2014届高考理科数学第一轮复习导学案43.doc
2014届高考理科学数学第一轮复习导学案1
学案3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词导学目标： 1.了解逻辑联结词“或、且、非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．自主梳理1．逻辑联结词命题中的或，且，非叫做逻辑联结词．“p且q”记作p∧q，“p 或q”记作p∨q，“非p”记作綈p.2．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断3.(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题，可用符号简记为∀x∈M，p(x)，它的否定∃x∈M，綈p(x)．(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．含有存在量词的命题，叫做存在性命题，可用符号简记为∃x∈M，p(x)，它的否定∀x∈M，綈p(x)．自我检测1.命题“∃x∈R，x2－2x＋1<0”的否定是__________________答案∀x∈R，x2－2x＋1≥0解析因要否定的命题是存在性命题，而存在性命题的否定为全称命题．对x2－2x＋1<0的否定为x2－2x＋1≥0.2．若命题p：x∈A∩B，则綈p是________________答案x∉A或x∉B解析∵“x∈A∩B”⇔“x∈A且x∈B”，∴綈p ：x ∉A 或x ∉B .3．(2010·苏州调研)命题“若x >0，则x 2>0”的否命题是________命题．(填“真”或 “假”)答案 假解析 其否命题是“若x ≤0，则x 2≤0”，为假命题．4．若“x ∈[2,5]或x ∈{x |x <1或x >4}”是假命题，则x 的取值范围是________．答案 [1,2)解析 x ∉[2,5]且x ∉{x |x <1或x >4}是真命题．由⎩⎪⎨⎪⎧x <2或x >5，1≤x ≤4得1≤x <2，故填[1,2)． 5．(2009·辽宁改编)下列4个命题：①∃x ∈(0，＋∞)，(12)x <(13)x ；②∃x ∈(0,1)，log 12x >log 13x ；③∀x ∈(0，＋∞)，(12)x >log 12x ；④∀x ∈(0，13)，(12)x <log 13x .其中的真命题是________(填序号)．答案 ②④解析 取x ＝12，则log 12x ＝1，log 13x ＝log 32<1，②正确．当x ∈(0，13)时，(12)x <1，而log 13x >1，④正确．探究点一 判断含有逻辑联结词的命题的真假例1 写出由下列各组命题构成的“p ∨q ”、“p ∧q ”、“綈p ”形式的复合命题，并判断真假．(1)p ：1是素数；q ：1是方程x 2＋2x －3＝0的根；(2)p ：平行四边形的对角线相等；q ：平行四边形的对角线互相垂直；(3)p ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的符号相同；q ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的绝对值相等．解题导引 正确理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义是解题的关键，应根据组成各个复合命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断．其步骤为：①确定复合命题的构成形式；②判断其中简单命题的真假；③根据其真值表判断复合命题的真假．解 (1)p ∨q ：1是素数或是方程x 2＋2x －3＝0的根．真命题．p ∧q ：1既是素数又是方程x 2＋2x －3＝0的根．假命题．綈p ：1不是素数．真命题．(2)p ∨q ：平行四边形的对角线相等或互相垂直．假命题．p ∧q ：平行四边形的对角相等且互相垂直．假命题．綈p ：有些平行四边形的对角线不相等．真命题．(3)p ∨q ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的符号相同或绝对值相等．假命题．p ∧q ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的符号相同且绝对值相等．假命题．綈p ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的符号不相同．真命题．变式迁移1 已知命题p ：∃x ∈R ，使tan x ＝1，命题q ：x 2－3x＋2<0的解集是{x |1<x <2}，给出下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧綈q ”是假命题；③命题“綈p ∨q ”是真命题；④命题“綈p ∨綈q ”是假命题，其中正确的是________(填序号)．答案 ①②③④解析 命题p ：∃x ∈R ，使tan x ＝1是真命题，命题q ：x 2－3x＋2<0的解集是{x |1<x <2}也是真命题，∴①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧綈q ”是假命题；③命题“綈p ∨q ”是真命题；④命题“綈p ∨綈q ”是假命题．探究点二 全称(存在性)命题及真假判断例2 判断下列命题的真假．(1)∀x ∈R ，都有x 2－x ＋1>12.(2)∃α，β使cos(α－β)＝cos α－cos β.(3)∀x ，y ∈N ，都有x －y ∈N .(4)∃x 0，y 0∈Z ，使得2x 0＋y 0＝3.解题导引 判定一个全称(存在性)命题的真假的方法：(1)全称命题是真命题，必须确定对集合中的每一个元素都成立，若是假命题，举反例即可．(2)存在性命题是真命题，只要在限定集合中，至少找到一个元素使得命题成立．解 (1)真命题，因为x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34≥34>12.(2)真命题，如α＝π4，β＝π2，符合题意．(3)假命题，例如x ＝1，y ＝5，但x －y ＝－4 N .(4)真命题，例如x 0＝0，y 0＝3符合题意．变式迁移2 (2010·江苏苏州中学阶段性测试一)若命题“∃x ∈R ，使得x 2＋(1－a )x ＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围为__________________．答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)解析 由题意可知，Δ＝(1－a )2－4>0，解得a <－1或a >3.探究点三 全称命题与存在性命题的否定例3 写出下列命题的“否定”，并判断其真假．(1)p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0；(2)q ：所有的正方形都是矩形；(3)r ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0；(4)s ：至少有一个实数x ，使x 3＋1＝0.解题导引 (1)全称(存在性)命题的否定与一般命题的否定有着一定的区别，全称(存在性)命题的否定是将其全称量词改为存在量词(或把存在量词改为全称量词)，并把结论否定；而一般命题的否定则是直接否定结论即可．(2)要判断“綈p ”命题的真假，可以直接判断，也可以判断p 的真假．因为p 与綈p 的真假相反且一定有一个为真，一个为假．解 (1)綈p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋14<0，这是假命题，因为∀x ∈R ，x 2－x ＋14＝(x －12)2≥0恒成立，即p 真，所以綈p假．(2)綈q ：至少存在一个正方形不是矩形，是假命题．(3)綈r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，是真命题，这是由于∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1≥1>0成立．(4)綈s：∀x∈R，x3＋1≠0，是假命题，这是由于x＝－1时，x3＋1＝0.变式迁移3(2010·深圳一模)已知命题p：∃x∈R，x2＋2ax＋a≤0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围为________．答案(0,1)解析p为假，即“∀x∈R，x2＋2ax＋a>0”为真，∴Δ＝4a2－4a<0，∴0<a<1.转化与化归思想例(14分)已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．【答题模板】解由“p且q”是真命题，则p为真命题，q也为真命题．[4分] 若p为真命题，a≤x2恒成立，∵x∈[1,2]，∴a≤1. [8分]若q为真命题，即x2＋2ax＋2－a＝0有实根，Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2，[12分]综上，所求实数a的取值范围为a≤－2或a＝1. [14分]【突破思维障碍】含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的(一个或两个)命题的真假，求出参数存在的条件，命题p转化为恒成立问题，命题q转化为方程有实根问题，最后再求出含逻辑联结词的命题成立的条件．若直接求p成立的条件困难，可转化成求綈p成立的条件，然后取补集．【易错点剖析】“p且q”为真是全真则真，要区别“p或q”为真是一真则真，命题q 就是方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，所以Δ≥0.不是找一个x 0使方程成立．1．逻辑联结词“或”“且”“非”的含义的理解．(1)“或”与日常生活用语中的“或”意义有所不同，日常用语“或”带有“不可兼有” 的意思，如工作或休息，而逻辑联结词“或”含有“同时兼有”的意思，如x <6或x >9.(2)命题“非p ”就是对命题“p ”的否定，即对命题结论的否定；否命题是四种命题中的一种，是对原命题条件和结论的同时否定．2．判断复合命题的真假，要首先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后根据真值表判断． 3．全称命题“∀x ∈M ，p (x )”的否定是一个存在性命题“∃x ∈M ，綈p (x )”，存在性命题“∃x ∈M ，p (x )”的否定是一个全称命题“∀x ∈M ，綈p (x )”.(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．(2011·常州月考)已知命题p ：∃x ∈R ，x 2－3x ＋3≤0，则綈p 为________．答案 ∀x ∈R ，x 2－3x ＋3>02．已知命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋3>0，如果命题綈p 是真命题，那么实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，13]解析 ∵命题綈p 是真命题，∴命题p 是假命题，而当命题p 是真命题时，不等式ax 2＋2x ＋3>0对一切x ∈R 恒成立，这时应有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－12a <0，解得a >13.因此当命题p 是假命题，即命题綈p 是真命题时，实数a 的范围是a ≤13.3．已知条件p ：|x ＋1|>2，条件q ：x >a ，且綈p 是綈q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．答案[1，＋∞)解析綈p是綈q的充分不必要条件的等价命题为q是p的充分不必要条件，即q⇒p，而p q，条件p化简为x>1或x<－3，所以当a≥1时，q⇒p.4．已知命题“∀a，b∈R，如果ab>0，则a>0”，则它的否命题是________．答案∀a，b∈R，如果ab≤0，则a≤0解析∀a，b∈R是大前提，在否命题中也不变，又因ab>0，a>0的否定分别为ab≤0，a≤0.5．下列有关命题的说法中正确的有________(填序号)．①命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”；②“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件；③命题“∃x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“∀x∈R，均有x2＋x＋1<0”；④命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题．答案④6．(2010·安徽)命题“对∀x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是______________．答案∃x∈R，|x－2|＋|x－4|≤37．(2011·镇江模拟)已知命题p：“∀x∈R，∃m∈R使4x－2x＋1＋m＝0”，若命题綈p是假命题，则实数m的取值范围为__________．答案m≤1解析命题綈p是假命题，即命题p是真命题，也就是关于x的方程4x－2x＋1＋m＝0有实数解，即m＝－(4x－2x＋1)，令f(x)＝－(4x－2x＋1)，由于f(x)＝－(2x－1)2＋1，所以当x∈R时f(x)≤1，因此实数m的取值范围是m≤1.8．(2010·安徽)命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是______________________．答案对任意x∈R，都有x2＋2x＋5≠0解析因存在性命题的否定是全称命题，所以得：对任意x∈R，都有x2＋2x＋5≠0.二、解答题(共42分)9．(14分)分别指出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题的真假．(1)p：4∈{2,3}，q：2∈{2,3}；(2)p ：1是奇数，q ：1是质数；(3)p ：0∈∅，q ：{x |x 2－3x －5<0}⊆R ；(4)p ：5≤5，q ：27不是质数．解 (1)∵p 是假命题，q 是真命题，∴p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，綈p 为真命题．(3分)(2)∵1是奇数，∴p 是真命题．又∵1不是质数，∴q 是假命题．因此p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，綈p 为假命题．(6分)(3)∵0∉∅，∴p 为假命题．又∵x 2－3x －5<0⇒3－292<x <3＋292，∴{x |x 2－3x －5<0}＝{x |3－292<x <3＋292}⊆R 成立．∴q 为真命题．∴p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，綈p 为真命题．(10分)(4)显然p ：5≤5为真命题，q ：27不是质数为真命题， ∴p ∨q 为真命题，p ∧q 为真命题，綈p 为假命题． (14分)10．(14分)命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，q ：函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．解 设g (x )＝x 2＋2ax ＋4，由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16<0，∴－2<a <2.(4分)又∵函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，∴3－2a >1，∴a <1.(6分)又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假．(1)若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a ≥1，∴1≤a <2；(8分)(2)若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2，或a ≥2，a <1，∴a ≤－2.(13分) 综上可知，所求实数a 的取值范围为1≤a <2，或a ≤－2.(14分)11．(14分)已知p ：x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根，q ：4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．解 p ：x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝m 2－4>0－m <0⇔m >2.(3分)q ：4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．⇔Δ2＝16(m －2)2－16<0⇔1<m <3，(6分)因为p 或q 为真，p 且q 为假，所以p 与q 的真值相反． ①当p 真且q 假时，有⎩⎨⎧ m >2m ≤1或m ≥3⇒m ≥3；(10分)②当p 假且q 真时，有⎩⎨⎧ m ≤21<m <3⇒1<m ≤2.(12分)综上可知，m 的取值范围为{m |1<m ≤2或m ≥3}．(14分)。
2014届高考理科学数学第一轮复习导学案2
第2章函数学案4函数及其表示导学目标： 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法等)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用．自主梳理1．函数的基本概念(1)函数定义设A，B是两个非空的________，如果按某种对应法则f，对于集合A中的____________，在集合B中______________，称f：A→B 为从集合A到集合B的一个函数，x的取值范围A叫做函数的__________，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的________．(2)函数的三要素________、________和__________．(3)函数的表示法表示函数的常用方法有：________、________、________.(4)函数相等如果两个函数的定义域和____________完全一致，则这两个函数相等，这是判定两函数相等的依据．(5)分段函数：在函数的________内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的__________，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数是一个函数，它的定义域是各段取值区间的______，值域是各段值域的______．2．映射的概念(1)映射的定义设A、B是两个非空的集合，如果按某种对应法则f，对于集合A 中的每一个元素，在集合B中__________确定的元素与之对应，那么这样的单值对应f：A→B叫集合A到集合B的________．(2)由映射的定义可以看出，映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合，A、B必须是非空数集．自我检测1．设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列4个图形，其中能表示集合M到N的函数关系的有________(填序号)．2．(2010·湖北改编)函数y ＝1log 0.5(4x －3)的定义域为________．3．(2010·湖北改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >02x ， x ≤0，则f (f (19))＝________.4．下列函数中，与函数y ＝x 相同的函数是________(填序号)．①y ＝x 2x ；②y ＝(x )2；③y ＝lg 10x ；④y ＝2log 2x .5．函数y ＝lg(ax 2－ax ＋1)的定义域是R ，求a 的取值范围．探究点一 函数与映射的概念例1 下列对应法则是集合P 上的函数的是________(填序号)． (1)P ＝Z ，Q ＝N *，对应法则f ：对集合P 中的元素取绝对值与集合Q 中的元素相对应；(2)P ＝{－1,1，－2,2}，Q ＝{1,4}，对应法则：f ：x →y ＝x 2，x ∈P ，y ∈Q ；(3)P ＝{三角形}，Q ＝{x |x >0}，对应法则f ：对P 中三角形求面积与集合Q 中元素对应．变式迁移1 已知映射f ：A →B .其中A ＝B ＝R ，对应法则f ：x →y ＝－x 2＋2x ，对于实数k ∈B ，在集合A 中不存在元素与之对应，则k 的取值范围是________．探究点二 求函数的定义域 例2 求下列函数的定义域：(1)y ＝x ＋1＋(x －1)0lg (2－x )；(2)已知函数f (2x ＋1)的定义域为(0,1)，求f (x )的定义域．变式迁移2 已知函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，那么g (x )＝f (x 2)1＋lg (x ＋1)的定义域是___________________．探究点三 求函数的解析式例3 (1)已知f (2x ＋1)＝lg x ，求f (x )；(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )；(3)已知f (x )满足2f (x )＋f (1x )＝3x ，求f (x )．变式迁移3 给出下列两个条件：(1)f (x ＋1)＝x ＋2x ； (2)f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2.试分别求出f (x )的解析式．探究点四 分段函数的应用例4 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ， x ≤0，2， x >0.若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为________．变式迁移4 (2010·江苏)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1， x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的范围为______________．1．与定义域有关的几类问题 第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义；第三类是不给出函数的解析式，而由f (x )的定义域确定函数f [g (x )]的定义域或由f [g (x )]的定义域确定函数f (x )的定义域．第四类是已知函数的定义域，求参数范围问题，常转化为恒成立问题来解决．2．解析式的求法求函数解析式的一般方法是待定系数法和换元法，除此还有代入法、拼凑法和方程组法．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．下列各组中的两个函数是同一函数的为________(填序号)．①y 1＝(x ＋3)(x －5)x ＋3，y 2＝x －5；②y 1＝x ＋1x －1，y 2＝(x ＋1)(x －1)； ③f (x )＝x ，g (x )＝x 2；④f (x )＝3x 4－x 3，F (x )＝x 3x －1； ⑤f 1(x )＝(2x －5)2，f 2(x )＝2x －5.2．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的公共点数目是________． 3．(2011·南京模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2(x ≤－1)，x 2(－1<x <2)，2x (x ≥2)，若f (x )＝3，则x 的值为________．4．(2009·江西改编)函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为________． 5．设f ：x →x 2是从集合A 到集合B 的映射，如果B ＝{1,2}，则A ∩B 为____________．6．下列四个命题：(1)f (x )＝x －2＋1－x 有意义；(2)函数是其定义域到值域的映射；(3)函数y ＝2x (x ∈N )的图象是一条直线；(4)函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ≥0，－x 2，x <0的图象是抛物线．其中正确的命题个数为________．7．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋1 (x ≥0)x 2 (x <0)，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x 2(x ≤1)2 (x >1)，则f [g (3)]＝________，g [f (－12)]＝________.8．(2010·陕西)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a ＝______.二、解答题(共42分) 9．(12分)(2011·苏州期末)(1)若f (x ＋1)＝2x 2＋1，求f (x )的表达式； (2)若2f (x )－f (－x )＝x ＋1，求f (x )的表达式；(3)若函数f (x )＝xax ＋b，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，求f (x )的表达式．10．(14分)某商场促销饮料，规定一次购买一箱在原价48元的基础上打9折，一次购买两箱可打8.5折，一次购买三箱可打8折，一次购买三箱以上均可享受7.5折的优惠．若此饮料只整箱销售且每人每次限购10箱，试用解析法写出顾客购买的箱数x 与每箱所支付的费用y 之间的函数关系，并画出其图象．11．(16分)某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为G (x )万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，销售收入R (x )(万元)满足R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋4.2x －0.8， 0≤x ≤5，10.2， x >5.假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律：(1)要使工厂有盈利，产品x 应控制在什么范围？(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？此时每台产品的售价为多少？答案 自主梳理1．(1)数集 每一个元素x 都有惟一的元素y 和它对应 定义域 值域 (2)定义域 值域 对应法则 (3)解析法 列表法 图象法 (4)对应法则 (5)定义域 对应法则 并集 并集 2.(1)都有惟一 映射自我检测 1．③解析 对于题图①：M 中属于(1,2]的元素，在N 中没有象，不符合定义；对于题图②：M 中属于(43，2]的元素的象，不属于集合N ，因此它不表示M 到N 的函数关系；对于题图③：符合M 到N 的函数关系；对于题图④：其象不唯一，因此也不表示M 到N 的函数关系．2．(34，1) 3.14 4．③5．解 函数y ＝lg(ax 2－ax ＋1)的定义域是R ， 即ax 2－ax ＋1>0恒成立． ①当a ＝0时，1>0恒成立；②当a ≠0时，应有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0， ∴0<a <4.综上所述，a 的取值范围为0≤a <4. 课堂活动区例1 解题导引 函数是一种特殊的对应，要检验给定的两个变量之间是否具有函数关系，只需要检验：①定义域和对应法则是否给出；②根据给出的对应法则，自变量在其定义域中的每一个值，是否都有唯一确定的函数值．答案 (2)解析 由于(1)中集合P 中元素0在集合Q 中没有对应元素，并且(3)中集合P 不是数集，所以(1)和(3)都不是集合P 上的函数．由题意知，(2)正确．变式迁移1 (1，＋∞)解析 由题意知，方程－x 2＋2x ＝k 无实数根，即x 2－2x ＋k ＝0无实数根．∴Δ＝4(1－k )<0，∴k >1时满足题意．例2 解题导引 在(2)中函数f (2x ＋1)的定义域为(0,1)是指x 的取值范围还是2x ＋1的取值范围？f (x )中的x 与f (2x ＋1)中的2x ＋1的取值范围有什么关系？解 (1)要使函数有意义，应有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x －1≠0，2－x >0，2－x ≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，x ≠1，x <2，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x <2，x ≠1.所以函数的定义域是{x |－1≤x <1或1<x <2}． (2)∵f (2x ＋1)的定义域为(0,1)，∴1<2x ＋1<3，所以f (x )的定义域是(1,3)．变式迁移2 (－1，－910)∪(－910，2] 解析由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x 2≤2x ＋1>01＋lg (x ＋1)≠0得－1<x ≤2且x ≠－910.即定义域为(－1，－910)∪(－910，2]．点评 本题一定要注意答案的规范性，写成：－1<x ≤2且x ≠－910是错误的．例3 解题导引 函数解析式的类型与求法 (1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法． (2)已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意变量的取值范围．(3)已知f (x )满足某个等式，这个等式除f (x )是未知量外，还出现其他未知量，如f (－x )、f (1x )等，要根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．解 (1)令2x ＋1＝t ，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg 2t －1，∴f (x )＝lg 2x －1，x ∈(1，＋∞)．(2)设f (x )＝ax ＋b ，(a ≠0)则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b＝ax ＋b ＋5a ＝2x ＋17， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＋5a ＝17， ∴a ＝2，b ＝7，故f (x )＝2x ＋7.(3)2f (x )＋f (1x )＝3x ，①把①中的x 换成1x ，得 2f (1x )＋f (x )＝3x ，②①×2－②，得3f (x )＝6x －3x ，∴f (x )＝2x －1x (x ≠0)．变式迁移3 解 (1)令t ＝x ＋1， ∴t ≥1，x ＝(t －1)2.则f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1， 即f (x )＝x 2－1，x ∈[1，＋∞)． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∴f (x ＋2)＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋c ， 则f (x ＋2)－f (x )＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＝4，4a ＋2b ＝2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1. 又f (0)＝3，∴c ＝3，∴f (x )＝x 2－x ＋3.例4 解题导引 ①本题可以先确定解析式，然后通过解方程f (x )＝x 来确定解的个数；也可利用数形结合，更为简洁．②对于分段函数，一定要明确自变量所属的范围，以便于选择与之相应的对应法则．③分段函数体现了数学的分类讨论思想，相应的问题处理应分段解决．答案 3解析 方法一 若x ≤0，则f (x )＝x 2＋bx ＋c . ∵f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧(－4)2＋b ·(－4)＋c ＝c ，(－2)2＋b ·(－2)＋c ＝－2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝4，c ＝2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2， x ≤0，2， x >0.当x ≤0，由f (x )＝x ，得x 2＋4x ＋2＝x ， 解得x ＝－2，或x ＝－1；当x >0时，由f (x )＝x ，得x ＝2. ∴方程f (x )＝x 有3个解．方法二 由f (－4)＝f (0)且f (－2)＝－2，可得f (x )＝x 2＋bx ＋c 的对称轴是x ＝－2，且顶点为(－2，－2)，于是可得到f (x )的简图(如图所示)．方程f (x )＝x 的解的个数就是函数图象y ＝f (x )与y ＝x 的图象的交点的个数，所以有3个解．变式迁移4 (－1，2－1)解析 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1， x <0的图象如图所示：f (1－x 2)>f (2x )⇔⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>2x1－x 2>0， 解得－1<x <2－1.课后练习区 1．④解析 ①定义域不同；②定义域不同；③对应法则不同；④定义域相同，且对应法则相同；⑤定义域不同．2．0或1解析 有可能是没有交点的，如果有交点，那么对于x ＝1仅有一个函数值．3. 3解析 该分段函数的三段各自的值域为(－∞，1]，[0,4)，[4，＋∞)，而3∈[0,4)，∴f (x )＝x 2＝3，x ＝±3，而－1<x <2，∴x ＝ 3.4．(－1,1) 5．∅或{1}解析 由已知x 2＝1或x 2＝2，解之得，x ＝±1或x ＝±2，若1∈A ，则A ∩B ＝{1}，若1∉A ，则A ∩B ＝∅，故A ∩B ＝∅或{1}． 6．1解析 (1)x ≥2且x ≤1，不存在；(2)函数是特殊的映射；(3)该图象是由离散的点组成的；(4)该图象是两个不同的抛物线的两部分组成的，不是抛物线．故只有(2)正确．7．7 3116 8．29．解 (1)令t ＝x ＋1，则x ＝t －1，∴f (t )＝2(t －1)2＋1＝2t 2－4t ＋3，∴f (x )＝2x 2－4x ＋3. ………………………………………………………………………………………………(4分)(2)∵2f (x )－f (－x )＝x ＋1，用－x 去替换式子中的x ，得2f (－x )－f (x )＝－x ＋1，……(6分)即有⎩⎪⎨⎪⎧2f (x )－f (－x )＝x ＋12f (－x )－f (x )＝－x ＋1，解方程组消去f (－x )，得f (x )＝x3＋1.……………………………………………………(8分)(3)由f (2)＝1得22a ＋b ＝1，即2a ＋b ＝2；由f (x )＝x 得x ax ＋b ＝x ，变形得x (1ax ＋b－1)＝0，解此方程得x ＝0或x ＝1－ba ，…(10分)又∵方程有唯一解， ∴1－b a ＝0，解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12， ∴f (x )＝2xx ＋2.……………………………………………………………………………(12分)10．解 当x ＝1时，y ＝48×0.9＝43.2； 当x ＝2时，y ＝48×0.85＝40.8； 当x ＝3时，y ＝48×0.8＝38.4；当3<x ≤10，x ∈N 时，y ＝48×0.75＝36. 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 43.2， x ＝1，40.8， x ＝2，38.4， x ＝3，36， 3<x ≤10，x ∈N .……………………………………………………(8分)图象如图所示．……………………………………………………………………………………………(14分)11．解 依题意，G (x )＝x ＋2，设利润函数为f (x )，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋3.2x －2.8，0≤x ≤5，8.2－x ， x >5.………………………………………………(4分)(1)要使工厂赢利，则有f (x )>0.当0≤x ≤5时，有－0.4x 2＋3.2x －2.8>0，得1<x <7，所以1<x ≤5.…………………………………………………………………(8分)当x >5时，有8.2－x >0，得x <8.2，所以5<x <8.2.综上所述，要使工厂赢利，应满足1<x <8.2，即产品应控制在大于100台小于820台的范围内．………………………………………………………………………………………(10分)(2)当0≤x ≤5时，f (x )＝－0.4(x －4)2＋3.6.故当x ＝4时，f (x )有最大值3.6.…………………………………………………………(13分) 而当x >5时，f (x )<8.2－5＝3.2.…………………………………………………………(15分) 所以当工厂生产400台产品时，赢利最大，x ＝4时，每台产品售价为R(4)4＝ 2.4(万元/百台)＝240(元/台)．…………………………………………………………………………（16分）。
2014届高考理科学数学第一轮复习导学案32
