广东新高考数学理科一轮总复习课时练习4.4定积分及其应用举例(含答案详析)

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《高考备考学案》广东高考数学理一轮复习配套能力提升作业4.28定积分(含答案解析)

第28课定积分1．（2012江西高考）计算定积分=+⎰-dx x x 112)sin (___________．【答案】32 【解析】32)cos 31()sin (113112=-=+--⎰x x dx x x ． 2．（2012上海高考）已知函数)(x f y =的图象是折线段ABC ，其中)0,0(A 、)5,21(B 、)0,1(C ，函数)(x xf y =（10≤≤x ）的图象与x 轴围成的图形的面积为．【答案】45 【解析】当210≤≤x ，线段AB 的方程为x y 10=，当121≤<x 时，线段BC 方程为1010+-=x y ，即函数110,0,2()11010, 1.2x x y f x x x ⎧≤≤⎪⎪==⎨⎪-+<≤⎪⎩ ∴22110,0,2()11010, 1.2x x y xf x x x x ⎧ ≤≤⎪⎪==⎨⎪-+<≤⎪⎩， ∴围成的面积1122210210(1010)S x dx x x dx =+=-+⎰⎰13322011010(5)1332x x x =+-+45=． 3．（2012惠州一模）由曲线2y x =,3y x =围成的封闭图形面积为 . 【答案】112【解析】由23y x y x⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=⎩． ∴1233401111()()03412S x x dx x x =-=-=⎰． 4．（2012汕头二模）已知函数()f x 由下表定义2若05a =，1()n n a f a +=，n N ∈，则2012a = ．【答案】5 【解析】∵20sin (cos )120xdx x ππ=-=⎰，∴05a =，12a =，31a =，44a =，55a =，……，{}n a 是一个以4为周期的数列，∴2012503405a a a ⨯===．5．已知()f x 为二次函数，且10(1)2,(0)0,()2f f f x dx '-===-⎰，求：（1）()f x 的解析式；（2）()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值．【解析】（1）设2()(0)f x ax bx c a =++≠，∴()2f x ax b '=+，∵(0)0f '=，∴0b =，∵(1)2f -=，∴2a c +=，即2c a =-，∴2()2(0)f x ax a a =+-≠， ∵11230011()(2)((2))203f x dx ax a dx ax a x =+-=+-=-⎰⎰ ∴1(2)23a a +-=-，即6a =．∴2()64f x x =-．(2)()f x 在[1,1]-上的最大值为2，最小值为4-．6.直线kx y =分抛物线2x x y -=与x 轴所围成图形为面积相等的两个部分，求k 的值. 【解析】解方程组⎩⎨⎧-==2xx y kx y ，解得0=x 或k x -=1， ∵抛物线2x x y -=与x 轴所围成图形为面积为61|)3121()(1032102=-=-=⎰x x dx x x S ．由题设得dx kx dx x x S k k ⎰⎰----=10102)(2 6)1()(3102k dx kx x x k-=--=⎰- ．又61=S ，∴21)1(3=-k ，从而得2413-=k ．。

高考数学一轮复习定积分与微积分基本定理练习含答案

第3讲定积分与微积分基本定理一、选择题1.(2017·西安调研)定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为( ) A.e ＋2 B.e ＋1C.eD.e －1 解析 ⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )⎪⎪⎪10)＝1＋e 1－1＝e.故选C. 答案 C2.若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2(a >1)，则a 的值是( ) A.2 B.3C.4D.6 解析 ⎠⎛1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )⎪⎪⎪a 1＝a 2＋ln a －1， ∴a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，则a ＝2.答案 A3.从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt (g 为常数)，则电视塔高为( )A.12gB.gC.32gD.2g解析电视塔高h ＝⎠⎛12gt d t ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12gt 221＝32g . 答案 C4.如图所示，曲线y ＝x 2－1，x ＝2，x ＝0，y ＝0围成的阴影部分的面积为( )A.⎠⎛02|x 2－1|d x B.⎪⎪⎪⎪⎠⎛02（x 2－1）d x C.⎠⎛02(x 2－1)d x D.⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(1－x 2)d x解析由曲线y ＝|x 2－1|的对称性知，所求阴影部分的面积与如下图形的面积相等，即⎠⎛02|x 2－1|d x .答案 A5.若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A.S 1<S 2<S 3B.S 2<S 1<S 3C.S 2<S 3<S 1D.S 3<S 2<S 1 解析S 2＝⎠⎛121x d x ＝ln 2，S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e 2－e ， ∵e 2－e ＝e(e －1)＞e ＞73＞ln 2， ∴S 2＜S 1＜S 3.答案 B二、填空题6.已知t >0，若⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8，则t ＝________. 解析由⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8得，(x 2－2x ) ⎪⎪⎪t0＝t 2－2t ＝8，解得t ＝4或t ＝－2(舍去). 答案 47.已知二次函数y ＝f (x )的图像如图所示，则它与x 轴所围成的面积为________.解析根据f (x )的图像可设f (x )＝a (x ＋1)·(x －1)(a <0).因为f (x )的图像过(0，1)点，所以－a ＝1，即a ＝－1. 所以f (x )＝－(x ＋1)(x －1)＝1－x 2.所以S ＝⎠⎛－11(1－x 2)d x ＝2⎠⎛01(1－x 2)d x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3⎪⎪⎪10＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝43. 答案 438.(2017·合肥模拟)设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.解析封闭图形如图所示，则⎠⎛0a x d x ＝＝23a 32－0＝a 2，解得a ＝49.答案 49三、解答题9.计算下列定积分：(1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫x －1x d x ； (2)⎠⎛02－x 2＋2x d x ； (3)2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4d x ； (4)⎠⎛－11(x 2tan x ＋x 3＋1)d x ； (5)⎠⎛－22|x 2－2x |d x . 解 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－ln x ⎪⎪⎪21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×22－ln 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－ln 1＝32－ln 2； (2)由定积分的几何意义知，所求定积分是由x ＝0，x ＝2，y ＝－x 2＋2x ，以及x 轴围成的图像的面积，即圆(x －1)2＋y 2＝1的面积的一半，∴⎠⎛02－x 2＋2x＝π2； (3)原式＝ (sin x ＋cos x )d x ＝(－cos x ＋sin x ) ＝⎝⎛⎭⎪⎫－cos π2＋sin π2－ (－cos 0＋sin 0)＝2；(4)原式＝⎠⎛－11(x 2tan x ＋x 3)d x ＋⎠⎛－111d x ＝0＋x ⎪⎪⎪1-1＝2； (5)∵|x 2－2x |＝⎩⎨⎧x 2－2x ，－2≤x <0，－x 2＋2x ，0≤x ≤2，∴⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝⎠⎛－20(x 2－2x )d x ＋⎠⎛02(－x 2＋2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2⎪⎪⎪0-2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋x 2⎪⎪⎪20＝8.10.求曲线y ＝x 2，直线y ＝x ，y ＝3x 围成的图形的面积.解作出曲线y ＝x 2，直线y ＝x ，y ＝3x 的图像，所求面积为图中阴影部分的面积.解方程组⎩⎨⎧y ＝x 2，y ＝x ，得交点(1，1)，解方程组⎩⎨⎧y ＝x 2，y ＝3x ，得交点(3，9)，因此，所求图形的面积为S ＝⎠⎛01(3x －x )d x ＋⎠⎛13(3x －x 2)d x ＝⎠⎛012x d x ＋⎠⎛13(3x －x 2)d x ＝x 2⎪⎪⎪10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2－13x 3⎪⎪⎪31 ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32×32－13×33－⎝ ⎛⎭⎪⎫32×12－13×13＝133. 11.若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( ) A.－1B.－13C.13D.1解析由题意知f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，设m ＝⎠⎛01f (x )d x ，∴f (x )＝x 2＋2m ， ⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋2m )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2mx ⎪⎪⎪10 ＝13＋2m ＝m ，∴m ＝－13.答案 B12.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A.1＋25ln 5B.8＋25ln 113C.4＋25ln 5D.4＋50ln 2解析令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋25ln （1＋t ）⎪⎪⎪40＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5(m).答案 C13.(2017·郑州调研)⎠⎛－11(1－x 2＋e x －1)d x ＝________. 解析 ⎠⎛－11(1－x 2＋e x －1)d x ＝⎠⎛－111－x 2d x ＋⎠⎛－11(e x －1)d x . 因为⎠⎛－111－x 2d x 表示单位圆的上半部分的面积，则⎠⎛－111－x 2d x ＝π2，又⎠⎛－11(e x －1)d x ＝(e x －x )|1－1 ＝(e 1－1)－(e －1＋1)＝e －1e －2，所以⎠⎛－11(1－x 2＋e x－1)d x ＝π2＋e －1e －2. 答案 π2＋e －1e －214.在区间[0，1]上给定曲线y ＝x 2.试在此区间内确定点t 的值，使图中的阴影部分的面积S 1与S 2之和最小，并求最小值. 解 S 1面积等于边长分别为t 与t 2的矩形面积去掉曲线y ＝x 2与x 轴、直线x ＝t 所围成的面积，即S 1＝t ·t 2－⎠⎛0t x 2d x ＝23t 3. S 2的面积等于曲线y ＝x 2与x 轴，x ＝t ，x ＝1围成的面积去掉矩形边长分别为t 2，1－t 的面积，即S 2＝⎠⎛t1x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13. 所以阴影部分的面积S (t )＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1).令S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12＝0，得t ＝0或t ＝12. t ＝0时，S (t )＝13；t ＝12时，S (t )＝14；t ＝1时，S (t )＝23.所以当t ＝12时，S (t )最小，且最小值为14.。

