§3.04 非周期信号的频谱分析─傅里叶变换
傅里叶变换与频谱分析
傅里叶变换与频谱分析傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具，它是基于法国数学家傅里叶的研究成果而得名的。
频谱分析是利用傅里叶变换将信号分解为不同频率成分的过程。
通过傅里叶变换和频谱分析，我们可以理解信号的频域特性，以及从频域的角度对信号进行处理和解释。
傅里叶变换的基本原理是将一个周期为T的连续函数f(t)分解为一组基函数的线性组合。
这组基函数是正弦和余弦函数，它们的频率是f(t)中的频率成分。
在数学表达上，傅里叶变换是通过将一个信号f(t)与一个复指数函数e^(jωt)相乘，再对整个信号进行积分来实现的。
傅里叶变换公式如下所示：F(ω) = ∫f(t)e^(-jωt)dt其中，F(ω)是信号f(t)在频率ω处的振幅和相位信息。
通过傅里叶变换，我们可以将一个时域信号从时间域转换到频率域。
在频率域中，我们可以分析信号的频率特性，包括信号的频率成分以及它们在整个信号中所占的比例。
这些信息对于了解信号的谐波分量、周期性、滤波等操作非常重要。
频谱分析是基于傅里叶变换得到的频域信息进行的。
它可以将一个信号在频谱上进行可视化，以便我们更好地理解信号的频域特性。
频谱分析通常呈现为频谱图，横轴表示频率，纵轴表示振幅或功率。
在频谱图中，我们可以观察到信号的频率成分，它们以峰值的形式显示在不同的频率点上。
峰值的强度代表了该频率在信号中的强度或重要性。
通过观察频谱图，我们可以推断信号的频率含量、周期性、峰值频率等信息。
除了用于频域分析的信号处理外，傅里叶变换还在其他领域有广泛应用，例如图像处理、通信等。
在图像处理中，我们可以将图像转换为频域，通过分析图像的频谱特性来实现图像增强、压缩等操作。
在通信领域，傅里叶变换在调制、解调、滤波等过程中被广泛使用。
在实际应用中，由于傅里叶变换涉及到复杂的数学操作和积分运算，计算复杂度较高。
因此，为了提高计算效率，人们发展出了快速傅里叶变换（FFT）算法。
FFT算法通过巧妙地利用信号的对称性质，将傅里叶变换的计算量从O(N^2)降低到O(NlogN)，大大提高了计算速度。
傅里叶变换(周期和非周期信号)
非周期信号与频谱-傅立叶变换
( ) ~
幅度谱和相位谱都是频率 ω 的连续函数，在形状上与相应的周期信号 频谱包络线相同。 非周期信号的频谱有两个特点：密度谱、连续谱 。
信号与系统
傅立叶变换
由信号的频谱 因为
F ( ) 重建非周期信号 f (t ) 的表示式
F ( jn 0 ) jn 0t F ( jn 0 ) f T (t ) e 0 e jn 0t T 2 n n
2
t
0
1
0
信号与系统
三、典型信号的傅立叶变换
B 10a
同样地，信号的脉冲宽度和有效带宽也是成反比。
A
f ( t ) e at u ( t )
F ( )
( )
2
1/ a
0
2
0
a
t
10a
0
b
10a
c
信号与系统
三、典型信号的傅立叶变换
（3）双边指数信号
傅立变换为
f (t ) e
a t
,a0
信号与系统
三、典型信号的傅立叶变换
1 2 ( ) ，即直流信号的频谱是原 点的冲激函数是很直观的，因为直流信号只包含 0 的频率成分，而
从频谱的角度理解傅立叶变换对
不含其它频率成分，同时，因为傅立叶变换得到的频谱是一种密度谱，
所以直流信号在
0
f t
处的谱密度是无穷大。
F
信号与系统
3.3 非周期信号的频谱－ 傅立叶变换
信号与系统
一、从傅立叶级数到傅立叶变换
对周期信号 f T (t ) ，如果令 T 趋于无穷大，则周期信号将经过无穷大的 间隔才重复出现，周期信号因此变为非周期信号，即当 T 时，有
非周期信号的频谱
(2) 若f(t)为t的奇函数，即f(-t)=-f(t)，则f(t)的频 谱函数F(jω)为ω的虚函数，且为ω的奇函数。
与周期信号类似，也可将非周期信号的傅里叶变
换表示式改写成三角函数的形式，即
.
