湖北省恩施巴东县第一高级中学高中数学 1.2.1任意角的三角函数(2)教案新人教A版必修4

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1.2.1任意角的三角函数(教案)

1.2.1任意角的三角函数（复习）教案
一、三维目标
知识与技能：
1．掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义，了解单位圆的定义。

2．学会运用任意角三角函数的定义求相关角的三角函数值。

过程与方法：
通过学生积极参与知识的“发现”与“形成”的过程，培养合情猜测的能力，从中感悟数学概念的严谨性与科学性。

情感、态度与价值观：
让学生在任意角三角函数概念的形成过程中，体会函数思想，体会数形结合思想。

二、教学重点与难点
重点：任意角的正弦、余弦、正切函数的定义、定义域以及根据任意角三角函数的定义求相关角的三角函数值。

难点：把三角函数理解为以实数为自变量的函数。

三、教学过程
（一）任意角的三角函数定义；
（二）利用三角函数的定义求三角函数值；
例1、求0与5π/3的正弦、余弦和正切的值。

练习、填表：
练习1、求π/2与2π/3的正弦、余弦和正切值。

例2、已知角α的终边经过点P(4,-3)，求2sinα+cosα的值。

练习2、已知角α的终边经过点P(4a,-3a)，且a≠0，求2sinα+cosα的值。

例3、已知角α的终边经过点P(3m-9,m+2)，且cosα≤0，sinα＞0求实数m的取值范围。

练习3、已知角α的终边上一点P(3,m)，且cosα=3/5，求sinα和tanα的值。

10，求例4、已知角α的终边上一点P(x,3)，且x≠0，cosα=
10
sinα的值。

练习4、已知角α的终边为射线y=-2x（x≤0），求2sinα+cosα的值。

（三）小结及作业。

高中数学第一章三角函数 1.2.1 任意角的三角函数(2)学案(含解析)新人教A版必修4(20

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1。

2.1 任意角的三角函数(二）班级:__________姓名:__________设计人：__________日期：__________♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒温馨寄语谁有进取的意志,谁就干得成.-—罗曼·罗兰学习目标1．理解三角函数线的概念.2．会利用三角函数线比较三角函数值的大小，会解简单的三角不等式.学习重点三角函数线的做法及其简单应用学习难点利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用它们的集合形式表示出来自主学习有向线段和三角函数线（1)有向线段：______________的线段。

(2）三角函数线:如图为角α的三种三角函数线，sinα =____________，cos α =____________,tan α=____________。

预习评价1．有三个说法:①和的正弦线相等；②和的正切线相等；③和的余弦线相等。

其中正确的有A.1个 B。

2个 C.3个 D。

0个2．若角α的余弦线的长度为且方向与x轴的正方向相反，则cosα=___.3．利用单位圆中的三角函数线求不等式的解集是___。

♒♒♒♒♒♒♒知识拓展·探究案♒♒♒♒♒♒♒合作探究1．三角函数线已知任意角α与单位圆交于点P(x，y），过P点作PM丄x轴于点M，根据三角函数的定义知：，这些值是否有一定的几何意义呢？请根据图形思考下面的问题:(1）由图知，问怎样规定一个适当的方向使线段OM，MP的取值与点P的坐标一致？(2)如何在单位圆中找像OM，MP这样的线段来表示角α的正切？2．如图为角α，β的三角函数线，请根据图中的三角函数线，完成下列填空：（用“〉”或“<'’填空)(1)sinβ________________sinα. (2）cosα________________cosβ.(3)tanβ________________tan α.教师点拨对三角函数线的三点说明（1)余弦线是以原点为起点，正弦线和正切线是以此线段与坐标轴的交点为起点.（2）三角函数线不只是一条线段，它们是有起点和终点的，即三角函数线是有方向的。

