工程可靠性选讲(2)：重力荷载的概率分布
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重力荷载
＝4.09kN/m
（二）屋面活荷载
1、 屋面均布活荷载：《规范》（GB50009-2012）规定：
上人屋面的均布活荷载的标准值： 不上人的屋面均布活荷载标准值： 屋顶花园均布活荷载标准值：
2.0 kN/m2 0.5 kN/m2 3.0 kN/m2
[解]20mm厚水泥砂浆面层
0.02m20kN/m3=0.4kN/m2 80mm厚现浇钢筋混凝土板
0.08m25kN/m3=2.0kN/m2 12mm厚纸筋石灰泥粉底 0.012m16kN/m3=0.192kN/m2 gk=∑gki=2.592 kN/m2
二、土的自重
土的自重应力cz 均匀单一土层： cz= . z
30
35
40
45
50
r
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
Байду номын сангаас
0
[例2]高低屋面
考虑到高低屋面处易积雪，应在高低 屋 面 处 a 范 围 内 r
2.0 。 这 里
4 m a 2 h 8m
（一）楼面活荷载： 房屋中生活或工作的人群、家具、用品、设备等产生的
荷载。
1 h1 + 2 h2 +/3 h3 +/4 h4
1 2 3
4
→
折线分布
当存在地下水时，地下水位看作土层的分界线 饱和土的重度采用土的有效重度=土的天然重度-水的重度 （或者按照土的相关指标计算）
三、雪荷载
雪荷载
莫斯科市中心的鲍曼市场发生屋顶坍塌事件
1、基本雪压S0
基本雪压系指某地区 空旷平坦地面上 统计所得某一重现期内
最大积雪的自重（kN/m2） ↓ 积雪密度（t/m3）
（二）屋面活荷载
1、 屋面均布活荷载：《规范》（GB50009-2012）规定：
上人屋面的均布活荷载的标准值： 不上人的屋面均布活荷载标准值： 屋顶花园均布活荷载标准值：
2.0 kN/m2 0.5 kN/m2 3.0 kN/m2
[解]20mm厚水泥砂浆面层
0.02m20kN/m3=0.4kN/m2 80mm厚现浇钢筋混凝土板
0.08m25kN/m3=2.0kN/m2 12mm厚纸筋石灰泥粉底 0.012m16kN/m3=0.192kN/m2 gk=∑gki=2.592 kN/m2
二、土的自重
土的自重应力cz 均匀单一土层： cz= . z
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40
45
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r
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
Байду номын сангаас
0
[例2]高低屋面
考虑到高低屋面处易积雪，应在高低 屋 面 处 a 范 围 内 r
2.0 。 这 里
4 m a 2 h 8m
（一）楼面活荷载： 房屋中生活或工作的人群、家具、用品、设备等产生的
荷载。
1 h1 + 2 h2 +/3 h3 +/4 h4
1 2 3
4
→
折线分布
当存在地下水时，地下水位看作土层的分界线 饱和土的重度采用土的有效重度=土的天然重度-水的重度 （或者按照土的相关指标计算）
三、雪荷载
雪荷载
莫斯科市中心的鲍曼市场发生屋顶坍塌事件
1、基本雪压S0
基本雪压系指某地区 空旷平坦地面上 统计所得某一重现期内
最大积雪的自重（kN/m2） ↓ 积雪密度（t/m3）
可靠性工程第二讲
定义：工作到某时刻 t 尚未失效的产 品在该时刻后 t +△t 的单位时间内发 生失效的概率。记为λ(t)，称为失效 率函数，故障率函数或风险函数。
是在时刻t尚未失效产品在t+△t的单位 时间内发生失效的条件概率.反映t时刻 失效的速率,也称为瞬时失效率.
故障率（失效率）
估计公式可按下式进行工程计算：
维修
累积分布 不可靠度F(t)
维修度
密度分布
f(t)
m (τ)
率
故障率λ (t) 修复率μ (t)
两种状态中停 平均无故障工 平均修理时间 留时间(平均） 作时间MTBF MTTR
问题：
请从性能指标、时间依据、决定因 素等方面对可靠性与维修行进行对 比。
有效性特征量
∑ 1 N
MTTF
=
N
ti
i =1
式中：N——测试的产品总数 ti——第 i 个产品失效前的工作时间
可修复产品的平均寿命
一次故障发生后到下一次故障发生之前无故障工作
时间的平均值，又称为平均无故障工作时间或平均
故障间隔，记为MTBF（Mean Time Between
Failures)
1 N ni
f (t) =
=
Δt N • Δt
故障概率分布函数F(t)
又称累积失效概率，是产品在规定条件下和 规定时间内未完成规定功能（即发生失效） 的概率，也称为不可靠度。记为F（t）：
F(t) = P(T ≤t) 0 ≤t ≤∞
它表示在规定条件下产品寿命不 超过 t 的 概率，又称为累积故障概率密度函数，与 f（t）关系为：
∑∑ N—测试产品总数 MTBF = N
tij
∑ ni
是在时刻t尚未失效产品在t+△t的单位 时间内发生失效的条件概率.反映t时刻 失效的速率,也称为瞬时失效率.
