十章节方差分析
方差分析_精品文档
方差分析_精品文档方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种用于比较两个或更多个群体均值是否存在显著差异的统计方法。
它是一种非参数统计方法，适用于正态分布的数据，可以帮助我们理解不同因素对于观测变量的影响程度以及它们之间是否存在交互作用。
方差分析的基本原理是将总体方差拆分为组内方差和组间方差。
组间方差表示了不同群体之间的差异，组内方差则表示了同一群体内的个体差异。
通过比较组间方差与组内方差的大小，判断不同群体均值是否存在显著差异。
方差分析可以分为单因素方差分析和多因素方差分析。
单因素方差分析主要用于比较一个因素（或处理）对观测变量的影响，例如比较不同药物对于治疗效果的影响；而多因素方差分析则可以同时考虑多个因素的影响，并探究它们之间是否存在交互作用。
方差分析的基本步骤如下：1.建立假设：根据实际问题，建立相应的原假设（H0）和备择假设（H1）。
原假设通常是认为各组均值相等，备择假设则是认为各组均值不全相等。
2.收集数据：根据实验设计，对不同处理组进行观测，获取相应的数据。
3.计算统计量：计算组间方差和组内方差，进行方差分析，得到统计量（F值）。
4.判断显著性：根据计算出的F值和自由度，查找F分布表，计算出P值（显著性水平）。
5.做出结论：根据P值，结合原假设和备择假设，判断不同群体均值是否存在显著差异。
方差分析的优点在于可以同时比较多个群体均值，减少了多次独立t 检验的错误率。
此外，方差分析也可以用于研究不同因素的交互作用，帮助我们更全面地理解数据。
然而，方差分析也有一些限制。
首先，方差分析要求数据满足正态分布假设，如果数据不满足正态分布，则结果可能不准确。
其次，方差分析对样本量要求较高，特别是对于多因素方差分析，需要足够的样本量才能得到可靠的结果。
最后，方差分析只能告诉我们群体均值是否存在显著差异，而不能确定具体差异的大小，这需要通过其他统计方法进行进一步分析。
方差分析1132页PPT
单因子方差分析的统计模型
在例中我们只考察了一个因子，称其为单因子 试验。
通常，在单因子试验中，记因子为 A, 设其有r 个水平，记为A1, A2,…, Ar。
在每一水平下考察的指标可以看成一个总体 ，因为现共有 r 个水平，故有 r 个总体， 假定：
数理统计在化学中的应用
各总体的方差相同:
nm
SSe
(Xij Xi)2
i1 j1
mn
mn
SST
(Xij X)2
[(Xij Xi)(Xi X)]2
i1 i1
i1 j1
mn
mn
mn
(Xij Xi)2
(Xi X)]2 2
(Xij Xi)(Xi X)
i1 j1
i1 j1
i1 j1
mn
mn
m
n
(Xij Xi)2
(Xi X)2 2 (Xi X) (Xij Xi)
1
2=
22=…=
2 r
=
2
；(即
，具有方差齐次性)
从每一总体中抽取的样本是相互独立的， 即 所有的试验结果 yij 都相互独立。
每一总体均为正态总体，记为 N(i , i 2)， i ＝1, 2,…, r ；
数理统计在化学中的应用
我们要比较各水平下的均值是否相同, 即要对如下的一个假设进行检验:
1、从总变差中区分出试验变差和条件变差，也就是将 不同因素的影响给区分开来。
2、利用F检验比较这两个变差的大小，确定出主要变 差。
3、根据主要的变差，去选择较好的分析条件，或确定 进一步试验的方向。
数理统计在化学中的应用
方差分析的基本思想
方差分析的依据是建立在变差平方和具有加和性的基础 上的。因此，如果用变差平方和来表征测定结果的总变 差，那么总变差的平方和就等于各变异因素形成的变差 平方和的总和。
《方差分析》课件
总结与展望
方差分析的意义方差分析Fra bibliotek一种有效的统计方法，可以帮助我们理 解数据之间的差异，并探索影响因素。
方差分析的未来发展趋势
随着数据分析和统计方法的进步，方差分析将继续 发展并得到更广泛的应用。
注
本PPT课件内容仅供教学参考，禁止用于商业用途！谢谢观看！
什么是方差分析
方差分析是一种统计方法，用于比较两个或多个样本之间的差异。它适用于试验设计、医学研究、社会科学、 以及生产制造等领域。
单因素方差分析
单因素方差分析是一种用于比较一个因素（变量）对于一个响应变量的影响的统计方法。它基于一组样本之间 的方差差异来评估因素的影响。
双因素方差分析
双因素方差分析是一种用于比较两个因素（变量）对于一个响应变量的影响 的统计方法。它可以同时评估两个因素以及两个因素之间的交互作用。
方差分析的应用
生产制造
方差分析可以帮助优化生产 过程，提高产品质量和生产 效率。
医学研究
方差分析可以用于比较不同 治疗方法的效果，评估药物 的疗效。
社会科学
方差分析可以帮助理解不同 人群之间的差异，例如不同 年龄组之间的意见差异。
方差分析的局限性
方差分析有一些局限性，如对于非正态分布的数据不适用。但可以通过优化方法，如转换数据或使用非参数方 法，来应对这些局限性。
《方差分析》PPT课件
Presentation introducing the concept of variance analysis. Explore the definition, application scenarios, and the steps involved in both single-factor and two-factor variance analysis.
