常微分方程在数学建模中的应用.
数学建模中的常微分方程
数学建模中的常微分方程在科学中，常微分方程（ODE）是一种非常重要的数学工具，它在许多领域都有着广泛的应用，例如物理、化学、生物学等。
在数学建模中，ODE也起到了至关重要的作用。
一、什么是ODE？ODE是指只包含一个自变量（通常是时间）和它的一个或多个导数的方程。
例如，形式为dy/dx=f(x)的方程就是一个ODE，其中y是x的函数。
ODE分为一阶ODE和高阶ODE。
一阶ODE只包含y和它的一阶导数，而高阶ODE则包含更高阶的导数。
在数学建模中，我们通常使用一阶ODE来描述物理、化学、生物等系统。
二、ODE在数学建模中的应用1.物理建模ODE被广泛运用于物理建模中。
例如，在经典力学中，牛顿第二定律指出，质点的运动状态可以由ODE描述。
在电磁学中，麦克斯韦方程组也可以转化为ODE来描述电磁场的变化。
2.化学建模化学过程中涉及到许多反应，这些反应的速率常常可以使用ODE来描述。
在化学反应模型中，ODE可以用来描述化学反应底物的浓度、反应速率、反应机理等。
3.生物建模ODE在生物建模中也有着广泛的应用。
例如，ODE可用来描述种群数量的变化、生物系统的动力学行为、遗传学习环境等。
三、ODE的求解方法一阶ODE的求解方法非常多，例如欧拉方法、隐式欧拉方法、龙格-库塔方法等。
这些方法可以通过计算机程序实现。
四、数学建模实例考虑一个简单的数学建模实例：一个小球在重力作用下自由落体。
我们可以使用ODE来描述这一过程，即y''=-g，其中g为重力加速度。
假设小球的初始位置为y0，速度为v0，则小球的运动状态可以用ODE求解。
欧拉方法可以得到如下结果：y(n+1)=y(n)+h*v(n)v(n+1)=v(n)-h*g其中，h是自变量的步长。
通过不断迭代，我们可以得到小球落到地面的时间t和落地时的位置y(t)。
总结：ODE在数学建模中具有非常广泛的应用。
它不仅可以描述生物、化学、物理等系统的行为，还可以指导我们如何求解这些系统。
常微分方程数学建模案例分析
河 南教 育 学 院 学报 （自然 科 学 版 ）
取 时 间间隔 ［ ￡ ， ￡ ＋ｄ ｔ ］ ， 则该 时 间间 隔 内排 入 湖 ？ 白中 Ａ的量 为 ． ｄ ￡ ： ｄ ， 而 流 出湖 泊 的 Ａ 的量 为
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年， 可 使湖 泊 中污染 物 Ａ的含量 降至 ｍ。 以 内？ 模 型假 设 １ ） 假设 河 水是 湖水 的 唯一水 源且 湖水 容量 不变 ； ２ ） 假 设湖 泊 中 的浓 度 是均匀 的 ； ３ ） 假 设河 水 流进湖 后立 即与湖水 充分 混合 从而 使有 毒污 染物 全部 溶解 在湖 水 中．
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问题 １ ＿ ｉ
有一个湖泊的水量为 ， 据统计每年排入该湖泊 内包含污染物
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设从 即 日起 ， 第ｔ 年湖 泊 中污染 物 的总质 量为 ｍ， 则 此 时浓度 为 ．
收稿 日期 ： ２ ０ １ ５— ０ ６—１ ８
基金 项 目： 山东科技大学教 育教 学研 究“ 群星计划 ” 项 目（ Ｑ Ｘ ２ ０ １ ３ ２ ６ ５ ） ； 山东科技大学教学研究项 目（ Ｊ Ｇ ２ ０ １ ５ ０ ４ ）
０ 引 言
传 统 的大学 数 学教学 强 调理论 知识 的推 导 和计算 技 巧 的掌 握 ， 忽视 数 学思 想 的来 源及 在 实 际生 活 中 的 应用 ， 学生 在学 习过 程 中通 常感 到抽象 难懂 ， 而 当面对 实 际 问题 时 ， 更 不知 如 何用 数 学 知识 解 决 ． 因此， 在高 等 数学 课 堂教学 中开展实 际案 例教 学是 大学 数学 教学 改 革 的重 要方 向． 案 例教 学 是 由贴 近 生活 的实 际情 境 引 出数 学 问题 ， 转化 为数 学知识 ， 然 后用 所学 的数 学知 识 处理 各 种实 际 问题 ， 缩 短 教 学情 境 与实 际 生 活情 境 的差距 ， 提 高学 生学 习 的兴趣 ， 同时培养 学生 的实践 能力 与创新 能力 ． 常 微 分方程 是 高等数 学 中的一 个重 要 内容 ， 学生 在学 习时 往往 只知 道如何 解方 程 ， 并不懂 这些 方程 的实 际背景 ， 因此造 成学 生缺 乏学 习兴 趣与 动力 ． 案例 教学 在 授课 过 程 中从 实 际案 例 出发 ， 加强 学 生对 微 分 方程
常微分方程在数学建模中的应用初探
由于产品是优质品，每 一个产品都会带来新的销量，因此 ｔ 时刻 的产 品销 量增 长率 与 ， 成正 比，与此同时，市场有一定 的容量 ，即产 品的销 ｆ
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２常见常微分方程 数学建模应用举例 、
数学建模是当前理论与实践两方面的研究热点。 数学模型 是指用数 学 符号或数学语言针对一种实际问题或实际系统 的发 生现 象的描述 ， 这种描 述在一般情 况下是近似描述 。数学建模 就是结合 实际情况获得 该数学模 型、 解该模型从而得到结论， 求 并验 证 结 论 正确 合 理 与 否 的 整 个 过程 。 的 总 来说 ， 这是一个用数 学方法解 决实际 问题 的过程 ， 特别 是体现 了“ 数学 ” 用 的精神 。 具体到微分理论主要是解决人们在解决实际 问题是遇到 的以下 困 境： 如果一个变 量变化 （ 增大或者减 小） 另一个变量的变化情况 ， ， 包括变化 大 小 、 向 等性 质 。 解 决 这 种 问 题 的 时 候 ， 接 建 立 需 求 两 个 变 量 之 间 的 方 在 直 关 系 式 求 出两 者 变 化 的 关 系 是 比 较 困 难 的 ， 但 是 建 立 关 于 未 知 变 量 的 导 数， 形成未知变量 以及 自变量 的等式 ， 即构建微分方程则较为简洁 。 在微分 方程 中， 常微分方程涉及 的应用领域非常广泛 ， 已经从最初的物理 、 学应 力 用扩 展 到 了 生 物 、 学 以 及 工 程 技 术 等 各 个 领 域 ， 因 此 成 为 了 重 要 的 数 化 也 学 工 具 。常 微 分 方 程 解 决 实 际 问题 的 时 候 主 要 涉 及 两 方 面 的 内容 ， 一 是 其 哪些 问题可 以作为基础而建立一个常微分方程模 型， 其二是对模型进行分 析求解并 以其结果指导或解释现实世界发生的现象。 本文将 以常见 的常微 分方程为例 ， 分析常微分方程在数学建模中的重要应 用。
数学建模在常微分方程中的应用
数学建模在常微分方程中的应用
数学建模是指运用数学方法和技巧分析和解决实际问题的过程。
在数学建模中，常微分方程是一个重要的工具，它用于描述许多实际问题中的变化和发展。
下面将介绍常微分方程在数学建模中的应用。
常微分方程可以用来描述许多自然科学和工程科学中的变化和发展过程。
描述物理学中的运动、天文学中的行星运动和混合和反应过程等。
它们还可以用于解决实际问题，如人口增长、疾病传播、金融模型和生态系统动力学等。
常微分方程的一个重要应用领域是物理学。
在经典力学中，可以通过常微分方程来描述物体在外力作用下的运动。
牛顿第二定律可以用常微分方程的形式表示为：
m*d^2x/dt^2 = F(x,t)
其中m是物体的质量，dx/dt是物体的速度，F(x,t)是物体受到的外力。
这个方程可以用来研究物体的运动轨迹和速度随时间的变化。
常微分方程在工程科学中也有广泛的应用。
热传导方程可以用常微分方程的形式表示为：
d(theta)/dt = k*d^2(theta)/dx^2
其中theta是温度分布，t是时间，k是热传导系数，x是空间位置。
这个方程可以用来研究材料中的温度分布和传热过程。
在生物学和生态学中，常微分方程被用来描述生物种群的增长和相互作用。
Lotka-Volterra方程可以用常微分方程的形式表示为：
dN/dt = r*N - a*N*P
dP/dt = -b*P + c*N*P
其中N是捕食者的数量，P是猎物的数量，t是时间，r、a、b和c是常数。
这个方程可以用来研究捕食者和猎物种群之间的相互作用和稳定性。
数学建模思想在常微分方程课程教学中的应用
＝ 采 用计 算机 辅 助教 学 计 算机辅 助 教学 是一 种很好 的教 学方 法， 在 国外 教学 中非 常流行 ．把
