聚类分析与判别分析
聚类分析与判别分析区别
表示
：
ｃｏｓ
!
ｉｊ
＝
ｐ
ａ
＝
１
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ｘ
ｉａ
ｘ
ｊａ
ｐ
ａ
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ｘ
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・
ｐ
ａ
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１
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２
"
ｉａ
ｊａ
１
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ｃｏｓ
!
ｉｊ
≤
１
当
ｃｏｓ
!
ｉｊ
＝１
，
说明两个样品
ｘ
ｉ
与
ｘ
ｊ
完全相似
；
ｃｏｓ
!
ｉｊ
接
近
１
，
说
明
两
个
样
品
ｘ
ｉ
与
ｘ
ｊ
相
似
密
切
；
ｃｏｓ
!
ｉｊ
＝０
，
说明
ｘ
ｉ
与
ｘ
ｊ
完全不一样
；
ｃｏｓ
!
ｉｊ
接近
０
，
说
明
ｘ
ｉ
与
ｘ
ｊ
差别大。把所有两两样品的相似系数都
通过聚类分析可以达到简化数据的目的
，
将
众多的样品先聚集成比较好处理的几个类别或子
集
，
然后再进行后续的多元分析。
比如在回归分析
中
，
有时不对原始数据进行拟合
，
而是对这些子集
的中心作拟合
，
可能会更有意义。又比如
，
为了研
究不同消费者群体的消费行为特征
，
「聚类分析与判别分析」
「聚类分析与判别分析」聚类分析和判别分析是数据挖掘和统计学中常用的两种分析方法。
聚类分析是一种无监督学习方法，通过对数据进行聚类，将相似的样本归为一类，不同的样本归入不同的类别。
判别分析是一种有监督学习方法，通过学习已知类别的样本，构建分类模型，然后应用模型对未知样本进行分类预测。
本文将对聚类分析和判别分析进行详细介绍。
聚类分析是一种数据探索技术，其目标是在没有任何先验知识的情况下，将相似的样本聚集在一起，形成互相区别较大的样本群。
聚类算法根据样本的特征，将样本分为若干个簇。
常见的聚类算法有层次聚类、k-means聚类和密度聚类。
层次聚类是一种自下而上或自上而下的层次聚合方法，通过测量样本间的距离或相似性，不断合并或分裂簇，最终形成一个聚类树状结构。
k-means聚类将样本划分为k个簇，通过优化目标函数最小化每个样本点与其所在簇中心点的距离来确定簇中心。
密度聚类基于样本点的密度来判断是否属于同一簇，通过划定一个密度阈值来确定簇的分界。
聚类分析在很多领域中都有广泛的应用，例如市场分割、医学研究和社交网络分析。
在市场分割中，聚类分析可以将消费者按照其购买行为和偏好进行分组，有助于企业制定更精准的营销策略。
在医学研究中，聚类分析可以将不同患者分为不同的亚型，有助于个性化的治疗和药物开发。
在社交网络分析中，聚类分析可以将用户按照其兴趣和行为进行分组，有助于推荐系统和社交媒体分析。
相比之下，判别分析是一种有监督学习方法，其目标是通过学习已知类别的样本，构建分类模型，然后应用模型对未知样本进行分类预测。
判别分析的目标是找到一个决策边界，使得同一类别内的样本尽可能接近，不同类别之间的样本尽可能远离。
常见的判别分析算法有线性判别分析（LDA）和逻辑回归（Logistic Regression）。
LDA是一种经典的线性分类方法，它通过对数据进行投影，使得同类样本在投影空间中的方差最小，不同类样本的中心距离最大。
逻辑回归是一种常用的分类算法，通过构建一个概率模型，将未知样本划分为不同的类别。
判别分析与聚类分析的基本原理
判别分析与聚类分析的基本原理数据分析是在如今信息时代中，越来越重要的一项技能。
在数据分析的过程中，判别分析和聚类分析是两个非常重要的方法。
本文将介绍判别分析和聚类分析的基本原理，以及它们在数据分析中的应用。
一、判别分析的基本原理判别分析是一种用于分类问题的统计方法，其目的是通过学习已知类别的样本数据，来构建一个分类器，从而对未知样本进行分类。
判别分析的基本原理可以简单概括为以下几个步骤：1. 数据预处理：首先需要对数据进行预处理，包括数据清洗、缺失值处理、特征选择等，以获得更好的数据质量。
2. 特征提取：在进行判别分析之前，需要将原始数据转化为有效的特征。
特征提取的方法有很多种，常用的包括主成分分析、线性判别分析等。
