《柱、锥、台的体积》示范公开课教学设计【高中数学必修2(北师大版)

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1.7.2棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积教案 (高中数学必修二北师大版)

7.2棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)理解棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积公式．(2)熟练运用体积公式求多面体和旋转体的体积．2．过程与方法通过对照比较，理顺柱体、锥体、台体三者的体积关系，培养空间想象能力和思维能力．3．情感、态度和价值观通过学习，感受几何体积的求解过程，对自己空间思维能力影响，从而增强学习的积极性．●重点难点重点：柱体、锥体、台体的体积计算公式．难点：体积公式的应用．(教师用书独具)●教学建议通过阅读教材，自主学习、思考、交流，讨论和概括，通过剖析实物几何体感受几何体的特征，从而熟练体积的计算公式，完成本节课的教学目标．●教学流程创设问题情境，提出问题⇒引导学生回答问题，理解体积公式⇒通过例1及变式训练，使学生掌握柱体的体积问题⇒通过例2及互动探究，使学生掌握锥体的体积问题⇒通过例3及变式训练，使学生掌握如何求台体体积问题⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈、矫正长方体的体积公式是什么？长方体能否分为两个全等的三棱柱？其体积与长方体体积有什么关系？【提示】 V ＝Sh ，能，12Sh .已知直四棱柱的底面为菱形，两个对角面的面积分别为2 cm 2 3 cm 2，侧棱长为2 cm ，求其体积．【思路探究】设出底面菱形的两条对角线长，表示出两个对角面的面积，然后利用两条对角线表示底面菱形的面积，代入棱柱的体积公式即可．【自主解答】如图所示，设底面菱形的对角线AC ，BD 长分别为x cm ，y cm ，又该棱柱是直棱柱，两个对角面都是矩形，故有⎩⎪⎨⎪⎧ x ×2＝2，y ×2＝23，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，底面菱形的面积S ＝12xy ＝32(cm 2)，所以该棱柱的体积为V ＝Sh ＝32×2＝3(cm 3)．1．本题中巧用了菱形的对角线求出底面面积．2．求柱体的体积关键是求底面积和高，而底面积的求解要根据平面图形的性质灵活处理．熟记常见平面图形的面积的求法是解决此类问题的关键．一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比．【解】设正方体边长为a ，圆柱高为h ，底面半径为r ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝πr 2， ①2πrh ＝4a 2， ②由①得r ＝ππa ，由②得πrh ＝2a 2，∴V 圆柱＝πr 2h ＝2ππa 3， ∴V 正方体∶V 圆柱＝a 3∶(2ππa 3)＝π2∶1＝π∶2.如图1－7－7所示是一个几何体的主视图和俯视图． (1)试判断这个几何体的形状；(2)请画出它的左视图，并求该平面图形的面积； (3)求该几何体的体积．图1－7－7【思路探究】解答本题可先根据主视图、俯视图判断这个几何体的形状，再画出左视图，求几何体的体积．【自主解答】 (1)根据几何体的主视图和俯视图，可知该几何体是一个底面是正六边形，侧棱都相等的六棱锥．(2)该几何体的左视图为△ABC(如图所示)，其中AB ＝AC ，AD ⊥BC ，且BC ＝3a ， AD 是六棱锥的高，根据主视图易知AD ＝3a ， ∴该左视图的面积为 123a ·3a ＝32a 2. (3)设六棱锥的底面积是S ，体积为V ，则S ＝6×34a 2＝332a 2， ∴V ＝13×332a 2×3a ＝32a 3.1．求棱锥的体积关键在于求棱锥的底面积和高，往往在求高时，需用到线面垂直的判定方法，因为棱锥的高实际上是顶点向底面作垂线，垂线段的长度．2．求解锥体体积时，要注意观察其结构特征，尤其是三棱锥，三棱锥又称为四面体，它的每一个面都可以当作底面来处理，这一方法又叫作等体积转移法(或等体积法)．。

高一数学必修2《柱体、锥体、台体的表面积与体积》教案

高一数学必修2《柱体、锥体、台体的表面积与体积》教案教案是教师为顺利而有效地开展教学活动，根据教学大纲和教科书要求及学生的实际情况，以课时或课题为单位，对教学内容、教学步骤、教学方法等进行的具体设计和安排的一种实用性教学文书。

下面是店铺为大家整理的高一数学必修2《柱体、锥体、台体的表面积与体积》教案，希望对大家有所帮助!高一数学必修2《柱体、锥体、台体的表面积与体积》教案一、教学目标1、知识与技能(1)通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。

(2)能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。

(3)培养学生空间想象能力和思维能力。

2、过程与方法(1)让学生经历几何全的侧面展一过程，感知几何体的形状。

(2)让学生通对照比较，理顺柱体、锥体、台体三间的面积和体积的关系。

3、情感与价值通过学习，使学生感受到几何体面积和体积的求解过程，对自己空间思维能力影响。

从而增强学习的积极性。

二、教学重点、难点重点：柱体、锥体、台体的表面积和体积计算难点：台体体积公式的推导三、学法与教学用具1、学法：学生通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，通过剖析实物几何体感受几何体的特征，从而更好地完成本节课的教学目标。

2、教学用具：实物几何体，投影仪四、教学设想1、创设情境(1)教师提出问题：在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积和体积?引导学生回忆，互相交流，教师归类。

(2)教师设疑：几何体的表面积等于它的展开圈的面积，那么，柱体，锥体，台体的侧面展开图是怎样的?你能否计算?引入本节内容。

2、探究新知(1)利用多媒体设备向学生投放正棱柱、正三棱锥和正三棱台的侧面展开图(2)组织学生分组讨论：这三个图形的表面由哪些平面图形构成?表面积如何求?(3)教师对学生讨论归纳的结果进行点评。

3、质疑答辩、排难解惑、发展思维(1)教师引导学生探究圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的结构，并归纳出其表面积的计算公式:r1为上底半径 r为下底半径 l为母线长(2)组织学生思考圆台的表面积公式与圆柱及圆锥表面积公式之间的变化关系。

