2018年北师大版九年级下《1.5三角函数的应用》同步练习含答案
北师大版初中数学九年级下学期《1.5 三角函数的应用》同步练习卷
北师大新版九年级下学期《1.5 三角函数的应用》同步练习卷一．选择题（共10小题）1．如图，小刚从山脚A出发，沿坡角为α的山坡向上走了300米到达B点，则小刚上升了（）A．300sinα米B．300cosα米C．300tanα米D．米2．如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取P A的垂线PB上的一点C，测得PC＝100米，∠PCA＝35°，则小河宽P A等于（）A．100sin35°米B．100sin55°米C．100tan35°米D．100tan55°米3．一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是（）A．B．C．D．4．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC＝α，∠ADC＝β，则竹竿AB与AD的长度之比为（）A．B．C．D．5．如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），把一根长5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出杆长1m处的D点离地面的高度DE＝0.6m，又量得杆底与坝脚的距离AB＝3m，则石坝的坡度为（）A．B．3C．D．46．某楼梯的侧面如图所示，已测得BC的长约为3.5米，∠BCA约为29°，则该楼梯的高度AB可表示为（）A．3.5sin29°米B．3.5cos29°米C．3.5tan29°米D．米7．如图，一个斜坡长130m，坡顶离水平地面的距离为50m，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于（）A．B．C．D．8．如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα＝，则小车上升的高度是（）A．5米B．6米C．6.5米D．12米9．如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB＝α，则拉线BC的长度为（A、D、B在同一条直线上）（）A．B．C．D．h•cosα10．如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米（点C与点B在同一水平面上），某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处，斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯角为20°，则建筑物AB的高度约为（精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）（）A．29.1米B．31.9米C．45.9米D．95.9米二．填空题（共7小题）11．如图，旗杆高AB＝8m，某一时刻，旗杆影子长BC＝16m，则tan C＝．12．如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度为米．（结果保留两个有效数字）【参考数据；sin31°＝0.515，cos31°＝0.857，tan31°＝0.601】13．如图所示，小芳在中心广场放风筝，已知风筝拉线长100米（假设拉线是直的），且拉线与水平地面的夹角为60°，若小芳的身高忽略不计，则风筝离水平地面的高度是米（结果保留根号）．14．如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE、DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝米，背水坡CD的坡度i＝1：（i 为DF与FC的比值），则背水坡CD的坡长为米．15．为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固．如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD．已知迎水坡面AB＝12米，背水坡面CD＝12米，∠B＝60°，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tan E＝，则CE的长为米．16．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB ＝500米，则这名滑雪运动员的高度下降了米．（参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）17．小明沿着坡度i为1：的直路向上走了50m，则小明沿垂直方向升高了m．三．解答题（共33小题）18．某小区为了安全起见，决定将小区内的滑滑板的倾斜角由45°调为30°，如图，已知原滑滑板AB的长为4米，点D，B，C在同一水平地面上，调整后滑滑板会加长多少米？（结果精确到0.01米，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）19．如图，同学们利用所学知识去测量三江源某河段某处的宽度．小宇同学在A 处观测对岸点C，测得∠CAD＝45°，小英同学在距点A处60米远的B点测得∠CBD＝30°，请根据这些数据算出河宽（精确到0.01米，≈1.414，≈1.732）．20．如图，1号楼在2号楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB．冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，1号楼在2号楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，1号楼在2号楼墙面上的影高为DA．已知CD＝42m．（1）求楼间距AB；（2）若2号楼共30层，层高均为3m，则点C位于第几层？（参考数据：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）21．如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，CM∥AN）．（1）求灯杆CD的高度；（2）求AB的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据：＝1.73．sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）22．两栋居民楼之间的距离CD＝30米，楼AC和BD均为10层，每层楼高3米．（1）上午某时刻，太阳光线GB与水平面的夹角为30°，此刻B楼的影子落在A楼的第几层？（2）当太阳光线与水平面的夹角为多少度时，B楼的影子刚好落在A楼的底部？23．京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽（岸沿是平行的），如图，在岸边分别选定了点A、B和点C、D，先用卷尺量得AB＝160m，CD＝40m，再用测角仪测得∠CAB＝30°，∠DBA＝60°，求该段运河的河宽（即CH的长）．24．如图是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在A处时的风筝线（整个过程中风筝线近似地看作直线）与水平线构成30°角，线段AA1表示小红身高1.5米．（1）当风筝的水平距离AC＝18米时，求此时风筝线AD的长度；（2）当她从点A跑动9米到达点B处时，风筝线与水平线构成45°角，此时风筝到达点E处，风筝的水平移动距离CF＝10米，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的高度C1D．25．汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速．如图，学校附近有一条笔直的公路l，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米/小时．数学实践活动小组设计了如下活动：在l上确定A，B两点，并在AB路段进行区间测速．在l外取一点P，作PC⊥l，垂足为点C．测得PC＝30米，∠APC＝71°，∠BPC＝35°．上午9时测得一汽车从点A到点B用时6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.90）26．“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离．某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答．如图所示，底座上A，B两点间的距离为90cm．低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm，高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm，已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°，高杠的支架BD与直线AB 的夹角∠DBF为80.3°．求高、低杠间的水平距离CH的长．（结果精确到1cm，参考数据sin82.4°≈0.991，cos82.4°≈0.132，tan82.4°≈7.500，sin80.3°≈0.983，cos80.3°≈0.168，tan80.3°≈5.850）27．如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面AC 的倾斜角∠CAB＝45°，在距A点10米处有一建筑物HQ．为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角∠BDC＝30°，若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除？（计算最后结果保留一位小数）．（参考数据：＝1.414，＝1.732）28．如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳BC与地面保持垂直，吊臂AB 与水平线的夹角为64°，吊臂底部A距地面1.5m．（计算结果精确到0.1m，参考数据sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）（1）当吊臂底部A与货物的水平距离AC为5m时，吊臂AB的长为m．（2）如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？（吊钩的长度与货物的高度忽略不计）29．祥云桥位于省城太原南部，该桥塔主体由三根曲线塔柱组合而成，全桥共设13对直线型斜拉索，造型新颖，是“三晋大地”的一种象征．某数学“综合与实践”小组的同学把“测量斜拉索顶端到桥面的距离”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间借助该桥斜拉索完成了实地测量．测量结果如下表．测量示意说明：（1）请帮助该小组根据上表中的测量数据，求斜拉索顶端点C到AB的距离（参考数据：sin38°≈0.6，cos38°≈0.8，tan38°≈0.8，sin28°≈0.5，cos28°≈0.9，tan28°≈0.5）（2）该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目（写出一个即可）．30．随州市新㵐水一桥（如图1）设计灵感来源于市花﹣﹣兰花，采用蝴蝶兰斜拉桥方案，设计长度为258米，宽32米，为双向六车道，2018年4月3日通车．斜拉桥又称斜张桥，主要由索塔、主梁、斜拉索组成．某座斜拉桥的部分截面图如图2所示，索塔AB和斜拉索（图中只画出最短的斜拉索DE和最长的斜拉索AC）均在同一水平面内，BC在水平桥面上．已知∠ABC＝∠DEB ＝45°，∠ACB＝30°，BE＝6米，AB＝5BD．（1）求最短的斜拉索DE的长；（2）求最长的斜拉索AC的长．31．某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图所示，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10m，坡角∠ABD为30°；改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为15°，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度，（结果精确到0．lm．温馨提示：sin15°≈0.26，cos l5°≈0.97，tan15°≈0.27）32．日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数＝L：（H﹣H1），其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层窗台至地面高度．如图②，山坡EF朝北，EF长为15m，坡度为i＝1：0.75，山坡顶部平地EM上有一高为22.5m的楼房AB，底部A到E点的距离为4m．（1）求山坡EF的水平宽度FH；（2）欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少多远？33．图1是一商场的推拉门，已知门的宽度AD＝2米，且两扇门的大小相同（即AB＝CD），将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转37°，将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°，其示意图如图2，求此时B与C之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，≈1.4）34．随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起．高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式．如图，A，B两地被大山阻隔，由A地到B地需要绕行C地，若打通穿山隧道，建成A，B两地的直达高铁，可以缩短从A地到B地的路程．已知：∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，AC＝640公里，求隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短多少公里？（参考数据：≈1.7，≈1.4）35．如图，有一个三角形的钢架ABC，∠A＝30°，∠C＝45°，AC＝2（+1）m．请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1m的圆形门？36．为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC＝80千米，∠A＝45°，∠B＝30°．（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）37．图1是某小区入口实景图，图2是该入口抽象成的平面示意图．已知入口BC宽3.9米，门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯，点O与地面BC的距离为3.3米，灯臂OM长为1.2米（灯罩长度忽略不计），∠AOM＝60°．（1）求点M到地面的距离；（2）某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．（参考数据：≈1.73，结果精确到0.01米）38．如图1，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接，图3是图2中“滑块铰链”的平面示意图，滑轨MN安装在窗框上，托悬臂DE安装在窗扇上，交点A处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点B，C，D始终在一直线上，延长DE交MN于点F．已知AC＝DE＝20cm，AE＝CD＝10cm，BD＝40cm．（1）窗扇完全打开，张角∠CAB＝85°，求此时窗扇与窗框的夹角∠DFB的度数；（2）窗扇部分打开，张角∠CAB＝60°，求此时点A，B之间的距离（精确到0.1cm）．（参考数据：≈1.732，≈2.449）39．如图1，水坝的横截面是梯形ABCD，∠ABC＝37°，坝顶DC＝3m，背水坡AD的坡度i（即tan∠DAB）为1：0.5，坝底AB＝14m．（1）求坝高；（2）如图2，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底同时拓宽加固，使得AE＝2DF，EF⊥BF，求DF的长．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）40．图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m．当起重臂AC长度为9m，张角∠HAC为118°时，求操作平台C离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）41．如图1，一种折叠式小刀由刀片和刀鞘两部分组成．现将小刀打开成如图2位置，刀片部分是四边形ABCD，其中AD∥BC，AB⊥BC，CD＝15mm，∠C ＝53°，刀鞘的边缘MN∥PQ，刀刃BC与刀鞘边缘PQ相交于点O，点A 恰好落在刀鞘另一边缘MN上时，∠COP＝37°，OC＝50mm，（1）求刀片宽度h．（2）若刀鞘宽度为14mm，求刀刃BC的长度．（结果精确到0.1mm）（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）42．某机场为了方便旅客换乘，计划在一、二层之间安装电梯，截面设计图如图所示，已知两层AD与BC平行，层高AB为8米，A、D间水平距离为5米，∠ACB＝21.5°（1）通过计算说明身高2.4米的人在竖直站立的情况下，搭乘电梯在D处会不会碰到头部；（2）若采用中段加平台设计（如图虚线所示），已知平台MN∥BC，且AM段和NC段的坡度均为1：2（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），求平台MN的长度．（参考数据：sin21.5°＝，cos21.5°＝，tan21.5°＝）43．如图，某市文化节期间，在景观湖中央搭建了一个舞台C，在岸边搭建了三个看台A，B，D，其中A，C，D三点在同一条直线上，看台A，B到舞台C 的距离相等，测得∠A＝30°，∠D＝45°，AB＝60m，小明、小丽分别在B，D看台观看演出，请分别求出小明、小丽与舞台C的距离．（结果保留根号）44．如图，某煤矿因不按规定操作发生瓦斯爆炸，救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A，B两个探测点探测到地下C处有生命迹象．已知A，B两点相距8米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度（结果保留根号）．45．“C919”大型客机首飞成功，激发了同学们对航空科技的兴趣，如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸，图中AB∥CD，AM∥BN∥ED，AE⊥DE，请根据图中数据，求出线段BE和CD的长．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，结果保留小数点后一位）46．如图，某武警部队在一次地震抢险救灾行动中，探险队员在相距4米的水平地面A，B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知在A处测得探测线与地面的夹角为30°，在B处测得探测线与地面的夹角为60°，求该生命（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）迹象C处与地面的距离．47．贵阳市某消防支队在一幢居民楼前进行消防演习，如图所示，消防官兵利用云梯成功救出在C处的求救者后，发现在C处正上方17米的B处又有一名求救者，消防官兵立刻升高云梯将其救出，已知点A与居民楼的水平距离是15米，且在A点测得第一次施救时云梯与水平线的夹角∠CAD＝60°，求第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD的度数（结果精确到1°）．48．位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体AD和底座CD两部分组成．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝70.5°，在Rt △DBC中，∠DBC＝45°，且CD＝2.3米，求像体AD的高度（最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824）49．如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，求（参考数据：sin31°＝0.515，大厅两层之间的距离BC的长．（结果精确到0.1米）cos31°＝0.857，tan31°＝0.60）50．王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图所示．已知AC＝20cm，BC＝18cm，∠ACB＝50°，王浩的手机长度为17cm，宽为8cm，王浩同学能否将手机放入卡槽AB内？请说明你的理由．（提示：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2）北师大新版九年级下学期《1.5 三角函数的应用》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图，小刚从山脚A出发，沿坡角为α的山坡向上走了300米到达B点，则小刚上升了（）A．300sinα米B．300cosα米C．300tanα米D．米【分析】利用锐角三角函数关系即可求出小刚上升了的高度．【解答】解：在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，AB＝300米，BO＝AB•sinα＝300sinα米．故选：A．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意构造直角三角形，正确选择锐角三角函数得出AB，BO的关系是解题关键．2．如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取P A的垂线PB上的一点C，测得PC＝100米，∠PCA＝35°，则小河宽P A等于（）A．100sin35°米B．100sin55°米C．100tan35°米D．100tan55°米【分析】根据正切函数可求小河宽P A的长度．【解答】解：∵P A⊥PB，PC＝100米，∠PCA＝35°，∴小河宽P A＝PC tan∠PCA＝100tan35°米．故选：C．【点评】考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．3．一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是（）A．B．C．D．【分析】先利用正弦的定义得到sin A＝0.15，然后利用计算器求锐角α．【解答】解：sin A＝＝＝0.15，所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为故选：A．【点评】本题考查了计算器﹣三角函数：正确使用计算器，一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键．4．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC＝α，∠ADC＝β，则竹竿AB与AD的长度之比为（）A．B．C．D．【分析】在两个直角三角形中，分别求出AB、AD即可解决问题．【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝，在Rt△ACD中，AD＝，∴AB：AD＝：＝，故选：B．【点评】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．5．如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），把一根长5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出杆长1m处的D点离地面的高度DE＝0.6m，又量得杆底与坝脚的距离AB＝3m，则石坝的坡度为（）A．B．3C．D．4【分析】先过C作CF⊥AB于F，根据DE∥CF，可得＝，进而得出CF ＝3，根据勾股定理可得AF的长，根据CF和BF的长可得石坝的坡度．【解答】解：如图，过C作CF⊥AB于F，则DE∥CF，∴＝，即＝，解得CF＝3，∴Rt△ACF中，AF＝＝4，又∵AB＝3，∴BF＝4﹣3＝1，∴石坝的坡度为＝＝3，故选：B．【点评】本题主要考查了坡度问题，在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．6．某楼梯的侧面如图所示，已测得BC的长约为3.5米，∠BCA约为29°，则该楼梯的高度AB可表示为（）A．3.5sin29°米B．3.5cos29°米C．3.5tan29°米D．米【分析】由sin∠ACB＝得AB＝BC sin∠ACB＝3.5sin29°．【解答】解：在Rt△ABC中，∵sin∠ACB＝，∴AB＝BC sin∠ACB＝3.5sin29°，故选：A．【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握正弦函数的定义是解题的关键．7．如图，一个斜坡长130m，坡顶离水平地面的距离为50m，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于（）A．B．C．D．【分析】如图，在Rt△ABC中，AC＝＝＝120m，根据tan ∠BAC＝，计算即可．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝130m，BC＝50m，∴AC＝＝＝120m，∴tan∠BAC＝＝＝，故选：C．【点评】本题考查解直角三角形的应用、勾股定理的应用等知识，解题的关键是记住锐角三角函数的定义，属于基础题．8．如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα＝，则小车上升的高度是（）A．5米B．6米C．6.5米D．12米【分析】在Rt△ABC中，先求出AB，再利用勾股定理求出BC即可．【解答】解：如图AC＝13，作CB⊥AB，∵cosα＝＝，∴AB＝12，∴BC＝＝＝5，∴小车上升的高度是5m．故选：A．【点评】此题主要考查解直角三角形，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是学会构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．9．如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB＝α，则拉线BC的长度为（A、D、B在同一条直线上）（）A．B．C．D．h•cosα【分析】根据同角的余角相等得∠CAD＝∠BCD，由os∠BCD＝知BC＝＝．【解答】解：∵∠CAD+∠ACD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠CAD＝∠BCD，在Rt△BCD中，∵cos∠BCD＝，∴BC＝＝，故选：B．【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键．10．如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米（点C与点B在同一水平面上），某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处，斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯角为20°，则建筑物AB的高度约为（精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）（）A．29.1米B．31.9米C．45.9米D．95.9米【分析】根据坡度，勾股定理，可得DE的长，再根据平行线的性质，可得∠1，根据同角三角函数关系，可得∠1的坡度，根据坡度，可得DF的长，根据线段的和差，可得答案．【解答】解：作DE⊥AB于E点，作AF⊥DE于F点，如图，设DE＝xm，CE＝2.4xm，由勾股定理，得x2+（2.4x）2＝1952，解得x≈75m，DE＝75m，CE＝2.4x＝180m，（方法二：由i＝1：2.4＝5：12，设DE＝5xm，CE＝12xm，由勾股定理，得CD＝13x，∴13x＝195，∴x＝15，∴DE＝75m，CE＝180m）EB＝BC﹣CE＝306﹣180＝126m．∵AF∥DG，∴∠1＝∠ADG＝20°，tan∠1＝tan∠ADG＝＝0.364．AF＝EB＝126m，tan∠1＝＝0.364，DF＝0.364AF＝0.364×126＝45.9，AB＝FE＝DE﹣DF＝75﹣45.9≈29.1m，故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形，利用坡度及勾股定理得出DE，CE的长是解题关键．二．填空题（共7小题）11．如图，旗杆高AB＝8m，某一时刻，旗杆影子长BC＝16m，则tan C＝．【分析】根据直角三角形的性质解答即可．【解答】解：∵旗杆高AB＝8m，旗杆影子长BC＝16m，∴tan C＝，故答案为：【点评】此题考查解直角三角形的应用，关键是根据正切值是对边与邻边的比值解答．12．如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度为 6.2米．（结果保留两个有效数字）【参考数据；sin31°＝0.515，cos31°＝0.857，tan31°＝0.601】【分析】根据题意和锐角三角函数可以求得BC的长，从而可以解答本题．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴BC＝AB•sin∠BAC＝12×0.515≈6.2（米），答：大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米．故答案为：6.2．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．13．如图所示，小芳在中心广场放风筝，已知风筝拉线长100米（假设拉线是直的），且拉线与水平地面的夹角为60°，若小芳的身高忽略不计，则风筝离水平地面的高度是50米（结果保留根号）．【分析】根据解直角三角形的方法即可得到结论．【解答】解：如图，作AC⊥OB于点C，∵AO＝100米，∠AOC＝60°，∴AC＝OA•sin60°＝100×＝米．故答案为：50．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．14．如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE、DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝米，背水坡CD的坡度i＝1：（i为DF与FC的比值），则背水坡CD的坡长为12米．【分析】由题意可得四边形AEFD是矩形，由AB的坡角α＝45°，得出AE的长，利用背水坡CD的坡度i＝1：（i为DF与FC的比值）得出∠C的度数，即可求解．【解答】解：∵迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝米，∴AE＝6×sin45°＝6（m），∵背水坡CD的坡度i＝1：（i为DF与FC的比值），∴tan∠C＝＝，∴∠C＝30°，则DC＝2DF＝2AE＝12m，故答案为：12．【点评】此题考查了坡度坡角问题．此题难度适中，注意构造直角三角形，并借助于解直角三角形的知识求解是关键．15．为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固．如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD．已知迎水坡面AB＝12米，背水坡面CD＝12米，∠B＝60°，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tan E＝，则CE的长为8米．【分析】分别过A、D作下底的垂线，设垂足为F、G．在Rt△ABF中，已知坡面长和坡角的度数，可求得铅直高度AF的值，也就得到了DG的长；在Rt △CDG中，由勾股定理求CG的长，在Rt△DEG中，根据正切函数定义得到GE的长；根据CE＝GE﹣CG即可求解．【解答】解：分别过A、D作AF⊥BC，DG⊥BC，垂点分别为F、G，如图所示．∵在Rt△ABF中，AB＝12米，∠B＝60°，∴sin∠B＝，∴AF＝12×＝6，∴DG＝6．∵在Rt△DGC中，CD＝12，DG＝6米，∴GC＝＝18．∵在Rt△DEG中，tan E＝，∴＝，∴GE＝26，∴CE＝GE﹣CG＝26﹣18＝8．即CE的长为8米．故答案为8．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，锐角三角函数的定义，勾股定理．作辅助线构造直角三角形是解答此类题的一般思路．16．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB ＝500米，则这名滑雪运动员的高度下降了280米．（参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）【分析】如图在Rt△ABC中，AC＝AB•sin34°＝500×0.56≈280m，可知这名滑雪运动员的高度下降了280m．【解答】解：如图在Rt△ABC中，AC＝AB•sin34°＝500×0.56≈280m，∴这名滑雪运动员的高度下降了280m．故答案为280【点评】本题考查解直角三角形、坡度坡角问题、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．17．小明沿着坡度i为1：的直路向上走了50m，则小明沿垂直方向升高了25 m．【分析】首先根据题意画出图形，由坡度为1：，可求得坡角∠A＝30°，又由小明沿着坡度为1：的山坡向上走了50m，根据直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半，即可求得答案．【解答】解：如图，过点B作BE⊥AC于点E，∵坡度：i＝1：，∴tan∠A＝1：＝，∴∠A＝30°，∵AB＝50m，∴BE＝AB＝25（m）．∴他升高了25m．故答案为：25．【点评】此题考查了坡度坡角问题．此题比较简单，注意能构造直角三角形并用解直角三角形的知识求解是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．三．解答题（共33小题）18．某小区为了安全起见，决定将小区内的滑滑板的倾斜角由45°调为30°，如图，已知原滑滑板AB的长为4米，点D，B，C在同一水平地面上，调整后滑滑板会加长多少米？（结果精确到0.01米，参考数据：≈1.414，≈。
北师大版九年级数学下册 1.5 三角函数的应用 同步测试题(有答案)
故答案为．
14.