湖北省巴东一中高二数学教案必修四：任意角与弧度制

第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.1.1任意角一、教学目标：1、知识与技能（1）推广角的概念、引入大于360︒角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（5）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；（6）揭示知识背景，引发学生学习兴趣.（7）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.2、过程与方法通过创设情境：“转体720︒，逆（顺）时针旋转”，角有大于360︒角、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情态与价值通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后，知道角之间的关系.理解掌握终边相同角的表示方法，学会运用运动变化的观点认识事物.二、教学重、难点重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法.难点: 终边相同的角的表示.三、学法与教学用具之前的学习使我们知道最大的角是周角,最小的角是零角.通过回忆和观察日常生活中实际例子,把对角的理解进行了推广.把角放入坐标系环境中以后,了解象限角的概念.通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法.我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示.另外还有相同终边角的集合的表示等.教学用具:电脑、投影机、三角板四、教学设想【创设情境】思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25 小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0360︒︒~之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.【探究新知】1．初中时，我们已学习了0360︒︒~角的概念，它是如何定义的呢？[展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.1-1，一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点.2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720︒” （即转体2周），“转体1080︒”（即转体3周）等,都是遇到大于360︒的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360︒的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢?[展示课件]如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性. 为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positive angle),按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negative angle).如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角(zero angle).[展示课件]如教材图 1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于750︒；图 1.1.3(2)中，正角210α︒=，负角150,660βγ︒︒=-=-；这样，我们就把角的概念推广到了任意角（any angle ）,包括正角、负角和零角. 为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”可简记为α.3.在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念. 角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。

高中数学1.2.1任意角的三角函数的定义教学设计新人教B版必修4

课题：《任意角的三角函数》教学目标：1.掌握任意角的三角函数的定义；2.任意角的三角函数和锐角的三角函数的联系和区别；3.理解角的三角函数值与角终边上点的位置无关；4.正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域；5.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值。

教学重点：1.任意角的三角函数的定义；2.运用任意角的三角函数的定义求函数值。

教学难点：理解角的三角函数值与角终边上点的位置无关；教学方法：1.情境教学法；2.问题驱动教学法。

教学过程：一、复习引入（情境1）前面我们学习了角的概念的推广，通过推广，使角动了起来，同时把角的范围也突破了0度和360度的界限，角可为任意大小。

这节课我们要研究的问题是任意角的三角函数。

初中阶段我们学习了锐角的三角函数。

【问题1】在直角三角形中，锐角的三角函数是怎样定义的？（学生回答）二、新授知识【目标一】任意角的三角函数的定义是什么？【情境二】事实上，锐角的三角函数定义，可以看作是在角的锐角的一边上任取一点，构造一个直角三角形，用直角三角形的边之比来定义。

我们可以看出，取的点不同，所构造的三角形的大小也不一样。

的各三角函数值与所构造的三角形的大小有关吗？（无关，由三角形相似的性质可以得到。

）【情境三】角的概念推广之后，角可以是任意大小，把角放在直角三角形中定义它的三角函数显然已经达不到要求，必须寻求一种新的方法！前面我跟同学们暗示过：今后在研究任意角的相关时，我们常常把角放在坐标系里进行研究！【问题2】任意角在坐标系中是如何放置的？（学生回答）将角的顶点放在原点，始边与x 轴正半轴重合。

角的终边可能会落在某一象限内，也可能在坐标轴上。

出示PPT 。

我们在角的终边上任取除顶点以外的一点P ，则P 有一确定的坐标，（x,y ），P 点到原点的距离也是确定的，>0。

在有意义的前提下这样我们可以得到三组比值：y r ，x r ，y x。

由相似三角形可以得到这些比值和取的点的位置无关，比值只和终边的位置有关！定义：y r 为α的正弦，sin α=y r; x r 为α的余弦，cos α=x r; y x 为α的正切，tan α=y x。

高中数学优质教案2：1.2.1 任意角的三角函数教学设计

必修四第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数知识与技能：1.掌握任意角的三角函数的定义；2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；过程与方法：1.理解并掌握任意角的三角函数的定义；2.树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；3.通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。

