沪教版(上海)数学高三上册-16.5 二项式定理 教案

二项式定理
【教学目标】
1.理解二项式定理及其形成过程，掌握通项；
2.经历二项式定理的形成过程，感悟由特殊到一般的数学思想方法，在初步应用中体会转化思想；
3. 体会二项展开式的和谐美、对称美，体验成功解题带来的喜悦。

【教学重点】二项式定理及通项的应用； 【教学难点】理解二项式定理的形成过程； 【教学过程】 一.情境导入-提出问题
牛顿，被誉为人类历史上最伟大的科学家之一，他不仅是一位物理学家，还是一位伟大的数学家，他在数学上第一个伟大的发现就是今天我们要学习的课题——二项式定理。

那么牛顿究竟是如何发现二项式定理的呢？
1664年冬，牛顿研读沃利斯博士的《无穷算术》……
=+2)(b a +2a +ab 22b
=+3)(b a +3a +b a 23+23ab 3b =+4)(b a ？
……
师：你知道=+4)(b a ？（学生计算得出=+4)(b a +4a +b a 34+226b a +34ab 4b ） 师：接下来，你会思考什么问题？ 一般情形下，?)(=+n b a （*N n ∈） 二.探究发现-提炼规律
师：要研究这个问题，我们从哪里入手？
（要研究一般的情形，可以从特殊情形入手，从特殊到一般是研究问题的常用方法） 师：请同学们从=+2)(b a +2a +ab 22b 的生成过程思考两个问题： （1） 展开式中的三项2a 、ab 、2b 是如何得到的？ （2） 各项的系数是如何确定的？ …… 总结两点：
（1）展开式的每一项都是从每一个括号里各任取一个字母的相乘得到的（多项式相乘原理）； （2）要确定某一项的系数，须弄清都有哪些情形相乘可以得到该项，如2a （1种情形），ab （两种情形）（组合定义）；
师：不作多项式运算，你能否说出3
)(b a +、4
)(b a +的展开式。

……
（以四次方为例，我们如果根据所取b 的个数分类：
都不取)(4
a b ；取1个)(3
b a b ；取2个)(2
2b a b ；取3个)(3
ab b ；取4个)(4
a b ； 各项系数分别是0
4C ，1
4C ，2
4C ，3
4C ，4
4C .（注意说明两点：1是项的形式，2是项的系数）
由此确定4
)(b a +的展开式：4)(b a +＝+404a C +b a C 314+2224b a C +33
4ab C 444b C ＝+4a +b a 34+226b a +34ab 4b 。

） 提出问题：你能写出n
b a )(+展开式吗？
（+++=+- b a C a C b a n n n n n 110)(+n
n n b C + .）
师：项在变，系数也在变，你能否用一个统一的式子将这个规律表示出来？
…… （r r
n r
n b a
C -为展开式的第？项）
1.二项式定理：
01()()n n n
r n r r
n n
n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=++
++
+∈
◆这个公式所表示的定理叫二项式定理，左边的式子叫做二项式，右边的多项式叫()n
a b +的二项展开式。

◆1r n r r
r n T C a b -+=(n r ,2,1,0 =)，因r 的不同可以表示展开式中不同的项，我们把它叫通项。

◆各项的系数(0,1,
)r
n C r n =叫二项式系数。

【思考】对于二项式定理的证明，除用组合定义说明之外，还可以用什么方法来证明？ （与自然数n 有关的命题，会想到数学归纳法，证明留在课后完成） 2.二项展开式特征：
（我们可以从展开式的项、项的变化规律、项数、系数等方面探究二项式定理特征） (1)项数：1n +项； (2)各项特点：
S: 各项都是n 次式
T:你能否发现a 、b 的结构规律？
如：按二项式中第二项b 的升幂排列，次数由0到n ； （或按二项式中第一项a 的降幂排列，次数由n 递减到0。

