2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习：第四章 第二节 三角函数的图象与性质 Word版含解析

一、填空题
1．函数y ＝|sin x |的最小正周期为________．
解析：由图象知T ＝π.
答案：π
2．函数y ＝lg(sin x －cos x )的定义域为________．
解析：由已知得sin x －cos x >0，即sin x >cos x .
在[0,2π]内满足sin x >cos x 的x 的集合为(π4，54π)．
又正弦、余弦函数的周期为2π，
∴所求定义域为{x |π4＋2k π<x <54π＋2k π，k ∈Z}．
答案：{x |π4＋2k π<x <54π＋2k π，k ∈Z}
3．函数y ＝sin x (－π4≤x ≤3π4)的值域是________．
答案：[－22，1]
4．函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间[π4，π2]上的最大值是________．
解析：f (x )＝1－cos 2x 2＋32sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin(2x －π6)＋12， ∵π4≤x ≤π2，∴π3≤2x －π6≤56
π. 从而可得f (x )max ＝1＋12＝32. 答案：32
5．M ，N 是曲线y ＝πsin x 与曲线y ＝πcos x 的两个不同的交点，则|MN |的最小值为________．
解析：当|MN |最小时，点M ，N 必为两曲线的相邻的两个交点，所以可设为M (π4，2π2)，N (5π4，－2π2)，根据两点间距离公式得|MN |＝
π2＋(2π)2＝3π.
答案：3π
6．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，
且当x ∈[0，π2]时，f (x )＝sin x ，则f (5π3)的值为________．
解析：f (5π3)＝f (－π3)＝f (π3)＝sin π3＝32.
答案：32
7．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离π则f (x )的单调递增区间是________．
解析：f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π6)(ω>0)．
∵f (x )图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，恰好是f (x )的一个周期， ∴2πω＝π，ω＝2.
f (x )＝2sin(2x ＋π6)．
故其单调增区间应满足2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)．k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z)．
答案：[k π－π3，k π＋π6]，k ∈Z
8．已知函数f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω>0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全
相同，若x ∈[0，π2]，则f (x )的取值范围是________．
解析：由3sin(ωx －π6)＝0，得ωx ＝k π＋π6(k ∈Z)， ∴x ＝k πω＋π6ω，
即对称中心为(k πω＋π6ω，0)(k ∈Z)．
由3cos(2x ＋φ)＝0得2x ＝k π＋π2－φ(k ∈Z)，
∴x ＝k π2＋π4－φ2，
即对称中心为(k π2＋π4－φ2，0)(k ∈Z)．
∴k πω＝k π2得ω＝2，故f (x )＝3sin(2x －π6)，
∵x ∈[0，π2]，∴－12≤sin(2x －π6)≤1，
故－32≤f (x )≤3.
答案：[－32
，3] 9．某学生对函数f (x )＝2x ·cos x 的性质进行研究，得出如下的结论： ①函数f (x )在[－π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减；
②点(π2，0)是函数y ＝f (x )图象的一个对称中心；
③函数y ＝f (x )图象关于直线x ＝π对称；
④存在常数M >0，使|f (x )|≤M |x |对一切实数x 均成立．
其中正确的结论是________．(填写所有你认为正确的结论序号)
解析：对于①，f (－2π3)＝2π3>－π3＝f (－π3)，不正确；
对于②，f (0)＝0，f (π)＝－2π，不正确；
对于③，f (0)＝0，f (2π)＝4π，不正确．
答案：④
二、解答题
10．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，x ∈R.
(1)求f (π12)的值；
(2)试写出一个函数g (x )，使得g (x )f (x )＝cos 2x ，并求g (x )的单调区间．
解析：(1)因为f (x )＝2sin(x ＋π4)，
所以f(π
12)＝2sin(π
12＋π4)
＝2sin π
3＝
6
2.
(2)g(x)＝cos x－sin x.
理由如下：
因为g(x)f(x)＝(cos x－sin x)(sin x＋cos x)＝cos2x－sin2x＝cos 2x，所以g(x)＝cos x－sin x符合要求．
又g(x)＝cos x－sin x＝2cos(x＋π4)，
由2kπ＋π<x＋π
4<2kπ＋2π，
得2kπ＋3π
4<x<2kπ＋
7π
4，k∈Z.
所以g(x)的单调递增区间为
(2kπ＋3π
4，2kπ＋
7π
4)，k∈Z.
由2kπ<x＋π
4<2kπ＋π，
得2kπ－π
4<x<2kπ＋
3π
4，k∈Z.
所以g(x)的单调递减区间为
(2kπ－π
4，2kπ＋
3π
4)，k∈Z.
11．已知函数f(x)＝2cos(2x＋π4)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若x∈[0，π
2]，求f(x)的最大值和最小值．
解析：(1)f(x)＝2cos(2x＋π4)，
∴最小正周期为T ＝2π2＝π.
(2)由(1)知f (x )＝2cos(2x ＋π4)．
又x ∈[0，π2]，
∴2x ＋π4∈[π4，5π4]．
∴cos(2x ＋π4)∈[－1，22]．
∴f (x )∈[－2，1]．
故f (x )max ＝1，f (x )min ＝－ 2.
12．函数f (x )＝cos x ＋2|cos x |在[0,2π]上与直线y ＝m 有且仅有2个交点，求m 的取值范围．
解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3cos x x ∈[0，π2]∪[32π，2π]
－cos x x ∈(π2，32π)
，
如图：
由图可知：当m ＝0或1<m ≤3时，直线y ＝m 与f (x )的图象有且仅有2个交点．。