故障率（失效率）
估计公式可按下式进行工程计算：
维修
累积分布 不可靠度F(t)
维修度
密度分布
f(t)
m (τ)
率
故障率λ (t) 修复率μ (t)
两种状态中停 平均无故障工 平均修理时间 留时间(平均） 作时间MTBF MTTR
问题：
请从性能指标、时间依据、决定因 素等方面对可靠性与维修行进行对 比。
有效性特征量
∑ 1 N
MTTF
=
N
ti
i =1
式中：N——测试的产品总数 ti——第 i 个产品失效前的工作时间
可修复产品的平均寿命
一次故障发生后到下一次故障发生之前无故障工作
时间的平均值，又称为平均无故障工作时间或平均
故障间隔，记为MTBF（Mean Time Between
Failures)
1 N ni
f (t) =
=
Δt N • Δt
故障概率分布函数F(t)
又称累积失效概率，是产品在规定条件下和 规定时间内未完成规定功能（即发生失效） 的概率，也称为不可靠度。记为F（t）：
F(t) = P(T ≤t) 0 ≤t ≤∞
它表示在规定条件下产品寿命不 超过 t 的 概率，又称为累积故障概率密度函数，与 f（t）关系为：
∑∑ N—测试产品总数 MTBF = N
tij
∑ ni
工程结构荷载与可靠度设计原理
解决手段：模糊集合理论、模糊随机过程理论。
知识的不完善性：由于(yóuyú)人类认识上的局限性而造成的， 所以又叫主观认识的未确定性，如“人体有多少根头发”等。
解决手段：灰色系统理论。
2022/1/8
在结构(jiégòu)可靠性理论中以随机性为研究重点
第三页，共44页。
结构设计中的不确定性因素(yīn sù)
2022/1/8
第十九页，共44页。
验算(yàn suàn)点法基本原理
正态随机变量的情况
结构(jiégòu) Z gX1, X 2 ,....X n
功能函数
将Z在各变量的验算点X* （X1*, X2*,·····, Xn*）处展开成泰勒级数
Z
g(
X
1
,
X
2 ,,
X
n
)
n
(Xi
i 1
X
可靠度
失效概率
Ps PZ 0
0 f z (Z )dZ
Pf PZ 0
0
f z (Z )dZ
2022/1/8
Ps Pf 1
•结构可靠度满足： Z>0具有相当大的概率或 Z<0 具有相当小的概率； •通常采用失效概率来度量结构的可靠度。
第十页，共44页。
可靠(kěkào)指标
基本概念
i
)
g X i
X*
均值 (jū n
Z
g
(
X
1
,
X
2
,,
X
n
)
0
n
( X i
i 1
X
i
)
g X i
X*
zhí)
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可靠性测试培训-完整版资料
产品或元件失效是一个随机事件，产品的寿命是 一个随机变量，而产品的失效率和寿命都可以用失效 分布或寿命分布函数来描述其规律性。 1.指数分布 2.威布尔分布 3.正态分布 4.对数正态分布 5.寿命分布类型的确定方法
2018/10/29 21
二、产品的寿命规律及常用分布
1.指数分布
许多元器件在工作时间内会由于“偶然”原因而失效， 而不服从某一失效机理，因为这时对应于某一机理的所谓早 期失效产品已通过设计、工艺控制、或实验而消除。因此， 当元器件足够多、时间足够长时，失效率λ（t）便趋近于某 一稳定值，其值的大小只与工作条件和外部环境有关，而与 产品的工作时间无关，产品的这种寿命分布规律称为指数分 布。大多数电子产品，包括大部分仪器仪表在剔除早期失效 后到发生老化变质前的随机失效阶段都服从指数分布。 许多国家所制定的标准中，绝大多数都以指数分布为基 础对电子元器件产品的可靠性等级进行鉴定。如我国GB/T 1772-1979《电子元器件失效率试验方法》
2018/10/29
44
四、可靠性寿命试验
5)检验项目及技术要求：
检验项目 技术要求 外观、流量、 电阻、电流、 功率、杨程、 噪音、配合 室温、湿度、 气压、电压、 耐压测试 寿命次数 通断比 外观、流量、 电阻、电流、 功率、杨程、 噪音、配合 检验样板数 允许不合格数 检验不合格数
试验前参数
2.威布尔分布
2018/10/29
30
二、产品的寿命规律及常用分布
2.正态分布 正态分布又叫高斯分布，一般大多用它描述产 品随机失效比较集中发生现象的一种分布，如产品 由于损耗或退化而产生的失效;再如材料强度、磨 损寿命、疲劳失效。
2018/10/29
31
二、产品的寿命规律及常用分布
2018/10/29 21
二、产品的寿命规律及常用分布
1.指数分布
许多元器件在工作时间内会由于“偶然”原因而失效， 而不服从某一失效机理，因为这时对应于某一机理的所谓早 期失效产品已通过设计、工艺控制、或实验而消除。因此， 当元器件足够多、时间足够长时，失效率λ（t）便趋近于某 一稳定值，其值的大小只与工作条件和外部环境有关，而与 产品的工作时间无关，产品的这种寿命分布规律称为指数分 布。大多数电子产品，包括大部分仪器仪表在剔除早期失效 后到发生老化变质前的随机失效阶段都服从指数分布。 许多国家所制定的标准中，绝大多数都以指数分布为基 础对电子元器件产品的可靠性等级进行鉴定。如我国GB/T 1772-1979《电子元器件失效率试验方法》
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四、可靠性寿命试验
5)检验项目及技术要求：
检验项目 技术要求 外观、流量、 电阻、电流、 功率、杨程、 噪音、配合 室温、湿度、 气压、电压、 耐压测试 寿命次数 通断比 外观、流量、 电阻、电流、 功率、杨程、 噪音、配合 检验样板数 允许不合格数 检验不合格数
试验前参数
2.威布尔分布
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二、产品的寿命规律及常用分布
2.正态分布 正态分布又叫高斯分布，一般大多用它描述产 品随机失效比较集中发生现象的一种分布，如产品 由于损耗或退化而产生的失效;再如材料强度、磨 损寿命、疲劳失效。
