高二数学上学期9月月考试卷文(含解析)
2022-2023学年上海市青浦高级中学高二上学期9月月考数学试题(解析版)
2022-2023学年上海市青浦高级中学高二上学期9月月考数学试题一、单选题1．若直线:1l ax by +=与圆22:1C x y +=相交，则点(),P a b 与圆C 的位置关系是（ ） A ．在圆外 B ．在圆上 C ．在圆内 D ．不能确定【答案】A【分析】根据直线与圆相交可得,a b 满足的不等式，从而可判断点与圆的位置关系. 【详解】因为直线:1l ax by +=与圆22:1C x y +=1<，故221a b +>，故点(),P a b 在圆C 的外部， 故选：A.2．直线3y x =绕原点逆时针旋转090，再向右平移１个单位，所得到的直线为( A ．1133y x =-+B ．113y x =-+C ．33y x =-D ．113y x =+ 【答案】A【详解】∵直线3y x =绕原点逆时针旋转090的直线为13y x =-，从而淘汰（Ｃ），（D ）又∵将13y x =-向右平移１个单位得()113y x =--，即1133y x =-+ 故选A ；【点评】此题重点考察互相垂直的直线关系，以及直线平移问题；【突破】熟悉互相垂直的直线斜率互为负倒数，过原点的直线无常数项；重视平移方法：“左加右减”； 3．与两圆22(2)1x y ++=，22(2)1x y -+=都相切，且半径为3的圆一共有（ ）个 A ．9 B ．7C ．5D ．3【答案】B【分析】求出两圆圆心、半径，根据两外切，一外切一内切，两外切讨论，即可求得. 【详解】设圆22(2)1x y ++=圆心()12,0C -，半径11r =，22(2)1x y -+=圆心()22,0C ，半径21r =. 由已知圆(),C a b ，半径3R =.当圆C 与两圆都外切时，有112244CC r R CC R r ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩，即有12CC CC =，可得C 在12C C 的垂直平分线上，即0a =，由14CC =，可得b =±2个圆满足； 当圆C 与圆1C 相外切，与圆2C 相内切时，有 111242CC r R CC R r ⎧=+=⎪⎨=-=⎪⎩，即42=，解得32a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即有2个圆满足；同理，当圆C 与圆2C 相外切，与圆1C 相内切时，有2个圆满足； 当圆C 与两圆都内切时，有111222CC R r CC R r ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，即有122CC CC ==，解得0a b =⎧⎨=⎩，即有1个圆满足.综上所述，共有7个圆满足情况. 故选：B.4．设11(,)M x y ，22(,)N x y 为不同的两点，直线:0l ax by c ++=，1122ax by cax by cδ++=++，以下命题中正确的序号为（ ）①存在实数δ，使得点N 在直线l 上； ②若1δ=，则过M 、N 的直线与直线l 平行； ③若1δ=-，则直线l 经过MN 的中点；④若01δ<<，则点M 、N 在直线l 的同侧且直线l 与线段MN 的反向延长线相交． A ．①②③ B ．②④C ．③④D ．②③④【答案】D【分析】依次分析命题：①根据δ中的分母不为0，即可判断点N 不在直线l 上；②当1δ=时，分0b =和0b ≠两种情况考虑，当0b =时，根据1δ=推出直线l 与直线MN 平行；当0b ≠时，根据1δ=，化简后得到直线l 与直线MN 的斜率相等，且点N 不在直线l 上，进而得到两直线平行；③当1δ=-时，化简后得到线段MN 的中点在直线l 上；④根据01δ<<，得到11ax by c ++与22ax by c ++同号且11ax by c ++小于22ax by c ++，进而得到点M 、N 在直线l 的同侧且直线l 与线段MN 的反向延长线相交，综合可得答案. 【详解】①因为1122ax by cax by cδ++=++中，220ax by c ++≠，所以点N 不在直线l 上，故①错误；②当0b =时，根据1δ=得到11221ax by cax by c++=++，化简得：12x x =，直线l 与直线MN 的斜率不存在，都与y 轴平行，由①知点N 不在直线l 上，得到直线l 与直线MN 平行；当0b ≠时，根据1δ=，得到11221ax by c ax by c++=++，化简得：2121y y bx x a -=--，即直线MN 的斜率为b a -，又因为直线l 的斜率为b a -，由①知点N 不在直线l 上，得到直线l 与直线MN 平行；综上，当1δ=时，直线l 与直线MN 平行，故②正确；③当1δ=-，得到11221ax by cax by c ++=-++，化简得1212022x x y y a b c ++⋅+⋅+=，而线段MN 的中点坐标为1212(,)22x x y y ++，所以直线l 经过直线MN 的中点，故③正确； ④当01δ<<，得到112201ax by cax by c ++<<++，即1122()()0ax by c ax by c ++++>，所以得到点M 、N 在直线l 的同侧，且1122ax by c ax by c ++<++，得到点M 与点N 到直线l 的距离不等，所以直线l 与线段MN 的反向延长线相交，故④正确， 故选：D .二、填空题5．直线1x =的倾斜角为___________ 【答案】90##2π 【分析】根据直线的方程可得出直线的倾斜角.【详解】直线1x =垂直于x 轴，故直线1x =的倾斜角为90. 故答案为：90.6．直线3410x y -+=的一个法向量是_____． 【答案】()3,4-【分析】根据方程直接写出即可.【详解】直线0Ax By C ++=的一个法向量是(),A B ， 所以，直线3410x y -+=的一个法向量是()3,4-. 故答案为：()3,4-.7．已知直线1:220l x y ++=，直线2l 过点(1,2)，若12l l ⊥，则直线2l 的方程是_________． 【答案】230x y -+=.【分析】根据条件可推得，直线2l 的斜率212k =，代入点斜式方程，整理即可得到. 【详解】设12,l l 的斜率分别为12,k k ，则121k k =-. 又12k =-，则212k =. 所以，直线2l 的点斜式方程为()1212y x -=-，整理可得，230x y -+=. 故答案为：230x y -+=.8．若直线1:(4)10l x k y +-+=与2:330l kx y ++=平行，则k 的值为____． 【答案】1【分析】根据两直线平行，即可列出关系式，解出即可.【详解】由已知得，()1340k k ⨯--=，即2430k k -+=，解得1k =或3k =. 当1k =时，1:310++=l x y ，2:330l x y ++=，显然两直线平行；当3k =时，1:10l x y ++=，化简后2:10l x y ++=，显然两直线重合，舍去. 所以，1k =. 故答案为：1.9．直线210x y --=被圆222x y +=所截得的弦长为______．【分析】根据所给圆，确定圆心以及半径，再结合点线距离即可求解. 【详解】依据题意得圆心为()0,0，半径r =d ==.则直线被圆截得的弦长为=10．已知圆221:(2)(1)10C x y -+-=与圆222:(6)(3)50C x y +++=交于A 、B 两点，则AB 所在的直线方程是__________． 【答案】20x y +=.【分析】两圆方程作差，即可得到交线的方程.【详解】联立方程()()()()222221106350x y x y ⎧-+-=⎪⎨+++=⎪⎩，即2222425012650x x y y x x y y ⎧-+--=⎨+++-=⎩， 两式作差得，1680x y --=，整理可得，20x y +=.所以，AB 所在的直线方程是20x y +=. 故答案为：20x y +=.11．已知线段PQ 两端点的坐标分别为(1,1)P -和(2,2)Q ，若直线l 恒过(0,1)-，且与线段PQ 有交点，则l 的斜率k 的取值范围是_____． 【答案】(]3,2,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】根据已知条件及直线的斜率公式即可求解. 【详解】因为直线l 恒过(0,1)A -,(1,1)P -和(2,2)Q ， 所以11201AP k --==-+，123022AQ k --==-. 由题意可知，直线l 的斜率存在且l 的斜率k ，若直线l 与线段PQ 有交点，如图所示由图象可知，AQ k k ≥或AP k k ≤,即32k ≥或2k ≤-， 所以l 的斜率k 的取值范围是为(]3,2,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：(]3,2,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭.12．若直线m 被两平行线1:10l x y -+=与2:30l x y -+=所截得的线段的长为2m 与两平行线的夹角是_____． 【答案】30##6π 【分析】作出图象，过直线m 与其中一条直线的交点向另一直线作垂线，在直角三角形中求解即可.【详解】如图，直线m 与两平行线1:10l x y -+=与2:30l x y -+=分别交于A 、B 两点，过A 作2AC l ⊥于C 点，则ABC ∠即为所求角.由已知，22AB =，()2231211AC -==-+，在Rt ACB △中，有21sin 222AC ABC AB∠===,则30ABC ∠=. 故答案为：30.13．直线:l y x b =+与曲线2:1C y x -有两个公共点，则b 的取值范围是_______________________. 【答案】2⎡⎣【分析】首先确定直线和曲线的图形特征，然后考查临界值即可确定实数b 的取值范围． 【详解】解：如图所示，21y x =-1为半径的半圆， y x b =+是一个斜率为1的直线，要使两图有两个交点，连接()1,0A -和()0,1B ，直线l 必在AB 以上的半圆内平移，直到直线与半圆相切，则可求出两个临界位置直线l 的b 值， 当直线l 与AB 重合时，1b =； 当直线l 与半圆相切时，圆心(0,0)到y x b =+的距离1d r ==， 12=，解得：2b =2b =-． 所以b 的取值范围是2⎡⎣． 故答案为：2⎡⎣14．若圆222(0)x y r r +=>上有且只有两个点到直线20x y --=的距离为1，则实数r 的取值范围是______． 【答案】()21,21-+.【分析】求出圆心()0,0P 到直线20x y --=的距离等于2，根据直线与圆的三种位置关系讨论，能求出半径r 的取值范围.【详解】图1圆心()0,0P 到直线20x y --=的距离2211d -==+如图1，当直线与圆相交时，OA r =，要使圆222(0)x y r r +=>上有且只有两个点到直线20x y --=的距离为1， 应有1AB <，即021r d r <-=， 221r <<；如图2，当直线与圆相离时，OA r =，要使圆222(0)x y r r +=>上有且只有两个点到直线20x y --=的距离为1， 应有1AB <，即021d r r <-=<， 212r <<图2如图3，当直线与圆相切时，则21OA r d ===>，显然圆222(0)x y r r +=>上有且只有两个点到直线20x y --=的距离为1， 所以有2r =满足.图3综上所述，实数r 的取值范围是)221.故答案为：()221.15．一束光线从点(2,3)A 射出，经x 轴上一点C 反射后到达圆22(3)(2)2x y ++-=上一点B ，则||||AC BC +的最小值为_____．【答案】2【分析】由题知圆22(3)(2)2x y ++-=的圆心坐标为()3,2D -，半径为2r =()3,2D -关于x 轴对称的点为()3,2D '--，进而结合BC DC DB ≥-，AC D C AD ''+≥求解即可. 【详解】解：由题知：圆22(3)(2)2x y ++-=的圆心坐标为()3,2D -，半径为2r =如图，设()3,2D -关于x 轴对称的点为()3,2D '--， 所以，()()22233252AD '=+++=因为BC DC DB ≥-，当且仅当,,B D C 三点共线，AC D C AD ''+≥，当且仅当,,A C D '三点共线，所以，52242AC BC AC DC DB AC D C r AD r ''+≥+-=+-≥-=-=，当且仅当，,,B D C 三点共线，,,A C D '三点共线时等号成立， 所以，||||AC BC +的最小值为42故答案为：4216．几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M 、N 是锐角AQB ∠的一边QA 上的两点，试在边QB 上找一点P ，使得MPN ∠最大”，如图，其结论是：点P 为过M 、N 两点且射线QB 相切的圆的切点，根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy 中，给定两点()1,2M -、()1,4N ，点P 在x 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的坐标为___________【答案】()1,0【分析】设PMN 的外接圆的圆心为(),a b ，根据题设中给出的结论可构建关于,a b 的方程组，解方程组后可得P 的坐标.【详解】延长NM 交x 轴于K ，则NKO ∠为锐角，由题设，当P 在射线KO 上时，若MPN ∠取最大值，则有PMN 的外接圆与x 轴相切且切点为P ， 设Q 为x 轴上的动点且在K 的左侧，则NQM NQK PKN ∠<∠<， 由MPN ∠为最大值角可得MPN PKN ∠>∠， 故当P 为x 轴上的动点且MPN ∠取最大值时，P 在射线KO 上且PMN 的外接圆与x 轴相切且切点为P .设该圆的圆心为(),a b ，则0b >且圆的半径为b ，故()()()()2222221214a b ba b b ⎧++-=⎪⎨-+-=⎪⎩，整理得到22245028170a a b a a b ⎧+-+=⎨--+=⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩或710a b =-⎧⎨=⎩， 又直线MN 的方程为3y x，故()3,0K -，故710a b =-⎧⎨=⎩舍去，故PMN 的外接圆的圆心为()1,2，故()1,0P . 故答案为：()1,0.【点睛】方法点睛：本题为即时应用类问题，注意根据给出的背景或结论来构建所设变量的方程组，另外对不适合题设给出的背景的另一类问题的讨论.三、解答题17．已知直线l 过点(4,1)C ，若直线l 在两坐标轴上截距相等，求直线l 的方程．【答案】40x y -=或50x y +-=.【分析】根据已知，分为截距为0与截距不为0讨论即可得到.【详解】当截距都为0时，直线l 过点(4,1)C ，()0,0O ，可设直线方程为y kx =，代入(4,1)C ，解得14k =，所以，直线l 的方程为14y x =，即40x y -=； 当截距都不为0时，可设直线方程为1x y a a+=()0a ≠，即x y a +=()0a ≠， 代入(4,1)C ，解得5a =，所以直线l 的方程为50x y +-=.综上所述，直线l 的方程为40x y -=或50x y +-=.18．在ABC 中，(2,5)A ，()1,3B（1）求AB 边的垂直平分线所在的直线方程；（2）若BAC ∠的角平分线所在的直线方程为30x y -+=，求AC 所在直线的方程.【答案】（1）11924y x =-+；（2）280x y -+=. 【解析】（1）设AB 边的垂直平分线为l ，求出12l k =-，即得AB 边的垂直平分线所在的直线方程； （2）设B 关于直线30x y -+=的对称点M 的坐标为(,)a b ，求出(0,4)M 即得解.【详解】（1）设AB 边的垂直平分线为l ， 有题可知53221AB k -==-，12l k ， 又可知AB 中点为3,42⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴l 的方程为13422y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即11924y x =-+， （2）设B 关于直线30x y -+=的对称点M 的坐标为(,)a b ；则311133022b a a b -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪-+=⎪⎩，解得04a b =⎧⎨=⎩，所以(0,4)M ， 由题可知A ，M 两点都在直线AC 上， 所以直线AC 的斜率为541202-=-，所以直线AC 的方程为14(0)2y x -=-， 所以AC 所在直线方程为280x y -+=.【点睛】方法点睛：求直线方程常用的方法是：待定系数法，先定式（点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式），再定量.19．已知圆22:220(R)C x y mx y m ++--=∈，其圆心在直线0x y +=上．(1)求m 的值；(2)若过点(1,4)的直线l 与C 相切，求l 的方程．【答案】(1)2m =；(2)1x =或512430x y -+=.【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程，求出圆心，代入直线方程即可求解；（2）对直线的斜率是否存在讨论.若存在，设直线l 的方程为：()41y k x -=-，利用圆心到直线的距离即可求解.【详解】（1）圆C 的标准方程为：222(1)324m m x y ⎛⎫++-=+ ⎪⎝⎭， 所以，圆心为,12m ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 由圆心在直线0x y +=上，得2m =.所以，圆C 的方程为：22(1)(1)4x y ++-=.（2）当直线l 的斜率不存在时，即l 方程为1x =，此时直线与圆相切；当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，则直线l 的方程为：()41y k x -=-，即40kx y k --+=，由于直线l 和圆C 2==， 解得：512k =，代入整理可得512430x y -+=. 所以，直线方程为：1x =或512430x y -+=.20．已知圆C ：x 2+y 2﹣8x ﹣6y +F ＝0与圆O ：x 2+y 2＝4相外切，切点为A ，过点P （4，1）的直线与圆C 交于点M ，N ，线段MN 的中点为Q ．（1）求点Q 的轨迹方程；（2）若|AQ |＝|AP |，点P 与点Q 不重合，求直线MN 的方程及△AMN 的面积．【答案】（1）22(4)(2)1x y -+-=；（2）3130x y --=【分析】（1）利用两圆外切确定圆C ，通过弦心距与弦垂直可得QC QP ⊥，故知Q 轨迹为以CP 为直径的圆；（2）先求得点A 坐标，由||||AQ AP =可知P ，Q 也在以A 为圆心，以AP 为直径的圆上，该圆与点Q的轨迹圆联立可得直线PQ 也即直线MN 的方程，之后利用点到直线距离公式等知识求解即可．【详解】解：（1）圆C 的标准方程为22(4)(3)25x y F -+-=-，∴圆心(4,3)C由圆C 与圆O216F =，∴圆22:(4)(3)9C x y -+-=，又()()22441349-+-=<，则点(4,1)P 在圆C 内，弦MN 过点P ，Q 是MN 的中点，则CQ MN ⊥，∴点Q 的轨迹是以CP 为直径的圆， 其方程为22(4)(2)1x y -+-=；（2）线段OC 与圆O 的交点为A ， 由22344y x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得86(,)55A ， 若||||AQ AP =，则P ，Q 是以点A 为圆心，AP 为半径的圆与点Q 的轨迹的交点， 由22228686()()(4)(1)5555x y -+-=-+-，与22(4)(2)1x y -+-=，作差可得3130x y +-=，即直线MN 的方程为3130x y +-=，∴点(4,3)C 到直线MN的距离d ==||MN =点A 到直线MN的距离246|13|h +-== AMN ∴的面积1||2S MN h =⨯ 21．如图，已知A ，(0,0)B ，(12,0)C，直线:(20l k x y k +--=.(1)求直线l 经过的定点坐标；(2)若直线l 等分ABC 的面积，求直线l 的方程；(3)若3)P ，点E ､F 分别在线段BC 和AC 上，上APF BPE S S =△△，求PE PF ⋅的取值范围.【答案】(1)(2,23) 3173630x y +-=(3)(]32,64-【分析】（1）将直线变形为(2)(3)0k x x y -+-=，由恒等式可得方程组，从而求得直线所过的定点；（2）根据条件确定直线l 所过的定点在直线AB 上，设出直线l 与AC 交点D ，由12APD ABC S S =△△确定D 点位置，从而求出D 点坐标，代入直线l 的方程可求解方程；（3）由APF BPE S S =△△可得有2BE AF =，设(,0)E x (012)x <≤，可确定24x AF AC =，由向量共线可得出F 点坐标，表示出PE PF ⋅,利用二次函数的图象与性质即可求得其取值范围.【详解】（1）解：直线:(3)20l k x y k --=可化为(2)(3)0k x x y -+-=， 联立2030x x y -=⎧⎨-=⎪⎩，解得223x y =⎧⎪⎨=⎪⎩l 经过的定点坐标为(2,3)； （2）解：因为(6,63)A ，(0,0)B ，(12,0)C ，所以有12AB AC BC ===， 由题可得直线AB 方程为3y x =，故直线l 经过的定点(2,23)P 在直线AB 上， 所以8AP =，设直线l 与AC 交于点D ，所以有12APD ABC S S =△△， 即111sin sin 222AP AD A AB AC A =⨯⨯， 所以394AD AC ==，设()00,D x y ， 所以34AD AC =，即(0036,63(6,63)4x y --=-，所以0212x =，0y =212D ⎛ ⎝⎭， 将D 点坐标代入直线l的方程，解得k =， 所以直线l170y +-； （3）解：由（2）可知ABC 为等边三角形， 所以1sin 602APF S AP AF =︒△，1sin 602BPE S BP BE =︒△， 而APF BPE S S =△△，8AP =，4BP =，所以有2BE AF =， 设(,0)E x (012)x <≤，则BE x =，所以2x AF =， 因为F 在AC 上，设()11,F x y ， 所以21224x x AF ACAC ==，即(116,(6,24x x y --=-，解得164x x =+，1y=，所以64x F x ⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭， 所以(2,PE x=--，4,4x PF ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭， 故()212453244x PE PF x x x ⎫⎛⎫⋅=-+-=+-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭， 因为012x <≤，所以(]32,64PE PF ⋅∈-.。
吉林省四校联考2024-2025学年高二上学期9月月考数学试卷(含解析)
2024~2025（上）高二年级第一次月考数 学全卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线的倾斜角为（ ）A．B ．C ．D ．2．若与是两条不同的直线，则“”是“”的（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知直线l 的一个方向向量，且直线l 经过和两点，则（ ）A ．B ．C ．1D ．24．已知空间向量，，则在上的投影向量为（ ）A ．B ．C ．D ．5．下列关于空间向量的说法中错误的是（ ）A ．平行于同一个平面的向量叫做共面向量B ．空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底C ．直线可以由其上一点和它的方向向量确定D ．任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量6．在平行六面体中，点P 是线段BD 上的一点，且，设，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．7．如图，直线交x 轴于点A ，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O ，另两个顶点M 、N 恰好落在直线上．若点N 在第二象限内，则的值为（ ）20x +-=π6π4π35π61:10l x my --=2:(2)310l m x y --+=1m =-12//l l (3,2,1)m =-(,2,1)A a -(2,3,)B b -a b +=2-1-(2,3,1)a =(1,2,2)b =-- a b 2b 2b - 23b 23b- 1111ABCD A B C D -3PD PB =1A A a =11A B b = 11A D c = 1PC =1324a b c++ 113444a b c-+1344a b c-++ 131444a b c-+ 334y x =+334y x =+tan AON ∠A．B ．C ．D ．8．在棱长为2的正方体中，EF 是正方体外接球的直径，点P 是正方体表面上的一点，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．给出下列命题，其中正确的命题是（）A ．若空间向量，满足，则B ．空间任意两个单位向量必相等C ．在正方体中，必有D ．空间向量10．已知两条平行直线和，则实数m 的值可能为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．11．如图，在棱长为2的正方体中，E 为的中点，F 为的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的有（）A ．171615181111ABCD A B C D -1111ABCD A B C D -1111ABCD A B C D -PE PF ⋅[2,0]-[1,0]-[0,1][0,2]a b a b =a b= 1111ABCD A B C D -11BD B D =(1,1,0)a =1:10l x y -+=2:0l x y m -+=1-1111ABCD A B C D -1BB 11A D 1DB =B ．向量与C ．平面AEF 的一个法向量是D ．点D 到平面AEF三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．直线，的斜率，是关于k 的方程的两根，若，则实数__________．13．在通用技术课程上，老师教大家利用现有工具研究动态问题．如图，老师事先给学生准备了一张坐标纸及一个三角板，三角板的三个顶点记为A 、B 、C ，，，．现移动边AC ，使得点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上运动，则（点O 为坐标原点）的最大值为__________．14．已知空间向量，，则最大值为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15．（本小题满分13分）已知直线，，．（1）若这三条直线交于一点，求实数m 的值；（2）若三条直线能构成三角形，求实数m 满足的条件．16．（本小题满分15分）如图，在直三棱柱中，，，，，点d 是棱AB 的中点AE 1AC (4,1,2)-1l 2l 1k 2k 2280k k n ++=12l l ⊥n =||2AC =||AB =||4BC =OB (1,1,1)a =(0,,1)(01)b y y =≤≤ cos ,a b 1:10l x my ++=2:240l x y --=3:310l x y +-=111ABC A B C -AC BC ⊥1AC =2BC =13CC =（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．17．（本小题满分15分）已知直线．（1）m 为何值时，点到直线l 的距离最大，并求出最大值；（2）若直线l 分别与x 轴，y 轴的负半轴交于A ，B 两点，求（O 为坐标原点）面积的最小值及此时直线l 的方程．18．（本小题满分17分）如图，在棱长为3的正方体中，点E 是棱上的一点，且，点F 是棱上的一点，且．（1）求异面直线与CF 所成角的余弦值；（2）求直线BD 到平面CEF 的距离．19．（本小题满分17分）如图，在四棱锥中，四边形ABCD 是边长为3的正方形，平面ABCD ，，点E 是棱PB 的中点，点F 是棱PC 上的一点，且．（1）证明：平面平面PBC ；（2）求平面AEF 和平面AFC夹角的大小．1//AC 1B CD 1A B 1B CD :(21)(3)70l m x m y m +-++-=(3,4)Q AOB △1111ABCD A B C D -11A B 112A E EB =11A D 112A F FD =1AD P ABCD -PA⊥PC =2PF FC =AEC ⊥第一次月考·数学参考答案、提示及评分细则1．D ，其倾斜角为．故选D ．2．C 若，则，解得或，则“”是“”的充分不必要条件，故选C ．3．A 因为，所以，解得，，所以，故选A ．4．D ，故在上的投影向量为．故选D ．5．B 平行于平面的向量，可平移至一个平行于的平面，故为共面向量，A 正确；空间任意三个向量都共面时，则不能构成空间的基底，B 错误；直线的方向向量是直线任取一点，向其两个方向的任意方向作出一个向量即可得，故直线上一点和方向向量确定直线，C 正确；由向量的位置的任意性，将空间两个向量某一端点移至重合位置，它们即可构成一个平面，即可为同一平面的向量，D 正确．故选B ．6．C ．故选C ．7．A 设直线与y 轴的交点为B ，过O 作于C ，过N 作于D ．因为N 在直线上且在第二象限内，设，则，．又，，即，，所以．在中，由三角形的面积公式得，，所以．