常微分方程在数学建模中的应用.

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数学建模中的常微分方程

在科学中，常微分方程（ODE）是一种非常重要的数学工具，它在许多领域都有着广泛的应用，例如物理、化学、生物学等。在数学建模中，ODE也起到了至关重要的作用。

一、什么是ODE？

ODE是指只包含一个自变量（通常是时间）和它的一个或多个导数的方程。例如，形式为dy/dx=f(x)的方程就是一个ODE，其中y是x的函数。

ODE分为一阶ODE和高阶ODE。一阶ODE只包含y和它的一阶导数，而高阶ODE则包含更高阶的导数。在数学建模中，我们通常使用一阶ODE来描述物理、化学、生物等系统。

二、ODE在数学建模中的应用

1.物理建模

ODE被广泛运用于物理建模中。例如，在经典力学中，牛顿第二定律指出，质点的运动状态可以由ODE描述。在电磁学中，麦克斯韦方程组也可以转化为ODE来描述电磁场的变化。

2.化学建模

化学过程中涉及到许多反应，这些反应的速率常常可以使用ODE来描述。在化学反应模型中，ODE可以用来描述化学反应底物的浓度、反应速率、反应机理等。

3.生物建模

ODE在生物建模中也有着广泛的应用。例如，ODE可用来描述种群数量的变化、生物系统的动力学行为、遗传学习环境等。

三、ODE的求解方法

一阶ODE的求解方法非常多，例如欧拉方法、隐式欧拉方法、龙格-库塔方法等。这些方法可以通过计算机程序实现。

四、数学建模实例

考虑一个简单的数学建模实例：一个小球在重力作用下自由落体。我们可以使用ODE来描述这一过程，即y''=-g，其中g为重力加速度。

假设小球的初始位置为y0，速度为v0，则小球的运动状态可以用ODE求解。欧拉方法可以得到如下结果：

数学建模在常微分方程中的应用

常微分方程是数学中一个重要的研究领域，它描述了物理、工程等各个领域中的许多现象和问题。数学建模是将实际问题抽象为数学模型，通过数学方法来研究和解决这些问题。在常微分方程中，数学建模的应用有着重要的地位。

数学建模在常微分方程中的应用，首先体现在对实际问题的建模过程中。常微分方程可以描述许多现象，例如生物学中的人口增长问题、化学反应动力学、电路中的电流变化等等。通过对实际问题的观察和分析，可以建立相应的常微分方程模型。数学建模的主要任务是确定模型中的方程形式和参数值。这一过程需要深入了解实际问题的背景和特性，结合数学的方法和技巧，确定合适的数学模型。

数学建模在常微分方程中的应用还体现在对方程的求解和分析过程中。常微分方程一般是通过解析方法或数值方法来求解。对于一些简单的常微分方程可以通过分离变量、变量代换等方法直接求解。但是对于一些复杂的常微分方程，求解比较困难甚至无解析解。此时，数值方法就发挥了重要的作用，如欧拉法、龙格-库塔法等。数值方法通过数值逼近和计算机模拟，求得近似解，能够克服解析解的困难。

数学建模在常微分方程中的应用还包括对方程解的分析和结果的验证。对于一些简单的常微分方程，可以通过对解的性质和图像特征的分析来得到对问题的深入理解。通过对解的稳定性和渐近行为的分析，可以得到对系统行为的预测。而对于一些复杂的常微分方程，数值解可以作为解的近似，对结果进行验证。通过比较数值解和解析解（如果存在）的差异，可以评估数值方法的精确度和可靠性。

数学建模在常微分方程中的应用有着重要的作用。它是将实际问题抽象为数学模型的过程，是求解和分析常微分方程的方法和手段。通过数学建模，可以对实际问题进行深入理解，提供对问题的解决方案和预测。数学建模和常微分方程的相互关系也促进了数学和其他学科的交叉和发展。数学建模的发展对于常微分方程的研究和应用提供了更广阔的空间和方法，对各个领域的科学研究和工程实践具有重要的指导意义。