多媒 体 引入到 微分 方程 的 日常课 堂教 学中 ， 多媒体 课件 图文 并茂 ， 突破 黑 板二 维 空 间的 局 限性， 充分 调 动学 生 的学 习欲 望 ， 以校 园网 为平 台 ，建立 网络 教 学 ，学 习跟踪 ， 在 线答 疑， 在线 交流 ， 突破 时 间和 空间 的界 限， 实 现最 大程 度 的资源 共享 ． 结合微 分方 程的 理论 知识 ，运 用 Ｍ ｐ ｅ Ｍ ｔ ａ 、 ａ ｌ 、 ａ ｌｂ Ｍ ｔｅ ａ ｉａ 等 软件来 求解 实 际问题 ， 为培养 学生 应用 数学 的思 想方法 和 ａｈ ｍ ｔｃ 计算 机 科学技 术 解决 实践 问题打 基础 三 、注ｔ 对学 生学 法 的指导 用数 学建模 思 想方 法来 指导 学生 学习 常微 分方程 ， 会收 到 事半功 倍的 学 习效 果 ，如 指 导学 生 采用 徐 利治 教授 倡 导 的 “ 关系 映射 反 演 ” 组）问 （ 题 时， 按如 下 Ｒ Ｉ 理 的图示 进行 思考 。 Ｍ 原 四 ．总结 综上 所述 ， 改变传 统 的照本 宣科 的教 学方式 ， 教 学过 程 中引入 数学 建模 的 思 在 想和实 例 ， 丰富 教学 内容 ， 发学 生 的学 激 习兴 趣 。在 教 学 中 贯 穿数 学 建模 思 想 ， 等 于教给 学 生一 种 好的 思想 方法 ， 足给 学 更 生一把 开启 成功大 门的钥匙， 为学 生架起 了 座 从数 学知 识到 实 际 问题 的桥 梁 ， 学生 能灵 活地 根据 实 际 问题 构建 出 使 合理 的 数学 模 型 ， 得心 应手 地解 决 问题 。 参考文献 ： ［ ］ 高 雄等 ． 微分 方程 ［ ］ 北京 ： 等教 育 出版社 ， ０ ６ １王 常 Ｍ． 高 ２０． ［］ ２ 姜启 源 ，谢金 星 ， 叶俊 ． 学模 型 ［ ］ 北 京 ： 等 教育 出版社 ， 数 Ｍ ． 高
控制系统的数学建模方法
控制系统的数学建模方法控制系统是指借助外部设备或内部程序，以使被控对象按照预定的要求或指令完成某种控制目标的系统。
在控制系统的设计过程中，数学建模是十分重要的一步。
通过数学建模，可以将实际的控制过程转化为数学方程，使得系统的行为可以被合理地分析和预测。
本文将介绍几种常用的数学建模方法，包括常微分方程模型、传递函数模型和状态空间模型。
1. 常微分方程模型常微分方程模型是控制系统数学建模中常用的方法。
对于连续系统，通过对系统的动态特性进行描述，可以得到常微分方程模型。
常微分方程模型通常使用Laplace变换来转化为复频域的传递函数形式，从而进行进一步的分析和设计。
2. 传递函数模型传递函数模型是描述线性时不变系统动态特性的一种方法。
它以输入和输出之间的关系进行建模，该关系可以用一个分子多项式与一个分母多项式的比值来表示。
传递函数模型常用于频域分析和控制器设计中，其数学形式直观且易于理解，适用于单输入单输出系统和多输入多输出系统。
3. 状态空间模型状态空间模型是一种将系统的状态表示为向量形式，并以状态方程描述系统动态行为的方法。
通过状态变量的引入，可以将系统行为从时域转换到状态空间，并进行状态变量的观测和控制。
状态空间模型具有较强的直观性和适应性，能够较好地描述系统的内部结构和行为特性，广泛应用于现代控制理论和控制工程实践中。
4. 神经网络模型神经网络模型是一种模拟人脑神经元间相互连接的计算模型，可以用于控制系统的建模与控制。
通过训练神经网络，可以实现对系统的非线性建模和控制，对于复杂控制问题具有较强的适应性和鲁棒性。
5. 遗传算法模型遗传算法是一种通过模拟生物进化过程，优化系统控制器参数的方法。
通过设定适应度函数和基因编码方式，利用遗传算法优化求解出最优控制器参数。
遗传算法模型广泛应用于控制系统自动调参和优化设计中，具有较强的全局寻优能力和较高的收敛性。
数学建模是控制系统设计的重要环节，通过合理选择建模方法，可以更好地描述和分析系统的动态特性，并基于此进行控制器设计和性能评估。
(完整版)常微分方程在数学建模中的应用.
微分方程应用1 引言常微分方程的形成与发展和很多学科有着密切的联系，例如力学、天文学、物理学等.数学的其他分支的快速发展，产生出很多新兴学科，这些新兴学科的产生都对常微分方程的发展有着深刻的影响，而且当前计算机的快速发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具.数学解决实际问题就必须建立模型，而数学建模就是把数学语言描述实际现象的过程.利用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分重要的一步，但是也是最困难的一步.建立数学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程.要通过大量调查、收集相关数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题.因此本文先简要介绍了如何建立微分方程模型，并通过具体的实例来简单地介绍了微分方程在数学建模中的应用.2 数学模型简介通常我们把现实问题的一个模拟称为模型．如交通图、地质图、航空模型和建筑模型等．利用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等来模拟现实的模型称为数学模型．数学模型在实际生活中经常碰到，如求不规则图形的面积，可建立定积分的数学模型，求变化率的问题可建立导数模型，统计学中抽样调查，买彩票中奖的概率问题等等．学会建立数学模型对解决实际生活问题会有很大的帮助．建立数学模型是沟通摆在面前的实际问题与数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁．随着科学技术的进步，特别是电子计算机技术的迅速发展，数学已经渗透到从自然科学技术到工农业生产建设，从经济生活到社会生活的各个领域．一般地说，当实际问题需要我们对所研究的现实对象提供分析、预报、决策、控制等方面的定量结果时，往往都离不开数学的应用，而建立数学模型则是这个过程的关键环节．3 常微分方程模型3．1 常微分方程的简介微分方程的发展有着渊远的历史．微分方程和微积分产生于同一时代，如苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解.牛顿在建立微积分的同时就对简单的微分方程用级数来求解.后来，瑞士数学家雅各布·贝努、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程理论.纵观微分方程的发展史，我们发现微分方程与物理、天文学以及日异月新的科学技术有着密切的联系.如牛顿研究天体力学和机械力学的时候，就利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动的规律.后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置.而这些都证明微分方程在改造自然和认识自然方面有着巨大的力量.微分方程是自变量、未知函数及函数的导数(或微分)组成的关系式．在解决实际问题的过程中，我们又得出了常微分方程的概念：如果在一个微分方程中出现的未知函数中只含有一个自变量，那么这个方程则称为常微分方程，也可以简单的叫做微分方程.在反映客观现实世界运动过程的量与量之间的关系中，大量存在满足微分方程关系似的数学模型，需要我们通过求解常微分方程来了解未知函数的性质．常微分方程是解决实际问题的重要工具.3．2 常微分方程模型示例数学模型按照建立模型的数学方法可以分为初等数学模型、几何模型、微分方程模型、图论模型、马氏链模型和规划论模型等．当我们描述实际对象的某些特性随时间(或空间)而演变的过程，分析它的变化规律，预测他的未来性态时，通常要建立对象的动态模型，即微分方程模型．建立微分方程模型就是把物理、化学、生物科学、工程科学和社会科学中的规律和原理用含有待定函数的导数或微分的数学关系式表示出来．下面我们由浅入深地介绍一些微分方程模型．例1 细菌的增长率与总数成正比．如果培养的细菌总数在24h内由100增长为400，那么，前12h后总数是多少？解：第一句话说的是在任何瞬间都成立的事实；第二句话给出的是特定瞬间的信息．如果我们用)y表示总数，第一句话告诉我们(tky dtdy = 它的通解为kt y Ae =A 和k 这两个常数可以由问题中第二句话提供的信息计算出来，即,100)0(=y (3.1) 和 ,400)24(=y (3.2) 其中t 的单位为小时．(3.1)意味着.100)0(0===A Ae y(3.2)意味着.400100)24(24==k e y它给出 .24)4(ln =k 故 .100)(244ln t e t y =要我们求的是200100)12(4ln )2412(==e y 个细菌．例 2 将室内一支读数为 60的温度计放到室外．10min 后，温度计的读数为 70；又过了10min ，读数为 76.先不用计算，推测一下室外的温度.然后利用牛顿的冷却定律计算出正确的答案．牛顿的冷却定律或称加热定律是：将温度为T 的物体放进处于常温m 的介质中时，T 的变化速率正比于T 与周围介质的温度差．在这个数学模型中，假定介质足够大，从而，当放入一个较热或较冷的物体时，m 基本上不受影响．实验证明，这是一个相当好的近似．解 显然，对于这个题首先要做的是了解牛顿定律的含义，这已经做过了。