2021年高中数学新北师大版必修第二册第六章 6.2 柱、锥、台的体积教案

柱、锥、台的体积【教学过程】一、基础铺垫柱体、锥体、台体的体积公式：其中S′、S分别表示上、下底面的面积，h表示高，r′和r分别表示上、下底面圆的半径，R表示球的半径．二、合作探究1.求柱体的体积【例1】如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6 cm，高为3 cm，下面是正六棱柱，其底面边长为4 cm，高为2 cm，现从中间挖去一个直径为2 cm的圆柱，求此几何体的体积．[解] V 六棱柱＝34×42×6×2＝483(cm 3)，V 圆柱＝π·32×3＝27π(cm 3)，V 挖去圆柱＝π·12×(3＋2)＝5π(cm 3)，∴此几何体的体积：V ＝V 六棱柱＋V 圆柱－V 挖去圆柱＝(483＋22π)(cm 3)．【规律方法】计算柱体体积的关键及常用技巧（1）计算柱体体积的关键：确定柱体的底面积和高.（2）常用技巧：①充分利用多面体的截面及旋转体的轴截面，构造直角三角形，从而计算出底面积和高. ②由于柱体的体积仅与它的底面积和高有关，而与柱体是几棱柱，是直棱柱还是斜棱柱没有关系，所以我们往往把求斜棱柱的体积通过作垂直于侧棱的截面转化成求直棱柱的体积.2.求锥体的体积【例2】在如图三棱台ABC A 1B 1C 1中，AB ∶A 1B 1＝1∶2，求三棱锥A 1ABC ，三棱锥B A 1B 1C ，三棱锥C A 1B 1C 1的体积之比．[思路探究] AB ∶A 1B 1＝1∶2―→S △ABC ∶S △A 1B 1C 1―→计算VA 1ABC ―→计算VC A 1B 1C 1―→计算VB A 1B 1C[解] 设棱台的高为h ，S △ABC ＝S ，则S △A 1B 1C 1＝4S .∴VA 1ABC ＝13S △ABC ·h ＝13Sh ，VC A 1B 1C 1＝13S △A 1B 1C 1·h ＝43Sh .又V 台＝13h (S ＋4S ＋2S )＝73Sh ，∴VB A 1B 1C ＝V 台－VA 1ABC －VC A 1B 1C 1＝73Sh －Sh 3－4Sh 3＝23Sh ，∴体积比为1∶2∶4．【规律方法】三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可求锥体的体积和柱体或台体的体积关系，割补法在立体几何中是一种重要的方法．3.求台体的体积【例3】已知正四棱台两底面边长分别为20 cm 和10 cm ，侧面积是780 cm 2．求正四棱台的体积．[思路探究] 可以尝试借助四棱台内的直角梯形．求出棱台底面积和高，从而求出体积．[解] 如图所示，正四棱台ABCD A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1＝10 cm ，AB ＝20 cm.取A 1B 1的中点E 1，AB 的中点E ，则E 1E 是侧面ABB 1A 1的高．设O 1．O 分别是上、下底面的中心，则四边形EOO 1E 1是直角梯形．由S 侧＝4×12(10＋20)·E 1E ＝780，得EE 1＝13，在直角梯形EOO 1E 1中，O 1E 1＝12A 1B 1＝5，OE ＝12AB ＝10，∴O 1O ＝E 1E 2－OE －O 1E 12＝12，V 正四棱台＝13×12×(102＋202＋10×20)＝2 800 (cm 3)．故正四棱台的体积为2 800 cm 3．【规律方法】求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高．要注意充分运用棱台内的直角梯形或圆台的轴截面寻求相关量之间的关系．三、课堂总结1．本节课的重点是掌握柱体、锥体、台体的体积的求法．2．本节课要重点掌握的规律方法（1）求空间几何体的体积的方法．（2）求与组合体有关的体积的方法．3．本节课的易错点是求与三视图有关的几何体的体积时，易把相关数据弄错．四、课堂练习1．思考辨析（1）夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的某个平面所截，如果截得的两个截面面积相等，则这两个几何体的体积相等．()（2）锥体的体积只与底面积和高度有关，与其具体形状无关．()（3）由V锥体＝13S·h，可知三棱锥的任何一个面都可以作为底面．()[答案]（1）×（2）√（3）√2．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于() A．πB．2πC．4πD．8πB[设轴截面正方形的边长为a，由题意知S侧＝πa·a＝πa2．又∵S侧＝4π，∴a＝2．∴V圆柱＝π×2＝2π.]3．已知圆锥SO的高为4，体积为4π，则底面半径r＝________.3[由已知得4π＝13πr2×4，解得r＝ 3.]4．一个正三棱锥底面边长为6，侧棱长为15，求这个三棱锥体积．[解]如图所示，正三棱锥SABC．设H为正三角形ABC的中心，连接SH，则SH的长即为该正三棱锥的高．连接AH并延长交BC于E，则E为BC的中点，且AE⊥BC．∵△ABC是边长为6的正三角形，∴AE＝32×6＝3 3.∴AH＝23AE＝2 3.在△ABC 中，S △ABC ＝12BC ·AE ＝12×6×33＝9 3.在Rt △SHA 中，SA ＝15，AH ＝23， ∴SH ＝SA 2－AH 2＝15－12＝ 3.∴V S ABC ＝13S △ABC ·SH ＝13×93×3＝9．。

新教材高中数学第6章柱锥台的体积学案含解析北师大版必修第二册

新教材高中数学学案含解析北师大版必修第二册：6．2 柱、锥、台的体积学习任务核心素养1．掌握柱、锥、台的体积计算公式．(重点、难点)2．会利用柱、锥、台的体积公式求有关几何体的体积．(重点、难点)1．通过对柱、锥、台的体积公式的理解，培养学生直观想象素养．2．通过利用柱、锥、台的体积公式求几何体的体积，培养学生数学运算素养．南京青年奥运会的前奏是奥运圣火的传递，圣火由“幸福之门”火炬承载，传遍五洲四海，弘扬奥林匹克精神．“幸福之门”火炬外形是细长的圆台形式，燃料为丙烷．阅读教材，回答下列问题：问题1：能否计算出“幸福之门”火炬的外层着色需要覆盖多大的面积？问题2：能否计算其内部能盛装多少液态的丙烷？几何体体积公式柱体圆柱、棱柱V柱体＝ShS—柱体的底面积，h—柱体的高锥体圆锥、棱锥V锥体＝13ShS—锥体的底面积，h—锥体的高台体圆台、棱台V台体＝13(S上＋S下＋S上·S下)hS上、S下—台体的上、下底面积，h—台体的高提示：表面积变大了，体积不变．2．柱、锥、台体的体积公式之间有什么联系？提示：V 柱体＝Sh ――→S 上＝S 下――→S 上＝0V 锥体＝13Sh思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)锥体的体积等于底面积与高之积． ( ) (2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．( )提示：(1)错误．V 锥体＝13Sh ，S 为锥体底面积，h 为锥体的高．(2)正确．[答案] (1)× (2)√类型1 多面体的体积【例1】 (教材北师版P 240例4改编)如图，棱锥的底面ABCD 是一个矩形，AC 与BD 交于点M ，VM 是棱锥的高．若VM ＝4 cm ，AB ＝4 cm ，VC ＝5 cm ，求锥体的体积．[解] ∵VM 是棱锥的高， ∴VM ⊥MC .在Rt △VMC 中，MC ＝VC 2－VM 2＝52－42＝3(cm)，∴AC ＝2MC ＝6(cm). 在Rt △ABC 中，BC ＝AC 2－AB 2＝62－42＝25(cm).S 底＝AB ·BC ＝4×25＝85(cm 2)， ∴V 锥＝13S 底h ＝13×85×4＝3253(cm 3).∴棱锥的体积为3253cm 3.(1)锥体的体积公式V ＝13Sh 既适合棱锥，也适合圆锥，其中棱锥可以是正棱锥，也可以不是正棱锥．(2)求柱体的体积关键是求其底面积和高，底面积利用平面图形面积的求法，常转化为三角形及四边形，高常与侧棱、斜高及其在底面的投影组成直角三角形，进而求解．[跟进训练]1．如图是一个水平放置的正三棱柱ABC －A 1B 1C 1，D 是棱BC 的中点．其中AD ＝3，AA 1＝3，求正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积．[解] 在正三棱柱中，AD ＝3，AA 1＝3，从而在等边三角形ABC 中，AB ＝AD sin 60°＝332＝2，所以正三棱柱的体积V ＝Sh ＝12×BC ×AD ×AA 1＝12×2×3×3＝3 3.类型2 旋转体的体积【例2】体积为52 cm 3的圆台，一个底面面积是另一个底面面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积为( )A ．54 cm 3B ．54π cm 3C ．58 cm 3D ．58π cm 3A [由底面积之比为1∶9知，体积之比为1∶27，截得小圆锥与圆台体积比为1∶26，所以小圆锥体积为2 cm 3，故原来圆锥的体积为54 cm 3.]旋转体体积的求法要充分利用旋转体的轴截面，将已知条件尽量归结到轴截面中求解，分析题中给出的数据，列出关系式后求出有关的量，再根据几何体的体积公式进行运算、解答．(1)求台体的体积，其关键在于求高，在圆台中，一般把高放在等腰梯形中求解． (2)“还台为锥”是求解台体的体积问题的重要思想，作出截面图，将空间问题平面化，是解决此类问题的关键．[跟进训练]2．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( ) A ．π B ．2π C ．4πD ．8πB [设圆柱的底面半径为r ，则圆柱的母线长为2r ，由题意得S 圆柱侧＝2πr ×2r ＝4πr 2＝4π，所以r ＝1，所以V 圆柱＝πr 2×2r ＝2πr 3＝2π.] 类型3 体积的综合问题【例3】如图，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，E 为AA 1的中点，F 为CC 1上一点，求三棱锥A 1－D 1EF 的体积．1．三棱锥A －BCD 和B －ACD 的底面积、高分别相等吗？体积相等吗？[提示] 棱锥A －BCD 和B －ACD 的底面积、高可能不分别相等，但它们的体积相等． 2．由尝试与发现1可以得到什么启示？[提示] 求一个三棱锥的体积，当其底面积或高不易求出时，可通过转换其底面积和高来求其体积．3．观察可知三棱锥A 1－D 1EF 和F －A 1D 1E 的体积相等，但三棱锥F －A 1D 1E 的高易求，所以可求三棱锥F －A 1D 1E 的体积．[解] 由题可知V 三棱锥A 1－D 1EF ＝V 三棱锥F －A 1D 1E,∵S △A 1D 1E ＝12EA 1·A 1D 1＝14a 2，又三棱锥F －A 1D 1E 的高为CD ＝a ，∴V 三棱锥F －A 1D 1E ＝13×a ×14a 2＝112a 3，∴V 三棱锥A 1－D 1EF ＝112a 3.本例中条件改为点F 为CC 1的中点，其他条件不变，如图，求四棱锥A 1－EBFD 1的体积．[解] 因为EB ＝BF ＝FD 1＝D 1E ＝a 2＋⎝⎛⎭⎫a 22＝52a ，D 1F ∥EB ，所以四边形EBFD 1是菱形．连接EF ，则△EFB ≌△FED 1.因为三棱锥A 1－EFB 与三棱锥A 1－FED 1的高相等，所以V 四棱锥A 1－EBFD 1＝2V 三棱锥A 1－EFB ＝2V 三棱锥F －EBA 1. 又因为S △EBA 1＝12EA 1·AB ＝14a 2，所以V 三棱锥F －EBA 1＝112a 3，所以V 四棱锥A 1－EBFD 1＝2V 三棱锥F －EBA 1＝16a 3.求几何体体积的四种常用方法(1)公式法：规则几何体直接代入公式求解．(2)等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱、三棱柱补成四棱柱等． (4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．[跟进训练]3．如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为4的正方形，EF ∥AB ，EF ＝2，EF 上任意一点到平面ABCD 的距离均为3，求该多面体的体积．[解] 如图，连接EB ，EC .四棱锥E -ABCD 的体积V 四棱锥E -ABCD ＝13×42×3＝16.∵AB ＝2EF ，EF ∥AB ， ∴S △EAB ＝2S △BEF . ∴V 三棱锥F -EBC ＝V 三棱锥C -EFB ＝12V 三棱锥C -ABE ＝12V 三棱锥E -ABC ＝12×12V 四棱锥E -ABCD ＝4. ∴多面体的体积V ＝V 四棱锥E -ABCD ＋V 三棱锥F -EBC ＝16＋4＝20.1．已知高为3的直棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B 1—ABC 的体积为( )A ．14B ．12C ．36D ．34D [V ＝13Sh ＝13×34×3＝34.]2．棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则该棱台的体积是( ) A ．18＋62 B ．6＋2 2 C ．24D ．18B [V ＝13(2＋4＋2×4)×3＝6＋2 2.]3．如图，ABC A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C -AA ′B ′B 的体积是( )A ．13B ．12C ．23D ．34C [∵V C A ′B ′C ′＝13V ABC A ′B ′C ′＝13，∴V C AA ′B ′B ＝1－13＝23.]4.如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为( )A ．148B ．147C ．18D ．17B [设长方体的相邻三条棱长分别为a ，b ，c ，它截出棱锥的体积为V 1＝13×12×12a ×12b ×12c ＝148abc ，剩下的几何体的体积V 2＝abc －148abc ＝4748abc ，所以V 1∶V 2＝1∶47.] 5．若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的体积是________．12π [由已知圆锥的高h ＝52－32＝4，所以V 圆锥＝13π×32×4＝12π.]回顾本节内容，自我完成下面问题：求解几何体的体积时应注意哪些问题？提示：(1)求几何体的体积的难点是求出几何体的高，要善于利用线、面的位置关系求解． (2)对于棱锥体积的求解，当高不易求出时，要注意用换顶点法求解．(3)对不规则几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．。