3. 训练分类器：利用判别分析算法对已知类别的样本数据进行训练，建立分类模型。
常用的判别分析方法有线性判别分析、二次判别分析等。
4. 分类预测：通过训练好的分类器，对未知样本进行分类预测。
分类预测的结果可以是离散的类标签，也可以是概率值。
判别分析广泛应用于医学、金融、市场营销等领域。
例如，在医学领域，可以利用判别分析来预测疾病的状态，辅助医生做出诊断决策。
二、聚类分析的基本原理聚类分析是一种无监督学习方法，其目的是将相似的数据对象分组，使得同一组内的对象相似度较高，不同组间的相似度较低。
聚类分析的基本原理可以概括为以下几个步骤：1. 选择相似性度量：首先需要选择一个合适的相似性度量，用于评估数据对象之间的相似程度。
常用的相似性度量包括欧氏距离、曼哈顿距离等。
2. 选择聚类算法：根据具体的问题需求，选择合适的聚类算法。
常用的聚类算法有K-means、层次聚类等。
3. 确定聚类数目：根据实际问题，确定聚类的数目。
有些情况下，聚类数目事先是已知的，有些情况下需要通过评价指标进行确定。
4. 根据聚类结果进行分析：将数据对象划分到各个聚类中，并对聚类结果进行可视化和解释。
聚类分析被广泛应用于市场分析、图像处理、社交网络等领域。
聚类分析及判别分析
聚类分析及判别分析文献综述在科学研究中，人们通过划分同种属性的对象而很好的解决问题，即研究者都在基于一个多维剖面的观测中寻找某种“自然”结构。
聚类分析就是将个体或对象分类，其目的在于是类间对象的同质性最大化和类与类间对象的异质性最大化。
首先在林业资源调查中常用到聚类方法，尤其是苗木质量分级。
查阅相关文献得知，该过程以地径为主要指标，主要步骤是先以地径的数值,从最大值向小排序, 使之成为有序样品,再采用最短距离法将样品间绝对距离最小的苗木,首先合并成新类,并计算新类的重心及各类的距离。
然后把距离最小的聚成类，最后把全部样品聚成三大类,再按平均高径比值得出苗高的分级界值, 即得苗高、地径各级苗木分级标准。
以往苗木质量一般按照“概率的正态分布”进行分级，而根据“聚类法”进行苗木分级, 以个体为依据, 逐步归纳成类, 则能较好地反映苗木分级的实际水平。
其次，在以某14个物种性状为指标,对西藏各地(市) 搜集而来的27 份野生芥菜型油菜进行了聚类分析一文中，研究将数据标准化处理,采用卡方距离、离差平方和聚类方法对27份西藏野生芥菜型油菜的14个主要考种性状进行聚类,聚类结果与田间调查情况基本一致,表明该聚类方法对其的综合分类是科学可靠的。
它不仅具有简便易行,结果一目了然的优点,而且可对油菜综合性状作出定量的评价分析,不存在人为的主观分类现象,弥补了常规分析方法的单纯性。
同样广泛应用的判别分析法是多元统计分析的一个重要分枝，当解释变量是属性变量而解释变量是度变量时，判别分析就是合适的度量方法。
判别分析法是在已掌握二组或数组有明确分类(如茶树品种的抗寒、不抗寒；高、中、低产)数据(称为训练样本)的基础上，经计算处理后产生二个或数个判别函数。
经由训练样本的各项指标的观察值回代判别函数中，做出类别归属的判断并求出误判或正确判定的百分率的一种多元分析方法。
实际应用时，可将未知样的观察值代入判别函数中，即可预知其归属。
聚类分析与判别分析
第一节聚类分析统计思想一、聚类分析的基本思想1．什么是聚类分析俗语说，物以类聚、人以群分。
当有一个分类指标时，分类比较容易。
但是当有多个指标，要进行分类就不是很容易了。
比如，要想把中国的县分成若干类，可以按照自然条件来分：考虑降水、土地、日照、湿度等各方面；也可以考虑收入、教育水准、医疗条件、基础设施等指标；对于多指标分类，由于不同的指标项对重要程度或依赖关系是相互不同的，所以也不能用平均的方法，因为这样会忽视相对重要程度的问题。
所以需要进行多元分类，即聚类分析。
最早的聚类分析是由考古学家在对考古分类中研究中发展起来的，同时又应用于昆虫的分类中，此后又广泛地应用在天气、生物等方面。
对于一个数据，人们既可以对变量（指标）进行分类(相当于对数据中的列分类)，也可以对观测值（事件，样品）来分类（相当于对数据中的行分类）。
2．R型聚类和Q型聚类对变量的聚类称为R型聚类，而对观测值聚类称为Q型聚类。
这两种聚类在数学上是对称的，没有什么不同。
聚类分析就是要找出具有相近程度的点或类聚为一类；如何衡量这个“相近程度”？就是要根据“距离”来确定。
这里的距离含义很广，凡是满足4个条件（后面讲）的都是距离，如欧氏距离、马氏距离…，相似系数也可看作为距离。
