高三立体一轮1课时

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(精品打包)高三数学高考立体几何第一轮复习学案全国通用第1讲教案doc

沙城中学补习班数学第一轮复习教案编录：刘世亮第58讲：平面的性质与直线的位置关系（一）平面的概念和性质1．平面的概念：平面是没有厚薄的，可以无限延伸. 2．平面的基本性质公理1.线的在平面内.用途：①作为判断和证明是否在平面内；②证明点在某平面内；③检验某面是否平面. 公理2两个平面的交线.用途：①判断和证明两平面是否相交；②证明点在某直线上；③证明三点共线；④证明三线共点. 公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.推论1:经过一条直线和直线外的一点，推论2:经过两条相交直线.推论3:经过两条平行直线用途：①确定平面的依据，②证明两个平面重合的依据，③空间问题平面化的理论依据和具体办法.3．证明直线共面通常的方法：①先由其中两条直线确定一个平面，再证明其余的直线都在此平面内；②分别过某些点作多个平面，然后证明这些平面重合；③共面向量定理来证明. 4．异面.定义—— 判定：5．求两条异面直线所成的角，①平移法：“作（找）—证—算”.注意，范围；②向量法：设,a b 分别为异面直线,a b 的方向向量,则两异面直线所成的角||||arccos ||a b a b α=；6．两条异面直线的公垂线定义：和两条异面直线都垂直相交的直线，叫做异面直线的公垂线； 7．两条异面直线的距离：①定义：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度. ②计算方法：①公垂线法；②转化成线面距离(点面距离)；③转化成面面距离.8．公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行.9．等角定理：一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，则这两个角相等. 推论:两条相交直线和另两条相交直线分别平行,则这两条直线所成的角相等.二、双基题目练练手1.共点的四条直线最多可以确定_______平面；互不相交的三条直线可以确定_______平面.2. 对平面α和共面的直线,m n 下列命题中真命题是 ( ) （A ）若,,m m n α⊥⊥则n α∥ （B ）若m αα∥,n ∥,则m ∥n（C ）若,m n αα⊂∥,则m ∥n （D ）若,m n 与α所成的角相等，则m ∥n3. 直线a 、b 相交于点O 且a 、b 成60°角，过点O 与a 、b 都成60°角的直线有（）4．下列各图是正方体或正四面体，P 、Q 、R 、S 分别是所在棱的中点，则PQ 与SR 一定是异面直线的是RR三、经典例题做一做例1.如图所示，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 分别在AB 、BC 、CD 上，且满足AE ∶EB =CF ∶FB =2∶1，CG ∶GD =3∶1，过E 、F 、G 的平面交AD 于H ，连接EH .1）求AH ∶HD ；（2）求证：EH 、FG 、BD 三线共点.(1)解 ∵FBCFEB AE ==2，∴EF ∥AC .EF ∥平面ACD .而EF ⊂平面EFGH EFGH ∩平面ACD =GHEF ∥GH .而EF ∥ACAC ∥GH .GDCG HD AH ==3,即AH ∶HD =3∶1. （2）证明 ∵EF ∥GH ,且31=AC EF ，41=AC GH EF ≠GH ，∴四边形EFGH 为梯形.令EH ∩FG =P ，则P ∈EH ，而EH ⊂平面ABD P ∈FG，FG ⊂平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD =BD∴P ∈BD .∴EH、FG 、BD 三线共点.例2 如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点.（1）AM 和CN2）D 1B 和CC 1是否是异面直线？说明理由.解（1）不是异面直线.∵M 、N 分别是A 1B 1、B 1C 1的中点.∴MN ∥A 1C 1，又∵A 1A D1D ，而D 1D C 1C , ∴A 1A CC 1，∴四边形A 1ACC 1为平行四边形.∴A 1C1∥AC ，得到MN ∥AC ，∴A 、M 、N 、C 在同一个平面内，故AM 和CN 不是异面直线. （2）是异面直线.假设D 1B 与CC 1在同一个平面D 1CC 1内，则B ∈平面CC 1D 1，C ∈平面CC 1D 1.∴BC ⊂平面CC 1D 1，这与在正方体中BC ⊥平面CC 1D 1相矛盾，∴假设不成立，故D 1B 与CC 1是异面直线.例3在四棱锥P —ABCD 中，底面是边长为2的菱形，∠DAB =60°，对角线AC 与BD 交于点O ，PO ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABCD 所成角为60°.若E 是PB 的中点，求异面直线DE 与PA 所成角的余弦值.解取AB 的中点F ，连接EF ，DFE 为PB 中点，∴EF ∥PA∴∠DEF 为异面直线DE 与PA 所成角（或其补角）.在Rt △POB 中，∵BO =AB ·sin30°=1，又PO ⊥OB ，∴PO =BO ·tan60°=3.Rt △AOB 中，AO =AB ·cos30°=3=OP ，∴在Rt △POA 中，PA =6，∴EF =26. 在正三角形ABD 和正三角形PDB 中，DF =DE =3， ∴cos ∠DEF =EFDE DF EF DE ·2222-+=4223462632)3(26)3(222==⨯⨯-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+.所以异面直线DE 与PA 所成角的余弦值为42.例4.如图，E 、F 、G 、H 分别是空间四边形AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且EH 与FG 相交于点O .B 、D 、O 三点共线.证明 ∵E ∈AB ，H ∈AD E ∈平面ABD ，H ∈平面ABD .∴EH ⊂平面ABD .EH ∩FG =O ，∴O ∈平面ABD .O ∈平面BCD∴O ∈平面ABD ∩平面BCD ，即O ∈BD B 、D 、O 三点共线.例5.在正方体AC 1中，E 是CD 的中点，连接AE 并延长与BC 的延长线交于点F ，连接BE 并延长交AD 的延长线于点G ，连接FG .FG ⊂平面ABCD 且直线FG ∥直线A 1B 1.证明由已知得E 是CD 的中点，在正方体中，由于A ∈平面ABCD E ∈平面ABCD所以AE ⊂平面ABCD .AE ∩BC =FF ∈平面ABCD.同理G ∈平面ABCD ，所以FG ⊂平面ABCD .因为EC21AB ，故在Rt △FBA 中，CF =BC ，同理DG =AD . 又在正方形ABCD 中，BC AD ，所以CF DG ，所以四边形CFGD所以FG ∥CD .又CD ∥AB ，AB ∥A 1B 1FG ∥直线A 1B 1.。