常微分方程数学建模案例分析
常微分方程数学建模案例分析常微分方程是运用微积分中的概念与理论研究变化率的方程。
它是数学建模中常用的方法之一，可用于描述各种实际问题，如经济增长、生物扩散、化学反应等。
本文将通过一个关于人群传染病的数学建模案例，分析常微分方程在实际问题中的应用。
假设地有一种传染病，病毒的传播速度与感染者的接触频率有关。
现在我们要研究传染病的传播速度以及控制措施对传染病传播的影响。
为此，我们可以建立如下的数学模型：设N(t)表示时间t时刻的总人口数，而I(t)表示感染者的人口数，S(t)表示易感者的人口数。
根据该模型，易感者的人数随时间的变化率可表示为：dS/dt = -βSI其中，β表示感染率，即感染者每接触到一个易感者，会使其发病的概率。
感染者的人数随时间的变化率可表示为：dI/dt = βSI - γI其中，γ表示恢复率，即感染者每天被治愈的人数。
总人口数随时间的变化率可以通过易感者和感染者的变化率求和得到：dN/dt = dS/dt + dI/dt通过对该方程进行求解，我们可以得到感染者和易感者的人数随时间变化的解析解。
进一步，我们可以通过调节β和γ来研究不同的传播速度和控制措施对传染病传播的影响。
例如，如果β较大，表示感染率较高，此时传染速度会加快，可能导致传染病扩散的速度加快。
反之，如果β较小，表示感染率较低，传染病传播的速度会减慢。
另外，如果γ较大，表示恢复率较高，此时感染者的人数会快速减少，传染病传播的速度会减慢。
相反，如果γ较小，传染病传播的速度会加快。
通过对这些参数的调节，我们可以研究不同的控制措施对传染病传播的影响。
例如，我们可以通过降低感染率β或增加恢复率γ来减缓传染病传播的速度，从而控制疫情的爆发。
在实际应用中，常微分方程数学建模方法可以用于预测传染病的传播趋势，评估各种干预措施的效果。
此外，还可以通过引入更多的变量和参数，建立更复杂的模型，以更好地解释实际问题。
总之，常微分方程是数学建模中常用的方法之一，可以用于描述各种实际问题，如传染病的传播、经济增长等。
常微分方程数学建模案例分析
常微分方程数学建模案例分析假设我们要研究一个简单的生物系统：一种细菌的生长过程。
我们知道，细菌的生长通常可以描述为以指数速度增长的过程。
为了建立一个数学模型，我们首先需要确定一些基本假设和已知信息。
基本假设：1.我们假设细菌的生长速度与细菌的数量成正比。
2.我们假设细菌的死亡速率与细菌的数量成正比。
已知信息：1.我们已经知道在初始时刻，细菌的数量为N0个。
2.我们已经知道在初始时刻的细菌数量的增长速率为r个/单位时间。
3.我们已经知道在初始时刻的细菌数量的死亡速率为d个/单位时间。
接下来，我们将建立一个常微分方程模型来描述细菌数量的变化。
假设t表示时间，N(t)表示时间t时刻的细菌数量，则我们可以得到以下微分方程：dN/dt = rN - dN这个方程的含义是，细菌数量的变化率等于细菌的增长速率减去细菌的死亡速率。
如果我们将细菌的增长速率和死亡速率设为常数r和d，则上述方程可以进一步简化为：dN/dt = (r-d)N解这个微分方程，我们可以得到细菌数量随时间变化的函数N(t)。
根据初值条件N(0)=N0，我们可以求解该方程并得到解析解：N(t) = N0 * exp((r-d)t)上述解析解告诉我们，细菌数量随时间以指数速度增长。
这与我们的基本假设相符。
然而，对于复杂的系统，往往很难获得精确的解析解。
在这种情况下，我们可以使用数值方法来求解微分方程。
常见的数值方法包括欧拉法、改进的欧拉法和四阶龙格-库塔法等。
这些方法基于近似计算的原理，通过迭代逼近解。
在我们的细菌生长模型中，我们可以使用数值方法来计算细菌数量随时间的变化。
我们可以选择欧拉法，它是一种简单而直观的数值方法。
欧拉法的迭代公式为：N(t+h)=N(t)+h*(r-d)N(t)其中，N(t)是在时间t时刻的细菌数量，N(t+h)是在时间(t+h)时刻的细菌数量，h是时间间隔。
我们可以选择一个足够小的时间间隔h，并迭代使用欧拉法来计算细菌数量的近似解。
常微分方程在数学建模中的应用
常微分方程在数学建模中的应用首先是物理方面。
在物理学中，常微分方程广泛应用于描述运动、波动、电磁学、量子力学等问题。
例如，牛顿第二定律可以用常微分方程的形式表示为：\[m \frac{{d^2x}}{{dt^2}} = F(x,t)\]其中m为质量，x为位置，t为时间，F(x,t)为力。
这个方程可以用来描述物体的运动。
另一个例子是振动方程，可以通过常微分方程来描述弹簧振子、简谐振动等。
生物方面是另一个常见的应用领域。
生物学中经常需要对生物体的增长、衰退、群体动态等问题进行建模。
而常微分方程可以很好地描述这些问题。
例如，布鲁塞尔方程是描述细菌群体增长的常微分方程模型。
该模型使用了增长速率与细菌种群密度之间的关系。
通过求解布鲁塞尔方程，我们可以预测细菌的增长趋势，并为控制细菌的增长提供依据。
此外，常微分方程还可以在生物学中应用于描述神经网络、生物化学反应等。
经济方面也是常微分方程的应用领域之一、经济学中的一些重要问题，如经济增长、通货膨胀、利率变动等，都可以通过常微分方程进行建模和分析。
例如，Solow增长模型是描述经济增长的常微分方程模型。
该模型考虑了资本积累和技术进步对经济增长的影响。
通过求解Solow增长模型，我们可以分析经济增长的稳定状态、长期趋势和影响经济增长的因素。
除了物理、生物和经济学，常微分方程还可以在其他领域中应用。
例如，环境科学中可以通过常微分方程描述污染物的传输和扩散过程；工程学中可以应用常微分方程来描述振动、控制系统等问题。
此外，计算机科学中的数值方法也广泛应用于求解常微分方程的数值解。
总而言之，常微分方程在数学建模中的应用非常广泛，涵盖了物理、生物、经济等多个领域。
通过对常微分方程的求解和分析，我们可以获得有关问题的定量结论，并为问题的解决和决策提供支持。
常微分方程的解法在数学建模中的应用
常微分方程的解法在数学建模中的应用
常微分方程的解法在数学建模中有广泛的应用，涉及到许多领域，如物理学、经济学、生物学、工程学等。
以下介绍其中一些应用：
1. 物理学模型：在物理学建模中，常微分方程可以用来描述射线的传播，弹性杆的变形，振动的周期等。
如著名的二阶线性微分方程 y''+by'+ky=0 可以用来描述简谐振动，而 y'+ky=0 可以用来描述自由阻尼振动。
2. 经济学模型：经济学中很多模型，如经济增长模型、消费模型、储蓄模型等都可以用常微分方程来描述。
经济模型一般包含多个变量，每个变量都可以用常微分方程来表示，构成一组微分方程组，从而得到系统的解析解。
3. 生物学模型：常微分方程也是生物学建模中最常用的工具之一。
生物学中很多现象如人口增长、病毒传播、生物物种的竞争和合作等都可以用常微分方程来描述。
4. 工程学模型：工程学中，常微分方程可以用来描述控制系统中的动态行为，例如控制电路、城市交通流、水力系统等。
综上所述，常微分方程的解法在数学建模中有广泛的应用，能够帮助科学家和工程师更好地预测和解决现实生活中的问题。
常微分方程在数学建模中的应用(免费版)
常微分方程在数学建模中的应用这里介绍几个典型的用微分方程建立数学模型的例子. 一、人口预测模型由于资源的有限性,当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长,为了得到人口预测模型,必须首先搞清影响人口增长的因素,而影响人口增长的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾害、战争等诸多因素,如果一开始就把所有因素都考虑进去，则无从下手.因此,先把问题简化,建立比较粗糙的模型,再逐步修改,得到较完善的模型.例1（ 马尔萨斯 （Malthus ） 模型） 英国人口统计学家马尔萨斯（1766—1834）在担任牧师期间,查看了教堂100多年人口出生统计资料,发现人口出生率是一个常数,于1789年在《人口原理》一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口模型,他的基本假设是：在人口自然增长过程中,净相对增长（出生率与死亡率之差）是常数,即单位时间内人口的增长量与人口成正比,比例系数设为r ,在此假设下,推导并求解人口随时间变化的数学模型.解 设时刻t 的人口为)(t N ,把)(t N 当作连续、可微函数处理（因人口总数很大,可近似地这样处理,此乃离散变量连续化处理）,据马尔萨斯的假设,在t 到t t ∆+时间段内,人口的增长量为t t rN t N t t N ∆=-∆+)()()(,并设0t t =时刻的人口为0N ,于是|⎪⎩⎪⎨⎧==．