信号与系统-郑君里-3

4
)
2
s in 0t
1 2
sin
30t
解 将f(t)整理为标准形式
f
(t)
1
2
c
os
(0t
4
)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
c
os
(20t
5
4
)
1 2
c
os(30t
)
2
1
2
c
os(0t
4
)
c
os(20t
5
4
)
1 2
cos(30t
2
)
振幅谱与相位谱如图3.1-1所示。
cn 2
1
11
2
π n
4
0
0
0
0
－
π 4
0 0 0 0
－
π 2
•
F(nω0)是复常数， 通常简写为Fn。
Fn还可以表示成模和幅角的形式
Fn Fn e jn
(3.1-12)
三角函数标准形式中cn是第n次谐波分量的振幅， 但在指数形式中， Fn要与相对应的第-n项F-n合并， 构 成第n次谐波分量的振幅和相位。
• 指数形式与三角形式系数之间的关系为
F0 a0 c0
1 2a
0a
()
π 2
0
－
π 2
图 eatu(-t)波形及其振幅、 相位谱
•
2. 双边指数函数
•
f(t)=e-a|t|
-∞<t<∞, a>0
•
或 f(t)=eatu(-t)+e-at u(t)
• 利用以上单边指数函数的变换结果我们
有
F ( )
1
a j
1
a j
2a
a2 2
即
F ( )
2a
a2 2
e(a j )t
a j
|0
a
1
j
1
j arctan
ea
a2 2
即
F ( ) 1 a j
F ( j )
1
a2
2
( ) arctan
a
单边非因果指数函数的波形f(t)、 振幅谱|F(jω)|、 相 位谱φ(ω)如图3.3-2所示。
f (t)＝ eat u(－t) 0t
1 F () a
F (n0 )e jn0t
Fe jn0t
n
n
• 其中系数
F
(n0 )
1 T
t0 T t0
f
(t)e j0tdt
1 2
cn
(
c
os
n
j sinn )
1 2
(an
jbn )
1 T
t0 T t0
f (t)(cosn0t j sin n0t)dt
1 t0T 2 t0
f (t)e jn0tdt Fn
4．尺度变换特性 设 f (t) F (n0 )
f (at) G(n0 )
。
信号进行时间尺度变换后，其各次谐波的傅立叶系 数保持不变，但基波频率要从 0 变为 0 a0
5．时域微分特性
3.2 非周期信号的频谱——傅里叶变换
• 3.2.1 从傅里叶级数到傅里叶变换
•
若将非周期信号看作是周期信号
3.1.4 傅里叶级数的性质
1. 线性性质
2．对称特性 （1）偶对称。若 f (t是) 关于纵轴对称的偶函数，即
f (t) f (t)，则其傅立叶系数有如下关系：
（2）奇对称。若 f (t是) 关于原点对称的奇函数，即
f (t) f ( ，t) 则其傅立叶系数有如下关系：
3．时移特性
傅立叶级数的时移特性说明，傅立叶级数的幅度只与 信号的形状有关，而与信号在时间轴上的位置无关。 即信号的超前或滞后只会影响傅立叶系数的相角，而 不会改变其幅度。
(a)
(b)
图 3.1-1 例3.1-1 (a) 振幅图； (b) 相位图
• 3.1.2 指数形式的傅里叶级数
•利用欧拉公式
c osn0
1 (e jn0 2
e jn0 )
sin n0
1
(e jn0
e jn0 )
j2
e jn0 cosn0 j sin n0
• 我们可以将三角形式的傅里叶级数表示为复
t0 t0
显然， 这个函数不满足绝对可积条件， 不能直接 来求。 我们可用以下极限形式表示sngt函数
sgnt lim a t sgnt lim[eatu(t) eatu(t)]
a0
a0
•
上式是两个单边指数函数的组合，
利用前面的结果， 并取极限可得
F
(
)
lim
a0
a
1
j
a
1
j
2
j