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二、产品的寿命规律及常用分布
可靠性概率分布讲解
关于可靠性分布函数及其工程应用的讨论学号：*********姓名：***目录一、引言 (3)二、分布函数及其应用的讨论 (3)（一）、指数分布 (3)1.定义： (3)2.指数分布的可靠度与不可靠度函数 (4)3.图像分析 (4)4.应用 (5)（二）、正态分布 (6)1.定义： (6)2.正态分布的可靠度与不可靠度函数 (6)3.失效率函数 (6)4.图像分析 (7)5.应用 (8)（三）、对数正态分布 (9)1.定义： (9)2.对数正态分布的可靠度与不可靠度函数 (9)3.对数正态分布失效率 (9)4.图像分析 (9)5应用 (11)（四）、威布尔分布 (12)1.三参数威布尔分布的定义： (12)2.可靠度与不可靠度函数 (12)3.威布尔分布失效率 (12)4.图像分析 (12)5.应用 (15)三、小结 (16)参考文献 (17)附录 (18)一、引言可靠性是指产品在规定的条件下，规定时间内，完成规定功能的能力，是对产品无故障工作能力的度量。
可靠性作为衡量产品质量的一个重要的指标，已广泛的应用于各个工程领域。
与可靠性相反，产品丧失规定功能称为失效或故障。
工程机械系统是由零件和部件组成的，零件或部件的失效会导致系统的失效。
然而，失效的原因是多种多样的，如结构缺陷、工艺缺陷、使用不当、老化等等。
引起每种失效的原因也可能是不同的，如性能退化可能由于疲劳、蠕变、裂纹扩展、磨损或者腐蚀等导致的[1]。
实践表明，系统或零、部件的失效时间往往是不确定的，要定量描述系统或零、部件的失效时间，应当采用统计学方法。
将失效时间作为一个随机变量，用一个恰当的概率分布函数去描述它。
从数据的统计分析中找出产品寿命分布的规律，是进一步分析产品故障，预测故障发展，研究其失效机理及制定维修策略的重要手段。
可靠性分析与评估是可靠性分析中非常重要的一部分，它是指在产品的寿命周期内，根据产品的可靠性分布模型、结构，以及相关的可靠性信息，利用统计方法，对产品的可靠性指标做出估计的过程。
可靠性设计中常用的概率分布
05 其他常用概率分布
对数正态分布
定义
对数正态分布是一种连续概率分布，其随机变量的对数服从正态分 布。
特性
对数正态分布常用于描述那些原始数据经过对数变换后符合正态分 布的变量，如寿命测试数据、机械应力和其他一些自然现象。
应用
在可靠性工程中，对数正态分布常用于描述产品的寿命或故障时间， 特别是在那些故障时间跨度很大的情况下。
二项分布
适用于描述独立重复试验的结 果，如抛硬币、抽奖等。
使用概率分布进行可靠性设计的方法与步骤
01
02
03
04
05
1. 确定设计目标 2. 分析影响因素 3. 选择合适的概 4. 进行可靠性设 5. 验证与评估
率分布
计
明确可靠性设计的目标， 如提高产品的平均寿命、 降低故障率等。
分析影响产品可靠性的各 种因素，如材料、工艺、 环境等。
曲线下的面积随着标准差σ的增大 而增大。
正态分布在可靠性设计中的应用
01
02
03
寿命试验
在寿命试验中，许多物理 量如机械零件的疲劳寿命、 电子元件的寿命等都服从 正态分布。
可靠性评估
通过正态分布，可以评估 产品的可靠性，如平均故 障间隔时间（MTBF）。
质量控制
在质量控制中，正态分布 用于确定产品质量的控制 限，确保产品质量稳定。
维修性分析
在维修性分析中，威布尔分布用于描述维修过程 的可靠性和维修时间。
威布尔分布的参数估计与假设检验
参数估计
常用的参数估计方法包括最大似然估计和矩估计。这些方法通过样本数据来估计形状参数、尺度参数和位置参数。
假设检验
在可靠性设计中，经常需要进行假设检验来验证产品的可靠性是否满足预期要求。通过威布尔分布，可以构建合 适的假设检验来评估产品的性能和可靠性。
中南大学《工程结构可靠度设计原理》课件第二篇
可变荷载在设计基准期内超越的总时间约为设计基 准期一半的荷载值（任意点荷载概率分布的中位值）。 办公楼、住宅0.4
Qx ─荷载的准永久值
q
Qx Qk
q 准永久值系数
频遇值：
可变荷载在设计基准期内被超越的总时间为规定 的较小比率（<50%）或在设计基准期内其被超越频率 为规定频率（ <50% ）的荷载值。
0.5 0.6
0.4 0.5
医院门诊室
2 食堂、餐厅、一般资料档案室
2.5
0.7
0.6
0.5
(1)礼堂、剧场、电影院、有固定 3 座位的看台
(2)公共洗衣房
3.0 3.0
0.7
0.5
0.7
0.6
0.3 0.5
荷载标准值：是荷载的基本代表值，其它代表值都 可在标准值的基础上乘以相应的系数后得出
各种荷载的代表值 对永久荷载：应采用标准值作为代表值 对可变荷载：应根据设计要求采用标准值、组合值、
平稳二项随机过程荷载模型的假定：
（1）根据荷载每变动一次在结构上的时间长短，将设计基准 期T等分为r个相等的时段τ，或认为设计基准期T内荷载均匀变 动=T/τ
(2)在每个时段内，荷载Q出现的概率为p，不出现的概率为 q=1-p
（3） 在每一时段τ内，荷载出现时，其幅值是非负的随机变量， 且在不同时段上的概率分布是相同的，记时段τ内的荷载概率分布 为
e dt x
( x )2 2 2
－
x
正态分布概率 密度函数
方差（Variance）：实际值与期望值之差平方的 平均值。
标准差（Standard deviation）：方差的平方根。
变异系数：标准差与均值的比值。
Qx ─荷载的准永久值
q
Qx Qk
q 准永久值系数
频遇值：
可变荷载在设计基准期内被超越的总时间为规定 的较小比率（<50%）或在设计基准期内其被超越频率 为规定频率（ <50% ）的荷载值。
0.5 0.6
0.4 0.5
医院门诊室
2 食堂、餐厅、一般资料档案室
2.5
0.7
0.6
0.5
(1)礼堂、剧场、电影院、有固定 3 座位的看台
(2)公共洗衣房
3.0 3.0
0.7
0.5
0.7
0.6
0.3 0.5
荷载标准值：是荷载的基本代表值，其它代表值都 可在标准值的基础上乘以相应的系数后得出
