高中数学说题示例

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高中数学说题示例_说课稿

高中数学说题示例_说课稿
说题题目：已知函数
若关于x 的方程f(x)=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_______.
(1)本题是一个分段函数填空题，分段函数一般都有较真实的生活背景，是新课程加强数学应用的重要体现，是高中数学中的重要函数模型，也是高考中的常考题型之一，应该要求学生具备熟练解决分段函数类的多数问题。

(2)求f(x)=k有两个不同实根时k的范围，看似研究方程，实则是考查学生对函数方法的掌握程度，即通过对f(x)的图像分布和值域的探究为载体，考查学生对反比例函数、三次函数等基本函数的图像及其平移变换以及分类思想的把握，最终采用以形助数的方法得到k的范围。

(3)教学中引导学生画出f(x)的图像时，应指出作反比例函数图像要利用好渐近线，作三次型函数图像时要利用y=x3的图像作为基本模型，然后利用平移实现快速准确作出y=(x-1)3的图像，最后是要注意分段函数的分界点的利用。

根据图像看出答案时，要看学生对端点和边界把握情况，必要时作出强调。

板演：教师在黑板上画出函数f(x)图像并写出准确答案即k的取值范围是(0，1)。

(4)如果学生直接利用方程来解本题，我们不能简单否定。

可以从命题者的立意上引导学生主要从数形结合角度去寻找解题思路，同时，也可以给出从解方程的角度的完整解法如下：。

高中数学说题

说题题目
已知非零向量 a, b 满足 a 2, b 2 a b ，
则 b 的取值范围为
.
说题流程
说题意说解法说反思说背景说拓展
说题意
Байду номын сангаас 说背景
说背景
解法一：
b
说解法
a b
a
点评：通过三边关系巧立不等式，简洁明了.
点评：体现函数及方程
解法二：
说解法
思想，属通性通法，但过程略显复杂.
解法三：
说解法
点评：直接呈现 b 的几何意义，清晰直观，但解决过程需了解阿式圆的几何背景.
说拓展
说拓展
说拓展
说反思
此题语言平实、简洁，若以此题为教学例题，可以培养学生从多角度考虑问题的能力，体现用数学中最本质的内容考查学生最基本的数学素养的理念。教师可在教学过程中放开思路大胆设问，进而培养学生思维的广阔性和灵活性。教是为了不教，教师工作的真正意义不是传授知识，而是启迪思维，使学生得到解决问题的办法和获得知识的方法.

高中数学说题《一道函数题》精品PPT课件

4M | b | + | 9 3a b | +2 | 9 3 a b |
42
4M 9 2
9 M
当且仅当a 3,b 9 取等号
8
8
切比雪夫最佳逼近直线理论
变式3 已知任意实数a,b,函数f ( x) | x2 (ax b) |，总存在 x0 [0, m], f ( x0 ) 1,则m的取值范围 _____
变式2 已知任意实数a,b,函数f ( x) | x2 (ax b) |，总存在 x0 [0, 3], f ( x0 ) m,则m的取值范围 _____
绝对值三角不等式
M f (0) | b | M f (3) | 9 3a b | M f ( 3) | 9 3 a b | 2 42
解法2（: 分类讨论）
y
|
u

t
|
u t, t u,
t 1
u
3 u
t
分 1 u t和t u 3讨论
解法3（: 绝对值三角不等式）
M | 1 t |
M | 3 t |
2M | 1 t | | 3 t || 1 t (3 t) | 4 由题可知M 2 当且仅当 | 3 t || 1 t | 即t 1取等号
数
例1 已知t为常数，函数y | x2 2x t | 在区间[0,3]上的最大值
为2,则t _____
解法4（: 数形结合）令u x2 2x，u[1,3]
形
解法5（: 纵向距离）
思考：能否看成y x2和y=2x t的纵向距离？
例1 已知t为常数，函数y | x2 2x t | 在区间[0,3]上的最大值为2,则t _____