常微分方程在数学建模中的应用

常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）是一类用来描述物理系统动态变化的方程。它们在数学建模中有广泛的应用，可以用来描述各种各样的系统，包括力学系统、电学系统、热学系统、生物学系统等等。

举个例子，假设你想描述一个物体在受到重力作用力时的运动轨迹。这个问题可以用常微分方程来解决，具体来说，你可以用下面的方程来描述物体的运动：

其中，x 是物体的位置，t是时间，g 是重力加速度。这个方程表示物体受到重力作用力时的加速度，根据牛顿第二定律，加速度等于作用力除以质量。因此，这个方程可以用来描述物体在受到重力作用力时的运动轨迹。

常微分方程还可以用来描述其他类似的问题，例如：

•电路中的电流和电压的变化

•化学反应过程中物质浓度的变化

•振动系统中振动的频率和振幅的变化

•生物学系统中生物体内激素浓度的变化

总的来说，常微分方程在数学建模中有着广泛的应用。它们可以用来描述各种各样的物理系统的动态变化，并且通常都有解析解或者近似解的存在。此外，常微分方程还有很多的数学理论，可以用来解决常微分方程的特殊情况。

尽管常微分方程在数学建模中有着广泛的应用，但它们也有一些局限性。例如，常微分方程通常假设系统是连续的、平滑的，并且忽略了离散的、非连续的现象。在这些情况下，常微分方程可能不再适用。因此，在使用常微分方程进行数学建模时，需要谨慎考虑是否适用。

常微分方程在数学建模中的应用

这里介绍几个典型的用微分方程建立数学模型的例子. 一、人口预测模型

由于资源的有限性,当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长,为了得到人口预测模型,必须首先搞清影响人口增长的因素,而影响人口增长的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾害、战争等诸多因素,如果一开始就把所有因素都考虑进去，则无从下手.因此,先把问题简化,建立比较粗糙的模型,再逐步修改,得到较完善的模型.

例1（马尔萨斯（Malthus ）模型）英国人口统计学家马尔萨斯（1766—1834）在担任牧师期间,查看了教堂100多年人口出生统计资料,发现人口出生率是一个常数,于1789年在《人口原理》一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口模型,他的基本假设是：在人口自然增长过程中,净相对增长（出生率与死亡率之差）是常数,即单位时间人口的增长量与人口成正比,比例系数设为r ,在此假设下,推导并求解人口随时间变化的数学模型.

解设时刻t 的人口为)(t N ,把)(t N 当作连续、可微函数处理（因人口总数很大,可近似地这样处理,此乃离散变量连续化处理）,据马尔萨斯的假设,在t 到t t ∆+时间段,人口的增长量为

t t rN t N t t N ∆=-∆+)()()(,

并设0t t =时刻的人口为0N ,于是

⎪⎩⎪⎨⎧==．

，

00)(d d N t N rN t N

这就是马尔萨斯人口模型,用分离变量法易求出其解为

)(00e )(t t r N t N -=,

此式表明人口以指数规律随时间无限增长.

(完整版)常微分方程在数学建模中的应用.

微分方程应用

1 引言

常微分方程的形成与发展和很多学科有着密切的联系，例如力学、天文学、物理学等.数学的其他分支的快速发展，产生出很多新兴学科，这些新兴学科的产生都对常微分方程的发展有着深刻的影响，而且当前计算机的快速发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具.

数学解决实际问题就必须建立模型，而数学建模就是把数学语言描述实际现象的过程.利用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分重要的一步，但是也是最困难的一步.建立数学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程.要通过大量调查、收集相关数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题.

因此本文先简要介绍了如何建立微分方程模型，并通过具体的实例来简单地介绍了微分方程在数学建模中的应用.