各种荷载的代表值 对永久荷载：应采用标准值作为代表值 对可变荷载：应根据设计要求采用标准值、组合值、
平稳二项随机过程荷载模型的假定：
（1）根据荷载每变动一次在结构上的时间长短，将设计基准 期T等分为r个相等的时段τ，或认为设计基准期T内荷载均匀变 动=T/τ
(2)在每个时段内，荷载Q出现的概率为p，不出现的概率为 q=1-p
（3） 在每一时段τ内，荷载出现时，其幅值是非负的随机变量， 且在不同时段上的概率分布是相同的，记时段τ内的荷载概率分布 为
e dt x
( x )2 2 2
－
x
正态分布概率 密度函数
方差（Variance）：实际值与期望值之差平方的 平均值。
标准差（Standard deviation）：方差的平方根。
变异系数：标准差与均值的比值。
可靠度6-荷载的统计分析
2、准永久值 (quasi-permanent value) —— 徐变等
~ 设计基准期内荷载达到和超过该值的总持续时间Tq＝ti 与整个设计基准期T之比等于0.5确定，即Tq /T＝0.5
Q
ti
准永久值 Qx
Tt
可变荷载准永久值 Qx＝q Qk
q — 荷载的准永久值系数，且 q＝荷载准永久值/荷载
2、随机过程 Q(t) — Q(t)，t 0, T表示 一组样本函数 q1(t)、q2(t)、…… qn(t) 的总称
3、任意时点荷载 Q(ti) 随机过程 Q(t) 在 t＝ti 处可能出现的值组成的一个随 机变量分布，记为 Q(ti)＝q1(ti)、q2(ti)、q3(ti) …… 即 随机过程 Q(t)，t 0, T 在 t＝ti 时点的荷载
2、荷载效应组合（当结构上同时作用有多种可变荷载时）
与计算结构可靠度方法（一次二阶矩概率理论）相适应， GB50068-2001采用JCSS（结构安全度联合委员会）建议的 一种近似的荷载组合概率模型 基本假定 a、假定荷载Q(t)是等时段的平稳随机过程 b、荷载Q(t)与荷载效应S(t)满足线性关系，即 S(t)＝C Q(t) c、设计基准期 T＝50年 d、相互排斥的随机荷载不考虑他们的组合，仅考虑在[0, T]内 可能相遇的各种可变荷载的组合 e、当一种荷载取设计基准期内最大荷载或时段最大荷载时， 其它参与组合的荷载仅在该最大荷载持续时间内取相对最 大值，或取任意时点荷载
~ X 的标准差 ~ X 的平均值
f x FIx
0
x
概率密度函数
风荷载标准值 wk ~ 极值Ⅰ型
不按风向时 /wT＝1.109 wk
wk ＝0.9 /wT
同济大学工程可靠性选讲课程作业-含程序
用 matlab 对分布函数积分得 s = 255.98 4) 极值 II 型分布：
第 2 页/共 26 页
( ) 分布函数： F
x
= e−
184.945 x
8.5978
( ) ( ) P
X s
=F
s
= e = 0.95 −
184.945 s
8.5978
用 matlab 对分布函数积分得 s = 261.26
= 1.2825 = 1.2825 = 0.04275
30
= m − 0.5772 = 200 − 0.5772 0.04275 = 184.498
f ( x) = e =0.04275 e −(x− )−e−(x−)
−0.04275( x−184.498)−e−0.04275(x−184.498)
( ) ( ) P X 250 = F 250 = e =0.9359 −e−0.04275(250−184.498)
4) 极值 II 型分布：
( ) 分布函数： F
x
= e−
184.945 x
8.5978
( ) ( ) P
X 250
=F
250
= e−
184.945 250
8.5978
= 0.9278
ln
1
+
2 x
=
ln 1 + 0.152
= 0.1492
=
E (ln
x)
=
ln X
−
12 2
=
ln(200)
−
1 2
0.14922
=
5.2872
f (x) =
1
工程结构荷载与可靠度设计原理复习提纲
2）当其效应对结构有利时 >一般情况应取；对结构的倾覆、滑移或漂浮验算时，应取. ●可变荷载的分项系数Qi γ 一般应取；对标准值大于24/kN m 的工业房屋楼面结构的活载应取. （2）正常使用极限状态设计表达式S C ≤ 式中 C —结构或结构构件体达到正常使用要求的规定限值，例如变形、裂缝、振幅、加速度、应力等的限值。
说明： :（1）对于标准组合 12nGk Q k ciQiki S S S S ϕ==++∑（2）对于频遇组合 112nGk f Q k qiQik i S S S S ϕϕ==++∑（3）对于准永久组合 1nGk qiQik i S S S ϕ==+∑其中 ci ϕ—可变荷载i Q 的组合值系数；1f ϕ—可变荷载i Q 的频遇值系数；qi ϕ—可变荷载i Q 的准永久值系数对于一般住宅和办公楼的楼面活荷载，其组合值、频遇值和永久值系数分别为、、；对于风荷载，其组合值、频遇值和永久值系数分别为、、0.2.（1）由于各国荷载和抗力标准值确定的方式不同，设计目标可靠度的水准也有差异，因此不同国家结构设计表达式的分项数值取值均不一致。
（2）各个国家的荷载分项系数、抗力分项系数和荷载标准值和抗力标准值是配套使用的，它们作为设计表达式中的一个整体有确定的概率可靠度意义。
千万不能采用一个国家的荷载标准或抗力标准值，而套用另一个国家的设计表达式进行结构设计。
*计算题1.已知某挡土墙高度H =8.0m,墙背竖直、光滑，填土表面水平。
墙后填土为无黏性中砂，重度γ=3/m kN ,有效内摩擦角ϕ=30°。
试计算作用在挡土墙上的静止土压力0E 和主动土压力a E 。
【解】（1）静止土压力0E =0221K H γ=2118.08(1cos 30)2⨯⨯⨯-=m kN /0E 点位于距墙底H /3=2.67m 处。
（2）主动土压力a E =a K H 221γ=)23045(tan 80.182122-⨯⨯⨯=192m kN / a E 点位于距墙底H /3=2.67m 处。
可靠性讲稿(2.2可靠性的基本公式)
与应力相关的基本变量:力,力矩,温度,湿 与应力相关的基本变量: 力矩,温度, 度,过载等. 过载等.