高中数学说题比赛课件集锦宋丽霞说题1

n 距离的比值。 C 只有一个公共点，求坐标原点到 m ，
二、能力考察：
本题主要考查圆的方程、抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、点到直线距离公式、线线平行等基础知识，考查数形结合思想和运算求解能力。
三、解题方法：
四、拓展变式：
已知抛物线x2=4y的焦点为F，准线与y轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且满|NF|=λ|MN|，则λ的取值范围是？
有两个不同的交点 P , Q , l 与矩形 ABCD有两个不同的 S , T 交点.求
| PQ | | ST |的
最大值及取得最大值时m的值。
结束语：
解题过程充满思辨，这正是对考试大纲中“创新意识”的有力诠释。能发现问题、提出问题，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想方法，选择有效的方法和手段分析信息，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题。希望在解决圆锥曲线问题上注重核心概念、注重同性通法、合理定位、规范格式、加强计算。
五、高考连接：
20122 1(a b 0) a b
的离心率为
，直线
x a y b
和
所
围成的矩形ABCD的面积为8.(Ⅰ)求椭圆M的标准方程；
结束语： (Ⅱ) 设直线l : y x m(m R ) 与椭圆M
说题稿
农垦北安管理局第三高级中学：宋丽霞
一、原题再现：
设抛物线 C ：x2 2 py（p ＞0）的焦点为 F ，准线
FA 为半径的 l 为， A为 C上一点，已知以 F为圆心，
圆交F于 B , D 两点.(Ⅰ)若
BFD 900 , ABD
的面积
为 4 2 ，求 p的值及圆 F 的方程；(Ⅱ)若 A ， B， F 三点在同一条直线 m 上，直线 n 与 m 平行，且 n与

高中数学说题示例

高中数学说题示例
重庆市垫江实验中学杨正修
说题题目：已知函数若关于x 的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_______.
（1）本题是一个分段函数填空题，分段函数一般都有较真实的生活背景，是新课程加强数学应用的重要体现，是高中数学中的重要函数模型，也是高考中的常考题型之一，应该要求学生具备熟练解决分段函数类的多数问题。

（2）求f(x)=k有两个不同实根时k的范围，看似研究方程，实则是考查学生对函数方法的掌握程度，即通过对f(x)的图像分布和值域的探究为载体，考查学生对反比例函数、三次函数等基本函数的图像及其平移变换以及分类思想的把握，最终采用以形助数的方法得到k的范围。

（3）教学中引导学生画出f(x)的图像时，应指出作反比例函数图像要利用好渐近线，作三次型函数图像时要利用y=x3的图像作为基本模型，然后利用平移实现快速准确作出y=(x-1)3的图像，最后是要注意分段函数的分界点的利用。

根据图像看出答案时，要看学生对端点和边界把握情况，必要时作出强调。

板演：教师在黑板上画出函数f(x)图像并写出准确答案即k的取值范围是（0，1）。

（4）如果学生直接利用方程来解本题，我们不能简单否定。

可以从命题者的立意上引导学生主要从数形结合角度去寻找解题思路，同时，也可以给出从解方程的角度的完整解法如下：。

高中数学说题

解题思路
法一：
E
F
QD
C
O
M
A
B
法二: 建立空间直角坐标系，求出平面BCQ的法向量和平面ABC的一个法向量后可求二面角Q-BC-A 的余弦值
解答过程
证明：取BC的中点M,连接OM，FM,OE 因为FB=FC,所以FM⊥BC, 因为平面FBC⊥平面ABCD，平面ABCD∩平面 FBC,FM⊂平面FBC 所以FM⊥平面ABCD
可知-2x- 2 3 y =0
3x+z=0
取x=1，可3 得m=(1,- 3，-3）
品面ABCD的一个法向量n=(0,0,1)
设二面角Q-BC-A的平面角为 cos =- 3 13
因为二面角Q13-BC-A的平面角为锐角所以二面角Q-BC-A的余弦值为 3 13 x
13
E
F
QD
C
O
M
A
B
y
方法规律
又因为O,M分别为AC,BC中点
所以OM // AB
因为EF // AB
EF=
1 2
AB
可知EF // AB EF=AB
所以四边形EFMO 为平行四边形
所以EO // FM 所以EO⊥平面ABCD
A
x
z
E
F
QD
O B
C M
y
解答过程
因为四边形ABCD为菱形，且∠BCD=60°
所以AO=OC=OE=2 OB=OD= 2 3
原题呈现
E
F
QD
C
O
A
B
命题立意
本题以空间几何为背景：此类题涉及的知识点有：线面垂直判定定理，面面垂
直的性质定理，二面角的平面角，空间坐标系的灵活运用，及相关平面几何知识

高中数学,说题稿

高中数学,说题稿篇一：高中数学说题稿会做得全分——“讲好，练好，考好”基础考点考题佛冈一中数学科组各位评委，各位老师，大家好。

我是8号邓顺平。

基于三角函数在高考中主要以简单、基础题出现，我的说题标题是《会做得全分——“讲好，练好，考好”基础考点考题》，我将从以下六方面展开：一、原题背景：17．（本小题满分12分）已知函数f?2cosx?1，x?R．（Ⅰ）求函数f的最小正周期；（Ⅱ）求函数f在区间??上的最小值和最大值．84这是一道07年天津理科高考试卷第17题，也是第一道大题。