二、如何度量距离的远近：统计距离和相似系数1．统计距离距离有点间距离好和类间距离2．常用距离统计距离有多种，常用的是明氏距离。
3．相似系数当对个指标变量进行聚类时，用相似系数来衡量变量间的关联程度，一般地称为变量和间的相似系数。
常用的相似系数有夹角余弦、相关系数等。
夹角余弦：相关系数：对于分类变量的研究对象的相似性测度，一般称为关联测度。
第二节如何进行聚类分析一、系统聚类1．系统聚类的基本步骤2．最短距离法3．最长距离法4．重心法和类平均法5．离差平方和法二、SPSS中的聚类分析1、事先要确定分多少类：K均值聚类法；2、事先不用确定分多少类：分层聚类；分层聚类由两种方法：分解法和凝聚法。
聚类和判别分析
市场细分
在市场营销中，判别分析可用于 识别消费者群体的特征和行为模 式，以便进行更有效的市场细分 和定位。
04
判别分析算法
线性判别分析（LDA）
01
基本思想：通过找到一个投影方向，使得同类样本在该方 向上投影后尽可能接近，不同类样本在该方向上投影后尽 可能远离。
02
算法步骤
03
1. 计算各类样本均值。
04
2. 计算类间散度矩阵和类内散度矩阵。
05
3. 计算投影方向，使得类间散度矩阵最大，类内散度矩 阵最小。
06
4. 将样本投影到该方向上，得到判别结果。
支持向量机（SVM）
算法步骤
2. 计算支持向量所构成的法向量 。
基本思想：通过找到一个超平面 ，使得该超平面能够将不同类样 本尽可能分开，同时使得离超平 面最近的样本距离尽可能远。
目的
聚类分析的目的是揭示数据集中的内在结构，帮助我们更好地理解数据的分布 和特征，为进一步的数据分析和挖掘提供基础。
聚类方法分类
01
基于距离的聚类
根据对象之间的距离进行聚类，常见的算法有K-means 、层次聚类等。
02
基于密度的聚类
根据数据点的密度进行聚类，将密度较高的区域划分为 一类，常见的算法有DBSCAN、OPTICS等。
聚类和判别分析
目录
• 聚类分析概述 • 聚类分析算法 • 判别分析概述 • 判别分析算法 • 聚类与判别分析的比较与选择
01
聚类分析概述
定义与目的
定义
聚类分析是一种无监督学习方法，旨在将数据集中的对象按照它们的相似性或 差异性进行分组，使得同一组内的对象尽可能相似，不同组之间的对象尽可能 不同。
聚类分析和判别分析
垂直冰柱图
树状图是将实 际的距离按比 例调整到0-25 例调整到 的范围内, 的范围内,用 逐级连线的方 式连线距离相 近的样品和新 类,直至成为 一大类. 一大类.
判别分析
判别分析也是一种常用比较常用的分 类分析方法, 类分析方法,它先根据已知类别的事物 的性质(自变量) 建立函数式( 的性质(自变量),建立函数式(自变量的 线性组合,即判别函数) 线性组合,即判别函数),然后对未知类 别的新事物进行判断以将之归入已知的 类别中. 类别中.
1,快速聚类 快速聚类也称为逐步聚类, 快速聚类也称为逐步聚类,它先 对数据进行初始分类, 对数据进行初始分类,然后系统采用标 准迭代算法进行运算,逐步调整, 准迭代算法进行运算,逐步调整,把所 有的个案归并在不同的类中, 有的个案归并在不同的类中,得到最终 分类.它适用于大容量样本的情形. 分类.它适用于大容量样本的情形.
利用快速聚类分析对20家上市公司进行分类. 20家上市公司进行分类 例1:利用快速聚类分析对20家上市公司进行分类.
SPSS实现 SPSS实现 (1)打开文件 打开文件: (1)打开文件:上市 公司.sav .sav. 公司.sav. (2)点击 分析/ 点击" (2)点击"分析/分 /K类/K-均值聚 类". (3)选择变量 选择变量, (3)选择变量, 个案标记依据, 个案标记依据, 分类类别数. 分类类别数. (如图对话框中 2表示把所有个 案分为两类) 案分为两类)
聚类分析主要解决的问题: 聚类分析主要解决的问题:所研究的对 象事前不知道应该分为几类, 象事前不知道应该分为几类,更不知道分类 情况, 情况,需要建立一种分类方法来确定合理的 分类数目,并按相似程度, 分类数目,并按相似程度,相近程度对所有 对象进行具体分类. 对象进行具体分类. 基本思路:在样本之间定义距离, 基本思路:在样本之间定义距离,在指 标之间定义相关系数,按距离的远近, 标之间定义相关系数,按距离的远近,相似 系数的大小对样本或指标进行归类. 系数的大小对样本或指标进行归类. SPSS实现 实现: 分析/分类"命令. SPSS实现:"分析/分类"命令. 常用的有快速( K-均值)聚类分析, 常用的有快速( K-均值)聚类分析,系统聚 类分析. 类分析.