，00)(d d N t N rN t N这就是马尔萨斯人口模型,用分离变量法易求出其解为)(00e )(t t r N t N -=,此式表明人口以指数规律随时间无限增长.模型检验：据估计1961年地球上的人口总数为91006.3⨯,而在以后7年中,人口总数以每年2%的速度增长,这样19610=t ,901006.3⨯=N ,02.0=r ,于是)1961(02.09e1006.3)(-⨯=t t N .这个公式非常准确地反映了在1700—1961年间世界人口总数.因为,这期间地球上的人口大约每35年翻一番,而上式断定年增加一倍（请读者证明这一点）．但是,后来人们以美国人口为例,用马尔萨斯模型计算结果与人口资料比较,却发现有很大的差异,尤其是在用此模型预测较遥远的未来地球人口总数时,发现更令人不可思议的问题,如按此模型计算,到2670年,地球上将有36 000亿人口.如果地球表面全是陆地（事实上,地球表面还有80%被水覆盖）,我们也只得互相踩着肩膀站成两层了,这是非常荒谬的,因此,这一模型应该修改.;例2（逻辑Logistic 模型） 马尔萨斯模型为什么不能预测未来的人口呢这主要是地球上的各种资源只能供一定数量的人生活,随着人口的增加,自然资源环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著,如果当人口较少时,人口的自然增长率可以看作常数的话,那么当人口增加到一定数量以后,这个增长率就要随人口的增加而减小.因此,应对马尔萨斯模型中关于净增长率为常数的假设进行修改.1838年,荷兰生物数学家韦尔侯斯特(Verhulst)引入常数m N ,用来表示自然环境条件所能容许的最大人口数（一般说来,一个国家工业化程度越高,它的生活空间就越大,食物就越多,从而m N 就越大）,并假设将增长率等于⎪⎪⎭⎫⎝⎛-m N t N r )(1,即净增长率随着)(t N 的增加而减小,当m N t N →)(时,净增长率趋于零,按此假定建立人口预测模型.解 由韦尔侯斯特假定,马尔萨斯模型应改为⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=，，000)(1d d N t N N N N r t N 上式就是逻辑模型,该方程可分离变量,其解为,)(00e 11)(t t r m mN N N t N --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=.下面,我们对模型作一简要分析.（1）当∞→t ,m N t N →)(,即无论人口的初值如何,人口总数趋向于极限值m N ；@（2）当m N N <<0时,01d d >⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=N N N r t N m ,这说明)(t N 是时间t 的单调递增函数；（3）由于N N N N N r t N m m ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=211d d 222,所以当2m N N <时,0d d 22>t N ,t N d d 单增；当2m N N >时,0d d 22<tN ,t N d d 单减,即人口增长率t Nd d 由增变减,在2m N 处最大,也就是说在人口总数达到极限值一半以前是加速生长期,过这一点后,生长的速率逐渐变小,并且迟早会达到零,这是减速生长期；（4）用该模型检验美国从1790年到1950年的人口,发现模型计算的结果与实际人口在1930年以前都非常吻合,自从1930年以后,误差愈来愈大,一个明显的原因是在20世纪60年代美国的实际人口数已经突破了20世纪初所设的极限人口.由此可见该模型的缺点之一是m N 不易确定,事实上,随着一个国家经济的腾飞,它所拥有的食物就越丰富, m N 的值也就越大；(5）用逻辑模型来预测世界未来人口总数.某生物学家估计,029.0=r ,又当人口总数为91006.3⨯时,人口每年以2%的速率增长,由逻辑模型得⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=m N N r t N N 1d d 1, 即 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=m N 91006.31029.002.0, 从而得 91086.9⨯=m N ,即世界人口总数极限值近100亿. ）值得说明的是：人也是一种生物,因此,上面关于人口模型的讨论,原则上也可以用于在自然环境下单一物种生存着的其他生物,如森林中的树木、池塘中的鱼等,逻辑模型有着广泛的应用.二、市场价格模型对于纯粹的市场经济来说,商品市场价格取决于市场供需之间的关系,市场价格能促使商品的供给与需求相等(这样的价格称为(静态)均衡价格).也就是说,如果不考虑商品价格形成的动态过程,那么商品的市场价格应能保证市场的供需平衡,但是,实际的市场价格不会恰好等于均衡价格,而且价格也不会是静态的,应是随时间不断变化的动态过程.例3 试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型解 假设在某一时刻t ,商品的价格为)(t p ,它与该商品的均衡价格间有差别,此时,存在供需差,此供需差促使价格变动.对新的价格,又有新的供需差,如此不断调节,就构成市场价格形成的动态过程,假设价格)(t p 的变化率tpd d 与需求和供给之差成正比,并记),(r p f 为需求函数,)(p g 为供给函数（r 为参数）,于是()()[]⎪⎩⎪⎨⎧=-=，，0)0(,d d p p p g r p f tpα 其中0p 为商品在0=t 时刻的价格,α为正常数.若设b ap r p f +-=),(,d cp p g +=)(,则上式变为—⎪⎩⎪⎨⎧=-++-=，，0)0()()(d d p p d b p c a t pαα ① 其中d c b a ,,,均为正常数,其解为ca db c a d b p t p t c a +-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-)(0e)(α. 下面对所得结果进行讨论:（1）设p 为静态均衡价格 ,则其应满足0)(),(=-p g r p f ,即d p c b p a +=+-,于是得ca db p +-=,从而价格函数)(t p 可写为 。
常微分方程在数学建模中应用论文
论常微分方程在数学建模中的应用摘要：常微分方程的形成和发展与去多学科密切相关，诸如力学、天文学等。
如果想用数学解决实际问题，就必须建立模型。
本文重点介绍了常微分方程理论与数学建模结合起来，在人口预测中的应用。
关键词：常微分方程数学建模人口预测引言纵观微分方程的发展史，我们发现微分方程与物理、天文学以及日异月新的科学技术有着密切的联系。
牛顿在研究天体力学和机械力学的时候，就利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动的规律。
后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。
这些都证明微分方程在改造自然和认识自然方面有着巨大的力量。
微分方程是自变量、未知函数及函数的导数(或微分)组成的关系式。
在解决实际问题的过程中，我们又得出了常微分方程的概念：如果在一个微分方程中出现的未知函数中只含有一个自变量，那么这个方程则称为常微分方程，也可以简单的叫做微分方程.在反映客观现实世界运动过程的量与量之间的关系中，大量存在满足微分方程关系似的数学模型，需要我们通过求解常微分方程来了解未知函数的性质。
常微分方程是解决实际问题的重要工具。
常微分方程在数学建模中的应用举例微分方程在数学建模中的应用大体是：首先，建立数学模型，根据问题的目的、要求具体分析做出相应的简化和假设；然后按照规律列出微分方程，求出方程的解；最后将实际对象带入结果中，对问题进行描述、分析、预测和控制。
2.1人口指数增长模型最简单的人口增长模型是：记今年人口为，年后人口为，年增长率为，则(4.1)这个公式的基本前提是年增长率保持不变。
二百多年前英国人口学家马尔萨斯调查了英国一百多年的人口统计资料，得出了人口的增长率是常数的假设，并据此建立了著名的人口指数增长模型。
记时刻的人口为，当考察一个国家或一个较大地区的人口时，是一个很大的整数，为了利用微积分这一数学工具，将视为连续、可微函数。
记初始时刻的人口为，假设人口增长率为常数，即单位时间内的增量与的比例系数。
数学建模融入常微分方程教学的研究
讨论 和辩 论 ， 养学 生主动探索 、 力进 取的学 风 ， 培 努 培养学
生从事科研工作 的初步 能力 ， 培养学生 团结 协作的精神 、 形
成一个生动活泼的环境和气氛 ，教学 过程的重点是创造一