y x = ∴5π612//l l 1(3)(2)()m m ⨯-=--1m =-3m =1m =-12//l l (2,1,1)AB a b =--+ 211321a b --+==-12a =-32b =-2a b +=-2222(2,3,1)(1,2,2)26221(2)(2)93a b b⋅⋅----===-+-+-a b ()223a b b b b⋅⋅=-αα11111111111111111114PC A C A P A B A D A B BP A B A D A B A A B D =-=+--=+---()11111111111111111311344444A B A D A B A A A D A B A D A B A A a b c =+----=+-=-++OC AB ⊥ND OA ⊥334y x =+3,34N x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3||34DN x =+||OD x =-(4,0)A -(0,3)B ||4OA =||3OB =||5AB =AOB △11||||||||22OB OA AB OC =12||5OC =在中，，，所以，即．在中，，即，解得，．因为点N 在第二象限内，所以，所以，，所以，故选A ．8．A 记正方体的外接球的球心为O ，易得，且，所以，故选A ．9．CD两个向量相等需要方向相同，模长相等，所以不能得到，A 错误；空间任意两个单位向量的模长均为1，但是方向不一定相同，故B 错误，正方体中，，的方向相同，长度相等，故，故C 正确；空间向量，故D 正确．故选CD ．10．AC 直线和平行，则，解得且，故0和2符合要求．故选AC ．11．BCD 对于A ，正方体中，，故A 错误；对于B ，，，故向量夹角余弦值为B 正确；Rt NOM △||||OM ON =45MNO ∠=︒12||5sin 45||||OC ON ON ︒==||ON =Rt NDO △222||||||ND DO ON +=22233()4x x ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭18425x =-21225x =8425x =-12||25ND =84||25OD =||1tan ||7ND AON OD ∠==1111ABCD A B C D -OE ==PO ⎡∈⎣()()()()2223[2,0]PE PF PO OE PO OF PO OE PO OE PO OE PO ⋅=+⋅+=+⋅-=-=-∈- a b =a b = 1111ABCD A B C D -BD 11B D11BD B D = (1,1,0)a ==1:10l x y -+=2:0l x y m -+=1m ≠<13m -<<1m ≠1DB =(0,2,1)AE = 1(2,2,2)AC =- 11cos AE AC AE AC θ⋅==对于C ，，，，．故是平面AEF 的一个法向量，故C 正确；对于D ，，则点D 到平面AEF 的距离为D 正确．故选BCD ．12． 因为，而且斜率存在，所以，又，是关于k 的方程的两根，，解得．13．由已知，，．如图，取AC 的中点E ．因为为直角三角形，故．由于为直角三角形，故，显然，当且仅当O 、B 、E三点共线时等号成立，故的最大值为．14，当时，，由，所以，当且仅当，即时等号成立，故，(0,2,1)AE = (1,0,2)AF =-(0,2,1)(4,1,2)0⋅-=(1,0,2)(4,1,2)0-⋅-=(4,1,2)-(2,0,0)DA = DA n d n ⋅=== 2-12l l ⊥121k k ⋅=-1k 2k 2280k k n ++=1212nk k ⋅==-2n =-||2AC =||AB =||4BC =OAC △1||||12OE AC ==ABC △||BE ==||||||OB OE BE ≤+OB 1cos ,b a b a a b ⋅== 10y ≥>cos ,a b a b a b ⋅=====0y >12y y +≥1y y=1y =cos ,a b =≤=当时，，故的最大值为．15．解：（1）由解得代入的方程，得．（2）当三条直线相交于一点或其中两直线平行时，三条直线不能构成三角形．①联立解得代入，得；②当与平行时，，当与平行时，．综上所述，当且且时，三条直线能构成三角形．（且写成或扣1分）．16．解：如图，以C 为坐标原点，CA ，CB ，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，所以，，，，，，所以，，，设平面的一个法向量为，则即令，解得，，所以平面的一个法向量为．（1）证明：，因为，0y =cos ,a b =cos ,a b 240,310,x y x y --=⎧⎨+-=⎩1,2,x y =⎧⎨=-⎩1l 1m =240,310,x y x y --=⎧⎨+-=⎩1,2,x y =⎧⎨=-⎩10x my ++=1m =1:10l x my ++=2:240l x y --=12m =-1:10l x my ++=3:310l x y +-=13m =1m ≠13m ≠12m ≠-1CC (1,0,0)A (0,2,0)B (0,0,0)C 1(0,0,3)C 1(0,2,3)B 1(1,0,3)A 1,1,02D ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,1,02CD ⎛⎫= ⎪⎝⎭1(0,2,3)CB =1B CD (,,)n x y z = 10,0,n CD n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 10,2230,x y y z ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩1x =12y =-13z =1B CD 111,,23n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 1(1,0,3)AC =- 10AC n ⋅=平面，所以平面；（2）解：因为，所以，所以直线与平面．17．解：（1）已知直线，整理得，由故直线l 过定点，点到直线l 的距离最大，可知点Q 与定点的连线的距离就是所求最大值，，的斜率为，可得，解得；（2）若直线l 分别与x 轴，y 轴的负半轴交于A ，B 两点，则可设直线l 的方程为，，则，，．（当且仅当时，取“=”），故面积的最小值为12，此时直线l 的方程为．18．解：（1）如图所示，以D 为坐标原点，DA ，DC ，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，所以，，，，所以，，所以，所以异面直线与CF1AC ⊂/1B CD 1//AC 1B CD 1(1,2,3)A B =-- 111cos ,A B n A B n A B n⋅==1A B 1B CD :(21)(3)70l m x m y m +-++-=(21)370x y m x y -++--=210,2,3703,x y x x y y ⎧-+==-⎧⇒⎨⎨--==-⎩⎩(2,3)--(3,4)Q (2,3)P --=437325PQ k +==+ (21)(3)70m x m y m ∴+-++-=57-52173m m +-=+2219m =-3(2)y k x +=+0k <32,0A k ⎛⎫-⎪⎝⎭(0,23)B k -13131912|23|2(32)12(4)(1212)122222AOB S k k k kk k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⋅-=--=+-+-≥⨯+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦△32k =-AOB △32120x y ++=1DD (3,0,0)A 1(0,0,3)D (1,0,3)F (0,3,0)C 1(3,0,3)AD =- (1,3,3)CF =-111cos ,AD CF AD CF AD CF⋅===1AD（2）因为，，，所以，，所以，所以，又平面CEF ，平面CEF ，所以平面CEF ，所以点D 到平面CEF 的距离即为直线BD 到平面CEF 的距离．设平面CEF 的一个法向量为，则即令，解得，，所以平面CEF 的一个法向量为．因为，所以点D 到平面CEF 的距离，即直线BD 到平面CEF 的距离为19．（1）证明：如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，所以，，，设，则，解得，即．则，，，设平面AEC 的一个法向量为，则即令，解得，，所以平面AEC 的一个法向量为．因为，，设平面PBC 的一个法向量为，(0,0,0)D (3,2,3)E (3,3,0)B (2,2,0)FE = (3,3,0)DB =23FE DB =//FE DB DB ⊂/EF ⊂//DB (,,)n x y z = 0,0,n FE n CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩220,330,x y x y z +=⎧⎨-+=⎩1x =1y =-43z =-41,1,3n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ (0,3,0)DC =DC n d n ⋅==(0,0,0)A (3,0,0)B (3,3,0)C (0,0,)(0)P t t >PC ==3t =(0,0,3)P 33,0,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭33,0,22AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭(3,3,0)AC = (,,)n x y z = 0,0,n AE n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 330,22330,x z x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩1x =1y =-1z =-(1,1,1)n =--(0,3,0)BC = (3,0,3)BP =- ()111,,m x y z =所以即令，解得，，所以平面PBC 的一个法向量为，又，所以平面平面PBC ；（2）解：，所以．设平面EAF 的一个法向量为，所以即令，解得，，所以平面EAF 的一个法向量为．设平面CAF 的一个法向量为，则即令，解得，，所以平面CAF 的一个法向量为．因为，所以平面AEF 和平面AFC夹角的大小为．0,0,m BC m BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 11130,330,y x z =⎧⎨-+=⎩11x =10y =11z =(1,0,1)m = 0m n ⋅=AEC ⊥11(3,3,3)(1,1,1)33CF CP ==⨯--=-- (2,2,1)AF AC CF =+= ()1222,,n x y z = 110,0,n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 22222330,22220,x z x y z ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩21x =212y =-21z =-111,,12n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()2333,,n x y z =220,0,n AC n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 33333330,220,x y x y z +=⎧⎨++=⎩31x =31y =-30z =2(1,1,0)n =-121212cos ,n n n n n n ⋅=== π4。
高二数学上学期月考试卷(含解析)
高二上学期月考数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（4分）点A（﹣1，5），B（3，﹣3）的中点坐标为（）A．（1，﹣1）B．（1，1）C．（2，﹣4）D．（﹣2，1）2．（4分）点（1，﹣1）到直线x﹣y+1=0的距离是（）A．B．C．D．3．（4分）已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0 B．﹣8 C．2 D．104．（4分）两直线3x+y﹣3=0与6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为（）A．4 B．C．D．5．（4分）在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是（）A．B． C． D．6．（4分）以点（2，﹣1）为圆心且与直线3x﹣4y+5=0相切的圆的方程为（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=3 B．（x+2）2+（y﹣1）2=3 C．（x﹣2）2+（y+1）2=9 D．（x+2）2+（y﹣1）2=37．（4分）圆x2+y2﹣2x=3与直线y=ax+1的交点的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．随a值变化而变化8．（4分）直线y=kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k 的取值范围是（）A．[﹣，0] B．C．[﹣] D．[﹣，0]二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）9．（4分）直线x+y+1=0的倾斜角的大小为．10．（4分）圆x2+y2﹣4x=0在点P（1，）处的切线方程为．11．（4分）经过两条直线3x+4y﹣5=0和3x﹣4y﹣13=0的交点，且斜率为2的直线方程是．12．（4分）从原点向圆x2+y2﹣12y+27=0作两条切线，则这两条切线的夹角的大小为．13．（4分）已知点A（1，﹣1），点B（3，5），点P是直线y=x上动点，当|PA|+|PB|的值最小时，点P的坐标是．14．（4分）集合A={（x，y）|x2+y2=4}，B={（x，y）|（x﹣3）2+（y﹣4）2=r2}，其中r＞0，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是．三、解答题，本大题共4小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（12分）已知两条直线l1：2x﹣y+1=0，l2：ax+y+2=0，点P（3，1）．（Ⅰ）直线l过点P，且与直线l1垂直，求直线l的方程；（Ⅱ）若直线l1与直线l2平行，求a的值；（Ⅲ）点P到直线l2距离为3，求a的值．16．（10分）已知圆M的圆心为（5，0），且经过点（3，），过坐标原点作圆M的切线l．（1）求圆M的方程；（2）求直线l的方程．17．（10分）已知圆x2+y2+x﹣6y+m=0和直线x+2y﹣3=0交于P、Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径．18．（12分）已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29=0相切．求：（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设直线ax﹣y+5=0与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（4分）点A （﹣1，5），B （3，﹣3）的中点坐标为（）A ． （1，﹣1）B ． （1，1）C ． （2，﹣4）D ． （﹣2，1）考点： 中点坐标公式．专题： 直线与圆．分析： 利用中点坐标公式即可得出．解答： 解：∵点A （﹣1，5），B （3，﹣3），∴线段AB 的中点坐标为，即为（1，1）．故选：B ．点评： 本题考查了中点坐标公式，属于基础题．2．（4分）点（1，﹣1）到直线x ﹣y+1=0的距离是（）A ．B ．C ．D ．考点： 点到直线的距离公式．专题： 计算题．分析： 应用到直线的距离公式直接求解即可．解答： 解：点（1，﹣1）到直线x ﹣y+1=0的距离是：= 故选D ．点评： 本题考查点到直线的距离公式，是基础题．3．（4分）已知过点A （﹣2，m ）和B （m ，4）的直线与直线2x+y ﹣1=0平行，则m 的值为（）A ． 0B ． ﹣8C ． 2D ． 10考点： 斜率的计算公式．专题： 计算题．分析： 因为过点A （﹣2，m ）和B （m ，4）的直线与直线2x+y ﹣1=0平行，所以，两直线的斜率相等．解答： 解：∵直线2x+y ﹣1=0的斜率等于﹣2，∴过点A （﹣2，m ）和B （m ，4）的直线的斜率K 也是﹣2，∴=﹣2，解得 ，故选 B ．点评： 本题考查两斜率存在的直线平行的条件是斜率相等，以及斜率公式的应用．4．（4分）两直线3x+y ﹣3=0与6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为（）A．4 B．C．D．考点：两条平行直线间的距离．专题：计算题；直线与圆．分析：根据两条直线平行的条件，建立关于m的等式解出m=2．再将两条直线化成x、y 的系数相同，利用两条平行直线间的距离公式加以计算，可得答案．解答：解：∵直线3x+y﹣3=0与6x+my+1=0平行，∴，解得m=2．因此，两条直线分别为3x+y﹣3=0与6x+2y+1=0，即6x+2y﹣6=0与6x+2y+1=0．∴两条直线之间的距离为d===．故选：D点评：本题已知两条直线互相平行，求参数m的值并求两条直线的距离．着重考查了直线的位置关系、平行线之间的距离公式等知识，属于基础题．5．（4分）在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是（）A．B． C． D．考点：确定直线位置的几何要素．专题：数形结合．分析：本题是一个选择题，按照选择题的解法来做题，由y=x+a得斜率为1排除B、D，由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；若y=ax递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上，得到结果．解答：解：由y=x+a得斜率为1排除B、D，由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；若y=ax递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上；故选C．点评：本题考查确定直线为主的几何要素，考查斜率和截距对于一条直线的影响，是一个基础题，这种题目也可以出现在直线与圆锥曲线之间的图形的确定．6．（4分）以点（2，﹣1）为圆心且与直线3x﹣4y+5=0相切的圆的方程为（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=3 B．（x+2）2+（y﹣1）2=3 C．（x﹣2）2+（y+1）2=9 D．（x+2）2+（y﹣1）2=3考点：直线与圆的位置关系．分析：求出半径即可求得圆的方程．解答：解：r==3，所求圆的方程为（x﹣2）2+（y+1）2=9故选C．点评：本题考查直线与圆的位置关系，求圆的方程，是基础题．7．（4分）圆x2+y2﹣2x=3与直线y=ax+1的交点的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．随a值变化而变化考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题；转化思想．分析：把圆的方程整理成标准方程，求得圆心和半径，进而利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离的表达式，利用不等式的性质可比较出＜2，进而推断出直线与圆相交，故可知交点为2个．解答：解：整理圆的方程为（x﹣1）2+y2=4，圆心为（1，0），半径为2，圆心到直线的距离为（）2﹣4=，对于y=3a2﹣2a+3，△=4﹣36＜0∴3a2﹣2a+3＞0，∴（）2﹣4＜0∴（）2＜4即＜2∴直线与圆相交，即交点有2个．故选C点评：本题主要考查了直线与圆相交的性质．判断直线与圆的位置关系时，一般是看圆心到直线的距离与半径的大小的比较．8．（4分）直线y=kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k 的取值范围是（）A．[﹣，0] B．C．[﹣] D．[﹣，0]考点：直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式；直线和圆的方程的应用．专题：压轴题．分析：先求圆心坐标和半径，求出最大弦心距，利用圆心到直线的距离不大于最大弦心距，求出k的范围．解答：解：解法1：圆心的坐标为（3，2），且圆与x轴相切．当，弦心距最大，由点到直线距离公式得解得k∈；故选A．解法2：数形结合，如图由垂径定理得夹在两直线之间即可，不取+∞，排除B，考虑区间不对称，排除C，利用斜率估值，故选A．点评：考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式，重点考查数形结合的运用．解法2是一种间接解法，选择题中常用．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）9．（4分）直线x+y+1=0的倾斜角的大小为．考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：化直线的一般式方程为斜截式，求出直线的斜率，由倾斜角的正切值等于斜率求倾斜角．解答：解：由x+y+1=0，得，∴直线x+y+1=0的斜率为，设其倾斜角为θ（0≤θ＜π），则，∴θ=．故答案为：．点评：本题考查直线的倾斜角，考查直线倾斜角与斜率的关系，是基础题．10．（4分）圆x2+y2﹣4x=0在点P（1，）处的切线方程为x﹣y+2=0．考点：圆的切线方程．专题：计算题．分析：求出圆的圆心坐标，求出切点与圆心连线的斜率，然后求出切线的斜率，解出切线方程．解答：解：圆x2+y2﹣4x=0的圆心坐标是（2，0），所以切点与圆心连线的斜率：=﹣，所以切线的斜率为：，切线方程为：y﹣=（x﹣1），即x﹣y+2=0．故答案为：x﹣y+2=0．点评：本题是基础题，考查圆的切线方程的求法，求出切线的斜率解题的关键，考查计算能力．11．（4分）经过两条直线3x+4y﹣5=0和3x﹣4y﹣13=0的交点，且斜率为2的直线方程是2x﹣y﹣7=0．考点：直线的两点式方程；直线的点斜式方程．专题：计算题；直线与圆．分析：联立两直线方程，求解交点坐标，然后代入直线方程的点斜式得答案．解答：解：联立，解得．∴两条直线3x+4y﹣5=0和3x﹣4y﹣13=0的交点为（3，﹣1），∴经过两条直线3x+4y﹣5=0和3x﹣4y﹣13=0的交点，且斜率为2的直线方程是y+1=2（x ﹣3），即2x﹣y﹣7=0．故答案为：2x﹣y﹣7=0．点评：本题考查了直线方程的点斜式，考查了二元一次方程组的解法，是基础题．12．（4分）从原点向圆x2+y2﹣12y+27=0作两条切线，则这两条切线的夹角的大小为．考点：圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：根据圆的标准方程求出圆心C的坐标和半径r，设这两条切线的夹角的大小为2θ，利用直线和圆相切的性质求得sinθ=的值，从而求得θ的值，由此可得结论．解答：解：圆x2+y2﹣12y+27=0，即 x2+（y﹣6）2=9，表示以C（0，6）为圆心，半径r=3的圆．设这两条切线的夹角的大小为2θ，其中θ为锐角，则由圆的切线性质可得sinθ==，所以θ=，故这两条切线的夹角的大小为2×=，故答案为：．点评：本题主要考查圆的标准方程，直线和圆相切的性质，直角三角形中的边角关系，根据三角函数的值求角，属于基础题．13．（4分）已知点A（1，﹣1），点B（3，5），点P是直线y=x上动点，当|PA|+|PB|的值最小时，点P的坐标是（2，2）．考点：两条直线的交点坐标．专题：计算题．分析：根据图形可知，当P运动到直线y=x与直线AB的交点Q时，|PA|+|PB|的值最小时，所以利用A和B的坐标求出直线AB的方程，与y=x联立即可求出交点的坐标即为P的坐标．解答：解：连接AB与直线y=x交于点Q，则当P点移动到Q点位置时，|PA|+|PB|的值最小．直线AB的方程为y﹣5=（x﹣3），即3x﹣y﹣4=0．解方程组，得．于是当|PA|+|PB|的值最小时，点P的坐标为（2，2）．故答案为：（2，2）点评：此题考查学生会根据两点坐标写出直线的方程，会求两直线的交点坐标，是一道中档题．14．（4分）集合A={（x，y）|x2+y2=4}，B={（x，y）|（x﹣3）2+（y﹣4）2=r2}，其中r＞0，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是3或7．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：计算题．分析：集合A中的元素其实是圆心为坐标原点，半径为2的圆上的任一点坐标，而集合B 的元素是以（3，4）为圆心，r为半径的圆上点的坐标，因为r＞0，若A∩B中有且仅有一个元素等价与这两圆只有一个公共点即两圆相切，则圆心距等于两个半径相加得到r的值即可．解答：解：据题知集合A中的元素是圆心为坐标原点，半径为2的圆上的任一点坐标，集合B的元素是以（3，4）为圆心，r为半径的圆上任一点的坐标，因为r＞0，若A∩B中有且仅有一个元素，则集合A和集合B只有一个公共元素即两圆有且只有一个交点，则两圆相切，圆心距d=R+r或d=R﹣r；根据勾股定理求出两个圆心的距离为5，一圆半径为2，则r=3或7故答案为3或7点评：考查学生运用两圆位置关系的能力，理解集合交集的能力，集合的包含关系的判断即应用能力．三、解答题，本大题共4小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（12分）已知两条直线l1：2x﹣y+1=0，l2：ax+y+2=0，点P（3，1）．（Ⅰ）直线l过点P，且与直线l1垂直，求直线l的方程；（Ⅱ）若直线l1与直线l2平行，求a的值；（Ⅲ）点P到直线l2距离为3，求a的值．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系；点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）利用直线与直线垂直的性质求解．（Ⅱ）利用直线与直线平行的性质求解．（Ⅲ）利用点到直线的距离公式求解．解答：解：（Ⅰ）∵直线l过点P，且与直线l1垂直，∴设直线l的方程为x+2y+c=0，把P（3，1）代入，得：3+2+c=0，解得c=﹣5，∴直线l的方程为：x+2y﹣5=0．（Ⅱ）∵直线l1与直线l2平行，∴，解得a=﹣2．（Ⅲ）∵点P到直线l2距离为3，∴=3，解得a=1．点评：本题考查直线方程和实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线的位置关系和点到直线的距离公式的合理运用．16．（10分）已知圆M的圆心为（5，0），且经过点（3，），过坐标原点作圆M的切线l．（1）求圆M的方程；（2）求直线l的方程．考点：圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：（1）求出半径，然后求出圆M的标准方程；（2）设出直线方程，利用直线与圆相切求出k即可求出直线方程．解答：解：（1）点（3，）到圆心（5，0）的距离为圆的半径R，所以R==3..（2分）所以圆的标准方程为（x﹣5）2+y2=9..（4分）（2）设切线方程为y=kx，与圆M方程联立方程组有唯一解，即：（1+k2）x2﹣10x+16=0有唯一解..（6分）所以：△=100﹣64（1+k2）=0，即：k=±所以所求切线方程为y=±x．点评：本题是基础题，考查直线的切线方程，圆的标准方程，考查计算能力，常考题型．17．（10分）已知圆x2+y2+x﹣6y+m=0和直线x+2y﹣3=0交于P、Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径．考点：直线和圆的方程的应用．分析：联立方程，设出交点，利用韦达定理，表示出P、Q的坐标关系，由于OP⊥OQ，所以k OP•k OQ=﹣1，问题可解．解答：解：将x=3﹣2y代入方程x2+y2+x﹣6y+m=0，得5y2﹣20y+12+m=0．设P（x1，y1）、Q（x2，y2），则y1、y2满足条件y1+y2=4，y1y2=．∵OP⊥OQ，∴x1x2+y1y2=0．而x1=3﹣2y1，x2=3﹣2y2，∴x1x2=9﹣6（y1+y2）+4y1y2．∴m=3，此时△＞0，圆心坐标为（﹣，3），半径r=．点评：本题考查直线和圆的方程的应用，解题方法是设而不求，简化运算，是常考点．18．（12分）已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29=0相切．求：（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设直线ax﹣y+5=0与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．考点：直线和圆的方程的应用．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）利用点到直线的距离求出半径，从而求圆的方程；（Ⅱ）利用圆心到直线的距离小于半径可求出实数a的取值范围；（Ⅲ）假设存在利用直线与圆的位置关系性质解决．解答：解：（Ⅰ）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．由于圆与直线4x+3y﹣29=0相切，且半径为5，所以，，即|4m﹣29|=25．因为m为整数，故m=1．故所求的圆的方程是（x﹣1）2+y2=25．（Ⅱ）直线ax﹣y+5=0即y=ax+5．代入圆的方程，消去y整理，得（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1=0．由于直线ax﹣y+5=0交圆于A，B两点，故△=4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，即12a2﹣5a＞0，解得 a＜0，或．所以实数a 的取值范围是．（Ⅲ）设符合条件的实数a存在，由（2）得a≠0，则直线l 的斜率为，l 的方程为，即x+ay+2﹣4a=0．由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上．所以1+0+2﹣4a=0，解得．由于，故存在实数a=，使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB．点评：本题主要考查了圆的标准方程，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系等知识的综合应用，以及存在性问题的解决技巧，属于难题．11。
