

平面向量的所有公式设a=（x，y），b=(x'，y')。

1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x'，y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。

当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。

向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。

②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

4、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。

作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a•b。

若a、b不共线，则a•b=|a|•|b|•cos 〈a，b〉；若a、b共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣。

高中数学有关平面向量的公式的知识点总结

高中数学有关平面向量的公式的知识点总结高中数学平面向量的公式主要涉及向量的运算和向量的性质，主要的知识点总结如下：1. 向量的加法和减法：- 向量的加法和减法满足交换律和结合律。

- 向量相加的结果可以表示成三角形法则或平行四边形法则。

2. 数乘：- 向量与实数的乘积称为数乘，数乘可以改变向量的大小和方向，满足分配律和结合律。

3. 内积：- 内积也称点积或数量积，表示两个向量的乘积的数量。

- 内积的计算公式为：A·B = |A||B|cosθ，其中A·B表示向量A与向量B的内积，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的长度，θ表示两个向量的夹角。

4. 外积：- 外积也称叉积或矢量积，表示两个向量的乘积的向量。

- 外积的计算公式为：A×B = |A||B|sinθn，其中A×B表示向量A与向量B的外积，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的长度，θ表示两个向量的夹角，n表示垂直于两个向量所在平面的单位向量。

5. 模长和单位向量：- 向量的模长表示向量的长度，记作|A|。

- 单位向量是模长为1的向量，可以通过向量除以模长得到。

6. 平行和垂直：- 如果两个向量的夹角为0或180度，则称它们为平行向量。

- 如果向量A与向量B的内积为0，则称它们为垂直向量。

7. 向量投影：- 向量A在向量B上的投影被定义为一个向量，它的方向与向量B相同，长度为A 在B上的投影长度。

8. 向量共线：- 如果两个向量可以表示为一个非零实数乘以另一个向量，则称它们为共线的。

这些是高中数学平面向量的主要知识点和公式，掌握这些知识点可以更好地理解和运用向量的概念和性质。

平面向量的所有公式

平面向量的所有公式平面向量是研究平面上的有大小和方向的量，它有三个基本组成部分：模、方向和位移。

在平面向量的运算中，有加法、减法、数量乘法和点乘法等基本运算法则。

平面向量的计算公式如下：一、向量的模：向量的模即向量的长度，用，AB，表示，A、B为向量的起点和终点。

根据两点之间的距离公式，向量AB的长度为：，AB，= sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)二、向量的方向角：向量的方向角用θ表示，θ的计算公式为：θ = arctan(y/x)三、向量的加法：向量的加法可用平行四边形法则或三角形法则进行运算。

-平行四边形法则：若AB向量与CD向量首位相连，则它们的和向量AC的终点D与向量CD的终点D形成一条与中点O1O2平行的平行线。

-三角形法则：若AB向量与BC向量首位相连，则它们的和向量AC的起点A与向量AB的起点A和向量BC的起点B重合，且终点C与向量BC的终点C重合。

四、向量的减法：向量的减法可用向量加法的逆运算进行。

若向量AB与向量CD首位相连，则它们的差向量AC的终点C与向量CD的起点C重合。

即向量减法A-B=A+(-B)，其中-B是向量B的逆向量。

五、数量乘法：向量与标量的乘法可分为两种情况。

-正数乘法：若k为正数，则k倍数的向量k·A与A方向相同，长度为原向量长度的k倍。

-负数乘法：若k为负数，则k倍数的向量k·A与A方向相反，长度为原向量长度的，k，倍。

六、数量积(点乘法)：数量积是向量积的另一种形式，它用于计算两个向量之间的夹角以及向量在一些方向上的投影。

-数量积的计算：设A(x1,y1)和B(x2,y2)是平面上的两个向量，它们的数量积为：A·B=x1*x2+y1*y2- 夹角的计算：设向量A(x1, y1)和B(x2, y2)的夹角为θ，则夹角的余弦为：cosθ = (A·B) / (，A， * ，B，)- 向量在一些方向上的投影：设向量A的模为，A，θ为A与一些方向的夹角，则A在该方向上的投影为：P = ，A，* cosθ以上是平面向量的一些基本计算公式。