2 数学模型简介

通常我们把现实问题的一个模拟称为模型．如交通图、地质图、航空模型和建筑模型等．利用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等来模拟现实的模型称为数学模型．数学模型在实际生活中经常碰到，如求不规则图形的面积，可建立定积分的数学模型，求变化率的问题可建立导数模型，统计学中抽样调查，买彩票中奖的概率问题等等．学会建立数学模型对解决实际生活问题会有很大的帮助．

建立数学模型是沟通摆在面前的实际问题与数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁．随着科学技术的进步，特别是电子计算机技术的迅速发展，数学已经渗透到从自然科学技术到工农业生产建设，从经济生活到社会生活的各个领域．一般地说，当实际问题需要我们对所研究的现实对象提供分析、预报、决策、控制等方面的定量结果时，往往都离不开数学的应用，而建立数学模型则是这个过程的关键环节．

常微分方程数学建模案例分析

常微分方程是运用微积分中的概念与理论研究变化率的方程。它是数

学建模中常用的方法之一，可用于描述各种实际问题，如经济增长、生物

扩散、化学反应等。本文将通过一个关于人群传染病的数学建模案例，分

析常微分方程在实际问题中的应用。

假设地有一种传染病，病毒的传播速度与感染者的接触频率有关。现

在我们要研究传染病的传播速度以及控制措施对传染病传播的影响。为此，我们可以建立如下的数学模型：

设N(t)表示时间t时刻的总人口数，而I(t)表示感染者的人口数，

S(t)表示易感者的人口数。根据该模型，易感者的人数随时间的变化率可

表示为：

dS/dt = -βSI

其中，β表示感染率，即感染者每接触到一个易感者，会使其发病

的概率。

感染者的人数随时间的变化率可表示为：

dI/dt = βSI - γI

其中，γ表示恢复率，即感染者每天被治愈的人数。

总人口数随时间的变化率可以通过易感者和感染者的变化率求和得到：dN/dt = dS/dt + dI/dt

通过对该方程进行求解，我们可以得到感染者和易感者的人数随时间变化的解析解。进一步，我们可以通过调节β和γ来研究不同的传播速度和控制措施对传染病传播的影响。

例如，如果β较大，表示感染率较高，此时传染速度会加快，可能导致传染病扩散的速度加快。反之，如果β较小，表示感染率较低，传染病传播的速度会减慢。

另外，如果γ较大，表示恢复率较高，此时感染者的人数会快速减少，传染病传播的速度会减慢。相反，如果γ较小，传染病传播的速度会加快。

通过对这些参数的调节，我们可以研究不同的控制措施对传染病传播的影响。例如，我们可以通过降低感染率β或增加恢复率γ来减缓传染病传播的速度，从而控制疫情的爆发。

常微分方程数学建模案例分析

假设我们要研究一个简单的生物系统：一种细菌的生长过程。我们知道，细菌的生长通常可以描述为以指数速度增长的过程。为了建立一个数

学模型，我们首先需要确定一些基本假设和已知信息。

基本假设：

1.我们假设细菌的生长速度与细菌的数量成正比。

2.我们假设细菌的死亡速率与细菌的数量成正比。

已知信息：

1.我们已经知道在初始时刻，细菌的数量为N0个。

2.我们已经知道在初始时刻的细菌数量的增长速率为r个/单位时间。

3.我们已经知道在初始时刻的细菌数量的死亡速率为d个/单位时间。

接下来，我们将建立一个常微分方程模型来描述细菌数量的变化。假

设t表示时间，N(t)表示时间t时刻的细菌数量，则我们可以得到以下微

分方程：

dN/dt = rN - dN

这个方程的含义是，细菌数量的变化率等于细菌的增长速率减去细菌

的死亡速率。如果我们将细菌的增长速率和死亡速率设为常数r和d，则

上述方程可以进一步简化为：

dN/dt = (r-d)N

解这个微分方程，我们可以得到细菌数量随时间变化的函数N(t)。

根据初值条件N(0)=N0，我们可以求解该方程并得到解析解：

N(t) = N0 * exp((r-d)t)

