探究与发现牛顿法--用导数方法求方程的近似解
牛顿法——用导数方法求方程的近似解
牛顿法——用导数方法求方程 的近似解
下面,我们再看如何求方程 x3 2x2 10 x 20 0的根.
y
r x
从函数的观点看 , 方程 x3 2x2 10 x 20 0的根就
是函数f x x3 2x2 10 x 20的零点.从图形上看 , 一个函数的零点 r就是f x的图象与 x轴的交点横坐标 。
给定精度z0和初始值
根 据 牛 顿 法 公 式 计 算 当前 值
x1
x0
x30
2x20 10x0 20 3x20 4x0 10
令x0 x1
计算当前精度: z x1 x0 x0
No
z z0
Yes
x1为 方 程 的 近 似 解
求解结束
思考 1：不同的初始值对求方程的近似解有 影响吗？如果有，影响在什么地方？
1.38568பைடு நூலகம்135
x4
x3
f (x3 ) f (x3 )
1.3688121321
5
z x1 x0 0.392 x0
z x2 x1 0.335 x1
z x3 x2 0.143 x2
z x4 x3 0.012 x3
此时z z0
所以方程的一个近似解为x 1.36881213215
y
y
y
O x1 r0 x2 x0
r
x
x2
O x1 r
x0
xO
x0
x
gsp
思考
2： 你还知道其他求方程近似解的方法吗？ 你认为牛顿法的优点和缺点是什么？
优点：速度较快，算法简单，精度高， 缺点：对初始值的选取很敏感。
探究与发现牛顿法--用导数方法求方程的近似解
综上所述：当 a<0 或 a>1e时，f(x)在[1，e2]上没有零点；当 0≤a<e44 或 a＝1e时，f(x)在[1，e2]上有一个零点；当e44≤a<1e时，f(x)在[1，e2] 上有两个零点．
是ff′2＝25＝，－3， 所以81a2＋ a＋4b4－ b－6a3－ a－4b2＋ b＝3＝ －53， ， 解得ab＝ ＝1－，6， 所以 f(x)＝x3－6x2＋9x＋3. (3)由(2)知 f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，所以 f′(x)＝3x2－12x＋9. 函数 y＝f(x)与 y＝13f′(x)＋5x＋m 的图象有三个不 【典例 3】 已知函数 f(x)＝ln(x＋a)－x2－x 在 x＝0 处取得 极值． (1)求实数 a 的值； (2)若关于 x 的方程 f(x)＝－52x＋b 在区间[0,2]上恰有两个不同 的实数根，求实数 b 的取值范围．
[规范解答] (1)由题意知，f′(x)＝x＋1 a－2x－1. ∵当 x＝0 时，f(x)取得极值，∴f′(0)＝0， 即0＋1 a－2×0－1＝0，解得 a＝1. 经检验 a＝1 符合题意，∴a＝1. (2)由 a＝1 知 f(x)＝ln(x＋1)－x2－x，由 f(x)＝－52x＋b， 得 ln(x＋1)－x2＋32x－b＝0，令 φ(x)＝ln(x＋1)－x2＋32x－b，则 f(x)＝－52x＋b 在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根等价于 φ(x)＝0 在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根．
用导数求函数的零点
人教 A 版选修 2-2 黑龙江省泰来县第一中学
探究与发现牛顿法--用导数方法求方程的近似解
牛顿法——用导数方法探究方程近似解班级_____________ 姓名_____________课前探究单请用二分法求方程32210200x x x ++-=在区间(1,2)上的近似解（精确度为0.01），并思考以下问题：（2）为达到精确度，需进行几次迭代？计算次数区间中点值x中点处的函数近似值y精确度 1 (1,2)2 3 4 5 6 7课堂活动单活动1：取02x =，如何求函数32()21020f x x x x =++-在0x x =处的切线方程?活动2：以11||n n n x x x ---表示方程解的相对误差，并以此刻画近似解的精确度。
请用牛顿法获得方程32210200x x x ++-=在区间(1,2)上的近似解（精确度为0.01）思考：请对 “二分法”和“牛顿法”进行优劣比较。
活动3：记函数32()21020f x x x x =++-在(1,2)内的零点为r ，考虑上述所获得的一串逼近零点r 的数0x ，1x ，2x ，…，n x ，…，其中n x 与1n x -是否有关系？如果有，请推出它们之间的递推关系？课后拓展——牛顿其人牛顿是近代科学的先驱，智商290，在多个领域都有非凡的成就。