《创新设计·高考一轮总复习》数学立体几何第1讲

B．棱锥 D．都不对
从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但大小不一
样，可以判断是棱台．答案 A
抓住3个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
3．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是 ( )．
A．圆柱
C．球体解析
B．圆锥
D．圆柱、圆锥、球体的组合体
当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩
正前方、正左方、正上方观察几何体得到的正投影图． ③观察简单组合体是由哪几个简单几何体组成的，并注意它们的组成方式，特别是它们的交线位置．
抓住3个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
3．直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′
体是直四棱柱．
答案是
抓住3个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
考向一空间几何体的结构特征【例1】►给出下列四个命题： ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱； ③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；
(2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．
抓住3个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
【训练1】给出下列四个命题： ①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；
②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；
③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体； ④若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．其中不正确的命题的个数是________个．
形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面．答案 C

高考一轮复习教案立体几何文科用十一(1)平面、空间直线(教师)

模块：十一、立体几何课题： 1、平面、空间直线教学目标：知道平面的含义，理解平面的基本性质，会用文字语言、图形语言、集合语方表述平面的基本性质；掌握确定平面的方法，并能运用于确定长方体的简单截面．掌握空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的各种位置关系，并能用图形、符号和集合语言予以表示．重难点：平面的基本性质，平行线的传递性，空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的各种位置关系及其表示方法．一、知识要点1、平面的基本性质公理1、如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内．公理2、如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．公理3、经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．推论1、经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面．推论2、经过两条相交直线有且只有一个平面．推论3、经过两条平行直线有且只有一个平面．公理4、平行于同一条直线的两条直线互相平行．2、空间两直线的位置关系（1）相交——有且只有一个公共点；（2）平行——在同一平面内，没有公共点；（3）异面——不在任何．．一个平面内，没有公共点． 3、等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．二、例题精讲例1、四面体ABCD 中，E 、G 分别为BC 、AB 的中点，F 在CD 上，H 在AD 上，且有DF ∶FC=2∶3，DH ∶HA=2∶3求证：EF 、GH 、BD 交于一点．答案：证明略．例2、已知n 条互相平行的直线123,,,,n l l l l 分别与直线l 相交于点12,,,n A A A ，求证：123,,,,n l l l l 与l 共面．例3、已知四边形ABCD 中，AB ∥CD ，四条边AB ，BC ，DC ，AD （或其延长线）分别与平面α相交于E ，F ，G ，H 四点，求证：四点E ，F ，G ，H 共线．例4、平面α平面βC =，a α⊂，且//a c ，b β⊂，b c M =，求证：直线a b 、是异面直线．例5、A 是△BCD 平面外的一点，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，（1）求证：直线EF 与BD 是异面直线；（2）若AC ⊥BD ，AC =BD ，求EF 与BD 所成的角．答案：（1）略；（2）45︒例6、长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB =a ，BC =b ，AA 1=c ，且a >b ，求：（1）下列异面直线之间的距离：AB 与CC 1；AB 与A 1C 1；AB 与B 1C ．（2）异面直线D 1B 与AC 所成角的余弦值．答案：（1）;;b c 22c b bc +；（2）))((2222222c b a b a b a +++-．例7、在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是一直角梯形，90BAD ︒∠=，//AD BC ，AB BC a ==，2AD a =，且PA ⊥底面ABCD ，PD 与底面成30︒角．（1）若AE PD ⊥，E 为垂足，求证：BE PD ⊥；（2）求异面直线AE 与CD 所成角的余弦值．答案：（1）略；（2）4．三、课堂练习1、在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是1CC 、AD 的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于．2、在空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，若EFGH 是正方形，则AC 与BD 满足的条件是．答案：垂直且相等．3、已知,a b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则,a b 在α上的射影可能是：（1）两条平行直线；（2）两条互相垂直的直线；（3）同一条直线；（4）一条直线及其外一点，则在上面的结论中，正确结论的编号是．答案：（1）（2）（4）4、已知m n 、为异面直线，m ⊂平面α，n ⊂平面β，l αβ=，则l （）A 、与m n 、都相交B 、与m n 、中至少一条相交C 、与m n 、都不相交D 、至多与m n 、中的一条相交答案：B5、一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有下列结论：（1）AB EF ⊥；（2）AB 与CM 成60︒；（3）EF 与MN 是异面直线；（4）//MN CD ，其中正确的是（）A 、（1）（2）B 、（3）（4）C 、（2）（3）D 、（1）（3）答案：D6、与正方体1111ABCD A B C D -的三条棱111AB CC A D 、、所在直线的距离相等的点（）A 、有且只有1个B 、有且只有 2个C 、有且只有3个D 、有无数个答案：D四、课后作业一、填空题1、空间中有8个点，其中有3个点在一条直线上，此外再无任何三点共线，由这8个点可以确定条直线，最多可确定个平面．答案：26，452、已知PA ⊥平面ABC ，90ACB ︒∠=，且PA AC BC a ===，则异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于．答案：2．3、（1）若//,//a b b c ，则//a c ；（2）若,,a b b c ⊥⊥则a c ⊥；（3）若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 也相交；（4）若a 与b 异面，b 与c 异面，则a 与c 也异面．上面的四个命题中，正确命题的题号是．答案：（1）4、已知平面//αβ，A C α∈、，B D β∈、，直线AB 与CD 交于S ，且AS=8，BS=9，CD=34，则CS= ．答案：16或2725、以下命题：（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；（2）某平面内的一条直线和这个平面外的一条直线是异面直线；（3）过直线外一点作该直线的垂线是唯一的；（4）如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补．则其中正确的命题的题号是．答案：（1）（4）6、对于四面体ABCD ，下列命题正确的是．（1）相对棱、AB 与CD 所在的直线异面；（2）由顶点A 作四面体的高，其垂足是BDC ∆的三条高线上的交点；（3）若分别作ABC ∆和ABD ∆的边AB 上的高，则这两条高所在的直线异面；（4）分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；（5）最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱．答案：（1）（4）（5）二、选择题7、正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -的底面边长为1，则这个棱柱的侧面对角线1E D 与1BC 所成的角是（）A 、90︒B 、60︒C 、45︒D 、30︒ 答案：B8、已知直线a 和平面αβ、，l αβ=，a α⊄，a β⊄，a 在αβ、内的射影分别为直线b 和c ，则b c 、的位置关系是（）A 、相交与平行B 、相交或异面C 、平行或异面D 、相交、平行或异面答案：D9、空间中有五个点，其中有四个点在同一个平面内，但没有任何三点共线，这样的五个点确定平面的个数最多可以是（）A 、4个B 、5个C 、6个D 、7个答案：D三、解答题10、正方体1111ABCD A B C D -中，对角线1A C 与平面1BDC 交于点O ，AC BD 、交于点M ，求证：点1C O M 、、共线．11、如图，在四面体ABCD 中作截面PQR ，如PQ 、CB 的延长线交于点M ，RQ 、DB 的延长线交于点N ，RP 、DC 的延长线相交于点K ．求证：M 、N 、K 三点共线．11、长方体1111ABCD A B C D -中，12,,AB BC a A A a E H ===、分别是11A B 和1BB的中点，求：（1）EH 与1AD 所成的角；（2）11A D 与1B C 之间的距离；（3）1AC 与1B C 所成的角．答案：（1）1arccos5；（2）2a ；（3）arccos 5．。

