通用版2018年中考数学总复习第六单元圆专题19圆的有关性质试题新版新人教版21

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2018年全国中考数学真题汇编：圆的有关性质

圆的有关性质一、选择题1．（2018•山东枣庄•3 分）如图，AB是⊙O的直径，弦 CD交 AB于点 P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则 CD的长为（）A．B．2 C．2 D．8【分析】作 OH⊥CD于 H，连结 OC，如图，根据垂径定理由 OH⊥CD得到 HC=HD，再利用 AP=2，BP=6可计算出半径 OA=4，则 OP=OA﹣AP=2，接着在 Rt△OPH中根据含 30度的直角三角形的性质计算出 OH= OP=1，然后在 Rt△OHC中利用勾股定理计算出 CH= ，所以 CD=2CH=2 ．【解答】解：作 OH⊥CD于 H，连结 OC，如图，∵OH⊥CD，∴HC=HD，∵AP=2，BP=6，∴AB=8，∴OA=4，∴OP=OA﹣AP=2，在 Rt△OPH中，∵∠OPH=30°，∴∠POH=60°，∴OH= OP=1，在 Rt△OHC中，∵OC=4，OH=1，∴CH= = ，∴CD=2CH=2 ．故选：C．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理以及含 30度的直角三角形的性质．2．（2018•四川凉州•3 分）如图，⊙O 是△ABC的外接圆，已知∠ABO=50°，则∠ACB 的大小为（）A．40° B．30° C．45° D．50°【分析】首先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠AOB 的度数，再利用圆周角与圆心角的关系求出∠ACB 的度数．【解答】解：△AOB 中，OA=OB，∠ABO=50°，∴∠AOB=180°﹣2∠ABO=80°，∴∠ACB= ∠AOB=40°，故选：A．【点评】本题主要考查了圆周角定理的应用，涉及到的知识点还有：等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．3. （2018•山东菏泽•3分）如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA的度数是（）A．64° B．58° C．32° D．26°【考点】M5：圆周角定理；KD：全等三角形的判定与性质．【分析】根据垂径定理，可得= ，∠OEB=90°，根据圆周角定理，可得∠3，根据直角三角形的性质，可得答案．【解答】解：如图，由 OC⊥AB，得= ，∠OEB=90°．∴∠2=∠3．∵∠2=2∠1=2×32°=64°．∴∠3=64°，在 Rt△OBE中，∠OEB=90°，∴∠B=90°﹣∠3=90°﹣64°=26°，故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理，利用垂径定理得出= ，∠OEB=90°是解题关键，又利用了圆周角定理．4. （2018•江苏盐城•3分）如图，为的直径，是的弦，，则的度数为（）A. B. C. D.7.【答案】C【考点】圆周角定理【解析】【解答】解：∵，∠ADC与∠B所对的弧相同，∴∠B=∠ADC=35°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB=90°-∠B=55°，故答案为：C【分析】由同弧所对的圆周角相等可知∠B=∠ADC=35°；而由圆周角的推论不难得知∠ACB=90°，则由∠CAB=90°-∠B即可求得。

2018-2019年中考数学《第六讲：圆的综合题》专题复习含答案

中考数学专题辅导第六讲圆的综合专题选讲一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内；2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒无交点⇒d R r>+；外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r=+；相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r-<<+；内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r=-；内含（图5）⇒无交点⇒d R r<-；图1A五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB是直径②AB CD⊥③CE DE=④弧BC=弧BD⑤弧AC=弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。

