高一数学抽象函数的奇偶性周期性对称性优秀教案2

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函数奇偶性的教学设计_2精选全文

可编辑修改精选全文完整版函数的奇偶性教材分析：函数的奇偶性是函数的重要性质，是对函数概念的深化。

教材从观察实例开始，先动手操作实验（沿Y轴折叠偶函数图象），再观察函数图象的对称性、分析函数值表格，逐步领悟图形（函数图象）对称、点（函数图象上的点）对称、数（纵坐标）相等、式（函数式）相等之间的关系。

在建立函数奇偶性的概念之后，应用定义判断简单函数的奇偶性，讨论函数图象的对称性。

教学内容较好地渗透了数形结合的思想方法。

教学内容在教材中的呈现方式是：观察日常生活中的对称现象（产生对“对称”的感性认识）→观察数学图形（具有对称性的函数图象）→动手操作（折叠）实验→再观察思考→对称性的定性描述→尝试定量刻画→建立函数的奇偶性定义→性质讨论→问题解决与应用→再探究与引申。

学情分析：从知识储备方面，首先，学生已经学习了一次函数、二次函数、反比例函数等基本初等函数，因此可以从这些特殊的函数出发，为学习函数奇偶性提供丰富的素材；其次，学生也已经学习了轴对称图形和中心对称图形，具备一定识图能力；最后，学生刚刚学习了函数单调性，已经积累了研究函数的基本方法和初步经验。

另外，由于学生缺乏独立研究问题的经验，在函数奇偶性概念的形成过程中，特别是由图形语言到数学符号语言的转化过程中还存在一定困难，需要老师加以引导。

教学目标：知识与技能：1、从数和形两个角度理解偶函数、奇函数的概念；2、会判断一些简单函数的奇偶性。

过程与方法：在经历从图形直观感知到代数抽象概括，从特殊到一般的概念形成过程中，提高观察抽象能力以及归纳概括能力，并体会数形结合的数学思想。

情感、态度和价值观：在函数奇偶性概念形成过程中体会数学的对称美。

教学重点和难点：重点是函数的奇偶性的概念及其建立过程，判断函数的奇偶性；难点是对函数奇偶性概念的理解与认识。

教学过程：一：创设情景，揭示课题在我们日常生活中，存在许多对称的事物，（展示日常生活中常见的对称现象）比如：建筑物、美丽的蝴蝶、美丽的蜻蜓、麦当劳的标志。

函数的奇偶性教案2篇

函数的奇偶性教案第一篇：函数的奇偶性教案目标：1. 了解函数的奇偶性的定义和性质。

2. 判断函数的奇偶性。

3. 通过练习题加深对函数的奇偶性的理解。

预计完成时间：1课时教学步骤：步骤一：引入话题（10分钟）教师可以用一个简单的问题引入话题，例如：你知道什么是函数的奇偶性吗？为什么需要关注函数的奇偶性？学生可以自由发言，激发学生们的兴趣。

步骤二：讲解奇偶性的概念（10分钟）教师简要讲解函数的奇偶性的概念，可以借助一些例子来说明。

奇函数和偶函数是对称的关系，奇函数关于y轴对称，而偶函数关于原点对称。

步骤三：奇偶性的判断方法（15分钟）教师讲解奇偶性的判断方法。

一般来说，对于一元函数，可以通过以下两种方法判断函数的奇偶性。

方法1：使用函数的定义式。

对于奇函数，f(-x)=-f(x)成立；对于偶函数，f(-x)=f(x)成立。

方法2：使用函数的图象。

对于奇函数，其图象关于原点对称；对于偶函数，其图象关于y轴对称。

步骤四：练习题（15分钟）教师提供一些练习题，让学生在纸上完成，然后进行讲解和讨论。

例如：1. 判断函数f(x)=x^3+3x^2-5x是否为奇函数。

2. 判断函数g(x)=2x^2-4是否为偶函数。

3. 利用函数的奇偶性，简化函数h(x)=5x^3-x^2+2x-1的图象。

步骤五：总结（10分钟）教师对本节课内容进行总结，并强调函数的奇偶性的重要性和应用。

第二篇：函数的奇偶性教案（续）目标：1. 掌握奇函数和偶函数的一些常见函数的性质。

2. 进一步加深对函数的奇偶性的理解。

3. 练习函数的奇偶性的判断和应用。

预计完成时间：1课时教学步骤：步骤一：引入话题（10分钟）教师可以复习上节课的内容，然后提问学生，你还记得什么是奇函数和偶函数吗？奇函数和偶函数有哪些性质？步骤二：常见函数的性质（15分钟）教师讲解一些常见函数的性质，例如：1. 幂函数：对于非负整数n，当n为奇数时，函数f(x)=x^n是奇函数；当n为偶数时，函数f(x)=x^n是偶函数。

2023年数学教案：数学 - 函数的对称性与周期性(精选3篇)