高二数学上学期月考试题 文含解析 试题
2021-2021学年HY中学高二上学期段一考试〔月考〕文数试题一、选择题：一共12题1. 将直角三角形绕它的一个直角边所在的直线旋转一周,形成的几何体一定是A. 圆锥B. 圆柱C. 圆台D. 以上均不正确【答案】A【解析】由棱锥的定义可知：将直角三角形绕它的一个直角边所在的直线旋转一周，形成的几何体一定是圆锥. 此题选择A选项.2. 由斜二测画法得到:①相等的线段和角在直观图中仍然相等;②正方形在直观图中是矩形;③等腰三角形在直观图中仍然是等腰三角形;④平行四边形的直观图仍然是平行四边形.上述结论正确的个数是A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】逐一考察所给的说法：①相等的线段平行时在直观图中仍然相等，原说法错误；②正方形在直观图中是平行四边形，不是矩形，原说法错误；③等腰三角形在直观图中不是等腰三角形，原说法错误；④平行四边形的直观图仍然是平行四边形，原说法正确．综上可得上述结论正确的个数是1个.此题选择B选项.3. 以下四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出的图形的序号是A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④【答案】B【解析】此题考察空间线面的平行关系.对于①,根据正方体的概念可知,以AB为对角线的对角面与平面MNP平行,故平面,即①正确;②③中,直线AB与平面MNP都相交;对于④,易得AB∥NP,故平面.所以,能得到平面的序号是①④.故答案为：B。
4. 在正方体中,异面直线与所成的角为A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°【答案】C【解析】如下图，由正方体的性质可知，那么异面直线与所成的角即，结合正方体的性质可知，综上可得异面直线与所成的角为45°.此题选择C选项.点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其根本思路是通过平移直线，把异面问题化归为一共面问题来解决，详细步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或者两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．5. 如图,在四面体中,假设直线和相交,那么它们的交点一定A. 在直线上B. 在直线上C. 在直线上D. 都不对【答案】A【解析】依题意有：由于交点在上，故在平面上，同理由于交点在上，故在平面上，故交点在这两个平面的交线上.6. 在正方体中,为棱的中点,那么A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意结合射影定理逐一考察所给选项：在平面上的射影为，假设，那么，该结论明显不成立，选出A错误；在平面上的射影为，假设，那么，该结论明显不成立，选出B错误；在平面上的射影为，假设，那么，该结论明显不成立，选出C错误；在平面上的射影为，假设，那么，该结论明显成立，选出D正确；此题选择D选项.7. ?九章算术?是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？〞其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的锲体，下底面宽丈，长丈，上棱长丈，高2丈，问：它的体积是多少？〞丈为尺，该锲体的三视图如下图，那么该锲体的体积为A. 立方尺B. 立方尺C. 立方尺D. 立方尺【答案】A【解析】由题意，将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，作出几何体的直观图如下图：沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直，那么将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱，那么三棱柱的四棱锥的体积由三视图可知两个四棱锥大小相等，立方丈立方尺．应选A．【点睛】此题考察三视图及几何体体积的计算，其中正确复原几何体，利用方格数据分割与计算是解题的关键．8. 设是两条不同的直线,是一个平面,那么以下命题正确的选项是A. 假设,那么B. 假设,那么C. 假设,那么D. 假设,那么【答案】B【解析】试题分析：由题意得，对于A中，假设，，那么可能在内，所以错误；B中，假设，，根据线面垂直的性质定理以及平行线的性质，可得，所以正确；C中，假设，，那么与平行或者异面，所以错误；D中，假设，，那么与平行、相交或者异面，所以错误，应选B.考点：线面位置关系的断定.9. 在棱长为1的正方体中,是棱的中点,是侧面内(包括边)的动点,且平面,沿运动,将点所在的几何体削去,那么剩余几何体的体积为A. B. C. D.【答案】B【解析】如下图，分别取B1B、B1C1的中点M、N，连接AM、MN、AN，那么∵A1M∥D1E,A1M⊄平面D1AE,D1E⊂平面D1AE,∴A1M∥平面D1AE.同理可得MN∥平面D1AE，∵A1M、MN是平面A1MN内的相交直线,∴平面A1MN∥平面D1AE，由此结合A1F∥平面D1AE,可得直线A1F⊂平面A1MN，即点F的轨迹是线段MN，∴，∴将B1点所在的几何体削去,剩余几何体的体积为，此题选择B选项.10. 在空间四边形中,分别为上的点,且,又分别是的中点,那么A. 平面,且四边形是平行四边形B. 平面,且四边形是平行四边形C. 平面,且四边形是梯形D. 平面,且四边形是梯形【答案】C【解析】如图,由条件知,,,,且;且=;四边形EFGH为梯形;,平面BCD,平面BCD;平面BCD;假设平面ADC,那么,显然EH不平行FG;不平行平面ADC;选项C正确.点睛：这个题目主要考察了线面平行的断定方法；对于线面平行的证法，一般是转化为线线平行；常见方法有：构造三角形中位线，构造平行四边形等方法证明线线平行，从而得到线面平行。
湖北省荆州市沙市中学2024-2025学年高三上学期9月月考试题 数学(含解析)
2024—2025学年度上学期2022级9月月考数学试卷考试时间：2024年9月25日一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1．集合，若，则集合可以为（）A. B. C. D.2．若复数，则（ ）AB.C. 1D. 23．已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（ ）A ．B ．C ．D ．4．纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert 提出铅酸电池的容量、放电时间和放电电流之间关系的经验公式：，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert 常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为时，放电时间为；当放电电流为时，放电时间为，则该蓄电池的Peukert 常数约为（参考数据：，）（ ）A ．1.12B ．1.13C．1.14D ．1.155．已知，且，，则（ ） A ． B ． C ． D ．6．已知函数恒成立，则实数的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．7．函数与函数的图象交点个数为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．98．斐波拉契数列因数学家斐波拉契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”. 这一数列如下定义：设为斐波拉契数列，，其通项公式为.{}215=∈<N M x x {}05⋃=≤<M N x x N {}4{}45≤<x x {}05<<x x {}5<x x 232022202320241i i i i +i i z =-+-++- z =2b a = a b 60︒2a b - b 12br 12b- 32b- 32b C t I C I t λ=λ7.5A 60h 25A 15h λlg 20.301≈lg 30.477≈,(0,π)αβ∈cos α=sin()αβ+=αβ-=4π34π4π-34π-2()()ln 0f x x ax b x =++≥a 2-1-12()ln 1f x x =-()πsin 2g x x ={}n a ()*12121,1,3,N n n n a a a a a n n --===+≥∈，设是的正整数解，则的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9．给出下列命题，其中正确命题为（ ）A ．已知数据，满足：，若去掉后组成一组新数据，则新数据的方差为168B ．随机变量服从正态分布，若，则C ．一组数据的线性回归方程为，若，则D ．对于独立性检验，随机变量的值越大，则推断“两变量有关系”犯错误的概率越小10．如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（ ） A ．动点B ．与不可能垂直C ．三棱锥体积的最小值为D ．当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为11．已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线经过且与交于两点，其中点A 在第一象限，线段的中点在轴上的射影为点.若，则（ ）A ．B ．是锐角三角形C ．四边形D ．三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12．若“使”为假命题，则实数的取值范围为___________.13．在中，，∠，D 为线段AB 靠近点的三等分点，E 为线段CD 的中点，若，则的最大值为________.14．将这七个数随机地排成一个数列，记第i 项为，若，n nn a ⎤⎥=-⎥⎦n 2log 1(14(x x x ⎡⎤⎣⎦-<+n 12310x x x x 、、、、()12210i i x x i --=≤≤110x x 、X ()21,,( 1.5)0.34N P x σ>=()0.34P x a <=0.5a =()(),1,2,3,4,5,6i i x y i = 23y x =+6130i i x ==∑6163i i y ==∑2χ1111ABCD A B C D -E 1DD F 11C CDD 1//B F 1A BE F 1B F 1A B 11B D EF -1311B D DF -25π22:2(0)C y px p =>F x D l F C ,A B AF M y N MN NF =l ABD △MNDF 22||BF FA FD ⋅>[]01,4x ∃∈20040x ax -+>a ABC ∆BC =3A π=A 14BF BC =AE AF ⋅ 1,2,3,4,5,6,7()1,2,,7i a i = 47a =，则这样的数列共有个．四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知的内角，，的对边分别为，，，若.（1）求的值；（2）若，求周长的取值范围.16．已知正项数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，若数列满足，且数列的前n 项和为，若恒成立，求的取值范围．17．如图所示，半圆柱与四棱锥拼接而成的组合体中，是半圆弧上（不含）的动点，为圆柱的一条母线，点在半圆柱下底面所在平面内，.(1)求证：；(2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值；(3)求点到直线距离的最大值.123567a a a a a a ++<++ABC △A B C a b c ()4sin sin sin -=-A b B c A B a ABC△ABC △{}n a n n S 222n n n a a n S +-={}n a 21na nb =-{}nc 11n n n n b c b b ++=⋅{}n c n T ()12n T n λ-+≤λ1OO A BCDE -F BC ,B C FG A 122,OB OO AB AC ====CG BF ⊥//DF ABE FOD GOD G OD18．已知双曲线的中心为坐标原点，渐近线方程为，点在双曲线上. 互相垂直的两条直线均过点，且，直线交于两点，直线交于两点，分别为弦和的中点.(1)求的方程；(2)若直线交轴于点，设.①求；②记，，求.19．如果函数 F (x )的导数为，可记为 ，若 ，则表示曲线 y =f (x )，直线 以及轴围成的“曲边梯形”的面积. 如：，其中 为常数； ，则表及轴围成图形面积为4.(1)若 ，求 的表达式；(2)求曲线 与直线 所围成图形的面积；(3)若 ，其中 ，对 ，若，都满足，求 的取值范围.E y =(2,1)-E 12,l l ()(,0n n P p p )*n ∈N 1l E ,A B 2l E ,C D ,M N AB CD E MN x ()()*,0n Q t n ∈N 2nn p =n t n a PQ =()*21n b n n =-∈N 211(1)nkk k k k b b a +=⎡⎤--⎣⎦∑()()F x f x '=()()d f x x F x ⎰=()0f x ≥()()()baf x dx F b F a =-⎰x a x b ==，x 22d x x x C ⎰=+C ()()222204xdx C C =+-+=⎰0,1,2x x y x ===x ()()()e 1d 02xf x x f =⎰+=，()f x 2y x =6y x =-+()[)e 120,xf x mx x ∞=--∈+，R m ∈[)0,a b ∞∀∈+，a b >()()0d d a bf x x f x x >⎰⎰m()()32024+1232022022022024241i 1i ()1+1i 1i 1i 11i i iiiii z i =-+----⨯-+====--+-+++()0f x ≥2()g x x ax b =++1x >()0g x ≥01x <<()0g x <(1)0(0)0g g =⎧⎨≤1010a b a b b ++=⇒=--⎧⎨≤1a ≥-1．C2．C 【详解】6．B 【详解】∵恒成立，设，则当时，时，∴，即，∴4x ≥()()ln 1ln 31f x x g x =-≥>≥24x <<()ln 1ln10f x x g =-≥=>2x =()ln 1ln10sin πf x x =-===①当时，点，②当时，③当时，,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭x 11,,0,242x y p M N ⎛⎫⎛+ ⎪ ⎝⎭⎝MNF V MN l 11．ABD 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为则可知为等边三角形，即且∥x 轴，可知直线[5,)+∞00040x ax -+>[]1,4x ∀∈240x ax -+≤4≥+a x x[]1,4()4f x x x=+[]1,2[]2,4()()145f f ==()max 5f x =5a ≥a [5,)+∞11812345621+++++=310S ≤333310360A A ⨯⨯=4=at ()0>t ABC △2sin =⋅a R A 2sinB =⋅b R 2sin =⋅c R C ()22sin sin sin sin -=-t A B C A B ABC △()sin sin =+C A B ()()22sin sin sin sin -=+-t A B A B A B ()()()221sin sin cos2cos2sin sin 2+-=--=-A B A B A B A B 2222sin sin sin sin -=-t A B A B 1=t 4=a 12． 【详解】因为“使”为假命题，所以“，”为真命题，其等价于在上恒成立，又因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增，而，所以，所以，即实数的取值范围为.13．14．360【解析】∵，∴，列举可知：①（1，2，3）……（1，2，6）有4个；②（1，3，4），……，（1，3，6）有3个；③（1，4，5）有1个；④（2，3，4），（2，3，5） 有2个；故共有10个组合，∴共计有个这样的数列。
江西省部分学校2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题
江西省部分学校2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题一、单选题 1．2024︒角是（ ） A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角2．设扇形的圆心角为α，半径为r ，弧长为l ，而积为S ，周长为L ，则下列说法不正确的是（ ）A ．若α，r 确定，则,L S 唯一确定B ．若α，l 确定，则L ，S 唯一确定C ．若,S L 确定，则,r α唯一确定D ．若,S l 确定，则,r α唯一确定3．“sin θ是“π4θ=”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．若π1cos 22α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α=（ ）A ．12B ．12-C D ．5．已知函数()()sin πf x x =+，则（ ） A ．()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增B ．曲线()y f x =关于直线π2x =-对称C ．曲线()y f x =关于点π,02⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．曲线()y f x =关于直线π4x =对称6．已知函数()()sin ,0f x x ωω=>，将()f x 图象上所有点向左平移π6个单位长度得到函数()y g x =的图象，若函数()g x 在区间π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为（ ）A ．(]0,4B ．(]0,2C ．30,2⎛⎤⎥⎝⎦D ．(]0,17．已知3sin7a π=，3cos 7b π=，3tan 7c π=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．<<c a b8．如图，为测量旗杆的高AB ，在水平线AC 上选取相距10m 的两点,D E ，用两个垂直于水平面且高度均为2m 的测量标杆观测旗杆的顶点B ，记,D E 处测量标杆的上端点分别为,F G ，直线,BF BG 与水平线AC 分别交于点,H C ，且测得,DH EC 的长分别为3m,5m ，则旗杆的高AB 为（ ）A ．12mB ．13mC ．14mD ．15m二、多选题9．下列说法中，正确的是（ ） A ．330︒是第四象限角 B ．锐角一定是第一象限角 C ．第二象限角大于第一象限的角 D ．若角α为第二象限角，那么2α为第一象限角10．在ABC V 中，下列等式恒成立的是（ ）A ．sin sin()0ABC -+= B ．cos cos()0A B C -+= C ．cossin 022A B C +-= D ．coscos 022A B C+-=11．已知函数()π214f x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，给出的下列四个选项中，正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期是πB ．函数()f x 在区间π,85π8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数C ．函数()f x 的图象关于点π,08⎛⎫- ⎪⎝⎭对称D ．函数()f x 的图象可由函数2y x =的图象向左平移π8个单位，再向下平移1个单位得到三、填空题12．砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形OCD 截去同心扇形OAB 所得图形，已知0.1m OA =，0.4m AD =，125AOB ∠=︒，则该扇环形砖雕的面积为2m .13．函数()()ln 2cos 1f x x =-的定义域是． 14．函数πtan 34x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为．四、解答题15．已知α角的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点(4,3)P -. (1)求sin ,cos ,tan ααα；(2)求cos 2cos()2()sin()2cos()f παπααπαα⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭=-+-的值. 16．已知函数()πtan 23x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．(1)求函数()f x 的定义域； (2)求函数()f x 的单调区间； (3)求不等式()f x ≤17．已知函数()()2sin cos cos 05f x x x x ωωω=-<<满足π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.(1)求ω；(2)求()f x 在区间π,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值.18．函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式；(2)将函数()f x 的图象先向右平移π4个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，求()g x 在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；19．风力发电的原理是利用风力带动风机叶片旋转，当风吹向叶片时驱动风轮转动，风能转化成动能，进而来推动发电机发电．如图，风机由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为2π3，现有一座风机，叶片旋转轴离地面100米，叶片长40米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每5秒旋转一圈．风机叶片端点P 从离地面最低位置开始，转动t 秒后离地面的距离为h 米，在转动一周的过程中，h 关于t 的函数解析式为()()sin h t A t B ωϕ=++（0A >，0ω>，π<ϕ）．(1)求函数()h t 的解析式；(2)当风机叶片端点P 从离地面最低位置开始，在转动一周的过程中，求点P 离地面的高度不低于80米的时长．。
2024-2025学年湖北省十堰市郧阳中学高二上学期9月月考数学试卷(含答案)
2024-2025学年湖北省十堰市郧阳中学高二上学期9月月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线y=1−x tan72∘的倾斜角为( )A. 108∘B. 72∘C. 118∘D. 18∘2.向量a=(1,2,3)，b=(−2,−4,−6)，|c|=14，若(a+b)⋅c=−7，则a与c的夹角为( )A. 30∘B. 60∘C. 120∘D. 150∘3.已知直线l1:mx+y−1=0，l2：(3m−2)x+my−2=0，若l1//l2，则实数m的值为( )A. 2B. 1C. 1或2D. 0或134.将一枚均匀的骰子抛掷2次，事件A=“没有出现1点”，事件B=“出现一次1点”，事件C=“两次抛出的点数之和是8”，事件D=“两次掷出的点数相等”，则下列结论中正确的是( )A. 事件A与事件B是对立事件B. 事件A与事件D是相互独立事件C. 事件C与事件D是互斥事件D. 事件C包含于事件A5.已知点M是直线y=x+1上一点，A(1,0)，B(2,1)，则|AM|+|BM|的最小值为( )A. 2B. 22C. 1+2D. 106.已知在矩形ABCD中，AB=1，BC=3，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则|BD|=( )A. 102B. 62C. 52D. 27.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为AB的中点，则点A1到平面ECC1的距离为( )A. 15B. 55C. 255D. 258.古代城池中的“瓮城”，又叫“曲池”，是加装在城门前面或里面的又一层门，若敌人攻入瓮城中，可形成“瓮中捉鳖”之势.如下图的“曲池”是上.下底面均为半圆形的柱体.若AA1垂直于半圆柱下底面半圆所在平面，AA1=3，AB=4，CD=2，E为弧A1B1的中点，则直线CE与平面DEB1所成角的正弦值为( )A. 39921B. 27321C. 24221D. 4221二、多选题：本题共3小题，共18分。
四川省成都市石室阳安学校2024-2025学年高二(上)月考数学试卷(9月份)(含答案)
2024-2025学年四川省成都市石室阳安学校高二（上）月考数学试卷（9月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某校高一年级有810名学生，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为72的样本，则抽取男生和女生的人数分别为40，32，则该校高一年级的女生人数为( )A. 450B. 360C. 400D. 3202.已知平面α，β，直线l⊂α，直线m不在平面α内，下列说法正确的是( )A. 若α//β，m//l，则m//βB. 若l⊥β，m⊥α，则m//βC. 若l⊥m，α⊥β，则m⊥αD. 若α//β，m⊥β，则m⊥l3.某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650名学生进行编号，001，002，…，649，650.从中抽取50个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第4个样本编号是( )32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 4284 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 0432 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45A. 007B. 253C. 328D. 8604.某校高一年级18个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，抽得10个班的比赛得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，则这组数据的75%分位数为( )A. 93B. 93.5C. 94D. 94.55.已知a=(1,0)，b=(1,1)，若(λa−b)⊥b，则实数λ=( )A. −2B. 2C. −1D. 16.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1、2、3、4表示命中，5、6、7、8、9、0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：137 960 197 925 271 815 952 683 829 436 730 257.据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率( )A. 14B. 38C. 512D. 587.从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，给出以下事件：①两球都不是白球； ②两球中恰有一白球； ③两球中至少有一个白球．其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是( )A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③8.已知事件A ，B 互斥，它们都不发生的概率为16，且P(A)=2P(B)，则P(−B )=( )A. 59B. 49C. 518D. 1318二、多选题：本题共3小题，共18分。
河北省承德第一中学2022高二数学9月月考试题(含解析)
A.3B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设椭圆 上的点P（4cosθ，2sinθ），由点到直线 的距离公式，计算可得答案．
【详解】设椭圆 上的点P（4cosθ，2sinθ）
则点P到直线 距离
d= ；
故选：D．
【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细求解．
考点：曲线与方程．
10.若点 坐标为 ， 为抛物线 的焦点，点 是抛物线上的一动点，则 取最小值时点 的坐标为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】根据题意，作图如图，
设点P在其准线x=- 上的射影为M，有抛物线的定义得：|PF|=|PM|，
∴欲使|PA|+|PF|取得最小值，就是使|PA|+|PM|最小，
点评：典型题，利用抛物线的定义，数形结合分析.
11.下列命题:
①动点M到二定点A、B的距离之比为常数 则动点M的轨迹是圆
②椭圆 的离心率为 ,则
③双曲线 的焦点到渐近线的距离是
④已知抛物线 上两点 ( 是坐标原点),则
以上命题正确的是( )
A.②③④B.①④
C.①③D.①②③
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】解：设 ，由 ， 知
∵ ， ,
∴ ，
设 ，
由 得 ，
因为点 在椭圆上，所以
整理得2b2=3ac，即2（a2-c2）=3ac，2e2+3e-2=0，故椭圆的离心率
【点睛】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解题的前提的是熟练掌握椭圆的基本性质．
三、解答题.
