高中数学第一章2
新教材高中数学第一章预备知识2常用逻辑用语 必要条件与充分条件课件北师大版必修第一册
[解析] (2)①若|x|＝|y|，则 x＝y 或 x＝－y， 因此 p q，所以 q 不是 p 的必要条件； ②直角三角形不一定是等腰三角形． 因此 p q，所以 q 不是 p 的必要条件； ③当 x＝1 时，x－1＝ x－1＝0， 所以 p⇒q，所以 q 是 p 的必要条件；
④当 x＝－2 时，－2≤x≤5 成立，但是－1≤x≤5 不成立， 所以 p q，所以 q 不是 p 的必要条件； ⑤0 是自然数，但是 0 不是正整数，所以 p q， 所以 q 不是 p 的必要条件； ⑥等边三角形一定是等腰三角形， 所以 p⇒q，所以 q 是 p 的必要条件．
[归纳提升] 必要条件的两种判断方法
(1)定义法：
第一步 — 确定谁是条件，谁是结论
↓
第二步 — 尝试由条件推结论
↓
第三步
—
若条件能推出结论，则结论为条件的必要条件，否则 结论就不是条件的必要条件
(2)命题判断方法： 如果命题：“若p,则q”是真命题,则q是p的必要条件； 如果命题：“若p,则q”是假命题,则q不是p的必要条件．
①“x＞3”是“x＞4”的必要条件；
②“x＝1”是“x2＝1”的必要条件；
③“a＝0”是“ab＝0”的必要条件．
A．①
B．①②
C．①③
D．②③
(A)
[解析] x＞4⇒x＞3，故①是真命题； x＝1⇒x2＝1，x2＝1 x＝1，故②是假命题； a＝0⇒ab＝0，ab＝0 a＝0，故③是假命题．
2．“x＝0”是“x2＝0”的
必备知识•探新知 关键能力•攻重难 课堂检测•固双基
必备知识•探新知
基础知识
知识点1 必要条件、充分条件和充要条件
命题 真假 推出 关系 条件 关系
人教A版高中数学必修一第一章2集合间的基本关系
第2讲 集合间的基本关系一、教学目标1．能判断存在子集关系的两个集合，谁是谁的子集，进一步确定其是否为真子集；2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；3．注意区别“包含于”，“包含”，“真包含”，“不包含”；4．注意区别“∈”与“⊆”的不同涵义。
二、知识点梳理知识点一：韦恩图用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图叫做韦恩图。
例1、求下列集合之间的关系，并用Venn 图表示．A ＝｛x ｜x 是平行四边形｝，B ＝｛x ｜x 是菱形｝，C ＝｛x ｜x 是矩形｝，D ＝｛x ｜x 是正方形｝．知识点二：集合间的基本关系子集的概念：对于两个集合A 与B,如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A 。
记作A),B B(A ⊇⊆或也可用维恩（Venn ）图（如下图）表示，这时我们就说集合A 是集合B 的子集。
推敲引申：（1）A 是B 的子集的含义是：集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素，数学表达式为：B x ∈⇒∈A x B A（2）若集合A 中有元素不是集合B 中的元素，我们就称“A 不包含于B”（或B 不包含A ），记作B ⊄A（3）空集是任何集合的子集，即对于任意给定的集合A ，始终有A ⊆φ（4）任何一个集合A 都是它本身的子集，因为对于任何一个集合A ，它的每一元素肯定属于集合A 本身，记作A ⊆A例2、用符号“⊆”、“⊇”、“∈”或“∉”填空：(1){},,,a b c d {},a b ； (2) ∅ {}1,2,3； (3) N Q ； (4) 0 R ； (5) d {},,a b c ； (6) {}|35x x << {}|06x x <． 例3、写出集合｛a ，b ｝的所有子集，例4、说出下列每对集合之间的关系．（1）A ＝｛1，2，3，4，｝，B ＝｛3，4｝．（2）N ，N*．（3）A=}{1,1-，B=}{)1,1(),1,1(),1,1(),1,1(----（4）A=}{6,3,2，B=}{的约数是12x x（5）A=}{是等边三角形x x ，B=}{是等腰三角形x x例5、设集合}{12A x x =<<，}{B x x a =<，且A B ⊆，则实数a 的范围是（ ）.2A a ≥ B.2a > C.1a > D.1a ≤ 变式训练若A=｛ｘ｜ｘ2－３ｘ＋２＝０｝，B=｛ｘ｜ｘ2－a ｘ＋a －１＝０｝，且Ｂ⊆Ａ，则a 的值为如果B A ⊆且B A ≠,就说集合A 是集合B 的真子集，记作B A ≠⊂(或A B ≠⊃) B A ≠⊂亦可以用维恩图表示，如右图所示。
高中数学第一章第2课教案
高中数学第一章第2课教案
教学内容：集合及其运算
教学目标：
1. 了解集合的定义和表示方式。
2. 掌握集合的基本运算：交集、并集、差集。
3. 能够运用集合的运算解决实际问题。
教学重点和难点：
重点：集合的定义、表示方式，集合的基本运算。
难点：理解集合运算的概念及运用。
教学准备：
1. 教材《数学》第一册。
2. 教学课件。
3. 练习题。
教学过程：
一、导入
教师引导学生回顾上节课所学内容，引出集合及其运算的主题。
二、讲解
1. 集合的定义和表示方式。
2. 集合的基本运算：交集、并集、差集。
三、讲解案例
教师通过案例演示集合的运算方法及应用，让学生深入理解集合运算的概念。
四、练习
教师布置练习题，让学生运用所学知识进行练习。
五、总结
教师对本节课所学内容进行总结，强调重要概念和运算方法。
六、作业
布置作业：完成《数学》第一册相关练习题。
七、课外拓展
学生可自行拓展集合运算的相关知识，加深对集合的理解。
教学反思：
教师应该结合学生实际情况，注重培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力，引导学生自主学习和思考。
同时，注重实际运用，让学生掌握数学知识的应用技能。
高中数学第一章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.1用空间向量研究直线平面的位置关系第2课
第一章 第2课时A 级——基础过关练1．若直线l 的方向向量为(2，1，m )，平面α的法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2，且l ⊥α，则m 的值为( )A ．1B ．2C ．4D ．－4【答案】C【解析】因为l ⊥α，所以直线l 的方向向量与平面α的法向量是共线向量，所以21＝112＝m2，解得m ＝4． 2．若平面α，β的法向量分别为n 1＝(2，－3，5)，n 2＝(－3，1，－4)，则( ) A ．α∥βB ．α⊥βC ．α，β相交但不垂直D ．以上均不正确【答案】C【解析】因为n 1·n 2＝(2，－3，5)·(－3，1，－4)＝2×(－3)＋(－3)×1＋5×(－4)＝－29≠0，所以n 1与n 2不垂直，显然n 1与n 2不平行，所以α，β相交但不垂直．3．已知点A (0，0，0)，B (－1，0，－1)，C (1，2，1)，P (x ，y ，1)，若PA ⊥平面ABC ，则点P 的坐标为( )A ．(1，0，－1)B ．(－1，0，1)C ．(1，－1，1)D ．(－1，0，0)【答案】B【解析】由已知得PA →＝(－x ，－y ，－1)，AB →＝(－1，0，－1)，AC →＝(1，2，1)．若PA ⊥平面ABC ，则⎩⎪⎨⎪⎧PA →·AB →＝0，PA →·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝0，－x －2y －1＝0，解得x ＝－1，y ＝0．故点P 的坐标为(－1，0，1)．故选B ． 4．在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4，2，0)，AP →＝(－1，2，－1)，则直线PA 与底面ABCD 的关系是( )A ．平行B ．垂直C ．在平面内D ．成60°角【答案】B【解析】因为AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4，2，0)，AP →＝(－1，2，－1)，所以AP →·AB →＝(－1)×2＋2×(－1)＋(－1)×(－4)＝0，AP →·AD →＝(－1)×4＋2×2＋(－1)×0＝0．所以AP →⊥AB →，AP →⊥AD →，即AP ⊥AB ，AP ⊥AD ．又因为AB ∩AD ＝A ，所以直线PA ⊥平面ABCD ．5．已知直线l 1的方向向量a ＝(2，－2，x )，直线l 2的方向向量b ＝(2，y ，－2)，若|a |＝3，且l 1⊥l 2，则x －y 的值是( )A ．－4或0B ．4或1C ．－4D ．0【答案】A【解析】因为|a |＝22＋（－2）2＋x 2＝3，所以x ＝±1．又因为l 1⊥l 2，所以a ⊥b ，所以a ·b ＝2×2－2y －2x ＝0，所以y ＝2－x ．当x ＝1时，y ＝1；当x ＝－1时，y ＝3．所以x －y ＝0或x －y ＝－4．6．设u ＝(－2，2，t )，v ＝(6，－4，5)分别是平面α，β的法向量，若α⊥β，则实数t 的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】因为α⊥β，所以u ⊥v ，则u ·v ＝－12－8＋5t ＝0，解得t ＝4．故选D ． 7．(多选)四边形ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，则下列等式成立的是( ) A ．PA →·AB →＝0 B ．PC →·BD →＝0 C ．PA →·CD →＝0 D ．PC →·AB →＝0 【答案】ABC【解析】因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA →·AB →＝0，PA →·CD →＝0成立．又因为PC →·BD →＝(PA →＋AB →＋AD →)·(AD →－AB →)＝PA →·(AD →－AB →)＋AD →2－AB →2＝0成立，PC →·AB →＝(PA →＋AB →＋AD →)·AB →＝PA →·AB→＋AB →2＋AD →·AB →≠0．故选项ABC 成立．8．已知单位向量a ，b 的夹角为45°，k a －b 与a 垂直，则k ＝____________． 【答案】22【解析】由题意可得a ·b ＝1×1×cos45°＝22，由向量垂直的充分必要条件可得(k a －b )·a ＝0，即k ×a 2－a ·b ＝k －22＝0，解得k ＝22． 9．平面α与平面β的法向量分别是m ，n ，直线l 的方向向量是a ，给出下列论断： ①m ∥n ⇒α∥β；②m ⊥n ⇒α⊥β； ③a ⊥m ⇒l ∥α；④a ∥m ⇒l ⊥α．其中正确的论断为________(把正确论断的序号填在横线上)． 【答案】①②④【解析】法向量平行的两个平面互相平行，①正确；法向量垂直的两个平面互相垂直，②正确；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线与平面平行或在平面内，③错误；直线的方向向量与平面的法向量共线，则直线与平面垂直，④正确．10．如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为棱BB 1的中点，在棱DD 1上是否存在点P 使MD ⊥平面PAC?解：如图，建立空间直角坐标系，则A (1，0，0)，C (0，1，0)，D (0，0，0)，M ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12．假设存在P (0，0，a )满足条件， 则PA →＝(1，0，－a )，AC →＝(－1，1，0)， 设平面PAC 的法向量n ＝(x 1，y 1，z 1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧PA →·n ＝0，AC →·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1－az 1＝0，－x 1＋y 1＝0，令x 1＝1，得y 1＝1，z 1＝1a，所以n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，1a ．若MD ⊥平面PAC ，则MD →∥n ．因为MD →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，－1，－12，所以a ＝2．又因为0≤a ≤1，所以不存在点P 使MD ⊥平面PAC ．B 级——能力提升练11．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，AD ＝22，P 为C 1D 1的中点，M 为BC 的中点，则△APM 的面积为( )A ． 2B ．3C ．2 2D ．2 3【答案】B【解析】以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ．依题意得D (0，0，0)，P (0，1，3)，C (0，2，0)，A (22，0，0)，M (2，2，0)，所以PM →＝(2，1，－3)，AM →＝(－2，2，0)．所以PM →·AM →＝(2，1，－3)·(－2，2，0)＝0，即PM →⊥AM →，所以AM ⊥PM ．又因为|AM →|＝（－2）2＋22＋02＝6，|PM →|＝22＋12＋（－3）2＝6．所以S △APM ＝12|AM →|·|PM →|＝12×6×6＝3．12．(多选)(2022年淄博期末)在空间直角坐标系Oxyz 中，平面α的法向量为n ＝(1，1，1)，直线l 的方向向量为m ，则下列说法错误的是( )A ．若m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，1，则l ∥αB ．若m ＝(1，0，－1)，则l ⊥αC ．平面α与所有坐标轴相交D ．原点O 一定不在平面α内 【答案】ABD【解析】对于A 选项，m ·n ＝－12－12＋1＝0，所以m ⊥n ，故l ∥α或l ⊂α，故A 错误；对于B 选项，m ·n ＝1＋0－1＝0，所以m ⊥n ，故l ∥α或l ⊂α，故B 错误；对于C 选项，由于法向量的横、纵、竖坐标均不取零，故平面不与坐标轴确定的平面平行，所以平面α与所有坐标轴相交，故C 正确；对于D 选项，由于法向量不能确定平面的具体位置，故不能确定原点O 与平面α的关系，故D 错误．故选ABD ．13．已知AB →＝(1，5，－2)，BC →＝(3，1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为________．【答案】407，－157，4【解析】由题意可知BP →⊥AB →，BP →⊥BC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧AB →·BC →＝0，BP →·AB →＝0，BP →·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧1×3＋5×1＋（－2）×z ＝0，（x －1）＋5y ＋（－3）×（－2）＝0，3（x －1）＋y －3z ＝0，解得x ＝407，y ＝－157，z ＝4．14．(2021年北京期中)如图，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD ＝60°．CD ＝CC 1＝1，则A 1C 与平面C 1BD ________(填“垂直”或“不垂直”)；A 1C 的长为________．