金融工程第二版郑振龙第十三章

第十三章 套利套利（Arbitrage ）是保证各种金融产品（如现货、远期、期权和互换）、各种期限结构（如即期利率期限结构、远期利率期限结构、附息票债券到期收益率期限结构、远期汇率期限结构等）、各地金融市场保持高度相关性的重要途径和力量，是效率市场（Efficient Markets ）的必要条件，也是金融工程学的另一重要运用领域。

第一节 套利的基本原理套利是指利用一个或多个市场存在的各种价格差异，在不冒任何损失风险且无需投资者自有资金的情况下有可能赚取利润的交易策略（或行为）。

由此可见，判断一个交易策略是不是严格的套利策略，有3条标准：①没有自有资金投入，所需资金通过借款或卖空获得；②没有损失风险，最糟糕的情况是终点又回到起点，套利者的最终结果（已扣掉借款利息）还是零；③存在正的赚钱概率。

这意味着套利的最终结果可能没赚钱，但只要事前存在赚钱的概率且不存在亏钱的概率就可以了。

套利是利用资产定价的错误、价格联系的失常，以及市场缺乏有效性的其它机会，通过买进价格被低估的资产，同时卖出价格被高估的资产来获取无风险利润的交易策略。

套利是市场无效率的产物，而套利的结果则促使市场效率的提高，因此套利对社会的正面效应远超过负面效应，我们应予充分鼓励和肯定。

套利有五种基本的形式：空间套利、时间套利、工具套利、风险套利和税收套利。

一、空间套利最明显和最直观的套利形式是空间套利（或称地理套利），它是指在一个市场上低价买进某种商品，而在另一市场上高价卖出同种商品，从而赚取两个市场间差价的交易行为。

空间套利是最早的套利形式之一，也是大多数经营活动的主要形式。

例如，X 股票同时在A 、B 两个证交所上市，但X 在A 市场的价格为每股10元，而在B 市场的价格仅为每股8元，于是可以通过在B 市场买入X 股票，然而转托管到A 市场，再在A 市场卖出。

这样，扣除手续费和佣金后将获得较丰厚的无风险利润。

从上例可以看出，只要两个市场的价差超过套利活动将产生的相关费用，套利活动就有利可图。

然而，套利活动买低卖高的结果将使低价市场的价格上升和高价市场的价格回落，直到两个市场的价差小于相关费用，此时两个市场价格处于相对均衡状态，并可用下式表示： ε+=j i P P （13.1） 其中，P i 和P j 分别表示 i 市场和j 市场的价格，ε表示在由相关费用（C ）确定的区间内变动的随机数，且：C C ≤≤-ε。

式（13.1）就是著名的一价定律。

一价定律可以推广到不同货币的情形。

如果i 市场的价格用货币 i 表示，j 市场的价格用货币j 表示用货币i 表示的每单位货币j 的汇率用E i ，j 表示，ε以货币i 表示，则一价定律等式变为：ε+=j i j i E P P , （13.2）二、时间套利时间套利是指同时买卖在不同时点交割的同种资产，它包括现在对未来的套利和未来对未来的套利。

我们在第3章曾详细论述了各种远期和期货价格与现货价格之间的平价关系公式，通过这些公式，可以推导出不同期限的远期（或期货）价格对远期（或期货）价格的平价关系公式 。

只要现实中现货和远期、期货价格的关系偏离这些平价关系的幅度超过手续费和税收，就可进行时间套利。

远期、期货价格与现货价格之间的关系可用持有成本（Carry Cost ）来总结。

持有成本等于标的资产的存储成本加上融资购买标的资产所支付的利息，再减去资产的收益。

如果用F i （t,T ）表示t 时刻i 市场某种标的资产T 时刻到期的远期或期货价格，P i (t)表示t 时刻标的资产在i 市场的现货价格，G i (t,T)表示T －t 期间的持有成本，则t 时刻现货价格与T 时刻到期的远期或期货价格的均衡条件为：),()(),(T t G t P T t F i i i += （13.3）同样，用T *代替T （其中，T *>T ），则有：),()(),(**T t G t P T t F i i i +=（13.4）将式（13.3）代入（13.4），并令),(),(),(**T t G T t G T T G i i i -=，得：),(),(),(**T T G T t F T t F i i i +=（13.5）正如式（13.1）和（13.2）是空间的均衡条件一样，式（13.3）至（13.5）是时间的均衡条件。

当式（13.3）至（13.5）的等式不成立时，就会产生套利机会（忽略交易费用），如果等式左边大于右边，套利者可买进现货同时卖出远期或期货，或者买进较近期的远期或期货，同时卖出较远期的远期或期货。

如果等式左边小于右边，则可进行相反的操作，从而获得无风险利润。

套利活动的结果将使式（13.3）至（13.5）成立，此时市场处于时间均衡状态。

将式（13.2）代入（13.3）可得到一个更一般的既可解释空间又可解释时间价格关系的均衡条件：ε++=),()()(),(,T t G t E t P T t F i j i j i （13.6） 其中，C C ≤≤-ε。

三、工具套利工具套利就是利用同一标的资产的现货及各种衍生证券的价格差异，通过低买高卖来赚取无风险利润的行为。

从前面关于衍生证券定价的分析中，我们看到各种衍生证券的价格部分或全部取决于标的资产现货价格、利率、期限（或时间）、波动率等变量，当这些变量值已知时，我们就可推导出各种衍生证券价格之间的关系。