【答案】
【解答】
解：∵，，米，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴米∴学校要购买米的草皮才能正好铺满空地．
故答案为：．
15.
【答案】
【解答】
解：由于山路的坡角为度，则坡角的正弦值，
∴他在竖直方向上上升的高度（米）．
16.
【答案】
【解答】
解：在中，（米）．
17.
【答案】
【解答】
解：由已知得，
则斜坡的坡度．
故选.
10.
【答案】
A
【解答】
故选：．
二、
11.
【答案】
【解答】
解：在中
，
∴．
故答案为：．
12.
【答案】
海里/分
【解答】
解：作，
∵，，
∴海里，则海里，
在中，，
则，
解得，
在中，海里，
海里/分．
故答案为：海里/分．
13.
【答案】
【解答】
解：如图，在直角中，，，，
∴，．
在直角中，，，，
∴，
∴，
（参考数据：，，，．）
26.某区域平面示意图如图，点在河的一侧，和表示两条互相垂直的公路．甲勘测员在处测得点位于北偏东，乙勘测员在处测得点位于南偏西，测得，．请求出点到的距离．
参考数据：，，
参考答案
一、
1.
【答案】
B
【解答】
解：如图，
由已知得：，，米．
∵，
∴ (米)．
故选．
2.
【答案】
D
【解答】
解：根据题意得：，
25.某市为了创建绿色生态城市，在城东建了“东州湖”景区，小明和小亮想测量“东州湖”东西两端、间的距离．于是，他们去了湖边，如图，在湖的南岸的水平地面上，选取了可直接到达点的一点，并测得＝米，点位于点的北偏西方向，点位于点的北偏东方向．
精品解析：2017-2018学年九年级数学北师大版下册同步测试题 1.5 三角函数的应用(解析版)
1.5 三角函数的应用一、选择题1. 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，已知AD＝5 m，DC＝3 m，CE＝4 m，CB的坡度i ＝1∶，则AB 的长为… ( )A. (3＋4)mB. 14 mC. (6＋4)mD. (6＋5)m【答案】C2. 如图，梯形护坝的斜坡AB 的坡度i ＝1∶3，坝高BC 为2米，则斜坡AB 的长是（）A. 2米B. 2米C. 4米D. 6米【答案】B【解析】因为i＝1∶3，所以tanB=，又tanA=，所以=，即AC=6，由勾股定理得AB=2，故选B.3. 铁路的路基的横断面为等腰梯形，其腰的坡度为1∶1.5，上底宽为6 m，路基高为4 m，则路基的下底宽为（）A. 18 mB. 15 mC. 12 mD. 10 m【答案】A学#科#网...学#科#网...学#科#网...学#科#网...4. 如图，把易拉罐中的水倒入一个圆水杯的过程中，当水杯中的水在点P与易拉罐刚好接触时水杯中的水深为( )A. 2cmB. 4cmC. 6cmD. 8cm【答案】C【解析】由图形可知，当水杯中的水在点P与易拉罐刚好接触时水杯中的水深为10-8÷2=6，故选C.5. 小明沿着坡度为1∶2的山坡向上走了1 000 m，则他升高了( )A. 200mB. 500 mC. 500mD. 1 000m【答案】A【解析】如图，因为tanA=，又tanA=，所以=，设BC=x，则AC=2x，由勾股定理得，AC2+BC2=AB2，即（2x）2+x2=10002，解得x=200，故选A.6. 已知Rt△ABC中，斜边AB的长为m ，∠B＝40°，则直角边BC的长是( )A. m sin 40°B. mcos 40°C. m tan 40°D.【答案】B【解析】根据∠B的余弦的定义得，cosB=，所以BC=ABcosB，即BC=mcos40°，故选B.7. 某水坝的坡度i ＝1∶，坡长AB＝20 m，则坝的高度为( )A. 10 mB. 20 mC. 40 mD. 2m【答案】A【解析】如图，因为tanA=，又tanA=，所以=，设BC=x，则AC=x，由勾股定理得，AC2+BC2=AB2，即（x）2+x2=202，解得x=10，故选A.8. 如图，梯形护坡石的斜坡AB的坡度i ＝1∶3，坝高BC为2 m，则斜坡AB的长是( )A. 2mB. 2mC. 4mD. 6m【答案】B【解析】因为i＝1∶3，所以tanB=，又tanA=，所以=，即AC=6，由勾股定理得AB=2，故选B.9. 如图，小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔(图中点A处)在她家北偏东60°500 m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是( )A. 250 mB. 250mC. mD. 250m【答案】A【解析】解：由已知得：∠AOB=30°，OA=500m．则AB=OA=250m．故选A．10. 如图，把易拉罐中的水倒入一个圆水杯的过程中，当水杯中的水在点P与易拉罐刚好接触时水杯中的水深为( )A. 2cmB. 4cmC. 6cmD. 8cm【答案】C【解析】由图形可知，当水杯中的水在点P与易拉罐刚好接触时水杯中的水深为10-8÷2=6，故选C. 11. 如图，坡角为30°的斜坡上两树间的水平距离AC 为2 m，则两树间的坡面距离AB 为（）A. 4mB. mC. mD. 4m【答案】C【解析】因为tan30°=，又tanA=，所以=，则BC=，因为∠A=30°，所以AB=，故选C.12. 某人上坡沿直线走了50m,他升高了25m ,这坡的坡度为（）A. 30°B. 45°C. 1∶1D. ∶2【答案】C【解析】如图，AB=50，BC=25，由勾股定理得AC=25，所以坡比i=BC:AC=1:1，故选C.二、填空题13. 根据图中所给的数据，求得避雷针CD 的长约为________m．(结果精确到0.01 m)【答案】4.86【解析】因为tan∠BAC=，tan∠BAD=，所以BC=ABtan∠BAC，BD=ABtan∠BAD，则CD=BC-BD=ABtan∠BAC-ABtan∠BAD=AB（tan43°-tan40°）≈52（0.933-0.839）≈4.86，故答案为4.86.14. 小强和小明去测量一座古塔的高度，如图，他们在离古塔60 m处( A )用测角仪测得塔顶的仰角为30°，已知测角仪高AD ＝1.5 m，则古塔BE的高为______m．【答案】20+1.5【解析】过点A作AF⊥BE于点F，则AF=DE=60，EF=AD=1.5，∠BAF=30°，因为tan∠BAF=，所以=，所以BF=20，则BE=BF+EF=20+1.5，故答案为（20+1.5）.15. 如图，河岸AD，BC互相平行，桥AB垂直于两岸，从C处看桥的两端A，B，夹角∠BCA＝60°，测得BC＝7 m，则桥长AB＝________ m (结果精确到1 m)．【答案】12【解析】由题意得，∠ABC=90°，则tan∠BCA=，所以=，所以AB=7≈12，故答案为12.16. 如图,一艘船向正北航行,在A处看到灯塔S在船的北偏东30°的方向上,航行12海里到达B点,在B处看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上,此船继续沿正北方向航行过程中距灯塔S的最近距离是_________海里(不作近似计算).【答案】6【解析】试题分析：过S作AB的垂线，设垂足为C．根据三角形外角的性质，易证SB=AB．在Rt△BSC中，运用正弦函数求出SC的长．解：过S作SC⊥AB于C．∵∠SBC=60°，∠A=30°，∴∠BSA=∠SBC﹣∠A=30°，即∠BSA=∠A=30°．∴SB=AB=12．Rt△BCS中，BS=12，∠SBC=60°，∴SC=SB•sin60°=12×=6（海里）．即船继续沿正北方向航行过程中距灯塔S的最近距离是6海里．故答案为：6．17. 如图,一棵树BC的高10米,一只小鸟在地面上的A处沿着倾斜角为30°的方向直飞向树梢B处,则小鸟飞行的路程是_________米.【答案】20【解析】由题意知，∠ACB=90°，则sinA=，所以AB===20，故答案为20.三、解答题18. 如图，山坡AB的坡角α为25°，坡的长度AB＝480 m，求山坡的高度h ．【答案】山坡的高度约为203 m【解析】整体分析：已知直角三角形中的锐角，斜边，求对边，用锐角的正弦.解：在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α＝25°，AB＝480m，∴h＝ABsinα＝480×sin25°≈203(m)．答：山坡的高度约为203m．19. 已知Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）已知 a＝4， b＝2，求 c ；（2）已知∠A＝60°， c＝2＋4，求 b ；（3）已知 a ＝10， c ＝10，求∠B；（4）已知 b ＝35，∠A＝45°，求 a ．【答案】（1）2（2）2+（3）45°（4）35【解析】整体分析：（1）已知两直角边，求斜边，用勾股定理；（2）已知锐角，斜边，求邻边，用余弦；（3）已知斜边，邻边，求锐角，用余弦；（4）已知锐角，邻边求对边用正切.解：（1）由勾股定理，得c＝=2．（2）∵cosA＝，∴b＝ccosA＝(＋4)cos60°＝2＋．（3）∵cosB＝==，∴∠B＝45°．（4）∵tanA＝，∴a＝btanA＝35tan45°＝35．20. 已知，如图，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，D为AC上一点，∠BDC＝45°，DC＝6，求AB的长．【答案】15【解析】先解直角三角形BCD，求得BC＝DC＝6，再解直角三角形ABC，由正弦的定义可得，从而得．所以在较复杂的图形中求线段的长度时，有时要通过两次或更多次解直角三角形才能达到目的．因为∠C＝90°，∠BDC＝45°，所以∠DBC＝45°，所以BC＝DC＝6．在Rt△ABC中，，所以，即AB的长为15．21. 某省将地处A，B两地的两所大学合并成了一所综合性大学．为了方便A，B两地师生交往，学校准备在相距2千米的A，B两地之间修筑一条笔直的公路(即图4.33中的线段AB)．经测量，在A地的北偏东60°方向，B地北偏西45°方向的C处有一个半径为0.7千米的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园为什么【答案】公路不会穿过公园【解析】整体分析：过点C作CD⊥AB，垂足为点D．计算CD的长，与0.7比较大小.解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为点D．因为∠B＝45°，所以∠BCD＝45°．所以CD＝BD．设CD＝BD＝x，因为∠A＝30°，所以AC＝＝2x．由勾股定理，得AD＝=．由AD＋BD＝2，得x＋x＝2，所以x＝－1．所以CD＝－1≈0.732＞0.7．所以公路不会穿过公园．。
北师大版初三数学9年级下册 第1章 1.5 三角函数的应用 同步练习卷(含答案)
北师大版数学九年级下册1.5《三角函数的应用》同步练习卷一、选择题1.如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC=7m，则树高BC为(用含α的代数式表示)（）A.7sinαB.7cosαC.7tanαD.2.如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（）A.sinA的值越大，梯子越陡B.cosA的值越大，梯子越陡C.tanA的值越小，梯子越陡D.陡缓程度与∠A的函数值无关3.一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（）A.10海里/小时B.30海里/小时C.20海里/小时D.30海里/小时4.如图，有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛P，轮船沿正南方向航行至B处，测得小岛P在南偏东45°方向上，按原方向再航行10海里至C处，测得小岛P在正东方向上，则A，B之间的距离是( )A.10海里B.(10－10)海里C.10海里D.(10－10)海里5.如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二踩档与第三踩档的正中间处有一条60 cm长的绑绳EF，tanα=2.5，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD是( )A．144 cm B．180 cm C．240 cm D．360 cm6.一座楼梯的示意图如图,BC是铅垂线,CA是水平线，BA与CA的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯,已知CA=4米,楼梯宽度1米,则地毯的面积至少需要（）A.米2B.米2C.（4+）米2D.（4+4tanθ）米27.如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA等于( )A.100sin 35°米B.100sin 55°米C.100tan 35°米D.100tan 55°米8.如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度BC=10米，∠B=36°，则中柱AD（D为底边中点）的长是（）A.5sin36°米B.5cos36°米C.5tan36°米D.10tan36°米9.如图，将一个 Rt△ABC 形状的楔子从木桩的底端点 P 沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动.已知楔子斜面的倾斜角为 15°，若楔子沿水平方向前进 6cm（如箭头所示），则木桩上升了（）A.6sin15°cmB.6cos15°cmC.6tan15°cmD.cm10.小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度.如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等.小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C=α（B′C为水平线），测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为（）A. B. C. D.二、填空题11.如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，那么山高AD为米（结果保留整数，测角仪忽略不计）12.如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为__________米．13.如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1:，堤高BC=5米，则坝底AC的长度是米．14.如图，一艘船向正北航行，在A处看到灯塔S在船的北偏东30°的方向上，航行12海里到达B点，在B处看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上，此船继续沿正北方向航行过程中距灯塔S的最近距离是海里（结果保留根号）．15.如图，为测量某塔AB的高度，在离塔底部10米处目测其塔顶A，仰角为60°，目高1.5米，则求该塔的高度为米.（参考数据：≈1.41，≈1.73）16.如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则cos∠BAC的值为 .三、解答题17.如图所示，我市某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量釜溪河沙湾段的宽度．小宇同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD=45°，小英同学在距A处50米远的B处测得∠CBD=30°，请你根据这些数据算出河宽．（精确到0.01米，参考数据≈1.414，≈1.732）18.如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°，使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？19.鲁南高铁临沂段修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿AC方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D(A、C、D共线)处同时施工．测得∠CAB=30°，AB=4km，∠ABD=105°，求BD的长．20.为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是260mm～300mm含(300mm)，高度的范围是120mm～150mm(含150mm)．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，各踏步互相平行，AB=CD，AC=900mm，∠ACD=65°，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．(结果精确到1mm，参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423)参考答案1.C2.A3.D4.D5.B6.D7.C；8.C；9.C；10.A11.答案为：137．12.答案为：160．13.答案为：．14.答案为：。
北师大版初三数学9年级下册 第1章 1.5三角函数的应用 同步达标测评 (含答案)