S = S ( xS1 , xS2 ,..., xS j )
结构可靠度的基本表达式
以应力和强度为基本变量求失效概率的应力-强 以应力和强度为基本变量求失效概率的应力 强 度干涉模型(stress-strength interference model) 度干涉模型
确定P r 需研究应力和强 度两个变量一个超过另 一个的概率
Pr = P {Z > 0}
= P { g ( R , S ) > 0}
求得功能函数分布后再求失效概率的模型: 求得功能函数分布后再求失效概率的模型: 概率密度函数 应力 强度
fs (S )
f R ( R)
分布函数
FS ( S )
FR ( R)
方法2: 方法 :
Pr = P ( Z > 0 ) = ∫ f Z ( Z ) dZ
0
∞
R和 S 独立
=
∫ ∫
0
∞
∞
∞
f R ( Z + S ) f S ( S ) dSdZ
以强度-应力比为功能函数 以强度 应力比为功能函数: g ( R, S ) = R / S 应力比为功能函数
fZ ( z) =
ln R ln S
19.8 18.81 = ≈ 4.466 0.00995 + 0.0392
Pr = Φ ( β ) ≈ 1 0.4 × 10 5
Pr (对数正态) < Pr (正态)
结论:
采用对数正态分布假设, 采用对数正态分布假设,结构具有较高的失效概率和较低 的结构可靠度, 对数正态情况下的可靠度计算结果偏保守. 情况下的可靠度计算结果偏保守 的结构可靠度,即对数正态情况下的可靠度计算结果偏保守. 但在工程上仍常用正态分布, 但在工程上仍常用正态分布,因正态分布所提供模型与现实较 吻合,且工程设计中一般都使用保守的分析结果( 吻合,且工程设计中一般都使用保守的分析结果(如设计分析 中通常假设施于结构的实际应力超过材料的屈服极限时, 中通常假设施于结构的实际应力超过材料的屈服极限时,就认 为结构失效,这已偏保守.) 为结构失效,这已偏保守.)
S = S ( xS1 , xS2 ,..., xS j )
结构可靠度的基本表达式
以应力和强度为基本变量求失效概率的应力-强 以应力和强度为基本变量求失效概率的应力 强 度干涉模型(stress-strength interference model) 度干涉模型
确定P r 需研究应力和强 度两个变量一个超过另 一个的概率
Pr = P {Z > 0}
= P { g ( R , S ) > 0}
求得功能函数分布后再求失效概率的模型: 求得功能函数分布后再求失效概率的模型: 概率密度函数 应力 强度
fs (S )
f R ( R)
分布函数
FS ( S )
FR ( R)
方法2: 方法 :
Pr = P ( Z > 0 ) = ∫ f Z ( Z ) dZ
0
∞
R和 S 独立
=
∫ ∫
0
∞
∞
∞
f R ( Z + S ) f S ( S ) dSdZ
以强度-应力比为功能函数 以强度 应力比为功能函数: g ( R, S ) = R / S 应力比为功能函数
fZ ( z) =
ln R ln S
19.8 18.81 = ≈ 4.466 0.00995 + 0.0392
Pr = Φ ( β ) ≈ 1 0.4 × 10 5
Pr (对数正态) < Pr (正态)
结论:
采用对数正态分布假设, 采用对数正态分布假设,结构具有较高的失效概率和较低 的结构可靠度, 对数正态情况下的可靠度计算结果偏保守. 情况下的可靠度计算结果偏保守 的结构可靠度,即对数正态情况下的可靠度计算结果偏保守. 但在工程上仍常用正态分布, 但在工程上仍常用正态分布,因正态分布所提供模型与现实较 吻合,且工程设计中一般都使用保守的分析结果( 吻合,且工程设计中一般都使用保守的分析结果(如设计分析 中通常假设施于结构的实际应力超过材料的屈服极限时, 中通常假设施于结构的实际应力超过材料的屈服极限时,就认 为结构失效,这已偏保守.) 为结构失效,这已偏保守.)
工程可靠性选讲(2)：重力荷载的概率分布
试验观察 样本 {X1, X 2,, X n}
客观世界
数学模型
由直方图推断 fX (x)
fX (x) x
X
=
1 n
∑
X
i
∑
= S 2
1 n −1
(Xi − X )2
统计估计
均值 µ ≈ X 方差 σ 2 ≈ S 2
随机变量模型的统计建模过程
次序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
注意到平稳二项过程中荷载出现与否与荷载出现幅值大小彼 此独立，故
F= ∆ti (a) P(Q(t) ≤ a, t ∈ ∆ti ) = pF (a) +=q pF (a) + (1− p)
=1− p[1− F (a)] 因此有
FM (a) ={1− p[1− F (a)]}r
令 m = p r 为在 [ 0, T ]上出现 R ( t) > 0 的次数，则可证明下式近似成立：
荷载间隔(kN) 出现次数 出现频率
82.25~83.25 1 83.25~84.25 7 84.25~85.25 11 85.25~86.25 6 86.25~87.25 2
0.037 0.259 0.407 0.222 0.074
反映荷载变异性的概率模型
1、随机变量模型
常见的随机变量模型： （１）正态分布； （２）对数正态分布； （３）极值Ｉ型分布
k 0=k 0
(a)]k +1
(λT )k
k!
e−λT
∑ = F (a)e−λT ∞ [λT = ⋅ F (a)]k F (a)e−λT ⋅ eλTF (a)
k =0
k!
机械可靠性工程 第2章 分布类型
f (r) C p q
r n r
n r
2
2!
r
r!