高考数学一轮总复习课时规范练33基本立体图形及空间几何体的表面积和体积北师大版

课时规范练33基本立体图形及空间几何体的表面积和体积基础巩固组1.能旋转形成如图所示的几何体的平面图形是()2.用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形OABC的直观图为如图所示的直角梯形O'A'B'C'，其中，若原平面图形OABC的面积为3√2，则O'A'的长为()梯形的上底长是下底长的13A.2B.√2C.√3D.323.如图所示的扇形是某个圆锥的侧面展开图，已知扇形所在圆的半径R=√5，扇形弧长l=4π，则该圆锥的表面积为()A.2πB.(4+2√5)πC.(3+√5)πD.8π+√54.(2021湖北十堰二模)已知某圆柱的轴截面是正方形，且该圆柱的侧面积是4π，则该圆柱的体积是()A.2πB.4πC.8πD.12π5.将半径为3，圆心角为2π3的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的体积为()A.√2π3B.√3π3C.4π3D.2π6.(2021北京，8)定义:24小时内降水在平地上积水厚度(单位:mm)来判断降雨程度.其中小雨(<10 mm)，中雨(10 mm—25 mm)，大雨(25 mm—50 mm)，暴雨(50 mm—100 mm)，小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级()A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨7.下列四个论断不正确的是()A.过圆锥两母线的截面面积中，最大的不一定是轴截面面积B.经过一条已知直线有且只有一个平面与已知平面垂直C.等底面积等高的棱柱与圆柱的体积相等D.表面积相等的正方体和球体，体积较大的是球体8.(2021山东淄博一模)已知某圆锥底面圆的半径r=1，侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为.9.已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成的角为45°，侧面积为4√3，则该棱锥的体积为.综合提升组10.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是()A.圆柱的体积为4πR3B.圆锥的侧面积为2πR2C.圆柱的侧面积与圆锥的表面积相等D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶211.用长度分别是2，3，5，6，9(单位:cm)的五根木棒连接(只允许连接，不允许折断)，组成共顶点的长方体的三条棱，则能够得到的对应长方体的最大表面积为()A.258 cm2B.414 cm2C.416 cm2D.418 cm212.(2021广东汕尾模拟)如图，一个圆锥形物体的母线长为6，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处.若该小虫爬行的最短路程为6√2，则该圆锥形物体的底面半径为.13.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=14，BC=5，AA1=4，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=2.(1)求直线CF与C1E所成角的余弦值;(2)过点E，F的平面α与此长方体的表面相交，交线围成一个正方形，求平面α把该长方体分成的较小部分与较大部分的体积的比值.创新应用组14.有一种外形为圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠”，根据人的体型、高矮等制作成大小不一的型号供人选择使用，不同型号的斗笠大小经常用帽坡长(母线长)和帽底宽(底面圆直径长)两个指标进行衡量，现有一个“灯罩斗笠”，帽坡长20厘米，帽底宽20√3厘米，关于此斗笠，下面说法错误的是()A.分笠轴截面(过顶点和底面中心的截面图形)的顶角为120°B.过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为100√3平方厘米C.若此斗笠顶点和底面圆上所有点都在同一个球上，则该球的表面积为1 600π平方厘米D.此斗笠放在平面上，可以盖住的球(保持斗笠不变形)的最大半径为(20√3-30)厘米15.(2021八省联考模拟卷)用曲率刻画空间弯曲性，规定:多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫作多面体的面角，角度用弧度制)，多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如:正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是π3，所以正四面体在各顶点的曲率为2π-3×π3=π，故其总曲率为4π.(1)求四棱锥的总曲率;(2)若多面体满足:顶点数-棱数+面数=2，证明:这类多面体的总曲率是常数.课时规范练33 基本立体图形及空间几何体的表面积和体积1.A 解析:此几何体自上向下是由一个圆锥、两个圆台和一个圆柱构成，是由A 中的平面图形旋转形成的.故选A .2.D 解析:设O'A'=x ，则O'B'=√2x ，在原图形中OB=2O'B'=2√2x ，BC=B'C'=x3，OA=O'A'=x ，OB 为原图形中梯形的高，面积为S=12×x+13x ×2√2x=3√2，解得x=32，故选D .3.B 解析:设圆锥底面圆半径为r ，则2πr=4π，解得r=2.圆锥的表面积S 表=S 底面圆+S 侧=πr 2+12lR=π×22+12×4π×√5=(4+2√5)π. 故选B .4.A 解析:设该圆柱的底面圆半径为r ，则圆柱的高(母线)为h ，而圆柱的轴截面是正方形，则h=2r ，圆柱侧面积为2πrh=4π，即4πr 2=4π，解得r=1，h=2，故该圆柱的体积是πr 2h=2π. 故选A .5.A 解析:设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则2πr=2π3×3，所以r=1，则h=√32-12=2√2. 