他在1687年发表的论文《自然定律》里，对万有引力和三大运动定律进行了描述。
这些描述奠定了此后三个世纪里物理世界的科学观点，并成为了现代工程学的基础。
他通过论证开普勒行星运动定律与他的引力理论间的一致性，展示了地面物体与天体的运动都遵循着相同的自然定律；为太阳中心说提供了强有力的理论支持，并推动了科学革命。
在力学上，牛顿阐明了动量和角动量守恒的原理，提出牛顿运动定律[1]。
在光学上，他发明了反射望远镜，并基于对三棱镜将白光发散成可见光谱的观察，发展出了颜色理论。
他还系统地表述了冷却定律，并研究了音速。
在数学上，牛顿与戈特弗里德·威廉·莱布尼茨分享了发展出微积分学的荣誉。
他也证明了广义二项式定理，提出了“牛顿法”以趋近函数的零点，并为幂级数的研究做出了贡献。
探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解
牛 顿 法——用导数方法求方程的近似解一、思考问题问题1：求方程x 3-1=0的解.问题2：求方程x 3 +2x 2 +10x -20=0的解.问题3：求方程x 3 +2x 2+10x -20=0的近似解，精确度为0.001.二、形成方法1. 点A 横坐标为x 0，函数f (x )在点A 处的切线方程为： .（写成点斜式方程，结果用f (x 0)、f’(x 0)表示）问题4：可以求出x 1的值吗？如果可以，请写出关于x 1的解析式，结果用f (x 0)、f’(x 0)表示.问题5：是否可以把x 1作为零点r 的近似解？2. 写出求x 2的解析式： .3. 问题6：x n 与x n -1之间是否有关系？4. 这种用 的方法求方程近似解即为 ，牛顿法公式： .5. 问题7：x n 满足什么要求才可以作为近似解？精确度公式： .例1. 用牛顿法求方程x 3+2x 2 +10x -20=0的近似解. 精确度z 0=0.001.解：令f (x )= x 3+2x 2+10x -20，则f ’(x )=3x 2+4x +10x .取x 0= ，x n =x n -1-)(')(11--n n x f x f = x n -1-104)(32010)(2)(12112131++-++-----n n n n n x x x x x 所以：第一步: x 1= ，0011=x x x z - ；A第二步:问题8：不同的初始值对求方程的近似解有影响吗？如果有，影响在什么地方？三、化繁为简1. 算法步骤第一步：给定初始值x 0和精确度z 0；第二步：第三步：2. 程序框图四、感悟方法五、课堂小结1. 通过这节课的学习，你有哪些收获？2. 牛顿法步骤？六、课后作业1. 用牛顿法求方程x 3-3x -1=0在x =2附近的近似解，精确度z 0=0.01.2. 求25的近似值，精确度z 0=0.01.七、课外延伸查阅资料：求方程近似解的方法还有哪些？。
用导数方法求方程的近似解
n-1
（3 xn-1）2 4xn-1 10
- 20
第一步：x1=2？.4324，z1=
x1 - x0 x0
≈0.39？19
；
第二步：？x2=1.6173，z2=
x2 - x1 x1
≈0.3351；
第三步：x3=1.3856，z3=
x3
x2
x2
≈0.14328；
问第题四：步不：同x的4=1初.3始689值，对z4=求x方4x-3 x程3 ≈0的.0近120似6；解有影
第二步. x1= x0-
f ( x0 ) f '( x0 )
( f ′(x0)≠0，n≥2)；
第三步. 若精确度z=
x1
x0
x0
<
z0，
则x1即为所求，否则令x0 = x1，回到第二步.
11
六.课后作业
1. 用牛顿法求方程x3-3x-1=0在x=2附近的近 似解，精确度z0=0.01.
2. 求 5 2 的近似值，精确度z0=0.01.
令x0 = x1，回到第二步.
9
四.感悟方法
二分法
牛顿法
相同之处
求方程近似解，需要给定初始值、 精确度，需要迭代
蕴含思想 算法思想、逼近思想、以直代曲(牛顿法)
不足之处 迭代次数多
运算繁琐
优点
操作容易
算法简洁、迭代次数少
10
五.课堂小结
1. 通过这节课的学习，你有哪些收获？
2. 牛顿法步骤：
第一步. 给定初始值x0和精确度z0；
f ( xn-1 ) f '( xn-1 )
( f ’(xn-1)≠0).