F ( ) 2
•
(1) 单边因果指数函数
•
f (t) eatu(t) a 0
F ( ) eatu(t)e jtdt e(a j )dt
e(a j )t
a j
|0
1
a j
1
j arctan
ea
a2 2
即
F ( ) 1 a j
F ( j )
1
a2 2
( ) arctan
(3.2-2)
•
式中, |F(ω)|是振幅谱密度函数， 简
称振幅谱； φ(ω)是相位谱密度函数， 简
称相位谱。 一般把式(3.2-1)与式(3.2-2)叫
做傅里叶变换对， 其中式(3.2-1)为傅里
叶变换， 式(3.2-2)为傅里叶反变换。 傅
里叶变换对关系也常用下述符号表示
F( j) F[ f (t)]
在的充分条件是无限区间内函数绝对可积， 即
f (t) dt
信号的时间函数f(t)和它的傅氏变换即频谱F(ω)是同 一信号的两种不同的表现形式。 不过， f(t)显示了时间 信息而隐藏了频率信息； F(ω)显示了频率信息而隐藏了 时间信息。
3.2.3 常用函数的傅里叶变换对
•
1. 单边指数函数
或
f (t) F 1[F ()]
f (t) F( j)
•
傅里叶变换也简称傅氏变换， 用英
文缩写FT或F表示； 傅里叶反变换用英
文缩写IFT或F-1表示。 若f(t)为因果信号，
则傅里叶变换式为
F ( j ) f (t)e jtdt 0
反变换同式(3.2-2)。
•
上式表示F(jω)与f(t)具有一一对应
f
(t)
u(t
2
)
u(t
2
)
g
(t)
F()
g (t)e jtdt
/2 / 2
e jtdt
2
sin
2
sin( / 2) / 2
Sa
2
• 门函数的频谱函数、 振幅谱、 相
位谱为
F ( )
Sa
2
F ( )
Sa
2
(
)
0
n
2(2n
1)
2(2n 1)
4(n 1)
fT (t)
n
1 T
fT (t)e jn0tdte jn0t
fT (t)
n
0 2
fT (t)e jn0tdte jn0t
f (t)
1
2
fT (t)e j tdt e j td
f (t) 1 F ( j )e j td
2
(3.2-1)
F ( j ) F ( ) e j ( )
Fn
Fn
e jn
1 2
(an
jbn )
1 2
cn
e
j
n
Fn
1 2 (an
jbn )
1 2
cn
e
j
n
Fn
1 2
cn
Fn
n
arctan bn an
Fn Fn 2 ReFn an
j(Fn Fn ) j2 ImFn bn
• 例1的指数形式频谱图如下图所示。
1 12 4
F
(
)
() 0
双边指数函数的波形f(t)、 频谱F(jω)如图所示。
f (t)
eat u(－t)
e－at u(t)
0
t
F() ＝ F()
2 a
1 a
0a
图 双边指数函数的波形、 频谱
• 3. 符号函数
• 符号函数也称正负函数， 记为sgn(t)，
表示式为
sgnt u(t)
u(t)
1 1
(1)在任意周期内存在有限个第一类间断点 (2)在任意周期内存在有限个的极值点； (3)在任意周期上是绝对可积的，即
t0T f (t) dt
t0
可以展开为三角形式的傅立叶级数，为
f (t) a0 a1 cos0t a2 cos20t b1 sin 0t b2 sin 20t
a0 (an cosn0t bn sin n0t) n1
T→∞的极限情况， 非周期信号就可以表
示为
lim
T
fT (t)
f
(t)
• 以周期矩形脉冲为例， 当T→∞时， 周期信号就变成单脉冲信号的非周期信 号。 随着T的增大， 离散谱线间隔ω0就 变窄； 当T→∞， ω0→0， |Fn|→0时， 离 散谱就变成了连续谱。 虽然|Fn|→0， 但 其频谱分布规律依然存在， 它们之间的 相对值仍有差别。 为了表明这种振幅、 相位随频率变化的相对关系， 我们引入 频谱密度函数。
a