从解三角形的“误”中“悟”

高中数学解三角形题常见误区

解三角形题常见误区[错解剖析]文章来源：现代教育报·思维训练作者：窦桐斌点击数：913 更新时间：2007-3-9 16:20:27三角形与全等三角形是初中数学的基础知识，是中考必考的内容.我们在应用时常会出现以下几方面的错误，希望能从中吸取教训，避免以后出现类似错误.1.对三角形高线概念理解不清【例1】画钝角△ABC边AC上的高BE.错解：如下图，有两种画法：【错解分析】不理解高的定义，首先要明白三角形的高线是线段，其次要知道三角形一边上的高线是过此边相对的顶点的垂线.正解：从B点向对边AC画垂线，垂足为E，如图所示.2.不能正确找出全等三角形的对应边和对应角【例2】如图，△ABC≌△CDA，AB和CD，BC和DA是对应边，说出对应角和另外一组对应边.错解：∠DCA与∠BCA，∠DAC与∠BAC，∠D与∠B是对应角，另一组对应边AC和AC.【错解分析】识图能力差，未能将两个全等三角形分离；对全等三角形的表示法理解不透.正解：对应角是∠D与∠B、∠BAC与∠DCA、∠BCA与∠DAC，另一组对应边是AC和CA.3.忽略三角形全等所要求的条件，一方面没有按照条件中的顺序来逻列条件，二方面对条件理解不透，三方面对“对应”二字理解不深，不透【例3】如图所示，D是△ABC中BC边上一点，E是AD上一点，EB=EC，∠ABE=∠ACE，求证：∠BAE=∠CAE.错解：在△AEB和△AEC中，∴△AEB≌△AEC .∴∠BAE=∠CAE.【错解分析】本题错在判定△AEB≌△AEC时，用了“边边角”的判定法，这是不正确的，因为有两条边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.正解：在△BEC中，∵BE=CE，∴∠EBC=∠ECB.∵∠ABE=∠ACE，∴∠ABC=∠ACB. ∴AB=AC.在△AEB和△AEC中，∴△AEB≌△AEC.∴∠BAE=∠CAE.【例4】已知在两个直角三角形中，有一对锐角相等，又有一组边相等，说明这两个三角形是否全等.错解：这两个三角形全等【错解分析】对“ASA”全等识别法中“对应边相等”没有理解，错把边相等当成对应边相等.正解：这两个三角形不一定全等.如图所示，Rt△ABC和Rt△EDC，在Rt△EDC中，CD=AB，∠1=∠2，∠C=∠C=90°，显然△ABC与△EDC不全等.4.判断全等三角形有几对，由于观察方法不对经常出现重复或遗漏的错误【例5】如图所示，在等边△ABC中，D、E、F分别为AB、BC、CA上一点（不是中点），且AD=BE=CF，图中全等三角形组数为（）.Ａ. 3组Ｂ. 4组Ｃ. 5组Ｄ. 6组错解：A.【错解分析】没有灵活运用所给条件，只是直接运用了已知条件就做出判断.全等三角形共有6组，分别是：△ABE≌CAD，△ABE≌BCF，△CAD≌BCF，△ABF≌CAE，△ABF≌BCD，△CAE≌BCD.正解：C.【点评】对这类问题平时学习要多观察多总结，充分地用上所给条件，逐步找出所有的全等三角形.5.对“三线合一”的误用【例6】如下图所示，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC垂足为D，∠A=40°，求∠DBC.错解：∵△ABC中AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=（180°-40°）÷2=70°.又∵BD⊥AC垂足为D，∴∠DBC=∠ABC=35°.【错解分析】误认为在等腰三角形中每条边上的“三线”都重合.其实在不是等边三角的等腰三角形中，只有底边上的“三线”才是重合的.若三角形ABC的三边为a、b、c，f(x)=b^2*x^2+(b^2+c^2-a^2)x+c^2,则f(x)的图像A.与x轴相切B.在x轴上方C.在x轴下方D.与x轴交于两点最佳答案此答案由提问者自己选择，并不代表爱问知识人的观点(b^2+c^2-a^2)^2-4*b^2*c^2=(b^2+c^2-a^2+2bc)*(b^2+c^2-a^2-2bc)=[(b+c)^2-a^2]*[(b-c)^2-a^2]因a、b、c为三角形ABC的三边，所以有b+c>a而(b-c)的绝对值<a[(b+c)^2-a^2]>0[(b-c)^2-a^2]<0所以[(b+c)^2-a^2]*[(b-c)^2-a^2]<0f(x)与x轴交于两点高一数学解三角形问题.谢谢!回答：3 浏览：101 提问时间：2006-08-12 15:02设角A=60度,则(1/2)bcsin60=10√3,bc(√3/2)=20√3,bc=40a+b+c=20a^2=b^2+c^2-2bccosA=b^2+c^2-bc=(b+c)^2-3bca=20-(b+c)a^2=(b+c)^2-40(b+c)+400=(b+c)^2-120-40(b+c)=-520,b+c=13b=5,c=8或b=8,c=5此三角形三边a=7,b=5,c=8或a=7,b=8,c=5[大师]设三边为a,b,c,∠B=60`acsin60`/2=10√3,即ac=40又因为b^2=a^2+c^2-2accos60`=a^2+c^2-ac==a^2+c^2-40a+b+c=20三式联立可得,a=5,b=7,c=8或a=8,b=7,c=5回答：2006-08-12 15:14评论qqqq[神]设三条边分别为a、b、c，a、b的夹角为A=60度，则a+b+c=20，由b边正对的角作垂直于b的垂线，垂线长度为a*SINA，三角形面积S=b*a*SINA/2=10*3^(1/2)，得出ab=40。