情感态度与价值观：1.使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式2.学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；教学重点：三角函数的定义；三角函数的定义域及其确定方法；三角函数值在各个象限内的符号以及诱导公式一教学难点：任意角三角函数的定义．一．复习引入思考：我们已经学过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数，你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？12结论：在Rt △ABC 中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，锐角A 的正弦，余弦，正切依次为：,,a b a sinA cosA tanA c c b === 所以说：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数思考1:角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义.你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?如图,设锐角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点(,)P a b ,它与原点的距离0r >.过P 作x 轴的垂线,垂足为M ,则线段OM 的长度为a ,线段MP 的长度为b .则sin MP b OP rα==; cos OM a OP r α==; tan MP b OM aα==. 思考2：对于确定的角α，这三个比值是否会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变呢？为什么?根据相似三角形的知识，对于确定的角α，三个比值不以点P 在α的终边上的位置的改变而改变大小.我们可以将点P 取在使线段OP 的长1r =的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数： sin MP b OP α==; cos OM a OP α==; tan MP b OM aα==. 二、新课讲授1.任意角的三角函数的定义结合上述锐角α的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?3显然,我们可以利用单位圆来定义任意角的三角函数.如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么:(1)y 叫做α的正弦(sine),记做sin α,即 sin y α=；（2）x 叫做α的余弦(cossine),记做cos α,即cos x α=；（3）y x叫做α的正切(tangent),记做tan α,即tan (0)y x x α=≠. 思考3:在上述三角函数定义中,自变量是什么?对应关系有什么特点,函数值是什么?说明:(1)当()2k k Z παπ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于0，所以tan y xα=无意义,除此情况外，对于确定的值α，上述三各值都是唯一确定的实数. (2)当α是锐角时，此定义与初中定义相同；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点(,)P x y ，从而就必然能够最终算出三角函数值.(3)正弦,余弦,正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将这种函数统称为三角函数.2.利用定义求角的三角函数值例1.求53π的正弦,余弦和正切值. 解：在直角坐标系中，作53AOB π∠=, AOB ∠的终边与单位圆的交点坐标为1(,22-，所以5515sin ,cos ,tan 32323πππ=-==思考：如果将53π变为76π呢？例2．已知角α的终边过点0(3,4)P --，求角α的正弦,余弦和正切值.4 思考：如何根据例题1解答思考：一般的，设角a 终边上任意一点的坐标为（x,y ）,它与原点的距离为r,则 sin ,cos ,tan y x y a a a r r x===，你能自己给出证明吗？思考：如果将题目中的坐标改为（-3a ，-4a ）,题目又应该怎么做？三.归纳小结：1. 任意角的三角函数的定义2. 三角函数的定义域及三角函数值的符号3. 诱导公式四布置作业五板书设计。

高中数学优质课教案教学设计 1.2.1 任意三角函数的定义(二) Word版

1．21 任意三角函数的定义（二）
一。

、教学目标
1．知识目标：
（1）. 理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号.
（2）三角函数定义及符号的应用
2．能力目标：（1）培养学生分析数学问题的能力；
（2）判断.三角函数值在各象限内的符号.
3．情感目标：（1）通过网络载体，利用几何画板的直观演示，培养学生主动探索、善于发现的创新意识和创新精神；
（2）在学习过程中通过相互讨论培养学生的团结协作精神；
二、教学重点；
（1）判断.三角函数值在各象限内的符号.
例3 确定下列三角函数值的符号
(1)cos250° （2）)4
sin(π
-。

高中数学1.2.1任意角的三角函数教案新人教版必修4

三角函数4-1.2.1任意角的三角函数（1）教学目的：知识目标： 1.掌握任意角的三角函数的定义；2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。

能力目标：（1）理解并掌握任意角的三角函数的定义；（2）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；（3）通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。

德育目标：（1）使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式；（2）学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。

公式一是本小节的另一个重点。

教学难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用他们的集合形式表示出来. 授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学. 教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：初中锐角的三角函数是如何定义的？在Rt △ABC 中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，锐角A 的正弦、余弦、正切依次为,,a b a sinA cosA tanA c c b === ．角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。

