2019-2020学年高中数学课时分层作业1命题

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高中数学同步练习课时分层作业1 归纳推理

课时分层作业(一)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401,75＝16 807,76＝117 649,…,则72 019的末两位数字为( )A ．01B ．43C ．07D ．49B [由运算规律知末两位数字以4为周期重复出现,故72 019的末两位数字为43.]2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2·a n (n≥2),且a 1＝1,通过计算a 2,a 3,a 4,猜想a n ＝( ) A.2(n ＋1)2 B.2n (n ＋1)C.22n－1D.22n －1B [可以通过S n ＝n 2·a n (n≥2)分别代入n ＝2,3,4,求得a 2＝13,a 3＝16,a 4＝110,猜想a n ＝2n (n ＋1).]3．给出下面的等式： 1×9＋2＝11, 12×9＋3＝111, 123×9＋4＝1 111, 1 234×9＋5＝11 111, 12 345×9＋6＝111 111, ……猜测123 456×9＋7等于( ) A ．1 111 110 B ．1 111 111 C ．1 111 112D ．1 111 113B [观察几组数据可知,等号左边变化的数字依次为1和2,12和3,123和4,1 234和5,12 345和6,等号右边依次为2个1,3个1,4个1,5个1,6个1,因此猜测当等号左边为123 456和7时,对应等号右边应为7个1．]4．我们把1,4,9,16,25,…这些数称做正方形数,这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正方形(如图)．则第n 个正方形数是( )A．n(n－1) B．n(n＋1)C．n2D．(n＋1)2C[观察前5个正方形数,恰好是序号的平方,所以第n个正方形数应为n2．]5．如图所示,着色的三角形的个数依次构成数列{a n}的前4项,则这个数列的一个通项公式为( )A．a n＝3n－1B．a n＝3nC．a n＝3n－2n D．a n＝3n－1＋2n－3A[∵a1＝1,a2＝3,a3＝9,a4＝27,猜想a n＝3n－1．]二、填空题6．设函数f(x)＝xx＋2(x>0),观察：f1(x)＝f(x)＝xx＋2,f2(x)＝f(f1(x))＝x3x＋4,f3(x)＝f(f2(x))＝x7x＋8,f4(x)＝f(f3(x))＝x15x＋16,……根据以上事实,当n∈N＋时,由归纳推理可得：f n(1)＝________.12n＋1－1[归纳推理可得f n(x)＝x(2n－1)x＋2n(n∈N＋),解得f n(1)＝12n＋1－1.]7．观察下列等式：1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49照此规律,第五个等式应为________．5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81 [由于1＝12,2＋3＋4＝9＝32,3＋4＋5＋6＋7＝25＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72,所以第五个等式为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92＝81．]8．如图所示,由若干个点组成形如三角形的图形,每条边(包括两个端点)有n(n>1,n∈N ＋)个点,每个图形总的点数记为a n ,则a 6＝____________,a n ＝____________.15 3n －3(n≥2,n∈N ＋) [依据图形特点可知当n ＝6时,三角形各边上各有6个点,因此a 6＝3×6－3＝15.由n ＝2,3,4,5,6时各图形的特点归纳得a n ＝3n －3(n≥2,n∈N ＋)．] 三、解答题9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1＝1,且S n －1＋1S n ＋2＝0(n≥2),计算S 1,S 2,S 3,S 4,并猜想S n 的表达式．[解] 当n ＝1时,S 1＝a 1＝1；当n ＝2时,1S 2＝－2－S 1＝－3,∴S 2＝－13；当n ＝3时,1S 3＝－2－S 2＝－53,∴S 3＝－35；当n ＝4时,1S 4＝－2－S 3＝－75,∴S 4＝－57.猜想：S n ＝－2n －32n －1(n∈N ＋)．10．已知f(x)＝13x ＋3,分别求f(0)＋f(1),f(－1)＋f(2),f(－2)＋f(3)的值,然后归纳猜想一般性结论,并证明你的结论．[解] 由f(x)＝13x ＋3,得f(0)＋f(1)＝130＋3＋131＋3＝33,f(－1)＋f(2)＝13－1＋3＋132＋3＝33,f(－2)＋f(3)＝13－2＋3＋133＋3＝33.归纳猜想一般性结论为f(－x)＋f(x ＋1)＝33. 证明如下：f(－x)＋f(x ＋1)＝13－x ＋3＋13x ＋1＋3＝3x1＋3·3x ＋13x ＋1＋3＝3·3x3＋3x ＋1＋13x ＋1＋3 ＝3·3x＋13＋3x ＋1＝3·3x＋13(1＋3·3x)＝33. [能力提升练]1．平面内有n 条直线,最多可将平面分成f(n)个区域,则f(n)的表达式为( ) A ．n ＋1 B ．2n C.n 2＋n ＋22D ．n 2＋n ＋1C [1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……,n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋n (n ＋1)2＝n 2＋n ＋22个区域,选C.] 2．已知整数对的序列为(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…,则第57个数对是( )A ．(2,10)B ．(10,2)C ．(3,5)D ．(5,3)A [由题意,发现所给数对有如下规律： (1,1)的和为2,共1个； (1,2),(2,1)的和为3,共2个； (1,3),(2,2),(3,1)的和为4,共3个； (1,4),(2,3),(3,2),(4,1)的和为5,共4个； (1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)的和为6,共5个．由此可知,当数对中两个数字之和为n 时,有n －1个数对．易知第57个数对中两数之和为12,且是两数之和为12的数对中的第2个数对,故为(2,10)．]3．如下图所示是由火柴杆拼成的一列图形,第n 个图形由n 个正方形组成：通过观察可以发现：第4个图形中,火柴杆有________根；第n 个图形中,火柴杆有________根．13 3n ＋1 [n ＝1,2,3,4时,火柴杆数分别为4根,7根,10根,13根,由此可归纳火柴杆数是一个以4为首项,以3为公差的等差数列,故第n 个图形中,火柴杆有3n ＋1根．]4．如图,将一个边长为1的正三角形的每条边三等分,以中间一段为边向三角形外作正三角形,并擦去中间一段,得图②,如此继续下去,得图③,……,试用n 表示出第n 个图形的边数a n ＝________.① ② ③3×4n －1(n∈N ＋) [观察图形可知,a 1＝3,a 2＝12,a 3＝48,…,故{a n }是首项为3,公比为4的等比数列,故a n ＝3×4n －1(n∈N ＋)．]5．某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论． [解] (1)选择②式,计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－ sin α(cos 30° cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.。