【答案】垂直6【解析】设CB →＝a ，CD →＝b ，CC 1→＝c ，由题意可得CA 1→＝a ＋b ＋c ，则CA 1→·BD →＝CA 1→·(CD →－CB →)＝(a ＋b ＋c )·(b －a )＝b 2－a 2＋c ·b －c ·a ＝||c ·||b cos60°－||c ·||a cos60°＝0，∴CA 1⊥BD ，同理可证CA 1⊥BC 1，∵BD ∩BC 1＝B ，故CA 1⊥平面C 1BD ．∵∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD ＝60°，CD ＝CC 1＝1，∴CD ＝CB ＝CC 1＝1，∴CA 1→2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋a ·c )＝1＋1＋1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＋12＝6，∴CA 1→＝6，即A 1C 的长为6．15．如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，且MD ＝NB ＝1，E 为BC 的中点．在线段AN 上是否存在点S ，使得ES ⊥平面AMN?解：如图，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系．依题意，易得A (1，0，0)，M (0，0，1)，N (1，1，1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0． 假设在线段AN 上存在点S ，使得ES ⊥平面AMN ． 因为AN →＝(0，1，1)，可设AS →＝λAN →＝(0，λ，λ)． 又因为EA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，0，所以ES →＝EA →＋AS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，λ－1，λ．由ES ⊥平面AMN ，得⎩⎪⎨⎪⎧ES →·AM →＝0，ES →·AN →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－12＋λ＝0，（λ－1）＋λ＝0，故λ＝12，此时AS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，|AS →|＝22．经检验，当AS ＝22时，ES ⊥平面AMN ．故线段AN上存在点S，使得ES⊥平面AMN．。
高中数学必修2第1、2章知识点+习题
第一章 空间几何体1.1柱、锥、台、球的结构特征1 三视图：正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 2 画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等 3直观图：斜二测画法 4斜二测画法的步骤：（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）.平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变； （3）.画法要写好。
5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图空间几何体的表面积与体积（一 ）空间几何体的表面积1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和2 圆柱的表面积3 圆锥的表面积2r rl S ππ+=4 圆台的表面积22R Rl r rl S ππππ+++= 5 球的表面积24R S π=（二）空间几何体的体积 1柱体的体积 h S V ⨯=底2锥体的体积 h S V ⨯=底313台体的体积 h S S S S V ⨯++=)31下下上上（4球体的体积 334R V π=第一章 空间几何体一、选择题1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体可能是一个( )．222r rl S ππ+=主视图 左视图 俯视图 (第1题)A ．棱台B ．棱锥C ．棱柱D ．正八面体2．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )．A ．2＋2B ．221＋ C ．22＋2 D ．2＋13．棱长都是1的三棱锥的表面积为( )． A ．3B ．23C ．33D ．434．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )．A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对5．正方体的棱长和外接球的半径之比为( )． A ．3∶1B ．3∶2C ．2∶3D ．3∶36．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1.5，∠ABC ＝120°，若使△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是( )．A ．29π B ．27π C ．25π D ．23π 7．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )．A ．130B ．140C ．150D ．1608．如图，在多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF ＝23，且EF 与平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为( )．A ．29 B ．5C ．6D ．215 9．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误．．的是( )． A ．用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形 B ．几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同C．水平放置的矩形的直观图是平行四边形D．水平放置的圆的直观图是椭圆10．如图是一个物体的三视图，则此物体的直观图是()．(第10题)二、填空题11．一个棱柱至少有______个面，面数最少的一个棱锥有________个顶点，顶点最少的一个棱台有________条侧棱．12．若三个球的表面积之比是1∶2∶3，则它们的体积之比是_____________．13．正方体ABCD－A1B1C1D1 中，O是上底面ABCD的中心，若正方体的棱长为a，则三棱锥O－AB1D1的体积为_____________．14．如图，E，F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是___________．15．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则这个长方体的对角线长是___________，它的体积为___________．16．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为_________厘米．三、解答题17．有一个正四棱台形状的油槽，可以装油190 L，假如它的两底面边长分别等于60 cm和40 cm，求它的深度．18 *．已知半球内有一个内接正方体，求这个半球的体积与正方体的体积之比．[提示：过正方体的对角面作截面]19．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝22，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．(第19题)20．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12 m，高4 m，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)．(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；(3)哪个方案更经济些？第二章 直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系1 平面含义：平面是无限延展的2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。
高中数学第1章第2节
第一章第二节一、选择题1．(文)若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件[答案] A[解析]本题考查充要条件．a＝1成立，则|a|＝1成立．但|a|＝1成立时a＝1不一定成立，所以a＝1是|a|＝1的充分不必要条件．(理)设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件[答案] A[解析]本小题考查的内容是充分与必要条件的判定．若a＝1，则N＝{1}，∴N⊆M，反之不成立．2．(文)命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为()A．1 B．2C．3D．4[答案] B[解析]原命题为真命题，从而其逆否命题也为真命题；逆命题：若a>－6，则a>－3为假命题，则否命题也为假命题，故选B.(理)若命题p的逆命题是q，否命题是r，则命题q是命题r的()A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．不等价命题[答案] C[解析]因为命题p的逆命题是q，即命题q的逆命题是p，又p的否命题是r，所以命题q是命题r的逆否命题，故选C.3．(2013·天津高考)已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等； ③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切．其中真命题的序号是( ) A ．①②③ B ．①② C ．①③ D ．②③[答案] C[解析] 统计知识与直线和圆的位置关系的判断． 对于①，设球半径为R ，则V ＝43πR 3，r ＝12R ，∴V 1＝43π×(12R )3＝πR 36＝18V ，故①正确；对于②，两组数据的平均数相等，标准差一般不相等；对于③，圆心(0,0)，半径为22，圆心(0,0)到直线的距离d ＝22，故直线和圆相切，故①、③正确．4．(文)a <0，b <0的一个必要条件是( ) A ．a ＋b <0 B ．a －b >0 C.ab >1 D.ab<－1 [答案] A[解析] 由a <0，b <0可得a ＋b <0，所以a <0，b <0的一个必要条件是a ＋b <0，故选A. (理)对于非零向量a 、b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 考查平面向量平行的条件． ∵a ＋b ＝0，∴a ＝－b .∴a ∥b .反之，a ＝3b 时也有a ∥b ，但a ＋b ≠0.故选A. 5．有下列四个命题：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b ≤－1，则方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实根”的逆否命题； ④“若A ∪B ＝B ，则A ⊇B ”的逆否命题． 其中真命题是( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④[答案] C[解析] 写出相应命题并判定真假．①“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”为真命题；②“不相似三角形的周长不相等”为假命题；③“若方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0没有实根，则b >－1”为真命题；④“若A ⊉B ，则A ∪B ≠B ”为假命题．6．(文)“m ＝1”是“直线x －y ＝0和直线x ＋my ＝0互相垂直”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 两直线垂直的充要条件是1－m ＝0，即m ＝1，故选C. (理)“sin α＝12”是“cos2α＝12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 本题主要考查充要条件和三角公式． ∵cos2α＝1－2sin 2α＝12，∴sin α＝±12，∴sin α＝12⇒cos2α＝12，但cos2α＝12 ⇒ sin α＝12，∴“sin α＝12”是“cos2α＝12”的充分而不必要条件．二、填空题7．(2015·本溪质检)在命题“若m >－n ，则m 2>n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．[答案] 3[解析] 原命题为假命题，所以逆否命题也是假命题，逆命题“若m 2>n 2，则m >－n ”，也是假命题，从而否命题也是假命题．8．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________． [答案] [－3,0][解析] ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得⎩⎪⎨⎪⎧a <0Δ＝4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a <0，故－3≤a ≤0. 9．设有如下三个命题：甲：m ∩l ＝A ，m ，l α，m ，l β；乙：直线m ，l 中至少有一条与平面β相交； 丙：平面α与平面β相交．当甲成立时，乙是丙的__________条件． [答案] 充要[解析] 由题意乙⇒丙，丙⇒乙． 故当甲成立时乙是丙的充要条件． 三、解答题10．已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．(1)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件，若存在，求出m 的范围； (2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件，若存在，求出m 的范围． [解析] (1)由x 2－8x －20≤0， 得－2≤x ≤10.∴P ＝{x |－2≤x ≤10}， ∵x ∈P 是x ∈S 的充要条件，∴P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9. ∴这样的m 不存在．(2)由题意x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴m ≤3.综上可知m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件.一、选择题1．(文)有下列命题：①两组对应边相等的三角形是全等三角形； ②“若xy ＝0，则|x |＋|y |＝0”的逆命题； ③“若a >b ，则2x ·a >2x ·b ”的否命题； ④“矩形的对角线互相垂直”的逆否命题． 其中真命题共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个[答案] B[解析] ①是假命题，②是真命题，③是真命题，④是假命题． (理)下列命题中，假命题为( ) A ．存在四边相等的四边形不是正方形B ．