数学：3.2.2《指数扩充及其运算性质》

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高中数学3-2指数扩充及其运算性质北师大版必修-2022年学习资料

重点难点点拨-重点：有理指数幂的概念及运算法则-难点：根式概念与分数指数幂的概念理解，实数指数幂的-意义. 粥
本节公式多，但应注意其联系，同时要在理解的基础上-认识并掌握基本概念.-一、分数指数幂-1.概念：给定正实 a,-对于任意给定的正整数m,n,-存在唯一的正实数b,使得b=4”,我们把b叫作a的次幂，-记作b=a” 它就是分数指数幂-a为正数，m,n为正整数，那么a"
命题方向-整数指数幂的运算-「例1]-北g今+。-ab-a b-I-[分析]●化简这类式子，一般有两种方法一是首先用负-指数幂的定义把负指数化为正整数指数；二是运用整数指数-幂的性质把负指数化为正整数指数.-※
[解析]解法一：原式=-dbilgitbi-a2-b-a2b2a2b2-a2b2-aba-a"b-b--a ab a b-ab2+ab-B-ad2g2-162-1-ab4-1-a2b2+1-a2b2a2+b-a2+ .d2b2-2-b2+l-a2b4-1-a2+b2a2b2-1,a2b2-a2-b2+1-db2+1a2b 1a2b2+1
粥-器-变式训练1-化简下列各式.-122³3³42;-2ab1分：-8623b-9a2b3-幽
解折022³3X平=³1³16=4-②abg-a'a'uby-2xaxg-g--8原式多1-9-a2b34-12b33=--3.-器-幽
命题方向-分数指数幂的运算-[例2]-求下列各式的值-2）+a.1+20-0.5-23-3m°+3-8-2 .064专--日+[-2]号+165+-1-0.01-8总+002+-105-2+E-5°.-[分析]负化、大化小，根式化分数指数幂，小数化-分数，是化简运算常用技巧：

精品教学设计3.2.2指数扩充及其运算性质第二课时

精品教学设计§2指数扩充及其运算性质教学过程：（第二课时）一、复习引入：正整数指数幂运算性质(1)m n m n a a a +⋅= (2)()m n m n a a ⋅= (3)()n n n a b a b ⋅=⋅ (4)mm n n a a a-=(5)nnn a a b b⎛⎫= ⎪⎝⎭ 二、讲解新课：实数指数幂运算性质当a>0,b>0时，对任意实数m,n 都满足上述性质.并且可归纳为三条：(1)m n m n a a a +⋅= (2)()m n m n a a ⋅= (3)()n n n a b a b ⋅=⋅三、讲解例题：例1 化简（式中字母均为正实数）：1(1)3);(2)()(4).x x y y ααα- 解：(1)3)(32)6;x yz ⨯=＝11(2)()(4)444.x y y xy y xy x ααααααααα⋅---=⋅⋅==22103,10 4.(1)10;(2)10αββα-==已知求的值的例2.幂的形式.112222221042(1)101039ββαα-===（解：；（）()11221122422411222(10)1043)1010210.10410βαβααβββ-⎡⎤⨯⎢⎥⨯⨯⎣⎦====（（例3．化简41332233814a a bb a⎛-÷-⎝+()413322331111333321121333338148242a a bb aa ab a bab a b a a⎛-÷-⎝+--=÷⨯++解：3311133311332112113333332422a a baab a b a a b⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=⋅⋅++-111211233333331133211211333333242422a ab b a b aaab a b a a b⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=++-111333.a a a a=⋅⋅=四、练习：1. 化简与计算：())211323(2)30.002102.8---⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭1671;(2).9xy -解：（） 1. 已知11223,a a-+=求下列各式的值：1133224422(1);(2);(3).a a a a a a ---+-+ ()21111222221(1)2,7.247.a a a a a a a a a a -----⎛⎫+=++∴+= ⎪⎝⎭∴+=+-=解： 2111111442244(2)21, 1.a a a a a a ---⎛⎫-=+-=∴-=± ⎪⎝⎭ ()331112222(3)118.a aa a a a ---⎛⎫+=+-+= ⎪⎝⎭2. 对于正整数a, b ,c (a ≤b ≤c )和非零实数x ,y ,z, w.若1111701,,x y z w a b c w x y z===≠=++且求a,b,c 的值. ()11111111170,70.70,70.111170,,70257,2,5,7.x wyw xwzx y zwa a c abc w x y zabc a b c ++=∴===∴==++∴==⨯⨯===1w解：同理b 又故五、小结：本节课学习了以下内容： 1.指数幂运算性质；2.指数式及根式的化简和计算. 六、课后作业：。

高中数学3.2.2指数扩充及其运算性质1课件北师大版必修

当n 是偶数时，正数a的n次方根用符号±n a 表示.
式子 n a 叫做根式，其中
n叫做根指数，a叫做被开方数
分数指数幂
给定正实数a，对于任意给定的整数m,n
(m,n互素），存在唯一的正实数b，使得
bn am,
则称b为a的
m n
次幂.
记作
m
b an.
把正分数指数幂写成根式形式，
m
即
a n n am a 0, m, n N,且n 1
1
A. x x2 x 0
1
B.x 5
5
x
C.
x y
5 6
6
y x
5
x,
y
0
1
D.6 y2 y3 y 0
问题：
n
n
（1）、
a
的含义是什
么？结果呢？
a （2）、n n 的含义是什
么？结果呢？
三、根式的运算性质：
a 1)、(n a )n
2)、n an
a, n为奇数 a ，n为偶数
（3）( a b ) n = a m b n
a m ÷a n = a m ×b －n = a m－n
a b
n
=
(
a
×b
－1
)
n
=
a
n
×
b
－n
an bn
将根式转化分数指数幂的形式。（a>0,b>0)
a 1, a a3 a
5 6
2, 3 ( 3a3 )4
3
8 3
a
4b
4
27b3
a b 9
3, 4
(a b)3
3
(a b)4 4.