传 统内容与现代 内容的关 系 ， 即在讲 解经典 内容 的同时 ， 注 意渗透现代数学的观点 、 概念 和方法 ， 为现代 数学适 当地提 供 内容展示 的窗 Ｅ和延伸发展 的接 口，提 高学生获取现代 １
知识的能力 。要努力突破原有课程体 系的界限， 促进相关课
程 和相关 内容 的有机结合 和相互 渗透 ，促进不 同学科 内容 的融合 ， 加强对学生应用能力的培养 ， 淡化复杂 的数学运算
个 环 境 去 诱 导 学 生 的 学 习 欲 望 、培 养 他 们 的 自学 能 力 ， 增
强他 们的数学素 质和创新 能力 ，提 高他们 的数学素 质 ， 强
调 的是获取新知识的能 力 ， 是解决 问题 的过程 ， 而不是知识
与结 果 。
习的难度 ，从而不可避免地使一部分学 生对 数学课程产生
分析 和解决 问题 的全过程 ，提高他们分析 问题 和解 决问题
的能力 ；提 高他们学 习数学 的兴趣和应用数学 的意识与能
力 ， 他们在 以后的工作 中能经常 性地用数学去解决 问题 ， 使
提高 他们尽 量利 用计算 机软 件及 当代 高新 科技 成果 的意 识， 能将数学 、 计算机有机结合起来 去解 决实际问题 。数学 建模 以学生为主 ， 师利用一些 事先设计好 问题启发 ， 教 引导
性 的数学建模竞赛 。将数 学建模 教学和竞赛作 为高等 院校
数学建模思想在常微分方程教学中的探讨
（ Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ ｏ ｆ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ，Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｐ ｅ ｔ ｒ ｏ ｌ ｅ ｕ ｍ。Ｑ ｉ ｎ ｇ ｄ ａ ｏ ，Ｓ ｈ ａ ｎ ｄ ｏ ｎ ｇ ２ ６ ６ ５ ８ ０ ）
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ ： Ｏｒ ｄ ｉ ｎ ａ ｒ ｙ ｄ ｉ ｆ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ ｍｏ ｄ ｅ ｌ ｉ ｎ ｇ ｔ ｅ ａ ｃ ｈｉ ｎ ｇ
它 例子。 一方面， 引导 学生如何分析实 际问题 ， 进 《 常微分 方程》 是 大学 数学专业 《 数学分 数学建 模本 身就是一 个创造性 的思维过 程， 析 》和 《 高 等 代 数 的后 续 课 程 ， 又是 《 数学 是分 析 问题、 解 决 问题 的思 维过 程 ， 数学建 模 而 得到 模型 ； 另一方面 ， 讲解 如何运 用所 学数 得 到模 型结果 ， 进而解 释原 建 模 、 偏微 分方程 》 和《 数 值计算 》 的先 修 的 内容来 自 于实际、 方法结合于实际、 结果应 用 学 知识 分析模型 ， 课程， 是 进一 步学 习 《 泛 函分析 》 、 《 拓 扑学 》 于实际 。 针对某—具体问题 ， 根据建模目 的和信 实 际问题 。 （ ２ ） 将数 学实验 课融 入常微分 方程 和 动力系统 》 等课程 的前 奏。 因此 ， 常微分方 息将实 际问题 “ 翻 译” 成 数学问题， 然后选准切 教 学中， 主要学习Ｍａ ｔ ｌ ａ ｂ 、 Ｍａ ｐ ｌ ｅ 软件。 一方面
程 在数学 学科 中起 着承前启后的 重要作用。 然 人点， 往往用微 分方程反映事 物随时 间发展的变 让学 生直观 的通过 软件练习所学知识 ， 比如求 而， 长期以来 ， 常微分方程仅仅成了为基础而 打 化规律这一动态过程 ， 体现数学建模的思想 。 解 一阶 微分方程 ； 另一方面鼓励和 指导学生 编 基础 的单一课 程 ， 目 前 我 国常微 分方程 的教学 有关常 微 分方程模 型的分析 ， 有比较 系统 的理 程 ， 仿 真微分方程 中的实际 问题 ， 有利 于计算
常微分方程教学中数学建模思想的渗透
（ 如 人 口增 长模 型 ， 传 染病 Ｓ Ｉ Ｓ模 型 ， 一般战争模型 ， 捕食 一被 捕 食 模 型 等 ） 和 生 动 有 趣 的 现 实 热 点 问 题＿ ４ （ 如 为什 么旗杆 是空 心 ， 预测 一 个 彗星 何 时通 过
近 日点 ， 核废 料 的处理 问题 ） ．
一
但可 以使 学生 了解 常 微 分方 程 的背 景 、 方法 和意 义 ，
而且 还能 提 高 学 生 将 常 微 分 方 程 、 计 算 机 等 方 面 的 知识 应用 于 实 践 的 能 力 ，程 作 为高 等 师 范 院校 数 学 与应 用 数 学
决 实 际问题 的能 力．
专业的主干基础课之一 ， 是数学分析 和高等 代数的 后 继课 程 ， 微 分 方 程 的 建 立 过 程 本 身 就 是 一 个 数 学
建 模 的过程 ． 但 传 统 的“ 定 义一 定 理一 方 法一技 巧一 例题” 的教 学模 式 已不适 应 现代 社 会 的发展 需 要 ， 也 使得 学 生 在 学 习 常 微 分 方 程 课 程 时 只 知 道 怎 么 解 题， 却不 知道 有什 么用 途 ， 在需 要 将 理论 知 识 运 用 于 解决 实 际 问题 时常 常感 到 很 吃力 ， 甚 至无 从下 手 ， 从 而 对该 课程 缺乏 学 习 的动 力 和兴 趣 ． 因此 ， 如 何 在 教
２ ． 将建 模 思想 融入课 后作 业 中
课 后作 业 是 进 一 步 理 解 、 消 化 和 巩 固课 堂 教 学
［ 基金项 目］ 江苏 教育 学院“ 十二 五” 规划课 题 （ 项 目编号 ： Ｊ ｓ ｉ ｅ ２ ０ １ ２ ｙ ｂ ０ ２ ） ．
［ 收稿 日期 ］２ ０ １ ３— ０ ５— ０ ８
数学建模思想融入常微分方程课程教学研究
（ 合肥师范学 院 数 学系 ， 安徽 合肥 ２ ３ ０ ０ ６ １ ）
［ 摘
要］ 文 中结合教 学 实践 ， 论述 了将数 学建模 思想融入常微分方程教 学的意 义及具体措施 。 ［ 文献标识码］Ｂ ［ 文章编 号］ １ ６ ７ ４ — ２ ２ ７ ３ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ３ 一 Ｏ ０ ５ ５ — ０ ２
样性的基础之上 ， 可有意识 的选取合适的实例， 通过 “ 实际问题 一 一 数 学 模 型— — 模 型 求 解— —结 果 分 析一 问题解 释 ” 的思 路开 展实 践性 教学 ， 提 高学 生
“ 目 标” 的方法和途径 ， 以构成达标方案集 ， 并且不断 充实和丰富这些方案集。将数学建模 的思想融入到 常微 分方程 教学 ， 就 是 要 将 建模 的思 想 融 入 到不 同 的主题 中， 以学生应用能力提高为 目标 ， 围绕知识 、 理 论 达标 的 目的设置 问题 、 解决 问题 。 ２ ． ２ 加 强案例 式教 学方 法 的应用 案 例式 教学 可 以促 进 隐性知 识 与显性 知识 的不 断转化 ， 通过 具 体 的情 境 ， 将 隐 性 的知 识 外 显 ， 或 将 显 性 的知识 内化 。在《 常微 分方 程 》 课 程 中利用 案例 教 学配 合理论 知识 学 习 ， 既可 以培养学 生应 用能 力 ， 又 可 以提高学 生 的学 习积极 性 。
［ 收稿 日期］２ Ｏ １ ３ —０ ２ —１ ０ ［ 基金项 目］安徽省高等学校 省级教学研究项 目（ ２ ０ １ ２ ｊ ｙ ｘ ｍ４ ２ ６ ， ２ ０ １ ０ ０ ８ ４ ７ ） ［ 作者简介］杨刘 （ １ ９ ８ １ ～） ， 安徽合肥人 ， 合肥师范学 院数学系副教授 ， 研究方向 ： 微分方程 的边值 问题 。 ５ ５
常微分方程在数学建模中的应用
常微分方程在数学建模中的应用常微分方程是数学中的一个重要分支，它研究描述自然现象中连续变化的函数的微分方程。
在数学建模中，常微分方程是一种常用的工具，用于描述和解释各种自然和社会现象。
本文将探讨常微分方程在数学建模中的应用，并详细介绍其中的一些具体案例。
首先，常微分方程在经济学建模中发挥着重要作用。
经济学中，人们经常使用常微分方程来描述经济系统中的变化。
例如，经济增长模型可以使用一阶线性常微分方程来描述。
这个方程中的未知函数是时间的函数，表示经济变量（如国内生产总值）的增长率。
通过求解这个方程，可以推导出经济增长模型中的稳定点、周期性和渐近行为等信息，从而对经济现象进行预测和分析。
其次，常微分方程在物理学建模中也有广泛的应用。
物理学中的许多自然现象可以用微分方程来描述，例如运动学、力学、光学等。
例如，一个简单的自由落体模型可以用一阶非线性微分方程来描述。
这个方程中的未知函数是时间的函数，表示物体的高度随时间的变化。
通过求解这个方程，可以推导出物体的运动轨迹、终止位置和速度等信息，从而对物理现象进行分析和预测。
此外，常微分方程在生物学建模中也有重要的应用。
生物学中的许多现象和过程可以用微分方程来描述，例如生物种群的增长、化学反应速率的变化等。