常见常新题型__注重解题方法——解三角形易错点扫描

ʏ江苏省高邮市第一中学袁达飞解三角形问题是高考中的常见题型,主要利用正弦定理㊁余弦定理来求解未知边角的关系或具体值,由于解三角形需要综合应用正余弦定理和有关角的一些变换,所以经常会出现一些顾此失彼的错误,现归纳如下,供同学们学习时参考㊂易错点一㊁忽视解的讨论致误例1 在әA B C中,已知a =2,b =2,A =45ʎ,求B ㊂错解:由正弦定理知s i n B =b s i n Aa=2s i n 45ʎ2=12㊂又0<B <180ʎ,故B =30ʎ或150ʎ㊂剖析:上述解法中忽现了A +B +C =180ʎ这一隐含条件,当B =150ʎ时,A +B =195ʎ,与三角形的内角和为180ʎ矛盾㊂正解:由正弦定理知s i n B =b s i n Aa=2s i n 45ʎ2=12㊂又0<B <180ʎ,故B =30ʎ或B =150ʎ㊂若B =150ʎ,则A +B >180ʎ,应舍去㊂故B =30ʎ㊂易错点二㊁忽视三角形中角的范围致误例2 在әA B C 中,已知(a 2+b 2)㊃s i n (A -B )=(a 2-b 2)s i n C ,判断әA B C 的形状㊂错解:原式可化为(a 2+b 2)(s i n A c o s B-c o s A c o s B )=(a 2-b 2)(s i n A c o s B +c o s A s i n B ),即a 2s i n B c o s A =b 2s i n A c o s B ㊂由正弦定理得b 2s i n 2As i n 2B㊃s i n B c o s A =b 2s i n A c o s B ,化简得s i n A c o s A =s i n B c o s B ,即s i n 2A =s i n 2B ,所以A =B ㊂所以әA B C 是等腰三角形㊂剖析:上述解法忽略了角的范围,s i n 2A=s i n 2B 是2A =2B 的必要但不充分条件,另外,有些同学也可能由于逻辑关系不清而出现以下错误的判断:由s i n 2A =s i n 2B ,得2A =2B ,又2A +2B =π,且A =B ,A +B =π2,所以әA B C 是等腰直角三角形㊂正解:将条件都化为有关角的关系形式,前面同错解,得s i n 2A =s i n 2B ㊂因为A ,B 是三角形的内角,所以2A =2B 或2A =π-2B ,即A =B 或A +B =π2㊂故әA B C 是等腰三角形或直角三角形㊂易错点三㊁忽视隐含条件致误例3 在不等边әA B C中,a 为最大边,若a 2<b 2+c 2,则角A 的取值范围是㊂错解:因为a 2<b 2+c 2,所以b 2+c 2-a2>0,则c o s A =b 2+c 2-a22b c>0㊂又因为A 为әA B C 的内角,故A 为锐角,所以0<A <90ʎ㊂剖析:上述解法忽视了隐含条件:三角形的内角和为180ʎ,所以最大边所对的角应该大于60ʎ㊂正解:前面同错解,得0ʎ<A <90ʎ㊂又因为a 为最大边,所以A >60ʎ㊂所以60ʎ<A <90ʎ㊂故A 的取值范围是(60ʎ,90ʎ)㊂易错点四㊁忽视角之间的关系致误例4 在әA B C 中,若s i n 2A s i n 2B =t a n Ata n B ,则әA B C 的形状为㊂错解:已知s i n 2A s i n 2B =t a n A ta n B =s i n A c o s Bc o s A s i n B ㊂因为s i n A >0,s i n B >0,所以s i n A c o s A =s i n B c o s B ,即s i n 2A =s i n 2B ,所以2A =2B ,即A =B ㊂故әA B C 为等腰三角形㊂剖析:上述解法忽视了在әA B C 中,由72解题篇易错题归类剖析高考数学 2023年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.s i n 2A =s i n 2B ,可以得到2A +2B =π这种情况,导致漏解,结果错误㊂正解:前面同错解,得s i n 2A =s i n 2B ㊂所以2A =2B 或2A +2B =π,则A =B 或A +B =π2,故әA B C 为等腰三角形或直角三角形㊂易错点五㊁忽视三角形中三边的基本关系致误例5 已知钝角三角形的三边长分别是2a +1,a ,2a -1,求实数a 的取值范围㊂错解:因为2a +1,a ,2a -1是三角形的三边,所以2a +1>0,a >0,2a -1>0,解得a >12㊂又2a +1是三边长的最大值,设该边所对的角为θ,则c o s θ=a 2+(2a -1)2-(2a +1)22a (2a -1)<0,解得12<a <8㊂剖析:不是任意的三个正数都能作为三角形的三条边长,还需要满足三角形三边的基本关系,即两边之和大于第三边㊂上述解法中少了这个约束条件㊂正解:前面同错解,得12<a <8㊂又a +(2a -1)>2a +1,解得a >2㊂综上可得,实数a 的取值范围是(2,8)㊂易错点六㊁实际问题中题意不明致误图1例6 如图1,在海岛A 上有一座海拔1k m的山,山顶设有一个观察站P ,上午11时,测得一轮船在岛北30ʎ东㊁俯角为60ʎ的B 处,到11时10分,又测得该船在岛北60ʎ西㊁俯角为30ʎ的C 处㊂(1)求该船的航行速度;(2)又经过一段时间后,船到达海岛的正西方向的D 处,试问:此时船距海岛A 有多远?易错分析:有的同学对题意没有理解透彻,方位确定不了,不能观察出әB A C 是直角三角形;有的同学在求A D 的长时不能放在әA C D 中利用正弦定理求解㊂剖析:实际应用问题中的有关名词㊁术语不能混淆㊂①仰角和俯角:与目标视线在同一铅直平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方时叫做仰角,目标视线在水平视线下方时叫做俯角㊂②方向角:从指定方向线到目标方向线的水平角㊂③方位角:从指定方向线顺时针到目标方向线的水平角㊂④坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数㊂正解:(1)在R tәP A B 中,øA P B =60ʎ,P A =1,所以A B =3(k m )㊂在R t әP A C 中,øA P C =30ʎ,所以A C=P A ㊃t a n 30ʎ=33(k m )㊂在әA C B 中,øC A B =30ʎ+60ʎ=90ʎ,所以B C =A C 2+A B 2=332+32=303(k m )㊂所以该船的航行速度为303ː16=230(k m /h)㊂(2)øD A C =90ʎ-60ʎ=30ʎ㊂s i n øD C A =s i n (180ʎ-øA C B )=s i n øA C B =A B B C =3303=31010㊂s i n øC D A =s i n (øA C B -30ʎ)=s i n øA C B ㊃c o s 30ʎ-c o s øA C B ㊃s i n 30ʎ=31010㊃32-1-310102㊃12=33-11020㊂在әA C D 中,由正弦定理得A Ds i n øD C A=A C s i n øC D A ,所以A D =A C ㊃s i n øD C As i n øC D A=33㊃3101033-11020=9+313(k m )㊂故当船到达海岛的正西方向的D 处时,船与海岛A 的距离为9+313k m ㊂(责任编辑王福华)82 解题篇易错题归类剖析高考数学 2023年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