高中数学必修二北师大版学案学生版60 柱、锥、台的体积(学生版)

课题：柱、锥、台的体积☆学生版☆
学习目标.理解棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积公式
.熟练运用体积公式求多面体和旋转体的体积
学习重点：理解棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积公式
学习难点：熟练运用体积公式求多面体和旋转体的体积
一、自主学习
问题：阅读课本页内容回答下面问题
( )
ππππ
二、合作探究
探究一、如图①是一个水平放置的正三棱柱，是棱的中点.正三棱柱的主视图如图②.
求正三棱柱的体积.
图
[再练一题]
一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比.
探究二、埃及胡夫金字塔大约建于公元前年,其形状为正四棱锥.金字塔高,底面边长.问这座金字塔的侧面积和体积各是多少?
探究三、如图，圆台高为，轴截面中母线与底面直径的夹角为°，轴截面中一条对角线垂直于腰，求圆台的体积.
图
[再练一题]
.已知正四棱台的上底边长为，下底边长为，高为，求此正四棱台的体积
四、课堂检测
课本页
五.课堂小结
课题：柱、锥、台的体积☆课时作业☆。

北师大版数学高一(北师大)必修2教案 1.7.2《柱体、锥体、台体的体积》

1.7.2《柱体、锥体、台体的体积》教学设计【教学目标】（1）了解几何体体积的含义，以及柱体、锥体与台体的体积公式.（不要求记忆公式）（2）熟悉台体与柱体和锥体之间体积的转换关系.（3）培养学生空间想象能力和思维能力.导入新课复习导入：1. 复习柱体、锥体、台体表面积求法及相互关系.2. 表面积公式的推导。

3. 我们已经学习了正方体，长方体以及圆柱的体积公式，它们的体积公式是什么？新授课阶段：对问题3的回答：这个公式推广到一般柱体也成立，即一般柱体体积. 公式：V = Sh (S 为底面面积，h为高)锥体包括圆锥和棱锥，锥体的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离(投影或作出). 锥体的体积公式都是V = 13Sh(S为底面面积，h为高)1.柱体、锥体、台体的体积1．柱体、锥体、台体的体积公式：V柱体= Sh (S是底面积，h为柱体高)V锥体=13Sh(S是底面积，h为锥体高)V台体=1()3S SS s h''++(S′，S分别为上、下底面面积，h为台体的高)例1 有一堆规格相同的铁制(铁的密度是7.8g/cm3)六角螺帽(如图)共重5.8kg，已知底面是正六边形，边长为12cm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个(π取3.14，可用计算器)？解：六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱体积的差，即2231012610 3.14()1042V =⨯⨯⨯-⨯⨯≈2956 (mm 3) = 2.956(cm 3) 所以螺帽的个数为5.8×1000÷(7.8×2.956)≈5.8×1000÷(7.8×2.956)≈ 252(个)答：这堆螺帽大约有252个.2．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系例2 已知等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）的全面积为S ，求其内接正四棱柱的体积.【解析】如图，设等边圆柱的底面半径为r ，则高h = 2r ，∵S = S 侧 + 2S 底 = 2rh π +2226r r ππ=，∴6S r π=. ∴内接正四棱柱的底面边长a =2r sin45°=2r .∴V = S 底·h =23(2)24r r r ⋅== 4·326()69S S S πππ=⋅，即圆柱的内接正四棱柱的体积为269S S ππ. 【点评】本题是正四棱柱与圆柱的相接问题. 解决这类问题的关键是找到相接几何体之间的联系，如本例中正四棱柱的底面对角线的长与圆柱的底面直径相等，正四棱柱的高与圆柱的母线长相等，通过这些关系可以实现已知条件的相互转化.例3：三棱柱ABC – A 1B 1C 1中，若E 、F 分别为AB 、AC 的中点，平面EB 1C 1F 将三棱柱分成体积为V 1、V 2的两部分，那么V 1:V 2 = 7:5 .【分析】不妨设V 1对应的几何体AEF – A 1B 1C 1是一个棱台，一个底面的面1()3V h S SS S ''=++棱台 S = S ′S = 0 V 柱体 = Sh V 锥体=13Sh积与棱柱的底面积相等，另一个底面的面积等于棱柱底面的14；V 2对应的是一个不规则的几何体，显然这一部分的体积无法直接表示，可以考虑间接的办法，用三棱柱的体积减去V 1来表示.【解析】设三棱柱的高为h ，底面的面积为S ，体积为V ，则V = V 1 + V 2 = Sh .∵E 、F 分别为AB 、AC 的中点∴14AEF S S =. 1117()34412S V h S S S Sh =++⋅= 21512V Sh V Sh =-= ∴V 1:V 2 = 7:5.【点评】本题求不规则的几何体C 1B 1—EBCF 的体积时，是通过计算棱柱ABC —A 1B 1C 1和棱台AEF —A 1B 1C 1的体积的差来求得的.例4：一个底面直径为20cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6cm ，高为20cm 的一个圆锥形铅锤，当铅锤从中取出后，杯里的水将下降几厘米？(π=3.14)【解析】因为圆锥形铅锤的体积为216()206032ππ⋅⨯=(cm 3) 设水面下降的高底为x ，则小圆柱的体积为π(20÷2)2x = 100πx (cm 3)所以有60π=100πx ，解此方程得x = 0.6 (cm).答：铅锤取出后，杯中水面下降了0.6cm.拓展提升1．下图是一个几何体的三视图(单位：cm)，画出它的直观图，并求出它的表面积和体积。