17.命题p：关于x的不等式 对一切 恒成立； 命题q：函数 在 上递增，若 为真，而 为假，求实数 的取值范围。
2024-2025学年高三上学期第一次联考(9月月考) 数学试题[含答案]
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2024~2025学年高三第一次联考（月考）试卷数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：集合､常用逻辑用语､不等式､函数､导数及其应用.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则集合的真子集的个数为（）{}4,3,2,0,2,3,4A =---{}2290B x x =-≤A B ⋂A.7B.8C.31D.322.已知，，则“，”是“”的（ ）0x >0y >4x ≥6y ≥24xy ≥A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆､绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水､雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为()mg /L N t （为最初污染物数量，且）.如果前4个小时消除了的污染物，那么污染物消0e kt N N -=0N 00N >20%除至最初的还需要（ ）64%A.3.8小时 B.4小时C.4.4小时D.5小时4.若函数的值域为，则的取值范围是（）()()2ln 22f x x mx m =-++R m A.B.()1,2-[]1,2-C.D.()(),12,-∞-⋃+∞(][),12,-∞-⋃+∞5.已知点在幂函数的图象上，设，(),27m ()()2n f x m x =-(4log a f =，，则，，的大小关系为（ ）()ln 3b f =123c f -⎛⎫= ⎪⎝⎭a b c A.B.c a b <<b a c<<C. D.a c b <<a b c<<6.已知函数若关于的不等式的解集为，则的()()2e ,0,44,0,x ax xf x x a x a x ⎧->⎪=⎨-+-+≤⎪⎩x ()0f x ≥[)4,-+∞a 取值范围为（ ）A.B. C. D.(2,e ⎤-∞⎦(],e -∞20,e ⎡⎤⎣⎦[]0,e 7.已知函数，的零点分别为，，则（ ）()41log 4xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()141log 4xg x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭a b A. B.01ab <<1ab =C.D.12ab <<2ab ≥8.已知，，，且，则的最小值为（ ）0a >0b >0c >30a b c +-≥6b a a b c ++A. B. C. D.29495989二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（ ）A.函数是相同的函数()f x =()g x =B.函数6()f x =C.若函数在定义域上为奇函数，则()313xx k f x k -=+⋅1k =D.已知函数的定义域为，则函数的定义域为()21f x +[]1,1-()f x []1,3-10.若，且，则下列说法正确的是（）0a b <<0a b +>A. B.1a b >-110a b+>C. D.22a b <()()110a b --<11.已知函数，则下列说法正确的是（ ）()()3233f x x x a x b=-+--A.若在上单调递增，则的取值范围是()f x ()0,+∞a (),0-∞B.点为曲线的对称中心()()1,1f ()y f x =C.若过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是()2,m ()()3y f x a x b =+-+m ()5,4--D.若存在极值点，且，其中，则()f x 0x ()()01f x f x =01x x ≠1023x x +=三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.__________.22lg 2lg3381527log 5log 210--+⋅+=13.已知函数称为高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，则不等式[]y x =x []3.43=[]1.62-=-的解集为__________；当时，的最大值为__________.[][]06x x <-0x >[][]29x x +14.设函数，若，则的最小值为__________.()()()ln ln f x x a x b =++()0f x ≥ab 四､解答题：本题共5小题､共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知全集，集合，.U =R {}231030A x x x =-+≤{}220B x xa =+<（1）若，求和；8a =-A B ⋂A B ⋃（2）若，求的取值范围.()UA B B ⋂= a 16.（本小题满分15分）已知关于的不等式的解集为.x 2280ax x --<{}2x x b-<<（1）求，的值；a b （2）若，，且，求的最小值.0x >2y >-42a bx y +=+2x y +17.（本小题满分15分）已知函数.()()()211e 2x f x x ax a =--∈R （1）讨论的单调性；()f x （2）若对任意的恒成立，求的取值范围.()e x f x x ≥-[)0,x ∈+∞a 18.（本小题满分17分）已知函数是定义在上的奇函数.()22x xf x a -=⋅-R（1）求的值，并证明：在上单调递增；a ()f x R （2）求不等式的解集；()()23540f x x f x -+->（3）若在区间上的最小值为，求的值.()()442x x g x mf x -=+-[)1,-+∞2-m 19.（本小题满分17分）已知函数.()()214ln 32f x x a x x a =---∈R （1）若，求的图像在处的切线方程；1a =()f x 1x =（2）若恰有两个极值点，.()f x 1x ()212x x x <（i ）求的取值范围；a （ii ）证明：.()()124ln f x f x a+<-数学一参考答案､提示及评分细则1.A 由题意知，又，所以{}2290B x x ⎡=-=⎢⎣∣ {}4,3,2,0,2,3,4A =---，所以的元素个数为3，真子集的个数为.故选.{}2,0,2A B ⋂=-A B ⋂3217-=A 2.A 若，则，所以“”是“”的充分条件；若，满足4,6x y 24xy 4,6x y 24xy 1,25x y ==，但是，所以“”不是“”的必要条件，所以“”是24xy 4x <4,6x y 24xy 4,6x y “”的充分不必要条件.故选A.24xy 3.B 由题意可得，解得，令，可得4004e 5N N -=44e 5k -=20004e 0.645t N N N -⎛⎫== ⎪⎝⎭，解得，所以污染物消除至最初的还需要4小时.故选B.()248e e ek kk---==8t =64%4.D 依题意，函数的值域为，所以，解得()()2ln 22f x x mx m =-++R ()2Δ(2)420m m =--+ 或，即的取值范围是.故选D.2m 1m - m ][(),12,∞∞--⋃+5.C 因为是軍函数，所以，解得，又点在函数的图()()2nf x m x =-21m -=3m =()3,27()n f x x =象上，所以，解得，所以，易得函数在上单调递增，又273n=3n =()3f x x =()f x (),∞∞-+，所以.故选C.1241ln3lne 133log 2log 2->==>=>=>a c b <<6.D 由题意知，当时，；当时，；当时，(),4x ∞∈--()0f x <[]4,0x ∈-()0f x ()0,x ∞∈+.当时，，结合图象知；当时，，当()0f x 0x ()()()4f x x x a =-+-0a 0x >()e 0x f x ax =- 时，显然成立；当时，，令，所以，令，解0a =0a >1e x x a (),0e x x g x x =>()1e xxg x -='()0g x '>得，令0，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以01x <<()g x '<1x >()g x ()0,1()1,∞+，所以，解得综上，的取值范围为.故选D.()max 1()1e g x g ==11e a0e a < a []0,e 7.A 依题意得，即两式相减得4141log ,41log ,4a b a b ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩441log ,41log ,4a ba b ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-= ⎪⎪⎝⎭⎩.在同一直角坐标系中作出的图()44411log log log 44a ba b ab ⎛⎫⎛⎫+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4141log ,log ,4xy x y x y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭象，如图所示：由图象可知，所以，即，所以.故选A.a b >1144ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()4log 0ab <01ab <<8.C 因为，所以，所以30a b c +- 30a b c +> 11911121519966399939911b a b a b b b b a b c a b a b a a a a ⎛⎫++=+=++--=-= ⎪+++⎝⎭++ ，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选C.1911991b b a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭+29b a =6b aa b c ++599.AD 由解得，所以，由，解得10,10x x +⎧⎨-⎩ 11x - ()f x =[]1,1-210x -，所以的定义域为，又，故函数11x - ()g x =[]1,1-()()f x g x ===与是相同的函数，故A 正确；，()f x ()g x ()6f x ==当且仅当方程无解，等号不成立，故B 错误；函数=2169x +=在定义域上为奇函数，则，即，即()313x x k f x k -=+⋅()()f x f x -=-331313x xx x k k k k ----=-+⋅+⋅，即，整理得，即，()()33313313x x xxxxk k k k ----=-+⋅+⋅313313x x x x k kk k ⋅--=++⋅22919x x k k ⋅-=-()()21910x k -+=所以，解得.当时，，该函数定义域为，满足，210k -=1k =±1k =()1313xx f x -=+R ()()f x f x -=-符合题意；当时，，由可得，此时函数定义域为1k =-()13311331x x xxf x --+==--310x -≠0x ≠，满足，符合题意.综上，，故C 错误；由，得{}0x x ≠∣()()f x f x -=-1k =±[]1,1x ∈-，所以的定义域为，故D 正确.故选AD.[]211,3x +∈-()f x []1,3-10.AC 因为，且，所以，所以，即，故A 正确；0a b <<0a b +>0b a >->01a b <-<10ab -<<因为，所以，故В错误；因为，所以，0,0b a a b >->+>110a ba b ab ++=<0a b <<,a a b b =-=由可得，所以，故C 正确；因为当，此时，故0a b +>b a >22a b <11,32a b =-=()()110a b -->D 错误.故选AC.11.BCD 若在上单调递增，则在上佰成立，所以()f x ()0,∞+()23630f x x x a '=-+- ()0,x ∞∈+，解得，即的取值范围是，故A 错误；因为()min ()13630f x f a '==--'+ 0a a (],0∞-，所以，又()()32333(1)1f x x x a x b x ax b =-+--=---+()11f a b =--+，所以点()()()332(21)21(1)1222f x f x x a x b x ax b a b -+=-----++---+=--+为曲线的对称中心，故B 正确；由题意知，所以()()1,1f ()y f x =()()3233y f x a x b xx =+-+=-，设切点为，所以切线的斜率，所以切线的方程为236y x x =-'()32000,3x x x -20036k x x =-，所以，整理得()()()3220000336y x x x x x x --=--()()()322000003362m xx x x x --=--.记，所以3200029120x x x m -++=()322912h x x x x m =-++()26h x x '=-，令，解得或，当时，取得极大值，当时，1812x +()0h x '=1x =2x =1x =()h x ()15h m =+2x =取得极小值，因为过点可作出曲线的三条切线，所以()h x ()24h m=+()2,m ()()3y f x a x b =+-+解得，即的取值范围是，故C 正确；由题意知()()150,240,h m h m ⎧=+>⎪⎨=+<⎪⎩54m -<<-m ()5,4--，当在上单调递增，不符合题意；当，()223633(1)f x x x a x a =-+-=--'()0,a f x (),∞∞-+0a >令，解得，令，解得在()0f x '>1x <-1x >+()0f x '<11x -<<+()f x 上单调递增，在上单调递堿，在上单调递增，因为,1∞⎛- ⎝1⎛+ ⎝1∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭存在极值点，所以.由，得，令，所以，()f x 0x 0a >()00f x '=()2031x a-=102x x t+=102x t x =-又，所以，又，()()01f x f x =()()002f x f t x =-()()32333(1)1f x x x a x b x ax b =-+--=---+所以，又，所以()()()330000112121x ax b t x a t x b ---+=-----+()2031x a-=，化简得()()()()()()()322320000000013112121312x x x b x x b t x x t x b----=----=------，又，所以，故D 正确.故选BCD.()()20330t x t --=010,30x x x t ≠-≠103,23t x x =+=12. 由题意知10932232862log 184163381255127log 5log 210log 5log 121027---⎛⎫+⋅+=+⋅-+ ⎪⎝⎭62511411410log 5log 2109339339=-⋅+=-+=13.（2分）（3分） 因为，所以，解得，又函数[)1,616[][]06x x <-[][]()60x x -<[]06x <<称为高斯函数，表示不超过的最大整数，所以，即不等式的解集为.当[]y x =x 16x < [][]06x x <-[)1,6时，，此时；当时，，此时01x <<[]0x =[]2[]9x x =+1x []1x ，当且仅当3时等号成立.综上可得，当时，的[][][]2119[]96x x x x ==++[]x =0x >[]2[]9x x +最大值为.1614. 由题意可知：的定义域为，令，解得令，解21e -()f x (),b ∞-+ln 0x a +=ln ;x a =-()ln 0x b +=得.若，当时，可知，此时，不合题1x b =-ln a b -- (),1x b b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +>+<()0f x <意；若，当时，可知，此时，不合ln 1b a b -<-<-()ln ,1x a b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +>+<()0f x <题意；若，当时，可知，此时；当ln 1a b -=-(),1x b b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +<+<()0f x >时，可知，此时，可知若，符合题意；若[)1,x b ∞∈-+()ln 0,ln 0x a x b ++ ()0f x ln 1a b -=-，当时，可知，此时，不合题意.综上所ln 1a b ->-()1,ln x b a ∈--()ln 0,ln 0x a x b +<+>()0f x <述：，即.所以，令，所以ln 1a b -=-ln 1b a =+()ln 1ab a a =+()()ln 1h x x x =+，令，然得，令，解得，所以在()ln 11ln 2h x x x '=++=+()0h x '<210e x <<()0h x '>21e x >()h x 上单调递堿，在上单调递增，所以，所以的最小值为.210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭21,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭min 2211()e e h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ab 21e -15.解：（1）由题意知，{}2131030,33A x x x ⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦∣ 若，则，8a =-{}()22802,2B x x =-<=-∣所以.(]1,2,2,33A B A B ⎡⎫⋂=⋃=-⎪⎢⎣⎭（2）因为，所以，()UA B B ⋂= ()UB A ⊆ 当时，此时，符合题意；B =∅0a 当时，此时，所以，B ≠∅0a <{}220Bx x a ⎛=+<= ⎝∣又，U A ()1,3,3∞∞⎛⎫=-⋃+ ⎪⎝⎭13解得.209a -< 综上，的取值范围是.a 2,9∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭16.解：（1）因为关于的不等式的解集为，x 2280ax x --<{2}xx b -<<∣所以和是关于的方程的两个实数根，且，所以2-b x 2280ax x --=0a >22,82,b a b a⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得.1,4a b ==（2）由（1）知，所以1442x y +=+()()()221141422242241844242y xx y x y x y x y y x ⎡⎤+⎛⎫⎡⎤+=++-=+++-=+++-⎢⎥ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎣⎦，179444⎡⎢+-=⎢⎣ 当且仅当，即时等号成立，所以.()2242y x y x +=+x y ==2x y +74-17.解：（1）由题意知，()()e e x x f x x ax x a=-=-'若，令.解得，令，解得，所以在上单调递琙，在0a ()0f x '<0x <()0f x '>0x >()f x (),0∞-上单调递增.()0,∞+若，当，即时，，所以在上单调递增；0a >ln 0a =1a =()0f x ' ()f x (),∞∞-+当，即时，令，解得或，令，解得，ln 0a >1a >()0f x '>0x <ln x a >()0f x '<0ln x a <<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；()f x (),0∞-()0,ln a ()ln ,a ∞+当，即时，令，解得或，令，解得，ln 0a <01a <<()0f x '>ln x a <0x >()0f x '<ln 0a x <<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.()f x (),ln a ∞-()ln ,0a ()0,∞+综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在0a ()f x (),0∞-()0,∞+01a <<()f x 上单调递增，在上单调递减，在上单调递增当时，在上(,ln )a ∞-()ln ,0a ()0,∞+1a =()f x (),∞∞-+单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.1a >()f x (),0∞-()0,ln a ()ln ,a ∞+（2）若对任意的恒成立，即对任意的恒成立，()e xf x x - [)0,x ∞∈+21e 02xx ax x -- [)0,x ∞∈+即对任意的恒成立.1e 102x ax -- [)0,x ∞∈+令，所以，所以在上单调递增，当()1e 12x g x ax =--()1e 2x g x a=-'()g x '[)0,∞+，即时，，所以在上单调递增，所以()10102g a =-' 2a ()()00g x g '' ()g x [)0,∞+，符合题意；()()00g x g = 当，即时，令，解得，令，解得，所()10102g a =-<'2a >()0g x '>ln 2a x >()0g x '<0ln 2a x < 以在上单调递减，()g x 0,ln 2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭所以当时，，不符合题意.0,ln 2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()00g x g <=综上，的取值范围是.a (],2∞-18.（1）证明：因为是定义在上的奇函数，所以，()f x R ()010f a =-=解得，所以，1a =()22x xf x -=-此时，满足题意，所以.()()22x x f x f x --=-=-1a =任取，所以12x x <，()()()()211122121211122222122222222122x x x x x x x x x x x x f x f x x x --⎛⎫--=---=--=-+ ⎪++⎝⎭又，所以，即，又，12x x <1222x x <12220x x -<121102x x ++>所以，即，所以在上单调递增.()()120f x f x -<()()12f x f x <()f x R （2）解：因为，所以，()()23540f x x f x -+->()()2354f x x f x ->--又是定义在上的奇函数，所以，()f x R ()()2354f x x f x ->-+又在上单调递增，所以，()f x R 2354x x x ->-+解得或，即不等式的解集为.2x >23x <-()()23540f x x f x -+->()2,2,3∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭（3）解：由题意知，令，()()()44244222xxxxxxg x mf x m ---=+-=+--322,,2x x t t ∞-⎡⎫=-∈-+⎪⎢⎣⎭所以，所以.()2222442x xxxt --=-=+-()2322,,2y g x t mt t ∞⎡⎫==-+∈-+⎪⎢⎣⎭当时，在上单调递增，所以32m -222y t mt =-+3,2∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭，解得，符合题意；2min317()323224g x m m ⎛⎫=-++=+=- ⎪⎝⎭2512m =-当时，在上单调递减，在上单调递增，32m >-222y t mt =-+3,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭(),m ∞+所以，解得或（舍）.222min ()2222g x m m m =-+=-=-2m =2m =-综上，的值为或2.m 2512-19.（1）解：若，则，所以，1a =()214ln 32f x x x x =---()14f x x x =--'所以，又，()14112f =--='()1114322f =--=所以的图象在处的切线方程为，即.()f x 1x =()1212y x -=-4230x y --=（2）（i ）解：由题意知，()22444a x a x x x af x x x x x '---+=--==-又函数恰有两个极值点，所以在上有两个不等实根，()f x ()1212,x x x x <240x x a -+=()0,∞+令，所以()24h x x x a =-+()()00,240,h a h a ⎧=>⎪⎨=-<⎪⎩解得，即的取值范围是.04a <<a ()0,4（ii ）证明：由（i ）知，，且，12124,x x x x a +==04a <<所以()()2212111222114ln 34ln 322f x f x x a x x x a x x ⎛⎫⎛⎫+=---+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2212121214ln ln 62x x a x x x x =+-+-+-，()()()21212121214ln 262x x a x x x x x x ⎡⎤=+--+--⎣⎦()116ln 1626ln 22a a a a a a =----=-+要证，即证，只需证.()()124ln f x f x a+<-ln 24ln a a a a -+<-()1ln 20a a a -+-<令，所以，()()()1ln 2,0,4m a a a a a =-+-∈()11ln 1ln a m a a a a a -=-++=-'令，所以，所以即在上单调递减，()()h a m a ='()2110h a a a =--<'()h a ()m a '()0,4又，所以，使得，即，()()1110,2ln202m m '-'=>=<()01,2a ∃∈()00m a '=001ln a a =所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在()00,a a ∈()0m a '>()0,4a a ∈()0m a '<()m a ()00,a 上单调递减，所以.()0,4a ()()()max 00000000011()1ln 2123m a m a a a a a a a a a ==-+-=-+-=+-令，所以，所以在上单调递增，所以()()13,1,2u x x x x =+-∈()2110u x x =->'()u x ()1,2，所以，即，得证.()000111323022u a a a =+-<+-=-<()0m a <()()124ln f x f x a +<-。
2021-2022学年广东省深圳市龙岗区平冈中学高二上学期9月第一次月考数学试卷及答案
2021-2022学年广东省深圳市龙岗区平冈中学高二上学期9月第一次月考数学试卷★祝考试顺利★(含答案)一．单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．已知全集{1U =,2,3,4,5,6,7},集合{1A =,3,5,7},{1B =,2,4,7},则()()(U U A B =⋂ )A ．{2,4,6}B ．{3,5,6}C ．{6}D ．{2,3,4,5,6} 2．已知复数1234i i-+,则复数z 在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．在直角坐标系xOy 中,角α的终边经过点(P m ,)(0n m >,0)n >,且sin α=则(n m = ) A ．14 B ．13 C ．12 D ．24．设m 、n 是不同的直线,α、β、γ是不同的平面,有以下四个命题：①若αγ⊥,βγ⊥,则//αβ；②若αβ⊥,//m α,则m β⊥；③若//m n ,n α⊂,则//m α；④若m α⊥,//m β,则αβ⊥．其中假命题的序号是( )A ．①④B ．①②③C ．①②④D ．①③5．已知数据1x ,2x ,3x ,4x ,5x ,6x 的平均数是5,方差是9,则222222123456(x x x x x x +++++= ) A ．159 B ．204 C ．231 D ．6366．已知向量(1a =,2x ,2),(0b =,1,2),(1c =,0,0),若a ,b ,c 共面,则x 等于( )A ．1-B ．1C ．1或1-D ．1或07．在ABC ∆中,已知AC =60ABC ∠=︒,AB BC <,且ABC ∆,则BC 边上的高等于( )A ．1BCD ．28．如图,在三棱柱111ABC A B C -中,1BC 与1B C 相交于点O ,1160A AB A AC BAC ∠=∠=∠=︒,13A A =,2AB AC ==,则线段AO 的长度为( )A B C ．52 D二．多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分)9．袋子中有1个红球,1个黄球,1个蓝球,从中取两个球,每次取一个球,取球后不放回,设事件{A =第一个球是红球},{B =第二个球是黄球},则下列结论正确的是() A ．A 与B 互为对立事件 B ．A 与B 互斥C ．P （A ）P =（B ）D ．1()2P A B =10．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中,正确的是( )A ．两条不重合直线1l ,2l 的方向向量分别是(2a =,3,1)-,(2b =-,3-,1),则12//l lB ．直线l 的方向向量(1a =,1-,2),平面α的法向量是(6u =,4,1)-,则l α⊥C ．两个不同的平面α,β的法向量分别是(2u =,2,1)-,(3v =-,4,2),则αβ⊥D ．直线l 的方向向量(0a =,3,0),平面α的法向量是(0u =,5-,0),则//l α11．已知函数()sin f x x x =+,则下列结论正确的是( )A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 的图象关于点(6π-,0)对称C ．函数()f x 的图象关于直线56x π=-对称D ．若实数m 使得方程()f x m =在[0,2]π上恰好有三个实数解1x ,2x ,3x ,则一定有12373x x x π++=12．在棱长固定的正方体1111ABCD A B C D -中,点E ,F 分别满足AE AB λ=,([0BF BC μλ=∈,1],[0μ∈,1]),则( )A ．当12μ=时,三棱锥11A B EF -的体积为定值B ．当12μ=时,存在λ使得1BD ⊥平面1B EF。
2022-2023学年河南省洛阳市第一高级中学高二上学期9月月考数学试题(解析版)