z 1，z 2∈C ，z 1＋z 2为实数的充分必要条件是z 1，z 2互为共轭复数 C ．若x ，y ∈R ，且x ＋y >2，则x ，y 至少有一个大于1D ．对于任意n ∈N ＋， C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n 都是偶数[答案] B[解析] 本题考查了命题的真假判断，选项A 中，菱形满足条件，选项B 中只需z 1与z 2的虚部互为相反数即可，故B 错；选项C 、D 显然正确，故选B.2．(文)(2014·北京高考)设a ，b 是实数，则“a >b ”是“a 2>b 2”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] D[解析] 本题考查充分必要条件．a >b ⇒/ a 2>b 2，如a ＝0，b ＝－1；a 2>b 2⇒/ a >b ，如a ＝－5，b ＝3.举特例是解决充要条件的好方法．(理)(2014·北京高考)设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是“{a n }为递增数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] D[解析] 对于等比数列{a n }，若q >1，则当a 1<0时有{a n }为递减数列． 故“q >1”不能推出“{a n }为递增数列”．若{a n }为递增数列，则{a n }有可能满足a 1<0且0<q <1，推不出q >1. 综上，“q >1”为“{a n }为递增数列”的既不充分也不必要条件，即选D. 二、填空题3．(文)设集合A ＝{x |x x －1<0}，B ＝{x |x 2－4x <0}，那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的________条件．[答案] 充分不必要[解析] 若m ∈A ，则mm －1<0，∴0<m <1.若m ∈B ，则m 2－4m <0，即0<m <4. 故“m ∈A ”是“m ∈B ”的充分条件． 取m ＝2，则m m －1＝2，于是mm －1<0不成立，所以m ∈A 不成立．故“m ∈A ”不是“m ∈B ”的必要条件． 综上所述，“m ∈A ”是“m ∈B ”的充分不必要条件．(理)对于下列四个结论：①若A 是B 的必要不充分条件，则非B 也是非A 的必要不充分条件；②“⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝b 2－4ac ≤0”是“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为R ”的充要条件； ③“x ≠1”是“x 2≠1”的充分不必要条件； ④“x ≠0”是“x ＋|x |>0”的必要不充分条件． 其中，正确结论的序号是________． [答案] ①②④[解析] ∵“A ⇐B ”，∴“非A ⇒非B ”，故①正确．“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为R ”的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝b 2－4ac ≤0，故②正确．∵x ≠1⇒ x 2≠1，例如x ＝－1，故③错误． ∵x ＋|x |>0⇒x ≠0，但x ≠0⇒ x ＋|x |>0， 例如x ＝－1.故④正确．4．在“a ，b 是实数”的大前提之下，已知原命题是“若不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是非空数集，则a 2－4b ≥0”，给出下列命题：①若a 2－4b ≥0，则不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是非空数集； ②若a 2－4b <0，则不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是空集； ③若不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是空集，则a 2－4b <0； ④若不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是非空数集，则a 2－4b <0； ⑤若a 2－4b <0，则不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是非空数集； ⑥若不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是空集，则a 2－4b ≥0.其中是原命题的逆命题、否命题、逆否命题和命题的否定的命题的序号依次是________(按要求的顺序填写)．[答案] ①③②④[解析] “非空集”的否定是“空集”，“大于或等于”的否定是“小于”，根据命题的构造规则，题目的答案是①③②④.三、解答题5．(文)已知集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x |x <0}，若命题“A ∩B ＝∅”是假命题，求实数m 的取值范围．[解析] 因为“A ∩B ＝∅”是假命题，所以A ∩B ≠∅. 设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}，则U ＝{m |m ≤－1或m ≥32}．假设方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均非负，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U ，x 1＋x 2≥0，x 1x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U 4m ≥0，2m ＋6≥0⇒m ≥32.又集合{m |m ≥32}关于全集U 的补集是{m |m ≤－1}，所以实数m 的取值范围是{m |m ≤－1}．(理)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝2x 相交于A 、B 两点． (1)求证：“如果直线l 过点(3,0)，那么OA →·OB →＝3”是真命题． (2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由． [解析] (1)设l ：x ＝ty ＋3，代入抛物线y 2＝2x ， 消去x 得y 2－2ty －6＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴y 1＋y 2＝2t ，y 1·y 2＝－6， OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋3)(ty 2＋3)＋y 1y 2 ＝t 2y 1y 2＋3t (y 1＋y 2)＋9＋y 1y 2 ＝－6t 2＋3t ·2t ＋9－6＝3. ∴OA →·OB →＝3，故为真命题．(2)(1)中命题的逆命题是：“若OA →·OB →＝3，则直线l 过点(3,0)”它是假命题． 设l ：x ＝ty ＋b ，代入抛物线y 2＝2x ， 消去x 得y 2－2ty －2b ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2t ，y 1·y 2＝－2b . ∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2＝－2bt 2＋bt ·2t ＋b 2－2b ＝b 2－2b ， 令b 2－2b ＝3，得b ＝3或b ＝－1，此时直线l 过点(3,0)或(－1,0)．故逆命题为假命题．6．(文)求证：方程x 2＋ax ＋1＝0(a ∈R )的两实根的平方和大于3的必要条件是|a |>3，这个条件充分吗？为什么？[解析] ∵方程x 2＋ax ＋1＝0(a ∈R )有两实根， 则Δ＝a 2－4≥0，∴a ≤－2或a ≥2.设方程x 2＋ax ＋1＝0的两实根分别为x 1，x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝1， ∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝a 2－2≥3.∴|a |≥5> 3.∴方程x 2＋ax ＋1＝0(a ∈R )的两实根的平方和大于3的必要条件是|a |>3；但当a ＝2时，x 21＋x 22＝2≤3.因此这个条件不是其充分条件．(理)已知集合M ＝{x |x <－3或x >5}，P ＝{x |(x －a )·(x －8)≤0}． (1)求实数a 的取值范围，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的充要条件；(2)求实数a 的一个值，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的一个充分但不必要条件． [解析] (1)由 M ∩P ＝{x |5<x ≤8}，得－3≤a ≤5， 因此M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的充要条件是{a |－3≤a ≤5}．(2)求实数a 的一个值，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的一个充分但不必要条件，就是在集合{a |－3≤a ≤5}中取一个值，如取a ＝0，此时必有M ∩P ＝{x |5<x ≤8}；反之，M ∩P ＝{x |5<x ≤8}未必有a ＝0.故a ＝0是M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的一个充分不必要条件．。
高中数学 第一章 集合 第2课时 集合的表示方法练习 新人教B版必修1-新人教B版高一必修1数学试题
第2课时集合的表示方法课时目标1.掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法)．2．能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．识记强化1．列举法表示集合把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．2．描述法表示集合用集合所含元素的特征性质表示集合的方法称为描述法．具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)X围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的特征性质．课时作业(时间：45分钟，满分：90分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．用列举法表示集合{x|x2－3x＋2＝0}为( )A．{(1,2)} B．{(2,1)}C．{1,2} D．{x2－3x＋2＝0}答案：C2．集合M＝{(x，y)|xy＜0，x∈R，y∈R}是( )A．第一象限内的点集B．第三象限内的点集C．第四象限内的点集D．第二、四象限内的点集答案：D解析：∵xy＜0.∴x与y异号，故点(x，y)在第二或第四象限，故选D.(2)D＝{(x，y)|y＝－x2＋5，x∈N，y∈N}．解：(1)∵y∈N，∴0≤－x2＋5，∴x＝0,1,2，故y＝5,4,1，即C＝{5,4,1}．(2)x＝0时y＝5；x＝1时y＝4；x＝2时y＝1，∴D＝{(0,5)，(1,4)，(2,1)}．11．(13分)已知集合A＝{x|mx2－8x＋16＝0}只有一个元素，试某某数m的值．解：当m＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，解得x＝2，此时集合A＝{2}，满足题意；当m≠0时，要使一元二次方程mx2－8x＋16＝0有两个相等实根，需Δ＝64－64m＝0，解得m＝1，此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}，满足题意．综上所述，实数m的值为0或1.能力提升12．(5分)集合{x∈N*|x<5}的另一种表示法是( )A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}答案：B解析：集合{x∈N*|x<5}表示由所有小于5的正整数构成的集合，故选B.13．(15分)集合M中的元素为自然数，且满足若x∈M，则8－x∈M.试回答下列问题：(1)写出只有一个元素的集合M；(2)写出元素个数为2的所有的集合M；(3)满足题设条件的集合M共有多少个？解析：(1)M中只有一个元素，根据已知必须满足x＝8－x，所以x＝4.所以含一个元素的集合M＝{4}．(2)当M中只含两个元素时，其元素只能是x和8－x，所以元素个数为2的所有的集合M为{0,8}，{1,7}，{2,6}，{3,5}．(3)满足条件的集合M是由集合{4}，{0,8}，{1,7}，{2,6}，{3,5}中的元素组成，它包括以下情况：①{4}，{0,8}，{1,7}，{2,6}，{3,5}，共5个；②{4,0,8}，{4,1,7}，{4,2,6}，{4,3,5}，{0,8,1,7}，{0,8,2,6}，{0,8,3,5}，{1,7,2,6}，{1,7,3,5}，{2,6,3,5}，共10个；③{4,0,8,1,7}，{4,0,8,2,6}，{4,0,8,3,5}，{4,1,7,2,6}，{4,1,7,3,5}，{4,2,6,3,5}，{0,8,1,7,2,6}，{0,8,1,7,3,5}，{1,7,2,6,3,5}，{0,8,2,6,3,5}，共10个；④{4,0,8,1,7,2,6}，{4,0,8,1,7,3,5}，{4,0,8,2,6,3,5}，{4,1,7,2,6,3,5}，{0,8,1,7,2,6,3,5}，共5个；⑤{4,0,8,1,7,2,6,3,5}，共1个．于是满足题设条件的集合M共有5＋10＋10＋5＋1＝31个．。
_新教材高中数学第一章预备知识2
1．注意 p 与 p 的否定的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转化． 2．对求参数范围问题，往往分离参数，转化成求函数的最值问题．
[跟踪训练] (2021·烟台高一联考)命题“∃x∈R ，2x2－3ax＋9＜0”为假命题，则实数 a 的取值 范围为________． 解析：“∃x∈R ，2x2－3ax＋9＜0”为假命题，
全称量词命题与存在量词命题的否定 (1)要否定全称量词命题“∀x∈M，x 具有性质 p(x)”，只需在 M 中找到一个 x， 使得 p(x)不成立，也就是命题“∃x∈M，x 不具有性质 p(x)”成立； (2)要否定存在量词命题“∃x∈M，x 具有性质 p(x)”，需要验证对 M 中的每一 个 x，均有 p(x)不成立，也就是命题“∀x∈M，x 不具有性质 p(x)”成立； (3)一般命题的否定通常是在条件成立的前提下否定其结论，得到真假性完全相 反的两个命题；全称量词命题和存在量词命题的否定，是在否定结论 p(x)的同时， 改变量词的属性，即将全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词．
[跟踪训练] 1．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是
A．∀x∈R ，|x|>0
B．∃x∈R ，|x|>0
()
C．∀x∈R ，|x|≤0
D．∃x∈R ，|x|≤0
解析：由词语“有些”知原命题为存在量词命题，故其否定为全称量词命题， 因为命题的否定只否定结论，所以选 C.