高中数学第1章 7.2 柱、锥、台的体积优质课件北师大版必修2

第四页，共21页。
1.长方体的体积(tǐjī)
D1
C1
A1
D
d B1
c
C
A
S
Bb
a
V长方体 abc 或V S底h d 2 a2 b2 c2
第五页，共21页。
2.柱体的体积(tǐjī)
思考：取一些书堆放(duī fànɡ)在桌面上(如图所示) ，并改变它们的放置方法，观察改变前后的体积是否发生变化？
O P
N
分析：六角螺帽毛坯的体积是一个(yī ɡè)正六棱柱的体积与一个(yī ɡè)圆柱的体积的差.
第十四页，共21页。
O
P
N
解:V正六棱柱=3×1223× ×10≈3.74×103(mm3)，
2
V圆柱(yuánzhù)=3.14×52×10 = 0.785×103(mm3 毛坯的体积V=3.74×103-0.785×103
【解析】该几何体是底面是直角 (zhíjiǎo)梯形，高为4的直四棱柱，则该1 几何体的体积是
2
V= ×(2+5)×4×4=56.
第十八页，共21页。
4.如图，已知正四棱锥(léngzhuī)P-ABCD的底边长为6、侧棱长为5．求正四棱锥(léngzhuī)P-ABCD的体积和侧面积．
解：设底面ABCD的中心(zhōngxīn)为O，边BC中点为E，
连接PO，PE，OE.
在Rt△PEB中，PB=5，
BE=3，则斜高PE=4.
在Rt△POE中，PE=4，
OE=3，则高PO= 7 .
所以(sVuǒ13y·ǐS)ABCD·
PO
1 3
62
7 12
7，
S侧面积
1· 2

高中数学必修二《柱、锥、台、球的结构特征》优秀教学设计

课题§1.1.1柱、锥、台、球的结构特征教学目标知识与技能能根据几何结构特征对空间物体进行分类通过实物操作，增强学生的直观感知概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征过程与方法启发引导，充分发挥学生的主体作用情感态度价值观使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。

重点让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征难点柱、锥、台、球的结构特征的概括教学设计教学内容教学环节与活动设计（一）创设情景，揭示课题1．教师提出问题：在我们生活周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何结构特征如何？引导学生回忆，举例和相互交流。

教师对学生的活动及时给予评价。

2．所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的，（展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体），你能通过观察。

根据某种标准对这些空间物体进行分类吗？这是我们所要学习的内容。

（二）、研探新知1.棱柱、棱锥的结构特征：①提问：举例生活中有哪些实例给我们以两个面平行的形象？②讨论：给一个长方体模型，经过上、下两个底面用刀垂直切，得到的几何体有哪些公共特征？把这些几何体用水平力推斜后，仍然有哪些公共特征？1教教学内容教学环节与活动设计学设计③定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫棱柱.→列举生活中的棱柱实例（三棱镜、方砖、六角螺帽）.结合图形认识：底面、侧面、侧棱、顶点、高、对角面、对角线.④分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等.表示：棱柱ABCDE-A’B’C’D’E’⑤讨论：埃及金字塔具有什么几何特征？⑥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥.结合图形认识：底面、侧面、侧棱、顶点、高.→讨论：棱锥如何分类及表示？⑦讨论：棱柱、棱锥分别具有一些什么几何性质？有什么共同的性质？棱柱：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形棱锥：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方.2. 圆柱、圆锥的结构特征：①讨论：圆柱、圆锥如何形成？②定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆柱；以直角三角形的一条直角边为旋转轴,其余两边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆锥.→列举生活中的棱柱实例→结合图形认识：底面、轴、侧面、母线、高. →表示方法③讨论：棱柱与圆柱、棱柱与棱锥的共同特征？→柱体、锥体.④观察书P2若干图形，找出相应几何体；举例：生活中的柱体、锥体.3.教学棱台与圆台的结构特征：①讨论：用一个平行于底面的平面去截柱体和锥体，所得几何体有何特征？结合图形认识：上下底面、侧面、侧棱（母线）、顶点、高.讨论：棱台的分类及表示？圆台的表示？圆台可如何旋转而得？2教教学内容教学环节与活动设计学设计②定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分叫做棱台；用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分叫做圆台.→列举生活中的实例③讨论：棱台、圆台分别具有一些什么几何性质？棱台：两底面所在平面互相平行；两底面是对应边互相平行的相似多边形；侧面是梯形；侧棱的延长线相交于一点.圆台：两底面是两个半径不同的圆；轴截面是等腰梯形；任意两条母线的延长线交于一点；母线长都相等.④讨论：棱、圆与柱、锥、台的组合得到6个几何体. 棱台与棱柱、棱锥有什么关系？圆台与圆柱、圆锥有什么关系？（以台体的上底面变化为线索）4.教学球体的结构特征：①定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体，叫球体.→列举生活中的实例结合图形认识：球心、半径、直径.→球的表示.②讨论：球有一些什么几何性质？③讨论：球与圆柱、圆锥、圆台有何关系？（旋转体）棱台与棱柱、棱锥有什么共性？（多面体）（三）、布置作业课本P8 练习题1.1 B组第1题课外练习课本P8 习题1.1 B组第2题教学小结柱、锥、台、球的结构特征的概括课后反思。

高中数学必修二《柱体、锥体、台体的表面积》优秀教学设计

课题Hale Waihona Puke §柱体、锥体、台体的表面积
课型
新授课
学习目标
三维目标
1、知识与技能
（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。
（2）能运用公式求解柱体、锥体和台体的表面积，并且熟悉台体与柱体体和锥体之间的转换关系。
（3）培养学生空间想象能力和思维能力。
2、过程与方法
（1）让学生经历几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状。
自学
1.棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图是什么？如何算它们的面积？
检测
让学生总结讨论结果。
后教
1.推导圆锥、圆台的表面积公式。
2.例题讲解：
例1已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积．
（2）让学生通对照比较，理顺柱体、锥体、台体三者之间的面积关系。
3、情感与价值
通过学习，使学生感受到几何体面积的求解过程，对自己空间思维能力影响。从而增强学习的积极性。
教学重点
柱体、锥体、台体的表面积计算
教学难点
台体表面积公式的推导
课前准备
教案、课件、实物几何体
教学方法
先学后教，学生通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，通过剖析实物几何体感受几何体的特征，从而更好地完成本节课的教学目标。
例2例2如图，一个圆台形花盆盆口直径20 cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5 cm，盆壁长15cm．那么花盆的表面积约是多少平方厘米（π取3.14，结果精确到1cm）？
练习
当堂训练：【课堂训练】
1、一个三棱柱的底面是正三角形，边长为4，侧棱与底面垂直，侧棱长10,求其表面积.

北师版高中数学必修第二册精品课件第6章立体几何初步 §6 6.2 柱、锥、台的体积 (2)

A.

C.

B.

D.

解析:截去的每个小三棱锥的体积为 × × × ×

则剩余部分的体积 V=1- ×
×8=1- = .