北师大版九年级数学下册《1.5三角函数的应用》同步达标测评（附答案）一．选择题（共4小题，满分20分）1．如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD＝12 m，塔影长DE＝18 m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为（ ）A．24m B．22m C．20m D．18m2．如图，矩形草坪ABCD中，AD＝10m，AB＝10m．现需要修一条由两个扇环构成的便道HEFG，扇环的圆心分别是B、D．若便道的宽为1m，则这条便道的面积大约是（ ）（精确到0.1m2）A．9.5m2B．10.0m2C．10.5m2D．11.0m23．如图所示，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上的E点反射后到达B点，若入射角为α，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C，D，且AC＝3，BD＝6，CD＝11，则tanα的值是（ ）A．B．C．D．4．如图，在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为a米，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距地面的垂直距离NB为b米，梯子的倾斜角为45°，则这间房子的宽AB为（ ）A．米B．米C．b米D．a米二．填空题（共8小题，满分32分）5．如图是一山谷的横断面示意图，宽AA′为15m，用曲尺（两直尺相交成直角）从山谷两侧测量出OA＝1m，OB＝3m，O′A′＝0.5m，O′B′＝3m（点A，O，O′A′在同一条水平线上），则该山谷的深h为 m．6．小敏想知道校园内一棵大树的高（如图），她测得CB＝10米，∠ACB＝50°，请你帮她算出树高AB约为 米．（注：①树垂直于地面；②供选用数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）7．如图，我校为了筹备校园艺术节，要在通往舞台的台阶上铺上红色地毯．如果地毯的宽度恰好与台阶的宽度一致，台阶的侧面如图所示，台阶的坡角为30°，∠BCA＝90°，台阶的高BC为2米，那么请你帮忙算一算需要 米长的地毯恰好能铺好台阶．（结果精确到0.1m，取＝1.414，＝1.732）．8．为美化小区环境，某小区有一块面积为30m2的等腰三角形草地，测得其一边长为10m，现要给这块三角形草地围上白色的低矮栅栏，则其长度为 m．9．如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为a米，此时，梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面墙上N，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB为b米，梯子的倾斜角45°，则这间房子的宽AB是 米．10．如图，青岛位于北纬36°4′，通过计算可以求得：在冬至日正午时分的太阳入射角为30°30′．因此，在规划建设楼高为20米的小区时，两楼间的距离最小为 米，才能保证不挡光（结果保留四个有效数字）（提示：sin30°30′＝0.5075，tan30°30′＝0.5890）．11．如图梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根C的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根C的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′①等于1米②大于1米③小于1米．其中正确结论序号是 ．12．如图，一束光线从y轴上点A（0，1）出发，经过x轴上点C反射后经过点B（3，3），则光线从A点到B点经过的路线长是 ．三．解答题（共10小题，满分68分）13．如图1、2，图1是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与铁环相切．将这个游戏抽象为数学问题，如图2．已知铁环的半径为5个单位（每个单位为5cm），设铁环中心为O，铁环钩与铁环相切点为M，铁环与地面接触点为A，∠MOA＝α，且sinα＝．（1）求点M离地面AC的高度BM（单位：厘米）；（2）设人站立点C与点A的水平距离AC等于11个单位，求铁环钩MF的长度（单位：厘米）．14．如图所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行，请你根据图中数据计算回答：小敏身高1.78米，她乘电梯会有碰头危险吗？姚明身高2.29米，他乘电梯会有碰头危险吗？（可能用到的参考数值：sin27°＝0.45，cos27°＝0.89，tan27°＝0.51）15．去年夏季山洪暴发，几所学校被山体滑坡推倒教学楼，为防止滑坡，经过地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可以确保山体不滑坡．某小学紧挨一座山坡，如图所示，已知AF ∥BC，斜坡AB长30米，坡角∠ABC＝60°．改造后斜坡BE与地面成45°角，求AE 至少是多少米？（精确到0.1米）16．太阳光线与水平线的夹角在新疆地区的变化较大，夏至时夹角最大，冬至时夹角最小，最小夹角约为28度．现有两幢居民住宅楼高为15米，两楼相距20米，如图所示．（1）在冬至时，甲楼的影子在乙楼上有多高？（2）若在本小区内继续兴建同样高的住宅楼，楼距至少应该多少米，才不影响楼房的采光？（前一幢楼房的影子不能落在后一幢楼房上）（计算结果精确到0.1米）17．某学校体育场看台的侧面如图阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶．已知看台高为1.6米，现要做一个不锈钢的扶手AB及两根与FG垂直且长为l米的不锈钢架杆AD 和BC（杆子的底端分别为D，C），且∠DAB＝66.5°．（1）求点D与点C的高度差DH；（2）求所用不锈钢材料的总长度l．（即AD+AB+BC，结果精确到0.1米）（参考数据：sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30）18．如图所示，A、B为两个村庄，AB、BC、CD为公路，BD为田地，AD为河流，且CD 与AD互相垂直．现在要从E处开始铺设通往村庄A、村庄B的一条电缆，共有如下两种铺设方案：方案一：E⇒D⇒A⇒B；方案二：E⇒C⇒B⇒A．经测量得AB＝4千米，BC＝10千米，CE＝6千米，∠BDC＝45°，∠ABD＝15度．已知：地下电缆的修建费为2万元/千米，水下电缆的修建费为4万元/千米．（1）求出河宽AD（结果保留根号）；（2）求出公路CD的长；（3）哪种方案铺设电缆的费用低？请说明你的理由．19．如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高是10米，坡面的倾斜角为45°．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面的倾斜角为30°，若新坡角下需留3米的人行道，问离原坡角10米的建筑物是否需要拆除？（参考数据：≈1.414，≈1.732．）20．已知：如图，A、B、C三个村庄在一条东西走向的公路沿线上，AB＝2km．在B村的正北方向有一个D村，测得∠DAB＝45°，∠DCB＝28°．今将△ACD区域进行规划，除其中面积为0.5km2的水塘外，准备把剩余的一半作为绿化用地，试求绿化用地的面积．（结果精确到0.1km2，sin28°＝0.4695，cos28°＝0.8829，tan28°＝0.5317，cot28°＝1.88.8）21．如图，在一次龙卷风中，一棵大树在离地面若干千米处折断倒下，B为折断处最高点，树顶A落在离树根C的12米处，测得∠BAC＝48°，求BC的长．（借助计算器，精确到0.1米）22．苏州的虎丘塔塔身倾斜，却历经千年而不倒，被誉为“中国第一斜塔”．如图，BC是过塔底中心B的铅垂线．AC是塔顶A偏离BC的距离．据测量，约为2.34米，倾角约为2°48′，求虎丘塔塔身AB的长度．（精确到0.1米）参考答案一．选择题（共4小题，满分20分）1．解：过D作DF⊥CD，交AE于点F，过F作FG⊥AB，垂足为G．由题意得：．∴DF＝DE×1.6÷2＝14.4（m）．∴GF＝BD＝CD＝6m．又∵．∴AG＝1.6×6＝9.6（m）．∴AB＝14.4+9.6＝24（m）．答：铁塔的高度为24m．故选：A．2．解：∵四边形ABCD为矩形，∴△ADB为直角三角形，又∵AD＝10，AB＝10，∴BD＝＝20，又∵cos∠ADB＝＝，∴∠ADB＝60°．又矩形对角线互相平分且相等，便道的宽为1m，所以每个扇环都是圆心角为30°，且外环半径为10.5，内环半径为9.5．∴每个扇环的面积为＝．∴当π取3.14时整条便道面积为＝10.4666≈10.5m2．便道面积约为10.5m2．故选：C．3．解：因为AC、BD、法线均和镜面垂直，所以∠A＝∠B＝α，而由已知得△ACE∽△BDE，所以＝即＝∴，在三角形ACE中tan A＝＝＝＝tanα．故选：D．4．解：过N点作MA垂线，垂足点D，连接NM．设梯子底端为C点，AB＝x，且AB＝ND＝x．∴△BNC为等腰直角三角形，∴180°﹣45°﹣75°＝60°∴△CNM为等边三角形，梯子长度相同∵∠NCB＝45°，∴∠DNC＝45°，∴∠MND＝60°﹣45°＝15°，∴cos15°＝，又∵∠MCA＝75°，∴∠AMC＝15°，∴cos15°＝，故可得：＝．∵△CNM为等边三角形，∴NM＝CM．∴x＝MA＝a．故选：D．二．填空题（共8小题，满分32分）5．解：设A、A′到谷底的水平距离为AC＝m，A′C＝n．∴m+n＝15．根据题意知，OB∥CD∥O′B′．∵OA＝1，OB＝3，O′A′＝0.5，O′B′＝3．∴＝＝3，＝＝6．∴（+）×h＝15．解得h＝30（m）．6．解：由题可知，在Rt△ABC中，tan50°＝AB：BC，∴AB＝tan50°×BC≈1.2×10＝12（米）．7．解：在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝2，∠C＝90°．∵tan A＝，∴＝2．∴AC+BC＝2+2≈2×1.73+2＝5.46≈5.5（m）．即地毯的长度至少需5.5m．8．解：（1）如图1，当底边BC＝10m时，由于S＝30m2，所以高AD＝6m，此时AB＝AC＝＝（m），所以周长＝（2+10）m；（2）①当△ABC是锐角三角形时，如图2，当AB＝AC＝10m时，高CE＝6，此时AE＝8m，BE＝2m，在Rt△BEC中，BC＝2m，此时周长＝（20+2）m．②当△ABC是钝角三角形时，如图3，设BD＝xm，AD＝hm，则在Rt△ABD中，×2x×h＝30，xh＝30，，解得或（舍去），故△ABC是钝角三角形时，△ABC的周长＝2×10+3＝（20+6）（m），故填空答案：2+10或20+2或20+6．9．解：过N点作MA垂线，垂足点D，连接NM．由题意得AB＝ND，△CNM为等边三角形（180﹣45﹣75＝60°，梯子长度相同），∵∠ACM＝75°，∴∠AMC＝15°．∴∠AMN＝75°，在△MND中，ND＝MN×sin75°，在△MAC中，AM＝MC×sin75°，∵MN＝MC，∴ND＝MA＝a．故答案为a．10．解：由题意可知，光线，楼和地面构成一个直角三角形．∴tan30°30′＝，所以楼间距＝，即楼间距＝≈33.96（米）．11．解：由勾股定理得：梯子AB＝，CB′＝．∴BB′＝7﹣＜1，故选③．12．解：A关于x轴的对称点A′坐标是（0，﹣1）连接A′B，交x轴于点C，作DB∥A′A，A′D∥OC，交DB于D，故光线从点A到点B所经过的路程A′B＝＝＝5．三．解答题（共10小题，满分68分）13．解：过M作与AC平行的直线，与OA、FC分别相交于H、N．（1）在Rt△OHM中，∠OHM＝90°，OM＝5，HM＝OM×sinα＝3，所以OH＝4，MB＝HA＝5﹣4＝1，1×5＝5cm．所以铁环钩离地面的高度为5cm；（2）∵铁环钩与铁环相切，∴∠MOH+∠OMH＝∠OMH+∠FMN＝90°，∠FMN＝∠MOH＝α，∴＝sinα＝，∴FN＝FM，在Rt△FMN中，∠FNM＝90°，MN＝BC＝AC﹣AB＝11﹣3＝8．∵FM2＝FN2+MN2，即FM2＝（FM）2+82，解得：FM＝10，10×5＝50（cm）．∴铁环钩的长度FM为50cm．14．解：姚明乘此电梯会有碰头危险．（1分）理由：由题意可知：AC∥BD，∴∠CAB＝∠ABD＝27°．（2分）过点C作CE⊥AC交AB于点E，（3分）在Rt△ACE中，tan∠CAE＝，（4分）∴CE＝AC•tan∠CAE＝4×tan27°≈4×0.51＝2.04（米）＜2.29（米）．∴姚明乘此电梯会有碰头危险．∵2.04＞1.78，∴小敏乘此电梯不会有碰头危险．15．解：在Rt△ADB中，AB＝30米∠ABC＝60°AD＝AB•sin∠ABC＝30×sin60°＝15≈25.98≈26.0（米），DB＝AB•cos∠ABC＝30×cos60°＝15米．连接BE，过E作EN⊥BC于N∵AE∥BC∴四边形AEND是矩形NE＝AD≈26米在Rt△ENB中，由已知∠EBN≤45°，当∠EBN＝45°时，BN＝EN＝26.0米∴AE＝DN＝BN﹣BD＝26.0﹣15＝11米答：AE至少是11.0米．16．解：（1）如图所示，作DE⊥AB，垂足为E，由题意可知∠ADE＝28°，DE＝BC＝20，在Rt△ADE中，tan∠ADE＝，AE＝DE•tan∠ADE＝20•tan28°≈10.6，则DC＝EB＝AB﹣AE＝15﹣10.6＝4.4．即冬至时甲楼的影子在乙楼上约4.4米高．（2）若要不影响要房间的采光，如图所示在Rt△ABC中，AB＝15，∠C＝28°，BC＝≈28.2．答：楼距至少28.2米，才不影响楼房的采光．17．解：（1）DH＝1.6×＝1.2（m）；（2）过B作BM⊥AH于M，则四边形BCHM是矩形．∴MH＝BC＝1（m），∴AM＝AH﹣MH＝1+1.2﹣1＝1.2（m）．在Rt△AMB中，∠A＝66.5°．∴AB＝（m）．∴l＝AD+AB+BC≈1+3.0+1＝5.0（m）．答：点D与点C的高度差DH为1.2m；所用不锈钢材料的总长度约为5.0m．18．解：（1）过点B作BF⊥AD，交DA的延长线于点F．由题意得：∠BAF＝∠ABD+∠ADB＝15°+45°＝60°，在Rt△BFA中，BF＝AB sin60°＝4×＝6（千米），AF＝AB cos60°＝4×＝2（千米）．∵CD⊥AD，∠BDC＝45°，∴∠BDF＝45°，在Rt△BFD中，∵∠BDF＝45°，∴DF＝BF＝6千米．∴AD＝DF﹣AF＝（6﹣2）（千米）．即河宽AD为（6﹣2）千米；（2）过点B作BG⊥CD于G，易证四边形BFDG是正方形，∴BG＝BF＝6千米．在Rt△BGC中，＝8（千米），∴CD＝CG+GD＝14千米．即公路CD的长为14千米；（3）方案一的铺设电缆费用低．由（2）得DE＝CD﹣CE＝8千米．∴方案一的铺设费用为：2（DE+AB）+4AD＝40万元，方案二的铺设费用为：2（CE+BC+AB）＝（32+8）万元．∵40＜32+8，∴方案一的铺设电缆费用低．19．解：∵∠CAB＝45°．∴AB＝BC＝10．∵∠CDB＝30°．∴BD＝10．∴AD＝10﹣10≈7.32．（7分）∵7.32+3＞10．答：离原坡角10米的建筑物需要拆除．（10分）20．解：在Rt△ABD中，∵∠ABD＝90°，∠BAD＝45°，∠ADB＝45°，∴BD＝AB＝2km，在Rt△BCD中，∵cot∠BCD＝，∠DCB＝28°，∴BC＝BD•cot∠BCD＝2cot28°（km），∴S△ACD＝AC•BD＝（2+2cot28°）（km2）．∴S绿地＝（2+2cot28°）≈2.6（km2）．答：绿化用地的面积为2.6km2．21．解：在直角△ABC中，tan∠BAC＝∴BC＝AC•tan48°＝12tan48°≈13.3米．22．解：在Rt△ABC中，∵sin∠ABC＝∴＝≈47.9．答：虎丘塔塔身AB长约为47.9m。
北师版数学九年级下册同步练习1.5 三角函数的应用(视角、方位角)