3-《解三角形应用》反思总结

3-《解三角形应用》反思总结第一篇：3-《解三角形应用》反思总结《解三角形应用》教学反思应用题教学是培养学生应用数学能力的一个良好途径。

数学应用题的教学模式一般是直接给出实际问题的解决方案，再让学生用数学知识去求解.给出的实际问题有很多并不是学生所能感觉到、体会到的，往往是一些文字、符号、事实、事件等，解决方案的单一性也会使学生感到枯燥、被动.因此在大多数情况下，应用题仅是作为理论联系实际和巩固新知识的一种手段，正如谭良军在《浅谈数学应用意识及其培养》一文中指出的，传统的应用题教学中常存在这样的“假象”，即在学生学完某一知识后，就给出一个应用题，要求学生解答。

这种所谓的“应用题”，有时是机械的辨别、模仿，强调的是学生解答数学问题的能力。

它有助于加深学生对知识的巩固和理解，但对于培养学生的应用意识和应用能力效果甚微。

要说培养学生的应用意识，那本节得设计成一节实践探讨课，教学时先介绍测量工具，让学生清楚工具可以做哪些测量，再根据老师给出的问题自行设计解决方案.接着组织学生探讨方案的实效性.最后对可行的方案，自编数据，完成解题过程.教师只负责引领学生促使问题的探讨层层深入。

问题一：如何测量距离。

1.两点间不可拉线测量，但测量者可以到达两端。

比如计算隧道的长度2.两点中有一点不可到达，比如测量小岛到岸边的距离3.两点都不可到达。

隔河可以看到两目标A、B，但不能到达.求A、B之间的距离。

进一步深化将实际问题转化为数学问题的过程与方法，通过对问题的解决，使每一个参与者都深深地感受到了数学应用的灵活性、开放性。

问题二：如何测量高度。

1.底部可以到达。

比如操场上旗杆的高度2.底部不可以到达。

比如测酒店的高度问题三：如何测量角度。

比如船的航向。

将生活中的各种不可测的距离由浅入深的引入解决.让学生亲身经历和体验运用解三角形的知识可以变“不可测”为“可以算”.使学生感受到“生活处处有数学”，提高应用数学的意识。

在学习过程中鼓励学生深入、开放性地提出测算方案，提倡多元思考。

解三角形中常见错误浅析

解三角形中常见错误浅析作者：霍福策来源：《新高考·高一数学》2012年第03期以三角形为载体,考查学生分析问题、判断能力是高考命题的一个重要方向,而同学们在解这部分问题时,常因考虑不周、审题不细、公式运用不当等原因而导致错解.下面就解三角形中的常见易错点举例剖析，以引起同学们的关注.例1 在△ABC中，已知 B= π 6， c= 23， b=2，求△ABC的面积.错解由正弦定理得 sinC=cb sinB=32，所以C= π 3， A= π 2. 从而△ABC的面积为：剖析在△ABC中， sinC=32，因为c>b，所以C>B.故当C=2 π 3时，A= π 6时也符合要求，此时△ABC的面积为：S △=12b c sinA=12×23×2×12=3. 错误的原因在于求C时漏了一解.因此，我们要谨防走入：误区一利用正弦定理求三角形的内角时易丢解已知两边及其一边的对角，求解三角形用正弦定理，此时求得某个角的正弦值后，要注意正弦函数y= sinx在区间（0， π ）上不是单调函数，因此所求角有可能有两个，防止由正弦定理得 sinC=cb sinB=32.因为c>b，所以C>B，此时角C= π 3或2 π 3.当C= π 3， A= π 2时，S △=12b c sinA= 12× 23×2×1=23；当 C=2 π 3时，A= π 6时，S △=12b c• sinA= 12×23×2×12=3.故所求三角形的面积为23或3.例2 在△ABC中，已知 c=56， b=10， C=60 ° ，不解三角形，判断三角形解的个数.错解由正弦定理 b sinB=c sinC得： sinB= bc sinC=1056•32=22， B= π 4或3 π 4，所以此三角形有两组解.剖析由正弦定理知 sinB=bc sinC=1056•32=22，由已知b误区二机械套用定理、公式和已有结论，导致错解已知两边及其一边的对角，求解三角形用正弦定理，此时求得某个角的正弦值后，要注意根据三角形中的边角关系进行检验，防止出现增根，如：大边对大角，即： a>b A>B 等来进行要考虑角的范围.正解由正弦定理 b sinB=c sinC得 sinB =bc sinC=1056•32=22， B= π 4或3 π 4.由已知b例3 在△ABC中，已知 cosA=513， sinB=35，求 cosC的值.错解因为 cosA=513,所以 sinA=1213.又 sinB=35，所以 cosB=±45.①当 cosB=45时， cosC=－ cos （A+B）=－ cosA cosB+ sinA sinB=1665；②当 cosB=－45时， cosC= － cos （A+ B） =－cosA cosB+ sinA sinB=5665.所以 cosC的值为1665或5665.剖析在△ABC中，因为 cosA=513>0,所以A为锐角， sinA=1213.又 sinB=35，所以sinA> sinB.由正弦定理知a>b，由三角形的性质有A>B, 所以B角不可能为钝角.因此cosB≠－45，产生了增根.因此，我们要谨防走入：误区三不能挖掘隐含条件，进一步缩小角的范围而致错在解三角形时，有些条件在题目中能够显现，有些条件则隐含在解题过程中，这时候不能盲目求解，有根据过程适时作出相应的判断，缩小角的范围，从而得到正确的结果.正解在△ABC中，因为 cosA=513>0,所以A为锐角， sinA=1213.又 sinB=35，所以sinA> sinB.由正弦定理知a>b，由三角形的性质有A>B,所以B为锐角， cosB= 45.从而cosC=－ cos （A+B）= － cosA cosB+ sinA sinB=1665.－1 在△ABC中，三内角A， B， C满足： sin 2A+ sin 2B= sin 2CsinA sinB，求 sinC的值.。

