三角函数知识点预习

[解]首选写出角a 的一般形式：2kp ＜a ＜ 2kp + p (k Î Z ) ，两边同时除以 2，得 kp ＜ 2
a ＜ kp + p (k Î Z ) ，运用分类讨论的数学思想，讨论 k 为奇数和 k 为偶数两种情况。
2
4
（1）当 k 奇数时，设 k=2m+1(mÎZ)，则(2m+1)p
a
＜
3．已知 sin(p + a )= 1 ，求 sin(2p - a ) - cot(a - p ) × cosa 的值。 2
[解]
Q sin(p + a ) = 1 ,\ sin a = - 1
2
2
\sin( 2p - a ) - cot(a - p ) × cosa
= - sin a + cot(p - a ) × cosa
其记忆规律是：奇变偶不变、符号看象限。
利用诱导公式把任意的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤是：
任意角的三角函
正角的三角函数
0 o ~360 o 的角的三角函数
锐角三角函
天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有
3/8
www.myschoolnet.cn
高三数学（文） 第一学期 新课预习 第一周
1．函数 y= sin x + cos x + tan x + cot x 的值域是（ ） sin x cos x tan x cot x
y= sin x + - cos x + tan x + - cot x = -2 sin x cos x - tan x cot x
同理，当 x 分别在第三、四象限时，函数值分别为 0 和-2；
∴函数值域为{-2，0，4}。故选 B
2．已知一扇形的周长是 c(c＞0)，当扇形的中心角为多大时，它有最大的面积？
)
= (1 + sin a - 1- sin a )(| seca + 1 | - | seca -1|) | cosa | | cosa | | tana | | tana |
= 2sin a (1+ cosa - 1- cosa ) | cosa | | cosa | | sin a |
= 2sin a × 2 cosa | cosa | | sin a |
（3）若a = -1860o ，求 f(a )的值。
[解]（1）f( a
sin a
)=
× cosa
× cota
=
- cosa
(- cota )sin a
天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有
6/8
www.myschoolnet.cn
高三数学（文） 第一学期 新课预习 第一周
（2）Q cos(a - 3p ) = - sin a ， 2
ì4 = îí- 4
(a在第一、三象限时) (a在第二、四象限时)
sin(p - a) cos(2p - a ) tan(-a + 3p )
2．已知 f(a ) =
2
cot(-a - p )sin( -p - a )
（1）化简 f(a )；
（2）若a 是第三象限的角，且 cos(a - 3p ) = 1 ，求 f(a )的值； 25
cota = cosa sin a
cosa × seca = 1
sin a × csc a = 1
可见，新教材在三角部分降低了难度，但是，若能掌握这补充的五个关系式，对做题肯定
是有帮助的，这五个关系式，用定义很容易给予证明，在此略。
2．诱导公式
诱导公式是指角a 的三角函数与诸如—a ，180 o ± a ，90 o ± a ，270 o ± a ， 360 o - a ，360 o ∙k+a 等同角的三角函数之间的关系，其内容相似，极易混淆。
知识要点
1．同角三角函数的三个基本关系式
sin 2 a + cos2 a = 1
sin a = tana cos a tana × cota = 1
说明：新教材对于同角三角函数只有这三个基本关系式，而老教材除此之外，还有如下五
个关系式：
1 + tan 2 a = sec 2 a
1 + cot 2 a = csc 2 a
A．{-2，4}
B．{-2，0，4}
C．{-2，0，2，4} D．{-4，-2，0，2，4}
[解]
当 x 在第一象限时，各种三角函数值均为正值：
y= sin x + cos x + tan x + cot x = 4 sin x cos x tan x cot x
当 x 在第二象限时，只有 sinx＞0，其他函数值为负值：
\sin a = - 1 , cosa = -
52 -1 2 =-
6,\ f (a ) = 2
6
5
5
5
5
（3）Q -1860o = -6 ´ 360o + 300o ，
\ f (-1860o ) = - cos(-1860o )
= - cos(-6 ´ 360o + 300o ) = - cos 60o = - 1 2
10 k∙3600+α, -α, 1800±α, 3600-α的三角函数值等于α的同名三角函数值前面加上一个把
α看作锐角时原函数在相应象限的符号；
20 900±α， 2700±α的三角函数值等于α的相应余函数的值，前面加上一个把α看作锐角
时，原函数在相应象限的符号；
综合记之 : kp ± a 2
(k Î Z )
并通过典型例题分析进行深入探究。学生利用此份文稿进行有针对性的预习，找出自己
天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有
存在的问题，并通过听课及时解决，从而切实提高听课效率。
1/8
www.myschoolnet.cn
高三数学（文） 第一学期 新课预习 第一周
1、准备知识要点： 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式。 2、本阶段知识要点： 理解三角函数概念，熟练使用同角三角函数的基本关系式和诱导公式进行相关计算。
或 -1＜cosq ＜0
0＜sinq ＜1；
-1＜sinq ＜0
即q 在第一或第三象限。
天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有
5/8
www.myschoolnet.cn
高三数学（文） 第一学期 新课预习 第一周
6．学科内综合已知角a 的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在 x 轴的正半轴上，终边 经过点 P（-1，2），求 sin（2 a + 2p ）的值。
∴0＜cosq ＜1＜ p ， - p ＜-1＜sinq ＜0 22