2019-2020学年人教A版高中数学必修1 课时分层训练：第三章 3.1 3.1.2 Word

姓名，年级：时间：第三章3。

1 3.1.2 用二分法求方程的近似解课时分层训练‖层级一‖｜学业水平达标|1．下列函数中不能用二分法求零点的是（)A．f(x）＝2x＋3 B．f(x）＝ln x＋2x－6C．f(x)＝x2－2x＋1 D．f（x）＝2x－1解析：选C f（x）＝x2－2x＋1＝(x－1）2≥0，零点是1,它的左、右两侧函数值同号．2．用二分法求如图所示函数f（x）的零点时,不可能求出的零点是( ）A．x1B．x2C．x3D．x4解析:选C 观察图象知，x3附近两边的函数值都是负值，因此不能用二分法求．3．根据下表，用二分法求函数f(x)＝x3－3x＋1在区间(1,2)上的零点的近似值(精确度0。

1)是（)f(1)＝－1f（2)＝3f(1。

5）＝－0。

125f(1。

75)＝1。

109375f（1。

625)＝0.416 01562f(1。

562 5）＝0。

127 19726A。

1.75C．1。

612 5 D．1。

56解析：选D ∵f（1。

5）·f(1。

562 5)<0，且｜1。

562 5－1.5｜＝0。

062 5<0。

1，∴函数f(x)在(1，2）上零点可以是（1。

5，1。

562 5)上的任何一个值,故选D.4．设函数y＝x2与y＝错误!x－2的图象交点为（x0，y0），则x0所在区间是( ) A．(0,1）B．(1,2)C．(2，3) D．(3，4)解析:选B 令f(x)＝x2－错误!x－2,则f（0）＝－4<0，f(1）＝－1<0,f(2）＝3>0，∴f（x）的零点在区间(1,2）内，即函数y＝x2与y＝错误!x－2的图象交点的横坐标x0∈（1，2)．5．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2）内近似解的过程中得f（1)<0，f（1.5)〉0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间( ）A．(1,1。

