4.7 相似三角形的性质(1)
相似三角形的性质(1)_577740
学以致用 第一阶段： 完成《我的数学课堂》P73页 第 1 、 2、 7、 9题 第二阶段： 完成《天府数学》P36页 第5题 第三阶段： 完成《天府数学》P36页
例3
再探新知
两个相似三角形的周长比与面积比 又分别为多少呢？
已知： 如图△ABC∽△A1B1C1， 相似比是k；
求：面积比
A
A1
B1 B C
∽
AD A B D 能否得到 等于什么？ A D
图 18.3.9 图 18.3.9
结论：相似三角形对应高的比等于相似比
自主探究
相似三角形对应中线以及对应角平 分线的比又为多少呢？
A
A1
B1
B C
C1
相似三角形的性质
相 对应高的比 似 三 对应中线的比 都等于相似比. 角 对应角平分线的比 形
S ABC ? 求： S பைடு நூலகம்BC
A A1
B1
C1
B
C
相似三角形的性质
相 对应高的比 似 对应中线的比 三 都等于相似比. 角 对应角平分线的比 形 周长的比 面积的比等于相似比的平方
学以致用 第一阶段： 完成《我的数学课堂》P75页 第 1 、 2、 3、 4、 5题 第二阶段： 完成《天府数学》P37页 第5、2、3题 第三阶段： 完成《天府数学》P37页
相似三角形的性质
（一）
知识准备
B
A C
A1
B1
C1
1、相似三角形具有怎样的性质？ 2、如何计算相似比？
3、在三角形中，有哪些重要的线段？ 高、中线、角平分线 如果两个三角形相似， 那么这些对应线段有什么关系呢？
合作探究 问题1 : 如图,ABC
北师大版九年级上册数学教案-相似三角形的性质
4.7.第1课时相似三角形中的对应线段之比教学目标：（一）知识目标：经历探索相似三角形中对应线段比值与相似比的关系的过程，理解相似三角形的性质。
利用相似三角形的性质解决一些实际问题.（二）能力目标：培养学生的探索精神和合作意识；通过运用相似三角形的性质，增强学生的应用意识.在探索过程中发展学生类比的数学思想及全面思考的思维品质.（三）情感与价值观目标：在探索过程中发展学生积极的情感、态度、价值观，体现解决问题策略的多样性.三、教学过程分析本节课设计了五个教学环节：第一环节：探究相似三角形对应高的比.；第二环节：类比探究相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比；第三环节：学以致用（相似三角形性质的应用）；第四环节：课堂小结（初步升华所学内容）；第五环节：布置作业。
第一环节：探究相似三角形对应高的比.引入语：在前面我们学习了相似三角形的定义和判定条件，知道相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
那么，在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例这个性质呢？本节课我们将研究相似三角形的其他性质.内容：探究活动一：（投影片）在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑类问题.如图，小王依据图纸上的△ABC，以1：2的比例建造了模型房梁△A/B/C/，CD和C/D/分别是它们的立柱。
（1）试写出△ABC与△A/B/C/的对应边之间的关系，对应角之间的关系。
（2）△ACD与△A/C/D/相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比。
（3）如果CD=1.5cm，那么模型房的房梁立柱有多高？（4）据此，你可以发现相似三角形怎样的性质？［生］解：（1）B A AB ''=C B BC ''=C A AC ''=21 /A A ∠=∠/,B B ∠=∠///,B C A ACB ∠=∠（2）△ACD ∽△A ′C ′D ′∵////,B A D C AB CD ⊥⊥∴0///90,=∠=∠C D A ADC∵/A A ∠=∠∴△ACD ∽△A ′C ′D ′（两个角分别相等的两个三角形相似） ∴//C A AC =//D A AD =//D C CD =21 （3）∵D C CD ''=21，CD=1.5cm ∴C /D /=3cm（4）相似三角形对应高的比等于相似比目的：通过学生熟悉的建筑模型房入手，激发学生学习兴趣，层层设问，引发学生思维层层递进，从相似三角形的最基本性质展开研究.使学生明确相似比与对应高的比的关系.效果：通过层层设问，引导学生剥开问题的表面看到了相似三角形的性质：对应高的比等于相似比.第二环节：类比探究相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比过渡语：刚才我们利用相似的判定与基本性质得到了相似三角形中一种特殊线段的关系，即对应高的比等于相似比，相似三角形中除了高是特殊线段，还有哪些特殊线段？它们也具有特殊关系吗？下面让我们一起探究:内容：探究活动二：（投影片）如图：已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，AD 平分∠B AC ，A /D /平分∠B /A /C /；E 、E /分别为BC 、B /C /的中点。
4.7 相似三角形的性质(课件)九年级数学上册(北师大版)
课堂练习
例1 如图,AD是△ABC的高， AD=h，点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为
1
E。当SR= BC时，求DE长.