2023年数学教案：数学 - 函数的对称性与周期性（精选3篇）教案一：函数的对称性教学目标：1. 能够理解函数的对称性的概念。

2. 能够识别并绘制函数的对称轴。

3. 能够利用函数的对称性来简化计算和证明过程。

教学准备：1. 彩色粉笔或者白板笔2. 图形绘制工具（纸和铅笔或者计算机绘图软件）教学过程：步骤1：引入概念（5分钟）首先，教师可以引入函数的对称性概念。

可以使用具体的例子来说明，例如y = x²这个函数。

让学生观察这个函数的图像，并指出函数的对称轴在x轴上。

步骤2：识别对称轴（15分钟）然后，教师可以给学生更多的例子，让他们识别函数图像的对称轴。

可以使用不同类型的函数，如多项式函数、三角函数等。

步骤3：绘制对称轴（25分钟）现在，学生可以用纸和铅笔，或者计算机绘图软件，绘制给定函数的图像，并标出对称轴。

教师可以给予学生一份工作表，上面列有几个函数，要求学生绘制它们的图像和标出对称轴。

步骤4：应用对称性（15分钟）最后，教师可以给学生一些问题，让他们应用对称性来简化计算和证明过程。

例如，让学生证明一个函数在对称轴上的值是相等的，或者让他们通过给定函数的对称轴来求出其他点的函数值。

教学延伸：教师可以进一步探讨函数的奇偶性质与对称性的关系，以及函数的图像在对称轴两侧的关系。

教案二：函数的周期性教学目标：1. 能够理解函数的周期性的概念。

2. 能够识别函数的周期和周期的长度。

3. 能够利用函数的周期性来简化计算和证明过程。

教学准备：1. 彩色粉笔或者白板笔2. 图形绘制工具（纸和铅笔或者计算机绘图软件）教学过程：步骤1：引入概念（5分钟）首先，教师可以引入函数的周期性概念。

可以使用具体的例子来说明，例如y = sin(x)这个函数。

让学生观察这个函数的图像，并指出函数的周期为2π。

步骤2：识别周期（15分钟）然后，教师可以给学生更多的例子，让他们识别函数的周期和周期的长度。

可以使用不同类型的函数，如三角函数、指数函数等。

《函数的奇偶性与周期性》教案

《函数的奇偶性与周期性》教案教案：函数的奇偶性与周期性一、教学内容本节课主要内容为函数的奇偶性与周期性。

1.函数的奇偶性概念及判断方法；2.函数的周期性概念及判断方法；3.综合应用题。

二、教学目标1.理解函数的奇偶性的定义；2.掌握函数奇偶性的判断方法；3.了解函数周期的概念，掌握函数周期的判断方法；4.能够应用函数的奇偶性与周期性解决综合问题。

三、教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问与学生交流，引出函数的奇偶性与周期性的概念，比如“大家了解什么是函数的奇偶性吗？可以举几个例子来说明一下。

”“函数的周期性是什么意思呢？”等等。

2.讲解（25分钟）通过投影仪展示PPT，讲解函数的奇偶性与周期性的概念。

1)函数的奇偶性概念及判断方法：函数f(x)为奇函数，当且仅当对于任意x∈D，f(-x)=-f(x)；函数f(x)为偶函数，当且仅当对于任意x∈D，f(-x)=f(x)；判断奇偶性的方法为将函数代入定义进行验证。

2)函数的周期性概念及判断方法：函数f(x)的周期为T，当且仅当对于任意x∈D，有f(x+T)=f(x)；判断函数周期的方法为找出函数的一次性表达式，并将其化简为f(x+T)=f(x)。

3)综合应用题解析：通过一些例题的解析，让学生能够运用奇偶性和周期性的知识解决问题。

3.锻炼与拓展（20分钟）举一些例题进行训练，可以分小组进行讨论与比赛，以增加学生的参与度。

1)设f(x)是定义域为R的周期函数，且f(0)=3，f(1)=2，f(2)=4，f(3)=-1，f(4)=-2，f(5)=-4，求f(2005)的值。

2)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(2)=3，f(4)=-1，求f(x)的表达式。

3)设f(x)=x^3-3x，则f(x)是奇函数还是偶函数?。

4.巩固与评价（10分钟）布置一些练习题，要求学生自主完成，并互相批改答案，提升学生的综合应用能力。

1)设f(x)为周期函数，且f(x)=2x^2-x+1，周期为T，求T的值。

高中数学教案《函数的奇偶性

高中数学教案《函数的奇偶性》一、教学目标：1. 理解函数奇偶性的概念，掌握判断函数奇偶性的方法。

2. 能够运用函数奇偶性的性质解决实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

二、教学内容：1. 函数奇偶性的定义与判断方法2. 函数奇偶性的性质及应用3. 常见函数的奇偶性分析三、教学重点与难点：1. 函数奇偶性的定义与判断方法2. 函数奇偶性与图像的关系四、教学方法与手段：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探索函数奇偶性的性质。

2. 利用多媒体课件，展示函数奇偶性的图像，增强直观感受。

3. 开展小组讨论，促进学生之间的交流与合作。

五、教学过程：1. 导入新课：通过回顾初中阶段学习的函数图像，引导学生发现函数的奇偶性现象。

2. 讲解函数奇偶性的定义与判断方法：讲解函数奇偶性的定义，举例说明判断方法。

3. 探究函数奇偶性的性质：引导学生通过小组讨论，发现函数奇偶性与图像的4. 应用实例：分析生活中遇到的函数奇偶性问题，运用函数奇偶性解决问题。

教案示例：一、教学目标：1. 理解函数奇偶性的概念，掌握判断函数奇偶性的方法。

2. 能够运用函数奇偶性的性质解决实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

2. 利用多媒体课件，展示函数奇偶性的图像，增强直观感受。

3. 开展小组讨论，促进学生之间的交流与合作。

五、教学过程：1. 导入新课：通过回顾初中阶段学习的函数图像，引导学生发现函数的奇偶性现象。

2. 讲解函数奇偶性的定义与判断方法：讲解函数奇偶性的定义，举例说明判断3. 探究函数奇偶性的性质：引导学生通过小组讨论，发现函数奇偶性与图像的关系。

对称性(奇偶性)与周期性教学设计

对称性（奇偶性）与周期性教学设计作者：***来源：《广东教学报·教育综合》2020年第112期最近听了我校青年教師齐鹏飞的一节公开课，感觉课堂上得不错。

以下是课堂实录，并对其教学设计进行点评。

一、教学目标本节课是在复习了单调性、奇偶性、周期性及基本初等函数后的一节综合应用课。

本节课将利用数形结合的思想，引导学生思考、探究函数对称性与周期性的内在关系，以高考为出发点，培养学生数学抽象思维的核心素养。

二、学情分析学生对函数对称性有了基本的了解，但缺乏深入的研究，抽象能力弱，对问题中隐含的“对称性”不能正确理解、区分、运用，其原因是学生不能将符号化语言转化为图形语言。

三、教学重点函数对称性性质综合应用和符号化语言的转化。

四、教学难点通过掌握函数对称性性质描述性语言和符号语言之间的转化，来解决问题。

五、知识点梳理探究4：由上例，我们可以发现当函数图像同时关于两条x=a，x=b直线对称时，函数具有周期性？是否能给出一个一般性结论？探究5：同样的思路，我们是否能给出当函数图像关于（a，0），（b，0）两个点对称时，函数也具有周期性的结论？八、归纳要点（1）函数的对称性与周期性的关系①若函数f（x）关于直线x=a与直线x=b对称，那么函数的周期是2|b-a|.②若函数f（x）关于点（a，0）对称，又关于点（b，0）对称，那么函数的周期是2|b-a|.③若函数f（x）关于直线x=a对称，又关于点（b，0）对称，那么函数的周期是4|b-a|.（2）函数的奇偶性、对称性与周期性的关系①函数f（x）是偶函数，函数图像关于直线x=a对称，那么函数的周期是2|a|.②函数f（x）是奇函数，函数图像关于点（a，0）对称，那么函数的周期是2|a|.③函数f（x）是奇函数，函数图像关于直线x=a对称，那么函数的周期是4|a|.④函数f（x）是偶函数，函数图象关于点（a，0）对称，那么函数的周期是4|a|.点评：本节课设计合理，教学中突出了重点，突破了难点。