） (3)二项式定理中的a ，b 的概念是广义的：
如设1,a b x ==，则1
(1)1n r r n n n x C x C x x +=++
++
+。

三.初步应用-拓展思维 例1：求4)1
2(x
x -的二项展开式．
两种方法
例2：（1）求6
(23)a b +展开式中的第3项
（2）求6(32)b a +展开式中的第3项
解：（1）2422242
632160)9)(16(15)3()2(b a b a b a C T ===
（2）424242
634860)4)(81(15)2()3(b a a b a b C T ===
T:比较两题，求二项展开式的某一项时要注意什么？ （公式中的a 、b 不能互换）
T ：第(2)题的二项式系数是多少？该项的系数是多少？两者相同吗？ （“二项式系数”与“系数”不一定相同，这点要注意区别） 例3．（1）求9
(
3x +
的展开式中倒数第四项；
（2）求9
(
3x +的展开式中的中间两项 （3）求9
(
3x +的展开式中的常数项； （4）9
(
3x 的展开式中有理项共有（ ）项； C A.3项B.4项C.5项D.6项
（5）求9
(
3x -
展开式中3x 项的二项式系数及3x 项的系数。

解：∵39929
2
19
9()33r r r r r r r x T C C x ---+==⋅， ∴（1）（3）当3
90,62
r r -==时展开式是常数项，即常数项为637932268T C =⋅=； （2）9
(
3x +
的展开式共10项，它的中间两项分别是第5项、第6项，
3
16
99
849
5423
x x
C T ==--，1595109
2
69
3
T C x
-
-=⋅=（5）399292
19
9()((1)33r r r r r r r
r x T C C x ---+==-⋅,当393,42r r -==时，展开式中3x 项的二项式系数与3x 项的系数分别为4942C =和414
59(1)314t C -=-⋅=
◆（1）求展开式中的指定项（第n 项、中间项、常数项、有理项等）或指定项的系数，关键是要正确写出通项公式；
（2）分析通项公式时，将根号化为分指数是关键的一步。

【思维拓展】
1.在）1（-x ）2（-x ）3（-x ）4（-x ）
5（-x 的展开式中含4x 项的系数是； 2.求展开式
5
2
）23（++x x 展开式中x 的系数。

法1：三项转化两项（因式分解），通项； 法2：用多项式相乘原理及组合定义
）23（2++x x ）23（2++x x ）23（2++x x ）23（2++x x ）23（2++x x
5324⨯⨯=240.
3.化简（1）5
432)1()1(5)1(10)1(10)1(5
1-+-+-+-+-+x x x x x （2）n
n n n n n n n C C C C 22421121++++--
（3）n
n n n n
n n n n C C C C C ）1-（)1(-11210+-+++-- ◆注意观察每个式子中对应于定理中的a 、b 分别是何量，也注意正负号。

小结：1.理解二项式定理的形成过程并准确地掌握二项式定理；
清楚一些概念：如二项式系数、系数、有理项等
2.会用通项求指定项，并能够适时地应用组合定义解决问题；
作业：1，练习；
2.用数学归纳法证明二项式定理。

证明二项式定理
证明：（1）略
（2）假设当k n =时等式成立，即
=+k b a )(+k k a C 0
++- b a k k C 11
++- r r k r
k b a C k k
k b C
则当1+=k n 时
=++=++)()()(1b a b a b a k k +k k a C 0
(++- b a k k C 11
++- r r k r
k b a C ))(b a b k k
k C +
=++10k k
a C ++
b a k k C 1+++-+ 11r r k r k b a C k k k ab C 1110+-+-++++++k k
k k k k r r k r k k k b ab b a b a C C C C ++++=- b a a k k k r k k C C C )(0
1
++++-+ 11
)(r r k r
k r k b a C C 11
)(+-++k k
k k k k k
k b ab C C C
C C
k k
010+=，C C C k k k 1101+=+，
……，C C C r k r k r k 111+++=+，……，C C C k k k k k k 11+-=+，C C k k k k 1
1++= +=++++10
11)(k k k a b a C +++++-+++ 11
111
1r r k k k k k b a b a C C 11
11+++++k k k k k
k b ab C C （以下证明略）
注：1.在数学归纳法证明过程中，在证明当1+=k n 时命题成立之前，往往先列出证明目标，这样做，目标明确，少走弯路.
2.此处证明应用组合数性质：C C C m n m n m n
11+-=+，在复习时已提到过，也算是前呼后应.。