高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解(同名21401).doc

年级高二学科数学内容标题定积分的计算编稿老师马利军一、教学目标：1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题.2. 理解微积分的基本定理，并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题.二、知识要点分析1. 定积分的概念：函数)(x f 在区间［a ，b ］上的定积分表示为：⎰badx x f )(2. 定积分的几何意义：（1）当函数f （x ）在区间[a ，b]上恒为正时，定积分⎰badx x f )(的几何意义是：y=f （x ）与x=a ，x=b 及x 轴围成的曲边梯形面积，在一般情形下.⎰badx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f （x ）的图象、以及直线x=a ，x=b 之间的各部分的面积代数和，在x 轴上方的面积取正号，x 轴下方的面积取负号.在图（1）中：0s dx )x (f ba>=⎰，在图（2）中：0s dx )x (f ba<=⎰，在图（3）中：dx)x (f ba⎰表示函数y=f （x ）图象及直线x=a ，x=b 、x 轴围成的面积的代数和.注：函数y=f （x ）图象与x 轴及直线x=a ，x=b 围成的面积不一定等于⎰badx x f )(，仅当在区间[a ，b]上f （x ）恒正时，其面积才等于⎰badx x f )(.3. 定积分的性质，（设函数f （x ），g （x ）在区间［a ，b ］上可积）（1）⎰⎰⎰±=±bab aba dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [（2）⎰⎰=baba dx x f k dx x kf )()(，（k 为常数）（3）⎰⎰⎰+=bcbac adx x f dx x f dx x f )()()(（4）若在区间［a ，b ］上，⎰≥≥badx x f x f 0)(,0)(则推论：（1）若在区间［a ，b ］上，⎰⎰≤≤babadx x g dx x f x g x f )()(),()(则（2）⎰⎰≤babadx x f dx x f |)(||)(|（3）若f （x ）是偶函数，则⎰⎰=-a aadx x f dx x f 0)(2)(，若f （x ）是奇函数，则0)(=⎰-aadx x f 4. 微积分基本定理：一般地，若)()()(],[)(),()('a Fb F dx x f b a x f x f x F ba-==⎰上可积，则在且注：（1）若)()('x f x F =则F （x ）叫函数f （x ）在区间［a ，b ］上的一个原函数，根据导数定义知：F （x ）+C 也是f （x ）的原函数，求定积分⎰badx x f )(的关键是求f （x ）的原函数，可以利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向求F （x ）.（2）求导运算与求原函数的运算互为逆运算.【典型例题】知识点一：定积分的几何意义例1．根据⎰=π200sin xdx 推断：求直线x=0，x=π2，y=0和正弦曲线y=sinx 所围成的曲边梯形面积下列结论正确的是（）A ．面积为0B ．曲边梯形在x 轴上方的面积大于在x 轴下方的面积C ．曲边梯形在x 轴上方的面积小于在x 轴下方的面积D ．曲边梯形在x 轴上方的面积等于在x 轴下方的面积题意分析：本题考查定积分的几何意义，注意dx x ⎰π20sin 与y=sinx 及直线x=a ，x=b 和x 轴围成的面积的区别.思路分析：作出函数y=sinx 在区间[0，π2]内的图象及积分的几何意义及函数的对称性可判断.解：对于（A ）：由于直线x=0，x=π2，y=0和正弦曲线y=sinx 所围成的曲边梯形面积为正可判断A 错.对于（B ），（C ）根据y=sinx 在[0，π2]内关于（)0,π对称知两个答案都是错误的. 根据函数y=sinx 的图象及定积分的几何意义可知：答案（D ）是正确的.解题后的思考：本题主要考查定积分的几何意义，体现了数与形结合的思想的应用，易错点是混淆函数y=sinx 与x 轴、直线x=0，x=π2围成的面积等于⎰π20)(dx x f .例2．利用定积分的几何意义，说明下列等式的合理性（1）121=⎰xdx（2）⎰=-1241πdx x .题意分析：本题主要考查定积分的几何意义：在区间[0，1]上函数y=2x ，及y=21x -恒为正时，定积分⎰12xdx 表示函数y=2x 图象与x=0，x=1围成的图形的面积，dx x ⎰-121表示函数y=21x -图象与x=0，x=1围成的图形的面积.思路分析：分别作出函数y=2x 及y=21x -的图象，求此图象与直线x=0，x=1围成的面积.解：（1）在同一坐标系中画出函数y=2x 的图象及直线x=0，x=1（如图），它们围成的图形是直角三角形.其面积∆S =11221=⨯⨯.由于在区间[0，1]内f （x ）恒为正，故1210=⎰xdx .（2）由]1,0[,11222∈=+⇒-=x y x x y ，故函数y 21x -=（]1,0[∈x 的图象如图所示，所以函数y 21x -=与直线x=0，x=1围成的图形面积是圆122=+y x 面积的四分之一，又y 21x -=在区间［0，1］上恒为正.⎰=-1241πdx x解题后的思考：本题主要考查利用定积分的几何意义来验证函数y=2x 及函数y=21x -在区间［0，1］上的定积分的值，体现了数与形结合的思想的应用，易错点是画函数图象的不准确造成错误的结果.例3．利用定积分的几何意义求⎰-+-4|)3||1(|dx x x 的值.题意分析：本题考查定积分的几何意义，⎰-+-4|)3||1(|dx x x 的值是函数|3||1|-+-=x x y 的图象与直线x=0，x=4所围成图形的面积.思路分析：首先把区间［0，4］分割为［0，1］，［1，3］，［3，4］，在每个区间上讨论x －1，x －3的符号，把函数|3||1|-+-=x x y 化为分段函数，再根据定积分的几何意义求⎰-+-4|)3||1(|dx x x 的值.解：函数|3||1|-+-=x x y 化为⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈∈+-=]4,3[(,42]3,1[(,2]1,0[(,42x x x x x y由于函数⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈∈+-=]4,3[(,42]3,1[(,2]1,0[(,42x x x x x y 在区间［0，1］，［1，3］，［3，4］都恒为正.设函数y=－2x+4的图象与直线x=0，x=1围成的面积为S 1 函数y=2的图象与直线x=1，x=3围成的面积是S 2 函数y=2x －4的图象与直线x=3，x=4围成的面积是S 3 由图知：S 1=S 3=,31)24(21=⨯+S 2=422=⨯ 由定积分的几何意义知：⎰-+-4|)3||1(|dx x x =10231=++S S S解题后的思考：本题考查的知识点是定积分的几何意义，利用其几何意义求定积分⎰-+-4|)3||1(|dx x x 的值，体现了等价转化的数学思想（把区间［0，4］分割，把函数y=|x －1|+|x －3|化成分段函数）、数与形结合的思想的应用.易错点是：区间［0，4］分割不当及画函数图象不准确，造成错误的结果.当被积函数含有绝对值时，常采用分割区间把函数化为分段函数的方法求定积分的值.小结：本题主要考查定积分的几何意义，要分清在区间［a ，b ］上f （x ）恒为正时，f （x ）在区间[a ，b]上定积分值才等于函数图象与直线x=a ，x=b 围成的面积.在画函数图象时注意x 的取值区间.当被积函数含有绝对值时，恰当的分割区间把函数画为分段函数再求定积分的值.高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解一、选择题1．(2010·山东日照模考)a ＝⎠⎛02x d x ，b ＝⎠⎛02e x d x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．c <b <aD ．c <a <b2．(2010·山东理，7)由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( )A.112 B.14C.13D.712(2010·湖南师大附中)设点P 在曲线y ＝x 2上从原点到A (2,4)移动，如果把由直线OP ，直线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记作S 1，S 2.如图所示，当S 1＝S 2时，点P 的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫43，169B.⎝⎛⎭⎫45，169 C.⎝⎛⎭⎫43，157D.⎝⎛⎭⎫45，1373．由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的图形的面积为( ) A ．4B.43C.185D ．64．(2010·湖南省考试院调研)⎠⎛1－1(sin x ＋1)d x 的值为( )A ．0B ．2C ．2＋2cos1D ．2－2cos15．曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积是( ) A ．2π B ．3π C.3π2D ．π6．函数F (x )＝⎠⎛0x t (t －4)d t 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值7．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋n ，函数f (x )＝⎠⎛1x 1td t ，若f (x )<a 3，则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫36，＋∞ B ．(0，e 21) C ．(e －11，e )D ．(0，e 11)8．(2010·福建厦门一中)如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )A.1πB.2πC.3πD.π49．(2010·吉林质检)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2(－2≤x <0)2cos x (0≤x ≤π2)的图象与x 轴所围成的图形面积S 为( )A.32B ．1C ．4D.1210．(2010·沈阳二十中)设函数f (x )＝x －[x ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.2]＝－2，[1.2]＝1，[1]＝1.又函数g (x )＝－x3，f (x )在区间(0,2)上零点的个数记为m ，f (x )与g (x )的图象交点的个数记为n ，则⎠⎛mn g (x )d x 的值是( )A ．－52B ．－43C ．－54D ．－7611．(2010·江苏盐城调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b ，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c (b 、c 可以相等)，若关于x 的方程x 2＋2bx ＋c ＝0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为( )A.13B.23C.12D.3412．(2010·吉林省调研)已知正方形四个顶点分别为O (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，曲线y ＝x 2(x ≥0)与x 轴，直线x ＝1构成区域M ，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M 内的概率是( )A.12B.14C.13D.25二、填空题13．(2010·芜湖十二中)已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛1－1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.14．已知a ＝∫π20(sin x ＋cos x )d x ，则二项式(a x －1x )6的展开式中含x 2项的系数是________．15．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________．16．(2010·安徽合肥质检)抛物线y 2＝ax (a >0)与直线x ＝1围成的封闭图形的面积为43，若直线l 与抛物线相切且平行于直线2x －y ＋6＝0，则l 的方程为______．17．(2010·福建福州市)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为________．三、解答题18．如图所示，在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2，试在此区间内确定t 的值，使图中阴影部分的面积S 1＋S 2最小．。

广东新高考数学理科一轮总复习课时练习3.8函数模型及其应用(含答案详析)