6
f(t)21
F(j)ejtd
21
F(j)ej[t()]d
2 1 F (j)co ts [()d ]
2
0
2
t
实偶
4
2
0
2
4
实偶
图 3.4-1 门函数及其频谱
一般而言，信号的频谱函数需要用幅度谱 F( j)和相位
谱 ( )两个图形才能将它完全表示出来。但如果频谱
函数是实函数或虚函数，那么只用一条曲线即可。
F(j) 为负代表相位为 ，
0
.
F(为j正) 代表相位为 。
11
由图可见，第一个零值的角频率为 2 （频率 1 ）。
为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的 概念。
令
F(j)T l i m 1F /n TT l i m FnT
称 F(j)为频谱密.度函数。
2
如何求频谱密度函数？ F(j)T l i m 1F /n TT l i m FnT
由式
f(t) Fnejnt
n
，Fn
1 T
T
2 T
2
f(t)ej ntd t可得
可知
'(t)ejtd tdejt j
dt t 0
即 ℱ 'tj
同理可得 ℱ [(n)(t). ](j)n
23
例3.4-6 求单位直流信号的频谱
f(t)1 - t
显然，该信号不满足绝对可积条件，但其傅里叶变换
非周期信号的频谱
jnω1t
1 T2 − jnω1t Fn = F (nω1 ) = ∫−T f (t )e dt T 2
i
3.4 非周期信号的频谱
当 T → ∞ 时，
周期信号 离散谱
非周期信号 连续谱
表示频谱就不合适了， 再用 F ( nω1 ) 表示频谱就不合适了，虽然各频 谱幅度无限小，但相对大小仍有区别， 谱幅度无限小，但相对大小仍有区别，所以我们 在这里引入频谱密度函数。 在这里引入频谱密度函数。 频谱密度函数
jωt
f ( t ) ↔ F ( jω )
3.4 非周期信号的频谱 三、典型信号的傅里叶变换
1.单位冲激信号的频谱 1.单位冲激信号的频谱
f (t ) = δ ( t )
F ( jω ) = ∫ δ ( t ) e− jωt dt = 1
−∞ ∞
即
δ (t ) ↔ 1
3.4 非周期信号的频谱
单位冲激信号的频谱图 单位冲激信号的频谱图 可见， 的频谱是常数1 可见 ， 冲激函数 δ(t) 的频谱是常数 1 。 也就 是说， 中包含了所有的频率分量， 是说 ， δ(t) 中包含了所有的频率分量 ， 而各频率 分量的频谱密度都相等。 显然， 分量的频谱密度都相等 。 显然 ， 信号 δ(t) 实际上 是无法实现的。 是无法实现的。
Fn T jnω1t f (t ) = lim fT (t ) = lim ∑ e T →∞ n =−∞ T
当 T → ∞ 时， Fn T = F ( jω )
i
∞
i
nω1 → ω
n =−∞
1 1 1 = ω1 → dω T 2π 2π
T →∞
lim
∑ →∫
jω t
∞
傅里叶变换(周期和非周期信号)
f (t) Fne jn0t n
n1
e e jn0t jn0t
e e jn0t jn0t
a0 (an
n1
2
bn
2j
)
a0
n1
( an
- jbn 2
e
jn0t
an
2
jbn
e
jn0t
)
*
F0 Fne jn0t F en jn0t
n1
n1
*
F0 a0 是实数，Fn与 F n 是一对共轭复数
n1
c0 a0
cn an2 bn2
a0
1 T
T
2 -T
f (t) dt
2
an
2 T
T
2 T
2
f (t) cosn0t dt
bn
2 T
T
2 T
2
f (t)sin n0t dt
周期信号的傅里叶变换——傅里叶级数
1、 三角函数式傅里叶级数
若周期函数 f (t) 满足狄里赫利（ Dirichlet）条件:
或
f (t) c0 cn cos(n0t n ) n1
谐波形式
ω0是基谐波角频率,简称基波频率。
例1 已知周期信号f(t)如下， 画出其频谱图。
f (t) 1
2
c
os0t
c
os(20t
5
4
)
2
s in 0t
1 2
sin
30t
解 ： 将f(t)整理为标准形式
f
(t)
1 2 cos(0t
4
f (t) a0 (an cos0t bn sin0t)
n1
a0
信号分析基础(非周期信号频域分析)
频谱函数（相当于原来的Cn）为：
x (t ) 1 X ( ) e j t d 2 x ( t ) e j t dt X ( )
非周期信号的频谱 5.傅立叶变换的主要性质
(1).奇偶虚实性
X( jf) x(t)ej2ftdt
x(t)cos 2 f tdt j x(t)sin 2 f tdt
R e X( jf) jI mX( jf)
a.若x(t)是实函数，则X(jƒ)是复函数； b.若x(t)为实偶函数，则ImX(jƒ)=0，而X(jƒ)是实偶函数，即 X(jƒ)= ReX(jƒ)； c.若x(t)为实奇函数，则ReX(jƒ)=0，而X(jƒ)是虚奇函数，即 X(jƒ)＝-j ImX(jƒ)； d.若x(t)为虚偶函数，则ImX(jƒ)=0，而X(jƒ)是虚偶函数； e.若x(t)为虚奇函数，则ReX(jƒ)=0，而X(jƒ)是实奇函数。
1 j n t 0 C x ( t ) e dt n T 2
频谱图： Cn
2 π 2 π
T 2 T 2
0
N为偶数
N为奇数
n
2 7π
-7ω 0
2 5π
-5ω 0
2 3π
2 3π
2 5π
2 7π
-3ω 0
-ω 0
0ω
0
3ω 0
5ω 0
7ω 0
ω
非周期信号的频谱
矩形脉冲函数的频谱
S (t)
单 位 面 积 ＝ 1
lim S t) ( t) (
非周期信号的频谱分析傅里叶变换.