2019_2020学年高中数学课时分层作业1任意角(含解析)苏教版必修4

课时分层作业(一) 任意角(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．下列命题正确的是( )A ．三角形的内角必是第一、二象限角B ．始边相同而终边不同的角一定不相等C ．第四象限角一定是负角D ．钝角比第三象限角小B [只有B 正确．对于A ，如90°角不在任何象限；对于C ，如330°角在第四象限但不是负角；对于D ，钝角不一定比第三象限角小．]2．下面各组角中，终边相同的角是( )A ．390°，690°B ．－330°，750°C ．480°，－420°D ．3 000°，－840°B [－330°＝－360°＋30°，750°＝2×360°＋30°，均与30°角终边相同．]3．下列说法中不正确的是( )A ．－75°是第四象限的角B ．225°是第三象限的角C ．415°是第二象限的角D ．－315°是第一象限的角C [先把角写成k ·360°＋α(0°≤α<360°)的形式，再由α判断角所在的象限．]4．若α是第四象限角，则180°－α所在象限是( )A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限B [如图所示，∵α是第四象限角，则－α是第一象限角，∴180°－α是第三象限角．]5．若角α的终边与240°角的终边相同，则α2的终边所在象限是( ) A ．第二或第四象限B ．第二或第三象限C ．第一或第四象限D ．第三或第四象限A [角α满足的集合为{α|α＝k ·360°＋240°，k ∈Z }，故有⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α2⎪⎪⎪ α2＝k ·180°＋120°，k ∈Z ，∴α2终边落在第二象限或第四象限．]二、填空题6．已知角α的终边与－100°角的终边关于y轴对称，则α的取值集合为________．{α|α＝k·360°－80°，k∈Z} [如图，－80°角与－100°角的终边关于y轴对称，因此α的取值集合为{α|α＝k·360°－80°，k∈Z}．] 7．已知角α＝－3 000°，则与角α终边相同的最小正角是________．240°[与角α终边相同的角的集合为{θ|θ＝k·360°－3 000°，k∈Z}，与角θ终边相同的最小正角是当k＝9时，θ＝9×360°－3 000°＝240°，所以与角α终边相同的最小正角为240°.]8．已知α是第二象限角，且7α与2α的终边相同，则α＝________.k·360°＋144°(k∈Z) [7α＝k·360°＋2α(k∈Z)，∴α＝k·72°，又α为第二象限角，∴在0°～360°内符合条件的角为144°，故α＝k·360°＋144°(k∈Z)．]三、解答题9．写出终边在如图所示直线上的角的集合．[解] (1)在0°～360°范围内，终边在x轴上的角有两个，即0°和180°，因此所有与0°角的终边相同的角构成集合S1＝{β|β＝0°＋k·360°，k∈Z}，而所有与180°角的终边相同的角构成集合S2＝{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}．于是，终边落在x轴上的角的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}．(2)在0°～360°范围内，终边在直线y＝－x上的角有两个，即135°和315°.因此，终边在直线y＝－x上的角的集合S＝{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝315°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}．