学案30 数列的通项与求和导学目标： 1.能利用等差、等比数列前n 项和公式及其性质求一些特殊数列的和.2.能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．自主梳理1．求数列的通项(1)数列前n 项和S n 与通项a n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1， n ≥2.(2)当已知数列{a n }中，满足a n ＋1－a n ＝f (n )，且f (1)＋f (2)＋…＋f (n )可求，则可用________求数列的通项a n ，常利用恒等式a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)．(3)当已知数列{a n }中，满足a n ＋1a n＝f (n )，且f (1)·f (2)·…·f (n )可求，则可用________求数列的通项a n ，常利用恒等式a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1. (4)作新数列法：对由递推公式给出的数列，经过变形后化归成等差数列或等比数列来求通项．(5)归纳、猜想、证明法． 2．求数列的前n 项的和 (1)公式法①等差数列前n 项和S n ＝____________＝________________，推导方法：____________；②等比数列前n 项和S n ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧，q ＝1， ＝ ，q ≠1. 推导方法：乘公比，错位相减法． ③常见数列的前n 项和：a ．1＋2＋3＋…＋n ＝________；b ．2＋4＋6＋…＋2n ＝________；c ．1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝________；d ．12＋22＋32＋…＋n 2＝________；e ．13＋23＋33＋…＋n 3＝____________.(2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．(3)拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．常见的拆项公式有：①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1； ②1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1； ③1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .(4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．(5)倒序相加：例如，等差数列前n 项和公式的推导． 自我检测1．(原创题)已知数列{a n }的前n 项的乘积为T n ＝3n 2(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项的和为________．2．设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是其前n 项和，若{S n }是等差数列，则q ＝________.3．已知等比数列{a n }的公比为4，且a 1＋a 2＝20，故b n ＝log 2a n ，则b 2＋b 4＋b 6＋…＋b 2n ＝________.4．(2010·天津高三十校联考)已知数列{a n }的通项公式a n ＝log 2n ＋1n ＋2(n ∈N *)，设{a n }的前n 项的和为S n ，则使S n <－5成立的自然数n 的最小值为________．5．(2010·北京海淀期末练习)设关于x 的不等式x 2－x <2nx (n ∈N *)的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为________．6．数列1,412，714，1018，…前10项的和为________．探究点一 求通项公式例1 已知数列{a n }满足a n ＋1＝2n ＋1·a na n ＋2n ＋1，a 1＝2，求数列{a n }的通项公式．变式迁移1 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n＋2.(1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．探究点二 裂项相消法求和例2 已知数列{a n }，S n 是其前n 项和，且a n ＝7S n －1＋2(n ≥2)，a 1＝2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1log 2a n ·log 2a n ＋1，T n是数列{b n }的前n 项和，求使得T n <m20对所有n ∈N *都成立的最小正整数m .变式迁移2 求数列1，11＋2，11＋2＋3，…，11＋2＋3＋…＋n，…的前n 项和．探究点三 错位相减法求和例3 已知数列{a n }是首项、公比都为q (q >0且q ≠1)的等比数列，b n ＝a n log 4a n (n ∈N *)．(1)当q ＝5时，求数列{b n }的前n 项和S n ；(2)当q ＝1415时，若b n <b n ＋1，求n 的最小值．变式迁移3 求和S n ＝1a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n .分类讨论思想例 (5分)二次函数f (x )＝x 2＋x ，当x ∈[n ，n ＋1](n ∈N *)时，f (x )的函数值中所有整数值的个数为g (n )，a n ＝2n 3＋3n 2g (n )(n ∈N *)，则S n ＝a 1－a 2＋a 3－a 4＋…＋(－1)n －1a n ＝______________________.答案 (－1)n －1n (n ＋1)2解析 当x ∈[n ，n ＋1](n ∈N *)时，函数f (x )＝x 2＋x 的值随x 的增大而增大，则f (x )的值域为[n 2＋n ，n 2＋3n ＋2](n ∈N *)，∴g (n )＝2n ＋3(n ∈N *)，于是a n ＝2n 3＋3n2g (n )＝n 2.当n 为偶数时，S n ＝a 1－a 2＋a 3－a 4＋…＋a n －1－a n ＝(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －1)2－n 2]＝－[3＋7＋…＋(2n －1)]＝－3＋(2n －1)2·n 2＝－n (n ＋1)2；当n 为奇数时，S n ＝(a 1－a 2)＋(a 3－a 4)＋…＋(a n －2－a n －1)＋a n＝S n －1＋a n ＝－n (n －1)2＋n 2＝n (n ＋1)2，∴S n ＝(－1)n －1n (n ＋1)2.【突破思维障碍】在利用并项转化求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n 进行分类讨论，但最终的结果却往往可以用一个公式来表示．1．求数列的通项：(1)公式法：例如等差数列、等比数列的通项； (2)观察法：例如由数列的前几项来求通项； (3)可化归为使用累加法、累积法；(4)可化归为等差数列或等比数列，然后利用公式法； (5)求出数列的前几项，然后归纳、猜想、证明． 2．数列求和的方法：一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．3．求和时应注意的问题：(1)直接用公式求和时，注意公式的应用范围和公式的推导过程．(2)注意观察数列的特点和规律，在分析数列通项的基础上或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分) 1．(2010·广东)已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和，若a 2·a 3＝2a 1且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝________.2．有两个等差数列{a n }，{b n }，其前n 项和分别为S n ，T n ，若S nTn＝7n ＋2n ＋3，则a 5b 5＝________. 3．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1且a n －1－a n a n a n －1＝a n －a n ＋1a n a n ＋1(n ≥2)，则此数列的第10项为________．4．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n (n ＋1)，则S 5＝________.5．(2011.南京模拟)数列1,1＋2,1＋2＋4，...，1＋2＋22＋ (2)－1，…的前n 项和S n >1 020，那么n 的最小值是________． 6．(2010·东北师大附中高三月考)数列{a n }的前n 项和为S n 且a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ＝1,2,3，…)，则log 4S 10＝__________.7．(原创题)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝－2，a n ＋2＝－1a n，则该数列前26项的和为________．8．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项为2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝____________.二、解答题(共42分)9．(12分)已知函数f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7(n ∈N *)． (1)若函数f (x )的图象的顶点的横坐标构成数列{a n }，试证明数列{a n }是等差数列；(2)设函数f (x )的图象的顶点到x 轴的距离构成数列{b n }，试求数列{b n }的前n 项和S n .10．(14分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝12na n ＋a n －c (c 是常数，n ∈N *)，a 2＝6.(1)求c 的值及数列{a n }的通项公式；(2)证明1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1<18.11．(16分)(2010·北京宣武高三期中)已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n ，数列{b n }满足b 1＝－1，b n ＋1＝b n ＋(2n －1) (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)求数列{b n }的通项公式b n ；(3)若c n ＝a n ·b nn ，求数列{c n }的前n 项和T n .答案 自主梳理 1．(4)n ＝1或n ≥2 自我检测1．22 2.32 3.15 4.8 5.919 课堂活动区例1 解题导引 1.等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式、前n 项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点．2．利用等比数列前n 项和公式时注意公比q 的取值．同时对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可降低题目的思维难度，解题时有时还需利用条件联立方程求解．解(1)由已知得⎩⎨⎧a 1＋a 2＋a 3＝7(a 1＋3)＋(a 3＋4)2＝3a 2，解得a 2＝2.设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝2q ，a 3＝2q .又S 3＝7，可知2q ＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0.解得q 1＝2，q 2＝12. 由题意得q >1，∴q ＝2，∴a 1＝1. 故数列{a n }的通项为a n ＝2n －1. (2)由(1)得a 3n ＋1＝23n ，∴b n ＝ln a 3n ＋1＝ln 23n ＝3n ln 2.又b n ＋1－b n ＝3ln 2，∴{b n }是等差数列， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n (b 1＋b n )2＝3n (n ＋1)2·ln 2. 故T n ＝3n (n ＋1)2ln 2. 变式迁移1 4解析 设a 1，a 2，a 3，a 4的公差为d ，则a 1＋2d ＝4，又0<a 1<2，所以1<d <2.易知数列{b n }是等比数列，故(1)正确；a 2＝a 3－d ∈(2,3)，所以b 2＝2a 2>4，故(2)正确；a 4＝a 3＋d >5，所以b 4＝2a 4>32，故(3)正确；又a 2＋a 4＝2a 3＝8，所以b 2b 4＝2a 2＋a 4＝28＝256，故(4)正确．例2 解题导引 这是一道数列、函数、不等式的综合题，利用函数关系式求通项a n ，观察T n 特点，求出T n .由a n 再求b n 从而求S n ，最后利用不等式知识求出m .解 (1)∵a n ＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＝2a n ＋33a n＝2＋3a n 3＝a n ＋23，∴{a n }是以23为公差的等差数列．又a 1＝1，∴a n ＝23n ＋13.(2)T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…－a 2n a 2n ＋1 ＝a 2(a 1－a 3)＋a 4(a 3－a 5)＋…＋a 2n (a 2n －1－a 2n ＋1)＝－43(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝－43·n ⎝ ⎛⎭⎪⎫53＋4n 3＋132＝－49(2n 2＋3n )．(3)当n ≥2时，b n ＝1a n －1a n ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －13⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋13 ＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，又b 1＝3＝92×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝92×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝9n2n ＋1，∵S n <m －2 0012对一切n ∈N *成立． 即9n 2n ＋1<m －2 0012， 又∵9n 2n ＋1＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1递增， 且9n 2n ＋1<92.∴m －2 0012≥92， 即m ≥2 010.∴最小正整数m ＝2 010.变式迁移2 解 (1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q . 依题意，有2(a 3＋2)＝a 2＋a 4， 代入a 2＋a 3＋a 4＝28，得a 3＝8.∴a 2＋a 4＝20.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 3＝a 1q 2＝8，解之，得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2或⎩⎨⎧q ＝12，a 1＝32.又{a n }单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2. ∴a n ＝2n .(2)b n ＝2n·log 122n＝－n ·2n ，∴－S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n .①∴－2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1.② ∴①－②，得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1 ＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1＝2n ＋1－n ·2n ＋1－2.由S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0， 即2n ＋1－n ·2n ＋1－2＋n ·2n ＋1＋m ·2n ＋1<0对任意正整数n 恒成立，∴m ·2n ＋1<2－2n ＋1对任意正整数n ，m <12n －1恒成立．∵12n －1>－1，∴m ≤－1，即m 的取值范围是(－∞，－1]．例3 解 依题意，第1个月月余款为a 1＝10 000(1＋20%)－10 000×20%×10%－300＝11 500， 第2个月月底余款为a 2＝a 1(1＋20%)－a 1×20%×10%－300， 依此类推下去，设第n 个月月底的余款为a n 元，第n ＋1个月月底的余款为a n ＋1元，则a n ＋1＝a n (1＋20%)－a n ×20%×10%－300＝1.18a n －300.下面构造一等比数列． 设a n ＋1＋x a n ＋x＝1.18，则a n ＋1＋x ＝1.18a n ＋1.18x ， ∴a n ＋1＝1.18a n ＋0.18x .∴0.18x ＝－300.∴x ＝－5 0003，即a n ＋1－5 0003a n －5 0003＝1.18.∴数列{a n －5 0003}是一个等比数列，公比为1.18，首项a 1－5 0003＝11 500－5 0003＝29 5003.∴a n －5 0003＝29 5003×1.18n －1，∴a 12－5 0003＝29 5003×1.1811，∴a 12＝5 0003＋29 5003×1.1811≈62 396.6(元)， 即到年底该职工共有资金62 396.6元． 纯收入有a 12－10 000(1＋25%)＝62 396.6－12 500＝49 896.6(元)．变式迁移3 解 (1)设中低价房的面积形成的数列为{a n }， 由题意可知{a n }是等差数列，其中a 1＝250，d ＝50， 则a n ＝250＋(n －1)·50＝50n ＋200，S n ＝250n ＋n (n －1)2×50＝25n 2＋225n ， 令25n 2＋225n ≥4 750，即n 2＋9n －190≥0，而n 是正整数，∴n ≥10.∴到2020年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米．(2)设新建住房面积形成数列{b n }，由题意可知{b n }是等比数列，其中b 1＝400，q ＝1.08， 则b n ＝400·(1.08)n －1. 由题意可知a n >0.85b n ， 即50n ＋200>400·(1.08)n －1·0.85. 当n ＝5时，a 5<0.85b 5， 当n ＝6时，a 6>0.85b 6，∴满足上述不等式的最小正整数n 为6.∴到2016年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.课后练习区1．3＋22 2.② 3.991 4．7解析 设至少需要n 秒钟，则1＋21＋22＋…＋2n －1≥100，∴1－2n1－2≥100，∴n ≥7.5．64解析 依题意有a n a n ＋1＝2n ，所以a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1，两式相除得a n ＋2an＝2，所以a 1，a 3，a 5，…成等比数列，a 2，a 4，a 6，…也成等比数列，而a 1＝1，a 2＝2，所以a 10＝2×24＝32，a 11＝1×25＝32，又因为a n ＋a n ＋1＝b n ，所以b 10＝a 10＋a 11＝64.6．3解析 该题是数列知识与函数知识的综合．a n ＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫252n －2－4·⎝ ⎛⎭⎪⎫25n －1＝5·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫25n －1－252－45， 显然当n ＝2时，a n 取得最小值，当n ＝1时，a n 取得最大值，此时x ＝1，y ＝2，∴x ＋y ＝3.7．21解析 y ′＝(x 2)′＝2x ，则过点(a k ，a 2k )的切线斜率为2a k ，则切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )，令y ＝0，得－a 2k ＝2a k (x －a k )，∴x ＝12a k ，即a k ＋1＝12a k .故{a n }是a 1＝16，q ＝12的等比数列，即a n ＝16×(12)n －1，∴a 1＋a 3＋a 5＝16＋4＋1＝21. 8．107解析 由数表知，第一行1个奇数，第3行3个奇数，第5行5个奇数，第61行61个奇数，前61行用去1＋3＋5＋…＋61＝62×312＝961个奇数．而2 009是第1 005个奇数，故应是第63行第44个数，即i ＋j ＝63＋44＝107.9．解 (1)∵f (1)＝a ＝13，∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x .…………………………………………………(1分)a 1＝f (1)－c ＝13－c ，a 2＝[f (2)－c ]－[f (1)－c ]＝－29，a 3＝[f (3)－c ]－[f (2)－c ]＝－227；又数列{a n }成等比数列，a 1＝a 22a 3＝481－227＝－23＝13－c ， ∴c ＝1；……………………………………………………………………………………(2分)公比q ＝a 2a 1＝13，a n ＝－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1 ＝－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ，n ∈N *；……………………………………………………………………(3分)∵S n －S n －1＝()S n －S n －1()S n ＋S n －1 ＝S n ＋S n －1(n >2)，……………………………………………………………………(4分)又b n >0，S n >0，∴S n －S n －1＝1.数列{S n }构成一个首项为1、公差为1的等差数列，S n ＝1＋(n －1)×1＝n ，S n ＝n 2.…………………………………………………………(6分)当n ≥2，b n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1；又当n ＝1时，也适合上式，∴b n ＝2n －1，n ∈N *.………………………………………………………………………(8分)(2)T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋1b 3b 4＋…＋1b n b n ＋1 ＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2n －1)×(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋ 12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1.……………………………………………(12分) 由T n ＝n 2n ＋1>1 0002 009，得n >1 0009， ∴满足T n > 1 0002 009的最小正整数为112.…………………………………………………(14分)10．解 设乙企业仍按现状生产至第n 个月所带来的总收益为A n (万元)，技术改造后生产至第n 个月所带来的总收益为B n (万元)．依题意得A n ＝45n －[3＋5＋…＋(2n ＋1)]＝43n －n 2，………………………………………………………………………………(5分)当n ≥5时，B n ＝16⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫325－132－1＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫324(n －5)－400＝81n －594，………………………………………………………(10分)∴当n ≥5时，B n －A n ＝n 2＋38n －594，令n 2＋38n －594>0，即(n ＋19)2>955，解得n ≥12，∴至少经过12个月，改造后的乙企业的累计总收益多于仍按现状生产所带来的总收益．……………………………………………………………………………………………(14分)11．(1)解 令x ＝n ，y ＝1，得到f (n ＋1)＝f (n )·f (1)＝12f (n )，…………………………………………………………(2分)∴{f (n )}是首项为12，公比为12的等比数列，即f (n )＝(12)n .………………………………………………………………………………(5分)(2)证明 记S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，∵a n ＝n ·f (n )＝n ·(12)n ，……………………………………………………………………(6分)∴S n ＝12＋2×(12)2＋3×(12)3＋…＋n ×(12)n ，12S n ＝(12)2＋2×(12)3＋3×(12)4＋…＋(n －1)×(12)n ＋n ×(12)n ＋1，两式相减得12S n ＝12＋(12)2＋…＋(12)n －n ×(12)n ＋1，整理得S n ＝2－(12)n －1－n (12)n <2.∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n <2.………………………………………………………………(9分)(3)解 ∵f (n )＝(12)n ，而b n ＝(9－n )f (n ＋1)f (n )＝(9－n )(12)n ＋1(12)n ＝9－n 2.…………………………………………………………………(11分)当n ≤8时，b n >0；当n ＝9时，b n ＝0；当n >9时，b n <0，∴n ＝8或9时，S n 取到最大值．………………………………………………………(14分)。
2014届高考理科学数学第一轮复习导学案4
第1章集合与常用逻辑用语学案1 集合的概念与运算导学目标：1.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.5.能使用Venn图表达集合的关系及运算．自主梳理1．集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．2．元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．3．集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法．4．集合间的基本关系对任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)．若A⊆B，且在B中至少有一个元素x∈B，但x∉A，则A B(或B A)．若A⊆B且B⊆A，则A＝B.5．集合的运算及性质设集合A，B，则A∩B＝{x|x∈A且x∈B}，A∪B＝{x|x∈A或x ∈B}．设全集为S，则∁SA＝{x|x∈S且x∉A}．A∩∅＝∅，A∩B⊆A，A∩B⊆B，A∩B＝A⇔A⊆B.A∪∅＝A，A∪B⊇A，A∪B⊇B，A∪B＝B⇔A⊆B.A∩∁U A＝∅；A∪∁U A＝U.自我检测1．(2011·无锡高三检测)下列集合表示同一集合的是________(填序号)．①M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}；②M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，N ＝{y |x ＋y ＝1}；③M ＝{4,5}，N ＝{5,4}；④M ＝{1,2}，N ＝{(1,2)}．答案 ③2．(2009·辽宁改编)已知集合M ＝{x |－3<x ≤5}，N ＝{x |－5<x <5}，则M ∩N ＝________.答案 {x |－3<x <5}解析 画数轴，找出两个区间的公共部分即得M ∩N ＝{x |－3<x <5}．3．(2010·湖南)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2，m ，4}，A ∩B ＝{2,3}，则m ＝________.答案 3解析 ∵A ∩B ＝{2,3}，∴3∈B ，∴m ＝3.4．(2010·常州五校联考)集合M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R }，集合N ＝{x |y ＝9－x 2，x ∈R }，则M ∩N ＝________.答案 [－1,3]解析 ∵y ＝x 2－1≥－1，∴M ＝[－1，＋∞)．又∵y ＝9－x 2，∴9－x 2≥0.∴N ＝[－3,3]．∴M ∩N ＝[－1,3]．5．已知集合A ＝{1，3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且B ⊆A ，则a ＝________.答案 －1或2解析 由a 2－a ＋1＝3，∴a ＝－1或a ＝2，经检验符合．由a 2－a ＋1＝a ，得a ＝1，但集合中有相同元素，舍去，故a ＝－1或2.探究点一 集合的基本概念例1 若a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝{0，b a ，b }，求b －a 的值．解题导引 解决该类问题的基本方法为：利用集合中元素的特点，列出方程组求解，但解出后应注意检验，看所得结果是否符合元素的互异性．解 由{1，a ＋b ，a }＝{0，b a ，b }可知a ≠0，则只能a ＋b ＝0，则有以下对应法则：⎩⎨⎧ a ＋b ＝0，b a ＝a ，b ＝1① 或⎩⎨⎧ a ＋b ＝0，b ＝a ，b a ＝1.②由①得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，符合题意；②无解． ∴b －a ＝2.变式迁移1 设集合A ＝{1，a ，b }，B ＝{a ，a 2，ab }，且A ＝B ，求实数a ，b .解 由元素的互异性知，a ≠1，b ≠1，a ≠0，又由A ＝B ，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝1，ab ＝b ，或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b ，ab ＝1，解得a ＝－1，b ＝0. 探究点二 集合间的关系例2 设集合M ＝{x |x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R }，N ＝{y |y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R }，则M 与N 之间有什么关系？解题导引 一般地，对于较为复杂的两个或两个以上的集合，要判断它们之间的关系，应先确定集合中元素的形式是数还是点或其他，属性如何．然后将所给集合化简整理，弄清每个集合中的元素个数或范围，再判断它们之间的关系．解 集合M ＝{x |x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R }＝{x |x ＝(a －2)2＋1，a ∈R }＝{x |x ≥1}，N ＝{y |y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R }＝{y |y ＝(2b ＋1)2＋1，b ∈R }＝{y |y ≥1}．∴M ＝N .变式迁移2 设集合P ＝{m |－1<m <0}，Q ＝{m |mx 2＋4mx －4<0对任意实数x 恒成立，且m ∈R }，则集合P 与Q 之间的关系为________． 答案 P Q解析 P ＝{m |－1<m <0}，Q ：⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝16m 2＋16m <0，或m ＝0.∴－1<m ≤0. ∴Q ＝{m |－1<m ≤0}．∴P Q .探究点三 集合的运算例3 设全集是实数集R ，A ＝{x |2x 2－7x ＋3≤0}，B ＝{x |x 2＋a <0}．(1)当a ＝－4时，求A ∩B 和A ∪B ；(2)若(∁R A )∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．解题导引 解决含参数问题的集合运算，首先要理清题目要求，看清集合间存在的相互关系，注意分类讨论、数形结合思想的应用以及空集的特殊性．解 (1)A ＝{x |12≤x ≤3}．当a ＝－4时，B ＝{x |－2<x <2}，∴A ∩B ＝{x |12≤x <2}，A ∪B ＝{x |－2<x ≤3}．(2)∁R A ＝{x |x <12或x >3}．当(∁R A )∩B ＝B 时，B ⊆∁R A ，即A ∩B ＝∅.①当B ＝∅，即a ≥0时，满足B ⊆∁R A ；②当B ≠∅，即a <0时，B ＝{x |－－a <x <－a }，要使B ⊆∁R A ，需－a ≤12，解得－14≤a <0.综上可得，a 的取值范围为a ≥－14.变式迁移3 已知A ＝{x ||x －a |<4}，B ＝{x ||x －2|>3}．(1)若a ＝1，求A ∩B ；(2)若A ∪B ＝R ，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，A ＝{x |－3<x <5}，B ＝{x |x <－1或x >5}．∴A ∩B ＝{x |－3<x <－1}．(2)∵A ＝{x |a －4<x <a ＋4}，B ＝{x |x <－1或x >5}，且A ∪B ＝R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －4<－1a ＋4>5⇒1<a <3. ∴实数a 的取值范围是(1,3)．分类讨论思想在集合中的应用 例 (14分)(1)若集合P ＝{x |x 2＋x －6＝0}，S ＝{x |ax ＋1＝0}，且S ⊆P ，求由a 的可取值组成的集合；(2)若集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且B ⊆A ，求由m 的可取值组成的集合．【答题模板】解 (1)P ＝{－3,2}．当a ＝0时，S ＝∅，满足S ⊆P ；[2分]当a ≠0时，方程ax ＋1＝0的解为x ＝－1a ,[4分]为满足S ⊆P 可使－1a ＝－3或－1a ＝2，即a ＝13或a ＝－12.[6分]故所求集合为{0，13，－12}．[7分](2)当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝∅，满足B ⊆A ；[9分] 若B ≠∅，且满足B ⊆A ，如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ≥－3，m ≤3，∴2≤m ≤3.[13分] 故m <2或2≤m ≤3，即所求集合为{m |m ≤3}．[14分]【突破思维障碍】在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段即是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行讨论，分类时要遵循“不重不漏”的分类原则，然后对于每一类情况都要给出问题的解答．【易错点剖析】(1)容易忽略a ＝0时，S ＝∅这种情况．(2)想当然认为m ＋1<2m －1忽略“>”或“＝”两种情况．解答集合问题时应注意五点：1．注意集合中元素的性质——互异性的应用，解答时注意检验．2．注意描述法给出的集合的元素．如{y |y ＝2x }，{x |y ＝2x }，{(x ，y )|y ＝2x }表示不同的集合．3．注意∅的特殊性．在利用A ⊆B 解题时，应对A 是否为∅进行讨论．4．注意数形结合思想的应用．在进行集合运算时要尽可能借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化，一般地，集合元素离散时用Venn 图表示，元素连续时用数轴表示，同时注意端点的取舍．5．注意补集思想的应用．在解决A ∩B ≠∅时，可以利用补集思想，先研究A ∩B ＝∅.的情况,然后取补集.(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．(2010·北京改编)集合P ＝{x ∈Z |0≤x <3}，M ＝{x ∈Z |x 2≤9}，则P ∩M ＝________.答案 {0,1,2}解析 由题意知：P ＝{0,1,2}，M ＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，∴P ∩M ＝{0,1,2}．2．(2011·南京模拟)设P 、Q 为两个非空集合，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }．若P ＝{0,2,5}，Q ＝{1,2,6}，则P ＋Q ＝________________.答案 {1,2,3,4,6,7,8,11}解析 P ＋Q ＝{1,2,3,4,6,7,8,11}．3．满足{1} A ⊆{1,2,3}的集合A 的个数是________． 答案 3解析 A ＝{1}∪B ，其中B 为{2,3}的子集，且B 非空，显然这样的集合A 有3个，即A ＝{1,2}或{1,3}或{1,2,3}．4．(2010·天津改编)设集合A ＝{x ||x －a |<1，x ∈R }，B ＝{x |1<x <5，x ∈R }．若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是______________． 答案 a ≤0或a ≥6解析 由|x －a |<1得－1<x －a <1，即a －1<x <a ＋1.由图可知a ＋1≤1或a －1≥5，所以a ≤0或a ≥6.5．设全集U 是实数集R ，M ＝{x |x 2>4}，N ＝{x |2x －1≥1}，则如图中阴影部分所表示的集合是________．答案 {x |1<x ≤2}解析 题图中阴影部分可表示为(∁U M )∩N ，集合M 为{x |x >2或x <－2}，集合N 为 {x |1<x ≤3}，由集合的运算，知(∁U M )∩N ＝{x |1<x ≤2}．6．(2011·泰州模拟)设集合A ＝{1,2}，则满足A ∪B ＝{1,2,3}的集合B 的个数为________．答案 4解析 由题意知B 的元素至少含有3，因此集合B 可能为{3}、{1,3}、{2,3}、{1,2,3}．7．(2009·天津)设全集U ＝A ∪B ＝{x ∈N *|lg x <1}，若A ∩(∁U B )＝{m |m ＝2n ＋1，n ＝0,1,2,3,4}，则集合B ＝______________. 答案 {2,4,6,8}解析 A ∪B ＝{x ∈N *|lg x <1}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A ∩(∁U B )＝{1,3,5,7,9}，∴B ＝{2,4,6,8}．8．(2010·江苏)设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a ＝____.答案 1解析 ∵3∈B ，由于a 2＋4≥4，∴a ＋2＝3，即a ＝1.二、解答题(共42分)9．(14分)集合A ＝{x |x 2＋5x －6≤0}，B ＝{x |x 2＋3x >0}，求A ∪B 和A ∩B .解 ∵A ＝{x |x 2＋5x －6≤0}＝{x |－6≤x ≤1}．(3分)B ＝{x |x 2＋3x >0}＝{x |x <－3或x >0}．(6分) 如图所示，∴A ∪B ＝{x |－6≤x ≤1}∪{x |x <－3或x >0}＝R .(10分) A ∩B ＝{x |－6≤x ≤1}∩{x |x <－3或x >0}＝{x |－6≤x <－3，或0<x ≤1}．(14分)10．(14分)(2011·南通模拟)已知集合A ＝{x |0<ax ＋1≤5}，集合B＝{x |－12<x ≤2}．若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解 当a ＝0时，显然B ⊆A ；(2分)当a <0时，若B ⊆A ，如图，则⎩⎪⎨⎪⎧4a ≤－12，－1a >2，(6分)∴⎩⎨⎧ a ≥－8，a >－12.∴－12<a <0；(8分)当a >0时，如图，若B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧－1a ≤－12，4a ≥2，(11分) ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a ≤2.∴0<a ≤2.(13分) 综上知，当B ⊆A 时，－12<a ≤2.(14分)11．(14分)已知集合A ＝{x |x －5x ＋1≤0}，B ＝{x |x 2－2x －m <0}， (1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )；(2)若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值．解 由x －5x ＋1≤0， 所以－1<x ≤5，所以A ＝{x |－1<x ≤5}．(3分)(1)当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}，则∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，(6分)所以A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}．(10分)(2)因为A ＝{x |－1<x ≤5}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，(12分)所以有42－2×4－m ＝0，解得m ＝8.此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意，故实数m 的值为8.(14分)。
2014版高考数学一轮复习(苏教版,理)配套导学案：第2章 学案6
学案6函数的奇偶性与周期性导学目标: 1.了解函数奇偶性、周期性的含义.2。
会判断奇偶性,会求函数的周期.3.会做有关函数单调性、奇偶性、周期性的综合问题．自主梳理1．函数奇偶性的定义设函数y＝f(x)的定义域为A.如果对于任意的x∈A，都有__________，则称f（x)为奇函数；如果对于任意的x∈A都有__________，则称f(x)为偶函数．2．奇偶函数的性质（1)f(x）为奇函数⇔f(－x)＝－f(x）⇔f（－x)＋f(x）＝____；f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(－x）＝f(｜x|）⇔f（x)－f（－x）＝____.(2）f(x）是偶函数⇔f(x）的图象关于____轴对称;f(x）是奇函数⇔f(x）的图象关于______对称．（3）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有______的单调性．3．函数的周期性(1）定义:如果存在一个非零常数T,使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x＋T）＝______，则称f(x）为______函数，其中T称作f（x)的周期．若T存在一个最小的正数，则称它为f(x）的________．（2）性质: ①f（x＋T）＝f（x）常常写作f（x＋错误!)＝f(x－错误!)．②如果T是函数y＝f（x）的周期,则kT（k∈Z且k≠0）也是y ＝f（x)的周期，即f(x＋kT)＝f(x）．③若对于函数f(x)的定义域内任一个自变量的值x都有f（x＋a)＝－f(x）或f(x＋a）＝错误!或f（x＋a)＝－错误!(a是常数且a≠0）,则f(x)是以______为一个周期的周期函数．自我检测1．已知函数f（x)＝（m－1）x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，则m的值为________．2．如果定义域为［3－a,5]的函数f（x)为奇函数,那么实数a的值为________．3．(2009·江西改编）已知函数f(x）是（－∞，＋∞)上的偶函数,若对于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x），且当x∈［0，2)时，f（x)＝log2（x＋1）,则f(－2 012）＋f(2 011）＝________。
2014版高考数学一轮复习(苏教版,理)配套导学案：第3章 学案14
学案14 导数在研究函数中的应用导学目标：1。
了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(多项式函数一般不超过三次）。