上述解析解告诉我们，细菌数量随时间以指数速度增长。这与我们的

基本假设相符。

然而，对于复杂的系统，往往很难获得精确的解析解。在这种情况下，我们可以使用数值方法来求解微分方程。常见的数值方法包括欧拉法、改

进的欧拉法和四阶龙格-库塔法等。这些方法基于近似计算的原理，通过

迭代逼近解。

在我们的细菌生长模型中，我们可以使用数值方法来计算细菌数量随

常微分方程在数学建模中的应用

首先是物理方面。在物理学中，常微分方程广泛应用于描述运动、波动、电磁学、量子力学等问题。例如，牛顿第二定律可以用常微分方程的

形式表示为：

\[m \frac{{d^2x}}{{dt^2}} = F(x,t)\]

其中m为质量，x为位置，t为时间，F(x,t)为力。这个方程可以用

来描述物体的运动。另一个例子是振动方程，可以通过常微分方程来描述

弹簧振子、简谐振动等。

生物方面是另一个常见的应用领域。生物学中经常需要对生物体的增长、衰退、群体动态等问题进行建模。而常微分方程可以很好地描述这些

问题。例如，布鲁塞尔方程是描述细菌群体增长的常微分方程模型。该模

型使用了增长速率与细菌种群密度之间的关系。通过求解布鲁塞尔方程，

我们可以预测细菌的增长趋势，并为控制细菌的增长提供依据。此外，常

微分方程还可以在生物学中应用于描述神经网络、生物化学反应等。

经济方面也是常微分方程的应用领域之一、经济学中的一些重要问题，如经济增长、通货膨胀、利率变动等，都可以通过常微分方程进行建模和

分析。例如，Solow增长模型是描述经济增长的常微分方程模型。该模型

考虑了资本积累和技术进步对经济增长的影响。通过求解Solow增长模型，我们可以分析经济增长的稳定状态、长期趋势和影响经济增长的因素。

除了物理、生物和经济学，常微分方程还可以在其他领域中应用。例如，环境科学中可以通过常微分方程描述污染物的传输和扩散过程；工程

学中可以应用常微分方程来描述振动、控制系统等问题。此外，计算机科

学中的数值方法也广泛应用于求解常微分方程的数值解。

数学建模在常微分方程中的应用

数学建模是利用数学工具和方法对实际问题进行描述、分析和解决的过程。在实际应用中，数学建模可以用来描述和分析各种自然现象和社会现象，其中常微分方程是数学建模中经常使用的工具之一。常微分方程描述了变量之间的关系和变化规律，广泛应用于物理、经济、生态、生物等领域。本文将着重介绍数学建模在常微分方程中的应用，以及其在各个领域中的重要意义。

一、常微分方程的基本概念

在介绍数学建模在常微分方程中的应用之前，首先我们需要了解一些常微分方程的基本概念。常微分方程是描述一个或多个未知函数的导数和自变量之间的关系的方程。一阶常微分方程一般形式为dy/dx = f(x, y)，其中y是未知函数，x是自变量，f(x, y) 表示y的导数关于 x 和 y 的函数。解一阶常微分方程就是找到一个函数y(x)，满足对应的微分方程。

常微分方程可以分为线性和非线性两类。线性常微分方程一般形式为dy/dx + p(x)y = q(x)，其中p(x)和q(x)是已知函数，y是未知函数。非线性常微分方程则是除线性方程以外的方程形式，它们通常更为复杂，很难找到通解。

二、数学建模在物理领域中的应用

在物理领域，常微分方程的应用十分广泛。从牛顿的运动定律到电磁场的描述，都可以通过常微分方程建模。二阶常微分方程描述了谐振子的运动，可以用来研究弹簧振子的振动规律；而洛伦兹方程描述了流体力学中混沌系统的行为，对于天气预报和气候变化的研究产生了重要影响。