二、讲解新课： 1．三角函数定义在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为(0)r r ==>，那么（1）比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin yr α=；（2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos xr α=；（3）比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan yx α=；（4）比值xy叫做α的余切，记作cotα，即cotxyα=；（5）比值rx叫做α的正割，记作secα，即secrxα=；（6）比值ry叫做α的余割，记作cscα，即cscryα=．说明：①α的始边与x轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，六个比值不以点(,)P x y在α的终边上的位置的改变而改变大小；③当()2k k Zπαπ=+∈时，α的终边在y轴上，终边上任意一点的横坐标x都等于0，所以tanyxα=与secrxα=无意义；同理，当()k k Zαπ=∈时，xcoyyα=与cscryα=无意义；④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值yr、xr、yx、xy、rx、ry分别是一个确定的实数，所以正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是以角为自变量，一比值为函数值的函数，以上六种函数统称为三角函数。

湖北省巴东一中高二数学教案必修四任意角的三角函数

1.2.1任意角的三角函数(一)一、教学目标：1、知识与技能（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；（3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；（4）掌握并能初步运用公式一；（5）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.2、过程与方法初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情态与价值任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值”来定义，这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数，但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响，“从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系有冲突，而且“比值”需要通过运算才能得到，这与函数值是一个确定的实数也有不同，这些都会影响学生对三角函数概念的理解.本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.这个定义清楚地表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系.二、教学重、难点重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解.三、学法与教学用具任意角的三角函数可以有不同的定义方法，本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系.另外，这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接，数形结合更加紧密，这就为后续内容的学习带来方便，也使三角函数更加好用了.教学用具:投影机、三角板、圆规、计算器四、教学设想第一课时任意角的三角函数（一）【创设情境】提问：锐角O的正弦、余弦、正切怎样表示？yP（a，b）r错误!未找到引用源。

高中数学第1章三角函数 1.2.1 任意角的三角函数2数学教案

1.2.1任意角的ห้องสมุดไป่ตู้角函数（2）
教学目标
了解有向线段的意义，了解三角函数线定义及画法。
教学重难点
会用三角函数线表示任意角的三角函数值
教学参考
书、教参
授课方法
讲练结合
教学辅助手段
多媒体
专用教室
教学过程设计
教
学
二次备课
复习：是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y），则P与原点的距离
新课：
1、什么是有向线段？什么是有向直线？、什么是有向线段的数量？
2、正弦、余弦、正切这三种三角函数值的几何表示：
如图角与单位圆的交点为 ,用图中有向线段表示，，
当 r=1时，
1、作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线：
（1）（2）
教学过程设计
教
学
二次备课
3、利用单位圆三角函数线写出符合下列条件的角的集合：
课外作业
教学小结
（1）（2）
归纳总结：1、三角函数线定义，画法。
2、三角函数线的应用。
3、三角函数值的几何表示，数形结合的思想
（3）（4）
2、（1）根据单位圆中的正弦线，你能发现正弦函数值有怎样的变化规律？
（2）根据单位圆中的余弦线，你能发现余弦函数值有怎样的变化规律？
（3）根据单位圆中的正切线，你能发现正切函数值有怎样的变化规律？

人教版高中数学全套教案导学案1.2.1任意角的三角函数(2)