2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求函数的极大值、极小值（多项式函数一般不超过三次）及最大(最小)值．自主梳理1．导数和函数单调性的关系：（1)对于函数y＝f（x)，如果在某区间上f′(x）〉0，那么f(x)为该区间上的________；如果在某区间上f′（x）〈0，那么f（x）为该区间上的________．（2）若在(a,b)的任意子区间内f′(x）都不恒等于0,f′（x）≥0⇔f(x)在(a，b)上为____函数，若在(a,b）上,f′（x)≤0，⇔f（x)在(a，b)上为____函数．2．函数的极值（1）判断f（x0）是极值的方法一般地，当函数f（x）在点x0处连续时,①如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f（x0）是极大值；②如果在x0附近的左侧________，右侧________,那么f（x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x）；②求方程________的根;③检查f′(x）在方程________的根左右值的符号．如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得________;如果左负右正，那么f(x）在这个根处取得________．3．求函数y＝f（x）在［a，b］上的最大值与最小值的步骤：(1)求函数y＝f（x）在（a，b）上的________；(2）将函数y＝f（x）的各极值与________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．自我检测1．(2010·济宁一模)已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则关于y＝f（x)下列说法正确的是________(填序号）．①在（－∞，0)上为减函数；②在x＝0处取极小值；③在(4，＋∞）上为减函数；④在x＝2处取极大值．2．（2009·广东改编)函数f(x）＝（x－3）e x的单调递增区间为______________．3．函数f(x）＝x3＋ax－2在区间（1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围为______________．4．设p：f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在（－∞，＋∞）内单调递增，q：m≥错误!,则p是q的________条件．5．(2010·福州模拟）已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取极值10,则f（2)＝________.探究点一函数的单调性例1 已知a∈R，函数f（x)＝(－x2＋ax)e x(x∈R,e为自然对数的底数)．（1）当a＝2时，求函数f（x)的单调递增区间;(2）若函数f(x)在（－1,1）上单调递增,求a的取值范围;(3)函数f（x)能否为R上的单调函数，若能，求出a的取值范围;若不能，请说明理由．变式迁移1 （2009·浙江)已知函数f(x）＝x3＋（1－a)x2－a(a ＋2)x＋b（a，b∈R)．(1）若函数f（x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a，b的值；(2）若函数f(x)在区间（－1，1)上不单调，求a的取值范围．探究点二函数的极值例2 若函数f（x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f（x)有极值－错误!。
2014届高考理科学数学第一轮复习导学案38.doc
学案37 数学归纳法导学目标： 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．自主梳理 1．归纳法由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法叫归纳法．根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为完全归纳法和不完全归纳法．2．数学归纳法设{P n }是一个与正整数相关的命题集合，如果：(1)证明起始命题P 1(或P 0)成立；(2)在假设P k 成立的前提下，推出P k ＋1也成立，那么可以断定{P n }对一切正整数成立．3．数学归纳法公理(1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值__________时命题成立． (2)(归纳递推)假设______________________时命题成立，证明当________时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．自我检测1．用数学归纳法证明：“1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－an ＋21－a(a ≠1)”在验证n ＝1时，左端计算所得的项为_______________________________________________________________．2．如果命题P (n )对于n ＝k (k ∈N *)时成立，则它对n ＝k ＋2也成立，又若P (n )对于n ＝2时成立，则下列结论中正确的序号有________．①P (n )对所有正整数n 成立； ②P (n )对所有正偶数n 成立； ③P (n )对所有正奇数n 成立；④P (n )对所有大于1的正整数n 成立．3．证明n ＋22<1＋12＋13＋14＋…＋12n <n ＋1(n >1)，当n ＝2时，中间式子等于______________．4．用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n >n 0的正整数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取________．5．在数列{a n }中，a 1＝1，且S n ，S n ＋1,2S 1成等差数列(S n 表示数列{a n }的前n 项和)，则S 2，S 3，S 4分别为______________；由此猜想S n ＝__________.探究点一 用数学归纳法证明等式例1 对于n ∈N *，用数学归纳法证明： 1·n ＋2·(n －1)＋3·(n －2)＋…＋(n －1)·2＋n ·1 ＝16n (n ＋1)(n ＋2)．变式迁移1 用数学归纳法证明：对任意的n ∈N *,1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .探究点二 用数学归纳法证明不等式例2 用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝⎛⎭⎪⎫1＋15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n －1>2n ＋12均成立．变式迁移2 已知m 为正整数，用数学归纳法证明：当x >－1时，(1＋x )m ≥1＋mx .探究点三 用数学归纳法证明整除问题例3 用数学归纳法证明：当n ∈N *时，a n ＋1＋(a ＋1)2n －1能被a 2＋a ＋1整除．变式迁移3 用数学归纳法证明：当n 为正整数时，f (n )＝32n ＋2－8n －9能被64整除．从特殊到一般的思想例 (14分)已知等差数列{a n }的公差d 大于0，且a 2、a 5是方程x 2－12x ＋27＝0的两根，数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ＝1－12b n .(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，试比较1b n与S n ＋1的大小，并说明理由．【答题模板】解 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝12a 2a 5＝27，又∵{a n }的公差大于0，∴a 5>a 2，∴a 2＝3，a 5＝9.∴d ＝a 5－a 23＝9－33＝2，a 1＝1，∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.[2分]∵T n ＝1－12b n ，∴b 1＝23，当n ≥2时，T n －1＝1－12b n －1，∴b n ＝T n －T n －1＝1－12b n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12b n －1，化简，得b n ＝13b n －1，[4分]∴{b n }是首项为23，公比为13的等比数列，即b n ＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝23n ， ∴a n ＝2n －1，b n ＝23n .[6分](2)∵S n ＝1＋(2n －1)2n ＝n 2，∴S n ＋1＝(n ＋1)2，1b n ＝3n2. 以下比较1b n与S n ＋1的大小：当n ＝1时，1b 1＝32，S 2＝4，∴1b 1<S 2，当n ＝2时，1b 2＝92，S 3＝9，∴1b 2<S 3，当n ＝3时，1b 3＝272，S 4＝16，∴1b 3<S 4，当n ＝4时，1b 4＝812，S 5＝25，∴1b 4>S 5.[9分]猜想：n ≥4时，1b n>S n ＋1.下面用数学归纳法证明： ①当n ＝4时，已证．②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥4)时，1b k>S k ＋1，即3k 2>(k ＋1)2.[11分]那么，n ＝k ＋1时，1b k ＋1＝3k ＋12＝3·3k 2>3(k ＋1)2＝3k 2＋6k ＋3＝(k 2＋4k ＋4)＋2k 2＋2k －1>[(k ＋1)＋1]2＝S (k ＋1)＋1，∴n ＝k ＋1时，1b n>S n ＋1也成立．由①②可知n ∈N *，n ≥4时，1b n >S n ＋1都成立．综上所述，当n ＝1,2,3时，1b n <S n ＋1，当n ≥4时，1b n>S n ＋1.[14分]【突破思维障碍】1．归纳——猜想——证明是高考重点考查的内容之一，此类问题可分为归纳性问题和存在性问题，本例中归纳性问题需要从特殊情况入手，通过观察、分析、归纳、猜想，探索出一般规律．2．数列是定义在N*上的函数，这与数学归纳法运用的范围是一致的，并且数列的递推公式与归纳原理实质上是一致的，数列中有不少问题常用数学归纳法解决．【易错点剖析】1．严格按照数学归纳法的三个步骤书写，特别是对初始值的验证不可省略，有时要取两个(或两个以上)初始值进行验证；初始值的验证是归纳假设的基础．2．在进行n＝k＋1命题证明时，一定要用n＝k时的命题，没有用到该命题而推理证明的方法不是数学归纳法．1．数学归纳法：先证明当n取第一个值n0时命题成立，然后假设当n＝k (k∈N*，k≥n0)时命题成立，并证明当n＝k＋1时命题也成立，那么就证明了这个命题成立．这是因为第一步首先证明了n取第一个值n0时，命题成立，这样假设就有了存在的基础，至少k＝n0时命题成立，由假设合理推证出n＝k＋1时命题也成立，这实质上是证明了一种循环，如验证了n0＝1成立，又证明了n＝k＋1也成立，这就一定有n＝2成立，n＝2成立，则n＝3成立，n＝3成立，则n ＝4也成立，如此反复以至无穷，对所有n≥n0的整数就都成立了．2．(1)第①步验证n＝n0使命题成立时n0不一定是1，是使命题成立的最小正整数．(2)第②步证明n＝k＋1时命题也成立的过程中一定要用到归纳递推，否则就不是数学归纳法．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，x n＋y n能被x＋y 整除”，在第二步时，正确的证法是________(填序号)．①假设n＝k(k∈N*)时命题成立，证明n＝k＋1命题成立；②假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n＝k＋1命题成立；③假设n＝2k＋1 (k∈N*)时命题成立，证明n＝k＋1命题成立；④假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n＝k＋2命题成立．2．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则f (n )中共有____________项；当n ＝2时，f (2)＝____________.3．如果命题P (n )对n ＝k 成立，则它对n ＝k ＋1也成立，现已知P (n )对n ＝4不成立，则下列结论正确的是________(填序号)．①P (n )对n ∈N *成立；②P (n )对n >4且n ∈N *成立； ③P (n )对n <4且n ∈N *成立； ④P (n )对n ≤4且n ∈N *不成立．4．(2010·泰州模拟)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上________________________________________________________________________.5．(2010·淮南调研)若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是____________________．6．用数学归纳法证明“1＋2＋3＋…＋n ＋…＋3＋2＋1＝n 2 (n ∈N *)”时，从n ＝k 到n ＝k ＋1时，该式左边应添加的代数式是________．7．(2010·南京模拟)用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1324的过程中，由n ＝k 推导n ＝k ＋1时，不等式的左边增加的式子是____________________．8．凸n 边形有f (n )条对角线，凸n ＋1边形有f (n ＋1)条对角线，则f (n ＋1)＝f (n )＋________.二、解答题(共42分)9．(12分)用数学归纳法证明1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n (n ∈N *)．10．(14分)数列{a n }满足a n >0，S n ＝12(a n ＋1a n)，求S 1，S 2，猜想S n ，并用数学归纳法证明．11．(16分)(高考预测题)已知函数f (x )＝1x 2e －1|x |(其中e 为自然对数的底数)．(1)判断f (x )的奇偶性；(2)在(－∞，0)上求函数f (x )的极值；(3)用数学归纳法证明：当x >0时，对任意正整数n 都有f (1x )<n ！·x 2－n .学案37 数学归纳法答案自主梳理3．(1)n 0 (n 0∈N *) (2)n ＝k (k ∈N *，且k ≥n 0) n ＝k ＋1 自我检测 1．1＋a ＋a 2解析 当n ＝1时左端有n ＋2项，∴左端＝1＋a ＋a 2. 2．②解析 由n ＝2成立，根据递推关系“P (n )对于n ＝k 时成立，则它对n ＝k ＋2也成立”，可以推出n ＝4时成立，再推出n ＝6时成立，…，依次类推，P (n )对所有正偶数n 成立”．3．1＋12＋13＋14解析 当n ＝2时，中间的式子1＋12＋13＋122＝1＋12＋13＋14. 4．5解析 当n ＝1时，21＝12＋1；当n ＝2时，22<22＋1；当n ＝3时，23<32＋1； 当n ＝4时，24<42＋1.而当n ＝5时，25>52＋1， ∴n 0＝5.5.32，74，158，2n－12n －1课堂活动区例1 解题导引 用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题，关键在于弄清等式两边的构成规律：等式的两边各有多少项，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．证明 设f (n )＝1·n ＋2·(n －1)＋3·(n －2)＋…＋(n －1)·2＋n ·1. (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立； (2)假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时等式成立， 即1·k ＋2·(k －1)＋3·(k －2)＋…＋(k －1)·2＋k ·1 ＝16k (k ＋1)(k ＋2)， 则当n ＝k ＋1时， f (k ＋1)＝1·(k ＋1)＋2[(k ＋1)－1]＋3[(k ＋1)－2]＋…＋[(k ＋1)－1]·2＋(k ＋1)·1＝f (k )＋1＋2＋3＋…＋k ＋(k ＋1) ＝16k (k ＋1)(k ＋2)＋12(k ＋1)(k ＋1＋1) ＝16(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)．由(1)(2)可知当n ∈N *时等式都成立． 变式迁移1 证明 (1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12＝11＋1＝右边，∴等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，等式成立，即 1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k . 则当n ＝k ＋1时，1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1＋1k ＋1＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1＋1k ＋1＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋12(k ＋1)， 即当n ＝k ＋1时，等式也成立，所以由(1)(2)知对任意的n ∈N *等式都成立．例2 解题导引 用数学归纳法证明不等式问题时，从n ＝k 到n ＝k ＋1的推证过程中，证明不等式的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等．证明 (1)当n ＝2时，左边＝1＋13＝43；右边＝52. ∵左边>右边，∴不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，且k ∈N *)时不等式成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1>2k ＋12. 则当n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋12(k ＋1)－1>2k ＋12·2k ＋22k ＋1＝2k ＋222k ＋1＝4k 2＋8k ＋422k ＋1>4k 2＋8k ＋322k ＋1＝2k ＋32k ＋122k ＋1＝2(k ＋1)＋12. ∴当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n ，不等式都成立． 变式迁移2 证明 (1)当m ＝1时，原不等式成立； 当m ＝2时，左边＝1＋2x ＋x 2，右边＝1＋2x ， 因为x 2≥0，所以左边≥右边，原不等式成立； (2)假设当m ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立， 即(1＋x )k ≥1＋kx ，则当m ＝k ＋1时， ∵x >－1，∴1＋x >0.于是在不等式(1＋x )k ≥1＋kx 两边同时乘以1＋x 得， (1＋x )k ·(1＋x )≥(1＋kx )(1＋x )＝1＋(k ＋1)x ＋kx 2 ≥1＋(k ＋1)x .所以(1＋x)k＋1≥1＋(k＋1)x，即当m＝k＋1时，不等式也成立．综合(1)(2)知，对一切正整数m，不等式都成立．例3解题导引用数学归纳法证明整除问题，由k过渡到k＋1时常使用“配凑法”．在证明n＝k＋1成立时，先将n＝k＋1时的原式进行分拆、重组或者添加项等方式进行整理，最终将其变成一个或多个部分的和，其中每个部分都能被约定的数(或式子)整除，从而由部分的整除性得出整体的整除性，最终证得n＝k＋1时也成立．证明(1)当n＝1时，a2＋(a＋1)＝a2＋a＋1能被a2＋a＋1整除．(2)假设当n＝k (k≥1且k∈N*)时，a k＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k＋1时，a k＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·a k＋1＋(a＋1)2(a＋1)2k－1＝a·a k＋1＋a·(a＋1)2k－1＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1＝a[a k＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1，由假设可知a[a k＋1＋(a＋1)2k－1]能被a2＋a＋1整除，∴a k＋2＋(a＋1)2k＋1也能被a2＋a＋1整除，即n＝k＋1时命题也成立．综合(1)(2)知，对任意的n∈N*命题都成立．变式迁移3证明(1)当n＝1时，f(1)＝34－8－9＝64，命题显然成立．(2)假设当n＝k (k≥1，k∈N*)时，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除．则当n＝k＋1时，32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9)＋9·8k＋9·9－8(k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9)＋64(k＋1)即f(k＋1)＝9f(k)＋64(k＋1)∴n＝k＋1时命题也成立．综合(1)(2)可知，对任意的n∈N*，命题都成立．课后练习区1．④解析①、②、③中，k＋1不一定表示奇数，只有④中k为奇数，k＋2为奇数．2．n2－n＋112＋13＋143．④解析由题意可知，P(n)对n＝3不成立(否则P(n)对n＝4也成立)．同理可推P(n)对n＝2，n＝1也不成立．4．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2解析 ∵当n ＝k 时，左端＝1＋2＋3＋…＋k 2，当n ＝k ＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋…＋(k ＋1)2，∴当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2.5．f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2解析 ∵f (k )＝12＋22＋…＋(2k )2∴f (k ＋1)＝12＋22＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2，∴f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2.6．2k ＋1解析 ∵当n ＝k ＋1时，左边＝1＋2＋…＋k ＋(k ＋1)＋k ＋…＋2＋1，∴从n ＝k 到n ＝k ＋1时，应添加的代数式为(k ＋1)＋k ＝2k ＋1.7.1(2k ＋1)(2k ＋2)解析 不等式的左边增加的式子是12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1(2k ＋1)(2k ＋2). 8．n －1解析 ∵f (4)＝f (3)＋2，f (5)＝f (4)＋3，f (6)＝f (5)＋4，…，∴f (n ＋1)＝f (n )＋n －1.9．证明 (1)当n ＝1时，左边＝1＋12，右边＝12＋1，∴32≤1＋12≤32，命题成立．(2分)当n ＝2时，左边＝1＋22＝2；右边＝12＋2＝52，∴2<1＋12＋13＋14<52，命题成立．(4分)(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时命题成立，即1＋k 2<1＋12＋13＋…＋12k <12＋k ，(6分)则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k >1＋k 2＋2k ·12k ＋1＝1＋k ＋12.(8分)又1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k <12＋k ＋2k ·12k ＝12＋(k ＋1)，即n ＝k ＋1时，命题也成立．(10分)由(1)(2)可知，命题对所有n ∈N *都成立．(12分)10．解 ∵a n >0，∴S n >0，由S 1＝12(a 1＋1a 1)，变形整理得S 21＝1， 取正根得S 1＝1.由S 2＝12(a 2＋1a 2)及a 2＝S 2－S 1＝S 2－1得 S 2＝12(S 2－1＋1S 2－1)， 变形整理得S 22＝2，取正根得S 2＝ 2.同理可求得S 3＝ 3.由此猜想S n ＝n .(6分)用数学归纳法证明如下：(1)当n ＝1时，上面已求出S 1＝1，结论成立．(8分)(2)假设当n ＝k 时，结论成立，即S k ＝k .(9分)那么，当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝12(a k ＋1＋1a k ＋1)＝12(S k ＋1－S k ＋1S k ＋1－S k) ＝12(S k ＋1－k ＋1S k ＋1－k)． 整理得S 2k ＋1＝k ＋1，取正根得S k ＋1＝k ＋1.故当n ＝k ＋1时，结论成立．(13分)由(1)、(2)可知，对一切n ∈N *，S n ＝n 都成立．(14分)11．(1)解 ∵函数f (x )定义域为{x ∈R |x ≠0}且f (－x )＝1(－x )2e －1|－x |＝1x2e －1|x |＝f (x )， ∴f (x )是偶函数．(4分)(2)解 当x <0时，f (x )＝1x 2e 1x ， f ′(x )＝－2x 3e 1x ＋1x 2e 1x (－1x 2)＝－1x 4e 1x (2x ＋1)，(6分)令f ′(x )＝0有x ＝－12，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由表可知：当x ＝－2时，f (x )取极大值4e －2，无极小值．(10分)(3)证明 当x >0时f (x )＝1x 2e －1x ，∴f (1x )＝x 2e －x .考虑到：x >0时，不等式f (1x )<n ！·x 2－n 等价于x 2e －x <n ！·x 2－n ⇔x n <n ！·e x (ⅰ)(12分)所以只要用数学归纳法证明不等式(ⅰ)对一切n ∈N *都成立即可．①当n ＝1时，设g (x )＝e x －x (x >0)，∵x >0时，g ′(x )＝e x －1>0，∴g (x )是增函数，故g (x )>g (0)＝1>0，即e x >x (x >0)．所以当n ＝1时，不等式(ⅰ)成立．(13分)②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式(ⅰ)成立，即x k <k ！e x ，当n ＝k ＋1时，设h (x )＝(k ＋1)！·e x －x k ＋1(x >0)，h ′(x )＝(k ＋1)！e x －(k ＋1)x k ＝(k ＋1)(k ！e x －x k )>0，故h (x )＝(k ＋1)！·e x －x k ＋1(x >0)为增函数，∴h (x )>h (0)＝(k ＋1)！>0，∴x k ＋1<(k ＋1)！·e x ，即n ＝k ＋1时，不等式(ⅰ)也成立，(15分)由①②知不等式(ⅰ)对一切n ∈N *都成立，故当x >0时，原不等式对n ∈N *都成立．(16分)。
2014届高考理科学数学第一轮复习导学案28
学案29 等比数列及其前n 项和导学目标： 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系.4.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题．自主梳理1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，通常用字母______表示(q ≠0)．2．等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝____________.3．等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．4．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·________ (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则__________________．(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n } (λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 仍是等比数列．(4)单调性：⎩⎨⎧a 1>0，q >1或⎩⎨⎧a 1<00<q <1⇔{a n }是________数列；⎩⎨⎧a 1>0，0<q <1或⎩⎨⎧a 1<0q >1⇔{a n }是________数列；q ＝1⇔{a n } 是____数列；q <0⇔{a n }是________数列． 5．等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1(q n －1)q －1＝a 1q n q －1－a 1q －1.6．等比数列前n 项和的性质公比不为－1的等比数列{a n}的前n项和为S n，则S n，S2n－S n，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为______．自我检测1．(2011·苏州模拟)如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么b ＝________.2．(2011·湖南长郡中学模拟)已知等比数列{a n}的前三项依次为a －2，a＋2，a＋8，则a n＝______________.3．设{a n}是公比为q的等比数列，|q|>1，令b n＝a n＋1 (n＝1,2，…)，若数列{b n}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.4．若数列{a n}的前n项和S n＝3n－a，数列{a n}为等比数列，则实数a的值为________．5．设f(n)＝2＋24＋27＋…＋23n＋1 (n∈N*)，则f(n)＝____________.探究点一等比数列的基本量运算例1已知正项等比数列{a n}中，a1a5＋2a2a6＋a3a7＝100，a2a4－2a3a5＋a4a6＝36，求数列{a n}的通项a n和前n项和S n.变式迁移1在等比数列{a n}中，a1＋a n＝66，a2·a n－1＝128，S n ＝126，求n和q.探究点二等比数列的判定例2已知数列{a n}的首项a1＝5，前n项和为S n，且S n＋1＝2S n ＋n＋5，n∈N*.(1)证明：数列{a n＋1}是等比数列；(2)求{a n}的通项公式以及S n.变式迁移2设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＝(n－1)S n＋2n(n∈N*)．(1)求a2，a3的值；(2)求证：数列{S n ＋2}是等比数列．探究点三 等比数列性质的应用例3 在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝8，且1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＋1a 5＝2，求a 3.变式迁移3 (1)已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，求b 5＋b 9的值；(2)在等比数列{a n }中，若a 1a 2a 3a 4＝1，a 13a 14a 15a 16＝8，求a 41a 42a 43a 44.分类讨论思想与整体思想例 (14分)设首项为正数的等比数列{a n }的前n 项和为80，它的前2n 项和为6 560，且前n 项中数值最大的项为54，求此数列的第2n 项．【答题模板】解 设数列{a n }的公比为q ，若q ＝1，则S n ＝na 1，S 2n ＝2na 1＝2S n . ∵S 2n ＝6 560≠2S n ＝160，∴q ≠1，[4分]由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n )1－q＝80， ①a 1(1－q2n)1－q＝6 560. ②[6分]将①整体代入②得80(1＋q n )＝6 560， ∴q n ＝81.[8分]将q n ＝81代入①得a 1(1－81)＝80(1－q )，∴a 1＝q －1，由a 1>0，得q >1， ∴数列{a n }为递增数列．[10分]∴a n ＝a 1q n －1＝a 1q ·q n ＝81·a 1q ＝54. ∴a 1q ＝23.[12分]与a 1＝q －1联立可得a 1＝2，q ＝3， ∴a 2n ＝2×32n －1 (n ∈N *)．[14分] 【突破思维障碍】 (1)分类讨论的思想：①利用等比数列前n 项和公式时要分公比q ＝1和q ≠1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时也应进行讨论：当a 1>0，q >1或a 1<0,0<q <1时为递增数列；当a 1<0，q >1或a 1>0,0<q <1时为递减数列；当q <0时为摆动数列；当q ＝1时为常数列．(2)函数的思想：等比数列的通项公式a n ＝a 1q n －1＝a 1q ·q n (q >0且q ≠1)常和指数函数相联系．(3)整体思想：应用等比数列前n 项和时，常把q n ，a 11－q当成整体求解．本题条件前n 项中数值最大的项为54的利用是解决本题的关键，同时将q n和a 1(1－q n)1－q的值整体代入求解，简化了运算，体现了整体代换的思想，在解决有关数列求和的题目时应灵活运用．1．等比数列的通项公式、前n 项和公式分别为a n ＝a 1q n －1，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1， q ＝1，a 1(1－q n )1－q ， q ≠1.2．等比数列的判定方法：(1)定义法：即证明a n ＋1a n＝q (q ≠0，n ∈N *) (q 是与n 值无关的常数)．(2)中项法：证明一个数列满足a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2 (n ∈N *且a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0)．3．等比数列的性质： (1)a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N *)；(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l＝a m ·a n ；(3)设公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n－S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n .4．在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q＝1或q≠1作出判断；计算过程中要注意整体代入的思想方法．5．等差数列与等比数列的关系是：(1)若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列是非零常数列；(2)若{a n}是等比数列，且a n>0，则{lg a n}构成等差数列．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．(2010·辽宁)设{a n}是由正数组成的等比数列，S n为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝________.2．(2010·浙江)设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2＋a5＝0，则S5S2＝________.3．在各项都为正数的等比数列{a n}中，a1＝3，前三项的和S3＝21，则a3＋a4＋a5＝________.4．(2011·无锡模拟)等比数列{a n}前n项的积为T n，若a3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10，T13，T17，T25中也是常数的项是________．5．记等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝2，S6＝18，则S10 S5＝________.6．设{a n}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{a n}前7项的和为________．7．在等比数列{a n}中，公比q＝2，前99项的和S99＝30，则a3＋a6＋a9＋…＋a99＝________.8．(2010·福建)在等比数列{a n}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式a n＝________.二、解答题(共42分)9．(12分)(2010·陕西)已知{a n}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列．(1)求数列{a n}的通项；(2)求数列{2a n}的前n项和S n.10．(14分)已知数列{log 2(a n －1)}为等差数列，且a 1＝3，a 2＝5. (1)求证：数列{a n －1}是等比数列；(2)求1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n的值．11．(16分)已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b n }的第2项、第3项、第4项．(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }对n ∈N *均有c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n b n＝a n ＋1成立，求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 010.答案 自主梳理 1．公比 q 2.a 1·q n －1 4.(1)q n －m (2)a k ·a l ＝a m ·a n (4)递增 递减 常 摆动 6.q n 自我检测 1．－3解析 由等比数列的性质可得ac ＝(－1)×(－9)＝9，b 2＝9且b 与奇数项的符号相同，故b ＝－3.2．8·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1 解析 因为{a n }为等比数列，所以(a ＋2)2＝(a －2)(a ＋8)，解得a＝10，a －2＝8，q ＝a ＋2a －2＝32，∴a n ＝a 1q n －1＝8·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1. 3．－9解析 由题意：等比数列{a n }有连续四项在集合{－54，－24，18,36,81}中，由等比数列的定义知：四项是两个正数、两个负数，故－24,36，－54,81，符合题意，则q ＝－32，∴6q ＝－9. 4．1解析 可用特殊值法，由S n 得a 1＝3－a ，a 2＝6，a 3＝18，由等比数列的性质可知a ＝1.5.27(8n ＋1－1)解析 由题意可知，f (n )即为一个以2为首项，公比q ＝23＝8，项数为n ＋1的等比数列的和．由公式可得f (n )＝S n ＋1＝a 1(1－q n ＋1)1－q＝2×(1－8n ＋1)1－8＝27(8n ＋1－1)．课堂活动区例1 解题导引 (1)在等比数列的通项公式和前n 项和公式中共有a 1，a n ，q ，n ，S n 五个量，知道其中任意三个量，都可以求出其余两个量．解题时，将已知条件转化为基本量间的关系，然后利用方程组的思想求解；(2)本例可将所有项都用a 1和q 表示，转化为关于a 1和q 的方程组求解；也可利用等比数列的性质来转化，两种方法目的都是消元转化．解 方法一 由已知得： ⎩⎪⎨⎪⎧ a 21q 4＋2a 21q 6＋a 21q 8＝100，a 21q 4－2a 21q 6＋a 21q 8＝36.①②①－②，得4a 21q 6＝64，∴a 21q 6＝16.③代入①，得16q 2＋2×16＋16q 2＝100.解得q 2＝4或q 2＝14.又数列{a n }为正项数列，∴q ＝2或12.当q ＝2时，可得a 1＝12，∴a n ＝12×2n －1＝2n －2，S n ＝12(1－2n )1－2＝2n －1－12；当q ＝12时，可得a 1＝32.∴a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝26－n .S n ＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝64－26－n .方法二 ∵a 1a 5＝a 2a 4＝a 23，a 2a 6＝a 3a 5，a 3a 7＝a 4a 6＝a 25， 由⎩⎪⎨⎪⎧a 1a 5＋2a 2a 6＋a 3a 7＝100，a 2a 4－2a 3a 5＋a 4a 6＝36， 可得⎩⎪⎨⎪⎧a 23＋2a 3a 5＋a 25＝100，a 23－2a 3a 5＋a 25＝36， 即⎩⎪⎨⎪⎧(a 3＋a 5)2＝100，(a 3－a 5)2＝36. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＋a 5＝10，a 3－a 5＝±6.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝8，a 5＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝2，a 5＝8. 当a 3＝8，a 5＝2时，q 2＝a 5a 3＝28＝14.∵q >0，∴q ＝12，由a 3＝a 1q 2＝8，得a 1＝32，∴a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝26－n .S n ＝32－26－n ×121－12＝64－26－n. 当a 3＝2，a 5＝8时，q 2＝82＝4，且q >0，∴q ＝2.由a 3＝a 1q 2，得a 1＝24＝12.∴a n ＝12×2n －1＝2n －2.S n ＝12(2n－1)2－1＝2n －1－12.变式迁移1 解 由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2·a n －1＝a 1·a n ＝128，a 1＋a n＝66， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝64，a n ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＝64.若⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝64，a n ＝2，则S n ＝a 1－a n q 1－q ＝64－2q 1－q ＝126，解得q ＝12，此时，a n ＝2＝64·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，∴n ＝6. 若⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n＝64，则S n ＝2－64q 1－q ＝126，∴q ＝2.∴a n ＝64＝2·2n －1.∴n ＝6. 综上n ＝6，q ＝2或12.例2 解题导引 (1)证明数列是等比数列的两个基本方法： ①a n ＋1a n ＝q (q 为与n 值无关的常数)(n ∈N *)．②a 2n ＋1＝a n a n ＋2 (a n ≠0，n ∈N *)．(2)证明数列不是等比数列，可以通过具体的三个连续项不成等比数列来证明，也可用反证法．解 (1)由已知S n ＋1＝2S n ＋n ＋5，n ∈N *， 可得n ≥2时，S n ＝2S n －1＋n ＋4，两式相减得S n ＋1－S n ＝2(S n －S n －1)＋1， 即a n ＋1＝2a n ＋1，从而a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)， 当n ＝1时，S 2＝2S 1＋1＋5， 所以a 2＋a 1＝2a 1＋6， 又a 1＝5，所以a 2＝11， 从而a 2＋1＝2(a 1＋1)，故总有a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，n ∈N *，又a 1＝5，a 1＋1≠0，从而a n ＋1＋1a n ＋1＝2，即数列{a n ＋1}是首项为6，公比为2的等比数列． (2)由(1)得a n ＋1＝6·2n －1， 所以a n ＝6·2n －1－1，于是S n ＝6·(1－2n )1－2－n ＝6·2n －n －6.变式迁移2 解 (1)∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，a 1＝2×1＝2；当n ＝2时，a 1＋2a 2＝(a 1＋a 2)＋4，∴a 2＝4； 当n ＝3时，a 1＋2a 2＋3a 3＝2(a 1＋a 2＋a 3)＋6， ∴a 3＝8.(2)∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)，①∴当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1 ＝(n －2)S n －1＋2(n －1)．②①－②得na n ＝(n －1)S n －(n －2)S n －1＋2＝n (S n －S n －1)－S n ＋2S n －1＋2＝na n －S n ＋2S n －1＋2.∴－S n ＋2S n －1＋2＝0，即S n ＝2S n －1＋2， ∴S n ＋2＝2(S n －1＋2)．∵S 1＋2＝4≠0，∴S n －1＋2≠0，∴S n ＋2S n －1＋2＝2，故{S n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．例3 解题导引 在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．解 由已知得1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＋1a 5＝a 1＋a 5a 1a 5＋a 2＋a 4a 2a 4＋a 3a 23＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5a 23＝8a 23＝2， ∴a 23＝4，∴a 3＝±2.若a 3＝－2，设数列的公比为q ， 则－2q 2＋－2q －2－2q －2q 2＝8，即1q 2＋1q ＋1＋q ＋q 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1q ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫q ＋122＋12＝－4.此式显然不成立，经验证，a 3＝2符合题意，故a 3＝2. 变式迁移3 解 (1)∵a 3a 11＝a 27＝4a 7， ∵a 7≠0，∴a 7＝4，∴b 7＝4，∵{b n }为等差数列，∴b 5＋b 9＝2b 7＝8.(2)a 1a 2a 3a 4＝a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝a 41q 6＝1.① a 13a 14a 15a 16＝a 1q 12·a 1q 13·a 1q 14·a 1q 15 ＝a 41·q 54＝8.②②÷①：a 41·q 54a 41·q6＝q 48＝8⇒q 16＝2，又a 41a 42a 43a 44＝a 1q 40·a 1q 41·a 1q 42·a 1q 43 ＝a 41·q 166＝a 41·q 6·q 160＝(a 41·q 6)·(q 16)10 ＝1·210＝1 024. 课后练习区 1.314解析 ∵{a n }是由正数组成的等比数列，且a 2a 4＝1，∴设{a n }的公比为q ，则q >0，且a 23＝1，即a 3＝1.∵S 3＝7，∴a 1＋a 2＋a 3＝1q 2＋1q ＋1＝7，即6q 2－q －1＝0.故q ＝12或q ＝－13(舍去)，∴a 1＝1q 2＝4.∴S 5＝4(1－125)1－12＝8(1－125)＝314.2．－11解析 由8a 2＋a 5＝0，得8a 1q ＋a 1q 4＝0，所以q ＝－2，则S 5S 2＝a 1(1＋25)a 1(1－22)＝－11. 3．84解析 由题可设等比数列的公比为q ，则3(1－q 3)1－q＝21⇒1＋q ＋q 2＝7⇒q 2＋q －6＝0 ⇒(q ＋3)(q －2)＝0，根据题意可知q >0，故q ＝2.所以a 3＋a 4＋a 5＝q 2S 3＝4×21＝84.4．T 17解析 a 3a 6a 18＝a 31q 2＋5＋17＝(a 1q 8)3＝a 39，即a 9为定值，所以下标和为9的倍数的积为定值，可知T 17为定值．5．33解析 因为等比数列{a n }中有S 3＝2，S 6＝18，即S 6S 3＝a 1(1－q 6)1－q a 1(1－q 3)1－q＝1＋q 3＝182＝9， 故q ＝2，从而S 10S 5＝a 1(1－q 10)1－q a 1(1－q 5)1－q＝1＋q 5＝1＋25＝33.6．127解析 ∵公比q 4＝a 5a 1＝16，且q >0，∴q ＝2，∴S 7＝1－271－2＝127. 7.1207解析 ∵S 99＝30，即a 1(299－1)＝30，∵数列a 3，a 6，a 9，…，a 99也成等比数列且公比为8，∴a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝4a 1(1－833)1－8＝4a 1(299－1)7＝47×30＝1207. 8．4n －1解析 ∵等比数列{a n }的前3项之和为21，公比q ＝4，不妨设首项为a 1，则a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝a 1(1＋4＋16)＝21a 1＝21，∴a 1＝1，∴a n ＝1×4n －1＝4n －1.9．解 (1)由题设知公差d ≠0，由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列，得1＋2d 1＝1＋8d 1＋2d，…………………………………………………………………………(4分)解得d ＝1或d ＝0(舍去)．故{a n }的通项a n ＝1＋(n －1)×1＝n .……………………………………………………(7分)(2)由(1)知2a n ＝2n ，由等比数列前n 项和公式，得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.………………………………………………………………………………(12分)10．(1)证明 设log 2(a n －1)－log 2(a n －1－1)＝d (n ≥2)，因为a 1＝3，a 2＝5，所以d ＝log 2(a 2－1)－log 2(a 1－1)＝log 24－log 22＝1，…………………………………………………………(3分)所以log 2(a n －1)＝n ，所以a n －1＝2n ，所以a n －1a n －1－1＝2 (n ≥2)，所以{a n －1}是以2为首项，2为公比的等比数列．………(6分)(2)解 由(1)可得a n －1＝(a 1－1)·2n －1，所以a n ＝2n ＋1，…………………………………………………………………………(8分)所以1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n＝122－2＋123－22＋...＋12n ＋1－2n ＝12＋122＋ (12)＝1－12n .………………………………………………………………(14分)11．解 (1)由已知有a 2＝1＋d ，a 5＝1＋4d ，a 14＝1＋13d ， ∴(1＋4d )2＝(1＋d )(1＋13d )．解得d ＝2(d ＝0舍)．……………………………………………………………………(2分)∴a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1.………………………………………………………………(5分)又b 2＝a 2＝3，b 3＝a 5＝9，∴数列{b n }的公比为3，∴b n ＝3·3n －2＝3n－1.………………………………………………………………………(8分)(2)由c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n b n＝a n ＋1得 当n ≥2时，c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n －1b n －1＝a n . 两式相减得：当n ≥2时，c n b n＝a n ＋1－a n ＝2.……………………………………………(10分)∴c n ＝2b n ＝2·3n －1 (n ≥2)．又当n ＝1时，c 1b 1＝a 2，∴c 1＝3. ∴c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3 (n ＝1)2·3n －1 (n ≥2).………………………………………………………………(12分)∴c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 010＝3＋6－2×32 0101－3＝3＋(－3＋32 010)＝32010.…………………………………………(16分)。
2014届高考理科数学第一轮复习导学案60
学案62 二项式定理导学目标： 1.能用计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．自主梳理1．二项式定理的有关概念(1)二项式定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b 1＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C nn b n (n ∈N *)，这个公式叫做__________．①二项展开式：右边的多项式叫做(a ＋b )n 的二项展开式． ②项数：二项展开式中共有________项．③二项式系数：在二项展开式中各项的系数__________(r ＝____________)叫做二项式系数．④通项：在二项展开式中的____________________叫做二项展开式的通项，用T r ＋1表示，即通项为展开式的第r ＋1项：T r ＋1＝____________________________.2．二项式系数的性质(1)C m n ＝C n －mn； (2)C m n ＋C m －1n ＝C m n ＋1；(3)当r <n －12时，______________________；当r >n －12时，C r ＋1n <C rn ； (4)当n 是偶数时，中间的一项二项式系数________________________________取得最大值；当n 为奇数时，中间的两项二项式系数______________________________、__________________________相等，且同时取得最大值；(5)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝______，C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝______.自我检测 1．(2011·福建改编)(1＋2x )5的展开式中，x 2的系数等于________． 2．(2011·陕西改编)(4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是________．3．(2010·四川)⎝⎛⎭⎪⎪⎫2－13x 6的展开式中的第四项是______．4．(2011·山东)若(x －a x 2)6展开式的常数项为60，则常数a 的值为________．5．已知n 为正偶数，且⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－12x n的展开式中第4项的二项式系数最大，则第4项的系数是______．(用数字作答)探究点一 二项展开式及通项公式的应用例1 已知在⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －123x n的展开式中，第6项为常数项．(1)求n ；(2)求含x 2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．变式迁移1 (2010·湖北)在(x ＋43y )20的展开式中，系数为有理数的项共有________项．探究点二 二项式系数的性质及其应用例2 (1)求证：C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋n C n n＝n ·2n －1； (2)求S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727除以9的余数．变式迁移2 (2010·上海卢湾区质量调研)求C 22n ＋C 42n ＋…＋C 2k2n＋…＋C 2n2n 的值．探究点三 求系数最大项 例3 已知f (x )＝(3x 2＋3x 2)n 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．变式迁移3 (1)在(x ＋y )n 的展开式中，若第七项系数最大，则n 的值可能等于________．(2)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x n，(ⅰ)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数的最大项的系数；(ⅱ)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．1．二项式系数与项的系数是不同的，如(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式中，第r ＋1项的二项式系数是C r n ，而第r ＋1项的系数为C r n a n －r b r .2．通项公式主要用于求二项式的指数，求满足条件的项或系数，求展开式的某一项或系数．在运用公式时要注意：C r n a n －r b r是第r ＋1项，而不是第r 项．3．在(a ＋b )n 的展开式中，令a ＝b ＝1，得C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n；令a ＝1，b ＝－1，得C 0n －C 1n ＋C 2n －C 3n ＋…＝0，∴C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n＋…＝2n －1，这种由一般到特殊的方法是“赋值法”． 4．二项式系数的性质有：(1)在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C 0n ＝C n n ，C 1n ＝C n －1n ，C 2n ＝C n －2n ，…，C r n ＝C n －rn .(2)如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．5．二项式定理的一个重要作用是近似计算，当n 不是很大，|x |比较小时，(1＋x )n ≈1＋nx .利用二项式定理还可以证明整除性问题或求余数问题，证题时要注意变形的技巧．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．(2010·山东实验中学模拟)在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 24的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有________项．2．设(x 2＋1)(2x ＋1)9＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 11(x ＋2)11，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11的值为________．3．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x2－13x n 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是________．4．(2010·烟台高三一模)如果⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －13x 2n的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中1x 3的系数是________．5．在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3的项的系数是________．6．(2011·湖北)(x －13x)18的展开式中含x 15的项的系数为________．(结果用数值表示)7．(2010·济南高三一模)(x －12x )6的展开式中的常数项为________．8.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋1x 210的展开式中的常数项是________． 二、解答题(共42分)9．(14分)(1)设(3x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4. ①求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4； ②求a 0＋a 2＋a 4； ③求a 1＋a 2＋a 3＋a 4；(2)求证：32n ＋2－8n －9能被64整除(n ∈N *)．10．(14分)利用二项式定理证明对一切n ∈N *，都有2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n <3.11．(14分)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 2n (n ∈N *)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.(1)求展开式中各项系数的和；(2)求展开式中含x 32的项；(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．学案62 二项式定理答案自主梳理1．(1)二项式定理 ②n ＋1 ③C r n 0,1,2，…，n ④C r n an －r b rC r n a n －r b r 2.(3)C r n <C r ＋1n (4)C n 2n C n ＋12n C n －12n (5)2n 2n －1 自我检测 1．40解析 (1＋2x )5的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 5(2x )r ＝2r C r 5x r，令r ＝2，得x 2的系数为22·C 25＝40.2．15解析 设展开式的常数项是第r ＋1项，则T r ＋1＝C r 6·(4x )r ·(－2－x )6－r ，即T r ＋1＝C r 6·(－1)6－r ·22rx ·2rx －6x ＝C r 6·(－1)6－r ·23rx －6x ，∴3rx －6x ＝0恒成立．∴r ＝2，∴T 3＝C 26·(－1)4＝15. 3．－160x 4．4解析 (x －a x 2)6展开式的通项为T r ＋1＝C r 6x 6－r(－1)r ·(a )r ·x －2r ＝C r 6x6－3r (－1)r ·(a )r . 令6－3r ＝0，得r ＝2.故C 26(a )2＝60，解得a ＝4.5．－52解析 n 为正偶数，且第4项二项式系数最大，故展开式共7项，n ＝6，第4项系数为C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫－123＝－52.课堂活动区例1 解题导引 (1)通项T r ＋1＝C r n an －r b r是(a ＋b )n 的展开式的第r ＋1项，而不是第r 项；二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念，二项式系数是指C r n ，r ＝0,1,2，…，n ，与a ，b 的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分．(2)求二项展开式中的有理项，一般是根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整数的项．解这种类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解．若求二项展开式中的整式项，则其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项的方式一致．解 (1)通项公式为T r ＋1＝C r n x n －r 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r x －r 3 ＝C r n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r x n －2r 3， 因为第6项为常数项，所以r ＝5时，有n －2r3＝0， 即n ＝10.(2)令n －2r 3＝2，得r ＝12(n －6)＝12×(10－6)＝2，∴所求的系数为C 210⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝454. (3)根据通项公式，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧10－2r3∈Z ，0≤r ≤10，r ∈N .令10－2r3＝k (k ∈Z )，则10－2r ＝3k ，即r ＝5－32k ，∵r ∈N ，∴k 应为偶数． ∴k 可取2,0，－2，即r 可取2,5,8.所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C 210⎝ ⎛⎭⎪⎫－122x 2，C 510⎝ ⎛⎭⎪⎫－125，C 810⎝ ⎛⎭⎪⎫－128x －2.变式迁移1 6解析 展开式的通项T r ＋1＝C r 20·x 20－r ·(43y )r ＝C r 20·x 20－r ·y r ·3r 4. 由0≤r ≤20，r4∈Z 得r ＝0,4,8,12,16,20. 所以系数为有理数的项共有6项．例2 解题导引 (1)在有关组合数的求和问题中，经常用到形如C 0n ＝C n n ＝C n ＋1n ＋1，C k n ＝C n －k n ，k C k n ＝n C k －1n －1等式子的变形技巧；(2)利用二项式定理解决整除问题时，关键是进行合理地变形构造二项式．求余数问题时，应明确被除式f (x )、除式g (x )[g (x )≠0]、商式q (x )与余式的关系及余式的范围．(1)证明 方法一 设S ＝C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋(n －1)·C n －1n ＋n C nn ， ①∴S ＝n C n n ＋(n －1)C n －1n ＋(n －2)C n －2n ＋…＋2C 2n ＋C 1n＝n C 0n ＋(n －1)C 1n ＋(n －2)C 2n ＋…＋2C n －2n ＋C n －1n ， ②①＋②得2S ＝n (C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n －1n ＋C nn )＝n ·2n . ∴S ＝n ·2n －1.原式得证．方法二 ∵k n C k n＝kn ·n ！k ！(n －k )！＝(n －1)！(k －1)！(n －k )！＝C k －1n －1，∴k C k n ＝n C k －1n －1. ∴左边＝n C 0n －1＋n C 1n －1＋…＋n C n －1n －1＝n (C 0n －1＋C 1n －1＋…＋C n －1n －1) ＝n ·2n －1＝右边．(2)解 S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727＝227－1 ＝89－1＝(9－1)9－1＝C 09×99－C 19×98＋…＋C 89×9－C 99－1＝9(C 09×98－C 19×97＋…＋C 89)－2＝9(C 09×98－C 19×97＋…＋C 89－1)＋7， 显然上式括号内的数是正整数． 故S 被9除的余数为7.变式迁移2 解 (1＋x )2n ＝C 02n ＋C 12n x ＋C 22n x 2＋C 32n x 3＋…＋C 2n2n x 2n .令x ＝1得C 02n ＋C 12n ＋…＋C 2n －12n ＋C 2n 2n ＝22n；再令x ＝－1得C 02n －C 12n ＋C 22n －…＋(－1)r C r 2n ＋…－C 2n －12n ＋C 2n2n ＝0.两式相加，再用C 02n ＝1，得C 22n ＋C 42n ＋…＋C 2n2n ＝22n 2－1＝22n －1－1.例3 解题导引 (1)求二项式系数最大的项：如果n 是偶数，则中间一项[第⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋1项]的二项式系数最大；如果n 是奇数，则中间两项[第n ＋12项与第⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12＋1项]的二项式系数相等且最大；(2)求展开式系数最大的项：如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法．设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第r ＋1项系数最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A r ≥A r －1A r ≥A r ＋1解出r 来，即得系数最大的项． 解 (1)令x ＝1，则二项式各项系数的和为 f (1)＝(1＋3)n ＝4n ，又展开式中各项的二项式系数之和为2n . 由题意知，4n －2n ＝992.∴(2n )2－2n －992＝0，∴(2n ＋31)(2n －32)＝0， ∴2n ＝－31(舍)，或2n ＝32，∴n ＝5.由于n ＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是T 3＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫x 233(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫x 232(3x 2)3＝270x 223.(2)展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 53r ·x 23(5＋2r )． 假设T r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r 53r ≥C r －15·3r －1，C r 53r ≥C r ＋15·3r ＋1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧5！(5－r )！r ！×3≥5！(6－r )！(r －1)！，5！(5－r )！r ！≥5！(4－r )！(r ＋1)！×3.∴⎩⎨⎧3r ≥16－r ，15－r ≥3r ＋1.∴72≤r ≤92，∵r ∈N ，∴r ＝4.故展开式中系数最大的项为T 5＝405x 263. 变式迁移3 11,12,13(1)解析 分三种情况：①若仅T 7系数最大，则共有13项，n ＝12；②若T 7与T 6系数相等且最大，则共有12项，n ＝11；③若T 7与T 8系数相等且最大，则共有14项，n ＝13，所以n 的值可能等于11,12,13.(2)解 (ⅰ)∵C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，∴n 2－21n ＋98＝0.∴n ＝7或n ＝14，当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5.∴T 4的系数为C 37⎝ ⎛⎭⎪⎫12423＝352，T 5的系数为C 47⎝ ⎛⎭⎪⎫12324＝70，当n ＝14时，展开式中二项式系数的最大的项是T 8.∴T 8的系数为C 714⎝ ⎛⎭⎪⎫12727＝3 432.(ⅱ)∵C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，∴n 2＋n －156＝0. ∴n ＝12或n ＝－13(舍去)． 设T k ＋1项的系数最大， ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212(1＋4x )12， ∴⎩⎪⎨⎪⎧C k 124k ≥C k －1124k －1，C k 124k ≥C k ＋1124k ＋1.∴9.4≤k ≤10.4. ∴k ＝10.∴展开式中系数最大的项为T 11，T 11＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212C 1012410x 10＝16 896x 10.课后练习区1．5 2.－2 3.7 4.21 5．－121解析 (1－x )5中x 3的系数为－C 35＝－10，(1－x )6中x 3的系数为－C 36＝－20，(1－x )7中x 3的系数为－C 37＝－35，(1－x )8中x 3的系数为－C 38＝－56.所以原式中x 3的系数为－10－20－35－56＝－121.6．17解析 二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 18x 18－r (－13x)r ＝(－1)r (13)r C r18x 18－3r 2.令18－3r 2＝15，解得r ＝2.∴含x 15的项的系数为(－1)2(13)2C 218＝17.7．－52解析 T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r ·x －r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r 6·x 6－2r ， 令6－2r ＝0，得r ＝3.∴常数项为T 3＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－123C 36＝－52. 8．4 351解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋1x 210＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋x )＋1x 210 ＝C 010(1＋x )10＋C 110(1＋x )91x 2＋C 210(1＋x )81x 4＋C 310(1＋x )71x 6＋C 410(1＋x )61x 8＋…，从第五项C 410(1＋x )61x 8起，后面各项不再出现常数项，前四项的常数项分别是C 010×C 010，C 110×C 29，C 210×C 48，C 310×C 67.故原三项展开式中常数项为C 010C 010＋C 110C 29＋C 210C 48＋C 310C 67＝4 351.9．解 (1)①令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(3－1)4＝16. (3分)②令x ＝－1得，a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(－3－1)4＝256，而由(1)知a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(3－1)4＝16，两式相加，得a 0＋a 2＋a 4＝136. (6分)③令x ＝0得a 0＝(0－1)4＝1，得a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4－a 0＝16－1＝15. (9分)(2)证明 ∵32n ＋2－8n －9＝32·32n －8n －9＝9·9n －8n －9＝9(8＋1)n －8n －9＝9(C 0n 8n ＋C 1n 8n －1＋…＋C n －1n ·8＋C n n ·1)－8n －9 (12分)＝9(8n ＋C 1n 8n －1＋…＋C n －2n 82)＋9·8n ＋9－8n －9 ＝9×82×(8n －2＋C 1n ·8n －3＋…＋C n －2n )＋64n＝64[9(8n －2＋C 1n 8n －3＋…＋C n －2n )＋n ]，显然括号内是正整数，∴原式能被64整除． (14分)10．证明 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n ＝C 0n ＋C 1n ·1n ＋C 2n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1n 2＋C 3n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1n 3＋…＋C n n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1n n ＝1＋1＋12！·⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋13！·⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2n ＋…＋1n ！·⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2n …⎝ ⎛⎭⎪⎫1n . (4分) 所以2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n <2＋12！＋13！＋…＋1n ！(7分) <2＋11·2＋12·3＋…＋1(n －1)n＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝3－1n <3， (10分)仅当n ＝1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n ＝2； (12分) 当n ≥2时，2<⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n n <3. 故对一切n ∈N *，都有2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n <3. (14分) 11．解 由题意知，第五项系数为C 4n ·(－2)4，第三项的系数为C 2n ·(－2)2， 则有C 4n ·(－2)4C 2n ·(－2)2＝101， 化简得n 2－5n －24＝0，解得n ＝8或n ＝－3(舍去)． (2分)(1)令x ＝1得各项系数的和为(1－2)8＝1. (4分)(2)通项公式T r ＋1＝C r 8·(x )8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2r ＝C r 8·(－2)r ·x 8－r 2－2r ，令8－r 2－2r ＝32，则r ＝1.故展开式中含x 32的项为T 2＝－16x 32. (8分)(3)设展开式中的第r 项，第r ＋1项，第r ＋2项的系数绝对值分别为C r －18·2r －1，C r 8·2r ，C r ＋18·2r ＋1，若第r ＋1项的系数绝对值最大， 则⎩⎪⎨⎪⎧C r －18·2r －1≤C r 8·2r ，C r ＋18·2r ＋1≤C r 8·2r ， 解得5≤r ≤6. (12分) 又T 6的系数为负，∴系数最大的项为T 7＝1 792x －11.由n ＝8知第5项二项式系数最大．此时T 5＝1 120x －6.(14分)。
2014届高考理科学数学第一轮复习导学案29