2018年中考数学复习---第6单元.圆

第21讲圆的基本性质命题点圆周角定理及其推论(6年6考)1．(2014·山西T8·3分)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，连接OA ，OB ，∠OBA ＝50°，则∠C 的度数为(B)A ．30°B ．40°C ．50°D ．80°2．(2015·山西T13·3分)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，点C 为BD ︵的中点．若∠A ＝40°，则∠B ＝70度．如图，已知⊙O 的半径为1，锐角△ABC 内接于⊙O ，BD ⊥AC 于点D ，OM ⊥AB 于点M ，连接OB ，若OM ＝13，则sin ∠CBD 的值等于13．【解析】连接AO ，∵OM ⊥AB 于点M ，AO ＝BO ，∴∠AOM ＝∠BOM ，∠MOB ＋∠OBM ＝90°. ∵∠AOB ＝2∠C ， ∴∠MOB ＝∠C.∵BD ⊥AC ，∴∠C ＋∠CBD ＝90°，∴∠CBD ＝∠OBM.∴sin ∠CBD ＝sin ∠OBM ＝MO OB ＝131＝13.如图，⊙O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，连接AO 并延长交⊙O 于点E ，连接EC.若AB ＝8，CD＝2，求EC 的长．【自主解答】解：连接BE ， ∵OD ⊥AB ，∴AC ＝BC ＝12AB ＝12×8＝4.设AO ＝x ，则OC ＝OD －CD ＝x －2.在Rt △ACO 中，∵AO 2＝AC 2＋OC 2，∴x 2＝42＋(x －2)2，解得 x ＝5. ∴AE ＝10，OC ＝3. ∵AE 是直径， ∴∠ABE ＝90°.∵OC 是△ABE 的中位线， ∴BE ＝2OC ＝6.在Rt △CBE 中，CE ＝CB 2＋BE 2＝42＋62＝213.如图，弦AC ，BD 相交于点E ，且点B 为弧AC 的中点，连接AD ，CD ，CB ，AB ，则AB ＝BC ，△ABE ∽△DCE ∽△DBA ，△BCE ∽△BDC ∽△ADE .若AB ＝6，BE ＝4，则ED＝5．【解析】 ∵点B 为弧AC 的中点，∴AB ︵＝BC ︵，∠BAC ＝∠BCA ＝∠BDA ＝∠BDC ，AB ＝BC. 又∵∠ABE ＝∠DBA ，∠BAE ＝∠BDA ， ∴△ABE ∽△DBA.∵∠BEA ＝∠CED ，∠BAE ＝∠CDE ， ∴△ABE ∽△DCE.∴△ABE ∽△DCE ∽△DBA. 同理△BCE ∽△BDC ∽△ADE.∵△ABE ∽△DBA ，∴AB 2＝BE ·BD. ∵AB ＝6，BE ＝4，∴BD ＝9.∴ED ＝5.1．如图，一个宽为2厘米的刻度尺(刻度单位：厘米)，放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9，那么玻璃杯的杯口外沿半径为134厘米.2．如图，半径为3的⊙A 经过原点O 和点C(0，2)，B 是y 轴左侧⊙A 优弧上一点，则tan ∠OBC 的值为43．如图，已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交△ABC 的外接圆于点F ，连接FB ，FC.(1)求证：∠FBC ＝∠FCB ；(2)已知FA ·FD ＝12.若AB 是△ABC 外接圆的直径，FA ＝2，求CD 的长．解：(1)证明：∵四边形AFBC 内接于圆， ∴∠FBC ＋∠FAC ＝180°. ∵∠CAD ＋∠FAC ＝180°， ∴∠FBC ＝∠CAD.∵AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，∴∠EAD ＝∠CAD.∵∠EAD ＝∠FAB ，∴∠FAB ＝∠CAD. ∴∠FBC ＝∠FAB.又∵∠FAB ＝∠FCB ，∴∠FBC ＝∠FCB. (2)由(1)得∠FAB ＝∠FBC.∵∠BFA ＝∠BFD ，∴△AFB ∽△BFD.∴BF FD ＝FABF ，∴BF 2＝FA ·FD ＝12，∴BF ＝2 3. ∵FA ＝2，∴FD ＝6，AD ＝4.∵AB 为圆的直径，∴∠BFA ＝∠BCA ＝90°. ∴tan ∠FBA ＝AF BF ＝223＝33.∴∠FBA ＝30°.又∵∠FDB ＝∠FBA ＝30°， ∴CD ＝AD ·cos30°＝4×32＝2 3.1．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AC 平分∠BAD ，则下列结论正确的是(B)A ．AB ＝AD B ．BC ＝CDC.AB ︵＝AD ︵D ．∠BCA ＝∠DCA2．(2017·广州)如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB ⊥CD ，垂足为E ，连接CO ，AD ，∠BAD ＝20°，则下列说法中正确的是(D)A ．AD ＝2OB B ．CE ＝EOC ．∠OCE ＝40°D ．∠BOC ＝2∠BAD3．(2017·黔东南)如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，∠A ＝15°，半径为2，则弦CD 的长为(A)A ．2B ．1C. 2D ．44．(2017·广东)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，DA ＝DC ，∠CBE ＝50°，则∠DAC 的大小为(C)A ．130°B ．100°C ．65°D ．50°5．如图，在⊙O 中，若∠AOB ＝50°，∠OBC ＝40°，则∠OAC 等于15°．6．(2017·湖州)如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC.以AB 为直径作半圆O ，交BC 于点D.若∠BAC ＝40°，则ΑD ︵的度数是140度．7．(2017·盐城)如图，将⊙O 沿弦AB 折叠，点C 在AmB ︵上．若∠ACB ＝70°，则∠ADB ＝110°.8．(2017·临沂)如图，∠BAC 的平分线交△ABC 的外接圆于点D ，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，连接BD.(1)求证：DE ＝DB ；(2)若∠BAC ＝90°，BD ＝4，求△ABC 外接圆的半径．解：(1)证明：∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD. 又∵∠CBD ＝∠CAD ， ∴∠BAD ＝∠CBD. ∵∠BE 平分∠ABC ， ∴∠CBE ＝∠ABE.∴∠DBE ＝∠CBE ＋∠CBD ＝∠ABE ＋∠BAD. 又∵∠BED ＝∠ABE ＋∠BAD ， ∴∠DBE ＝∠BED.∴DE ＝DB. (2)连接DC ，∵∠BAC ＝90°， ∴BC 是直径．∴∠BDC ＝90°.∵AD 平分∠BAC ，BD ＝4，∴BD ＝CD ＝4. ∴BC ＝4 2.∴△ABC 外接圆的半径为22.9．(2017·广安)如图，AB 是⊙O 的直径，且经过弦CD 的中点H.已知cos ∠CDB ＝45，BD ＝5，则OH 的长度为(D)A.23B.56C ．1D.7610．(2017·潍坊)如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，延长AB 与DC 相交于点G ，AO ⊥CD ，垂足为E ，连接BD ，∠GBC ＝50°，则∠DBC 的度数为(C)A ．50°B ．60°C ．80°D ．85°11．(2017·孝感)已知半径为2的⊙O 中，弦AC ＝2，弦AD ＝22，则∠COD 的度数为30°或150°．(北师9下P79例题改编)12．阅读理解：课本在研究“圆周角和圆心角的关系”时，有以下内容．议一议：如图1，其中O 为圆心，观察圆周角∠ABC 与圆心角∠AOC ，它们的大小有什么关系？说说你的想法，并与同伴交流．小亮首先考虑了一种特殊情况，即∠ABC 的一边BC 经过圆心O(如图2)．∵∠AOC 是△ABO 的外角， ∴∠AOC ＝∠ABO ＋∠BAO. ∵OA ＝OB ，∴∠ABO ＝∠BAO.∴∠AOC ＝2∠ABO ，即∠ABC ＝12∠AOC.如果∠ABC 的两边都不经过圆心O(如图1，图3)，那么结果会怎样？你能将图1与图3的两种情况分别转化成图2的情况去解决吗？自主证明：请在图1和图3中选择一种情况解决上述问题(即∠ABC 与∠AOC 的大小关系)，写出证明过程．拓展探究：将图1中的弦AB 绕点B 旋转，当AB 与⊙O 相切时(如图4)，试探究∠ABC 与∠BOC 的大小关系？写出你的结论，并说明理由．总结反思：在以上解决问题的过程中运用了哪些数学思想方法？(写出两条即可)图1 图2 图3 图4解：自主证明：①如图1，连接BO 并延长交⊙O 于点D ，由小亮的证明知：∠ABD ＝12∠AOD ，∠CBD ＝12∠COD.∴∠ABC ＝∠ABD ＋∠CBD ＝12∠AOD ＋12∠COD ＝12(∠AOD ＋∠COD)＝12∠AOC.②如图3，连接BO 并延长交⊙O 于点D ，由小亮的证明知：∠ABD ＝12∠AOD ，∠CBD ＝12∠COD.∴∠ABC ＝∠ABD －∠CBD ＝12∠AOD －12∠COD ＝12(∠AOD －∠COD)＝12∠AOC.拓展探究：∠ABC ＝12∠BOC ，理由如下：延长BO 交⊙O 于点E ，连接EC ，由小亮的证明知：∠BEC ＝12∠BOC.∵BA 与⊙O 相切于点B ，∴∠ABO ＝90°，即∠ABC ＋∠CBO ＝90°. 又∵BE 是⊙O 的直径，∴∠BCE ＝90°，即∠BEC ＋∠CBO ＝90°. ∴∠ABC ＝∠BEC. ∴∠ABC ＝12∠BOC.总结反思：转化思想，从特殊到一般，化归思想．第22讲与圆相关的位置关系命题点切线的性质与判定(6年5考)1．(2012·山西T9·2分)如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上两点，∠CDB ＝20°，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，则∠E 等于(B)A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°2．(2014·山西T15·3分)一走廊拐角的横截面积如图，已知AB ⊥BC ，AB ∥ DE ，BC ∥ FG ，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1 m ，EF ︵的圆心为O ，半径为1 m ，且∠EOF ＝90°，DE ，FG 分别与⊙O 相切于E ，F 两点．若水平放置的木棒MN 的两个端点M ，N 分别在AB 和BC 上，且MN 与⊙O 相切于点P ，P 是EF ︵的中点，则木棒MN3．(2017·山西T21·7分)如图，△ABC 内接于⊙O ，且AB 为⊙O 的直径，OD ⊥AB ，与AC 交于点E ，与过点C 的⊙O 的切线交于点D.(1)若AC ＝4，BC ＝2，求OE 的长；(2)试判断∠A 与∠CDE 的数量关系，并说明理由．解：(1)∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝42＋22＝2 5.∴OA ＝12AB ＝ 5.(1分)∵OD ⊥AB ，∴∠AOE ＝∠ACB ＝90°. 又∵∠A ＝∠A ，∴△AOE ∽△ACB.(2分) ∴OE BC ＝OA AC .∴OE ＝BC ·AO AC ＝254＝52.(3分) (2)∠CDE ＝2∠A ，理由如下：连接OC ， ∵OA ＝OC ，∴∠OCA ＝∠A.(4分) ∵CD 是⊙O 的切线， ∴OC ⊥CD.∴∠OCD ＝90°.∴∠COE ＋∠CDE ＝90°.(5分) ∵OD ⊥AB ，∴∠COE ＋∠COB ＝90°. ∴∠COB ＝∠CDE.(6分)∵∠COB ＝∠A ＋∠OCA ＝2∠A ， ∴∠CDE ＝2∠A.(7分)4．(2013·山西T23·9分)如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，点P 是直径AB 上的一点(不与A ，B 重合)，过点P 作AB 的垂线交BC 的延长线于点Q.(1)在线段PQ 上取一点D ，使DQ ＝DC ，连接DC ，试判断CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)若cosB ＝35，BP ＝6，AP ＝1，求QC 的长．解：(1)CD 是⊙O 的切线．理由：连接OC ，∵OC ＝OB ， ∴∠B ＝∠OCB.又∵DC ＝DQ ，∴∠Q ＝∠DCQ.∵PQ ⊥AB ，∴∠QPB ＝90°. ∴∠B ＋∠Q ＝90°. ∴∠OCB ＋∠DCQ ＝90°.∴∠DCO ＝∠180°－(∠OCB ＋∠DCQ)＝180°－90°＝90°. ∴OC ⊥DC.∵OC 是⊙O 的半径，∴CD 是⊙O 的切线．(2)连接AC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.在Rt △ABC 中，BC ＝AB ·cosB ＝(AP ＋BP)·cosB ＝(1＋6)×35＝215.在Rt △BPQ 中，BQ ＝BP cosB ＝ 635＝10.∴QC ＝BQ －BC ＝10－215＝295.(2017·咸宁)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 与边BC ，AC 分别交于D ，E 两点，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F.(1)求证：DF 是⊙O 的切线；(2)若AE ＝4，cosA ＝25，求DF 的长．【自主解答】解：(1)证明：解法一：连接OD ， ∵OB ＝OD ，∴∠ODB ＝∠B. 又∵AB ＝AC ，∴∠C ＝∠B. ∴∠ODB ＝∠C ，∴OD ∥AC. ∵DF ⊥AC ，∴∠DFC ＝90°.∵OD ∥AC ，∴∠ODF ＝∠DFC ＝90°.又∵点D 在⊙O 上，∴DF 是⊙O 的切线．解法二：连接OD ，AD ，∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°.∴AD ⊥BC. 又∵AB ＝AC ，∴BD ＝CD.∵OA ＝OB ，∴OD 为△ABC 的中位线．∴OD ∥AC. ∵DF ⊥AC ，∴∠DFC ＝90°.∵OD ∥AC ，∴∠ODF ＝∠DFC ＝90°.又∵点D 在⊙O 上，∴DF 是⊙O 的切线.(2)作OG ⊥AC 于点G ，由垂径定理，得AG ＝12AE ＝2，∵cosA ＝AG OA ，∴OA ＝AG cosA ＝ 225＝5.∴OG ＝OA 2－AG 2＝21.∵∠ODF ＝∠DFG ＝∠OGF ＝90°， ∴四边形OGFD 为矩形．∴DF ＝OG ＝21.如图，⊙O 的直径AB ＝6，AD ，BC 是⊙O 的两条切线，AD ＝2，BC ＝92.(1)求OD ，OC 的长；(2)求证：△DOC ∽△OBC ； (3)求证：CD 是⊙O 切线．【自主解答】解：(1)∵AD ，BC 是⊙O 的两条切线， ∴∠OAD ＝∠OBC ＝90°.在Rt △AOD 与Rt △BOC 中，OA ＝OB ＝3，AD ＝2，BC ＝92，根据勾股定理，得OD ＝OA 2＋AD 2＝13，OC ＝OB 2＋BC 2＝3132.(2)证明：过D 作DE ⊥BC 于点E ，可得出 ∠DAB ＝∠ABE ＝∠BED ＝90°， ∴四边形ABED 为矩形．∴BE ＝AD ＝2，DE ＝AB ＝6，EC ＝BC －BE ＝52.在Rt △EDC 中，根据勾股定理，得DC ＝DE 2＋EC 2＝132.∵OD OB ＝OC CB ＝DC OC ＝133，∴△DOC ∽△OBC.(3)证明：过O 作OF ⊥DC 于点F ， ∵△DOC ∽△OBC ， ∴∠BCO ＝∠FCO.在△BCO 和△FCO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠OBC ＝∠OFC ，∠BCO ＝∠FCO ，OC ＝OC ，∴△BCO ≌△FCO(AAS)．∴OB ＝OF.∴CD 是⊙O 切线．【问题拓展】在(3)的条件下你能快速地求出CD 的长度吗？说明你的理由．