2022-2023学年河南省洛阳市第一高级中学高二上学期9月月考数学试题一、单选题1．已知向量()0,1,1a =-与()20,2,b k k =-共线，则实数k =（ ）A ．0B ．1C ．1-或2D ．2-或1【答案】D【分析】根据空间共线向量的坐标表示可得2112k k-=-，即可求出k 的值. 【详解】因为()()20,1,10,2,a b k k =-=-、共线，所以2112k k-=-， 解得2k =-或1. 故选：D2．“1m =”是“直线1l ：()410m x my -++=与直线2l ：()220mx m y ++-=互相垂直”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据给定直线方程求出12l l ⊥的等价条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】依题意，12(4)(2)0l l m m m m ⊥⇔-++=，解得0m =或1m =，所以“1m =”是“直线1l ：()410m x my -++=与直线2l ：()220mx m y ++-=互相垂直”的充分不必要条件. 故选：A3．已知两点()1,2A -，()2,1B ，直线l 过点()0,1P -且与线段AB 有交点，则直线l 的倾斜角的取值范围为（ ） A ．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．ππ30,,42π4⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C ．π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D ．πππ3,,422π4⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【答案】C【分析】作出图形，求出,PA PB 的斜率，数形结合可求得直线l 的斜率的取值范围，再由斜率与倾斜角的关系可求出倾斜角的取值范围. 【详解】如图所示，直线PA 的斜率21110PA k -+==--，直线PB 的斜率11120PB k +==-． 由图可知，当直线l 与线段AB 有交点时，直线l 的斜率[]1,1k ∈-， 因此直线l 的倾斜角的取值范围是π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭．故选：C4．已知实数,x y 满足250x y ++=22x y + A 5B 10C ．25D ．10【答案】A【详解】 22x y +(,)x y 到坐标原点的距离， 又原点到直线250x y ++=的距离为225521d ==+22x y +5 A. 5．直线()24y k x =-+与曲线214y x 有两个不同的交点，则实数的k 的取值范围是（ ） A ．53,124⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．5,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．13,24⎛⎤⎥⎝⎦D ．50,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【详解】解：因为曲线y ＝124x -(|x|≤2)与直线y ＝k(x －2)＋4有两个交点时，那么结合图像可知参数k 的取值范围是53(,]124，选A6．经过点P （1，4）的直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为A ．x +2y ﹣6=0B ．2x +y ﹣6=0C ．x ﹣2y +7=0D ．x ﹣2y ﹣7=0【答案】B【详解】试题分析：设出直线方程的截距式，把经过的点P （1，4）的坐标代入得a 与b 的等式关系，把截距的和a +b 变形后使用基本不等式求出它的最小值． 解：设直线的方程为1x y a b +==1（a ＞0，b ＞0），则有141a b+=，∴a +b =（a +b ）×1=（a +b ）×（14a b +）=5+4b aa b+≥5+4=9， 当且仅当14a b=，即a =3，b =6时取=． ∴直线方程为2x +y ﹣6=0． 故选B ．【解析】直线的斜截式方程．7．如图，在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，AB ＝BC ＝1，动点P ，Q 分别在线段C 1D ，AC 上，则线段PQ 长度的最小值是( )．A ．23B ．33C ．23D ．53【答案】C【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，C 1(0,1,2)，设点P 的坐标为(0，λ，2λ)，λ∈[0,1]，点Q 的坐标为(1－μ，μ，0)，μ∈[0,1]，∴PQ当且仅当λ＝19，μ＝59时，线段PQ 的长度取得最小值23. 8．点()2,1P --到直线()():131225l x y λλλ+++=+的距离为d ，则d 的取值范围是（ ）A ．0d ≤<B ．0d ≤≤C ．dD ．d ≥【答案】A【分析】显然直线过定点，先求出定点A ，当直线过点P 时，d 有最小值，当直线与AP 垂直时d 有最大值，一定要注意要去验证最值能否取到.【详解】()()131225x y λλλ+++=+，化简得()()23250x y x y λ+-++-=，所以当203250x y x y +-=⎧⎨+-=⎩时，()()23250x y x y λ+-++-=恒成立，所以直线l 过定点()1,1A ，所以点当直线l 过点()2,1P --时，d 有最小值为0，此时513λ=-；d 的最大值为()1,1A 和点()2,1P --l 与AP 垂直，因为112123AP k +==+，所以直线l 的斜率32k =-，又因为()():131225l x y λλλ+++=+，所以有133122λλ+-=-+，化简得23=，故此时λ无解；所以d0d ≤<故选：A9．已知A ，B 两点都在以PC 为直径的球O 的球面上，AB BC ⊥，4AB BC ==，若球O 的体积为36π，则异面直线PB 与AC 所成角的余弦值为（ ）A B C D 【答案】B【分析】由题意，根据球的性质，建立空间直角坐标系，求直线的方向向量，根据夹角公式，可得答案.【详解】由题意，取AC 的中点为E ，连接,OE BE ，在ABC 中，4AB BC ==，且AB BC ⊥，则BE AC ⊥，AE EC BE ===，即E 为ABC 外接圆圆心，在球O 中，易知OE ⊥平面ABC ，以E 为原点，分别以,,EB EC EO 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，作图如下：在Rt CEO △中，12cos 12ACCE ACACP CO PCCP ∠===，则//PA OE ，即PA ⊥平面ABC ， 因为AC ⊂平面ABC ，所以PA AC ⊥，球O 的体积3413632V PC ππ⎛⎫=⋅⋅= ⎪⎝⎭，解得6PC =， 在Rt ACP 中，222PA PC AC =-=，则()0,22,0A -，()22,0,0B ，()0,22,0C ，()0,22,2P -， 即()0,42,0AC =，()22,22,2PB =-， 1610cos ,542884AC PB AC PB AC PB⋅===⨯++⋅， 异面直线PB 与AC 所成角的余弦值为105. 故选：B.10．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，1AN NA =，11A M MD =，11B E B C λ=， 当直线1DD 与平面MNE 所成的角最大时，λ=（ ）A ．12 B ．13C ．14D ．15【答案】C【分析】利用坐标法，利用线面角的向量求法，三角函数的性质及二次函数的性质即得. 【详解】如图建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则()()()()1111,0,1,1,0,,0,1,0,1,1,1,0,0,0,0,0,122M N C B D D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()111,0,1B E B C λλ==--，()1,1,1E λλ--，111,0,,,1,222MN ME λλ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面MNE 的法向量为(),,m x y z =，则()00,,m MN m ME x y z ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴11022102x z x y z λλ⎧-=⎪⎪⎨⎛⎫⎪-+-= ⎪⎪⎝⎭⎩，令1x =，可得11,2,12m λ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又()10,0,1DD =，设直线1DD 与平面MNE 所成的角为α，则11221sin cos ,11224224m DD m DD m DD αλλ⋅===⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦， ∴当14λ=时，sin α有最大值，即直线1DD 与平面MNE 所成的角最大. 故选：C.11．已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),A m m -，(),B m m -()0m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ） A ．42B ．32C 322D ．2【答案】B【解析】根据使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,再分析轨迹圆与圆C 的关系即可.【详解】由题, 使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,又两点(),A m m -,(),B m m -,所以圆心为()0,0.半径为()222m m m +-=.故P 的轨迹方程为2222x y m +=.又由题意知,当圆()()22:341C x y -+-=内切于222x y m +=时m 取最大值. 此时2223416m ,故32m =.故选：B【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系,重点是根据90APB ∠=︒求出点P 的轨迹.属于中等题型.12．如图所示，圆柱1OO 中，EF 是底面直径，点M 是O 上一点，90EOM ∠=︒，点H 是母线FG 上一点，点K 是上底面的一动点，4EF =，3FG =，2FH =，则（ ）A ．存在点K ，使得5EK HK +=B ．存在唯一的点K ，使得90EKH ∠=︒C ．满足MK EH ⊥的点K 的轨迹长度是32D ．当90EKH ∠=︒时，三棱锥K EMH -外接球的表面积是20π 【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法判断选项A ，B ，C 的对错，再通过确定三棱锥K EMH -外接球的球心及半径判断D.【详解】由圆锥的性质可得1O O ⊥平面EFM ，OM EF ⊥如图以O 为原点，1,,OM OF OO 为,,x y z 的正方向建立空间直角坐标系，设1(02)KO G θθπ∠=≤<，1KO r =(02)r ≤≤，则(0,2,0)E -，(0,2,2)H ，(sin ,cos ,3)K r r θθ，(2,0,0)M ， 设H 关于点G 的对称点为N ，因为KG HN ⊥，HG GN =，所以KH KN =， 所以EK HK EK KN NE +=+≥， 又(0,2,4)N ，所以2220(22)4425EK HK +≥+++=>，A 错误， 又(sin ,cos 2,3)EK r r θθ=+，(sin ,cos 2,1)HK r r θθ=- 因为90EKH ∠=︒，所以0EK HK ⋅=， 所以2222cos sin 430r r θθ+-+=，所以1r =， 所以满足90EKH ∠=︒的点K 的轨迹为圆，B 错误， 因为MK EH ⊥，(sin 2,cos ,3)MK r r θθ=-，(0,4,2)EH =， 所以4cos 60r θ+=，所以3cos 2r θ=-，故3(sin ,,3)2K r θ-，所以满足MK EH ⊥的点K 的轨迹为线段PQ ， 所以2232272PQ ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，C 错误，因为222222EM =+=，2223MH OM OH =+=,2225EH EF HF =+=,所以EMH 为直角三角形，取EH 的中点为C , 又EKH 为直角三角形，所以CE CH CK CM ===,故C 为三棱锥K EMH -外接球的球心，故外接球的半径为5， 所以三棱锥K EMH -的外接球的表面积为20π，D 正确， 故选：D.二、填空题13．P ABCD -是正四棱锥，1111ABCD A B C D -是正方体，其中2AB =，6PA 1B 到平面PAD 的距离为________【答案】655【分析】以11A B 为x 轴，11A D 为y 轴，1A A 为z 轴建立空间直角坐标系，求出平面PAD 的法向量，1B A 的坐标，利用距离公式，即可得到结论.【详解】解：以11A B 为x 轴，11A D 为y 轴，1A A 为z 轴建立空间直角坐标系，设平面PAD 的法向量是(,,)m x y z =， (0,2,0),(1,1,2)AD AP ==，∴由00m AD m AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得2020y x y z =⎧⎨++=⎩ 取1z =得(2,0,1)m =-，1(2,0,2)B A =-，∴1B 到平面PAD 的距离1||655||B A m d m ⋅==. 65【点睛】本题考查点到平面的距离，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题.14．己知圆22 : 42150C x y x y +---=上有四个不同的点到直线():76l y k x =-+的距5k 的取值范围是______.【答案】1,22⎛⎫⎪⎝⎭【分析】由题意知，足圆心()2,1C 到直线():76l y k x =-+的距离5d <，解方程即可得出答案.【详解】圆22 : 42150C x y x y +---=化为标准方程为()()22: 2120C x y -+-=， 所以圆心()2,1,25C r =，若圆C 上有四个不同的点到直线():76l y k x =-+的距离等于5， 必须满足圆心()2,1C 到直线():76l y k x =-+的距离5d <，所以2217651k k k --+<+，化简得：22250k k +-<，解得：122k <<. 故答案为：1,22⎛⎫⎪⎝⎭15．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短在如图所示的直角坐标系xOy 中，设军营所在平面区域为229{(,)|}4x y x y +≤，河岸线所在直线方程为3100x y +-=.假定将军从点(2,1)P 处出发，只要到达军营所在区域即回到军营，则将军可以选择最短路程为_____________.【答案】72【分析】求出点P 关于直线的对称点(3,4)P '，根据对称性，原问题转化成求P '到营区的最短距离，利用圆的几何性质即可得解.【详解】设点(2,1)P 关于直线3100x y +-=的对称点(,)P a b '，13221310022b a a b -⎧=⎪⎪-⎨++⎪+⨯-=⎪⎩解得34a b =⎧⎨=⎩，所以(3,4)P '，将军从P 出发到达直线上点A 再到营区，PA P A '=， 所以本题问题转化为求点(3,4)P '到营区的最短距离， 根据圆的几何性质可得最短距离为3375222P O '-=-=.故答案为：72【点睛】此题以中国传统文化为背景考查求点关于直线的对称点，解决圆上的点到圆外一点的最短距离，考查对圆的几何性质的应用.16．矩形ABCD 中，3AB =，1BC =，现将ACD 沿对角线AC 向上翻折，设二面角D AC B --的平面角为θ，当θ在ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦内变化时，BD 的范围为______.【答案】71022⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【分析】分别过点B ，D 作BF AC DE AC ⊥⊥，，根据DB DE EF FB =++，计算275,42DB ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得到答案.【详解】如图1，分别过点B ，D 作BF AC DE AC ⊥⊥，，垂足分别为F ，E ， 则在四面体ABCD 中也满足BF AC DE AC ⊥⊥，． 因为3AB =，1BC =，所以2AC =，13322DE BF ⨯===， 则12AE CF ==，1EF =．在四面体ABCD 中，DB DE EF FB =++，因为二面角D AC B --的平面角为θ，且BF AC DE AC ⊥⊥，， 所以DE 和FB 的夹角为πθ-， 所以()222222DB DE EF FBDE EF FB DE FB =++=+++⋅()2233335312cos πcos 22θθ=+++-=-⎝⎭⎝⎭因为ππ,32θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以275,42DB ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则72DB ⎡∈⎢⎣⎦．故答案为：⎣⎦三、解答题17．已知两直线1:2(3)10l mx m y +-+=，2:220l x my m ++=，当m 为何值时，1l 和2l （1）平行； （2）垂直？【答案】（1）32m =-；（2）0m =或5m =.【分析】(1)根据1111:0l A x B y C ++=与2222:0l A x B y C ++=平行的条件12210A B A B -=且12210B C B C -≠列式可解得.(2) 根据1111:0l A x B y C ++=与2222:0l A x B y C ++=垂直的条件12120A A B B +=列式可得.【详解】(1)因为12l l //,所以22(3)20m m m ⨯--⨯=,解得32m =-或1m =,当1m =时,两条直线重合,不合题意舍去. 所以32m =-.(2)因为12l l ⊥,所以22(3)20m m m ⨯+-⨯=,解得0m =或5m =. 【点睛】本题考查了两条直线平行或垂直的条件,属于基础题. 若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++= 则12l l //⇔12210A B A B -=且12210B C B C -≠; 12l l ⊥⇔ 12120A A B B +=.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，//AB DC ，E 为线段PD 的中点，已知2PA AB AD CD ====，120PAD ︒∠=．（1）证明：直线//PB 平面ACE ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）24. 【分析】（1）连接BD 交AC 于点H ，连接HE ，可证//HE PB ，从而得证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求线面积的正弦值； 【详解】（1）证明：连接BD 交AC 于点H ，连接HE//AB DC ，AB CD =，四边形ABCD 是平行四边形，H ∴是AC 中点，又E 为线段PD 的中点， //HE PB ，又HE ⊂平面ACE ，PB ⊂/平面ACE直线//PB 平面 ACE（2）AB ⊥平面PAD ，作Ax AP ⊥，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -由已知2PA AB AD CD ====，120PAD ︒∠= 得(0,0,2)B ，(0,2,0)P ，(3,1,0)D -，(3,1,2)C -()0,2,2PB =- ， (3,3,0)PD =- ，(0,0,2)CD =-设平面PCD 的法向量(,,)n x y z =0n CD n PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩， 20330z x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，不妨取()3,1,0n =22cos ,4222PB n PB n PB n⋅--∴===⨯所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为24【点睛】本题考查线面平行的证明，以及空间向量法求线面角，属于中档题.19．已知圆22:4240C x y x y ++--=.(1)过点(1,5)M 作圆C 的切线l ，求切线l 的方程；(2)设过点1,12⎛⎫⎪⎝⎭的直线m 与圆C 交于AB 两点，若点A 、B 分圆周得两段弧长之比为1：2，求直线m 得方程.【答案】(1)7241130x y -+=或1x =； (2)6850x y -+=或68110x y +-=【分析】（1）根据圆心到直线的距离等于半径求解，注意分斜率存在与不存在两种情况； （2）利用条件可分析出弦所对圆心角，据此求出圆心到直线的距离，即可求解. 【详解】(1)由22:4240C x y x y ++--=可得22(2)(1)9x y ++-=，即圆心为(2,1)C -，半径3r =，显然当直线斜率不存在时，1x =是圆的切线，当直线斜率存在时，设直线为5(1)y k x -=-，即50kx y k -+-=， 由圆心到直线的距离2|215|31k k d k --+-==+，解得724k =，故切线为7241130x y -+=或1x =.(2)因为点A 、B 分圆周得两段弧长之比为1：2，故120ACB ∠=︒, 所以30CAB ∠=︒，故圆心到直线的距离322r d ==， 直线斜率不存在时，由13(2)22--≠知，不符合题意，当直线斜率存在时，设直线方程为11()2y k x -=-，则圆心到直线的距离25||3221k k =+，解得34k =±， 故直线方程为6850x y -+=或68110x y +-=.20．如图所示，四棱锥S ABCD -中，平面SAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2正方形，22,4SA SC ==，AC 与BD 交于点O ，点E 在线段SD 上.(1)求证：SA ⊥平面ABCD ；(2)若//OE 平面SAB ，求二面角S AC E --的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 25【分析】（1）根据面面垂直性质定理得AB ⊥平面SAD ，进而证明SA AB ⊥，再根据集合关系证明SA AC ⊥即可证明结论；（2）根据题意，E 为SD 的中点，进而以,,AB AD AS 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可；【详解】(1)证明：因为平面SAD ⊥平面ABCD 且交线为AD ， 又AB ⊂平面ABCD 且AB AD ⊥，所以AB ⊥平面SAD ， 又SA ⊂平面SAD ，所以SA AB ⊥.因为ABCD 是边长为2正方形，所以22AC =，又22,4SA SC ==， 所以222SA AC SC +=，即SA AC ⊥，又因为AB AC A ⋂=，,AB AC ⊂平面ABCD ，所以SA ⊥平面ABCD . (2)解：因为OE ∥平面SAB ，OE ⊂平面SBD ，平面SBD 平面SAB SB =， 所以OE SB ∥，因为O 为BD 的中点，所以E 为SD 的中点，以,,AB AD AS 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 则有()()()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,22,0,1,2A B C D S E ， 易得平面SAC 的一个法向量为()2,2,0n DB ==-， 设平面EAC 的一个法向量为(),,m x y z =，则00m AE m AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩20220y z x y ⎧+=⎪⇒⎨+=⎪⎩，取1z =，则()2,2,1m =-， 设平面SAC 与平面EAC 所成夹角为θ，则4225cos 5225m n m nθ⋅===⋅⋅， 所以平面SAC 与平面EAC 所成夹角的余弦值为255.21．长方形ABCD 中，2=22=AB AD ，M 是DC 中点（图1）.将ADM △沿AM 折起，使得AD BM ⊥（图2）在图2中:（1）求证:平面ADM ⊥平面ABCM ；（2）在线段BD 上是否存点E ，使得二面角E AM D --的余弦值为55，说明理由. 【答案】（1）证明见解析（2）存在，理由见解析【分析】(1)利用勾股定理与线面垂直的性质证明BM ⊥平面ADM 即可.(2) 以M 为坐标原点,MA 为x 轴,MB 为y 轴,过M 作平面ABCM 的垂线为z 轴,建立空间直角坐标系. 设(01)BE BD λλ=<<,再根据二面角的向量方法,分别求解面的法向量,再根据法向量的夹角求解即可.【详解】（1）在长方形ABCD 中,连结BM ,因为2AB AD =,M 是DC 中点, 所以2AM BM AD ==,从而222AM BM AB +=, 所以AM BM ⊥ 因为AD BM ⊥,ADAM A =,所以BM ⊥平面ADM . 因为BM ⊂平面ABCM , 所以平面ADM ⊥平面ABCM .（2）因为平面ADM ⊥平面ABCM ,交线是AM ,所以在面ADM 过M 垂直于AM 的直线必然垂直平面ABCM .以M 为坐标原点,MA 为x 轴,MB 为y 轴,过M 作平面ABCM 的垂线为z 轴, 建立空间直角坐标系.则()2,0,0A ,()0,2,0B ,()1,0,1D ,(1,2,1)BD =-.设(01)BE BD λλ=<<,则(),22,ME MB BE λλλ=+=-.设1(,,)x y z =n 是平面AME 的法向量,则1100n ME n MA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即(22)020x y z x λλλ+-+=⎧⎨=⎩,取()10,,22n λλ=-, 平取面AMD 的一个法向量是()20,1,0n =. 依题意122cos ,2n n =, 即()222525λλλ=+-,解方程得12λ=, 因此在线段BD 上存点E ,使得二面角E AM D --的余弦值为55. 【点睛】本题主要考查了面面垂直的判定与利用空间直角坐标系求解是否存在点满足条件的问题.一般做法是先假设存在,再设对应的向量的参数,再根据二面角的余弦列出关于参数的表达式最后进行求解即可.属于中档题.22．已知线段AB 的端点B 的坐标是()65，，端点A 在圆()()221:434C x y -+-=上运动．(1)求线段AB 的中点P 的轨迹2C 的方程；(2)设圆1C 与曲线2C 的两交点为M ，N ，求线段MN 的长；(3)若点C 在曲线2C 上运动，点Q 在x 轴上运动，求AQ CQ +的最小值． 【答案】(1)22(5)(4)1x y -+-=. 14. (3)523.【分析】（1）设点P 的坐标为()x y ，，点A 的坐标为()00x y ，，由于点B 的坐标为()65，，利用点P 是线段AB 的中点，求出026x x =-，025y y =-，通过点A 在圆1C 上运动，转化求解中点P 的轨迹2C 的方程即可；（2）将圆1C 与圆2C 的方程相减得22190x y +-=，求出圆2C 的圆心到直线22190x y +-=的距离d ，即可求解||MN ；（3）由题可得1122123QA QC QC r QC r QC QC +≥-+-=+-，当且仅当A 在线段1QC 且C 在线段2QC 上时，取等号．设()343C -，为()143C ，关于x 轴的对称点，可得13QC QC =，即323QA QC QC QC +≥+-2333C C -=，即可求解AQ CQ+的最小值.【详解】(1)解：设点P 的坐标为()x y ，，点A 的坐标为()00x y ，，由于点B 的坐标为()65，，且点P 是线段AB 的中点，所以062x x +=， 052y y +=， 于是有 002625x x y y =-⎧⎨=-⎩①， 因为点A 在圆221:(4)(3)4C x y -+-=上运动，即： 2200(4)(3)4x y -+-=②， 把①代入②，得22(264)(253)4x y --+--=，整理，得22(5)(4)1x y -+-=， 所以点P 的轨迹2C 的方程为22(5)(4)1x y -+-=．(2)解：将圆()()221:434C x y -+-=与圆()()222:541C x y -+-=的方程相减得： 22190x y +-=，由圆()()222:541C x y -+-=的圆心为()54，，半径为1，且()54，到直线22190xy +-=的距离d==，则||MN == (3)解：圆()()221:434C x y -+-=是以()143C ，为圆心，半径12r =的圆，圆2C 是以()254C ，为圆心，半径21r =的圆， 所以1122123QA QC QC r QC r QC QC +≥-+-=+-①，当且仅当A 在线段1QC 且C 在线段2QC 上时，取等号．设()343C -，为()143C ，关于x 轴的对称点，则13QC QC =，代入①式得： 323QA QC QC QC +≥+-233523C C -=，当且仅当23C Q C ，，共线时，取等号．所以AQ CQ +的最小值为523．。
广东省广州市番禺中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试卷(含答案)
高二数学9月月考试题一、单选题（每小题5分）1.已知，则（ ）A. B.C.D.2.函数）A. B. C. D.3.函数是（ ）A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的偶函数C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数4.若函数是定义在上的奇函数，，，则（ ）A.2B.0C.60D.625.已知空间向量，，则在上的投影向量坐标是（ ）A. B. C. D.6.在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，点满足，则（ ）A. B.C. D.7.在空间直角坐标系中，若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（ ）A B. C.或 D.与斜交8.已知向量，，且平面，平面，若平面与平面的夹角的余弦的值为（ ）A.或 B.或1 C.或2D.二、多选题（每小题6分）9.三棱锥中，平面与平面的法向量分别为，，若，则二面角2i z =+izz =+3i 4-1i 4-3i4+1i 4+y =[3,4)(,3]-∞[3,)+∞(,4]-∞2π2cos 14y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭πππ2π2()f x R (2)()f x f x -=(1)2f =(1)(2)(30)f f f ++⋅⋅⋅+=(3,4,0)a =(3,1,4)b =- b a (3,4,0)--34,,055⎛⎫--⎪⎝⎭314,,555⎛⎫--⎪⎝⎭(3,1,4)--P ABC -A PBC H M 34AM AH = PM =131444PA PB PC -+111444PA PB PC ++111424PA PB PC -+113444PA PB PC -+l (1,2,1)a =-α(2,3,4)n =//l αl α⊥l α⊂//l αl α(1,2,1)m =- (,1,)n t t =- m ⊥ αn ⊥βαβt 121-151-12-A BCD -ABD BCD 1n 2n 12π,3n n =的大小可能为（ ）A. B. C.D.10.随机抽取8位同学对2024年数学新高考|卷的平均分进行预估，得到一组样本数据如下：97，98，99，100，101，103，104，106，则下列关于该样本的说法正确的有（ ）A.均值为101 B.极差为9C.方差为8D.第60百分位数为10111.已知空间中三点，，，则（ ）A.与是共线向量B.与向量方向相同的单位向量坐标是C.与D.在三、填空题（每小题5分）12.已知是定义在上的奇函数，当时，，当时，，则_______.13.已知向量，，，若，，共面，则_______.14已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是_______.四、解答题（五个大题共77分）15.（本题13分）（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记的内角，，的对边分别为，，，已知.（1）求.（2）若，求的周长.16（本题15分）某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为、、，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且.（1）求与的值；（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“诗词”A BD C --π6π32π35π6(0,1,0)A (2,2,0)B (1,3,1)C -AB AC AB ⎫⎪⎪⎭AB BC BC AB ()f x R 0x >2()22xxf x -=+0x <()22x x f x m n -=⋅+⋅m n +=(2,3,4)a x = (0,1,2)b = (1,0,0)c =a b c x =(2,,1)a t =--(2,1,1)b = a b t ABC △A B C a b c sin 2A A +=A 2a =sin sin 2C c B =ABC △m 13n 12434m n >m n社的同学增加校本选修学分2分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3分.求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于4分的概率.17.（本题15分）如图，在以，，，，，为顶点的六面体中（其中平面），四边形是正方形，平面，，且平面平面.（1）设为棱的中点，证明：，，，四点共面；（2）若，求六面体的体积.18.（本题17分）一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量（单位：kg ），将全部数据按区间，，，分成5组，得到图所示的频率分布直方图.（1）求图中的值；并估计该水果店过去200天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）若一次进货太多，水果不新鲜，进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能地满足顾客的需要（在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求）.请问，每天应该进多少水果？