∴sin(cosq )＞0，cos(sinq )＞0，∴sin(cosq )∙cos(sinq )＞0
（2）即
ìtan(cosq ) îícot(sinq )
＞0 ＞0
ìtan(cosq ) 或 îícot(sinq )
＜0 ＜0
∴ 0＜cosq ＜1，
[分析]“脱”去根号是我们的目标，这就希望根号下能成为完全平方式，注意到同角三角函数
的平方关系式，利用分式的性质可以达到目标。
[解]
原式 = (
(1 + sin a )2 cos2 a
-
(1 - sin a )2 cos2 a
)(
(seca + 1)2 tan 2 a
-
(seca -1)2 tan 2 a
[分析]
首先将扇形的面积表示成中心角Fra Baidu bibliotek函数，然后求该函数取得最大值时的中
心角即可。
[解]
设扇形的半径为 r，中心角为q ，扇形的面积为 S，则
c=2r+rq ，r= c 2+q
∴S= 1 r 2q 2
=
2q
2
c 2q + 8q
+
8
=
2q
c2 +8
q
+
8
≤
2
c2
c2
=
2q × 8 + 8 16
q
当
2q
差、倍、半的公式.详细内容如下：
（1）设 P（x,y）是角a 终边上任一点，且|PO|=r(r＞0)，则有
sin a = y r
cosa = x r
tana = y x
csca = r y
seca = r x
cota = x y
（2）三角函数的符号如下表
象限
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
符号
函数
sin a , csc a
p
180
天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有
2/8
www.myschoolnet.cn
高三数学（文） 第一学期 新课预习 第一周
4．弧长、扇形面积的公式
设扇形的弧长为 l，圆心角大小为a (rad ) ，半径为 r，则 l=ra 扇形的面积为
S = 1 lr = 1 r 2a 22
同角三角函数的基本关系式与诱导公式
+
+
-
-
cosa ,seca
+
-
-
+
tana , cota
+
-
+
-
3．弧度制以及弧度与角度的互换公式
圆周上弧长等于半径的弧所对的圆心角的大小为 1 弧度，因此周角的大小为 2p 弧度，依
此建立起角度与弧度之间的换算：2p = 360o ,p = 180o ,1rad = (180)o ,1o = p rad
三角函数的概念
知识要点
1．角的有关概念：
（1）正角、负角和零角、终边相同的角、象限角等概念.
（2）角的度量：包括角的角度制与弧度制及换算关系.
2．任意角的三角函数：
包括三角函数的定义，三角函数线的意义，任意角的三角函数值在各象限中的符号、特殊
角的三角函数值，同角的三角函数的基本关系式及诱导公式.进一步的，应掌握两角和、
高三数学（文） 第一学期 新课预习 第一周
[课程内容]
三角函数概念、同角三角函数关系、诱导公式
第一学期 第一周
新课预习：根据教学大纲，以周为单位在网上以文本的形式发布“新课预习”或“阶段小
www.myschoolnet.cn
结”的内容，一中网校特聘教师根据每周教学所涉及的各知识点、重点与难点进行剖析，
别为：
sin q = y = - 2 = - 2 5
r5
5
tanq = y = - 2 = 2 x -1
secq = r = - 5 x
cosq = x = - 1 = - 5 r5 5
cotq = x = -1 = 1 y -2 2
cscq = r = - 5 y2
若q 在第四象限，可取点 P（1，-2），易得q 的各三角函数值：
5
5
5
sin( 2a + 2p ) = sin 2a cos 2p + cos 2a sin 2p
3
3
3
那么
= - 4 ´ (- 1) + (- 3) ´ 3 = 4 - 3 3
52
52
10
同角三角函数的基本关系式与诱导公式
1．化简：
( 1 + sin a - 1 - sin a ) × ( seca + 1 - seca -1) 1- sin a 1 + sin a seca -1 seca + 1
=
8 q
，即扇形中心角q
=2rad
时，扇形有最大面积
Smax=
c2 16
3．若角q 的终边与函数 y=-2|x|的图象重合，求q 的各三角函数值。
[解]
∵角q 的终边与函数 y=2|x|的图象重合
∴q 为第三、四象限的角
若q 为第三象限的角，取终边上一点 P（-1，-2），|OP|=r= 5 ，则q 的各三角函数值分
5．解答下列问题：
（1）若q 在第四象限，试判断 sin(cosq )∙cos(sinq )的符号；
（2）若 tan(cosq )∙cot(sinq )＞0，试指出q 所在象限。
[解]
显然要用到三角函数在各象限内取值符号的结论，其中还应注意 cosq 、
sinq 本身的取值限制。
（1）∵q 在第四象限
＜(2m+1) p
+
p
(mÎ Z)，此
2
4
时角 a 是第三象限的角； 2
（2）当 k 为偶数时，设 k=2m（mÎZ），则 2mp ＜ a ＜2mp + p (m Î Z ) ，此时角
2
4
a
是第一象限的角。
2
综上，角 a 的第一象限或第三象限的角。 2
其变化区域如图 16—2 中阴影部分，这样的区域称为一、三象限的前半区域。
= - sin a - cota × cosa
= - sin a - cos2 a sin a
sin 2 a + cos2 a =-
sin a
=- 1 =2 sin a
4．已知 tana =2，则
2 sin a
3
[解] ∵P（-1，2）是角a 终边上一点，由此求得 r=|OP|= (-1)2 + 22 = 5
∴sina = 2 = 2 5 cosa = -1 = - 1 5
55
55
sin 2a = 2 sin a cos a = 2 ´ 2 5 ´ (- 1 5 ) = - 4
5
5
5
cos 2a = cos 2 a - sin 2 a = (- 1 5) 2 - ( 2 5 )2 = - 3
天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有
4/8
www.myschoolnet.cn
高三数学（文） 第一学期 新课预习 第一周
sin q = - 2 5 ，cosq = 5 ，tanq = -2
5
5
cotq = - 1 ，secq = 5，cscq = - 5
2
2
4．已知角a 为第一象限的角。确定角 a 所在的象限，并画出其变化区别。 2