X( )
1
a j
a2
a
2
j a2 2
Re( )
lim
a0
a2
a
2
0
( 0)
Re( )
lim
a0
a2
a
2
( = 0)
lim
a0
Re( )d lim
a0
d( / a) 1 ( / a)2
lim arctan
a0
a
14
Im( )
lim
a0
a2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
1
Re() = δ()
Im() = –1/
X() = Re() + jIm()
= δ() – j1/
= δ() +1/ e j – /2
阶跃信号的频谱在存在一个冲激，因为含有直流分量， 此外，它不是纯直流信号，在t = 0处有跳变，所以频谱 中还出现其它高频分量。
15
2.3.3 傅里叶变换的性质 １、奇偶性
若x(t)为实函数，则有幅频|X()|为偶函数，相频()
零。 由于频谱幅度趋于0，因此仍采用原来的幅度频谱的
概念将产生困难。事实上，由于频谱已转变为连续谱， 因此说明频谱上某一点频率上的幅度有多少是不行的。
研究频谱密度的变化，即单位频带上频谱幅度的大小，
以X(n1) /1来表示，也是的函数，且与原来幅度谱具
有相似的图形。
T1 ，1 0，X(n1) 0，但X(n1) /1却相对 稳定，将趋于稳定的极限值，这个 的函数称为频谱密
T1增大频谱的谱线变密，谱线变短。
1
x(t) E
0
T1
t
x(t)
信号频谱傅里叶变换
信号频谱傅里叶变换
信号频谱和傅里叶变换之间有着密切的联系，傅里叶变换是一种数学工具，用于将一个时域（时间域）的信号转换为频域（频率域）表示，而信号的频谱描述了信号在频率上的特性。
傅里叶变换和信号频谱
傅里叶变换：将一个信号从时间域转换到频率域。
它将信号分解为不同频率的正弦和余弦波的组合，显示了信号中各个频率的成分。
在频谱中，低频成分显示在谱的左侧，高频成分显示在谱的右侧。
频谱：信号频谱描述了信号在频率上的特性。
频谱图显示了信号中不同频率成分的强度或能量。
它展示了信号在不同频率范围内的频率分布，有助于分析信号的频域特性。
如何使用傅里叶变换获取信号频谱
信号采样：首先，对信号进行采样，以数字形式表示。
应用傅里叶变换：使用傅里叶变换算法，如快速傅里叶变换（FFT），将信号从时域转换为频域。
这将产生一个频谱图，显示信号在频率上的能量分布。
分析频谱：分析频谱图，了解信号中不同频率成分的强度和特性，以便更好地理解原始信号的频率分布。
傅里叶变换可以帮助工程师、科学家和研究人员分析信号，理解信号的频率特性。
信号频谱分析对于很多领域都是至关重要的，比如在音频处理、图像处理、物理学和工程学等领域有着广泛的应用。
信号分析3.02 非周期信号的频谱分析─傅里叶变换
如果f(t)是实函数
F ( jw)
f (t )e jwt dt F ( jw)
F ( jw) F ( jw) F ( jw) 是w偶函数
F j F () ~ : 幅度频谱
提问:所有信号都可以由时域变换到频域分析吗?