)
F ( x) P( x 3) f (0) f (1) f (2) f (3)
2 3 2 2 e 2 (1 2 ) 2! 3! 0.857
F(x ) P(x 3) f(0) f(1) f(3) 0.859
1 ln t lnt 2 ( ) 2 lnt
f(t )
1
t lnt 2
e
注意:
lnt 均值
σ lnt 标准差
对数正态分布: f(t )
1
t lnt 2
e
1 ln t lnt 2 ( ) 2 lnt
正态分布:
1 f ( x) e 2
1 x 2 ( ) 2
z2 d2
15.0 14.9 2 0.05
( z2 ) 0.9772
P(14.8 d 15.0) ( z2 ) ( z1 )
0.9772 0.0228 0.9544 95.44%
例:电车车门高度按男子碰头机会小于1% 设计,设男子身 高 h 170 18cm 问车门设计多高? 解:
[ ]
Blin
S
S
B
600 545.45MPa 1 .1
结论: (1)常规机械设计 [ ] 545.45MPa 绝对安全 (认为材料强度一定超过545)
(2)可靠性设计,材料强度低于545的概率
P( B 545.45) 2.02%
不是绝对安全
例:某轴机械加工后,直径尺寸变化可用正态分布描述
第七章工程结构荷载的统计分析
用超过Qx的总持续时间Tx = ti，或与设计基准期T的比率x
= Tx/T表示；
用超过Qx的次数nx或平均跨阈率x = nx/T （单位时间内超过
的平均次数）表示。
第二节 荷载的代表值
（1）荷载频遇值
设计基准期内结构上较频繁出现的较大荷载值，主要用于正 常使用极限状态的频遇组合。
1）确定方法
按总持续时间确定 按超过次数确定
第七章 工程结构荷载的统计分析
本章内容 第一节 荷载的概率模型 第二节 荷载的代表值 第三节 荷载效应组合
第一节 荷载的概率模型
一、工程结构的荷载分类及概率模型 （一）荷载分类 按随时间变化情况分类
（1）永久荷载
如结构自重，该类荷载表现为近似恒定。
第一节 荷载的概率模型
（2）持续荷载
如楼面活荷载，表现为一定时间段内量值恒定、 各时间段量值可能不等、或某时间段不出现。
荷载效应系数近似为 常数，荷载效应与荷载 具有相同的概率特性， 统计参数之间关系为
S CQ S CQ
第三节 荷载效应组合
二、 荷载效应组合
结构承受永久荷载的同时，可能承受两种以上可变荷载 （活荷载、风荷载、雪荷载等）。
所有可变荷载以最大值相遇的概率很小，为了结构的安 全和经济，需研究多个荷载效应组合的概率分布。
第二节 荷载的代表值
按总持续时间确定：防止结构功能降低（如出现不舒适的 振动）时，要关注荷载超过某一限值的持续时间长短，国际
标准建议x<0.1。
按超过次数确定：防止结构局部损坏（如出现裂缝）或疲 劳破坏时，要限制荷载超过某一限值的次数，国际标准没有 具体建议。
第二节 荷载的代表值
2）设计取值
对标准值折减得到，折减系数称为频遇值系数f
= Tx/T表示；
用超过Qx的次数nx或平均跨阈率x = nx/T （单位时间内超过
的平均次数）表示。
第二节 荷载的代表值
（1）荷载频遇值
设计基准期内结构上较频繁出现的较大荷载值，主要用于正 常使用极限状态的频遇组合。
1）确定方法
按总持续时间确定 按超过次数确定
第七章 工程结构荷载的统计分析
本章内容 第一节 荷载的概率模型 第二节 荷载的代表值 第三节 荷载效应组合
第一节 荷载的概率模型
一、工程结构的荷载分类及概率模型 （一）荷载分类 按随时间变化情况分类
（1）永久荷载
如结构自重，该类荷载表现为近似恒定。
第一节 荷载的概率模型
（2）持续荷载
如楼面活荷载，表现为一定时间段内量值恒定、 各时间段量值可能不等、或某时间段不出现。
荷载效应系数近似为 常数，荷载效应与荷载 具有相同的概率特性， 统计参数之间关系为
S CQ S CQ
第三节 荷载效应组合
二、 荷载效应组合
结构承受永久荷载的同时，可能承受两种以上可变荷载 （活荷载、风荷载、雪荷载等）。
所有可变荷载以最大值相遇的概率很小，为了结构的安 全和经济，需研究多个荷载效应组合的概率分布。
第二节 荷载的代表值
按总持续时间确定：防止结构功能降低（如出现不舒适的 振动）时，要关注荷载超过某一限值的持续时间长短，国际
标准建议x<0.1。
按超过次数确定：防止结构局部损坏（如出现裂缝）或疲 劳破坏时，要限制荷载超过某一限值的次数，国际标准没有 具体建议。
第二节 荷载的代表值
2）设计取值
对标准值折减得到，折减系数称为频遇值系数f
第二章 重力荷载汇总
S=hρg
雪重度是一个随时间和空间变化的量，它随积雪厚度、积雪
时间长短等因素的变化而有较大差异。
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33/70
空间上：
越靠近地面，雪重度越大；雪越深，下层雪的重度越大
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34/70
雪密度随时间的变化
时间上：
随时间的延续，积雪 由于受到压缩、融化、蒸 发及人为搅动等，其重度 不断增加。
在研究基础上，不少 国家对雪重度提出了相应 的建议公式。
为工程应用方便，常
将雪重度设定为常值（根
据某地区的气象记录资料
经统计后所得到的雪重度
平均值或某分位值天）水。师范学院土木工程学院
35/70
全国基本雪压分布图
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36/70
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37/70
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28/70
注意!
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29/70
三、屋面积灰荷载
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30/70
2.4 雪荷载
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31/70
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32/70
一、基本雪压
雪压：单位面积地面上积雪的自重
基本雪压：当地空旷平坦地面上根据气象记录资料经统计得 到的在结构使用期间可能出现的最大雪压值。
80mm厚现浇钢筋混凝土 0.08m25kN/m3=2.0kN/m2 12mm厚纸筋石灰泥粉 0.012m16kN/m3=0.192kN/m2