方差分析SPSS
F界值为单尾
4、根据统计推断结果，结合相应的专业知识，给出一个专 业的结论。
随机区组设计的两因素方差分析
配伍设计有两个研究因素，区组因素和处理因素。 事先将全部受试对象按某种或某些特征分为若干个 区组，使每个区组内研究对象的特征尽可能相近。 每个区组内的观察对象与研究因素的水平数k相等， 分别使每个区组内的观察对象随机地接受研究因素 某一水平的处理。
k ni
SS总＝
( Xij X )2 ,总 N 1
i1 j 1
组间变异：各处理组的样本均数也大小不等。大小可用各组
均数 X i 与总均数 X 的离均差平方和表示。
k
SS组间＝ ni ( X i X )2 , 组间 k 1, MS组间＝SS组间 组间 i 1
组内变异：各处理组内部观察值也大小不等，可用各处理组
内部每个观察值 X ij与组均数 X i 的离均差平方和表示。
k ni
SS组内＝
( Xij Xi )2,组内 N k，MS组内＝SS组内 组内
i1 j1
三种变异的关系
SS总 SS组间 SS组内
并且该等式和上面的等式存在如下的对应关系 总变异＝随机变异+处理因素导致的变异
总变异＝组内变异 + 组间变异
＝0.05
2、选定检验方法，计算检验统计量
F MS处理 MS误差；F MS区组 MS误差 3、确定P值，作出推断结论
F F ，P (处理，误差 ) F F ，P (处理，误差 )
F界值为单尾
4、根据统计推断结果，结合相应的专业知识，给出一个专 业的结论。
多重比较
LSD-t 检验：适用于检验k组中某一对或某几对在 专业上有特殊意义的均数是否相等。
概率论及数理统计课程教学进度及教案表
概率论及数理统计课程教学进度及教案表教案编写日期：2024年9月教案编辑专员：教学目标：1. 理解概率论的基本概念和原理；2. 掌握随机事件的概率计算方法；3. 学会运用概率论解决实际问题；4. 了解数理统计的基本概念和方法；5. 掌握描述统计和推断统计的基本技术；6. 学会运用数理统计方法分析数据和做出决策。
教学内容：第一章：概率论基本概念1.1 随机现象和样本空间1.2 事件及其概率1.3 条件概率和独立事件1.4 概率计算公式第二章：随机变量及其分布2.1 随机变量的定义和分类2.2 离散型随机变量的概率分布2.3 连续型随机变量的概率密度2.4 随机变量的期望和方差第三章：多维随机变量及其分布3.1 二维随机变量的联合分布3.2 边缘分布和条件分布3.3 随机变量的独立性3.4 多维随机变量的数字特征第四章：大数定律和中心极限定理4.1 大数定律的定义和意义4.2 中心极限定理的定义和意义4.3 大数定律和中心极限定理的应用第五章：数理统计的基本概念5.1 统计量和抽样分布5.2 估计理论和估计方法5.3 假设检验的基本原理5.4 参数估计和假设检验的应用教学方法：1. 讲授法：通过讲解和示例，让学生掌握概率论和数理统计的基本概念、原理和方法；2. 案例分析法：通过实际案例，让学生学会运用概率论和数理统计解决实际问题；3. 练习法：通过课堂练习和课后作业，巩固学生对知识的理解和运用能力；4. 小组讨论法：通过小组讨论和合作，培养学生的团队合作能力和思维能力。
教学评价：1. 平时成绩：包括课堂表现、作业完成情况和课堂练习；2. 期中考试：考查学生对概率论和数理统计基本概念和方法的掌握程度；3. 期末考试：全面测试学生对课程内容的掌握和运用能力。
教学进度安排：1. 第一章：2周2. 第二章：3周3. 第三章：3周4. 第四章：2周5. 第五章：2周教学资源：1. 教材：概率论与数理统计教程；2. 课件：PowerPoint演示文稿；3. 案例资料：实际问题和相关数据；4. 练习题：课后习题和自测题。
第十 方差分析优秀课件
2、自由度的计算
dtfn1
例10-3
n k1（n相等时）
dfb k1
dwf nk dft dfb
dtf918
dbf312 dw f826
kn1 （n相等时）
3、方差（均方）的计算
St2MtS
XXt 2 SS t
dtf
df t
Sb 2MbS
XXt 2
dbf
SS b df b
Sw 2MwS
n X22 n X2 n X2
n 2 k n 2
SSbk nX nX
例10-1
学法
X
∑X ∑X2 n M
A 6 5 7 18 110 3 6
B 11 9 10 30 302 3 10
C
5 4 6 15
77 3 5
∑ －－－
63 489 9 7（Mt）
X X2 n
StSX2 nX2
X X t2 X X 2 k nXXt2 k nXXt2 k nXX2
总平方和 组间平方和 组内平方和
SS t SS b SS w
计算式
St S XX t2X2 nX2
SbS X X t2nX2
X2
n
Sw S XX 2X2nX2
SSt SSb
k n
2
SSt
C 80 73 70 76 82 5
D 76 74 80 78 82 5
∑
20
∑X
382 420 381 390 1573
∑X2