【自主解答】解：∵AD ，BC ，CD 是⊙O 的切线，根据切线长定理得：AD ＝DF ，CB ＝CF. ∴CD ＝CF ＋DF ＝AD ＋CB ＝2＋92＝132.1．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC 为⊙O 直径，作∠CAD ＝∠B ，且点D 在BC 的延长线上，CE ⊥AD 于点E.(1)求证：AD 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径为8，CE ＝2，求CD 的长．解：(1)证明：连接OA ， ∵BC 为⊙O 的直径， ∴∠BAC ＝90°.∴∠B ＋∠ACB ＝90°.∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA. ∵∠CAD ＝∠B ，∴∠CAD ＋∠OAC ＝90°，即∠OAD ＝90°. ∴OA ⊥AD.∵点A 在⊙O 上，∴AD 是⊙O 的切线． (2)∵CE ⊥AD ，∴∠CED ＝∠OAD ＝90°. ∵∠D ＝∠D ，∴△CED ∽△OAD.∴CD OD ＝CE OA. 又∵CE ＝2，设CD ＝x ，则OD ＝x ＋8. ∴x x ＋8＝28，解得x ＝83. 经检验，x ＝83是原分式方程的解．∴CD ＝83.2．(2016·贵港)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，O 为BC 的中点，AC 与半圆O 相切于点D. (1)求证：AB 是半圆O 所在圆的切线；(2)若cos ∠ABC ＝23，AB ＝12，求半圆O 所在圆的半径．解：(1)证明：作OE ⊥AB 于E ，连接OD ，OA. ∵AB ＝AC ，O 为BC 的中点， ∴∠CAO ＝∠BAO.∵AC 与半圆O 相切于D ，∴OD ⊥AC.∵OE ⊥AB ，∴OD ＝OE. ∴AB 经过圆O 半径的外端点． ∴AB 是半圆O 所在圆的切线．(2)∵cos ∠ABC ＝OB AB ＝23，AB ＝12，∴OB ＝8.由勾股定理，得AO 2＝AB 2－OB 2＝4 5. 由三角形的面积公式，得 S △AOB ＝12AB ·OE ＝12OB ·AO.∴OE ＝OB ·OA AB ＝853.∴半圆O 所在圆的半径是853.1．(2017·自贡)如图，AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点A ，PO 交⊙O 于点C ，连接BC.若∠P ＝40°，则∠B 等于(B)A ．20°B ．25°C ．30°D ．40°2．在一个三角形中，已知AB ＝AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，D 是BC 的中点，以D 为圆心作一个半径为5 cm 的圆，则下列说法正确的是(C)A ．点A 在⊙D 外B ．点B 在⊙D 上C ．点C 在⊙D 内 D ．无法确定3．(2017·日照)如图，AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点A ，连接PO 并延长交⊙O 于点C ，连接AC ，AB ＝10，∠P ＝30°，则AC 的长度是(A)A ．5 3B ．5 2C ．5D.524．(2017·泰安)如图，圆内接四边形ABCD 的边AB 过圆心O ，过点C 的切线与边AD 所在直线垂直于点M.若∠ABC ＝55°，则∠ACD 等于(A)A ．20°B ．35°C ．40°D ．55°5．(2017·连云港)如图，线段AB 与⊙O 相切于点B ，线段AO 与⊙O 相交于点C ，AB ＝12，AC ＝8，则⊙O 的半径长为5．6．(2017·眉山改编)如图，在△ABC 中，∠A ＝66°，点I 是内心，则∠BIC 的大小为123°.7．如图，在 Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3 cm ，BC ＝4 cm ，以C 为圆心，r 为半径作圆．若⊙C 与直线AB 相切，则r 的值为125．8．如图，两个同心圆的半径分别为4 cm 和5 cm ，大圆的一条弦AB 与小圆相切，则弦AB 的长为6_cm.9．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上两点，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E.若∠CDB ＝25°，则∠E ＝40度，∠BCE ＝25度；若BC AC ＝23，AE ＝6，则CE ＝4．10．(2017·遵义)如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，∠APB ＝60°.连接PO 并延长与⊙O交于C 点，连接AC ，BC.(1)求证：四边形ACBP 是菱形；(2)若⊙O 半径为1，求菱形ACBP 的面积．解：(1)连接AO ，BO ， ∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°，PA ＝PB ，∠APO ＝∠BPO ＝12∠APB ＝30°.∴∠AOP ＝60°.∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA. ∵∠AOP ＝∠CAO ＋∠ACO ，∴∠ACO ＝30°.∴∠ACO ＝∠APO.∴AC ＝AP. 同理BC ＝PB.∴AC ＝BC ＝BP ＝AP. ∴四边形ACBP 是菱形．(2)连接AB 交PC 于D ，∴AD ⊥PC ，∵OA ＝1，∠AOP ＝60°，∠APD ＝30°， ∴AD ＝32OA ＝32.∴PD ＝3AD ＝32. ∴PC ＝3，AB ＝ 3. ∴S 菱形ACBP ＝12AB ·PC ＝332.11．(2017·武汉)已知一个三角形的三边长分别为5，7，8，则其内切圆的半径为(C)A.32B.32C. 3D ．2 312．(2017·衢州)如图，在直角坐标系中，⊙A 的圆心A 的坐标为(－1，0)，半径为1，点P 为直线y ＝－34x ＋3上的动点，过点P 作⊙A 的切线，切点为Q ，则切线长PQ 的最小值是13．(2017·江西)如图1，⊙O 的直径AB ＝12，P 是弦BC 上一动点(与点B ，C 不重合)，∠ABC ＝30°，过点P 作PD ⊥OP 交⊙O 于点D.图1 图2 图3(1)如图2，当PD ∥AB 时，求PD 的长；(2)如图3，当DC ︵＝AC ︵时，延长AB 至点E ，使BE ＝12AB ，连接DE.①求证：DE 是⊙O 的切线； ②求PC 的长．解：(1)连接OD ，∵OP ⊥PD ，PD ∥AB ，∴∠POB ＝90°. ∵⊙O 的直径AB ＝12，∴OB ＝OD ＝6. 在Rt △POB 中，∠ABC ＝30°， ∴OP ＝OB ·tan30°＝6×33＝23，在Rt △POD 中，PD ＝OD 2－OP 2＝62－（23）2＝2 6. (2)①证明：连接OD ，交CB 于点F ，连接BD ， ∵DC ︵＝AC ︵，∴∠DBC ＝∠ABC ＝30°.∴∠ABD ＝60°. ∵OB ＝OD.∴△OBD 是等边三角形． ∴OD ⊥FB ，OF ＝DF. ∵BE ＝12AB ，∴OB ＝BE.∴BF ∥ED.∴∠ODE ＝∠OFB ＝90°. ∴OD ⊥DE.又∵点D 在⊙O 上， ∴DE 是⊙O 的切线． ②由①知，OD ⊥BC ， ∴CF ＝FB ＝OB ·cos30°＝6×32＝3 3. 在Rt △POD 中，OF ＝DF ，∴PF ＝12DO ＝3.∴PC ＝CF －PF ＝33－3.(北师9下P95例题改编)14．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，切点分别是D ，E ，F.若三角形三边长分别记为BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，内切圆半径记为r ，现有小明和小华对半径进行计算，小明计算结果为r ＝a ＋b －c 2，小华计算结果r ′＝aba ＋b ＋c ，由此两人产生争议．请问这两个答案是否都正确，如正确请结合图形说明理由，如不正确也请说明理由．解：小明和小华回答都正确．分别连接OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF ， ∵⊙O 是△ABC 内切圆，D ，E ，F 为切点，∴CD ＝CE ，AE ＝AF ，BD ＝BF ，∠OEC ＝∠ODC ＝90°. ∵∠C ＝90°，CD ＝CE ， ∴四边形CDOE 是正方形．∴CD ＝CE ＝r ，AE ＝b －r ＝AF ，BD ＝a －r ＝BF ， ∵BF ＋AF ＝AB ＝c ， ∴(a －r)＋(b －r)＝c. ∴r ＝a ＋b －c 2，小明正确．∵⊙O 是△ABC 内切圆，D ，E ，F 为切点，∴OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB ，OD ＝OE ＝OF ＝r ′. ∴S △ABC ＝S △BOC ＋S △AOC ＋S △AOB ＝12BC ·DO ＋12AC ·OE ＋12AB ·FO ＝12(BC ＋AC ＋AB)·OD ＝12(a ＋b ＋c)r ′. ∵∠C ＝90°，∴S △ABC ＝12BC ·AC ＝12ab.∴12(a ＋b ＋c)r ′＝12ab ，即r ′＝ab a ＋b ＋c，小华正确．第23讲与圆相关的计算命题点1 弧长的计算(6年1考)1．(2016·山西T9·3分)如图，在▱ABCD 中，AB 为⊙O 的直径，⊙O 与DC 相切于点E ，与AD 相交于点F.已知AB ＝12，∠C ＝60°，则FE ︵的长为(C)A.π3B.π2C ．ΠD ．2π2．(2017·山西T10·3分)如图是某商品的标志图案，AC 与BD 是⊙O 的两条直径，首尾顺次连接点A ，B ，C ，D ，得到四边形ABCD.若AC ＝10 cm ，∠BAC ＝36°，则图中阴影部分的面积为(B)A ．5π cm 2B ．10π cm 2C ．15π cm 2D ．20π cm 23．(2013·山西T12·2分)如图，四边形ABCD 是菱形，∠A ＝60°，AB ＝2，扇形BEF 的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是(B)A.2π3－32B.2π3－ 3 C ．π－32D ．π－ 34．(2011·山西T17·3分)如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BC ＝AC ，把△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转45°后得到△AB ′C ′.若AB ＝2，则线段BC 在上述旋转过程中所扫过部分(阴影部分)的面积是π4．(结果保留π)图1是以AB 为直径的半圆形纸片，AB ＝12 cm ，沿着垂直于AB 的半径OC 剪开，将扇形OAC 沿AB 方向平移至扇形O ′A ′C ′.如图2，其中O ′是OB 的中点，O ′C ′交BC ︵于点F ，则由BF ︵，O ′F ，O ′B，阴影部分面积为(6π－2)cm 2.图1 图2 【解析】连接FO ，∵AB ＝12 cm ， ∴A ′O ＝OO ′＝BO ′＝12BO ＝12×6＝3(cm)．∵FO ＝6 cm ，OO ′＝3 cm ，FO ′⊥A ′B ， ∴FO ′＝62－32＝33(cm)．∴∠OFO ′＝30°.∴∠FOB ＝60°. ∴FB ︵的长为60π×6180＝2π(cm)．∴由BF ︵，O ′F ，O ′B 围成的阴影部分周长为(3＋33＋2π)cm ； S 阴影＝S 扇形OFB －S △OO ′F ＝60π×62360－12×3×33＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6π－932cm 2.如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为2π－4．【解析】由题意，得 S 阴影＝2(S 扇形AOB －S △AOB )＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫90π×22360－12×2×2＝2π－4.1．(2017·烟台)如图，▱ABCD 中，∠B ＝70°，BC ＝6，以AD 为直径的⊙O 交CD 于点E ，则劣弧DE 的长为(B)A.13π B.23π C.76π D.43π2．(2017·凉山)如图，P ，Q 分别是⊙O 的内接正五边形的边AB ，BC 上的点，BP ＝CQ ，则∠POQ ＝72°．3．如图，AB 为半圆O 的直径，C ，D 是弧AB 上的三等分点．若⊙O 的半径为2，E 是直径AB 上任意一点，则图中阴影部分的面积是23π．4．如图，已知⊙O 的半径为2，弦AB ⊥半径OC ，沿AB 将弓形ACB 翻折，使点C 与圆心O 重合，则月牙形(图中实线围成的部分)31．一个正多边形，它的每一个外角都等于45°，则该正多边形是(C)A ．正六边形B ．正七边形C ．正八边形D ．正九边形2．(2017·广西四市同城)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC ＝2，∠BAC ＝30°，则劣弧BC 的长等于(A)A.2π3B.π3C.23π3D.3π33．(2017·天水)如图所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，∠BCD ＝30°，CD ＝43，则S 阴影＝(B)A ．2πB.83π C.43π D.38π4．(2017·菏泽)一个扇形的圆心角为100°，面积为15π cm 25．(2017·绥化)半径为2的圆内接正三角形、正四边形、正六边形的边心距之比为 6．(2017·荆门)已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，且半径OC ⊥AB ，点D 在半径OB 的延长线上，且∠A ＝∠BCD＝30°，AC ＝2，则由劣弧BC ，线段CD 和线段BD 所围成图形(阴影部分)的面积为37．(2017·太原二模)如图，AB 是半圆O 的直径，且AB ＝8，点C 为半圆上的一点．将此半圆沿BC 所在的直线折叠．若圆弧BC 恰好过圆心O ，则图中阴影部分的面积是83π．8．(2017·郴州)如图，AB 是⊙O 的弦，BC 切⊙O 于点B ，AD ⊥BC ，垂足为D ，OA 是⊙O 的半径，且OA ＝3.(1)求证：AB 平分∠OAD ；(2)若点E 是优弧AEB 上一点，且∠AEB ＝60°，求扇形OAB 的面积．(计算结果保留π)解：(1)证明：连接OB ， ∵BC 切⊙O 于点B ， ∴OB ⊥BC.∵AD ⊥BC ，∴AD ∥OB. ∴∠DAB ＝∠OBA.∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA. ∴∠DAB ＝∠OAB. ∴AB 平分∠OAD.(2)∵点E 在优弧AEB 上，且∠AEB ＝60°， ∴∠AOB ＝120°.∴S 扇形OAB ＝120°360°×π×AO 2＝13×π×9＝3π.9．(2017·达州)如图，将矩形ABCD 绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置，以此类推，这样连续旋转2 017次．若AB ＝4，AD ＝3，则顶点A 在整个旋转过程中所经过的路径总长为(D)A ．2 017πB ．2 034πC ．3 024πD ．3 026π10．(2017·宜宾)如图，⊙O 的内接正五边形ABCDE 的对角线AD 与BE 相交于点G ，AE ＝2，则EG11．(2017·烟台)如图1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形AOB.已知OA ＝6，取OA 的中点C ，过点C 作CD ⊥OA 交弧AB 于点D ，点F 是弧AB 上一点．若将扇形BOD 沿OD 翻折，点B 恰好与点F 重合．用剪刀沿着线段BD ，DF ，FA 依次剪下，则剪下的纸片(形状同阴影图形)面积之和为36π－108．(北师9下P102T4改编)12．