3
2）∵SR⟂AD,BC⟂AD,∴RS∥BC
∴∠ASR=∠B，∠ARS=∠C
∴△ASR∽△ABC. ∴
1
2
∴AE= AD 则DE= ℎ
3
3
AE
AD
=
SR
BC
1
3
而SR= BC
∴ ∠=
∴
′′
=
∠′ ′ ′
′ ′
∴ △
B
D
∽△ ′ ′ ′
C
A’
=k
相似三角形对应角平分线的比等于相似比.
B’
D’
C’
探索与思考
如图，已知△ABC∽△A’B’C’，△ABC∽△A’B’C’的相似为k，点D,E在BC边
上，点D’,E’在B’C’边上
1
1
1∶3
1∶9
对应周长的比为__________，对应面积的比为_________.
课堂练习
1 把一个三角形变成和它相似的三角形，
25
1）如果边长扩大为原来的5倍，那么面积扩大为原来的__________倍。
10
2）如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为原来的__________倍。
1
3）如果边长缩小到原来的一半，那么面积缩小为原来的__________。
B’
D’
C’
探索与思考
如图， △ ∽△ ′ ′ ′ ，相似比为，其中 、 ′′分别是∠、∠‘的角平分线，问
AD 、 A′D′有什么关系呢？
北师大版九年级数学上册4.7相似三角形的性质(教案)
4.对于学习困难的学生，给予更多的关注和个别辅导，确保他们能够跟上教、角度等。
二、核心素养目标
1.培养学生逻辑推理、数学抽象的核心素养，使学生能够通过观察、分析、归纳相似三角形的性质，并运用这些性质解决相关问题；
2.培养学生空间想象力和几何直观能力，能够通过画图、制作模型等方式，形象地理解相似三角形的性质及其应用；
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调相似三角形的判定方法和性质这两个重点。对于难点部分，如相似比的应用，我会通过具体例题和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与相似三角形相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过折叠纸张，观察相似三角形的形成和性质。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了相似三角形的定义、判定方法和性质，以及它们在实际问题中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对相似三角形性质的理解。希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
-熟悉并能够运用相似三角形的性质，包括对应角相等、对应边成比例、对应高的比等于相似比、对应角平分线的比等于相似比等。
-学会通过实际问题的分析，构建相似三角形的模型，并利用相似性质解决问题。
-例：讲解如何判定两个三角形相似，并通过具体例题强调相似三角形的性质在解题中的应用。
2.教学难点
-难点一：相似三角形的判定方法，特别是AA（角角相似）、SAS（边角边相似）、SSS（边边边相似）的判定方法，学生容易混淆。
相似三角形的基本定义与性质
相似三角形的基本定义与性质相似三角形是中学数学中一个非常重要的概念。
在几何学中，相似三角形是指具有相同形状但不一定相等的三角形。
本文将介绍相似三角形的基本定义与性质，以帮助读者更好地理解和运用相似三角形的知识。
1. 基本定义：相似三角形的定义是：两个三角形的对应角度相等，对应边线之比相等。
换句话说，如果两个三角形的三个角度分别相等，且三边之比相等，那么它们就是相似三角形。
例如，若三角形ABC和三角形DEF的对应角度分别是∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，且边线之比为AB/DE=BC/EF=AC/DF，那么三角形ABC与三角形DEF就是相似三角形。
2. 性质一：相似三角形的对应边线比例相等如果两个三角形相似，那么它们的对应边线之比相等。
也就是说，如果三角形ABC与三角形DEF相似，则有AB/DE=BC/EF=AC/DF。
这一性质在实际应用中非常有用。
例如，当我们在地图上测量两个城市之间的距离时，可以利用相似三角形的边线比例来计算实际距离。
3. 性质二：相似三角形的对应角度相等如果两个三角形相似，那么它们的对应角度相等。
也就是说，如果三角形ABC与三角形DEF相似，则有∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
这一性质使我们能够根据已知的相似三角形，推导出其他角度的大小关系。
例如，如果我们已知两个三角形相似，且其中一个角度的大小，就可以通过对应角度相等的性质，计算出其他角度的值。
4. 性质三：相似三角形的边线比例等于对应边线的平方如果两个三角形相似，那么它们的边线比例等于对应边线的平方。