（3）在日销售量为苹果中用分层抽样方式随机抽6个苹果，再从这6苹果中随机抽取2个苹果，求抽取2个苹果都来自日销售量在的概率.19（本题17分）（2022年新高考天津数学高考真题）直三棱柱中，，，为的中点，为的中点，为的中点.A B C D E F F ∈EDC ABCD ED ⊥ABCD BF FE =FEB ⊥EDB M EB A C F M 24ED AB ==EFABCD [50,60)[60,70)⋅⋅⋅[90,100]a 85%[70,90]kg [80,90]111ABC A B C -12AA AB AC ===AC AB ⊥D 11A B E 1AA F CD（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求平面与平面夹角的余弦值.//EF ABC BE 1CC D 1ACD 1CC D高二数学9月月考试题参考答案一、单选题（每小题5分共40分）1.A2.A3.A4.A【详解】由题意，所以的周期为4，且关于直线对称，而，所以.5.B【详解】因为空间向量，，所以，，，则在上的投影向量坐标是：.6.B【详解】在正四面体中，因为平面，所以是的中心，连接，则，所以.7.C【解析】由可得，所以或，即可得正确选项.【详解】直线的方向向量为，平面的法向量为，因为，所以，所以或.8.B【详解】因为，所以，，，因为平面，平面，若平面与平面，，解得或1.二、多选题（每小题6分共18分）9.BC【详解】二面角的大小与法向量的夹角相等或互补，二面角的大小可能为或.10.ABD【详解】A选项，均值为，A正确；(2)()()(2)f x f x f x f x-==--=--()f x()f x1x=(1)(2)(3)(4)(0)(1)(1)(2)(2)(0)0f f f f f f f f f f+++=++-+===(1)(2)(30)(29)(30)(1)(2)(0)(1)022f f f f f f f f f++⋅⋅⋅+=+=+=+=+=(3,4,0)a=(3,1,4)b=-9405a b⋅=-++=-5a==b==ba 5134(3,4,0),,05555a b aa a⋅-⎛⎫⋅=⨯=--⎪⎝⎭P ABC-AH⊥PBC H PBC△PH()()211323PH PB PC PB PC=⨯+=+()33334444PM PA AM PA AH PA PH PA PA PH PA=+=+=+-=+-()3331311144434444PA PH PA PA PB PC PA PA PB PC=+-=+⨯+-=++a n⋅=a n⊥lα⊂//lαl(1,2,1)a=-α(2,3,4)n=(2,3,4)(1,2,1)2640a n⋅=⋅-=-+=a n⊥lα⊂//lα(1,2,1)m=-(,1,)n t t=-22m n t⋅=+m=n=m⊥αn⊥βαβ=25610t t-+=15t=∴A BD C--π3π2ππ33-=9798991001011031041061018+++++++=B 选项，极差为，B 正确；C 选项，方差为，C 错；D 选项，因为，故从小到大，选择第5个数作为第60百分位数，即101.11.BD 【详解】由已知，，，，因此与不共线，A 错；，所以与向量，B 正确；，，，C 错；在上的投影是，D 正确.三、填空题（每小题5分共15分）12.【详解】令，则，所以.因为是定义在上的奇函数，所以，所以，所以，，所以.13.【详解】由题意得，存在，使得，即，故解得，.14.【详解】由，得，解得，又，得，解得，所以与夹角为钝角，实数的取值范围为且.四、解答题（五个大题共77分）15.（本题13分）【解析】（1）由可得，即，由于，故，解得.（2）由题设条件和正弦定理，106979-=222(97101)(98101)(106101)169410492517882-+-+⋅⋅⋅+-+++++++==60%8 4.8⨯=(2,1,0)AB = (1,2,1)AC =- (3,1,1)BC =-1221-≠AB AC AB = AB ⎫=⎪⎪⎭6105AB BC ⋅=-++=- BC = cos ,AB BC AB BC AB BC⋅〈〉===BC AB BC AB AB⋅==5-0x <0x ->2()22xx f x -+-=+()f x R ()()f x f x -=-2()22422xx x x f x +--=--=-⨯-4m =-1n =-5m n +=-23m n a mb nc =+ (2,3,4)(0,1,2)(1,0,0)x m n =+2342nx m m=⎧⎪=⎨⎪=⎩2m =23x =(,1)(1,5)-∞-- 0a b ⋅<(2)2(1)10t -⨯++-⨯<5t <//a b 21211t --==1t =-a b t 5t <1t ≠-67=+sin 2A A +=1sin 12A A +=πsin 13A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππ4π(0,π),333A A ⎛⎫∈⇒+∈ ⎪⎝⎭ππ32A +=π6A =sin sin 2sin 2sin sin cos C c B B C C B B =⇔=又，，则，进而，于是，，由正弦定理可得，，即，解得，，故的周长为.16.（本题15分）【详解】（1）依题，解得.（2）由题令该新同学在社团方面获得本选修课学分的分数为，获得本选修课学分分数不低于4分为事件A ，则；；.故.17.（本题15分）【详解】（1）连接，由四边形是正方形，故，又平面，平面，故，由，，平面，故平面，又为棱的中点，，故，又平面平面，平面平面，平面，故平面，故，所以，，，四点共面；（2）设与交于点，连接，则，又平面，平面，则平面，又因为六面体，则平面平面，又平面，故，则四边形为矩形，则，且平面，又，故，则.18（本题17分）【详解】（1）由直方图可得，样本落在，，，的频率分别为，，0.2，0.4，0.3，由，解得.B (0,π)C ∈sin sin 0B C ≠cos B =π4B =7π12C A B π=--=sin sin(π)sin()sin cos sin cos C A B A B A B B A =--=+=+=sin sin sin a b c A B C ==2ππ7πsin sin sin 6412b c==b =c =+ABC △2++78=+11324131(1)1(1)34mn m n m n ⎧=⎪⎪⎪⎛⎫----=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎪⎩1214m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩i X ()4121123412P X =⨯⨯=()5111123424P X =⨯⨯=()6111123424P X =⨯⨯=1111()1224246P A =++=78+AC ABCD AC DB ⊥ED ⊥ABCD AC ⊂ABCD ED AC ⊥DE BD D = DE BD ⊂EDB AC ⊥EDB M EB BF FE =FM EB ⊥FEB ⊥EDB FEB EDB EB =FM ⊂EFB FM ⊥EDB //FM AC A C F M AC BD O OM //OM DE OM ⊂ACFM DE ⊂/ACFM //DE ACFM EFABCD CDEF ACFM CF =DE ⊂CDEF //DE CF OCFM 1CF =CF ⊥ABCD BF FE =122CF DE ==11204422333EFABCD E ABCD B EFC V V V --=+=⨯⨯+⨯⨯=557=++[50,60)[60,70)⋅⋅⋅[90,100]10a 10a 10100.20.40.31a a ++++=0.005a =则样本落在，，，频率分别为0.05，0.05，0.2，0.4，0.3，所以，该苹果日销售量的平均值为：.（2）为了能地满足顾客的需要，即估计该店苹果日销售量的分位数.依题意，日销售量不超过90kg 的频率为，则该店苹果日销售量的分位数在，所以日销售量的分位数为.所以，每天应该进95kg 苹果.（3）由日销售量为，的频率分别为0.2，0.4知，抽取的苹果来自日销售量中的有2个，不妨记为，，来自日销售量为的苹果有4个，不妨记为，，，，任意抽取2个苹果，有，，，，，，，，，，，，，，，共有15个基本事件，其中2个苹果都来自日销售中的有6个基本事件，由古典概型可得.19.（本题17分）【解析】（1）证明：在直三棱柱中，平面，且，则以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、、、、，则，易知平面的一个法向量为，则，故，平面，故平面.[50,60)[60,70)⋅⋅⋅[90,100]5060607070808090901000.050.050.20.40.383.5(kg)22222+++++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=85%85%10.03100.7-⨯=85%[90,100]85%0.850.7901095(kg)10.7-+⨯=-[70,80)[80,90][70,80)1a 2a [80,90]1b 2b 3b 4b ()12,a a ()11,a b ()12,a b ()13,a b ()14,a b ()21,a b ()22,a b ()23,a b ()24,a b ()12,b b ()13,b b ()14,b b ()23,b b ()24,b b ()34,b b [80,90]62155P ==557++111ABC A B C -1AA ⊥111A B C AC AB ⊥1111A C A B ⊥1A 1A A 11A B 11A C x y z (2,0,0)A (2,2,0)B (2,0,2)C 1(0,0,0)A 1(0,2,0)B 1(0,0,2)C (0,1,0)D (1,0,0)E 11,,12F ⎛⎫⎪⎝⎭10,,12EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭ABC (1,0,0)m =0EF m ⋅= EF m ⊥ EF ⊂/ ABC //EF ABC（2），，，设平面的法向量为，则，取，可得，.因此，直线与平面夹角的正弦值为.（3），，设平面的法向量为，则，取，可得，则因此，平面与平面.1(2,0,0)C C = 1(0,1,2)C D =- (1,2,0)EB =1CC D ()111,,u x y z = 111112020u C C x u C D y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩ 12y =(0,2,1)u =4cos ,5EB u EB u EB u ⋅==⋅BE 1CC D 451(2,0,2)AC = 1(0,1,0)A D =1ACD ()222,,v x y z = 122122200v A C x z v A D y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ 21x =(1,0,1)v =-cos ,u v u v u v ⋅〈〉===⋅ 1ACD 1CC D。
宁波镇海中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷(解析版)
考试范围：大部分学校已经学习过的内容：考试时间：120分钟：满分：150浙江宁波镇海中学2026届高二数学秋季月考卷第一期分注意事项：1.答题前填写好自已的姓名､班级､考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知向量()2,4a =，()1,1b =− ，则2a b −=A. ()5,7B. ()5,9C. ()3,7D. ()3,9【答案】A 【解析】【详解】因为2(4,8)a =，所以2(4,8)(1,1)a b −=−−=（5，7），故选A. 考点：本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题.2. 已知直线12:320,:310l x y l x ay −+=−−=，若12l l ⊥，则实数a 的值为（ ） A. 1 B.12C. 12−D. 1−【答案】D 【解析】【分析】对a 进行分类讨论，代入121k k =− 求解即可.【详解】当0a =时，直线1:320l x y −+=的斜率113k =， 直线2:310l x ay −−=的斜率不存在，此时两条直线不垂直； 当0a ≠时，直线1:320l x y −+=的斜率113k =， 直线2:310l x ay −−=的斜率23k a=，因为12l l ⊥，所以121k k =− ， 所以13113a a×==−，解得：1a =−. 故选：D.3. 已知m 是实常数，若方程22240x y x y m ++++=表示的曲线是圆，则m 的取值范围为（ ） A. (),20−∞ B. (),5−∞C. ()5,+∞D. ()20,+∞【答案】B 【解析】分析】由方程表示的曲线为圆，可得出关于实数m 的不等式，解出即可.【详解】由于方程22240x y x y m ++++=表示的曲线为圆，则222440m +−>，解得5m <. 因此，实数m 的取值范围是(),5−∞. 故选：B.【点睛】本题考查利用圆的一般方程求参数，考查计算能力，属于基础题.4. 设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） A. 若a b ，与α所成的角相等，则aa ∥bb B. 若a αβ∥，b ∥，αβ∥，则aa ∥bb C. 若a b a b αβ⊂⊂ ，，，则αβ∥ D. 若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥【答案】D 【解析】【详解】试题分析：A 项中两直线a b ，还可能相交或异面,错误； B 项中两直线a b ，还可能相交或异面,错误； C 项两平面αβ，还可能是相交平面，错误； 故选D.5. 直线3y kx =+与圆()()22324x y −+−=相交于M 、N两点，若MN =，则k 等于（ ）A. 0B. 23−C. 23−或0 D. 34−或0 【【答案】D 【解析】【分析】求出MN 到圆心的距离和圆心 (3,2) 到直线 3y kx =+ 的距离，即可求出k 的值. 【详解】由题意，∵MN =，∴MN 到圆心的距离为1=，∴圆心 (3,2) 到直线 3y kx =+ 的距离为：1=，即229611k k k ++=+.解得：0k =或34−， 故选：D.6. 过点()1,3P 作直线l ，若l 经过点(),0A a 和()0,B b ，且,a b 均为正整数，则这样的直线l 可以作出（ ）， A. 1条 B. 2条C. 3条D. 无数条【答案】B 【解析】【分析】假设直线截距式方程，代入已知点坐标可得,a b 之间关系，根据,a b 为正整数可分析得到结果. 【详解】,a b 均为正整数，∴可设直线:1x yl a b+=， 将()1,3P 代入直线方程得：131a b+=， 当3b =时，10a =，方程无解，3331333b b a b b b −+∴===+−−−， a ∗∈N ，303b ≠−，33b ∗∴∈−N ，31b ∴−=或33b −=，44b a = ∴ =或62b a = = ，即满足题意的直线l 方程有2条.故选：B.7. 已知长方体1111ABCD A B C D −中，12AA AB ==，若棱AB 上存在点P ，使得1D P PC ⊥，则AD 的取值范围是（ ）A [)1,2B. (C. (]0,1D. ()0,2【答案】C 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设AD a =，求出1D P 、CP，利用10D P CP ⋅= ，求出a 的范围．【详解】解：如图建立坐标系，设(0)ADa a =>，(02)AP x x =<<， 则(),,2P a x ，()0,2,2C ，()10,0,0D ，∴()1,,2D P a x = ，(),2,0CP a x =−，1D P PC ⊥ ，∴10D P CP ⋅=，即2(2)0a x x +−=，所以a ， 当02x <<时，所以(]2(1)10,1x −−+∈，所以(]0,1a ∈．故选：C ．8. 已知点P 在直线3y x =−−上运动，M 是圆221x y +=上的动点，N 是圆22(9)(2)16x y −+−=上的动点，则PM PN +的最小值为（ ） A. 13 B. 11 C. 9 D. 8【答案】D 【解析】【分析】根据圆的性质可得5PM PN PO PC +≥+−，故求PM PN +的最小值，转化为求.PC PO +的最小值，再根据点关于线对称的性质，数形结合解.【详解】如图所示，圆22(9)(2)16x y −+−=的圆心为()9,2C ，半径为4， 圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1，可知44,11PC PN PC PO PM PO −≤≤+−≤≤+， 所以5PM PN PO PC +≥+−，故求PM PN +的最小值，转化为求PC PO +的最小值，设()0,0O 关于直线3y x =−−的对称点为G ，设G 坐标为(),m n ， 则1322nmn m ==−− ，解得33m n =− =− ，故()3,3G −−， 因为PO PG =，可得13PO PC PG PC GC +=+≥=，当,,P G C 三点共线时，等号成立， 所以PM PN +的最小值为1358−=. 故选：D.二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9. 三条直线0x y +=，0x y −=，3x ay +=构成三角形，则a 的值不能为（ ） A. 1 B. 2 C. 1− D. －2【答案】AC【解析】【分析】由三条直线可构成三角形可知，直线3x ay +=不经过两条直线的交点，且与两条直线任意一条不平行.【详解】直线0x y +=与0x y −=都经过原点，而无论a 为何值，直线3x ay +=总不经过原点， 因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线3x ay +=与另两条直线不平行， 所以1a ≠±． 故选：AC.10. 正方体1111ABCD A B C D −中，下列结论正确的是（ ） A. 直线1AD 与直线11A C 所成角为3πB. 直线1AD 与平面ABCD 所成角为3πC. 二面角1D AB D −−的大小为4πD. 平面11AB D ⊥平面11B D C【答案】AC 【解析】【分析】选项A ：先判断出1AD 与11A C 所成角即为1AC B ,利用1ABC 为正三角形，即可判断； 选项B ：1AD 与平面ABCD 所成角为14DAD π∠=，即可判断；选项C ：二面角1D AB D −−的平面角为14DAD π∠=，即可判断； 选项D ：设1111D B AC O = ，连结,,AO CO AC ，可以判断出AOC ∠即为二面角11A B D C −−的平面角.在三角形ACO 中，求出各边长，可以判断出90AOC ∠≠°，即可判断.【详解】选项A ：先判断出1AD 与11A C 所成角即为1BC 与11A C 所成角，1ABC 为正三角形，所以该角为3π；故A正确.选项B ：1AD 与平面ABCD 所成角为14DAD π∠=；故B 错误.选项C ：二面角1D AB D −−的平面角为14DAD π∠=；故C 正确. 选项D ：设1111D B AC O = ，连结,,AO CO AC ，因为11AD AB =，所以11AO B D ⊥. 同理可证：11CO B D ⊥,所以AOC ∠即为二面角11A B D C −−的平面角。
2024-2025学年四川省成都市天府师大一中高级中学高二(上)月考数学试卷(9月份)(含答案)
2024-2025学年四川省成都市天府师大一中高级中学高二（上）月考数学试卷（9月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.要调查下列问题，适合采用全面调查(普查)的是( )A. 某城市居民3月份人均网上购物的次数B. 某品牌新能源汽车最大续航里程C. 检测一批灯泡的使用寿命D. 调查一个班级学生每周的体育锻炼时间2.成飞中学高一年级800人，高二年级600人，现按比例分层随机抽样的方法从高一、高二年级抽取28名同学朗诵“成飞赋”，则高二抽取的人数为( )A. 12B. 14C. 16D. 213.下列说法一定正确的是()．A. 一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况B. 一个骰子掷一次得到2的概率是1，则掷6次一定会出现一次26C. 若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元D. 随机事件发生的概率与试验次数无关4.甲､乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示：下列说法错误的是( )A. 从平均数和方差相结合看，甲波动比较大，乙相对比较稳定B. 从折线统计图上两人射击命中环数走势看，甲更有潜力C. 从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，甲成绩较好D. 从平均数和中位数相结合看，乙成绩较好5.续航能力关乎无人机的“生命力”，太阳能供能是实现无人机长时续航的重要路径之一．某大学科研团队利用自主开发的新型静电电机，成功研制出仅重4.21克的太阳能动力微型无人机，实现纯自然光供能下的持续飞行．为激发同学们对无人机的兴趣，某校无人机兴趣社团在校内进行选拔赛，8名参赛学生的成绩依次为65，95，75，70，95，85，92，80，则这组数据的上四分位数(也叫第75百分位数)为( )A. 93B. 92C. 91.5D. 93.56.【选考北师大版】小明在整理数据时得到了该组数据的平均数为20，方差为28，后来发现有两个数据记录有误，一个错将11记录为21，另一个错将29记录为19.在对错误的数据进行更正后，重新求得该组数据的平均数为−x ，方差为s 2，则( )A. −x >20，s 2<28 B. −x <20，s 2>28C. −x =20，s 2<28D. −x =20，s 2>287.在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有1，2，3，4四个数字，这些小球除数字外都相同.甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m ，再由乙猜这个小球上的数字，记为n.如果m ，n 满足|m−n|≤1，那么就称甲、乙两人“心领神会”，则两人“心领神会”的概率是( )A. 14B. 38C. 12D. 588.已知事件A ，B ，且P(A)=0.2，P(B)=0.8，则下列说法正确的是( )A. 若A ⊆B ，则P(A ∪B)=0.8，P(AB)=0.6B. 若A 与B 互斥，则P(A ∪B)=0.8，P(AB)=0C. 若A 与B 相互独立，则P(A ∪B)=1，P(AB)=0D. 若A 与B 相互独立，则P(A ∪B)=0.84，P(AB)=0.16二、多选题：本题共3小题，共18分。
贵州省贵阳市第一中学2024-2025学年高三上学期9月月考试题 数学 (解析版)
数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号､在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（ ）A. B. C. D.2.下列函数在其定义域内单调递增的是（ ）A. B.C. D.3.已知等差数列满足，则（ ）A.2B.4C.6D.84.已知点是抛物线上一点，若到抛物线焦点的距离为5，且到轴的距离为4，则（ ）A.1或2B.2或4C.2或8D.4或85.已知函数的定义域为.记的定义域为集合的定义域为集合.则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知函数的定义域为.设函数，函数.若是偶函数，是奇函数，则的最小值为（ ）A.B.C.D.7.从的二项展开式中随机取出不同的两项，则这两项的乘积为有理项的概率为（ ）{}{}2230,1,2,3,4A xx x B =-->=∣A B ⋂={}1,2{}1,2,3{}3,4{}41y x=-2ln y x =32y x =e xy x ={}n a 376432,6a a a a +=-=1a =A ()2:20C y px p =>A A x p =()23f x -[]2,3()f x (),21xA f -B x A ∈x B ∈()f x R ()()e xg x f x -=+()()5e xh x f x =-()g x ()h x ()f x e 2e51x ⎫⎪⎭A.B. C. D.8.已知圆，设其与轴､轴正半轴分别交于，两点.已知另一圆的半径为，且与圆相外切，则的最大值为（ ）A.20B.C.10D.二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.离散型随机变量的分布列如下表所示，是非零实数，则下列说法正确的是（ ）20242025A.B.服从两点分布C.D.10.已知函数，下列说法正确的是（ ）A.的定义域为，当且仅当B.的值域为，当且仅当C.的最大值为2，当且仅当D.有极值，当且仅当11.设定义在上的可导函数和的导函数分别为和，满足，且为奇函数，则下列说法正确的是（ ）A.B.的图象关于直线对称C.的一个周期是4D.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.过点作曲线且的切线，则切点的纵坐标为__________.13.今年暑期旅游旺季，贵州以凉爽的气候条件和丰富的旅游资源为依托，吸引了各地游客前来游玩.由安25351323221:220C x y x y +--=x y M N 2C 1C 22C M C N ⋅X ,m n X Pm n1m n +=X ()20242025E X <<()D X mn=()()214log 21f x ax ax =-+()f x R 01a <<()f x R 1a …()f x 1516a =()f x 1a <R ()f x ()g x ()f x '()g x '()()()()11,3g x f x f x g x --=''=+()1g x +()00f =()g x 2x =()f x 20251()0k g k ==∑()0,0(0x y a a =>1)a ≠顺黄果树瀑布､荔波小七孔､西江千户苗寨､赤水丹霞､兴义万峰林､铜仁梵净山6个景点谐音组成了贵州文旅的拳头产品“黄小西吃晚饭”.小明和家人计划游览以上6个景点，若铜仁梵净山不安排在首末位置，且荔波小七孔和西江千户苗寨安排在相邻位置，则一共有__________种不同的游览顺序方案.（用数字作答）14.已知函数若存在实数且，使得，则的最大值为__________.四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）下图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.图（1）是一个面积为1的实心正三角形，分别连接这个正三角形三边的中点，将原三角形分成4个小正三角形，并去掉中间的小正三角形得到图（2），再对图（2）中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图（3），再对图（3）中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图（4），…，依此类推得到个图形.记第个图形中实心三角形的个数为，第n 个图形中实心区域的面积为.（1）写出数列和的通项公式；（2）设，证明.16.（本小题满分15分）如图，在三棱台中，和都为等腰直角三角形，为线段的中点，为线段上的点.（1）若点为线段的中点，求证：平面；（2）若平面分三棱台所成两部分几何体的体积比为，求二面角的正弦值.()223,0,ln ,0,x x x f x x x ⎧++=⎨>⎩…123,,x x x 123x x x <<()()()123f x f x f x ==()()()112233x f x x f x x f x ++n n n a n b {}n a {}n b 121121n n n n n c a b a b a b a b --=++++ 43n n n a c a <…111A B C ABC -111A B C V ABC V 111112,4,90,CC C A CA ACC BCC CBA G ∠∠∠====== AC H BC H BC 1A B ∥1C GH 1C GH 111A B C ABC -2:511C GH B --17.（本小题满分15分）已知双曲线与双曲线的离心率相同，且经过点的焦距为.（1）分别求和的方程；（2）已知直线与的左､右两支相交于点，与的左､右两支相交于点，D，，判断直线与圆的位置关系.18.（本小题满分17分）为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.（1）填写下面的列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关；单位：只指标值抗体小于60不小于60合计有抗体没有抗体合计（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.（i ）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率；（ii ）以（i ）中确定的概率作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记100个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量.求及取最大值时的值.()2222:10,0x y M a b a b -=>>2222:12x y N m m-=M ()2,2,N M N l M ,A B N C AB CD=l 222:O x y a +=[)[)[)[)[]0,20,20,40,40,60,60,80,80,10022⨯0.01α=P P X ()E X ()P X k =k参考公式：（其中为样本容量）参考数据：0.1000.0500.0100.0052.7063.8416.6357.87919.（本小题满分17分）三角函数是解决数学问题的重要工具.三倍角公式是三角学中的重要公式之一，某数学学习小组研究得到了以下的三倍角公式：①；②.根据以上研究结论，回答：（1）在①和②中任选一个进行证明；（2）已知函数有三个零点且.（i ）求的取值范围；（ii ）若，证明：.()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++αx α3sin33sin 4sin θθθ=-3cos34cos 3cos θθθ=-()323f x x ax a =-+123,,x x x 123x x x <<a 1231x x x =-222113x x x x -=-贵阳第一中学2025届高考适应性月考卷（一）数学参考答案一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号12345678答案DCBCBCAA【解析】1.由题，或，则，故选D.2.对于A 选项，的定义域为，该函数在和上单调递增，在定义域内不单调；对于B 选项，的定义域为，该函数在上单调递减，在上单调递增，在定义域内不单调；对于C 选项，，该函数在定义域上单调递增；对于D 选项，的定义域为，当时，；当时，，在上单调递减，在上单调递增，因此该函数在定义域内不单调，故选C.3.，故选B.4.设点，则整理得，解得或，故选C.5.的定义域为.当时，的定义域为，即.令，解得的定义域为，即.“”是“”的必要不充分条件，故选B.{1A xx =<-∣{}3},1,2,3,4x B >={}4A B ⋂=1y x=-()(),00,∞∞-⋃+(),0∞-()0,∞+2ln y x =()(),00,∞∞-⋃+(),0∞-()0,∞+32y x ==[)0,∞+e x y x =().1e xy x =+'R (),1x ∞∈--0y '<()1,x ∞∈-+0y '>x e y x ∴=(),1∞--()1,∞-+53756415232,16,26,3,44a a a a d a a d a a d =+===-===-= ()00,A x y 200002,5,24,y px p x y ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩582p p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2p =8p =()23f x - []2,323x ……()1233,x f x -∴……[]1,3[]1,3A =1213x -……()12,21xx f ∴-……[]1,2[]1,2B =,B A ⊆∴ x A ∈x B ∈6.由题，解得，所以，即时，等号成立，C.7.设的二项展开式的通项公式为，，所以二项展开式共6项.当时的项为无理项；当时的项为有理项.两项乘积为有理数当且仅当此两项同时为无理项或同时为有理项，故其概率为，故选A.8.由题，，即圆心为，且，为的直径.与相外切，.由中线关系，有，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为20，故选A.二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）题号91011答案ACDBCBCD【解析】9.对于A 选项，由分布列性质可知正确；对于B 选项，由两点分布定义可知错误；对于C 选项，，正确；对于D 选项，令，则服从两点分布，，，正确，故选ACD.10.