高中数学平面向量公式

1、向量的的数量积定义:已知两个非零向量 a,b 。

作 OA=a,OB=b,则角 AOB 称作向量 a 和向量 b 的夹角,记作〈 a,b 〉并规定0≤ 〈 a,b 〉≤π定义:两个向量的数量积(内积、点积是一个数量,记作a•b 。

若 a 、 b 不共线,则a•b=|a|•|b|•cos 〈 a , b 〉;若 a 、 b 共线,则a•b=+-∣ a ∣∣ b ∣。

向量的数量积的坐标表示:a•b=x•x'+y•y' 。

向量的数量积的运算律a•b=b•a (交换律;(λa•b=λ(a•b(关于数乘法的结合律 ;(a+b•c=a•c+b•c (分配律;向量的数量积的性质a•a=|a|的平方。

a ⊥b 〈 =〉a•b=0。

|a•b|≤|a|•|b|。

向量的数量积与实数运算的主要不同点1、向量的数量积不满足结合律, 即:(a•b•c≠a•(b•c ; 例如:(a•b^2≠a^2•b^2。

2、向量的数量积不满足消去律,即:由a•b=a•c (a≠0 ,推不出 b=c。

3、|a•b|≠|a|•|b|4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或 a=-b。

2、向量的向量积定义:两个向量 a 和 b 的向量积 (外积、叉积是一个向量, 记作 a×b 。

若 a 、 b 不共线,则 a×b 的模是:∣ a×b ∣ =|a|•|b|•sin 〈 a , b 〉; a×b 的方向是:垂直于 a 和 b ,且 a 、 b 和 a×b 按这个次序构成右手系。

若 a 、 b 共线,则 a×b=0。

向量的向量积性质:∣ a×b ∣是以 a 和 b 为边的平行四边形面积。

a×a=0。

a ‖b 〈 =〉 a×b=0。

向量的向量积运算律a×b=-b×a ;(λa ×b=λ(a×b =a×(λb;(a+b ×c=a×c+b×c.注:向量没有除法, “ 向量 AB/向量CD” 是没有意义的。

高中数学平面向量公式知识点大全

高中数学平面向量公式知识点大全高中数学平面向量公式知识点大全高中数学平面向量公式知识点大全平面向量公式知识点定比分点定比分点公式(向量P1P=λ#8226;向量PP2)设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。

则存在一个实数λ，使向量P1P=λ#8226;向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。

若P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式)x=(x1+λx2)/(1+λ),y=(y1+λy2)/(1+λ)。

(定比分点坐标公式)我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式三点共线定理若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线三角形重心判断式在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心 [编辑本段]向量共线的重要条件若b≠0，则ab的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。

ab的重要条件是 xy#39;-x#39;y=0。

零向量0平行于任何向量。

[编辑本段]向量垂直的充要条件a⊥b的充要条件是 a#8226;b=0。

a⊥b的充要条件是 xx#39;+yy#39;=0。

零向量0垂直于任何向量.设a=(x，y)，b=(x#39;，y#39;)。

1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x#39;，y+y#39;)。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x#39;,y#39;) 则a-b=(x-x#39;,y-y#39;).3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣#8226;∣a∣。