三角函数中的“错中悟”

万方数据
感悟：函数ｙ—ｓｉｎ
ｃ肚（叫＞。）在［一詈，詈］上是
式为ｙ一２ｓｉｎ（ｚ＋号）。
感悟：上述解法没有弄清三角函数图像的特征。
单调增函数与函数Ｙ—ｓｉｎｃ以（叫＞ｏ）的单调增区间
为［一詈，詈］不是等价概念。
正解：因为函数Ｙ＝ｓｉｎｃｃＪｚ（ｃｃＩ＞０）在
厂
由“五点法”可知，点（ｏ，万）在第２个点与第３个点
用
使
七、三角函数图像中的错误倒７函数Ｙ＝Ａｓｉｎ（（ｃＪｚ＋∞）（ｃｃＪ＞０，０＜９＜７【）的图像如图１所示，则该函数的表达式为
。
Ｊ
沙
换成Ｌ；若将图像上各点的横坐标缩短到原来的土
错解：由图像知Ａ一２。因为
图像过点（０，√３），所以２ｓｉｎ
。
Ａ≮
Ｄ —ｌ－２
夸！
（∞＞１），则只需将ｚ换成叫ｚ。
所以号＜臼＜荨＇且Ⅱ兀＜２臼＜萼。
所以ｃ。ｓ
２０一一￣／ｒ二五孑万一一去。
五、三角函数单调性中的错误侧Ｆ若函数ｙ—ｓｉｎ
正解：Ｐ（４，ｙ）是角０终边上的一点，由三角函数的定义知ｓｉｎ
以—兰一一半，解得ｙ一一８（了一８舍去）。
√１６＋ｖ
２
０－而Ｙ亏。因为ｓｉｎ口一＿竽，所
３
ｃＵｚ（叫＞ｏ）在ｌ一詈，詈Ｊ上
２ｓｉｎ
侧６求函数了一ｓｉｎ（詈一ｚ）的单调增区间。
错解：因为函数Ｙ—ｓｉｎｚ的单调增区间是
八、不理解平移规律出现错误侧Ｐ函数ｙ－－－－ｓｉｎ
５ｚ一詈）的图像向右平移｛
）。
ｂ一２，２ｋ－＋２］（忌∈ｚ），所以２ｋｕ－－号≤号一
ｚ≤２忌７【＋詈（足∈ｚ），解得一２ｋ７ｒ一罢≤ｚ≤一２ｋ７【＋