令，对于A 选项，的定义域为或，故A 错误；对于B 选项，的值域为在定义域内的值域为()()()()()()()(),e e ,5e 5e ,x xx xg x g x f x f x h x h x f x f x --⎧⎧=-+=-+⎪⎪⇒⎨⎨=---=--+⎪⎪⎩⎩()3e 2e x xf x -=+()3e 2e xxf x -=+…3e 2e x x -=12ln 23x =min ()f x ∴=51x ⎫⎪⎭53521551C C ,0,1,2kkk k kk T x k x --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭3,4,50,2,4k =1,3,5k =223326C C 2C 5+=221:(1)(1)2C x y -+-=()11,1C ()()2,0,0,2M N MN 1C 1C 2C 12C C ∴=+=()()2222222222121222218240,202C M C NC M C N C C C MC M C N ++=+=⨯+=∴⋅=…22C M C N =22C M C N ⋅()()()202420252024120252024.01,20242025E X m n n n n n E X =+=-+=+<<∴<< 2024Y X =-Y ()()1D Y n n mn =-=()()()2024D X D Y D Y mn ∴=+==()2221,Δ44g x ax ax a a =-+=-()f x 0a ⇔=R 0,01Δ0a a >⎧⇔<⎨<⎩…()f x ()g x ⇔R，故B 正确；对于C 选项，的最大值为在定义域内的最小值为，故C 正确；对于D 选项，有极值在定义域内有极值且，故D 选项错误，故选BC.11.对于A 选项，因为为奇函数，所以，又由，可得，故A 错误；对于B 选项，由可得为常数，又由，可得，则，令，得，所以，所以的图象关于直线对称，故B 正确；对于C 选项，因为为奇函数，所以，所以，所以是一个周期为4的周期函数，，所以也是一个周期为4的周期函数，故C 正确；对于D 选项，因为为奇函数，所以，又，又是周期为4的周期函数，所以，故D 正确，故选BCD.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）题号121314答案144【解析】12.设切点坐标为切线方程为.将代入得，可得切点纵坐标为.13.先对小七孔和千户苗寨两个相邻元素捆绑共有种方法，再安排梵净山的位置共有种方法，再排其()0,0,1Δ0a a ∞>⎧+⇔⇔⎨⎩……()f x ()2g x ⇔()0,11511616116a a g >⎧⎪⇔⇔=⎨=⎪⎩()f x ()g x ⇔()0,110a a g ≠⎧⇔⇔<⎨>⎩0a ≠()1g x +()10g =()()11g x f x --=()()()101,01g f f -==-()()3f x g x '=+'()()3,f x g x C C =++()()11g x f x --=()()11g x f x --=()()131g x g x C --+-=1x =-()()221g g C --=1C =-()()()13,g x g x g x -=+2x =()1g x +()()()311g x g x g x +=-=-+()()()()()2,42g x g x g x g x g x +=-+=-+=()g x ()()()()()()31,47131f x g x f x g x g x f x =+-+=+-=+-=()f x ()1g x +()()()()10,204g g g g ==-=-()()310g g ==()g x 20251()(1)0k g k g ===∑e33e 6-(),,ln ,txt a y a a ='∴ ln x y a a x =⋅(),tt aln tta a t a ⋅=1log e,ln a t a==∴e log e t a a a ==22A 13C余元素共有种排法，故共有种不同的方案.14.设，由的函数图象知，，又，.令在上单调递增，则，的最大值为.四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）（1）解：数列是首项为1，公比为3的等比数列，因此；数列是首项为1，公比为的等比数列，因此，.（2）证明：由（1）可得因为，所以，所以.16.（本小题满分15分）（1）证明：如图1，连接，设，连接，44A 214234A C A 144⋅⋅=()()()123f x f x f x t ===()f x 23t <…1232,ln x x x t +=-= ()()()3112233e ,2e t t x x f x x f x x f x t t =∴++=-+()()()()2e ,23,1e 20,t t t t t t t t t ϕϕϕ'=-+<=+->∴…(]2,3()3max ()33e 6t ϕϕ==-()()()112233x f x x f x x f x ∴++33e 6-{}n a 11133n n n a --=⨯={}n b 341133144n n n b --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1210121121121333333334444n n n n n n n n n c a b a b a b a b ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=⋅+⋅++⋅+⋅ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12101111134444n n n ---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦121114134311414n nn n --⎡⎤⎛⎫⋅-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=⋅=⋅⋅-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-2114314411334n n nnn nc a --⎡⎤⎛⎫⋅⋅-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦413n n c a <…43n n n a c a <…1AC 11AC C G O ⋂=1,HO A G三棱台，则，又，四边形为平行四边形，则.点是的中点，.又平面平面，平面.（2）解：因为平面分三棱台所成两部分几何体的体积比为，所以，即，化简得，此时点与点重合.，且都在平面，则平面，111A B C ABC -11AC ∥AC 122CG AC ==∴11AC CG 1CO OA = H BC 1BA ∴∥OH OH ⊂11,C HG A B ⊄1C HG 1A B ∴∥1C HG 1C GH 111A B C ABC -2:511127C GHC AB V V B C ABC -=-()1111121373GHC ABC AB C S CC S S CC ⋅⋅=⋅⋅+⋅V V V 12GHC ABC S S =V V H B 1190C CA BCC ∠∠== 11,,C C BC CC AC BC AC C ∴⊥⊥⋂=ABC 1CC ⊥ABC又为等腰直角三角形，则.又由（1）知，则平面，建立如图2所示的坐标系则，设平面的法向量，则令，解得，设平面的法向量，则令，解得.设二面角的平面角为，，所以，所以二面角.17.（本小题满分15分）解：（1）由题意可知双曲线的焦距为，解得，即双曲线.因为双曲线与双曲线的离心率相同，不妨设双曲线的方程为，因为双曲线经过点，所以，解得，则双曲线的方程为.ABC V BG AC ⊥1A G ∥1CC 1A G ⊥ABC ,G xyz -()()()()2,0,0,0,2,0,0,0,0,0,2,0H A G C -()()110,2,2,1,1,2C B --1C HG ()()()1,,,0,2,2,2,0,0n x y z GC GH ==-= 220,20,y z x -+=⎧⎨=⎩1y =()0,1,1n = 1B GH ()()1,,,1,1,2m a b c GB ==- 20,20,a b c a -+=⎧⎨=⎩2b =()0,2,1m = 11C GH B --θcos cos ,m n m n m n θ⋅=<>=== sin θ==11C GH B --N =21m =22:12y N x -=M N M 222y x λ-=M ()2,242λ-=2λ=M 22124x y -=（2）易知直线的斜率存在，不妨设直线的方程为，联立消去并整理得此时可得，当时，由韦达定理得；当时，由韦达定理得，则，化简可得，由（1）可知圆，则圆心到直线的距离，所以直线与圆相切或相交.18.（本小题满分17分）解：（1）由频率分布直方图知，200只小白鼠按指标值分布为：在内有（只）；在）内有（只）；在）内有（只）；在）内有（只）；在内有（只）由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；而指标值小于60的小白鼠共有（只），所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，故列联表如下：单位：只l l ()()()()11223344,,,,,,,,y kx t A x y B x y C x y D x y =+22,,2y kx t y x λ=+⎧⎪⎨-=⎪⎩y ()2222220,k x ktx t λ----=()()222222Δ44220,20,2k t k tt k λλ⎧=+-+>⎪⎨--<⎪-⎩22k <2λ=212122224,22kt t x x x x k k--+==--1λ=234342222,22kt t x x x x k k--+==--ABCD ====222t k +=22:2O x y +=O l d ====l O [)0,200.00252020010⨯⨯=[20,400.006252020025⨯⨯=[40,600.008752020035⨯⨯=[60,800.025********⨯⨯=[]80,1000.00752020030⨯⨯=10253570++=指标值抗体小于60不小于60合计有抗体50110160没有抗体202040合计70130200零假设为：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.根据列联表中数据，得.根据的独立性检验，没有充分证据认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.（2）（i ）令事件“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”.记事件发生的概率分别为，则，.所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率.（ii ）由题意，知随机变量，所以.又，设时，最大，所以解得，因为是整数，所以.19.（本小题满分17分）（1）若选①，证明如下：若选②，证明如下：.0H 220.01200(502020110) 4.945 6.6351604070130x χ⨯⨯-⨯=≈<=⨯⨯⨯0.01α=A =B =C =,,A B C ()()(),,P A P B P C ()()160200.8,0.520040P A P B ====()1P C =-()()10.20.50.9P A P B =-⨯=0.9P =()100,0.9X B ~()1000.990E X np ==⨯=()()C 0.90.10,1,2,,k k n k n P X k k n -==⨯⨯= 0k k =()P X k =00000000000010011910010010011101100100C 0.90.1C 0.90.1,C 0.90.1C 0.90.1,k k k k k k k k k k k k -++-----⎧⨯⨯≥⨯⨯⎪⎨⨯⨯≥⨯⨯⎪⎩089.990.9k ……0k 090k =()()22sin3sin 2sin2cos cos2sin 2sin cos 12sin sin θθθθθθθθθθθ=+=+=+-()()2232sin 1sin 12sin sin 3sin 4sin θθθθθθ=-+-=-()()22cos3cos 2cos2cos sin2sin 2cos 1cos 2sin cos θθθθθθθθθθθ=+=-=--()3232cos cos 21cos cos 4cos 3cos θθθθθθ=---=-（2）（i ）解：，当时，恒成立，所以在上单调递增，至多有一个零点；当时，令，得；令，得令，得或所以在上单调递减，在上单调递增.有三个零点，则即解得，当时，，且，所以在上有唯一一个零点，同理所以在上有唯一一个零点.又在上有唯一一个零点，所以有三个零点，综上可知的取值范围为.（ii ）证明：设，则.又，所以.此时，方程的三个根均在内，方程变形为，令，则由三倍角公式.因为，所以.()233f x x a =-'0a …()0f x '…()f x (),∞∞-+0a >()0f x '=x =()0f x '<x <<()0f x '>x <x >()f x ((),,∞∞-+()f x (0,0,f f ⎧>⎪⎨<⎪⎩2220,20,a a ⎧+>⎪⎨-<⎪⎩04a <<04a <<4a +>()()()()32224(4)3445160f a a a a a a a a a +=+-++=++++>()f x )4a +()2220,g a -<-=-=-<()f x (-()f x (()f x a ()0,4()()()()321233f x x ax a x x x x x x =-+=---()212301f a x x x ==-=04a <<1a =()()()()210,130,110,230f f f f -=-<-=>=-<=>3310x x -+=()2,2-3310x x -+=3134222x x ⎛⎫=⋅-⋅ ⎪⎝⎭ππsin 222x θθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭31sin33sin 4sin 2θθθ=-=3π3π3,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭7ππ5π7ππ5π3,,,,,666181818θθ=-=-因为，所以，所以.123x x x <<1237ππ5π2sin ,2sin ,2sin 181818x x x =-==222221π7ππ7π4sin 4sin 21cos 21cos 181899x x ⎛⎫⎛⎫-=-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭137ππ5π7π2cos 2cos 2sin 2sin 991818x x =-=--=-。
荆州中学2023级高二上学期九月月考 数学试卷——答案
荆州中学2023级高二上学期九月月考数学试卷参考答案1-8 CCBBA BCC 9.ABC 10.ACD 11.AC14.2915．(1)518(2)91216【详解】（1）甲通过考核进入面试环节，答对第一题的概率分别是13，答对第二题的概率分别是12，甲考生通过某校强基招生面试的概率为1111326P =×=. 乙考生通过某校强基招生面试的概率为2111236P =×=， ∴甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率为：11115(1)(1)666618P =×−+−×=.（2）丙考生通过某校强基招生面试的概率为3121436P =×=，∴甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率为：11191'1111666216P =−−×−×−= .16.（1）π3A =（2【小问1详解】因π22sin sin cos 6c b a C C a C−=−=−，由正弦定理可得2sin sin sin sin cos C BA C A C −=−，且()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，即2sin sin cos cos sin sin sin cos C A C A C A C A C −−=−，整理可得π2sin sin cos sin 2sin sin 6C A C A C C A=+=+，且()0,πC ∈，则sin 0C ≠，可得πsin 16A+=， 又因为()0,πA ∈，则ππ7π666A <+<，可得ππ62A +=，所以π3A =.为【小问2详解】因为AD 为BAC ∠的平分线，则π6BAD CAD ∠=∠=， 因为ABCBAD CAD S S S =+ ，则111sin sin sin 222AB AC BAC AB AD BAD AD AC CAD ⋅⋅∠=⋅⋅∠+⋅⋅∠，即111111122222bc c b ××+×××，可得b c +， 在BAC 中，由余弦定理可得()22222cos 22cos a b c bc BAC b c bc bc BAC =+−∠=+−−∠， 即()2632bc bc bc =−−，整理可得()220bc bc −−=，解得2bc =或bc 1−（舍去）， 所以ABC的面积11sin 222ABC S bc BAC =⋅∠=×=△.17.(1)证明见解析【详解】（1）取AD 的中点O ，连接,PO CO ， 因为PAD △为等边三角形，所以PO AD ⊥，又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，所以⊥PO 平面ABCD ，因为AB ⊂平面ABCD ，所以AB PO ⊥，又,,,PD AB PD PO P PD PO ⊥∩=⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD ， 因为DM ⊂平面PAD ，所以AB DM ⊥， 因为M 是PA 的中点，所以DM PA ⊥， 因为,AB PA ⊂平面PAB ，且AB PA A = ， 所以DM ⊥平面PAB .（2）因为2,1AD BC ==，由（1）知四边形ABCO 为矩形，则//AB OC ， 又AB ⊥平面PAD ，所以CO ⊥平面PAD ，以O 为坐标原点，分别以,,OC OD OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则(()()(()1,0,,1,0,0,0,1,0,0,1,,1,1,02P M C D PD CD −=− ， 取平面PAB的法向量为30,2DM =− ，设平面PCD 的法向量为(),,m x y z = ，则00m PD m CD ⋅= ⋅=，即00y x y = −+= ，令1z =，则x y，所以)m =. cos ,m DM m DM m DM ⋅==⋅ PCD 与平面PAB.18．(1)众数为65；平均数为67(2)平均数为87；方差为2【详解】（1）解：根据频率分布直方图的众数的定义，可得这800名学生成绩的众数为6070652+=， 这800名学生成绩的的平均数为：(550.030650.040750.015850.010950.005)1067x =×+×+×+×+××=（分）.（2）解：根据题意，采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取40人， 各段抽取的人生分别为：12人，16人，6人，4人和2人， 其中分数在区间[)70,90的学生为10人，分别为(1,2,,10)i i µ= ， 其中平均成绩与方差分别为2,u s ，则227778,5us =， 设第三组学生实际成绩分别为(1,2,,6)i x i = ，其平均数和方差为2,xx s ，则272,1x x s =，设第四组学生实际成绩分别为(1,2,3,4)i y i =，其平均数和方差为2,y y s ，由67247810y ×+=，可得87y =，由222221{[()][()]}x y s m s x u n s y u m n =⋅⋅+−+⋅+−+， 可得2222771{6[1(7278)]4[(8778)]}564y s =⋅×+−+⋅+−+，解得22y s =， 所以第四组[)80,90的学生实际成绩的平均数为87与方差为2. 19.（1（2（3）（i）16；（ii ）2π3 （1）由题可知，直线l的一个方向向量坐标为()1,2m=，平面1α的一个法向量为)1n −，设直线l 与平面1α所成角为β，则有·sin m n m nβ==cos β=， 直线l 与平面1α（2）由题可知平面2α的法向量为()22,3,1n =，且过点()0,0,2A ，因为()1,2,1P ,所以()1,2,1AP =− ，所以点P 到平面2α的距离为22·n AP n =. （3）（i ）建立空间直角坐标系，先分别画平面2,0,02,0,02,0,02,0,011x y x y x y x y x y x y x y x y z z +=>> −=><−+= −−=<< ==− ，然后得到几何体S 为几何体S是底面边长为2的长方体，故几何体S的体积为216=，（ii ）由（i ）可知，(){,,|2,2,2}N x y z x y y z z x =+≤+≤+≤的图像是一个完全对称的图像，所以我们只需讨论第一卦限的相邻两个平面的二面角即可， 此时0,0,0x y z >>>，得{}(,,)2,2,2,0,0,0Nx y z x y y z z x x y z =+≤+≤+≤>>>，画出第一卦限图像，显然其二面角为钝角，计算平面2,2x y y z +=+=得二面角，所以两个平面的法向量分别为()()231,1,0,0,1,1n n ==，所以其二面角的余弦值为2323·12n n n n −=−，所以二面角为2π3.。
2022-2023学年湖北省云学新高考联盟学校高二上学期9月月考数学试题(解析版)
2022-2023学年湖北省云学新高考联盟学校高二上学期9月月考数学试题一、单选题1．如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的向量分别是OA ，OB ，则复数12z z 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【详解】解：因为复数1z ，2z 对应的向量分别是(2,1)OA =--，(0,1)OB =，则复数12212z i i z i--==-+，因此点位于第二象限，选B 2．已知样本9,10,11,,m n 的平均数是9，方差是2，则mn m n ++=（ ） A ．41 B ．71C ．55D ．45【答案】B【分析】根据平均数与方差的定义，列出方程，求出m 与n 的值，即可得出mn m n ++的值.【详解】9,10,11,,m n 的平均数是9，()9101195m n ∴++++=⨯， 即15m n +=①； 又方差是2，222221(99)(109)(119)(9)(9)25m n ⎡⎤∴-+-+-+-+-=⎣⎦， 即22(9)(9)5m n -+-=②；由①②联立，解得：78m n =⎧⎨=⎩或87m n =⎧⎨=⎩；71mn m n ∴++=故选：B.3．如图，平行四边形O A B C ''''是水平放置的一个平面图形的直观图，其中5,2O A O C ''''==,30A O C ∠'''=，则原图形的面积是（ ）A ．4B ．102C ．42D ．52【答案】B【分析】求出直观图的面积，再根据原平面图形的面积与直观图的面积比为22:1，计算即可.【详解】解：平行四边形O A B C ''''中，5,2,30O A O C A O C ∠'''''''===， 所以平行四边形O A B C ''''的面积为1sin305252S O A O C '''''=⋅⋅=⨯⨯=， 所以原平面图形的面积是22225102S S ==⨯='. 故选：B4．已知向量,,a b c 在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，用基底{},a b 表示c ，则（ ）A ．23c a b =-+B ．23c a b =-C ．32c a b =-+D ．32c a b =-【答案】D【分析】建立直角坐标系，得到,,a b c 的坐标，设c xa yb =+，联立解方程组，求出,x y 得出结论.【详解】建立如图直角坐标系，则()()()2,11,01,1a =-=，()()()0,42,12,3b =-=-，()()()7,10,47,3c =-=-设c xa yb =+，则()()()7,31,12,3x y -=+-所以7233x y x y =-⎧⎨-=+⎩解得：3,2x y ==-， 故32c a b =-， 故选：D.5．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A ．甲与丙相互独立 B ．甲与丁相互独立 C ．乙与丙相互独立 D ．丙与丁相互独立【答案】B【分析】根据独立事件概率关系逐一判断【详解】11561()()()()6636366P P P P =====甲，乙，丙，丁， ， 1()0()()()()()36P P P P P P =≠==甲丙甲丙，甲丁甲丁， 1()()()()0()()36P P P P P P =≠=≠乙丙乙丙，丙丁丁丙， 故选：B【点睛】判断事件,A B 是否独立，先计算对应概率，再判断()()()P A P B P AB =是否成立6．已知向量(sin ,2),(1,cos )a b θθ=-=，且a b ⊥，则2sin 2cos θθ+的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．12D ．3【答案】A【分析】由a b ⊥，转化为0a b ⋅=，结合数量积的坐标运算得出tan 2θ=，然后将所求代数式化为222222sin cos cos sin 2cos 2sin cos cos sin cos θθθθθθθθθθ++=+=+，并在分子分母上同时除以2cos θ，利用弦化切的思想求解．【详解】由题意可得 sin 2cos 0a b θθ⋅=-=，即 tan 2θ=． ∴222222sin cos cos 2tan 1sin 2cos 1cos sin 1tan θθθθθθθθθ+++===++， 故选A ．【点睛】本题考查垂直向量的坐标表示以及同角三角函数的基本关系，考查弦化切思想的应用，一般而言，弦化切思想应用于以下两方面：（1）弦的分式齐次式：当分式是关于角θ弦的n 次分式齐次式，分子分母同时除以cos n θ，可以将分式由弦化为切；（2）弦的二次整式或二倍角的一次整式：先化为角θ的二次整式，然后除以22cos sin θθ+化为弦的二次分式齐次式，并在分子分母中同时除以2cos θ可以实现弦化切．7．已知函数()f x 是定义在R 上的增函数，且函数()3=-y f x 的图象关于点()3,0对称.若不等式()()2240f mx m f x ++<对任意[]1,2x ∈恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(B ．(,-∞C ．)+∞D ．(-∞【答案】B【分析】由()y f x =的图象可由()3=-y f x 的图象向左平移3个单位得到， 则()f x 为奇函数，且()f x 是定义在R 上的增函数，可得()()2240f mx m f x ++<即为224mx m x +<-，由参数分离和对勾函数的单调性，结合恒成立思想可得所求范围．【详解】函数()3=-y f x 的图象关于点()3,0对称，由()y f x =的图象可由()3=-y f x 的图象向左平移3个单位得到，则()f x 的图象关于原点对称，即()f x 为奇函数，且()f x 是定义在R 上的增函数，()()2240f mx m f x ++<即为()()()2244f mx m f x f x +<-=-， 由()f x 为R 上的增函数，可得224mx m x +<-， 即有242xm x -<+对任意[]1,2x ∈恒成立， 又≤x 2x +≤3，有22x x +≤3，即2132x x ≤≤+即24423x x ≤-≤-+，则m < 所以实数m的取值范围是(,-∞ 故选：B ．8．在ABC 中，9sin cos sin 6ABCAB AC B A C S ⋅===，，，P 为线段AB 上的动点，且CA CBCP x y CACB=⋅+⋅，则11xy +最小值为（ ）A ．76B ．712C ．76D ．712【答案】B【分析】在ABC 中，设AB c =，BC a =，AC b =，结合三角形的内角和以及和角的正弦公式化简可求cos 0C =，可得2C π=，再由已知条件求得4a =，3b =，5c =，考虑建立以AC 所在的直线为x 轴，以BC 所在的直线为y 轴建立直角坐标系，根据已知条件结合向量的坐标运算求得4312x y +=，然后利用基本不等式可求得11x y+的最小值.【详解】在ABC 中，设AB c =，BC a =，AC b =，sin cos sin B A C =，即()sin cos sin A C A C +=，即sin cos cos sin cos sin A C A C A C +=，sin cos 0A C ∴=，0A π<<，sin 0A ∴>，cos 0C ∴=，0C π<<，2C π∴=，9AB AC ⋅=，即cos 9cb A =，又1sin 62ABCSbc A ==，sin 4tan cos 3bc A a A bc A b∴===， 162ABCSab ==，则12ab =，所以，4312a b ab ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 解得43a b =⎧⎨=⎩，5c ∴=.以AC 所在的直线为x 轴，以BC 所在的直线为y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则()0,0C 、()3,0A 、()0,4B ，P 为线段AB 上的一点，则存在实数λ使得()()()3,43,401AP AB λλλλλ==-=-≤≤，()33,4CP CA AB λλλ∴=+=-，设1CA e CA=，1C e B CB =，则121e e ==，()11,0e ∴=，()20,1e =，()12,CA CB CP x y xe ye x y CACB=⋅+⋅=+=，334x y λλ=-⎧∴⎨=⎩，消去λ得4312x y +=，134x y∴+=，所以，117723434123411127312x y x y x y x x y y y y x x ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥⋅= ⎪⎝⎭⎭⎪⎝，当且仅当3x y =时，等号成立， 因此，11x y +的最小值为7312+故选：B.【点睛】关键点点睛：本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解CA CA是一个单位向量，从而可用x 、y 表示CP ，建立x 、y 与参数的关系，解决本题的第二个关键点在于由33x λ=-，4y λ=发现4312x y +=为定值，从而考虑利用基本不等式求解.二、多选题9．2020年新型冠状病毒肺炎疫情对消费饮食行业造成了很大影响，为了解A 、B 两家大型餐饮店受影响的程度，现统计了2020年2月到7月A 、B 两店每月营业额，得到如图所示的折线图，根据营业额折线图，下列说法正确的是（ ）A ．A 店营业额的极差比B 店营业额的极差小 B ．A 店2月到7月营业额的75%分位数是45C ．B 店2月到7月每月增加的营业额越来越多D ．B 店2月到7月的营业额的平均值为29 【答案】ABD【解析】计算出A 、B 两店营业额的极差，可判断A 选项的正误；根据百分位数的定义可判断B 选项的正误；根据营业额折线图可判断C 选项的正误；利用平均数的定义可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，由折线图可知，A 店营业额的极差为641450-=（万元） ，B 店营业额的极差为63261-=（万元），A 选项正确；对于B 选项，A 店2月到7月营业额由低到高依次为14、20、26、36、45、64， 所以，A 店2月到7月营业额的75%分位数是45，B 选项正确；对于C 选项，B 店从4月到5月营业额的增加量为19，从5月到6月营业额的增加量为15，C 选项错误；对于D 选项，B 店2月到7月的营业额的平均值为2816355063296+++++=，D 选项正确. 故选：ABD.10．下列说法正确的有（ ） A ．0x >且02x yy y x>⇔+≥B ．不等式21031x x -<+的解集是11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．函数234y x x =--的零点是()()4,0,1,0-D ．12110,,22xx x ⎛⎫⎛⎫∀∈> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】BD【分析】利用不等式求解，结合一元二次不等式的解法，对A 进行判断，利用必要条件､充分条件与充要条件的判断，结合利用基本不等式求最值，对B 进行判断，利用二次函数的零点与一元二次方程解的关系，对C 进行判断，利用基本不等式求最值，对D 进行判断，从而得结论.【详解】对于A ，当0x >且0y >时，22x y x y x y x x +=，当且仅当x y =时，等号成立，因此充分性成立，又因为当1,2x y =-=-时，2x yyx+成立，所以必要性不成立，因此A 不正确； 对于B ，由21031x x -<+得()()21310x x -+<，所以1132x -<<，即不等式21031x x -<+的解集是11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭，因此B 正确； 对于C ，因为方程2340x x --=的解为4,1-，所以函数234y x x =--的零点是4,1-，因此C 不正确；对于D ，根据两个函数的单调性可以判断D 正确. 