高中数学平面向量公式

1、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b;作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b 的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积内积、点积是一个数量,记作a•b;若a、b不共线,则a•b=|a|•|b|•cos〈a,b〉；若a、b共线,则a•b=+-∣a∣∣b∣;向量的数量积的坐标表示：a•b=x•x'+y•y';向量的数量积的运算律a•b=b•a交换律；λa•b=λa•b关于数乘法的结合律；a+b•c=a•c+b•c分配律；向量的数量积的性质a•a=|a|的平方;a⊥b 〈=〉a•b=0;|a•b|≤|a|•|b|;向量的数量积与实数运算的主要不同点1、向量的数量积不满足结合律,即：a•b•c≠a•b•c；例如：a•b^2≠a^2•b^2;2、向量的数量积不满足消去律,即：由a•b=a•c a≠0,推不出b=c;3、|a•b|≠|a|•|b|4、由|a|=|b| ,推不出a=b或a=-b;2、向量的向量积定义：两个向量a和b的向量积外积、叉积是一个向量,记作a×b;若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a,b〉；a×b的方向是：垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系;若a、b共线,则a×b=0;向量的向量积性质：∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积;a×a=0;a‖b〈=〉a×b=0;向量的向量积运算律a×b=-b×a；λa×b=λa×b=a×λb；a+b×c=a×c+b×c.注：向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的;3、向量的三角形不等式1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；①当且仅当a、b反向时,左边取等号；②当且仅当a、b同向时,右边取等号;2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣;①当且仅当a、b同向时,左边取等号；②当且仅当a、b反向时,右边取等号;4、定比分点定比分点公式向量P1P=λ•向量PP2设P1、P2是直线上的两点,P是l上不同于P1、P2的任意一点;则存在一个实数λ,使向量P1P=λ•向量PP2,λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比;若P1x1,y1,P2x2,y2,Px,y,则有OP=OP1+λOP21+λ；定比分点向量公式x=x1+λx2/1+λ,y=y1+λy2/1+λ;定比分点坐标公式我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式5、三点共线定理若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线三角形重心判断式在△ABC中,若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心向量共线的重要条件若b≠0,则a。

平面向量的运算公式

平面向量的运算公式好嘞，以下是为您生成的关于“平面向量的运算公式”的文章：咱先来说说平面向量这玩意儿，它在数学里可有着不小的作用呢！平面向量的加法运算公式，就像是搭积木，把两个向量首尾相连，从第一个向量的起点指向第二个向量的终点，这就是它们相加的结果。

比如说，有向量 a = (1, 2) ，向量 b = (3, 4) ，那它们相加 a + b 就等于(1 + 3, 2 + 4) ，也就是 (4, 6) 。

这就好比你从学校出发走了一段路，又从这个位置接着走另一段路，最终到达的地方就是这两段路程合起来的效果。

再讲讲减法，平面向量的减法运算公式呢，就是把被减向量的终点和减向量的终点相连，箭头指向被减向量的终点，这就是差向量啦。

比如向量 c = (5, 7) ，向量 d = (2, 3) ，那么 c - d 就是 (5 - 2, 7 - 3) ，也就是 (3, 4) 。

这就好像你原本要去一个地方，结果有人拽着你往回走了一段，那你离最终目的地的距离和方向就变了。

乘法运算里的数乘向量也很有趣。

一个实数乘以一个向量，就等于把这个向量的长度放大或缩小，方向不变（当实数为负数时方向相反）。

就像你吹气球，吹气多了气球就变大，吹气少了气球就变小。

比如说 2 乘以向量 e = (1, 1) ，那就得到 (2, 2) 。

还有向量的数量积，这可有点像两个人合作的成果。

如果有向量 f= (m, n) ，向量 g = (p, q) ，它们的数量积 f · g 就等于 m × p + n × q 。

这就好比你和小伙伴一起搬东西，你出了一份力，他出了一份力，最后合起来的效果就是你们共同的成果。

记得我之前教过一个学生，这孩子一开始对平面向量的运算公式那是一头雾水。

有一次做作业，碰到一道关于向量加法的题目，他怎么也算不对。

我就问他：“你想想，假如你在操场上先往东跑了一段，又往北跑了一段，那你最终的位置怎么算？”这孩子眨巴眨巴眼睛，好像有点开窍了。

高中数学平面向量公式

1、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。

作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b 的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a•b。