答案:D
=

×

,

探究一多面体的体积
【例1】 (1)如图6-6-3,已知直四棱柱
ABCD-A1B1C1D1的底面为菱形,矩形
ACC1A1, BDD1B1的面积分别为2 cm2,
2 cm2,侧棱长为2 cm,则其体积为
cm3.
(2)一个正三棱锥底面边长为6,侧棱长
为 ,这个三棱锥的体积为
.
图6-6-3
解析:(1)设底面菱形的对角线 AC,BD 长分别为 x cm,y cm,
= ,
= ,
则
解得
= ,

S 为棱锥的底面面积,h 为棱锥
的高
V
2

圆锥= πr h= Sh

r 为圆锥的底面半径,h 为圆锥
的高,S 为圆锥的底面面积
锥体
圆锥
名称体积(V)公式
棱
V

棱台= (S

备注
上
+S 下
台 + 上 ·下 )h
台体
圆
台

V 圆台=π h(上 +r 上·r

下+ )= (S 上+S 下
§6
6.2
简单几何体的再认识

柱、锥、台的体积课件-2024-2025学年高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册

V=abc,
规律方法
锥体体积的计算方法
1
(1)锥体的体积公式V= 3 Sh既适合棱锥,也适合圆锥,其中棱锥可以是正棱
锥,也可以不是正棱锥.
(2)三棱锥的体积求解具有灵活性,因为三棱锥的任何一个面都可以作为底
面,所以常常需要根据题目条件对其顶点和底面进行转换,使得转换后,该
三棱锥的底面的面积易求、可求,高易求、可求,这一方法叫作等积法.
(2)同底面积等高的柱体的体积是锥体体积的3倍.( √ )
(3)圆台上、下底面半径分别为2,6,母线长为6,则圆台的体积为48π.( × )
1
(4)若圆锥的高扩大为原来的2倍,底面半径缩短为原来的 2 ,则圆锥的体积
1
变为原来的2 .( √ )
2.把一张长为6、宽为4的矩形纸片卷成一个圆柱形,使其对边恰好重合,所
知识点柱体、锥体、台体的体积公式
名称
体积(V)公式
棱柱
V= Sh
圆柱
V=πr2h=Sh
柱体
1
棱锥
锥体
圆锥
三棱锥的每个面
V= 3Sh
都可以作为底面
备注
h为棱柱的高
S为棱柱的底面面积
r为圆柱的底面半径
h为圆柱的高
S为圆柱的底面面积
S为棱锥的底面面积
h为棱锥的高
r为圆锥的底面半径
h为圆锥的高
S为圆锥的底面面积
1
3
果设S上=0,S下=S,就得到锥体的体积公式V锥体= Sh.因此,柱体、锥体、台
体的体积公式之间的关系,可表示为
由图可见,柱体、锥体的体积公式是台体的体积公式的特例.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)

北师大版高中必修27.2棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积课程设计

北师大版高中必修27.2棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积课程设计课程背景在高中数学的教学中，数学几何以其直观形象的图形和具体的实际问题一直占据着重要的地位。

其中，涉及到的计算图形表面积、体积等量的训练一直是数学几何中的难点。

而本次课程的设计就是为了帮助学生提高其对于棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积计算的理解和运用能力，同时，通过练习来提高学生的自学能力和探究能力。

课程目标通过本次课程的学习，学生将能够：•掌握棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积计算公式；•理解公式的推导过程；•能够熟练地运用公式进行计算，并解决与体积相关的实际问题；•能够在实际应用中发现问题，自主探究并得出正确的解决方案；•培养学生的自学能力和探究能力。

教学方法本课程的教学方法主要是问题式教学及课堂互动式教学。

老师将会提出一些实际问题给学生解决，让学生自己思考和探究，并在完成了探究之后进行合作交流。

同时，老师也会根据不同问题的性质，适时地讲解相关的知识点和计算公式。

为帮助学生更好地学习，教师也会提供一些相关的练习题进行巩固和拓展知识。

教学步骤第一步概念解析在课堂上，老师将首先对棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台等几何图形的内涵及其特点进行概念上的解析。