三．傅里叶变换存在的充分条件
注意：
f t d t （有限值或收敛） 即f t 绝对可积
绝对可积 F(jw)存在
1）满足绝对可积，傅里叶变换一定存在（充分条件） 2）不满足绝对可积，傅里叶变换仍可能存在（不是必 1 (t ) (t ) 要条件）
第二节 非周期信号的频谱分析 －傅里叶变换
• 傅里叶变换的提出
•傅里叶变换的物理意义
•傅里叶变换的存在条件
•常用非周期信号的频谱 •非周期信号的频谱的特点
一．傅里叶变换的提出
周期信号向非周期信号过渡 fT t f (t ) T1 时域过渡
2π T1 频域过渡: 谱线间隔 `1 d T1
3）所有能量信号均满足此条件。
四.常用非周期信号的频谱
矩形脉冲（门函数）
单边指数信号
直流信号
单位阶跃信号 单位冲激信号
1．矩形脉冲信号－门函数
f (t ) Eg (t )
E
F ( j ) f (t )e j t d t Ee j t d t
E e .
简写
记做：
f t F j
F f (t ) F ( j )
F
1
F ( j )
§3-(3-4 )非周期信号的频谱分析 典型非周期信号的傅里叶变换
0
脉冲趋于幅度无穷大、宽度无穷小的信号。强度其为
10
d
2
2
d( 1 (
)
arctg (
)
2
) |
也即，当α→0，前一项是强度为π的冲激。所以，单位阶 X ( j ) 跃信号的傅里叶变换
( )
ℱ u ( t ) ( )
jk 1 t
dt
取T→∞的极限
T 2
lim
T Ak
T
lim
T
T 2
x (t )e
jk 1 t
dt
x (t )e
j t
dt X ( j )
应该是一确定的函数。
2
对应的傅里叶级数展开式
x (t )
k
Ak e
jk 1 t
0
t
t
u ( t )]
0
于是
X ( j ) lim
0
( )
2
2 j
2 2
j
2
0
2 j
18
2
这个结果也可以通过符号函数的另一种表示得到。因
为 所以
x ( t ) sgn( t ) 2 u ( t ) 1
X ( j ) 2 [ ( )
e
jt
dt 2()
17
x (t )
七、符号函数信号
x ( t ) sgn( t )
§32非周期信号的频谱分析
（一）．矩形脉冲信号
f t
E j t 2 e F Ee d t j 2 2
2 j t
E
t
2 0
2
E e . 2
j 2
e 2j
j 2
E
sin
2
2
E S a 2
F
E
F
F 0
0
1 tg 相位频谱：
0 , , ,
0 2 2
0 2
2
（三）．直流信号
四．傅里叶变换存在的条件
td t 有限值 ( 充分条件 ) f
即 f t 绝对可积
所有能量信号均满足此条件。
当引 入 函数的概念 变 后 换 ， 的 允 函
型大大扩展了。
五.典型非周期信号的频谱
•矩形脉冲 •单边指数信号 •直流信号 •符号函数 •升余弦脉冲信号
频谱图
j 2 2 2 sgn t j e2 j
F ( )
2 2 2 F
2
O
2
是偶函数 F
2 /2 , 1 tg 0 /2 ,
f( t) F ( n ) e 1
n j n t 1
除以 ，再乘以 1 1
F T F ( n ) lim 1 1
T 1
F ( n ) j n t 1 1 f ( t ) e 1
非周期信号的频谱分析傅里叶变换.
（1）信号绝对可积，即
x(t) dt
（2）在任意有限区间内，信号只有有限个最大值和最
小值。
（3）在任意有限区间内，信号仅有有限个不连续点，
而且在这些点都必须是有限值。
自从在傅里叶变换中引入冲激函数后，使原先许多不
满足绝对可积条件的信号、周期信号等也可能进行傅里
叶变换。
6
2.3.2 典型非周期信号的频谱
当a < 1 ，τ 增大，相当于信号在时域中被扩展，其 频谱将压缩，低频分量相对增加。
由此可见,要压缩信号的持续时间,则不得不以展宽频 带作代价,所以无线电通信中,通信速度与占用频带宽度是 矛盾的。
22
5、时移特征
若 F[ x(t)] = X() = |X()|e j()
则
F[ x(t t0)] = X()e j t0 = |X()|e j[() t0]
/2 0 /2
t
Sa(ct)
1
/c
0
t
X()
1
0
X()
2 0
X()
2/
0
X()
/c
c 0 c
19
4、尺度变换特性
若 F [ x(t)] = X()
则 F[x(at)] 1 X
a a
证明：
F[x(at)] x(at)e j tdt
令u = at, 当a > 0
F[x(at)] 1
证明：
F[x(t t0 )]
x(t
t0
)e
j
t dt
e j t0
x(t
t0 )e j
(tt0 )d(t
t0 )
= X() e j t0
信号在时间轴上右移t0，在频域上其频谱将乘以因子 ej t0 。这意味着信号在时域中延时，将不改变信号的幅 度谱，仅使相位谱产生一个与频率成线性关系的相移。
3.4非周期信号的连续时间傅里叶变换.