北师大版高一数学必修一《指数扩充及其运算性质》评课稿

北师大版高一数学必修一《指数扩充及其运算性质》评课稿一、背景介绍在高中数学必修一课程中，指数运算是一个非常重要的知识点。

本篇评课稿的主题是《指数扩充及其运算性质》，对于这一知识点的学习和理解，对学生的数学思维能力和解题能力的提升具有重要的意义。

北师大版的高一数学必修一教材中给出了一套系统的教学内容和教学方法，我将从几个方面对此进行评价。

二、教学内容分析1. 知识点概述在本节课中，学生将学习指数运算的基础知识和运算规则。

具体来说，教材对指数的定义、指数的性质、指数的运算规则等内容进行了详细的讲解。

通过学习这些基础知识，学生可以理解指数运算的本质，掌握指数运算的方法和技巧。

2. 学习目标•理解指数的定义和性质。

•掌握指数运算的基本规则。

•能够运用指数运算解决实际问题。

3. 教学重点•指数的定义和性质。

•指数运算的基本规则。

4. 教学难点•指数运算的运算规则的理解和运用。

三、教学过程分析1. 教学准备在进行这节课的教学之前，教师需要准备一些教学资源，例如教学课件、习题等。

同时，教师还要研究教学内容，对相关的知识点和难点进行分析和总结，以便于在教学过程中更好地引导学生。

2. 教学引入在教学开始时，教师可以通过提问、示范等方式引入本节课的内容。

例如，可以提问：“你们知道指数是什么吗？它有什么性质？”。

通过此种方式，可以调动学生的思维，激发学习兴趣。

3. 知识点讲解在引入之后，教师需要全面而清晰地讲解指数的定义和性质。

教师可以通过举例、比较等方式帮助学生理解和记忆。

同时，教师还可以引导学生发现指数运算的规律和特点。

4. 练习与巩固在知识点讲解之后，教师要引导学生进行练习和巩固。

这可以通过课堂练习、小组合作等形式实现。

教师可以设计一些简单到复杂的练习题，让学生运用所学知识解决问题。

5. 引导学生思考在练习之后，教师可以引导学生思考一些问题，让学生通过思考和讨论，加深对指数运算的理解。

例如，可以提问：“指数运算与其他运算有什么异同？”“指数运算的规律和性质有什么应用价值？”等。

数学高一-(教案1)3.2指数扩充及其运算性质

m n n ma ,m n 1,m n 1m n a --⎧⎪>⎪=⎨⎪⎪<⎩当时当时当时3.2指数扩充及其运算性质一、教学目标：1、知识与技能：（1）在复习初中正整数指数幂的运算的基础上引入了负整数指数的概念及运算．（2）能够利用整数指数幂的运算性质进行运算化简． 2、过程与方法（1）让学生了解整数指数幂的扩展,进一步体会数域的扩充对于数学知识的发展的重要意义．（2）随着数的扩展,相应的运算性质也要判断能否延用和拓展． 3、情感．态度与价值观：使学生通过学习整数指数幂的运算体会学习指数扩展的重要意义,增强学习数学的积极性和自信心．二、教学重点: 整数指数幂的运算性质。

教学难点：整数指数的运算与化简．三、学法指导：学生思考、探究．教学方法：探究交流，讲练结合。

四、教学过程（一）新课导入[互动过程1]请同学们回顾复习整数指数幂的定义,并填写下面结果： na =0a = 1（a ≠0）n a -= （a ≠0,n ∈N+）[互动过程2]你知道有哪些正整数指数幂的运算性质？请填出下列结果：m,n N +∈（1）．m n a a = ；m n a + （2）．m n (a )= ；mn a （3）．n (ab)= ；n n a b （4）．当a 0≠时,有mn a a =（5）．n a ()b = nn a b (b 0)≠ (二)、例题探析与巩固训练例1．（1）求值3583321025⨯⨯ （2）化简3222m n 1()mn m n ⨯ 解：（1）225522558383832323225325922510(25)25252524⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯===⨯ （2）3264262242122222m n 1m n 1()m n m nmn m n m n m n ----⨯=⨯==练习1：化简（1）2423(ab )(a b) （2）()232324x y x y x y[互动过程3] 探究：负整数指数幂是否也满足上述运算性质？个naa a a⋅⋅⋅例2．计算：5733-⨯和5(7)3+-,并判断两者之间的关系解：55777523111333339--⨯====5(7)22113339+--===由此看出5733-⨯=5(7)3+- 练习2．（1）计算：23(2)- 和 62- （2）化简2431(m n)(m n)(m n)(m n)--+-⨯-+看来正整数指数幂的运算性质可以推广到整数,即有m n a a =m na +（m,n N ∈）n 1n n na ()(ab )a b b--=⋅=⋅=n n a b ,这样就可以把（5）n a ()b =n na b 就可以统一到性质（1）m n a a =m n a +（m,n N ∈）了,（4）中的三种情况也可以统一为mn a a=m na -与（1）合并．这样我们就可以把整数指数幂的运算性质归纳为：a 0,b 0,m,n Z ≠≠∈（1）．m n a a =m n a + （2）．m n (a )=mn a （3）．n (ab)=n n a b [互动过程4] 探究：1．整数指数幂满足不等性质：若a 0>,那么na 0 (n Z)∈．2．正整数指数幂还满足下面两个不等性质：（1）若a 1>,则na 1；（2）若0a 1<<,则n a 的范围为 (n N )+∈．3．在a 0>的情况下,（1）如果()n a 1n N +>∈,那么a 1>成立吗？（2）如果()n a 1n N +<∈,那么a 1<成立吗？练习3．（1）比较23-与1的大小．（2）比较3(m n)--与0的大小（其中m n >）例3．计算：（1）302[()]3；（2）11(7)--；（3）3411()()33-⨯ 解：（1）302[()]13=；（2）11(1)(1)(7)77---⨯-==；（3）343411111()()()()33333---⨯===例4．计算下列各式,并把结果化为只含正整数指数的形式(a,b 均不为零）：（1）3213a b (2ab )-；（2）322123a b (3a b )9a b ------；（3）34320(a b)(a b)[](a b)(a b)--+--+(a b 0,a b 0)+≠-≠解：（1）632133233(1)33323618a a b (2ab )a b (2a b)8ab8a b b --⨯+--====；（2）322132(2)2(1)(3)023a b (3a b )31aa b ab 9a b 933----+---+------=-=-=-；（3）34334(2)336320(a b)(a b)[][(a b)(a b)][(a b)(a b)](a b)(a b)------+-=+-=+--+ 189189(a b)(a b)(a b)(a b)--=+-=+练习4：（1）化简(21)(21)2222k k k -+----+（2）．求61()2-（3）．化简：122121(2)()248n n n ++-⋅解：（1）(21)(21)2(21)1(21)2(21)(21)(21)222222222k k k k k k k -+-++-++-+-+-+-+-+=-⋅+⋅=-（2）6161(6)1()(2)2642----⨯-===（3）122122(21)1(26)72226261(2)()22222248222+++-+------⋅⋅====⨯n n n n n n n n n（三）、小结:本课在复习初中正整数指数幂的运算的基础上引入了负整数指数的概念及运算，要求：（1）理解和掌握负整数指数的概念及运算；（2）能够利用整数指数幂的运算性质进行运算化简．（四）、五、教学反思：。