问题情境：小明和小颖在吃冰淇淋时，对其所用的一次性纸杯(如图1)产生了兴趣，决定对制作这种纸杯的相关问题进行研究，他们发现纸杯是圆台形状(即一个大圆锥截去一个小圆锥后余下的部分，如图2)，并测得杯口直径AB ＝8 cm ，杯底直径CD ＝6 cm ，杯壁母线长AC ＝BD ＝6 cm.说明：整个探究过程中均忽略纸杯的接头部分和纸杯的厚度．图1图2图3图4数学理解：(1)为进一步探究问题的本质，小颖画出纸杯的侧面展开的大致图形，如图3，得到的图形是圆环的一部分，那么，图3中BE ︵的长为8πcm ，DF ︵的长为6πcm ；(2)小明认为，要想准确画出纸杯的侧面展开图，需要确定图3中BE ︵和DF ︵所在圆的半径OE ，OF 的长以及圆心角∠BOE 的度数，小颖根据弧长的计算公式猜想得到BE ︵的长DF ︵的长＝OEOF ，请你证明这个结论，并根据这个结论，求DF ︵所在圆的半径OF 及它所对的圆心角∠DOF 的度数；问题解决：(3)明确了纸杯侧面展开图的有关数据和图形的性质后，他们继续探究将原材料裁剪成纸杯侧面的方案，并给出了方案：将原材料剪成矩形纸片，再按如图4所示的方式剪出这个纸杯的侧面，其中，扇形OBE 的BE ︵与矩形GHMN 的边GH 相切于点P ，点P 是BE ︵的中点，点B ，E ，F ，D 均在矩形的边上，请直接写出矩形纸片的长和宽．解：(2)证明：设BE ︵和DF ︵所对的圆心角为n °. ∴lBE ︵＝n π·OE 180，DFl ＝n π·OF 180，∴lBE ︵lDF︵＝n π180n π180·OE OF ＝OE OF . ∵OE ＝OF ＋6，lBE ︵＝8π，lDF ︵＝6π， ∴8π6π＝OF ＋6OF ，解得OF ＝18. ∴OE ＝OF ＋6＝18＋6＝24.∵lDF ︵＝n π·OF 180＝6π，OF ＝18，∴n ＝60.∴DF ︵所在圆的半径OF 等于18 cm ，它所对的圆心角的度数为60°. (3)矩形纸片的长GH ＝24 cm ，宽GN ＝(24－93)cm.第24讲尺规作图命题点尺规作图 (6年2考)1．(2015·山西T21·10分)如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°.(1)尺规作图：作⊙C ，使它与AB 相切于点D ，与AC 相交于点E ，保留作图痕迹，不写作法，请标明字母；(2)在你按(1)中要求所作的图中，若BC ＝3，∠A ＝30°，求DE ︵的长．解：(1)如图，⊙C 即为所求．(2)∵⊙C 切AB 于D ， ∴CD ⊥AB.∴∠ADC ＝90°.∴∠DCE ＝90°－∠A ＝90°－30°＝60°. ∴∠BCD ＝90°－∠ACD ＝30°. 在Rt △BCD 中，∵cos ∠BCD ＝CDBC ，∴CD ＝3×cos30°＝332.∴DE ︵的长为60×π×332180＝32π.(2011·山西T22·9分)如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°.(1)实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母(保留作图痕迹，不写作法)． ①作△ABC 的外接圆，圆心为O ；②以线段AC 为一边，在AC 的右侧作等边△ACD ； ③连接BD ，交⊙O 于点E ，连接AE. (2)综合与运用：在你所作的图中，若AB ＝4，BC ＝2，则：①AD 与⊙O 的位置关系是相切；②线段AE7【解析】 (2)①∵∠ACB ＝90°，AB ＝4，BC ＝2，∴∠BAC ＝30°. ∵△ACD 是等边三角形， ∴∠CAD ＝60°.∴∠BAC ＋∠CAD ＝30°＋60°＝90°＝∠BAD. ∴AB ⊥AD.又∵AB 是⊙O 的直径，∴AD 与⊙O 相切． ②在Rt △ACB 中，AC ＝AB 2－BC 2＝2 3. ∵△ACD 是等边三角形，∴AD ＝AC ＝2 3.在Rt △ABD 中，BD ＝AB 2＋AD 2＝27.∵S △ABD ＝12AB ·AD＝12BD ·AE ，∴AE ＝AB ·AD BD ＝437＝4217.1．(2017·南宁)如图，△ABC 中，AB ＞AC ，∠CAD 为△ABC 的外角，观察图中尺规作图的痕迹，则下列结论错误的是(D)A ．∠DAE ＝∠B B ．∠EAC ＝∠C C ．AE ∥BCD ．∠DAE ＝∠EAC 2．(2017·襄阳)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝4.以点C 为圆心，CB 长为半径作弧，交AB 于点D ；再分别以点B 和点D 为圆心，大于12BD 的长为半径作弧，两弧相交于点E ；作射线CE 交AB 于点F.则AF 的长为(B) A ．5 B ．6 C ．7 D ．83．如图，已知⊙O ，请用圆规和直尺作出⊙O 的内接正三角形ABC.若⊙O 的半径为3，则扇形AOB的面积是3π．解：如图．4．(2016·陕西)如图，已知△ABC ，∠BAC ＝90°，请用尺规过点A 作一条直线，使其将△ABC 分成两个相似的三角形．(保留作图痕迹，不写作法)解：如图，AD 为所作．5．(2017·孝感)如图，已知矩形ABCD(AB ＜AD)．(1)请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹．①以点A 为圆心，AD 的长为半径画弧交边BC 于点E ，连接AE ； ②作∠DAE 的平分线交CD 于点F ； ③连接EF ；(2)在(1)作出的图形中，若AB ＝8，AD ＝10，则tan ∠FEC 的值为34．解：如图所示．6．(2014·太原一模)数学活动：折纸、画图与探究：问题情境：在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10，折叠矩形纸片ABCD ，使B 落在边AD(不与A 重合)上，落点记为E ，这时折痕与边CD 或者边BC(含端点)交于点F ，与边AB 或者边AD(含端点)交于点G ，然后展开铺平，则四边形BFEG称为矩形ABCD 的“折痕四边形”．图1 图2 图3操作探究：(1)如图1，当点E 在图1的位置时，请作出此时的“折痕四边形”BFEG(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)，此时，图1中的等腰三角形有△BFE ，△BGE ；(2)在折叠矩形的过程中，借助图2探究：当点E 是AD 的中点时，折痕四边形BFEG 的边EG 的长为6112；当AE ＝6时，折痕四边形BFEG 是正方形；当AE 取值范围是6＜AE ≤10时，折痕四边形BFEG 是非正方形的菱形；(3)在折叠矩形的过程中，当点F 在线段CD 上时，如图3，设AE 的长度为x ，折痕四边形BFEG 的面积是y ，求y 与x 的函数关系式，并直接写出x 的取值范围．解：(1)如图．(3)y ＝56x 2＋30(0＜x ≤2)．(北师8下P30T4改编)7．两个城镇A ，B 与两条公路l 1，l 2位置如图所示，电信部门需在C 处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A ，B 的距离必须相等，到两条公路l 1，l 2的距离也必须相等，那么点C 应选在何处？请在图中用尺规作图找出所有符合条件的点C.(不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹)解：①作出线段AB 的垂直平分线；②作出角的平分线(2条)；它们的交点即为所求作的点C(2个)．滚动小专题(八) 圆的有关计算与证明类型1 与圆的基本性质有关的计算与证明1．(2017·太原一模)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°.(1)尺规作图：作△ABC 的外接圆⊙O ，作∠ACB 的平分线与⊙O 交于点D ，连接BD ，保留作图痕迹，不写作法，请标明字母；(2)在你按(1)中要求所作的图中，若AC ＝8，BC ＝6，求BD 的长．解：(1)如图，⊙O 和CD 为所作．(2)连接AD ，在Rt △ABC 中，AB ＝62＋82＝10.∵∠ACB ＝90°，∴AB 为直径．∴∠ADB ＝90°. ∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD ＝∠BCD ＝45°. ∴∠ABD ＝∠BAD ＝45°.∴△ADB 为等腰直角三角形． ∴BD ＝22AB ＝5 2. 2．如图，以△ABC 的一边AB 为直径的半圆与其他两边AC ，BC 的交点分别为D ，E ，且DE ︵＝BE ︵.(1)试判断△ABC 的形状，并说明理由；(2)已知半圆的半径为5，BC ＝12，求sin∠ABD 的值．解：(1)△ABC 为等腰三角形．理由：连接AE ， ∵DE ︵＝BE ︵，∴∠DAE ＝∠BAE. ∵AB 为直径，∴∠AEB ＝∠AEC ＝90°.∴∠C ＋∠DAE ＝90°， ∠ABC ＋∠BAE ＝90°. ∴∠C ＝∠ABC.∴AB ＝AC.∴△ABC 为等腰三角形． (2)∵△ABC 为等腰三角形，∴AE ⊥BC. ∴BE ＝CE ＝12BC ＝12×12＝6.在Rt △ABE 中，∵AB ＝10，BE ＝6. ∴AE ＝102－62＝8.∵AB 为直径，∴∠ADB ＝90°.∴12AE ·BC ＝12BD ·AC.∴BD ＝8×1210＝485. 在Rt △ABD 中，∵AB ＝10，BD ＝485，∴AD ＝AB 2－BD 2＝145.∴sin ∠ABD ＝AD AB ＝14510＝725.3．(2017·苏州)如图，已知△ABC 内接于⊙O ，AB 是直径，点D 在⊙O 上，OD ∥BC ，过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，连接CD 交OE 边于点F ，连接BD.(1)求证：△DOE ∽△ABC ； (2)求证：∠ODF ＝∠BDE ；(3)连接OC ，设△DOE 的面积为S 1，四边形BCOD 的面积为S 2，若S 1S 2＝27，求sinA 的值．解：(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°. ∵DE ⊥AB ，∴∠DEO ＝90°. ∴∠DEO ＝∠ACB. ∵OD ∥BC ，∴∠DOE ＝∠ABC.∴△DOE ∽△ABC.(2)证明：∵△DOE ∽△ABC ，∴∠ODE ＝∠A. ∵∠A 和∠BDC 是BC ︵所对的圆周角， ∴∠A ＝∠BDC.∴∠ODE ＝∠BDC. ∴∠ODF ＝∠BDE. (3)∵△DOE ∽△ABC ， ∴S △DOES △ABC＝⎝ ⎛⎭⎪⎫OD AB 2＝14，即S △ABC ＝4S △DOE ＝4S 1. ∵OA ＝OB ，∴S △BOC ＝12S △ABC ，即S △BOC ＝2S 1.∵S 1S 2＝27，S 2＝S △BOC ＋S △DOE ＋S △DBE ＝2S 1＋S 1＋S △DBE ，∴S △DBE ＝12S 1. ∴BE ＝12OE ，即OE ＝23OB ＝23OD.∴sinA ＝sin ∠ODE ＝OE OD ＝23.类型2 与圆的切线有关的计算与证明4．(2017·南充)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以AC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，点E 为BC 的中点，连接DE 并延长交AC 的延长线于点F.(1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)若CF ＝2，DF ＝4，求⊙O 直径的长．解：(1)连接OD ，CD ， ∵AC 为⊙O 的直径， ∴△BCD 是直角三角形． ∵点E 为BC 的中点， ∴BE ＝CE ＝DE. ∴∠CDE ＝∠DCE.∵OD ＝OC ，∴∠ODC ＝∠OCD.∵∠ACB ＝90°，∴∠OCD ＋∠DCE ＝90°. ∴∠ODC ＋∠CDE ＝90°，即OD ⊥DE. 又∵点D 在⊙O 上， ∴DE 是⊙O 的切线． (2)设⊙O 的半径为r. ∵∠ODF ＝90°，∴OD 2＋DF 2＝OF 2，即r 2＋42＝(r ＋2)2. 解得r ＝3.∴⊙O 的直径为6.5．(2017·金华)如图，已知：AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，CD 是⊙O 的切线，AD ⊥CD 于点D ，E 是AB 延长线上一点，CE 交⊙O 于点F ，连接OC ，AC.(1)求证：AC 平分∠DAO ；(2)若∠DAO ＝105°，∠E ＝30°. ①求∠OCE 的度数；②若⊙O 的半径为22，求线段EF 的长．解：(1)证明：∵直线CD 与⊙O 相切，∴OC ⊥CD. 又∵AD ⊥CD ，∴AD ∥OC. ∴∠DAC ＝∠OCA. 又∵OC ＝OA ， ∴∠OAC ＝∠OCA. ∴∠DAC ＝∠OAC. ∴AC 平分∠DAO.(2)①∵AD ∥OC ，∴∠EOC ＝∠DAO ＝105°. ∵∠E ＝30°，∴∠OCE ＝45°. ②作OG ⊥CE 于点G ，可得FG ＝CG. ∵OC ＝22，∠OCE ＝45°，∴OG ＝CG ＝2. ∴FG ＝2.∵在Rt △OGE 中，∠E ＝30°，∴GE ＝2 3. ∴EF ＝GE －FG ＝23－2.6．(2016·巴彦淖尔)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC 的平分线交AC 于点E ，过点E 作BE 的垂线交AB 于点F ，⊙O 是△BEF 的外接圆．(1)求证：AC 是⊙O 的切线；(2)过点E 作EH ⊥AB ，垂足为点H ，求证：CD ＝HF ；(3)若CD ＝1，EH ＝3，求BF 及AF 长．解：(1)证明：连接OE. ∵BE ⊥EF ，∴∠BEF ＝90°. ∴BF 是⊙O 的直径． ∵BE 平分∠ABC ， ∴∠CBE ＝∠OBE. ∵OB ＝OE ，∴∠OBE ＝∠OEB.∴∠OEB ＝∠CBE. ∴OE ∥BC.∴∠AEO ＝∠C ＝90°. ∴OE ⊥AE.又∵点E 在⊙O 上， ∴AC 是⊙O 的切线． (2)证明：连接DE.∵∠CBE ＝∠OBE ，EC ⊥BC 于点C ，EH ⊥AB 于点H ，∴EC ＝EH.∵∠CDE ＋∠BDE ＝180°，∠HFE ＋∠BDE ＝180°，∴∠CDE ＝∠HFE. 在△CDE 和△HFE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠CDE ＝∠HFE ，∠C ＝∠EHF ，EC ＝EH ，∴△CDE ≌△HFE(AAS)．∴CD ＝HF.(3)由(2)得CD ＝HF.又∵CD ＝1，∴HF ＝1. 在Rt △HFE 中，EF ＝GH 2＋HF 2＝10. ∵∠EHF ＝∠BEF ＝90°，∠EFH ＝∠BFE ， ∴△EHF ∽△BEF.∴EF BF ＝HF EF ，即10BF ＝110.∴BF ＝10. ∴OE ＝OF ＝12BF ＝5，OH ＝OF －HF ＝4.∴在Rt △OHE 中，cos ∠EOA ＝OH OE ＝45.∴Rt △EOA 中，cos ∠EOA ＝OE OA ＝45.∴5OA ＝45.∴OA ＝254.∴AF ＝OA －OF ＝54.类型3 阴影部分面积的计算7．(2017·孝感)如图，⊙O 的直径AB ＝10，弦AC ＝6，∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，过点D 作DE ∥AB 交CA 的延长线于点E ，连接AD ，BD.(1)由AB ，BD ，AD ︵围成的曲边三角形的面积是252＋25π4；(2)求证：DE 是⊙O的切线；(3)求线段DE 的长．解：(2)证明：连接OD ， ∵CD 平分∠ACB ， ∴∠ACD ＝∠BCD. ∴AD ＝BD. 又∵OA ＝OB ， ∴OD ⊥AB.∵DE ∥AB ，∴OD ⊥DE. 又∵点D 在⊙O 上， ∴DE 是⊙O 的切线． (3)∵AB ＝10，AC ＝6，∴BC ＝AB 2－AC 2＝8.过点A 作AF ⊥DE 于点F ，则四边形AODF 是正方形，∠EAF ＋∠CAB ＝90°， ∴AF ＝OD ＝FD ＝5.∵∠ABC ＋∠CAB ＝90°， ∴∠EAF ＝∠ABC. ∴tan ∠EAF ＝tan ∠ABC. ∴EF AF ＝AC BC ，即EF 5＝68. ∴EF ＝154.∴DE ＝DF ＋EF ＝154＋5＝354.。