函数的奇偶性、周期性和对称性教案

函数的奇偶性、对称性、周期性年级：高中课本: 人教版A 章节: 第三章课次: 时长: 2小时课程主题：函数的奇偶性、对称性、周期性教学目标：1. 识记奇、偶性的有关性质，能用奇偶函数的有关性质解题，会解释函数奇偶性与单调性的关系；2. 理解函数的周期性的概念，明确它们在研究函数中的作用和功能．教学重点：解决综合利用函数的性质解决有关问题教学难点：函数的单调性与奇偶性、周期性的综合应用教学过程一、复习预习1．理解函数的单调性，会讨论和证明一些简单的函数的单调性；理解函数奇偶性的含义，会判断简单的函数奇偶性。

2．理解函数的最大（小）值及其几何意义，并能求出一些简单的函数的最大（小）值。

3．会运用函数图像理解和研究函数的性质。

二、知识讲解考点1：奇、偶函数的概念和性质1．奇、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．2．奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．(2)在公共定义域内：①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积都是偶函数；③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数．考点2：函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期考点3：函数的性质归纳一条规律：奇、偶函数的定义域关于原点对称．（函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．）两个性质：(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.(2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．三种方法判断函数的奇偶性，一般有三种方法：(1)定义法；(2)图像法；(3)性质法．三条结论(1)若对于R 上的任意的x 都有f(2a －x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a ＋x)，则y ＝f(x)的图象关于直线x ＝a 对称．(2)若对于R 上的任意x 都有f(2a －x)＝f(x)，且f(2b －x)＝f(x)(其中a ＜b)，则：y ＝f(x)是以2(b －a)为周期的周期函数．(3)若f(x ＋a)＝－f(x)或1()()f x a f x += 或1()()f x a f x +=-，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T ＝2a ；(3)若f(x ＋a)＝f(x ＋b)(a ≠b)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T ＝2|a －b|.三、例题精析【例题1】下列函数：①f(x)＝ 1－x2＋ x2－1；②f(x)＝x3－x ；③f(x)＝ln(x ＋x2＋1)；④f(x)＝3x －3－x 2；⑤f(x)＝lg 1－x 1＋x.其中奇函数的个数是( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D【解析】①f(x)＝1－x2＋x2－1的定义域为{－1,1}，又f(－x)＝±f(x)＝0，则f(x)＝1－x2＋x2－1是奇函数，也是偶函数；②f(x)＝x3－x 的定义域为R ，又f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－(x3－x)＝－f(x)，则f(x)＝x3－x 是奇函数；③由x ＋x2＋1>x ＋|x|≥0知f(x)＝ln(x ＋x2＋1)的定义域为R ，又f(－x)＝ln(－x ＋－x 2＋1)＝ln1x ＋x2＋1＝－ln(x ＋x2＋1)＝－f(x)，则f(x)为奇函数； ④f(x)＝3x －3－x 2的定义域为R ，又f(－x)＝3－x －3x 2＝－3x －3－x 2＝－f(x)，则f(x)为奇函数；⑤由1－x 1＋x >0得－1<x<1，f(x)＝ln 1－x 1＋x的定义域为(－1,1)，又f(－x)＝ln1＋x 1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x －1＝－ln 1－x 1＋x ＝－f(x)，则f(x)为奇函数．【例题2】已知f(x)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12(x ≠0)． (1)判断f(x)的奇偶性；(2)证明：f(x)＞0.【答案】（1）f(x)是偶函数；（2）见解析【解析】(1)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)∵f(x)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12＝x 2·2x ＋12x －1. ∴f(－x)＝－x 2·2－x ＋12－x －1＝x 2·2x ＋12x －1＝f(x)．故f(x)是偶函数．(2)证明当x ＞0时，2x ＞1,2x －1＞0，所以f(x)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12＞0. 当x ＜0时，－x ＞0，所以f(－x)＞0，又f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，所以f(x)＞0.综上，均有f(x)＞0.四、课堂运用【基础】1. 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝4－x2|x ＋3|－3； (2)f(x)＝x2－|x －a|＋2.【答案】（1）所以f(x)是奇函数；（2）当a ＝0时，所以f(x)是偶函数；当a ≠0时，f(x)既不是偶函数也不是奇函数．【解析】(1)解不等式组⎩⎨⎧ 4－x2≥0，|x ＋3|－3≠0，得－2≤x<0，或0<x ≤2，因此函数f(x)的定义域是[－2,0)∪(0,2]，则f(x)＝4－x2x. f(－x)＝4－－x2－x ＝－4－x2x ＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．(2)f(x)的定义域是(－∞，＋∞)．当a ＝0时，f(x)＝x2－|x|＋2，f(－x)＝x2－|－x|＋2＝x2－|x|＋2＝f(x)．因此f(x)是偶函数；当a ≠0时，f(a)＝a2＋2，f(－a)＝a2－|2a|＋2，f(－a)≠f(a)，且f(－a)≠－f(a)．因此f(x)既不是偶函数也不是奇函数．2.已知奇函数f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]内递减，求满足：f(1－m)＋f(1－m2)＜0的实数m 的取值范围．【答案】－1≤m ＜1.【解析】 ∵f(x)的定义域为[－2,2]，∴有⎩⎨⎧ －2≤1－m ≤2，－2≤1－m2≤2，解得－1≤m ≤ 3.