第二步公式推导接下来，老师将会对各种几何图形的体积公式进行推导，并给出详细的公式证明和计算过程。

在推导的过程中，老师还将会适时地引导学生进行思考和思维激荡。

例如，引导学生探究不同形态的棱锥和圆锥的体积公式的关系等。

第三步练习巩固为了帮助学生更好地掌握和熟练运用各种公式，老师将给学生整理并讲解各个重要知识点的练习题，并在课堂上进行分组讨论。

学生可以首先独立完成练习，然后与同组同学交流巩固和拓展知识。

第四步实例应用在学习完各个几何图形的体积公式后，老师将会给学生一些实例应用问题，并且引导学生进行思考和讨论。

在这一步骤中，学生需要掌握如何将自己的数学知识和技能运用到实际应用中，并独立思考解决问题的方法和步骤。

高中数学必修2立体几何优质教案15 柱体、锥体、台体的表面积与体积

【教学目标】1.了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式（不要求记忆），提高学生的空间想象能力和几何直观能力，培养学生的应用意识，增加学生学习数学的兴趣.2.掌握简单几何体的体积与表面积的求法，提高学生的运算能力，培养学生转化、化归以及类比的能力. 【重点难点】教学重点：了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式及其应用.教学难点：表面积和体积计算公式的应用.【课时安排】1课时【教学过程】导入新课被誉为世界七大奇迹之首的胡夫大金字塔，在1889年巴黎埃菲尔铁塔落成前的四千多年的漫长岁月中，胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物.在四千多年前生产工具很落后的中古时代，埃及人是怎样采集、搬运数量如此之多，每块又如此之重的巨石垒成如此宏伟的大金字塔，真是一个十分难解的谜.胡夫大金字塔是一个正四棱锥外形的建筑，塔底边长230米，塔高146.5米，你能计算建此金字塔用了多少石块吗？推进新课新知探究提出问题①在初中，我们已经学习了正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图（图1），你知道上述几何体的展开图与其表面积的关系吗？正方体及其展开图(1) 长方体及其展开图(2)图1②棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？③如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？④联系圆柱、圆锥的侧面展开图，你能想象圆台侧面展开图的形状，并且画出它吗？如果圆台的上、下底面半径分别是r′,r，母线长为l，你能计算出它的表面积吗？⑤圆柱、圆锥和圆台的表面积之间有什么关系？活动：①学生讨论和回顾长方体和正方体的表面积公式.②学生思考几何体的表面积的含义，教师提示就是求各个面的面积的和.③让学生思考圆柱和圆锥的侧面展开图的形状.④学生思考圆台的侧面展开图的形状.⑤提示学生用动态的观点看待这个问题.讨论结果：①正方体、长方体是由多个平面图形围成的几何体，它们的表面积就是各个面的面积的和.因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积.②棱柱的侧面展开图是平行四边形，其表面积等于围成棱柱的各个面的面积的和；棱锥的侧面展开图是由多个三角形拼接成的，其表面积等于围成棱锥的各个面的面积的和；棱台的侧面展开图是由多个梯形拼接成的，其表面积等于围成棱台的各个面的面积的和.③它们的表面积等于侧面积与底面积的和，利用它们的侧面展开图来求得它们的侧面积，由于底面是圆面，其底面积直接应用圆的面积公式即得.其中，圆柱的侧面展开图是矩形，圆锥的侧面展开图是扇形.我们知道，圆柱的侧面展开图是一个矩形（图2）.如果圆柱的底面半径为r,母线长为l，那么圆柱的底面面积为πr2,侧面面积为2πrl.因此，圆柱的表面积S=2πr2+2πrl=2πr(r+l).图2 图3圆锥的侧面展开图是一个扇形（图3）.如果圆锥的底面半径为r,母线长为l，那么它的表面积S=πr2+πrl=πr(r+l).点评：将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题基本的、常用的方法.④圆台的侧面展开图是一个扇环（图4），它的表面积等于上、下两个底面的面积和加上侧面的面积，即S=π(r2+r′2+rl+r′l).图4⑤圆柱、圆锥、圆台侧面积的关系：圆柱和圆锥都可以看作是圆台退化而成的几何体.圆柱可以看作是上下底面全等的圆台，圆锥可看作是上底面退化成一点的圆台，观察它们的侧面积，不难发现：S 圆柱表=2πr(r+l)−−−←==r r r 21S 圆台表=π(r 1l+r 2l+r 12+r 22)−−−→−==rr r 21,0S 圆锥表=πr(r+l).从上面可以很清楚地看出圆柱和圆锥的侧面积公式都可以看作由圆台侧面积公式演变而来. 提出问题①回顾长方体、正方体和圆柱的体积公式，你能将它们统一成一种形式吗？并依次类比出柱体的体积公式？②比较柱体、锥体、台体的体积公式： V 柱体=Sh(S 为底面积，h 为柱体的高)；V 锥体=Sh 31(S 为底面积，h 为锥体的高)；V 台体=)''(31S SS S ++h(S′,S 分别为上、下底面积，h 为台体的高).你能发现三者之间的关系吗？柱体、锥体是否可以看作“特殊”的台体？其体积公式是否可以看作台体体积公式的“特殊”形式？活动：①让学生思考和讨论交流长方体、正方体和圆柱的体积公式. ②让学生类比圆柱、圆锥和圆台的表面积的关系？讨论结果：①棱长为a 的正方体的体积V=a 3=a 2a=Sh ；长方体的长、宽和高分别为a,b,c ，其体积为V=abc=(ab)c=Sh ；底面半径为r 高为h 的圆柱的体积是V=πr 2h=Sh ，可以类比，一般的柱体的体积也是V=Sh ，其中S 是底面面积，h 为柱体的高. 圆锥的体积公式是V=Sh 31(S 为底面面积，h 为高)，它是同底等高的圆柱的体积的31. 棱锥的体积也是同底等高的棱柱体积的31,即棱锥的体积V=Sh 31(S 为底面面积，h 为高). 由此可见，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是底面面积乘高的31. 由于圆台（棱台）是由圆锥（棱锥）截成的，因此可以利用两个锥体的体积差，得到圆台（棱台）的体积公式V=31(S′+S S '+S)h, 其中S′，S 分别为上、下底面面积，h 为圆台（棱台）高.注意：不要求推导公式，也不要求记忆.②柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体.因此柱体、锥体可以看作“特殊”的台体.当S′=0时，台体的体积公式变为锥体的体积公式;当S′=S 时，台体的体积公式变为柱体的体积公式，因此，柱体、锥体的体积公式可以看作台体体积公式的“特殊”形式.柱体和锥体可以看作由台体变化得到，柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体，因此很容易得出它们之间的体积关系,如图5：图5应用示例例1 已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体S —ABC （图6），求它的表面积.图6活动：回顾几何体的表面积含义和求法.分析：由于四面体S —ABC 的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍.解：先求△SBC 的面积，过点S 作SD ⊥BC ，交BC 于点D. 因为BC=a,SD=a a a BDSB 23)2(2222=-=-,所以S △SBC =21BC·SD=2432321a a a =⨯. 因此，四面体S —ABC 的表面积S=4×22343a a =. 点评：本题主要考查多面体的表面积的求法. 变式训练1.已知圆柱和圆锥的高、底面半径均分别相等.若圆柱的底面半径为r ，圆柱侧面积为S ，求圆锥的侧面积.解：设圆锥的母线长为l ，因为圆柱的侧面积为S ，圆柱的底面半径为r ，即S 圆柱侧=S ，根据圆柱的侧面积公式可得：圆柱的母线（高）长为r S π2，由题意得圆锥的高为rS π2，又圆锥的底面半径为r ，根据勾股定理，圆锥的母线长l=22)2(rS r π+，根据圆锥的侧面积公式得 S 圆锥侧=πrl=π·r·24)2(24222S r r S r +=+ππ. 2.两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，那么圆锥被分成的三部分的体积的比是（） A.1∶2∶3 B.1∶7∶19 C.3∶4∶5 D.1∶9∶27分析：因为圆锥的高被分成的三部分相等，所以两个截面的半径与原圆锥底面半径之比为1∶2∶3，于是自上而下三个圆锥的体积之比为(h r 23π)∶［2)2(3r π·2h ］∶［2)3(3r π·3h ］=1∶8∶27，所以圆锥被分成的三部分的体积之比为1∶（8－1）∶（27－8）=1∶7∶19. 答案：B3.三棱锥V —ABC 的中截面是△A 1B 1C 1，则三棱锥V —A 1B 1C 1与三棱锥A —A 1BC 的体积之比是（） A.1∶2 B.1∶4 C.1∶6 D.1∶8分析：中截面将三棱锥的高分成相等的两部分，所以截面与原底面的面积之比为1∶4，将三棱锥A —A 1BC 转化为三棱锥A 1—ABC ，这样三棱锥V —A 1B 1C 1与三棱锥A 1—ABC 的高相等，底面积之比为1∶4，于是其体积之比为1∶4. 答案：B例2 如图7，一个圆台形花盆盆口直径为20 cm ，盆底直径为15 cm ，底部渗水圆孔直径为1.5 cm ，盆壁长为15 cm.为了美化花盆的外观，需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少毫升油漆？（π取3.14，结果精确到1毫升，可用计算器）图7活动：学生思考和讨论如何转化为数学问题.只要求出每个花盆外壁的表面积，就可以求出油漆的用量.而花盆外壁的表面积等于花盆的侧面积加上底面积，再减去底面圆孔的面积.解：如图7，由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的表面积S=π［1522015215)215(2⨯+⨯+］-π(25.1)2≈1 000(cm 2)=0.1(m 2).涂100个这样的花盆需油漆：0.1×100×100=1 000（毫升）. 答：涂100个这样的花盆需要1 000毫升油漆. 点评：本题主要考查几何体的表面积公式及其应用. 变式训练1.有位油漆工用一把长度为50 cm ，横截面半径为10 cm 的圆柱形刷子给一块面积为10 m 2的木板涂油漆，且圆柱形刷子以每秒5周的速度在木板上匀速滚动前进，则油漆工完成任务所需的时间是多少?（精确到0.01秒）解：圆柱形刷子滚动一周涂过的面积就等于圆柱的侧面积， ∵圆柱的侧面积为S 侧=2πrl=2π·0.1·0.5=0.1π m 2，又∵圆柱形刷子以每秒5周匀速滚动， ∴圆柱形刷子每秒滚过的面积为0.5π m 2，因此油漆工完成任务所需的时间t=ππ205.01022=m m ≈6.37秒. 点评：本题虽然是实际问题，但是通过仔细分析后，还是归为圆柱的侧面积问题.解决此题的关键是注意到圆柱形刷子滚动一周所经过的面积就相当于把圆柱的侧面展开的面积，即滚动一周所经过的面积等于圆柱的侧面积.从而使问题迎刃而解.2.已知三棱锥O —ABC 中，OA 、OB 、OC 两两垂直，OC=1,OA=x ，OB=y ，且x+y=4，则三棱锥体积的最大值是___________.分析：由题意得三棱锥的体积是61)4(612131-=-=⨯x x xy (x-2)2+32，由于x ＞0，则当x=2时，三棱锥的体积取最大值32. 答案：32 例3 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是7.8 g/cm 3）六角螺帽（图8）共重5.8 kg,已知底面是正六边形，边长为12 mm,内孔直径为10 mm,高为10 mm ，问这堆螺帽大约有多少个?（π取3.14）图8活动：让学生讨论和交流如何转化为数学问题.六角帽表示的几何体是一个组合体，在一个六棱柱中间挖去一个圆柱，因此它的体积等于六棱柱的体积减去圆柱的体积.解：六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱体积的差，即V=43×122×6×10-3.14×(210)2×10≈2 956(mm 3)=2.956(cm 3).所以螺帽的个数为5.8×1 000÷(7.8×2.956)≈252(个). 答：这堆螺帽大约有252个.点评：本题主要考查几何体的体积公式及其应用. 变式训练如图9，有个水平放置圆台形容器，上、下底面半径分别为2分米，4分米，高为5分米，现以每秒3立方分米的速度往容器里面注水，当水面的高度为3分米时，求所用的时间.（精确到0.01秒）图9解：如图10，设水面的半径为r ，则EH=r-2分米，BG=2分米，图10在△ABG 中，∵EH ∥BG ，∴BG EHAG AH =.∵AH=2分米, ∴2252-=r .∴r=514分米. ∴当水面的高度为3分米时，容器中水的体积为V 水=π31·3［(514)2+514×4+42］=25876π立方分米,∴所用的时间为25292325876ππ=≈36.69秒.答：所用的时间为36.69秒.拓展提升问题：有两个相同的直三棱柱，高为2a，底面三角形的三边长分别为3a ,4a ,5a (0a >).用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是___________. 探究：两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱柱或四棱柱，有三种情况：四棱柱有一种，就是边长为5a 的边重合在一起，表面积为24a 2+28，三棱柱有两种，边长为4a 的边重合在一起，表面积为24a 2+32，边长为3a 的边重合在一起，表面积为24a 2+36，两个相同的直三棱柱竖直放在一起，有一种情况，表面积为12a 2+48,最小的是一个四棱柱，这说明24a 2+28＜12a 2+48⇒12a 2＜20⇒0＜a ＜315. 答案：0＜a ＜315 课堂小结本节课学习了：1.柱体、锥体、台体的表面积和体积公式.2.应用体积公式解决有关问题. 作业习题1.3 A 组第1、2、3题.。