若a、b不共线，则a•b=|a|•|b|•cos〈a，b〉；若a、b共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣。

向量的数量积的坐标表示：a•b=x•x'+y•y'。

向量的数量积的运算律a•b=b•a（交换律）；(λa)•b=λ(a•b)(关于数乘法的结合律)；（a+b)•c=a•c+b•c（分配律）；向量的数量积的性质a•a=|a|的平方。

a⊥b 〈=〉a•b=0。

|a•b|≤|a|•|b|。

向量的数量积与实数运算的主要不同点1、向量的数量积不满足结合律，即：(a•b)•c≠a•(b•c)；例如：(a•b)^2≠a^2•b^2。

2、向量的数量积不满足消去律，即：由a•b=a•c (a≠0)，推不出 b=c。

3、|a•b|≠|a|•|b|4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。

2、向量的向量积定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。

若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。

若a、b共线，则a×b=0。

向量的向量积性质：∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。

a×a=0。

a‖b〈=〉a×b=0。

向量的向量积运算律a×b=-b×a；（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；（a+b）×c=a×c+b×c.注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。

3、向量的三角形不等式1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；①当且仅当a、b反向时，左边取等号；②当且仅当a、b同向时，右边取等号。

高中数学平面向量公式

1、向量的的数量积定义:已知两个非零向量a，b。

作OA=a,OB=b，则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a，b〉并规定0≤<a，b〉≤π定义:两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量,记作a•b。

若a、b不共线，则a•b=｜a｜•｜b|•cos<a，b〉；若a、b共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣.向量的数量积的坐标表示：a•b=x•x’+y•y'.向量的数量积的运算律a•b=b•a(交换律）；（λa）•b=λ（a•b)(关于数乘法的结合律）;（a+b）•c=a•c+b•c(分配律);向量的数量积的性质a•a=｜a｜的平方。

a⊥b 〈=〉a•b=0。

|a•b|≤｜a|•｜b｜。

向量的数量积与实数运算的主要不同点1、向量的数量积不满足结合律，即：（a•b）•c≠a•（b•c）;例如：(a•b）^2≠a^2•b^2。

2、向量的数量积不满足消去律，即：由a•b=a•c （a≠0)，推不出b=c。

3、｜a•b｜≠|a｜•｜b|4、由|a｜=|b｜,推不出a=b或a=—b。

2、向量的向量积定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。

若a、b不共线，则a×b的模是:∣a×b∣=|a｜•｜b|•sin〈a，b>；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。

若a、b共线，则a×b=0. 向量的向量积性质：∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。

a×a=0。

a‖b〈=〉a×b=0。

向量的向量积运算律a×b=-b×a；(λa)×b=λ（a×b）=a×（λb）；（a+b）×c=a×c+b×c.注：向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的。

3、向量的三角形不等式1、∣∣a∣—∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;①当且仅当a、b反向时,左边取等号;②当且仅当a、b同向时，右边取等号。

高中数学平面向量公式

1、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。

作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a，b〉≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a•b。

若a、b不共线,则a•b=|a|•｜b｜•cos〈a，b〉；若a、b共线,则a•b=+—∣a∣∣b∣。

向量的数量积的坐标表示：a•b=x•x'+y•y’。

向量的数量积的运算律a•b=b•a（交换律）;（λa）•b=λ(a•b）（关于数乘法的结合律）；（a+b）•c=a•c+b•c（分配律）;向量的数量积的性质a•a=｜a|的平方。

a⊥b 〈=>a•b=0.｜a•b｜≤｜a|•｜b|。

向量的数量积与实数运算的主要不同点1、向量的数量积不满足结合律，即：（a•b)•c≠a•（b•c）；例如：(a•b）^2≠a^2•b^2。

2、向量的数量积不满足消去律，即:由a•b=a•c （a≠0），推不出b=c。

3、|a•b|≠|a|•|b|4、由｜a|=｜b｜，推不出a=b或a=—b。

2、向量的向量积定义：两个向量a和b的向量积(外积、叉积）是一个向量，记作a×b.若a、b 不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a,b〉；a×b的方向是：垂直于a 和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线，则a×b=0。