2018年人教版中考6.1圆的有关性质-复习课件+检测试卷含真题分类汇编解析共58页

长为 2 的圆，那么下列判断正确的是( C )
A．点 P，M 均在圆 A 内 B．点 P，M 均在圆 A 外 C．点 P 在圆 A 内，点 M 在圆 A 外 D．点 P 在圆 A 外，点 M 在圆 A 内
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第27课时┃圆的有关性质解析
∵在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
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第27课时┃圆的有关性质
考点5 圆心角、弧、弦之间的关系
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的_弧_____ 定理
相等，所对的__弦____也相等在同圆或等圆中，如果两个圆心角﹑两条弧或推论两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等
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3
图 26－1
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第27课时┃圆的有关性质
解析 ∵M 是⊙O 中弦 CD 的中点，根据垂径定理的推
论，得 EM⊥CD.又 CD＝4，∴CM＝12CD＝2. 设圆的半径为 x 米，连接 OC，在 Rt△COM 中，由勾
股定理，得 OC2＝CM2＋OM2，即 x2＝22＋(6－x)2，解得 x ＝130.
数学
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第六单元圆第27课时圆的有关性质
第27课时┃圆的有关性质
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1．[九上 P89 习题 24.1 第 8 题改编] 如图 26－1 是一个隧道的横截面，它的形状是以点 O 为圆心的圆的一部分．如果 M 是⊙O 中弦 CD 的中点，EM 经过圆心 O 交圆 O 于点 E，并且 CD＝4 m，EM ＝6 m，则⊙O 的半径为_1_0______m.