①又f(x)为奇函数，且在[－2,0]上递减，∴在[－2,2]上递减，∴f(1－m)＜－f(1－m2)＝f(m2－1)⇒1－m ＞m2－1，即－2＜m ＜1.②综合①②可知，－1≤m ＜1.【巩固】1.设)(x f 是定义在),(+∞-∞上以2为周期的周期函数，且)(x f 是偶函数，在区间[]3,2上，.4)3(2)(2+--=x x f 求[]2,1∈x 时，)(x f 的解析式. 【答案】).21(4)1(2)(2≤≤+--=∴x x x f 【解析】当[]2,3--∈x ，即[]3,2∈-x ，4)3(24)3(2)()(22++-=+---=-=x x x f x f又)(x f 是以2为周期的周期函数，于是当[]2,1∈x ，即243-≤-≤-x 时， []).21(4)1(243)4(2)()4()(22≤≤+--=++--=⇒-=x x x x f x f x f 有2、设函数)(x f 对任意实数x 满足)2()2(x f x f -=+，=+)7(x f,0)0()7(=-f x f 且判断函数)(x f 图象在区间[]30,30-上与x 轴至少有多少个交点.【答案】在闭区间[]30,30-上)(x f 图象与x 轴至少有13个交点.【解析】（由题设知函数)(x f 图象关于直线2=x 和7=x 对称，又由函数的性质得)(x f 是以10为周期的函数.在一个周期区间[)10,0上，).21(4)1(2)(2≤≤+--=∴x x x f,)(0)0()22()22()4(,0)0(不能恒为零且x f f f f f f ==-=+==故)(x f 图象与x 轴至少有2个交点.而区间[)30,30-有6个周期，故在闭区间上图象与轴至少有13个交点.【拔高】1、已知f(x)是R 上的偶函数，对R x ∈都有f(x ＋6)=f(x)＋f(3)成立，若f(1)=2，则f(2007)=_________.【答案】0【解析】(6)()(3)f x f x f +=+令x=-3，则f(-3+6)=f(-3)+f(3)，即f(3)=f(-3)+f(3),又∵f(x)为偶函数∴f(3)=f(3)+f(3)，解得f(3)=0.∴f(x+6)=f(x)，即函数f(x)的周期为6.因为2007÷6=334 (3)所以f(2007)=f(3)=0.课程小结【问题研究】函数的奇偶性、单调性、周期性是函数的三大性质，它们之间既有区别又有联系，高考作为考查学生综合能力的选拔性考试，在命题时，常常将它们综合在一起命制试题.【解决方案】根据奇偶性的定义知，函数的奇偶性主要体现为f－x 与f x 的相等或相反关系，而根据周期函数的定义知，函数的周期性主要体现为fx ＋T 与f x 的关系，它们都与f x 有关，因此，在一些题目中，函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到.函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律，因此，在解题时，[]30,30-)(x f x往往需借助函数的奇偶性或周期性来确定函数在另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性来解决相关问题.课后作业【基础】1.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )．A．f(－25)＜f(11)＜f(80) B．f(80)＜f(11)＜f(－25)C．f(11)＜f(80)＜f(－25) D．f(－25)＜f(80)＜f(11)【答案】D【解析】由函数f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是增函数可以推知，f(x)在[－2,2]上递增，又f(x－4)＝－f(x)⇒f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，故函数f(x)以8为周期，f(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)＝－f(3－4)＝f(1)，f(80)＝f(0)，故f(－25)＜f(80)＜f(11)．故选D.【巩固】2.已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)的值．【答案】（1）见解析（2）f(x)＝f(2－x)＝22－x －1，x ∈[1,2]（3）f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)=1【解析】(1)证明函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，函数f(x)的图象关于x ＝1对称，则f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝f[(2＋x)＋2]＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数．(2) 当x ∈[1,2]时，2－x ∈[0,1]，又f(x)的图象关于x ＝1对称，则f(x)＝f(2－x)＝22－x －1，x ∈[1,2]．(3) ∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1又f(x)是以4为周期的周期函数．∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)＝f(2 012)＋f(2 013)＝f(0)＋f(1)＝1.【拔高】3．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x ＋2)＝－f(x)，当0≤x ≤1时，f(x)＝x.(1)求f(π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f(x)的图象与x 轴所围成图形的面积；(3)写出(－∞，＋∞)内函数f(x)的单调增(或减)区间．【答案】（1）f(π)＝π－4（2）S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4. （3）函数f(x)的单调递增区间为[4k －1,4k ＋1](k ∈Z)，单调递减区间[4k ＋1,4k ＋3](k ∈Z)）【解析】(1)由f(x ＋2)＝－f(x)得，f(x ＋4)＝f[(x ＋2)＋2]＝－f(x ＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f(x)是奇函数与f(x ＋2)＝－f(x)，得：f[(x －1)＋2]＝－f(x －1)＝f[－(x －1)]，即f(1＋x)＝f(1－x)．故知函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝1对称．又0≤x ≤1时，f(x)＝x ，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．当－4≤x ≤4时，f(x)的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4. (3)函数f(x)的单调递增区间为[4k －1,4k ＋1](k ∈Z)，单调递减区间[4k ＋1,4k ＋3](k ∈Z)．。