答案：C
2．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定： (1)某些梯形的对角线互相平分； (2)∃x∈{x|x 是无理数}，x2 是无理数； (3)在同圆中，存在两段相等的弧，它们所对的圆周角不相等． 解析：(1)假命题．该命题的否定为：任意一个梯形的对角线都不互相平分． (2)真命题．该命题的否定为：∀x∈{x|x 是无理数}，x2 是有理数． (3)假命题．该命题的否定为：在同圆中，任意两段相等的弧所对的圆周角相等．
高中数学第一章用空间向量研究距离夹角问题第2课时夹角问题课件新人教A版选择性必修第一册
解 设正方体棱长为1.以B为坐标原点,BA,BE,BC所在直线分别为x轴、y轴、
z轴建立空间直角坐标系B-xyz(图略),则
M
1
1
,0, 2
2
,N
1 1
, ,0
2 2
,A(1,0,0),B(0,0,0).
设平面 AMN 的法向量 n1=(x,y,z).
由于 =
(1)证明 由已知得AM=
2
AD=2.
3
如图,取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC的中点知TN∥BC,TN=
1
BC=2.
2
又AD∥BC,故TN AM,所以四边形AMNT为平行四边形,于是MN∥AT.因为
AT⊂平面PAB,MN⊄平面PAB,所以MN∥平面PAB.
(2)解 如图,取BC的中点E,连接AE.
则B1(2,2,2),M(1,1,0),D1(0,0,2),N(1,0,0),
∴1 =(-1,-1,-2),1 =(1,0,-2),
∴B1M 与 D1N 所成角的余弦值为
|cos<1 , 1 >|=
-1+4
√1+1+4× √1+4
=
√30
.
10
知识点2 利用向量方法求直线与平面所成的角
=
所以直线 AN 与平面 PMN
8√5
.
25
8√5
所成角的正弦值为 25 .
规律方法 若直线l与平面α的夹角为θ,利用法向量计算θ的步骤如下
变式训练2
在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为CC1的中点,则直线A1B与平面
BDE所成的角为(
_新教材高中数学第一章预备知识2
4．下列各题中，哪些 p 是 q 的充要条件？ (1)p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等； (2)p：⊙O 内两条弦相等，q：⊙O 内两条弦所对的圆周角相等； (3)p：A∩B 为空集，q：A 与 B 之一为空集．
解：(1)因为 p⇔q，所以 p 是 q 的充要条件． (2)⊙O 内两条弦相等，它们所对的圆周角相等或互补，因此 p q，所以 p 不是 q 的充要条件． (3)取 A＝{1，2}，B＝{3}，显然，A∩B＝∅，但 A 与 B 均不为空集，因此，p q，所以 p 不是 q 的充要条件．
[跟踪训练]
1．a，b 中至少有一个不为零的充要条件是
A．ab＝0
B．ab＞0
C．a2＋b2＝0
D．a2＋b2＞0
()
解析： a2＋b2＞0，则 a，b 不同时为零；a，b 中至少有一个不为零，则 a2＋b2 ＞0. 答案：D
2．设集合 A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，则 A⊆(A∩B)的充要条件为 ________；一个充分不必要条件可为________．
B．x≤0 或 x≥2
C．x∈{2，3，5}
D．x≥2
()
解析：由 2x－4≥0 得 x≥2，所以选项中只有{2，3，5} {x|x≥2}，故只有 C 选
项中的条件是使不等式 2x－4≥0 成立的一个充分不必要条件． 答案：C
3．函数 y＝x2＋mx＋1 的图象关于直线 x＝1 对称的充要条件是________． 解析：函数 y＝x2＋mx＋1 的对称轴为 x＝－m2 ＝1，所以 m＝－2. 答案：－2
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：结合 Venn 图(图略)可知，A∩B＝A，得 A⊆B，反之，若 A⊆B，即集合
高中数学必修一1,2章节知识点
高一数学必修 1 各章知识点总结（by May）第一章集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义：某些研究对象组成的总体叫作集合，其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性： 1. 元素的确定性； 2.元素的互异性； 3. 元素的无序性 .说明： (1) 对于一个给定的集合，集合中的元素必须是确定的，这就是说不确定的对象就不能构成集合。
(2) 对于一个给定的集合，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入同一集合时，只能算作集合的一个元素。
如：由HAPPY的字母组成的集合 {H,A,P,Y}(3) 集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。
(4) 集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、集合的表示：(1) { ⋯ } 如{ 我校的篮球队员 } ，{ 太平洋 , 大西洋 , 印度洋 , 北冰洋 }(2) 用拉丁字母表示集合： A={我校的篮球队员 },B={1,2,3,4,5}4、常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作： N，正整数集N*或 N+，整数集Z，有理数集Q，实数集R5、关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如： a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A 记作 a ∈ A ，相反， a 不属于集合 A 记作 a A元素与集合的关系有且仅有两种：属于（用符号表示）和不属于（用符号表示）。
如 a A, a B 等。
6、集合的表示方法：（ 1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。
{a,b,c⋯⋯} （ 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
{x R| x-3>2} ,{x| x-3>2}（3）语言描述法：例： { 不是直角三角形的三角形 }（4） Venn 图 :7、集合的分类：(1) 有限集：含有有限个元素的集合(2) 无限集 ： 含有无限个元素的集合(3) 空集： 不含任何元素的集合例： {x|x 2=－ 5｝ =二、集合间的基本关系 1、“包含”关系（子集）注意： AB 有两种可能（ 1） A 是 B 的一部分，；（ 2）A 与 B 是同一集合，即 A=B 。
高中数学 第一章 第二节 充分条件与必要条件 1.2.2充要条件(2)课件 理 新人教版选修2-1
p是q的既非 充分又非必 要条件
韦恩图示
二、总结规律：
结论
p是q的充分 不必要条件
p，q的逻辑 集合A，B
关系
关系
p q且 q p
p是q的必要 不充分条件
q p且 p q
p是q的充要 条件
p是q的既非 充分又非必 要条件
韦恩图示
二、总结规律：
结论
p是q的充分 不必要条件
p，q的逻辑 集合A，B
AB
A（B）
p是q的既非 充分又非必
p q且 q pA B 且 B A A
B
要条件
AB
三、初步应用：
三、初步应用：
例 1.若p:A BS，q： (CSB) (CSA) 问p是q的什么q条 是p的 件什 ？么?条
三、初步应用：
例 1.若p:A BS，q： (CSB) (CSA) 问p是q的什么q条 是p的 件什 ？么?条
p是q的充要 条件
pq
AB
p是q的既非
充分又非必 p q且 q p 要条件
韦恩图示
二、总结规律：
结论
p是q的充分 不必要条件
p，q的逻辑 集合A，B
关系
关系
p q且 q p
韦恩图示
p是q的必要 不充分条件
q p且 p q
p是q的充要 条件
pq
AB
p是q的既非
充分又非必 p q且 q pA B 且 B A
充分又非必 p q且 q p 要条件
韦恩图示
二、ห้องสมุดไป่ตู้结规律：
结论
p是q的充分 不必要条件
p，q的逻辑 集合A，B
关系
关系
p q且 q p
p是q的必要 不充分条件
_新教材高中数学第一章空间向量与立体几何2
(2)由(1)知 MN＝
a－
222＋12
，所以，当 a＝
2 2
时，MN＝
2 2
.
即当 a＝
2 2
时，MN 的长最小，最小值为
2 2
.
计算两点间的距离的两种方法
(1)利用|a|2＝a·a，通过向量运算求|a|，如求 A，B 两点间的距离，一般
用|―A→B |＝
|―A→B |2 ＝
―→ ―→ AB ·AB
求解；
(2)用坐标法求向量的长度(或两点间距离)，此法适用于求解的图形适宜
建立空间直角坐标系时．
[跟踪训练] 如图所示，在▱ABCD 中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面 ABCD，PA＝6，求线段 PC 的长．
解：∵―P→C ＝―PA→＋―A→D ＋―D→C ，
∴|―P→C |2＝(―PA→＋―A→D ＋―D→C )2
；
|n |
(2)当平面与平面平行时，一个平面内任意一点 到另一个平面的距离 称为这两个 平行平面之间的距离．
如果平面 α 与平面 β 平行，n 是平面 β 的一个法向量，A 和 B 分别是平面 α 和平 |―B→A ·n |
面 β 内的点，则平面 α 和平面 β 之间的距离为 d＝____|_n_|____．
B．523
C．
53 2
D．
13 2
解析：∵M 点坐标为2，32，3 ，∴|MC|＝ 答案：C
（2－0）2＋32－12＋（3－0）2
＝
53 2
.