也就是说，如果三角形ABC与三角形DEF相似，则有AB/DE=BC/EF=AC/DF=(AB/DE)^2=(BC/EF)^2=(AC/DF)^2。
这一性质可以应用于解决各种问题。
例如，当我们已知三角形的某一边线比例，可以利用相似三角形的边线比例等于对应边线的平方的性质，计算其他边线的比例。
综上所述，相似三角形的基本定义与性质已经介绍完毕。
4.7(1) A 相似三角形的性质
同学们:还记得我们在第四节中学过的相似 多边形吗?还记得相似多边形的对应边、对 应角有什么关系吗？
相似多边形的对应边成比例、对应角相等。
一个三角形有三条重要线段： 高线、中线、角平分线 ________________ 如果两个三角形相似，那么这些对应线段有 什么关系呢？
学习目标（1分钟）
1、理解并掌握相似三角形中对应高的比、对应 角平分线的比、对应中线的比等于相似比。
2、相似三角形性质在实际中的运用。
自学指导 1（1分钟）
1.完成p106 “想一想”以上内容。 答案：1（1）△ ACD∽ △ A′C′D′ .理由∠A= ∠A′， ∠ADC= ∠ A′D′C′ =90°。相似比是1:2 2.完成p106 “想一想 ” 答案:对应高，对应角平分线，对应中线的比都等于相似 比k. 3、相似三角形的性质: 角平分线 相似三角形对应 高 的比，对应 中线 的比和对应 的比都等于相似比。 性质证明： 4、完成课本“议一议”内 容。 AD AE (1) ' ' k (2) ' ' k AD AE
当堂训练：（15分钟）
1.△ABC与△A′B′C′的相似比为1:5,如果A′C′边上 的中线B′D′＝20cm,则AC 边上的中线BD=____ 4cm . A A
C D D 2．如上图△ABC∽△A′B′C′，对应中线AD＝6cm， A′D′＝10cm，若BC＝4.2cm，则B′C′＝7cm ______.
2、已知△ABC∽△DEF，BG、EH分别为△ABC和△DEF的 角平分线，BC＝6cm,EF＝4cm,BG＝4.8cm.求EH的长. 解：∵ △ABC∽△DEF
BG BC （相似三角形对应角平分线的比等于相似比） EH EF
相似三角形的性质 导学案(含答案)
4.7相似三角形的性质 导学案 第1课时 相似三角形的性质定理(一)1、预习目标 1．三角形中除三条边外的主要线段有角平分线、高、中线．2．相似三角形对应高的比，对应角平分线的比，对应中线的比都等于相似比． 2、课堂精讲精练【例1】如图，某同学拿着一把12 cm 长的尺子，站在距电线杆30 m 的位置，把手臂向前伸直，将尺子竖直，看到尺子恰好遮住电线杆，已知臂长60 cm ，则电线杆的高度是(D)A ．2.4 mB ．24 mC ．0.6 mD ．6 m【跟踪训练1】若△ABC ∽△A ′B ′C ′，BD 和B ′D ′是它们的对应中线，已知BD ∶B ′D ′＝5∶2，AC ＝10 cm ，则A ′C ′＝4_cm ．【跟踪训练2】已知△ABC ∽△DEF ，且相似比为4∶3，若△ABC 中∠A 的平分线AM ＝8，则△DEF 中∠D 的平分线DN ＝6．【例2】如图，△ABC 是一张锐角三角形的硬纸片，AD 是边BC 上的高，BC ＝40 cm ，AD ＝30 cm ，从这张硬纸片上剪下一个长HG 是宽HE 的2倍的矩形EFGH ，使它的一边EF 在BC 上，顶点G ，H 分别在AC ，AB 上，AD 与HG 的交点为M.(1)求证：AM AD ＝HGBC ；(2)求矩形EFGH 的周长．解：(1)证明：∵四边形EFGH 为矩形，∴EF ∥GH.∴∠AHG ＝∠ABC ，∠AGH ＝∠ACB.∴△AHG ∽△ABC. ∵AD ⊥BC ，∴AM ⊥HG. ∴AM AD ＝HG BC. (2)设HE ＝x cm ，则MD ＝x cm ，HG ＝2x cm.∵AD ＝30 cm ，∴AM ＝(30－x)cm. ∵AM AD ＝HG BC ，∴30－x 30＝2x 40. 解得x ＝12.∴矩形EFGH 的周长为2(x ＋2x)＝72 cm.【跟踪训练3】如图，已知正方形DEFG 的顶点D ，E 在△ABC 的边BC 上，顶点G ，F 分别在边AB ，AC 上．如果BC ＝4，△ABC 的面积是6，那么这个正方形的边长是127．3、课堂巩固训练1．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为3∶4，AD 与A ′D ′分别是△ABC 与△A ′B ′C ′的角平分线，则AD ∶A ′D ′等于(A)A ．3∶4B ．4∶3C ．9∶16D ．16∶92．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，BM ⊥CE ，则Rt △BEM 与Rt △BCM 斜边上的高的比为(C)A ．1∶3B ．2∶3C ．1∶2D ．3∶53．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，两腰BA 与CD 的延长线交于点P ，PF ⊥BC 于点F ，交AD 于点E.