高中数学第三章指数函数和对数函数 3.2 指数扩充及其运算性质 3.2.1 指数扩充素材北师大版必修1

3.2.1 指数扩充简单的指数方程1.指数方程：我们把指数里含有未知数的方程叫做指数方程.2.类型与解法：例1.解方程：2142x x -= ⇒ 13x =-.例2.解方程462160x x -⋅-=⇒3x =.要测定古物的年代，常用碳的放射性同位素14C 的衰减来测定：在动植物的体内都含有微量的14C ，动植物死亡后，停止了新陈代谢，14C 不再产生，且原有的14C 含量的衰变经过5570年（14C 的半衰期），它的残余量只有原始量的一半.若14C 的原始量为a ，则经过x 年后的残余量'a 与a 之间满足'kx a a e-=⋅. 测得湖南长沙马王堆汉墓女尸中14C 的残余量约占原始含量的76.7％，试推算马王堆古墓的年代（精确到100年）.解由'kx a a e -=⋅，得'kx a e a-=. 两边取对数，得'lna kx a =- . ① 又知14C 得半衰期试5570年，即5570x =时，'12a a =，所以 1ln 55702k =-则 557012k e -⋅=⇒1lnln 2255705570k =-= 又'5570ln 5570ln 0.7672132ln 2ln 2a a x ⨯=-=-≈ 由此可知马王堆古墓约是2100多年的遗址.小结类型与方法：1. 化为同底的幂：()0,1a a a a αβ=>≠的指数方程⇔αβ=；2. 换元法：()()()()()22000f x f x A a B a C At Bt C t ++=⇒++=>注意()f x a 0>对最后根的取舍. 3. 取对数法：()f x a b =()()log 0,1a f x b a a ⇒=>≠。