三角函数的应用（视角、方位角）◆随堂检测1、若从A点看B点时，B点在A点的北偏东35°的方向上，那么从B点看A点时，A点在B点的________．2、如图1，在离铁塔140m的A处，用测角仪测量塔顶的仰角为30°，•已知测角仪高AD=1.5m，则塔高BE=_________（根号保留）．(图1) (图2) (图3)3、如图2，从树顶A望地面上的C，D两点，测得它们的俯角分别是45°和30°，•已知CD=200m，点C在BD上，则树高AB等于（）．A．200m B．1003m C．1003m D．100（3+1）m4、如图3，已知楼房AB高为50m，铁塔塔基距楼房基间的水平距离BD•为100m，•塔高CD为10031503m，则下面结论中正确的是（）．A．由楼顶望塔顶仰角为60° B．由楼顶望塔基俯角为60°C．由楼顶望塔顶仰角为30° D．由楼顶望塔基俯角为30°5、轮船航行到C处时，观测到小岛B的方向是北偏西65°，那么同时从B•处观测到轮船的方向是（）．A．南偏西65° B．东偏西65° C．南偏东65° D．西偏东65°◆课下作业●拓展提高1、一船上午8点位于灯塔A的北偏东60°方向，在与灯塔A相距64海里的B•港出发，向正西方向航行，到9时30分恰好在灯塔正北的C处，则此船的速度为______．2、如图，某飞机于空中A处探测到地平面上的目标B，•此时从飞机上看目标B的俯角α=30°，飞行高度AC=1200m，则飞机到目标B的距离AB为（）．A．1200m B．2400m C．4003m D．12003m(第2题) (第3题)3、如图，飞机A在目标B的正上方，在地面C处测得飞机的仰角为α，在飞机上测得地面C处的俯角为β，飞行高度为h，AC间距离为s，从这4个已知量中任取2个为一组，共有6组，那么可以求出BC间距离的有（）．A．3组 B．4组 C．5组 D．6组4、倾斜的木板如图所示搭在货车上，货车的高度为2m，•如果木板与地面所成的角为30°，求木板的一端B与车的水平距离．5、海中有一小岛，它的周围8海里内有暗礁，轮船由西向东航行，在B点测得小岛在北偏东60°方向上，航行10海里后到达C点，此时测得小岛在北偏东45°方向上，如果不改变航向，继续向东航行，有无触礁的危险？6、两建筑物AB和CD的水平距离为45m，从A点测得C点的俯角为30°，测得D•点的俯角为60°，求建筑物CD的高度．7、某市一新开发的居民小区，每两幢楼之间距离为24m，每楼高均为18m．已知该城市正午时分太阳高度最低时，太阳光线与水平线的夹角为30°，试求：（1）此时前楼的影子落在后楼上有多高？（2）要使前楼的影子刚好落在后楼的楼脚时，两楼之间的距离应当是多少米？1、（益阳市）如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB 为（ ）A. αcos 5B. αcos 5C. αsin 5D. αsin 52、（广东省）如图所示，A 、B 两城市相距100km ．现计划在这两座城市间修筑一条高速公路（即线段AB ），经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P 点为圆心，50km 为半径的圆形区域内．请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区．为什么？（参考数据：3 1.7322 1.414≈，≈）A B F EP 45° 30°α5米AB随堂检测：1、南偏西35°（或西偏南55°）2、280396+m3、D 点拨：设树高AB=x ，则CB=x ，BD=200+x ， 在Rt △ADB 中，tan ∠ADB=ADB=200x x +=33， ∴x=100（3+1）m ．4、C5、C 点拨：从哪个点观察在哪个点建立方向坐标．拓展提高：1、6433海里/时 2、B 点拨：在直角三角形中找出一直角边和一角，其他均可解．3、C 点拨：掌握直角三角形需要的条件．4、在Rt △ABC 中，AC=2m ，∠ABC=30°，∴tan ∠ABC=32,3AC BC BC=，BC=23m ． 5、如图．过M 作MN ⊥BC 于N ，设MN=x ，则CN=x ，在Rt △BMN 中，tan30°=3,310MN x BC CN x =++，x=5（3+1）． ∵5（3+1）>8，∴船继续向东航行无触礁危险．6、过C 作CE ⊥AB 于E ．在Rt △ADB 中，BD=45m ，∠ADB=60°，∴AB=453（m ）．在Rt △ACE 中，CE=45m ，∠ACE=30°，∴tan ∠ACE=AE CE，∴AE=153（m ）． ∴CD=AB-AE=453-153=303（m ）． 7、如图．由∠ADB=30°，AB=18m ，∴3m ，∴3（m ）．又∵△CDE ∽△BDA ，∴18324,18183CD CE CE BC AB -==，∴CE=18-83（m ）． 故此楼落在后楼的影子高为（18-83）m ．（2）若影子恰好落在楼脚时，距离为x ．则18x =3，x=183（m ）． 故两楼之间的距离应当为183m ．体验中考：1、B2、解：过点P 作PC AB C ⊥，是垂足，则3045APC BPC ∠=∠=°，°，AC PC =·tan 30BC PE =°，·tan 45°,AC BC AB +=Q ，PC ∴·tan 30PC +°·tan 45°=100， 31100PC ⎫∴=⎪⎪⎝⎭，(()5033503 1.73263.450PC ∴=⨯->≈≈答：森林保护区的中心与直线AB 的距离大于保护区的半径，所以计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区．。
北师大版九年级数学下册1.5 三角函数的应用(同步练习)
1.5 三角函数的应用1.某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要（）．A.450a元B.225a元C.150a元D.300a元第1题图第2题图2.某校自行车棚的人字架棚顶为等腰三角形，D是AB的中点，中柱CD = 1米，∠A=27°，则跨度AB的长为(精确到0.01米).3.如图,从A地到B地的公路需经过C地,图中AC=10km,∠CAB=250,∠CBA=370,因城市规划的需要,将在A、B两地之间修建一条笔直的公路．（1）求改直的公路AB的长；（2）问公路改直后比原来缩短了多少千米？（sin250≈0.42,cos250≈0.91,sin370≈0.60,tan370≈0.75）4.中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直,测得CD的长等于21米，在l上点D的同侧取点A、B，使∠CAD=300，∠CBD=600．（1）求AB的长；（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．5.如图,在同一平面内,两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道路连通,其中AB段与高速公路l1成300角,长为20km；BC段与AB、CD段都垂直,长为10km，CD段长为30km,求两高速公路间的距离．BCD跨度中柱15020米30米6.图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知踏板CD长为1.6m，CD与地面DE的夹角∠CDE为120，支架AC长为0.8m，∠ACD为800，求跑步机手柄的一端A的高度h （精确到0.1m）．（参考数据：sin120=cos780≈0.21，sin680=cos220≈0.93，tan680≈2.48）（赠品，不喜欢可以删除）数学这个家伙即是科学界的“段子手”，又是“心灵导师”一枚。
北师大版九年级数学下册 1.5 三角函数的应用-方向角问题(含答案)
在直角△AQP中，∠PAQ=45°，则AQ=PQ=60×1.5+BQ=90+BQ（海里），
所以BQ=PQ﹣90．
在直角△BPQ中，∠BPQ=30°，则BQ=PQ•tan30°= PQ（海里），
所以PQ﹣90= PQ，
所以PQ=45（3+ ）（海里），
20．为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．
（1）求∠APB的度数；
（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？
在Rt△AEF中，CE=AE•tan74°≈20.9km．
故这艘轮船的航行路程CE的长度是20.9km．
点睛：本题考查相似三角形，掌握相似三角形的概念，会根据条件判断两个三角形相似.
6．A处与灯塔B相距109海里．
【解析】
【分析】直接过点C作CM⊥AB求出AM，CM的长，再利用锐角三角函数关系得出BM的长即可得出答案．
北师大版九年级下册三角函数的应用-方向角问题（含答案）
一、单选题
1．如图，在A、B两地之间要修一条笔直的公路，从A地测得公路走向是北偏东48°，A，B两地同时开工，若干天后公路准确接通，若公路AB长8千米，另一条公路BC长是6千米，且BC的走向是北偏西42°，则A地到公路BC的距离是（ ）
A.6千米B.8千米C.10千米D.14千米
∴∠CAB=∠ACB，
∴BC=AB=2km，
在Rt△CBD中，CD=BC•sin60°=2× = （km）．
北师大版数学九年级下册1.5《三角函数的应用》同步练习
1.5三角函数的应用1.如图,一枚运载火箭从地面O 处发射,当火箭到达A 点时,从地面C 处的雷达站 测得AC 的距离是6km ,仰角是43o ,1s 后,火箭到达B 点,此时测得BC 的距离是6.13km ,仰角为45.54o ,这枚火箭从A 点到B 点的平均速度是多少?(精确到0.01km s )2．如图1—62所示，一艘渔船正以30海里／时的速度由西向东追赶鱼群，自A 处经半小时到达B 处，在A 处看见小岛C 在船的北偏东60°的方向上，在B 处看见小岛C 在船的北偏东30°的方向上，已知以小岛C 为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，则这艘船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区域的可能?3.某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点C 处有生命迹象,已知废墟一侧地面上两探测点A ，B 相距3米,探测线与地面的夹角分别是30o 和60o (如图),试确定生命所在点C 的深度.(结果精确到0.1米,参考数据:2 1.41≈,3 1.73≈)O AB CABCD30o60o4．如图1—63所示，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时到达，到达后立即卸货，此时接到气象部门通知，一台风中心正以40海里／时的速度由A处向北偏西60°的AC方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响：(1)B处是否会受到台风的影响?清说明理由；(2)为避免卸货过程受到台风影响，船上人员应在多少小时内卸完货物?(精确到0.1小时，3≈1.732)5．如图l—64所示，MN表示某引水工程的一段设计路线，从点M到点N的走向为北偏西30°，在点M的北偏西60°方向上有一点A，以点A为圆心，以500米为半径的圆形区域为居民区，取MN上另一点B，测得BA的方向为北偏西75°．已知MB=400米，若不改变方向，则输水路线是否会穿过居民区?(参考数据：3≈1.732)6．如图1—65所示，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需要经C 地沿折线A—C—B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC＝10 km，∠A＝30°，∠B＝45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米?(结果精确到0.1 km,参考数据：2≈1.413≈1.73)7.气象台发布的卫星云图显示,代号为W 的台风在某海岛(设为点O )的南偏东45o 方向的B 点生成,测得1006OB km =.台风中心从点B 以40km h 的速度向正北方向移动，经5h 后到达海面上的点C 处.因受气旋影响,台风中心从点C 开始以30km h 的速度向北偏西60o 方向继续移动.以O 为原点建立如图所示的直角坐标系．(1)台风中心生成点B 的坐标为 ,台风中心转折点C 的坐标为 ；(结果保留根号)(2)已知距台风中心20km 范围内均会受到台风侵袭.如果某城市(设为点A )位于点O 的正北方向且处于台风中心的移动路线上,那么台风从生成到最初．．侵袭该城要经过多长时间？参考答案1. 解:在Rt BCO ∆中,sin OB BCO BC∠=∴sin 6.13sin45.54 4.375OB BC BCO =⋅∠=⨯≈o 在Rt ACO ∆中,sin OA ACO AC∠=∴sin 6sin43 4.092OA AC ACO =⋅∠=⨯≈o∴ 4.375 4.0920.28AB OB OA =-=-≈答:这枚火箭从A 点到B 点的平均速度是0.28km s .2．提示：不会进入危险区．3. 解:过C 作CD AB ⊥于点D∵探测线与地面的夹角为30o 和60o∴30CAD ∠=o ,60CBD ∠=o 在Rt ACD ∆中,tan CD CAD AD∠=∴3tan tan 30CD CD AD CD CAD ===∠o 在Rt BCD ∆中,tan CD CBD BD∠=∴3tan60CD BD ==o又∵3AD BD AB -==333CD -= 解得333 1.73 2.62CD ⨯==≈∴生命所在点C 的深度约为2.6米．4．解：(1)如图1—66所示，过B 作BD ⊥AC 于D ，在Rt △ABD 中，BD=12AB ＝160海里＜200海里，所以B 处会受到台风的影响． (2)以B 为圆心，200海里为半径画圆交AC 于E ，F 两点，连接BE ，BF ．由(1)可知BD ＝160海里，又BE ＝200海里，则DE=120海里，所以AE ＝3－120)海里．设卸货时间为t ，则t 1603120-≈3.9(小时)，所以在3.9小时内卸完货才不会受台风影响．5．解：如图1—67所示，过A 作AP ⊥MN 于点P ，由题意可知∠ABP=∠PAB=45°，因为MB ＝400米，所以MP －BP=MB ＝400米，所以AP ．1tan 30o－AP ·1tan 45o=4003AP －AP=400，3＋1)≈546.4米＞500米，所以输水路线不会穿过居民区．6．解：过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ．在Rt △CDA 中，∠A ＝30°，AC ＝10km ，∴CD ＝12AC ＝5 km ，AD ＝ACcos 30°＝53km ．在Rt △BDC 中，∠B=45°，∴BD ＝CD=5km ，BC=sin 45CDo=＝52km ，∴AB ＝AD ＋BD=(53＋5)km ，∴AC ＋BC －AB ＝10＋52－(53＋5)＝5＋52－53≈5＋5×1.4l －5×1.73＝3.4(km)．即隧道开通后，汽车从A 地到B 地比原来少走约3.4 km ．7. 解(1) (1003,1003)- :(1003,2001003)- (2)过点C 作CD OA ⊥于点D ,则1003CD =,30ACD ∠=o 在Rt ACD ∆中,cos CD ACD AC∠=∴1003200cos CD AC ACD ===∠∵20020630-=,6511+=∴台风从生成到最初侵袭该城要经过11小时．A BD/y kmx kmO45o60oC。
北师大版九年级数学下册《1.5三角函数的应用》同步测试题(附答案)
北师大版九年级数学下册《1.5三角函数的应用》同步测试题（附答案）一、解答题1．（1）sin230°+2sin60°+tan45°−tan60°+cos230°；（2）√1−2tan60°+tan260°−tan60°．2．计算tan1°•tan2°•tan3°•…•tan88°•tan89°的值．3．（1）计算：2sin230°−6tan260°⋅4cos2150°2tan845°+4sin245°⋅3tan230°2sin120°⋅6tan230°；（参考公式：sinα=sin(180°−α)）（2）已知a、b是一元二次方程x2+2x−3=0的两个实根，求2√2bcos260°−√2的S值．4．如图，在▱ABCD中AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为F，BD与AE，AF分别相交于点G H AG=AH．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若AG=2EG=1．①求sin∠BAE；②求▱ABCD的面积．5．如图在Rt△ABC中∠ACB=90°D是BC上一点过点C作CE⊥AD垂足为E．连接BE并延长交AC于点F．(1)求证：CD2=ED⋅AD；(2)若D为BC的中点ACBC =23求sin∠CEF的值．6．如图一座古塔坐落在小山上(塔顶记作点A其正下方水平面上的点记作点B) 小李站在附近的水平地面上他想知道自己到古塔的水平距离便利用无人机进行测量但由于某些原因无人机无法直接飞到塔顶进行测量因此他先控制无人机从脚底(记为点C)出发向右上方(与地面成45°点A B C O在同一平面)的方向匀速飞行4秒到达空中O点处再调整飞行方向继续匀速飞行8秒到达塔顶已知无人机的速度为5米/秒∠AOC=75°求小李到古塔的水平距离即BC的长．7．在综合实践课中小明同学利用无人机测量小山AB的高度．如图CD是小明同学无人机飞到小山AB的右上方时测得山顶A的俯角为37°,AP=10米测得小明同学头顶C的俯角为53.5°,PC=80米．已知小明的身高CD为1.8米求小山AB的高度．（已知AB,CD分别与水平线BD垂直且在同一平面内参考数据：sin37°≈0.60cos37°≈0.80tan37°≈0.75sin53.5°≈0.80cos53.5°≈0.59tan53.5°≈1.35）8．某中学凤栖堂前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间小刚站在雕像前自C处测得雕像顶A的仰角为53°小强站凤栖堂门前的台阶上自D处测得雕像顶A的仰角为45°此时两人的水平距离EC为0.45m已知凤栖堂门前台阶斜坡CD的坡比为i=1:3．（参考数据：sin53°≈45cos53°≈35tan53°≈43）(1)计算台阶DE的高度；(2)求孔子雕像AB的高度．9．如图甲、乙两艘货轮同时从A港出发分别向B D两港运送物资最后到达A港正东方向的C港装运新的物资甲货轮沿A港的东北方向航行40海里到达D港再沿东南方向航行一定距离到达C港．乙货轮沿A港的南偏东60°方向航行后到达B港再沿北偏西15°方向航行一定距离到达C港．（参考数据：√2≈1.41√3≈1.73√6≈2.45）(1)求B C两港之间的距离；(2)若甲货轮的速度为20海里/小时乙货轮的速度为30海里/小时（停靠B D两港的时间相同）哪艘货轮先到达C港？请通过计算说明．10．冬季是滑雪的最佳时节亚布力滑雪场有初、中、高级各类滑雪道．如图其中的两条初级滑雪道的线路为：①A→B→C→D；②A→E→D．点A是雪道起点点D是雪道终点点B、C、E是三个休息区．经勘测点B在点A的南偏东30°方向1800米处点C 在点B的正南方向2000米处点D在C的西南方向点E在点A的西南方向1300米处点E在点D的正北方向．（参考数据：√2≈1.414√3≈1.732）(1)求CD的长度；（精确到1米）(2)小外一家周末去亚布力滑雪小外沿滑雪道线路①全程以5米/秒的速度滑雪且在途经的每个休息区都各休息了5分钟；小外的爸爸比小外晚出发2分钟以3米/秒的速度沿滑雪道线路②滑完全程且中途没有休息．请计算说明小外和爸爸谁先到达终点D．11．