主要考查的是高中数学人教版必修4的三角函数。

条件是有关三角函数的解析式，问题是求相关性质：周期，给定定义域范围内最值。

虽然这是一道老题，但这恰恰体现了他的经典。

这一章节知识内容也是我们广东历年高考的必考内容，因为他能够涉及较多高中数学学习的基础内容，思想方法，逻辑思维等。

他的题型设置主要是一道选择题加一道解答题，分值一般17分，考查内容与解三角形、向量结合的较多。

考查难度以简单基础为主。

因此对于数学学的比较薄弱的学生是一个必须拿下的阵地，也是学生学习、考试由浅入深的关口。

该题通过考查三角函数中特殊角三角函数值、倍角公式、化一公式、函数y?Asin的图像性质等基础知识，考查基本运算能力．实现高考考试大纲要求。

（考纲）2．三角函数理解任意角三角函数的定义。

能利用单位圆中的三角函数线推导出的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y?Asin 的图像，了解三角y?Asin 函数的周期性。

理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质，理解正切函数在定义域内的单调性。

理解同角三角函数的基本关系式：了解三角函数的物理意义；能画出三角函数的图像。

了解参数对函数图像变化的影响。

会用三角函数解决一些简单实际问题，了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。

二、解题方法此题第一问主要是考查倍角公式，化一公式，参数对函数性质影响，周期公式，数学运算变形技巧等方面。

一个说题比赛的案例_陈芝飞

一个说题比赛的案例●陈芝飞（温州市第十四高级中学浙江温州32500）2014年12月18日，浙江省第2届高中数学说题比赛在宁波市鄞州中学落下帷幕，本次比赛分个人赛、接力赛，共6道精彩纷呈的题目．笔者有幸聆听，感慨良多，受益匪浅．说题的对象尽管是教师，但醉翁之意不在酒，说题的目的是为了学生，正所谓此时无“生”胜有“生”．笔者就其中个人赛的第2题谈谈如何“说题”．题目在非等腰直角△ABC 中，已知∠C =90ʎ，D 是BC 的一个三等分点．若cos ∠BAD =槡255，求sin ∠BAC 的值．1说解法解法1设BC =3a ，AC =b ，∠BAD =α，∠BAC =β，因为∠C =90ʎ，所以α为锐角，又cos α=槡255，可得tan α=12．由题意知D 是BC 的三等分点，可得：1）如图1，若DC =a ，则tan β=BC AC =3ab ，tan （β－α）=DC AC =a b ，即tan β=3tan （β－α）=3tan β－tan α1+tan αtan β．又tan α=12，解得tan β=3或tan β=1（舍去），于是sin β=槡31010．2）若DC =2a ，则易得2tan β=3tan （β－α），又tan α=12，得tan 2β－tan β+32=0，从而Δ=1－4ˑ32＜0，无解．综上所述，sin ∠BAC =槡31010．图1图2点评先通过伸缩变换化归为有关圆的问题，就是这样一道题：如图4，过点A （0，－2）的直线l 与圆x 2+y 2=1相交于点P ，Q ，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．此时非常简单，由于S △OPQ =12OP ˑOQ ˑsin ∠POQ =12sin ∠POQ ，故当∠POQ =90ʎ时，（S △OPQ ）max =12．设直线l ：y =kx －2，则由∠POQ =90ʎ得d =槡22r ，解得k 槡=ʃ7，再从圆变换为椭圆．根据上面的性质1可得，变换后椭圆中的k'=ʃ槡72，故直线l 的方程为y =ʃ槡72x －2．6反思感悟利用伸缩变换将圆与椭圆进行互化，通过圆的问题产生椭圆的问题，将椭圆的问题化归为圆的问题来解决，这实际上正是关系映射反演方法的一个具体应用，其中的关系可用图5表示：图5·32·第4期陈芝飞：一个说题比赛的案例解法2（解析法）如图2建立直角坐标系，D 是BC 的三等分点．若DC =13BC ，则k AB =3k AD ，又cos ∠BAD =槡255，从而tan ∠BAD =12，由到角公式知tan ∠BAD =k AB －k AD1+k AB k AD，解得k AD =1或k AD =13，于是k AB =3或k AB =1（舍去）．若DC =23BC ，则2k AB =3k AD ，又cos ∠BAD =槡255，得tan ∠BAD =12，由到角公式知tan ∠BAD =k AB －k AD1+k AB k AD，无解．综上所述，sin ∠BAC =槡31010．解法3不妨假设BC =3a ，AC =1，D 是BC 的三等分点．若DC =13BC ，则AD =a 2槡+1，AB =9a 2槡+1，BD =2a．在△ABD 中，由余弦定理得AD 2+AB 2－2AD ·AB ·cos ∠BAD =BD 2，解得a =1或a =13（舍去），从而sin ∠BAC =槡31010．若DC =23BC ，则AD =4a 2槡+1，AB =9a 2槡+1，BD =a ，由余弦定理得AD 2+AB 2－2AD ·AB ·cos ∠BAD =BD 2，无解．综上所述，sin ∠BAC =槡31010．解法4（等面积法）不妨假设BC =3a ，AC =1，D 是BC 的三等分点．若DC =13BC ，则AD =a 2槡+1，AB =9a 2槡+1，BD =2a．又cos ∠BAD =槡255，则sin ∠BAD =槡55．