高中数学《等差数列》教案 苏教版必修5

等差数列
教学目标：
明确等差中项的概念，进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式；培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.
教学重点：
等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用.
教学难点：
灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
等差数列定义：a n －a n －1＝d (n ≥2)，等差数列通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d (n ≥1)，推导公式：a n ＝a m ＋(n －m )d
Ⅱ.讲授新课
首先，请同学们来思考这样一个问题.
问题1：如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a 、A 、b 成等差数列，那么A 应满足什么条件？
由等差数列定义及a 、A 、b 成等差数列可得：A －a ＝b －A ，即：a ＝
a ＋
b 2 . 反之，若A ＝
a ＋
b 2 ，则2A ＝a ＋b ，A －a ＝b －A ，即a 、A 、b 成等差数列. 总之，A ＝a ＋b 2 a ，A ，b 成等差数列.
如果a 、A 、b 成等差数列，那么a 叫做a 与b 的等差中项.
不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项.
如数列：1，3，5，7，9，11，13，……中，3是1和5的等差中项，5是3和7的等差中项，7是5和9的等差中项等等.
进一步思考，同学们是否还发现什么规律呢？
比如5不仅是3和7的等差中项，同时它也是1和9的等差中项，即不仅满足5＝3＋72
，同时还满足5＝1＋92
. 再如7不仅是5和9的等差中项，同时它也是3和11的等差中项，还是1和13的等差
中项，即：7＝5＋92 ＝3＋112 ＝1＋132
. 看来，a 2＋a 4＝a 1＋a 5＝2a 3，a 4＋a 6＝a 3＋a 7＝2a 5
依此类推，可得在一等差数列中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .
下面，我们来看一个实际问题.
［例1］梯子的最高一级宽33 cm ，最低一级宽110 cm ，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度.
分析：首先要数学建模，即将实际问题转化为数学问题，然后求其解，最后还要结合实际情况将其还原为实际问题的解.
解：用{a n }表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由已知条件，有a 1＝33，a 12＝110，
n ＝12.
由通项公式，得a 12＝a 1＋(12－1)d ，即：110＝33＋11d ，解得：d ＝7.
因此，a 2＝33＋7＝40，a 3＝40＋7＝47，a 4＝54，a 5＝61，a 6＝68，a 7＝75，a 8＝82，a 9＝89，a 10＝96，a 11＝103.
答案：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40 cm ，47 cm ，54 cm ，61 cm ，68 cm ，75 cm ，82 cm ，89 cm ，96 cm ，103 cm.
评述：要注意将模型的解还原为实际问题的解.
［例2］已知数列的通项公式为a n ＝pn ＋q ，其中p 、q 是常数，且p ≠0，那么这个数列是否一定是等差数列？如果是，其首项与公差是什么？
分析：由等差数列的定义，要判定{a n }是不是等差数列，只要看a n －a n －1(n ≥2)是不是一个与n 无关的常数就行了.
解：取数列{a n }中的任意相邻两项a n －1与a n (n ≥2)，
a n －a n －1＝(pn ＋q )－[p (n －1)＋q ]＝pn ＋q －(pn －p ＋q )＝p
它是一个与n 无关的常数，所以{a n }是等差数列，且公差是p .
在通项公式令n ＝1，得a 1＝p ＋q ，所以这个等差数列的首项是p ＋q ，公差是p .看来，等差数列的通项公式可以表示为：a n ＝pn ＋q （其中p 、q 是常数）
当p ＝0时，它是一常数数列，从图象上看，表示这个数列的各点均在y ＝q 的图象上.当p ≠0时，它是关于n 的一次式，从图象上看，表示这个数
列的各点均在一次函数y ＝px ＋q 的图象上.
例如，首项是1，公差是2的无穷等差数列的通项
公式为：a n ＝2n －1，相应的图象是直线y ＝2x －1上的均
匀排开的无穷多个孤立点.如图所示：
［例3］已知三个数成等差数列，其和为15，其平方
和为83，求此三个数.
解：设此三数分别为x －d 、x 、x ＋d
则⎩⎨⎧（x －d ）＋x ＋（x ＋d ）＝15（x －d ）2＋x 2＋（x ＋d ）2＝83
解得x ＝5，d ＝±2.
∴所求三个数列分别为3、5、7或7、5、3.
评述：三个数成等差数列时注意其设法.