设内切球的半径为R ，则R2√2-R=13，所以R=√22，所以V=4π3R 3=4π3×√223=√2π3.故选A .6.B 解析:由题可知，圆锥内积水的高度是圆锥高度的一半，则圆锥内积水部分的半径为r=12×12×200=50(mm)，h=12×300=150(mm).所以由定义可得，积水厚度d=13π×502×150π×1002=12.5(mm)，属于中雨.故选B .7.B 解析:由于圆锥母线长度都相等由于圆锥母线长度都相等，设两母线的夹角为θ，母线长为2，则过圆锥两母线的截面面积为12×2×2sin θ=2sin θ，当轴截面两母线的夹角θ=150°时，轴截面的面积为2sin150°=1，此时可以找到一个两母线的夹角θ=90°不是轴截面的截面，其面积为2sin90°=2，故A 正确;当已知直线垂直于已知平面时，过已知直线的所有平面都垂直于已知平面，故B 错误;由于棱柱和圆柱的体积都是底面积乘高，则等底面积等高的棱柱与圆柱的体积相等，故C 正确;设正方体的棱长为a ，球的半径为R ，则S=4πR 2=6a 2，球的体积为V 1=43×πR 3=S 3×√S4π，正方体的体积为V 2=a 3=S 6×√S6，所以V 1>V 2，故D 正确.故选B . 8.√3π3解析:∵圆锥的侧面展开图是一个半圆，圆锥的底面周长为2π，即侧面展开图半圆的弧长是2π，则半圆的半径，即圆锥的母线为2. 圆锥的高为√22-12=√3. ∴圆锥的体积V=13π×12×√3=√3π3. 9.4√23解析:设正四棱锥底面边长为2a ，且正四棱锥的侧棱与底面所成的角为45°，则四棱锥的高为√2a.又正四棱锥的侧面积为4√3，所以每个侧面的面积为√3. 则12×2a ×√3a=√3，解得a=1.即正四棱锥的高为√2，故该棱锥的体积为13×22×√2=4√23. 10.D 解析:依题意圆柱的底面半径为R ，则圆柱的高为2R ，故圆柱的体积为πR 2×2R=2πR 3，故A 错误;由题可得，圆锥的母线长为√5R ，圆锥的侧面积为πR ×√5R=√5πR 2，故B 错误; ∵圆柱的侧面积为4πR 2，圆锥表面积为√5πR 2+πR 2，故C 错误; ∴V 圆柱=πR 2·2R=2πR 3，V 圆锥=13πR 2·2R=23πR 3，V 球=43πR 3，∴V 圆柱∶V 圆锥∶V 球=2πR 3∶23πR 3∶43πR 3=3∶1∶2，故D 正确.故选D .11.C 解析:设长方体的三条棱的长度为a ，b ，c ，所以长方体表面积S=2(ab+bc+ac )≤(a+b)22+(b+c)22+(a+c)22，当且仅当a=b=c 时取等号又由题意可知a=b=c 不可能成立，所以当a ，b ，c 的长度最接近时，此时对应的表面积最大，此时三边长分别为8cm ，8cm ，9cm ，用2cm 和6cm 连接在一起形成8cm ，用3cm 和5cm 连接在一起形成8cm ，剩余一条棱长为9cm ，所以最大表面积为2×(8×8+8×9+8×9)=416(cm 2).故选C .12.32解析:圆锥侧面展开图为扇形POP'，如图.由题知，OP=OP'=6，小虫爬行的最短路程为线段PP'，即PP'=6√2.显然有OP2+OP'2=72=PP'2，即∠POP'=π2.设圆锥底面圆半径为r，则有2πr=6×π2=3π，解得r=32.即圆锥形物体的底面半径为32.13.解(1)连接EF，EB，BC1，长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1E=D1F=2，且A1E∥D1F，所以四边形A1EFD1是平行四边形，所以A1D1与EF平行且相等，所以EF与BC平行且相等，所以四边形EFCB为平行四边形，所以FC∥BE，直线CF与C1E所成角就是∠C1EB或其补角，C1E=√EF2+FC12=13，EB=√EB12+BB12=4√10，C1B=√B1B2+B1C12=√41，在△C1EB中，由余弦定理，cos∠C1EB=C1E 2+EB2-C1B22C1E·EB =2×13×4√10=18√1065，所以直线CF与C1E所成角的余弦值为18√1065.(2)设过点E，F的平面α与此长方体的表面相交，交线围成一个正方形，即正方形EFNM，则EM=5，作EP⊥AB于点P，作FQ⊥DC于点Q，所以PM=3，所以点M在点P的右侧，平面α把该长方体分成的两部分为直棱柱AMEA1-DNFD1和直棱柱EMBB1-FNCC1，两个直棱柱的高相等，两部分体积之比为V AMEA 1-DNFD 1VEMBB 1-FNCC 1=AM+A 1E2·AA 1·AD MB+B 1E2·AA 1·BC=721=13.14.B 解析:对于A ，作出图形如图所示，PO=√202-(10√3)2=√400−300=10，所以sin ∠APO=AO AP=10√320=√32，因为0°<∠APO<90°，故∠APO=60°，所以∠APB=120°，故选项A 正确;对于B ，设∠APB=θ，截面三角形面积为S=12·PA 2·sin θ=200sin θ≤200，故选项B 不正确; 对于C ，设外接球球心为M ，半径为R ，所以MA=MP=R ，在△AOM 中，由勾股定理可得300+(R-10)2=R 2，解得R=20，所以该球的表面积S=4π×202=1600π，故选项C 正确;对于D ，设球心为O'，截面主视图如图所示，设内切圆半径为r ，△ABP 各边长分别为PA=PB=20，AB=20√3，所以12×(20+20+20√3)r=12×20√3×10，解得r=20√3-30，故选项D 正确.故选B .15.(1)解由题可知，四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和.可以从整个多面体的角度考虑，所有顶点相关的面角就是多面体的所有多边形表面的内角的集合.由图可知，四棱锥共有5个顶点，5个面，其中4个为三角形，1个为四边形.所以四棱锥的表面内角和由4个为三角形，1个为四边形组成，则其总曲率为2π×5-(4π+2π)=4π.(2)证明设顶点数、棱数、面数分别为n，l，m，所以有n-l+m=2.设第i个面的棱数为x i，所以x1+x2+…+x m=2l，所以总曲率为2πn-π[(x1-2)+(x2-2)+…+(x m-2)]=2πn-π(2l-2m)=2π(n-l+m)=4π，所以这类多面体的总曲率是常数.11。