2．在四面体 P-ABC 中，PA，PB，PC 两两垂直，M 是平面 ABC 内一点，且点 M 到
其他三个平面的距离分别是 2，3，6，则点 M 到顶点 P 的距离是
_新教材高中数学第一章预备知识2
必要条件与充分条件新课程标准解读核心素养1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性数学抽象、逻辑推理质定理与必要条件的关系2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判数学抽象、逻辑推理定定理与充分条件的关系3.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数数学抽象、逻辑推理学定义与充要条件的关系第1课时必要条件与充分条件某居民的卧室里安有一盏灯，在卧室门口和床头各有一个开关，任意一个开关都能够独立控制这盏灯．这就是电器上常用的“双刀”开关，如图所示．[问题] (1)A开关闭合时B灯一定亮吗？(2)B灯亮时A开关一定闭合吗？预备知识命题的概念、分类及结构形式1．定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫作命题．2．分类：判断为真的语句是真命题；判断为假的语句是假命题．3．结构形式：“若p，则q”形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论．用符号“⇒”与“”填空：(1)x2＞1________x＞1；(2)a，b都是偶数________a＋b是偶数．解析：(1)若x2＞1，则x<－1或x>1，故x2＞1x＞1.(2)若a，b都是偶数，则a＋b一定是偶数，故a，b都是偶数⇒a＋b是偶数．答案：(1) (2)⇒知识点一 必要条件与性质定理一般地，当命题“若p ，则q ”是真命题时，称q 是p 的必要条件．也就是说，一旦q 不成立，p 一定也不成立，即q 对于p 的成立是必要的．知识点二 充分条件与判定定理一般地，当命题“若p ，则q ”是真命题时，称p 是q 的充分条件．综上，对于真命题“若p ，则q ”，即p ⇒q 时，称q 是p 的必要条件，也称p 是q 的充分条件．充分条件、必要条件的理解(1)对“推出”的正确理解，对于命题p ：x >2，q ：x >1.显然p 可以推出q ，记为p ⇒q ，而q 是不能推出p 的；(2)若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件．所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”；(3)若p ⇒q ，则q 是p 的必要条件．所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立”；(4)若p ⇒q ，但q p ，则称p 是q 的充分不必要条件； (5)若q ⇒p ，但p q ，则称p 是q 的必要不充分条件；(6)若p q ，且q p ，则称p 是q 的既不充分也不必要条件．(多选)下列条件中是x 2＞4的充分条件的是( ) A ．x ＞－2 B ．x ＜－2 C ．x ＜－3D ．x ＞4解析：选BCD 当x ＝0时，x ＞－2，但x 2＜4，故A 错，B 、C 、D 都对．必要条件的判断p q q 是p 的必要条件？(1)若一个四边形是等腰梯形，则这个四边形两条对角线相等； (2)若△ABC 是直角三角形，则△ABC 是等腰三角形； (3)若1x ＝1y，则x ＝y ；(4)若关于x 的方程ax ＋b ＝0(a ，b ∈R )有唯一解，则a ＞0.[解] (1)等腰梯形的两条对角线相等．因此p ⇒q ，所以q 是p 的必要条件．(2)直角三角形不一定是等腰三角形．因此p q ，所以q 不是p 的必要条件． (3)若1x ＝1y，则x ＝y 是真命题，因此p ⇒q ，所以q 是p 的必要条件．(4)命题“若关于x 的方程ax ＋b ＝0(a ，b ∈R )有唯一解，则a ＞0”为假命题，因此pq ，所以q 不是p 的必要条件．必要条件的两种判断方法(1)定义法：(2)命题判断方法：如果命题：“若p ，则q ”是真命题，则q 是p 的必要条件；如果命题：“若p ，则q ”是假命题，则q 不是p 的必要条件．[跟踪训练]设集合A ＝{x |x ≤1}，B ＝{x |x ≥a }，则“A ∪B ＝R ”是“a ＝1”的________条件．(填“充分”或“必要”)解析：因为集合A ＝{x |x ≤1}，B ＝{x |x ≥a }，当A ∪B ＝R 时，a ≤1，因为a ≤1不一定得到a ＝1，当a ＝1时一定可以得到a ≤1，所以“A ∪B ＝R ”是“a ＝1”的必要条件．答案：必要充分条件的判断[例2] (链接教科书第16页例2)下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？(1)若a ∈Q ，则a ∈R ； (2)若a ＜b ，则ab＜1；(3)若x ，y ∈R ，|x |＝|y |，则x ＝y ； (4)若(a －2)(a －3)＝0，则a ＝3； (5)在△ABC 中，若A ＞B ，则BC ＞AC ；(6)若四边形ABCD 是正方形，则四边形ABCD 是菱形． [解] (1)由于QR ，所以p ⇒q ，所以p 是q 的充分条件．(2)由于a ＜b ，当b ＜0时，a b ＞1；当b ＞0时，a b＜1.因此p q ，所以p 不是q 的充分条件．(3)若x ＝1，y ＝－1，则|x |＝|y |，但x ≠y ，所以p q ，所以p 不是q 的充分条件． (4)由(a －2)(a －3)＝0可以推出a ＝2或a ＝3，不一定有a ＝3，因此p q ，所以p 不是q 的充分条件．(5)由三角形中大角对大边可知，若A ＞B ，则BC ＞AC .因此p ⇒q ，所以p 是q 的充分条件．(6)由菱形和正方形的定义可知，所有的正方形都是菱形，所以p ⇒q ，所以p 是q 的充分条件．充分条件的两种判断方法(1)定义法：(2)命题判断方法：如果命题：“若p ，则q ”是真命题，则p 是q 的充分条件；如果命题：“若p ，则q ”是假命题，则p 不是q 的充分条件．[跟踪训练]设集合M ＝{x |0＜x ≤2}，N ＝{x |0＜x ≤3}，那么“a ∈M ”是“a ∈N ”的________条件．(填“充分”或“必要”)解析：由题意得，M ∪N ＝N ，所以“a ∈M ”⇒“a ∈N ”，所以“a ∈M ”是“a ∈N ”的充分条件．答案：充分根据必要条件、充分条件求参数的取值范围q 的充分条件，求实数a 的取值范围．[解] p ：3a ＜x ＜a ，即集合A ＝{x |3a ＜x ＜a }．q ：－2≤x ≤3，即集合B ＝{x |－2≤x ≤3}．因为p ⇒q ，所以A ⊆B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥－2，a ≤3，a ＜0⇒－23≤a ＜0，所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－23，0.[母题探究]1．(变条件)若本例中条件p 改为“实数x 满足a ＜x ＜3a ，其中a ＞0”，若p 是q 的必要条件，求实数a 的取值范围．解：p ：a ＜x ＜3a ，即集合A ＝{x |a ＜x ＜3a }．q ：－2≤x ≤3，即集合B ＝{x |－2≤x ≤3}．因为q ⇒p ，所以B ⊆A ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ＞3，a ＜－2，⇒a ∈∅.a ＞02．(变条件)若本例中的条件“q ：实数x 满足－2≤x ≤3”改为“q ：实数x 满足－3≤x ≤0”其他条件不变，求实数a 的取值范围．解：p ：3a ＜x ＜a ，其中a ＜0，即集合A ＝{x |3a ＜x ＜a }．q ：－3≤x ≤0，即集合B ＝{x |－3≤x ≤0}．因为p 是q 的充分条件，所以p ⇒q ，所以A ⊆B ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥－3，a ≤0，a ＜0⇒－1≤a ＜0.所以a 的取值范围是[－1，0)．利用充分(必要)条件确定参数的值(范围)的步骤 (1)记集合M ＝{x |p (x )}，N ＝{x |q (x )}；(2)若p 是q 的充分条件，则M ⊆N ；若p 是q 的必要条件，则N ⊆M ； (3)根据集合的关系列不等式(组)； (4)解不等式(组)得结果．[跟踪训练]已知全集U ＝R ，非空集合A ＝{x |2＜x ＜3a ＋1}，B ＝{x |a ＜x ＜a ＋2}．记p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．解：∵A ≠∅，∴3a ＋1＞2，即a ＞13.∵q 是p 的必要条件，∴A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a ＋1≤a ＋2，解得a ≤12，又a ＞13，∴13＜a ≤12，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤13，12.1．a ＜b ，b ＜0的一个必要条件是( ) A ．a ＋b ＜0 B ．a －b ＞0 C.a b ＜1D.a b＜－1解析：选A 因为a ＜b ，b ＜0⇒a ＜0，b ＜0⇒a ＋b ＜0.所以a ＋b ＜0是a ＜b ，b ＜0的一个必要条件．2．若a ∈R ，则“a ＝1”是“|a |＝1”的( ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．既不是充分条件，也不是必要条件D ．无法判断解析：选A 当a ＝1时，|a |＝1成立，但|a |＝1时，a ＝±1，所以a ＝1不一定成立．所以“a ＝1”是“|a |＝1”的充分条件．3．若p ：a ∈M ∪N ，q ：a ∈M ，则p 是q 的( ) A ．充分条件但不是必要条件 B ．必要条件但不是充分条件 C ．既是充分条件，也是必要条件 D ．既不是充分条件，也不是必要条件解析：选B 由a ∈M ∪N a ∈M ，但a ∈M ⇒a ∈M ∪N ，即p q ，但q ⇒p .4．若集合A ＝{1，m 2}，B ＝{2，4}，则“m ＝2”是“A ∩B ＝{4}”的________条件．(填“充分”或“必要”)解析：当A ∩B ＝{4}时，m 2＝4，所以m ＝±2.所以“m ＝2”是“A ∩B ＝{4}”的充分条件．答案：充分。
人教版高中数学第一章函数的概念(第2课时)(共42张PPT)教育课件
类型 三 求形如f(g(x))的函数的定义域
• 例6.已知函数 f(x) 5x 1
x2 （1）求f(x)的定义域； （2）求f(x+3)的表达式，以及f(x+3)的定义域。 （3）求f(2x+1)的表达式，以及f(2x+1)的定义域。
注意： 1. 函数f(x+3)的定义域指的是x的取值范围，而不是x+3 的取值范围。 2.本题中函数f(x+3)的定义域为-1<x≤2，则2<x+3 ≤5
［1,2］还是2x+1∈［1,2］? f(x)，f(2x+1)和f(2x-1)中的
x，2x+1和2x-1的取值范围有何关系？
探究提示：
1.x+ 1 ∈［0,2］，x- 1∈［0,2］.
2
2
2.定义域就是自变量的取值范围.y=f(2x+1)的定义域为
［1,2］，它的含义是x∈［1,2］.f(x)，f(2x+1)和f(2x-1)
【变式训练】(2013·武汉高一检测)已知集合 A={1,2,3},B={4,5,6},f:A→B是从集合A到集合B的一个函数， 那么该函数的值域C的不同情况有( ) A.6种 B.7种 C.8种 D.9种 【解题指南】依据函数的定义来判断函数个数，进而求值域. 【解析】选B.结合函数定义，可知能构成7个函数，其值域有7 种不同情况. 即值域为{4},{5},{6},{4,5},{4,6},{5,6},{4,5,6}.