学案28 等差数列及其前n 项和导学目标： 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.3.了解等差数列与一次函数的关系.4.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题．自主梳理1．等差数列的有关定义(1)一般地，如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的____等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为____________ (n ∈N *，d 为常数)．(2)数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是____________，其中A 叫做a ，b 的____________．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝____________，a n ＝a m ＋__________ (m ，n ∈N *)．(2)前n 项和公式：S n ＝______________＝________________. 3．等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列的充要条件是其前n 项和公式S n ＝____________.4．等差数列的性质(1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则有________________，特别地，当m ＋n ＝2p 时，________________.(2)等差数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列． (3)等差数列的单调性：若公差d >0，则数列为________；若d <0，则数列为__________；若d ＝0，则数列为____________．自我检测 1．(2010·北京海淀模拟)已知等差数列{a n }中，a 5＋a 9－a 7＝10，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则S 13的值为________．2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝4，则公差d ＝________.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 9＝72，则a 2＋a 4＋a 9＝________.4．(2010·湖南师大附中)若等差数列{a n }的前5项之和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝________.5．(2010·泰安一模)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5＝________.探究点一 等差数列的基本量运算例1 等差数列{a n }的前n 项和记为S n .已知a 10＝30，a 20＝50， (1)求通项a n ；(2)若S n ＝242，求n .变式迁移1 设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，它的前10项和S 10＝110，且a 1，a 2，a 4成等比数列，求公差d 和通项公式a n .探究点二 等差数列的判定例2 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大值和最小值，并说明理由．变式迁移2 已知数列{a n }中，a 1＝5且a n ＝2a n －1＋2n －1(n ≥2且n ∈N *)．(1)求a 2，a 3的值．(2)是否存在实数λ，使得数列{a n ＋λ2n }为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．探究点三 等差数列性质的应用例3 若一个等差数列的前5项之和为34，最后5项之和为146，且所有项的和为360，求这个数列的项数．变式迁移3 已知数列{a n }是等差数列．(1)前四项和为21，末四项和为67，且前n 项和为286，求n ； (2)若S n ＝20，S 2n ＝38，求S 3n ；(3)若项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数．探究点四 等差数列的综合应用例4 已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝10，S 6＝72.若b n ＝12a n －30，求数列{b n }的前n 项和的最小值．变式迁移4 在等差数列{a n }中，a 16＋a 17＋a 18＝a 9＝－36，其前n 项和为S n .(1)求S n 的最小值，并求出S n 取最小值时n 的值． (2)求T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |.1．等差数列的判断方法有：(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列．(2)中项公式：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． (3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列．(4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)⇔{a n }是等差数列． 2．对于等差数列有关计算问题主要围绕着通项公式和前n 项和公式，在两个公式中共五个量a 1、d 、n 、a n 、S n ，已知其中三个量可求出剩余的量，而a 与d 是最基本的，它可以确定等差数列的通项公式和前n 项和公式．3．要注意等差数列通项公式和前n 项和公式的灵活应用，如a n＝a m ＋(n －m )d ，S 2n －1＝(2n －1)a n 等．4．在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为①a ，a ＋d ，a ＋2d ；②a －d ，a ，a ＋d ；③a －d ，a ＋d ，a ＋3d 等可视具体情况而定．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．已知{a n }为等差数列，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5＝______. 2．(2010·全国Ⅱ改编)如果等差数列{}a n 中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝________.3．(2010·潍坊五校联合高三期中)已知{a n }是等差数列，a 1＝－9，S 3＝S 7，那么使其前n 项和S n 最小的n 是________．4．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13a 11的值为________．5．等差数列{a n }的前n 项和满足S 20＝S 40，下列结论中正确的序号是________．①S 30是S n 中的最大值； ②S 30是S n 中的最小值； ③S 30＝0； ④S 60＝0. 6．(2010·辽宁)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________.7．(2009·海南、宁夏)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝________.8．在数列{a n }中，若点(n ，a n )在经过点(5,3)的定直线l 上，则数列{a n }的前9项和S 9＝________.二、解答题(共42分)9．(12分)设{a n }是一个公差为d (d ≠0)的等差数列，它的前10项和S 10＝110，且a 22＝a 1a 4.(1)证明：a 1＝d ；(2)求公差d 的值和数列{a n }的通项公式．10．(14分)(2010·山东)已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n .(1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .11．(16分)(2010·广东湛师附中第六次月考)在数列{a n }中，a 1＝1,3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2)．(1)证明数列{1a n}是等差数列；(2)求数列{a n }的通项；(3)若λa n ＋1a n ＋1≥λ对任意n ≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．答案 自主梳理1．(1)二 差 a n ＋1－a n ＝d (2)A ＝a ＋b2 等差中项2．(1)a 1＋(n －1)d (n －m )d (2)na 1＋n (n －1)2d (a 1＋a n )n2 3.An 2＋Bn 4.(1)a m ＋a n ＝a p ＋a q a m ＋a n ＝2a p (3)递增数列 递减数列 常数列自我检测 1．130 2．2解析 ∵S 3＝3(a 1＋a 3)2＝6，a 3＝4，∴a 1＝0，a 3－a 1＝2d .∴d ＝2. 3．24解析 ∵S 9＝72＝9(a 1＋a 9)2， ∴a 1＋a 9＝16.∵a 1＋a 9＝2a 5，∴a 5＝8. ∴a 2＋a 4＋a 9＝a 1＋a 5＋a 9＝3a 5＝24. 4．13解析 由S 5＝(a 2＋a 4)·52⇒25＝(3＋a 4)·52⇒a 4＝7，所以7＝3＋2d ⇒d ＝2，所以a 7＝a 4＋3d ＝7＋3×2＝13.5．1解析 S 9S 5＝9(a 1＋a 9)25(a 1＋a 5)2＝95·2a 52a 3＝95·59＝1.课堂活动区例1 解题导引 (1)等差数列{a n }中，a 1和d 是两个基本量，用它们可以表示数列中的任何一项，利用等差数列的通项公式与前n 项和公式，列方程组解a 1和d ，是解决等差数列问题的常用方法；(2)由a 1，d ，n ，a n ，S n 这五个量中的三个量可求出其余两个量，需选用恰当的公式，利用方程组观点求解．解 (1)由a n ＝a 1＋(n －1)d ，a 10＝30，a 20＝50，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋9d ＝30，a 1＋19d ＝50， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝2.所以a n ＝2n ＋10.(2)由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，S n ＝242.得12n ＋n (n －1)2×2＝242.解得n ＝11或n ＝－22(舍去)． 变式迁移1 解 由题意，知⎩⎨⎧S 10＝10a 1＋10×92d ＝110，(a 1＋d )2＝a 1·(a 1＋3d )，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋9d ＝22，a 1d ＝d 2.∵d ≠0，∴a 1＝d .解得a 1＝d ＝2，∴a n ＝2n .例2 解题导引 1.等差数列的判定通常有两种方法：第一种是利用定义，即a n －a n －1＝d (常数)(n ≥2)，第二种是利用等差中项，即2a n ＝a n ＋1＋a n －1 (n ≥2)．2．解选择、填空题时，亦可用通项或前n 项和直接判断． (1)通项法：若数列{a n }的通项公式为n 的一次函数，即a n ＝An ＋B ，则{a n }是等差数列．(2)前n 项和法：若数列{a n }的前n 项和S n 是S n ＝An 2＋Bn 的形式(A ，B 是常数)，则{a n }为等差数列．3．若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可．解 (1)∵a n ＝2－1a n －1 (n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1，∴当n ≥2时，b n －b n －1＝1a n －1－1a n －1－1＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1a n －1－1－1a n －1－1＝a n －1a n －1－1－1a n －1－1＝1.又b 1＝1a 1－1＝－52.∴数列{b n }是以－52为首项，以1为公差的等差数列．(2)由(1)知，b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n＝1＋22n －7，设函数f (x )＝1＋22x －7，易知f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，72和⎝ ⎛⎭⎪⎫72，＋∞内为减函数． ∴当n ＝3时，a n 取得最小值－1； 当n ＝4时，a n 取得最大值3.变式迁移2 解 (1)∵a 1＝5，∴a 2＝2a 1＋22－1＝13， a 3＝2a 2＋23－1＝33.(2)假设存在实数λ，使得数列{a n ＋λ2n }为等差数列．设b n ＝a n ＋λ2n ，由{b n }为等差数列，则有2b 2＝b 1＋b 3.∴2×a 2＋λ22＝a 1＋λ2＋a 3＋λ23.∴13＋λ2＝5＋λ2＋33＋λ8， 解得λ＝－1.此时，b 1＝2.事实上，b n ＋1－b n ＝a n ＋1－12n ＋1－a n －12n＝12n ＋1[(a n ＋1－2a n )＋1]＝12n ＋1[(2n ＋1－1)＋1]＝1. 综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列{a n ＋λ2n }为首项为2、公差为1的等差数列．例3 解题导引 本题可运用倒序求和的方法和等差数列的性质：若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，从中我们可以体会运用性质解决问题的方便与简捷，应注意运用；也可用整体思想(把a 1＋n －12d 看作整体)．解 方法一 设此等差数列为{a n }共n 项， 依题意有a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，① a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＋a n －4＝146.② 根据等差数列性质，得a 5＋a n －4＝a 4＋a n －3＝a 3＋a n －2＝a 2＋a n －1＝a 1＋a n .将①②两式相加，得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋(a 3＋a n －2)＋(a 4＋a n －3)＋(a 5＋a n －4)＝5(a 1＋a n )＝180，∴a 1＋a n ＝36.由S n ＝n (a 1＋a n )2＝36n2＝360，得n ＝20. 所以该等差数列有20项．方法二 设此等差数列共有n 项，首项为a 1，公差为d ，则S 5＝5a 1＋5×42d ＝34，①S n －S n －5＝[n (n －1)d 2＋na 1]－[(n －5)a 1＋(n －5)(n －6)2d ]＝5a 1＋(5n －15)d ＝146.②①②两式相加可得10a 1＋5(n －1)d ＝180，∴a 1＋n －12d ＝18，代入S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋n －12d ＝360， 得18n ＝360，∴n ＝20.所以该数列的项数为20项． 变式迁移3 解 (1)依题意，知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝21， a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝67，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝88.∴a 1＋a n ＝884＝22.∵S n ＝n (a 1＋a n )2＝286，∴n ＝26. (2)∵S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列， ∴S 3n ＝3(S 2n －S n )＝54.(3)设项数为2n －1 (n ∈N *)，则奇数项有n 项，偶数项有n －1项，中间项为a n ，则S 奇＝(a 1＋a 2n －1)·n2＝n ·a n ＝44， S 偶＝(a 2＋a 2n －2)·(n －1)2＝(n －1)·a n ＝33，∴n n －1＝43. ∴n ＝4，a n ＝11.∴数列的中间项为11，项数为7.例4 解题导引 若{a n }是等差数列，求前n 项和的最值时，(1)若a 1>0，d <0，且满足⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0a n ＋1≤0，前n 项和S n 最大；(2)若a 1<0，d >0，且满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0a n ＋1≥0，前n 项和S n 最小；(3)除上面方法外，还可将{a n }的前n 项和的最值问题看作S n 关于n 的二次函数最值问题，利用二次函数的图象或配方法求解，注意n ∈N *.解 方法一 ∵2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，∴{a n }是等差数列． 设{a n }的首项为a 1，公差为d ，由a 3＝10，S 6＝72， 得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝106a 1＋15d ＝72，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2d ＝4. ∴a n ＝4n －2.则b n ＝12a n －30＝2n －31. 解⎩⎪⎨⎪⎧2n －31≤0，2(n ＋1)－31≥0，得292≤n ≤312. ∵n ∈N *，∴n ＝15.∴{b n }前15项为负值. ∴S 15最小． 可知b 1＝－29，d ＝2，∴S 15＝15×(－29＋2×15－31)2＝－225. 方法二 同方法一求出b n ＝2n －31.∵S n ＝n (－29＋2n －31)2＝n 2－30n ＝(n －15)2－225， ∴当n ＝15时，S n 有最小值，且最小值为－225.变式迁移4 解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， ∵a 16＋a 17＋a 18＝3a 17＝－36，∴a 17＝－12，∴d ＝a 17－a 917－9＝3，∴a n ＝a 9＋(n －9)·d ＝3n －63，a n ＋1＝3n －60，令⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝3n －63≤0a n ＋1＝3n －60≥0，得20≤n ≤21， ∴S 20＝S 21＝－630，∴n ＝20或21时，S n 最小且最小值为－630. (2)由(1)知前20项小于零，第21项等于0，以后各项均为正数．当n ≤21时，T n ＝－S n ＝－32n 2＋1232n .当n >21时，T n ＝S n －2S 21＝32n 2－1232n ＋1 260.综上，T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－32n 2＋1232n (n ≤21，n ∈N *)32n 2－1232n ＋1 260 (n >21，n ∈N *).课后练习区1．15解析 在等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝a 3＋a 8＝22，∴a 5＝15. 2．28解析 ∵a 3＋a 4＋a 5＝12，∴3a 4＝12，a 4＝4.∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝(a 1＋a 7)＋(a 2＋a 6)＋(a 3＋a 5)＋a 4＝7a 4＝28.3．5解析 由S 3＝S 7得a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝0， 即a 5＋a 6＝0，∴9d ＝－2a 1＝18，d ＝2.∴S n ＝－9n ＋12n (n －1)×2＝n 2－10n .∴当n ＝－－102×1＝5时，S n 最小．4．16解析 a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120.∴5a 8＝120.∴a 8＝24.∴a 9－13a 11＝a 1＋8d －13(a 1＋10d ) ＝23(a 1＋7d )＝23a 8＝16. 5．④解析 方法一 由S 20＝S 40，得a 1＝－592d ，∴S 60＝60a 1＋60×592d ＝60×⎝ ⎛⎭⎪⎫－592d ＋60×592d ＝0.方法二 由S 20＝S 40，得a 21＋a 22＋…＋a 40＝0，∴a 30＋a 31＝0.∴S 60＝60(a 1＋a 60)2＝30(a 30＋a 31)＝0. 6．15解析 设等差数列公差为d ，则S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ＝3，即a 1＋d ＝1，①S 6＝6a 1＋6×52d ＝6a 1＋15d ＝24，即2a 1＋5d ＝8.②联立①②两式得a 1＝－1，d ＝2，故a 9＝a 1＋8d ＝－1＋8×2＝15.7．10解析 由等差数列的性质可知a m －1＋a m ＋1＝2a m ，∴2a m －a 2m ＝0，∴a m ＝0或a m ＝2.又S 2m －1＝(2m －1)a m ≠0，∴a m ＝2，由2(2m －1)＝38，得m ＝10.8．27解析 ∵点(n ，a n )在定直线l 上，∴数列{a n }为等差数列．∴a n ＝a 1＋(n －1)·d .将(5,3)代入，得3＝a 1＋4d ＝a 5.∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝3×9＝27.9．(1)证明 ∵{a n }是等差数列，∴a 2＝a 1＋d ，a 4＝a 1＋3d ，又a 22＝a 1a 4，于是(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，即a 21＋2a 1d ＋d 2＝a 21＋3a 1d (d ≠0)．化简得a 1＝d .…………………………(6分)(2)解 由条件S 10＝110和S 10＝10a 1＋10×92d ，得到10a 1＋45d＝110.由(1)知，a 1＝d ，代入上式得55d ＝110，故d ＝2，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n .因此，数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ，n ∈N *.…………………………………………(12分)10．解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由于a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以a 1＋2d ＝7,2a 1＋10d ＝26，解得a 1＝3，d ＝2.…………………………………………………………………………(4分)由于a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝n (a 1＋a n )2， 所以a n ＝2n ＋1，S n ＝n (n ＋2)．…………………………………………………………(7分)(2)因为a n ＝2n ＋1，所以a 2n －1＝4n (n ＋1)，因此b n ＝14n (n ＋1)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1.………………………………………………………(9分) 故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝14⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n 4(n ＋1). 所以数列{b n }的前n 项和T n ＝n 4(n ＋1).…………………………………………………(14分) 11．(1)证明 将3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2)整理得1a n－1a n －1＝3(n ≥2)．所以数列{1a n}为以1为首项，3为公差的等差数列．…………………………………(4分)(2)解 由(1)可得1a n＝1＋3(n －1)＝3n －2， 所以a n ＝13n －2.……………………………………………………………………………(8分)(3)解 若λa n ＋1a n ＋1≥λ对n ≥2的整数恒成立， 即λ3n －2＋3n ＋1≥λ对n ≥2的整数恒成立． 整理得λ≤(3n ＋1)(3n －2)3(n －1)………………………………………………………………(10分)令c n ＝(3n ＋1)(3n －2)3(n －1)c n ＋1－c n ＝(3n ＋4)(3n ＋1)3n －(3n ＋1)(3n －2)3(n －1)＝(3n ＋1)(3n －4)3n (n －1).………………………………………………………………………(14分)因为n ≥2，所以c n ＋1－c n >0，即数列{c n }为单调递增数列，所以c 2最小，c 2＝283.所以λ的取值范围为(－∞，283]．………………………………………………………(16分)。
2014版高考数学一轮复习(苏教版,理)配套导学案：第8章 学案42
学案42空间几何体的表面积和体积导学目标：1。
了解球、柱、锥、台的表面积及体积的计算公式(不要求记忆).2。
培养学生的空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力，会利用所学公式进行计算．自主梳理1．柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱S侧＝________V＝____＝________圆锥S侧＝________V＝________＝________＝错误!πr2错误!圆台S侧＝________V＝错误!（S上＋S下＋错误!)h＝错误!π（r错误!＋r错误!＋r1r2)h直棱柱S侧＝____V＝____正棱锥S侧＝________V＝________正棱台S侧＝________V＝错误!（S上＋S下＋错误!）h球S球面＝________V＝________2．几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是________________．（2）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于________________________________．自我检测1．一个长方体上一个顶点所在的三个面的面积分别是错误!，错误!, 6，则这个长方体的对角线长为________．2．（教材改编)表面积为3π的圆锥,它的侧面展开图是一个半圆,则该圆锥的底面直径为________．3．（教材改编）球的体积为错误!，一个正方体的顶点都在球面上，则正方体的体积为________．4．圆台的一个底面周长为另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面半径为_________________________________________________________．5．(2010·南京模拟)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC 折起,使BD＝a,则三棱锥D－ABC的体积为__________________________________________________________ __．探究点一多面体的表面积及体积例1三棱柱的底面是边长为4的正三角形,侧棱长为3,一条侧棱与底面相邻两边都成60°角，求此棱柱的侧面积与体积．变式迁移1 已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面边长都等于2，A1在底面ABC上的射影为BC的中点,则三棱柱的侧面面积为________．探究点二旋转体的表面积及体积例2如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积（其中∠BAC ＝30°)及其体积．变式迁移2 直三棱柱ABC—A1B1C1的各顶点都在同一球面上．若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝120°，则此球的表面积等于________．探究点三割补法与等积变换法例3如图,在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形,且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB,EF＝2，则该多面体的体积为________．变式迁移3 (1）如图所示，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分的母线长最大值为a,最小值为b，那么圆柱被截下部分的体积是____________．(2）(2009·辽宁改编）正六棱锥P－ABCDEF中,G为PB的中点,则三棱锥D－GAC与三棱锥P－GAC体积之比为________．1．有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素．2．当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用,或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时,我们可采用“割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台），或化离散为集中,给解题提供便利．（1)几何体的“分割”:几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之．（2）几何体的“补形”：与分割一样,有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等．另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法，由台体的定义,我们在有些情况下,可以将台体补成锥体研究体积．（满分：90分)一、填空题（每小题6分,共48分)1．（2010·东北育才学校三模)如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S，那么圆柱的体积等于________．2．（2009·陕西改编)若正方体的棱长为错误!，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为________．3．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是32π3,则这个三棱柱的体积是________．4．(2010·南京联考）矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，则四面体ABCD的外接球的体积为________．5．（2010·全国改编)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________．6．如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P—ABCDEF，则此正六棱锥的侧面积是________．7．(2010·苏州模拟）一块正方形薄铁片的边长为4 cm，以它的一个顶点为圆心,一边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形(如图），用这块扇形铁片围成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的容积等于________cm3.8．(2010·湖北）圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后,水恰好淹没最上面的球(如图所示），则球的半径是________cm。
2014届高考理科数学第一轮复习导学案64
第12章算法初步、复数学案66算法与流程图导学目标： 1.了解算法的含义，了解算法的思想.2.理解三种基本算法结构：顺序结构、选择结构、循环结构．自主梳理1．算法的含义一般而言，对一类问题的________、________求解方法称为算法．2．流程图流程图是由一些________和________组成的，其中________表示各种操作的类型，________中的文字和符号表示操作的内容，________表示操作的先后次序．3．流程图的三种基本结构：________、________、________.其结构形式为①________②________③________________④直到型循环结构自我检测1．下列关于算法的说法正确的有________(填序号)．①求解某一类问题的算法是唯一的；②算法必须在有限步操作之后停止；③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊；④算法执行后产生确定的结果．2．如图所示的是一个算法的流程图，已知a1＝3，输出的结果为7，则a2的值是________．第2题图第3题图3．(2010·课标全国改编)如果执行如图所示的流程图，输入N＝5，则输出的数为________．4．(2011·北京改编)执行如图所示的流程图，输出的s值为________．第4题图第5题图5．(2011·山东)执行如图所示的流程图，输入l＝2，m＝3，n＝5，则输出的y的值是________.探究点一 算法的顺序结构例1 已知点P (x 0，y 0)和直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，求点P (x 0，y 0)到直线l 的距离d ，写出其算法并画出流程图．变式迁移1 阅读右面的流程图，若输入的a 、b 、c 分别是21、32、75，则输出的a 、b 、c 分别是________________．探究点二 算法的选择结构例2函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2 (x >0)0 (x ＝0)2 (x <0)，写出求该函数的函数值的算法，并画出流程图．变式迁移2 给出一个如图所示的流程图，若要使输入的x 值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是___________________________________________________________ __．探究点三算法的循环结构例3写出求1×2×3×4×…×100的一个算法并画出流程图.变式迁移3(2010·天津和平区一模)在如图所示的流程图中，当程序被执行后，输出s的结果是______．1．流程图主要包括三部分：(1)表示相应操作的框；(2)带箭头的流程线；(3)框内外必要的文字说明，读懂流程图要从这三个方面研究．流程线反映了流程执行的先后顺序，主要看箭头方向，框内外文字说明表明了操作内容．2．两种循环结构的区别：(1)执行情况不同：当型循环是先判断条件，当条件成立时才执行循环体，若循环条件一开始就不成立，则循环体一次也不执行．而直到型循环是先执行一次循环体，再判断循环条件，循环体至少要执行一次．(2)循环条件不同：当型循环是当条件成立时循环，条件不成立时停止循环，而直到型循环是当条件不成立时循环，直到条件成立时结束循环．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．中山市的士收费办法如下：不超过2公里收7元(即起步价7元)，超过2公里的里程每公里收2.6元，另每车次超过2公里收燃油附加费1元(不考虑其他因素)．相应收费系统的流程图如图所示，则①处应填______________．第1题图第2题图2．(2010·福建改编)阅读如图所示的流程图，运行相应的程序，输出的i值为________．3．(2010·浙江改编)某流程图如图所示，若输出的S＝57，则判断框内为________．第3题图 第4题图4．(2010·辽宁改编)如果执行下面的流程图，输入n ＝6，m ＝4，那么输出的p 为________．5．阅读下面的流程图，则输出的S 为________．第5题图 第6题图6．(2011·浙江，12)若某流程图如图所示，则该程序运行后输出的k 的值是________．7．执行下面的流程图，输出的T ＝________.8．(2010·江苏)如图是一个流程图，则输出的S 的值是________．二、解答题(共42分)9．(14分)已知某算法的流程图如图所示，若将输出的(x，y)值依次记为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，…，(1)若程序运行中输出一个数组是(9，t)，求t的值；(2)求程序结束时，共输出(x，y)的组数；(3)求程序结束时，输出的最后一个数组．10．(14分)(2010·内蒙古包头一模)对一个作直线运动的质点的运(其中a 是这8个数据的平均数)，求输出的S 的值．11．(14分)(2011·汕头模拟)已知数列{a n }的各项均为正数，观察流程图，若k ＝5，k ＝10时，分别有S ＝511和S ＝1021.(1)试求数列{a n }的通项；(2)令b n ＝2a n ，求b 1＋b 2＋…＋b m 的值．学案66 算法与流程图答案自主梳理 1．机械的 统一的 2.图框 流程线 图框 图框 流程线 3.顺序结构 选择结构 循环结构 ①顺序结构②选择结构 ③当型循环结构 自我检测 1．②③④ 2．11解析 已知图形是一个顺序结构的框图，表示的算法的功能是求两数a 1、a 2的算术平均数，已知a 1＝3，输出结果为7，有a 1＋a 22＝7，解得a 2＝11.3．56解析 第一次运行N ＝5，k ＝1，S ＝0，S ＝0＋11×2，1<5成立，进入第二次运行；k ＝2，S ＝11×2＋12×3，2<5成立，进入第三次运行；k ＝3，S ＝11×2＋12×3＋13×4，3<5成立，进入第四次运行；k ＝4，S ＝11×2＋12×3＋13×4＋14×5，4<5成立，进入第五次运行；k ＝5，S ＝11×2＋12×3＋13×4＋14×5＋15×6＝1－16＝56，5<5不成立，此时退出循环，输出S .4．2解析 由框图可知i ＝0，s ＝2→i ＝1，s ＝13→i ＝2，s ＝－12→i ＝3，s ＝－3→i ＝4，s ＝2，循环终止，输出s ， 故最终输出的s 值为2. 5．68解析 当输入l ＝2，m ＝3，n ＝5时，不满足l 2＋m 2＋n 2＝0，因此执行：y ＝70l ＋21m ＋15n ＝70×2＋21×3＋15×5＝278.由于278>105，故执行y ＝y －105，执行后y ＝278－105＝173，再执行一次y ＝y －105后y 的值为173－105＝68，此时68>105不成立，故输出68. 课堂活动区例1 解题导引 顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的．流程图中一定包含顺序结构．解 算法如下：S1 输入x 0，y 0及直线方程的系数A ，B ，C . S2 计算Z 1←Ax 0＋By 0＋C . S3 计算Z 2←A 2＋B 2.S4 计算d ←|Z 1|Z 2.S5 输出d . 流程图：变式迁移1 75、21、32解析 由流程图中的各个赋值语句可得x ＝21，a ＝75，c ＝32，b＝21，故a 、b 、c 分别是75、21、32.例2 解题导引 求分段函数函数值的流程图的画法，如果是分两段的函数，则需引入一个判断框；如果是分三段的函数，则需引入两个判断框．解 算法如下：S1 输入x ；S2 如果x >0，则y ←－2；如果x ＝0，则y ←0；如果x <0，则y ←2； S3 输出函数值y .相应的流程图如图所示．变式迁移2 3解析 本问题即求函数y ＝⎩⎨⎧ x 2，x ≤2，2x －3，2<x ≤5，1x ，x >5的值．若x ≤2，由x 2＝x 得，x ＝1或0；若2<x ≤5，由x ＝2x －3得，x ＝3；若x >5，由x ＝1x 得，x ＝±1，不符合．故符合要求的x 值有3个．例3 解题导引 数学中的累加、累乘、累差等重复性操作可以用循环结构来实现．循环结构分当型和直到型两种，二者的区别是：前者是，当满足条件时执行循环体，而后者是“直到”条件满足时结束循环．解 S1 设S 的值为1.S2 设i 的值为2.S3 如果i ≤100执行S4，否则转去执行S7.S4 计算S 乘i 并将结果赋给S .S5 计数i 加1并将结果赋给i .S6 转去执行S3.S7 输出S 的值并结束算法．根据自然语言描述，流程图如下：变式迁移3 286解析 数列{a n }：4,7,10，…为等差数列，令a n ＝4＋(n －1)×3＝40，得n ＝13，∴s ＝4＋7＋…＋40＝(4＋40)×132＝286. 课后练习区1．y ←8＋2.6(x －2)解析 根据题意可知x >2时，收费应为起步价7元＋超过2公里的里程收费2.6(x －2)元＋燃油附加费1元＝8＋2.6(x －2)．2．4解析 由框图可知i ＝1，s ＝1×21＝2；i ＝2，s ＝2＋2×22＝10；i ＝3，s ＝2＋2×22＋3×23>11，此时输出的i ＝4.3．k >4解析 当k ＝1时，k ＝k ＋1＝2，S ＝2×1＋2＝4；当k ＝2时，k ＝k ＋1＝3，S ＝2×4＋3＝11；当k ＝3时，k ＝k ＋1＝4，S ＝2×11＋4＝26；当k ＝4时，k ＝k ＋1＝5，S ＝2×26＋5＝57.此时S ＝57，循环结束，k ＝5，所以判断框中应为“k >4”．4．360解析 由框图可知：当n＝6，m＝4时，第一次循环：p＝(6－4＋1)×1＝3，k＝2.第二次循环：p＝(6－4＋2)×3＝12，k＝3.第三次循环：p＝(6－4＋3)×12＝60，k＝4.第四次循环：p＝(6－4＋4)×60＝360，此时k＝m，终止循环．输出p＝360.5．30解析第一次循环：S＝12；第二次循环：S＝12＋22；第三次循环；S＝12＋22＋32；第四次循环：S＝12＋22＋32＋42＝30.6．5解析初始值：k＝2，执行“k＝k＋1”得k＝3，a＝43＝64，b ＝34＝81，a>b不成立；k＝4，a＝44＝256，b＝44＝256，a>b不成立；k＝5，a＝45＝1 024，b＝54＝625，a>b成立，此时输出k＝5.7．30解析按照流程图依次执行为S＝5，n＝2，T＝2；S＝10，n＝4，T＝2＋4＝6；S＝15，n＝6，T＝6＋6＝12；S＝20，n＝8，T＝12＋8＝20；S＝25，n＝10，T＝20＋10＝30>S，输出T＝30.8．63解析当n＝1时，S＝1＋21＝3；当n＝2时，S＝3＋22＝7；当n＝3时，S＝7＋23＝15；当n＝4时，S＝15＋24＝31；当n＝5时，S＝31＋25＝63>33.故S＝63.9．解(1)循环体运行结果如下：输出(1，0) n＝3x＝3y＝－2n<2 011输出(3，－2)n＝5x＝9y＝－4n<2 011输出(9，－4)n＝7x＝27y＝－6n<2 011……∴输出数组(9，t)中的t值是－4.(6分)(2)计数变量n的取值为：3,5,7，…，构成等差数列，由3＋(m－1)×2＝2 011，解得m＝1 005.由于当m＝1 005时，n＝2 011，循环体还要执行一遍，会输出第1 006个数组，然后n＝2 013>2 011，跳出循环体．故共输出1 006个数组．(3)程序输出的数组(x n，y n)按输出的先后顺序，横坐标x n组成一个等比数列{x n}，首项x1＝1，公比q＝3.纵坐标组成一个等差数列{y n }，首项y 1＝0，公差d ＝－2.∴x 1 006＝31 005，y 1 006＝－2×1 005＝－2 010.故程序结束时，输出的最后一个数组是(31 005，－2 010)．(14分)10．解 该流程图即求这组数据的方差，∵a ＝40＋41＋43＋43＋44＋46＋47＋488＝44， (5分)∴S ＝18∑8i ＝1 (a i －a )2＝18×[(40－44)2＋(41－44)2＋…＋(48－44)2]＝7. (14分)11．解 由题中框图可知S ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k a k ＋1， ∵数列{a n }是等差数列，设公差为d ，则有1a k a k ＋1＝1d (1a k －1a k ＋1)， ∴S ＝1d (1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a k－1a k ＋1) ＝1d (1a 1－1a k ＋1)． (3分) (1)由题意可知，k ＝5时，S ＝511；k ＝10时，S ＝1021.∴⎩⎪⎨⎪⎧1d (1a 1－1a 6)＝511，1d (1a 1－1a 11)＝1021， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝－2(舍去)． 故a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1. (10分)(2)由(1)可得b n ＝2a n ＝22n －1，∴b 1＋b 2＋…＋b m＝21＋23＋…＋22m －1＝2(1－4m )1－4＝23(4m －1)． (14分)。
2014届高考理科数学第一轮复习导学案43