故选：BD .11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E O ､分别是1111A B A C ､的中点，P 满足1312423AP AB AD AA =++，则下列说法正确的是（） A ．点A 到直线BEB ．点O 到平面11ABCD C ．平面1A BD 与平面11B CD D ．点P 到直线AB 的距离为2536【答案】AB【分析】建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用直线的方向向量和平面的法向量结合空间向量数量积求得各个选项的距离，得出结论.【详解】如图，建立空间直角坐标系，则()()0,0,0,1,0,0A B ，()()()()11110,1,0,0,0,1,1,1,1,0,1,1,,0,12D A C D E ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()11,0,0,,0,12BA BE ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.设ABE θ∠=，则5cos 5BA BE BA BEθ=⋅⋅=225sin 1cos θθ=-故A 到直线BE 的距离12525sin 1d BA θ===，故A 对. 易知111111,,0222C O C A ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，平面11ABC D 的一个法向量()10,1,1DA =-， 则点O 到平面11ABC D 的距离11211222DA C O d DA ⋅===，故B 对.()()()11111,0,1,0,1,1,0,1,0A B A D A D =-=-=.设平面1A BD 的法向量为(),,n x y z =， 则110n A B n A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以0,0x z y z -=⎧⎨-=⎩ 令1z =，得1,1y x ==， 所以()1,1,1n =.所以点1D 到平面1A BD 的距离11313||3A D n d n ⋅===因为平面1A BD 平面11B CD ，所以平面1A BD 与平面11B CD 间的距离等于点1D 到平面1A BD 的距离， 所以平面1A BD 与平面11B CD 间的距离为33，故C 错. 因为131242?3AP AB AD AA =++， 所以312,,423AP ⎛⎫= ⎪⎝⎭又()1,0,0AB =，则34AP AB AB⋅=，所以点P 到AB 的距离22418195144166AP AB d AP AB⋅=-=-=，故D 错. 故选：AB.12．已知ABC 中，1AB =，4AC =，13BC =，D 在BC 上，AD 为BAC ∠的角平分线，E 为AC 中点下列结论正确的是（ ） A ．3BE = B ．ABC 的面积为13C ．435AD =D ．P 在ABE △的外接圆上，则2PB PE+的最大值为27 【答案】ACD【分析】先由余弦定理算出3BAC π∠=，再计算ABC 面积，验证B 选项，在ABE △中，利用余弦定理求BE 验证A 选项，用等面积法ABCABDACDS SS=+，求AD 验证C 选项，用正弦定理表示PB ，PE ，结合三角函数性质验证D 选项.【详解】解：在ABC 中，由余弦定理得2221cos 22AC AB BC BAC AC AB +-∠==⋅， 因为()0,BAC π∠∈，所以3BAC π∠=.所以1sin 32ABCSAB AC BAC =⋅∠=，故B 错误；在ABE △中，2222cos 3BE AE AB AE AB BAE =+-⋅∠=，所以3BE =，故A 正确； 因为AD 为BAC ∠的角平分线， 由等面积法得11sin sin 2222ABCABD ACDBAC BAC S SSAB AD AC AD ∠∠=+=⋅+⋅， 整理得53=4AD ，解得435AD =，故C 正确； P 在ABE △的外接圆上，如图则3BPE BAE π∠=∠=，3BE =所以在BPE 中，记PBE α∠=，BEP β∠=，由正弦定理得2sin PB β=，2sin PE α=，又23παβ+=，所以22=2sin 4sin 2sin 4sin 35sin 3PB PE πβααααα⎛⎫++=-+=+ ⎪⎝⎭()=27αϕ+，其中3tan ϕ=， 又因为20,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2PB PE +的最大值为27D 正确. 故选：ACD【点睛】本题考查正余弦定理的综合应用，考查数学运算能力，是中档题.三、填空题13．若命题“存在2019x <，使得x a >”是假命题，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】[)2019,∞+【分析】将条件转化为“对任意2019,x x a <≤”，从而解出实数a 的取值范围. 【详解】由于命题“存在2019,x x a <>”是假命题， 因此其否定命题“对任意2019,x x a <≤”是真命题， 所以2019a ≥，所以实数a 的取值范围是[)2019,∞+.故答案为：[)2019,∞+.14．已知θ为锐角，()3cos 155θ+︒=，则cos(215)θ-︒=______.【分析】因为()21523045θθ-=+-，并且()230215θθ+=+，所以利用已知和二倍角公式()()()sin 2302sin 15cos 15θθθ+=++，以及()()2cos 2302cos 151θθ+=+-化简求值.【详解】θ为锐角，()3cos 155θ+︒=，()4sin 155θ︒+∴=.()()()24sin 2302sin 15cos 1525θθθ∴+︒=+︒+︒=， ()()297cos 2302cos 151212525θθ+︒=+︒-=⨯-=-. ()()()()cos 215cos 23045cos 230cos45sin 230sin 45θθθθ∴-︒=+︒-︒=+︒︒++︒︒7242525=-= 【点睛】本题考查了二倍角公式以及两角差的余弦公式的化简求值，本题的重点是角的变换，三角函数的化简主要有角的变换，和三角函数名称的变换，尤其是二倍角公式和变形比较多，需灵活掌握.15圆锥的底面和侧面均相切）的表面积为______. 【答案】4π【分析】根据已知先求母线长，再结合轴截面可得半径，然后可得.【详解】有题意可知，PA π⋅=，所以PA =所以，圆锥的轴截面是边长为圆锥的内切球的半径等于该正三角形的内切圆的半径，所以tan tan 301R OD AD OAD ==⋅∠=︒=， 所以该圆锥的内切球的表面积为4π. 故答案为：4π四、解答题16．已知平行六面体1111ABCD A B C D -中，各条棱长均为m ，底面是正方形，且11120A AD A AB ∠=∠=︒，设AB a =，AD b =，1AA c =. （1）用a ，b ，c 表示1BD 及求1BD ； （2）求异面直线AC 与1BD 所成的角的余弦值.【答案】(1) 1BD a b c =-++,13BD m =6【分析】(1)在图形中，利用向量的线性运算法则表示1BD ，再由211||=BD BD 求1||BD . (2) 由111cos ,||||AC BD AC BD AC BD ⋅=可求异面直线AC 与1BD 所成的角的余弦值.【详解】（1）111=BD BA AD AB AD AA a b c DD =++=-++-++. 22221||222BD a b c a b a c b c =++-⋅-⋅+⋅=2222202cos1202cos120m m m m m ++--︒+︒23m =，1||3BD m ∴=.（2）AC AB AD =+=+a b ，则1()()AC BD a b b c a ⋅=+⋅+- 22a b a c a b b c a b =⋅+⋅-++⋅-⋅ 22a c a b b c =⋅-++⋅2222cos120cos120m m m m =︒-++︒ 2m =-.又1||3BD m =，2AC m =，21116cos ,6||||23AC BD m AC BD AC BD m m ⋅-∴===-⨯.异面直线AC 与1BD 6【点睛】本题考查空间向量的运算，用空间向量求异面直线的夹角.在不建立坐标系的情况下，空间向量的运算与平面向量类似，但表示空间向量需要不共面的三个向量作为基向量.由空间向量求异面直线的夹角时，应注意向量夹角和直线夹角的取值范围的不同，当向量的夹角的余弦值为负数时，相应异面直线的夹角应为其相反数.17．2018年4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解中学生课外阅读情况，随机抽取了100学生，并获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表. 组号 分组 频数 频率 1[)0,550.052[)5,10 a0.353 [)10,1530b4[)15,20200.205 [)20,2510 0.10 合计 1001（1）求,a b 的值，并在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图；（用阴影涂黑） （2）根据频率分布直方图估计该组数据的众数及中位数（求中位数精确到0.01）； （3）现从第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取6人参加校“中华诗词比赛”，经过比赛后从这6人中选拔2人组成该校代表队，求这2人来自不同组别的概率.【答案】（1）35a =，0.30b =，频率分布直方图见解析；（2）众数为7.50，中位数为11.67；（3）1115【分析】（1）结合频率分布表总数为100即可求出a ，频数比总数可得频率即可求出b 的值，由此能作出频率分布直方图；（2）由频率分布直方图最高矩形的中点值为众数，利用中位数左边矩形面积为0.5即可可求出中位数；（3）列出基本事件总数，和满足条件的基本事件个数，用古典概型求解即可. 【详解】解：（1）35a =，0.30b = 频率分布直方图如下（2）该组数据众数的估计值为7.50由题图可知，中位数应在10至15之间，设中位数为x ，则()0.050.35100.060.5x ++-⨯=，解得11.67≈x ， 故中位数的估计值为11.67.（3）易得从第3、4、5组抽取的人数分别为3、2、1，第3组的3人设为123,,A A A ，第4组的2人设为12,B B ，第5组的1人设为C ，则从该6人中选出2人的基本事件有1213111212321222313231212,,,,,,,,,,,,,,A A A A A B A B AC A A A B A B A C A B A B A C B B B C B C共15种，其中来自不同的组别的基本事件有共11种， 所以这2人来自不同组别的概率为1115. 【点睛】本题考查频率分布直方图，涉及到概率的计算，中位数、众数的求法，古典概型概率的计算等问题.18．已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别是,,,cos sin a b c a B A a -. (1)求角B ；(2)若4a c +=，求ABC 外接圆半径R 的最小值，并求出此时ABC 的面积. 【答案】(1)π3(2)外接圆半径R ABC【分析】（1）由正弦定理及两角差的正弦公式可得π1sin 62B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，从而可求B .（2）利用基本不等式可求b 的最小值，从而可求半径的最小值，根据面积公式可求三角形面积.【详解】(1)因为cos sin a B A a =-，故()cos 1sin a B A +， 而A 为三角形内角，故sin 0A ≠，故b a =，由正弦定理得sinsin B A =cos 1B B -=，即π1sin 62B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ππ5π0π,666B B <<∴-<-<， πππ,663B B ∴-=∴=. (2)22222cos ()3163b a c ac B a c ac ac =+-=+-=-，即2316ac b =-， 22163122a c b +⎛⎫∴-≤= ⎪⎝⎭，解得2b ≥，当且仅当2a c ==时取等号，min 23432,2sin 33b b R b B ∴===≥， ABC 外接圆半径R 最小值为233，此时ABC 的面积1sin 32S ac B ==.19．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，,,,1PA PD BC AD DC DA BC CD =⊥==//，2,,AD E F =分别为,AD PC 的中点，PE CD ⊥.(1)证明：PE BD ⊥；(2)若PC 与AB 所成角为45，求二面角F BE C --的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； 3【分析】（1）由题设易得PE AD ⊥，结合PE CD ⊥，根据线面垂直的判定和性质证结论； （2）构建空间直角坐标系，求面FBE 、面ABE 的法向量，应用向量夹角的坐标表示求二面角F BE C --的余弦值.【详解】(1)因为,PA PD E =为AD 的中点，所以PE AD ⊥， 又PE CD ⊥且AD CD D =，,AD CD ⊂面ABCD ， 所以PE ⊥面ABCD ，又BD ⊂面ABCD ， 所以PE BD ⊥；(2)底面ABCD 为直角梯形，,,1BC AD DC DA BC CD ⊥==//，2,AD E =为AD 的中点，则1DE BC CD ===， 综上，BCDE 为正方形，故BE AE ⊥，又//,AE BC AE BC =，则四边形ABCE 是平行四边形，则//AB EC ， 所以45PCE ∠=，则2PE EC ==以E 为原点，以EA 为x 轴，EB 为y 轴，以EP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()1120,1,0,1,1,0,0,0,0,,,222B C E F ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，故()1120,1,0,,,222EB EF ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭， 设面FBE 的一个法向量为(),,m x y z =，则01120222EB m y EF m x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，令1z =，则()2,0,1m =，平面ABE 的一个法向量为()0,0,1n =，则3cos ,3m n m n m n⋅==⋅， 所以二面角F BE C --.的余弦值33. 20．为改善小区环境，拟对小区内一块扇形空地AOB 进行改建.如图所示，平行四边形OMPN 区域为人工湖，其余部分建成绿地，点P 在围墙AB 弧上，点M 和点N 分别在道路OA 和道路OB 上，且60OA =米，60AOB ∠=︒，设POB θ∠=.(1)求人工湖面积S 关于θ的函数关系式，并指出θ的取值范围； (2)当θ为何值时，人工湖面积S 最大，并求出最大值. 【答案】(1)()24003sin sin 60S θθ=︒-，其中060θ︒<<︒ (2)当30θ=︒时，人工湖最大面积为26003m【分析】（1）利用正弦定理及面积公式可求人工湖面积S 关于θ的函数关系式. （2）利用三角变换公式可得()12003sin 2306003S θ=+︒-求面积的最大值.【详解】(1)在OPN 中，120,60,60ONP OPN OP θ∠=︒∠=︒-=，由正弦定理得sin sin sin ON OP PNOPN ONP PON==∠∠∠，即()60sin 60sin120sin ON PNθθ==︒-︒，所以()60,ON PN θθ=︒-=，所以人工湖面积()sin sin 60S ON PN ONP θθ=⨯∠=︒-， 其中060θ︒<<︒.(2)由（1）得()1sin 60sin 2S θθθθθ⎫=︒-=-⎪⎪⎝⎭23600sin cos 1800sin2θθθθθ=-=+-()230θ=+︒-因为060θ︒<<︒，所以30230150θ︒<+︒<︒，所以max 23090,1S θ+︒=︒=-.故当30θ=︒时，人工湖最大面积为2 21．已知函数()242f x ax x =-+，函数()()13f x g x ⎛⎫= ⎪⎝⎭.(1)若函数()f x 有唯一零点，求a ；(2)若0a <，不等式()9g x ≤在10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上恒成立，求a 的取值范围；(3)已知1a ≤，若函数()2log 8xy f x =-在区间[]1,2内有且只有一个零点，试确定实数a 的范围.【答案】(1)0或2 (2)[)8,0- (3)[]1,1-【分析】（1）分0a =和0a ≠两种情况讨论，当0a ≠时需0∆=，即可求出参数的值； （2）根据题意，将不等式恒成立，转化为224444x a x x x -≥=-在10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上恒成立，令()12t t x=≥，则转化为244a t t ≥-在[)2,t ∈+∞上恒成立，求出2max (44)t t -，即可得出结果；（3）设()245r x ax x =-+，()2log s x x =，[]1,2x ∈，根据原函数有一个零点，得到两个函数()r x 与()s x 的图象在区间[]1,2内有唯一交点；分别讨论0a =，0a <，01a <≤三种情况，结合二次函数与对数函数的性质，即可求出结果.【详解】(1)解：当0a =时()42f x x =-+，函数()f x 有唯一零点12， 当0a ≠时，由1680a ∆=-=，解得2a =，函数有唯一零点1， 综上：0a =或2 (2)解：依题意得()211933f x -⎛⎫⎛⎫≤= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即24221133ax x -+-⎛⎫⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭在10,2x ⎛⎤∈⎥⎝⎦上恒成立， 转化为2422ax x -+≥-在10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上恒成立，即2440ax x -+≥在10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上恒成立，转化为224444x a x x x -≥=-在10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上恒成立. 令()12t t x=≥，则问题可转化为244a t t ≥-在[)2,t ∈+∞上恒成立， 因为22142414y t t t ⎛⎫=-- -⎪⎭=+⎝在[)2,+∞上单调递减，所以当2t =时max 8y =-，即()[)()2max442,a t tt ≥-∈+∞，所以8a ≥-，所以a 的取值范围为[)8,0-. (3)解：()222log 45log 8xy f x ax x x =-=-+-， 设()245r x ax x =-+，()[]()2log 1,2s x x x =∈，则由题意知函数()r x 与()s x 的图象在区间[]1,2内有唯一交点.当0a =时，()45r x x =-+在[]1,2上单调递减，()2log s x x =在[]1,2上为增函数， 且()()1110r s =>=，()()2321r s =->=，所以函数()r x 与()s x 的图象在区间[]1,2内有唯一的交点. 当0a <时，()r x 的图象开口向下，对称轴为直线20x a=<， 所以()r x 在[]1,2上单调递减， 又()2log s x x =在[]1,2上为增函数，由题意知，需()()()()1122r s r s ⎧≥⎪⎨≤⎪⎩，得10431a a +≥⎧⎨-≤⎩，得11a -≤≤， 所以10a -≤<.当01a <≤时，()r x 的图象开口向上，对称轴为直线22x a =≥， 所以()r x 在[]1,2上单调递减，又()2log s x x =在[]1,2上为增函数，由题意知，需()()()()1122r s r s ⎧≥⎪⎨≤⎪⎩，得10431a a +≥⎧⎨-≤⎩，得11a -≤≤， 所以01a <≤.综上，a 的取值范围为[]1,1-.五、双空题22．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，Q 是棱1BB 的中点，点P 在侧面11BCC B （包含边界）．（1）若点P 与点Q 重合，则点P 到平面11ACC A 的距离是________； （2）若1⊥A P DQ ，则线段CP 长度的取值范围是________．【答案】2⎤⎥⎣⎦ 【分析】（1）连接11B D 交11A C 于点E ，由正方体的性质可证1//BB 面11ACC A ，1B E ⊥面11ACC A ，即可得到点1B 到平面11ACC A 的距离，当点P 与点Q 重合时，点P 到平面11ACC A 的距离即为点1B 到平面11ACC A 的距离；（2）建立空间直角坐标系，设(),2,P x z ，由1⊥A P DQ 得到22z x =-，再根据2CP x =【详解】解：在正方体1111ABCD A B C D -中，11//BB CC ，1BB ⊄面11ACC A ，1CC ⊂面11ACC A ，所以1//BB 面11ACC A ，连接11B D 交11A C 于点E ，所以1111B D A C ⊥，又1CC ⊥面1111D C B A ，1B E ⊂面1111D C B A ，所以11CC EB ⊥，因为1111CC AC C ⋂=，所以1B E ⊥面11ACC A ，因为正方体的棱长为2，所以1B E 1B 到平面11ACC A若点P 与点Q 重合，则点P 到平面11ACC A 的距离即为点1B 到平面11ACC A 的距离为2； 如图建立空间直角坐标系，则()0,2,0C ，()12,0,2A ，()0,0,0D ，()2,2,1Q ，设(),2,P x z ，则()12,2,2A P x z =--，()2,2,1DQ =，(),0,CP x z =，因为1⊥A P DQ ，所以10A P DQ ⋅=，所以()22420x z -++-=，即22z x =-，所以()222224422555CP x z x x x ⎛⎫=+=+-=-+ ⎪⎝⎭，因为020222x z x ≤≤⎧⎨≤=-≤⎩解得01x ≤≤，所以2525CP ≤≤，即25,25CP ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故答案为：2；25,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦。
吉林省通化市梅河口市第五中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题
吉林省通化市梅河口市第五中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题一、单选题1．直线:10l x +=的倾斜角是（ ）A ．0B ．π2C ．πD ．不存在 2．下列方程中表示圆心在直线 y x =上，半径为 2，且过原点的圆的是 （ ）A ．()()2211x y -+-=B ．()()2211x y -++=C ．()()22112x y -++=D ．()()22112x y -+-=3．如图，空间四面体ABCD 的每条棱都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，则FG AB ⋅u u u r u u u r 等于（ ）A B ．14 C ．12 D 4．已知直线1l ：10ax y --=，2l ：()210.ax a y ++-=若12l l //，则实数a =（ ） A ．0或3- B ．3- C ．0 D ．1-与0 5．若点()1,1在圆220x y x a +--=的外部，则a 的取值范围为（ ）A ．1,14⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(),1-∞D ．()1,+∞6．圆221:2880C x y x y +++-=与直线:2(3)260l x k y k +-++=的交点个数为（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．与k 的取值有关 7．如图，平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABEF 为正方形，四边形ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，则直线,AC FB 所成角的正弦值为（ ）A B C D 8．设P 为椭圆22143x y +=上一动点，12F F ､分别为椭圆的左､右焦点，已知点()1,1D ，则1PF PD +的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5二、多选题9．过点(4,3)A -作圆22(3)(1)1x y -+-=的切线，所得切线方程为（ ）A ．4x =B ．158360x y +-=C ．=3y -D ．81530x y --=10．已知椭圆22:143x y C +=的左､右焦点分别为12F F 、，P 为椭圆C 上不同于左右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（ ）A ．12PF F ∆的周长为8B ．存在点P ，使得1 2.5PF =C ．12PF PF ⋅u u u r u u u u r 的取值范围为[)2,3D ．12||||PF PF 的取值范围为(]3,4 11．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，若一点P 在底面ABCD 内（包括边界）移动，且满足11B P D E ⊥，则（ ）A ．1D E 与平面11CC D D 的夹角的正弦值为13B ．1A 点到1D EC ．线段1B P 的长度的最大值为D ．PA u u u r 与PE u u u r 的数量积的范围是4,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦三、填空题12．已知向量()2,3,4a x =r ，()0,1,2b =r ，()1,0,0c =r ，若a r ，b r ，c r 共面，则x =．13．圆222200x y x y ++--=与圆2225x y +=相交所得公共弦长为．14．加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆222:17x y C a +=，若直线:43200l x y -+=上存在点P ，过P 可作C 的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是.四、解答题15．已知点(2,1)P -和直线:250l x y +-=.(1)若直线1l 经过点P ，且1l l ⊥，求直线1l 的方程；(2)若直线2l 经过点P ，且在两坐标轴上的截距相等，求直线2l 的方程.16．已知圆C 与y 轴相切，圆心在射线()300x y x -=≥，且被直线y x =截得的弦长为(1)求圆C 的方程；(2)若点P 在圆C 上，求点P 到直线34110x y -+=的距离的最小值.17．已知线段AB 的端点B 的坐标是()6,8，端点A 在圆2216x y +=上运动，M 是线段AB 的中点，(1)求点M 的轨迹方程；(2)记（1）中所求轨迹为曲线C ，过定点()1,0的直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，曲线C 的中心记为点C ，求CPQ V 面积的最大值，并求此时直线l 的方程．18．如图所示，正方形ABCD 所在平面与梯形ABMN 所在平面垂直，MB AN ∥，1AB =，2NA =，4BM =，CN =(1)证明：MB ⊥平面ABCD ；(2)在线段CM （不含端点）上是否存在一点E ，使得平面EBN 与平面BND 夹角的余弦值为CE EM 的值，若不存在请说明理由． 19．阅读材料：“到角公式”是解析几何中的一个术语，用于解决两直线对称的问题.其内容为：若将直线1l 绕1l 与2l 的交点逆时针方向旋转到与直线2l 第一次重合时所转的角为θ，则称θ为1l 到2l 的角，当直线1l 与2l 不垂直且斜率都存在时，2112tan 1k k k k θ-=+（其中12,k k 分别为直线1l 和2l 的斜率）.结合阅读材料，回答下述问题： 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左､右焦点分别为()12,,2,1F F A -为椭圆上一点，()0,1B -，四边形12AF BF 的面积为O 为坐标原点.(1)求椭圆E 的方程；(2)求12F AF ∠的角平分线所在的直线l 的方程；(3)过点A 的且斜率存在的直线12,l l 分别与椭圆交于点,P Q （均异于点A ），若点B 到直线12,l l 的距离相等，证明：直线PQ 过定点.。
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四川省眉山中学2015-2016学年高二（上）9月月考数学试卷（文科）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．在空间，下列条件可以确定一个平面的是（）
A．两条直线 B．一点和一条直线
C．一个三角形D．三个点
2．平面α∩β=l，直线m?α，直线n?β，则m，n的位置关系是（）
A．异面 B．平行 C．相交 D．无法确定
3．若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是（）
A．α内所有的直线都与a异面B．α内不存在与a平行的直线
C．α内所有的直线都与a相交D．直线a与平面α有公共点
4．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有（）条
A．8 B．6 C．4 D．3
5．平面α与平面β平行的条件可以是（）
A．α内有无穷多条直线与β平行
B．直线a∥α，a∥β
C．直线a?α，直线b?β，且a∥β，b∥α
D．α内的任何直线都与β平行
6．以下命题中为真命题的个数是（）
（1）若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α；
（2）若直线a在平面α外，则a∥α；
（3）若直线a∥b，b?α，则a∥α；
（4）若直线a∥b，b?α，则a平行于平面α内的无数条直线．
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．直线a，b，c及平面α，β，γ，下列命题正确的是（）
A．若a?α，b?α，c⊥a，c⊥ｂ则c⊥αB．若b?α，a∥ｂ则a∥α
C．若a∥α，α∩β=b则a∥ｂD．若a⊥α，b⊥α则a∥ｂ
8．分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是（）
A．异面直线 B．相交直线 C．不相交直线D．不平行直线
9．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．
10．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC的射影H必在（）
A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题卡上相应位置. 11．已知a，b，c是三条直线，且a∥b，a与c的夹角为θ，那么b与c夹角是．
12．已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与α的位置关系是．
13．已知长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=2，AD=2，AA′=2．则BC和A′C′所成的角是．
14．已知P是△ABC所在平面外的一点，PA、PB、PC两两垂直，且P在△ABC所在平面内的射
影H在△ABC内，则H一定是△ABC的心．
15．如图所示，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP=，过P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则
PQ= ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（1）将下列文字语言转化为符号语言．
①点P在直线l上，但不在平面α内；
②平面α与平面β交于直线l，a在平面β内，且与直线l交于点P．
（2）将下列符号语言转化为图形语言．
①Ｐ?m，m?α，l∩α=P；②α∩β=l，β∩γ=m，α∩γ=n，l∩m∩n=P．
17．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点．求证：
（1）E，C，D1，F四点共面；
（2）CE，D1F，DA三线共点．。