若AD ＝2，BC ＝5，EF ＝3，则PF ＝5．4．如图，在△ABC 中，BC ＝12，AD 是BC 边上的高，AD ＝8，P ，N 分别是AB ，AC 边上的点，Q ，M 是BC 上的点，连接PQ ，PN ，MN ，PN 交AD 于点E.若四边形PQMN 是矩形，且PQ ∶PN ＝1∶2，求PQ ，PN 的长．解：设PQ ＝y ，则PN ＝2y. ∵四边形PQMN 是矩形，∴PN ∥QM.∴∠APN ＝∠B ，∠ANP ＝∠C. ∴△APN ∽△ABC. ∴PN BC ＝AE AD ，即2y 12＝8－y 8. 解得y ＝247.∴PQ ＝247，PN ＝487.第2课时 相似三角形的性质定理(二)1、预习目标1．相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．2．上述性质可推广到相似多边形，即相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 2、课堂精讲精练【例1】如图，点D ，E 分别为△ABC 边AB ，AC 上的一点，且DE ∥BC ，S △ADE ＝4，S 四边形DBCE ＝5，则△ADE 与△ABC 的相似比为(D)A ．5∶9B ．4∶9C ．16∶81D ．2∶3【跟踪训练1】如图，把△ABC 沿着BC 的方向平移到△DEF 的位置，它们重叠部分的面积是△ABC 面积的一半．若BC ＝3，则△ABC 移动的距离是(D)A.32B.33C.62D.3－62【跟踪训练2】如图，在▱ABCD 中，E 为CD 的中点，AE 与BD 相交于点F.若△DEF 的面积为2，则▱ABCD 的面积为24．【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点M 是斜边AB 的中点，MD ∥BC ，且MD ＝CM ，DE ⊥AB 于点E ，连接AD ，BD.(1)求证：△MED ∽△BCA ；(2)当S △BDM ＝13S △ABC 时，求S △BED ∶S △MED 的值．解：(1)证明：∵MD ∥BC ， ∴∠DME ＝∠CBA. ∵∠DEM ＝∠ACB ＝90°， ∴△MED ∽△BCA.(2)∵∠ACB ＝90°，点M 是斜边AB 的中点，∴MB ＝12AB.∵MC ＝MD ，∴MD ＝12AB.∵△MED ∽△BCA ，∴S △MED S △ABC ＝(DM AB )2＝14.∵S △BDM ＝13S △ABC ，∴S △MED S △BDM ＝34.又∵S △MED ＋S △BED ＝S △BDM ， ∴S △BED ∶S △MED ＝1∶3.【跟踪训练3】如图所示，在▱ABCD 中，点E 是CD 的延长线上一点，且DE ＝12CD ，BE 与AD交于点F.(1)求证：△ABF ∽△CEB ；(2)若△DEF 的面积为2，求▱ABCD 的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴∠A ＝∠C ，AB ∥CD ，AD ∥BC ，AB ＝CD. ∴∠ABF ＝∠E. ∴△ABF ∽△CEB. (2)∵AD ∥BC ，∴△DEF ∽△CEB.∴S △DEF S △CEB ＝(DE CE )2.∵DE ＝12CD ，AB ＝CD ，∴DE CE ＝13，DE AB ＝12.∴S △DEF S △ABF ＝14，S △DEF S △CEB ＝19. ∴S △ABF ＝8，S △CEB ＝18.∴S ▱ABCD ＝S △ABF ＋S △CEB －S △DEF ＝8＋18－2＝24.3、课堂巩固训练1．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，若AD ∶DB ＝1∶2，△ADE 的周长是6，则△ABC 的周长是(C)A ．6B ．12C ．18D ．242．已知△ABC 与△DEF 相似且周长的比为2∶3，则△ABC 与△DEF 的面积比为(D)A ．2∶3B ．16∶81C ．9∶4D ．4∶93．如图，E为▱ABCD的边AB延长线上的一点，且BE∶AB＝2∶3，△BEF的面积为4，则▱ABCD 的面积为(A)A．30 B．27 C．14 D．324．如果两个相似三角形的周长比为1∶2，那么它们某一组对应边上的高之比为1∶2．5．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，两腰的延长线相交于点P.若S△PAD∶S梯形ABCD＝1∶2，且BC＝26，求AD的长．解：∵S△PAD∶S梯形ABCD＝1∶2，∴S△PAD∶S△PBC＝1∶3.∵AD∥BC，∴△PAD∽△PBC.∴ADBC＝33.∴AD＝2 2.。
4.7 相似三角形的性质(一)
4.7 相似三角形的性质（一）●教学目标（一）教学知识点相似三角形对应高的比，对应角平分线的比和对应中线的比与相似比的关系. （二）能力训练要求1. 熟练应用相似三角形的性质：对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比。