向量的向量积性质:∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。

a×a=0.a‖b<=〉a×b=0。

向量的向量积运算律a×b=-b×a；（λa）×b=λ（a×b)=a×（λb）；（a+b）×c=a×c+b×c。

注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。

3、向量的三角形不等式1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；①当且仅当a、b反向时，左边取等号；②当且仅当a、b同向时，右边取等号.2、∣∣a∣—∣b∣∣≤∣a—b∣≤∣a∣+∣b∣。

平面向量公式

设a=（x,y）,b=(x'，y’）.1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

AB+BC=AC。

a+b=（x+x’,y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律:交换律：a+b=b+a；结合律：（a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x，y）b=（x’,y’) 则a-b=（x-x’，y-y’）。

4、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。

当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向;当λ=0时,λa=0，方向任意。

当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0。

注：按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0)或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：（λa）•b=λ（a•b）=(a•λb)。

向量对于数的分配律（第一分配律）:（λ+μ)a=λa+μa。

数对于向量的分配律（第二分配律）：λ（a+b）=λa+λb。

数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。

②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

3、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a，b。

作OA=a，OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b>并规定0≤〈a，b>≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积)是一个数量,记作a•b。

若a、b不共线，则a•b=|a|•|b｜•cos〈a，b〉；若a、b共线，则a•b=+—∣a∣∣b∣。

向量的数量积的坐标表示：a•b=x•x’+y•y’.向量的数量积的运算律a•b=b•a（交换律）;(λa)•b=λ(a•b）（关于数乘法的结合律)；（a+b）•c=a•c+b•c（分配律）；向量的数量积的性质a•a=｜a|的平方。

必修四平面向量公式大全

必修四平面向量1、向量的有关概念与表示向量：既有方向又有大小的量，记 AB, a,b,向量的夹角:共起点②范围［00,1800］，作OA 二a,OB 二b ，贝「AOB 为a 与b 的夹角向量的模：向量的长度，记AB ,2、 T零向量：模为o ,方向任意，记0± 单位向量：模为1，方向任意，与a 共线的单位向量是：相等向量：长度相等且方向相同;相反向量：长度相等，方向相反的向量;共线向量：方向相同或相反的非零向量，也称平行向量，记向量的几何运算 1加法: 2减法: 3数乘: T a T a T T (a = 0) T T a// b首尾相连，如AB BC C^AD ，可用平行四边形法则、三角形法则共起点，后字母指向前字母，如 OA-OB = BAT T■ • 0, ■ a 与a 同向T T0, ‘ a ^与 a ^反4 数量积：a 二 a b cos 71， cos 71 = T T a b TTTT TTT T 性质：ab =0= a —b a 〃 b = a =?；bO Ba b向量的坐标运算：a =(X i , yjb =(X 2, y 2) 加法： T T a b =(为 X f , y 1y f ) T —f 减法： a - b = (x 1 - x 2 , y 1 - y 2)—f 数乘： a —(止羽，.,『1) T T数量积：a b = x 1x 2 y 1 y 2—f —f 平行：a// b = %y 2 - x ?y [ = 0T T垂直：a — b 二 x 1x< %y 2 =0若 A(X 1,y) B(X f ,y 2)，则 AB = & - 为，y ? - yj —f BA = (X ! -X f ,% -y f )T T 相等 a = b =旨二 x 2, * 二 y f平面向量基本定理： TT T — T 任一向量a = ■ 1 e^ ■ ' 2 ef ( ■ 1，■ 2是唯一的，e 与e ＞不共线(也称一组基底)) 结论：在 ABC 中， T T T T1 OA OB OC =o = 0为 ABC 的重心2 OA OB =0B OC =0C 0A ，0 为 ABC 的垂心 3、 1 23456 789 4、 5、COS 日T T a bX 1X 2 y"2 ..x f y f . x f y f b 在a 方向上的投影:T Ta b 夹角：W2 y“2。