2018年江西省中考数学《第六单元圆》总复习检测卷含解析

第六单元限时检测卷(时间：120分钟分值：120分)一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)1．⊙O的半径r＝5 cm，圆心到直线l的距离OM＝4 cm，则⊙O与直线l的位置关系为()A．相离B．相交C．相切D．无法判断2．如图1，在平面直角坐标系中，⊙P的半径为2，圆心P的坐标为(－3,0)，将⊙P沿x 轴的正方向平移，使得⊙P与y轴相切，则平移的距离为()图1A．1 B．3C．5 D．1或53．已知，AB是⊙O的弦，且OA＝AB，则∠AOB的度数为()A．30°B．45°C．60°D．90°4．如图2，AB是⊙O的直径，过⊙O上的点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D，若∠A＝25°，则∠D的度数是()图2A．25°B．40°C．50°D．65°5．如图3，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD＝30°，则∠BAD的度数为()图3A．30°B．50°C．60°D．70°6．如图4，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB，OC．若∠BAC与∠BOC 互补，则弦BC 的长为( )图4A ．3 3B ．4 3C ．5 3D ．6 3二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7．已知扇形的面积为3π，圆心角为120°，则它的半径为__________．8．如图5，C ，D 是以线段AB 为直径的⊙O 上的两点，若CA ＝CD ，且∠ACD ＝40°，则∠CAB 的度数为__________．图59．如图6，CD 为⊙O 的弦，直径AB 为4，AB ⊥CD 于E ，∠A ＝30°，则BC ︵的长为__________．(结果保留π)图610．如图7，四边形ABCD 内接于⊙O ，F 是CD ︵上一点，且DF ︵＝BC ︵，连接CF 并延长交AD 的延长线于点E ，连接AC ．若∠ABC ＝105°，∠BAC ＝25°，则∠E 的度数为__________．图711．将直角△ABC 绕顶点B 旋转至如图8位置，其中∠C ＝90°，AB ＝4，BC ＝2，点C ，B ，A ′在同一直线上，则阴影部分的面积是__________．图812．如图9，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝30°，⊙P的半径为1 cm，且OP＝4 cm，如果⊙P以1 cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么__________秒后⊙P与直线CD相切．图9三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)13．赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1 400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙．如图10，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，求桥弧AB所在圆的半径．图1014．如图11，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，延长DC交AB的延长线于点E.若AC＝EC，求证：AD＝BE.图1115．如图12，AB是⊙O的直径，且AB＝4，AC是弦，∠CAB＝40°，求劣弧BC和弦AC的长．(参考数据：sin 40°≈0.643，cos 40°≈0.766，tan 40°≈0.839，弧长计算结果保留π，弦长精确到0.01)图1216．如图13，△ABC 是⊙O 的内接三角形，点D ，E 在⊙O 上，连接AE ，DE ，CD ，BE ，CE ，∠EAC ＋∠BAE ＝180°，AB ︵＝CD ︵.图13(1)判断BE 与CE 之间的数量关系，并说明理由； (2)求证：△ABE ≌△DCE .17．(2018贵阳)如图14，C ，D 是半圆O 上的三等分点，直径AB ＝4，连接AD ，AC ，DE ⊥AB ，垂足为E ，DE 交AC 于点F .图14(1)求∠AFE 的度数；(2)求阴影部分的面积．(结果保留π和根号) 四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．如图15，在平面直角坐标系中，△ABC 内接于⊙P ，AB 是⊙P 的直径，A (－1,0)，C (3,2 2)，BC 的延长线交y 轴于点D ，点F 是y 轴上的一动点，连接FC 并延长交x 轴于点E .图15(1)求⊙P的半径；(2)当∠A＝∠DCF时，求证：CE是⊙P的切线．19．(2018南充)如图16，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F.图16(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若CF＝2，DF＝4，求⊙O直径的长．20．如图17，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点A为圆心，AC为半径，作⊙A，交AB 于点D，交CA的延长线于点E，过点E作AB的平行线交⊙A于点F，连接AF，BF，DF.(1)求证：△ABC≌△ABF；(2)当∠CAB＝60°时，判断四边形ADFE是什么特殊四边形？说明理由．图17五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．如图18，OA ，OB 是⊙O 的半径，且OA ⊥OB ，点C 是OB 延长线上任意一点，过点C 作CD 切⊙O 于点D ，连接AD 交OC 于点E .(1)求证：CD ＝CE ；(2)如图19，若将图18中的半径OB 所在直线向上平移，交OA 于F ，交⊙O 于B ′，其他条件不变，求证：∠C ＝2∠A ；图18 图1922．如图20，已知⊙O 的半径为2，AB 为直径，CD 为弦．AB 与CD 交于点M ，将CD ︵沿着CD 翻折后，点A 与圆心O 重合，延长OA 至P ，使AP ＝OA ，连接PC ．(1)求CD 的长；(2)求证：PC 是⊙O 的切线；(3)点G 为ADB ︵的中点，在PC 延长线上有一动点Q ，连接QG 交AB 于点E ，交BC ︵于点F (F 与B ，C 不重合)．GE ·GF 是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．图20六、(本大题共12分)23．如图21所示，点A 为半圆O 的直径MN 所在直线上的一点，射线AB 垂直于MN ，垂足为A ，半圆绕M 点顺时针转动，转过的角度记作α.设半圆O 的半径为R ，AM 的长度为m ，回答下列问题：探究：(1)若R ＝2，m ＝1，如图21，当旋转30°时，圆心O ′到射线AB 的距离是________；如图22，当α＝________°时，半圆O 与射线AB 相切；(2)如图23，在(1)的条件下，为了使得半圆O 转动30°即能与射线AB 相切，在保持线段AM 长度不变的条件下，调整半径R 的大小，请你求出满足要求的R ，并说明理由．发现：(3)如图24，在0°＜α＜90°时，为了对任意旋转角都保证半圆O 与射线AB 能够相切，小明探究了cos α与R ，m 两个量的关系，请你帮助他直接写出这个关系：cos α＝________.(用含有R ，m 的代数式表示)拓展：(4)如图25，若R ＝m ，当半圆弧线与射线AB 有两个交点时，α的取值范围是__________，并求出在这个变化过程中阴影部分(半圆与射线AB 所形成的弓形)面积的最大值．(用m 表示)图21 图22 图23 图24 图25第六单元限时检测卷1．B 2.D 3.C 4.B 5.C 6.B 7.3 8.20° 9.23π 10.50°11.163π－2 3 12.2或6 13．解：根据垂径定理，得AD ＝12AB ＝20米．设圆的半径是R ，根据勾股定理，得R 2＝202＋(R －10)2，解得R ＝25(米)．答：桥弧AB 所在圆的半径为25米． 14．证明：∵AC ＝EC ，∴∠E ＝∠CAE .∵AC 平分∠BAD ，∴∠DAC ＝∠CAB .∴∠DAC ＝∠E . ∵四边形ABCD 内接于⊙O ， ∴∠ADC ＋∠ABC ＝180°.又∠CBE ＋∠ABC ＝180°，∴∠ADC ＝∠CBE . 在△ADC 和△EBC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ADC ＝∠EBC ，∠DAC ＝∠E ，AC ＝EC ，∴△ADC ≌△EBC . ∴AD ＝BE . 15．解：连接OC ，BC ，如图1，图1∵∠CAB ＝40°，∴∠COB ＝80°. ∴劣弧BC 的长＝80·π·2180＝8π9.∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°. 在Rt △ACB 中，cos 40°＝AC AB ＝AC4，∴AC ＝4cos 40°＝4×0.766≈3.06. 16．(1)解：BE ＝CE .理由如下：∵∠EAC ＋∠BAE ＝180°，∠BCE ＋∠BAE ＝180°， ∴∠BCE ＝∠EAC . ∴BE ︵＝CE ︵.∴BE ＝CE .(2)证明：∵AB ︵＝CD ︵，∴AB ＝CD . ∵BE ︵＝CE ︵，∴AE ︵＝ED ︵.∴AE ＝ED . 由(1)得BE ＝CE ，在△ABE 和△DCE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝DE ，AB ＝DC ，BE ＝CE ，∴△ABE ≌△DCE (SSS)．17．解：(1)如图2，连接OD ，OC ，图2∵C ，D 是半圆O 上的三等分点， ∴AD ︵＝CD ︵＝BC ︵.∴∠AOD ＝∠DOC ＝∠COB ＝60°. ∴∠CAB ＝30°.∵DE ⊥AB ，∴∠AEF ＝90°. ∴∠AFE ＝90°－30°＝60°. (2)由(1)知，∠AOD ＝60°，∵OA ＝OD ，AB ＝4，∴△AOD 是等边三角形，OA ＝2. ∵DE ⊥AO ，∴DE ＝ 3.∴S 阴影＝S 扇形AOD －S △AOD ＝60·π×22360－12×2×3＝23π－ 3.18．(1)解：如图3，作CG ⊥x 轴于G ，则AC 2＝AG 2＋CG 2＝(3＋1)2＋(2 2)2＝24， ∵AB 是⊙P 的直径， ∴∠ACB ＝90°. ∴cos ∠CAB ＝AG AC ＝ACAB .∴AB ＝AC 2AG ＝244＝6.∴⊙P 的半径为3.(2)证明：如图3，连接PC ，图3∵∠ACB ＝90°， ∴∠CAB ＋∠CBA ＝90°. ∵PC ＝PB ， ∴∠PCB ＝∠PBC . ∵∠A ＝∠DCF ＝∠ECB ， ∴∠ECB ＋∠PCB ＝90°. ∵C 在⊙P 上， ∴CE 是⊙P 的切线．19．(1)证明：如图4，连接OD ，CD ，图4∵AC 为⊙O 的直径，∴△BCD 是直角三角形．∵E 为BC 的中点，∴BE ＝CE ＝DE . ∴∠CDE ＝∠DCE .∵OD ＝OC ，∴∠ODC ＝∠OCD . ∵∠ACB ＝90°，∴∠OCD ＋∠DCE ＝90°. ∴∠ODC ＋∠CDE ＝90°，即OD ⊥DE . ∴DE 是⊙O 的切线． (2)解：设⊙O 的半径为r ， ∵∠ODF ＝90°，∴OD 2＋DF 2＝OF 2，即r 2＋42＝(r ＋2)2. 解得r ＝3. ∴⊙O 的直径为6. 20．(1)证明：∵EF ∥AB ， ∴∠E ＝∠CAB ，∠EF A ＝∠F AB . ∵∠E ＝∠EF A ，∴∠F AB ＝∠CAB . 在△ABC 和△ABF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AF ，∠CAB ＝∠F AB ，AB ＝AB ，∴△ABC ≌△ABF .(2)解：当∠CAB ＝60°时，四边形ADFE 为菱形．理由：∵∠CAB ＝60°，由(1)得∠F AB ＝∠CAB ， ∴∠F AB ＝∠CAB ＝∠F AE ＝60°. 又AD ＝AE ＝AF ，∴△AEF ，△AFD 为等边三角形． ∴EF ＝AD ＝AE ＝DF . ∴四边形ADFE 是菱形．21．证明：(1)连接OD ，如图5所示，图5∵OA ⊥OB ，∴∠AOE ＝90°. ∴∠A ＋∠AEO ＝90°，∵CD 是⊙O 的切线，∴∠ODC ＝90°，即∠CDE ＋∠ODE ＝90°.又OA ＝OD ，∴∠A ＝∠ODE .∴∠AEO ＝∠CDE .∵∠CED ＝∠AEO ，∴∠CDE ＝∠CED .∴CD ＝CE .(2)连接OD ，作CM ⊥AD 于M ，如图6所示，图6同(1)可证得CD ＝CE .则∠ECM ＝∠DCM ＝12∠DCE ，DE ＝2DM ，∠CME ＝90°. ∴∠ECM ＋∠CEM ＝90°.∵∠A ＋∠AEF ＝90°，∠AEF ＝∠CEM ，∴∠A ＝∠ECM .∴∠A ＝12∠DCE ，即∠DCE ＝2∠A . 22．(1)解：如图7，连接OC ，图7∵CD ︵沿CD 翻折后，点A 与圆心O 重合，∴OM ＝12OA ＝12×2＝1，CD ⊥OA . ∵OC ＝2，∴CD ＝2CM ＝2OC 2－OA 2＝222－12＝2 3.(2)证明：∵P A ＝OA ＝2，AM ＝OM ＝1，CM ＝12CD ＝3，∠CMP ＝∠OMC ＝90°，∴PM ＝3.∴PC ＝MC 2＋PM 2＝(3)2＋32＝2 3.∵OC ＝2，PO ＝2＋2＝4，∴PC 2＋OC 2＝(2 3)2＋22＝16＝PO 2.∴∠PCO ＝90°.∴PC 是⊙O 的切线．(3)解：GE ·GF 是定值．如图8，连接GO 并延长，交⊙O 于点H ，连接HF ，图8∵点G 为ADB ︵的中点，∴∠GOE ＝90°.∵∠HFG ＝90°，∴∠GOE ＝∠GFH .又∠OGE ＝∠FGH ，∴△OGE ∽△FGH .∴OG GF ＝GE GH. ∴GE ·GF ＝OG ·GH ＝2×4＝8.23．解：(1)3＋1；60°.(2)设切点为P ，如图9，连接O ′P ，作MQ ⊥O ′P ，则四边形APQM 是矩形．图9∴O ′P ＝O ′Q ＋QP ＝R .由题知，∠α＝30°，∴O ′Q ＝cos 30°·R ，AM ＝QP ＝1.∴R ＝32R ＋1.∴R ＝4＋2 3. (3)R －m R. (4)当半圆与射线AB 相切时，之后开始出现两个交点，此时α＝90°；当N ′落在AB 上时，为半圆与AB 有两个交点的最后时刻，此时∵MN ′＝2AM ，∴∠AMN ′＝60°.∴α＝120°.∴当半圆弧线与射线AB 有两个交点时，α的取值范围是90°＜α≤120°.当N ′落在AB 上时，阴影部分面积最大，∴S ＝120·π·m 2360－12·3m ·12m ＝πm 23－34m 2.。