反思一道“三角函数综合应用题”的典型错解

反思一道“三角函数综合应用题”的典型错解作者：周婷婷来源：《数学教学通讯·高中版》2016年第02期摘要：本文首先从知识点、解题思维、解题过程三方面对一道“三角函数综合应用”题进行反思，其次呈现该题的典型错解，并对错解原因进行剖析，最后为教师提供教学建议.关键词：三角函数；错解；反思反思是数学教育领域的热门词之一. 在数学教学过程中，教师常会提到反思一词，可见反思在数学教学中有着举足轻重的地位. 三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用. 向量是近代数学最重要和最基本的概念之一，是沟通几何、代数、三角等内容的桥梁，它具有丰富的实际背景和广泛的应用. 本文对一道“三角函数综合应用”题的反思，重在引导学生反思解题所用的知识点，解题思维的起点、层次和规律，从根本上提高学生的数学思维能力.知识点反思：数学知识是解决数学问题的基础. 例题属于三角函数综合应用题型（三角函数与平面向量、数列相结合），知识点包括三角函数概念及同角关系式、三角函数的图象与性质、等差数列、等比数列、平面向量、平面几何等.解题思维反思：良好的思维起点是破题的关键.三角函数和向量、数列有机地结合起来，弄清三角函数与向量的“联合点”，灵活应用等差、等比数列的性质，借助正、余弦定理，并准确地运用求三角形内切圆半径的公式.解题过程反思：清晰的解题过程可以反映学生清晰的思维. 根据等差数列的概念可得出f （x）的周期，根据等比数列的性质得到相应的等式关系，结合正、余弦定理得到△ABC的面积，最后根据面积法得到三角形内切圆的半径.错解呈现例题是重庆某学校高一下学期月考的测试题，分析的班是全年级比较好的班，全班57人，有20人得了5-7分（该题12分），即大部分学生只做对了第（1）问，部分学生对第（2）问无从下手. 对于解题过程中出现的错误与疏忽，不能只看到其消极的方面，更要认识到这是一个提高解题能力、完善认知结构的极好机会.例题的错误解答主要集中在以下三种类型.1. 错解1的呈现如图1，该类学生把三角形内切圆半径与外接圆半径弄混淆，以致解答错误.该类学生出现这种错误的原因可能有：读题不仔细，没有弄清楚题目的具体要求；知识认知上的错误，把求外接圆半径的公式当作求内切圆半径的公式.2. 错解2的呈现如图2，该类学生第（1）问能够解答，但第（2）问就完全没有思路. 该类学生对三角函数综合的应用能力较弱，不知如何将数列应用到三角函数中，不清楚怎样求三角形内切圆的半径.3. 错解3的呈现如图3，该类学生掌握向量的定义，完成①，但三角函数的恒等变换掌握不好，出现错误②. 该类学生首先需要从基础知识——三角函数的恒等变换方面进行补救.反思能够提高学生的数学思维能力、创新能力. 本文通过对例题典型错解的反思，体现了知识点、解题方法、思维过程对学生解题有着重大的影响. 教师应引导学生学会反思，反思解题过程中出现的知识点、解题方法、解题思维.。

“误”中求“悟”——关于小学数学教学中学生错误的几点思考

不小心跌人陷阱。如：三角形的面积是平行四边形面积的一半。两个面积相等的三角形一定可以拼成一个平行四边形。等底等高的两个三角形可以拼成一个平行四边形。当学生纠误后，我引导学生进行错误归因，再现三角形面积推导过程，引导学生总结 “ 怎样的两个三角形可以拼成一个平行四边形 ” ，讨论 “ 等底等高与完全一样 ” 的意思，重新构建学习正确的认知。并再出示以下判断：梯形的面积是平行四边形面积的一半。平行四边形的面积是梯形面积的两倍。两个面积相等的梯形一定能拼成一个平行四边形。让学生在判断后，对三角形、梯形、平行四边形面积之间的关系进行系统的整理，以帮助学生构建完整、清晰的认知结构图。数学教学是个动态发展的过程，在这个过程中学生的错误反映出学生建构知识时的障碍，引导学生正确看待错误，正确归因错误对学生来说是学习经验的种积累。当然，正误的过程离不开议误，议误是学生对自己错误的一种反思，从心理学的角度来说，反思是一种主动 “ 再认识 ” 的过程，是思维的高级形式。正误过程中积极培养学生的反思习惯，让学生在把错误作为反例，发现同类事物的共同本质特征，使概念的描述精确化。总之，课堂是学生出错的地方，出错
欲望。
对于数学来说，正确答案也许是唯的，但是错误的答案却有它不同的思考过程，正如华应龙说： “ 在课堂上，正确 ” “ 明白的学生明白的道理是一样的，不明白的学生就各有各的困惑。 ” 当学生出现错误后，我们要更多地去琢磨学生错误的原因究竟是什么？只有找到了这个原因，才能更好地去帮助他，而不是枯燥、简单、机械地去强调规则。郑毓信教授说：学生的错误不可能单纯依靠正面的示范和反复练习得到纠正，而必须经历一个Ｉ＋Ｉ我否定的过程。对于这些似是而非的错误，如果教师只告诉正确的做法。难以触及问题的实质，更容易抑制学生主动性和创造性的发展。只有引导学生进行深入的探究，给学生思维的时间和空间，让他们自己发现错误，否定错误，才能真正提高学习的效率。

三角恒等变换中的“误与悟”

１
＿＿ — —
教师教育课程改革研究项目，项目编号：２０１４一
ＪＳＪＹＹＢ一０１１）
ｃ。ｓ
２。
错解：原式
—
—
（＋詈）＿。十ｓｉｎ（ｚ＋詈）一
．
— — — 一
（责任编辑
郭正华）
正周期为Ｔ一警一丌。
（２）因为正弦函数ｙ— ｓｉｎｚ（ｚＥＲ）的值域为
１
一
中学生数理他．高一使用
譬ｓｉｎ（ｚ＋詈）＋丢ｃｏｓ（ｚ＋詈）一一
［一１，１］，所以－厂（ｚ）一２ｓｉｎ２ｚ — Ｔ１的值域为
忌兀一蛋 ≤ ｚ ≤ 是兀＋（ ∈ ｚ）。
由ｓｉｎａ ∈ ［一１，１］，可求得一２（ｓｉｎ一）＋丢
的最大佰与最小佰
令忌一。，可知一詈 ≤ ｚ ≤ 警，即函数，（）的单
范围。由２ｓｉｎａ一３ｓｉｎａ— ｓｉｎ ≥ ０，得Ｏ ≤ ｓｉｎａ≤
条件。又＿厂（。）一一２，＿厂（警）一２，厂（号）一一２，所以的隐含正解：由２ｓｉｎｄ一３ｓｉｎ口一ｓｉｎ口，可得
ｓｉｎ的取值范围。
错解：由２ｓｉｎａ一３ｓｉｎａ— ｓｉｎ，可得ｓｉｎ＋

三角函数中的“错中悟”