常微分方程还可以用来描述电路中的电流、电压变化，热传导和扩散过程等。在这些问题中，常微分方程的建模和求解对于优化设计、性能分析和系统控制都具有重要意义。

常微分方程的解法在数学建模中的应用

常微分方程的解法在数学建模中有广泛的应用，涉及到许多领域，如物理学、经济学、生物学、工程学等。以下介绍其中一些应用：

1. 物理学模型：在物理学建模中，常微分方程可以用来描述射线的传播，弹性杆的变形，振动的周期等。如著名的二阶线性微分方程 y''+by'+ky=0 可以用来描述简谐振动，而 y'+ky=0 可以用来描述自由阻尼振动。

2. 经济学模型：经济学中很多模型，如经济增长模型、消费模型、储蓄模型等都可以用常微分方程来描述。经济模型一般包含多个变量，每个变量都可以用常微分方程来表示，构成一组微分方程组，从而得到系统的解析解。

3. 生物学模型：常微分方程也是生物学建模中最常用的工具之一。生物学中很多现象如人口增长、病毒传播、生物物种的竞争和合作等都可以用常微分方程来描述。

4. 工程学模型：工程学中，常微分方程可以用来描述控制系统中的动态行为，例如控制电路、城市交通流、水力系统等。

综上所述，常微分方程的解法在数学建模中有广泛的应用，能够帮助科学家和工程师更好地预测和解决现实生活中的问题。

常微分方程在数学建模中应用论文

论常微分方程在数学建模中的应用摘要：常微分方程的形成和发展与去多学科密切相关，诸如力学、天文学等。如果想用数学解决实际问题，就必须建立模型。本文重点介绍了常微分方程理论与数学建模结合起来，在人口预测中的应用。

关键词：常微分方程数学建模人口预测

引言

纵观微分方程的发展史，我们发现微分方程与物理、天文学以及日异月新的科学技术有着密切的联系。牛顿在研究天体力学和机械力学的时候，就利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动的规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。这些都证明微分方程在改造自然和认识自然方面有着巨大的力量。微分方程是自变量、未知函数及函数的导数(或微分)组成的关系式。在解决实际问题的过程中，我们又得出了常微分方程的概念：如果在一个微分方程中出现的未知函数中只含有一个自变量，那么这个方程则称为常微分方程，也可以简单的叫做微分方程.在反映客观现实世界运动过程的量与量之间的关系中，大量存在满足微分方程关系似的数学模型，需要我们通过求解常微分方程来了解未知函数的性质。常微分方程是解决实际问题的重要工具。

常微分方程在数学建模中的应用举例

微分方程在数学建模中的应用大体是：首先，建立数学模型，

根据问题的目的、要求具体分析做出相应的简化和假设；然后按照规律列出微分方程，求出方程的解；最后将实际对象带入结果中，对问题进行描述、分析、预测和控制。

2.1人口指数增长模型

最简单的人口增长模型是：记今年人口为，年后人口为，年增长率为，则(4.1)

数学建模中的微分方程与边界条件的应用分析

数学建模中的微分方程与边界条件的应用分

析

在数学建模中，微分方程是一种重要的工具，用于描述自然界和社会现象中的

各种变化规律。微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两类。常微分方程是只涉及一个自变量的方程，而偏微分方程则涉及多个自变量。边界条件是微分方程求解过程中的重要条件，它限定了解的取值范围。

微分方程在数学建模中的应用非常广泛，我们可以通过一些具体的实例来进行

分析。首先，考虑一个经典的物理问题：自由落体运动。假设一个物体从高处自由落下，我们想要知道它在任意时刻的位置。根据牛顿第二定律，我们可以得到物体的运动方程：$m\frac{d^2y}{dt^2} = -mg$，其中$y$表示物体的高度，$m$表示物