第二课时任意角的三角函数（二）【复习回顾】1、三角函数的定义；2、三角函数在各象限角的符；3、三角函数在轴上角的值；4、诱导公式（一）：终边相同的角的同一三角函数的值相等；5、三角函数的定义域.要求：记忆.并指出，三角函数没有定义的地方一定是在轴上角，所以，凡是碰到轴上角时，要结合定义进行分析；并要求在理解的基础上记忆.【探究新知】1．引入：角是一个图形概念，也是一个数量概念（弧度数）.作为角的函数——三角函数是一个数量概念（比值），但它是否也是一个图形概念呢？换句话说，能否用几何方式来表示三角函数呢？2．[边描述边画]以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆（注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米）.当角α为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点(,)P x y ，过点P 作PM x ⊥轴交x 轴于点M ，则请你观察:根据三角函数的定义：|||||sin |MP y α==；|||||cos |OM x α==随着α在第一象限内转动，MP 、OM 是否也跟着变化？3．思考：（1）为了去掉上述等式中的绝对值符，能否给线段MP 、OM 规定一个适当的方向，使它们的取值与点P 的坐标一致？（2）你能借助单位圆，找到一条如MP 、OM 一样的线段来表示角α的正切值吗？我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角α的终边不在坐标轴时,以O 为始点、M 为终点，规定：当线段OM 与x 轴同向时，OM 的方向为正向，且有正值x ；当线段OM 与x 轴反向时，OM 的方向为负向，且有正值x ；其中x 为P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有cos OM x α==同理,当角α的终边不在x 轴上时,以M 为始点、P 为终点，规定：当线段MP 与y 轴同向时，MP 的方向为正向，且有正值y ；当线段MP 与y 轴反向时，MP 的方向为负向，且有正值y ；其中y 为P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有 sin MP y α==4.像MP OM 、这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段（direct line segment ）.5.如何用有向线段来表示角α的正切呢?如上图,过点(1,0)A 作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与α的终边交于点T ,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OA AT 、,我们有tan y AT xα== 我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP OM AT 、、,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.6.探究：（1）当角α的终边在第二、第三、第四象限时，你能分别作出它们的正弦线、余弦线和正切线吗？（2）当α的终边与x 轴或y 轴重合时，又是怎样的情形呢？7.例题讲解例1．已知42ππα<<，试比较,tan ,sin ,cos αααα的大小.处理:师生共同分析解答,目的体会三角函数线的用处和实质.8.练习19P 第1,2,3,4题9学习小结(1)了解有向线段的概念.(2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来.(3)体会三角函数线的简单应用.【评价设计】二、作业：比较下列各三角函数值的大小(不能使用计算器)(1)sin15︒、tan15︒ （2）'cos15018︒、cos121︒ （3）5π、tan 5π 2．练习三角函数线的作图.。