在△ABD 中，由等面积法得12AD ·AB ·sin ∠BAD =12BD ·AC ，化简得9a 4－10a 2+1=0，解得a =1或a =13（舍去），从而sin ∠BAC =槡31010．若DC =23BC ，则AD =4a 2槡+1，AB =9a 2槡+1，BD =a ，由等面积法得12AD ·AB ·sin ∠BAD =12BD ·AC ，化简无解．此外，本题还有向量法、正弦定理法、构造直角三角形法等．2说背景及本质图3本题源于2013年浙江省数学高考理科试题第16题：如图3，在△ABC 中，∠C =90ʎ，M 是BC 的中点，若sin ∠BAM =13，则sin ∠BAC =．其本质是解三角形问题，即求三角形的3条边及3个角的问题．将中点改为一个三等分点后，情况变复杂了，sin ∠BAC 的值的个数也发生了变化．3说教学功能本题解法多样，是培养学生一题多解、训练和培养学生优秀思维品质的好题．既考查了学生数学思维的灵活性、发散性，也考查了学生数学思维的敏锐性与创新性．体现了浙江省客观题命制“起点低，入口宽，重通解，有内涵，能力立意，重视思想，讲究策略，小题不大做”的高考导向．既能帮助学生梳理关于解三角形问题的常用解法（如正弦、余弦定理法，向量法等），也能培养学生优化运算能力与渗透解方程思想（如解法3、解法4，先固定AC =1，化两元为一元，再分别用余弦定理、等面积法建立关于a 的一元方程求解），既能培养学生的转化化归能力（如解法1），也能培养学生发散思维与优化解题策略（如解法2，联想到直线斜率与倾斜角，解析法建系用到角公式解题等）．4拓展与延伸变式1（一解到多解）在△ABC 中，已知∠C =90ʎ，D 是BC 的一个三等分点．若cos ∠BAD =槡31010，求tan ∠BAC 的值．解设BC =3a ，AC =b ，∠BAD =α，∠BAC =·42·中学教研（数学）2015年β，因为∠C =90ʎ，所以α为锐角，又cos α=槡31010，从而tan α=13．由题意知D 是BC 的三等分点，可得：1）若DC =a ，则tan β=BC AC =3ab ，tan （β－α）=DC AC =a b，从而tan β=3tan （β－α）=3tan β－tan α1+tan αtan β．又tan α=13，解得tan β槡=3+6或tan β槡=3－6．2）若DC =2a ，则2tan β=3tan （β－α），又tan α=13，得2tan 2β－3tan β+3=0，从而Δ=9－4ˑ2ˑ3＜0，无解．综上所述，tan ∠BAC 槡=3+6或tan ∠BAC =槡3－6．延伸cos ∠BAD 的值将影响tan ∠BAC 的解的个数，为方便交流，将tan ∠BAD 记为m ，tan ∠BAC 记为n ，其中m ＞0，n ＞0，变式1也就是探讨m 对n 的解的个数的影响，用解析法易得：1）当BC =3DC 时，m =2n 3+n 2≤槡33．若m ＞槡33，n 无解；若m =槡33，n 有唯一解；若0＜m ＜槡33，n 有2个解．2）当BC =3DB 时，m =n 3+2n2≤槡612．若m ＞槡612，n 无解；若m =槡612，n 有唯一解；若0＜m ＜槡612，n有2个解．综合1），2）可得：当m ＞槡33时，n 无解；当m =槡33时，n 有唯一解；当槡612＜m ＜槡33时，n 有2个解；当m =槡612时，n 有3个解；当0＜m ＜槡612时，n 有4个解．变式2（定值到最值）在△ABC 中，已知∠C =90ʎ，D 是边BC 上的一个点（不含点B ，C ）．若CD =λBC ，求tan ∠BAD 的最大值．解设∠BAD =α，∠BAC =β．由于∠C =90ʎ，CD =λBC ，D 是边BC 上的一个点（不含点B ，C ），得tan β＞0，λ∈（0，1）．又由CD =λBC 得tan （β－α）=λtan β，即tan β－tan α1+tan βtan α=λtan β，化简得tan α=（1－λ）tan β1+λtan 2β，从而tan α=（1－λ）tan β1+λtan 2β≤1－λ2槡λ，当且仅当tan β=1槡λ时取到等号．综上所述，tan ∠BAD 的最大值为1－λ2槡λ．延伸本题也可以逆向设问改为求值问题：在△ABC 中，已知∠C =90ʎ，D 是边BC 上的一个点（不含点B ，C ）．若CD =λBC ，且tan ∠BAD 的最大值为槡24，求λ的值．（解略，答案为λ=12．）关于说题的功能，笔者认为：一是能提高教师的解题素养；二是能提高教师的教学素养．这2者都是为了学生更好地学．因此，说题具有教学功能．反思学生不喜欢数学，其中一个重要原因是我们不能有效地帮助学生开窍，从而失去了数学对于学生的教育功能．通过说题，至少需要解决以下5个问题：1）解答严密吗？有没有重复和遗漏？2）这道题还有没有其他解法？3）你会变式吗，甚至把这道题目变得面目全非？4）你会用类比的方法把这道题的结论进行推广吗？5）这道题是怎么构造出来的，它的背景是什么？这些问题分别从纵向研究挖掘思维的深度、横向联系培养思维的宽度、延伸拓展成就思维的高度．触及数学本质的教学更能激发学生的学习兴趣，才能实现“减负提质”的有效教学．参考文献［1］葛建华．让“研题”成为数学教师的解题习惯［J ］．中小学教学研究，2013（7）：55-57．［2］陆学政．数学教师更需培养研题意识与研题能力［J ］．中学数学，2010（5）：6-8．［3］陈柏良．中学数学教学中开展说题活动的实践与思考［J ］．数学教学通讯，2002（6）：20-22．·52·第4期陈芝飞：一个说题比赛的案例。