函数奇偶性性优质教案

函数奇偶性性优质教案教案标题：函数奇偶性性优质教案教案目标：1. 理解函数奇偶性的概念及其在函数图像中的表现。

2. 能够判断给定函数的奇偶性。

3. 掌握函数奇偶性的性质和运算规律。

4. 能够应用函数奇偶性解决实际问题。

教学准备：1. 教师准备：黑板、白板、彩色粉笔/白板笔、教学PPT、练习题、答案解析。

2. 学生准备：课本、笔记本、铅笔、直尺、计算器。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用一道数学问题或例题引入函数奇偶性的概念，激发学生的学习兴趣。

二、知识讲解（15分钟）1. 通过教学PPT或黑板，简明扼要地介绍函数奇偶性的概念及其在函数图像中的表现。

2. 引导学生观察奇函数和偶函数的特点，并给出几个简单的例子进行说明。

三、示范演示（15分钟）1. 通过几个典型的函数例子，演示如何判断函数的奇偶性。

2. 强调判断函数奇偶性的关键是观察函数的定义域和函数表达式中的幂次。

四、练习与讨论（20分钟）1. 分发练习题，让学生自主完成。

2. 引导学生互相讨论解题思路和方法，及时纠正错误。

五、总结归纳（10分钟）1. 整理学生的讨论成果，总结函数奇偶性的性质和运算规律。

2. 强调函数奇偶性在解决实际问题中的应用。

六、拓展延伸（10分钟）1. 提供一些拓展题目，让学生进一步巩固和应用函数奇偶性的知识。

2. 鼓励学生思考函数奇偶性与其他数学概念之间的联系。

七、作业布置（5分钟）1. 布置适量的作业，要求学生运用函数奇偶性解决实际问题。

2. 强调作业的重要性，并提供答案解析供学生参考。

教学反思：通过本节课的教学，学生能够全面了解函数奇偶性的概念和性质，并能够熟练判断函数的奇偶性。

通过练习和讨论，学生的问题解决能力和合作意识得到了提高。

在拓展延伸环节，学生也有机会将函数奇偶性与其他数学概念进行联系，培养了他们的综合思考能力。

同时，通过作业的布置和答案解析，学生可以进一步巩固和应用所学知识。

整体而言，本节课的教学效果较好。

函数的奇偶性和周期性教案

函数的奇偶性和周期性教案教案：函数的奇偶性和周期性教学目标：1.理解函数的奇偶性和周期性的概念；2.掌握判断函数的奇偶性和周期性的方法；3.能够应用奇偶性和周期性的性质解决实际问题。

教学内容：1.函数的奇偶性1.1奇函数的定义：如果对于函数f(x)，当x属于定义域时，有f(-x)=-f(x)，则称函数f(x)为奇函数。

1.2判断函数的奇偶性方法：1.2.1通过函数的解析式判断，如果函数解析式中只包含奇数次幂的项，则函数为奇函数。

1.2.2通过函数的图像判断，如果函数关于原点对称，则函数为奇函数。

2.函数的周期性2.1周期函数的定义：如果存在正数T，使得对于函数f(x)，当x属于定义域时，有f(x+T)=f(x)，则称函数f(x)为周期函数，T称为函数的周期。

2.2周期函数的性质：2.2.1周期函数的图像在一个周期内具有相同的性质，如极值点、零点等。

2.2.2 如果函数f(x)是周期为T的周期函数，则f(ax)是周期为T/，a，的周期函数，其中a是非零常数。

教学过程：1.引入函数的奇偶性和周期性的概念，通过例子说明函数的奇偶性和周期性的特点。

2.讲解奇函数的定义，通过例题让学生判断函数的奇偶性。

3.讲解周期函数的定义，通过例题让学生判断函数的周期性。

4.教师带领学生进行小组合作，给定一些函数，要求学生判断其奇偶性和周期性，并给出相应的理由。

5.学生展示自己的判断过程，教师进行点评和指导。

6.学生独立进行练习，通过解答问题和绘制函数图像等方式应用奇偶性和周期性的性质解决实际问题。

7.教师进行总结，概括函数的奇偶性和周期性的判断方法和应用技巧。

教学资源：1.函数的奇偶性和周期性的教学PPT；2.例题和练习题。

评估与反馈：1.课堂练习：提供一些函数，要求学生判断其奇偶性和周期性，并给出相应的理由。

2.课后作业：布置一些与奇偶性和周期性相关的练习题，要求学生独立完成，并在下节课上进行讲解和答疑。

拓展延伸：2.进一步应用函数的奇偶性和周期性解决实际问题，如求解方程、优化问题等；。

《函数的奇偶性、周期性、对称性》学历案

《函数的奇偶性、周期性、对称性》学历案一、学习目标1、理解函数奇偶性、周期性和对称性的概念。

2、掌握判断函数奇偶性、周期性和对称性的方法。

3、能够运用函数的奇偶性、周期性和对称性解决相关问题。

二、学习重难点1、重点（1）函数奇偶性、周期性和对称性的定义和性质。

（2）利用定义和性质判断函数的奇偶性、周期性和对称性。

2、难点（1）函数奇偶性、周期性和对称性的综合应用。

（2）抽象函数中奇偶性、周期性和对称性的判断与应用。

三、知识梳理1、函数的奇偶性（1）奇函数：对于函数\（f(x)＼）的定义域内任意一个\（x\），都有\（f(x)＝ f(x)＼），则称函数\（f(x)＼）为奇函数。

（2）偶函数：对于函数\（f(x)＼）的定义域内任意一个\（x\），都有\（f(x)＝ f(x)＼），则称函数\（f(x)＼）为偶函数。

（3）奇偶性的判定方法①定义法：首先判断函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，则函数是非奇非偶函数；如果对称，再判断\（f(x)＼）与\（f(x)＼）或\（f(x)＼）的关系。

②图象法：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于\（y\）轴对称。

2、函数的周期性（1）周期函数：对于函数\（y ＝ f(x)＼），如果存在一个不为零的常数\（T\），使得当\（x\）取定义域内的每一个值时，＼（f(x ＋ T)＝ f(x)＼）都成立，那么就把函数\（y ＝ f(x)＼）叫做周期函数，周期为\（T\）。

（2）常见函数的周期①函数\（y ＝ A\sin(＼omega x ＋＼varphi)＼），＼（y ＝A\cos(＼omega x ＋＼varphi)＼）的周期\（T ＝＼frac{2\pi}｛＼omega}＼）。

②函数\（y ＝ A\tan(＼omega x ＋＼varphi)＼）的周期\（T ＝＼frac{＼pi}｛＼omega}＼）。

3、函数的对称性（1）轴对称①函数\（f(x)＼）关于直线\（x ＝ a\）对称，则\（f(a ＋ x) ＝ f(a x)＼），或\（f(x) ＝ f(2a x)＼）。