2013年秋北师大版必修1示范教案3.2.2指数运算的性质

2．2指数运算的性质导入新课思路1.同学们，既然我们把指数从正整数推广到整数，又从整数推广到正分数到负分数，这样指数就推广到有理数，那么它是否也和数的推广一样，到底有没有无理数指数幂呢？回顾数的扩充过程，自然数到整数，整数到分数(有理数)，有理数到实数．并且知道，在有理数到实数的扩充过程中，增添的数是无理数．对无理数指数幂，也是这样扩充而来．既然如此，我们这节课的主要内容是：教师板书本堂课的课题——指数运算的性质．思路 2.同学们，在初中我们学习了函数的知识，对函数有了一个初步的了解，到了高中，我们又对函数的概念进行了进一步的学习，有了更深的理解，我们仅仅学了几种简单的函数，如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数等，这些远远不能满足我们的需要，随着科学的发展，社会的进步，我们还要学习许多函数，其中就有指数函数，为了学习指数函数的知识，我们必须学习实数指数幂的运算性质，为此，我们必须把指数幂从有理数指数幂扩充到实数指数幂，因此我们本节课学习：指数运算的性质．推进新课新知探究提出问题①我们知道2＝1.414 213 56…，那么1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，…是2的什么近似值？而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22，…是2的什么近似值？④一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢？如作出判断并合理地解释吗？⑤借助上面的结论你能说出一般性的结论吗？活动：教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积极交流，及时评价学生，学生有困惑时加以解释，可用多媒体显示辅助内容：问题①从近似值的分类来考虑，一方面从大于2的方向，另一方面从小于2的方向．问题②对图表的观察一方面从上往下看，再一方面从左向右看，注意其关联．问题③上述方法实际上是无限接近，最后是逼近．问题④对问题给予大胆猜测，从数轴的观点加以解释．问题⑤在③④的基础上，推广到一般的情形，即由特殊到一般．讨论结果：①1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，…，这些数都小于2，称2的不足近似值，而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22，…，这些数都大于2，称2的过剩近似值．②第一个表：从大于2的方向逼近2时，51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，即大于第二个表：从小于2的方向逼近2时，51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，即小于从另一角度来看这个问题，在数轴上近似地表示这些点，数轴上的数字表明一方面从51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，即小于的方向接近，而另一方面从51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，即大于52的方向接近52，可以说从两个方向无限地接近即逼近51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…和另一串有理数指数幂51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，按上述变化规律变化的结果，事实上表示这些数的点从两个方向向表示是一个实数，即51.4＜51.41＜51.414＜51.414 2＜51.414 21＜…＜51.414 22＜51.414 3＜51.415＜51.42＜51.5.充分表明⎝ ⎛⎭⎪⎫123，3π等都是实数．③逼近思想，事实上里面含有极限的思想，这是以后要学的知识．④根据②③我们可以推断 ⑤无理数指数幂的意义：一般地，无理数指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数．也就是说无理数可以作为指数，并且它的结果是一个实数，这样指数概念又一次得到推广，在数的扩充过程中，我们知道有理数和无理数统称为实数．我们规定了无理数指数幂的意义，知道它是一个确定的实数，结合前面的有理数指数幂，那么，指数幂就从有理数指数幂扩充到实数指数幂．提出问题1为什么在规定无理数指数幂的意义时，必须规定底数是正数？2无理数指数幂的运算法则是怎样的？是否与有理数指数幂的运算法则相通呢？ 3你能给出实数指数幂的运算法则吗？活动：教师组织学生互助合作，交流探讨，引导他们用反例说明问题，注意类比，归纳．对问题(1)回顾我们学习分数指数幂的意义时对底数的规定，举例说明．对问题(2)结合有理数指数幂的运算法则，既然无理数指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数，那么无理数指数幂的运算法则应当与有理数指数幂的运算法则类似，并且相通．对问题(3)有了有理数指数幂的运算法则和无理数指数幂的运算法则，实数的运算法则自然就得到了．讨论结果：(1)底数大于零的必要性，若a ＝－1，那么a α是＋1还是－1就无法确定了，这样就造成混乱，规定了底数是正数后，无理数指数幂a α是一个确定的实数，就不会再造成混乱．(2)因为无理数指数幂是一个确定的实数，所以能进行指数的运算，也能进行幂的运算，有理数指数幂的运算性质，同样也适用于无理数指数幂．类比有理数指数幂的运算性质可以得到无理数指数幂的运算法则：①a r ·a s ＝a r ＋s(a ＞0，r ，s 都是无理数)．②(a r )s ＝a rs(a ＞0，r ，s 都是无理数)．③(a ·b )r ＝a r b r(a ＞0，b ＞0，r 是无理数)．(3)指数幂扩充到实数后，指数幂的运算性质也就推广到了实数指数幂．实数指数幂的运算性质：对任意的实数r ，s ，均有下面的运算性质： ①a r ·a s ＝a r ＋s(a ＞0，r ，s ∈R )．②(a r )s ＝a rs(a ＞0，r ，s ∈R )．③(a ·b )r ＝a r b r(a ＞0，b ＞0，r ∈R )．应用示例思路1例1 在实数范围内，对比(ab )n＝a n b n和⎝ ⎛⎭⎪⎫a b n ＝anbn (其中a ＞0，b ＞0，b ≠0)，说明后者可以归入前者．解：⎝ ⎛⎭⎪⎫a b n ＝(ab －1)n ＝a n b －n ＝a n b n ，因此，性质⎝ ⎛⎭⎪⎫a b n ＝a nbn 可以归入性质(ab )n ＝a n b n.例2 化简(式中字母均为正实数)：(1)3x 2(2x －2yz )；(2)(1ax y )α(4y －α)．活动：学生观察，思考，所谓化简，即若能化为常数则化为常数，若不能化为常数则应使所化式子达到最简，对既有分数指数幂又有根式的式子，应该把根式统一化为分数指数幂的形式，便于运算，教师有针对性地提示引导，对(1)(2)由里向外，要紧扣分数指数幂的意义和运算性质，并对学生作及时的评价，注意总结解题的方法和规律．解：(1)3x 2(2x －2yz )＝(3×2)x 2－2yz ＝6yz ；(2)(1a x y )α(4y －α)＝14ax ·α·y α·y －α＝4xyα－α＝4x .点评：注意运算性质的应用．例3 已知10α＝3,10β＝4，求10α＋β，10α－β，10－2α，510β.活动：学生思考，观察题目的特点，从整体上看，应利用运算性质，然后再求值，要有预见性，教师引导学生考虑问题的思路，必要时给予提示．解：10α＋β＝10α×10β＝3×4＝12；10α－β＝10α10β＝34；10－2α＝(10α)－2＝3－2＝19；510β＝(10β)15＝154.点评：运用整体思想和运算法则是解决本题的关键，要深刻理解这种做法．思路2 例1 计算：(1)614＋3338＋40.062 5＋(5π)0－2－1； (2)23125＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＋13343－⎝ ⎛⎭⎪⎫12713-；(3)(11342x y--)(21323x y )；(4)(1122x y -)÷(1144x y -)．活动：学生观察、思考，根式化成分数指数，利用幂的运算性质解题，另外要注意整体的意识，教师有针对性地提示引导，对(1)根式的运算常常化成幂的运算进行，对(2)充分利用指数幂的运算法则来进行，对(3)则要根据单项式乘法和幂的运算法则进行，对(4)要利用平方差公式先因式分解，并对学生作及时的评价．解：(1)614＋3338＋40.062 5＋(5π)0－2－1 ＝1123252748⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋(0.062 5)14＋1－12 ＝112312344531(0.5)222⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝52＋32＋0.5＋12＝5. (2)23125＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＋13343－13127-⎛⎫ ⎪⎝⎭＝(53)233(5)＋(2－1)－2＋133(7)－133(3)--＝2335⨯＋2－2×(－1)＋1337⨯－313()3-⨯-＝25＋4＋7－3＝33.(3)(11342x y --)(21323x y )＝(－2×3)(12113342x x y y -⋅)＝12111333342466xyx y -++-⋅=-＝－64x33y .(4)(1122x y -)÷(1144x y -)＝[(14x )2－(14y )2]÷(1144x y -)＝(1144x y +)(1144x y -)÷(1144x y -)＝1144x y +.点评：在指数运算中，一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式．例2 化简下列各式： (1)222233x y xy----++－222233x y xy-----+；(2)(a 3＋a －3)(a 3－a －3)÷[(a 4＋a －4＋1)(a －a －1)]．活动：学生观察式子的特点，特别是指数的特点，教师引导学生考虑题目的思路，这两题要注意分解因式，特别是立方和和立方差公式的应用，对有困难的学生及时提示：对(1)考查x 2与23x 的关系可知x 2＝(23x )3，立方关系就出来了，公式便可运用，对(2)先利用平方差，再利用幂的乘方转化为立方差，再分解因式，组织学生讨论交流．解：(1)原式＝2233332233()()x y xy----++－2233332233()()x y xy------＝(23x -)2－2233xy --＋(23y -)2－[(23x -)2＋(23x -)(23y -)＋(23y -)2]＝424424333333()()xxy yxxy y-------+---＝232()xy --=-(2)原式＝[(a 3)2－(a －3)2]÷[(a 4＋a －4＋1)(a －a －1)]＝a 23－a －23a 4＋a －4＋1a －a －1＝a 2－a －2a 4＋a －4＋1a 4＋a －4＋1a －a －1＝a 2－a －12a －a－1＝a ＋a －1. 点评：注意立方和、立方差公式在分数指数幂当中的应用，因为二项和、差公式，平方差公式一般在使用中一目了然，而对立方和、立方差公式却一般不易观察到，32a ＝(12a )3还容易看出，对其中夹杂的数字m 可以化为m ·1122a a -＝m ，需认真对待，要在做题中不断地提高灵活运用这些公式的能力．知能训练1．化简：(1＋1322-)(1＋1162-)(1＋182-)(1＋142-)(1＋122-)的结果是( )．A ．12(1－1322-)－1B ．(1－1322-)－1C ．1－1322- D ．12(1－1322-)解析：根据本题的特点，注意到它的整体性，特别是指数的规律性，我们可以进行适当的变形．因为(1＋1322-)(1－1322-)＝1－1162-，所以原式的分子、分母同乘(1－1322-)，依次类推，所以1122132(12)(12)12----+-＝11321212----＝11321(12)2---. 答案：A2．计算⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5＋0.1－2＋2310227-⎛⎫ ⎪⎝⎭－3π0＋9－0.5＋490.5×2－4.解：原式＝12259⎛⎫ ⎪⎝⎭＋100＋232764⎛⎫ ⎪⎝⎭－3＋1214916⨯＝53＋100＋916－3＋13＋716＝100. 3．计算a ＋2a －1＋a －2a －1(a ≥1)．解：原式＝a －1＋12＋a －1－12＝a －1＋1＋|a －1－1|(a ≥1)．本题可以继续向下做，去掉绝对值，作为思考留作课下练习．4．设a ＞0，x ＝12(11n n a a --)，则(x ＋1＋x 2)n的值为__________．解析：1＋x 2＝1＋14(11n n a a --)2＝14(11n n a a -+)2.这样先算出1＋x 2，再算出1＋x 2，将x ＝12(11n n a a --)代入1＋x 2，得1＋x 2＝1＋14(11n n a a --)2＝14(11n n a a -+)2.所以(x ＋1＋x 2)n＝111()2nn n a a -⎡-+⎢⎢⎣＝111111()()22nn n n n a a a a --⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦＝a .答案：a 拓展提升参照我们说明无理数指数幂的意义的过程，请你说明无理数指数幂活动：教师引导学生回顾无理数指数幂义的过程，利用计算器计算出3的近似值，取它的过剩近似值和不足近似值，根据这些近似值计算值，利用逼近思想，“逼出”学生合作交流，在投影仪上展示自己的探究结果．解：3＝1.732 050 80…，取它的过剩近似值和不足近似值如下表．340 351 678同样把用2作底数，3的过剩近似值作指数的各个幂排成从大到小的一列数： 21．8,21.74,21.733,21.732 1，…，不难看出3的过剩近似值和不足近似值相同的位数越多，即3的近似值精确度越高，以其过剩近似值和不足近似值为指数的幂2α会越来越趋近于同一个数，我们把这个数记为即21.7＜21.73＜21.731＜21.731 9＜…＜23＜…＜21.732 1＜21.733＜21.74＜21.8.也就是说23＝3.321 997 …也可以这样解释：当3的过剩近似值从大于3的方向逼近3时，当3的不足近似值从小于3的方向逼近3时，所以就是一串有理指数幂21.7,21.73,21.731,21.731 9，…和另一串有理指数幂21.8,21.74,21.733,21.732 1，…，按上述规律变化的结果，即课堂小结(1)无理数指数幂的意义．一般地，无理数指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数． (2)实数指数幂的运算性质：对任意的实数r ，s ，均有下面的运算性质： ①a r ·a s ＝a r ＋s(a ＞0，r ，s ∈R )．②(a r )s ＝a rs(a ＞0，r ，s ∈R )．③(a ·b )r ＝a r b r(a ＞0，b ＞0，r ∈R )． (3)逼近的思想，体会无限接近的含义．作业习题3—2 A 组6,8.设计感想无理数指数是指数概念的又一次扩充，教学中要让学生通过多媒体的演示，理解无理数指数幂的意义，教学中也可以让学生自己通过实际情况去探索，自己得出结论，加深对概念的理解，本堂课内容较为抽象，又不能进行推理，只能通过多媒体的教学手段，让学生体会，特别是逼近的思想、类比的思想，多做练习，提高学生理解问题、分析问题的能力．备课资料[备用习题]1．以下各式中成立且结果为最简根式的是( )．A.a ·5a 3a ·10a 7＝10a 4B.3xy 2xy 2＝y 3x 2C.a 2b b 3aa b 3＝8a 7b 15 D ．(35－125)3＝5＋125125－235·125 答案：B2．对于a ＞0，r ，s ∈Q ，以下运算中正确的是( )．A ．a r ·a s ＝a rsB ．(a r )s ＝a rsC ．⎝ ⎛⎭⎪⎫a b r ＝a r ·b sD ．a r b s ＝(ab )r ＋s答案：B 3．式子x －2x －1＝x －2x －1成立的充要条件是( )． A.x －2x －1≥0B ．x ≠1C ．x ＜1D ．x ≥2解析：方法一：要使式子x －2x －1＝x －2x －1成立，需x －1＞0，x －2≥0，即x ≥2.若x ≥2，则式子x －2x －1＝x －2x －1成立．从而x ≥2是式子x －2x －1＝x －2x －1成立的充要条件．故选D. 方法二：对A ，式子x －2x －1≥0连式子成立也保证不了，尤其x －2≤0，x －1＜0时式子不成立．对B ，x －1＜0时式子不成立．对C ，x ＜1时x －1无意义．对D ，正确．答案：D 4．化简b －2b －1(1＜b ＜2)．解：b －2b －1＝b －12＝b －1(1＜b ＜2)．5．计算32＋5＋32－ 5.解：令x ＝32＋5＋32－5，两边立方，得x 3＝2＋5＋2－5＋332＋5·32－5·(32＋5＋32－5)，即x 3＝4－3x ，x 3－3x ＋4＝0.∴(x －1)(x 2＋x ＋4)＝0.∵x 2＋x ＋4＝(x ＋12)2＋154＞0，∴x －1＝0，即x ＝1.∴32＋5＋32－5＝1.(设计者：郑芳鸣)。