29276 35314 29129 30460 124179
St S 12 4 11 4 22 7 7 0 4 9 3 .5 65 2
Sb S32 8 4 22 2 5 3 02 8 312 9 1 0 25 20 7 2.3 0 50 5 Sw S 46 .52 520 .50 5262
第10章-方差分析PPT课件
1.正态性的检验
各组数据的直方图 峰度系数、偏度系数 Q-Q图， 非参数检验
2021/3/9
2.等方差性的检验
经验方法：计算各组数据的标准差，如果最大值 与最小值的比例小于2:1，则可认为是同方差的。 最大值和最小值的比例等于1.83<2
Levene检验 *
N
均值 标准差
第10章 方差分析
2021/3/9
学习目标
掌握方差分析中的基本概念； 掌握方差分析的基本思想和原理； 掌握单因素、双因素方差分析的应用条件、
意义及计算方法； 熟悉多重比较方法的意义及方法； 掌握用Excel，spss进行方差分析的操作
方法。
2021/3/9
一、方差分析引论
为什么要进行方差分析？
2021/3/9
（续）组间方差和组内方差
组间离差平方和
k
SSA ni(xi x)2 i1
组内离差平方和
k ni
SSE
(xij xi)2
பைடு நூலகம்i1 j1
组间方差
MSA SSA k 1
2021/3/9
受因素A和 随 机
因素的影响
组内方差
MSE SSE nk
只受随机 因素的影响
（续）方差分析的基本思想
F=
组间方差 MSA SSA k 1
组内方差 MSE SSE
nk
如果因素A的不同水平对结果没有影响，那么在组间方差中 只包含有随机误差，两个方差的比值会接近1
如果不同水平对结果有影响，组间方差就会大于组内方差， 组间方差与组内方差的比值就会大于1
当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平之间存在显 著差异，或者说因素A对结果有显著影响。
十章节协方差分析
相应的总体相关系数ρ可用x与y的总体标
准差 x 、 y ，总体协方差COV(x,y)或 xy 表
示如下：
CO(Vx,y) xy xy xy
（10-4）
均积与均方具有相似的形式 ， 也有相似的
性质。在方差分析中，一个变量的总平方和与
自由度可按变异来源进行剖分，从而求得相应
的均方。统计学已证明：两个变量的总乘积和
StPx1n.1 y1.x2n.2 y2..
.. xk.yk.x.y...
nk
k
ni
i1
dft k1
SPe
k i1
ni j1
xij
yij
x1n.1y1.x2n.2y2..
.. xkn.kyk.
=SPT-SPt
k
df e = n -i k =dfT-dft i1
(10-9)
有了上述SP和df，再加上x和y的相应SS， 就可进行协方差分析。
n 1
是x的均方MSx，它是x的
方差
2 的无偏估计量；
x
(y y)2
n 1
是y的均方MSy，它是y的
方差
2 x
的无偏估计量；
(xx)(yy) 称为x与y的平均的离均差 n1
的乘积和，简称均积，记为MPxy，即
(xx)(yy)
MxP y
n1
xy(x)n(y)
n1
（10-2）
与 均 积 相 应 的 总 体参 数 叫 协 方 差
回归关系显著性检验表
F检验表明，误差项回归关系极显著，表明 哺乳仔猪50 日龄重与初生重间存在极显著的线 性回归关系。因此，可以利用线性回归关系来 校正y，并对校正后的y进行方差分析。
2、对校正后的50日龄重作方差分析
《数学》第十章“概率统计”教材分析及教学建议
布 曲线 。 实践和理论都证 明： 有 一 种 特 殊 而 常 用 的分 布 ．
它 的分 布曲线是有 规律的 ， 这就是正态分 布 。正态分布
曲线 取 决 于这 个 随 机 变 量 的 一 些 表 征 数 ， 其 中最 重 要 的
是平均值和差异度 。平 均值也 叫数学期望 ， 差异度也就
是标准方差 。 数 理统计 包 括抽 样 、 适 线 问题 、 假设 检验 、 方 差 分 析、 相 关 分 析 等 内容 。 根据大纲要求 ， 本 章 教 学 目标 为 ： １ ． 掌 握 分 类 计 数 原 理 和分 步 计 数 原 理 ， 并 能 运 用 它
课程 的基本组成部分 。 《 中等职业学校 数学教学大纲》 要求继续加强随 机性数 学教 学。 通过本 章教 学， 可使 学生进一步确立尊重事实 、 用数据
说 话 的态 度 ， 学会 用 随机 观 点来 解 释 现 象 ， 做 出估 计 和 决 策 。 形成正确 的世 界 观 和 方 法 论 。 在 准 确把 握教 学 要 求 基 础 上 ， 从认真剖析概念 、 注
● 江苏教育 ・ 职业教育／ 课 程 与 教 学
责任编辑
王
琳Ｅ － ｍａ ｉ ｌ ： ｗａ ｎ ｇ ｑ ０ ８ ０ ９ １ ０ ＠１ ６ ３ｃｏ ｍ
．
《 数 学》 第十章“ 概 率 统 计＂
教 材 分 析 及 教 学 建 议
一郑步 春
【 摘 要 】统计 与概 率的内容在 九年 义务教 育阶段 已经成为数 学