通用版2018年中考数学总复习单元检测六圆试题新版新人教版

单元检测六圆(时间90分钟满分120分)一、选择题(每小题3分,共30分)1.如图,在☉O中,∠ABC=50°,则∠AOC等于(D)A.50°B.80°C.90°D.100°2.如图所示,AB是☉O的直径,==,∠COD=34°,则∠AEO的度数是(A)A.51°B.56°C.68°D.78°(第2题图)(第3题图)3.如图,AB是☉O的直径,CD为弦,CD⊥AB且相交于点E,则下列结论中不成立．．．的是(D)A.∠A=∠DB.=C.∠ACB=90°D.∠COB=3∠D4.如图,四边形ABCD内接于☉O,若四边形ABCO是平行四边形,则∠ADC的大小为(C)A.45°B.50°C.60°D.75°5.直线l与半径为r的圆O相交,且点O到直线l的距离为6,则r的取值范围是(C)A.r<6B.r=6C.r>6D.r≥66.如图,已知☉O的直径CD垂直于弦AB,垂足为点E,∠ACD=22.5°,若CD=6 cm,则AB的长为(B)A.4 cmB.3 cmC.2 cmD.2 cm(第6题图)(第7题图)7.如图,AB是圆O的直径,弦CD⊥AB,∠BCD=30°,CD=4,则S阴影=(B)A.2πB.πC.πD.π8.如图,AB是半圆O的直径,点P从点A出发,沿半圆弧AB顺时针方向匀速移动至点B,运动时间为t,△ABP 的面积为S,则下列图象能大致刻画S与t之间的关系的是(C)9.如图,AB为半圆所在☉O的直径,弦CD为定长且小于☉O的半径(C点与A点不重合),CF⊥CD交AB于点F,DE⊥CD交AB于点E,G为半圆弧上的中点.当点C在上运动时,设的长为x,CF+DE=y.则下列图象中,能表示y与x的函数关系的图象大致是(B)10.如图,☉O是△ABC的内切圆,若∠ABC=60°,∠ACB=40°,则∠BOC=(A)A.130°B.135°C.120°D.150°二、填空题(每小题5分,共20分)11.如图,☉O的两条弦AB,CD互相垂直,垂足为E,且AB=CD,已知CE=1,ED=3,则☉O的半径是.(第11题图)(第12题图)12.如图,AB是☉O的直径,OA=1,AC是☉O的弦,过点C的切线交AB的延长线于点D.若BD=-1,则∠ACD=112.5°.13.如下图,将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中,点A,B,C均落在格点上,用一个圆面去覆盖△ABC,能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是.14.如图,从☉O外的两点C和D分别引圆的两线DA,DC,CB,切点分别为点A、点E和点B,AB是☉O的直径,连接OC,连接OD交CB延长线于F,给出如下结论:①AD+BC=CD;②OD2=DE·CD;③OD=OC;④CD=CF.其中正确的是①②④.(把所有正确结论序号都填在横线上)三、解答题(共70分)15.(6分)如图,PA,PB是☉O的两条切线,A,B分别是切点,点C是上任意一点,连接OA,OB,CA,CB,∠P=70°, ACB的度数.解∵PA,PB是☉O的切线,OA,OB是半径,∴∠PAO=∠PBO=90°.又∵∠PAO+∠PBO+∠AOB+∠P=360°,∠P=70°,∴∠AOB=110°.∵∠AOB是圆心角,∠ACB是圆周角,∴∠ACB=55°.16.(6分)已知在以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于点C,D(如图所示).(1)求证:AC=BD;(2)若大圆的半径R=10,小圆的半径r=8,且圆心O到直线AB的距离为6,求AC的长.(1)证明过点O作OE⊥AB于点E,则CE=DE,AE=BE.-CE=BE-DE,即AC=BD.(2)解由(1)可知,OE⊥AB且OE⊥CD,∴CE===2.AE===8.∴AC=AE-CE=8-2.〚导学号92034207〛17.(6分)已知A,B,C,D是☉O上的四个点.(1)如图1,若∠ADC=∠BCD=90°,AD=CD,求证:AC⊥BD;(2)如图2,若AC⊥BD,垂足为E,AB=2,DC=4,求☉O的半径.图1图2(1)证明∵∠ADC=∠BCD=90°,是☉O的直径,且交点为圆心O.(2)解如图,画直径CK,连接DK,BC,则∠KDC=90°,∴∠K+∠KCD=90°.∵AC⊥BD,∴∠ACB+∠EBC=90°.∵∠EBC=∠K,∴∠ACB=∠KCD,∴=,∴DK=AB=2.∵DC=4,∴KC==2,∴☉O的半径为.〚导学号92034208〛18.(6分)如图,O是△ABC的内心,BO的延长线和△ABC的外接圆相交于点D,连接DC,DA,OA,OC,四边形OADC 为平行四边形.(1)求证:△BOC≌△CDA:(2)若AB=2,求阴影部分的面积.(1)为△ABC的内心,∴∠2=∠3,∠5=∠6.∵∠1=∠2,∴∠1=∠3,由(1)得BC=AC,∠3=∠4=∠6,∴∠ABC=∠ACB,∴AB=AC,△ABC为等边三角形,∴O为△ABC的内外E为BD与AC的交点,BE垂直平分AC.在Rt△OCE中,CE=AB=1,∠OCE=30°,∴OA=OB=OC=,∵∠AOB=120°,∴S阴=S扇形AOB-S△AOB=-×2×=.19.(8分)如图,在边长为1的正方形网格中,△ABC的顶点均在格点上,点A,B的坐标分别是A(4,3),B(4,1),把△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到△A1B1C.(1)画出△A1B1C,直接写出点A1,B1的坐标;(2)求在旋转过程中,△ABC所扫过的面积.所求作△A1B1C如图所示:由A(4,3),B(4,1)可建立如图所示坐标系,则点A1的坐标为(-1,4),点B1的坐标为(1,4);(2)∵AC===,∠ACA1=90°,∴在旋转过程中,△ABC所扫过的面积为+S△ABC=+×3×2=+3.20.(10分)已知在△ABC中,∠ABC=90°,以AB上的一点O为圆心,以OA为半径的圆交AC于点D,交AB 于点E.(1)求证:AC·AD=AB·AE;是☉O的切线,D是切点,E是OB的中点,当BC=2时,求AC的长.DE.是直径,∴∠ADE=90°,∴∠ADE=∠ABC.Rt△ADE和Rt△ABC中,∠A是公共角,故△ADE∽△ABC,则=,即AC·AD=AB·AE.OD.∵BD是圆O的切线,∴OD⊥BD.Rt△OBD中,OE=BE=OD,∴OB=2OD,∴∠OBD=30°.同理∠BAC=30°.在Rt△ABC中,AC=2BC=2×2=4.〚导学号92034209〛21.(8分)如图,AB为☉O的直径,F为弦AC的中点,连接OF并延长交于点D,过点D作☉O的切线,交BA 的延长线于点E.(1)求证:AC∥DE;(2)连接CD,若OA=AE=a,求四边形ACDE的面积.与☉O相切于D,∴OD⊥DE.∵F为弦AC中点,DM⊥OA于M,连接CD,CO,AD.是等边三角形,同理△CDO也是等边三角形,∴∠CDO=∠DOA=60°,AE=CD=AD=AO=CO=a,∴AO∥CD,又AE=CD,∴四边形ACDE是平行四边形,易知DM=a,∴平行四边形ACDE面积为a2.22.(10分)已知:如图,☉O是△ABC的外接圆,=,点D在边BC上,AE∥BC,AE=BD.(1)求证:AD=CE;(2)如果点G在线段DC上(不与点D重合),且AG=AD,求证:四边形AGCE是平行四边形.中,∵=,∴AB=AC,∴∠B=∠ACB.∵AE∥BC,∴∠EAC=∠ACB,∴∠B=∠EAC.在△ABD和∴△ABD≌△CAE(SAS),∴AD=CE.(2)接AO并延长,交边BC于点H,∵=,OA为半-DH=CH-GH,即BD=CG.∵BD=AE,∴CG=AE.∵CG∥AE,∴四边形AGCE是平行四边形.23.(10分)如图1,AB为半圆O的直径,D为BA的延长线上一点,DC为半圆O的切线,切点为C.(1)求证:∠ACD=∠B.(2)如图2,∠BDC的平分线分别交AC,BC于点E,F;①求tan∠CFE的值;②若AC=3,BC=4,求CE的长.图1图2,连接OC.∵OA=OC,∴∠1=∠2.∵CD是☉O切线,∴OC⊥CD,∴∠DCO=90°,∴∠3+∠2=90°.∵AB是直径,∴∠1+∠B=90°,∵∠ECF=90°,∴∠CEF=∠CFE=45°,∴tan∠CFE=tan 45°=1.②在Rt△ABC中,∵AC=3,BC=4,∴AB==5.∵∠CDA=∠BDC,∠DCA=∠B,∴△DCA∽△DBC,∴===.∵∠CDE=∠BDF,∠DCE=∠B,∴△DCE∽△DBF,∴=.设EC=CF=x,∴=,∴x=.∴CE=.。