高中数学北师大版必修一 3.2.1-2指数概念的扩充、指数运算的性质课件(33张)

【解析】 (1) －23＝－2； 4 4 (2) －32＝ 32＝ 3； 8 (3) 3－π8＝|3－π|＝π－3； (4)原式＝ x－y2＋y－x＝|x－y|＋y－x. 当 x≥y 时，原式＝x－y＋y－x＝0；当 x<y 时，原式＝y－x＋y－x＝2(y－x)． 0，x≥y，所以原式＝ 2y－x，x<y.
2．1 指数概念的扩充 2．2 指数运算的性质
【课标要求】 1.理解分数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义. ]2.掌握分数指数幂与根式的互化. 3.掌握幂的运算性质. 4.能熟练地运用性质进行化简或求值．
自主学习 |新知预习| 1．分数指数幂 (1)定义：给定正实数 a，对于任意给定的整数 m，n(m，n 互素)， m n m 存在唯一的正实数 b，使得 b ＝a ，我们把 b 叫作 a 的次幂，记作 b n ＝a .
n 【思路点拨】根式与分数指数幂互化的依据是 a ＝ am(a>0， m，n∈N＋，且 n>1)．当所求根式含有多重根号时，由里向外用分数指数幂写出，然后再利用运算性质化简．
m n
【解析】 (1)－ x＝－x 6
2
1 2 6 1 3
1 2
(x>0)；
3 4 1 －3 4
4 1 y ＝(|y| ) ＝－y (y<0)；x ＝(x ) ＝ x 3(x>0)； 1 3 1 1 1 x 3 ＝x 3 ＝ x(x≠0)．故选 C.
m n
(2)意义：
2.无理数指数幂无理数指数幂 aα(a>0，α 是无理数)是一个确定的正实数． 3．指数运算性质：当 a>0，b>0 时，对任意实数 m，n 满足以下三条运算性质： (1)am· an＝am＋n. (2)(am)n＝amn. (3)(ab)n＝anbn.

