数学：3.2.2《指数扩充及其运算性质》

5 2
11 3
( 2) a a = a a a
3
2 3
3
(3) a a = (a a ) (a ) a
1 2
1 2
3 4
题型一
将根式转化分数指数幂的形式。（a>0,b>0)
5 6
1, a a a
4 3
3
a
3a 4 4 4 2, ( ) 3 a b 3 27b
3
8 3
• • • •
1．设2x＝8y＋1,9y＝3x－9，则x＋y的值为( A．18 B．21 C．24 D．27 解析：由已知得2x＝23(y＋1),32y＝3x－9，
)
• 答案：D
2016/12/12
小结
注意三点：
1、分数指数幂的概念（与整数指数幂对比，有何 差异，注意不能随意约分）.
2、分数指数幂的运算性质，进而推广到有理数指 数幂的运算性质。 3、根式运算时，先化为指数形式进行运算，原式 为根式的，再将结果化为根式。
b
3a 2b c
的值。
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40 9
条件求值证明问题 例2 已知
a a
1
1 2

1 2
4 ，求下列各式的值
a a a a
1 2 3 2 3 2 1 2
（1 ） a
a
（2 ）
练习（变式）设 x
3
x 3 2求x x 1 的值。
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3
3, ( a b) (a b)
3 4
4. a
9 24
b
3
a b
9 4
3 8
小结：1，当有多重根式是，要由里向外层层转化。 2、对于有分母的，可以先把分母写成负指数幂。 3、要熟悉运算性质。
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【课堂练习】
第 1题 :
1）a 3）a
1 5
a
5
2） a 4 a 3
( m、n ∈Z )
（ 3） ( a b ) n = a m b n a m ÷a n = a m ×b －n = a m－n
n n a a = ( a ×b －1 ) n = a n × b －n n b b
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3）根式又是如何定义的？有那些规定？ 如果一个数的平方等于 a ，则这个数叫做 a 的平方根；
5
（ 1） (2)
(2)
9
=
4
=
2
4 5
1
3
3
2 5
2 3
4 5
(3) 5
1 3 = 16
7 2
例3
3 1 3 16 4 求值：8 、100 、 ( ) 、 ( ) . 81 4
2 3
1 2
(1)8 (2
(2)100
1 2
2 3
2 3 3
) 2
1
1 2
2 3 3
2
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1）整数指数幂是如何定义的？有何规定？ a n = a×a×a× ……×a n 个a a0=1 (a≠0) ( n ∈ N *)
a n
1 * ( a 0 , n N ) n a
2）整数指数幂有那些运算性质？
（ 1） a m × a n = a m + n （ 2） ( a m ) n = a m × n
5 2 10 10 5
3
10 2
3 wk.baidu.com3 Ô 3 3 Ô
12 3 15
12 3
15 3
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a a
3
1 2
( a 0)
2 3
b
2
b
(b 0),能否成立 ( c 0)
4
c5 c
5 4
m a 0, k (n 1, 且n N *),那么 n （a ) (a ) a
如果一个数的立方等于 a ，则这个数叫做 a 的立方根；
如果一个数的 n 次方等于 a ，则这个数叫做 a 的 n 次方根；
根指数
n
a
被开方数
a＞0
根式
4） n a n 的运算结果如何？
当 n 为奇数时，n a n = a ；
(a∈R)
当 n 为偶数时，
n
a
n
a =|a| a
a0 a0
a a a
m n
m n
(a 0, m, n Q)
(a ) a
m n n
mn
(a 0, m, n Q)
n
(ab) a b (a 0, b 0, n Q)
n
•
推进新课：实数指数幂的运算性质：
a a a
m n n n m n
(a 0, m, n R)
(a m ) n a mn (a 0, m, n R) (ab) a b (a 0, b 0, n R)
n
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化简（式中字母均为正实数）
• （1）
• （2 ）
3x
1
2
(2 x

2
yz )
( x y ) (4 y )

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题型二
（3)0的正分数 指数幂等于0， 0的负分数 指数幂 没有意义。
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例1、 用分数指数幂的形式表示下列各式:
（式中a>0）
(1)a a
2
( 2) a a
3 3
2 1 2
2
(3) a a
1 2
2 3
解：
(1)a a = a a a
2
3 3 2
2
a
a
3 2 1 2
k n n
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m n
m n n
a
m
你能得到什么结论？
二，分数指数幂的定义 规定 正数的正分数指数幂
(1)a a (a 0, m.n N 且n 1)
n m *
m n
3 3 ,16 16
5 3 3
3 5
5 3
5
(2)a
m n

1 a
m n
(a 0, m, n N * 且n 1)
2
=4
1 2
=

1 (102 )
100
1 10
1 3 (3)( ) = 4
16 (4)( ) 81
3 4
-2 -3 (2 ) =
(-2)(-3) 2 =
6 2 =
64
2 = ( 3)
3 4( ) 4
2 3 27 ( ) 3 8
3 4
3 5

1 a
3 5

1
5
a
3
4） a
2 3

1 a
2 3

1
3
a
2
正整数幂的运算性质
(1)
(2) (3)
a a a
n
m n
(a ) a
m n
n n
mn
n
(ab) a b
am n (4)当 a 0 时，有 a
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分数指数幂的运算性质：
整数指数幂的运算性质可以运用到分数指数幂，进 而推广到有理数范围：
分数指数幂
m n n
a
m n 求值，先把a写成
x
n
然后原式便化为
a (x ) x
(1),10000
a
m n
m （即：关键先求a的n次方根）
2 3
3 4
1 1000
125 (2), ( ) 27
c
9 25
36 (3), ( ) 49
3 2
216 343
已知 10 2,10 3,10 5, 求10
作业：
1. 课本P68-69习题3-2
A 3. 4. 6. B 4
【课堂练习】
3、用分数指数幂表示下列各式: ⑴
（ 2）
4
a
1
3
= =
a
3 4
7
x
3
x
3 (x>0) 7
1 2 3 4
(3)
ab
4
( a b)
3
= (a b) (a b)
【课堂练习】
2.用分数指数幂表示下列各式:
n
00
( n a )n a
一，引入： 1， 5 a10 是________ 2, a12的3次方根是___________ 你发现了什么？
1。
3 2。
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5
a
10
a a
2
10 5
a
12
a a
4
12 3
ÔÔÔÔÔÔ〒 ÔÔ Ô
10 10 (2 ) 2 2 2 Ô5 2 2 Ô 2