2.利用相似三角形的性质解决一些实际问题. （三）情感与价值观要求1.通过探索相似三角形中对应线段的比与相似比的关系，培养学生的探索精神和合作意识.2.通过运用相似三角形的性质，增强学生的应用意识. ●教学重点1.相似三角形中对应线段比值的推导.2.运用相似三角形的性质解决实际问题. ●教学难点相似三角形的性质的运用. ●教学方法 引导启发式 ●教具准备 投影片两张 第一张：（记作§4.7.1 A ） 第二张：（记作§4.7.1 B ） ●教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课［师］在前面我们学习了相似多边形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，相似三角形是相似多边形中的一种，因此三对对应角相等，三对对应边成比例.那么，在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例这个性质呢？本节课我们将进行研究相似三角形的其他性质.Ⅱ.新课讲解 1.做一做投影片（§4.7.1 A ） 钳工小王准备按照比例尺为3∶4的图纸制作三角形零件，如图，图纸上的△ABC 表示该零件的横断面△A ′B ′C ′，CD 和C ′D ′分别是它们的高.（1）B A AB '',C B BC '',C A AC''各等于多少？ （2）△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗？如果相似，请说明理由，并指出它们的相似比.（3）请你在图①中再找出一对相似三角形. （4）DC CD''等于多少？你是怎么做的？与同伴交流.图①［生］解：（1）B A AB ''=C B BC ''=C A AC ''=43（2）△ABC ∽△A ′B ′C ′∵B A AB ''=C B BC ''=CA AC ''∴△ABC ∽△A ′B ′C ′，且相似比为3∶4.（3）△BCD ∽△B ′C ′D ′.（△ADC ∽△A ′D ′C ′） ∵由△ABC ∽△A ′B ′C ′得 ∠B =∠B ′∵∠BCD =∠B ′C ′D ′∴△BCD ∽△B ′C ′D ′（同理△ADC ∽△A ′D ′C ′）（4）D C CD ''=43∵△BDC ∽△B ′D ′C ′ ∴D C CD ''= C B BC ''=43 2.议一议已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为k .（1）如果CD 和C ′D ′是它们的对应高，那么D C CD''等于多少？ （2）如果CD 和C ′D ′是它们的对应角平分线,那么D C CD''等于多少？如果CD 和C ′D ′是它们的对应中线呢？［师］请大家互相交流后写出过程.［生甲］从刚才的做一做中可知，若△ABC ∽△A ′B ′C ′，CD 、C ′D ′是它们的对应高，那么D C CD ''=C B BC''=k . ［生乙］如图②，△ABC ∽△A ′B ′C ′，CD 、C ′D ′分别是它们的对应角平分线，那么D C CD ''= C A AC''=k .图②∵△ABC ∽△A ′B ′C ′∴∠A =∠A ′,∠ACB =∠A ′C ′B ′∵CD 、C ′D ′分别是∠ACB 、∠A ′C ′B ′的角平分线. ∴∠ACD =∠A ′C ′D ′ ∴△ACD ∽△A ′C ′D ′ ∴D C CD ''= C A AC ''=k . ［生丙］如图③中，CD 、C ′D ′分别是它们的对应中线，则D C CD ''= C A AC''=k .图③∵△ABC ∽△A ′B ′C ′ ∴∠A =∠A ′，C A AC ''= B A AB''=k . ∵CD 、C ′D ′分别是中线∴D A AD ''=B A AB''2121=B A AB ''=k . ∴△ACD ∽△A ′C ′D ′ ∴D C CD ''= C A AC''=k . 由此可知相似三角形还有以下性质.相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比. 3.例题讲解投影片（§3.7.1 B ）图④如图④所示，AD 是△ABC 的高，AD=h ,点R 在AC 边上，点S 在AB 边上，SR ⊥AD,垂足为E .当S R=21BC 时，求DE 的长，如果SR =31BC 呢？ 解：∵ SR ⊥AD,BC ⊥AD,∴SR ∥BC .∵∠ASR=∠B, ∠ARS=∠C,∴△ASR ∽△ABC （两角分别相等的两个三角形相似）. ∴BCSRAD AE =（相似三角形对应高的比等于相似比）， 即BCSRAD DE AD =-.当SR=21BC 时，得21=-h DE h ，解得DE=21h 当SR=31BC 时，得31=-h DE h ，解得DE=32hⅢ.课堂练习如果两个相似三角形对应高的比为4∶5,那么这两个相似三角形的相似比是多少？对应中线的比，对应角平分线的比呢？