高中数学北师大版精品学案《柱、锥、台的体积》

柱、锥、台的体积【教学过程】一、初试身手1．若长方体的长、宽、高分别为3 cm 、4cm 、5cm ，则长方体的体积为A ．27 cm 3B ．60 cm 3C ．64 cm 3D ．125 cm 32．圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其体积为A ．15πB ．30C ．12πD ．36π 3．若一个球的直径是12 cm ，则它的体积为________cm 3二、合作探究1求柱体的体积【例1】如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6 cm ，高为3 cm ，下面是正六棱柱，其底面边长为4 cm ，高为2 cm ，现从中间挖去一个直径为2 cm 的圆柱，求此几何体的体积．2求锥体的体积【例2】在如图三棱台ABC A 1B 1C 1中，AB ∶A 1B 1＝1∶2，求三棱锥A 1ABC ，三棱锥B A 1B 1C ，三棱锥C A 1B 1C 1的体积之比．3求台体的体积【例3】已知正四棱台两底面边长分别为2021m和10 cm，侧面积是780 cm2．求正四棱台的体积．【学习小结】柱体、锥体、台体的体积公式：其中S′、S分别表示上、下底面的面积，h表示高，r′和r分别表示上、下底面圆的半径，R表示球的半径．【精炼反馈】1．思考辨析（1）夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的某个平面所截，如果截得的两个截面面积相等，则这两个几何体的体积相等．（2）锥体的体积只与底面积和高度有关，与其具体形状无关．＝错误!S·h，可知三棱锥的任何一个面都可以作为底面．（3）由V锥体2．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于A．πB．2πC．4πD．8π3．已知圆锥SO的高为4，体积为4π，则底面半径r＝________ 4．一个正三棱锥底面边长为6，侧棱长为错误!，求这个三棱锥体积．∴V SABC＝错误!S△ABC·SH＝错误!×9错误!×错误!＝9．。