浙江省第二届高中数学说题比赛题目及解答【最新】

个人赛：1. 设集合1|),{(-≤=a b a M ，且}m b ≤，其中R m ∈.若任意M b a ∈),(，均有032≥--⋅a b a b ，求实数m 的最大值. 解法1：（纯代数解法）由题意得：0)32(≥--⋅b a b 对于1-≤∀a 恒成立.（这里看做a 的一次函数）于是有⎪⎩⎪⎨⎧≥--⋅-≤-0)32()1(032b bb，)32(32≤≤+⇒b b b （*）构造函数x x g x +=2)(，显然)(x g 在R 上单调递增，（*）式转化为)1()(g b g ≤，也就是1≤b 恒成立，所以1≤m ，即实数m 的最大值为1.解法2：（数形结合）由题意得：b a b ≥-⋅)32(，abb≤-⇒32对于1-≤∀a 恒成立.（再把b 看做x ）这里32-=x y 是不变的，而axy =是一条绕着原点旋转的直线，其斜率范围是)0,1[1-∈a，要使得axx ≤-32在),(m -∞上恒成立，也就是在),(m -∞上无论斜率怎样变化，都要满足直线在曲线上方，那么直线最“陡”时，满足题意即可，也就是当1-=a 时，不等式b b -≤-32恒成立. 以下同解法一.解法3：（用必要条件减少范围）由题意得：当1-=a 时，不等式032≥--⋅a b a b 也应成立，即32≤+b b，解得1≤b （过程同解法一），此时032<-b，从而有32-≤b b a 对于1-≤∀a 恒成立，也就是32max-≤b ba 恒成立，也就是132-≥-bb恒成立，即32≤+b b ，得1≤b . 所以1≤m ，即实数m 的最大值为1.32. 在非等腰直角ABC ∆中，已知︒=∠90C ，D 是BC 的一个三等分点，若552cos =∠BAD ，求BAC ∠sin 的值.解法1：由于点D 是BC 的三等分点，若点D 靠近点B ，则︒<∠30BAD ，即23cos >∠BAD ，又因为2352<，所以点D 靠近点C . 设α=∠BAD ，β=∠DAC ，设h AC x BC ==,3，则由题意可得21tan =α，h x h x 3)tan(,tan =+=βαβ，因为)t an(t an ββαα-+=，所以可得2)(31221hx h x+=，得到1=h x 或31=h x . 因为x h 3≠，所以x h =，所以10103sin =∠BAC . 综上所述，10103sin =∠BAC . 解法2（代数方法）：设b AC a BC ==,3，运用余弦定理可得，2cos 222BD AD AB BAD -+=∠，即2222222222222299292552a b a b a b a a b a b AD AB BD AD AB =⇒+⋅+-+++=⋅-+=或者22a b =. 因为a b 3≠，从而得到a b =，又因为2293cos a b a B +=，从而得到10103cos sin ==∠B BAC .EP 3. 如图，在矩形ABCD 中，E b a b BC a AB ),0,0(,>>==为边BC 的中点，设Q P ,分别是CD BC ,上的点，且满足PECPQC DQ =，连接AQ 与DP 交于点M ，求动点M 的轨迹方程，并指出它的形状.解法1：如图建系，设)1,0[∈==λCECPDC DQ 则x a b y l AQλ=:，x ab b y l dp 2:λ-=-两式相乘得2222)(x ab b y y -=- 化简得124)2(2222=+-ax b b y ，],32(),32,0[b b y a x ∈∈ a b 2=时，是圆的一部分，a b 2≠时，是椭圆的一部分，解法2:构造新长方形,取a b 2=，设)1,0[∈==λCECPDC DQ 则a DQ λ=,a CP λ22=此时DCCPAD DQ =,即DCP ADQ ∆∆≈ 即AQ DP ⊥,所以M 点轨迹为以AD 为直径的圆弧2)22(222a a y x =-+，]2,322(),32,0[a a y a x ∈∈ 当a b 2≠时，则原题可看作新模型的纵方向上的伸缩变换，即y 乘以b a 2即可，得到2)222(222a a yb a x =-+化简得124)2(2222=+-a x b b y ，圆经过纵向伸缩之后得到的自然是椭圆。