历
概念。难点 ‘ 题根
●一 ●一
２０１５年第４期
● — ＿一
角函数巾的６６锚巾悟
■ 湖北廖庆伟
ｓｉｎａｃｏｓ一一１２
。
三角函数是高中数学的重要内容，虽然难度不
大，但概念多、公式多，解题时容易出错。下面举例分析，供大家学习与参考。
一
由（ｓｉｎａ— ｃ。ｓａ）。一１ —２ｓｉｎａ・
４９
ｃ。ｓａ一
，பைடு நூலகம்
可得ｓｉｎ —ｃ。ｓａ＝＝＝ ±ｉ７
。
、
角所在的象限判断错误
４
一一０
，
侧，已知ｓｉｎ９一３，ｃ。ｓ
√１６＋ ‘ ０
侧若函数 — ｓｉｎ ∞ （＞０）在１一詈，詈ｌ上
是单调增函数，则 ∞的取值范围是
。
— —
以志
＝＝一一
ｙ＝－８（ｙ＝８。
，
错解：因为函数Ｙ — ｓｉｎｃｕｚ（ｃＵ＞０）在
三、同角三角函数的关系应用错误倒了已知ｓｉｎｄ＋ｃ。ｓｄ一＿＝１ＩＯ＜ｄ＜７ｃ，求
ｌＩ一ＯＯ，ｌ１上是单调增函数，即函数Ｙ —ｓｉｎｚ（ ∞ ＞
０）的单调增区间是ｌ一詈，詈ｌ，所以其最小正周期为

解三角形常见解题错误辨析

误区一:粗心大意、忽视结论与题设的相
容性 ,忘记代入检验致误
例 1 (2014年高考全国 Ⅱ 卷理数第 4
题改编 )钝角 △ABC
的面积是 1 ,且 2
AB=1,
BC= 2,则 AC=
。
错
解
:由
S△ABC
=
1 2AB
·BC
·sin B
=
1 2
=sin cC
。
3
故 sinB =bsicnC =
6× 2 3
2 =2
。
所以 B=45°或 B=135°。
(2)由
正
弦
定
理
,得 b sin B
=sin cC,sinC
2
=csibnB =3×62
=
3 2
,所以 C=60°。
又 B=45°,因此 A=75°。
辨析:上述解法,忽视边b<c,则角 B <
3 = 2b=a=4 3
或 b=a=4 3,
即 b =8 或 b =
图1
4 3,故选 B。辨析:错解中实际上只考虑了 B ≥A 的
情形。如果 B <A,那么三角形也是有唯一解的。错解正是受图形影响、以偏概全产生了错误。
正解:若 B <A,三角形有唯一解,只需
·1·
2·sinB=
1 2
,得
sinB=
2 2
。
所以 B=45°或 B=135°。
当 B=45°时,AC2 =AB2 +BC2 -2AB·

避典型错误,方能更易取胜——以解三角形中错误资源的利用为例

手±曰．当Ｂ＋Ｃ＝手时，Ａ＝号；当Ｃ＝手＋Ｂ时，结合Ｃ＝
叮ｒ一（Ａ＋）＝叮ｒ一３Ｂ，得Ａ＝，ｉｔ，所以正确答案是Ａ＝Ｉｒ
．
或霄
’
评析本题很值得作为典例，是学生经常出错的类型．根源在于由三角函数值相等不能准确判断两角之间的关系．解三角形需要三角函数作为基础知识，需要多练习．
Ｏ＜Ａ＜２ ’
即即
（。，号１），得得＂ｉＴ＜Ａ＜号号 ’贝孚＜＜
Ｌ一
ｓｉｎＡ＋詈）≤１有＜２ｓｉｎＡ＋詈）≤２得ｎ＋ｃ６／５，２１·
小结上述两种解法，经过纠错环节，都成为正确的解
数学学习与研究２０１８．６
解题技巧与方法
所以Ｂ＋Ｃ：詈，得Ａ＝詈．
师：上述解法中错误不止一处，试一试，你能找出几处？生：在（１）中，由ｓｉｎＢ＝ｓｉｎ（Ａ—Ｂ），角Ａ，Ｂ∈（０，１Ｔ），故０＜Ａ—Ｂ＜订，所以Ｂ＝Ａ—Ｂ或Ｂ＝叮ｒ一（Ａ —Ｂ），得Ａ＝１Ｔ（舍去）或Ａ＝２Ｂ，所以Ａ＝２Ｂ．生：在（２）中，角Ｂ，ＣＥ（０，订），由ｓｉｎＣ＝ｃｏｓＢ，则Ｃ＝
（Ⅱ）已知边ｂ＝１，求ａ＋ｃ的范围．
错解１ｃ。ｓＢ＝＝÷得。ｚ＋ｃｚ一１＝，即
（。＋ｃ）＝３ａｃ＋ｌ，因为∞≤（）。得。＋ｃ≤２，又因为ａ＋
ｃ＞ｂ，则１＜ａ＋ｃ≤２（当ａ：ｃ取 “＝”）．
错解２８＋ｃ＝ｂ（８ｉｎＡ＋８ｉｎｃ）＝学（ｓｉｎＡ＋ｓｉｎｃ）
＝２ｓｉｎＡ＋詈）．

解三角形的常见错误总结

解三角形的常见错误总结作者：邱春林来源：《师道·教研》2017年第03期解三角形问题在全国高考中一直占有一定的比重，解三角形中涉及到正余弦定理、面积公式、三角恒等变换诱导公式及各种的角边互化公式，变形较多，知识点中跨度较大，综合性强，解题中存在方法技巧，切入点需准确无误。

学生在处理此类问题时，往往不注重条件，经常有思路不清，审题不仔细，考虑不周而导致各种类型的错误，下面对一些学生错误进行适当分类，以便大家参考，如有不足请指正：一、三角公式性质不熟例1. 在三角形△ABC中，已知■=■，判断△ABC中形状。