某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量活动过程如下：(1)探究原理：制作测角仪时将细线一端固定在量角器圆心O处另一端系小重物G测量时使支杆OM、量角器90∘刻度线ON与铅垂线OG相互重合（如图①）绕点O转动量角器使观测目标P与直径两端点A、B共线（如图②）此时目标P的仰角是图②中的∠_____．目标P的仰角与图②中的∠_____相等请写出这两个角相等的证明过程．(2)拓展应用：公园高台上有一凉亭为测量凉亭顶端P距地面的高度PH（如图④）同学们经过讨论决定先在水平地面上选取观测点E、F E、F、H在同一直线上分别测得点P的仰角a=45∘、β=30∘测得E、F间的距离2米点O1、O2到地面的距离O1E、O2F均为1.5米．求PH的长（结果保留根号）12．如图Rt△ABO中∠ABO=90°AB=2反比例函数y=−8x的图象经过点A．(1)求点A的坐标．(2)直线CD垂直平分AO交AO于点C交y轴于点D交x轴于点E求线段OE的长．13．随着南海局势的升级中国政府决定在黄岩岛填海造陆修建机场设立雷达塔．某日在雷达塔A 处侦测到东北方向上的点B 处有一艘菲律宾渔船进入我方侦测区域且以30 海里/时的速度往正南方向航行我方与其进行多次无线电沟通无果后这艘渔船行驶了1 小时10 分到达点A 南偏东53°方向的C 处与此同时我方立即通知（通知时间忽略不计）与A 、C 在一条直线上的中国海警船往正西方向对该渔船进行侦测拦截其中海警船位于与A 相距100 海里的D 处．(1)求AC的距离和点D 到直线BC的距离；(2)若海警船航行速度为40 海里/时可侦测半径为25 海里当海警船航行1 小时时是否可以侦测到菲律宾渔船为什么？（参考数据：sin53°≈45cos53°≈35tan53°≈43）14．综合实践活动中某小组利用直角尺和皮尺测量建筑物AB和CD的高因为这两栋建筑物高度相同于是这个小组设计出一种简捷的方案如图所示：（1）把直角尺的顶点E放在两栋建筑物之间的地面上调整位置使直角尺的两边EM EN所在直线分别经过建筑物外立面的的顶部A和C；（2）用皮尺度量BE和DE的长度；（3）通过计算得到建筑物的高度．若示意图中点A B C D E M N均在同一平面内．测得BE=9m DE=36m．请求出这两栋建筑的高度．15．图1所示是屹立在于都县纪念广场的中央红军长征出发纪念碑它是由呈双帆造型的碑身与方形底座两部分组成的底座下方是台阶台阶的横截面如图2所示．已知台阶的坡面DE的坡度i=1:√3坡面DE的长为2.4m．(1)计算坡面DE的铅直高度；(2)如图3 为了测量纪念碑的高度亮亮站在纪念碑正前方广场上的点G处用高1.64m的测角仪GH测得纪念碑碑身顶端A的仰角是35°继续向纪念碑前进8.1m到达点K处此时测得纪念碑顶端45°求纪念碑的实际高度AC．（结果精确到0.01参考数据：sin35°≈0.574，cos35°≈0.819，tan35°≈0.700）16．如图1是超市的手推车如图2是其侧面示意图已知前后车轮半径均为5cm两个车轮的圆心的连线AB与地面平行测得支架AC=BC=60cm AC、CD所在直线与地面的夹角分别为30°、60°CD=50cm．(1)求扶手前端D 到地面的距离；(2)手推车内装有简易宝宝椅 EF 为小坐板 打开后 椅子的支点H 到点C 的距离为10cm DF =20cm EF∥AB ∠EHD =45° 求坐板EF 的宽度．（本题答案均保留根号） 17．千厮门大桥是重庆最具特色的斜拉桥之一 也是重庆的“网红打卡地”之一 某校数学兴趣小组的同学们欲测量千厮门大桥桥塔的高度 如图2 他们在桥下水平地面上架设测角仪CM （测角仪垂直于地面放置） 此时测得桥塔最高点A 的∠ACE =30∘ 然后将测角仪沿MB 向前水平移动132米达到点N 处 并测得桥塔最高点A 的∠ADE =45∘ 测角仪高度CM =DN =1.6米．（点M N B 在同一水平线上 AB ⊥BM ）（结果保留整数 参考数据：√2≈1.41 √3≈1.73）(1)求桥塔的高度AB 约为多少米？(2)如图3 在（1）的条件下 小语同学在洪崖洞的某地Q 处测得千厮门大桥桥塔最高点A 的∠AQG =30∘ 最低点B 的∠BQG =60∘ 则小语同学所在地Q 与AB 的水平距离约为多少米？ 18．嘉嘉在某次作业中得到如下结果： sin 27°+sin 283°≈0.122+0.992=0.9945 sin 222°+sin 268°≈0.372+0.932=1.0018 sin29°+sin 261°≈0.482+0.872=0.9873 sin37°+sin 253°≈0.602+0.802=1.0000 sin 245°+sin 245=(√22)2+(√22)2=1．据此 嘉嘉猜想：对于任意锐角α β 若α+β=90° 均有sin 2α+sin 2β=1．(1)当α=30°β=60°时验证sin2α+sin2β=1是否成立？(2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立请结合如图所示Rt△ABC给予证明其中∠A所对的边为a∠B所对的边为b斜边为c；若不成立请举出一个反例；(3)利用上面的证明方法直接写出tanα与sinαcosα之间的关系．19．阅读与思考阅读下列材料并解决后面的问题．在锐角△ABC中∠A∠B∠C的对边分别是a b c过C作CE⊥AB于E（如图1）则sinB=CEa sinA=CEb即CE=asinB CE=bsinA于是asinB=bsinA即bsinB=asinA．同理有csinC =asinAcsinC=bsinB所以asinA=bsinB=csinC．即：在一个锐角三角形中各边和它所对角的正弦的比相等．运用上述结论和有关定理在锐角三角形中已知三个元素（至少有一条边）就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料完成下列各题：(1)如图1 在△ABC中∠A=60°∠C=45°BC=30则AB=______；(2)如图2 一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向距离灯塔50海里的A处它沿正北方向航行一段时间后到达位于灯塔北偏东45°方向上的B处此时B处与灯塔的距离为______海里；（结果保留根号）(3)在（2）的条件下试求75°的正弦值．（结果保留根号）20．如图1 正方形ABCD中P是边AD上任意一点Q是对角线AC上的点且满足∠PBQ=45°．(1)①求证：△PDB∽△QCB；②DPCQ=；(2)如图2 矩形ABCD中AB=12AD=5P、Q分别是边AD和对角线AC上的点∠PBQ=∠ACB DP=3求CQ的长；(3)如图3 菱形ABCD中DH⊥BA交BA的延长线于点H．若DC=5对角线AC=6P、Q分别是线段DH和AC上的点tan∠PBQ=34PH=85求CQ的长．参考答案：1．解：（1）sin230°+2sin60°+tan45°−tan60°+cos230°=(sin230°+cos230°)+2sin60°+tan45°−tan60°=1+2×√32+1−√3=2+√3−√3=2；（2）√1−2tan60°+tan260°−tan60°=√(1−tan60°)2−√3=√(1−√3)2−√3=√3−1−√3=−1．2．解：tan1°•tan2°•tan3°•…•tan88°•tan89°＝（tan1°•tan89°）（tan2°•tan88°）…（tan44°•tan46°）•tan45°＝1．3．（1）解：2sin230°−6tan260°⋅4cos2150°2tan845°+4sin245°⋅3tan230°2sin120°⋅6tan230°=2sin230°−6tan260°⋅4×(1−sin2150°)2tan845°+4sin245°⋅12sin60°⋅2=2sin230°−6tan260°⋅4×(1−sin230°)2tan845°+4sin245°⋅12sin60°⋅2 =2×(12)2−6×(√3)2×4×[1−(12)2]2×1+4×(√22)214×√32=−107√348；（2）解：∵a、b是一元二次方程x2+2x−3=0的两个实根∴(x+3)(x−1)=0解得a=−3b=1或b=−3a=1当a=−3b=1时则2√2bcos260°−√2=12×(−3)+√2 14×1−√2=−26+20√231；当b=−3a=1时则2√2bcos260°−√2=12×1+√2 14×(−3)−√2=−26+4√223；4．（1）证明：∠AE⊥BC AF⊥CD∠∠AEB＝∠AFD＝90°∠∠BAG＝90°−∠ABE∠DAH＝90°−∠ADF ∠四边形ABCD是平行四边形∠∠ABE＝∠ADF∠∠BAG＝∠DAH∠AG＝AH∠∠AGH＝∠AHG∠∠AGB＝∠AHD∠在△ABG 和△ADH 中{∠AGB ＝∠AHD∠BAG ＝∠DAH AG =AH∠△ABG≌△ADH∠AB ＝AD∠▱ABCD 是菱形；（2）①解：∠AD∥BC∠△ADG ∽△EBG∠AD BE =AG EG∠AG =2,GE =1∠AD BE =AG EG =2∠在菱形ABCD 中 AB =AD∠BE AB =12 ∠AE ⊥BC∠sin∠BAE =BE AB =12； ②∠sin∠BAE =12∠∠BAE =30°∠cos∠BAE =cos30°=AE AB =√32∠AB =2√3=BC∠S ▱ABCD =BC ×AE =2√3×3=6√3．5．（1）证明：∵ CE ⊥AD ∠ACB =90°∴∠CED =∠ACB =90°∵∠CDE +∠DCE =90°,∠DCE +∠ACE =90°∴∠ACE =∠CDE∴△CDE∽△ADC∴CD AD =DE CD∴ CD 2=ED ⋅AD ；（2）解：∵D为BC的中点∴BD=CD∵CD2=ED⋅AD∴BD2=ED⋅AD∴BDAD =DEBD∵∠ADB=∠ADB∴△ABD∽△BED∴∠ABD=∠BED∴∠AEF=∠BED=∠ABD ∵∠AEF+∠CEF=90°∴sin∠CEF=cos∠ABD∵∠ACB=90°ACBC =23设AC=2k,BC=3k∴AB=√AC2+BC2=√13k∴cos∠ABD=BCAB =√13k=3√1313∴sin∠CEF=3√1313．6．解：过点O作OD⊥BC交BC的延长线于点D过点O作OE⊥AB垂足为E如图所示：由题意得：AO=8×5=40米OC=4×5=20米OE=BD OE∥BD∴∠EOC=∠OCD=45°∵∠AOC=75°∴∠AOE=∠AOC−∠EOC=30°在Rt△OCD中CD=OC⋅cos45°=20×√22=10√2米在Rt△AOE中OE=AO⋅cos30°=40×√32=20√3米∴OE=BD=20√3米∴BC=BD−CD=20√3−10√2米∴小李到古塔的水平距离即BC的长为20√3−10√2米．7．解：如图过点C作CE⊥AB于点E过点P作PF⊥CE于点F过点A作AG⊥PF于点G则四边形BECD和四边形AEFG都是矩形∴AE=FG BE=CD.在Rt△APG中由题意知∠PAG=37°,AP=10米∠PG=sin∠PAG⋅AP=sin37°×10≈0.60×10=6（米）在Rt△PCF中由题意知∠PCF=53.5°,PC=80米∠PF=sin∠PCF⋅PC=sin53.5°×80≈0.80×80=64（米）∴AB=AE+BE=FG+CD=PF−PG+CD=64−6+1.8=59.8（米）．答：小山AB的高度约为59.8米．8．（1）解：∠凤栖堂门前台阶斜坡CD的坡比为i=1:3EC为0.45m∠DE EC =13∴DE=EC3=0.15m即台阶DE的高度为0.15m；（2）解：如图所示设AB的对边为MN作DF⊥MN于F∠由题意得四边形NFDE是矩形∠FN=DE=0.15m DF=NE设MN=xm则MF=(x−0.15)m在Rt△MFD中∠MDF=45°∠FD=MF=(x−0.15)m∠NC=NE−EC=(x−0.15)−0.45=(x−0.6)m∠tan53°=MNNC ≈43即xx−0.6=43解得x=2.4经检验x=2.4是原方程的解答：孔子雕像AB的高度约2.4m．9．（1）解：过点C作CM⊥AB于点M∠甲货轮沿A港的东北方向航行40海里到达D港再沿东南方向航行一定距离到达C港∠∠ADC=90°∠DAC=∠DCA=45°AD=40海里∠AD=CD=40海里∠AC=√AD2+DC2=40√2海里∠乙货轮沿A港的南偏东60°方向航行后到达B港再沿北偏西15°方向航行一定距离到达C港．∠∠CAM=∠ABN=30°∠CBN=90°−15°=75°∠∠ABC=∠CBN−∠ABN=45°在Rt△ACM中∠CAM=30°∴CM=12AC=40√2×12=20√2（海里）AM=AC⋅cos30°=20√6（海里）在Rt△BCM中∠ABC=45°∴CB=CMsin45°=40（海里）BM=CM=20√2海里∴B C两港之间的距离约为40海里；（2）解：乙货轮先到达C港理由如下：∠甲货轮航行的路程=AD+DC=40+40=80（海里）∠甲货轮航行的时间=8020=4（小时）∠乙货轮航行的路程=AB+BC=20√6+20√2+40（海里）∠乙货轮航行的时间=20√6+20√2+4030=2√6+2√2+43≈3.91（小时）∵3.91<4∴乙货轮先到达C港．10．（1）解：过B作BL⊥DE于L交AN于N过作EK⊥AN于K过C作CM⊥DE于M∵点E在点A的西南方向∴∠EAK=45°∴△AEK是等腰直角三角形∴EK=AK=√22AE=√22×1300≈919.38（米）∵∠BAN=30°∠ANB=90°∴BN=12AB=12×1800=900（米）∵DE∥BC CM⊥DE BL⊥DE EK⊥AN NL⊥DE ∴四边形ELNK BCML是矩形∴BC=BL NL=EK EL=KN ML=BC∵BL=NB+NL=900+919.38=1819.38（米）∴MC=1819.38米∵∠MCD=45°∴△MCD是等腰直角三角形∴CD=√2MC≈2573（米）；（2）解：滑雪道线路①全程=AB+BC+CD=1800+2000+2572.6=6372.6（米）∴小外滑行的时间是6572.6÷5≈1274.5（秒）≈21.2（分钟）∵小外途经的每个休息区都各休息了5分钟∴小外在滑雪道线路①共用时21.2+5×2=31.2（分钟）∵AN=√3NB≈1558.8（米）∴NK=AN−AK=1558.8−919.38=639.42（米）∴EL=KN=639.42米∴ME=ML+EL=2000+639.42=2639.42（米）∵△CDM是等腰直角三角形∴MD=MC=1819.9米∴滑雪道线路②全程=AE+ME+MD=1300+2639.42+1819.9=5759.32（米）∴小外的爸爸滑行的时间是5759.32÷3≈1919.8（秒）≈32.0（分钟）∵小外的把爸爸比小外又晚出发2分钟∴小外先到达终点D．11．解：（1）目标P的仰角是图②中的∠POC目标P的仰角与图②中的∠NOG相等证明∵∠COG=90∘∠AON=90∘∴∠POC+∠CON=∠GON+∠CON∴∠POC=∠GON；（2）解：由题意可得O1O2=2O1E=O2F=DH=1.5米由图可得tanβ=PDO2D tanα=PDO1D∴O2D=PDtanβO1D=PDtanα∵O1O2=O2D−O1D=2∴2=PDtanβ−PDtanα∴PD=2tanαtanβtanα−tanβ∴PH=PD+DH=2tan45∘tan30∘tan45∘−tan30∘+1.5=(52+√3)米．故PH的值为(52+√3)米．12．（1）解：∵AB=2∴点A的横坐标为−2∵A点在反比例函数y=−8x的图象上∴y=−8−2=4∴A(−2,4)．（2）解：∵A(−2,4)∠AB=2BO=4∠AO=√22+42=2√5∠CD垂直平分AO∠OC=12AO=√5CD⊥AO∠∠DOE=90°∠∠1+∠3=90°=∠2+∠3∠∠1=∠2∠sin∠1=sin∠2∠OC OE =ABOA即：√5OE=2√5解得：OE=5．13．（1）解：作DE⊥BC于E AF⊥BC于F=35设AF=x海里由题意得BC=30×76∠∠BAF=45°,∠ACF=53°x∠BF=AF=x，FC=AF÷tan53°=34x=35∠x+34解得x=20x=15∠34∠AC=√AF2+CF2=25∠CD=AD−AC=75∠DE=CD⋅sin∠ECD=CD⋅sin53°=60答：AC的距离为25海里点D到直线BC的距离为60海里；（2）能理由如下：设1小时后海警船到达点G菲律宾渔船到达点H则DG=40CH=30由（1）知CE=CD⋅cos53°=45∠HE=CE−CH=15GE=DE−DG=20由勾股定理得：GH=√HE2+GE2=25故可以侦测到菲律宾渔船．14．解：如图由题意得AB⊥BD CD⊥BD∴∠BEA+∠BAE=90°∠ECD+∠DEC=90°∵∠MEN=90°∴∠BEA+∠DEC=90°∴∠BAE=∠DEC∴tan∠BAE=tan∠DEC即BEAB =CDED设AB=CD=x可得9x =x36解得x=18经检验x=18是原方程的解答：两栋楼的高度为18m．15．（1）解：如图所示：过点D作DH⊥FE于点H∠i=DHEH =√3∠设DH=xm EH=√3xm∠∠DHE=90°,DE=2.4m∠DH2+HE2=DE2∠x2+(√3x)2=2.42解得：x=±1.2（负值舍去）∠CF=DH=1.2m∠坡面DE的铅直高度为1.2m；（2）设AM=ym∠∠AMI=90°,∠AIM=45°∠∠MAI=45°∠∠MAI=∠AIM∠MI=AM=ym∠∠AHM=35°，∠AMH=90°∠tan35°=AMMH≈0.700∠yMH∠MH≈y0.7∠MH−MI=8.1−y=8.1∠y0.7∠y=18.9∠AM=18.9m∠AF=AM+MF=18.9+1.64=20.54(m)∠AC=AF−CF=20.54−1.2=19.34(m)．∠纪念碑的实际高度AC为19.34m．16．（1）解：如图2 过C作CM⊥AB垂足为M又过D作DN⊥AB垂足为N过C作CG⊥DN垂足为G则∠DCG=60°．则四边形CMNG为矩形CM=NG∵AC=BC=60cm AC、CD所在直线与地面的夹角分别为30°、60°∴∠A=∠B=30°AC=30cm．则在Rt△AMC中CM=12∵在Rt△CGD中sin∠DCG=DGCD=50cmCD=25√3(cm)．