第8讲函数模型及其应用1．在一定范围内，某种产品的购买量y (单位：吨)与单价x (单位：元)之间满足一次函数关系．如果购买1000吨，每吨为800元；购买2000吨，每吨为700元．一客户购买400吨，单价应该是( )A ．820元B ．840元C ．860元D ．880元2．用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( )A ．3B ．4C ．6D ．123．已知某驾驶员喝了m 升酒后，血液中酒精的含量f (x )(单位：毫克/毫升)随时间x (单位：小时)变化的规律近似满足表达式f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 5x-2 (0≤x ≤1)，35·⎝⎛⎭⎫13x (x ＞1)，《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不能超过0.02毫克/毫升，此驾驶员至少要过( )小时后才能开车(精确到1小时)．( )A ．2B ．3C ．4D ．54．某工厂生产的A 种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一年A 种产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件．从第二年开始，商场对A 种产品征收销售额的x %的管理费(即销售100元要征收x 元)，于是该产品定价每件比第一年增加了70·x %1－x %元，预计年销售量减少x 万件，要使第二年商场在A 种产品经营中收取的管理费不少于14万元，则x 的最大值是( )A ．2B ．6.5C ．8.8D ．105．因为某种产品的两种原料相继提价，所以生产者决定对产品分两次提价，现在有三种提价方案：方案甲：第一次提价p %，第二次提价q %；方案乙：第一次提价q %，第二次提价p %；方案丙：第一次提价p ＋q 2%，第二次提价p ＋q 2%. 其中p >q >0，比较上述三种方案，提价最多的是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．一样多6．有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图K3-8-1)，则围成场地的最大面积为________(围墙的厚度不计)．图K3-8-17．(2012年广东广州二模)某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额： ①如果不超过200元，则不予优惠；②如果超过200元，但不超过500元，则按标价给予9折优惠；③如果超过500元，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．某两人去购物，分别付款170元和441元，若他们合并去一次购买上述同样的商品，则可节约________元．8．某公司为了实现2015年1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y (单位：万元)随销售利润x (单位：万元)的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，现有三个奖励模型：y ＝0.025x ，y ＝1.003x ，y ＝12ln x ＋1，问其中是否有模型能完全符合公司的要求？并说明理由．(参考数据：1.003600≈6，e ＝2.718 28…，e 8≈2981)第8讲函数模型及其应用1．C 2.A 3.C 4.D 5.C6．2500 m 2 解析：方法一：设所围场地的长为x ，则宽为200－x 4，其中0<x <200，场地的面积为x ×200－x 4≤14⎝⎛⎭⎫x ＋200－x 22＝2500 m 2，当且仅当x ＝100时等号成立．方法二：场地的面积为x ×200－x 4＝－14(x 2－200x )＝－14(x －100)2＋2500，当x ＝100时，有最大值2500.7．49 解析：170<200×0.9＝180,441<500×0.9＝450，不考虑优惠的实际价格为170＋4410.9＝660(元)，合并后实付款：500×0.9＋160×0.7＝562(元)，节约170＋441－562＝49(元)．8．解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x ∈[10,1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y ≤x ·25%.(1)对于y ＝0.025x ，易知满足①；但当x >200，y >5，不满足公司的要求；(2)对于y ＝1.003x ，易知满足①；但当x >600时，y >6，不满足公司的要求；(3)对于y ＝12ln x ＋1，易知满足①. 当x ∈[10,1000]时，y ≤12ln1000＋1. ∵y －5≤12ln1000＋1－5＝12(ln1000－lne 8)<0， ∴满足②.设F (x )＝2ln x ＋4－x ，F ′(x )＝2x －1＝2－x x<0(x ∈[10,1000])． ∴F (x )在[10,1000]为减函数．F (x )max ＝F (10)＝2ln10＋4－10＝2(ln10－3)<0，满足③.综上所述，只有奖励模型：y ＝12ln x ＋1能完全符合公司的要求．。

高考数学(理)一轮复习课件：第二章第十三节定积分与微积分基本定理(广东专用)

2．当被积函数的图象与直线 x＝a，x＝b，y＝0 所围成的曲边梯形的面积易求时，用求曲边梯形面积的代数和的方法求定积分．但要注意两点：(1)函数的图象连续不间断．(2)函数图象是在 x 轴上方还是下方．
3．对于不便求出被积函数的原函数的，可考虑用定积分的几何意义求解．
一轮复习 ·新课标 ·数学（理）（广东专用）
) B．5t20
C.130t20
D.53t20
【解析】
S＝t0vdt＝t010tdt＝5t2|
0
0
t00＝5t20.
【答案】 B
一轮复习 ·新课标 ·数学（理）（广东专用）
2．(2011·福建高考)1(ex＋2x)dx 的值是( )
0
A．1
B．e－1 C．e
D．e＋1
【解析】
一轮复习 ·新课标 ·数学（理）（广东专用）
(3)12|3－2x|dx＝∫321|3－2x|dx＋232|3－2x|dx ＝∫321(3－2x)dx＋232(2x－3)dx ＝(3x－x2)| 321＋(x2－3x)| 232＝12. (4)∵(ln x)′＝1x，(12e2x)′＝e2x， ∴12(e2x＋1x)dx＝12e2xdx＋121xdx ＝12e2x| 21＋ln x| 21＝12e4－12e2＋ln 2－ln 1 ＝12e4－12e2＋ln 2.
一轮复习 ·新课标 ·数学（理）（广东专用）
1．(1)注意定积分与曲边梯形面积的区别，定积分可正、可负、可为 0.(2)y＝x2－1 与 x 轴围成的面积不是1－1(x2－ 1)dx，而是1－1(1－x2)dx.
2．解决该类问题一定要结合几何图形的直观性，把所求的曲边形的面积用函数的定积分表示，关键有两点：一是确定积分的上下限；二是确定被积函数．只要解决了这两点，所求的面积就转化为根据微积分基本定理计算定积分了．

[原创]2015年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科) 第四章第4讲定积分及其应用举例[配套课件]

9－x2dx 是由曲线 y＝
9－x2，直线 x＝0，x＝3 围成的封闭图形的面积，故

3
0
2 π·3 9 2 9－x dx＝ 4 ＝4π.
答案：C
(3) 1 |1－x|dx＝________.
2
解析：

2
1
|1 － x|dx ＝

1
1
(1 － x)dx ＋

2
1
(x － 1)dx ＝
1 2 1 1 x2 x 2 5 . x- x 1 2 2 1 2
a b (4) cosxdx＝sinx |b a. a b1 b (5) dx＝lnx (b>a>0)． ax a b x (6) e dx＝ex|b a. a b x ax b (7) a dx＝ (a>0 且 a≠1)． a ln a a
4．定积分的几何意义 (1)直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0 和曲线 y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形． (2)若函数 f(x)在区间[a，b]上连续且恒有 f(x)≥0，那么定积 b f ( x)dx a 分_______________ 表示由直线 x＝ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，x＝b(a≠b)，y＝0 和曲线
s＝

5
0
v(t)dt＝

5
0
3 25 (15－3t)dt＝ 15t t ＝37.5(米)＝ 2 0
0.0375(千米)．答：汽车走了 0.0375 千米．
【方法与技巧】汽车刹车过程是一个减速运动过程，我们可以利用定积分算出汽车在这个过程中所走过的路程，计算之前应先算出这一过程所耗费的时间和减速运动变化式．若做变速直线运动的物体的速度关于时间的函数为 v＝v(t)[v(t)≥0]，由定积分的物理意义可知，做变速运动物体在[a，b]时间内的路程 s 是曲边梯形(如图 4-4-3 的阴影部分)的面积，即路程 s＝

高考数学定积分知识讲解与例题练习(含答案解析)

高考数学定积分知识讲解与例题练习（含答案解析）一、基础知识1、相关术语：对于定积分()baf x dx ⎰（1）,:a b 称为积分上下限，其中a b ≥ （2）()f x ：称为被积函数（3）dx ：称为微分符号，当被积函数含参数时，微分符号可以体现函数的自变量是哪个，例如：()2bax tx dx +⎰中的被积函数为()2f x x tx =+，而()2baxtx dt +⎰的被积函数为()2f t xt x =+2、定积分()baf x dx ⎰的几何意义：表示函数()f x 与x 轴，,x a x b ==围成的面积（x 轴上方部分为正，x 轴下方部分为负）和，所以只有当()f x 图像在[],a b 完全位于x 轴上方时，()baf x dx ⎰才表示面积。

()baf x dx ⎰可表示数()f x 与x 轴，,x a x b ==围成的面积的总和，但是在求定积分时，需要拆掉绝对值分段求解3、定积分的求法：高中阶段求定积分的方法通常有2种：（1）微积分基本定理：如果()f x 是区间[],a b 上的连续函数，并且()()'F x f x =，那么()()()()|bb aaf x dx F x F b F a ==−⎰使用微积分基本定理，关键是能够找到以()f x 为导函数的原函数()F x 。

所以常见的初等函数的导函数公式要熟记于心：()f x C = ()'0f x = ()f x x α= ()'1f x x αα−= ()sin f x x = ()'cos f x x = ()cos f x x = ()'sin f x x =− ()x f x a = ()'ln x f x a a = ()x f x e = ()'x f x e = ()log a f x x = ()'1ln f x x a =()ln f x x = ()'1f x x= ① 寻找原函数通常可以“先猜再调”，先根据导函数的形式猜出原函数的类型，再调整系数，例如：()3f x x =，则判断属于幂函数类型，原函数应含4x ，但()'434x x=，而()3f x x =，所以原函数为()414F x x C =+（C 为常数） ② 如果只是求原函数，则要在表达式后面加上常数C ，例如()2f x x =，则()2F x x C =+，但在使用微积分基本定理时，会发现()()F b F a −计算时会消去C ，所以求定积分时，()F x 不需加上常数。

广东新高考数学理科一轮总复习课时练习5.5不等式的应用(含答案详析)