这种用导数的方法求方程近似解即为牛顿法.
高等数学中的方程近似解与牛顿法
高等数学中的方程近似解与牛顿法在高等数学中，方程是一个重要的概念。
方程是数学中用来描述未知量之间关系的等式。
解方程是数学中常见的问题之一，也是数学的基础内容之一。
在解方程的过程中，我们常常需要找到方程的近似解。
而牛顿法是一种常用的求解方程近似解的方法。
一、方程近似解的意义在实际问题中，很多时候我们无法找到方程的精确解。
例如，对于复杂的非线性方程或高阶方程，很难通过代数方法求得解析解。
而近似解则是一种可行的解决办法。
近似解是指通过一定的计算方法，得到一个接近方程解的数值。
虽然近似解不是方程的精确解，但它可以在实际问题中提供有用的信息。
二、牛顿法的原理牛顿法是一种迭代的方法，用于求解方程的近似解。
它的基本思想是利用切线逼近曲线，通过不断迭代来逼近方程的解。
具体而言，牛顿法的步骤如下：1. 选择一个初始近似解x0；2. 计算方程在x0处的导数f'(x0)；3. 计算方程在x0处的函数值f(x0)；4. 利用切线的斜率和截距，求出切线与x轴的交点，得到新的近似解x1；5. 重复步骤2-4，直到满足精度要求或迭代次数达到上限。
牛顿法的关键在于如何选择初始近似解和迭代的停止条件。
初始近似解的选择往往需要根据问题的特点来确定，通常可以通过观察方程图像或利用已知的近似解来选择。
迭代的停止条件可以是达到一定的精度要求，或者迭代次数达到上限。
三、牛顿法的优缺点牛顿法作为一种求解方程近似解的方法，具有以下优点：1. 收敛速度快：牛顿法是一种二阶收敛的方法，收敛速度比较快。
在迭代的过程中，每一步都可以通过导数的信息来调整近似解，从而更快地逼近方程的解。
2. 适用范围广：牛顿法适用于解决各种类型的方程，包括线性方程、非线性方程和高阶方程等。
只要能够计算方程的导数和函数值，就可以应用牛顿法求解。
然而，牛顿法也存在一些缺点：1. 初始近似解的选择对结果有较大影响：牛顿法对初始近似解的选择比较敏感，不同的初始近似解可能导致不同的迭代结果。
牛顿法—用导数方法求方程的近似解 PPT
2.714669624 579535
精确度
0.333333333333333 0.094594594594595 0.009603789693283
5
2.71875
0.031 25
6
2.703125
0.015 625
7
2.7109375
0.007 812 5
牛顿法的程序框图
计算 次数
K
0
-2或者2
精确度
1
2
3
4
对比二牛分顿法和法牛的顿优法同点学：们速能找度出快牛顿法的优点
吗？ f ( x ) x3 20 牛顿法
二分法
计算次数 K
中点值
1
2.5
2
2.75
3
2.625
精确度
0.5 0.25 0.125
4
2.6875
0.062 5
计算 次数
K
0 1
2
3
2
3.000000000 000000
给定精度
和初始值
0
x0
根 据 牛 顿 法 公 式 计 算 当前 值
x1Βιβλιοθήκη x0x302x20 10x0 20 3x20 4x0 10
令x0 x1 计算当前精度: x1 x0
x0
No
0
Yes
x1为 方 程 的 近 似 解
求解结束
Matlab软件
1、牛顿法的基本步骤是什么？ 2、牛顿法的优点和缺点是什么？
K 0 1 2 3
4
5
2或者4
f xk
f xk 精确度
计算 次数
K 0 1
探究与发现牛顿法--用导数方法求方程的近似解
当a
≠0时，aΔ
>0, <0
解得：a
>1
综上：a >1
变式2：已知不等式x2 2ax 1 0对x [1,2] 恒成立，其中a 0，求实数a的取值范围。
思路1、通过划归最值，直接求函数 f (x) x2 2ax 1
的最小值，即 f (x)min 0
思路2、通过分离变量，转化为a < x2 +1 = 1 (x + 1 ) 2x 2 x
a 1,2恒成立，求实数x的取值范围.