3.2.2指数运算的性质

2 指数扩充及其运算性质2.2 指数运算的性质教学目标1．知识与技能：（1）掌握根式与分数指数幂互化；（2）能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简，求值.2．过程与方法：通过训练点评，让学生更能熟练指数幂运算性质.3．情感、态度、价值观培养学生观察、分析问题的能力、严谨的思维和科学正确的计算能力.重点与难点1．重点：运用有理指数幂性质进行化简，求值. 2．难点：有理指数幂性质的灵活应用.教学过程一复习回顾分数指数幂的意义正数的正分数指数幂的意义是：m na =(0,,,1)a m n N n +>∈>正数的负分数指数幂的意义是：1m nm naa-==(0,,,1)a m n N n +>∈>注意：分数指数幂与根式可以互化。

零的正分数指数幂等于零，零的负分数指数幂没有意义！①na =②()()a n a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数二实数指数幂的运算性质对任意的实数r ，s ，对于任意的实数,m n ，均有下面的运算性质：①r s r s a a a +⋅=(0,,)a r s R >∈ ②()r s rs a a = (0,,)a r s R >∈ ③()r r r a b a b ⋅=⋅ (,0,)a b r R >∈ 三例题讲解例1.化简（式中字母均为正实数）：①3)x；②()14x y y ααα-（）．解：①3)(32)6x yz =⨯=；②()11()4444x y y xy y xy x ααααααααα⋅---===n n ．注：四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号的。

整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序。

练习1：①211511336622(2)(6)(3)a b a b a b -÷-，其中0,0a b >>②111123222()()xy x y xy -⋅⋅⋅ 答案：① 4a ② xy 例2．计算下列各式①-÷②2 (0)a >分析：此题中只含有根式，且不是同类根式，需要先把根式先化为分数指数幂再计算，这样就简便多了。

§3.2.2 指数扩充及其运算性质(第三课时) 汝青华

时间：编号: 编制人：牛贝莉编制成员：曹廷玉邵艳彬李瑞华席曦郭涛姚祁审核人：教师评价：蒙城八中高一年级数学学科导学案课题：§2.1 指数概念的扩充【学习目标】1.识记幂的运算性质，具有灵活运用运算性质解决问题。

2.通过幂的运算性质的学习，让学生体会分类讨论、换元和归纳总结的数学思想。

3.我在一中，激情投入，高效学习，踊跃展示，大胆质疑，体验成功，创想快乐。

【学习重点】掌握分数指数幂的意义，无理数指数幂的意义；掌握米的运算性质。

【学习难点】幂的运算性质的运用【学法指导】1.课前认真阅读并思考课本P64-69页的内容，然后根据自身能力完成学案所设计的问题，并在不明白的问题前用红笔做出标记。

2.限时完成，规范书写，课上小组合作探讨，答疑解惑，并对每个问题做出点评，反思。

预习案一﹑相关知识1﹑给定正实数a ，对于任意给定的整数n m ,（n m ,互素），存在唯一的正实数b ，使得mna b =，我们把b 叫做a 的_______次幂，记作__________.它就是__________.正分数指数幂：_______nma=（0>a ）。

正数的负分数的指数幂：_______nm a1=（,,,0+∈>N n m a 且1>n ）。

注意：分数指数幂是指数幂概念的又一次推广.分数指数幂nm a 不可以理解为nm个a 相乘，它是根式的一种新的写法，规定n mnm a a=（,,,0+∈>N n m a 且1>n ），nm nmaa1=-（,,,0+∈>N n m a 且1>n ）。

2﹑0的正分数指数幂等于________;0的负分数指数幂__________.3﹑实数指数幂的运算性质：=⋅nma a _______;m m a )(=________;=nab )(________.其中R n m b a ∈>>,;0,0。

3.2指数扩充及其运算性质3.2.2指数运算的性质教案1北师大版必修1

3.2指数扩充及其运算性质3.2.2指数运算的性质教案1北师
大版必修1
3.2.2 指数运算的性质
本节教材分析
本节课是分数指数幂的意义的引出及应用，分数指数是指数概念的又一次扩充，要让学生反复理解分数指数幂的意义.
三维目标
1、知识与技能：（1）在前面学习有理指数幂的运算的基础上引入了实数指数的概念及运算．（2）能够利用实数指数幂的运算性质进行运算、化简．
2、过程与方法：（1）让学生了解指数幂的扩展,进一步体会数域的扩充对于数学知识的发展的重要意义．（2）随着数的扩展,相应的运算性质也要延用和拓展,引入指数函数．
3、情感．态度与价值观：使学生通过学习无理指数幂的确定,了解数学中的无限逼近的思想,体会学习指数扩展的重要意义,增强学习数学的积极性和自信心．
教学重点：运用有理数指数幂性质进行化简求值.
教学难点：有理数指数幂性质的灵活应用.
教学建议：教学中可以通过根式与分数指数幂的互化来巩固加深对这一概念的理解，用观察、归纳和类比的方法完成，由于是硬性的规定，没有合理的解释，因此安排一些练习，强化训练，巩固知识，要辅助以信息技术的手段来完成大容量的课堂教学任务.
新课导入设计
导入一:同学们，既然我们把指数从正整数推广到整数，又从整数推广到正分数到负分数，这样就推广到有理数，那么它是否和数的推广一样，到底有没有无理数指数幂呢？回归数的扩充过程中，自然数到整数，整数到有理数，有理数到实数.同样指数的扩充和数域扩充一致，教师接着点题.
导入二：引导学生回归初中正整数指数幂运算及性质导出课题.
1。