【变式训练】若函数y＝f(x)的定义域是［0,2］，则函数g(x)
＝ f 2 x 的定义域是(
x－1
A.［0,1］
) B.［0,1)
C.［0,1)∪(1,4］
新教材高中数学第一章直线与方程2
直线的一般式方程新课程标准解读核心素养 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的一般式 数学抽象 2.会进行直线方程的五种形式间的转化数学运算同学们，前面我们学习了直线方程的四种形式：点斜式、斜截式、两点式、截距式． [问题] (1)你能发现这四种形式的直线有什么共同特征吗？ (2)探究它们的方程能否化简为统一的形式．知识点 直线的一般式方程1．定义：关于x ，y 的二元一次方程 Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不全为0)叫作直线的一般式方程．2．系数的几何意义：当B ≠0时，则－A B ＝k (斜率)，－C B＝b (y 轴上的截距)； 当B ＝0，A ≠0时，则－C A＝a (x 轴上的截距)，此时不存在斜率．1．平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x ，y 的二元一次方程表示吗？ 提示：都可以．2．每一个关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)都能表示一条直线吗？提示：都能表示一条直线．1．直线x －3y ＋1＝0的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°解析：选A 由直线的一般式方程，得它的斜率为33，从而倾斜角为30°.2．斜率为2，且经过点A (1，3)的直线的一般式方程为________． 解析：由直线点斜式方程可得y －3＝2(x －1)，化成一般式为2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝0直线的一般式方程[例1] 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率是3且经过点A (5，3)； (2)经过A (－1，5)，B (2，－1)两点； (3)在x ，y 轴上的截距分别是－3，－1. [解] (1)由点斜式方程得y －3＝3(x －5)， 整理得3x －y ＋3－53＝0.(2)由两点式方程得y －5－1－5＝x －（－1）2－（－1），整理得2x ＋y －3＝0.(3)由截距式方程得x －3＋y－1＝1，整理得x ＋3y ＋3＝0.求直线一般式方程的策略(1)当A ≠0时，方程可化为x ＋B A y ＋C A ＝0，只需求B A ，C A 的值；若B ≠0，则方程化为A Bx ＋y ＋C B ＝0，只需确定A B ，C B的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程；(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．[跟踪训练]1．已知直线l 的倾斜角为60°，在y 轴上的截距为－4，则直线l 的点斜式方程为________；截距式方程为________；斜截式方程为________；一般式方程为________．解析：点斜式方程： y ＋4＝3(x －0)，截距式方程：x 433＋y－4＝1，斜截式方程： y＝3x －4，一般式方程：3x －y －4＝0.答案：y ＋4＝3(x －0)x 433＋y－4＝1 y ＝3x －4 3x －y －4＝02．把直线l 的一般式方程x －2y ＋6＝0化为斜截式，求出直线l 的斜率以及它在x 轴与y 轴上的截距，并画出图形．解：把直线l 的一般式方程化为斜截式y ＝12x ＋3.因此，直线l 的斜率k ＝12，它在y 轴上的截距是3.在直线l 的方程x －2y ＋6＝0中，令y ＝0，得x ＝－6， 即直线l 在x 轴上的截距是－6.由上面可得直线l 与x 轴、y 轴的交点坐标分别为A (－6，0)，B (0，3)， 如图，过A ，B 两点作直线，就得直线l .直线的一般式方程的应用[例2] (链接教科书第17页例6)设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x －(2m 2＋m －1)y ＋6－2m ＝0.(1)已知直线l 在x 轴上的截距为－3，求m 的值； (2)已知直线l 的斜率为1，求m 的值．[解] (1)由题意知m 2－2m －3≠0，即m ≠3且m ≠－1， 令y ＝0，则x ＝2m －6m 2－2m －3，∴2m －6m 2－2m －3＝－3，得m ＝－53或m ＝3(舍去)．∴m ＝－53.(2)由题意知，2m 2＋m －1≠0，即m ≠12且m ≠－1.由直线l 化为斜截式方程得y ＝m 2－2m －32m 2＋m －1x ＋6－2m2m 2＋m －1，则m 2－2m －32m 2＋m －1＝1， 得m ＝－2或m ＝－1(舍去)． ∴m ＝－2.[母题探究](变设问)对于本例中的直线l ，若直线l 与y 轴平行，求m 的值． 解：∵直线l 与y 轴平行，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3≠0，－（2m 2＋m －1）＝0，6－2m ≠0，∴m ＝12.已知含参的直线的一般式方程求参数的值(范围)的步骤[跟踪训练]直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求a 的值； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．解：(1)①当a ＝－1时，直线l 的方程为y ＋3＝0，显然不符合题意； ②当a ≠－1时，令x ＝0，则y ＝a －2， 令y ＝0，则x ＝a －2a ＋1. ∵l 在两坐标轴上的截距相等， ∴a －2＝a －2a ＋1， 解得a ＝2或a ＝0. 综上，a 的值为2或0.(2)直线l 的方程可化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，故要使l 不经过第二象限，只需⎩⎪⎨⎪⎧－（a ＋1）≥0，a －2≤0，解得a ≤－1. ∴a 的取值范围为(－∞，－1]．1．直线x 3＋y4＝1化成一般式方程为( )A ．y ＝－43x ＋4B ．y ＝－43(x －3)C ．4x ＋3y －12＝0D ．4x ＋3y ＝12答案：C2．在直角坐标系中，直线x ＋3y －3＝0的倾斜角是( ) A ．30°B ．60°C ．150°D ．120°解析：选C 直线斜率k ＝－33，所以倾斜角为150°，故选C. 3．若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A ，B 应满足的条件为( ) A ．A ≠0 B ．B ≠0 C ．A ·B ≠0D ．A 2＋B 2≠0解析：选D 方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线的条件为A ，B 不能同时为0，即A 2＋B 2≠0. 4．已知直线mx －2y －3m ＝0(m ≠0)在x 轴上的截距是它在y 轴上截距的4倍，则m ＝________．解析：直线方程可化为x 3＋y－3m 2＝1，∴－3m 2×4＝3，解得m ＝－12.答案：－12。
_新教材高中数学第一章预备知识2
全称量词与存在量词新课程标准解读核心素养1.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义数学抽象、逻辑推理2.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定数学抽象3.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定数学抽象第1课时全称量词命题与存在量词命题在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城．我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸．我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人．可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸．这就是著名的“罗素理发师悖论”．[问题] 你能对上述问题进行逻辑分析吗？知识点一全称量词命题与全称量词1．全称量词命题在给定集合中，断言所有元素都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题．2．全称量词在命题中，诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词，用符号“∀”表示，读作“对任意的”．1．一个全称量词命题可以包含多个变量，如“∀x，y∈R，x2＋y2≥0”．2．全称量词命题含有全称量词，有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需把它补充出来．例如，命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)命题“任意一个自然数都是正整数”是全称量词命题．( )(2)命题“三角形的内角和是180°”是全称量词命题．( )(3)命题“梯形有两边平行”不是全称量词命题．( )答案：(1)√ (2)√ (3)×2．将命题“x 2＋y 2≥2xy ”改写为全称量词命题为________．解析：命题“x 2＋y 2≥2xy ”是指对任意x ，y ∈R ，都有x 2＋y 2≥2xy 成立，故命题“x 2＋y 2≥2xy ”改写成全称量词命题为：对任意x ，y ∈R ，都有x 2＋y 2≥2xy 成立．答案：对任意x ，y ∈R ，都有x 2＋y 2≥2xy 成立知识点二 存在量词命题与存在量词1．存在量词命题 在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题． 2．存在量词在命题中，诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词，用符号“∃”表示，读作“存在”．1．一个存在量词命题可以包含多个变量，如“∃a ，b ∈R ，使(a ＋b )2＝(a －b )2”．2．含有存在量词“存在”“有一个”等的命题，或虽没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题．1．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( )A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0C ．两个无理数的和必是无理数D ．存在一个负数x ，使1x>2 解析：选B A 是全称量词命题．B 项为存在量词命题，当x ＝0时，x 2＝0成立，所以B 正确．因为3＋(－3)＝0，所以C 为假命题．对于任何一个负数x ，都有1x<0，所以D 错误．故选B. 2．下列语句是存在量词命题的是________．(填序号)①任意一个自然数都是正整数；②存在整数n ，使n 能被11整除；③若3x －7＝0，则x ＝73； ④有些函数为奇函数．答案：②④全称量词命题与存在量词命题的判断[例1] (链接教科书第19页例4)(1)下列命题：①有的平行四边形是菱形；②任何一个实数乘以0都等于0；③有一个角α，使sin α＝12；④凸多边形的外角和等于360°；⑤所有正数都是实数．其中是全称量词命题的为____________，是存在量词命题的为____________．(填序号)(2)用量词符号“∀”“∃”表述下列命题：①所有实数x 都能使x 2＋x ＋1＞0成立；②对所有实数a ，b ，方程ax ＋b ＝0恰有一个解；③一定有整数x ，y ，使得3x －2y ＝10成立．(1)[解析] ①含有存在量词“有的”，故为存在量词命题；②含有全称量词“任何一个”，故为全称量词命题；③含有存在量词“有一个”，故为存在量词命题；④可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，含有全称量词“所有”，故为全称量词命题；⑤含有全称量词“所有”，故为全称量词命题．[答案] ②④⑤ ①③(2)[解] ①∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＞0.②∀a ，b ∈R ，ax ＋b ＝0恰有一解．③∃x ，y ∈Z ，3x －2y ＝10.判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路[提醒] 全称量词命题可能省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略．[跟踪训练]判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题：(1)矩形有一个外接圆；(2)非负实数有两个平方根；(3)有一对实数(x，y)，使2x－y＋1＜0成立．解：(1)可以改写为“所有的矩形都有一个外接圆”，是全称量词命题．(2)可以改写为“所有的非负实数都有两个平方根”，是全称量词命题．(3)可以改写为“∃x∈R，y∈R，使2x－y＋1＜0成立”，是存在量词命题.全称量词命题与存在量词命题的真假判断[例2] 判断下列命题的真假：(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；(2)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；(3)至少有一个直角三角形不是等腰三角形；(4)∃x∈R，x2－3x＋2＝0；(5)∀x，y∈Z，(x－y)2＝x2－2xy＋y2.[解] (1)是真命题．(2)是假命题，如边长为1的正方形，对角线长度为2，就不能用正有理数表示．(3)是真命题，如有一个内角为30°的直角三角形就不是等腰三角形．(4)是真命题，x＝2或x＝1都能使x2－3x＋2＝0成立．(5)是真命题，因为完全平方公式对任意实数都成立，显然对整数成立．全称量词命题与存在量词命题真假的判断技巧(1)全称量词命题真假的判断：要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M 中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只需举出限定集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)；(2)存在量词命题真假的判断：要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M 中，找到一个x0，使p(x0)成立即可；否则，这一存在量词命题就是假命题．[跟踪训练]指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假：(1)∃x∈Q，x2＝3；(2)每一个三角形的内角和都是180°；(3)钝角三角形有的高在三角形外部；(4)对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0.解：(1)存在量词命题．由于使x2＝3成立的实数只有±3，且它们都不是有理数．因此没有任何一个有理数的平方能等于3，所以该命题是假命题．(2)全称量词命题．由三角形的内角和定理可知，该命题是真命题．(3)存在量词命题．钝角三角形的高有可能在三角形外部，所以该命题是真命题．(4)全称量词命题．a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，所以该命题是假命题.由含量词命题的真假求参数的范围[例3] (1)已知集合A＝{x|1≤x≤2}，若命题“∀x∈A，一次函数y＝x＋m的图象在x轴上方”是真命题，则实数m的取值范围是____________．(2)若命题“∃x∈R，使得方程ax2＋2x－1＝0成立”是真命题，求实数a的取值范围．(1)[解析] 当1≤x≤2时，1＋m≤x＋m≤2＋m，因为一次函数y＝x＋m的图象在x轴上方，所以1＋m＞0，即m＞－1，所以实数m的取值范围是{m|m＞－1}．[答案] {m|m＞－1}(2)[解] 由题意得，关于x的方程ax2＋2x－1＝0有实数根，当a＝0时，方程为2x －1＝0，显然有实数根，满足题意；当a≠0时，Δ＝4＋4a≥0，解得a≥－1，且a≠0.综上知，实数a的取值范围是{a|a≥－1}．[母题探究](变条件)本例(2)中的方程改为“x2＋2x＋2＝m”，求实数m的取值范围．解：依题意，方程x2＋2x＋2－m＝0有实数解，所以Δ＝4－4(2－m)≥0，解得m≥1，故实数m的取值范围是{m|m≥1}．利用含量词的命题的真假求参数的取值范围(1)含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒成立有关，可根据有关代数恒等式(如x2≥0)，确定参数的取值范围；(2)含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，可借助根的判别式等知识解决．[跟踪训练]若“存在x∈{x|3≤x≤5}，x≥m”是真命题，则实数m的取值范围是________．解析：当m≤5时，“存在x∈{x|3≤x≤5}，x≥m”是真命题．答案：(－∞，5]1．下列命题：①至少有一个x，使x2＋2x＋1＝0成立；②对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立；③对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立；④存在x，使x2＋2x＋1＝0不成立．其中是全称量词命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 由定义知②③正确．故选B.2．下列各命题中，真命题是( )A ．∀x ∈R ，1－x 2＜0B ．∀x ∈N ，x 2≥1C ．∃x ∈Z ，x 3＜1D ．∃x ∈Q ，x 2＝2 解析：选C ∃x ∈Z ，x 3＜1正确．A 、B 、D 不正确．3．下列命题中，是全称量词命题的是________；是存在量词命题的是________．(填序号)①正方形的四条边相等；②有两个角相等的三角形是等腰三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．解析：①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称量词命题；②是全称量词命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根不等于0”是全称量词命题；④是存在量词命题．答案：①②③ ④4．指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假：(1)存在一个实数，使等式x 2＋x ＋8＝0成立；(2)每个二次函数的图象都与x 轴相交． 解：(1)存在量词命题．因为x 2＋x ＋8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋314＞0.所以该命题为假命题． (2)全称量词命题．如函数y ＝x 2＋1的图象与x 轴不相交，所以该命题为假命题．。
2021_2022高中数学第一章集合与函数概念2