（都是4∶5）. Ⅳ.课时小结本节课主要根据相似三角形的性质和判定推导出了相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.Ⅴ.课后作业 完成习题Ⅵ.活动与探索图⑤如图⑤，AD ，A ′D ′分别是△ABC 和△A ′B ′C ′的角平分线，且B A AB ''=D B BD ''=D A AD'' 你认为△ABC ∽△A ′B ′C ′吗？ 解：△ABC ∽△A ′B ′C ′成立.∵B A AB ''=D B BD ''=D A AD '' ∴△ABD ∽△A ′B ′D ′∴∠B =∠B ′,∠BAD =∠B ′A ′D ′ ∵∠BAC =2∠BAD ,∠B ′A ′C ′=2∠B ′A ′D ′ ∴∠BAC =∠B ′A ′C ′ ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′●板书设计§4.7.1 相似三角形的性质（一）一、1.做一做 2.议一议 3.例题讲解 二、课堂练习 三、课时小节 四、课后作业●备课资料如图⑥，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高.图⑥（1）则图中有几对相似三角形. （2）若AD =9 cm,CD =6 cm,求BD . （3）若AB =25 cm,BC =15 cm,求BD .解：（1）∵CD ⊥AB∴∠ADC =∠BDC =∠ACB =90° 在△ADC 和 △ACB 中 ∠ADC =∠ACB =90° ∠A =∠A∴△ADC ∽△ACB同理可知，△CDB ∽△ACB ∴△ADC ∽△CDB所以图中有三对相似三角形. （2）∵△ACD ∽△CBD∴BD CDCD AD =即BD669= ∴BD =4 （cm ）（3）∵△CBD ∽△ABC ∴BC BD BA BC =. ∴152515BD = ∴BD =251515⨯=9 （cm ）.。
4.7 相似三角形的性质
有几种切割方法？
D E
B
C
6、如图，△ABC,DE//BC，且△ADE的面 积等于梯形BCED的面积，则△ADE与
△ABC的相似比是_1__: __2__ A
D B
E C
8、如图，平行四边形ABCD中，AE：EB=1： 2，求△AEF与△CDF周长的比。如果S△AEF=6 cm2,求S△CDF？
相似三角形的相似比与对应边上高线比有什么 关系？
例如： ΔABC∽ΔA/B/C/ ，AD BC于 D，
A / D / B / C /于D / ， A
求证： AD AB
A/
k
A'D' A'B'
B
D
C B/
D/ C/
①相似三角形的对应高线之比等于相似比。
A
Aˊ
B
角平D分线
B ˊ 角平Dˊ分 C线
Cˊ
2、如图，△ABC∽△AˊBˊCˊ ，它们的周长分别为 60cm和72cm，且AB=15cm，BˊCˊ =24cm，
求BC、AC、AˊBˊ、AˊCˊ的长。
A`
A 15
B
C
B`
72
C`
例1、如图在ΔABC 和ΔDEF中，AB=2DE， AC=2DF，∠A=∠D，ΔABC的周长是24， 面积是48，求ΔDEF的周长和面积。
A D
B
CE
F
相信自己 如图,在△ABC中,D是AB的中点，
我能行 DE∥ BC，则:
(1)S △ADE : S △ABC =
1:4
(2)S △ADE: S 梯形DBCE = 1:3 A
D B
E C
Байду номын сангаас
4.7.1相似三角形的性质
又∵∠ADC=∠A’D’C’ 相∴△似A比C为D：∽1△A’C’D’ 2
(2)如果,CD=1.5cm模型房的房梁立柱有多高？ 由(1)得△ACD∽△A’C’D’
CD AC 1 1.5 1 CD AC 2 CD 2
CD 3 你发现了什么？
相似三角形对应高的比等于相似比
C′
CC′DD′=
AC A′C′
A′
D′ B′
自学检测1:(6分钟)
1.△ABC与△A’B’C’的相似比为3:4，若 B'C' 边上
的
9cm
2高.如A图'D，' ＝△1A2BcCm∽，△A则′BB′CC边′，上A的D高、ABDE分=_别__是__△__A_B__C_的
高和中线，A′D′、B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，且
A
S
ER
B
P
DQ C
变式2.如图所示,矩形SRPQ内接于△ABC,点P、 Q在BC上,点S,R分别在AC,AB 上,SR=2m,BC=5m。△ABC的高AD=3mm， 求矩形SRPQ的面积。
A
S
ER
B
P
DQ C
变式3.已知:如图,SRPQ为矩形,AD⊥BC于D， SR 1 ,BC＝30cm,AD＝12cm.求：矩形
AD=4，A′D′=3，BE=6，则B′E′的长为_______
3.如图，在△ABC中，DE∥BC，AH⊥BC于点
H，与DE交于点G．若 AG = 3
GH 2
则：BDCE _______
变式1：若AG=3，GH=2，AC=10，则AE=______