万能高中数学说题一题多解,多题归一

1、选题为解三角形题，是历年高考的必考点。一题为2022年全国甲卷第16题，二题为2020年新课标2卷理科第17题
2、解三角形在高考中主要以简单、基础题出现，考察内容与三角函数、向量、均值不等式结合的较多。题型设置主要是一道选择题加一道解答题，难度以简单基础为主。因此，高考中是学生必须拿下的一块阵地，也是学生学习、考试由浅入深的关口。
一题多解，多题归一
各位老师，您们好：我今天要说的题目是:
一、已知
中，点D在边BC上，
二、△ABC中，sin²A- sin²B- sin²C =sinBsinC. （1）求A; （2）若BC=3，求△ABC周长的最大值。
．当取得最小值时，
________．
1
2
3
题目背景解题思路变式迁移
一、题目背景
3、考察学生代数推导、数学运算、解题优化的思想和能力。
二、解题思路
一．填空题【2022年全国甲卷】已知
中，点D在边BC上，
．当
取得最小值时，
________．
【分析】利用余弦定理表示出
后，结合均值不等式即可得解.
【解】设
，则在
中，
，在，所以
中，
，当且仅当
即
时，等号成立，所以当
取最小值时，
二、解答题【2020年新课标2卷理科】
四、反思
1、在日常教学中，通过不断的变式，运用数学转化的思想，加深对题意的理解，让学生在充分的交流与合作中加深对问题的认识。
2、引导他们探索数学问题的解题方法，做一题，通一类，会一片。更重要的是可以提高学生的化归迁移的思维能力和思维灵活性。引领学生善于思考，提高他们分析问题和解决问题，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．