判别分析与聚类分析
判别分析与聚类分析判别分析与聚类分析是数据分析领域中常用的两种分析方法。
它们都在大量数据的基础上通过统计方法进行数据分类和归纳，从而帮助分析师或决策者提取有用信息并作出相应决策。
一、判别分析：判别分析是一种有监督学习的方法，常用于分类问题。
它通过寻找最佳的分类边界，将不同类别的样本数据分开。
判别分析可以帮助我们理解和解释不同变量之间的关系，并利用这些关系进行预测和决策。
判别分析的基本原理是根据已知分类的数据样本，建立一个判别函数，用来判断未知样本属于哪个分类。
常见的判别分析方法包括线性判别分析（LDA）和二次判别分析（QDA）。
线性判别分析假设各类别样本的协方差矩阵相同，而二次判别分析则放宽了这个假设。
判别分析的应用广泛，比如在医学领域可以通过患者的各种特征数据（如生理指标、疾病症状等）来预测患者是否患有某种疾病；在金融领域可以用来判断客户是否会违约等。
二、聚类分析：聚类分析是一种无监督学习的方法，常用于对数据进行分类和归纳。
相对于判别分析，聚类分析不需要预先知道样本的分类，而是根据数据之间的相似性进行聚类。
聚类分析的基本思想是将具有相似特征的个体归为一类，不同类别之间的个体则具有明显的差异。
聚类分析可以帮助我们发现数据中的潜在结构，识别相似的群组，并进一步进行深入分析。
常见的聚类分析方法包括层次聚类分析（HCA）和k-means聚类分析等。
层次聚类分析基于样本间的相似性，通过逐步合并或分割样本来构建聚类树。
而k-means聚类分析则是通过设定k个初始聚类中心，迭代更新样本的分类，直至达到最优状态。
聚类分析在市场细分、社交网络分析、图像处理等领域具有广泛应用。
例如，可以将客户按照他们的消费喜好进行分组，以便为不同群体提供有针对性的营销活动。
总结：判别分析和聚类分析是两种常用的数据分析方法。
判别分析适用于已知分类的问题，通过建立判别函数对未知样本进行分类；聚类分析适用于未知分类的问题，通过数据的相似性进行样本聚类。
判别分析与聚类分析方法
⎪⎩∞
如果G P 和Gq 是近邻 否则
聚类方法比较
综合特性最好的聚类方法为类平均法或Ward 最小方差法，而最差的则为最短距离法。 Ward最小方差法倾向于寻找观察数相同的类。 类平均法偏向寻找等方差的类。 拉长的或无规则的类使用最短距离法比其他 方法好。 非参数问题的聚类方法为密度估计法。
5
类的统计量
3
修改后的程序
data newiris;/*测试新数据*/
input sepallen sepalwid petallen petalwid @@;
cards;
56 30 41 13
51 35 14 23
67 25 18 15
run;
proc discrim data=iris pool=test outstat=plotiris testdata=newiris testout=plotp;
样品聚类法2：动态(快速)聚类法
K-means cluster ①选择若干个观察作为“凝聚点”或称类的中心点，作
proc candisc <选项列表>； class 变量； by 变量表； freq 变量； var 变量表； weight 变量； run；
candisc选项
out=数据集名——生成一个包含原始数据和 典型变量得分的SAS数据集。 ncan＝——指定将被计算的典型变量的个数。
实例分析
Fisher鸢尾花（Iris）数据 修改后的程序chap8_01B
∑ ( ) k exp i =1
−
0.5Di2
( x, Gi
)
广义平方距离
Di2 (x)
=
d
2 i
(
x)
聚类和判别分析课件
图像处理
对图像进行分类和标注。
生物信息学
对基因表达数据进行分类和功 能注释。
市场细分
将消费者按照购买行为和偏好 进行分类。
01
聚类分析算法
K-means算法
一种常见的无监督学习方法，通过迭代将数据划分为K个集群，使得每个数据点与其所在集群的中心点之间的平方距离之和最 小。
K-means算法首先随机选择K个数据点作为初始的集群中心，然后根据数据点到每个集群中心的距离，将每个数据点分配给 最近的集群中心，形成K个集群。接着，算法重新计算每个集群的中心点，并重复上述过程，直到集群中心点不再发生明显变 化或达到预设的迭代次数。
总结词
一种经典的线性分类算法，通过投影将高维数据降维到低维空间，使得同类数据 尽可能接近，不同类数据尽可能远离。