体的质量，$g$表示重力加速度。这是一个二阶常微分方程，我们需要给出适当的

边界条件来求解它。

边界条件可以是物理上的限制，比如物体在$t=0$时刻的初始位置和初始速度。假设物体在$t=0$时刻的位置为$y_0$，初始速度为$v_0$，那么我们可以得到边界

条件$y(0) = y_0$和$\frac{dy}{dt}(0) = v_0$。将这些边界条件代入微分方程，我们

可以求解得到物体在任意时刻的位置。

另一个常见的应用是热传导问题。假设一个杆体的两端分别与两个恒温热源接触，我们想要知道杆体上各点的温度分布。根据热传导定律，我们可以得到杆体上的热传导方程：$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$，其中$u(x,t)$表示杆体上某点的温度，$\alpha$表示热扩散系数。这是一个一维的偏

数学建模在常微分方程中的应用

数学建模是将现实世界中的问题用数学语言表示和解决的过程，而在这一过程中，常

微分方程则是数学建模中最常用的工具之一。常微分方程描述了自变量与因变量及其导数

之间的关系，而在实际应用中，常微分方程被广泛用于描述各种变化和动力学系统，如物理、生物、经济学等领域。在本文中，我们将介绍一些常微分方程在数学建模中的应用，

并讨论其重要性和意义。

常微分方程在生物学和生态学中扮演着至关重要的角色。人口增长模型可以用常微分

方程描述，这些模型不仅可以帮助我们预测未来的人口数量，还可以提供人口增长对资源

利用和环境变化的影响。常微分方程也被用于描述化学反应和自然界中的各种生物过程，

比如鱼群的迁徙、细胞的增殖和死亡等。通过数学建模和常微分方程分析，我们可以更好

地理解这些生物和生态系统的行为规律，为保护生态环境和可持续发展提供科学依据。

常微分方程在物理学中也有着重要的应用。牛顿第二定律描述了运动物体的运动规律，它可以通过常微分方程的形式表示为F=ma，其中F是作用在物体上的力，m是物体的质量，a是物体的加速度。这个简单的方程描述了物体随时间的位置和速度的变化，为我们理解

宇宙中的运动和力学系统提供了重要工具。电路中的电流和电压、谐振子的运动等现象也

可以通过常微分方程进行描述和分析，在工程和技术应用中有着广泛的应用价值。

常微分方程还在经济学和金融学中有着重要的应用。经济增长模型、货币供应和通货

膨胀等经济现象，都可以通过常微分方程进行建模和分析。在金融领域，股票价格波动、

利率变化和金融衍生品的定价等问题也可以通过常微分方程进行描述和预测。这些模型不

常微分方程在数学建模中的应用

摘要：

正文：

数学建模概述

建模定义：

数学建模（Mathematical Modeling）就是通过计算得到的结果来解释实际问题，并接受实际的检验，来建立数学模型的全过程。数学模型（Mathematical Model）是一种模拟，是用数学符号，数学式子，程序，图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻画，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。数学模型一般并非现实问题的直接翻版，它的建立常常既需要人们对现实问题深入细微的观察和分析，又需要人们灵活巧妙地利用各种数学知识。这种应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程就称为数学建模。

建模步骤：

1.模型准备

在解决一个问题之前，我们首先要弄清楚这个问题的具体含义，包含的数学关系。需要求解的问题，限制条件和里面的逻辑关系。用数学语言将这个问题进行翻译。同时，要在图书馆或网上资料库找到相关文章，或数据支持。加深自己对这个问题的理解的同时，也为下文的求解提供一定的理论支持和参考。

2.模型假设

实际生活中的问题非常复杂，相关影响因素也特别多，我们不可能把所有的因素都考虑在内，往往需要通过假设忽略其中一些不重要、对结果影响小、发生几率不大、符合常识的假设。通过这些假设对问题进行简化。

3.模型建立

建立模型的过程就是对问题进行数学语言转化的过程，其中要注意模型尽可能地简单，不能太复杂，所运用的数学原理要适用于该问题。而且尽可能转化成自己熟悉的，擅长的模型。

4.模型求解

常微分方程在数学建模中的应用【完整版】

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摘要 (2)