思路：变换主元，把a看成变量，x看成参数
解：令f a = -2xa + x2 +1,
当x=0 时，f（a）=1>0,满足条件；
当x
0时，ff
1 > 0 2 > 0
解得：x < 2 - 3或x > 2 + 3
三、归纳总结，概括方法
1、对一元二次函数f x = ax2 + bx + c(a ≠ 0)有： 1f x > 0对x R恒成立 a > 0且Δ< 0； 2f x < 0对x R恒成立 a < 0且Δ< 0
五、感悟高考、举一反三
1、（2009年江西卷）设函数 f (x) x3 9 x2 6x a 对任
2
3
意实数x，f (x) m 恒成立，则m的最大值是
4
2、（2010年山东卷）若对任意 x
立，则a的取值范围是 15，＋∞
0 ,x 2x 3x1a Nhomakorabea恒成
3、对任意 a [1,1]不等式 x2 (a 4)x 4 2a 0 恒成立，
广元中学数学组 杨姣
一、基础引入，构建思路 例题：已知不等式x2 - 2ax +1 > 0对 x∈R恒成立，求实数a的取值范围.
探究与发现牛顿法--用导数方法求方程的近似解
由题意, f(x ) 0 应有根 x 1 ,故5a=3b,于是:
f(x)5a2 x (x21).
(1)设a>0,列表如下:
f(x)1a x2 2(xax )2x (a).
令 f(x)0,解得x1=-a,x2=a(a>0). 当x变化时, f(x),f(x)的变化情况如下表:
故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a时,f(x)有极 小值f(a)=2a.
练习1:求函数
6x y 1 x2
(2)若 x[0,1],函数f(x)图象上的任意一点的切线斜 率为k,试讨论k≥-1成立的充要条件 .
解:(1)由 f(x)3x22a x0得x=0或x=4a/3.故4a/3=4,
a=6.
由于当x<0时, f(x ) 0 ,当x>0时, f(x ) 0 .故当x=0时,
f(x)达到极小值f(0)=b,所以b=-1.
的极值.
解:
y
6(1 x2) (1 x2)2
.
令 y=0,解得x1=-1,x2=1.
当x变化时, y,y的变化情况如下表:
因此,当x=-1时有极大值,并且,y极大值=3; 而,当x=1时有极小值,并且,y极小值=- 3.
例3:已知函数f(x)=-x3+ax2+b.
(1)若函数f(x)在x=0,x=4处取得极值,且极小值为-1, 求a、b的值.
f (x)0
f(x)0
f(x0)0
o a X0
bx
如上左图所示,若x0是f(x)的极大值点,则x0两侧附近 点的函数值必须小于f(x0) .因此, x0的左侧附近f(x)只能 是增函数,即 f(x)0; x0的右侧附近f(x)只能是减函数,即
探索与发现 牛顿法 用导数方法求方程的近似解定ppt课件
1.375
4
(1.25,1.375)
1.3125
5
(1.3125,1.375)
1.34375
6
(1.34375,1.375)
1.359375
7
(1.359375,1.375)
1.3671875
8
(1.3671875,1.375)
1.37109375
9
(1.3671875,1.37109375)
1.36914625
z x1 x0 0.392 x0
z x2 x1 0.335 x1
z x3 x2 0.143 x2
x4
x3
f (x3 ) f (x3 )
1.3688121321
5
z x4 x3 0.012 x3
此时z z0
所以方程的一个近似解为x 1.36881213215
此时z z0
z x1 x0 0.392 x0
x2
x1
f ( x1 ) f ( x1 )
10.72380583
z x2 x1 0.00032 x1
此时z z0
所以方程的一个近似解为10.72380583
所以方程的一个近似解为10.7238053
例2、 用牛顿法求函数 f (x) x 12的零点 精度z0 0.001
做到z
z
为止
0
SUCCESS
THANK YOU
2019/5/5
牛顿法公式
: 如果f
x ' n 1
0, 那么,
xn
xn1
f f
xn1 x '
人教版高中数学选修1-1《牛顿法—用导数方法求方程的近似解》
这种用导数的方法求方程近似解即为牛顿法. (2)中的公式即为牛顿法公式.
6
问题：xn满足什么要求才可以作为近似解？
x n - x n -1 精确度：z x n -1
比如：给定精确度z0=0.001，若z<z0，则所求xn 可作为近似解.