2022年教学教材《2021高中一轮数学学案函数的奇偶性、周期性与对称性》优秀教案

第7讲函数的奇偶性、周期性与对称性【课程要求】1．理解函数奇偶性的概念，了解函数周期性的定义，判断函数的奇偶性．2．利用函数奇偶性、周期性求函数值及参数值．3．掌握函数的单调性与奇偶性的综合应用．【根底检测】错误!1．判断下面结论是否正确请在括号中打“√〞或“×〞1函数＝2，∈0，＋∞是偶函数．2偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．3如果函数f，g为定义域相同的偶函数，那么F＝f＋g是偶函数．4假设函数＝f＋a是偶函数，那么函数＝f关于直线＝a对称．5假设T是函数的一个周期，那么nTn∈Z，n≠0也是函数的周期．[答案] 1×2×3√4√5√错误!2．[必修1＝a－t，g min＝b－t∵g ma＋g min＝0，∴a＋b－2t＝0，即2－2t＝0，解得t＝1a[答案] 1[小结]函数奇偶性可以解决以下问题：1求函数值，将待求值利用奇偶性转化为区间上的函数值求解；2画函数图象，利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象．3求函数解析式：①将所求解析式自变量的范围转化为解析式中自变量的范围；②将转化后的自变量代入解析式；③利用函数的奇偶性求出解析式．4求参数值：在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f－＝－f或偶函数满足f－＝f列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：假设能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f0＝0列式求解，假设不能确定那么不可用此法．[注意]利用“奇函数在关于原点对称的区间上有最值，那么f ma＋f min＝0〞的性质解决有关最值问题．3．函数＝f是R上的奇函数，当0时，f＝A．－2 B．2－C．－2－D．2[解析] 当>0时，－0时，f－＝2－∵f是R上的奇函数，∴当>0时，f＝－f－＝－2－[答案] C4．假设函数f＝n＋错误!为偶函数，那么a＝__________．[解析] ∵f＝n＋错误!为偶函数，∴f－＝f，即－n错误!－＝n＋错误!，从而n[错误!2－2]＝0，即n a＝0，故a＝1[答案] 1错误!函数的周期性与对称性及应用例31设函数f∈R满足f＋π＝f＋in ．当0≤＜π时，f＝0，那么f错误!＝C．0 D．－错误![解析] ∵f＋2π＝f＋π＋in＋π＝f＋in －in ＝f，∴f的周期T＝2π，又∵当0≤＜π时，f＝0，∴f错误!＝0，∴f错误!＝f错误!＋in错误!＝0，∴f错误!＝错误!，∴f错误!＝f错误!＝f错误!＝错误![答案] A2函数f与函数g＝－12的图象关于轴对称，假设存在a∈R，使∈[1，m]m>1时，f＋a≤4成立，那么m的最大值为A．3 B．6 C．9 D．12[解析] 由于函数f与函数g＝－12的图象关于轴对称，因此f＝＋12，由f＋a≤4得＋a＋12≤4，把＝1代入得－4≤a≤＝0时，＋12≤4，解得＝1，当a＝－4时，－32≤4，解之得1≤≤9，因此m的最大值为9 [答案] C3对函数f，在使f≥M成立的所有常数M中，我们把M的最大值叫做函数f的下确界．现定义在R上的偶函数f满足f1－＝f1＋，当∈[0，1]时，f＝－32＋2，那么f的下确界为A．2 B．1 C．0 D．－1[解析] 由题意知，f的周期为2，画出函数f在R上的局部图象如下图，易得下确界为－[答案] D[小结]1判断函数的周期性只需证明f＋T＝fT≠0即可，且周期为T2根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．3在解决具体问题时，要注意结论“假设T是函数的周期，那么T∈Z且≠0也是函数的周期〞的应用．4函数周期性的三个常用结论a>0：①假设f＋a＝－f，那么T＝2a，②假设f＋a＝错误!，那么T＝2a，③假设f＋a＝－错误!，那么T＝2a5函数对称性代数表示：函数f为奇函数⇔f＝－f－，函数f为偶函数⇔f＝f－定义域关于原点对称；函数f关于点a，b对称⇔f＋f－＋2a＝2b，函数f关于直线＝m对称⇔f＝f－＋2m．5．奇函数f的定义域为R，假设f＋1为偶函数，且f1＝2，那么f4＋f5的值为A．2 B．1 C．－1 D．－2[解析] ∵f＋1为偶函数，∴f－＋1＝f＋1，那么f－＝f＋2，又＝f为奇函数，那么f－＝－f＝f＋2，且f0＝0从而f＋4＝－f＋2＝f，＝f的周期为4∴f4＋f5＝f0＋f1＝0＋2＝2[答案] A6．设f是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f＝错误!f0>f1，即f10的解集为A．－∞，0∪4，＋∞B．－∞，－1∪3，＋∞C．－∞，－1∪4，＋∞D．－∞，0∪1，＋∞[解析] 因为函数f＋1为偶函数得f＋1＝f－＋1，所以f关于＝1对称，因为f在1，＋∞上单调递增，所以f在－∞，1上单调递减，因为f－1＝0，所以f3＝0，因此由f－1>0得－1>3或－14或<0[答案] A3定义在实数集R上的函数f满足f＋f＋2＝0，且f4－＝f．现有以下三个命题：①8是函数f的一个周期；②f的图象关于直线＝2对称；③f是偶函数．其中正确命题的序号是__________．[解析] 由f＋f＋2＝0，得f＋2＝－f，那么f＋4＝－f＋2＝f，即4是f的一个周期，8也是f的一个周期；由f4－＝f，得f的图象关于直线＝2对称；由f4－＝f与f＋4＝f，得f－＝f，即函数f为偶函数．[答案] ①②③[小结]1关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为区间上的问题．2掌握以下两个结论，会给解题带来方便：①f为偶函数⇔f＝f||．②假设奇函数f在＝0处有意义，那么f0＝03函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．7．f是定义在R上的以3为周期的偶函数，假设f1<1，f5＝错误!，那么实数a的取值范围是A．－1<a<4 B．－2<a<1C．－1<a<2 D．－1<a<0[解析] 因为f是定义在R上的偶函数，且以3为周期，所以f5＝f2＝f2－3＝f－1＝f1<1，即错误!<1，解得－1<a<4[答案] A8．函数f对任意的实数都有f＋2－f＝2f1，假设＝f－1的图象关于＝1对称，且f0＝2，那么f错误!＋f错误!＝A．0 B．2 C．3 D．4[解析] 因为＝f－1的图象关于＝1对称，所以＝f的图象关于＝0对称，即f为偶函数，因为f＋2－f＝2f1，所以f－1＋2－f－1＝2f1，所以f1＝0，f＋2＝f，因此f错误!＝f错误!＝2，f2021＝f1＝0，f错误!＋f错误!＝2[答案] B1．2021·全国卷Ⅱ理f是定义域为－∞，＋∞的奇函数，满足f1－＝f1＋．假设f1＝2，那么f1＋f2＋f3＋…＋f50＝A．－50 B．0 C．2 D．50[解析] 因为f是定义域为－∞，＋∞的奇函数，且f1－＝f1＋，所以f1＋＝－f－1，∴f3＋＝－f＋1＝f－1，∴T＝4，因此f1＋f2＋f3＋…＋f50＝12[f1＋f2＋f3＋f4]＋f1＋f2，因为f3＝－f1，f4＝－f2，所以f1＋f2＋f3＋f4＝0，∵f2＝f－2＝－f2，∴f2＝0，从而f1＋f2＋f3＋…＋f50＝f1＝2[答案] C2．2021·全国卷Ⅱ理f是奇函数，且当<0时，f＝－n 2＝8，那么a＝__________．[解析] 因为f是奇函数，且当<0时，f＝－e a又因为n 2∈0，1，f n 2＝8，所以－e－a n 2＝－8，两边取以e为底的对数得－a n 2＝3n 2，所以－a＝3，即a＝－3[答案] －3。