1引言 (3)

2 常微分方程的开展概况 (3)

3 数学建模简介 (4)

4 常微分方程和数学建模结合的特点 (4)

5 常微分方程在数学建模中的应用 (4)

5.1 建立微分方程的方法 (5)

5.2市场价格模型 (6)

5.3广告模型 (8)

5.4人口预测模型 (10)

5.5混合溶液的数学模型 (12)

5.6振动模型 (13)

5.7教育问题模型 (17)

6 总结 (20)

参考文献 (21)

常微分方程在数学建模中的应用

摘要

常微分方程是在17世纪伴随着微积分而开展起来的一门具有重要应用价值的学科.它是研究连续量变化规律的重要工具，是众多实际问题与数学之间联系的重要桥梁.在历史上，牛顿正是通过求解常微分方程证实了地球绕太阳运动的轨道是椭圆；天文学家通过常微分方程的计算，预见了海王星的存在.随着工业化的进展，常微分方程在航海、航空工业生产以及自然科学的研究中发挥了重要作用.计算机和计算技术的开展,使微分方程的求解突破了经典方法的局限,迈向数值计算和图像模拟,这为微分方程的应用提供了更为广阔的天地和有效手段,也使得建立数学模型显得尤为重要.本文主要从市场价格模型、广告模型、人口预测模型、混合溶液的数学模型、教育问题模型来论述常微分方程在数学建模中的应用。

关键字：常微分方程；数学建模；市场价格模型；广告模型；人口预测模型；混合溶液的数学模型；教育问题模型

1引言

在初等数学中，方程有很多种，比方线性方程、指数方程、对数方程、三角方程等，然而并不能解决所有的实际问题。要研究实际问题就要寻求满足某些条件的一个或几个未知数方程。这类问题的根本思想和初等数学的解方程思想有着许多的相似之处，但是在方程的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面依然存在很多不同的地方，为了解决这类问题，从而产生了微分方程。

常微分方程在数学建模中的应用【文献综述】

文献综述

信息与计算科学

常微分方程在数学建模中的应用

人们将数学方法应用到有关传染病方面的研究可追溯到1760年, Bernoulli 在其论文中用数学模型评价天花对期望寿命的影响. 上世纪初, Kermark 和Mckendrick 首先利用动力学方法建立了传染病的数学模型.

1928年Reed 及Frost 共同提出Reed-Frost 模型, 它的基本公式是确定性的, 之后又获得了该模型的随机过程.

确定性Reed-Frost 模型: 1(1)t t t C S qC +=-. 指下一代将发生的病例数为t 代的易感者人群与当时有效接触率1t qC -的乘积. 其中1t C +是在第1t +代的病例者, t S 是在第t 代的易感者, q 为单位时间内未发生有效接触的概率.

Reed-Frost 模型的假设条件有5个. 条件一: 研究的群体与其他群体隔绝; 条件二: 在疾病流行期间, 人群中任何个体间互相接触的机会均等; 条件三: 易感者与感染者充分接触后, 按一定概率变成新的感染者; 条件四: 感染者在传染期间具有传染性, 其后成为完全的免疫者; 条件五: 以上条件在流行期间不变. 该模型的缺陷是: 研究结果常常与实际情况有一定程度差距, 这是因为在模型中假设有效接触率传染力是不变的.

在国内, 该模型的改进模式, 认为易感者在感染过程中不仅会变成显性感染者（患者）, 也可能会变成隐性感染者, 而且患者和隐性感染者均具有传染能力. 故对Reed-Frost 的假设条件三和条件四做如下假设. 条件三: 易感者和感染者充分接触后, 按一定的概率变成新感染者, 新感染者中患者和隐性感染者成一定比例; 条件四: 患者和隐性感染者在传染期间均具有传染力, 传染期后均变成完全的免疫者.