1.375
1.3125
……
0.1309
-1.1688
……
0.25
0.125
……
9 10
（1.3671875, 1.36914625） （1.368166875, 1.36914625）
1.368166875 1.368656563
-0.0135 -0.0032
0.00195313 0.00097656
则x1即为所求，否则
令x0 = x1，回到第二步.
9
四.感悟方法
二分法 相同之处 牛顿法
求方程近似解，需要给定初始值、 精确度，需要迭代
蕴含思想 算法思想、逼近思想、以直代曲(牛顿法)
不足之处 优点
迭代次数多 操作容易 运算繁琐
算法简洁、迭代次数少
10
五.课堂小结
1. 通过这节课的学习，你有哪些收获？
3
看到这图，大家想到了谁？
4
一.提出问题
牛顿第一运动定律：
一切物体在没有受到力的 作用时，总保持匀速直线运动 状态或静止状态，除非作用在 它上面的力迫使它改变这种运 动状态.
5
二.形成方法
利用切线方程，找到了 一步步逼近点r的点： x0，x1，x2，… xn -1 ，xn
人教版高中数学必修1-1《牛顿法--用导数方法求方程的近似解》
引例：已知方程 （1）判断方程根的个数；
x x 1 0，
3
（2）已经学习过求方程近似解的 方法有哪些？
牛顿法：
( x0 , f ( x0 ))
x1,0
问题：试找出 x0与x1 的关系。
同理，
的关系式如何表达？ xn与x n 1
Hale Waihona Puke f ( xn ) ' xn1 xn ' ( f ( xn ) 0) f ( xn )
x2
x0
x1
x3
第一组同学初始值为2； 第二组同学初始值为1.5；
第三组同学初始值为0.6；
第四组同学初始值为1.3。
问题：不同的初始值对方程的近似解有什么影响？
问题：如果是电脑计算方程的近似解，如何确定停止运算的条件？
精度的概念:
xn 1 1 z0 xn
问题：通过刚才的例子能否感受到牛顿法求方程近似解的优点与缺点？
由于我们已知函数
3 f ( x) x，于是： x 1
3 n
x xn 1 xn1 xn 2 3xn 1
化简后可得：
3 2 xn 1 xn1 2 3xn 1
下面我们将以小组为单位，当给出不同的初始值 算 ，并将计算好的结果填入表格。
时，分别计
x0
x1 , x2 , x3
作业： 已知数列 xn 满足 （1）求证：
（2）求证：
1 xn xn1;
1 xn1 xn xn ln xn , n N , x1 2
*
，
。
1 xn 1 (1 ln 2) n 1 (n 1, n N * ) 2
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较平坦, 几乎没有升降.
2当t t1时,曲线ht在t1 O
t0
t1
t2
图1.1 3
t
l2
处的切线l1的斜率h`t1 0.所以,在t t1附近曲线下
降,即函数ht在t t1附近单调递减. 3当t t2时,曲线ht在t2处的切线l2的斜率h`t2 0.
解：f (1) lim 3(1 x)2 312
x0
x
lim 3x2 6x
x0
x
lim 3(x 2) 6 x0
（2）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
解：f (1) lim [(1 x)2 1] (12 1) lim 2x x2 2
x0
x
x0 x
切线方程：y 2 2(x 1) 即：2x y 0
• 数学上常用简单的对象来刻画复杂的对象。 例如，用无理数3.1416近似代替无理数π。
• 这是微积分中重要的思想方法
•
---------以直代曲。
知识运用
例1求函数y f (x) 2x2在x 1处的切线方程.