∴DG=CD⋅sin∠DCG=50⋅sin60°=50×√32又GN=CM=30cm前后车轮半径均为5cm∴扶手前端D到地面的距离为DG+GN+5=25√3+30+5=(35+25√3)(cm)；（2）解：∵EF∥CG∥AB∴∠EFH=∠DCG=60°∵CD=50cm椅子的支点H到点C的距离为10cm DF=20cm∴FH=20cm如图2 过E作EQ⊥FH垂足为Q设FQ=x在Rt△EQF中∠EFH=60°∴EF=2FQ=2x EQ=√3x在Rt△EQH中∠EHD=45°∴HQ=EQ=√3x∵HQ+FQ=FH=20cm∴√3x+x=20解得x=10√3−10．∴EF=2(10√3−10)=20√3−20(cm)．答：坐板EF的宽度为(20√3−20)cm．17．（1）解：如图所示延长CD交AB于点F由题意得：CD=MN=132DF=BN∠AFD=90°CM=DN=BF=1.6设DF=x则CF=x+132在Rt△ADF中∠ADF=45°∴AF=x在Rt△ACF中∠ACE=30°tan30°=AFCF =xx+132≈0.58∴x≈182经检验x≈182是原方程的解且符合题意∴AB=AF+BF=182+1.6≈184米∴桥塔的高度约为184米（2）解：延长QG交AB于点M由题意可知QM⊥AB AB=184∵∠AQG=30°∠BQG=60°∠A=60°∠B=30°设AM=y则BM=184−ytan∠A=tan60°=QMAM≈1.73tan∠B=tan30°=QMBM≈0.58tan30°tan60°=AMBM=y184−y=0.581.73解得：y≈46.2∴QM=AM·tan60°=46.2×√3=80故Q处与AB的水平距离约为80米18．（1）解：∠sin30°=12sin60°=√32∠sin2α+sin2β=(12)2+(√32)2=1结论成立；（2）解：成立．理由如下：在Rt△ABC中sinα=ac sinβ=bc且a2+b2=c2∠sin2α+sin2β=(ac )2+(bc)2=a2+b2c2=c2c2=1故结论成立；（3）解：tanα=sinαcosα理由如下：在Rt△ABC中sinα=ac cosα=bctanα=ab∠tanα=acbc=sinαcosα∠tanα=sinαcosα．19．（1）解：由题意可知：asinA =bsinB=csinC∠∠A=60°∠C=45°BC=30∠BC sin60°=ABsin45°即√32=√22∠AB=10√6故答案为：10√6．（2）解：如图：由题意可知∠APE=60°，∠BPF=45°AB∥EF AP=50海里asinA =bsinB=csinC∠∠A=∠APE=60°，∠B=∠BPF=45°∠BP sin60°=APsin45°即√32=√22∠BP=25√6∠B处与灯塔的距离为25√6海里故答案为：25√6．（3）解：如图：由题可知PA=50海里PC⊥AB∠∠EPC=∠FPC=90°∠∠APE=60°∠BPF=45°∠∠APC=30°∠bPC=45°∠∠APB=∠APC+∠BPC=75°在Rt△APC中AC=12PA=25海里PC=√32PA=25√3海里在Rt△BPC中BC=PC=25√3海里∠AB=AC+BC=(25+25√3)海里由前面定理可知：ABsin∠APB =PAsin∠B则25+25√3sin75°=50sin45°∠sin75°=25+25√350×√22=√2+√64∠75°的正弦值√2+√64．20．（1）解：①∵四边形ABCD为正方形BD AC是对角线∴∠PDB=∠QCB=∠DBC=45°∴∠QBC+∠DBQ=45°∵∠PBQ=45°∴∠PBD+∠DBQ=45°∴∠QBC=∠PBD∴△PDB∽△QCB；②∵四边形ABCD为正方形∴BC=DC∠BCD=90°∴BD=√BC2+DC2=√2BC∵△PDB∽△QCB∴DPCQ =BDBC=√2BCBC=√2；故答案为：√2；（2）解：连接BD交AC于点O∵四边形ABCD为矩形∴AD∥BC OA=OD∠DAB=90°∴∠ACB=∠OAD=∠ODA=∠OBC∵∠PBQ=∠ACB∴∠PBQ=∠OBC∴∠PBD+∠DBQ=∠QBC+∠DBQ∴∠PBD=∠QBC ∴△PDB∽△QCB∴QCPD =BCBD∵AB=12AD=5∴BD=√AB2+AD2=13∵BC=AD=5DP=3∴QC3=513∴QC=1513；（3）解：连接BD交AC于点O∵四边形ABCD为菱形AC BD是对角线∴AC⊥BD∴AO=OC=12AC=3∴BO=√BC2−OC2=√52−32=4∴tan∠DBC=OCOB =34∵tan∠PBQ=34∴∠DBC=∠PBQ∴∠DBQ+∠PBD=∠DBQ+∠QBC ∴∠PBD=∠QBC∵DH⊥BH AC⊥BD∴∠DBC+∠ACB=90°∵四边形ABCD为菱形BD是对角线∴∠ABD=∠CBD∴∠HDB=∠ACB∴△PDB∽△QCB∴QCPD =BCBD∵AC=6∴OC=OA=12AC=3∵AB=BC=DC=5∴OB=OD=4即BD=8∵12AC⋅BD=AB⋅DH∴5DH=12×6×8∴DH=245∵PH=85∴DP=DH−PH=245−85=165∴165QC=85∴QC=2．。
北师大版九年级下《1.5三角函数的应用》同步练习含答案
1.5 三角函数的应用同步练习一、单选题1、若已知CD是Rt△ABC斜边AB上的高，AC=8，BC=6，则cos∠BCD的值是（）A、B、C、D、2、如图，在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，已知A（3，2）、B（-2，3），则∠OAB的等于（）A、30°B、45°C、60°D、75°3、某人沿倾斜角为β的斜坡前进100m，则他上升的最大高度是( )m A、B、100•sinβC、D、100•cosβ4、如图，市政府准备修建一座高AB＝6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的余弦值为，则坡面AC的长度为( )A、mB、10 mC、mD、m5、如图所示，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为１米，继续往前走３米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于（）A、4.5米B、6米C、7.5米D、8米6、四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”（如图）．如果小正方形面积为49，大正方形面积为169，直角三角形中较小的锐角为θ，那么sinθ的值（）A、B、C、D、7、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，∠D=120°，AB=8cm，则DC的长为（）A、B、C、D、8、若坡面与水平面的夹角为α，则坡度i与坡角α之间的关系是（）A、i=cosαB、i=sinαC、i=cotαD、i=tanα9、一个物体从A点出发，沿坡度为1：7的斜坡向上直线运动到B，AB=30米时，物体升高（）米．B、3C、D、以上的答案都不对10、如图，两个高度相等的圆柱形水杯，甲杯装满液体，乙杯是空杯．若把甲杯中的液体全部倒入乙杯，则乙杯中的液面与图中点P的距离是（）A、2cmB、4cmC、6cmD、8cm11、如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8 m，则乘电梯从点B到点C 上升的高度h是（）A、mB、4 mD、8 m12、如图，已知A点坐标为（5，0），直线与y轴交于点B，连接AB，若∠a=75°，则b的值为 ( )A、3B、C、D、13、如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i=1：2.5，斜坡CD的坡角为30度，则坝底AD的长度为（）A、56米B、66米C、（56+20）米D、（50+20）米14、如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60cm长的绑绳EF，tanα=，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD是（）A、144cmB、180cmC、240cmD、360cm15、如图，为测量河两岸相对两电线杆A、B间的距离，在距A点16m的C处（AC⊥AB），测得∠ACB=52°，则A、B之间的距离应为（）A、16sin52°mB、16cos52°mC、16tan52°mD、m二、填空题16、在以O为坐标原点的直角坐标平面内有一点A（﹣1，3），如果AO与y轴正半轴的夹角为α，那么角α的余弦值为________17、如图，点A（3，t）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t的值是________18、在直角坐标系中，已知点P在第一象限内，点P与原点O的距离OP=2，点P与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为60°，则点P的坐标是________ ．19、如图是石景山当代商场地下广场到地面广场的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示地下广场、地面广场电梯口处的水平线．已知∠ABC=135°，BC的长约是6m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是________ m．20、如图，是一张宽m的矩形台球桌ABCD，一球从点M（点M在长边CD上）出发沿虚线MN射向边BC，然后反弹到边AB上的P点，如果MC=n，∠CMN=α，那么P点与B点的距离为________ ．三、解答题21、如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10,tanA=4/3,点D是斜边AB 上的动点，连接CD，作DE⊥CD，交射线CB于点E,设AD=x.（1）当点D是边AB 的中点时，求线段DE的长；（2）当△BED是等腰三角形时，求x的值；（3）如果y=DE/DB。
2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：1.5 三角函数的应用
2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：1.5三角函数的应用一、选择题1.如图，沿AC方向修山路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=145°，BD=500米，∠D=55°，使A、C、E在一条直线上，那么开挖点E与D的距离是（）A、500sin55°米B、500cos35°米C、500cos55°米D、500tan55°米+2.如图，钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长3 m，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为3 m，则鱼竿转过的角度是（）A、60°B、45°C、15°D、90°+3.如图，是直立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为（）A、4 米B、（2 +2）米C、（4 ﹣4）米D、（4 ﹣4）米+4.小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C=α（B′C为水平线），测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为（）A、B、C、D、+5.一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（）A、米2B、米2C、（4+ ）米2D、（4+4tanθ）米2+6.如图是深圳市少年宫到中心书城地下通道的手扶电梯示意图，其中AB、CD 分别表示地下通道、市民广场电梯口处地面的水平线，∠ABC=135°，BC的长约是5 ，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（??）A、mB、5mC、mD、10m+7.如图，小颖利用一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE为5m，AB为1.5m（即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（）A、4mB、mC、（5 +）mD、（+）m+8.如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），把一根长5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出杆长1m处的D点离地面的高度DE=0.6m，又量得杆底与坝脚的距离AB=3m，则石坝的坡度为（）A、B、3 C、D、4+9.如图是某水库大坝的横截面示意图，已知AD∥BC，且AD、BC之间的距离为1 5米，背水坡CD的坡度i=1：0.6，为提高大坝的防洪能力，需对大坝进行加固，加固后大坝顶端AE比原来的顶端AD加宽了2米，背水坡EF的坡度i=3：4，则大坝底端增加的长度CF是（）米．A、7B、11C、13D、20+10.如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡角是30°，堤高BC=5m，则坡面AB的长度是（）A、10mB、10 mC、15mD、5 m+二、填空题11.如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE、DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α=45°，坡长AB= 米，背水坡CD的坡度i=1：（i为DF与FC的比值），则背水坡CD的坡长为米．+12.如图，测量河宽AB（河的两岸平行），在C点测得∠ACB=32°，BC=60m，则河宽AB约为m．（用科学计算器计算，结果精确到0.1）+13.如图，测量河宽AB（假设河的两岸平行），在C点测得∠ACB=30°，D点测得∠A DB=60°，又CD=100m，则河宽AB为m（结果保留根号）．+14.小蓝周末去广场放风筝，如图，当风筝飞到点C处时的线长BC约为25m，此时小蓝正好站在点A处，并测得∠CBD=61°，牵引底端B距离地面1.5m，则此时风筝距离地面的高度CE约为m（用科学计算器计算，结果精确到0.1m）．+15.在同一时刻太阳光线与水平线的夹角是一定的．如图，有一垂直于地面的物体AB．在某一时刻太阳光线与水平线的夹角为30°时，物体AB的影长BC为4 米；在另一个时刻太阳光线与水平线的夹角为45°时，则物体AB的影长BD为米．（结果保留根号）+16.如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横截面⊙O的圆心，支架CD与水平面AE垂直，AB=150厘米，∠BAC=30°，另一根辅助支架DE=76厘米，∠CED=60°．则垂直支架CD的长度为厘米（结果保留根号）．+三、解答题17.如图，地面上小山的两侧有A，B两地，为了测量A，B两地的距离，让一热气球从小山西侧A地出发沿与AB成30°角的方向，以每分钟40m的速度直线飞行，10分钟后到达C处，此时热气球上的人测得CB与AB成70°角，请你用测得的数据求A，B两地的距离AB长．（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）+18.如图，某煤矿因不按规定操作发生瓦斯爆炸，救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A，B两个探测点探测到地下C处有生命迹象．已知A，B两点相距8米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度（结果保留根号）．+。
北师大九年级数学下册--第一单元(含答案)1.5《三角函数的应用》同步练习
在Rt△ACD中，∠DAC=30°，AC=20×1.5=30
∴CD=ACsin30°=30× =15
在Rt△BCD中，∠BCD=∠BCE+∠ECD=15°+30°=45°
∴ （海里）
12.不会． 解：过点C作CD⊥AB，交AB延长线于点D．由题意可知，在△ABC中，∠CAB＝30°，∠ABC＝90°＋30°＝120°，∴∠ACB＝30°，BC＝AB＝20 ．在Rt△CBD中，∠CBD＝60°，∴CD＝CB·sin∠CBD＝ （海里）．∵ ﹥12，∴这艘渔船继续向东航行追赶鱼群不会进入危险区．
A. B. C. D．
3．如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1： ，堤高BC=5m，则坡面AB的长度是（ ）.
A.10m B.10 m C.15m D.5 m
4.如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B、C在同一水平面上）．为了测量B、C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B、C两地之间的距离为（ ）.
1.5《三角函数的应用》同步练习
一.选择题
1.如图，在平地MN上用一块10m长的木板AB搭了一个斜坡，两根支柱AC=7．5m，AD=6m，其中AC⊥AB，AD⊥MN，则斜坡AB的坡度是（ ）.
A．3:5 B．4:5 C．3:4 D．4:3
题1图题2图 题3图
2.如图，坡角为 的斜坡上两树间的水平距离 为 ，则两树间的坡面距离 为（ ）.
三.解答题
11.一船在A处测得北偏东60°方向有一灯塔B，船向正东方向以每小时20海里的速度航行1.5小时到达C处时，又观测到灯塔B在北偏东15°方向上，求此时航船与灯塔相距多少海里?