们分析和解决一些简单 的应用 问题 。 ２ ． 理 解随机事 件发生 的不 确定性及 频率的稳定性 ，
理解概 率的定 义 ， 能 说 出频 率 与 概 率 的 区别 。 初 步 学 会
方差分析的概念与应用
方差分析的概念与应用方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种统计分析方法，用于比较两个或两个以上样本均值是否存在显著差异。
通过对不同组之间的方差进行比较，判断样本均值之间是否存在显著性差异。
方差分析广泛应用于实验设计和数据分析中，是一种重要的统计工具。
一、方差分析的基本概念方差分析是一种用于比较多个总体均值是否相等的统计方法。
在进行方差分析时，我们通常将数据分为不同的组别，然后比较这些组别之间的均值差异是否显著。
方差分析的基本思想是通过比较组间变异与组内变异的大小，来判断总体均值是否存在显著差异。
在方差分析中，有三种不同的方差：1. 总体方差（Total Variance）：所有数据点与总体均值之间的离差平方和。
2. 组间方差（Between-group Variance）：各组均值与总体均值之间的离差平方和，反映了不同组别之间的差异。
3. 组内方差（Within-group Variance）：各组内部数据点与各自组均值之间的离差平方和，反映了组内数据的离散程度。
二、方差分析的应用领域1. 实验设计：方差分析广泛应用于实验设计中，用于比较不同处理组之间的均值差异，判断实验处理是否显著。
2. 医学研究：在医学研究中，方差分析常用于比较不同药物治疗组的疗效差异，评估治疗效果的显著性。
3. 市场调研：在市场调研中，方差分析可用于比较不同产品或广告策略对消费者行为的影响，帮助企业制定营销策略。
4. 教育评估：在教育领域，方差分析可用于比较不同教学方法或教育政策对学生成绩的影响，评估教育改革效果。
三、方差分析的步骤进行方差分析时，通常需要按照以下步骤进行：1. 提出假设：明确研究问题，提出原假设（各组均值相等）和备择假设（至少有一组均值不相等）。
2. 收集数据：根据研究设计，收集各组数据。
3. 方差分析：计算总体方差、组间方差和组内方差，进行方差分析。
4. 判断显著性：通过计算F值，比较P值与显著性水平，判断各组均值是否存在显著差异。
方差分析单因素方差分析3篇
方差分析单因素方差分析第一篇：方差分析基础知识什么是方差分析？方差分析（ANOVA）是一种常用的数据分析方法，用于确定多个组或处理之间差异的检验方法。
方差分析的目的是比较各组之间的均值是否有显著差异，从而确定某种变量是否能够对观测结果产生统计显著影响。
方差分析的原理方差分析的基本原理是将总差异拆分为各个来源的差异，比较相对大小，进而确定各组均值之间是否存在显著差异。
方差分析原理中的总差异由于组内差异和组间差异组成，在计算统计检验时，需要根据样本数据计算出相应的方差分量。
方差分析的应用范围方差分析适用于多组数据的比较分析，通常用于以下场景：1. 不同处理方式对结果的影响是否显著；2. 产品的性能比较；3. 不同采样机构采样结果的差异性比较；4. 不同肥料对植物生长的影响比较等。
在研究中，方差分析也被广泛应用于实验设计和因子分析中，通过分析方差来确定影响观察结果的因素，以减少实验的时间和成本。
第二篇：单因素方差分析的步骤单因素方差分析是指数据来自同一总体下的不同组或处理之间的差异，其中只有一个因素起到决定性作用的方差分析。
对于一般的数据处理，单因素方差分析一般包括以下步骤。
1. 设定假设并确定显著性水平假设总体均值相等，等价于各组均值相等。
如果拒绝了该假设，则表明不同组之间均值存在显著差异。
同时，还需要确定显著性水平，通常为α=0.05或α=0.01。
2. 构建方差分析表构建方差分析表，并计算相关的方差分量，包括组内偏差平方和、组间偏差平方和、总偏差平方和和平均平方值。
3. 计算F值通过总偏差平方和、组内偏差平方和，以及各组样本容量计算F值。
4. 进行假设检验通过比较计算出的F值与参考F分布表中的临界值，以判断不同组之间差异是否显著。
5. 发现组之间差异的原因如果不同组之间均值存在显著差异，则需要通过多重比较或方差分析的分解来确定差异来源，以便进一步研究各组之间差异的原因。
第三篇：常用的单因素方差分析方法1. 单因素方差分析（One-way ANOVA）单因素方差分析是一种常见的数据分析方法，通常用于比较三个或三个以上组之间的差异。
方差分析(精品)
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------方差分析（精品）方差分析第一节方差分析的基本原理概念：方差分析：K 个样本平均数（K 大于等于三）的假设测验方法。
【方差分析就是将总变异剖分为各个变异来源的相应部分，从而发现各变异来源在总变异中相对重要程度的一种统计分析方法。
】【u 测验和 t 测验可以判断两组数据平均数之间的差异的显著性。