第5讲不等式的应用1．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析：每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x 的函数关系为y ＝－(x －6)2＋11(x ∈N *)，则每辆客车营运( )年，其运营的年平均利润最大？( )A ．3B ．4C ．5D ．62．(2013年山东)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当zxy取得最小值时，x＋2y －z 的最大值为( )A ．0 B.98 C ．2 D.943．已知f (x )＝x 3－3x ＋m ，在[0,2]上任取三个数a ，b ，c ，均存在以f (a )，f (b )，f (c )为边长的三角形，则m 的取值范围为( )A ．m >2B ．m >4C ．m >6D ．m >84．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，若将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，则楼房应建为( )A ．10层B ．15层C ．20层D ．30层5．(2013年山东)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，y ≥0所表示的区域上一动点，则|OM |的最小值为________．6．一份印刷品，其排版面积为432 cm 2(矩形)，要求左右留有4 cm 的空白，上下留有3 cm 的空白，则当矩形的长为________cm ，宽为________cm 时，用纸最省．7．某工厂投入98万元购买一套设备，第一年的维修费用为12万元，以后每年增加4万元，每年可收入50万元．就此问题给出以下命题：①前两年没能收回成本；②前5年的平均年利润最多；③前10年总利润最多；④第11年是亏损的；⑤10年后每年虽有盈利但与前10年比年利润有所减少(总利润＝总收入－投入资金－总维修费)．其中真命题是________．8．(2011年江苏)在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2x的图象交于P ，Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________．9．某森林出现火灾，火势正以每分钟100 m 2的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防队员前去，在火灾发生后五分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火50 m 2，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁1 m 2森林损失费为60元．问应该派多少消防队员前去救火，才能使总损失最少？10．(2012年江苏)如图K5-5-1，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－120 (1＋k2)x2(k>0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问当它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．图K5-5-1第5讲不等式的应用1．C 2.C3．C 解析：f ′(x )＝3(x ＋1)(x －1)，列表知：函数f (x )在[0,2]上有最小值f (1)＝m －2，最大值f (2)＝m ＋2.∵f (a )，f (b )，f (c )为三角形的边，由任意两边之和大于第三边，得m －2＋m －2>m ＋2，解得m >6.故选C.4．B 解析：设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，则f (x )＝(560＋48x )＋2160×10 0002000x＝560＋48x ＋10 800x＝560＋48⎝⎛⎭⎫x ＋225x ≥560＋48×2 x ·225x＝2000(x ≥10，x ∈Z ＋)．当且仅当x ＝225x，即x ＝15时，f (x )取得最小值为f (15)＝2000.5.2 解析：不等式组表示的区域如图D74，|OM |的最小值为就是坐标原点O 到直线x＋y －2＝0的距离d ＝||0＋0－22＝ 2.图D746．24 18 解析：设矩形的长为x cm ，则宽为432xcm ，则总面积为y ＝(x ＋8)·⎝⎛⎭⎫432x ＋6＝432＋48＋6x ＋432×8x ＝480＋6⎝⎛⎭⎫x ＋72×8x ≥480＋6×2 x ·72×8x ＝768，当且仅当x ＝72×8x ，即x ＝24时取等号，此时宽为43224＝18 (cm)．7．①③④8．4 解析：设交点坐标为⎝⎛⎭⎫x ，2x ，⎝⎛⎭⎫－x ，－2x ，则PQ ＝(2x )2＋⎝⎛⎭⎫4x 2≥4. 9．解：设派x 名消防队员前去救火，用t 分钟将火扑灭，总损失为y 元，则t ＝5×10050x －100＝10x －2. y ＝125tx ＋100x ＋60(500＋100t )＝125x ·10x －2＋100x ＋30 000＋60 000x －2＝1250·x －2＋2x －2＋100(x －2＋2)＋30 000＋60 000x －2＝31 450＋100(x －2)＋62 500x －2≥31 450＋2100×62 500＝36 450.当且仅当100(x －2)＝62 500x －2，即x ＝27时，y 有最小值为36 450.故应该派27名消防队员前去救火，才能使总损失最少，最少损失为36 450元．10．解：(1)在y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k >0)中，令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0.由实际意义和题设条件，知：x >0，k >0，∴x ＝20k 1＋k 2＝201k＋k ≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号． ∴炮的最大射程是10千米．(2)∵a >0，∴炮弹可以击中目标等价于存在k >0，使ka －120(1＋k 2)a 2＝3.2成立，即关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根．由Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0，得0<a ≤6.此时，k ＝20a ＋(－20a )2－4a 2(a 2＋64)2a 2>0(不考虑另一根)，∴当a 不超过6千米时，炮弹可以击中目标．。