详细描述
LDA通过最小化类内散度矩阵和最大化类间散度矩阵来找到最佳投影方向。它假 设数据服从高斯分布，且各特征之间相互独立。LDA在人脸识别、文本分类等领 域有广泛应用。
支持向量机（SVM）
详细描述
SVM算法通过提取文本的特征，将不同的文本映射到不同的特征空间中。通过分类器 训练，SVM算法能够将不同的文本进行分类和识别，提高文本分类的准确率。在信息
过滤、情感分析等场景中，SVM算法具有广泛的应用价值。
THANKS
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
01
判别分析概述
判别分析的定义
01
判别分析是一种统计方法，用于 根据已知分类的观测数据来建立 一个或多个判别函数，从而对新 的观测数据进行分类。
02
它通常用于解决分类问题，通过 找到能够最大化不同类别间差异、 最小化同类数据间差异的函数， 实现对新数据的分类预测。
聚类分析与判别分析
该例可以借用层次聚类Q型聚类的实例，分析某班级中语文成绩、数学成绩、化 学成绩和外语快速聚类分析的概念 Ø 快速聚类分析的计算过程及公式 Ø快速聚类分析应用实例
10.3.1 快速聚类分析的概念
快速聚类分析是由用户指定类别数的大样本资料的逐步聚类分析。它先对数据进 行初始分类，然后逐步调整，得到最终分类。快速聚类分析的实质是K-Mean聚类。
10.3.2 快速聚类分析的计算过程及公式
快速聚类分析的计算过程如下：
1.指定聚类的类数
在SPSS中确定 个类的初始类中心点。SPSS会根据样本数据的实际情况，选择 个 由代表性的样本数据作为初始类中心。初始类中心也可以由用户自行指定，需要指定 组样本数据作为初始类中心点。
2. 确定中心点
接着，SPSS重新确定 个类的中心点。SPSS计算每个变量的变量值均值， 并以均值点作的类中心点；最后重复上面的两步计算过程，直到达到指定的 迭代次数或终止迭代的判断要求为止。
10.3.3 快速聚类分析应用实例
本实例调查了全国10个学校的校风、校纪、领导角色和教师态度4个指标， 希望使用快速聚类分析将这10个学校按照其各自的特点分成4种类型。
10.4 判别分析
Ø 判别分析的概念 Ø 判别分析应用实例
10.4.1 判别分析的概念
判别分析先根据已知类别的事物的性质建立函数式，然后对未知类别的新事物进 行判断以将之归入已知的类别中。 在判别分析中有如下假定：
预测变量服从正态分布。 预测变量之间没有显著的相关。 观测变量的平均值和方差不相关。 预测变量之间的相关性在不同类中是一样的。
10.1.1 聚类分析的意义
聚类分析是一种探索性的分析，在分类的过程中，人们不必事先给出一个 分类的标准，聚类分析能够从样本数据出发，自动进行分类分析，所得到的聚 类数未必一致。因此，这里所说的聚类分析是一种探索性的分析方法。
判别分析与聚类分析
判别分析（Discriminant Analysis）一、概述：判别问题又称识别问题，或者归类问题。
判别分析是由Pearson于1921年提出，1936年由Fisher首先提出根据不同类别所提取的特征变量来定量的建立待判样品归属于哪一个已知类别的数学模型。
根据对训练样本的观测值建立判别函数，借助判别函数式判断未知类别的个体。
所谓训练样本由已知明确类别的个体组成，并且都完整准确地测量个体的有关的判别变量。
训练样本的要求：类别明确，测量指标完整准确。
一般样本含量不宜过小，但不能为追求样本含量而牺牲类别的准确，如果类别不可靠、测量值不准确，即使样本含量再大，任何统计方法语法弥补这一缺陷。
判别分析的类别很多，常用的有：适用于定性指标或计数资料的有最大似然法、训练迭代法；适用于定量指标或计量资料的有：Fisher二类判别、Bayers多类判别以及逐步判别。
半定量指标界于二者之间，可根据不同情况分别采用以上方法。
类别（有的称之为总体，但应与population的区别）的含义——具有相同属性或者特征指标的个体（有的人称之为样品）的集合。
如何来表征相同属性、相同的特征指标呢？同一类别的个体之间距离小，不同总体的样本之间距离大。