北师大版九年级数学下册_第一章_1.5_三角函数的应用_同步课堂测试题(含答案)
北师大九年级数学下册第一章１．５三角函数的应用同步课堂测试题学校：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿班级：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿姓名：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿考号：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿一、选择题（本题共计１０小题，每题３分，共计３０分，）１．在一次义务植树活动中，同学们经过两条宽度都是１的公路，它们的交角为α，则它们公共部分（图中阴影部分）的面积为（）Ａ．１ｓｉｎαＢ．１ｃｏｓαＣ．ｓｉｎαＤ．１２．身高相同甲、乙、丙三人放风筝，各人放飞线长分别为３０m，２５m和２０m，线与地面所成的角度分别为３０∘，４５∘和６０∘，假设风筝线是拉直的，则三人所放风筝（）Ａ．甲的最高Ｂ．乙的最高Ｃ．丙的最高Ｄ．丙的最低３．已知一山坡的坡度为１：３，某人沿斜坡向上走了１０m，则这个人升高了（）m．Ａ．√２０Ｂ．√１０Ｃ．２√１０Ｄ．３√１０４．如图，滑雪场有一坡角为２０∘的滑雪道，滑雪道的长AC为１００米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB的长为（）Ａ．１００ｃｏｓ２０∘Ｂ．１００ｓｉｎ２０∘Ｃ．１OOｃｏｓ２０∘Ｄ．１００ｓｉｎ２０∘５．测量底部可以到达的山高AB，可选择与B点在同侧同一直线上的两点C，D，测得CD＝５０米，在C点测得山顶A的仰角为４５∘，在D点测得山顶A的仰角为３０∘，则山高AB 等于（）Ａ．５０（√３＋１）米Ｂ．２５（√３＋１）米Ｃ．２５（√３−１）米Ｄ．５０（√３−１）米６．某飞机于空中A处探测到地面目标B，此时从飞机上看目标B的俯角α＝６０∘，并测得飞机距离地面目标B的距离为２４００米，则此时飞机高度为（）Ａ．１２００米Ｂ．４００√３米Ｃ．８００√３米Ｄ．１２００√３米７．小明沿着坡度为１：√３的山坡向上走了１０００m，则他升高了（）Ｂ．５００mＡ．２００√５mＤ．１０００mＣ．５００√３m８．有一拦水坝的横截面是等腰梯形，它的上底为６米，下底为１０米，高为２米，那么拦水坝斜坡的坡度和坡角分别是（），６０∘Ｂ．１，４５∘Ａ．√３３Ｃ．√３，６０∘Ｄ．√３，３０∘３９．某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东７５∘，继续航行７海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东６０∘，则此时轮船与小岛P的距离BP＝（）Ａ．７海里Ｂ．１４海里Ｃ．３．５海里Ｄ．４海里１０．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝１５０∘，如果顾客乘地铁从点B到点C上升的高度为５m，则电梯BC的长是（）Ａ．５cmＢ．５√３cmＣ．１０mＤ．１０√３m３二、填空题（本题共计８小题，每题３分，共计２４分，）１１．如图，从一个建筑物的A处测得对面楼BC的顶部B的仰角为３２∘，底部C的俯角为４５∘，观测点与楼的水平距离AD为３１m，则楼BC的高度约为＿＿＿＿＿＿＿＿m（结果取整数）．（参考数据：ｓｉｎ３２∘≈０．５，ｃｏｓ３２∘≈０．８，ｔａｎ３２∘≈０．６）１２．一个正方体物体沿斜坡向上滑动，其截面如图所示，正方形DEFH的边长为１米，坡角∠A＝３０∘，∠B＝９０∘，BC＝３米，则：（１）AC的长是＿＿＿＿＿＿＿＿米；（２）当正方体DEFH运动到什么位置，即当AE＝＿＿＿＿＿＿＿＿米时，有DC２＝AE２＋BC２．１３．为了测量如图所示上山坡道的倾斜程度，小明测得图中所示的数据（单位：米），则该坡道的坡度i＝＿＿＿＿＿＿＿＿．１４．如图，从山顶A望地面的C、D两点，俯角分别为４５∘和６０∘，测得CD＝１００m，则山高AB＝＿＿＿＿＿＿＿＿m．１５．荆州市滨江公园旁的万寿宝塔始建于明嘉靖年间，周边风景秀丽．现在塔底低于地面约７米，某校学生测得古塔的整体高度约为４０米．其测量塔顶相对地面高度的过程如下：先在地面A处测得塔顶的仰角为３０∘，再向古塔方向行进a米后到达B处，在B处测得塔顶的仰角为４５∘（如图所示），那么a的值约为＿＿＿＿＿＿＿＿米（√３≈１．７３，结果精确到０．１）．１６．如图，小明在大楼３０米高即（PH＝３０米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为１５∘，山脚处的俯角为６０∘．巳知该山坡的坡度i（即ｔａｎ∠ABC）为１：√３，点P，H，B，C，A在同一个平面上，点H、B、C在同一条直线上，且PH丄HC，则A到BC 的距离为＿＿＿＿＿＿＿＿米．１７．如图是一把剪刀的局部示意图，刀片内沿在AB、CD上，EF是刀片外沿．AB、CD 相交于点N，EF、CD相交于点M，刀片宽MH＝１．５cm．小丽在使用这把剪刀时，∠ANC不超过３０∘．若想一刀剪断４cm宽的纸带，则刀身AH长至少为＿＿＿＿＿＿＿＿cm．（结果精确到０．１cm，参考数据：√２≈１．４１，√３≈１．７３）１８．在同一时刻太阳光线与水平线的夹角是一定的．如图，有一垂直于地面的物体AB．在某一时刻太阳光线与水平线的夹角为３０∘时，物体AB的影长BC为４米；在另一个时刻太阳光线与水平线的夹角为４５∘时，则物体AB的影长BD为＿＿＿＿＿＿＿＿米．（结果保留根号）三、解答题（本题共计８小题，共计６６分，）１９．（８分）如图，在一个坡角为４０∘的斜坡上有一棵树BC，树高４米．当太阳光AC 与水平线成７０∘角时，该树在斜坡上的树影恰好为线段AB ，求树影AB 的长．（结果保留一位小数）（参考数据：ｓｉｎ２０∘＝０．３４，ｔａｎ２０∘＝０．３６，ｓｉｎ３０∘＝０．５０，ｔａｎ３０∘＝０．５８，ｓｉｎ４０∘＝０．６４，ｔａｎ４０∘＝０．８４，ｓｉｎ７０∘＝０．９４，ｔａｎ７０∘＝２．７５）２０． （８分） 如图，小明为了测量一铁塔的高度CD ，他先在A 处测得塔顶C 的仰角为３０∘，再向塔的方向直行４０米到达B 处，又测得塔顶C 的仰角为６０∘，请你帮助小明计算出这座铁塔的高度．（小明的身高忽略不计，结果精确到０．１米，参考数据：√２≈１．４１，√３≈１．７３，√５≈２．２４）２１． （８分） 如图，在旧城改造中，要拆除一建筑物AB ，在地面上事先划定以B 为圆心，半径与AB 等长的圆形危险区．现在从离点B ２４m 远的建筑物CD 的顶端C 测得点A 的仰角为４５∘，点B 的俯角为３０∘，问离点B ３５m 处的一保护文物是否在危险区内？２２．（８分）如图，线段MN表示一段高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼．已知点A到MN的距离为１５m，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN＝３０∘．若汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，方圆３９m以内会受到噪音的影响，当其到达点P时，噪音开始影响这一排的居民楼；当其到达点Q时，它与这一排居民楼的距离为３９m，求PQ的长度（精确到１m）（参考数据：√３≈１．７）２３．（８分）如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边取两点B、C测得∠α＝３０∘，∠β＝４５∘，量得BC长为１００米．求河的宽度（结果保留根号）．２４．（８分）小强在教学楼的点P处观察对面的办公大楼，为了测量点P到对面办公大楼上部AD的距离，小强测得办公大楼顶部点A的仰角为４５∘，测得办公大楼底部点B的俯角为６０∘，已知办公大楼高４６米，CD＝１０米，求点P到AD的距离（√３≈１．７，结果精确到０．１米）２５．（９分）如图所示，当一热气球在点A处时，其探测器显示，从热气球看高楼顶部点B的仰角为４５∘，看高楼底部点C的俯角为６０∘，热气球与高楼的水平距离为６０米，那么这栋楼高是多少米？（结果保留根号）．２６．（９分）某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图所示，已知原阶梯式自动扶梯AB长为１０m，坡角∠ABD为３０∘；改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为１５∘，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度，（结果精确到０．lm．温馨提示：ｓｉｎ１５∘≈０．２６，ｃｏｓl５∘≈０．９７，ｔａｎ１５∘≈０．２７）答案 １． Ａ ２． Ｂ ３． Ｂ ４． Ｄ ５． Ｂ ６． Ｄ ７． Ｂ ８． Ｂ ９． Ａ １０． Ｃ １１． ５０ １２．７３． １３． １：４１４． １５０＋５０√３ １５． ２４．１ １６． １０√３ １７． ６．６１８．４√３３１９． 树影AB 的长约为２．７米． ２０． 这座铁塔的高度是３４．６米． ２１． 解：在Rt △AEC 中，∠ACE ＝４５∘， 则CE ＝EA ，∵DB ＝CE ＝２１m ， ∴DB ＝EA ＝２１m ，在Rt △CEB 中，∠BCE ＝３０∘， 则ｔａｎ３０∘＝BEEC，即BE ＝EC ⋅ｔａｎ３０∘＝２４×√３３＝８√３cm ，∴AB ＝AE ＋EB ＝２４＋８√３m ，２４＋８√３＞３５，则文物在危险区内．２２． PQ 的长度约为８９m ．２３． 河的宽度为５０（√３＋１）m ．２４． 解：连接PA 、PB ，过点P 作PM ⊥AD 于点M ；延长BC ，交PM 于点N 则∠APM ＝４５∘，∠BPM ＝６０∘，NM ＝１０米 设PM ＝x 米在Rt △PMA 中，AM ＝PM ×ｔａｎ∠APM ＝x ｔａｎ４５∘＝x （米）在Rt △PNB 中，BN ＝PN ×ｔａｎ∠BPM ＝（x −１０）ｔａｎ６０∘＝（x −１０）√３（米）由AM ＋BN ＝４６米，得x ＋（x −１０）√３＝４６ 解得x ４６＋１０√３１＋√３√３−８≈２３．１，∴点P 到AD 的距离约为２３．１米．２５．这栋楼高是（６０＋６０√３）m．２６．在Rt△ABD中，∠ABD＝３０∘，AB＝１０m，∴AD＝ABｓｉｎ∠ABD＝１０×ｓｉｎ３０∘＝５，在Rt△ACD中，∠ACD＝１５∘，ｓｉｎ∠ACD＝ADAC，∴AC＝ADｓｉｎ∠ACD ＝５ｓｉｎ１５∘≈５０．２６≈１９．２m，即：改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度约为１９．２米．。
北师大版九年级数学下册1.5三角函数的应用同步练习
1.5三角函数的应用同步练习一、选择题1．河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比是1：，则AC的长是（）A．6米B．12米C．3米D．6米2．如图，修建抽水站时，沿着坡度为i＝1：的斜坡铺设水管．若测得水管A处铅垂高度为8m，则所铺设水管AC的长度为（）A．8m B．12m C．14m D．16m3．如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB 的长为（）A．6米B．12米C．4米D．24米4．某楼梯的侧面如图所示，已测得线段AB的长为3.5米，∠BAC＝29°，则该楼梯的高度BC可表示为（）A．3.5sin29°米B．3.5cos29°米C．3.5tan29°米D．米5．如图，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为i＝3：2，顶宽是7米，路基高是6米，则路基的下底宽是（）A．7米B．11米C．15米D．17米6．如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡角是30°，堤高BC＝5m，则坡面AB的长度是（）A．10m B．10m C．15m D．5m7．如图，一辆小车沿着坡度为i＝1：的斜坡向上行驶了50 米，则此时该小车离水平面的垂直高度为（）A．2 5 米B．25米C．30 米D．35 米8．一人乘雪橇沿坡比1：的斜坡笔直滑下，滑下的距离s（m）与时间t（s）间的关系为s＝10t+2t2，若滑到坡底的时间为4s，则此人下降的高度为（）A．72m B．m C．36m D．m 9．小明同学爱好登山运动，一天他沿坡角为60°的斜坡登山，此山的坡度是（）A．1：2 B．2：1 C．1：D．：1 10．已知某斜坡的坡角为α，坡度i＝3：4，则sinα的值为（）A．B．C．D．11．如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度是1：，堤坝高BC＝50m，则迎水坡面AB的长度是（）A．100m B．120m C．50m D．100m 12．如图，在高2m，坡角为30°的楼梯表面铺地毯地毯的长度至少需要（）A．2m B．（2+2）m C．4m D．（4+2）m 二、解答题13．如图，由一段斜坡AB的高AD长为0.6米，∠ABD＝30°，现准备把斜坡改长，使∠ACD＝5.71°．（1）求斜坡AB的长；（2）求斜坡新起点C与原起点B的距离．（精确到0.01米）（参考数据：≈1.732，tan5.71°≈0.100）14．某片绿地的形状如图所示，其中∠A＝60°，AB⊥BC，AB＝200m，CD＝100m（精确到1m，≈1.732）15．如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽6米，斜坡AB的坡度i1＝1：3，斜坡CD的坡度i2＝1：1．（1）求斜坡AB的长（结果保留根号）；（2）求坝底AD的长度；（3）求斜坡CD的坡角α．16．某市A，B两镇相距42千米，分别从A，风景区区域是以C为圆心，15千米为半径的圆，tanβ＝1.327．为了开发旅游，有关部门要设计修建连接A，B的两镇的县级公路是否穿过风景区，请说明理由．17．如图，从A地到B地的公路需经过C地，AC＝10千米，∠ABC＝45°．因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路（精确到1千米）．【参考数据：sin38°＝0.62，cos38°＝0.79，tan38°＝0.78】18．如图，某煤矿因不按规定操作发生瓦斯爆炸，救援队立即赶赴现场进行救援，B两个探测点探测到地下C处有生命迹象．已知A，B两点相距4米，试确定生命所在点C的深度（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）．19．如图，沿AD方向开山修路，为了加快施工进度，已知∠A＝40°，AB＝500m，求另一边开挖点C离B多远正好使A、C、D三点在一条直线上，（结果取整数，sin40°≈0.745，cos40°≈0.766）．20．如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，使其倾斜角∠ACD为45°，求调整后的楼梯AC的长．21．美丽的赤城湖水库是蓬溪县“天蓝水绿山青”的真实写照．如图，赤城湖水库的大坝横截面是一个梯形，坝顶宽CD＝4m，斜坡AD的坡度为1：2.5，斜坡BC的坡度为1：1.5，求大坝所用的土方是多少？22．星期天的上午小亮在金明广场上放风筝，如图，他在A处不小心让风筝挂在了一棵树梢上，此时风筝AD与水平线的夹角为30°，为了便于观察，收线到达了离A处10米的B处，此时风筝线BD与水平线的夹角为50°，B，C在同一条水平直线上，∠ACD＝90°．请你求出小亮此时的风筝线BD的长度是多少米？（本题中风筝线均视为线段，结果保留根号）。
北师大版九年级数学下册 1.5 三角函数的应用 同步测试
1.5 三角函数的应用同步测试一、选择题1. 如图，梯形护坝的斜坡AB 的坡度i ＝1∶3，坝高BC 为2米，则斜坡AB 的长是（）A．54米 D．6米2米 B．102米 C．52.某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要（）．A.450a元B.225a元C.150a元D.300a元3.如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为300，看这栋高楼底部C的俯角为600，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为A. 40 3mB. 803mC. 1203mD. 160 3m4.一段拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡度为i=1：，坝高BC=6m，则坡面AB的长度（）A. 12mB. 18mC. 6D. 125.如图，已知一商场自动扶梯的长l 为13米，高度h 为5米，自动扶梯与地面所成的夹角为θ，则tan θ的值等于A ．B ．C ．D ．6.铁路的路基的横断面为等腰梯形，其腰的坡度为1∶1.5，上底宽为6 m ，路基高为4 m ，则路基的下底宽为（ ） A ．18 m B ．15 m C ．12 m D ．10 m7.如图，把易拉罐中的水倒入一个圆水杯的过程中，当水杯中的水在点 P 与易拉罐刚好接触时水杯中的水深为（ ）A ．2 cmB ．4 cmC ．6 cmD ．8 cm8. 如图，为测量一棵与地面垂直的树OA 的高度，在距离树的底端30米的B 处，测得树顶A 的仰角∠ABO 为α，则树OA 的高度为( )A.30tan α米B ．30sin α米C ．30tan α米D ．30cos α米9. 如图，坡角为30°的斜坡上两树间的水平距离 AC 为2 m ，则两树间的坡面距离 AB 为（ ）A.4米B.米3C.米334 D.米3410.如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B 处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m ，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB ）为1.6m ，则这棵树的高度为（ ）（结果精确到0.1m ，3≈1.73）．A ． 3.5mB ． 3.6mC ． 4.3mD ． 5.1m二、填空题 11如图：在菱形中，，为垂足.若，，是边上的一个动点，则线段的长度的最小值是.12. 某水库水坝的坝高为10米，迎水坡的坡度为1：2.4，则该水库迎水坡的长度为________ 米．13.小强和小明去测量一座古塔的高度，如图，他们在离古塔60 m 处( A )用测角仪测得塔顶的仰角为30°，已知测角仪高 AD ＝1.5 m ，则古塔BE 的高为______m ．14.某校自行车棚的人字架棚顶为等腰三角形，D 是AB 的中点，中柱CD = 1米，∠A=27°，则跨度AB 的长为 (精确到0.01米).15.如图,在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度,AC=7米,则树高BC为米（用含α的代数式表示）．16.如图，秋千链子的长度OA=3m，静止时秋千踏板处于A位置．此时踏板距离地面0.3m，秋千向两边摆动．当踏板处于A′位置时，摆角最大，即∠AOA′=50°，则在A′位置，踏板与地面的距离为________m．（sin50°≈0.766，cos50°≈0.6428，结果精确到0.01m）三、综合题17.如图，海中有一小岛P，在距小岛16 海里范围内有暗礁，一轮船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东45°，且A，P之间的距离为32海里，若轮船继续向正东方向航行，有无触礁的危险？请通过计算加以说明．如果有危险，轮船自A处开始至少沿东偏南多少度方向改变航向，才能安全通过这一海域？18.如图，在中，，，，点为延长线上的一点，且，为的外接圆．求的长．19. 某省将地处A，B两地的两所大学合并成了一所综合性大学．为了方便A，B 两地师生交往，学校准备在相距 2千米的A，B两地之间修筑一条笔直的公路(即图4.33中的线段AB)．经测量，在A地的北偏东60°方向，B地北偏西45°方向的C 处有一个半径为0.7千米的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园为什么？20.如图,在同一平面内,两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道路连通,其中AB段与高速公路l1成300角,长为20km；BC段与AB、CD段都垂直,长为10km，CD段长为30km,求两高速公路间的距离．1.5 三角函数的应用同步测试答案一、选择题1.B2.C3.D4.A5.A6.A7.C8.C9.C 10.D 二、填空题 11. 4.8 12.26 13.5.1320+ 14.3.93 15.7αtan 16．1.37三、综合题17.轮船自A 处开始至少沿东偏南15度方向航行，才能安全通过这一海域。
九年级下《1.5三角函数的应用》同步练习含答案