(3)终边在直线y＝x上的角的集合为{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}，于是所求角的集合S＝{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}∪{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋2k·90°，k∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋k·90°，k∈Z}．10．已知角x的终边落在如图阴影部分区域(包括边界)，写出角x组成的集合．[解] (1){x|k·360°－135°≤x≤k·360°＋135°，k∈Z}．(2){x|k·360°＋30°≤x≤k·360°＋60°，k∈Z}∪{x|k·360°＋210°≤x≤k·360°＋240°，k∈Z}＝{x|2k·180°＋30°≤x≤2k·180°＋60°，或(2k＋1)·180°＋30°≤x≤(2k＋1)·180°＋60°，k∈Z}＝{x|n·180°＋30°≤x≤n·180°＋60°，n∈Z}．[等级过关练]1．下列说法中正确的是( )A．120°角与420°角的终边相同B．若α是锐角，则2α是第二象限的角C．－240°角与480°角都是第三象限的角D．60°角与－420°角的终边关于x轴对称D[对于A,420°＝360°＋60°，所以60°角与420°角终边相同，所以A不正确；对于B，α＝30°角是锐角，而2α＝60°角也是锐角，所以B不正确；对于C,480°＝360°＋120°，所以480°角是第二象限角，所以C不正确；对于D，－420°＝－360°－60°，又60°角与－60°角终边关于x轴对称，故D正确．]2．集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中，角α所表示的范围(下图阴影部分)正确的是( )C[令k＝0得，45°≤α≤90°，排除B、D，令k＝－1得，－135°≤α≤－90°，排除A.故选C.]3．已知集合M＝{第一象限角}，N＝{锐角}，P＝{小于90°的角}，则以下关系式你认为正确的是________(填序号)．①M P；②M∩P＝N；③N∪P⊆P.③[对于①：390°是第一象限角，但390°>90°.对于②：－330°是第一象限角且－330°<90°，但－330°不是锐角．对于③：锐角一定小于90°，所以N P，故N ∪P ⊆P .]4．钟表经过4小时，时针转过的度数为________，分针转过的度数为________．－120° －1 440° [分针和时针均按顺时针方向旋转，其中分针连续转过4周，时针转过13周．] 5．若α是第一象限角，问－α，2α，α3是第几象限角？ [解] ∵α是第一象限角，∴k ·360°＜α＜k ·360°＋90°(k ∈Z )．(1)－k ·360°－90°＜－α＜－k ·360°(k ∈Z )，∴－α所在区域与(－90°，0°)范围相同，故－α是第四象限角．(2)2k ·360°＜2α＜2k ·360°＋180°(k ∈Z )，∴2α所在区域与(0°，180°)范围相同，故2α是第一、二象限角或终边在y 轴的非负半轴上．(3)k ·120°＜α3＜k ·120°＋30°(k ∈Z )．法一：(分类讨论)当k ＝3n (n ∈Z )时，n ·360°＜α3＜n ·360°＋30°(n ∈Z )，∴α3是第一象限角；当k ＝3n ＋1(n ∈Z )时，n ·360°＋120°＜α3＜n ·360°＋150°(n ∈Z )， ∴α3是第二象限角；当k ＝3n ＋2(n ∈Z )时，n ·360°＋240°＜α3＜n ·360°＋270°(n ∈Z )，∴α3是第三象限角．综上可知：α3是第一、二或第三象限角．法二：(几何法)如图，先将各象限分成3等份，再从x 轴的非负半轴的上方起，依次将各区域标上1,2,3,4，则标有1的区域即为α3终边所在的区域，故α3为第一、二或第三象限角.。