距离是一个原则性的定义，只要满足对称性、非负性和三角不等式的函数就可以称为距绝对距离马氏距离：（Manhattan distance）设有两个个体（点）X与Y（假定为一维数据，即在数轴上）是来自均数为μ，协方差阵为∑的总体（类别）A的两个个体（点），则个体X与Y的马氏距离为（，）X与总体（类别）A的距离D X Y=（，）为D X A=明考斯基距离（Minkowski distance）:明科夫斯基距离欧几里德距离（欧氏距离）二、Fisher两类判别一、训练样本的测量值A类训练样本编号 1x 2xm x1 11A x 12A x 1A m x 221A x22A x2A m xA n1A An x 2A An xA An m x 均数1A x2A xAm xB 类训练样本编号 1x 2x m x1 11B x 12B x 1B m x 221B x22B x2B m xB n1B Bn x 2B Bn x B Bn m x 均数1B x2B xBm x二、建立判别函数(Discriminant Analysis Function)为：1122m m Y C X C X C X =+++其中：1C 、2C 和m C 为判别系数（Discriminant Coefficient ） 可解如下方程组得判别系数。
聚类分析和判别分析
西安科技大学
数学建模
Mathematical Modeling
1. 系统聚类法核心思想
设有 n 个样品，每个样品测得 m 项指标。系统 聚类法的基本思想是：首先定义样品间的距离（或 相似系数）和类与类之间的距离。初始将 n 个样品 看成 n 类（每一类包含一个样品） ，这时类间的距离 与样品间的距离是等价的；然后将距离最近的两类 合并成为新类，并计算新类与其它类的类间距离， 再按最小距离准则并类。这样每次缩小一类，直到 所有的样品都并成一类为止。
聚类分析和判别分析 张守刚
西安科技大学
数学建模
Mathematical Modeling
• 总体来说，聚类分析就是把没有分类信息 的资料按照相似程度进行归类； • 两类：系统聚类法和非系统聚类法，系统 聚类法是应用最广泛的一种方法； • 聚类分析的核心是确定“度量==分类的准 则”；
聚类分析和判别分析
聚类分析和判别分析
张守刚
西安科技大学
数学建模
Mathematical Modeling
• 逐步判别法：与逐步回归法思想类似，都 是逐步引入变量，每引入一个“最重要” 的变量进入判别式，同时也考虑较早引入 判别式的某些变量，若其判别能力不显著 了，就剔除，知道判别式中没有不重要的 变量需要剔除，且没有重要的变量需要引 入为止。这个筛选过称的本质就是假设检 验。
聚类分析和判别分析
张守刚
西安科技大学
数学建模
Mathematical Modeling
案例1
• 中国统计年鉴，2005，主要城市日照时数。 变量有： City—城市名称； 月份—Jan、Feb、……、Dec。 注：聚类可分为变量聚类和观测量聚类， 本案例采用变量聚类方法。
聚类分析与判别分析的区别
武汉学刊 ２００６ 年第 １ 期
经济研究
聚类分析与判别分析的区别
邓海燕
上世纪 ６０ 年代末到 ７０ 年代初， 人们把大量 因变量的各个类别。
义如下：
ｍ
"! ２
ｄｉｊ＝
（ Ｘｉｋ－ Ｘｊｋ）
ｋ＝ １
其中： Ｘｉｋ： 第 ｉ 个样品的第 ｋ 个指标的观测值
Ｘｊｋ： 第 ｊ 个样品的第 ｋ 个指标的观测值
ｄｉｊ： 第 ｉ 个样品与第 ｊ 个样品之间的欧氏距离
依次求出任何两个点的距离系数 ｄｉｊ（ ｉ， ｊ＝１， ２，
…， ｎ） 以后， 则可形成一个距离矩阵：
或“ 相 似 系 数 ”较 小 的 点 归 为 不 同 的 类 。
“距离”常用来度量样品之间的相似性 ，“相似
系 数 ”常 用 来 度 量 变 量 之 间 的 相 似 性 。
ａ、根 据 不 同 的 需 要 ， 距 离 可 以 定 义 为 许 多 类
型， 最常见、最 直 观 的 距 离 是 欧 几 里 德 距 离 ， 其 定
目的决定 ， 一般 可 用 背 景 变 量 、生 活 形 态 变 量 、产 品使用变量或消费者行为变量等。