高考数学理科一轮复习定积分及其简单的应用学案带答案

高考数学理科一轮复习定积分及其简单的应用学案（带答案）学案16 定积分及其简单的应用导学目标： 1.以求曲边梯形的面积和汽车变速行驶的路程为背景准确理解定积分的概念.2.理解定积分的简单性质并会简单应用.3.会说出定积分的几何意义，能根据几何意义解释定积分.4.会用求导公式和导数运算法则，反方向求使F′(x)＝f(x)的F(x)，并运用牛顿—莱布尼茨公式求f(x)的定积分.5.会通过求定积分的方法求由已知曲线围成的平面图形的面积.6.能熟练运用定积分求变速直线运动的路程.7.会用定积分求变力所做的功．自主梳理1．定积分的几何意义：如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么函数f(x)在区间[a，b]上的定积分的几何意义是直线________________________所围成的曲边梯形的________．2．定积分的性质(1)ʃbakf(x)dx＝__________________ (k为常数)；(2)ʃba[f1(x)±f2(x)]dx＝_____________________________________；(3)ʃbaf(x)dx＝_______________________________________.3．微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么ʃbaf(x)dx＝F(b)－F(a)，这个结论叫做__________________，为了方便，我们常把F(b)－F(a)记成__________________，即ʃbaf(x)dx＝F(x)|ba＝F(b)－F(a)．4．定积分在几何中的应用(1)当x∈[a，b]且f(x)0时，由直线x＝a，x＝b (a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的面积S＝__________________.(2)当x∈[a，b]且f(x)0时，由直线x＝a，x＝b (a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的面积S＝__________________.(3)当x∈[a，b]且f(x)g(x)0时，由直线x＝a，x ＝b (a≠b)和曲线y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积S＝______________________.(4)若f(x)是偶函数，则ʃa－af(x)dx＝2ʃa0f(x)dx；若f(x)是奇函数，则ʃa－af(x)dx＝0.5．定积分在物理中的应用(1)匀变速运动的路程公式做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)[v(t)≥0]在时间区间[a，b]上的定积分，即________________________．(2)变力做功公式一物体在变力F(x)(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向从x＝a移动到x＝b (ab)(单位：m)，则力F所做的功W＝__________________________.自我检测1．计算定积分ʃ503xdx的值为 ( )A.752B．252D．252．定积分ʃ10[1－x－12－x]dx等于 ( )A.π－24B.π2－π－14D.π－123．如右图所示，阴影部分的面积是 ( )A．23B．2－23D．(2010湖南)ʃ421xdx等于 ( ) A．－2ln 2B．2ln 2C．－ln 2D．ln 25．若由曲线y＝x2＋k2与直线y＝2kx及y轴所围成的平面图形的面积S＝9，则k＝________.探究点一求定积分的值例1 计算下列定积分：(1) ；(2) ；(3)ʃπ0(2sin x－3ex＋2)dx；(4)ʃ20|x2－1|dx.变式迁移1 计算下列定积分：(1)ʃ2π0|sin x|dx；(2)ʃπ0sin2xdx.探究点二求曲线围成的面积例2 计算由抛物线y＝12x2和y＝3－(x－1)2所围成的平面图形的面积变式迁移2 计算曲线y＝x2－2x ＋3与直线y＝x＋3所围图形的面积．探究点三定积分在物理中的应用例3 一辆汽车的速度－时间曲线如图所示，求此汽车在这1 min内所行驶的路程．变式迁移3 A、B两站相距7.2 km，一辆电车从A站开往B站，电车开出t s后到达途中C点，这一段速度为1.2t m/s，到C点时速度达24 m/s，从C点到B点前的D 点以匀速行驶，从D点开始刹车，经t s后，速度为(24－1.2t)m/s，在B点恰好停车，试求：(1)A、C间的距离；(2)B、D间的距离；(3)电车从A站到B站所需的时间．函数思想的应用例(12分)在区间[0,1]上给定曲线y＝x2.试在此区间内确定点t的值，使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小，并求最小值．【答题模板】解S1面积等于边长为t与t2的矩形面积去掉曲线y＝x2与x轴、直线x＝t所围成的面积，即S1＝tt2－ʃt0x2dx＝23t3.[2分]S2的面积等于曲线y＝x2与x轴，x＝t，x＝1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t2,1－t，即S2＝ʃ1tx2dx－t2(1－t)＝23t3－t2＋13.[4分] 所以阴影部分面积S＝S1＋S2＝43t3－t2＋13(0≤t≤1)．[6分]令S′(t)＝4t2－2t＝4tt－12＝0时，得t＝0或t＝12.[8分]t＝0时，S＝13；t＝12时，S＝14；t＝1时，S＝23.[10分]所以当t＝12时，S最小，且最小值为14.[12分]【突破思维障碍】本题既不是直接求曲边梯形面积问题，也不是直接求函数的最小值问题，而是先利用定积分求出面积的和，然后利用导数的知识求面积和的最小值，难点在于把用导数求函数最小值的问题置于先求定积分的题境中，突出考查学生知识的迁移能力和导数的应用意识．1．定积分ʃbaf(x)dx的几何意义就是表示由直线x ＝a，x＝b (a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的面积；反过来，如果知道一个这样的曲边梯形的面积也就知道了相应定积分的值，如ʃ204－x2dx＝π(半径为2的14个圆的面积)，ʃ2－24－x2dx＝2π. 2．运用定积分的性质可以化简定积分计算，也可以把一个函数的定积分化成几个简单函数定积分的和或差． 3．计算一些简单的定积分问题，解题步骤是：第一步，把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数积的和或差；第二步，把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；第三步，分别用求导公式找到一个相应的使F′(x)＝f(x)的F(x)；第四步，再分别用牛顿—莱布尼茨公式求各个定积分的值后计算原定积分的值．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列值等于1的积分是 ( )A．ʃ10xdxB．ʃ10(x＋1)dxC．ʃ1012dxD．ʃ101dx2．(2011汕头模拟)设函数f(x)＝x2＋1，0≤x≤1，3－x，1x≤2，则ʃ20f(x)dx等于 ( )A.13B．6D．．已知f(x)为偶函数且ʃ60f(x)dx＝8，则ʃ6－6f(x)dx等于 ( ) A．0B．4C．8D．．(2011深圳模拟)曲线y＝sin x，y＝cos x与直线x＝0，x＝π2所围成的平面区域的面积为 ( )A．ʃπ20(sin x－cos x)dxB．2ʃπ40(sin x－cos x)dxC．ʃπ20(cos x－sin x)dxD．2ʃπ40(cos x－sin x)dx5．(2011临渭区高三调研)函数f(x)＝ʃx0t(t －4)dt在[－1,5]上 ( )A．有最大值0，无最小值B．有最大值0，最小值－323C．有最小值－323，无最大值D．既无最大值也无最小值题号12答案二、填空题(每小题4分，共12分)6．若1 N的力使弹簧伸长2 cm，则使弹簧伸长12 cm 时克服弹力做的功为__________．ʃ10(2xk＋1)dx＝2，则k＝________.8．(2010山东实验中学高三三诊)若f(x)在R上可导，f(x)＝x2＋2f′(2)x＋3，则ʃ30f(x)dx＝________.三、解答题(共38分)9．(12分)计算以下定积分：(1)ʃ212x2－1xdx；(2)ʃ32x＋1x2dx；(3)ʃπ30(sin x－sin 2x)dx；(4)ʃ21|3－2x|dx0．(12分)设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x－2.(1)求y＝f(x)的表达式；(2)求y＝f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积．．(14分)求曲线y＝ex－1与直线x＝－ln 2，y＝e－1所围成的平面图形的面积．答案自主梳理1．x＝a，x＝b (a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x) 面积2．(1)kʃbaf(x)dx(2)ʃbaf1(x)dx±ʃbaf2(x)dx(3)ʃcaf(x)dx＋ʃbcf(x)dx(其中acb)3.微积分基本定理F(x)|ba4.(1)ʃbaf(x)dx (2)－ʃbaf(x)dx(3)ʃba[f(x)－g(x)]dx5.(1)s＝ʃbav(t)dt (2)ʃbaF(x)dx自我检测1．A 2.A 3.C 4.D5．±3解析由y＝x2＋k2，y＝2kx.得(x－k)2＝0，即x＝k，所以直线与曲线相切，如图所示，当k0时，S＝ʃk0(x2＋k2－2kx)dx＝ʃk0(x－k)2dx＝13(x－k)3|k0＝0－13(－k)3＝k33，由题意知k33＝9，∴k＝3.由图象的对称性可知k＝－3也满足题意，故k＝±堂活动区例1 解题导引(1)与绝对值有关的函数均可化为分段函数．①分段函数在区间[a，b]上的积分可分成几段积分的和的形式．②分段的标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原函数分段的情况分即可，无需分得过细．(2)f(x)是偶函数，且在关于原点对称的区间[－a，a]上连续，则ʃa－af(x)dx＝2ʃa0f(x)dx.解(1)ʃe1x＋1x＋1x2dx＝ʃe1xdx＋ʃe11xdx＋ʃe11x2dx＝12x2|e1＋ln x|e1－1x|e1＝12(e2－1)＋(ln e－ln 1)－1e－11＝12e2－1e＋32.(2)ʃπ20(sin x－2cos x)dx＝ʃπ20sin xdx－2ʃπ20cos xdx＝(－cos x)|π20－2sin x|π20＝－cos π2－(－cos 0)－2sin π2－sin 0＝－1.(3)ʃπ0(2sin x－3ex＋2)dx＝2ʃπ0sin xdx－3ʃπ0exdx＋ʃπ02dx＝2(－cos x)|π0－3ex|π0＋2x|π0＝2[(－cos π)－(－cos 0)]－3(eπ－e0)＋2(π－0)＝7－3eπ＋2π.(4)∵0≤x≤2，于是|x2－1|＝x2－1，1x≤2，1－x2，0≤x≤1，∴ʃ20|x2－1|dx＝ʃ10(1－x2)dx＋ʃ21(x2－1)dx＝x－13x3|10＋13x3－x|21＝2.变式迁移1 解(1)∵(－cos x)′＝sin x，∴ʃ2π0|sin x|dx＝ʃπ0|sin x|dx＋ʃ2ππ|sin x|dx＝ʃπ0sin xdx－ʃ2ππsin xdx＝－cos x|π0＋cos x|2ππ＝－(cos π－cos 0)＋(cos 2π－cos π)＝4.(2)ʃπ0sin2xdx＝ʃπ012－12cos 2xdx＝ʃπ012dx－12ʃπ0cos 2xdx＝12x|π0－1212sin 2x|π0＝π2－0－1212sin 2π－12sin 0＝π2.例 2 解题导引求曲线围成的面积的一般步骤为：(1)作出曲线的图象，确定所要求的面积；(2)联立方程解出交点坐标；(3)用定积分表示所求的面积；(4)求出定积分的值．解作出函数y＝12x2和y＝3－(x－1)2的图象(如图所示)，则所求平面图形的面积S为图中阴影部分的面积．解方程组y＝12x2，y＝3－x－12，得x＝－23，y＝29或x＝2，y＝2.所以两曲线交点为A－23，29，B(2,2)．所以S＝ʃ2－23[3－(x－1)2]dx－ʃ2－2312x2dx＝ʃ2－23(－x2＋2x＋2)dx－ʃ2－2312x2dx＝－13x3＋x2＋2x2－23－16x32－23＝－83＋4＋4－881＋49－43－16×8＋827＝42027.变式迁移2 解如图，设f(x)＝x＋3，g(x)＝x2－2x＋3，两函数图象的交点为A，B，由y＝x＋3，y＝x2－2x＋3.得x＝0，y＝3或x＝3，y＝6.∴曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围图形的面积S＝ʃ30[f(x)－g(x)]dx＝ʃ30[(x＋3)－(x2－2x＋3)dx]＝ʃ30(－x2＋3x)dx＝－13x3＋32x2|30＝92.故曲线与直线所围图形的面积为92.例3 解题导引用定积分解决变速运动的位置与路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键．变速直线运动的速度函数往往是分段函数，故求积分时要利用积分的性质将其分成几段积分，然后求出积分的和，即可得到答案．s(t)求导后得到速度，对速度积分则得到路程．解方法一由速度—时间曲线易知．v(t)＝3t，t∈[0，10，30，t∈[10，40，－1.5t＋90，t∈[40，60]，由变速直线运动的路程公式可得s＝ʃ1003tdt＋ʃ401030dt＋ʃ6040(－1.5t＋90)dt＝32t2|100＋30t|4010＋－34t2＋90t|6040＝1 350 (m)．答此汽车在这1 min内所行驶的路程是1 350方法二由定积分的物理意义知，汽车1 min内所行驶的路程就是速度函数在[0,60]上的积分，也就是其速度曲线与x轴围成梯形的面积，∴s＝12(AB＋OC)×30＝12×(30＋60)×30＝1 350 (m)．答此汽车在这1 min内所行驶的路程是1 350变式迁移3 解(1)设v(t)＝1.2t，令v(t)＝24，∴t＝20.∴A、C间距离|AC|＝ʃ2001.2tdt＝(0.6t2)|200＝0.6×202＝240 (m)．(2)由D到B时段的速度公式为v(t)＝(24－1.2t) m/s，可知|BD|＝|AC|＝240 (m)．(3)∵|AC|＝|BD|＝240 (m)，∴|CD|＝7 200－240×2＝6 720 (m)．∴C、D段用时6 72024＝280 (s)．又A、C段与B、D段用时均为20 s，∴共用时280＋20＋20＝320 (s)．课后练习区1．D 2.B 3.D 4.D 5.B6．0解析设力F与弹簧伸长的长度x的关系式为F ＝kx，则1＝k×0.02，∴k＝50，∴F＝50x，伸长12 cm时克服弹力做的功W＝ʃ0.12050xdx＝502x2|0.120＝502×0.122＝0.36(J)．7．1解析∵ʃ10(2xk＋1)dx＝2k＋1xk＋1＋x10 ＝2k＋1＋1＝2，∴k＝．－18解析∵f′(x)＝2x＋2f′(2)，∴f′(2)＝4＋2f′(2)，即f′(2)＝－4，∴f(x)＝x2－8x＋3，∴ʃ30f(x)dx＝13×33－4×32＋3×3＝－．解(1)函数y＝2x2－1x的一个原函数是y＝23x3－ln x，所以ʃ212x2－1xdx＝23x3－ln x21＝163－ln 2－23＝143－ln 2.………………………………………………………………(3分)(2)ʃ32x＋1x2dx＝ʃ32x＋1x＋2dx＝12x2＋ln x＋2x32＝92＋ln 3＋6－(2＋ln 2＋4)＝ln 32＋92.…………………………………………………………………………………(6分)(3)函数y＝sin x－sin 2x的一个原函数为y＝－cos x＋12cos 2x，所以ʃπ30(sin x－sin 2x)dx＝－cos x＋12cos 2xπ30＝－12－14－－1＋12＝－14.……………………………………………………………(9分)＝(3x－x2)|321＋(x2－3x)|232＝12.…………………………………………………………(1 2分)10．解(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.又f′(x)＝2x－2，所以a＝1，b＝－2，即f(x)＝x2－2x＋c.………………………………………………(4分)又方程f(x)＝0有两个相等实根，所以Δ＝4－4c＝0，即c＝1.故f(x)＝x2－2x＋1.………………………………………………………………………(8分)(2)依题意，所求面积S＝ʃ10(x2－2x＋1)dx＝13x3－x2＋x|10＝13.……………………………………………………………………(12分)11．解画出直线x＝－ln 2，y＝e－1及曲线y＝ex－1如图所示，则所求面积为图中阴影部分的面积．由y＝e－1，y＝ex－1，解得B(1，e－1)．由x＝－ln 2，y＝ex－1，解得A－ln 2，－12.…………………………………………………(4分)此时，C(－ln 2，e－1)，D(－ln 2,0)．所以S＝S曲边梯形BCDO＋S曲边三角形OAD＝ʃ1－ln 2(e－1)dx－ʃ10(ex－1)dx ＋?0－ln 2ex－1dx………………………………………(7分) ＝(e－1)x|1－ln 2－(ex－x)|10＋|(ex－x)|0－ln 2| ………………………………………………(10分)＝(e－1)(1＋ln 2)－(e－1－e0)＋|e0－(e－ln 2＋ln 2)|＝(e－1)(1＋ln 2)－(e－2)＋ln 2－12＝eln 2＋12.……………………………………………………………………………(14分)。

南方新高考高考数学大一轮总复习第三章第4讲定积分课件理

π4＋cos
π4－(sin 0＋cos 0)＝ 22＋
22－1＝
2－1.
三定积分在物理中的应用
【例 3】一质点在直线上从时刻 t＝0(s)开始以速度 v＝t2 －4t＋3(m/s)运动．求：
一定积分的计算
【例 1】计算下列定积分的值：

(1) 2 (x sin x)dx； 0
(3)231－x2 xdx；
(2)3(
1
x＋ 1x)26xdx；

(4)
2 －
cos2 xdx.
2
【思路点拨】先找到被积函数的原函数，然后运用微积分基本定理计算定积分即可．
【解答过程】
C．1 或－12
D．－1 或－12
3
解析：S3＝33x2dx＝x3 0 ＝33＝27，即前三项和为 S3＝27，
0
因为 a3＝9，所以aS33＝＝aa11q＋2＝a29＋9＝27 ，
即a1q2＝9 a1＋a1q＝18
，所以1＋q2q＝198＝12，即 2q2－q－1＝0，
【跟踪训练 3】如图，函数 y＝－x2＋2x＋1 与 y＝1 相交
形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是
()
A．1
B.43
C. 3
D．2
解析：因为函数 y＝－x2＋2x＋1 与 y＝1 的两个交点为 (0,1)和(2,1)，所以闭合图形的面积
S＝2(－x2＋2x＋1－1)dx 0
因此，所求图形的面积为
(解法 1)S＝04(y＋4－21y2)dy＝(12y2＋4y－61y3)
4 0
＝430.
解法 2)S＝8 0
2xdx－21×4×4＝
2×23x32