第9章解析几何学案45直线与方程导学目标： 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式，了解斜截式与一次函数的关系．自主梳理1．直线的倾斜角与斜率(1)在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按__________方向旋转到和直线重合时所转过的____________称为这条直线的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为__________．(2)倾斜角的范围为________________．(3)倾斜角与斜率的关系：α≠90°时，k＝________，倾斜角是90°的直线斜率________．(4)过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝_____________________.2自我检测1．若A (－2,3)，B (3，－2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m 三点共线，则m 的值为________．2．直线l 与两条直线x －y －7＝0，y ＝1分别交于P 、Q 两点，线段PQ 的中点为(1，－1)，则直线l 的斜率为_______________________________________________________．3．下列四个命题中，假命题是________(填序号)．①经过定点P (x 0，y 0)的直线不一定都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示；②经过两个不同的点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)来表示；③与两条坐标轴都相交的直线不一定可以用方程x a ＋yb ＝1表示； ④经过点Q (0，b )的直线都可以表示为y ＝kx ＋b . 4．如果A ·C <0，且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过第________象限．5．已知直线l 的方向向量与向量a ＝(1,2)垂直，且直线l 过点A (1,1)，则直线l 的方程为______________．探究点一 倾斜角与斜率例1 已知两点A (－1，－5)、B (3，－2)，直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，求l 的斜率．变式迁移1 直线x sin α－y ＋1＝0的倾斜角的变化范围是______________．探究点二 直线的方程例2 过点M (0,1)作直线，使它被两直线l 1：x －3y ＋10＝0，l 2：2x＋y－8＝0所截得的线段恰好被M所平分，求此直线方程．变式迁移2求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(3,2)且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍．探究点三直线方程的应用例3过点P(2,1)的直线l交x轴、y轴正半轴于A、B两点，求使：(1)△AOB面积最小时l的方程；(2)P A·PB最小时l的方程．变式迁移3为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图)，另外△EF A 内部有一文物保护区不能占用，经测量AB ＝100 m ，BC ＝80 m ，AE ＝30 m ，AF ＝20 m ，应如何设计才能使草坪面积最大？数形结合思想例 (14分)已知实数x ，y 满足y ＝x 2－2x ＋2(－1≤x ≤1)．试求y ＋3x ＋2的最大值与最小值．【答题模板】解 由y ＋3x ＋2的几何意义可知，它表示经过定点P (－2，－3)与曲线段AB 上任一点(x ，y )的直线的斜率k ，[4分]由图可知：k P A ≤k ≤k PB ，由已知可得：A (1,1)，B (－1,5)， ∴43≤k ≤8，[10分] 故y ＋3x ＋2的最大值为8，最小值为43.[14分]【突破思维障碍】解决这类问题的关键是弄清楚所求代数式的几何意义，借助数形结合，将求最值问题转化为求斜率取值范围问题，简化了运算过程，收到事半功倍的效果．1．要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的范围为0°≤α<180°，熟记斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1，该公式与两点顺序无关．已知两点坐标(x 1≠x 2)，根据该公式可以求出经过两点的直线斜率，而x 1＝x 2，y 1≠y 2时，直线斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.2．当直线没有斜率(x 1＝x 2)或斜率为0(y 1＝y 2)时，不能用两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1求直线方程，但都可以写成(x 2－ x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)的形式．直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式都可以化成一般式，但是有些直线的一般式方程不能化成点斜式、斜截式、两点式或截距式．3．使用直线方程时，一定要注意限制条件以免解题过程中丢解，如点斜式的使用条件是直线必须有斜率，截距式的使用条件是截距存在且不为零，两点式的使用条件是直线不与坐标轴垂直．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．已知直线l 经过A (2,1)、B (1，m 2) (m ∈R )两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围是__________________．2．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是________．3．点P (x ，y )在经过A (3,0)，B (1,1)两点的直线上，那么2x ＋4y的最小值是________．4．(2011·淮安期末)点A (a ＋b ，ab )在第一象限内，则直线bx ＋ay －ab ＝0一定不经过第________象限．5．经过点P (2，－1)，且在y 轴上的截距等于它在x 轴上的截距的2倍的直线l 的方程为________．6．过两点A (m 2＋2，m 2－3)，B (3－m －m 2,2m )的直线l 的倾斜角为45°，则m ＝________.7．过点P (－1,2)，且方向向量为a ＝(－1,2)的直线方程为______________．8．设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且P A ＝PB ，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是________．二、解答题(共42分)9．(14分)已知两点A (－1,2)，B (m,3)，求： (1)直线AB 的斜率k ；(2)求直线AB 的方程；(3)已知实数m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33－1，3－1，求直线AB 的倾斜角α的范围．10．(14分)已知线段PQ 两端点的坐标分别为(－1,1)、(2,2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，求m 的范围．11．(14分)已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0 (k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．学案45 直线与方程答案自主梳理1．(1)逆时针 最小正角 0° (2)0°≤α<180° (3)tan α 不存在 (4)y 2－y 1x 2－x 1 2.y －y 0＝k (x －x 0) y ＝kx ＋b y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1 x a ＋y b ＝1 Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不全为0)自我检测 1.12 2.－23 3.④ 4.三 5.x ＋2y －3＝0 课堂活动区例1 解题导引 斜率与倾斜角常与三角函数联系，本题需要挖掘隐含条件，判断角的范围．关键是熟练掌握好根据三角函数值确定角的范围这一类题型．解 设直线l 的倾斜角为α，则直线AB 的倾斜角为2α，由题意可知：tan 2α＝－2－(－5)3－(－1)＝34，∴2tan α1－tan 2α＝34.整理得3tan 2α＋8tan α－3＝0.解得tan α＝13或tan α＝－3，∵tan 2α＝34>0， ∴0°<2α<90°，∴0°<α<45°，∴tan α>0，故直线l 的斜率为13.变式迁移1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π解析 直线x sin α－y ＋1＝0的斜率是k ＝sin α， 又∵－1≤sin α≤1，∴－1≤k ≤1.当0≤k ≤1时，倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，当－1≤k <0时，倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 例2 解题导引 (1)对直线问题，要特别注意斜率不存在的情况．(2)求直线方程常用方法——待定系数法．待定系数法就是根据所求的具体直线设出方程，然后按照它们满足的条件求出参数．解 方法一 过点M 且与x 轴垂直的直线是y 轴，它和两已知直线的交点分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，103和(0,8)，显然不满足中点是点M (0,1)的条件．故可设所求直线方程为y ＝kx ＋1，与两已知直线l 1、l 2分别交于A 、B 两点，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x －3y ＋10＝0，① ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，2x ＋y －8＝0， ②由①解得x A ＝73k －1，由②解得x B ＝7k ＋2.∵点M 平分线段AB ，∴x A ＋x B ＝2x M ，即73k －1＋7k ＋2＝0，解得k ＝－14. 故所求直线方程为x ＋4y －4＝0.方法二 设所求直线与已知直线l 1、l 2分别交于A 、B 两点． ∵点B 在直线l 2：2x ＋y －8＝0上，故可设B (t,8－2t )． 又M (0,1)是AB 的中点，由中点坐标公式，得A (－t,2t －6)． ∵A 点在直线l 1：x －3y ＋10＝0上， ∴(－t )－3(2t －6)＋10＝0，解得t ＝4. ∴B (4,0)，A (－4,2)，故所求直线方程为x ＋4y －4＝0.变式迁移2 解 (1)方法一 设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ， 若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)，∴l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0.若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋ya ＝1，∵l 过点(3,2)，∴3a ＋2a ＝1，∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0，综上可知，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0. 方法二 由题意知，所求直线的斜率k 存在且k ≠0，设直线方程为y －2＝k (x －3)，令y ＝0，得x ＝3－2k ，令x ＝0，得y ＝2－3k ，由已知3－2k ＝2－3k ，解得k ＝－1或k ＝23，∴直线l 的方程为：y －2＝－(x －3)或y －2＝23(x －3)， 即x ＋y －5＝0或2x －3y ＝0.(2)由已知：设直线y ＝3x 的倾斜角为α， 则所求直线的倾斜角为2α.∵tan α＝3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34.又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)， 即3x ＋4y ＋15＝0.例3 解题导引 先设出A 、B 所在的直线方程，再求出A 、B 两点的坐标，表示出△ABO 的面积，然后利用相关的数学知识求最值．确定直线方程可分为两个类型：一是根据题目条件确定点和斜率或确定两点，进而套用直线方程的几种形式，写出方程，此法称直接法；二是利用直线在题目中具有的某些性质，先设出方程(含参数或待定系数)，再确定参数值，然后写出方程，这种方法称为间接法．解 设直线的方程为x a ＋yb ＝1 (a >2，b >1)，由已知可得2a ＋1b ＝1.(1)∵2 2a ·1b ≤2a ＋1b ＝1，∴ab ≥8.∴S △AOB ＝12ab ≥4.当且仅当2a ＝1b ＝12，即a ＝4，b ＝2时，S △AOB 取最小值4，此时直线l 的方程为x 4＋y2＝1， 即x ＋2y －4＝0.(2)由2a ＋1b ＝1，得ab －a －2b ＝0，变形得(a －2)(b －1)＝2， P A ·PB ＝(2－a )2＋(1－0)2·(2－0)2＋(1－b )2 ＝[(2－a )2＋1]·[(1－b )2＋4] ≥2(a －2)·4(b －1).当且仅当a －2＝1，b －1＝2， 即a ＝3，b ＝3时，P A ·PB 取最小值4. 此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.变式迁移3 解 如图所示建立直角坐标系，则E (30,0)，F (0,20)，∴线段EF 的方程为x 30＋y20＝1(0≤x ≤30)．在线段EF 上取点P (m ，n )，作PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥CD 于点R ， 设矩形PQCR 的面积为S ， 则S ＝PQ ·PR ＝(100－m )(80－n )． 又m 30＋n 20＝1(0≤m ≤30)，∴n ＝20(1－m 30)．∴S ＝(100－m )(80－20＋23m )＝－23(m －5)2＋18 0503(0≤m ≤30)． ∴当m ＝5时，S 有最大值，这时EP PF ＝30－55＝5.所以当矩形草坪的两边在BC 、CD 上，一个顶点在线段EF 上，且这个顶点分EF 成5∶1时，草坪面积最大．课后练习区1.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π2.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π23.4 2 4．三解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b >0，ab >0，即a >0，b >0. 由bx ＋ay －ab ＝0知y ＝－b a x ＋b .∴该直线的斜率k <0且在y 轴上的截距b >0，故该直线一定不经过第三象限．5．2x ＋y －3＝0或x ＋2y ＝0解析 当截距不等于零时，设l 的方程x a ＋y 2a ＝1，∵点P 在l 上，∴2a －12a ＝1，则a ＝32.∴l 的方程为2x ＋y ＝3.当截距等于零时，设l 的方程为y ＝kx ，又点P 在l 上，∴k ＝－12.∴x ＋2y ＝0.综上，所求直线l 的方程为2x ＋y ＝3或x ＋2y ＝0.6．－2解析 由题意得：m 2－3－2m m 2＋2－3＋m ＋m 2＝1， 解得：m ＝－2或m ＝－1.又m 2＋2≠3－m －m 2，∴m ≠－1且m ≠12，∴m ＝－2.7．2x ＋y ＝0解析 由已知方向向量得直线斜率k ＝－2，∴由点斜式方程得2x ＋y ＝0.8．x ＋y －5＝0解析 易知A (－1,0)，∵P A ＝PB ，∴P 在AB 的中垂线即x ＝2上．∴B (5,0)．∵P A 、PB 关于直线x ＝2对称，∴k PB ＝－1.∴l PB ∶y －0＝－(x －5)．∴x ＋y －5＝0.9．解 (1)当m ＝－1时，直线AB 的斜率不存在；(1分)当m ≠－1时，k ＝1m ＋1.(3分)(2)当m ＝－1时，AB 的方程为x ＝－1，(5分)当m ≠－1时，AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)， 即y ＝x m ＋1＋2m ＋3m ＋1.(7分) ∴直线AB 的方程为x ＝－1或y ＝x m ＋1＋2m ＋3m ＋1. (8分)(3)①当m ＝－1时，α＝π2；(10分)②当m ≠－1时，∵k ＝1m ＋1∈(－∞，－3]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，＋∞， ∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，2π3.(13分) 综合①②，知直线AB 的倾斜角α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3.(14分) 10.解 方法一 直线x ＋my ＋m ＝0恒过A (0，－1)点．(4分)k AP ＝－1－10＋1＝－2， k AQ ＝－1－20－2＝32，(8分) 则－1m ≥32或－1m ≤－2， ∴－23≤m ≤12且m ≠0.(12分)又m ＝0时直线x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，(13分)∴所求m 的范围是－23≤m ≤12.(14分)方法二 过P 、Q 两点的直线方程为y －1＝2－12＋1(x ＋1)．(5分)即y ＝13x ＋43，代入x ＋my ＋m ＝0，整理得：x ＝－7m m ＋3，由已知－1≤－7m m ＋3≤2，(12分) 解得：－23≤m ≤12.(14分)11．(1)证明 直线l 的方程是：k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝01－y ＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2y ＝1， ∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)．(4分)(2)解 由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2k k ，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎨⎧ －1＋2k k ≤－21＋2k ≥1，解之得k >0；(7分)当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k ≥0.(9分)(3)解 由l 的方程，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0， B (0,1＋2k )．依题意得⎩⎨⎧ －1＋2k k <0，1＋2k >0，解得k >0.(11分)∵S ＝12·OA ·OB ＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k | ＝12·(1＋2k )2k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k >0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴S min ＝4，此时l ：x －2y ＋4＝0.(14分)。
届高考理科学数学第一轮复习导学案3.doc说课讲解
2014届高考理科学数学第一轮复习导学案3.d o c学案5 函数的单调性与最值导学目标： 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会用定义判断函数的单调性，会求函数的单调区间及会用单调性求函数的最值．自主梳理 1．单调性(1)定义：一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为A ，如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)(f (x 1)>f (x 2))，那么就说f (x )在区间I 上是单调________________．(2)单调性的定义的等价形式：设x 1，x 2∈[a ，b ]，那么(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上是单调________；(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))<0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上是单调________．(3)单调区间：如果函数y ＝f (x )在某个区间上是单调增函数或减函数，那么说函数y ＝f (x )在区间I 上具有单调性，单调增区间和单调减区间统称为__________．(4)函数y ＝x ＋ax (a >0)在 (－∞，－a )，(a ，＋∞)上单调________；在(－a ，0)，(0，a )上单调________；函数y ＝x ＋ax (a <0)在____________上单调递增．2．最值一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为A ，如果存在x 0∈A ，使得对于任意的x ∈A ，都有f (x )≤f (x 0)(或≥f (x 0))，则称f (x 0)为y ＝f (x )的最____(或最____)值．自我检测1．若函数y ＝ax 与y ＝－bx 在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是________________．(用“单调减函数”、“单调增函数”、“不单调”填空)2．(2011·连云港模拟)设f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a 为实数，则有f (a 2＋1)________f (a )．(填“>”、“<”或“＝”)3．下列函数在(0,1)上是增函数的是________(填序号)． ①y ＝1－2x ；②y ＝x －1；③y ＝－x 2＋2x ；④y ＝5.4．若f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋4是区间(－∞，4]上的减函数，则实数a 的取值范围是________．5．当x ∈[0,5]时，函数f (x )＝3x 2－4x ＋c 的值域为______________________．探究点一 函数单调性的判定及证明例1 设函数f (x )＝x ＋ax ＋b(a >b >0)，求f (x )的单调区间，并说明f (x )在其单调区间上的单调性．变式迁移1 已知f (x )是定义在R 上的增函数，对x ∈R 有f (x )>0，且f (5)＝1，设F (x )＝f (x )＋1f (x )，讨论F (x )的单调性，并证明你的结论．探究点二 函数的单调性与最值例2 已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞)． (1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围．变式迁移2 已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．探究点三 抽象函数的单调性例3 已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．变式迁移3 已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，解不等式f (|x |)<－2.分类讨论及数形结合思想例 (14分)求f (x )＝x 2－2ax －1在区间[0,2]上的最大值和最小值．【答题模板】解 f (x )＝(x －a )2－1－a 2，对称轴为x ＝a .[2分](1)当a <0时，由图①可知，f (x )min ＝f (0)＝－1，f (x )max ＝f (2)＝3－4a .[5分](2)当0≤a <1时，由图②可知，f (x )min ＝f (a )＝－1－a 2，f (x )max ＝f (2)＝3－4a .[8分](3)当1<a ≤2时，由图③可知，f (x )min ＝f (a )＝－1－a 2，f (x )max ＝f (0)＝－1.[11分](4)当a>2时，由图④可知，f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1.综上，(1)当a<0时，f(x)min＝－1，f(x)max＝3－4a；(2)当0≤a<1时，f(x)min＝－1－a2，f(x)max＝3－4a；(3)当1<a≤2时，f(x)min＝－1－a2，f(x)max＝－1；(4)当a>2时，f(x)min＝3－4a，f(x)max＝－1.[14分]【突破思维障碍】(1)二次函数的单调区间是由图象的对称轴确定的．故只需确定对称轴与区间的关系．由于对称轴是x＝a，而a的取值不定，从而导致了分类讨论．(2)不是应该分a<0,0≤a≤2，a>2三种情况讨论吗？为什么成了四种情况？这是由于抛物线的对称轴在区间[0,2]所对应的区域时，最小值是在顶点处取得，但最大值却有可能是f(0)，也有可能是f(2)．函数的单调性的判定与单调区间的确定常用方法有：(1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)单调性的运算性质．总结如下：若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I 上具有以下性质：(1)f(x)与f(x)＋C具有相同的单调性．(2)f(x)与af(x)，当a>0时，具有相同的单调性，当a<0时，具有相反的单调性．(3)当f(x)恒不等于零时，f(x)与1f(x)具有相反的单调性．(4)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，则f(x)＋g(x)是增(减)函数．(5)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，则f(x)·g(x)当两者都恒大于零时，是增(减)函数；当两者都恒小于零时，是减(增)函数．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．(2010·泰州模拟)“a＝1”是“函数f(x)＝x2－2ax＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的____________条件．2．(2009·天津改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ， x ≥0，4x －x 2， x <0，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围为________．3．(2009·宁夏，海南改编)用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为________．4．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围为________．5．已知定义在R 上的增函数f (x )，满足f (－x )＋f (x )＝0，x 1，x 2，x 3∈R ，且x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的符号为________(填“正”、“负”、“不确定”)．6．(2011·淮安调研)函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________． 7．设f (x )是增函数，则下列结论一定正确的是________(填序号)．①y ＝[f (x )]2是增函数；②y ＝1f (x )是减函数；③y ＝－f (x )是减函数； ④y ＝|f (x )|是增函数．8．(2011·苏州质检)设0<x <1，则函数y ＝1x ＋11－x的最小值是________．二、解答题(共42分)9．(14分)已知函数f (x )＝a －1|x |.(1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )<2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．10．(14分)已知f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]时，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．11．(14分)已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若a ，b ∈[－1,1]，a ＋b ≠0时，有f (a )＋f (b )a ＋b>0成立．(1)判断f (x )在[－1,1]上的单调性，并证明；(2)解不等式：f (x ＋12)<f (1x －1)；(3)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围．答案 自主梳理1．(1)增函数(减函数) (2)增函数 减函数 (3)单调区间 (4)递增 递减 (－∞，0)，(0，＋∞) 2.大 小自我检测1．单调减函数 2．> 3．③ 4．a ≤－35．[－43＋c,55＋c ] 课堂活动区例1 解题导引 对于给出具体解析式的函数，判断或证明其在某区间上的单调性问题，可以结合定义(基本步骤为：取点，作差或作商，变形，判断)来求解．可导函数则可以利用导数求解．有些函数可以转化为两个或多个基本初等函数，利用其单调性可以方便求解．解 在定义域内任取x 1，x 2，且使x 1<x 2， 则Δx ＝x 2－x 1>0，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝x 2＋a x 2＋b －x 1＋ax 1＋b＝(x 2＋a )(x 1＋b )－(x 2＋b )(x 1＋a )(x 1＋b )(x 2＋b )＝(b －a )(x 2－x 1)(x 1＋b )(x 2＋b ). ∵a >b >0，∴b －a <0，∴(b －a )(x 2－x 1)<0， 又∵x ∈(－∞，－b )∪(－b ，＋∞)，∴只有当x1<x2<－b，或－b<x1<x2时，函数才单调．当x1<x2<－b，或－b<x1<x2时，f(x2)－f(x1)<0，即Δy<0.∴y＝f(x)在(－∞，－b)上是单调减函数，在(－b，＋∞)上也是单调减函数．变式迁移1解在R上任取x1、x2，设x1<x2，∴f(x2)>f(x1)，F(x2)－F(x1)＝[f(x2)＋1f(x2)]－[f(x1)＋1f(x1)]＝[f(x2)－f(x1)][1－1f(x1)f(x2)]，∵f(x)是R上的增函数，且f(5)＝1，∴当x<5时，0<f(x)<1，而当x>5时f(x)>1；①若x1<x2<5，则0<f(x1)<f(x2)<1，∴0<f(x1)f(x2)<1，∴1－1f(x1)f(x2)<0，∴F(x2)<F(x1)；②若x2>x1>5，则f(x2)>f(x1)>1，∴f(x1)·f(x2)>1，∴1－1f(x1)f(x2)>0，∴F(x2)>F(x1)．综上，F(x)在(－∞，5)上为减函数，在(5，＋∞)上为增函数．例2解(1)当a＝12时，f(x)＝x＋12x＋2，设x1，x2∈[1，＋∞)且x1<x2，f(x1)－f(x2)＝x1＋12x1－x2－12x2＝(x1－x2)(1－12x1x2)．∵x1<x2，∴x1－x2<0，又∵1<x1<x2，∴1－12x1x2>0，∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)<f(x2)．∴f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，∴f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝72.(2)方法一在区间[1，＋∞)上，f(x)＝x2＋2x＋ax>0恒成立，等价于x2＋2x＋a>0恒成立．设y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，y＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1递增，∴当x＝1时，y min＝3＋a，于是当且仅当y min ＝3＋a >0时，函数f (x )恒成立， 故a >－3.方法二 f (x )＝x ＋ax ＋2，x ∈[1，＋∞)，当a ≥0时，函数f (x )的值恒为正，满足题意，当a <0时，函数f (x )递增；当x ＝1时，f (x )min ＝3＋a ，于是当且仅当f (x )min ＝3＋a >0时，函数f (x )>0恒成立，故a >－3.方法三 在区间[1，＋∞)上f (x )＝x 2＋2x ＋a x >0恒成立等价于x 2＋2x ＋a >0恒成立．即a >－x 2－2x 恒成立．又∵x ∈[1，＋∞)，a >－x 2－2x 恒成立，∴a 应大于函数u ＝－x 2－2x ，x ∈[1，＋∞)的最大值． ∴a >－x 2－2x ＝－(x ＋1)2＋1.当x ＝1时，u 取得最大值－3，∴a >－3. 变式迁移2 解 设1<x 1<x 2.∵函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数，∴f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a 2－(x 2－a x 2＋a2)＝(x 1－x 2)(1＋ax 1x 2)<0.又∵x 1－x 2<0，∴1＋ax 1x 2>0，即a >－x 1x 2恒成立．∵1<x 1<x 2，x 1x 2>1，－x 1x 2<－1.∴a ≥－1，∴a 的取值范围是[－1，＋∞)．例3 解题导引 (1)对于抽象函数的问题要根据题设及所求的结论来适当取特殊值说明抽象函数的特点．证明f (x )为单调减函数，首选方法是用单调性的定义来证．(2)用函数的单调性求最值．解 (1)方法一 ∵函数f (x )对于任意x ，y ∈R 总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，∴令x ＝y ＝0，得f (0)＝0.再令y ＝－x ，得f (－x )＝－f (x )． 在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0， f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)． 又∵x >0时，f (x )<0，而x 1－x 2>0， ∴f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． 因此f (x )在R 上是减函数．方法二 设x 1>x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2＋x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)－f (x 2) ＝f (x 1－x 2)．又∵x >0时，f (x )<0.而x 1－x 2>0，∴f (x 1－x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在R 上为减函数． (2)∵f (x )在R 上是减函数， ∴f (x )在[－3,3]上也是减函数，∴f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)． 又∵f (3)＝f (2＋1)＝f (2)＋f (1)＝f (1)＋f (1)＋f (1) ∴f (3)＝3f (1)＝－2，f (－3)＝－f (3)＝2.∴f (x )在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2. 变式迁移3 解 (1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0，∴f (x 1x 2)<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)由f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)得f (93)＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，∴f (9)＝－2.由于函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数， ∴当x >0时，由f (|x |)<－2，得f (x )<f (9)，∴x >9； 当x <0时，由f (|x |)<－2，得f (－x )<f (9)， ∴－x >9，故x <－9，∴不等式的解集为{x |x >9或x <－9}． 课后练习区 1．充分不必要解析 f (x )对称轴x ＝a ，当a ≤1时f (x )在[1，＋∞)上单调递增．∴“a ＝1”为f (x )在[1，＋∞)上递增的充分不必要条件．2．(－2,1)解析 由题知f (x )在R 上是增函数，由题得2－a 2>a ，解得－2<a <1.3．6解析 由题意知函数f (x )是三个函数y 1＝2x ，y 2＝x ＋2，y 3＝10－x 中的较小者，作出三个函数在同一坐标系之下的图象(如图中实线部分为f (x )的图象)可知A (4,6)为函数f (x )图象的最高点．4．(0,1]解析 f (x )在[a ，＋∞)上是减函数，对于g (x )，只有当a >0时，它有两个减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，故只需区间[1,2]是f (x )和g (x )的减区间的子集即可，则a 的取值范围是0<a ≤1.5．正解析 ∵f (－x )＋f (x )＝0，∴f (－x )＝－f (x )．又∵x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，∴x 1>－x 2，x 2>－x 3，x 3>－x 1.又∵f (x 1)>f (－x 2)＝－f (x 2)，f (x 2)>f (－x 3)＝－f (x 3)，f (x 3)>f (－x 1)＝－f (x 1)，∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>－f (x 2)－f (x 3)－f (x 1)．∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>0.6．[0，32]解析 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －3)x (x ≥0)(x －3)x (x <0). 画图象如图所示：可知递增区间为[0，32]．7．③解析 举例：设f (x )＝x ，易知①②④均不正确．8．4解析 y ＝1x ＋11－x ＝1x (1－x )，当0<x <1时，x (1－x )＝－(x －12)2＋14≤14.∴y ≥4.9．(1)证明 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝a －1x ，设0<x 1<x 2，则x 1x 2>0，x 2－x 1>0.f (x 1)－f (x 2)＝(a －1x 1)－(a －1x 2) ＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2<0.………………………………………………………………………(5分)∴f (x 1)<f (x 2)，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数．…………………………………………(6分)(2)解 由题意a －1x <2x 在(1，＋∞)上恒成立，设h (x )＝2x ＋1x ，则a <h (x )在(1，＋∞)上恒成立．……………………………………(8分)∵h ′(x )＝2－1x 2，x ∈(1，＋∞)∵2－1x 2>0，x ∈(1，＋∞)，∴h (x )在(1，＋∞)上单调递增．………………………………………………………(12分)故a ≤h (1)，即a ≤3.∴a 的取值范围为(－∞，3]．…………………………………………………………(14分)10．解 设f (x )的最小值为g (a )，则只需g (a )≥0，由题意知，f (x )的对称轴为－a 2.(1)当－a 2<－2，即a >4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0，得a ≤73.又a >4，故此时的a 不存在．…………………………………………………………(4分)(2)当－a 2∈[－2,2]，即－4≤a ≤4时，g (a )＝f (－a 2)＝3－a －a 24≥0得－6≤a ≤2.又－4≤a ≤4，故－4≤a ≤2.……………………………………………………………(8分)(3)当－a 2>2，即a <－4时，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0得a ≥－7.又a <－4，故－7≤a <－4.………………………………………………………………(13分)综上得所求a 的取值范围是－7≤a ≤2.………………………………………………(14分)11．解 (1)任取x 1，x 2∈[－1,1]，且x 1<x 2，则－x 2∈[－1,1]，∵f (x )为奇函数，∴f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)x 1＋(－x 2)·(x 1－x 2)， 由已知得f (x 1)＋f (－x 2)x 1＋(－x 2)>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．∴f (x )在[－1,1]上单调递增．……………………………………………………………(4分)(2)∵f (x )在[－1,1]上单调递增，∴错误!∴－32≤x <－1.……………………………………………………………………………(9分)(3)∵f (1)＝1，f (x )在[－1,1]上单调递增．∴在[－1,1]上，f (x )≤1.…………………………………………………………………(10分)问题转化为m 2－2am ＋1≥1，即m 2－2am ≥0，对a ∈[－1,1]成立．下面来求m 的取值范围．设g (a )＝－2m ·a ＋m 2≥0.①若m ＝0，则g (a )＝0≥0，自然对a ∈[－1,1]恒成立．②若m ≠0，则g (a )为a 的一次函数，若g (a )≥0，对a ∈[－1,1]恒成立，必须g (－1)≥0，且g (1)≥0，∴m ≤－2，或m ≥2.∴m 的取值范围是m ＝0或|m |≥2.………………………………………………………(14分)。
2014届高考理科数学第一轮复习导学案74