说题_说的并不全是题_杨威

说题,说的并不全是题浙江省宁波市镇海中学　杨　威 (邮编:315200) 2010年11月24日,浙江省“新课程背景下高中数学教师教学能力评比”活动在浙江金华举行.其中最引人注目的,就是首次进行了说题比赛.而且2010年宁波市职评中也首次改教师说课为教师说题,那么到底什么是说题呢?教师说题说什么呢?下面笔者以宁波市镇海区说题比赛的一题举例说明.1　说题案例题目　(2008浙江卷9)已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c满足(a-c)·(b-c)=0,求|c|的最大值.(黑体小写字母表示向量)本文将从下面六个方面来进行说题:(1)剖析全题,说清题目要素此题主要考察向量的模,数量积的概念、运算及其几何意义,涉及到三个向量一个垂直关系,且两个向量大小方向均已知,并通过数量积的形式呈现出和第三个向量c之间的关系.但如何由等量关系向不等关系转化,是本题的关键.(2)形成思路,说清解题方法由于向量是具有大小和方向的二维的量,因此对于向量问题的处理,可以从代数和几何两个角度来着手,而代数方面,又可以从向量的数量积运算和坐标运算两个角度出发.解法一:(代数法)将(a-c)·(b-c)=0展开,a·b-(a+b)·c+c2=0,代入a·b=0,得c2-(a+b)·c=0,即c2=|a+b|·|c|·cos(a+b,c),c=|a+b|cos(a+b,c)=2co s(a+b,c)≤2.故|c|的最大值为2.当且仅当c和a+b同向时,cos(a+b,c)=1,|c|=2.此解法主要是利用数量积的定义以及三角函数的有界性.解法二　(坐标法)设a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y),(a-c)·(b-c)=(x-1,y)·(x,y-1)=0,化简得:x-122+y-122=12.|c|表示以12,12为圆心,半径为22上的点到原点的距离,故|c|的最大值为2.此解法主要运用了平面向量的坐标表示,结合向量的模的意义求解.解法三　(几何法)设OA=a,OB=b,O C=c,由(a-c)·(b-c)=0得C的轨迹是以AB为直径的圆,所以当AB⊥O C(即C′位置)时,|c|最大为2.向量是联系代数与几何关系,它可以使图形量化,使图形间关系代数化,使我们从复杂的图形分析中解脱出来,只需要研究这些图形间存在的向量关系,就可以得出精确的最终结论.此解法就是主要运用平面向量的几何表示,巧妙地结合向量的几何意义,运用数形结合的思想,较直观的解决问题.(3)解后反思,说清教法学法以上三种解法是解决向量问题的三种常见解法,分别从代数、几何、坐标运算的角度解决了问题.平面向量是数学中的一个重要概念,它是沟通代数、三角、几何等内容的桥梁之一.利用向量解决一些数学问题,将大大简化解题的步骤,使学生多掌握一种行之有效的数学工具.学生对于向量问题的思考,往往不能很全面,这就要求教师在平时的教学过程中,不仅要强化基本知识基本方法的运用,还应该更加重视对本质的理解,这也是新课程的要求.本题中解法一的代数法是常见的方法,也是考察向量问题的常见形式,学生对于这种解法相对比较熟悉,也能理解掌握;解法二的坐标法有一定的局限性,平面向量的坐标表示需要建立平面直角坐标系,学生比较喜欢这种解法,尤其是在空间直角坐标系学习了以后,用向量法结合空间直角坐标系解决立体几何问题,但是在建立坐标系的时候,往往不能92011年第3期中学数学教学深入思考,如何建立合适的坐标系以简化计算;解法三的几何法主要从平面向量的数量积为0的角度出发,将以几何形态为背景的向量的数量积问题转化为两个非零向量互相垂直,将抽象问题直观化,复杂问题简单化,充分利用数形结合的数学思想方法,从而给我们解题带来简便,这种方法对学生而言相对要求比较高,入手较不易,学生往往有一种畏惧之感,平时教学中,只能通过强调多思,强调本质之间的联系逐渐提高.这三种方法在平时教学中都要出现,为了学生能更好的学习向量,都要求学生能从这三方面去审视向量问题.学生在学习向量的过程中,也要求学生能从多角度去思考问题,强化本质的理解.(4)追本溯源,说清题目来源“问渠那得清如许,为有源头活水来.”新课程强调对数学问题本质的理解,对于任何一个以几何形态为背景的平面向量问题,只有抓住了几何问题的本质,在做题的过程中,才会游刃有余.对本题而言,其实考察的就是定点到定圆上的点的距离问题.在学习圆的知识中,这个问题是比较简单的,当AB长为定值时,满足CA⊥CB的C 的点的轨迹就是以AB为直径的圆,求C到定点O的距离.现在以平面向量的形式呈现出来,感觉背景新颖,给人耳目一新的感觉.在解题的过程中不仅能贯彻化归思想,数形结合的思想,提高运算求解的能力,还能开拓学生视野,启迪学生思维.(5)衍生拓展,说清题目变式以几何问题为背景,考察平面向量的概念、运算、几何意义,是这几年高考的一个热点问题.有的直接以向量形式出现,有的就是几何问题,需要学生自己引进向量,例如:(2010年浙江卷理16)已知平面向量α,β(α≠0,α≠β)满足|β|=1,且α与β-α的夹角为120°,求|α|的取值范围.又如(2008年江苏卷)若AB=2,AC=2BC,求S■ABC的最大值.