2019版高考数学一轮复习课时分层作业：一 1.1集合 Word版含解析

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课时分层作业一集合一、选择题(每小题5分,共35分)1.已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=3x-2,x∈A},则A∩B= ( )A.{1}B.{4}C.{1,3}D.{1,4}【解析】选D.因为集合B中,x∈A,所以当x=1时,y=3-2=1;当x=2时,y=3×2-2=4;当x=3时,y=3×3-2=7;当x=4时,y=3×4-2=10.即B={1,4,7,10}.又因为A={1,2,3,4},所以A∩B={1,4}.2.(2017·北京高考)若集合A={x|-2<x<1},B={x|x<-1或x>3},则A ∩B= ( )A.{x|-2<x<-1}B.{x|-2<x<3}C.{x|-1<x<1}D.{x|1<x<3}【解析】选A.画出数轴如图所示,则A∩B={x|-2<x<-1}.3.设集合A={y|y=sinx,x∈R},B={y|y=3x,x∈A},则A∩B= ( )A. B.[1,3]C. D.[0,1]【解析】选 A.A={y|y=sin x,x∈R}={y|-1≤y≤1}.B={y|y=3x,x∈A}=,所以A∩B={y|-1≤y≤1}∩=.4.(2018·日照模拟)集合A={x|y=},B={y|y=log2x,x>0},则A∩B等于( )A.RB.∅C.[0,+∞)D.(0,+∞)【解析】选 C.A={x|y=}={x|x≥0},B={y|y=log2x,x>0}=R.故A∩B={x|x≥0}.5.已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={2,3,5},集合B={1,3,4,6},则集合A∩U B= ( )A.{3}B.{2,5}C.{1,4,6}D.{2,3,5}【解析】选B.因为A={2,3,5},U B={2,5},所以A∩U B={2,5}.【变式备选】设集合A={x|x2≤4,x∈R},B={y|y=-x2,-1≤x≤2},则R(A ∩B)等于 ( )A.RB.(-∞,-2)∪(0,+∞)C.(-∞,-1)∪(2,+∞)D.∅【解析】选B.由x2≤4得-2≤x≤2,所以集合A={x|-2≤x≤2};由-1≤x≤2得-4≤-x2≤0,所以集合B={y|-4≤y≤0},所以A∩B={x|-2≤x ≤0},故R(A∩B)=(-∞,-2)∪(0,+∞).6.(2018·南昌模拟)已知集合M={x|x2-4x<0},N={x|m<x<5},若M∩N={x|3<x<n},则m+n等于( )A.9B.8C.7D.6【解析】选 C.由x2-4x<0得0<x<4,所以M={x|0<x<4}.又因为N={x|m<x<5},M∩N={x|3<x<n},所以m=3,n=4,m+n=7.7.(2018·西安模拟)设集合A={(x,y)|x+y=1},B={(x,y)|x-y=3},则满足M⊆(A∩B)的集合M的个数是( )A.0B.1C.2D.3【解析】选C.由题中集合可知,集合A表示直线x+y=1上的点,集合B表示直线x-y=3上的点,联立可得A∩B={(2,-1)},M为A∩B的子集,可知M可能为{(2,-1)},∅,所以满足M⊆(A∩B)的集合M 的个数是2.二、填空题(每小题5分,共15分)8.设集合A={3,m},B={3m,3},且A=B,则实数m的值是________. 【解析】由集合A={3,m}=B={3m,3},得3m=m,则m=0.答案:0【变式备选】已知集合A={3,a2},B={0,b,1-a},且A∩B={1},则A∪B=________.【解析】因为A∩B={1},所以a2=1,又因为1-a≠0,所以a=-1,b=1,即A={3,1},B={0,1,2},所以A∪B={0,1,2,3}.答案:{0,1,2,3}9.已知集合A={1,2,3,4},集合B={x|x≤a,a∈R},A∪B=(-∞,5],则a 的值是________.【解析】因为集合A={1,2,3,4},集合B={x|x≤a,a∈R},A∪B=(-∞,5],所以a=5.答案:510.