高三数学第一轮复习立体几何的综合问题知识精讲

高三数学第一轮复习：立体几何的综合问题【本讲主要内容】立体几何的综合问题立体几何知识的综合应用及立体几何与其它知识点的综合问题【知识掌握】【知识点精析】1. 立体几何的综合问题融直线和平面的位置关系于平面与几何体中，有计算也有论证。

解决这类问题需要系统地掌握线线、线面、面面的位置关系，特别是平行与垂直的判定与性质．深刻理解异面直线所成的角、斜线与平面所成的角、二面角的平面角的概念，理解点到面的距离、异面直线的距离的概念．2. 立体几何横向可与向量、代数、三角、解析几何等综合．3. 应用性问题、探索性问题需综合运用所学知识去分析解决．【解题方法指导】例1. 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1的侧面AB1内有一动点P到直线A1B1与直线BC的距离相等，则动点P所在曲线的形状为（）解析：P到直线BC的距离等于P到B的距离，动点P的轨迹满足抛物线定义．故选C.例2. 如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥平面ABCD，（Ⅰ）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；（Ⅱ）证明不论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°．（Ⅰ）解：∵PB⊥面ABCD，∴BA是PA在面ABCD上的射影，又DA⊥AB ∴PA⊥DA∴∠PAB是面PAD与面ABCD所成的二面角的平面角∴∠PAB＝60°，PB＝AB·tan60°＝3a ,∴ V 锥＝3233·3·31a a a =（Ⅱ）证明：不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD 与PCD 恒为等腰三角形，作AE ⊥PD ，垂足为E ，连结CE ，则△ADE ≌△CDE ，因为AE ＝CE ，∠CED ＝90o，故∠CEA 是面PAD 与面PCD 所成的二面角的平面角．设AC 与BD 交于点O ，连结EO ，则EO ⊥AC ，所以a AD AE OA a =<<=22，22a AE <，在△AEC 中，02222cos 222222222<-=-=∙-+=∠AE a AE AE a AE EC AE AC EC AE CEA 所以面PAD 与面PCD 所成的二面角恒大于90o。

高三一轮复习立体几何教案,习题,答案

第七章立体几何第一节空间几何体的结构特征及三视图和直观图2019考纲考题考情1．空间几何体的结构特征2．空间几何体的三视图(1)三视图的形成与名称空间几何体的三视图是用平行投影得到的，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图。

(2)三视图的画法①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线。

②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线。

3．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直。

(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中还是平行于坐标轴的线段。

平行于x轴和z轴的线段长度在直观图中保持不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半。

1．台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点。

2．三视图的基本要求(1)长对正，高平齐，宽相等。

(2)在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚”。

在三视图的判断与识别中要特别注意其中的虚线。

3．斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”⎩⎪⎨⎪⎧ 坐标轴的夹角改变，与y 轴平行的线段的长度变为原来的一半，图形改变。

“三不变”⎩⎪⎨⎪⎧平行性不改变，与x ，z 轴平行的线段的长度不改变，相对位置不改变。

一、走进教材1．(必修2P 8A 组T 1(1)改编)在如图所示的几何体中，是棱柱的为________。

(填写所有正确的序号)答案 ③⑤2．(必修2P 15练习T 1改编)已知如图所示的几何体，其俯视图正确的是()解析由俯视图定义易知选项C符合题意。

故选C。

答案 C二、走近高考3．(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示。

高三数学第一轮复习――立体几何

棱柱的侧面积和体积。
解析：在侧面AB’内作BD⊥AA’于D 连结CD ∵ AC=AB，AD=AD，∠DAB=∠DAC=450 ∴ △DAB≌△DAC ∴ ∠CDA=∠BDA=900，BD=CD ∴ BD⊥AA’，CD⊥AA’ ∴ △DBC是斜三棱柱的直截面在Rt△ADB中，BD=AB·sin450= ∴ △DBC的周长=BD+CD+BC=(+1)a，△DBC的面积= ∴ S侧=b(BD+DC+BC)=(+1)ab ∴ V=·AA’= 评注：求斜棱柱的侧面积有两种方法，一是判断各侧面的形状，求各侧面的面积之和，二是求直截面的周长与侧棱的乘积，求体积时同样可以利用直截面，即V=直截面面积×侧棱长。例6、在三棱锥P—ABC中，PC=16cm，AB=18cm，PA=PB=AC=BC=17cm，求三棱锥的体积VP-ABC。解析：取PC和AB的中点M和N ∴ 在△AMB中，AM2=BM2=172-82=25×9 ∴ AM=BM=15cm，MN2=152-92=24×6 ∴ S△AMB=×AB×MN=×18×12=108(cm2) ∴ VP-ABC=×16×108=576(cm3)
∴ cos∠DBF= ∴ 异面直线BD与AC成角arccos （3）∵ BA⊥平面ADE ∴ 平面DAE⊥平面ABC 故取AE中点M，则有DM⊥平面ABC；取BC中点N，由MN⊥BC，根据三垂线定理，DN⊥BC ∴ DN是D到BC的距离在△DMN中，DM=a，MN=a ∴ DN=a （4）∵ BF平面BDF，AC平面BDF，AC∥BF ∴ AC∥平面BDF 又BD平面BDF ∴ AC与BD的距离即AC到平面BDF的距离 ∵ ， ∴ 由，即异面直线BD与AC的距离为评注：三棱锥的等体积变换求高，也是求点到面距离的常用方法。