3.4非周期信号的连续时间傅里叶变换3.4.1傅里叶变換期信号有：,「/(o= a F严1 n=・1 代=*6 訂12当T—Ofi旺周期信号趋于非周期信号。
谱线无限密集，Q® dco nQ® ry 幅度Fn趋于无穷小2令：F(加)二码>^ = £ f(t)e ^f dt3.4非周期信号的连续时间傅里叶变换又因为，Fg =轉FJT lim F fl ?菩lim F n | 称为频谱密度函数，简称频谱函数。
0)=肝t F严C T* 二nCl® co dcoI fOO“FL3.4非周期信号的连续时间傅里叶变换记为：F(jcu) = /0)=歹T[F(js)]或：/(r) o Fg一般来说，傅里叶变换存在的充分条件为/⑴应满足绝对 可积，即要求口于(咖/<83.4非周期信号的连续时间傅里叶变换3.4.2非周期信号的频谱函数F(j^ = \F(jco)\e J^幅度频谱：|尸(沟)|〜q 变化的关系曲线 相位频谱：cpG ~co 变化的关系曲线•傅立叶变换对 •正变换 •逆变换F(3 =fW —co1 r°° 271 J-s3.4非粵期信芝的连芝时间譽叶变娶几)为实函数时，根据频谱函数的定义式不难导出:F(je)= [ f(t)e jOJ dt =「f{t)coscotdt-j[ f(t)s\ncotdt = /?(e)+ JX(co)J —CO J — CO J_SIRg) = /?(- jco)是少的偶函数i X(Q )= - X(- e)是e 的奇函数F(/o) = |F(M)0g )R(e) =|F(j7z>)|cos (p{co) X(e)= |F5)|sin0(Q ).3.4非粤期信芝的连线时间譽叶变轡..几个重要结论：当/⑴是实函数时：(1)若几)为啲偶函数，即fit) =f (-t )9则/⑴的频谱函数F(jc 〃)为少的实函数，且为少的偶函数。
频谱傅里叶变换
频谱傅里叶变换一、频谱傅里叶变换的基本概念频谱傅里叶变换是信号处理领域中一种非常重要的工具，它能够将信号从时间域或空间域转换到频率域，从而揭示信号的内在属性和特征。
在信号处理中，我们常常需要分析信号的频率成分，以便更好地理解信号的性质和行为。
这时，频谱傅里叶变换就派上了用场。
频谱傅里叶变换的基本原理是将信号表示为无穷多个正弦波和余弦波的叠加，这些正弦波和余弦波具有不同的频率、幅度和相位。
通过计算这些正弦波和余弦波的系数，我们可以得到信号在频率域的表示，即信号的频谱。
这个过程可以通过快速傅里叶变换（FFT）等算法实现，具有高效性和实用性。
二、频谱傅里叶变换的应用频谱傅里叶变换在许多领域都有广泛的应用，以下是其中的一些例子：1.通信领域：在通信系统中，信号常常会受到各种干扰和噪声的影响。
通过频谱傅里叶变换，我们可以分析信号的频率成分，从而更好地滤除噪声和干扰，提高通信质量和可靠性。
2.音频处理领域：音频信号是一种典型的时域信号，其频率成分对于理解音频内容和改进音频质量非常重要。
频谱傅里叶变换可以用于音频信号的分析、编码、解码和增强等处理。
3.图像处理领域：图像可以看作是一个二维信号，其频率域表示对于图像滤波、锐化、压缩和识别等任务非常重要。
频谱傅里叶变换可以用于图像处理中的各种算法和应用。
4.雷达和声呐领域：雷达和声呐信号处理中常常需要进行信号的频谱分析和特征提取。
频谱傅里叶变换是实现这一目标的重要工具之一。
5.生物医学工程领域：在生物医学工程中，心电图、脑电图等生理信号的分析和处理常常需要借助频谱傅里叶变换来揭示信号的频率成分和特征。
6.振动分析领域：在机械和结构振动分析中，频谱傅里叶变换可以用于分析振动信号的频率成分和模态特征，对于故障诊断和结构健康监测等应用具有重要意义。
7.量子力学领域：在量子力学中，波函数是一种概率幅函数，它可以表示粒子的状态。
通过傅里叶变换，我们可以将波函数从位置空间转换到动量空间，这对于理解粒子的运动行为和性质非常重要。
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F e