】一：自由度和平方和的分解二：F 分布与 F 测验第二节多重比较【为了了解那些处理间存在真实差异，而进行处理平均数之间的比较】一：最小差异显著法【LSD 法】二：q 法（要求精确度高的时候才使用，一般田间试验不使用）三：新复极差法【SSR 法】四：多重比较结果的表示方法①：列梯形表法②：划线法③：标记字母法五：多重比较方法的选择第三节方差分析的线性模型与期望均方第四节单项分组资料的方差分析一：1/ 13组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析【p111】二：组内观察值数目不等时的单向分组资料的方差分析三：组内又分亚组的单向分组资料的方差分析【p115】第五节两项分组资料的方差分析【p118】两项分组资料：两因素试验中若因素a的各个水平与因素b的各个水平均衡相遇（或称正交），则所测的试验数据按两个因素交叉分组称为两项分组资料。
一：组合内只有单个观察值的两向分组资料的方差分析【p119】二：组合内有重复观察值的两向分组资料的方差分析【p120】第六节：方差分析的基本假定和数据转换一：方差分析的基本假定：可加性，正态性，误差同质性二：数据转换：平方根转换，对数转换，反正弦转换，采用几个平均数做方差分析第7章卡平方（X2）测验第 1 节卡平方的定义和意义一：卡平方的算法O 为实际观察频数E=理论频数 K=组数E1 由公式可知卡平方度量具有几个重要性质：---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ ①：当两个（O-E）的数值相同时，则数值与 E 的大小为反比，即（O-E）一定时， E 大,（O-E）的比重愈小②：当两个（O-E）与 E 成相同比例时, 则的数值与(O-E)的大小成正比，例（700-500） /500 与（7-5） /5 的比例相同，但两个差异的重要性，则显然不同。
方差分析原理
方差分析原理方差分析（ANOVA）是一种统计学方法，用于比较三个或三个以上组的平均值是否存在显著差异。
它是通过比较组内变异和组间变异的大小来判断组间差异是否显著。
方差分析可以用于不同实验设计和数据类型，是许多统计分析的基础。
首先，我们来了解一下方差分析的基本原理。
方差分析的核心思想是将总体的方差分解为组内变异和组间变异两部分。
组内变异是指同一组内个体之间的差异，而组间变异是指不同组之间的差异。
通过比较组内变异和组间变异的大小，我们可以判断组间差异是否显著。
在进行方差分析时，我们需要计算F值来判断组间差异是否显著。
F值是组间均方与组内均方的比值，它反映了组间变异与组内变异的相对大小。
当F值大于1时，表示组间差异较大，我们可以拒绝原假设，认为组间差异显著。
方差分析有不同的类型，包括单因素方差分析、双因素方差分析和多因素方差分析。
在单因素方差分析中，我们只考虑一个自变量对因变量的影响；在双因素方差分析中，我们考虑两个自变量对因变量的影响；而在多因素方差分析中，我们考虑多个自变量对因变量的影响。
除了了解方差分析的基本原理，我们还需要注意方差分析的假设条件。
方差分析的假设包括正态性假设、方差齐性假设和独立性假设。
正态性假设是指因变量在各组内呈正态分布；方差齐性假设是指各组的方差相等；独立性假设是指各组之间相互独立。
在进行方差分析前，我们需要对这些假设进行检验，以确保分析结果的可靠性。
在实际应用中，方差分析常常与其他统计方法结合使用，如回归分析、协方差分析等。
通过综合运用不同的统计方法，我们可以更全面地分析数据，得出更可靠的结论。
总之，方差分析是一种重要的统计方法，它可以用于比较多个组的平均值是否存在显著差异。
通过了解方差分析的基本原理、假设条件和应用范围，我们可以更好地应用这一方法，从而更准确地分析数据，得出科学的结论。
十章节方差分析
1 q
q j 1
ij
j
j
1 p
p
ij
j 1
,
ij (ij ) i j
称 为理论总均值， 表达所考虑旳 pq个总体
数学期望旳总平均；称i为原因 A 旳第i 个水平
Ai 对试验成果旳效应； 称 j为原因 B 旳第 j个 水平 Bj 对试验成果旳效应。 ij 反应了水
平搭配 Ai Bj 对试验成果旳总效应， ij 是总效
)
(
p
1)(q
1)
2
r
2 ij
i1 j1
定理15.5 对模型(**)有
(1) SE , SA , SB , SAB相互独立。
(2)
SE
2
～
2
(
pq(r
1)).
(3)
当H
成立时，
01
SA
2
～ 2( p 1).
(4)
当H
成立时，
02
SB
2
～
2(q 1).
(5)
当H
成立时，
03
S AB
2
～ 2(( p 1)(q 1)).
E(SE ) ( p 1)(q 1) 2
p
E(SA
)
(
p
1)
2
q
2 i
i 1
q
E(SB)
(q 1)
2
p
2 j
j1
定理15.3 对模型(**)有
(1) SE , SA , SB相互独立。
(2)
SE
2
～
2 ((
p
1)(q
1)).