高中数学第1章三角函数 1.2.1 任意角的三角函数高一数学教案

1.2.1 任意角的三角函数在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它与原点的距离是r (r ＝x 2＋y 2>0)，那么切函数，统称为三角函数．思考1：对于确定的角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P 点在终边上的位置的改变而改变？[提示] 不会．因为三角函数值是比值，其大小与点P (x ，y )在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．思考2：若P 为角α与单位圆的交点，sin α，cos α，tanα的值怎样表示？[提示] sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx.二、三角函数在各象的限符号三、三角函数线1．有向线段：规定了方向(即规定了起点和终点)的线段． 2．三角函数线 1．思考辨析(1)α一定时，单位圆的正弦线一定．( ) (2)在单位圆中，有相同正弦线的角必相等．( ) (3)α与α＋π有相同的正切线．( )[解析] 结合三角函数线可知(1)(3)正确，(2)错误． [答案] (1)√ (2)× (3)√ 2．若角α的终边经过点P ⎝⎛⎭⎪⎪⎫22，－22，则sin α＝________；cos α＝________；tan α＝________.－22 22 －1 [由题意可知|OP |＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫22－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－22－02＝1， ∴sin α＝－221＝－22；cos α＝221＝22；tan α＝－2222＝－1.]3．(1)若α在第三象限，则sin αcos α________0；(填“＞”“＜”)(2)cos 3tan 4________0.(填“>”“<”) (1)＞ (2)＜ [(1)∵α在第三象限，∴sin α＜0，cos α＜0，∴sin αcos α＞0. (2)∵π2<3<π，π<4<3π2，∴3是第二象限角，4是第三象限角． ∴cos 3<0，tan 4>0.∴cos 3tan 4<0.] 三角函数的定义及应用【例1】在平面直角坐标系中，角α的终边在直线y ＝－2x 上，求sin α，cos α，tan α的值．思路点拨：以α的终边分别在第二、四象限为依据，分别取特殊点求sin α，cos α，tan α的值．[解] 当α的终边在第二象限时，在α终边上取一点P (－1，2)，则r ＝－12＋22＝5，所以sin α＝25＝255，cos α＝－15＝－55，tan α＝2－1＝－2.当α的终边在第四象限时，在α终边上取一点P ′(1，－2)，则r ＝12＋－22＝5，所以sin α＝－25＝－255，cos α＝15＝55，tan α＝－21＝－2.1．已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法： (1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角函数值．(2)在α的终边上任选一点P (x ，y )，设P 到原点的距离为r (r >0)，则sin α＝y r ，cos α＝xr.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．2．当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．1．已知角θ终边上一点P (x,3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ.[解] 由题意知r ＝|OP |＝x 2＋9，由三角函数定义得cos θ＝x r ＝x x 2＋9. 又∵cos θ＝1010x ，∴x x 2＋9＝1010x .∵x ≠0，∴x ＝±1. 当x ＝1时，P (1,3)，此时sin θ＝312＋32＝31010，tan θ＝31＝3.当x ＝－1时，P (－1,3)，此时sin θ＝3－12＋32＝31010，tan θ＝3－1＝－3. 三角函数值的符号【例2】 (1)若α是第四象限角，则点P (cos α，tanα)在第________象限．(2)判断下列各式的符号：①sin 183°；②tan 7π4；③cos 5.思路点拨：先确定各角所在的象限，再判定各三角函数值的符号．(1)四 [∵α是第四象限角， ∴cos α>0，tan α<0，∴点P (cos α，tan α)在第四象限．] (2)[解] ①∵180°<183°<270°， ∴sin 183°<0； ②∵3π2<7π4<2π，∴tan 7π4<0；③∵3π2<5<2π，∴cos 5>0.对于已知角α，判断α的相应三角函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理.2．确定下列式子的符号：(1)tan 108°·cos 305°；(2)cos 5π6·tan11π6sin2π3；(3)tan 120°·sin 269°.[解] (1)∵108°是第二象限角，∴tan 108°＜0. ∵305°是第四象限角，∴cos 305°＞0. 从而tan 108°·cos 305°＜0.(2)∵5π6是第二象限角，11π6是第四象限角，2π3是第二象限角，∴cos 5π6＜0，tan 11π6＜0，sin 2π3＞0.从而cos 5π6·tan11π6sin2π3＞0.(3)∵120°是第二象限角，∴tan 120°＜0， ∵269°是第三象限角，∴sin 269°＜0. 从而tan 120°sin 269°＞0. 应用三角函数线解三角不等式 [探究问题]1．在单位圆中，满足sin α＝12的正弦线有几条？试在图中明确．提示：两条，如图所示，MP 1与NP 2都等于12.2．满足sin α≥12的角的范围是多少？试在上述单位圆中给予明确．提示：如图中阴影部分所示，所求角α的取值范围为α⎪⎪⎪2k π＋π6≤α≤2k π＋5π6，k ∈Z .【例3】求函数f (x )＝1－2cos x ＋ln ⎝⎛⎭⎪⎪⎫sin x －22的定义域．思路点拨：借助单位圆解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0sin x －22＞0便可．[解] 由题意，自变量x 应满足不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，sin x －22＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧cos x ≤12，sin x ＞22.则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π3≤x ＜2k π＋34π，k ∈Z. 1．利用三角函数线解三角不等式的方法 (1)正弦、余弦型不等式的解法．对于sin x ≥b ，cos x ≥a (sin x ≤b ，cos x ≤a )，求解的关键是恰当地寻求点，只需作直线y ＝b 或x ＝a 与单位圆相交，连结原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的范围．(2)正切型不等式的解法．对于tan x ≥c ，取点(1，c )连结该点和原点并反向延长，即得角的终边所在的位置，结合图象可确定相应的范围．2．利用三角函数线求函数的定义域解答此类题目的关键在于借助于单位圆，作出等号成立时角α的三角函数线，然后运用运动的观点，找出符合条件的角的范围．在这个解题过程中实现了一个转化，即把代数问题几何化，体现了数形结合的思想．3．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合：(1)sin α≥32；(2)cos α≤－12.[解] (1)作直线y ＝32交单位圆于A ，B 两点，连结OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域(图①阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π3≤α≤2k π＋2π3，k ∈Z. (2)作直线x ＝－12交单位圆于C 、D 两点，连结OC 、OD ，则OC与OD 围成的区域(图②阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z. 教师独具1．本节课的重点是三角函数的定义、三角函数值的符号以及三角函数线的画法、利用三角函数线解决问题，难点是三角函数的定义及应用，对三角函数线概念的理解．2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)三角函数的定义及应用； (2)三角函数值符号的判断； (3)三角函数线的画法及应用．3．本节课的易错点(1)已知α的终边所在的直线求α的三角函数值时，易忽视对α所在象限的讨论，造成漏解而发生解题错误．(2)画三角函数线的位置以及表示方法.1．若sin α＜0，tan α＞0，则α终边所在象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限C [由sin α＜0可知α的终边落在第三、四象限及y 轴的负半轴上．由tan α＞0可知α的终边落在第一、三象限内．故同时满足sin α＜0，tan α＞0的角α为第三象限角．] 2．角α的终边经过点P (－b,4)且cos α＝－35，则b 的值为________．3 [由三角函数的定义可知－b b 2＋16＝－35，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＞0，b 2b 2＋16＝925，解得b ＝3.]3．若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是________．sin α＋cos α>1 [作出α的正弦线和余弦线(图略)，由三角形“任意两边之和大于第三边”的性质可知sin α＋cosα>1.]4．已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．[解] ∵角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，∴在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)，则x ＝4t ，y ＝－3t ，r ＝x 2＋y 2＝4t2＋－3t2＝5|t |，当t ＞0时，r ＝5t ，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t＝45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34. 当t ＜0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t－5t＝－45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34.综上可知，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34；或sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.。