［例4］已知数列{a n }为等差数列，a 1＝2，a 2＝3，若在每相邻两项之间插入三个数后，和原数列仍构成一个等差数列，试问：
（1）原数列的第12项是新数列的第几项？
（2）新数列的第29项是原数列的第几项？
分析：运用递推归纳的思想方法，从特殊中找规律，得到或猜想出一般结论，然后再回到特殊解决问题，这应该是解决本题的一个基本途径.
解：原数列的第一项是新数列的第1项，原数列的第二项是新数列的第2＋3＝5项，原数列的第三项是新数列的第3＋2×3＝9项.……原数列的第n 项是新数列的第n ＋(n －1)×3＝4n －3项.
（1）当n ＝12时，4n －3＝4×12－3＝45，故原数列的第12项是新数列的第45项.
（2）令4n －3＝29，解得n ＝8，故新数列的第29项是原数列的第8项.
评述：一般地，在公差为d 的等差数列每相邻两项之间插入m 个数，构成一个新的等差数列，则新数列的公差为d
m ＋1 ，原数列的第n 项是新数列的第n ＋(n －1)m ＝(m ＋1)n －m 项.
［例5］在等差数列{a n }中，若a 3＋a 8＋a 13＝12，a 3a 8a 13＝28，求{a n }的通项公式. 分析一：利用等差数列的通项公式求解.
解法一：设所求的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d
则⎩⎨⎧（a 1＋2d ）＋（a 1＋7d ）＋（a 1＋12d ）＝12（a 1＋2d ）（a 1＋7d ）（a 1＋12d ）＝28
即⎩⎨⎧ a 1＋7d ＝4 ①（a 1＋2d ）（a 1＋7d ）（a 1＋12d ）＝28 ②
①代入②得（a 1＋2d ）(a 1＋12d )＝7
③
∵a 1＝4－7d ，代入③，∴（4－5d ）(4＋5d )＝8
即16－25d 2＝7，解得d ＝±35 . 当d ＝35 时，a 1＝－15 ，a n ＝－15 ＋(n －1)·35 ＝35 n －45
当d ＝－35 时，a 1＝415 ，a n ＝415 ＋(n －1)·（－35 ）＝－35 n ＋445
. 分析二：视a 3，a 8，a 13作为一个整体，再利用性质：若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q 解题.
解法二：∵a 3＋a 13＝a 8＋a 8＝2a 8，又a 3＋a 8＋a 13＝12，故知a 8＝4
代入已知得⎩⎨⎧a 3＋a 13＝8
a 3·a 13＝7 解得⎩⎨⎧a 3＝1
a 13＝7 或⎩⎨⎧a 3＝7
a 13＝1
由a 3＝1，a 13＝7得d ＝a 13－a 313－3 ＝7－110 ＝35
. ∴a n ＝a 3＋(n －3)·35 ＝35 n －45
. 由a 3＝7，a 13＝1，仿上可得：a n ＝－35 n ＋445
. 评述：在解答本题时，首先应注意到{a n }是等差数列这个大前提，否则，仅有a 3＋a 8＋a 18＝12及a 3a 8a 13＝28就无法求出a 3，a 8，a 13的具体值；其次，应注意到a 3，a 8，a 13中脚码3，8，13间的关系：3＋13＝8＋8，从而得到a 3＋a 13＝a 8＋a 8＝2a 8.
Ⅲ.课堂练习
课本P 36练习
已知一个无穷等差数列的首项为a 1，公差为d :
(1)将数列中的前m 项去掉，其余各项组成一个新的数
列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别
是多少？
解：设一无穷等差数列为：a 1，a 2，…，a m ，a m +1，…，a n ，…
若去掉前m 项，则新数列为：a m +1，…，a n ，…，即首项为a m +1，公差为d 的等差数列.
（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？
解：若设一无穷等差数列为：a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，…，a n ，…，则取出数列中的所有奇数项，组成的新数列为：a 1，a 3，a 5，…，a 2m －1，…
即，首项为a 1，公差为2d 的等差数列.
（3）取出数列中的所有项数为7的倍数的各项，组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差各是多少？
设一无穷等差数列为：a1，a2，a3，…，a n，…，则新数列为：a7，a14，a21，…，a7m，…，即首项为a7，公差为7d的等差数列.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，首先，需掌握等差中项概念，及A＝a＋b
2
与a，A，b成等差数列的关系，
另外，还应注意等差数列的定义、通项公式、性质的灵活应用. Ⅴ.课后作业
课本P39习题 4，5，6，7。