解：先求y 2x2在 x 1处的导数
y f (1 x) f (1)
2(1 x)2 212
（2）经历发现导数的几何意义的过程，体会逼近、 类比、数形结合的思想方法。。
情感 态度
领悟有限与无限，量变与质变的辩证关系， 感受人类理性思维的作用。
1 导数的定义：
复习活动
2 直线的斜率：
3 已知直线上一点的坐标（x0 , y0），且直 线斜率为 k ，则直线方程为：
问题一
创设情境
平面几何中我们是怎样判断直线是否是圆的割线 或切线的呢？
创设情境
问题二 画图，判断直线 l是曲线 C的切
线吗？ （1）l1 : x 0与 C1：y x2
l1 4 y
3
（2）l2 : y 1与 C2：y sin x
2
l2
y
1
–5
–4
–3
–2
–1
0
O
1
2
3
4
5
6
7
8
–1
–2
1
x –4 –3 –2 –1 O 1 2 3 4
–1
–2
–3
–4
–3
–4
自学探究
（数形结合）
探究二：解决“问题二”
探索求知
圆的切线定义并不适用于
l1
一般的曲线。
A
l2
B
而通过逼近的方法， 将割线趋于的确定位置的 直线定义为切线（交点可 能不惟一）适用于各种曲
线。所以，这种定义才真
C
正反映了切线的直观本质。
探索求知
根据导数的几何意义，在点P附近，曲线可以 用在点P处的切线近似代替 。
平均变化率表示的是 割线 PPn 的斜率
y=f(x)
y x 0
f(x2)
Pn
观察导学案上的四 个图像，在x 0的
f(x2)-f(x1)=△y
过程中，割线 PPn 的变化情况你能描
f(x1)
P
x2-x1=△x
述一下吗？尝试着 函数中表示出来
O
x0 x0+△x x
小组交流 割线的斜率与切线的斜率有什么关系呢？
3.导函数
由函数f
x
在x
x
处求导数的过程可以看到
0
当x x 0时, f (x 0 )是一个确定的数.那么,
当x变化时, f x 是x的一个函数,
我们叫它为f x 的导函数（简称导数）
y fy lim y lim f (x x) f (x)
（3）函数f (x)在点x 0处的导数f (x0)就是导函数f (x)在x=x0处 的函数值，这也是求函数在点 处的导数的方法之一.
例3 如图1.1 3,它表 h
l0
示跳水运动中高度随
时间变化的函 数 h t
l1
4.9t2 6.5t 10的
图象.根 据图象, 请描 O
述、比较曲线h t 在t0,
y=f(x)
kPPn
y ＝ x
f (x0
x) x
f (x0 )
y
Pn(xn,yn)
△y
即：当△x→0时，割线PPn 的斜率 的极限，就是曲线在点
P(x0,y0)
△x
M
P处的切线的斜率，
o
x
lim lim 所以：k切线＝ x0
y x
x0
f
(x0
x) x
f
(x0)
f
x0
二、导数的几何意义： 探索求知
x0
x
f '(1)＝f '(x) x1 2 (1) 2
f '(2) f '(x) x2 2 2 4
函数f (x) 在点 x0 处的导数 ,导函数 f (x)(导数)
的区别与联系:
(1)函数 f (x)在点 x0处的导数f (x0 ) 是一个常数,不是变数.
(2)函数的导数就是函数f(x)的导函数.
4x 2(x)2
y 4 4x x
令x趋于零,可知y 2x2在x 1处的导数为f (1) 4.
知识运用
这样,函数y 2x2在点(1, f (1)) (1, 2)处的切线斜 率为4.因此切线方程为( y 2) 4(x 1). 即: y 4x 2.如下图.
练习:（1）求函数y=3x2在点(1,3)处的导数.
x x0
x0
x
例2：设f (x) x2,求f '(x), f '(1), f '(2)
思路：先根据导数的定义求f '(x),再将自变量 的值代入求得导数值。 解：由导数的定义有
f '(x)＝lim f (x x) f (x) lim (x x)2 x2
x0
x
x0
x
lim x(2x x) 2x
烟台外国语实验学校 纪慧鹏
一、教学内容
重点
理解导数的几何意义及其应用。
难点
“逼近”,“以直代曲”的思想
的形成。
二一、、说教教材 学目标
知识 技能
（1）会描述一般曲线的切线定义； （2）会根据导数的几何意义求切线斜率，并会用其
分析描述“曲线在某点附近的变化情况”。
过程 方法
（1）通过观察类比，合作探究，概括出一般曲线的 切线定义；
函数 f ( x) 在 x x0处的导数 f / x0 的
几何意义就是：
曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0)) 处的切线的斜率，
就是函数 y=f(x)在点x0处的导数 f (x0 )
故曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线方程是:
y f (x0 ) f (x0)( x x0 )
t0
t1
t2
t
l2
图1.1 3
利 t1,t用2附曲近的线变在化动情点况的. 切线,刻画曲线在动点附近
的变化情况.
解 我们用曲线hx在t0 ,t1,t2 处的切线,刻画曲 线ht 在上述三个时刻附近的变化情况.
h
1当t t0时,曲线ht在
l0
t0处的切线l0平行于x 轴.
l1
所以,在t t0附近曲线比