高三文科数学一轮复习学案立体几何专题共6课时

第1课时空间点、直线、平面之间的位置关系【考试说明】内容要求 A B C 点、线、面、之间的位置关系平面及其基本性质√【学习要求】1、理解空间点、线、面的位置关系；会用数学语言规范的表述空间点、线、面的位置关系。

了解公理1、2、3及公理3的推论1、2、3，并能正确判定；了解平行公理和等角定理。

2、理解空间直线、平面位置关系的定义，能判定空间两直线的位置关系，了解异面直线所成角。

【知识梳理】1、公理1：如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线上都在这个平面内。

公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他的公共点，这些公共点的集合是公理3：经过的三点，有且只有一个平面。

推论1：经过，有且只有一个平面。

推论2：经过，有且只有一个平面。

推论3：经过，有且只有一个平面。

2 、空间两条直线的位置关系位置关系共面情况公共点的个数相交直线在同一平面内平行直线没有不同在任何一个平面内没有3、平行直线的公理及定理（1）公理4：平行与同一直线的两条直线（2）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别并且方向，那么这两个角相等。

例题1、在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D 中，E 、F 分别为棱1,AB AA 的中点． (1)求证：1,,,E C D F 四点共面；(2)求证：1,,CE D F DA 三线共点。

例题2、如图，E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 各边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且直线EF 和GH 交于点P,求证：点A 、C 、P 在同一条直线上。

例题3、正方体1111ABCD A B C D 中,对角线1A C 与平面1BDC 交于点O ,AC 与BD 交于M ,求证:1,C O M ，共线.例题4、证明两两相交且不交于同一个点的四条直线共面。

第2课时直线与平面的位置关系（1）1、了解直线与平面的位置关系，了解空间平行的有关概念；除了能熟练运用线面平行的判定定理和性质定理外，还要充分利用定义。

高三数学一轮复习课件立体几何

D
公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共
点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．
P l且P l
作用 1、用来判定两平面是否相交； 2、画两个相交平面的交线；即: A , A 直线AB为交线. B , B 3、证明多点共线. 练习2：已知ΔABC在平面α外， AB、AC、BC的延长线分别与平面α交于点M、N、P三
C1 D1 E B F C A A1 D B1
例2 ：
已知正方体的棱长为a , M 为 AB 的中点, N为 BB1的中点，求 A1M 与 C1 N 所成角的余弦值。解：如图，取A1B1的中点E, 连BE, 有BE∥ A1M 取CC1的中点G，连BG. 有BG∥ C1N

棱柱棱锥棱台圆柱圆锥圆台球
结构特征
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行。
侧棱
E’ F’ A’
D’ B’
C’
底面
E
D
F
A
侧面
C
B
顶点
棱柱棱锥棱台圆柱圆锥圆台球
结构特征
有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点侧棱的三角形。
a′
θ
O
平移
若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直。异面直线a与b垂直也记作a⊥b
90] 异面直线所成角θ 的取值范围：（0，
4.求异面直线所成的角:
求两条异面直线所成角的步骤:
1.选点,引平行线找到所求的角; 2.把该角放入三角形; 3.根据边角关系计算,求角. 例1.正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E,F分别是BB1,CC1的中点，求AE,BF所成的角

高三立体几何一轮复习修改教案

第九模块立体几何3平面基本性质与空间两直线的位置关系、空间点与线，点与面，线与线，线与面，面与面位置关系二、平面基本性质定理及推论性质一：若直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内符号表示：代B l且代B 则l性质二：经过不在同一直线上的三点有唯推论1直线和直线外一点确定唯一平面推论2:平行直线确定唯一平面推论3:相交直线确定唯一平面性质三：两个不重合的平面有一个公共点，那么有唯一一条通过公共点的公共交线该性质符号表示：三、异面直线所成的角1、求异面直线a与b所成角的方法在空间中任取一点平行线，则a,b a，b线线角的范围0，90 异面直线所成角的范围0，90°四、平行：空间中平行于同一条直线的两条直线平行典例一、三线共点问题解题思路：先证明其中两条直线共点，再证明该点在第三条直线上个平面0,过O作a与b的b2、线线角的范围例空间四边形ABCD中，E，F,G分别在AB，BC，CD上，且满足AE : EB=CF : FB=2:1，CG: GD=AH : HD=3:1，过E，F,G 的平面交AD 于H求证：EH，FG，BD三线共点F练习：⑴三个平面两两相交得到三条交线，如果其中有两条相交于一点，那么第三条直线也经过这一点二、三点共线解题思路：证明这三个点是两个平面的公共点例如图，在在四面体ABCD中作截面PQRPQCB的延长线交于MRQDB的延长线交于N.RPQC 的延长线交于K。

