2017上海各区数学一模 24、25汇总 - 解析
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2017年上海市一模压轴题 解析
一、（2017徐汇一模）
24． 解：（1）∵抛物线32
++-=bx x y 与y 轴交于点C ，∴)3,0(C ；
又抛物线32
++-=bx x y 与x 轴交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），
∵OC OB =；∴)0,3(B ；∴0339=++-b ，解得2=b ；∴322
++-=x x y ；∴
)4,1(D ．
（2）∵OC OB =，∴︒=∠=∠45OBC OCB ； ∵)3,0(C ，)4,1(D ，∴
︒=∠45DCy ；
∴︒=︒⨯-︒=∠90452180DCB ；∴32
2
3cot ===
∠DC BC DBC ． （3）由322
++-=x x y ，可得)0,1(-A ．在AOC ∆和BCD ∆中，
3==CD
BC
AO CO ， ︒=∠=∠90DCB AOC ，∴AOC ∆∽BCD ∆，∴CBD ACO ∠=∠； 又CBD E OCB ACO ACB ∠+∠=∠+∠=∠，∴︒=∠=∠45OCB E ； 当EBM ∆和ABC ∆相似时，已可知CBA E ∠=∠；
又点M 在线段CA 延长线上，EBA ACB ∠=∠，∴可得ACB EMB ∠=∠； ∴23==BC MB ；
由题意，得直线AC 的表达式为33+=x y ；设)33,(+x x M ． ∴18)33()3(2
2
=++-x x ，解得5
6
1-=x ，02=x （舍去）；∴点M 的坐标是)5
3,56(--． 25．（本题满分14分）
解：（1）过点D 作AC DF //．交BP 于点F ．
∴
21
==QE DQ PE DF ；又BC DE //，∴1==AB
AC BD EC ； ∴x BD EC ==；y x PE --=3；
Q
P
D
B
A
C E F
∵AC DF //，∴
AB BD AP DF =；即323x
y y x =--，∴3
239+-=x x y ；定义域为：30< ∴当PEQ ∆是等腰三角形时，PBC ∆也是等腰三角形； ︒1当BC PB =时，ABC ∆∽PBC ∆；∴AC CP BC ⋅=2； 即)3(34y -=，解得35= y ，∴ 353239=+-x x ，解得19 12 ==x BD ； ︒2当2==BC PC 时，1==y AP ；∴ 13239=+-x x ，5 6 ==x BD ； ︒3当PB PC =时，点P 与点A 重合，不合题意． （3）∵BC DE //，∴︒=∠+∠180CBD BDQ ；又CQB ∠和CBD ∠互补， ∴︒=∠+∠180CBD CQB ；∴BDQ CQB ∠=∠；∵CE BD =， ∴四边形BCED 是等腰梯形；∴CED BDE ∠=∠；∴CED CQB ∠=∠； 又CED ECQ CQB DQB ∠+∠=∠+∠，∴ECQ DQB ∠=∠；∴BDQ ∆∽ QEC ∆；∴ EC DQ QE BD =：即2 22x DQ =，∴2x DQ =，2 3x DE =； ∵BC DE //，∴ AB AD BC DE =；即332 23x x -=； 解得 7324 254-=x ． 二、（2017黄埔一模） 24．（本题满分12分） 解：（1）令抛物线的表达式为c bx ax y ++=2 ，由题意得：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++64160390c b a c b a c b a ，解得： ⎪⎩ ⎪⎨⎧=-==682c b a ，所以抛物线的表达式为6822 +-=x x y . （2）由（1）得平移前抛物线的对称轴为直线x =2，顶点为()2,2-. 则平移后抛物线的对称轴为直线x =8，令()0,8a D -，其中0>a ，则()0,8a E +. 由题意知： AC AE AD AC =，即AE AD AC •=2 ， 则()()181806142 2 -+•--=-+-a a ， 解得：22,1±=a ，944,3±=a ，其中负值舍去，当94=a ，不合题意舍去. 所以()0,6D ，()0,10E . 令平移后抛物线为e dx x y ++=2 2，则⎪⎩⎪⎨⎧=++⨯=++⨯0 101020 6622 2 e d e d ， 解得：⎩⎨ ⎧=-=120 32e d ，即平移后抛物线为1203222 +-=x x y ， 平移后抛物线的顶点为()8,8-，所以k =6，平移方向为向下. 25．（本题满分14分） 解：（1）在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =3，BC =4，∴AB =5，sinA = 54，tanB =4 3. 当CD ⊥AB 时，△ACD 为直角三角形， ∴CD =512sin = •A AC ，5 92 2=-=CD AC AD . 又在Rt △CDE 中，59tan = ∠•=DCE CD DE ，∴5 7 =--=DE AD AB BE .