人教版高中数学必修第一册3.2指数扩充及其运算性质

答案因为指数已扩充为实数，故有aamn＝am·a－n＝am－n. 既不必再区分 m、n 的大小，也不必区分 am·an 和aamn了.
一般地，当a>0，b>0时，有：
(1)am·an＝am＋n；
(2)(am)n＝amn；
(3)(ab)n＝anbn.其中m，n∈R.
答案
知识点二实数指数幂的化简
思考
第三章指数函数和对数函数
§2 指数扩充及其运算性质
学习目标
1.学会根式与分数指数幂之间的相互转化； 2.理解实数指数幂的运算性质； 3.能用实数指数幂运算性质化简、求值.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
新知探究点点落实
知识点一实数指数幂的运算性质
思考1 在实数指数幂ax中，为什么要规定a>0?
方法二因为ab＝ba，b＝9a，所以a9a＝(9a)a，即(a9)a＝(9a)a，所以 a9＝9a，a8＝9，a＝4 3.
反思与感悟解析答案
跟踪训练 3 已知 67x＝27,603y＝81，求3x－4y的值.
3
4
解由67x＝33，得 67 3x , 603y＝81得 603 3 y ,
类型一根式与分数指数幂之间的相互转化
例1 用分数指数幂形式表示下列各式(式中a>0，x>0，y>0)：
(1)a2· a；
解
a2
a
a2
1
a2
2 1
a2
5
a2;
(2)a3·3 a2；
解
a3 3
a2
2
a3 a3
3 2
a 3
11
a3;
(3) a a；

必修一：3.2指数扩充及其运算性质

无理数)是一个确定的实数．
栏目导引
第三章指数函数和对数函数
由于实数分为有理数和无理数，则规定了无理数指数幂后，我们就把指数扩大为全体实数了．做一做
3.化简：① 4 3 × 5 3 ＝________.
5
② 3 5 5 ＝________.
栏目导引
第三章指数函数和对数函数
解析：① 4 3 × 5 3 ＝(4×5) 3 ＝20 3 ；
－
1 2
－
10(
5 － 2) － 1 ＋ (2 －
3)0.
栏目导引
第三章指数函数和对数函数
解：(1)3 a3＝a.
4 (2)
3－π4＝|3－π|＝π－3.
(3)原式＝(－1)－23(338)－23＋(5100)－12－ 51－0 2＋1
＝(287)－23＋50012－10( 5＋2)＋1
＝49＋10 5－10 5－20＋1＝－1697.
栏目导引
第三章指数函数和对数函数
【解】
(1)原式＝ (34×3
41 32
)
1 4
4 2
＝(3 3
)
1 4
＝
14 1
7
3 3 4 ＝3 6 .
(2)原式＝2×312×(32)13×(3×22)16＝21－13＋13×312＋13＋16
＝2×3＝6.
3
1
7
31 7 7
(3)原式＝(52×55)÷(52×510)＝52＋5－2－10＝55.
a
相乘吗？
m
提示：分数指数幂 a n
不是m个 n
a
相乘，实质
上是关于 b 的方程 bn＝am 的解．

数学高一- 必修1 3.2 指数扩充及其运算性质学案

3.2 指数扩充及其运算性质 3.2.1 指数概念的扩充 3.2.2 指数运算的性质学习目标1. 理解分数指数幂的概念，会进行分数指数幂与根式的互化．(重点)2. 了解无理数指数幂的概念，了解无理数指数幂可以用实数指数幂逼近的思想方法．(易混点)3. 掌握指数的运算性质，能熟练地进行指数的运算．(重难点) 情景导入同学们，既然我们把指数从正整数推广到整数，又从整数推广到正分数到负分数，这样指数就推广到有理数，那么它是否也和数的推广一样，到底有没有无理数指数幂呢？回顾数的扩充过程，自然数到整数，整数到分数(有理数)，有理数到实数．并且知道，在有理数到实数的扩充过程中，增添的数是无理数．对无理数指数幂，也是这样扩充而来．既然如此，我们这节课的主要内容是：教师板书本堂课的课题——指数运算的性质．一、自主学习[基础·初探]教材整理 1 分数指数幂阅读教材P 64～P 66的有关内容，完成下列问题． 1. 定义给定正实数a ，对于任意给定的正整数m ，n (m ，n 互素)，存在唯一的正实数b ，使得b n ＝a m，把b 叫作a 的mn次幂，记作b ＝m n a ，它就是分数指数幂．2. 几个结论(1)正分数指数幂的根式形式：m n a ＝na m (a >0)．(2)负分数指数幂的意义：m na＝1mna(a >0，m ，n ∈N ＋，且n >1)．(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1) 232表示23个2相乘．( )(2) mn a ＝ma n (a >0，m ，n ∈N ＋，且n >1)．( ) (3) m na-＝1na m(a >0，m ，n ∈N ＋，且n >1)．( )【答案】 (1)× (2)× (3)√ 教材整理 2 指数运算的性质阅读教材P 66～P 67的有关内容，完成下列问题．若a >0，b >0，对任意实数m ，n 指数运算有以下性质： (1)a m ·a n ＝a m ＋n ； (2)(a m )n ＝m na-；(3)(ab )n ＝a n b n ；(4)当a ≠0时，有am an ＝⎩⎪⎨⎪⎧a m －nm >n ，1m ＝n ，a －n －m m <n ；(5)⎝⎛⎭⎫a b n ＝anb n (b ≠0)．130.064-＋160.75＋120.25-＝________.【解析】原式＝1-3[(0.4)3]＋34[(24)]＋12[(0.5)2] ＝⎝⎛⎭⎫25－1＋23＋12 ＝52＋8＋12＝11. 【答案】 11 二、合作探究探究一：根式与分数指数幂的互化 [小组合作型]将下列根式化成分数指数幂的形式． (1)3a ·4a ；(2)a a a ； (3)3a 2·a 3；(4)(3a )2·ab 3.【精彩点拨】利用根式与分数指数幂的转化式子：m n a ＝n a m 和mn a -＝1m na ＝1n a m 进行转化，注意其中字母a 要使式子有意义．【尝试解答】 (1)原式＝13a ·14a ＝712a ； (2)原式＝12a ·14a ·18a ＝78a ； (3)原式＝23a ·32a ＝136a ； (4)原式＝(13a)2·12a ·32b ＝76a 32b .根式与分数指数幂互化的关键与技巧：1关键：解决根式与分数指数幂的相互转化问题的关键在于灵活应用a >0，m ，n ∈N ＋，且n >1.2技巧：当表达式中的根号较多时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂的形式写出来，然后再利用相关的运算性质进行化简.[再练一题]1. 用分数指数幂表示下列各式． (1)3a ·6－a (a <0)； (2)3ab 2ab3(a ，b >0)；(3) 324)32(b (b <0)；(4)13x5x 22(x ≠0)．【解】 (1)原式＝13a ·16()a - ＝13()a --·16()a -＝21)(a -- (a <0)； (2)原式＝＝(52a ·72b )13＝56a 76b (a ，b >0)； (3)原式＝ (b <0)；(4)原式＝.探究二：分数指数幂的运算计算下列各式．【精彩点拨】(1)将负分数指数化为正分数指数，将小数指数化为分数指数；(2)将根式化为分数指数幂．进行分数指数幂的运算要熟练掌握分数指数幂的运算性质，并灵活运用.一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时还要注意运算顺序问题.[再练一题]2. 计算或化简．探究三：条件求值 [探究共研型] 探究 1 已知12a ＋12a -＝3，求a ＋a－1的值．【提示】 (12a ＋12a-)2＝9，∴a ＋a －1＝7.探究 2 在探究1的条件下，求a 2＋a－2的值．【提示】 (a ＋a －1)2＝49，∴a 2＋a －2＝47.已知32a ＋b ＝1，求9a ×3b3a的值．【精彩点拨】应先化成同底数幂的形式．解决此类问题的思路步骤如下：[再练一题]3. 若x >0，y >0，且x －xy －2y ＝0，求2x －xyy ＋2xy 的值.【解】 ∵x －xy －2y ＝0，x >0，y >0， ∴(x )2－xy －2(y )2＝0， ∴(x ＋y )(x －2y )＝0，由x >0，y >0得x ＋y >0， ∴x －2y ＝0，∴x ＝4y ， ∴2x －xy y ＋2xy ＝8y －2y y ＋4y ＝65.三、课堂检测1. 下列各式正确的是( ) A ．(3a )3＝a B ．(47)4＝－7 C ．(5a )5＝|a |D.6a 6＝a【解析】 (47)4＝7，(3a )3＝a ，(5a )5＝a ，6a 6＝|a |，故选A. 【答案】 A2. 计算151()243的结果等于( ) A.19 B.13 C ．±13D ．－13【解析】 151()243＝＝13. 【答案】 B 3. (1)3a 5＝________.(2)32-a＝________.【解析】 (1)3a 5＝35a.(2)32-a＝231a＝13a 2.【答案】 (1) 53a (2)13a 24. 2327－1216-－⎝⎛⎭⎫12－2－238()27-＝________.【答案】 525. 化简：．【解】原式＝四、课堂小结1．在根式的化简与运算中，一般是先将根式化成分数指数幂，再进行运算． 2．幂的运算中，结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能同时含有分母和负分数指数幂，若无特殊说明，结果一般用分数指数幂的形式表示．3．对条件求值问题，要弄清已知与未知的联系，采用“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值．。