Gk=∑Gki=2.592 kN/m2
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2.2 土的自重应力
雪重度是一个随时间和空间变化的量，它随积雪厚度、积雪
时间长短等因素的变化而有较大差异。
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空间上：
越靠近地面，雪重度越大；雪越深，下层雪的重度越大
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雪密度随时间的变化
时间上：
随时间的延续，积雪 由于受到压缩、融化、蒸 发及人为搅动等，其重度 不断增加。
在研究基础上，不少 国家对雪重度提出了相应 的建议公式。
为工程应用方便，常
将雪重度设定为常值（根
据某地区的气象记录资料
经统计后所得到的雪重度
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全国基本雪压分布图
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三、屋面积灰荷载
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2.4 雪荷载
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一、基本雪压
雪压：单位面积地面上积雪的自重
基本雪压：当地空旷平坦地面上根据气象记录资料经统计得 到的在结构使用期间可能出现的最大雪压值。
80mm厚现浇钢筋混凝土 0.08m25kN/m3=2.0kN/m2 12mm厚纸筋石灰泥粉 0.012m16kN/m3=0.192kN/m2
Gk=∑Gki=2.592 kN/m2
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2.2 土的自重应力
第二章 重力荷载(屋面活荷载和屋面积灰荷载) PPT
2 . 0 k N / m 2 4 m 5 0 . 7 2 . 0 k N / m 2 4 m 3 6 k N / m
4m
预制板 预制板 预制板 预制板
4m
纵墙
横 墙
屋顶 ⑥
⑤ ④ ③
②
大家好
①
8
二、屋面积灰荷载
机械、冶金、水泥等行业在生产过程中有大量的排灰产生，易于 在厂房及其临近建筑物屋面堆积，形成积灰荷载。 ➢ 影响积灰厚度的主要因素有除尘装置的使用、清灰制度的执行、 风向和风速、烟囱高度、屋面坡度、屋面挡风板等等。 ➢ 确定积灰荷载只有在工厂设有一般的除尘装置，且能坚持正常 的清灰制度的前提下才有意义。
故屋面坡度α ≤ 25°, 应查该表确定积灰荷载。
2、此题属屋面无挡风板的情况，故查表项次1得屋
面积灰荷载标准值为0.50kN/m2。
3、该车间的高低跨连接处为易形成灰堆处，应乘
以规定的增大系数。
按规定在高低跨处两倍于屋面高差但不大于
6.0m的分布宽度范围内取2.0。
b=2×4m=8m>6m，故取b=6m。
迪拜7星级帆船酒店
大家好
6
例1：某展览馆的屋面于晚上作放电影和露天舞场用。求：确定设计时应考 虑的屋面活荷载标准值。
1、查表2-19得，此为上人屋面 qk=2.0kN/m2。 2、注2，上人的屋面，当兼作其他用途时，应按相应楼面活荷载采用； 3、查表2-17，4（2）无固定座位的看台，qk=3.5kN/m2；5（2）舞厅， qk=4.0kN/m2； 4、因此，设计时按最不利情况考虑，取qk=4.0kN/m2。
大家好
9
设计生产中有大量排灰的厂房及其临近建筑时，对于具有一定除尘设施和保 证清灰制度的厂房屋面，其水平投影面上的屋面积灰荷载，按表2-21取值。
可靠性分配及概率计算
应力分析
强度分析
应力分布参数
强度分布参数
可靠性计算
应力——强度分布干涉模型
Text in here
Text in here
1、由图可知即使安全系数大于1，仍然会有一定的不可靠； 2、当工作压力和零件法离散程度大，干涉部分必加大，不可靠 度也增大； 3、当材料性能好，应力稳定使，会使两密度分布离散度小，干 涉区也减小可靠度增大。
把系统可靠性指标按一定原则分配给分系统、部件、元件或零件，
称为可靠性分配。
比如： 可靠性
影响因素 设计技术 零部件材料 使用（运输、安装、维修等）
影响程度 40%
30% 20%
制造技术
10%
可靠性分配方法
设计方案论证阶段 初步设计阶段
详细设计阶段
通常采用等分配法等 比较简单的分配方法
通常采用评分分配法 和比例组合法等
A
蒙特卡洛模拟法求综合应力-强度分布
A
谢谢欣赏!
确定强度分布的方法
确 定 强 度 判 据
A
确 定 名 义 强 度 分 布
B
用适 当的 强度 系数 去修 正名 义强 度
C
确定强 度公式 中名义 强度、 每一个 强度修 正系数 和参数 分布
把上 述的 分布 综合 成为 强度 分布
D
E
综合应力——强度分布的方法
代数法
矩法
用泰勒级数来求随机变量函数的均值和标准离差
拉格朗日乘子法
拉格朗日乘子法
动态规划法
思路：
动态规划法
解：Sij 表示对第i个系统选择 j 个设备 Si 包含了第i个设备所有可能的情况。 S（i，j），Si的值都是前面代表可靠性，后面代表价格。 支配：花了更多的钱，可靠性反而低，可以删除。
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工程设计可靠度不同的重要原因。
通常，采用荷载重现期TR来表达荷载标准值。
重现期是指连续两次超过标准值
越概率P与TR的关系为
Qk
Qk 的超 的平均间隔时间，
F (Qk ) 1 P 1
1 TR
按50年一遇设计相当于取年分布的0.98分位值。50年超越概率
为63.6%，此为NKB设计标准取值。千年一遇，相当于50年超越
复合泊松过程中，荷载在时域内随机变动，幅值服从同一分布 , 因此，在[0，T]内的最大值
{QM max Q( ) a} 这一事件出现的概率
应在所有不同的荷载变动次数背景下加以考察。
由于不同的荷载变动次数之间具有互不相容特性，故利用全概 率公式有
FM (a) P(QM a) P(QM a | Nt k ) P( Nt k )
1、恒荷载
统计实测了17个省市、35个预制厂的钢筋混凝土楼板2667块； 在8个省市实测找平层、垫层、保温隔热层1万余个测点； 在6个省市取得砼容重数据707个； 结果给出：恒荷载服从正态分布。
f G ( x) x 1.06Gk 2 1 exp[( ) ] 0.074Gk 0.074Gk 2
Q(t)
发生次数：
( t ) k t P[ N (t ) k ] e k!