高考数学一轮总复习 (基础轻过关+考点巧突破)第四章第4讲定积分及其应用举例课件理新人教版

y＝sinx 与 x 轴交于 0，π，2π，
所求面积 S＝
π sinxdx＋
2π
sin xdx
π
π
＝(－cosx)|π0－(－cosx)|2ππ＝4.
图D8
第十三页，共26页。
利用定积分求平面图形的面积的严格按照作图、求交点、确定被积函数和计算定积分的步骤进行．因为在[0，π] 上，sinx≥0，其图象在x轴上方；在[0,2π]上，sinx≤0其图象在x轴下方(xià fānɡ)，此时定积分为图形面积的相反数，应加绝对值才表示面积．
第五页，共26页。
2．等比数列{an}中，a3＝6，前三项和
S3＝
3
0
4
xdx，则公比
q
的值为( C )
A．1
B．－12
C．1 或－12
D．－1 或－12
第六页，共26页。
π
3．若
2 0
(
sinx－acosx)dx＝2，则实数
a
等于(
A
)
A．－1
B．1
C．－ 3
D. 3
π
π
解析：
2(
0
sinx－acosxdx＝－cosx－asinx
第十四页，共26页。
【互动探究】
3．由曲线y＝x2＋2与y＝3x，x＝0，x＝2所围成的平面(píngmiàn)图
1
的面积为____.
解析：S＝1(x2＋2－3x)dx＋2(3x－x226页。
考点3 物理方面(fāngmiàn)的应用
例3：汽车以每小时54公里的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等减速度3米/秒刹车(shā chē)，问从开始刹车(shā chē)到停车，汽车走了多少公里？

高考总复习数学(理科)课时作业：第2章第18讲定积分及其应用举例 Word版含解析

第18讲定积分及其应用举例1．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(0≤x <1)，2－x (1<x ≤2)，则2f ⎰(x )d x ＝( )A.34B.45C.56D ．不存在 2．以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体，t 秒时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( )A.1603 mB.803 mC.403 mD.203m 3．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形的面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.7124．(2015届广东汕头模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，又知(x ln x )′＝ln x ＋1，且S 10＝e1ln ⎰x d x ，S 20＝17，则S 30为( )A ．33B ．46C ．48D ．505．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B ．1 C.32D. 3 6．(2015年广东惠州一模)已知x ，y 都是区间⎣⎡⎦⎤0，π2内任取的一个实数，则使得y ≤sin x 的取值的概率是( )A.4π2B.2πC.12D.2π2 7．(2016年黑龙江哈尔滨六中统测)30|⎰x 2－1|d x ＝________.(导学号 58940252)8．(2014年福建)如图X2-18-1，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机抛一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为________．(导学号 58940253)图X2-18-19．(2014年广东揭阳一模)在如图X2-18-2所示的程序框图中，任意输入一次x (0≤x ≤1)与y (0≤y ≤1)，则能输出数对(x ，y )的概率为( )图X2-18-2A.14B.13C.34D.2310．函数f (x )＝sin (ωx ＋φ)的导函数y ＝f ′(x )的部分图象如图X2-18-3，其中，A ，C 为图象与x 轴的两个交点，B 为图象的最低点，P 为图象与y 轴的交点．若在曲线段ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为________．图X2-18-3第18讲定积分及其应用举例1．C2．A 解析：v ＝40－10t 2＝0，t ＝2，20⎰（40－10t 2)dt ＝23010403t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝40×2－103×8＝1603(m)． 3．A 4.C 5.D6．A 解析：此题为几何概型，事件A 的度量为函数y ＝sin x 的图象在⎣⎡⎦⎤0，π2内与x 轴围成的图形的面积，即S ＝π20sin ⎰x d x ＝1，则事件A 的概率为P ＝S S ′＝1π2×π2＝4π2.故选A.7.223解析：30⎰|x 2－1|d x ＝10⎰(1－x 2)d x ＋31⎰(x 2－1)d x ＝1333011133x x x x ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝223.8.2e 2解析：由对数函数与指数函数的对称性，可得两块阴影部分的面积相同.210⎰(e －e x )d x ＝2(e x －e x )|10＝2，所以落到阴影部分的概率p ＝2e2. 9．D 解析：依题意，得所求的概率为1－10x ⎰2d x ＝1－13＝23.故选D.10.π4解析：由图知AC ＝T 2＝2πω2＝πω，S △ABC ＝12AC ·ω＝π2，设A ，C 的横坐标分别为a ，b .设曲线段ABC 与x 轴所围成的区域的面积为S 则S ＝()d ()babf x x f x a'=⎰＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin (ωa ＋φ)－sin (ωb ＋φ) ＝2，由几何概型知该点在△ABC 内的概率为P ＝S △ABC S ＝π22＝π4.。

高考数学一轮复习课件第19讲：定积分及其应用举例

式是描述变量之间大小关系的数学工具，而定积分可以用来计算不同变量之间的差异。
结合定积分和不等式，可以解决一些涉及优化、最值、比较大小等问题，例如最大利润、最小成本等。
解决这类问题时，需要先建立不等式，然后通过定积分求解。
定积分与解析几何的结合
解析几何是研究图形与坐标轴之间关系的数学分支，而定积分可以用来计算图形的面积、体积等。
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函数的平均值
总结词
定积分在计算函数的平均值中具有重要意义，通过计算函数在一个区间上的定积分，可以得到该函数的平均值。
详细描述
函数的平均值是指在一定区间上函数的平均表现，可以通过计算函数在该区间上的定积分并除以区间的长度得到。例如，对于函数f(x)，其平均值可以表示为 [∫f(x)dx/b - ∫f(x)dx/a] / (b - a)，其中a和b分别为区间的下限和上限。
结合定积分和解析几何，可以解决一些涉及几何图形的问题，例如求圆的面积、球的体积等。
解决这类问题时，需要先利用解析几何的知识确定被积函数和积分的上下限，然后通过定积分求解。
05
高考真题解析与练习
近年高考真题解析
2022年全国卷Ⅰ
考察定积分的概念与性质，涉及积分区间可加性、比较大小等问题。
2020年全国卷Ⅲ
总结词
定积分在平面图形面积计算中有着广泛的应用，通过计算曲线下方的面积，可以解决一系列实际问题。
详细描述
定积分的基本思想是“分割、近似、求和、取极限”，在平面图形面积计算中，可以将图形分割成若干小矩形或梯形，然后求和得到面积的近似值，最后取极限得到精确值。
例如，计算由曲线y=f(x)与直线x=a,x=b以及x轴所围成的曲线下方的面积。