高中数学1.2.1 任意角的三角函数优秀教案

1.2.1 任意角的三角函数一、内容及其解析〔一〕内容：本节课要学的内容是任意角的三角函数.〔二〕解析本节课要学的内容是任意角的三角函数，是必修四第一章第二节的内容，学生已经学过锐角三角函数，它是用直角三角形边长的比来刻画的。

锐角三角函数的引入与“解三角形〞有直接关系，任意角的三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，它与“解三角形〞已经没有什么关系了。

因此，与学习其他根本初等函数一样，学习任意角的三角函数，关键是要使学生理解三角函数的概念、图象和性质，并能用三角函数描述一些简单的周期变化规律，解决简单的实际问题。

本节以锐角三角函数为引子，利用单位圆上点的坐标定义三角函数。

教学的重点是理解任意角的正弦、余弦、正切的定义，理解它的关键是建立角的终边和单位圆的交点坐标、单位圆中的三角函数线之间的联系，并在角的变化过程中，将这种联系直观地表达出来。

二、教学目标〔一〕目标1、通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，理解三角函数是以实数为自变量的函数，并从任意角的三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域，理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号；2、通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同角的同一三角函数值相等；三、问题诊断分析在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数；三角函数符号；利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值用几何形式表示。

产生这一问题的原因是学生对于任意角的三角函数还不理解，要解决这一问题，可以利用信息技术，很容易地建立角的终边和单位圆的交点坐标、单位圆中的三角函数线之间的联系，并在角的变化过程中，将这种联系直观地表达出来。

信息技术可以帮助学生更好地理解三角函数的本质.。

四、教学过程设计1.温故知新回忆：在我们是如何定义锐角三角函数的？师生活动：师问生答.2、新知探究思考一: 依据锐角三角函数的定义，你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标表示锐角三角函数吗？设计意图：通过提问，让学生知道任意角的三角函数。

湖北省恩施巴东县第一高级中学高中数学 1.2.1任意角的三角函数(2)教案 新人教A版必修4

1.2.1任意角的三角函数(教案)

高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数(2)学案(含解析)新人教A版必修4(20

湖北省巴东一中高二数学教案 必修四：任意角与弧度制