高中数学知识点：平面向量的公式的知识点总结

高中数学知识点：平面向量的公式的知识点总结定比分点定比分点公式(向量P1P= 向量PP2)设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。

则存在一个实数，使向量P1P= 向量PP2，叫做点P 分有向线段P1P2所成的比。

若P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有OP=(OP1+OP2)(1+(定比分点向量公式)x=(x1+x2)/(1+),y=(y1+y2)/(1+)。

(定比分点坐标公式)我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式三点共线定理若OC=OA +OB ,且+=1 ,则A、B、C三点共线三角形重心判断式在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心[编辑本段]向量共线的重要条件若b0，则a//b的重要条件是存在唯一实数，使a=b。

a//b的重要条件是 xy'-x'y=0。

零向量0平行于任何向量。

[编辑本段]向量垂直的充要条件ab的充要条件是 a b=0。

ab的充要条件是 xx'+yy'=0。

零向量0垂直于任何向量.设a=(x，y)，b=(x'，y')。

1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x'，y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB. 即共同起点，指向被减a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').4、数乘向量实数和向量a的乘积是一个向量，记作a，且∣a∣=∣∣ ∣a∣。

当0时，a与a同方向;当0时，a与a反方向;当=0时，a=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数，都有a=0。

平面向量公式总结

平面向量公式总结一、引言在数学中，平面向量是指具有大小和方向的量，常用于描述平面上的运动、力和位移等。

平面向量的运算和性质可以通过一系列公式来表示和总结。

本文将以平面向量公式为主题，总结和介绍一些常见的平面向量公式。

二、向量的表示和运算1. 向量的表示：平面向量通常用有向线段来表示，其中线段的长度表示向量的大小，线段的方向表示向量的方向。

2. 向量的加法：对于两个向量a和b，它们的和向量a+b的大小等于两个向量的大小之和，方向等于从a的起点到b的终点的有向线段。

3. 向量的减法：对于两个向量a和b，它们的差向量a-b的大小等于两个向量的大小之差，方向等于从a的起点到b的起点的有向线段。

4. 向量的数量乘法：对于一个向量a和一个实数k，它们的数量乘积ka的大小等于向量a的大小与实数k的绝对值的乘积，方向与a 相同（当k大于0）或相反（当k小于0）。

三、向量的坐标表示1. 向量的坐标表示：对于平面上的向量a，可以用其在坐标系中的坐标表示为a=(x, y)，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的投影长度。

2. 向量的加法和减法的坐标表示：设a=(x1, y1)和b=(x2, y2)是两个向量，则它们的和向量a+b的坐标表示为(x1+x2, y1+y2)，它们的差向量a-b的坐标表示为(x1-x2, y1-y2)。

3. 向量的数量乘法的坐标表示：设a=(x, y)是一个向量，k是一个实数，则向量ka的坐标表示为(kx, ky)。

四、向量的模和方向角1. 向量的模：向量a的模表示为|a|，等于向量a的大小。

2. 向量的方向角：向量a的方向角表示为θ，是向量与正x轴的夹角，范围通常取[0, 2π)或[-π, π)。

五、向量的数量积和向量积1. 向量的数量积：对于两个向量a=(x1, y1)和b=(x2, y2)，它们的数量积表示为a·b=x1x2+y1y2，等于向量a和向量b的模的乘积与它们的夹角的余弦值。