学案75不等式选讲(二)不等式的证明导学目标： 1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法.2.会用比较法、综合法、分析法、数学归纳法证明比较简单的不等式．自主梳理1．证明不等式的常用方法(1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是____与0比较大小或____与1比较大小．(2)综合法：从已知条件出发，利用不等式的有关性质或________，经过推理论证，最终指导出所要证明的不等式成立．(3)分析法：从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的________条件，到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)．(4)反证法①反证法的定义先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法．②反证法的特点先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾．(5)放缩法①定义：证明不等式时，通过把不等式的一边适当地________或________以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得出原不等式成立．这种方法称为放缩法．②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键．(6)数学归纳法与自然数有关的不等式可考虑用数学归纳法证明．自我检测1．已知M ＝a 2＋b 2，N ＝ab ＋a ＋b －1，则M ，N 的大小关系为________．2．设x ＝a 2b 2＋5，y ＝2ab －a 2－4a ，若x >y ，则实数a ，b 应满足的条件为______________．3．若a >0，b >0，给出下列四个不等式：①a ＋b ＋1ab ≥22；②(a ＋b )(1a ＋1b )≥4；③a 2＋b 2ab≥a ＋b ；④a＋1a ＋4≥－2. 其中正确的序号为______________．4．用数学归纳法证明(1＋13)(1＋15)(1＋17)…(1＋12k －1)>2k ＋12(k >1)，则当n ＝k ＋1时，左端应乘上________．这个乘上去的代数式共有因子的个数是________．5．用数学归纳法证明a n ＋b n 2≥(a ＋b 2)n(a ，b 是非负实数，n ∈N )时，假设n ＝k 命题成立之后，证明n ＝k ＋1命题也成立的关键是______________．探究点一 比较法证明不等式例1 已知a >0，b >0，求证：a b ＋ba≥a ＋b .变式迁移1 (2011·福建)设不等式|2x －1|<1的解集为M . ①求集合M ；②若a ，b ∈M ，试比较ab ＋1与a ＋b 的大小．探究点二 用综合法证明不等式例2 设a 、b 、c 均为正数，求证： 12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b .变式迁移2 设x 是正实数，求证： (x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3.探究点三 用分析法证明不等式例3 已知a >b >0，求证：(a －b )28a <a ＋b 2－ab <(a －b )28b .变式迁移3 已知a >0，求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2.探究点四 数学归纳法例4 用数学归纳法证明： 12＋13＋14＋…＋12n －1>n －22(n ≥2)．变式迁移4 用数学归纳法证明n 2＋n <n ＋1(n ∈N *)转化与化归思想的应用例 (10分)已知f (x )＝x 2＋px ＋q .求证： (1)f (1)＋f (3)－2f (2)＝2；(2)|f (1)|、|f (2)|、|f (3)|中至少有一个不小于12.多角度审题 已知f (x )，要证f (1)＋f (3)－2f (2)＝2，只需化简左边式子，看是怎样的形式，然后才能视情况而定如何证明．求证|f (1)|、|f (2)|、|f (3)|中至少有一个不小于12包括：|f (1)|、|f (2)|、|f (3)|中有一个大于等于12，其余两个小于12；三个中有2个大于等于12，另一个小于12；三个都大于等于12.如果从正面证明，将有7种情况需要证明，非常繁杂，可考虑用反证法证明．【答题模板】证明 (1)∵f (1)＋f (3)－2f (2)＝(1＋p ＋q )＋(9＋3p ＋q )－2(4＋2p ＋q )＝2，∴f (1)＋f (3)－2f (2)＝2.[2分](2)假设|f (1)|、|f (2)|、|f (3)|都小于12， 则|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|<2，[4分]而|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|≥|f (1)＋f (3)－2f (2)|＝2， 与假设矛盾．[9分]∴|f (1)|、|f (2)|、|f (3)|中至少有一个不小于12.[10分] 【突破思维障碍】根据正难则反的证明原则，|f (1)|、|f (2)|、|f (3)|至少有一个不小于12的反面为|f (1)|、|f (2)|、|f (3)|都小于12，所以用反证法证明只有一种情况，如果这一种情况不成立，则原命题成立．【易错点剖析】在证明(2)中如果不知道用反证法证，而是从正面分七种情况证明，往往会出现这样或那样的失误．1．证明不等式的常用方法有六种，即比较法、分析法、综合法、数学归纳法、反证法、放缩法，重点是前四种方法．2．比较法是证明不等式的一个最基本，最常用的方法．当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时，一般使用作差比较法；当被证的不等式(或变形后)的两端都是正数且为乘积形式或幂指数形式时，一般使用作商比较法．3．分析法执果索因，利于思考；综合法由因导果，宜于表达，适合人们的思维习惯，凡是能用分析法证明的不等式，一般可以用综合法证明．因此，我们做题时，通常先用分析法探求证题途径，在解答问题时用综合法书写．4．放缩法就是利用不等式的传递性的方法，即要证a >b ，可以证a >c 且c >b .其中c 的确定是最困难的，要凭借对题意的分析和一定的解题经验．放缩法的常用措施：(1)舍去或加上一些项，如⎝⎛⎭⎪⎫a ＋122＋34>⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122；(2)将分子或分母放大(缩小)，如1k 2<1k (k －1)，1k 2>1k (k ＋1)，1k<2k ＋k －1，1k >2k ＋k ＋1 (k ∈N *且k >1)等．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共42分)1．已知a 、b 、m ∈R ＋且a >b ，则a b 与a ＋mb ＋m的大小关系为________．2．设a ∈R 且a ≠0，以下四个式子中恒大于1的个数是________．①a 3＋1；②a 2－2a ＋2；③a ＋1a ；④a 2＋1a 2.3．在下列不等式中，一定成立的是________(填序号)． ①48a <84b ； ②a a b b >a b b a ； ③a 3>a 2－a ＋1；④(5＋2)m 2<m 2＋12－3.4．如图所示，矩形OP AQ 中，a 1<a 2，b 1<b 2，则阴影部分的矩形的面积之和________空白部分的矩形的面积之和．(填“>”“<”或“＝”)5．已知P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4，则P 、Q 的大小关系为________．6．有一台天平，两臂长略有差异，其他均精确．现将一物体A 分别放在左、右托盘内各称一次，称得的结果分别为a 克和b 克，关于物体A 的质量，有下列一些说法：(1)物体A 的质量是a ＋b2克；(2)物体A 的质量介于a 克与b 克之间；(3)物体A 的质量大于a ＋b2克；(4)物体A 的质量大于2aba ＋b克．其中正确的说法是________．(将满足题意的所有序号填在题中横线上)7．设两个不相等的正数a ，b 满足a 3－b 3＝a 2－b 2，则a ＋b 的取值范围是________．二、解答题(共48分)8．(12分)若a ＋b ＝1，求证： a ＋12＋b ＋12≤2.9．(12分)(2009·江苏)设a ≥b >0，求证：3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2.10．(12分)已知x，y，z均为正数，求证：x yz＋yzx＋zxy≥1x＋1y＋1z.11．(12分)用数学归纳法证明1·2＋2·3＋…＋n(n＋1)>n(n＋1)2.学案75 不等式选讲(二)不等式的证明答案自主梳理1．(1)差商(2)定理(3)充分(5)①放大缩小自我检测1．M≥N解析∵M－N＝a2＋b2－ab－a－b＋1＝12(2a2＋2b2－2ab－2a－2b＋2)＝12[(a 2－2ab ＋b 2)＋(a 2－2a ＋1)＋(b 2－2b ＋1)] ＝12[(a －b )2＋(a －1)2＋(b －1)2]≥0，当且仅当a ＝b ＝1时“＝”成立．∴M ≥N .2．ab ≠1或a ≠－2解析 由x >y ，得a 2b 2＋5－2ab ＋a 2＋4a ＝(ab －1)2＋(a ＋2)2>0，所以有ab ≠1或a ≠－2.3．①②③④解析 ∵a >0，b >0，∴①a ＋b ＋1ab ≥2ab ＋1ab ≥2·2ab ·1ab＝22；②(a ＋b )(1a ＋1b )≥4ab 1ab ＝4；③∵a 2＋b 22≥a ＋b2，∴a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝(a ＋b )·a ＋b2≥(a ＋b )ab .∴a 2＋b 2ab ≥a ＋b ；④∵a >0，∵a ＋1a ＋4>0，∴④恒成立．4．(1＋12k ＋1)(1＋12k ＋3)…(1＋12k ＋1－1) 2k －1解析 因为分母的公差为2，所以乘上去的第一个因式是(1＋12k ＋1)，最后一个是(1＋12k ＋1－1)，共有2k －2k －1＝2k －1项． 5．两边同乘以a ＋b2解析 要想办法出现a k ＋1＋b k ＋1，两边同乘以a ＋b 2，右边也出现了要求证的(a ＋b 2)k ＋1.课堂活动区例1 解题导引 不等式左、右两边是多项式形式，可用作差或作商比较法，也可用分析法、综合法．证明 ∵a b ＋ba－(a ＋b )＝(a )3＋(b )3－(a ＋b )ab ab ＝(a ＋b )(a －b )2ab，又a ＋b >0，ab >0，(a －b )2≥0， ∴a b ＋b a －(a ＋b )≥0.故a b ＋ba≥a ＋b .变式迁移1 解 ①由|2x －1|<1得－1<2x －1<1，解得0<x <1，所以M ＝{x |0<x <1}．②由①和a ，b ∈M 可知0<a <1,0<b <1. 所以(ab ＋1)－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)>0， 故ab ＋1>a ＋b .例2 解题导引 本例不等式中的a 、b 、c 具有同等的地位，证明此类型不等式往往需要通过系数的变化，利用基本不等式进行放缩，得到要证明的结论．证明 ∵a 、b 、c 均为正数， ∴12⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b ≥12ab ≥1a ＋b ， 当且仅当a ＝b 时等号成立；同理：12⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋12c ≥12bc ≥1b ＋c，当且仅当b ＝c 时等号成立； 12⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ＋12a ≥12ca ≥1c ＋a ， 当且仅当a ＝c 时等号成立．三个不等式相加即得12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立．变式迁移2 证明 x 是正实数，由基本不等式知， x ＋1≥2x ，1＋x 2≥2x ，x 3＋1≥2x 3， 故(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥2x ·2x ·2x 3＝8x 3 (当且仅当x ＝1时等号成立)．例3 解题导引 当要证的不等式较复杂，已知条件信息量太少，已知与待证间的联系不明显时，一般可采用分析法．分析法是步步寻求不等式成立的充分条件，而实际操作时往往是先从要证的不等式出发，寻找使不等式成立的必要条件，再考虑这个必要条件是否充分，这种“逆求”过程能培养学生的发散思维能力，也是分析问题、解决问题时常用的思考方法．证明 欲证(a －b )28a <a ＋b 2－ab <(a －b )28b ，只需证(a －b )28a <(a －b )22<(a －b )28b .∵a >b >0， ∴只需证a －b 22a <a －b 2<a －b 22b ， 即a ＋b 2a <1<a ＋b 2b .欲证a ＋b 2a<1， 只需证a ＋b <2a ，即b <a .该式显然成立． 欲证1<a ＋b 2b， 只需证2b <a ＋b ，即b <a .该式显然成立．∴a ＋b 2a <1<a ＋b 2b成立，且以上各步均可逆． ∴(a －b )28a <a ＋b 2－ab <(a －b )28b 成立． 变式迁移3 证明 要证 a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2，只需证 a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a ＋2，∵a >0，∴只需证⎝ ⎛⎭⎪⎫ a 2＋1a 2＋22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋22， 从而只要证2 a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ， 只要证4⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋2＋1a 2， 即a 2＋1a 2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．例4 解题导引 用数学归纳法证明不等式，推导n ＝k ＋1也成立时，证明不等式的常用方法，如比较法、分析法、综合法均要灵活运用．在证明过程中，常常利用不等式的传递性对式子放缩，建立关系．证明 (1)当n ＝2时，12>0，不等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥2)时，原不等式成立．即12＋13＋14＋15＋…＋12k －1>k －22， 则当n ＝k ＋1时，左边＝12＋13＋14＋…＋12k －1＋12k －1＋1＋12k －1＋2＋…＋12k －1＋2k －1>k －22＋12k －1＋1＋12k －1＋2＋…＋12k －1＋2k －1>k －22＋12k ＋12k ＋…＋12k ＝k －22＋2k －12k ＝k －12＝(k ＋1)－22. ∴当n ＝k ＋1时，原不等式成立．由(1)(2)知，原不等式对n ≥2的所有的自然数都成立， 即12＋13＋14＋…＋12n －1>n －22(n ≥2)． 变式迁移4 证明 (1)当n ＝1时，显然命题成立．(2)假设n ＝k (k ∈N *)时，原不等式成立． 即k 2＋k <k ＋1，∴k 2＋k <(k ＋1)2.则当n ＝k ＋1时， 左边＝(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2＝k 2＋k ＋2k ＋2<(k ＋1)2＋2k ＋2＝k 2＋4k ＋3<k 2＋4k ＋4＝k ＋2＝(k ＋1)＋1.∴(k ＋1)2＋k ＋1<(k ＋1)＋1.∴当n ＝k ＋1时，原不等式成立．由(1)(2)知，原不等式对n ∈N *成立．即n 2＋n <n ＋1. 课后练习区1.a b >a ＋m b ＋m解析 ∵a b －a ＋m b ＋m ＝ab ＋am －ab －bm b (b ＋m )＝m (a －b )b (b ＋m )>0， ∴a b >a ＋m b ＋m. 2．1解析 只有a 2＋1a 2≥2>1.3．④解析 取a ＝b ＝1，显然有48a 84b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫484·44＝16>1， ∴48>84，①不成立；∵a a b b a b b a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫b a b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b ， 当a <b <0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b <1，∴②不一定成立； ∵a 3－a 2＋a －1＝(a －1)(a 2＋1)，当a <1时，③不成立；∵(5＋2)2＝7＋210，⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32＝(2＋3)2＝7＋212， ∴5＋2<12－3，又m 2<m 2＋1， ∴(5＋2)m 2<m 2＋12－3，故④正确． 4．>5．P <Q解析 将P 、Q 平方，比较大小．6．(2)(4)解析 设物体A 的质量为x 克，天平左臂长m ，右臂长n ，则由题设，得mx ＝na ， ①mb ＝nx . ② 从而，由①②两式相除，得x b ＝a x ，即x ＝ab .若a ＝b ，则由①②两式相乘，得m 2bx ＝n 2ax ，即m ＝n ，这与题设中“两臂长略有差异”相矛盾．于是，必有a ≠b ，从而a ＋b 2>ab ，所以(1)(3)错误．由放缩法易知ab 必介于a ，b 之间，所以说法(2)正确． 又2ab a ＋b <2ab 2ab ＝ab ，所以说法(4)正确． 7．(1，43)解析 ∵a 3－b 3＝a 2－b 2(a ≠b )，∴a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b ，∴(a ＋b )2－ab ＝a ＋b ，∴ab ＝(a ＋b )2－(a ＋b )，又∵0<ab <(a ＋b 2)2，∴0<(a ＋b )2－(a ＋b )<(a ＋b 2)2，解之得1<a ＋b <43.8．证明 要证 a ＋12＋ b ＋12≤2成立，即证( a ＋12＋ b ＋12)2≤4，(2分)即证a ＋b ＋1＋2( a ＋12·b ＋12)≤4，(4分)∵a ＋b ＝1，故就是证 a ＋12· b ＋12≤1，(6分)即证ab ＋12(a ＋b )＋14≤1，即证ab ≤14，(8分) 只需证ab ≤(a ＋b 2)2，也就是证2ab ≤a 2＋b 2，这是显然成立的，故原不等式成立．(12分)9．证明 3a 3＋2b 3－(3a 2b ＋2ab 2)＝3a 2(a －b )＋2b 2(b －a )＝(3a 2－2b 2)(a －b )．(8分)因为a ≥b >0，所以a －b ≥0,3a 2－2b 2>0，(10分)从而(3a 2－2b 2)(a －b )≥0，即3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2.(12分)10．证明 因为x ，y ，z 均为正数，所以x yz ＋y zx ＝1z ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥2z ，(3分) 同理可得y zx ＋z xy ≥2x ，z xy ＋x yz ≥2y ，(6分)当且仅当x ＝y ＝z 时，以上三式等号都成立，将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z .(12分)11．证明 (1)当n ＝1时，2>1，命题成立．(2分) (2)假设n ＝k 时命题成立，即1·2＋2·3＋…＋k (k ＋1)>k (k ＋1)2.则当n ＝k ＋1时，1·2＋2·3＋…＋k (k ＋1)＋(k ＋1)(k ＋2)>k (k ＋1)2＋(k ＋1)(k ＋2)>k (k ＋1)2＋(k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)2， 即当n ＝k ＋1时不等式也成立．(10分)综合(1)(2)，得对一切正整数n ，不等式都成立．(12分)。
2014届高考理科数学第一轮复习导学案52
第10章 概率与统计学案54 随机抽样导学目标： 1.理解随机抽样的必要性和重要性.2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本.3.了解分层抽样和系统抽样方法．自主梳理1．简单随机抽样(1)定义：从个体数为N 的总体中____________取出n 个个体作为样本(n <N )，如果每个个体都有________的机会被取到，那么这样的抽样方法称为简单随机抽样．(2)最常用的简单随机抽样的方法：__________和____________．2．系统抽样的步骤假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本．(1)采用随机的方式将总体的N 个个体进行________；(2)将编号按间隔k ________，当N n 是整数时，取k ＝N n ；当N n 不是整数时，从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中个体的个数N ′能被n 整除．这时取k ＝N ′n ，并将剩下的总体重新编号；(3)在第1段中用______________确定起始个体编号l ；(4)按照一定的规则抽取样本，通常将编号为l ，l ＋k ，l ＋2k ，…，l ＋(n －1)k 的个体抽出．3．分层抽样(1)定义：当总体由________的几个部分组成时，我们将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几部分，然后按__________________实施抽样，这种抽样方法叫分层抽样．(2)分层抽样中的抽样比＝样本容量个体总量＝各层样本容量各层个体数量. 自我检测1．某牛奶生产线上每隔30分钟抽取一袋进行检验，则该抽样方法为①；从某中学的30名数学爱好者中抽取3人了解学习负担情况，则该抽样方法为②.那么①是________抽样，②是____________抽样．2．(2010·四川改编)一个单位有职工800人，其中具有高级职称的为160人，具有中级职称的为320人，具有初级职称的为200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是___________________________________________________________ _____________．3．(2010·重庆改编)某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为________．4．(2010·天津河东区一模)在120个零件中，一级品24个，二级品36个，三级品60个，用系统抽样方法从中抽取量为20的样本，则三级品a被抽到的可能性为________．5．某质检人员从编号为1～100这100件产品中，依次抽出号码为3,7,13,17,23,27，…，93,97的产品进行检验，则这样的抽样方法是______________.探究点一简单随机抽样例1某车间工人加工100件某种轴，为了解这种轴的直径，要从中抽取10件轴在同一条件下测量，如何采用简单随机抽样的方法抽取样本？变式迁移1今用简单随机抽样从含有6个个体的总体中抽取一个容量为2的样本．问：(1)总体中的某一个体a在第一次抽取时被抽到的概率是多少？(2)个体a不是在第1次被抽到，而是在第2次被抽到的概率是多少？(3)在整个抽样过程中，个体a被抽到的概率是多少？探究点二系统抽样例2(2010·湖北)将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为____________．变式迁移2(2009·广东)某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作为样本．用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10号，…，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是______．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取_________________________人．探究点三分层抽样例3某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为________．变式迁移3某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1∶2∶1，用分层抽样方法(每个分厂的产品为一层)从3个分厂生产的电子产品中共抽取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980 h,1 020 h,1 032 h，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为________ h.1．简单随机抽样的特点：(1)样本的总体个数不多；(2)从总体中逐个不放回地抽取，是不放回抽样；(3)是一种等机会抽样，各个个体被抽取的机会均等，保证了抽样的公平性．2．系统抽样的特点：(1)适用于总体个数较多的情况；(2)剔除多余个体并在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号；(3)是等可能抽样．3．对于分层抽样的理解应注意：(1)分层抽样适用于由差异明显的几部分组成的情况；(2)在每一层进行抽样时，采用简单随机抽样或系统抽样；(3)分层抽样充分利用已掌握的信息，使样本具有良好的代表性；(4)分层抽样也是等概率抽样，而且在每层抽样时，可以根据具体情况采用不同的抽样方法，因此应用较为广泛．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．(2010·台州第一次调研)现要完成下列3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查；②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．③东方中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．较为合理的抽样方法是①采取______________，②采用____________，③采用____________．2．某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查，这种抽样方法是___________________________________________________________ _____________．3．(2010·宿迁模拟)某高中在校学生2 000人，高一年级与高二年级人数相同并都比高三年级多1人．为了响应“阳光体育运动”号召，学校举行了“元旦”跑步和登山比赛活动．每人都参加而且只参与了其中一项比赛，各年级参与比赛人数情况如表所示：其中a ∶b ∶c ＝2∶3∶5，全校参与登山的人数占总人数的25.为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则高二年级参与跑步的学生中应抽取________人．4．某校共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生的人数为________．5.(2010·随机抽取90名学生进行家庭情况调查，经过一段时间后再次从这个年级随机抽取100名学生进行学情调查，发现有20名同学上次被抽到过，估计这个学校高一年级的学生人数为________． 6．一个总体有100个个体，随机编号为0,1,2，…，99，依编号顺序平均分成10组，组号依次为1,2,3，…，10，现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组中随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m ＋k 的个位数字相同，若m ＝6，则在第7组中抽取的号码是________．7．某学院的A ，B ，C 三个专业共有1 200名学生．为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A 专业有380名学生，B 专业有420名学生，则在该学院的C 专业应抽取________名学生．8．一个总体分为A ，B 两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本．已知B 层中每个个体被抽到的概率都为112，则总体中的个体数为________．二、解答题(共42分)9．(14分)某校高中三年级的295名学生已经编号为1,2，…，295，为了解学生的学习情况，要按1∶5的比例抽取一个样本，用系统抽样的方法进行抽取，并写出过程．10．(14分)(2010·潮州模拟)潮州统计局就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1 000,1 500))．(1)求居民月收入在[3 000,3 500)的频率；(2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；(3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10 000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2 500,3 000)的这段应抽多少人？11．(14分)某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽(1)关？(2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？(3)在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率．学案54 随机抽样答案自主梳理1．(1)逐个不放回地相同(2)抽签法随机数表法2．(1)编号(2)分段(3)简单随机抽样3．(1)差异明显各部分在总体中所占的比自我检测1．系统 简单随机解析 因为①中牛奶生产线上生产的牛奶数量很大，每隔30分钟抽取一袋，这符合系统抽样；②中样本容量和总体容量都很小，采用简单随机抽样．2．8,16,10,6解析 由题意，各种职称的人数比为160∶320∶200∶120＝4∶8∶5∶3，所以抽取的具有高、中、初级职称的人数和其他人员的人数分别为40×420＝8,40×820＝16,40×520＝10,40×320＝6.3．15解析 由题意知青年职工人数∶中年职工人数∶老年职工人数＝350∶250∶150＝7∶5∶3.由样本中青年职工为7人，得样本容量为15.4.16解析 每一个个体被抽到的概率都是样本容量除以总体，即20120＝16.5．系统抽样解析 本次质检相当于把100件产品平均分成了10组，在第一组中取了2件产品，其他组的产品是采用这两件加间隔的形式取得的，符合系统抽样的要求．课堂活动区例1 解题导引 (1)随机数表法的步骤：①将总体的个体编号；②在随机数表中选择开始数字；③读数获取样本号码．随机数表法简单易行，它很好地解决了抽签法在总体个数较多时制签难的问题，但是当总体中的个体很多，需要的样本容量也很大时，用随机数表法抽取样本仍不方便．(2)一个抽样试验能否用抽签法，关键要看：①制签是否方便；②号签是否容易被搅匀．一般地，总体容量和样本容量都较小时，可用抽签法．解 简单随机抽样一般采用两种方法：抽签法和随机数表法． 方法一 (抽签法)将100件轴编号为1,2，…，100，并做好大小、形状相同的号签，分别写上这100个数，将这些号签放在一起，进行均匀搅拌，接着连续抽取10个号签，与这10个号签号码相同的轴的直径即为所要抽取的样本．方法二 (随机数表法)将100件轴编号为00,01，…，99，在随机数表(见教材附表)中选定一个起始位置，如取第21行第1个数开始，选取10个数为68,34,30,13,70,55,74,77,40,44，这10个号码对应的轴的直径即为所要抽取的样本．变式迁移1 解 (1)用简单随机抽样，从含有N 个个体的总体中抽取一个容量为n 的样本时，每次抽取一个个体时任一个体被抽到的概率为1N ；在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为n N ；(2)抽签有先后，但概率都是相同的．故(1)16，(2)16，(3)13.例2 解题导引 系统抽样是一种等间隔抽样，间隔k ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤N n (其中n 为样本容量，N 为总体容量)．预先定出规则，一旦第1段用简单随机抽样确定出起始个体的编号，那么样本中的个体编号就确定下来．从小号到大号逐次递增k ，依次得到样本全部．因此可以联想等差数列的知识结合Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ营区的编号范围来求解．答案 25,17,8解析 由题意，系统抽样间隔k ＝60050＝12，故抽到的个体编号为12k ＋3 (其中k ＝0,1,2,3，…，49)．令12k ＋3≤300，解得k ≤24.∴k ＝0,1,2，…，24，共25个编号．所以从Ⅰ营区抽取25人；令300<12k ＋3≤495，解得25≤k ≤41.∴k ＝25,26,27，…，41，共17个编号．所以从Ⅱ营区抽取17人；因此从第Ⅲ营区抽取50－25－17＝8(人)．变式迁移2 37 20解析 由分组可知，抽号的间隔为5，又因为第5组抽出的号码为22，所以第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37.40岁以下的年龄段的职工数为200×0.5＝100(人)，则应抽取的人数为40200×100＝20(人)．例3 解题导引 分层抽样中各层抽取的个体数依各层个体数成比例分配．因此要善于利用列比例等式来解决该类问题．必要时引进字母来表示一些未知量．答案 18解析 设该单位老年职工有x 人，从中抽取y 人．则160＋3x ＝430⇒x ＝90，即老年职工有90人，则90160＝y 32⇒y ＝18.变式迁移3 1 013解析 利用分层抽样可知从3个分厂抽出的100个电子产品中，每个厂中的产品个数比也为1∶2∶1，故分别有25,50,25个．再由三个厂子算出的平均值可得100件产品的总的平均寿命为980×25＋1 020×50＋1 032×25100＝1 013(h)． 课后练习区1．简单随机抽样 系统抽样 分层抽样解析 ①总体较少，宜用简单随机抽样；②已分段，宜用系统抽样；③各层间差距较大，宜用分层抽样．2．分层抽样解析 由分层抽样的定义可知，该抽样为按比例的抽样．3．36解析 ∵登山占总数的25，故跑步的占总数的35，又跑步中高二年级占32＋3＋5＝310. ∴高二年级跑步的占总人数的35×310＝950.由950＝x 200得x ＝36.4．16解析 ∵二年级女生有2 000×0.19＝380(人)，∴三年级共有2 000－(373＋377)－(380＋370)＝500(人)．∴应在三年级抽取的人数为642 000×500＝16(人)．5．450解析 设这个学校高一年级人数为x ，则90x ＝20100，∴x ＝450.6．63解析 由题意知，第7组中抽取的号码的个位数与6＋7的个位数相同，即为3；又第7组中号码的十位上的数为6，所以在第7组中抽取的号码是63.7．40解析 由题知C 专业有学生1 200－380－420＝400(名)，那么C 专业应抽取的学生数为120×4001 200＝40(名)．8．120解析 分层抽样中，每个个体被抽到的概率都相等，则10x ＝112⇒x ＝120.9．解 按照1∶5的比例，应该抽取的样本容量为295÷5＝59，我们把295名同学分成59组，每组5人．(4分)第1组是编号为1～5的5名学生，第2组是编号为6～10的5名学生，依次下去，第59组是编号为291～295的5名学生．(10分)采用简单随机抽样的方法，从第1组5名学生中抽出一名学生，不妨设编号为l (1≤l ≤5)，那么抽取的学生编号为(l ＋5k ) (k ＝0,1,2，…，58)，得到59个个体作为样本，如当l ＝3时的样本编号为3,8,13，…，288,293.(14分)10．解 (1)月收入在[3 000,3 500)的频率为0．000 3×(3 500－3 000)＝0.15.(2分)(2)∵0.000 2×(1 500－1 000)＝0.1，0．000 4×(2 000－1 500)＝0.2，0．000 5×(2 500－2 000)＝0.25，0．1＋0.2＋0.25＝0.55>0.5.∴样本数据的中位数为2 000＋0.5－(0.1＋0.2)0.000 5＝2 000＋400＝2 400.(8分)(3)居民月收入在[2 500,3 000)的频率为0．000 5×(3 000－2 500)＝0.25，所以10 000人中月收入在[2 500,3 000)的人数为0.25×10 000＝2 500(人)，再从10 000人中分层抽样方法抽出100人，则月收入在[2 500，3 000)的这段应抽取100×2 50010 000＝25(人)．(14分)11．解 (1)因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目，所以，经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的．(4分)(2)从题中所给条件可以看出收看新闻节目的共45人，随机抽取5人，则抽样比为545＝19，故大于40岁的观众应抽取27×19＝3(人)．(10分)(3)抽取的5名观众中大于40岁的有3人，在20至40岁的有2人，记大于40岁的人为a1，a2，a3,20至40岁的人为b1，b2，则从5人中抽取2人的基本事件有(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(b1，b2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)共10个，其中恰有1人为20至40岁的有6个，故所求概率为610＝35.(14分)。
2014届高考理科学数学第一轮复习导学案7