变式2：若AG=2GH，BD=5，则AE=______
4.7相似三角形的性质(1)
情境引入
一个三角形有三条重要线段：高、中线、角平分线 ____ _____ ________ 如果两个三角形相似，
那么这些对应线段有什么关系呢？
F
探究活动一：
探究相似三角形对应高的比. 在生活中，我们经常利用相似的知识解决建 筑类问题.如图，小王依据图纸上的△ABC， 以1：2的比例建造了模型房梁△A'B'C'，
是
7.5cm 。
3、已知△ABC∽△A´B´C´，AD、A ´D ´ 分别是对应边BC、B ´C ´上的高，若BC＝ 8cm,B ´C ´＝6cm,AD＝4cm,则A ´D ´等于 （ C ）
A 16cm B 12 cm
C 3 cm
D 6 cm
4、两个相似三角形对应高的比为3∶7， 它们的对应角平分线的比为（ D ）
A A/
B
DE
C
B/
D/
E/
C/
相似三角形性质定理：
相似三角形对应高的比,对应角平分线 的比,对应中线的比都等于相似比。 ∵△ABC∽△A′B′C′
∴
AB AC BC AF AD AE k A' B ' A' C ' B ' C ' A' F ' A' D ' A' E '
A/
探究活动一：
• 相似三角形对应高的比 等于相似比。
探究活动二
•
类比探究相似三角形 对应角平分线的比、对应中线的比 如图：已知△ABC∽△A'B′C′，相似比 为k，AD平分∠BAC，A'D'平分 ∠B'A'C'；E、E'分别为BC、B'C'的中 点。试探究AD与 A'D'的比值关系， AE与A'E'呢？
4.7相似三角形的性质(1)
A
C′
B D E C
E′ D′
B′
观察思考
课本P106 议一议
如图，△ABC∽△A′B′C′， 相似比为k； 1 (1)若∠BAD= ∠BAC， ∠B′A′D′= 1∠ A′B′C′, 3 3 AD ________ 则
A' D'
A
A′
B
D
C
C′
D′
B′
观察思考
课本P106 议一议
如图，△ABC∽△A′B′C′， 相似比为k； 1 （2）若BE= 1 BC, B′E′= B′C′， 3 3 AE ________ 则：
那么， ACD 与△ACB A’C’D’ 相似吗？ 又∵ CD、△ C′D ′分别是∠ 和∠ A′C′B′的角平分线, 1 1 与C′D′的比是多少？ CD ∴∠1= ∠ACB, ∠ 2= ∠A′C′B′ 2 2 ∴∠1=∠ 2 ∴△ACD∽△A′C′D′
CD AC k C ' D' A' C '
4.7 相似三角形的性质（1）
温故知新
1.什么叫相似三角形？
三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫相似三角形.
2.你有几种方法判定两个三角形是相似三角形？
（1）两角分别相等的两个三角形相似.
（2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. （3）三边成比例的两个三角形相似.
温故知新
3.如图，△ABC ∽△A′B′C′
A' C '
A' B'
AD ∴ A' D' AD A' D '
AB A' B' AC A' C '
4.7_相似三角形性质(课时1)(教案)
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）相似三角形的性质：对应角相等、对应边成比例。
-通过实际图形，让学生直观感受相似三角形的性质。
-强调性质中的“对应”概念，解释对应角、对应边的含义。
（2）相似三角形的判定方法：AA准则、SAS准则、SSS准则。
4.7_相似三角形性质（课时1）（教案）
一、教学内容
本节课选自九年级数学教材第四章第七节《相似三角形性质》（课时1）。教学内容主要包括以下两部分：
1.探索相似三角形的性质：对应角相等、对应边成比例。
2.学习相似三角形的判定方法：AA准则、SAS准则、SSS准则。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下方面：
-详细讲解每种判定方法的条件及适用情况。
-通过典型例题，展示如何运用判定方法判断两个三角形是否相似。
（3）相似三角形在实际问题中的应用。
-分析实际问题，引导学生运用相似三角形的性质和判定方法解决问题。
-强调相似三角形在实际生活中的应用价值。
2.教学难点
（1）对应角、对应边的理解。
-学生容易混淆对应角、对应边，需通过实例进行解释和强调。
1.讨论主题：学生将围绕“相似三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
1.培养学生的几何直观：通过观察、操作相似三角形，让学生理解相似三角形的性质，发展几何直观能力。
北师版九年级数学 4.7相似三角形的性质(学习、上课课件)
的平方
感悟新知
知2－练
例 2 如果两个相似三角形的相似比是3 ∶2，它们的周长 差为8，那么较大的三角形的周长为______. 解题秘方：紧扣“相似三角形的周长比等于相似比” 列方程求解.