高考数学(理)一轮专题重组卷：第一部分专题四导数及其应用、定积分 Word版含解析

专题四导数及其应用、定积分本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( )A ．a ＝e ，b ＝－1B ．a ＝e ，b ＝1C ．a ＝e －1，b ＝1D ．a ＝e －1，b ＝－1答案 D解析 y ′＝a e x ＋ln x ＋1，k ＝y ′|x ＝1＝a e ＋1，∴切线方程为y －a e ＝(a e ＋1)(x －1)，即y ＝(a e ＋1)x －1.又∵切线方程为y ＝2x ＋b ，∴⎩⎨⎧a e ＋1＝2，b ＝－1，即a ＝e －1，b ＝－1.故选D. 2．(2019·陕西九校质量考评)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ex ，x ≥0，－x ，x ＜0，又函数g (x )＝f 2(x )＋tf (x )＋1(t ∈R )有4个不同的零点，则实数t 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－e 2＋1e B.⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2＋1e ，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－e 2＋1e ，－2D.⎝⎛⎭⎪⎫2，e 2＋1e 答案 A解析由已知有f (x )＝xe x (x ≥0)，f ′(x )＝1－x e x ，易得0≤x ＜1时，f ′(x )＞0，x ＞1时，f ′(x )＜0，即f (x )在[0,1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数，设m ＝f (x )，则h (m )＝m 2＋tm ＋1，设h (m )＝m 2＋tm ＋1的零点为m 1，m 2，则g (x )＝f 2(x )＋tf (x )＋1(t ∈R )有4个不同的零点，等价于t ＝f (x )的图象与直线m ＝m 1，m ＝m 2的交点有4个，函数t ＝f (x )的图象与直线m ＝m 1，m ＝m 2的位置关系如图所示，由图知，0＜m 2＜1e ＜m 1，即h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＜0，解得t ＜－e 2＋1e ，故选A.3．(2019·福建漳州高三下学期第二次教学质量监测)已知f (x )＝e 2x ＋e x ＋2－2e 4，g (x )＝x 2－3a e x ，A ＝{x |f (x )＝0}，B ＝{x |g (x )＝0}，若存在x 1∈A ，x 2∈B ，使得|x 1－x 2|＜1，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，4e 2B.⎝ ⎛⎦⎥⎤13e ，43e 2 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13e ，83e 2 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13e ，8e 2 答案 B解析因为f (x )＝e 2x ＋e x ＋2－2e 4＝(e x －e 2)(e x ＋2e 2)，令f (x )＝0，解得x 1＝2，又|x 1－x 2|＜1，则|2－x 2|＜1，即1＜x 2＜3，即g (x )＝x 2－3a e x 在(1,3)上存在零点，即x 2－3a e x ＝0在(1,3)上有解，得3a ＝x 2e x 在(1,3)上有解，设h (x )＝x 2e x ，x ∈(1,3)，由h ′(x )＝x (2－x )e x ，所以h (x )在(1,2)上为增函数，在(2,3)上为减函数，又h(1)＝1 e，h(2)＝4e2，h(3)＝9e3＞h(1)，所以1e＜h(x)≤4e2，所以只需1e＜3a≤4e2，即13e＜a≤43e2，故选B.4．(2019·全国卷Ⅱ)曲线y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线方程为() A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0答案 C解析设y＝f(x)＝2sin x＋cos x，则f′(x)＝2cos x－sin x，∴f′(π)＝－2，∴曲线在点(π，－1)处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0.故选C.5. (2019·娄底二模)如图，在矩形OABC中的曲线分别是y＝sin x，y＝cos x的一部分，A⎝⎛⎭⎪⎫π2，0，C(0,1)，在矩形OABC内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为P1，取自非阴影部分的概率为P2，则()A．P1<P2B．P1>P2C．P1＝P2D．大小关系不能确定答案 B解析根据题意，阴影部分的面积的一半为⎠⎜⎛π4(cos x－sin x)d x＝2－1，于是此点取自阴影部分的概率为P1＝2×2－1π2＝4(2－1)π＞4(1.4－1)3.2＝12.又P2＝1－P1<12，故P1>P2.故选B.6．(2019·内江一模)若函数f (x )＝33x 3＋ln x －x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的倾斜角是( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6 答案 B解析根据题意，设切线的斜率为k ，其倾斜角是θ， f (x )＝33x 3＋ln x －x ，则f ′(x )＝3x 2＋1x －1，则有k ＝f ′(1)＝3，则tan θ＝3，又由0≤θ<π，则θ＝π3.故选B.7．(2019·河南省八市重点高中第二次联合测评)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，1<x ≤4，x |x |，－1≤x ≤1，则⎠⎛-14 f (x )d x ＝( )A.14B.143 C ．7 D.212 答案 B解析函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，1<x ≤4，x |x |，－1≤x ≤1，则⎠⎛-14f (x )d x ＝⎠⎛-11x |x |d x ＋⎠⎛14x d x ＝0＋23x 32 ⎪⎪⎪41＝143.故选B.8．(2019·益阳市高三期末)已知变量x 1，x 2∈(0，m )(m >0)，且x 1<x 2，若恒成立，则m 的最大值为( )A ．e B. e C.1e D ．1 答案 A解析对不等式两边同时取对数得ln<ln，即x 2ln x 1<x 1ln x 2，即ln x 1x1<ln x 2x 2恒成立，设f (x )＝ln xx ，x ∈(0，m )，∵x 1<x 2，f (x 1)<f (x 2)，则函数f (x )在(0，m )上为增函数，函数的导数f ′(x )＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln xx 2，由f ′(x )>0得1－ln x >0得lnx <1，得0<x <e ，即函数f (x )的增区间为(0，e)，则m 的最大值为e.故选A.9．(2019·大庆铁人中学高三一模)函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的可导函数，导函数记为f ′(x )，当x >0且x ≠1时，2f (x )＋xf ′(x )x －1>0，若曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线斜率为－45，则f (1)＝( )A.25B.35C.45 D ．1 答案 A解析当x >0且x ≠1时，2f (x )＋xf ′(x )x －1>0，可得x >1时,2f (x )＋xf ′(x )>0；1>x >0时，2f (x )＋xf ′(x )<0，令g(x )＝x 2f (x )，x ∈(0，＋∞)．∴g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )＝x [2f (x )＋xf ′(x )]，可得x >1时，g ′(x )>0；1>x >0时，g ′(x )<0，可得函数g(x )在x ＝1处取得极小值，∴g ′(1)＝2f (1)＋f ′(1)＝0，f ′(1)＝－45，∴f (1)＝－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝25.故选A.10．(2019·江西新余四中、上高二中联考)定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，且对任意的不相等的实数x 1，x 2∈[0，＋∞)有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，若关于x的不等式f (2mx －ln x －3)≥2f (3)－f (－2mx ＋ln x ＋3)在x ∈[1,3]上恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12e ，1＋ln 66B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12e ，1＋ln 36 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，2＋ln 33 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，2＋ln 63 答案 B解析结合题意可知f (x )为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，故f (2mx －ln x －3)≥2f (3)－f (－2mx ＋ln x ＋3)可以转换为f (2mx －ln x －3)≥f (3)对应于x ∈[1,3]恒成立，即|2mx －ln x －3|≤3，即0≤2mx －ln x ≤6对x ∈[1,3]恒成立，即2m ≥ln xx 且2m ≤6＋ln x x 对x ∈[1,3]恒成立．令g (x )＝ln xx ，则g ′(x )＝1－ln x x 在[1，e)上递增，在(e,3]上递减．所以g (x )max ＝1e .令h (x )＝6＋ln x x ，则当x ∈[1,3]时，h ′(x )＝－5－ln xx 2<0，故h (x )在[1,3]上递减．所以h (x )min ＝6＋ln 33.故m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12e ，1＋ln 36.故选B. 11．(2019·天津高考)已知a ∈R ，设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2ax ＋2a ，x ≤1，x －a ln x ，x >1.若关于x 的不等式f (x )≥0在R 上恒成立，则a 的取值范围为( )A ．[0,1]B ．[0,2]C ．[0，e]D ．[1，e] 答案 C解析当x ≤1时，由f (x )＝x 2－2ax ＋2a ≥0恒成立，而二次函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝a ，所以当a ≥1时，f (x )min ＝f (1)＝1>0恒成立，当a <1时，f (x )min ＝f (a )＝2a －a 2≥0，∴0≤a <1. 综上，a ≥0.当x >1时，由f (x )＝x －a ln x ≥0恒成立，即a ≤xln x 恒成立．设g (x )＝xln x ，则g ′(x )＝ln x －1(ln x )2.令g ′(x )＝0，得x ＝e ，且当1<x <e 时，g ′(x )<0，当x >e 时，g ′(x )>0， ∴g (x )min ＝g (e)＝e ，∴a ≤e.综上，a 的取值范围是0≤a ≤e ，即[0，e ]．故选C.12．(2019·安徽淮北、宿迁一模)已知函数f (x )＝2x ＋e 2x －k ，g (x )＝ln (2x ＋4)－4e k －2x (e 为自然对数的底数)，若关于x 的不等式f (x )≤g (x )＋1有解，则k 的值为( )A ．－2－ln 2B ．2－ln 2C ．－3－ln 2D ．3－ln 2 答案 C解析由f (x )≤g (x )＋1即e 2x －k ＋4e k －2x ≤ln (2x ＋4)－2x ＋1(x >－2)， (*) 而e 2x －k ＋4e k －2x ≥2e 2x －k ·4e k －2x ＝4，当且仅当e 2x －k ＝2，即x ＝ln 2＋k2.记h (x )＝ln (2x ＋4)－2x ＋1，则h ′(x )＝1x ＋2－2，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－32时，h ′(x )>0，h (x )单调递增，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞时，h ′(x )<0，h (x )单调递减，得h (x )max ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝4，若(*)成立，则x ＝ln 2＋k 2＝－32，得k ＝－3－ln 2.故选C.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2019·武邑中学二调)设函数f (x )＝x 3－3x 2－ax ＋5－a ，若存在唯一的正整数x 0，使得f (x 0)＜0，则a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤13，54解析设g (x )＝x 3－3x 2＋5，h (x )＝a (x ＋1)，则g ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)， ∴当0＜x ＜2时，g ′(x )＜0，当x ＜0或x ＞2时，g ′(x )＞0，∴g (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， ∴当x ＝2时，g (x )取得极小值g (2)＝1，作出g (x )与h (x )的函数图象如图：显然当a ≤0时，g (x )＞h (x )在(0，＋∞)上恒成立，即f (x )＝g (x )－h (x )＜0无正整数解；要使存在唯一的正整数x 0，使得f (x 0)＜0，显然x 0＝2.∴⎩⎨⎧g (1)≥h (1)，g (2)＜h (2)，g (3)≥h (3)，即⎩⎨⎧3≥2a ，1＜3a ，5≥4a ，解得13＜a ≤54.14．(2019·全国卷Ⅰ)曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0,0)处的切线方程为________．答案 y ＝3x解析 y ′＝3(2x ＋1)e x ＋3(x 2＋x )e x ＝e x (3x 2＋9x ＋3)，∴斜率k ＝e 0×3＝3，∴切线方程为y ＝3x .15．(2019·武汉市二月调研)函数y ＝x ln (x ＋a )的图象在点(0,0)处的切线方程为y ＝x ，则实数a 的值为________．答案 e解析 y ′＝ln (x ＋a )＋xx ＋a，当x ＝0时，y ＝ln a ＝1，解得a ＝e. 16．(2019·江苏南通重点中学模拟)若函数f (x )在定义域D 内某区间H 上是增函数，且f (x )x 在H 上是减函数，则称y ＝f (x )在H 上是“弱增函数”．已知函数g (x )＝x 2＋(4－m )x ＋m 在(0,2]上是“弱增函数”，则实数m 的值为________．答案 4解析根据题意，由于函数f (x )在定义域D 内某区间H 上是增函数，且f (x )x 在H 上是减函数，则称y ＝f (x )在H 上是“弱增函数”，则可知函数g (x )＝x 2＋(4－m )x ＋m 在(0,2]上是“弱增函数”，则在给定区间是递增函数，开口向上，则对称轴－4－m2≤0，∴m ≤4，g (x )x ＝x 2＋(4－m )x ＋m x ＝x ＋m x ＋4－m 在(0,2]上单调递减，那么⎝ ⎛⎭⎪⎫g (x )x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m x ＋4－m ′＝1－m x 2≤0，x ∈(0,2]，∴1－m 4≤0，m ≥4.综上所得m ＝4.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2019·漳州质量监测)已知函数f (x )＝x ln x . (1)若函数g (x )＝f (x )x 2－1x ，求g (x )的极值； (2)证明：f (x )＋1＜e x －x 2.(参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10，e32 ≈4.48，e 2≈7.39)解 (1)∵g (x )＝ln x －1x (x ＞0)，故g ′(x )＝2－ln xx 2，令g ′(x )＞0，解得0＜x ＜e 2，令g ′(x )＜0，解得x ＞e 2，故g (x )在(0，e 2)单调递增，在(e 2，＋∞)单调递减，故g (x )的极大值＝g (e 2)＝1e 2.