学案8 对数与对数函数导学目标： 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性与函数图象通过的特殊点，知道指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a >0，a ≠1)，体会对数函数是一类重要的函数模型．自主梳理1．对数的定义如果______________，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作__________，其中____叫做对数的底数，____叫做真数．2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质(a >0且a ≠1)①a log a N ＝____； ②log a 1＝____； ③log a a N ＝____； ④log a a ＝____. (2)对数的重要公式①换底公式：log a N ＝________________(a ，c 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log ba ，推广log ab ·log bc ·log cd ＝________.(3)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝__________________；②log a MN ＝____________；③log a M n ＝__________(n ∈R )；④log am M n＝n m log a M .指数函数y ＝a x 与对数函数__________互为反函数，它们的图象关于直线______对称．自我检测 1．(2010·四川改编)2log 510＋log 50.25的值为________．2．(2010·辽宁改编)设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 的值为________．3．(2009·辽宁改编)已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)．则f (2＋log 23)的值为________．4．(2010·宿迁模拟)定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上递增，f (13)＝0，则满足f (log 18x )>0的x 的取值范围是__________________．5．(2009·台州期末)已知0<a <b <1<c ，m ＝log a c ，n ＝log b c ，则m 与n 的大小关系为__________．探究点一 对数式的化简与求值 例1 计算：(1)log (2＋3)(2－3)； (2)12lg 3249－43lg 8＋lg 245；(3)已知2lg x －y2＝lg x ＋lg y ，求log (3－22)x y.变式迁移1 计算：(1)log 2748＋log 212－12log 242－1； (2)(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25.探究点二 含对数式的大小比较 例2 比较下列各组数的大小．(1)log 323与log 565；(2)log 1.10.7与log 1.20.7；(3)已知111222log log log b a c <<，比较2b,2a,2c 的大小关系．变式迁移2 (1)(2009·全国Ⅱ改编)设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则a 、b 、c 的大小关系为________(2)设a ，b ，c 均为正数，且2a＝log 12a ，(12)b ＝log 12b ，(12)c ＝log 2c ，则a ，b ，c 的大小关系为________．探究点三 对数函数的图象与性质例3 已知f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈[13，2]都有|f (x )|≤1成立，试求a 的取值范围．变式迁移3 (1)(2010·全国Ⅰ改编)已知函数f (x )＝|lg x |，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围为______________．(2)已知函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，则f (－2)________f (a ＋1)．(填写“<”“＝”“>”)转化化归与分类讨论思想例 (16分)已知函数f (x )＝log a (1－a x )及g (x )＝log a (a x －1)(a >0，a ≠1)．(1)解关于x 的不等式：log a (1－a x )>f (1)；(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)是f (x )图象上的两点，求证：直线AB 的斜率小于0.【答题模板】(1)解 ∵f (x )＝log a (1－a x )，∴f (1)＝log a (1－a )．∴1－a >0.∴0<a <1.∴不等式可化为log a (1－a x )>log a (1－a )．[4分]∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a x>0，1－a x<1－a .，即⎩⎨⎧a x <1，a x >a .∴0<x <1. ∴不等式的解集为(0,1)．[8分](2)证明 设x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝log a (1－ax 2)－log a (1－ax 1)＝log a 1－ax 21－ax 1.∵1－a x >0，∴a x <1.∴a >1时，f (x )的定义域为(－∞，0)；0<a <1时，f (x )的定义域为(0，＋∞)．[12分] 当0<a <1时，∵x 2>x 1>0，∴ax 2<ax 1. ∴1－ax 21－ax 1>1.∴log a 1－ax 21－ax 1<0. ∴f (x 2)<f (x 1)，即y 2<y 1.同理可证，当a >1时，也有y 2<y 1.综上：y 2<y 1，即y 2－y 1<0.∴k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1<0.∴直线AB 的斜率小于0.[16分] 【突破思维障碍】解决含参数的对数问题，不可忽视对底数a 的分类讨论，即a >1或0<a <1，其次要看定义域，如果将函数变换，务必保证等价性．1．用对数函数的性质比较大小 (1)同底数的两个对数值的大小比较例如，比较log a f (x )与log a g (x )的大小，其中a >0且a ≠1. ①若a >1，则log a f (x )>log a g (x )⇔f (x )>g (x )>0. ②若0<a <1，则log a f (x )>log a g (x )⇔0<f (x )<g (x )． (2)同真数的对数值大小关系如图：图象在x 轴上方的部分自左向右底逐渐增大，即0<c <d <1<a <b . 2．(1)指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别．(2)明确函数图象的位置和形状要通过研究函数的性质，要记忆函数的性质可借助于函数的图象．因此要掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指数函数和对数函数的图象．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．(2010·北京市丰台区高三一调)设M ＝{y |y ＝(12)x ，x ∈[0，＋∞)}，N ＝{y |y ＝log 2x ，x ∈(0,1]}，则集合M ∪N ＝________.2．(2010·全国Ⅰ改编)设a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝125-，则a ，b ，c 大小关系为________．3．2lg 5＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋lg 22＝________.4．函数f (x )＝ln 1＋ax1＋2x(a ≠2)为奇函数，则实数a 等于________．5．(2010·青岛二模)已知函数f (x )＝a x ＋log a x (a >0，a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为________．6．(2010·天津改编)若函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ， x >0，log 12(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围为______________．7．(2011·宿迁模拟)已知f (3x )＝4x log 23＋233，则f (2)＋f (4)＋f (8)＋…＋f (28)＝________.8．下列命题：①若函数y ＝lg(x ＋x 2＋a )为奇函数，则a ＝1；②若a >0，则方程|lg x |－a ＝0有两个不相等的实根； ③方程lg x ＝sin x 有且只有三个实数根；④对于函数f (x )＝lg x ，若0<x 1<x 2，则f (x 1＋x 22)<f (x 1)＋f (x 2)2. 以上命题为真命题的是________．(将所有真命题的序号填在横线上)二、解答题(共42分)9．(14分)已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,9]，求y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值及y 取最大值时x 的值．10．(14分)(2010·北京东城检测)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1.(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)若a >1时，求使f (x )>0的x 的解集．11．(14分)已知函数f (x )＝lg(a x －b x )(a >1>b >0)． (1)求y ＝f (x )的定义域；(2)在函数y ＝f (x )的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x 轴；(3)当a ，b 满足什么条件时，f (x )在(1，＋∞)上恒取正值．答案 自主梳理 1．a b ＝N (a >0，且a ≠1) b ＝log a N a N 2.(1)①N ②0 ③N④1 (2)①log c Nlog ca ②log a d (3)①log a M ＋log a N ②log a M －log a N③n log a M 3.(1)(0，＋∞) (2)R (3)(1,0) 1 0 (4)y >0 y <0 (5)y <0 y >0(6)增 (7)减 4.y ＝log a x y ＝x 自我检测1．2 2.10 3.124 4.(0，12)∪(2，＋∞) 5.m >n 课堂活动区例1 解题导引 在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底和指数与对数互化．解 (1)方法一 利用对数定义求值： 设log (2＋3)(2－3)＝x ，则(2＋3)x ＝2－3＝12＋3＝(2＋3)－1，∴x ＝－1.方法二 利用对数的运算性质求解：log (2＋3)(2－3)＝log (2＋3)12＋3＝log (2＋3)(2＋3)－1＝－1.(2)原式＝12(lg 32－lg 49)－4312lg8＋12lg 245＝12(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5 ＝12lg (2×5)＝12lg 10＝12.(3)由已知得lg(x －y 2)2＝lg xy ， ∴(x －y 2)2＝xy ，即x 2－6xy ＋y 2＝0. ∴(x y )2－6(xy )＋1＝0. ∴xy ＝3±2 2.∵⎩⎪⎨⎪⎧x －y >0，x >0，y >0，∴x y >1，∴xy ＝3＋22，∴log (3－22)xy＝log (3－22)(3＋22) ＝log (3－22)13－22＝－1. 变式迁移1 解 (1)原式＝log 2748＋log 212－log 242－log 22＝log 27×1248×42×2＝log 2122＝322log 2-＝－32.(2)原式＝lg 2·(lg 2＋lg 50)＋lg 25 ＝21g 2＋lg 25＝lg 100＝2.例2 解题导引 比较对数式的大小或证明等式问题是对数中常见题型，解决此类问题的方法很多，①当底数相同时，可直接利用对数函数的单调性比较；②若底数不同，真数相同，可转化为同底(利用换底公式)或利用对数函数图象，数形结合解得；③若不同底，不同真数，则可利用中间量进行比较．解 (1)∵log 323<log 31＝0，而log 565>log 51＝0，∴log 323<log 565. (2)方法一 ∵0<0.7<1,1.1<1.2，∴0>log 0.71.1>log 0.71.2.∴1log 0.71.1<1log 0.71.2，由换底公式可得log 1.10.7<log 1.20.7.方法二 作出y ＝log 1.1x 与y ＝log 1.2x 的图象，如图所示，两图象与x ＝0.7相交可知log 1.10.7<log 1.20.7. (3)∵y ＝12log x 为减函数，且111222log log log b a c <<，∴b >a >c .而y ＝2x是增函数，∴2b >2a >2c . 变式迁移2 (1)a >b >c解析 a ＝log 3π>1，b ＝12log 23，则12<b <1，c ＝12log 32<12，∴a >b >c . (2)a <b <c解析 ∵a ，b ，c 均为正，∴12log a ＝2a>1，12log b ＝(12)b ∈(0,1)，log 2c ＝(12)c ∈(0,1)．∴0<a <12，12<b <1,1<c <2. 故a <b <c .例3 解题导引 本题属于函数恒成立问题，即对于x ∈[13，2]时，|f (x )|恒小于等于1，恒成立问题一般有两种思路：一是利用图象转化为最值问题；二是利用单调性转化为最值问题．由于本题底数a 为参数，需对a 分类讨论．解 ∵f (x )＝log a x ，则y ＝|f (x )|的图象如图．由图示，要使x ∈[13，2]时恒有|f (x )|≤1，只需|f (13)|≤1，即－1≤log a 13≤1，即log a a －1≤log a 13≤log a a ，亦当a >1时，得a －1≤13≤a ，即a ≥3；当0<a <1时，得a －1≥13≥a ，得0<a ≤13.综上所述，a 的取值范围是(0，13]∪[3，＋∞)． 变式迁移3 (1)(3，＋∞) (2)<解析 (1)画出函数f (x )＝|lg x |的图象如图所示．∵0<a <b ，f (a )＝f (b )，∴0<a <1，b >1， ∴lg a <0，lg b >0. 又∵f (a )＝f (b )，∴－lg a ＝lg b ，ab ＝1.∴a ＋2b ＝a ＋2a ，易证μ＝a ＋2a 在(0,1)上单调递减，∴μ>3. 即a ＋2b >3.(2)∵f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增， ∴a >1.∴a ＋1>2.∵f (x )是偶函数，∴f (－2)＝f (2)<f (a ＋1)． 课后练习区 1．(－∞，1]解析 ∵x ≥0，∴y ＝(12)x∈(0,1]，∴M ＝(0,1]． 当0<x ≤1时，y ＝log 2x ∈(－∞，0]，即N ＝(－∞，0]． ∴M ∪N ＝(－∞，1]．2．c <a <b解析 ∵1a ＝log 23>1，1b ＝log 2e>1，log 23>log 2e. ∴1a >1b >1，∴0<a <b <1.∵a ＝log 32>log 33＝12，∴a >12.b ＝ln 2>ln e ＝12，∴b >12.c ＝5－12＝15<12，∴c <a <b .3．3 4．－2解析 依题意有f (－x )＋f (x )＝ln 1－ax 1－2x ＋ln 1＋ax1＋2x＝0，即1－ax 1－2x ·1＋ax 1＋2x＝1，故1－a 2x 2＝1－4x 2， 所以a 2＝4，又a ≠2，故a ＝－2. 5．2解析 当x >0时，函数a x ，log a x 的单调性相同，因此函数f (x )＝a x ＋log a x 是(0，＋∞)上的单调函数，f (x )在[1,2]上的最大值与最小值之和为f (1)＋f (2)＝a 2＋a ＋log a 2，由题意得a 2＋a ＋log a 2＝6＋log a 2.即a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3(舍去)．6．(－1,0)∪(1，＋∞)解析 ①当a >0时，f (a )＝log 2a ，f (－a )＝12log a ，f (a )>f (－a )，即log 2a >12log a ＝log 21a ，∴a >1a ，解得a >1.②当a <0时，f (a )＝12log ()a -，f (－a )＝log 2(－a )，f (a )>f (－a )，即12log ()a ->log 2(－a )＝121log a-， ∴－a <1－a，解得－1<a <0，由①②得－1<a <0或a >1.7．2 008解析 令3x ＝t ，f (t )＝4log 2t ＋233，∴f (2)＋f (4)＋f (8)＋…＋f (28)＝4×(1＋2＋…＋8)＋8×233＝4×36＋1 864＝2 008.8．①②③解析 ①∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝0.∴lg(－x ＋x 2＋a )＋lg(x ＋x 2＋a )＝lg[(x 2＋a )－x 2]＝lg a ＝0，∴a ＝1.②|lg x |－a ＝0，∴|lg x |＝a .作出y ＝|lg x |，y ＝a 的图象可知，当a >0时有两个交点． ∴方程有两个不等实根．③作出y ＝lg x ，y ＝sin x 的图象，可知在y 轴右侧有三个交点．故方程有三个实根．④对于f (x )＝lg x ，如图，当0<x 1<x 2时，应有y A >y B ，即f (x 1＋x 22)>f (x 1)＋f (x 2)2. 9．解 ∵f (x )＝2＋log 3x ，∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2)＝(2＋log 3x )2＋2＋log 3x 2＝log 23x ＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2－3.……………………………………………………(5分)∵函数f (x )的定义域为[1,9]，∴要使函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤x 2≤9，1≤x ≤9，∴1≤x ≤3，∴0≤log 3x ≤1，……………………………………………………………………………………………(10分)∴6≤(log 3x ＋3)2－3≤13.当log 3x ＝1，即x ＝3时，y max ＝13.∴当x ＝3时，函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)取最大值13.……………………………………(14分)10．解 (1)f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1.故所求函数f (x )的定义域为{x |－1<x <1}．………………………………………………(4分)(2)由(1)知f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )，故f (x )为奇函数．………………………………………………………………(9分)(3)因为当a >1时，f (x )在定义域{x |－1<x <1}内是增函数，所以f (x )>0⇔x ＋11－x>1. 解得0<x <1.所以使f (x )>0的x 的解集是{x |0<x <1}．…………………………………(14分)11．解 (1)由a x －b x >0，得(a b )x >1，且a >1>b >0，得a b >1，所以x >0，即f (x )的定义域为(0，＋∞)．……………………………………………………………………………………(4分)(2)任取x 1>x 2>0，a >1>b >0，则ax 1>ax 2>0，bx 1<bx 2，所以ax 1－bx 1>ax 2－bx 2>0，即lg(ax 1－bx 1)>lg(ax 2－bx 2)．故f (x 1)>f (x 2)．所以f (x )在(0，＋∞)上为增函数．………………………………………………………(8分)假设函数y ＝f (x )的图象上存在不同的两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，使直线平行于x 轴，则x 1≠x 2，y 1＝y 2，这与f (x )是增函数矛盾．故函数y ＝f (x )的图象上不存在不同的两点使过两点的直线平行于x 轴．…………(10分)(3)因为f (x )是增函数，所以当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>f (1)．这样只需f (1)＝lg (a －b )≥0，即当a ≥b ＋1时，f (x )在(1，＋∞)上恒取正值．……………………………………………………(14分)。
2014版高考数学一轮复习(苏教版,理)配套导学案：第3章 学案13
第3章导数及其应用学案13 导数的概念及运算导学目标：1.了解导数概念的实际背景，理解函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．了解曲线的切线的概念.2.能根据导数定义，求函数y＝C（C为常数）,y＝x,y＝x2，y＝1x,y＝错误!的导数．熟记基本初等函数的导数公式（c，x m(m为有理数),sin x，cos x,e x，a x，ln x，log a x的导数),能利用基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f（ax＋b))的导数．自主梳理1．函数f（x）在区间[x1，x2］上的平均变化率为________________________．2．函数y＝f（x)在x＝x0处的导数（1)定义设f(x）在区间（a，b)上有定义，x0∈（a，b）,若Δx无限趋近于0时，比值错误!＝____________________无限趋近于一个常数A,则称f(x）在x＝x0处可导,并称常数A为函数f（x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0）．(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是过曲线y＝f(x)上点（x0,f(x0)）的____________．(3)导数的物理意义：函数s＝s（t）在点t0处的导数s′(t0），是物体的运动方程s＝s（t）在t0时刻的瞬时速度v，即v＝__________；v＝v(t）在点t0处的导数v′(t0），是物体的运动方程v＝v（t)在t0时刻的瞬时加速度a，即a＝____________。
3．函数f（x）的导函数如果函数y＝f（x)在开区间（a,b）内任一点都是可导的，就说f(x）在开区间(a，b）内可导，其导数也是开区间（a，b）内的函数,又称作f（x）的导函数，记作y′或f′（x）．4．基本初等函数的导数公式表5.(1）[f（x)±g（x)]′＝____________；(2)［f(x）g(x)]′＝________________；(3)错误!′＝________________________ [g(x）≠0]．6．复合函数的求导法则：若y＝f（u），u＝ax＋b，则y′x＝y′u·u′x，即y′x＝y′u·a。
2014版高考数学一轮复习(苏教版,理)配套导学案：第3章 学案15
学案15导数的综合应用导学目标：1.应用导数讨论函数的单调性,并会根据函数的性质求参数范围。
2。
会利用导数解决某些实际问题．自主梳理1．已知函数单调性求参数值范围时,实质为恒成立问题．2．求函数单调区间，实质为解不等式问题，但解集一定为定义域的子集．3．实际应用问题:首先要充分理解题意,列出适当的函数关系式，再利用导数求出该函数的最大值或最小值，最后回到实际问题中，得出最优解．自我检测1．函数f（x)＝x3－3ax－a在(0，1）内有最小值，则a的取值范围为________．2．（2011·扬州模拟)已知f（x），g(x)都是定义在R上的函数,g(x)≠0,f′（x)g（x）〈f(x)g′（x）,f(x)＝a x·g（x）（a〉0，且a≠1)，错误!＋错误!＝错误!，则a的值为____________．3．(2011·厦门质检)已知函数f（x)＝（m－2）x2＋(m2－4)x＋m 是偶函数,函数g（x)＝－x3＋2x2＋mx＋5在(－∞，＋∞)内单调递减，则实数m为________．4．函数f（x）＝错误!e x(sin x＋cos x)在区间错误!上的值域为______________．5．f(x)＝x（x－c）2在x＝2处有极大值，则常数c的值为________．探究点一讨论函数的单调性例1 已知函数f(x）＝x2e－ax（a〉0)，求函数在[1，2］上的最大值．变式迁移1 设a〉0，函数f(x）＝错误!.(1）讨论f(x)的单调性；（2）求f(x)在区间[a，2a]上的最小值．探究点二用导数证明不等式例2 已知f（x）＝错误!x2－a ln x(a∈R),（1）求函数f（x）的单调区间；(2)求证：当x〉1时，错误!x2＋ln x<错误!x3。
变式迁移2 （2010·安徽）设a为实数，函数f(x)＝e x－2x＋2a，x∈R.（1)求f(x）的单调区间与极值;（2)求证：当a〉ln 2－1且x〉0时，e x〉x2－2ax＋1.探究点三实际生活中的优化问题例3 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元,并且每件产品需向总公司交a元（3≤a≤5)的管理费,预计当每件产品的售价为x元（9≤x≤11）时，一年的销售量为（12－x）2万件．（1）求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a）．变式迁移3 甲方是一农场，乙方是一工厂．由于乙方生产需占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x(元)与年产量t（吨）满足函数关系x＝2 000错误!。
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第9章解析几何学案45直线与方程导学目标： 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式，了解斜截式与一次函数的关系．自主梳理1．直线的倾斜角与斜率(1)在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按__________方向旋转到和直线重合时所转过的____________称为这条直线的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为__________．(2)倾斜角的范围为________________．(3)倾斜角与斜率的关系：α≠90°时，k＝________，倾斜角是90°的直线斜率________．(4)过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝_____________________.2自我检测1．若A (－2,3)，B (3，－2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m 三点共线，则m 的值为________．2．直线l 与两条直线x －y －7＝0，y ＝1分别交于P 、Q 两点，线段PQ 的中点为(1，－1)，则直线l 的斜率为_______________________________________________________．3．下列四个命题中，假命题是________(填序号)．①经过定点P (x 0，y 0)的直线不一定都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示；②经过两个不同的点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)来表示；③与两条坐标轴都相交的直线不一定可以用方程x a ＋yb ＝1表示； ④经过点Q (0，b )的直线都可以表示为y ＝kx ＋b . 4．如果A ·C <0，且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过第________象限．5．已知直线l 的方向向量与向量a ＝(1,2)垂直，且直线l 过点A (1,1)，则直线l 的方程为______________．探究点一 倾斜角与斜率例1 已知两点A (－1，－5)、B (3，－2)，直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，求l 的斜率．变式迁移1 直线x sin α－y ＋1＝0的倾斜角的变化范围是______________．探究点二 直线的方程例2 过点M (0,1)作直线，使它被两直线l 1：x －3y ＋10＝0，l 2：2x＋y－8＝0所截得的线段恰好被M所平分，求此直线方程．变式迁移2求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(3,2)且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍．探究点三直线方程的应用例3过点P(2,1)的直线l交x轴、y轴正半轴于A、B两点，求使：(1)△AOB面积最小时l的方程；(2)P A·PB最小时l的方程．变式迁移3 为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪(如图)，另外△EF A 内部有一文物保护区不能占用，经测量AB ＝100 m ，BC ＝80 m ，AE ＝30 m ，AF ＝20 m ，应如何设计才能使草坪面积最大？数形结合思想例 (14分)已知实数x ，y 满足y ＝x 2－2x ＋2(－1≤x ≤1)．试求y ＋3x ＋2的最大值与最小值．【答题模板】解 由y ＋3x ＋2的几何意义可知，它表示经过定点P (－2，－3)与曲线段AB 上任一点(x ，y )的直线的斜率k ，[4分]由图可知：k P A ≤k ≤k PB ，由已知可得：A (1,1)，B (－1,5)， ∴43≤k ≤8，[10分] 故y ＋3x ＋2的最大值为8，最小值为43.[14分]【突破思维障碍】解决这类问题的关键是弄清楚所求代数式的几何意义，借助数形结合，将求最值问题转化为求斜率取值范围问题，简化了运算过程，收到事半功倍的效果．1．要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的范围为0°≤α<180°，熟记斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1，该公式与两点顺序无关．已知两点坐标(x 1≠x 2)，根据该公式可以求出经过两点的直线斜率，而x 1＝x 2，y 1≠y 2时，直线斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.2．当直线没有斜率(x 1＝x 2)或斜率为0(y 1＝y 2)时，不能用两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1求直线方程，但都可以写成(x 2－ x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)的形式．直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式都可以化成一般式，但是有些直线的一般式方程不能化成点斜式、斜截式、两点式或截距式．3．使用直线方程时，一定要注意限制条件以免解题过程中丢解，如点斜式的使用条件是直线必须有斜率，截距式的使用条件是截距存在且不为零，两点式的使用条件是直线不与坐标轴垂直．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．已知直线l 经过A (2,1)、B (1，m 2) (m ∈R )两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围是__________________．2．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是________．3．点P (x ，y )在经过A (3,0)，B (1,1)两点的直线上，那么2x ＋4y的最小值是________．4．(2011·淮安期末)点A (a ＋b ，ab )在第一象限内，则直线bx ＋ay －ab ＝0一定不经过第________象限．5．经过点P (2，－1)，且在y 轴上的截距等于它在x 轴上的截距的2倍的直线l 的方程为________．6．过两点A (m 2＋2，m 2－3)，B (3－m －m 2,2m )的直线l 的倾斜角为45°，则m ＝________.7．过点P (－1,2)，且方向向量为a ＝(－1,2)的直线方程为______________．8．设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且P A ＝PB ，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是________．二、解答题(共42分)9．(14分)已知两点A (－1,2)，B (m,3)，求： (1)直线AB 的斜率k ；(2)求直线AB 的方程；(3)已知实数m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33－1，3－1，求直线AB 的倾斜角α的范围．10．(14分)已知线段PQ 两端点的坐标分别为(－1,1)、(2,2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，求m 的范围．11．(14分)已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0 (k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．学案45 直线与方程答案自主梳理1．(1)逆时针 最小正角 0° (2)0°≤α<180° (3)tan α 不存在 (4)y 2－y 1x 2－x 1 2.y －y 0＝k (x －x 0) y ＝kx ＋b y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1 x a ＋y b ＝1 Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不全为0)自我检测 1.12 2.－23 3.④ 4.三 5.x ＋2y －3＝0 课堂活动区例1 解题导引 斜率与倾斜角常与三角函数联系，本题需要挖掘隐含条件，判断角的范围．关键是熟练掌握好根据三角函数值确定角的范围这一类题型．解 设直线l 的倾斜角为α，则直线AB 的倾斜角为2α，由题意可知：tan 2α＝－2－(－5)3－(－1)＝34，∴2tan α1－tan 2α＝34.整理得3tan 2α＋8tan α－3＝0.解得tan α＝13或tan α＝－3，∵tan 2α＝34>0， ∴0°<2α<90°，∴0°<α<45°，∴tan α>0，故直线l 的斜率为13.变式迁移1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π解析 直线x sin α－y ＋1＝0的斜率是k ＝sin α，又∵－1≤sin α≤1，∴－1≤k ≤1. 当0≤k ≤1时，倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4， 当－1≤k <0时，倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.例2 解题导引 (1)对直线问题，要特别注意斜率不存在的情况．(2)求直线方程常用方法——待定系数法．待定系数法就是根据所求的具体直线设出方程，然后按照它们满足的条件求出参数．解 方法一 过点M 且与x 轴垂直的直线是y 轴，它和两已知直线的交点分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，103和(0,8)，显然不满足中点是点M (0,1)的条件．故可设所求直线方程为y ＝kx ＋1，与两已知直线l 1、l 2分别交于A 、B 两点，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x －3y ＋10＝0， ① ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，2x ＋y －8＝0，②由①解得x A ＝73k －1，由②解得x B ＝7k ＋2.∵点M 平分线段AB ，∴x A ＋x B ＝2x M ，即73k －1＋7k ＋2＝0，解得k ＝－14. 故所求直线方程为x ＋4y －4＝0.方法二 设所求直线与已知直线l 1、l 2分别交于A 、B 两点． ∵点B 在直线l 2：2x ＋y －8＝0上，故可设B (t,8－2t )． 又M (0,1)是AB 的中点，由中点坐标公式，得A (－t,2t －6)． ∵A 点在直线l 1：x －3y ＋10＝0上， ∴(－t )－3(2t －6)＋10＝0，解得t ＝4. ∴B (4,0)，A (－4,2)，故所求直线方程为x ＋4y －4＝0.变式迁移2 解 (1)方法一 设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ， 若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)，∴l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0.若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋ya ＝1，∵l 过点(3,2)，∴3a ＋2a ＝1，∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0，综上可知，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0. 方法二 由题意知，所求直线的斜率k 存在且k ≠0，设直线方程为y －2＝k (x －3)，令y ＝0，得x ＝3－2k ，令x ＝0，得y ＝2－3k ，由已知3－2k ＝2－3k ，解得k ＝－1或k ＝23，∴直线l 的方程为：y －2＝－(x －3)或y －2＝23(x －3)， 即x ＋y －5＝0或2x －3y ＝0.(2)由已知：设直线y ＝3x 的倾斜角为α， 则所求直线的倾斜角为2α.∵tan α＝3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34.又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)， 即3x ＋4y ＋15＝0.例3 解题导引 先设出A 、B 所在的直线方程，再求出A 、B 两点的坐标，表示出△ABO 的面积，然后利用相关的数学知识求最值．确定直线方程可分为两个类型：一是根据题目条件确定点和斜率或确定两点，进而套用直线方程的几种形式，写出方程，此法称直接法；二是利用直线在题目中具有的某些性质，先设出方程(含参数或待定系数)，再确定参数值，然后写出方程，这种方法称为间接法．解 设直线的方程为x a ＋yb ＝1 (a >2，b >1)，由已知可得2a ＋1b ＝1.(1)∵22a ·1b ≤2a ＋1b ＝1，∴ab ≥8. ∴S △AOB ＝12ab ≥4.当且仅当2a ＝1b ＝12，即a ＝4，b ＝2时，S △AOB 取最小值4，此时直线l 的方程为x 4＋y2＝1， 即x ＋2y －4＝0.(2)由2a ＋1b ＝1，得ab －a －2b ＝0，变形得(a －2)(b －1)＝2， P A ·PB ＝(2－a )2＋(1－0)2·(2－0)2＋(1－b )2 ＝[(2－a )2＋1]·[(1－b )2＋4] ≥2(a －2)·4(b －1).当且仅当a －2＝1，b －1＝2， 即a ＝3，b ＝3时，P A ·PB 取最小值4. 此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.变式迁移3 解 如图所示建立直角坐标系，则E (30,0)，F (0,20)，∴线段EF 的方程为x 30＋y20＝1(0≤x ≤30)．在线段EF 上取点P (m ，n )，作PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥CD 于点R ， 设矩形PQCR 的面积为S ， 则S ＝PQ ·PR ＝(100－m )(80－n )． 又m 30＋n 20＝1(0≤m ≤30)，∴n ＝20(1－m 30)．∴S ＝(100－m )(80－20＋23m )＝－23(m －5)2＋18 0503(0≤m ≤30)． ∴当m ＝5时，S 有最大值，这时EP PF ＝30－55＝5.所以当矩形草坪的两边在BC 、CD 上，一个顶点在线段EF 上，且这个顶点分EF 成5∶1时，草坪面积最大．课后练习区1.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π2.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2 3.4 2 4．三解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b >0，ab >0，即a >0，b >0. 由bx ＋ay －ab ＝0知y ＝－b a x ＋b .∴该直线的斜率k <0且在y 轴上的截距b >0，故该直线一定不经过第三象限．5．2x ＋y －3＝0或x ＋2y ＝0解析 当截距不等于零时，设l 的方程x a ＋y 2a ＝1，∵点P 在l 上，∴2a －12a ＝1，则a ＝32.∴l 的方程为2x ＋y ＝3.当截距等于零时，设l 的方程为y ＝kx ，又点P 在l 上，∴k ＝－12.∴x ＋2y ＝0.综上，所求直线l 的方程为2x ＋y ＝3或x ＋2y ＝0.6．－2解析 由题意得：m 2－3－2m m 2＋2－3＋m ＋m 2＝1， 解得：m ＝－2或m ＝－1.又m 2＋2≠3－m －m 2，∴m ≠－1且m ≠12，∴m ＝－2.7．2x ＋y ＝0解析 由已知方向向量得直线斜率k ＝－2，∴由点斜式方程得2x ＋y ＝0.8．x ＋y －5＝0解析 易知A (－1,0)，∵P A ＝PB ，∴P 在AB 的中垂线即x ＝2上．∴B (5,0)．∵P A 、PB 关于直线x ＝2对称，∴k PB ＝－1.∴l PB ∶y －0＝－(x －5)．∴x ＋y －5＝0.9．解 (1)当m ＝－1时，直线AB 的斜率不存在；(1分)当m ≠－1时，k ＝1m ＋1.(3分) (2)当m ＝－1时，AB 的方程为x ＝－1，(5分)当m ≠－1时，AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)， 即y ＝x m ＋1＋2m ＋3m ＋1.(7分) ∴直线AB 的方程为x ＝－1或y ＝x m ＋1＋2m ＋3m ＋1. (8分)(3)①当m ＝－1时，α＝π2；(10分)②当m ≠－1时，∵k ＝1m ＋1∈(－∞，－3]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，＋∞， ∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，2π3.(13分) 综合①②，知直线AB 的倾斜角α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3.(14分) 10.解 方法一 直线x ＋my ＋m ＝0恒过A (0，－1)点．(4分)k AP ＝－1－10＋1＝－2， k AQ ＝－1－20－2＝32，(8分) 则－1m ≥32或－1m ≤－2， ∴－23≤m ≤12且m ≠0.(12分)又m ＝0时直线x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，(13分)∴所求m 的范围是－23≤m ≤12.(14分)方法二 过P 、Q 两点的直线方程为y －1＝2－12＋1(x ＋1)．(5分) 即y ＝13x ＋43，代入x ＋my ＋m ＝0，整理得：x ＝－7m m ＋3，由已知－1≤－7m m ＋3≤2，(12分) 解得：－23≤m ≤12.(14分)11．(1)证明 直线l 的方程是：k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝01－y ＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2y ＝1， ∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)．(4分)(2)解 由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2k k ，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎨⎧－1＋2k k ≤－21＋2k ≥1，解之得k >0；(7分) 当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k ≥0.(9分)(3)解 由l 的方程，得A ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0， B (0,1＋2k )．依题意得⎩⎨⎧ －1＋2k k <0，1＋2k >0，解得k >0.(11分)∵S ＝12·OA ·OB ＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k | ＝12·(1＋2k )2k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k >0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴S min ＝4，此时l ：x －2y ＋4＝0.(14分)。