ｂ 、研 究 消 费 者 行 为 同一类别的消费者或购买者可能有着相似的 购买行为， 通过对不同类别的消费者的研究， 可以 深入地探讨各类消费者的消费行为。 ｃ 、设 计 抽 样 方 案 在大规模的抽样调查中， 常常采用分层抽样， 以提高抽样的精度。例如： 湖北省的消费者调查的 抽样方案， 首先将城市或地区按一些可能影响消 费水平和行为的变量分层， 然后在各层中再实行 多级抽样， 分层所采用的方法之一就是聚类分析。 ｄ 、寻 找 新 的 潜 在 市 场 按照同一类的产品或品牌聚类， 可将竞争的 产 品 或 品 牌 分 类 。竞 争 更 为 激 烈 的 会 在 同 一 类 内 。 通过考察和比较目前自己的情况和竞争对手的情 况， 就有可能发现潜在的新产品机会。 ｅ 、选 择 试 验 的 市 场 为了推出某项新的市场策略， 例如开发新的 产品、实行新的 促 销 方 式 、新 的 广 告 创 意 等 ， 需 要 进行事先的实验。通过聚类分析， 可将实验的对象 （ 例如商店、城市、居民区等） 分成同质的几个组作 为实验组和控制组。 ｆ、作 为 多 元 分 析 的 预 处 理 通过聚类分析可以达到简化数据的目的， 将 众多的样品先聚集成比较好处理的几个类别或子 集， 然后再进行后续的多元分析。比如在回归分析 中， 有时不对原始数据进行拟合， 而是对这些子集 的中心作拟合， 可能会更有意义。又比如， 为了研 究不同消费者群体的消费行为特征， 可以先聚类， 然后再利用判别分析进一步研究各个群体之间的 差异。 （ ２） 判别分析在市场研究中主要用于对一个 企业进行市场细分， 以选择目标市场， 有针对性地 进行广告、促销等活动。例如， 根据消费者的一些 背景资料如何判定他们中的哪些会是某种品牌的 忠诚用户， 哪些不是？ 或者想要知道， 忠诚用户和 非忠诚用户在人口的基本特征方面到底有哪些不 同？ 如何区分价格敏感型的顾客和非敏感型的顾 客？ 哪些心里特征或生活形态特征可以用作判别 或区分的标准？ 各种目标消费群体在媒介接触方 面是否有显著的差异？ 等等这类均可以通过判别
[理学]判别分析和聚类分析_OK
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若
1和
都是正态总体，
2
当X
时，
1
即X
~
N p 1, 时，W
X aT X
~
N
p
1 2
a
T
1
2 ,
aT a
令 2 1 2 T 1 1 2 ，
则 W X ~ N 1 2， 2
2
所以
W X 1 2
PW
X
0
X
1
P
2
2 2
同理
PW
X
0
X
2
2
两个误判概率相同.
5
总体的均植向量和协方差矩阵一般都是未知的，可以由样本均值 和样本协方差矩阵分别进行估计.
得 B n1n2 x 1 x 2 x 1 x 2 T n1 n2
由于 rB 1, 所以方程 B E 0 只有一个非零特征根
1 i
X
i
总
体
的概率密度函数为
i
fi x 2
exp p 0.5 2
1 2
di2
x
X属于总体
的后验概率，
i
即当样品X已知时，
它属于
的
i
概率
为
P i X
pi fi X
k
,
i 1,2,, k
11
pi fi X
i 1
判别规则:
X i,
若P i X
max
1 jk
P
d 2 X ,Y X Y T 1X Y
X 到总体 的马氏距离的平方定义为
d 2 X , X T 1X
3
1.两总体的距离判别
设总体 1 ,
2的均值分别为1 ,
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P(l | x),l 1,2,, k ,然后比较这k个概率值的大小，将待判 样本归为条件概率最大的总体。
在观测到一个样品x的情况下，利用Bayes公式，可以计算
它来自第g个总体的后验概率P：(g | x)
qg fg (x)
k
。
qi fi (x)
分类： Q型聚类—对样本进行分类处理； R型聚类—对变量进行分类处理。
方法： 系统聚类法 K-均值聚类法 有序样品聚类法
个体之间距离的度量方法
针对连续变量的距离测量： 欧式距离； 欧式距离平方； 切比雪夫距离； 布洛克距离； 明可夫斯基距离； 自定义距离； 夹角余弦； 皮尔逊相关系数
案例9.3 系统聚类分析
案例9.3.sav的资料是我国2005年各地城镇居民平均每人全 年家庭收入来源统计表。试对全国各地区的收入来源结构 进行分类。
二阶段聚类分析
二阶段聚类分析是一种新型的分层聚类方法，主要用于一 般的数据挖掘和多元统计的交叉领域—模式分类，其算法 适用于任何尺度的变量。
系统聚类/层次聚类
凝聚式聚类和分解式聚类。 基本思想：距离相近的样品（或变量）先聚成类，距离相 远的后聚成类，过程一直进行下去，每个样品（或变量）总 能聚到合适的类中。 步骤：