(3)
当H
成立时，
课件方差分析
例子2
五个商店以各自的销售方式卖出新型健身器， 连续五天各商店健身器的销售量如下表所示。销 售量服从正态分布，且具有方差齐性，试考察销 售方式对销售量有无显著影响，并对销售量作两 两比较。
双因素方差分析假设
双因素方差分析数据结构表
双因素方差分析表
双因素方差分析SPSS界面
例子１
例子２
西方国家有一种说法，认为精神病与月亮有关，月 圆时，人盯着州亮看，看得太久，就会得精神病。中医 也有一种说法，认为精神病与季节有关，特别是春季， 人最容易得精神病。为了检验这两种说法是否有道理， 对某地平均每日精神病发病人数统计如下：
SSR与MSR
组间差异（组间平方和，简称SSR）： 各组平均值与总平均值离差的平方和， 反映了各水平之间的差异程度或不同 的处理造成的差异。
组间均方: MSR= SSR /(自由度k-l)
SSE与MSE
组内差异（组内平方和、残差平方和， 简称SSE）： 每个样本数据与其组平均值离差的平方和， 反映了随机误差造成差异的大小。
例子２
Байду номын сангаас
单因素练习1
某饮料生产企业研制出一种新型饮料。饮料的颜色共 有四种，分别为桔黄色、粉色、绿色和无色透明。随机从 五家超级市场上收集了前一期该种饮料的销售量。
问：饮料的颜色是否对销售量产生影响。
超市 1 2 3 4 5
无色 26.5 28.7 25.1 29.1 27.2
粉色 桔黄色 绿色 31.2 27.9 30.8 28.3 25.1 29.6 30.8 28.5 32.4 27.9 24.2 31.7 29.6 26.5 32.8
概述 方差分析的分类
方差分析按所涉及因素的多少可分为： 单因素方差分析 双因素方差分析 多因素方差分析
方差分析_精品文档
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2.2 组内观测次数相等的方差分析 K组处理中，每一处理皆有n个观测值，其方
差分析方法同前。
表5. 组内观测次数相等的单因素方差分析
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45
例2.测定东北、内蒙古、河北、安徽、贵 州五个地区冬季针矛的长度，每个地区
随机抽取4个样本，测定结果如表示，试 比较各地区针毛长度差异显著性。
27
其中平均数差数标准误计算公式：
s x1x2
s12s22 n1 n2
se2(n11n12)
当n1=n2时，sx1x2
2se2 n
s e 2 为处理内误差方差，n为每一处理观察次数。
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例1. 表1. 氨氮含量(ppm)
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根据例1， s 2se2 2*9.112.13
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1.4.1 平方和的分解 总平方和=处理间平方和+处理内平方和
SSTSSt SSe
k
S S T 1
n(x x )2x 2 ( x )2x 2 T 2
1
k n
k n
令 C T 2 ，
kn
SST x2C
SSt =
Ti2 C n
SSe SSTSSt
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例如，分析不同施肥量是否给农作物产
量带来显著影响，考察地区差异是否影 响妇女的生育率，研究学历对工资收入 的影响等。这些问题都可以通过单因素 方差分析得到答案。
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• 单因素方差分析的第一步是明确观测变 量和控制变量。例如，上述问题中的观
【管理】方差分析-教案
方差分析教案章节一：方差分析简介1.1 方差分析的概念方差分析的定义方差分析的应用场景1.2 方差分析的数学原理方差的定义离差平方和与总平方和的计算1.3 方差分析的假设条件随机样本的独立性正态分布同方差性章节二：单因素方差分析2.1 单因素方差分析的步骤数据收集与整理计算各组的均值和方差计算总平方和、组内平方和和组间平方和计算F统计量和P值2.2 单因素方差分析的判断标准F统计量的分布P值的含义拒绝原假设的条件2.3 单因素方差分析的应用案例比较不同品牌的广告效果分析不同地区的销售数据章节三：多因素方差分析3.1 多因素方差分析的类型完全随机设计方差分析随机区组设计方差分析析因设计方差分析3.2 多因素方差分析的步骤数据收集与整理计算各组的均值和方差计算总平方和、组内平方和和组间平方和计算F统计量和P值3.3 多因素方差分析的判断标准F统计量的分布P值的含义拒绝原假设的条件章节四：协方差分析4.1 协方差分析的概念协方差的定义协方差分析的目的4.2 协方差分析的步骤数据收集与整理计算各组的均值和方差计算协方差计算F统计量和P值4.3 协方差分析的应用案例分析不同年龄段、性别的销售数据研究不同治疗方法的疗效差异章节五：方差分析的软件操作5.1 SPSS软件进行方差分析SPSS软件的安装与操作界面数据导入与变量设置方差分析操作步骤5.2 R软件进行方差分析R软件的安装与操作界面数据导入与变量设置方差分析函数与步骤章节六：重复测量的方差分析6.1 重复测量方差分析的概念重复测量设计的定义重复测量方差分析的目的6.2 重复测量方差分析的步骤数据收集与整理计算各时间点的均值和方差计算重复测量误差方差计算组间平方和和组内平方和计算F统计量和P值6.3 重复测量方差分析的应用案例研究药物在不间点的疗效差异分析学生在不同学期间的学业成绩变化章节七：非参数方差分析7.1 非参数方差分析的概念非参数方差分析的定义非参数方差分析的适用场景7.2 