例如，一个简单的生物种群模型可以用一阶线性微分方程来描述。
这个方程中的未知函数是时间的函数，表示种群数量随时间的变化。
通过求解这个方程，可以推导出种群的稳定点、消亡速度和周期性等信息，从而对生物现象进行研究和分析。
最后，常微分方程还在工程学建模中广泛应用。
工程学中的许多问题，如电路、动力学系统、流体力学等，都可以用微分方程来描述。
例如，一个简单的电路模型可以用一阶非线性微分方程来描述。
这个方程中的未知函数是时间的函数，表示电流随时间的变化。
通过求解这个方程，可以推导出电流的稳定值、频率响应和幅频特性等信息，从而对电路的性能进行分析和优化。
综上所述，常微分方程在数学建模中具有重要的应用。
微分方程在数学建模中的应用毕业论
重庆科技学院毕业设计（论文）题目微分方程在数学建模中的应用学院数理学院专业班级数学与应用数学12-2学生姓名学号指导教师杨懿职称评阅教师杨懿职称2016年5 月10 日学生毕业设计（论文）原创性声明本人以信誉声明：所呈交的毕业设计（论文）是在导师的指导下进行的设计（研究）工作及取得的成果，设计（论文）中引用他（她）人的文献、数据、图件、资料均已明确标注出，论文中的结论和结果为本人独立完成，不包含他人成果及为获得重庆科技学院或其它教育机构的学位或证书而使用其材料。
与我一同工作的同志对本设计（研究）所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。
毕业设计（论文）作者（签字）：年月日中文摘要数学建模是数学在实际应用中的具体体现,微分方程是数学联系实际和应用于实际的重要桥梁,是各个学科进行科学研究的强有力的工具。
建立数学模型就是把复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构。
数学建模是用数学语言来描述实际问题的过程。
就是将实际问题的固有特征和内在规律用来建立起反映实际问题数量关系的数学表达式，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题。
微分方程是表达事物发展过程的一种工具,它能揭示实际事物内在的动态关系,建立微分方程模型可以帮助我们做出相应的决策或者对未来发展进行某种预测。
用微分方程解决实际问题的关键是建立实际问题的数学模型——微分方程模型。
我们根据实际问题所提供的条件，确定模型的变量，再根据物理、化学、生物、经济等学科理论，用微分方程的形式将问题的规律表示出来。
微分方程模型在数学建模课程内占有很重要的地位。
关键字：微分方程数学建模微分方程模型ABSTRACTMathematical modeling is the concrete embodiment of mathematics in practical application. The differential equation is an important bridge between mathematics and practical application. It is a powerful tool for scientific research in all disciplines. The establishment of mathematical model is to simplify and abstract the complex practical problem into a reasonable mathematical structure. Mathematical modeling is a process of describing the practical problems with mathematical language. of the actual problem and the inherent law used to establish a mathematical expression to reflect the actual number of problems, and then use the theory and methods of mathematics to analyze and solve problems.Differential equation is a means of expression, as a tool for the development of things。
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微分方程应用1 引言常微分方程的形成与发展和很多学科有着密切的联系，例如力学、天文学、物理学等.数学的其他分支的快速发展，产生出很多新兴学科，这些新兴学科的产生都对常微分方程的发展有着深刻的影响，而且当前计算机的快速发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具.数学解决实际问题就必须建立模型，而数学建模就是把数学语言描述实际现象的过程.利用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分重要的一步，但是也是最困难的一步.建立数学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程.要通过大量调查、收集相关数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题.因此本文先简要介绍了如何建立微分方程模型，并通过具体的实例来简单地介绍了微分方程在数学建模中的应用.2 数学模型简介通常我们把现实问题的一个模拟称为模型．如交通图、地质图、航空模型和建筑模型等．利用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等来模拟现实的模型称为数学模型．数学模型在实际生活中经常碰到，如求不规则图形的面积，可建立定积分的数学模型，求变化率的问题可建立导数模型，统计学中抽样调查，买彩票中奖的概率问题等等．学会建立数学模型对解决实际生活问题会有很大的帮助．建立数学模型是沟通摆在面前的实际问题与数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁．随着科学技术的进步，特别是电子计算机技术的迅速发展，数学已经渗透到从自然科学技术到工农业生产建设，从经济生活到社会生活的各个领域．一般地说，当实际问题需要我们对所研究的现实对象提供分析、预报、决策、控制等方面的定量结果时，往往都离不开数学的应用，而建立数学模型则是这个过程的关键环节．3 常微分方程模型3．1 常微分方程的简介微分方程的发展有着渊远的历史．微分方程和微积分产生于同一时代，如苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解.牛顿在建立微积分的同时就对简单的微分方程用级数来求解.后来，瑞士数学家雅各布·贝努、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程理论.纵观微分方程的发展史，我们发现微分方程与物理、天文学以及日异月新的科学技术有着密切的联系.如牛顿研究天体力学和机械力学的时候，就利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动的规律.后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置.而这些都证明微分方程在改造自然和认识自然方面有着巨大的力量.微分方程是自变量、未知函数及函数的导数(或微分)组成的关系式．在解决实际问题的过程中，我们又得出了常微分方程的概念：如果在一个微分方程中出现的未知函数中只含有一个自变量，那么这个方程则称为常微分方程，也可以简单的叫做微分方程.在反映客观现实世界运动过程的量与量之间的关系中，大量存在满足微分方程关系似的数学模型，需要我们通过求解常微分方程来了解未知函数的性质．常微分方程是解决实际问题的重要工具.3．2 常微分方程模型示例数学模型按照建立模型的数学方法可以分为初等数学模型、几何模型、微分方程模型、图论模型、马氏链模型和规划论模型等．当我们描述实际对象的某些特性随时间(或空间)而演变的过程，分析它的变化规律，预测他的未来性态时，通常要建立对象的动态模型，即微分方程模型．建立微分方程模型就是把物理、化学、生物科学、工程科学和社会科学中的规律和原理用含有待定函数的导数或微分的数学关系式表示出来．下面我们由浅入深地介绍一些微分方程模型．例1 细菌的增长率与总数成正比．如果培养的细菌总数在24h内由100增长为400，那么，前12h后总数是多少？解：第一句话说的是在任何瞬间都成立的事实；第二句话给出的是特定瞬间的信息．如果我们用)y表示总数，第一句话告诉我们(tky dtdy = 它的通解为kt y Ae =A 和k 这两个常数可以由问题中第二句话提供的信息计算出来，即,100)0(=y (3.1) 和 ,400)24(=y (3.2) 其中t 的单位为小时．(3.1)意味着.100)0(0===A Ae y(3.2)意味着.400100)24(24==k e y它给出 .24)4(ln =k 故 .100)(244ln t e t y =要我们求的是200100)12(4ln )2412(==e y 个细菌．例 2 将室内一支读数为 60的温度计放到室外．10min 后，温度计的读数为 70；又过了10min ，读数为 76.先不用计算，推测一下室外的温度.然后利用牛顿的冷却定律计算出正确的答案．牛顿的冷却定律或称加热定律是：将温度为T 的物体放进处于常温m 的介质中时，T 的变化速率正比于T 与周围介质的温度差．在这个数学模型中，假定介质足够大，从而，当放入一个较热或较冷的物体时，m 基本上不受影响．实验证明，这是一个相当好的近似．解 显然，对于这个题首先要做的是了解牛顿定律的含义，这已经做过了。