这些问题转化后都属于三角形一边为定长,另外的两边满足另一个条件,求最值的问题.这都要求学生站在比较高的位置上来重新审视向量,要求教师在平时的教学过程中,要多角度多视角的引导学生.(6)总结归纳,说清思维启迪本题通过一题多解、一题多变的研究,揭示了平面向量在代数问题中的应用本质,突显了“数形结合”及“等价转化”的数学思想方法.向量本身就是一个数形结合的产物,它兼具代数的抽象、严谨和几何的直观特点.因此,向量问题的解决,从理论上来说总是会有两个途径,即基于几何表示的几何法,以及基于坐标表示的代数法.在具体做题时,要善于灵活运用.2　什么是说题,说题说什么什么是说题活动?“说题”活动应该主要从说题目的背景、说题目的解法、说题目对思维培养方面的作用等几个主要方面进行分析.说题活动的目的是要求通过说题,能深刻剖析题目的类型、特点、涉及的知识点、思想方法,全面认识题目的来源和背景,更能准确的认识解题规律、解法的优化、题目的变式和推广和解题反思,最重要的是,能从中把握分析学生的认识能力和知识水平,预测学生将会碰到的思路障碍及障碍的形成原因和解决策略,做到教学相长,做到习题教学的精讲精练,优化教师的教学活动.这是进行说题活动的根本落脚点.说题的基本思路是,应用说课的理念,对题目进行解说.一般来说,对于给定的一道题目,请说题者从题目的背景及题目涉及的知识与方法;题目的完整性、严密性;解法的多样性、优劣性;题目变化的多样性、实用性、优劣性;教学方法及学习方法的的选择性、指导性;学生易错点剖析;题目规律总结及试题点评等方面,选择一种或数种进行研究.同说课一样,不求面面俱到,但求说出内涵、说出思想、说出亮点.3　说题应注意的问题说题活动的目的是:通过面向教师同行的“说”,带动全体教师的“思”,实现更好的“教”.为了使全体教师通过说题活动,都能有所心得、有所发展、有所提高,实施时必须注意:首先,作为一种教研活动,或者考察教师基本功的一个载体,说题的对象应该是教师,而不是学生,也就是说说题并不是简单的讲题.因此在说题的过程中应该尽量的简练,比如在说解法时,要重点突出为什么会这样分析,为什么要这样解,而其中关于计算等解题过程可以省略.其次,说题过程要循序渐进.说题过程的关键是搞清楚说题的目的、要求,明确说题在实践中的具体意义和在整10中学数学教学2011年第3期“一时疏忽”倒成了一种资源———一道选择题变为填空题之后的意外收获江苏省无锡市立人高中数学名师工作室　周德明　朱　翠 (邮编:214161) 课堂教学,需要教师精心的预设,但一时疏忽偶尔也会出现在教学过程中.如果能抓住机遇,恰当引导,用好用足由于疏忽所带来的新情境、新问题,也可能催生出一个鲜活的资源,为创设智慧、高效的数学课堂带来可能.下面结合笔者在一次复习课上的“一时疏忽”,谈一些认识和体会:1　问题起因在高二第一学期期末考试前复习阶段(苏教版必修2及选修2—1部分),我为了让学生尽早走近高考、感受真题,随意将2010年重庆高考数学卷(文科)第9题用作示例.原题:到两互相垂直的异面直线的距离相等的点A .只有1个B .恰有3个C .恰有4个D .有无穷多个因江苏高考不设选择题,只有填空、解答两种题型,于是给出:到两互相垂直的异面直线的距离相等的点有个.因疏忽了题型的变化,使得本该非常简单的一道小题,答案却变得扑朔迷离.2　课堂片段图1生1:两异面直线公垂线段的中点,有1个.生2:(构造图形)如图1,在正方体中,AB 与CC 1异面垂直,BC 中点E 和点D 到AB 与CC 1距离相等,有2个. 不少同学:在正方体中,B 1到AB 与CC 1距离也相等,有3个;生3:有4个,因为A 1D 1的中点F 到AB 与CC 1距离也相等.(对称性)(课堂气氛活跃起来,还有同学说出A 1、D 1等,但马上又否定了,平时很少发言的同学也很积极)生4:如图2,在正四面体ABCD 中,AD 与B C 异面垂直,此时AB 、BD 、AC 、CD 中点到AD 与B C 的距离均相等.4个.(掌声一片,大家都向他投以赞许的目光)3　问题暴露“有5个!”一位同学(生5)突然叫了一下.根据正方体、正四面体对称性,外接球的球心到各棱距离相等.图2师:妙!有5个点对吗?还有没有同学要加“码”了?(仿佛宝物拍卖一样,很热闹,同学们被逗笑了.)(此时的我也毫无准备,怎么办?还是把球踢给学生吧!至少给自己留出一点思考的时间,当时的我偷看了一下参考答案,否定A ,B ,C 故选D 无穷多个,呆了!选择题可以用排除法,填空题这样解释实在是骗不了我们的高中生!疏忽啊,怎么选了这么一道题,就在我不知所措时……)4　绝处逢生生6:无穷多个.在正方体的底面AB CD 内,个学习过程中的作用,以获得或探讨教学中存在的问题,尤其是那些学生难听懂、难理解、难掌握,教师难讲清的问题.再次,说题过后要让有经验的名教师点评,适当总结,做到示范适中、点拨适时、启发适当、评价适度,切忌一蹴而就.最后,作为说题者,在说题结束后也要进行适当总结反思,为自己逐渐成长夯实基础.(收稿日期:2011-03-20)112011年第3期中学数学教学。

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