函数的概念1．函数的概念设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意数x ，在集合B 中都有唯一的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x A .其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数y ＝f (x )的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x A }叫做函数y ＝f (x )的值域，则值域是集合B 的子集．注意：(1)“A ，B 是非空的数集”，一方面强调了A ，B 只能是数集，即A ，B 中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的．(2)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A 中的任意一个(任意性)元素x ，在非空数集B 中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y 与之对应．这三性只要有一个不满足便不能构成函数．2．常见函数的定义域和值域函数 函数关系式定义域 值域 正比例函数 y ＝kx (k ≠0) ____R反比例函数y ＝kx (k ≠0) {x |____} {y |y ≠0}一次函数y ＝kx ＋b(k ≠0)R ____二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)Ra ＞0 {y | y ≥ }a ＜0⎩⎨⎧y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ≤4ac －b 24a有时给出的函数没有明确说明其定义域，这时，它的定义域就是使函数表达式有意义的自变量的取值范围．例如函数y ＝x 的定义域为[0，＋)，函数y ＝1x ＋1的定义域为(－，－1)(－1，＋)．（1）函数y ＝f (x )的定义域为P ，值域为Q ，对于m P ，与m 对应的函数值为n ，则有( )．A．n P B．m＝n C．n P Q D．n唯一（2）函数y＝5－2x的定义域是( )．A．R B．Q C．N D．（3）函数y＝2x2－x的值域是__________．3．区间与无穷大(1)区间的概念．设a，b是两个实数，且a＜b.定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间{x|a＜x＜b}开区间{x|a≤x＜b}半闭半开区间{x|a＜x≤b}半开半闭区间这里的实数a与b都叫做相应区间的端点．并不是所有的数集都能用区间来表示．例如，数集M＝{1,2,3,4}就不能用区间表示．由此可见，区间仍是集合，是一类特殊数集的另一种符号语言．只有所含元素是“连续不间断”的实数的集合，才适合用区间表示．(2)无穷大．“”读作“无穷大”，“－”读作“负无穷大”，“＋”读作“正无穷大”，满足x≥a，x＞a，x≤a，x＜a的实数x的集合可用区间表示，如下表．定义R{x|x≥a}{x|x＞a} {x|x≤a}{x|x＜a}符号(－，＋)（1）集合{x|x≥1}用区间表示为( )．A．(－，1) B．(－，1] C．(1，＋) D．[1，＋)（2）区间[5,8)表示的集合是( )．A．{x|x≤5，或x＞8} B．{x|5＜x≤8} C．{x|5≤x＜8} D．{x|5≤x≤8}4．函数相等一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域，其中值域是由________和________决定的．如果两个函数的定义域相同，并且________完全一致，我们就称这两个函数相等．函数符号f(x)的意义剖析： (1)符号y＝f(x)表示变量y是变量x的函数，它仅仅是函数符号，并不表示y 等于f与x的乘积．(2)符号f(x)与f(m)既有区别又有联系，当m是变量时，函数f(x)与函数f(m)相等；当m是常数时，f(m)表示当自变量x＝m时对应的函数值，是一个常量．(3)符号f可以看作是对“x”施加的某种法则或运算．例如f(x)＝x2－x＋5，当x＝2时，看作对“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去2，再加上5；当x为某一代数式(或某一个函数)时，则左右两边的所有x都用同一个代数式(或某一个函数)来代替．如：f(2x＋1)＝(2x＋1)2－(2x＋1)＋5，f[g(x)]＝[g(x)]2－g(x)＋5.题型一函数关系的判断【例1】下列式子能否确定y是x的函数？(1)x2＋y2＝2； (2)x－1＋y－1＝1； (3)y＝x－2＋1－x.反思：(1)判断一个对应关系f：A→B是否是函数，要从以下三个方面去判断：①A，B 必须是非空数集；②A中的任何一个元素在B中必须有元素与其对应；③A中任一元素在B 中必有唯一元素与其对应．(2)函数的定义中“任意一个数x”与“唯一确定的数f(x)”说明函数中两个变量x，y 的对应关系是“一对一”或者是“多对一”，而不能是“一对多”．题型二求函数值【例2】已知f(x)＝11＋x(x R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x R)．(1)求f(2)，g(2)的值； (2)求f[g(3)]的值．题型三求函数的定义域【例3】求函数y＝－2x＋1－1－x的定义域．反思：(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R.(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合．(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合．(4)如果f (x )是由几个部分构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合(即求各部分自变量取值集合的交集)．(5)对于由实际背景确定的函数，其定义域还要受实际问题的制约． 题型四 判断函数相等【例4】 判断下列各组函数是否是相等函数：(1)f (x )＝x ＋2，g (x )＝x 2－4x －2；(2)f (x )＝(x －1)2，g (x )＝x －1； (3)f (x )＝x 2＋x ＋1，g (t )＝t 2＋t ＋1.反思：判断两个函数f (x )和g (x )是否相等的方法是：先求函数f (x )和g (x )的定义域，如果定义域不同，那么它们不相等，如果定义域相同，再化简函数的表达式，如果化简后的函数表达式相同，那么它们相等，否则它们不相等．题型五 易混易错题易错点 求函数定义域时先化简函数关系式 【例5】 求函数y ＝x －2x ＋1x －2x ＋3的定义域．答案：【例1】 解：(1)由x 2＋y 2＝2，得y ＝±2－x 2.当x ＝1时，对应的y 值有两个，故y 不是x 的函数．(2)由x －1＋y －1＝1，得y ＝(1－x －1)2＋1.所以当x 在{x |x ≥1}中任取一个值时，都有唯一的y 值与之对应，故y 是x 的函数．(3)因为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，1－x ≥0的解集是∅，即x 取值的集合是，故y 不是x 的函数．【例2】 解：(1)∵f (x )＝11＋x ，∴f (2)＝11＋2＝13. 又∵g (x )＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6. (2)∵g (3)＝32＋2＝11， ∴f [g (3)]＝f (11)＝11＋11＝112.【例3】 解：要使函数有意义，自变量x 的取值需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x ≥0，解得x ≤1，且x ≠－1，即函数的定义域是{x |x ≤1，且x ≠－1}．【例4】 解：(1)f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为{x |x ≠2}． 由于定义域不同，故f (x )与g (x )不是相等函数．(2)f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为R ，即定义域相同． 由于f (x )与g (x )的表达式不相同， 故f (x )与g (x )不是相等函数．(3)两个函数的自变量所用字母不同，但其定义域和对应关系一致，故是相等函数． 【例5】要使函数有意义，必须使(x －2)(x ＋3)≠0， 即x －2≠0且x ＋3≠0，解得x ≠2且x ≠－3， 故所求函数的定义域为{x |x ≠2，且x ≠－3}．1函数y ＝1x x -+的定义域为( )．A ．{x |x ≤1} B．{x |x ≥0} C ．{x |x ≥1，或x ≤0} D．{x |0≤x ≤1} 2下列式子中，y 不是x 的函数的是( )．A ．x ＝y 2＋1 B ．y ＝2x 2＋1 C ．x －2y ＝6 D ．x ＝y3已知函数f (x )＝2x －1，则f [f (2)]＝__________. 4判断下列各组的两个函数是否相等，并说明理由．(1)y ＝x －1，x R 与y ＝x －1，x N ； (2)y ＝2x 与y ＝x x ⋅； (3)y ＝1＋1x 与y ＝1＋1u. 5已知函数f (x )＝x 2＋1，x R .(1)分别计算f (1)－f (－1)，f (2)－f (－2)，f (3)－f (－3)的值．(2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明．答案：1． D 要使函数有意义需10,0,xx-≥⎧⎨≥⎩解得0≤x≤1.2． A 选项B，C，D都满足一个x对应唯一的y，故y是x的函数．对于选项A，存在一个x对应两个y的情况，如x＝5时，y＝±2.故y不是x的函数．3． 5 ∵f(2)＝2×2－1＝3，∴f[f(2)]＝f(3)＝3×2－1＝5.4．解：(1)前者的定义域是R，后者的定义域是N，由于它们的定义域不同，故不相等．(2)前者的定义域是R，后者的定义域是{x|x≥0}，它们的定义域不同，故不相等．(3)两个函数的定义域相同(均为非零实数)，对应关系相同(都是自变量取倒数后加1)，故相等．5．解：(1)f(1)－f(－1)＝(12＋1)－[(－1)2＋1]＝2－2＝0；f(2)－f(－2)＝(22＋1)－[(－2)2＋1]＝5－5＝0；f(3)－f(－3)＝(32＋1)－[(－3)2＋1]＝10－10＝0.(2)由(1)可发现结论：对任意x∈R，有f(x)＝f(－x)．证明如下：由题意，得f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)．故对任意x R，总有f(x)＝f(－x)．。
新教材高中数学第一章空间向量与立体几何2空间向量基本定理基础过关含解析新人教A版选择性必修第一册
空间向量基本定理基础过关练题组一 空间向量基本定理及相关概念的理解1.设x=a+b ，y=b+c ，z=c+a ，且{a ，b ，c}是空间的一个基底，给出下列向量组:①{a ，b ，x};②{x ，y ，z};③{b ，c ，z};④{x ，y ，a+b+c}，则其中可以作为空间的基底的向量组有(深度解析) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.若p:a ，b ，c 是三个非零向量;q:{a ，b ，c}为空间的一个基底，则p 是q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知{e 1，e 2，e 3}为空间的一个基底，若a=e 1+e 2+e 3，b=e 1+e 2-e 3，c=e 1-e 2+e 3，d=e 1+2e 2+3e 3，且d=αa+βb+γc，则α，β，γ分别为 . 题组二 用空间的基底表示空间向量4.在三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，D 是四边形BB 1C 1C 的中心，且AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，则A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(深度解析)A.12a+12b+12c B.12a-12b+12c C.12a+12b-12cD.-12a+12b+12c5.(2020广东汕头金山中学高二上期中)已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +x AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x ，y 的值分别为( )A.1，1B.1，12 C.12，12 D.12，16.已知PA⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，G 为△PDC 的重心，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =i ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =j ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k ，试用基底{i ，j ，k}表示AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .题组三利用空间向量基本定理解决几何问题7.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等.给出下列结论:①A1M∥D1P;②A1M∥B1Q;③A1M∥平面DCC1D1;④A1M∥平面D1PQB1.其中正确结论的个数为( )A.1B.2C.3D.48.(2020黑龙江省实验中学高二上期中) 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为正三角形，侧棱垂直于底面，AB=4，AA1=6.若E是棱BB1的中点，则异面直线A1E与AC1所成角的余弦值为( )A.√1313B.2√1313C.3√1313D.√13269.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证:A1O⊥平面GBD.10.如图所示，在平行四边形ABCD 中，AD=4，CD=3，∠ADC=60°，PA⊥平面ABCD ，PA=6，求线段PC 的长.能力提升练题组一 利用基底表示空间向量 1.(2020安徽淮北一中高二上期中，)已知M 、N 分别是四面体OABC 的棱OA ，BC 的中点，点P 在线段MN上，且MP=2PN ，设向量AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，则AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.16a+16b+16c B.13a+13b+13c C.16a+13b+13cD.13a+16b+16c2.(2019北京第八十中学高二下月考，)已知空间的一个基底{a ，b ，c}，m=a-b+c ，n=xa+yb+c ，若m ，n共线，则x= ，y= . 3.(2020广东深圳实验学校高二上期中，)如图，在三棱锥O-ABC 中，G 是△ABC 的重心(三条中线的交点)，P 是空间任意一点.(1)用向量AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示向量AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，并证明你的结论;(2)设AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +z AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，x ，y ，z∈R，请写出点P 在△ABC 的内部(不包括边界)的充分必要条件(不必给出证明).题组二证明平行和垂直4.(多选)()在三棱锥P-ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=PC=3，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC=PF∶FB=1∶2，则下列说法正确的是(深度解析)A.EG⊥PGB.EG⊥BCC.FG∥BCD.FG⊥EF5.(2020海南五指山农垦实验中学高二上期中，)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=√2AD，若E、F分别为PC、BD的中点.求证:2(1)EF∥平面PAD;(2)EF⊥平面PDC.(用向量方法证明)深度解析6.(2020陕西西北大学附属中学高二上期中，)如图所示，已知四面体ABCD的棱长为1，点E，F，G分别⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b，AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c，{a，b，c}为空间向量的一个基底，计算:⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a，AA是AB，AD，CD的中点，设AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;(2)|AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |.⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA(1)AA7.(2020浙江余姚中学高二上期中，)在所有棱长均为2的三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠B 1BC=60°，求证:(1)AB 1⊥BC; (2)A 1C⊥平面AB 1C 1.题组三 求线段长度和两条异面直线所成角 8.(多选)()如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1，其中，以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是( )A.AC 1=6√6B.AC 1⊥DBC.向量A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角是60°D.BD 1与AC 所成角的余弦值为√63 9.(2020浙江杭州学军中学高二上期中，)棱长为a 的正四面体ABCD 中，E ，F 分别为棱AD ，BC 的中点，则异面直线EF 与AB 所成角的大小是 ，线段EF 的长度为 . 10.(2020天津一中高二期末，)如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA 1=2，点N为AA 1的中点. (1)求AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的模;(2)求cos<AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >的值.答案全解全析 基础过关练1.C 结合长方体，如图，可知向量a ，b ，x 共面，x ，y ，z 不共面，b ，c ，z 不共面，x ，y ，a+b+c 也不共面，故选C.方法归纳 判断给出的某一个向量组中的三个向量能否作为基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，常用反证法或借助一些常见的几何图形帮助我们进行判断.2.B 空间不共面的三个向量可以作为空间的一个基底，若a ，b ，c 是三个共面的非零向量，则{a ，b ，c}不能作为空间的一个基底;但若{a ，b ，c}为空间的一个基底，则a ，b ，c 不共面，所以a ，b ，c 是三个非零向量，所以p 是q 的必要不充分条件，故选B.3.