第一步：每个样品独自聚成类，共n个类； 第二步：把距离较近的两个样品聚合为一类，形成n-1类； 第三步：将n-1个类中“距离”最近的两个类进一步聚成一类， 形成n-2类； 直至所有样品全聚成一类。
概述
聚类分析：顾名思义是一种分类的多元统计分析方法。按 照个体或样品(individuals, objects or subjects)的特征将 它们分类，使同一类别内的个体具有尽可能高的同质性 (homogeneity)，而类别之间则应具有尽可能高的异质性 (heterogeneity)。
基本思想
系数 u (u1,u2,,up )' 确定的原则是使得各总体之间区别
最大，而使得每个总体内部的离差最小。
判别规则：待判样品的典型判别函数值u'x与第G类中心的 典型判别函数值u'µ(i)的绝对离差 u'x u' (i) 最小，则可以 将该样品判入第G类。
Bayes判别分析
基本思想：首先计算待判样品属于各个总体的条件概率,
针对计数变量的距离测度：
卡方距离；
Phi方距离；
针对二值变量的距离测度：
二值欧式距离；
二值欧式距离平方；
不对称指数； 不相似性测度； 方差
一般聚类个数在4－6类， 不宜太多，或太少；
聚类分析应注意的问题
所选择的变量应符合聚类的要求； 各变量的变量值不应有数量级上的差异； 各变量间不应有较强的线性相关关系。
个体与小类，小类与小类“亲疏程度”度量方法
组间平均连接距离：个体与小类中每个个体距离的平均值； 组内平均连接距离：个体与小类中每个个体距离以及小类 内各个体间距离的平均值； 最近邻距离：个体与小类中每个个体距离的最小值； 最远邻距离：个体与小Байду номын сангаас中每个个体距离的最大值； 重心距离：该个体与小类的重心点的距离； 中位数距离； 离差平方和法：使小类内离差平方和增加最小的两小类应 首先合并为一类。
指标：描述研究对象（样本或变量，常用的是样本）之间 的联系的紧密程度。“距离”和“相似系数”，假定研究 对象均用所谓的“点”来表示。
一般的规则是将“距离”较小的点或“相似系数”较大的 点归为同一类，将“距离”较大的点或“相似系数”较小 的点归为不同的类！
严格说来聚类分析并不是纯粹的统计技术，它不像其它多 元分析法那样，需要从样本去推断总体。聚类分析一般都 涉及不到有关统计量的分布，也不需要进行显著性检验。 聚类分析更像是一种建立假设的方法，而对假设的检验还 需要借助其它统计方法。
若W(X)>0，则 X G1 ；若W(X)<0，则 W(X)=0，则待判断。
X G2 ；若
各总体协方差阵相等，判别函数为线性判别函数；
各总体协方差阵不相等，判别函数为二次判别函数；
Fisher判别分析
借助方差分析思想构造一个线性判别函数：
U(X ) u1X1 u2 X2 up X p u' X
① 指定聚类数目K ② 确定K个初始类中心（用户指定或系统指定）； ③ 根据距离最近原则进行分类（欧式距离）； ④ 重新确定K个类中心； ⑤ 判断是否已满足终止聚类分析的条件：迭代次数或类中心偏
移程度（0.02）。
案例9.2 K中心聚类分析
案例9.2.sav的资料是我国2006年各地区能源消耗的情况。 根据不同省市的能源消耗情况，进行分类，以了解我国不 同地区的能源消耗情况。
案例9.2 二阶段聚类分析
案例9.1.sav的资料是美国22个公共团体的数据。试以“是 否使用核能源”为分类变量对这些团体进行聚类分析，其 中“1”表示使用核能源，“0”表示没有使用核能源，观测 这两类企业所属类别的情况。
K-均值聚类
是一种快速聚类法。适合处理大样本数据。 基本思想是：将每个样品分配给最近中心（均值）的类中， 具体步骤：
判别分析概述
根据已有的划分类别的有关历史资料，确定一种判定方法， 判定一个新的样本归属哪一类。
设定有k个样本，对每个样本测得p项指标的数据，已知每 个样本属于k个类别中的每一类。利用这些数据，找出一种 判别函数，使得这一函数具有某种最优性质，能把属于不 同类别的样本点尽可能地区别开来，并对测得同样p项指标 数据的一个新样本，能判定这个样本属于哪一类。
距离判别法
两个总体G1和G2，均值向量：1和2 ；协差阵： 1和 2
数据点X到总体Gi的马氏距离定义为：
D2 (X ,Gi ) (X (i) )' ( (i) )1(X (i) )(i 1,2)
设判别函数：W ( X ) D2 ( X ,G2 ) D2 ( X ,G1)