3.2指数扩充及其运算性质

【练一练】
1. 回答下列各题（口答）：
①
a 2· a 3=
a5
②
(b4)2= b8
③ (m ·n)3=. m3 ×n3
【想一想】
1.如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根； 2.如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根 . 平方根例如，若32=9，则3是9的；若53=125，则5是125的立方根 .
第二章函数
§2 指数的运算与性质
1
复习引入
答：an= aaa a (n∈N*)
零的零次幂没有意义
⑴在初中,我们学习过的整数指数幂是怎样定义的？即an=? a0=? a-n=?
a0= 1 a-n=
（a≠0）
零的负整数次幂没有意义
1 an
( a≠0,n∈N*).
(2)整数指数幂的运算性质是： ①am· an=am+n(m,n∈Z) ②(am)n=amn(m,n∈Z)； ③(ab)n=an bn(n∈Z). ①--③都要遵守零指数幂、负整数指数幂的注意：底数不能等于0的规定.
3 4 2
(3)
(4)
(3 )
三、根式的运算性质：
1)、 ( a)
n n
n n
a
n m
a, n为奇数 2)、 a a ， n 为偶数
(3)、 a
np
mp
a (a 0)
用语言叙述上面三个公式：
⑴非负实数a的n次方根的n次幂是它本身. ⑵n为奇数时，实数a的n次幂的n次方根是a 本身；n为偶数时，实数a的n次幂的n次方根是a的绝对值. ⑶若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂，那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数，根式的值不变.

高中数学同步课堂名师章节精讲：3.2指数扩充及其运算性质(北师大)Word

［读教材·填要点]1．分数指数幂(1）定义：给定正实数a，对于任意给定的整数m，n（m，n互素），存在唯一的正实数b,使得b n＝a m,把b叫作a的错误!次幂，记作b＝a错误!，它就是分数指数幂．(2)几个结论：①正分数指数幂的根式形式:a错误!＝错误!(a>0）．②负分数指数幂的意义:a－mn＝错误!(a〉0，m，n∈N＋，且n〉1)．③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义．2．指数幂的运算性质若a〉0，b>0，对任意实数m，n，指数运算有以下性质：（1)a m·a n＝a m＋n;（2)(a m)n＝a m·n；（3)(ab)m＝a m b m．［小问题·大思维］1．若b2＝53，则b＝5错误!,b叫作5的错误!次幂吗？提示：不一定，当b＞0时，可以；当b＜0时，b不叫作5的错误!次幂．2．为什么分数指数幂中规定整数m,n互素？提示：如果没有这个规定将导致幂的运算结果出现矛盾．例如：a错误!中，底数a∈R,当a＜0时,a错误!＜0，而如果把a错误!写成a错误!，有两种运算：一是a错误!＝(a错误!)2就必须a≥0；二是a错误!＝（a2)错误!，在a＜0时，a错误!的结果大于0，与a错误!＜0相矛盾．所以规定整数m、n互素．3．分数指数幂a错误!可以理解为错误!个a相乘,对吗？提示：分数指数幂a错误!不可理解为错误!个a相乘，它是根式的一种新的写法，规定：a错误!＝(错误!)m＝错误!（a>0，n、m∈N＋，且错误!为既约分数）,a－错误!＝错误!＝错误!＝错误!(a>0，n、m∈N＋，且错误!为既约分数)．[研一题][例1] 用分数指数幂表示下列各式．（1）错误!（a＞0）；(2）错误!；（3）(错误!)－错误!(b＞0)．［自主解答］（1）原式＝错误!＝错误!＝（a错误!)错误!＝a错误!；（2)原式＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝x－错误!；（3)原式＝[(b－错误!）错误!］－错误!＝b（－错误!）×错误!×（－错误!）＝b错误!。