平面向量公式

设a=（x【2 】,y）,b=(x',y'). 1.向量的加法向量的加法知足平行四边形轨则和三角形轨则. AB+BC=AC. a+b=(x+x',y+y'). a+0=0+a=a. 向量加法的运算律：交流律：a+b=b+a; 联合律：(a+b)+c=a+(b+c). 2.向量的减法假如a.b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“配合起点,指向被减” a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y'). 4.数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣. 当λ＞0时,λa与a同偏向; 当λ＜0时,λa与a反偏向; 当λ=0时,λa=0,偏向随意率性. 当a=0时,对于随意率性实数λ,都有λa=0. 注：按界说知,假如λa=0,那么λ=0或a=0. 实数λ叫做向量a 的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或紧缩. 当∣λ∣＞1时,表示向量a的有向线段在原偏向（λ＞0）或反偏向（λ＜0）上伸长为本来的∣λ∣倍; 当∣λ∣＜1时,表示向量a的有向线段在原偏向（λ＞0）或反偏向（λ＜0）上缩短为本来的∣λ∣倍. 数与向量的乘法知足下面的运算律联合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb). 向量对于数的分派律（第一分派律）：(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分派律（第二分派律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：①假如实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.②假如a≠0且λa=μa,那么λ=μ. 3.向量的的数目积界说：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并划定0≤〈a,b〉≤π 界说：两个向量的数目积（内积.点积）是一个数目,记作a•b.若a.b不共线,则a•b=|a|•|b|•cos〈a,b〉;若a.b共线,则a•b=+-∣a∣∣b∣. 向量的数目积的坐标表示：a•b=x•x'+y•y'. 向量的数目积的运算律a•b=b•a（交流律）; (λa)•b=λ(a•b)(关于数乘法的联合律); （a+b)•c=a•c+b•c（分派律）; 向量的数目积的性质a•a=|a|的平方. a⊥b〈=〉a•b=0. |a•b|≤|a|•|b|. 向量的数目积与实数运算的重要不同点 1.向量的数目积不知足联合律,即：(a•b)•c≠a•(b•c);例如：(a•b)^2≠a^2•b^2. 2.向量的数目积不知足消去律,即：由a•b=a•c (a≠0),推不出 b=c. 3.|a•b|≠|a|•|b| 4.由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b. 4.向量的向量积界说：两个向量a和b的向量积（外积.叉积）是一个向量,记作a×b.若a.b不共线,则a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a,b〉;a×b的偏向是：垂直于a和b,且a.b和a×b按这个次序组成右手系.若a.b共线,则a×b=0. 向量的向量积性质：∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积. a×a=0. a‖b〈=〉a×b=0. 向量的向量积运算律 a×b=-b×a; （λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）; （a+b）×c=a×c+b×c. 注：向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的. 向量的三角形不等式 1.∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b ∣; ①当且仅当a.b反向时,左边取等号; ②当且仅当a.b同向时,右边取等号. 2.∣∣a∣-∣b ∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣. ①当且仅当a.b同向时,左边取等号; ②当且仅当a.b反向时,右边取等号. 定比分点定比分点公式（向量P1P=λ•向量PP2）设P1.P 2是直线上的两点,P是l上不同于P1.P2的随意率性一点.则消失一个实数 λ,使向量P1P=λ•向量PP2,λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比. 若P1（x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),则有OP=(OP1+λOP2)(1+λ);（定比分点向量公式）x=(x1+λx2)/(1+λ), y=(y1+λy2)/(1+λ).（定比分点坐标公式）我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式三点共线定理若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A.B.C三点共线三角形重心断定式在△ABC中,若GA+GB +GC=O,则G为△ABC的重心[编辑本段]向量共线的重要前提若b≠0,则a//b的重要前提是消失独一实数λ,使a=λb. a//b的重要前提是 xy'-x'y=0. 零向量0平行于任何向量. [编辑本段]向量垂直的充要前提 a⊥b的充要前提是 a•b=0. a⊥b的充要前提是 xx'+yy'=0. 零向量0垂直于任何向量.。