求证：M N, K三点共线A三、三线共面问题证空间中三条平行线共面四、求异面直线所成角问题注：利用平行公理找角，利用余弦定理计算，结果要锐角或直角A l B1C i D1中，E，F ㈠平移法利用平行公理把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角正方体ABCDB i和C C i中点，则直线AE和BF所成分别是B角的余弦值㈡补形法例：在直三棱柱A i B i C i ABC中, BCA 90，点D i’F i分别是AB i，AiC i中点，BC=CA=C01，则B D 1与AR 所成角的余弦值1 C .3015—— C 、 ---- D 、 -------------215 10EF 与CD 所成的角等于 ⑵正方体ABCDA B 1C 1 D 1中，E , F 分别是正方形AD D 1 A 1和ABCD 的中心，G 是C C 1的中点，设GF ,C 1E 与AB 所成的角分别为，求五、作空间两个已知平面的交线如图所示，在棱长为 a 的正方体ABCDAB 1C ID 1中，M ，N 分别是A A ，C 1D 1上中点，过D , M,N 三点的平面与正方体的下底面相交于直线 I,⑴画出直线I综合练习：1、在空间中，下列命题正确的是 A 、对边相等的四边形一定是平面图形 B 、四边相等的四边形一定是平面图形C 有一组对边平行的四边形一定是平面图形D 、有一组对角相等的四边形一定是平面图形2、下列说法一定正确的是① 三角形- -定是平面图形② 若四边形的两条对角线相交于一点，则四边形一定是平面图形 ③ 圆心和圆上两点可以确定一个平面④三条平行线最多可以确定三个平面3、下列命题正确的有①若 ABC 在平面夕卜，它的三条边所在的直线分别交于P, Q R 则P, Q, R 共线•、30练习：⑴在四面体ABCD 中, E,F 分别是AC , BD 的中点，若 CD=2AB=2，EF AB ，贝UA75 B 、60C、 45 D、30的长1②若三条直线a,b,c互相平行，且分别交直线I于A, B, C三点，则这四直线共面③空间中不共线的五个点最多可以确定10个平面平面与相交，在与内各取两点，所取的四个点都不在交线上，这四个点能确定多少个平面4空间平行关系、空间平行关系转化图及相关定理面面平行判定定理推论审线面平行面面平行平行判定定理判定定理线线平行公理线线平行线面平行面面平行* 线面平行面面平行“性质定理基本性质面面平行性质定理㈠平行公理：空间中平行于同一条直线的两条直线平行㈡线面平行的判定定理：1、文字语言：平面外直线与平面内直线平行则线面平行2、图形语言：3、符号语言：丨,1 || m 丨||㈢先面平行的性质定理1、文字语言：线面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，则线面平行2、图形语言3、符号语言: I || ,I l||㈣面面平行性质定理1、文字语言：如果一个平面内两条相交直线与另一个平面平行则面面平行2、图形语言㈤面面平行的性质定理：1、文字语言：面面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行2、图形语言：3、符号语言：|| ,1 l ||㈥面面平行判定定理的推论1、文字语言:如果一个平面内两条相交直线与另一个平面平行则面面平行2、图形语言3、符号语言：l,m ,l m,l || ,m|| ||㈦面面平行性质定理1、文字语言：如果两个平行平面和第三个平面相交，则交线平行2、图形语言：|| , l, m l ||m注：应用该定理时一定要保证和两个平行平面相交的四边形是平面图形判断一个四边形是平面图形的方法补充结论：1、平行于同一平面的两个平面平行2、垂直于同一平面的两条直线平行3、垂直于同一直线的两个平面平行典例：一、线面平行的判定与性质㈠线面平行判定两条相交直线确定唯一平面两条平行线确定唯一平面线面平行，面面平行的判定与性质是我们今后研究的主要问题, 线面平行的判定方法② 向量法③ 线面平行定义：直线与平面没有公共点其中线线平行关系的判定是解决线面平行判定问题的关键, 常见的线线平行的判断方法有平行公理从线面平行到线线平行从面面平行到线面平行② 三角形，平行四边形（菱形，矩形，正方形）梯形中位线性质在找三角形中位线是常常利用平行四边形（菱形，矩形，正方形）对角线互相平分的性质 ③ 利用平行线分线段成比例定理推论找平行线平行于三角形一边，截其它两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例①平行关系转画图利用线线平行证线面平行利用面面平行证线面平行①平行关系转画图例已知正方体 ABCD- AB 1C 〔D1，棱长为a,E,F 分别在AB 1 , BD 上，且pF BF求证：EF|平面BCC 1 B 1练习：已知有公共边的两个全等矩形ABCD 和ABEF 不在同一平面内，P , Q 分别是对角线AE , BD 上的点，且AP=DQ求证：PQ||平面CBE ㈡线面平行的性质DE // BC⑴ADAEDB EC⑵AD AEDE AB AC BC注：反之任取一组比例式可推得 DE // BCDE // BCDA EA DE AC AB BC注：反之任取一组比例式可推知 DE // BC例如图所示：已知 E , F , G , M 分别是四面体的棱 AD , CD , BD , BC 的中点，求证:AM|| 面 EFG注该定理常和合分比定理结合④ 向量法（后面讲）⑤ 垂直于同一平面的两条直线平行设计说明：可以通过面面平行证线面平行例1、如图四边形 ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 中点，在DM 上取一点 G ,过G 和AM 做平面交平面 BDM 于GH ,求证:AP||GH利用线线平行证明线面平行，再利用线面平行证线线平行利用平行四边形（菱形，矩形，正方形）对角线互相平分的性质找中点，连中位线，创造线线平行条件求证：AB ill 平面BMCi设计说明：牢牢把握直（正）棱柱，正棱锥的结构特征对于研究空间几何问题（空间平行关系的判定与性质及空间垂直关系的判定与性质）有很大帮助。

高三一轮立体几何复习课教案

高三一轮立体几何复习课教案教案标题：高三一轮立体几何复习课教案教案目标：1. 复习高三一轮学习的立体几何基础知识；2. 强化学生对常见立体几何概念的理解和应用；3. 提高学生的解题能力和问题解决能力。

教学重点：1. 复习并掌握常见立体几何概念，如平行四边形、柱体、锥体等；2. 强化立体几何的思维方式和问题解决方法；3. 训练学生解决高难度立体几何题目的能力。

教学准备：1. 教学课件或者白板、黑板等；2. 学生练习册或习题集；3. 成绩单和学生笔记。

教学过程：一、引入（5分钟）1. 利用教学课件或黑板，引入本节课的主题，并激发学生对立体几何的兴趣和热情；2. 老师可以提出一个与立体几何相关的问题或者引用一个实际问题来引导学生思考；二、复习基础知识（15分钟）1. 复习并强化学生对立体几何基础概念的理解，例如平行四边形的性质、柱体的表面积和体积公式等；2. 提供简单的练习题，让学生回顾并解答，鼓励他们回忆相关的知识点；三、强化概念应用（25分钟）1. 回顾并讲解一些与立体几何相关的典型问题，例如求解线段比例、求解表面积和体积等；2. 给学生一些有挑战性的练习题，鼓励他们应用所学概念解决实际问题；3. 指导学生分析问题、确定解题方法，并辅导他们解题的思路和步骤；四、解题方法分享（15分钟）1. 学生进行小组活动，交流并分享解答问题的方法和思路；2. 老师对学生的分享进行点评和总结，同时指导他们在解题过程中的注意事项；3. 提供一些高难度问题，鼓励学生结合所学知识和解题方法进行探索和解答；五、课堂练习与梳理（15分钟）1. 发放练习册或习题集，让学生进行课堂练习；2. 在学生进行练习的同时，教师可以对学生的解题过程进行辅导和指导；3. 收集学生的成绩单，并提醒学生及时梳理和复习今日所学的知识点。