高中数学：《函数的奇偶性》精品教案

《函数的奇偶性》教学设计《函数的奇偶性》教学设计一、教学目标【知识与技能】1．能判断一些简单函数的奇偶性。

2．能运用函数奇偶性的代数特征和几何意义解决一些简单的问题。

【过程与方法】经历奇偶性概念的形成过程，提高观察抽象能力以及从特殊到一般的归纳概括能力。

【情感、态度与价值观】通过自主探索，体会数形结合的思想，感受数学的对称美。

二、教学重点和难点重点：函数奇偶性的概念和几何意义。

难点：奇偶性概念的数学化提炼过程。

三、教学过程（一）设疑导入、观图激趣出示一组轴对称和中心对称的图片。

设计意图：通过图片引起学生的兴趣，培养学生的审美观，激发学习兴趣。

（二）指导观察、形成概念探究1．观察下列两个函数图象，它们有什么共同特征吗？2填函数对应值表，找与有什么关系？012301233．通过填表，你发现了什么？4．这种关系是否对任意一个都成立？你能用数学语言证明出来吗？引导学生从函数解析式入手，通过证明，形成概念，板书偶函数的定义：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数（even function）．5.例如，函数是（）函数，他们的图象分别如下图（1）、（2）所示探究2．观察下列两个函数图象，它们有什么共同特征吗？2填函数对应值表，找与有什么关系？01230123一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数（odd function）。

（三）学生探索、领会定义探究3．下列函数图象具有奇偶性吗？2．如果函数是偶函数，则它的图象有什么特征？如果是奇函数，则它的图象有什么特征？（四）知识应用、巩固提高例1 判断下列函数的奇偶性：（1）（2）（3）（4）学生活动：尝试独立解答部分习题。

教师活动：打开PPT，出示问题，强调解题格式，板演部分解题过程，带领学生归纳解题步骤：首先，确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；其次，确定与的关系；最后，得出相应的结论。

例2判断下列函数的奇偶性为非奇非偶函数。

《函数奇偶性》优秀的教学设计范文

《函数奇偶性》优秀的教学设计范文《函数奇偶性》优秀的教学设计范文作为一位不辞辛劳的人民教师，通常需要用到教学设计来辅助教学，教学设计是对学业业绩问题的解决措施进行策划的过程。

那么优秀的教学设计是什么样的呢？以下是小编精心整理的《函数奇偶性》优秀的教学设计范文，仅供参考，希望能够帮助到大家。

《函数奇偶性》优秀的教学设计1教学分析本节讨论函数的奇偶性是描述函数整体性质的、教材沿用了处理函数单调性的方法，即先给出几个特殊函数的图象，让学生通过图象直观获得函数奇偶性的认识，然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算，验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立了奇（偶）函数的概念、因此教学时，充分利用信息技术创设教学情境，会使数与形的结合更加自然、值得注意的问题：对于奇函数，教材在给出的表格中留出大部分空格，旨在让学生自己动手计算填写数据，仿照偶函数概念建立的过程，独立地去经历发现、猜想与证明的全过程，从而建立奇函数的概念、教学时，可以通过具体例子引导学生认识，并不是所有的函数都具有奇偶性，如函数y=x与y=2x—1既不是奇函数也不是偶函数，可以通过图象看出也可以用定义去说明、三维目标1、理解函数的奇偶性及其几何意义，培养学生观察、抽象的能力，以及从特殊到一般的概括、归纳问题的能力、2、学会运用函数图象理解和研究函数的性质，掌握判断函数的奇偶性的方法，渗透数形结合的数学思想、重点难点教学重点：函数的奇偶性及其几何意义、教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式、课时安排：1课时教学过程导入新课思路1、同学们，我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请大家想一下有哪些美呢？（学生回答可能有和谐美、自然美、对称美……）今天，我们就来讨论对称美，请大家想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢？（学生举例，再在屏幕上给出一组图片：喜字、蝴蝶、建筑物、麦当劳的标志）生活中的美引入我们的数学领域中，它又是怎样的情况呢？下面，我们以麦当劳的标志为例，给它适当地建立平面直角坐标系，那么大家发现了什么特点呢？（学生发现：图象关于y 轴对称）数学中对称的形式也很多，这节课我们就同学们谈到的与y 轴对称的函数展开研究、思路2、结合轴对称与中心对称图形的定义，请同学们观察图形，说出函数y=x2和y=x3的图象各有怎样的对称性？引出课题：函数的奇偶性、推进新课新知探究提出问题（1）如图1所示，观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性、图1（2）如何利用函数的解析式描述函数的、图象关于y轴对称呢？填写表1和表2，你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征？表1x—3—2—10123f（x）=x2表2x—3—2—10123f（x）=|x|（3）请给出偶函数的定义、（4）偶函数的图象有什么特征？（5）函数f（x）=x2，x∈[—1，2]是偶函数吗？（6）偶函数的定义域有什么特征？（7）观察函数f（x）=x和f（x）=1x的图象，类比偶函数的推导过程，给出奇函数的定义和性质？活动：教师从以下几点引导学生：（1）观察图象的对称性、（2）学生给出这两个函数的解析式具有什么共同特征后，教师指出：这样的函数称为偶函数、（3）利用函数的解析式来描述、（4）偶函数的性质：图象关于y轴对称、（5）函数f（x）=x2，x∈[—1，2]的图象关于y轴不对称；对定义域[—1，2]内x=2，f（—2）不存在，即其函数的定义域中任意一个x的相反数—x不一定也在定义域内，即f（—x）=f（x）不恒成立、（6）偶函数的定义域中任意一个x的相反数—x一定也在定义域内，此时称函数的定义域关于原点对称、（7）先判断它们的图象的共同特征是关于原点对称，再列表格观察自变量互为相反数时，函数值的变化情况，进而抽象出奇函数的概念，再讨论奇函数的性质、给出偶函数和奇函数的定义后，要指明：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的`奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义，可知函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则—x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）；③具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称；④可以利用图象判断函数的奇偶性，这种方法称为图象法，也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，这种方法称为定义法；⑤函数的奇偶性是函数在定义域上的性质，是“整体”性质，而函数的单调性是函数在定义域的子集上的性质，是“局部”性质、讨论结果：（1）这两个函数之间的图象都关于y轴对称。