5三角函数的应用知识点 1解决与方向角相关的问题1．如图 1－5－ 1，小雅家 ( 图中点 O处 ) 门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔( 图中点 A 处 ) 在距她家北偏东60°方向的500 米处，那么水塔所在的地点到公路的距离AB是 ()A．250米B．2503米500C.33米D．5002米图 1－ 5－1图1－5－22．如图 1－ 5－ 2，一艘海轮位于灯塔P 的东北方向，距离灯塔40 2海里的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，抵达位于灯塔P 的南偏东 30°方向上的 B 处，则海轮行驶的行程AB为 ()A．(40＋403) 海里B．803海里C．(40＋203) 海里D．80海里3． 2017·十堰如图1－5－ 3，海中有一小岛A，它四周8 海里内有暗礁，渔船追踪鱼群由西向东航行，在 B 点测得小岛 A 在北偏东60°方向上，航行12 海里抵达 D 点，这时测得小岛 A 在北偏东30°方向上．假如渔船不改变航线持续向东航行，有没有触礁的危险？图 1－ 5－3知识点 2解决与仰角、俯角相关的问题4．如图 1－ 5－4 所示，某地修筑高速公路，要从 B 地向 C地修一条地道(B ，C 在同一水平面上) ，为了丈量 B， C 两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从 C 地出发，垂直上涨100 m抵达 A 处，在 A 处察看B 地的俯角为30°，则 B， C 两地之间的距离为()A．100 3 m B．50 2 m100 3C．50 3 m D.m3图 1－ 5－4 图 1－5－ 55．如图1－ 5－ 5 所示，在天水至宝鸡( 天宝 ) 高速公路建设中需要确立某条地道离地面 2700 米高度 (C 处 ) 的飞机上，丈量人员测得正前面A， B 两点处的俯角分别是道 AB的长为 __________米． ( 结果保存根号 ) AB 的长度．已知在60°和 30°，则隧6． [2016 ·成都] 在学习完“利用三角函数测高”这节内容以后，某兴趣小组展开了丈量学校旗杆高度的实践活动，如图∠DBE＝ 32°，量出测点1－ 5－ 6，在测点A处布置测倾器，量出高度AB＝ 1.5 m，测得旗杆顶端 D 的仰角A 到旗杆底部 C 的水平距离AC＝ 20 m，依据丈量数据，求旗杆CD的高度． ( 参照数据： sin 32°≈0.53，cos32°≈0.85， tan 32°≈0.62)图 1－ 5－6知识点 3解决与坡度、坡角相关的问题7．一个台阶超出地面 1.2 米，台阶拆掉后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图1－ 5－7 所示，则下列关系或说法正确的选项是()A．斜坡AB的坡度是10°B．斜坡AB的坡度是 tan 10°1.2C．AC＝1.2 tan 10°米 D．AB＝cos10°米图 1－5－7图1－5－88． [2017 ·四川 ]如图1－5－8所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD， AE， DF 为梯形的高，此中迎水坡 AB的坡角α＝ 45°，坡长 AB＝ 6 2米，背水坡 CD的坡度 i ＝ 1∶3(i为DF与FC的比值)，则背水坡的坡长为 __________ 米．9．小明发此刻教课楼走廊上有一拖把以15°的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走安全．他自觉地将拖把搬动地点，使其倾斜角变成75°，假如拖把的总长为 1.80 m，则小明拓宽了行路通道 ________m．( 结果精准到 0.01 m，参照数据：sin 15°≈ 0.26 ，cos15°≈ 0.97)10．如图 1－ 5－ 9，小华站在贵阳花溪水库的堤坝上的G点，看见水库里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船C的俯角∠ FDC＝ 30°，若小华的眼睛与地面的距离DG＝ 1.6 米，BG＝0.7 米，BG平行于 AC 所在的直线，迎水坡 i ＝ 4∶ 3，坡长 AB＝8 米，点 A， B， C， D，F， G 在同一平面内，则此时小船 C 到岸边的距离 CA的长为 ________米． ( 结果保存根号 )图 1－ 5－911． [2017 ·德州 ]如图1－ 5－ 10 所示，某公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器，检测点设在距离公路10 m的 A 处，测得一辆汽车从 B 处行驶到 C 地方用时间为0.9 秒．已知∠ B＝ 30°，∠C＝45° .(1)求 B，C 之间的距离； ( 结果保存根号 )(2)假如此地限速 80 km/ h，那么这辆汽车能否超速？请说明原因．( 参照数据：3≈ 1.7 ，2≈ 1.4)图 1－5－1012．2017·遵义模拟在某飞机场东西方向的地面l 上有一长为 1 km的飞机跑道MN(如图 1－5－ 11) ，在跑道 MN 的正西端 14.5 km 处有一察看站 A. 某时辰测得一架匀速直线下降的飞机位于点 A 的北偏西 30°，且与点 A 相距 15的 B 处；经过 1min ，又测得该飞机位于点 A 的北偏东 60°，且与点 A 相距 5 3kmkm的 C 处．(1) 该飞机航行的速度是多少/ ？ ( 结果保存根号 )km h(2) 假如该飞机不改变航向持续航行，那么飞机可否下降在跑道 MN 之间？请说明原因．图 1－5－11详解1． A2． A [分析] 依据题意得 PA＝40 2海里，∠A＝ 45°，∠B＝ 30° .2在 Rt △PAC中，AC＝PC＝PA· cos45 °＝40 2×2＝40( 海里)，PC 40在 Rt △PBC中，BC＝tan B＝ 3 ＝ 40 3(海里)，3∴ AB＝ AC＋ BC＝(40＋40 3) 海里．应选 A.3．解：过点 A 作 AC⊥ BD于点 C，则 AC的长是点 A 到 BD的最短距离．依题意知∠ CAD＝30°，∠ CAB＝60°，∴∠ BAD＝60°－30°＝30°，∠ ABD＝90°－60°＝30°，∴∠ ABD＝∠ BAD，∴ AD＝ BD＝12海里．∵∠ CAD＝30°，∠ ACD＝90°，∴＝1 ＝6海里，CD 2AD由勾股定理得＝ 122－ 62＝6 3( 海里)＞8海里，AC故渔船没有触礁的危险．4． A [分析]AC 100 3，解得 BC＝100 3，即B，C两地之间的距离为由于 tan B＝tan30 °＝＝＝BC BC 3100 3 m．应选 A.5． 1800 3 [分析] 由题意得∠ CAO＝60°，∠ CBO＝30°.∵＝2700 ＝ 2700× 3 ＝ 900 3，＝2700 ＝ 2700 3，OA tan60 ° 3 OBtan30 °∴＝2700 3－ 900 3＝ 1800 3(米)．AB故填 1800 3.6．解：由题意得AC＝20 m， AB＝1.5 m.∵在 Rt △DBE中，∠DBE＝32°，BE＝ AC＝20 m，∴ DE ＝ BE tan32 °≈ 20× 0.62 ＝ 12.4(m) ，∴ CD ＝ DE ＋ CE ＝ DE ＋ AB ≈ 12.4 ＋ 1.5 ＝13.9(m) ．答：旗杆 CD 的高度约为 13.9 m. 7． B8．12 [ 分析 ] 锐角三角函数的简单实质应用．在等腰直角三角形ABE 中， AB ＝62米， AE ＝ DF ＝ 6米，由坡度知∠＝ 30°，则 ＝ 2 ＝12 米．DCFCD DF9． 1.28[ 分析 ] 如图，在 Rt △ DCE 中，DC ∵ cos ∠ EDC ＝ ，DE∴ DC ＝ DE · cos ∠ EDC ＝ 1.8 × cos15 °≈ 1.746(m) ．在 Rt △ ABC 中，∠ BAC ＝ 90°－ 75°＝ 15° .BC ∵ sin ∠ BAC ＝ ，AB∴ BC ＝ AB · sin ∠ BAC ＝ 1.8 × sin15 °≈ 0.468(m) ．∴ BD ＝ DC － BC ≈ 1.28 m.10． (8 3－ 5.5) [ 分析 ] 如图，过点B 作⊥ 于点 ，延伸交 于点 ，得 Rt △和矩BE ACE DG CAH ABE形 BEHG .BE 4 ∵ i ＝＝ ， AB ＝ 8，AE 33224∴ BE ＝ 5 ，AE ＝ 5.∵ DG ＝ 1.6 ， BG ＝ 0.7 ，32∴ DH ＝ DG ＋ GH ＝ 1.6 ＋ ＝8， 524AH＝ AE＋EH＝5＋0.7＝5.5. 在 Rt △CDH中，∵∠ ＝∠＝ 30°，＝ 8， tan30 °＝DH 3＝，C FDC DH CH 3∴CH＝8 3.又∵ CH＝CA＋5.5，即 8 3＝CA＋5.5 ，∴＝8 3－ 5.5.CA即 CA的长是(8 3－ 5.5) 米．11．解： (1) 如图，过点A作 AD⊥ BC于点 D，则 AD＝10 m.∵在 Rt △ACD中，∠C＝ 45°，∴Rt △ACD是等腰直角三角形．∴CD＝ AD＝10 m.AD在 Rt △中， tan ＝，ABD B BD∵∠＝ 30°，∴3＝10，∴＝ 10 3 m.B3 BD BD∴ BC＝ BD＋ CD＝(103＋ 10)m.答： B， C之间的距离是(10 3＋ 10)m.(2)这辆汽车超速．原因以下：由 (1) 知BC＝ (10 3＋ 10)m，又3≈ 1.7 ，∴BC≈27 m.27∴汽车速度v＝0.9＝30(m/s)．又 30 m/s ＝ 108 km/h ，此地限速 80 km/h ，∵ 108＞ 80，∴这辆汽车超速．答：这辆汽车超速．12．解： (1) 由题意，得∠＝ 90°，＝ 15 km，＝5 3 km，BAC AB AC∴ BC＝152＋（5 3）2＝ 10 3(km) ，1∴飞机航行的速度为10 3÷60＝ 600 3(km/h) ．(2) 能．原因以下：如图，过点C作 CE⊥ l 于点 E，设直线 BC交 l 于点 F.在 Rt △ABC中，AC＝ 5 3 km，BC＝10 3 km，∴∠ ABC＝30°，即∠ BCA＝60°.又∵∠ CAE＝30°，∴∠ ACE＝∠ FCE＝60°，5∴ CE＝ AC·sin ∠ CAE＝ 3 km，215AE＝ AC·cos∠ CAE＝ 2 km.则 AF＝2AE＝15 km.∵AN＝ AM＋ MN＝14.5＋1＝15.5(km)，∴ AM＜ AF＜ AN，∴飞机不改变航向持续航行，能够下降在跑道MN之间．。
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5 三角函数的应用知识点 1 解决与方向角有关的问题1．如图1－5－1，小雅家(图中点O 处)门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔(图中点A 处)在距她家北偏东60°方向的500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB 是( )A ．250米B ．250 3米C 、50033米 D ．500 2米 1－5－1 图1－5－22．如图1－5－2，一艘海轮位于灯塔P 的东北方向，距离灯塔40 2海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东30°方向上的B 处，则海轮行驶的路程AB 为( )A ．(40＋40 3)海里B ．80 3海里C ．(40＋20 3)海里D ．80海里3．2017·十堰如图1－5－3，海中有一小岛A ，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B 点测得小岛A 在北偏东60°方向上，航行12海里到达D 点，这时测得小岛A 在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？图1－5－3知识点 2 解决与仰角、俯角有关的问题4．如图1－5－4所示，某地修建高速公路，要从B 地向C 地修一条隧道(B ，C 在同一水平面上)，为了测量B ，C 两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C 地出发，垂直上升100 m 到达A 处，在A 处观察B 地的俯角为30°，则B ，C 两地之间的距离为( )A ．100 3mB ．50 2mC ．50 3mD 、100 33m图1－5－4 1－5－55．如图1－5－5所示，在天水至宝鸡(天宝)高速公路建设中需要确定某条隧道AB 的长度．已知在离地面2700米高度(C 处)的飞机上，测量人员测得正前方A ，B 两点处的俯角分别是60°和30°，则隧道AB 的长为__________米．(结果保留根号)6．[2016·成都] 在学习完“利用三角函数测高”这节内容之后，某兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动，如图1－5－6，在测点A 处安置测倾器，量出高度AB ＝1、5 m ，测得旗杆顶端D 的仰角∠DBE ＝32°，量出测点A 到旗杆底部C 的水平距离AC ＝20 m ，根据测量数据，求旗杆CD 的高度．(参考数据：sin 32°≈0、53，cos 32°≈0、85，tan 32°≈0、62)图1－5－6知识点 3 解决与坡度、坡角有关的问题7．一个台阶高出地面1、2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图1－5－7所示，则下列关系或说法正确的是( )A．斜坡AB的坡度是10°B．斜坡AB的坡度是tan10°C．AC＝1、2tan10°米D．AB＝1.2cos10°米图1－5－7图1－5－8 8．[2017·四川]如图1－5－8所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE，DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝6 2米，背水坡CD的坡度i＝1∶3 (i为DF与FC的比值)，则背水坡的坡长为__________米．9．小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15°的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走安全．他自觉地将拖把挪动位置，使其倾斜角变为75°，如果拖把的总长为1、80 m，则小明拓宽了行路通道________m．(结果精确到0、01 m，参考数据：sin15°≈0、26，cos15°≈0、97)10．如图1－5－9，小华站在贵阳花溪水库的堤坝上的G点，看见水库里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船C的俯角∠FDC＝30°，若小华的眼睛与地面的距离DG＝1、6米，BG＝0、7米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡i＝4∶3，坡长AB ＝8米，点A，B，C，D，F，G在同一平面内，则此时小船C到岸边的距离CA的长为________米．(结果保留根号)图1－5－911．[2017·德州]如图1－5－10所示，某公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器，检测点设在距离公路10 m的A处，测得一辆汽车从B处行驶到C处所用时间为0、9秒．已知∠B＝30°，∠C＝45°、(1)求B，C之间的距离；(结果保留根号)(2)如果此地限速80 km/h，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．(参考数据：3≈1、7，2≈1、4)图1－5－1012．2017·遵义模拟在某飞机场东西方向的地面l上有一长为1 km的飞机跑道MN(如图1－5－11)，在跑道MN的正西端14、5 km处有一观察站A、某时刻测得一架匀速直线降落的飞机位于点A的北偏西30°，且与点A相距15 km的B处；经过1 min，又测得该飞机位于点A的北偏东60°，且与点A相距5 3km的C处．(1)该飞机航行的速度是多少km/h？(结果保留根号)(2)如果该飞机不改变航向继续航行，那么飞机能否降落在跑道MN之间？请说明理由．图1－5－11详解1．A2．A [解析] 根据题意得P A ＝40 2海里，∠A ＝45°，∠B ＝30°、在Rt △P AC 中，AC ＝PC ＝P A ·cos45°＝40 2×22＝40(海里)， 在Rt △PBC 中，BC ＝PC tan B ＝4033＝40 3(海里)， ∴AB ＝AC ＋BC ＝(40＋40 3)海里．故选A 、3．解：过点A 作AC ⊥BD 于点C ，则AC 的长是点A 到BD 的最短距离．依题意知∠CAD ＝30°，∠CAB ＝60°，∴∠BAD ＝60°－30°＝30°，∠ABD ＝90°－60°＝30°，∴∠ABD ＝∠BAD ，∴AD ＝BD ＝12海里．∵∠CAD ＝30°，∠ACD ＝90°，∴CD ＝12AD ＝6海里， 由勾股定理得AC ＝122－62＝6 3(海里)＞8海里，故渔船没有触礁的危险．4．A [解析] 因为tan B ＝tan30°＝AC BC ＝100BC ＝33，解得BC ＝100 3，即B ，C 两地之间的距离为100 3m ．故选A 、5．1800 3 [解析] 由题意得∠CAO ＝60°，∠CBO ＝30°、∵OA ＝2700tan60°＝2700×33＝900 3，OB ＝2700tan30°＝2700 3， ∴AB ＝2700 3－900 3＝1800 3(米)．故填1800 3、6．解：由题意得AC ＝20 m ，AB ＝1、5 m 、∵在Rt △DBE 中，∠DBE ＝32°，BE ＝AC ＝20 m ，∴DE ＝BE tan32°≈20×0、62＝12、4(m)，∴CD ＝DE ＋CE ＝DE ＋AB ≈12、4＋1、5＝13、9(m)．答：旗杆CD 的高度约为13、9 m 、7．B8．12 [解析] 锐角三角函数的简单实际应用．在等腰直角三角形ABE 中，AB ＝6 2米，AE ＝DF ＝6米，由坡度知∠DCF ＝30°，则CD ＝2DF ＝12米．9．1、28 [解析] 如图，在Rt △DCE 中，∵cos ∠EDC ＝DC DE， ∴DC ＝DE ·cos ∠EDC ＝1、8×cos15°≈1、746(m)．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°－75°＝15°、∵sin ∠BAC ＝BC AB， ∴BC ＝AB ·sin ∠BAC ＝1、8×sin15°≈0、468(m)．∴BD ＝DC －BC ≈1、28 m 、10．(8 3－5、5) [解析] 如图，过点B 作BE ⊥AC 于点E ，延长DG 交CA 于点H ，得Rt △ABE 和矩形BEHG 、∵i ＝BE AE ＝43，AB ＝8， ∴BE ＝325，AE ＝245、∵DG ＝1、6，BG ＝0、7，∴DH ＝DG ＋GH ＝1、6＋325＝8， AH ＝AE ＋EH ＝245＋0、7＝5、5、 在Rt △CDH 中，∵∠C ＝∠FDC ＝30°，DH ＝8，tan30°＝DH CH ＝33， ∴CH ＝8 3、又∵CH ＝CA ＋5、5， 即8 3＝CA ＋5、5，∴CA ＝8 3－5、5、即CA 的长是(8 3－5、5)米．11．解：(1)如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则AD ＝10 m 、∵在Rt △ACD 中，∠C ＝45°，∴Rt △ACD 是等腰直角三角形．∴CD ＝AD ＝10 m 、在Rt △ABD 中，tan B ＝AD BD， ∵∠B ＝30°，∴33＝10BD，∴BD ＝10 3m 、 ∴BC ＝BD ＋CD ＝(10 3＋10)m 、答：B ，C 之间的距离是(10 3＋10)m 、(2)这辆汽车超速．理由如下：由(1)知BC ＝(10 3＋10)m ，又3≈1、7，∴BC ≈27 m 、∴汽车速度v ＝270.9＝30(m/s)． 又30 m/s ＝108 km/h ，此地限速80 km/h ，∵108＞80，∴这辆汽车超速．答：这辆汽车超速．12．解： (1)由题意，得∠BAC ＝90°，AB ＝15 km ，AC ＝5 3km ， ∴BC ＝152＋（5 3）2＝10 3(km)，∴飞机航行的速度为10 3÷160＝600 3(km/h)． (2)能．理由如下：如图，过点C 作CE ⊥l 于点E ，设直线BC 交l 于点F 、 在Rt △ABC 中，AC ＝5 3km ，BC ＝10 3km ，∴∠ABC ＝30°，即∠BCA ＝60°、又∵∠CAE ＝30°，∴∠ACE ＝∠FCE ＝60°，∴CE ＝AC ·sin ∠CAE ＝523km ， AE ＝AC ·cos ∠CAE ＝152km 、 则AF ＝2AE ＝15 km 、∵AN ＝AM ＋MN ＝14、5＋1＝15、5(km)，∴AM ＜AF ＜AN ，∴飞机不改变航向继续航行，可以降落在跑道MN 之间．。