j t
d F
1
F ( )
f t F 原函数 傅里叶变换函数
F ( )也可以表示为 F ( j )
第
二.傅里叶变换的特殊形式
F F e j R jX
7 页
实部
f ( t ) f e t f o t
1 f 0, F ( n1 ) 0 T1
T1
1 F ( n 1 ) T1
T1
T1
2 2
f ( t )e jn1t dt
T1
（ 1）
F n 1 有界函数 f
谱值
n1 1 d
F lim T1 F n1
T1
2 页
非周期信号
T1
T1
2 2
f ( t )e jn1t dt
0
离散谱
连续谱，幅度无限小；
再用F n 1 表示频谱就不合适了，虽然各 频谱幅度无限小，但相对大小仍有区别， 引入频谱密度函数。
F n1 F n1 T1 F n1 1 T1 f 单位频带上的频 当T1 时，
1 f t 2
F e
j t
d
lim
T1
F (n1 )
1
F 2
第
3.傅里叶变换对
F ( )
6 页
f ( t )e j t dt F f ( t )
1 f (t ) 2
简写 F f t
虚部
实信号
偶分量
奇分量
欧拉公式
F
f ( t )e j t dt
f e ( t ) f o ( t ) cos t j sin t dt
0 0
2 f e ( t ) cos tdt j 2 f o ( t ) sin tdt
由f ( t )求F 称为傅里叶变换 .
F 一般为复信号 , 故可表示为
F ( ) | F ( ) | e j ( )
F ~ : 幅度频谱
~ : 相位频谱
2.反变换
f ( t )应是 F 的反变换？
f (t )
jn1 t F ( n ) e 1
§3.4非周期信号的频谱分析
─ 傅里叶变换
主要内容 傅里叶变换 傅里叶变换的特殊形式 傅里叶变换的物理意义 傅里叶变换存在的条件 重点 傅里叶变换 难点 傅里叶变换的物理意义
BUPT EE 2001.6 退出 开始
第
一. 傅里叶变换
1. 引出 T1 f ( t ) ：周期信号
1 谱系数 F ( n1 ) T1
n1 ， 连续
lim T12 f ( t )e jn1t dt
T1 2 T1
频谱密度函数 简称频谱
T1
f ( t )e jt dt
退出
第
频谱密度函数的表示
F ( )
4 页
f ( t )e j t dt F f ( t )
9 页
0
F
0
d cos t
第
解释
f t
10 页
F
0
d cost
求和 振幅
无穷多个振幅为无穷小 ( 之和, 频域范围 : 0
1
正弦信号
F d ) 的连续余弦信号
F j t F e d d e 2 1 无穷多个幅度为无穷小 ( F d ) 的连续指数 2 信号之和 ,占据整个频域 , : ; 1 f (t ) 2
X R
偶函数 F 为实函数，只有 R ，相位 ,0 （奇分量为零） f t 奇函数 F 为虚函数，只有X ，相位 2 （偶分量为零） （§3.7傅里叶变换的性质(三)奇偶虚实性）
第
三.傅里叶变换的物理意义
1 j j t F F e f (t ) F e d 2 实函数 1 F e j ( ) e j t d 2 欧拉公式 1 F cos t d 2 积分为0 1 j F sin t d 2 1 F cos t d
j t
第
四.傅里叶变换存在的条件
11 页
f t dt 有限值
(充分条件)
即f t 绝对可积
所有能量信号均满足此条件。
当引入 函数的概念后 , 允许作变换的函数类 型大大扩展了 .
实部 虚部
R 2 f e ( t ) cos tdt
0
关于 的偶函数 关于 的奇函数
2
X 2 f o ( t ) sin tdt
0
F
R X
2
1
关于 的偶函数 关于 的奇函数
tg
f t
第 5 页
由复指数形式的傅里叶级数
除以1，再乘以1
f (t )
n
n
F ( n 1 limT1F (n1 )
T1
lim
T1
F (n1 )
1
2
当T1 时, 1 d , n1