所以，用了两段话来作为我们求解的出发点．第三段关键词“以某一速度变化”．这句话是说dt dT 与m T -是成正比例的，即)(m T k dt dT -=．给出的三个特定条件是：76)20(,70)10(,60)0(===T T T ．其中t 的单位是分钟，而的单位是度。
微分方程的解为m Ae T kt +=解出三个常数m k A ,,解出 85=m ．例3 红绿灯问题在十字路口的交通管理中，亮红灯之前，要亮一段时间的黄灯，这是为了让那些正行驶在十字路口的人注意，告诉他们红灯即将亮起，假如你能够停住，应当马上刹车，以免冲红灯违反交通规则.这里我们不妨想一下：黄灯应当亮多久才比较合适？现在，让我们来分析一下这个问题．在十字路口行驶的车辆中，交警主要考虑的是机动车辆，因为只要机动车辆能停住，那么非机动车辆自然也应当能停住。
驶近交叉路口的驾驶员在看到黄色信号灯后要立即做出决定：是停车还是通过路口．如果他决定停车，必须有足够的距离能让他能停得住车．也就是说，在街道上存在着一条无形的线，从这条线到街口的距离与此街道的法定速度有关，法定速度越大，此距离也越大．当黄灯亮起时车子到路口的距离小于此距离时不能停车，否则会冲出路口．大于此距离时必须停车，等于此距离时可以停车也可以通过路口（注：此街道的法定速度由另一问题讨论，制定法定速度的目的是为了最大限度地发挥这一街道的作用）．对于那些已经过线而无法停住的车辆，黄灯又必须留下足够的时间使它们能顺利地通过路口．根据上述分析，我们确定了求解这一问题的步骤如下：步1. 根据该街道的法定速度0v 求出停车线位置（即停车线到街口的距离） 步2. 根据停车线位置及法定速度确定黄灯该亮多久（停车线的确定）要确定停车线位置应当考虑到两点：(1)驾驶员看到黄灯并决定停车需要一段反应时间1t ，在这段时间里，驾驶员尚未刹车．(2)驾驶员刹车后，车还需要继续行驶一段距离，我们把这段距离称为刹车距离． 驾驶员的反应时间（实际为平均反应时间）1t 较易得到，可以根据经验或者统计数据求出，交通部门对驾驶员也有一个统一的要求（在考驾照时都必须经过测试）．例如，不失一般性，我们可以假设它为1秒，（反应时间的长短并不影响到计算方法）． 停车时，驾驶员踩动刹车踏板产生一种摩擦力，该摩擦力使汽车减速并最终停下．设汽车质量为m ,刹车摩擦系数为f ，)(t x 为刹车后在t 时刻内行驶的距离，更久刹车规律，可假设刹车制动力为fmg （g 为重力加速度）．由牛顿第二定律，刹车过程中车辆应满足下列运动方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-==0022,0)0(v dt dx x fmg dt x d m t (3.3) 在方程(3.3)两边同除以m 并积分一次，并注意到当0=t 时0v dt dx =，得到 0v fgt dtdx +-= (3.4) 刹车时间2t 可这样求得，当2t t =时，0=dtdx ，故 fgv t 02= 将(3.4)再积分一次，得 t v fgt t x 0221)(+-= 将fgv t 02=代入，即可求得停车距离为 fgv t x 20221)(= 据此可知，停车线到路口的距离应为： fgv t v L 201021+= 等式右边的第一项为反应时间里驶过的路程，第二项为刹车距离．（黄灯时间的计算）现在我们可以来确定黄灯究竟应当亮多久了．在黄灯转为红灯的这段时间里，应当能保证已经过线的车辆顺利地通过街口．记街道的宽度为D （D 很容易测得），平均车身长度为l ，这些车辆应通过的路程最长可达到l D L ++，因而，为保证过线的车辆全部顺利通过，黄灯持续时间至少应当为： 0v l D L T ++=． 3．3 建立常微分方程模型的方法和步骤从上边的例子大致可以看出微分方程模型的特点是反映客观现实世界中量与量的变化关系，往往与时间有关是一个动态(力)系统．构造常微分方程的数学模型有如下几种方法：1． 运用已知的基本定律或基本公式建立常微分方程模型主要利用各学科中已知的定理或定律来建立的.如力学中的牛顿第二运动定律，万有引力定律，傅里叶传热导定律，弹性形变中的虎克定律，拆里定律，阿基米德原理，放射性问题中的衰变率，生物学、经济学、人口问题中的增长率等．2．利用导数的定义建立微分方程模型在微积分中导数是一个重要概念，其定义为x y xx f x x f dx dy x x ∆∆=∆-∆+=→∆→∆00lim )()(lim 如果函数)(x f 是可微的，那么dxdy 就可解释为y 相对于x 在该点的瞬时变化率。
把导数解释为瞬时变化率在很多建模应用问题中都有用．如在生物学以及人口问题研究中出现的“速率”、“增长”；在放射问题中出现的“衰变”，在经济学中出现的“边际的”等，这些词的出现就是一个信号，这个时候要注意哪些研究对象在变化，这些变化规律也许可以用在微分方程的表示中．例如在考古学中，经常需要测定某种文物的绝对年龄，这时我们可以考察其中的放射性物质，由裂变规律：放射性物质的裂变速度与其存余量成正比．我们假设时刻t 时该放射性物质的存余量为u ，u 是t 的函数，则我们可以建立常微分方程模型ku dtdu -= 其中0>k 是衰变系数，与放射性物质本身有关.求解该模型，我们解得：kt ce u -=,其中c 是待定系数，它可以由初始条件确定.这样我们就可以测定这种文物的绝对年龄.3．利用微元法建立常微分方程模型这种方法主要是通过寻求微元之间的关系式，直接对函数运用有关定律建立模型．一般的，如果某一实际问题中所求的变量I 符合下列条件： I 是与一个自变量x 的变化区间],[b a 有关的量；I 对于区间],[b a 具有可加性；部分量i i i x f I ∆≈∆)(ξ．那么就可以考虑利用微元法来建立常微分方程模型，其步骤是：根据问题的具体情况，选取一个自变量x ，并确定其变化区间为],[b a ；在区间],[b a 中任意选取一个任意小的区间记作],[dx x x +，求出相应于这个区间的部分量I ∆的近似值．将I ∆近似的表示为一个连续函数在x 处的值)(x f 与dx 的乘积，即dx x f I )(≈∆，记dI dx x f =)(，dI 称为量I 的微元．等式两边同时积分就可以求出要求的量I 了．这种方法经常被应用于各种领域．例如在空间解析几何上可以用微元法求曲线的弧长、平面图形的面积、旋转曲面的面积、旋转体体积；代数方面求近似值以及流体混合问题；物理上求变力做功、压力、静力矩与重心．4.模拟近似对于规律或现象不很清楚，比较复杂的实际问题，常用模拟近似法来建立常微分方程模型．这类模型一般要做一些合理假设，将要研究的问题突出出来．这个过程往往是近似的，因此用此法建立常微分方程模型后，要分析其解的有关性质，在此基础上同实际情况对比，看所建立的模型是否符合实际，必要时要对假设或模型进行修改．3.4建立微分方程模型的一般准则在建立微分方程的时候，所要求的其实是微分方程的一条解曲线，通过它来反映某些我们所要寻求的规律．微分方程曲线思想是，如果知道曲线上每一点处的导数以及它的起始点，那么就能构造这条曲线．(1)转化翻译：有许多表示导数的常用词，如速率、增长、衰变、边际、弹性等．改变、变化、增加、减少这些词可能是一种暗示信号，只需弄清楚什么在变，随什么而变，这时也许导数就用得上．(2)机理分析：将所研究的问题看成一个封闭和系统，思考研究的问题是否遵循什么原理或物理定律，是应该用已知的定律还是去推导问题的合适结果．在不知道问题的机理时，合理的想象和类比是很重要的．不少问题都遵循下面的平衡式：净变化率=输入率-输出率如果当这个平衡式出现的时候我们能理解它，并且能使用正确的物理量纲，或许就得到了需要的微分方程．(3)微分方程模型：微分方程是在任何时刻必须正确的瞬时表达式．如看到了表示导数的关键词，就要寻找)y, t的关系．首先将注意力集中在文字形(t(ty'与)式的总关系式上，如“速率=输入-输出”．