(2)证明：要证f (x )＋1＜e x －x 2. 即证e x －x 2－x ln x －1＞0，先证明ln x ≤x －1，取h (x )＝ln x －x ＋1，则h ′(x )＝1－xx ，易知h (x )在(0,1)单调递增，在(1，＋∞)单调递减，故h (x )≤h (1)＝0，即ln x ≤x －1，当且仅当x ＝1时取“＝”，故x ln x ≤x (x －1)，e x －x 2－x ln x －1≥e x －2x 2＋x －1，故只需证明当x ＞0时，e x －2x 2＋x －1＞0恒成立，令k (x )＝e x －2x 2＋x －1(x ≥0)，则k ′(x )＝e x －4x ＋1，令F (x )＝k ′(x )，则F ′(x )＝e x －4，令F ′(x )＝0，解得x ＝2ln 2，故x ∈(0,2ln 2]时，F ′(x )≤0，F (x )单调递减，即k ′(x )单调递减， x ∈(2ln 2，＋∞)时，F ′(x )＞0，F (x )单调递增，即k ′(x )单调递增，且k ′(2ln 2)＝5－8ln 2＜0，k ′(0)＝2＞0，k ′(2)＝e 2－8＋1＞0，由零点存在定理，可知∃x 1∈(0,2ln 2)，∃x 2∈(2ln 2,2)，使得k ′(x 1)＝k ′(x 2)＝0，故0＜x ＜x 1或x ＞x 2时，k ′(x )＞0，k (x )单调递增，当x 1＜x ＜x 2时，k ′(x )＜0，k (x )单调递减，故k (x )的最小值是k (0)＝0或k (x 2)，由k ′(x 2)＝0，得e x 2＝4x 2－1，k (x 2)＝e x 2－2x 22＋x 2－1＝－(x 2－2)(2x 2－1)， ∵x 2∈(2ln 2,2)，∴k (x 2)＞0，故x ＞0时，k (x )＞0，原不等式成立．18．(本小题满分12分)(2019·张掖一诊)已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋bx (其中a ，b 为常数且a ≠0)在x ＝1处取得极值．(1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0，e]上的最大值为1，求a 的值．解 (1)因为f (x )＝ln x ＋ax 2＋bx ，所以f ′(x )＝1x ＋2ax ＋b ，因为函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋bx 在x ＝1处取得极值，所以f ′(1)＝1＋2a ＋b ＝0. 当a ＝1时，b ＝－3，f ′(x )＝2x 2－3x ＋1x ，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：所以f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，(1，＋∞)单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.(2)因为f ′(x )＝(2ax －1)(x －1)x.令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝12a因为f (x )在x ＝1处取得极值，所以x 2＝12a ≠x 1＝1，当12a ＜0时，f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，e]上单调递减，所以f (x )在区间(0，e]上的最大值为f (1)，令f (1)＝1，解得a ＝－2. 当a ＞0，x 2＝12a ＞0；当12a ＜1时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，1上单调递减，在(1，e)上单调递增．所以最大值1可能在x ＝12a 或x ＝e 处取得，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝ln 12a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2－(2a ＋1)12a ＝ln 12a －14a －1＜0，所以f (e)＝ln e ＋a e 2－(2a ＋1)e ＝1，解得a ＝1e －2. 当1≤12a ＜e 时，f (x )在区间(0,1)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，e 上单调递增，所以最大值1可能在x ＝1或x ＝e 处取得，而f (1)＝ln 1＋a －(2a ＋1)＜0，所以f (e)＝ln e ＋a e 2－(2a ＋1)e ＝1，解得a ＝1e －2，与1＜x 2＝12a ＜e 矛盾，当x 2＝12a ≥e 时，f (x )在区间(0,1)上单调递增，在(1，e)上单调递减，所以最大值1可能在x ＝1处取得，而f (1)＝ln 1＋a －(2a ＋1)＜0，不符合题意．综上所述，a ＝1e －2或a ＝－2.19．(本小题满分12分)(2019·四川成都一诊)已知函数f (x )＝－a ln x －e xx ＋ax ，a ∈R .(1)当a <0时，讨论函数f (x )的单调性；(2)当a ＝1时，若关于x 的不等式f (x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x e x －bx ≥1恒成立，求实数b 的取值范围．解 (1)由题意，知f ′(x )＝－a x －x e x －e xx 2＋a ＝(ax －e x )(x －1)x 2.∵当a <0，x >0时，有ax －e x <0.∴当x >1时，f ′(x )<0；当0<x <1时，f ′(x )>0.∴函数f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． (2)由题意，当a ＝1时，不等式f (x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x e x －bx ≥1恒成立．即x e x －ln x ＋(1－b )x ≥1恒成立，即b －1≤e x －ln x x －1x 恒成立，令g (x )＝e x －ln x x －1x .则g ′(x )＝e x－1－ln x x 2＋1x 2＝x 2e x ＋ln xx 2.令h (x )＝x 2e x ＋ln x ．则h ′(x )＝(x 2＋2x )e x ＋1x . ∵当x >0时，有h ′(x )>0. ∴h (x )在(0，＋∞)上单调递增，且 h (1)＝e>0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 4－ln 2<0.∴函数h (x )有唯一的零点x 0，且12<x 0<1.∴当x ∈(0，x 0)时，h (x )<0，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x ∈(x 0，＋∞)时，h (x )>0，g ′(x )>0，g (x )单调递增．即g (x 0)为g (x )在定义域内的最小值． ∴b －1≤e x 0 －ln x 0x 0－1x 0.∵h (x 0)＝0，得x 0e x 0 ＝－ln x 0x 0，12<x 0<1.(*)令k (x )＝x e x ，12<x <1.∴方程(*)等价于k (x )＝k (－ln x )，12<x <1. 而k ′(x )＝(x ＋1)e x 在(0，＋∞)上恒大于零， ∴k (x )在(0，＋∞)上单调递增．故k (x )＝k (－ln x )等价于x ＝－ln x ，12<x <1. 设函数m (x )＝x ＋ln x ，12<x <1.易知m (x )单调递增．又m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12－ln 2<0，m (1)＝1>0，∴x 0是函数m (x )的唯一零点．即ln x 0＝－x 0，e x 0 ＝1x 0.故g (x )的最小值g (x 0)＝e x 0 －ln x 0x 0－1x 0＝1x 0－(－x 0)x 0－1x 0＝1.∴实数b 的取值范围为(－∞，2]．20．(本小题满分12分)(2019·开封模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1e x .(1)当a ＝b ＝1时，求函数f (x )的极值；(2)若f (1)＝1，且方程f (x )＝1在区间(0,1)内有解，求实数a 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －1e x ，当a ＝b ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋xe x ，f ′(x )>0，得0<x <1，∴f (x )在(0,1)上单调递增；f ′(x )<0，得x <0或x >1，∴f (x )在(－∞，0)和(1，＋∞)上单调递减． ∴f (x )的极小值为f (0)＝1，极大值为f (1)＝3e .(2)由f (1)＝1得b ＝e －1－a ，由f (x )＝1得e x ＝ax 2＋bx ＋1，设g (x )＝e x －ax 2－bx －1，则g (x )在(0,1)内有零点，设x 0为g (x )在(0,1)内的一个零点，由g (0)＝g (1)＝0知g (x )在(0，x 0)和(x 0,1)不单调．设h (x )＝g ′(x )，则h (x )在(0，x 0)和(x 0,1)上均存在零点，即h (x )在(0,1)上至少有两个零点．g ′(x )＝e x －2ax －b ，h ′(x )＝e x －2a ，当a ≤12时，h ′(x )>0，h (x )在(0,1)上单调递增，h (x )不可能有两个及两个以上零点，当a ≥e2时，h ′(x )<0，h (x )在(0,1)上单调递减，h (x )不可能有两个及两个以上零点，当12<a <e2时，令h ′(x )＝0得x ＝ln (2a )∈(0,1)，∴h (x )在(0，ln (2a ))上单调递减，在(ln (2a )，1)上单调递增，h (x )在(0,1)上存在最小值h (ln (2a ))，若h (x )有两个零点，则有h (ln (2a ))<0，h (0)>0，h (1)>0， h (ln (2a ))＝3a －2a ln (2a )＋1－e ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<a <e 2，设φ(x )＝32x －x ln x ＋1－e(1<x <e)，则φ′(x )＝12－ln x ，令φ′(x )＝0，得x ＝e ，当1<x <e 时，φ′(x )>0，φ(x )单调递增；当e<x <e 时，φ′(x )<0，φ(x )单调递减． ∴φ(x )max ＝φ(e)＝e ＋1－e<0， ∴h (ln (2a ))<0恒成立．由h (0)＝1－b ＝a －e ＋2>0，h (1)＝e －2a －b >0，得e －2<a <1.21．(本小题满分12分)(2019·陕西四校联考)已知函数f (x )＝e －x －ax (x ∈R )，g (x )＝ln (x ＋m )＋ax ＋1.(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈(－m ，＋∞)，恒有f (－x )≥g (x )成立，求实数m 的取值范围．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝e －x ＋x ，则 f ′(x )＝－1e x ＋1.令f ′(x )＝0，得x ＝0. 当x <0时，f ′(x )<0；当x >0时，f ′(x )>0.∴函数f (x )在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增．∴当x ＝0时，函数f (x )取得最小值，其值为f (0)＝1. (2)由(1)得，e x ≥x ＋1恒成立．f (－x )≥g (x )⇒e x ＋ax ≥ln (x ＋m )＋ax ＋1⇒e x ≥ln (x ＋m )＋1.①当x ＋1≥ln (x ＋m )＋1恒成立时，即m ≤e x －x 恒成立时，条件必然满足．设G (x )＝e x －x ，则G ′(x )＝e x －1，在区间(－∞，0)上，G ′(x )<0，G (x )是减函数，在区间(0，＋∞)上，G ′(x )>0，G (x )是增函数，即G (x )的最小值为G (0)＝1.于是当m ≤1时，条件满足．②当m >1时，f (0)＝1，g (0)＝ln m ＋1>1，即f (0)<g (0)，条件不满足．综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]．22．(本小题满分12分)(2019·天津高考)设函数f (x )＝e x cos x ，g (x )为f (x )的导函数．(1)求f (x )的单调区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时，证明f (x )＋g (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ≥0；(3)设x n 为函数u (x )＝f (x )－1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π4，2n π＋π2内的零点，其中n ∈N ，证明2n π＋π2－x n <e －2n πsin x 0－cos x 0.解 (1)由已知，有f ′(x )＝e x (cos x －sin x )．因此，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )时，有sin x >cos x ，得f ′(x )<0，则f (x )单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－3π4，2k π＋π4(k ∈Z )时，有sin x <cos x ，得f ′(x )>0，则f (x )单调递增．所以，f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π4，2k π＋π4(k ∈Z )，f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )． (2)证明：记h (x )＝f (x )＋g (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x .依题意及(1)，有g (x )＝e x (cos x －sin x )，从而g ′(x )＝－2e x sin x . 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2时，g ′(x )<0，故h ′(x )＝f ′(x )＋g ′(x )⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋g (x )(－1)＝g ′(x )⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x <0.因此，h (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递减，进而h (x )≥h ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0.所以，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时，f (x )＋g (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ≥0.(3)证明：依题意，u (x n )＝f (x n )－1＝0，即e x n cos x n ＝1. 记y n ＝x n －2n π，则y n ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，且f (y n )＝e y n cos y n ＝e x n －2nπcos(x n －2n π)＝e －2n π(n ∈N )．由f (y n )＝e －2n π≤1＝f (y 0)及(1)，得y n ≥y 0. 由(2)知，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2时，g ′(x )<0，所以g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数，因此g (y n )≤g (y 0)<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0.又由(2)知，f (y n )＋g (y n )⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－y n ≥0，故π2－y n ≤－f (y n )g (y n )＝－e －2n πg (y n )≤－e －2n πg (y 0)＝e－2n πe y 0 (sin y 0－cos y 0)<e －2n πsin x 0－cos x 0.所以2n π＋π2－x n <e －2n πsin x 0－cos x 0.。

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