t
λ 为平均发生率。
1、过程Q（t）在时间t内的荷载发生变化次数N（t）服从泊 松分布； 2、在[0，T]上所有的随机变量相互独立且为同分布F(x）， 并且独立于时间t。
平稳二项随机过程模型与复合泊松过程模型
均值 355.2 N / m2 ，均方差 243.7 N / m2 ， 变异系数达0.686。 均值 467.9 N / m2，均方差 252.1N / m2， 变异系数达0.539。
住 宅：
4、年最大屋面雪荷载
极值I型分布
FQ ( x) exp[ exp( x 0.246Sk )] 0.199Sk
注意到平稳二项过程中荷载出现与否与荷载出现幅值大小彼 此独立，故
Fti (a) P(Q(t ) a, t ti ) pF (a ) q pF (a ) (1 p ) 1 p[1 F (a )]
FM (a ) 1 p[1 F (a )]
r
1 、平稳二项过程的极大值分布
平稳二项过程：在时域内周期性变动的随机过程模型。
Q(t)
令时间步长
M
t
T r
最大值 Q max Q(t ) 小于给定值a 的概率记为： t1 t2 t3
ti
T
t
FM (a) P(QM a)
事件 {QM a} 意味着Q（t）在各时段上均小于或等于a，且过 程本身为独立随机变量序列，故可用独立事件的概率计算 FM (a)
工程可靠性概论
重力荷载的概率分布
李 杰
同济大学
2011年9月19日
&1. 重力荷载的变异性
X(t)
恒载 重力荷载 持久性活荷载
t
活荷载
临时性活荷载
X(t)
t
&2. 反映荷载变异性的概率模型
1、随机变量模型
当荷载变异性不随时间或空间分布而改变时，可以用随
机变量模型加以反映（例如：恒荷载）。
2、随机过程模型
对于随时间发生改变的重力荷载，可以用随机过程模型 加以反映（例如：活荷载）。
3、随机场模型
对于随空间分布发生变化的重力荷载，可采用随机场模型 加以反映。
随机变量模型的统计建模过程
客观世界 试验观察
样本 {X1 , X 2 ,
1.2 1
数学模型
, X n}
0.8
0.6
由直方图推断 f X ( x)
f X ( x)
FM (a) P(Q(t ) a, t ti ) Fti (a)
i 1 i 1 r r
r
T t
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Fti (a)
是事件 Q(t) a, t ti 发生的概率
Q(t) a, t ti 0 Q(t ) a, t ti Q(t ) 0, t ti
的空间相关特性，以避免统计上的困难。
简化随机场实为随机变量丛集，用荷载密度 w（单位面积
上重力大小）表示
w( x, y) ( x, y)
μ为均值；γ为个体差异变量（均值为零，方差为σ）；ε为均值为
2 零的平稳随机场，一般假定为白噪声模型，均值为零，方差为 / A 。
&3. 重力荷载随机过程的极大值分布
0.4
0.2
x
-0.5 0 0.5 1 1.5
0
-0.2 -1
1 X Xi n S 2 1 ( X X )2 i n 1
统计估计
均值 X
方差 2 S 2
常用随机变量模型的概率分布
正 态 分 布
f s ( x) 1 1 x 2 exp[ ( ) ] 2 2
对于随时间发生变化的重力荷载，即使可以准确给定其 过程分布，由于离散事件过程的特点，在现阶段也难以进 行荷载效应过程的分析（这一点迥异于作为连续过程的随
机振动问题）。
从工程应用角度，有意义地是考虑结构使用期限内重力 荷载极大值分布，即考虑在给定T时段内随机过程的极值分 布。这种考虑也将对随机过程的考察转化为对随机变量 （极大值）的考察。
T
此即为复合泊松过程的极大值分布。
当a值较大、且F（a)为指数型分布时，上述分布趋向于极 值I型分布。 F (a) exp[ exp(a( x ))]
&4. 建筑工程的重力荷载模型
1977年—1981年，我国开展了大规模的建筑工程荷载调查实测
工作，取得了丰富的成果，构成了我国现行设计规范的基础。
当有条件时，可对各种作用统一规定该统计特征值的概 率定义；
概率为4.9%。 再次强调：对于标准值的超越概率，各个国家并无统一标准，关 于荷载超越概率的规定差异是造成各国工程设计可靠度不同的重 要原因，简单比较荷载分项系数是错误的。
与荷载重现期相对应的一个概念是结构设计基准期 （design reference period）它是指：
为确定结构可变作用取值而选用的时间参数。
x
利用均值μ 与标准差σ即可确定概率分布。
对数正态分布
f ( x) 1 ln x 2 exp[ ( ) ] 2 2 x 1
0 x
E (ln )
D(ln )
利用lnξ 的均值和标准差即可确定概率分布。
极值I型分布
f ( x) exp[ ( x ) e ( x ) ] x
1.2825 /
m 0.5772 /
利用随机变量的均值m与方差σ可确定概率分布。
反映荷载变异性的概率模型
2 随机过程模型
对于随时间发生改变的重力荷载，可以用随机过程模型 加以反映。 （1）连续随机过程模型
x o x o x o
t1
p (x , t )
t
p (x , t ) p (x 1 , t 1 ; x 2 , t 2 ) L p (x 1 , t 1 ; x 2 , t 2 ; L ; x n , t n )
因此有
令 m pr 为在
[0, T ]上出现 R(t ) 0
的次数，则可证明下式近似成立:
FM (a) [F (a)]m
此即平稳二项过程最大值分布公式。通常 ,取荷载平均出现次数m = 5。
当 F (a) 为指数型分布且m 时，上述分布趋于极值I型分布。
2、复合泊松过程的极大值分布
2、在[0，T]上所有随机变量相互独立、且为同分布F(x），并且独 立于时间t。
Q(t)
t1 t2 t3 在任意时点t的概率分布函数为：
ti
t
FQ (t, x) q pF ( x)
平稳性：统计特性不随时间发生变化； 适用于在时域内周期性出现荷载波动的随机荷载建模。
复合泊松过程模型
在时域内随机性出现荷载变动的随机荷载模型。
k
即：G 1.06Gk ， 0.074G ;Gk为荷载标准值。荷载变异系数为7%。
2、持久性活荷载
使用平稳二项随机过程模型，并采用时空转换原则进行统计分 析。即：从不同建造年代、同类型房间的调查数据推断一个房间 在时间轴上的表现。共调查了25个城市，2201间办公楼6.37万平 米，566间住宅，0.7万平米。并随机抽查了317栋办公楼和229个
均值 0.36Sk ，均方差 0.255Sk ，Sk为30年一遇的最大雪压值（各地平 均值）。变异系数达0.71。
&5. 设计上的处理：荷载标准值
荷载标准值:用设计基准期内荷载最大值概率分布的某一分位值 表示。对于不同的分位值，存在不同的超越概率 P。
f Q
Q
Qk Q Q
荷载标准值是结构极限状态设计的基础。如何规定标准值的超 越概率，各国并无统一标准。事实上，关于Ps的差异是造成各国
两类模型的共性：
1、都不考虑不同时段之间的相关性，所以更确切的说是
独立随机变量序列模型； 2、都需要对于幅值分布F(x）的统计。 统计方式：平稳，查有无荷载；泊松，查变动次数。 从统计角度看，泊松过程之λ较之平稳二项分布的p更易于
统计；
反映荷载变异性的概率模型
3、简化随机场模型
对于随空间分布发生变化的重力荷载，可采用简化随机场 模型加以反映。“简化”这一术语意在强调不考虑重力荷载
住宅用户的搬迁间隔年限。
结果表明：持续性活荷载任意时间幅值分布服从极值 I型分布