2018年中考数学总复习圆试题

2018年中考数学总复习圆试题D∠ABC=60°,∠ACB=40°,则∠BOC=(A)A.130°B.135°C.120°D.150°二、填空题(每小题5分,共20分)11.如图,☉O的两条弦AB,CD互相垂直,垂足为E,且AB=CD,已知CE=1,ED=3,则☉O的半径是.(第11题图)(第12题图)12.如图,AB是☉O的直径,OA=1,AC是☉O的弦,过点C的切线交AB的延长线于点 D.若BD=-1,则∠ACD=112.5°.13.如下图,将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中,点A,B,C均落在格点上,用一个圆面去覆盖△ABC,能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是.14.如图,从☉O外的两点C和D分别引圆的两线DA,DC,CB,切点分别为点A、点E和点B,AB是☉O的直径,连接OC,连接OD交CB延长线于F,给出如下结论:①AD+BC=CD;②OD2=DE·CD;③OD=OC;④CD=CF.其中正确的是①②④.(把所有正确结论序号都填在横线上)三、解答题(共70分)15.(6分)如图,PA,PB是☉O的两条切线,A,B分别是切点,点C是上任意一点,连接OA,OB,CA,CB,∠P=70°,求∠ACB的度数.解∵PA,PB是☉O的切线,OA,OB是半径,∴∠PAO=∠PBO=90°.又∵∠PAO+∠PBO+∠AOB+∠P=360°,∠P=70°,∴∠AOB=110°.∵∠AOB是圆心角,∠ACB是圆周角,∴∠ACB=55°.16.(6分)已知在以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB 交小圆于点C,D(如图所示).(1)求证:AC=BD;(2)若大圆的半径R=10,小圆的半径r=8,且圆心O到直线AB的距离为6,求AC的长.(1)证明过点O作OE⊥AB于点E,则CE=DE,AE=BE.∴AE-CE=BE-DE,即AC=BD.(2)解由(1)可知,OE⊥AB且OE⊥CD,∴CE===2.AE===8.∴AC=AE-CE=8-2.〚导学号92034207〛17.(6分)已知A,B,C,D是☉O上的四个点.(1)如图1,若∠ADC=∠BCD=90°,AD=CD,求证:AC⊥BD;(2)如图2,若AC⊥BD,垂足为E,AB=2,DC=4,求☉O的半径.图1图2(1)证明∵∠ADC=∠BCD=90°,∴AC,BD是☉O的直径,且交点为圆心O.∵AD=CD,AO=CO,∴AC⊥BD.(2)解如图,画直径CK,连接DK,BC,则∠KDC=90°,∴∠K+∠KCD=90°.∵AC⊥BD,∴∠ACB+∠EBC=90°.∵∠EBC=∠K,∴∠ACB=∠KCD,∴=,∴DK=AB=2.∵DC=4,∴KC==2,∴☉O的半径为.〚导学号92034208〛18.(6分)如图,O是△ABC的内心,BO的延长线和△ABC 的外接圆相交于点D,连接DC,DA,OA,OC,四边形OADC 为平行四边形.(1)求证:△BOC≌△CDA:(2)若AB=2,求阴影部分的面积.(1)证明∵O为△ABC的内心,∴∠2=∠3,∠5=∠6.∵∠1=∠2,∴∠1=∠3,由AD∥CO,AD=CO,∴∠4=∠5,∴∠4=∠6,∴△BOC≌△CDA.(2)解由(1)得BC=AC,∠3=∠4=∠6,∴∠ABC=∠ACB,∴AB=AC,△AB C为等边三角形,∴O为△ABC的内外心,∴OA=OB=OC.设E为BD与AC的交点,BE垂直平分AC.在Rt△O CE 中,CE=AB=1,∠OCE=30°,∴OA=OB=OC=,∵∠AOB=120°,∴S阴=S扇形AOB-S△AOB=-×2×=.19.(8分)如图,在边长为1的正方形网格中,△ABC 的顶点均在格点上,点A,B的坐标分别是A(4,3),B(4,1),把△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到△A 1B1C.(1)画出△A1B1C,直接写出点A1,B1的坐标;(2)求在旋转过程中,△ABC所扫过的面积.解(1)所求作△A1B1C如图所示:由A(4,3),B(4,1)可建立如图所示坐标系,则点A1的坐标为(-1,4),点B1的坐标为(1,4);(2)∵AC===,∠ACA1=90°,∴在旋转过程中,△ABC所扫过的面积为+S△ABC=+×3×2=+3.20.(10分)已知在△ABC中,∠ABC=90°,以AB上的一点O为圆心,以OA为半径的圆交AC于点D,交AB 于点E.(1)求证:AC·AD=AB·AE;(2)如果BD是☉O的切线,D是切点,E是OB的中点,当BC=2时,求AC的长.(1)证明连接DE.∵AE是直径,∴∠ADE=90°,∴∠ADE=∠ABC.在Rt△ADE和Rt△ABC中,∠A是公共角,故△ADE∽△ABC,则=,即AC·AD=AB·AE.(2)解连接OD.∵BD是圆O的切线,∴OD⊥BD.在Rt△OBD中,OE=BE=OD,∴OB=2OD,∴∠OBD=30°.同理∠BAC=30°.在Rt△ABC中,AC=2BC=2×2=4.〚导学号92034209〛21.(8分)如图,AB为☉O的直径,F为弦AC的中点,连接OF并延长交于点D,过点D作☉O的切线,交BA的延长线于点E.(1)求证:AC∥DE;(2)连接CD,若OA=AE=a,求四边形ACDE的面积.(1)证明∵ED与☉O相切于D,∴OD⊥DE.∵F为弦AC 中点,∴OD⊥AC,∴AC∥DE.(2)解作DM⊥OA于M,连接CD,CO,AD.∵AC∥DE,AE=AO,∴OF=DF.∵AF⊥DO,∴AD=AO,∴AD=AO=OD,∴△ADO是等边三角形,同理△CDO也是等边三角形,∴∠CDO=∠DOA=60°,AE=CD=AD=AO=CO=a,∴AO ∥CD,又AE=CD,∴四边形ACDE是平行四边形,易知DM=a,∴平行四边形ACDE面积为a2.22.(10分)已知:如图,☉O是△ABC的外接圆,=,点D 在边BC上,AE∥BC,AE=BD.(1)求证:AD=CE;(2)如果点G在线段DC上(不与点D重合),且AG=AD,求证:四边形AGCE是平行四边形.(1)证明在☉O 中,∵=,∴AB=AC,∴∠B=∠ACB.∵AE∥BC,∴∠EA C=∠ACB,∴∠B=∠EAC.在△ABD和△CAE 中,∵AB=CA,∠B=∠EAC,BD=AE,∴△ABD≌△CAE(SAS),∴AD=CE.(2)解连接AO并延长,交边BC于点H,∵=,OA为半径,∴AH⊥BC,∴BH=CH.∵AD=AG,∴DH=HG,∴BH-DH= CH-GH,即BD=CG.∵BD=AE,∴CG=AE.∵CG∥AE,∴四边形AGCE是平行四边形.23.(10分)如图1,AB为半圆O的直径,D为BA的延长线上一点,DC为半圆O的切线,切点为C.(1)求证:∠ACD=∠B.(2)如图2,∠BDC的平分线分别交AC,BC于点E,F;①求tan∠CFE的值;②若AC=3,BC=4,求CE的长.图1图2(1)证明如图中,连接OC.∵OA=OC,∴∠1=∠2.∵CD是☉O切线,∴OC⊥CD,∴∠DCO=90°,∴∠3+∠2=90°.∵AB是直径,∴∠1+∠B=90°,∴∠3=∠B.∴∠ACD=∠B.(2)解①∵∠CEF=∠ECD+∠CDE,∠CFE=∠B+∠FDB,∠CDE=∠FDB,∠ECD=∠B,∴∠CEF=∠CFE,∵∠ECF=90°,∴∠CEF=∠CFE=45°,∴tan∠CFE=tan 45°=1.②在Rt△ABC中,∵AC=3,BC=4,∴AB==5.∵∠CDA=∠BDC,∠DCA=∠B,∴△DCA∽△DBC,∴===.∵∠CDE=∠BDF,∠DCE=∠B,∴△DCE∽△DBF,∴=.设EC=CF=x,∴=,∴x=.∴CE=.。

【中考数学】2018最新人教版数学复习第6章圆第21讲圆的有关性质课件

拓展►等弧只存在于同圆或者等圆中，是指能够完全重合的弧，而不是弧长相等或者所对圆心角相等的弧．
典型例题运用类型1 垂径定理
【例1】在圆柱形油槽内装有一些油．截面如图，油面宽AB为6 分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面宽变为8 分米，圆柱形油槽直径MN为( C ) A．6分米 B．8分米 C．10分米 D．12分米
推论2 圆的两条平行弦所夹的弧⑦ 相等
过圆心、平分弦、垂直于弦、平分弦所对的劣弧、推论3 平分弦所对的优弧，若一条直线具备这五项中任意两项，则必具备另外三项
考点2 圆心角、弧、弦之间的关系
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的① 弧相等，所对的② 弦相等在同圆或等圆中，如果两个圆心角﹑两条弧或两条推论弦中有③ 一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等定理
6．[2014·潍坊，6,3分]如图，▱ABCD的顶点A，B，D在⊙O 上，顶点C在⊙O的直径BE上，连接AE，∠E＝36°，则 ∠ADC的度数是( B ) A．44° B．54° C．72° D．53°
B ∵BE为⊙O的直径，∴∠BAE＝90°.∴∠ABC＝90°－ ∠AEB＝54°.∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠ADC＝ ∠ABC＝54°.
(2)如图，过点D作DK⊥AO于点K. ∵由(1)知，AO⊥BC，OB＝OC，BC＝6，
六年真题全练命题点1 垂径定理通过近几年潍坊市中考试题可以看出，垂径定理的考查不是命题的重点，一般情况下不单独命题，试题难度不大，经常与勾股定理结合命题． 1．[2017·潍坊，10,3分]链接第21讲六年真题全练第4题． 2．[2016·潍坊，9,3分]链接第22讲六年真题全练第1题．
类型2 圆周角定理及其推论【例2】[2017·台州中考]如图，已知等腰Rt△ABC，点P是斜边BC 上一点(不与B，C重合)，PE是△ABP的外接圆⊙O的直径． (1)求证：△APE是等腰直角三角形； (2)若⊙O的直径为2，求PC2＋PB2的值．【思路分析】(1)根据等腰直角三角形的性质得出 ∠C＝∠ABC＝∠PEA＝45°，再由PE是⊙O的直径，得出∠PAE＝90°，∠PEA＝∠APE＝45°，从而证得△APE是等腰直角三角形；(2)根据题意可知， AC＝AB，AP＝AE，再证△CPA≌△BEA，得出CP＝ BE，依勾股定理即可得PC2＋PB2的值．

2018年中考数学圆压轴题专题复习

如图，△ ABC 是⊙ O 的内接三角形， AD ⊥BC 于 D 点， AE 是直径 .
说明： (1) AB·AC=AD ·AE；
(2) 延长 AD 交圆于点 F ，连结 BE， CF，则 BE=CF．
A
O
B
DC
E
如图，已知 AB 是⊙ O 的弦， OB=2，∠ B=30°， C 是弦 AB 上的任意一点 ( 不与点 A、 B
.
设点与圆心的距离为 d，圆的半径为 r，则三种位置关系的判断方法为：
点在圆外 d r ；点在圆上 d r ；点在圆内 d r ．
经过三角形的三个顶点的圆叫三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做三角形的外
心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
②直线和圆的位置关系有三种：相离、相切、相交．
如果一条直线与一个圆没有公共点，那么就说这条直线与这个圆相离．
重合 ) ，连接 CO 并延长 CO 交⊙ O 于点 D ，连接 AD．
(1) 弦长 AB 等于
(
结果保留根号 ) ；
(2) 当∠ D=20°时，求∠ BOD 的度数；
(3) 当 AC 的长度为多少时，以 A， C， D 为顶点的三角形与以 B，C， O 为顶点的三角形
相似？请写出解答过程．
D
O
AC
弧长和扇形的面积圆柱、圆锥的侧面积和全面积
2.基础知识
(1) 圆的认识 ①圆可由圆心与半径确定 .圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小 .
圆是一个旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度，它都与自身重合，其旋转对称中心为圆
心．圆还是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴
.
②弦是连接圆上任意两点的线段 .经过圆心的弦叫做直径，它是圆中最长的弦 .

2018-2019学年中考数学专题复习：圆

2018-2019学年中考数学专题复习：圆一、选择题。

1. 如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25∘，则∠BOD的度数是( )A.25∘B.30∘C.40∘D.50∘2. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=70∘，则∠D的度数是( )A.110∘B.90∘C.70∘D.50∘3. 如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=20∘，则∠C的大小等于()A.20∘B.25∘C.40∘D.50∘4. 如图，AB是⊙O的直径，C,D是⊙O上的点，∠DCB=30∘，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若AB=4，则DE的长为( )A.2B.4C.4√3D.2√35. 如图，正方形ABCD四个顶点都在⊙O上，点P是劣弧AB上的一点，则∠CPD的度数是( )A.35∘B.40∘C.45∘D.60∘6. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40∘，延长AC到点D，使CD=BC，点P是△ABD的内心，则∠BPC=( )A.105∘B.110∘C.130∘D.145∘7. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30∘，CD=2√3，则阴影部分的面积为（）A.2πB.πC.π3D.2π38. 已知圆的半径是2√3，则该圆的内接正六边形的面积是（）A.3√3B.9√3C.18√3D.36√3二、填空题。

如图，AB是⊙O的直径，AC,BC是⊙O的弦，直径DE⊥BC于点M.若点E在优弧CAB 上,AC=8,BC=6,则EM=________.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=70∘，AB=AC则∠ABC________．如图，在⊙O中，CD⊥AB于点E，若∠BAD＝30∘，且BE＝2，则CD＝________．如图Rt△ABC中，∠C=90∘，以BC为直径的⊙O交AB于点E，OD⊥BC交⊙O于点D，DE交BC于点F，点P为CB延长线上的一点，延长PE交AC于点G，PE=PF．下列4个结论：①GE=GC；②AG=GE；③OG // BE；∠A=∠P．其中正确的结论是________.(填写所有正确结论的序号)如图，将边长为3的正六边形铁丝框ABCDEF变形为以点A为圆心，AB d的长为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得扇形FAB（阴影部分）的面积为________．如图，在圆心角为90∘的扇形OAB中，半径OA=4，C为AB^的中点，D，E分别为OA，OB的中点，则图中阴影部分的面积为________．三、解答题。