答案 52，-1，-12解析 由题意得，a 、b 、c 为三个不共面的向量，∴由空间向量基本定理可知必然存在唯一的有序实数组(α，β，γ)，使d=αa+βb+γc.∴d=α(e 1+e 2+e 3)+β(e 1+e 2-e 3)+γ(e 1-e 2+e 3)=(α+β+γ)e 1+(α+β-γ)e 2+(α-β+γ)e 3. 又∵d=e 1+2e 2+3e 3，∴{A +A +A =1,A +A -A =2,A -A +A =3⇒{A =52,A =-1,A =-12.4.D A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=-12a+12b+12c ，故选D. 方法归纳 用基底表示向量的策略:(1)若基底确定，则充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则以及数乘向量的运算律表示向量;(2)若没有设定基底，首先选择基底，选择基底时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求.5.C AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以x=12，y=12，故选C. 6.解析 如图所示，延长PG 交CD 于E ，则E 为CD 的中点.AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23×12(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=13(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =13(-k+i+j-k+j)=13i+23j-23k.AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=-i+k+13i+23j-23k =-23i+23j+13k.AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =i+(-23A +23A +13A )=13i+23j+13k.7.C ∵A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而A 1M∥D 1P ，∵D 1P ⊂平面DCC 1D 1，A 1M ⊄平面DCC 1D 1，∴A 1M∥平面DCC 1D 1，同理A 1M∥平面D 1PQB 1，故①③④正确.又B 1Q 与D 1P 不平行，∴A 1M 与B 1Q 不平行，故②不正确.故选C.8.A 设AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，则{a ，b ，c}构成空间的一个基底， A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a-12c ，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b+c ，cos<A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| =(A -12A )·(A +A )|A -12A ||A +A |=5×2√13=-√1313， 所以异面直线A 1E 与AC 1所成角的余弦值为√1313.9.证明 AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是三个不共面的向量，它们构成空间的一个基底{AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ }，A 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )-AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，A 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =[12(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )-AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ]·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，A 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =[12(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )-AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ]·(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0， 所以A 1O⊥DG，A 1O⊥BG，又DG ，BG ⊂平面GBD ，BG∩DG=G，所以A 1O⊥平面GBD.10.解析 因为在平行四边形ABCD 中，∠ADC=60°，所以∠BAD=120°，又PA⊥平面ABCD ，所以PA⊥AB，PA⊥AD.因为AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=√AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -2AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -2AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=√9+16+36+2×3×4×(-12)-0-0=7，即线段PC 的长为7.能力提升练1.C AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23×12(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+13×12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13b+13c+16a ，故选C. 2.答案 1;-1解析 ∵m ，n 共线，∴∃λ∈R，使m=λn， ∴a-b+c=λ(xa+yb+c)，得{1=AA ,-1=AA ,1=A ,解得{A =1,A =1,A =-1.3.解析 (1)AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ). 证明如下:AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23×12(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13[(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )] =13(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ).(2)若AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +z AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，x ，y ，z∈R，则点P 在△ABC 的内部(不包括边界)的充分必要条件是: x+y+z=1，且0<x<1，0<y<1，0<z<1.4.ABD 如图，设AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，则{a ，b ，c}是空间的一个正交基底， 则a·b=a·c=b·c=0，取AB 的中点H ，则AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23×12(a+b)=13a+13b ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13a+13b-23b-13c=13a-13b-13c ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c-b ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13a+13b-13b=13a ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13b-(13A +23A )=-13c-13b ，∴AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，A 正确;AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，B 正确;AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≠λAA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)，C 不正确;AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，D 正确.故选ABD.解题反思 本题在解决过程中，重点应用了以下知识点.如图，△ABC 中，若BD ∶DC=λ∶μ，则AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA +A AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA +A AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .在分线段成比例的图形中，要注意这个公式的应用.5.证明 (1)AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )-12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以向量AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共面， 又EF ⊄平面PAD ，DA ，PD ⊂平面PAD ， 所以EF∥平面PAD.(2)因为侧面PAD⊥底面ABCD ，侧面PAD∩底面ABCD=AD ，底面ABCD 是正方形，所以CD⊥平面PAD ，CD⊥PA. 设AD=1，则AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2-2AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即1=12+12-2AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 所以EF⊥PD，EF⊥CD，由PD ，CD ⊂平面PCD ，PD∩CD=D，可得EF⊥平面PCD.解题反思 用向量方法证明线面平行或垂直，理论依据是线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理，其中涉及的线线平行用共线向量证明，涉及的线线垂直用数量积为0证明.6.解析 (1)由题意得|a|=|b|=|c|=1，a·b=a·c=b·c=12，∵AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12c-12a ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-a ， ∴AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12A -12A )·(-a)=-14+12=14.(2)∵AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(b+c)-12a ，∴AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(12A +12A -12A )2=14a 2+14b 2+14c 2+12b·c -12b·a -12a·c=12， ∴|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√22.7.证明 (1)易知<AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=120°，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2×(-12)+2×2×12=0.所以AB 1⊥BC.(2)易知四边形AA 1C 1C 为菱形，所以A 1C⊥AC 1.因为AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2×12-4-2×2×12+4 =0，所以AB 1⊥A 1C ，又AC 1∩AB 1=A ，所以A 1C⊥平面AB 1C 1.8.AB 因为以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°， 所以AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =6×6×cos60°=18，(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=36+36+36+3×2×18=216，则|AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=6√6， 所以A 正确;AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2-AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=0，所以B 正确; 显然△AA 1D 为等边三角形，则∠AA 1D=60°.因为A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且向量A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角是120°，所以A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角是120°，所以C 不正确; 因为AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以|AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=6√2，|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=6√3，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=36，所以cos<AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=6√2×6√3=√66，所以D 不正确.故选AB. 9.答案π4;√22a 解析 设AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，则{a ，b ，c}是空间的一个基底，∴|a|=|b|=|c|=a ，a·b=a·c=b·c=12a 2.∵AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(a+b)-12c ，∴AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12a 2+12a·b -12a·c=12a 2，|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(12A +12A -12A )2=√22a ，∴cos<AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12A 2√22a ×a =√22，∴异面直线EF 与AB 所成的角为π4.10.解析 (1)∵在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，CA=CB=1，∠BCA=90°， ∴AB=√2，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1，故AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=2+14×4=3， ∴|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3.(2)∵CA=CB=1，∠BCA=90°， ∴∠ABC=45°，∴AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos(180°-∠ABC)=√2×1×cos135°=-1， 又AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4， ∴AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1+0+0+4=3，又|AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6×√5=√30， ∴cos<AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=√30=√3010.。
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高中数学第一章
第四节《命题的形式及其等价关系》（看资料《数学解析》P19-P20）
1、命题的定义：用陈述句表示对事物的判断。
（命题有条件和结论两部分，“如果”后的是
条件，“那么”后的是结论。
）
2、推出关系：‘α推出β’表示如果α成立。
则β成立。
推出关系具有传递性：α推出β，β推出γ，则α可推出γ。
3、命题的四种形式：原命题、逆命题、否命题、逆否命题。
原命题与逆否命题互为逆否；逆命题与否命题互为逆否。
4、用原命题与逆否命题等价来证明一个命题的真假。
例题讲解：例2（基本题型：说出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题，作用在于为判断命题的真假打好基础）、3（较难：用逆否命题进行证明）。
习题：1、8题
第五节《充分条件与必要条件》（看资料《数学解析》P26）
1、充分条件与必要条件的定义和理解
2、充要条件（重要）
3、判断条件的充分性和必要性：①确定哪个是条件，哪个是结论；②确定条件和结论间的
推出关系。
例题讲解：例1（基本题型：判断推出关系，关键要练习速度和准确度）、例3（中档题型：判断推出关系，联系其他知识）、例4（较难，代表题型：求充要条件或充分条件或必要条件）
习题：1、6题
第六节《子集与推出关系》（看资料《数学解析》P32-P33（此处重要，介绍一种思想，要看一下））
本节知识性不强，介绍的是用集合的方法处理命题和推出关系。
讲解例题：例2（中档题型：用集合的观点判断推出关系）、
习题：3、5题
《高中数学知识、方法和实践》第三讲《命题与充要条件》
看【知识要点】（P21）和【重难点选讲】（P23）（写得挺不错的）
例题讲解：例2（命题四种形式之间的改写）、例6（用集合的观点进行命题证明）、例7（推出关系的判断）、例14（用反证法或等价命题进行证明）
作业：做《高中数学知识、方法和实践》的P32-P33页高考题，体会高考题的难度和考点，有不会的下次进行答疑。