高一数学函数的奇偶性教案

一、教学内容：函数的奇偶性二、学习目标1、通过具体实例理解函数的奇偶性概念及其几何意义，学会运用函数图象理解和研究函数的性质，学会运用定义判断函数的奇偶性。

2、通过设置问题情景培养观察分析能力、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力、化归转化能力；3、通过学习，进一步体会数形结合的思想，感受从特殊到一般的思维过程；通过函数图象的描绘及奇偶性的揭示，体会数学的对称美，和谐美。

三、知识要点 1、奇偶函数定义：（1）偶函数一般地，对于函数f （x ）的定义域内的任意一个x ，都有f （－x ）=f （x ），那么f （x ）就叫做偶函数．（2）奇函数一般地，对于函数f （x ）的定义域内的任意一个x ，都有f （－x ）=－f （x ），那么f （x ）就叫做奇函数．注意：①函数是奇函数或偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ②奇偶函数的定义域的特征：关于原点对称。

③由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．④奇函数若在0x =时有定义，则(0)0f =2、根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。

3、具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称．说明：一般地，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数。

偶函数的图象关于y轴对称，反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数。

4、判断函数奇偶性的格式步骤：首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；确定f（－x）与f（x）的关系；作出相应结论：若f（－x）= f（x）或f（－x）－f（x）= 0，则f（x）是偶函数；若f（－x）=－f（x）或f（－x）＋f（x）= 0，则f（x）是奇函数．5、判断函数的奇偶性也可以用下列性质在公共定义域内，（1）两个奇函数的和为奇函数；两个奇函数的积为偶函数．（2）两个偶函数的和为偶函数；两个偶函数的积为偶函数．（3）一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．（4）函数f （x）与()x f1同奇或同偶．【典型例题】一、判断函数的奇偶性例1、判断函数的奇偶性时易犯的错误（1）因忽视定义域的特征致错1、①()()11--=xxxxf；②f （x）=x2+（x+1）0错解：①()()xxxxxf=--=11，∴f （x）是奇函数②∵f （－x）=（－x）2+（－x+1）0=x2+（x+1）0=f （x）∴f （x）是偶函数．分析：一个函数是奇函数或偶函数的必要条件是定义域关于原点对称．正解：①定义域（－∞，1）∪（1，+∞）关于原点不对称，f （x）是非奇非偶函数．②定义域（－∞，－1）∪（－1，+∞），∴f （x）为非奇非偶函数．（2）因缺乏变形意识或方法致错．2、判断()21151+-=x x f 的奇偶性．错解：∵ 5x －1≠0，∴x ≠0．f （x ）的定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称．∵()2151521151+-=+-=-x x x x f ， ∴f （－x ）≠f （x ），f （－x ）≠－f （x ）， ∴f （x ）是非奇非偶函数．分析：因演变过程不到位导致错误，所以要注意进行恒等变形．正解：()()1521521151-+=+-=x x x x f ，定义域为（－∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称． ()()()()()x f x f x x x x x x -=-+-=-+=-+=--152155125115215∴f （x ）是奇函数．（3）因忽视f （x ）=0致错．3、判断函数()2244x x x f -+-=的奇偶性．错解：由⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-040422x x 得x =±2， ∴f （x ）的定义域为{－2，2}，关于原点对称．()()()()x f x x x x x f =-+-=--+--=-22224444，∴f （x ）为偶函数正解：f （x ）的定义域为{－2，2}，此时，f （x ）=0，∴f （x ）既是奇函数又是偶函数．点评：函数f （x ）=0 （x ≠0）是f （x ）既是奇函数又是偶函数的一个必要条件，任何一个关于原点对称的区间都可以作为解析式为f （x ）=0 （x ≠0）函数的定义域．（4）因分段函数意义不清致错4、判断函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧>++-<-+=010122x x x x x x x f 的奇偶性．错解一：∵f （x ）=x 2+x －1非奇非偶，f （x ）=－x 2+x +1也非奇非偶，∴()()()⎪⎩⎪⎨⎧>++-<-+=010122x x x x x x x f 非奇非偶．错解二：x >0时，f （x ）=－x 2+x +1； x <0时，f （x ）=x 2+x －1 即f （－x ）=x 2+x －1，∴f （－x ）≠f （x ），f （－x ）≠－f （x ）， ∴f （x ）为非奇非偶函数．分析：错解一中把f （x ）看成了几个函数；错解二中把x <0误认为－x 的情形．正解：函数f （x ）的定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称．当x <0时，－x >0，f （－x ）=－（－x ）2+（－x ）+1=－x 2－x+1=－（x 2+x －1）=－f （x ）；当x >0时，－x <0．f （－x ）=（－x ）2+（－x ）－1=x 2－x －1=－（－x 2+x +1）=－f （x ）． ∴x ∈（－∞，0）∪（0，+∞）时，f （－x ）=－f （x ）， ∴f （x ）是奇函数．点评：分段函数奇偶性的判定应注意两点：（1）分段函数是一个函数，而不是几个函数；（2）确定分段函数的奇偶性，要注意分类讨论．说明：函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称，所以判断函数的奇偶性应首先判断函数的定义域是否关于原点对称，若不是，即可断定函数是非奇非偶函数．例2、判断函数221()112x g x x ⎧+⎪=⎨--⎪⎩(0)(0)x x ><的奇偶性解法一：当0x >时，则0x -<222111()()11(1)()222g x x x x g x -=---=--=-+=-；当x ＜0时，－x ＞0，于是222111()()11(1)()222g x x x x g x -=-+=+=---=- 综上可知，在R *上，()g x 是奇函数．解法二：画出函数()y g x =的图象。