误解：由正弦定理可知■=■，易得：sin2A=sin2B，所以2A=2B，即A=B，故△ABC是等腰三角形。

解析：由sin2A=sin2B，得2A=2B，这是典型的等式两边相消的错误，原因是对三角性质及变换不熟悉。

二、三角形内角条件制约例2. 在△ABC中，若a=1，C=60°，c=■，则A的值为（）A. 30°B. 60°C. 30°或150°D. 60°或120°误解：由正弦定理得sinA=■=■=■，所以A=30°或150°，选C。

解析：三角形内角和为180°，而且边角要互相对应，大角对大边。

三、公式选择不当，解法繁琐例3. 已知△ABC中，C=60°，b=1，S△=■，求■的值。

误解：由C=60°，b=1，S△=■，由面积公式S△=■absinC可得a=4，由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC=13得c=■。

又由正统定理分别求出sinA=■=■，sinB=■=■，所以■=■=■。

解析：对正弦定理中的边角互化公式不熟悉，方法不当产生复杂计算量。

四、对边角判断不当，多解或漏解：例4. 在△ABC中满足A=45°，a=2，c=■，那么角B= 。

误解：由正弦定理得sinC=■=■，所以C=60°，即B=180°-A-C=75°。

三角形在数学解题中的常见错误与纠正方法

三角形在数学解题中的常见错误与纠正方法在数学解题中，三角形是一个常见的几何图形。

然而，由于其复杂的性质和多样的题型，学生们常常犯一些错误。

本文将讨论一些常见的三角形相关错误，并提供纠正方法，以帮助读者更好地理解和解决三角形相关问题。

首先，一个常见的错误是将三角形的边长和角度混淆。

在解决三角形问题时，我们常常需要知道三角形的边长和角度。

然而，学生们往往将边长和角度之间的关系混淆，导致计算错误。

例如，当给出一个三角形的边长，我们不能仅通过这些边长来确定三角形的角度。

相反，我们需要使用三角函数（如正弦、余弦和正切）来计算角度。

因此，正确的做法是将已知的边长代入三角函数公式，然后解方程求得角度。

另一个常见的错误是在计算三角形面积时使用错误的公式。

三角形的面积可以通过底和高的乘积除以2来计算。

然而，有些学生错误地使用了其他形状的面积公式，例如正方形或长方形的面积公式，导致计算结果错误。

因此，在解决三角形面积问题时，我们必须正确地应用三角形面积公式，确保选择正确的底和高。

此外，学生们在解决三角形相似性问题时经常犯错。

相似三角形是指具有相同形状但可能不相等的三角形。

学生们常常错误地假设两个三角形具有相等的角度，或者错误地使用相似三角形的比例关系。

为了正确地解决这些问题，我们必须确定三角形的对应角度是否相等，并使用相似三角形的比例关系来求解未知边长或角度。

此外，一些学生在解决三角形问题时容易遗漏一些关键信息。

例如，当给出三角形的一半边长时，学生们常常忘记将其乘以2，以获得三角形的完整边长。

同样地，当给出三角形的一个角度时，学生们有时忘记这个角度是指内角还是外角，从而导致错误答案的产生。

因此，我们必须仔细读题，确保不遗漏任何重要信息，并正确应用所学的三角形性质和公式。

在纠正这些常见错误的方法方面，首先，学生们应该加强对三角形性质和公式的理解。

只有深入理解这些基本概念，才能更好地解决和避免错误。

其次，学生们应该多加练习，通过解决大量的三角形题目来提高他们的解题能力。

【二轮复习材料】解三角形中常见错误错因之浅析

解三角形中常见易错点分析先研究下面的问题.已知:在ABC ∆中,,150,8,4===A b a 解ABC ∆. 根据正弦定理,14150sin 8sin sin ===a Ab B , 因为 1800<<B ,所以 90=B ,于是60)(180-=+-=B A C ,解到这里,让我们惊讶的是所计算出来的角C 竟然是负角.问题出在何处呢?是我们利用正弦定理出现错误?分析已知条件,我们注意到8,4==b a ,这里150,=<A b a ,由三角形的性质,应该有,B A <因而B 也应该是一个钝角,而在一个三角形中是不可能有两个钝角的.这说明满足已知条件的三角形是不存在的.从上面的分析我们发现,在利用正弦定理和余弦定理解三角形时，要正确理解题设条件，不能简单的套用公式，否则解题时将出现严重失误.下面就解三角形时，容易出现的错误做一归纳，并就错因做一分析，以引起同学们关注.易错点1:不能挖掘隐含条件，进一步缩小角的范围例1 在ABC ∆中，已知53sin ,135cos ==B A ，求C cos 的值. 【错解】因为1312A sin ,135cos ==所以A .又54cos 53sin ±==B B ，所以 ①当.6516)sin sin cos (cos )A cos(cos ,54cos =--=+-==B A B A B C B 时 ②当.6556)sin sin cos (cos )A cos(cos ,54cos =--=+-=-=B A B A B C B 时【分析1】在ABC ∆中，因为1312A sin A ,0135cos =>=为锐角，所以则A .又，53sin =B 所以B A sin sin >,由正弦定理知b a >,由三角形的性质有B A >,所以B 角不可能为钝角，因此54cos -≠B . 【分析2】忽略对题中隐含条件的挖掘,事实上当时54cos -=B ,22135cos ,2254cos -=︒-<-=B 所以︒<<︒180135B又2160cos ,21135cos ,135cos =︒<==A A ,所以,180B A ,9060︒>+︒<<︒即A 矛盾,应舍去. 【正解】由错解和分析知:6516cos =C . 例2 已知角A,B,C 为ABC ∆的三个内角，其对应边分别为c b a ,,.若m =)2sin ,2cos(A A -，n =)2sin ,2(cos A A ,32=a ，m ·n 21= ,求b+c 的取值范围. 【错解】由正弦定理得432sin 32sin sin sin ====πA a C cB b 又3ππ=-=+A C B ，所以4)3sin(4)3sin(4sin 4sin 4sin 4≤+=-+=+=+ππB B BC B c b【分析】在求c b +的范围时，没有注意到角B 的范围.【正解】接上最后一步。