非参数方差分析的方法秩和检验中位数比较非参数方差分析软件操作7.3 非参数方差分析的应用案例比较两个独立样本的成绩分布章节八：方差分析的扩展8.1 方差分析的衍生方法协方差结构分析多维方差分析混合效应模型分析8.2 方差分析的改进方法加权最小二乘法广义估计方程贝叶斯方差分析8.3 方差分析在实际应用中的挑战数据不符合正态分布样本量较小缺失数据处理章节九：方差分析的实践应用9.1 方差分析在市场营销中的应用产品定价策略分析广告投放效果评估客户满意度调查分析9.2 方差分析在医学研究中的应用临床试验疗效分析疾病危险因素分析医疗质量评估9.3 方差分析在其他领域的应用教育领域：比较不同教学方法的成效农业领域：分析不同种植方法的产量差异章节十：方差分析的评估与报告10.1 方差分析的结果评估统计显著性判断效应大小评估结果稳定性分析报告结构与内容结果呈现与解释局限性与建议重点和难点解析重点环节一：方差分析的假设条件方差分析的假设条件是正态分布、同方差性和随机样本独立性。
方差分析介绍课件
03 方差分析可以应用于各种 类型的数据，包括定量数 据和定性数据。
04 方差分析的结果可以提供 关于数据分布和差异的详 细信息，从而帮助研究人 员更好地理解数据。
方差分析的应用场景
比较不同组别的均值差异 检验多个总体的方差是否相等 研究因素对结果的影响程度 评估实验结果的可靠性和准确性
方差分析的假设条件
02
方差齐性：各组方差相等
03
独立性：数据点之间相互独立
04
线性关系：因变量与自变量之间存在线性关系
3
方差分析的结果解释
方差分析的结论
01
01
方差分析可以检验不同组别之 间的差异是否显著
02
02
方差分析可以确定哪些组别之 间的差异是显著的
03
03
方差分析可以帮助我们确定哪 些因素对结果有显著影响
04
04
方差分析可以帮助我们确定哪 些因素对结果的影响程度最大
方差分析的局限性
假设条件：方差分析需要满 足一系列假设条件，如正态 性、方差齐性等，不满足假 设条件可能导致结果不准确。
线性关系：方差分析只能 处理线性关系，对于非线 性关系，需要进行适当的 数据转换。
多重比较：方差分析只能 比较各组间的平均差异， 无法进行多重比较，需要 进一步进行事后检验。
混杂因素：方差分析无法 控制混杂因素的影响，可 能导致结果不准确。
方差分析的实际应用
比较不同组别的 平均数差异
检验不同组别的 方差是否相等
确定影响因素的 主次顺序
预测和控制实验 结果
优化生产过程和 改进产品质量
评估市场调研结果 和制定营销策略
谢谢
02ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
计算组内方差： 将各组数据分别 进行平方和计算， 然后除以组内数 据个数，得到组 内方差。
方差分析的基础知识讲解
5.做出推论：统计学结论？？
专业结论？？
方差分析
18
方差分析
7
第二节 成组设计的多个样本均数比较 （单因素方差分析）
某社区随机抽取糖尿病患者、IGT异常 和正常人共30人进行载蛋白测定，结果如 下，问3种人的载蛋白有无差别？
方差分析
8
方差分析
9
各种符号的意义：
Xij第i 个组的第j 个观察值 I=1,2,…k J=1,2,…ni ni第i 个处理组的例数 ∑ni=N Xi = X=
三者之间的关系： SS总= SS组内+ SS组间 总= 组内+ 组间
方差分析
SS组间 组间 MS组间
12
方差分析
13
计算：
变异来源 SS
MS
F
P
组间
2384.03
2
组内
5497.84
总பைடு நூலகம்
7811.87 29
方差分析
14
四、方差分析的步骤
1.建立假设 H0 ：1 = 2 = 3 =…. H1 ：？？总体均数不全相等
方差分析的基础知识讲解
方差分析
1
四组不同摄入方式病人的血浆游离吗啡水平
静脉点滴 肌肉注射 皮下注射
12
12
9
10
16
7
7
15
6
8
9
11
9
7
14
均数
10
13
8
请大家用学过的统计学方法进行解决
口服
12 8 8
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E(SB)(q1)2pj2
j1
定理15.3 对模型(**)有
(1) SE,SA,SB相互独立。
(2) SE 2～ 2((p1)q (1)).
(3) 当 H 0成 1 立 S A 2～时 2(p， 1 ). (4) 当 H 0成 2 立 S B 2～时 2(q， 1).
pqi1 j1
ij,
i i q 1jq1ij
j j
1p pj1
ij ,
ij (ij)ij
称 为理论总均值， 表示所考虑的 pq个总体
数学期望的总平均；称 i 为因素 A的第i个水平
A i 对试验结果的效应； 称 j为因素 B的第 j个
p
SAqr (xi x)2
q
SBpr (xj x)2
i1
j1
pq
SA Br (xijxixjx)2
i 1j 1
其中
x
1p pqri1
qr j1k1
xijk
xij
1 r r k1
xijk
1 q r
xi
rqj1
且相互独立，即 x i jk i ji, j i k 1 , , p , j 1 , , q , k 1 , , r
其中ij～k N(0,2).令
1 p q
pqi1 j1
ij,
i i q 1jq1ij
j j
1p pj1
ij ,
ij (ij)ij
则所讨论的双因素方差分析的数学模型可表示为
xijk i j ij ijk
ijk～ N(0,2)且ijk相互独立
i 1,, p; j 1,,q;k1,,r
（***）
p
q
p
q
i1i
产生的交互效应，因此在这里假定ij 0。这样
所讨论的双因素方差分析的数学模型可表示为
xij i j ij
～
ij
N(0,
2
)且
相互独立
ij
i 1,, p; j 1,,q
p
q
i和
满足
j i1
i
0,
j1
j
0.