高中数学必修2立体几何优质教案：15柱体、锥体、台体的表面积与体积

【教学目标】1.了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式（不要求记忆），提高学生的空间想象能力和几何直观能力，培养学生的应用意识，增加学生学习数学的兴趣.2.掌握简单几何体的体积与表面积的求法，提高学生的运算能力，培养学生转化、化归以及类比的能力.【重点难点】教学重点：了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式及其应用.教学难点：表面积和体积计算公式的应用.【课时安排】1课时【教学过程】导入新课被誉为世界七大奇迹之首的胡夫大金字塔，在1889年巴黎埃菲尔铁塔落成前的四千多年的漫长岁月中，胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物.在四千多年前生产工具很落后的中古时代，埃及人是怎样采集、搬运数量如此之多，每块又如此之重的巨石垒成如此宏伟的大金字塔，真是一个十分难解的谜.胡夫大金字塔是一个正四棱锥外形的建筑，塔底边长230米，塔高146.5米，你能计算建此金字塔用了多少石块吗？推进新课新知探究提出问题①在初中，我们已经学习了正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图（图1），你知道上述几何体的展开图与其表面积的关系吗？正方体及其展开图(1) 长方体及其展开图(2)图1②棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？③如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？④联系圆柱、圆锥的侧面展开图，你能想象圆台侧面展开图的形状，并且画出它吗？如果圆台的上、下底面半径分别是r′,r，母线长为l，你能计算出它的表面积吗？⑤圆柱、圆锥和圆台的表面积之间有什么关系？活动：①学生讨论和回顾长方体和正方体的表面积公式.②学生思考几何体的表面积的含义，教师提示就是求各个面的面积的和.③让学生思考圆柱和圆锥的侧面展开图的形状.④学生思考圆台的侧面展开图的形状.⑤提示学生用动态的观点看待这个问题.讨论结果：①正方体、长方体是由多个平面图形围成的几何体，它们的表面积就是各个面的面积的和.因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积.②棱柱的侧面展开图是平行四边形，其表面积等于围成棱柱的各个面的面积的和；棱锥的侧面展开图是由多个三角形拼接成的，其表面积等于围成棱锥的各个面的面积的和；棱台的侧面展开图是由多个梯形拼接成的，其表面积等于围成棱台的各个面的面积的和.③它们的表面积等于侧面积与底面积的和，利用它们的侧面展开图来求得它们的侧面积，由于底面是圆面，其底面积直接应用圆的面积公式即得.其中，圆柱的侧面展开图是矩形，圆锥的侧面展开图是扇形.我们知道，圆柱的侧面展开图是一个矩形（图2）.如果圆柱的底面半径为r,母线长为l，那么圆柱的底面面积为πr2,侧面面积为2πrl.因此，圆柱的表面积S=2πr2+2πrl=2πr(r+l).图2 图3圆锥的侧面展开图是一个扇形（图3）.如果圆锥的底面半径为r,母线长为l，那么它的表面积S=πr2+πrl=πr(r+l).点评：将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题基本的、常用的方法.④圆台的侧面展开图是一个扇环（图4），它的表面积等于上、下两个底面的面积和加上侧面的面积，即S=π(r2+r′2+rl+r′l).图4⑤圆柱、圆锥、圆台侧面积的关系：圆柱和圆锥都可以看作是圆台退化而成的几何体.圆柱可以看作是上下底面全等的圆台，圆锥可看作是上底面退化成一点的圆台，观察它们的侧面积，不难发现：S 圆柱表=2πr(r+l)−−−←==r r r 21S 圆台表=π(r 1l+r 2l+r 12+r 22)−−−→−==rr r 21,0S 圆锥表=πr(r+l).从上面可以很清楚地看出圆柱和圆锥的侧面积公式都可以看作由圆台侧面积公式演变而来. 提出问题①回顾长方体、正方体和圆柱的体积公式，你能将它们统一成一种形式吗？并依次类比出柱体的体积公式？②比较柱体、锥体、台体的体积公式： V 柱体=Sh(S 为底面积，h 为柱体的高)；V 锥体=Sh 31(S 为底面积，h 为锥体的高)；V 台体=)''(31S SS S ++h(S′,S 分别为上、下底面积，h 为台体的高).你能发现三者之间的关系吗？柱体、锥体是否可以看作“特殊”的台体？其体积公式是否可以看作台体体积公式的“特殊”形式？活动：①让学生思考和讨论交流长方体、正方体和圆柱的体积公式. ②让学生类比圆柱、圆锥和圆台的表面积的关系？讨论结果：①棱长为a 的正方体的体积V=a 3=a 2a=Sh ；长方体的长、宽和高分别为a,b,c ，其体积为V=abc=(ab)c=Sh ；底面半径为r 高为h 的圆柱的体积是V=πr 2h=Sh ，可以类比，一般的柱体的体积也是V=Sh ，其中S 是底面面积，h 为柱体的高. 圆锥的体积公式是V=Sh 31(S 为底面面积，h 为高)，它是同底等高的圆柱的体积的31.棱锥的体积也是同底等高的棱柱体积的31,即棱锥的体积V=Sh 31 (S 为底面面积，h 为高).由此可见，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是底面面积乘高的31.由于圆台（棱台）是由圆锥（棱锥）截成的，因此可以利用两个锥体的体积差，得到圆台（棱台）的体积公式V=31(S′+S S '+S)h, 其中S′，S 分别为上、下底面面积，h 为圆台（棱台）高. 注意：不要求推导公式，也不要求记忆.②柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体.因此柱体、锥体可以看作“特殊”的台体.当S′=0时，台体的体积公式变为锥体的体积公式;当S′=S 时，台体的体积公式变为柱体的体积公式，因此，柱体、锥体的体积公式可以看作台体体积公式的“特殊”形式. 柱体和锥体可以看作由台体变化得到，柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体，因此很容易得出它们之间的体积关系,如图5：图5应用示例例1 已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体S —ABC （图6），求它的表面积.图6活动：回顾几何体的表面积含义和求法.分析：由于四面体S —ABC 的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍.解：先求△SBC 的面积，过点S 作SD⊥BC，交BC 于点D. 因为BC=a,SD=a aa BD SB 23)2(2222=-=-, 所以S △SBC =21BC·SD=2432321a a a =⨯. 因此，四面体S —ABC 的表面积S=4×22343a a =. 点评：本题主要考查多面体的表面积的求法. 变式训练1.已知圆柱和圆锥的高、底面半径均分别相等.若圆柱的底面半径为r ，圆柱侧面积为S ，求圆锥的侧面积.解：设圆锥的母线长为l ，因为圆柱的侧面积为S ，圆柱的底面半径为r ，即S 圆柱侧=S ，根据圆柱的侧面积公式可得：圆柱的母线（高）长为rSπ2，由题意得圆锥的高为rSπ2，又圆锥的底面半径为r ，根据勾股定理，圆锥的母线长l=22)2(r S r π+，根据圆锥的侧面积公式得S 圆锥侧=πrl=π·r·24)2(24222S r r S r +=+ππ.2.两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，那么圆锥被分成的三部分的体积的比是（）A.1∶2∶3B.1∶7∶19C.3∶4∶5D.1∶9∶27分析：因为圆锥的高被分成的三部分相等，所以两个截面的半径与原圆锥底面半径之比为1∶2∶3，于是自上而下三个圆锥的体积之比为(h r 23π)∶［2)2(3r π·2h］∶［2)3(3r π·3h］=1∶8∶27，所以圆锥被分成的三部分的体积之比为1∶（8－1）∶（27－8）=1∶7∶19. 答案：B3.三棱锥V —ABC 的中截面是△A 1B 1C 1，则三棱锥V —A 1B 1C 1与三棱锥A —A 1BC 的体积之比是（）A.1∶2B.1∶4C.1∶6D.1∶8分析：中截面将三棱锥的高分成相等的两部分，所以截面与原底面的面积之比为1∶4，将三棱锥A —A 1BC 转化为三棱锥A 1—ABC ，这样三棱锥V —A 1B 1C 1与三棱锥A 1—ABC 的高相等，底面积之比为1∶4，于是其体积之比为1∶4. 答案：B例2 如图7，一个圆台形花盆盆口直径为20 cm ，盆底直径为15 cm ，底部渗水圆孔直径为1.5 cm ，盆壁长为15 cm.为了美化花盆的外观，需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少毫升油漆？（π取3.14，结果精确到1毫升，可用计算器）图7活动：学生思考和讨论如何转化为数学问题.只要求出每个花盆外壁的表面积，就可以求出油漆的用量.而花盆外壁的表面积等于花盆的侧面积加上底面积，再减去底面圆孔的面积.解：如图7，由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的表面积S=π［1522015215)215(2⨯+⨯+］-π(25.1)2≈1 000(cm 2)=0.1(m 2). 涂100个这样的花盆需油漆：0.1×100×100=1 000（毫升）. 答：涂100个这样的花盆需要1 000毫升油漆. 点评：本题主要考查几何体的表面积公式及其应用. 变式训练1.有位油漆工用一把长度为50 cm ，横截面半径为10 cm 的圆柱形刷子给一块面积为10 m 2的木板涂油漆，且圆柱形刷子以每秒5周的速度在木板上匀速滚动前进，则油漆工完成任务所需的时间是多少?（精确到0.01秒）解：圆柱形刷子滚动一周涂过的面积就等于圆柱的侧面积， ∵圆柱的侧面积为S 侧=2πrl=2π·0.1·0.5=0.1π m 2，又∵圆柱形刷子以每秒5周匀速滚动，∴圆柱形刷子每秒滚过的面积为0.5π m 2，因此油漆工完成任务所需的时间t=ππ205.01022=m m ≈6.37秒. 点评：本题虽然是实际问题，但是通过仔细分析后，还是归为圆柱的侧面积问题.解决此题的关键是注意到圆柱形刷子滚动一周所经过的面积就相当于把圆柱的侧面展开的面积，即滚动一周所经过的面积等于圆柱的侧面积.从而使问题迎刃而解.2.已知三棱锥O —ABC 中，OA 、OB 、OC 两两垂直，OC=1,OA=x ，OB=y ，且x+y=4，则三棱锥体积的最大值是___________.分析：由题意得三棱锥的体积是61)4(612131-=-=⨯x x xy (x-2)2+32，由于x ＞0，则当x=2时，三棱锥的体积取最大值32.答案：32例3 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是7.8 g/cm 3）六角螺帽（图8）共重5.8 kg,已知底面是正六边形，边长为12 mm,内孔直径为10 mm,高为10 mm ，问这堆螺帽大约有多少个?（π取3.14）图8活动：让学生讨论和交流如何转化为数学问题.六角帽表示的几何体是一个组合体，在一个六棱柱中间挖去一个圆柱，因此它的体积等于六棱柱的体积减去圆柱的体积.解：六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱体积的差，即V=43×122×6×10-3.14×(210)2×10≈2 956(mm 3)=2.956(cm 3). 所以螺帽的个数为5.8×1 000÷(7.8×2.956)≈252(个). 答：这堆螺帽大约有252个.点评：本题主要考查几何体的体积公式及其应用. 变式训练如图9，有个水平放置圆台形容器，上、下底面半径分别为2分米，4分米，高为5分米，现以每秒3立方分米的速度往容器里面注水，当水面的高度为3分米时，求所用的时间.（精确到0.01秒）图9解：如图10，设水面的半径为r ，则EH=r-2分米，BG=2分米，图10在△ABG 中，∵EH∥BG，∴BG EHAG AH =.∵AH=2分米, ∴2252-=r .∴r=514分米. ∴当水面的高度为3分米时，容器中水的体积为 V 水=π31·3［(514)2+514×4+42］=25876π立方分米,∴所用的时间为25292325876ππ=≈36.69秒. 答：所用的时间为36.69秒.拓展提升问题：有两个相同的直三棱柱，高为2a，底面三角形的三边长分别为3a ,4a ,5a (0a >).用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是___________.探究：两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱柱或四棱柱，有三种情况：四棱柱有一种，就是边长为5a 的边重合在一起，表面积为24a 2+28，三棱柱有两种，边长为4a 的边重合在一起，表面积为24a 2+32，边长为3a 的边重合在一起，表面积为24a 2+36，两个相同的直三棱柱竖直放在一起，有一种情况，表面积为12a 2+48,最小的是一个四棱柱，这说明24a 2+28＜12a 2+48⇒12a 2＜20⇒0＜a ＜315. 答案：0＜a ＜315 课堂小结本节课学习了：1.柱体、锥体、台体的表面积和体积公式.2.应用体积公式解决有关问题.作业习题1.3 A 组第1、2、3题.。

1.7.2【教学设计】《柱、锥、台的体积》(北师大版)

《柱、锥、台的体积》本课是北师大版普通高中数学必修二第一章第七节的内容。

几何体指的是一个物体所占有的空间部分。

常见的有柱体、锥体、台体等等。

几何体不仅仅包括它的外表面，还包括它内部的部分，认识柱、锥、台的结构特征，会用平行投影法、三视图法、直观图法绘制空间图形，柱、锥、台等几何体的表面积和体积的求法，平面的基本性质，空间直线的位置关系，直线与平面之间及两平面之间平行和垂直关系，掌握好上述内容，就抓住了立体几何中最重要、最根本的内容，其他部分也就迎刃而解了。

【知识与能力目标】通过对柱、锥、台体研究，掌握柱、锥、台体体积求法；能运用公式求柱、锥、台体体积。

【过程与方法目标】通过对照比较，理解柱、锥、台体三者间体积的关系。

【情感态度价值观目标】通过学习柱、锥、台体、球的体积及球的表面积，提升空间思维的能力。

【教学重点】柱、锥、台体、球的体积计算。

【教学难点】柱、锥、台体体积公式的理解及其应用。

电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。

一、导入部分埃及胡夫金字塔大约建于公元前2580年, 其形状为正四棱锥。

金字塔高约146。

6 m, 底面边长约230。

4 m。

问: 这座金字塔的侧面积和体积各是多少?二、研探新知，建构概念1、电子白板投影出上面实例。

解：如图, AC为高, BC为底面的边心距, 则AC=146.6 m,BC=115.2 m, 底面周长c=4×230.4 m,侧面积。

2、教师组织学生分组讨论：先让学生分析，师生一起归纳。

柱、锥、台体的体积公式。