三角恒等变换中的“误与悟”

（２）求函数，（ｚ）在区间ｌｏ，詈】上的最大值和最
小值。错解：（１）因为ｆ（ｓｃ）＝一，／ｇ
ｓｉｎ
ｚｏ＜誓－。
所以ｃ。ｓ
２０＝一￣／ｒ二五而＝一去。
２ｃｏｓ
２ｚ・ｃ。ｓ手一
二、忽视结论中角的取值范围
，／ｇｃ。ｓ
２ｘ・ｓｉｎ｛＋３ｓｉｎ
２ｚ—ｃ。ｓ２ｚ一２ｓｉｎ２：ｒ一
倒２若ｓｉｎ口一譬＇Ｓｉｎ卢＝湎－ｆｄ－ｍ舳锐
恒等变换中的
铡氍
欧阳亮
■河南
求解三角函数问题离不开恒等变换，三角恒等变换的核心是角的变换。同学们在解题时常出现的错误有：忽视条件中角的取值范围、忽视结论中角的取值范围、忽视函数的定义域、忽视已知等式中函数值的取值范围以及错用公式等。下面举例说明，以供大家学习与提高。一、忽视条件中角的取值范围倒，若ｓｉｎ０，ＣＯＳ０是关于ｚ的方程５ｘ２一ｚ＋口＝０（口是常数）的两根，０∈（ｏ，７【），求ＣＯＳ２０的值。
２ｚ一詈）的值域为ｓｉｎ（ｚ＋ＴＬ－詈）一１＝Ｓｉｎｘｍｌ。
感悟：上述解法有两处错误：半角公式用错；辅助角公式用错。
［一１，１］，所以，（ｚ）一２抠ｓｉｎ值为一２压。
［一２√虿，２√虿］，即函数厂（ｚ）的最大值为２√虿，最小
感悟：第（２）问忽视了函数的定义域；误认为
（２ｘ－－｛）∈Ｒ，从而产生错解。
丫匕
错解：由题意知ｓｉｎ臼＋ｃ。ｓ口一ｉ１，所以（ｓｉｎ口＋
ｃ。ｓ
ａ一譬＜丢，
０）２一去，可得ｓｉｎ２口＝～万２４。由０Ｅ（０，也．－Ｉ
数理高用
使
知２０∈（０，２７【）。所以ＣＯＳ
２０一±√Ｆｉ丽＝
ｓｉｎ卢一等孚＜丢，可得。。＜口＋卢＜６。。，而不是。。＜

解三角形的教学反思5篇

解三角形的教学反思5篇第一篇：解三角形的教学反思解三角形的教学反思三角形中的几何计算的主要内容是利用正弦定理和余弦定理解斜三角形，是对正、余弦定理的拓展和强化，可看作前两节课的习题课。

本节课的重点是运用正弦定理和余弦定理处理三角形中的计算问题，难点是如何在理解题意的基础上将实际问题数学化。

在求解问题时，首先要确定与未知量之间相关联的量，把所求的问题转化为由已知条件可直接求解的量上来。

为了突出重点，突破难点，结合学生的学习情况，我是从这几方面体现的：我在这节课里所选择的例题就考常出现的三种题型：解三形、判断三角形形状及三角形面积，题目都是很有代表性的，并在学生练习过程中将例题变形让学生能观察到此类题的考点及易错点。

这节课我试图根据新课标的精神去设计，去进行教学，试图以“问题”贯穿我的整个教学过程，努力改进自己的教学方法，让学生的接受式学习中融入问题解决的成份，企图把讲授式与活动式教学有机整合，希望在学生巩固基础知识的同时，能够发展学生的创新精神和实践能力，但我觉得自己还有如下几点做得还不够：①课堂容量中体来说比较适中，但由于学生的整体能力比较差，没有给出一定的时间让同学们进行讨论，把老师自己认为难的，学生不易懂得直接让优等生进行展示，学生缺乏对这几个题目事先认识，没有引起学生的共同参与，效果上有一定的折扣；②没有充分挖掘学生探索解题思路，对学生的解题思维只给出了点评，而没有引起学生对这一问题的深入研究，例如对于运用正弦定理求三角形的角的时候，出了给学生们常规方法外，还应给出老教材中关于三角形个数的方法，至少应介绍一下；③没有很好对学生的解题过程和方法进行点评，没起到“画龙点睛”的作用。

④本来准备了一道练习题，但没能很好把握时间，而放弃了，说明了对这堂课准备不足，缺乏对学生很好的了解。

高中数学必修五《解三角形》第二节余弦定理教学反思本课之前，学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容，对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识。

错解三角函数题后的反思

错解三角函数题后的反思
武瑞雪
【期刊名称】《《中学数学研究》》
【年(卷),期】2010(000)012
【摘要】解题后反思是一种重要的思维习惯，它能优化解题方法，及时发现不足，或发现错误．错解中往往孕育着比正确更丰富的发现和创造因素．因此当解完一道题后，应考虑是否有疏漏？是否出错？
【总页数】4页(P25-28)
【作者】武瑞雪
【作者单位】江苏省睢宁县城北中学 221200
【正文语种】中文
【中图分类】G633.63
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5.三角函数题“正确解法”后的反思 [J], 武瑞雪
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