感悟新知
解：设较大的三角形的周长为x，则较小 的三角形的周长为x－8. ∵这两个相似三角形的相似比为3 ∶ 2， ∴这两个三角形的周长比为3 ∶ 2. ∴x－x 8=32，解得x =24. ∴较大三角形的周长为24 . 答案：24
两个三角形高(或底)的比相混淆.
如下表：
感悟新知
图形 周 长 比
面 积 比
推理
A′ABB′＋＋BB′CC＋′＋AAC′C′=
(A′B ＋B′C ＋A′ C )·k A′B ＋B′C ＋A′C
=k
S△ ABC S△ A′ B′C′
=12B12′BCC′ ··AA论
周长比等 于相似比
∴AA′DD′=AA′BB′ =k
感悟新知
图形
对应 中线 的比
AM，A′M′分别为 △ ABC 和△ A′B′C′对应边上的 中线
知1－讲
证明过程
结论
∵△ ABC ∽△ A′B′C′，
∴∠ B=∠ B′，AA′BB′=BB′CC′ . 对应 ∵AM，A′M′分别是边BC， 中线
B′C′上的中线，∴
感悟新知
知1－讲
图形
证明过程
结论
∵△ ABC ∽△
对应
A′B′C′，∴∠ B=∠ B′. 高的
对应
∵ AD ⊥ BC，A′D′⊥ 比等
高的
B′C′，∴∠ ADB= 于相
比 AD，A′D′分别为△ ∠A′D′B′=90° .∴△ 似比
4.7.1相似三角形的性质(教案)
此外，实践活动中的小组讨论环节，我发现有些学生在讨论过程中参与度不高，可能是因为他们对问题不够了解或者缺乏自信。针对这个问题，我将在接下来的教学中，鼓励学生们多发表自己的观点，培养他们的自信心和团队协作能力。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调相似三角形的判定方法和性质这两个重点。对于难点部分，比如相似比与面积比的关系，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与相似三角形相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如测量相似三角形的边长和角度，验证相似性质。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了相似三角形的基本概念、重要性质和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对相似三角形性质的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对相似三角形的性质这一部分内容掌握得还算不错。他们在小组讨论和实验操作环节表现出了较高的积极性，能够将所学的理论知识应用到实际问题中。但在教学过程中，我也注意到了几个需要改进和加强的地方。
首先，对于相似三角形的判定方法，部分学生仍然存在一定的困惑，特别是在对应边和对应角的识别上。在今后的教学中，我需要更加注重这一点，通过丰富的实例和练习，帮助学生熟练掌握判定方法。
4.7相似三角形的性质(教案)2018-2019学年九年级上学期数学教材(北师大版)
-学会运用相似三角形的性质解决实际问题，将理论知识与实际应用相结合。
举例：在讲解相似三角形的性质时，重点强调对应角相等这一性质，通过具体图形示例，让学生直观感受并理解这一性质。
3.培养学生数学建模与问题解决能力，让学生在解决实际问题的过程中，运用相似三角形的性质构建数学模型，提高解决问题的策略与方法；
4.培养学生数据分析与数学运算能力，在对相似三角形数据进行处理和分析的过程中，使学生掌握相似比的计算方法，提高数学运算的准确性。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握相似三角形的定义及其判定方法，这是相似三角形性质学习的基础；
举例1：对于判定两个三角形相似的问题，学生可能会在SSS判定上产生困惑，此时教师应详细解释三条边成比例的条件，并通过多个示例加以巩固。
举例2：在应用相似三角形的性质解决面积问题时，学生可能不清楚如何将相似比转化为面积比。教师应引导学生理解面积比是相似比的平方，并通过具体例题演示如何计算。
举例3：针对实际问题，如建筑物与影子形成的相似三角形，教师应指导学生如何在实际情境中识别相似三角形，并运用性质进行计算，从而解决高度、长度等实际问题。
五、教学反思
在今天的相似三角形性质的教学中，我发现学生们对于相似三角形的定义和性质的理解普遍较好，能够跟上课堂的节奏。但在实际应用方面，部分学生还显得有些吃力，特别是在相似比的计算和实际问题的解决上。这让我意识到，在接下来的教学中，需要更加注重培养学生的实际应用能力。
在导入新课环节，通过提问方式引导学生思考日常生活中的相似三角形实例，这一做法效果不错，学生们表现出较高的兴趣。但在新课讲授过程中，我发现理论介绍部分，部分学生显得有些被动接受，缺乏主动思考。因此，我考虑在后续的教学中，尝试增加一些互动环节，让学生在课堂上能够更多地进行思考和讨论。