六、课堂总结与反思（5分钟）1. 对本节课的重点、难点进行总结，并强调学生的进步和知识提高；2. 鼓励学生提出问题、反思自己在学习过程中的困惑和不足之处；3. 鼓励学生积极参与课后的巩固练习，并准备下节课的复习内容。

2023届高三数学一轮复习专题立体几何垂直系统讲义 (解析版)

高三数学第一轮复习专题垂直系统专题第一部分直线与平面垂直的判定及性质一。

线面垂直的定义：l l αα若直线与平面内的任意一条直线都垂直,则称直线与平面垂直.记作：l α⊥。

l 直线叫做α平面的垂线，α平面叫做l 直线的垂面。

（★★★）线面垂直的定义可以作为线面垂直的性质定理使用：若l 直线与α平面垂直，则l 直线与α平面内任意一条直线都垂直。

,l a l a αα⊥⊂⇒⊥ ⇒线面垂直线线垂直二。

线面垂直的判定定理：1。

判定定理1：若一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与这个平面垂直。

（★★★）⇒线线垂直线面垂直,,,,a b a b P l a l b l ααα⊂⊂⋂=⊥⊥⇒⊥两个核心条件：,l a l b ⊥⊥2。

判定定理2：若两平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面。

（★★）a ∥b ，a α⊥b α⇒⊥三。

线面垂直的性质定理：1。

性质定理1：垂直于同一平面的两直线平行。

a α⊥，b α⊥a ⇒∥bα2。

性质定理2：垂直于同一直线的两平面平行。

l α⊥，l β⊥⇒α∥β题型一：线线垂直与线面垂直的互相证明 ★★★★★判定定义线线垂直线面垂直这两个定理（定义）构成了一个很重要的小循环：⇒⇒⇒⇒⋅⋅⋅⋅⋅⋅线线垂直线面垂直线线垂直线面垂直例1。

P 为ABC 所在平面外一点，PA ABC ⊥平面，090ABC ∠=，AE PB E ⊥于，AF PC F ⊥于。

求证：PC AEF ⊥平面。

（★★）规律：常用线面垂直来证明两直线“异面垂直”。

已知的是相交垂直，要证的是异面垂直。

分析：从后往前分析。

要证()PC AF PC AEF PC AE AE PBC ⎧⊥⎪⊥⇐⎨⊥⇐⊥⎪⎩已知平面平面 α()090AE PB BC AB ABC AE BC BC PAB BC PA PA ABC ⎧⊥⎪⎪⇐⎨⎧⊥⇐∠=⎪⊥⇐⊥⇐⎨⎪⊥⇐⊥⎩⎩已知平面平面但写证明过程时要从前往后写。

[精]高三第一轮复习全套课件9立体几何：立体几何复习1

ˊ ˊ
o
o
α
a
一、概念
名称定义
直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，作直线a’、b’，并使a’//a，b’//b，我们把直线a’ 和b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，特别地，若Lᅩα则 L与α所成的角是直角，若L//α或 L α，则L与α所成的角是0º 的角。
E 2
3
C
3
A 4 B A 4 B
二面角 D—AE—B 为60º
解：如图（1），作DM⊥AE于M，延长DM交CB于N ，沿AE折成60º 的二面角后如图（2）
过D作DF⊥平面ABCE, 连结EF、 DC 、 CF. 于是∠DEF是DE与平面ABCE所成的角， ∠DCF是DC与平面ABCE所成的角. D 3 A 4
C1
A1 C A
分析：求二面角B B1C A的度数，要作出平面角，显然二面角的棱为B1C，故需在B1C上取一点，然后分别在两个面内作垂直于棱的两条射线。
AN= AB AC = 1 2 = 6 3 3 BC 又 AC AB1 AQ B1C=AC AB1 AB1 AC 2 2 AQ= = =1 B1C AN 26 Sin AQN= AQ =
①作（找）证 ③ 点 ④ 算 ②
例1：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F 三、例题
分别是BB1 、CD中点。求AE与D1F所成的角。
连结解：如图，取AB的中点G ， FG ，A1G ， A1G与AE交于O （作） FG AD又 AD A1D1 A1 A1D1 FG 四边形A1GFD1 为平行四边形 D1 C1
图形

高三数学第一轮复习教学案---立体几何全章

高三数学第一轮复习教学案---立体几何全章（2008.7）第九章直线、平面、简单几何体知识图谱二、考纲要求(1)掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图．能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形．能够根据图形想象它们的位置关系．(2)掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理．掌握两条直线所成的角和距离的概念(对于异面线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离或在坐标表示下的距离)．(3)掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理．掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理．掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念，了解三垂线定理及其逆定理．(4)掌握两个平面平行的判定定理和性质定理．掌握二面角、二面角的平面角、两个平面间的距离的概念掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理．(5)会用反证法证明简单的问题．(6)了解多面体的概念，了解凸多面体的概念．(7)了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图．(8)了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图．(9)了解正多面体的概念.(10)了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式．第一节：平面的基本性质教学目的：①知识目标：掌握平面的基本性质，会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图；能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系；②能力目标：能够运用平面的基本性质，进行有关推理，培养空间想能力；③情感目标：结合实际，认识学习基础知识的重要性。

教学重点、难点及其突破：本节内容是高考的基本考核内容，是为进一步学习和培养逻辑推理能力打下基础，高考中，一般不单独命题。

复习中要掌握平面基本性质的三条公理及推论，能运用它们证明共点、共线、共面问题，从而加深对性质的理解。

难点是平面基本性质的三条公理及推论，能运用它们证明共点、共线、共面问题，从而加深对性质的理解。