我们还看到，远期利率的期限结构取决于即期利率的期限结构，而不同期限的利率期货价格中也隐含着远期利率期限结构，即期和远期利率期限结构又决定了汇率的期限结构。

可以说，各种金融工具之间的价格联系是多渠道且紧密的，它们之间普遍存在着或简单或复杂的平价关系。

当这种平价关系被打破时，市场就提供了工具套利的机会。

更有甚者，同类金融工具之间也可进行工具套利，以期权为例，看涨期权与看跌期权之间、不同期限的看涨期权或看跌期权之间都存在着价格联系，都存在着套利的可能性。

工具套利是各种套利形式中最振奋人心的一种。

在这种套利形式中，多种资产或金融工具组合在一起，形成一种或多种与原来有着截然不同性质的金融工具，这正是创造复合金融工具的过程。

这个过程反过来也成立。

一项金融工具可以分解成一系列的金融工具，且每一个都有着与原来的金融工具不同的特性，金融工具的组合和分解正是金融工程的主要运用。

四、风险套利风险套利是指利用风险定价上的差异，通过买低卖高赚取无风险利润的交易行为。

根据高风险高收益原则，风险越高，所要求的风险补偿就越多。

根据资本资产定价模型，风险可分为系统性风险（用 衡量）和非系统性风险，非系统性风险可以通过分散化组合予以抵消，因此只存在系统性风险才能获得风险报酬，且两者之间有一个严密的平价关系。

如果现实生活中各种风险资产的定价偏离了这个平价公式，就存在风险套利机会。

保险是风险套利的一个生动的例子。

保险公司为许多面临较高风险的公司和个人提供保险，即前者为后者承担风险，作为回报，后者要向前者支付保险费，作为前者承担风险的报酬。

保险公司通过把这些风险集中起来，将使各个风险中所含的非系统性风险互相抵消，以而大大降低了风险总量。

这样，保险公司就可通过收取相对较高的保险费，并投资于风险水平与所保风险总水平相当的资产而获得风险套利的利润。

五、税收套利税收套利是指利用不同投资主体、不同证券、不同收入来源在税收待遇上存在的差异所进行的套利交易。

在我国，个人证券买卖的资本利得可以免税，而法人单位则要按本单位的所得税率纳税，且法人单位的所得税率有很大差别，有的33%，有的15%。

对于股票和公司债券的现金股利，用未分配利润和盈余公积金派送的股票红利、利息，个人和单位均要纳税，但税率不同。

对于国债的利息，个人和单位均可免税。

第二节套利实例本节我们将着重讨论花样最多、难度较大的时间套利和工具套利。

为表述方便起见，我们假定：1．没有交易费用和税收；2．套利者可按无风险利率自由借贷；3．套利者均可按市场中间价格买卖资产。

一、基于远期和期货合约的套利基于远期和期货合约的套利属于时间套利，它是利用远期和期货价格与标的资产现货价格的差异来进行套利。

（一）股价指数期货套利股价指数可以近似看作是支付连续收益率的资产，股价指数期货价格与股价指数现货价格之间必须保持如下关系，否则就存在套利机会：))((t T q r Se F --=如果))((t T q r Se F -->，投资者就可以通过购买股价指数中的成份股票，同时卖出指数期货合约来获得无风险套利利润。

相反，如果))((t T q r Se F --<，投资者就可以通过卖空股价指数中的成份股票，同时买入指数期货合约来获得无风险套利利润。

由于买卖成份股需要花费较长的时间，而市场行情是瞬间万变的，因此在实践中人们大多利用计算机程序进行自动交易。

即一旦指数现货与期货的平价关系被打破时，电脑会根据事先设计好的程序进行套利交易。

应该注意的是，由于指数套利涉及的买卖较多，在某些极端的情况下，由于行情变化过快，即使运用程序交易也无法避免某些风险。

例如，在发生金融恐慌时，股票价格飞速下降，此时即使期货价格低于现货价格，通过买入指数期货卖出成份股现货进行的套利活动也可能因为卖出委托的迟延而给套利者带来风险。

事实上，1987年10月19日“黑色星期一”美国股市发生大崩盘的当天收市时，S&P500指数为225.06点，而12月份交割的S&500指数期货价格却只有201.50点，比现货价格低23.56点。

而在第二天纽约证交所对程序交易实行了临时性限制措施后，12月份的指数期货价格最多时比现货价格低了18%。

例 13.1假设S&P500指数现在的点数为1000点，该指数所含股票的红利收益率预计为每年5%（连续复利），3个月期S&P500指数期货的市价为950点，3个月期无风险连续复利年利率为10%，请问如何进行套利？在本例中，))((t T q r Se F --<，因此投资者可以通过卖空成份股买入指数期货来套利，其具体步骤为：①确定套利的金额（假定为1000万美元）；②按各成份股在指数中所占权重卖空成份股，总计金额为1000万美元；③将卖空成份股所得款项1000万美元按无风险利率贷出3个月；④买入20份3个月期S&P500指数期货①；⑤3个月后收回贷款本金，其利息收入为：1000万32.25)1(25.01.0=-⨯e万美元 ⑥3个月后按市价买回成份股，平掉股票的空仓，假设此时指数现货点数为S T ，则股票现货盈亏为： 1000)10001000(⨯-T S 万 ⑦3个月后按指数现货点数（S T ）对期货头寸进行结算，其盈亏为：20500)950(⨯⨯-T S⑧此次套利套利的总盈亏为：25.32万+1000万－1万⨯S T +1万⨯S T －950万=75.32万美元（二）外汇远期和期货套利据式（3.22），外汇远期或期货汇率与现货汇率之间必须保持如下平价关系，否则就存① 每份S&P500指数期货价值为指数点数乘以500美元。