（**）
因素的不同水平效应 j 的差异所引起的波动。
由于
E (n S E p )2 ,E (p S A 1 )2 p 1 1 j p 1 n j j2
当 H 0 成立时，
E SA E SE 1 p1 np
当
H
0
不成立时，
E SA p1
水平 B j 对试验结果的效应。 ij 反映了水
平搭配 Ai Bj对试验结果的总效应， ij 是总效
B
j 的效应
，因此
j
ij
实际上表示的是水平搭配 Ai Bj对试验结果的
交互效应。 但由于两个因素各个水平的搭配只
进行了一次试验，分析不出不同的水平搭配所
H03: ij 0,i1,,p,j1,,q
为了检验这些假设检验问题，将总离差平方
和进行分解有
这里
S T S E S A S B S A B
pq r
pq r
ST
(xijkx)2 SE
(xijkxij)2
i1 j1k1
i1 j1k1
所考虑的假设检验问题变为
H 0 ： 12 p 0 ； H 1 ： 1 , ,p 不全
方差分析的任务就是选择的适当的统计量，
根据所获等的样本，对假设检验问题做出回答。
为此，令 p
n nj
j1
xj
1 nj
nj i1
xij,
j1,,p
---组平均值
xn 1j p1in j1xij n 1j p1njxj ---总平均值
pq
p
其中 ST (xijx)2 SAq(xi x)2
i1 j1
i1
pq
q
SE (xijxixjx)2 SB p (xj x)2
i1j1
j1
定理15.2 对模型(**)有
E (S E ) (p 1 )q ( 1 )2
p
E(SA)(p1)2q i2
pn j
p n j
S E (x ijxj)2 (ijj)2
j 1i 1
j 1i 1
pn j
p
S A (x jx )2 n j(jj)2
j 1i 1
j 1
其中 j
1 nj
nj
ij。
i 1 p nj
E (S E) E (ijj)2(np) 2
且 S A 与 S E相互独立。
因此当 H 0 成立时，根据定理有
F SA SE ～ F (p 1 ,n p ) p1 np
拒绝域为 W F : F F 1 ( p 1 , n p )
二、多因素试验方差分析
（一）无重复试验的方差分析(无交互效应) 设因素A有p个不同的水平： A1,A2, ,Ap,
因素B有q个不同的水平：B1,B2, ,Bq,对每个 可能的搭配Ai Bj进行一次独立试验，共获得 pq个试验结果 x i,ji 1 ,2 , ,p ,j 1 ,2 , ,q 并列 表如下：
A
A1 A2 Ap
B B 1 B 2 B q
x 11 x 12 x 1 q x 21 x 22 x 2 q x p 1 x p 2 x pq
因此，由定理可知，当 H 01 成立时， F A S E /S A p ( / p 1 ( ( ) q 1 ) (1 )～)F (p 1 ,(p 1 )q (1 ))
对给定的显著性水平 ，检验问题(1)拒绝域为
W A { F A : F A F 1 ( p 1 ( ) ( p , 1 ) q 1 ( ))
而当 H 02 成立时， F B S E /S B p (/ q 1 ( ( ) q 1 ) (1 )～)F ( q 1 ,(p 1 )q (1 ))
对给定的显著性水平 ，检验问题(2)拒绝域为
W B { F B : F B F 1 ( q 1 ( ) ( p , 1 ) q 1 ( ))
B A
B1
B2
B q
A 1 x11, 1 x1r1 x12, 1 x1r2 x1q1,x1qr A 2 x21, 1 x2r1 x22, 1 x2r2 x2q1,x2qr
A p xp11,xp1r xp21,xp2r xpq1,xpqr
假定 xij(k k1,2, ,r)来自正态分布 N(ij,2)，
平均值 xi
x 1 x 2 x p
平均值xj x1 x2 xq
x
假定 x ij 来自正态分布N(ij,2)，且相互独
立，即
x i j i j i,j i 1 , ,p ,j 1 , ,q
其中ij～ N(0,2).为了了解各因素的影响，令
1 p q
E SE 1 np
故当
H
成立时，
0
SA p 1
SE n
p
应与1相差不大，
而当
H
0
不成立时，
SA p 1
SE n
p
与1比较应有明
显偏大的趋势。 这样可用其作为检验统计量。
定理15.1 对模型(*)有
（1）
SE～ 2(np); 2
（2） 当
H
成立时，有
0
SA ～ 2(p1) 2
第十讲 方差分析
一、单因素试验方差分析 二、多因素试验方差分析 三、应用方差分析时应注意的几
个问题
一、单因素试验分差分析
因素： 影响试验结果的原因。 水平：试验中因素所处的不同状态。
设因素 A有 p个水平 A1,,Ap，假定在每个 水平A j 上，做 n j 次独立重复试验，其结果记为 x1j,x2j, ,xnjj且服从正态分布，即
（二）等重复试验的方差分析（交互效应） 设有两个因素 A和 B， 因素A有 p个不同的
水平A1,A2, ,Ap， 因素B有q个不同的水平 B1 , B2,,Bq, 这样共有 pq个不同的水平搭配 Ai Bj ( i 1 , ,p ; j 1 , ,q )对.每个搭配 Ai Bj，作r 次独立重复试验，共获得 npq个r观察值，列 表如下：
的效应为正；当 j 0时，称 A j 的效应为负。
这样所考虑的模型可改写为
x ii～jj N ( 0 ,j 2)ij(i 1 , ,n j;j 1 , ,p )（*）
其中各 ij 相互独立 ，,j,2是未知的参数，且
有 1 2 p 0
i 1j 1
定理15.5 对模型(**)有
(1) SE,SA,SB,SAB相互独立。
(2) SE 2～ 2(pq(r1)).
(3) 当 H 0成 1 立 S A 2～时 2(p， 1 ). (4) 当 H 0成 2 立 S B 2～时 2(q， 1).
(5) 当 H 0成 3 立 S A 2 B ～时 2 (p ( 1 ， )q ( 1 ))
p nj
ST (xijx)2 ---总变差(离差)平方和
j1 i1
p nj
SE (xijxj)2 ---组内(误差)平方和
j1 i1
p nj
p
SA (xjx)2 nj(xjx)2
j 1i 1
j 1
---组间平方和