写出这些关系式，然后准确填好式中的所有项．(4)单位：一旦确定了哪些项应该列入微分方程中，就要确保每一项都采用同样的物理单位，保证式子的平衡．(5)定解条件：系统在某一特定时刻的信息，独立于微分方程而成立，利用它们来确定有关的常数，包括比例系数、原微分方程的其它参数以及解中的积分系数．4微分方程建模4.1数学建模的简介数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程.这里的实际现象既包涵具体的自然现象比如自由落体现象；也包涵抽象的现象，如顾客对某种商品所取的价值倾向.这里的描述不但包括外在形态，内在机制的描述，也包括预测、试验和解释实际现象等内容.我们还可以直观地理解这个概念：数学建模是一个让纯粹数学家变成物理学家、生物学家，经济学家甚至是心理学家等的过程.要描述一个实际现象可以有很多种方式，比如录音、录像、比喻、传言等等.而数学语言以其科学性、逻辑性、客观性及可重复性的特点，在描述各种现象时体现出其别具一格地严密与贴合实际.正是由于这样，更多人越来越喜欢运用数学这种严格而又严密的语言，而使用数学语言描述的事物就称为数学模型.有时候我们需要做一些实验，但这些实验往往用抽象出来的数学模型作为实际物体的代替而进行相应的实验，实验本身也是实际操作的一种理论替代.举个简单例子：某司机欲把某货物从甲地运往乙地，应如何选择运输路线使总路程最短？该司机不会开着车去试探，而是利用交通图来确定自己的行车路线．从这个简单的例子中我们可以看到数学模型的重要性．应用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步，同时也是十分困难的一步.建立数学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程，也就是说使抽象的事物变的感性化.而建立模型首先要通过调查、收集数据资料，其次是观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，最后是建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题.在这个过程中深厚扎实的数学基础、敏锐的洞察力和想象力、对实际问题的浓厚兴趣和广博的知识面就尤为重要.其实，数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，是数学在各个领域广泛应用的媒介，是数学科学技术转化的主要途径，数学建模在科学技术发展中的重要作用越来越受到各类学科的普遍重视，它已成为现代科技工作者必备的重要能力之一.4.2数学建模的方法与步骤数学模型就是针对或参照某种问题(事件或系统)的特征和数量相依关系，采用形式化语言，概括或近似地表达出来的一种数学结构．数学模型因问题不同而异，建立数学模型也没有固定的格式和标准，甚至对同一个问题，不同角度，不同要求出发，可以建立起不同的数学模型，因此，与其说数学建模是一门技术，不如说是一门艺术．它需要熟练地数学技巧，丰富的想象力和敏锐的洞察力，需要大量阅读，思考别人做的模型，尤其要自己动手，亲身体验．数学建模注重的是建模的方法和过程，一般的建模方法和步骤如下：1.模型准备如果想对某个实际问题进行数学建模，通常要先了解该问题的实际背景和建模目的，尽量弄清楚要建模的问题属于哪类学科，然后通过互联网或图书馆查找，搜集与建模要求相关的资料和信息，对该问题进行全面的，深入细致的调查和研究．2.模型假设一个实际问题往往会涉及很多因素，如果把涉及的所有因素都考虑到，既不可能也没必要，而且还会使问题复杂化导致建模失败．要想把实际问题变为数学问题，需要抓住主要因素，暂不考虑或忽略次要因素，对其进行必要的、合理的简化和假设．一般的，所得建模的结果依赖于对应模型的假设，模型假设到何种程度取决于经验和具体问题．在整个建模过程中，模型假设可以通过模型的不断修改得到逐步完善．3.模型建立有了模型假设，就可以选择适当的数学工具并根据已有的知识和搜集的信息来描述变量之间的关系或其他数学结构．在建模时有几点是需要注意的：①分清变量类型，恰当使用数学工具如果实际问题中的变量时确定性变量，建模时数学工具多用微积分、微分方程、线性规划、非线性规划、图论与网络、投入产出、插值与拟合等．如果是随机变量，建模时数学工具多用概率、统计、随机性存贮论、排队论、对策论、决策论、随机微分方程等．由于数学分支很多，又加之互相交叉渗透，派生出许多分支．建模时具体用什么分支好，一是因问题而异，二是因人而异，应看自己对哪门学科比较熟悉精通，尽量发挥自己的特长．②抓住问题的本质，简化变量之间的关系模型尽可能简单、明了、思路清晰，能不采用尽量不用高深的数学知识，不要追求模型技术的完美，要侧重于实际应用．③建模要有严密的推理在己定的假设下，建模过程中推理一定要严密，以保证模型的正确性，否则会造成模型错误，前功尽弃．④建模要有足够的精确度所建的模型应能够满足实际问题对精度的具体要求．4.模型求解在已经建立起来的数学模型中可采用解方程、推理、图解、定理证明等各种传统和现代的数学方法进行求解，其中有些工作可以用计算机软件来完成．目前市场上流行的数学工具软件比较多．如Mathlab，Mathematic等．5.模型检验在求得模型的解之后，需要对模型进行分析和检验．模型分析主要包括误差分析、模型对数据的稳定性分析和灵敏度分析等．模型检验是将所得结果的理论数值与实际数值相比较，如果两者相符，则说明所建模型是成功的；否则需要对所建模型进行修改．因为所建模型是在一定假设条件下所得的，理想化的产物，可能与实际问题有较大出入，这时需要反过来仔细检查简化与假设是否合理．如果不合理则进行修改同时根据新的简化与假设建立数学模型．这个过程需要反复循环进行，直到满足要求为止．6.模型应用利用建模中获得的正确模型对研究的实际问题给出预报或对类似实际问题进行分析、解释和预报供决策者参考，这一过程称为模型应用．一般来说，建模是预测的基础，而预测又是决策与控制的前提．建立数学模型的步骤可以用下面的框图4－1表示图4－14.3数学建模示例在建模中，根据问题不同建立的模型不同，在前文也讲到了具体哪些问题用到建立微分方程模型．在数学建模中有各种各样的常微分方程模型，例如：人口模型、传染病模型、糖尿病模型、作战模型、交通模型、经济模型、辨别艺术伪造品模型等，这里以人口模型为例简单介绍常微分方程在建模中的应用．例4 人口模型人类社会进入20世纪以来，在科学技术和生产力飞速发展的同时，世界人口也以空前的规模增长，统计数据见表4―1．由表4―1可见，世界人口每增加10亿的时间由100年缩短为十二、三年，人类赖以生存的地球已经携带着它的60亿子民进入了21世纪．表4－1 世界人口统计数据年1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口（亿） 5 10 20 30 40 50 60长期以来，人类的繁殖一直在自发地进行着，只是由于人口数量的迅速膨胀和环境质量的急剧恶化，人们才猛然醒悟，开始研究人类和自然的关系，人口数量的变化规律，以及如何进行人口控制等问题.认识人口数量的变化规律，建立人口模型，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提.长期以来人们在这方面做了不少工作，下面介绍两个最基本的人口模型，并利用表4－2给出的近两个世纪的美国人口统计数据，对模型作检验.表4－2 美国人口统计数据（单位：百万）年 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 人口 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 年19001910 192019301940195019601970198019902000人口 76.0 92.0106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4 281.41.人口指数增长模型（马尔萨斯人口模型） 最简单的人口增长模型是：记今年人口为0x ，k 年后人口为k x ，年增长率为r ，则 0(1),1,2,k k x x r k =+=. (4.1)显然，这个公式的基本前提是年增长率r 保持不变．二百多年前英国人口学家马尔萨斯（Malthus ,1766-1834）调查了英国一百多年的人口统计资料，得出了人口的增长率是常数的假设，并据此建立了著名的人口指数增长模型． (1) 模型构成记时刻t 的人口为()x t ，当考察一个国家或一个较大地区的人口时，()x t 是一个很大的整数，为了利用微积分这一数学工具，将()x t 视为连续、可微函数．记初始时刻(0)t =的人口为0x ，假设人口增长率为常数r ，即单位时间内()x t 的增量与()x t 的比例系数．考虑t 到t t ∆+时间内人口的增量，显然有。