(2018·襄阳模拟)已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},若B⊆A,则实数m的取值范围是________.【解析】当B=∅时,满足B⊆A,此时有m+1≥2m-1,即m≤2,当B≠∅时,要使B⊆A,则有解得2<m≤4.综上可得m≤4.答案:(-∞,4]【母题变式】本题中,是否存在实数m,使A⊆B?若存在,求实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.【解析】由A⊆B,得即不等式组无解,故不存在实数m,使A⊆B.1.(5分)已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则B所含元素的个数为( )A.3B.6C.8D.10【解析】选D.当x=1时,y不存在;当x=2时,y=1;当x=3时,y=1,2;当x=4时,y=1,2,3;当x=5时,y=1,2,3,4;共有十个元素.2.(5分)集合A={-1,0,1,3},集合B={x|x2-x-2≤0,x∈N},全集U={x|(x-1)2≤16,x∈Z},则A∩(U B)= ( )A.{3}B.{-1,3}C.{-1,0,3}D.{-1,1,3}【解题指南】解不等式求出集合B和全集U,结合集合的补集及交集运算的定义,可得答案.【解析】选B.因为集合A={-1,0,1,3},集合B={x|x2-x-2≤0,x∈N}={0,1,2},全集U={x|(x-1)2≤16,x∈Z}={-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5},所以U B={-3,-2,-1,3,4,5},所以A∩(U B)={-1,3}.3.(5分)已知全集U=R,集合A={x|x+a≥0,x∈R},B={x|x2-2x-8≤0}.若(U A)∩B=[-2,4],则实数a的取值范围是________.【解析】由A中的不等式解得x≥-a,即A=[-a,+∞).因为全集U=R,所以U A=(-∞,-a).由B中的不等式解得-2≤x≤4,即B=[-2,4],因为(U A)∩B=[-2,4],所以-a>4,即a<-4.答案:a<-44.(12分)已知集合A={x|-1<x≤3},B={x|m≤x<1+3m}.(1)当m=1时,求A∪B.(2)若B⊆R A,求实数m的取值范围.【解析】 (1)因为m=1时,B={x|1≤x<4},所以A∪B={x|-1<x<4}.(2)R A={x|x≤-1或x>3}.当B=∅时,即m≥1+3m时得m≤-,满足B⊆R A,当B≠∅时,要使B⊆R A成立,则或解得m>3.综上可知,实数m的取值范围是m>3或m≤-.5.(13分)设集合A=,B={x|x2-3mx+2m2-m-1<0}.(1)当x∈Z时,求A的非空真子集的个数.(2)若A⊇B,求实数m的取值范围.【解析】化简得集合A={x|-2≤x≤5},集合B={x|(x-m+1)(x-2m-1)<0}.(1)因为x∈Z,所以A={-2,-1,0,1,2,3,4,5},即A中含有8个元素,所以A的非空真子集个数为28-2=254.(2)①m=-2时,B=∅⊆A;②当m<-2时,(2m+1)-(m-1)=2+m<0,所以B=(2m+1,m-1),因此,要B⊆A,则只要⇒-≤m≤6,所以m的值不存在;③当m>-2时,B=(m-1,2m+1),因此,要B⊆A,则只要⇒-1≤m≤2.综上所述,知m的取值范围是{m|m=-2或-1≤m≤2}.关闭Word文档返回原板块。

2019-2020学年高中数学(人教A版必修一)学业分层测评：第1章 1.3.1 第2课时函数的最大(小)值 Word版含

学业分层测评(十)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．函数f (x )在[－2,2]上的图象如图1-3-3所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )图1-3-3A ．f (－2)，0B ．0,2C ．f (－2)，2D ．f (2)，2 【解析】由题图可知，此函数的最小值是f (－2)，最大值是2.【答案】 C2．函数f (x )＝1x在[1，＋∞)上( ) A ．有最大值无最小值B ．有最小值无最大值C ．有最大值也有最小值D ．无最大值也无最小值【解析】结合函数f (x )＝1x 在[1，＋∞)上的图象可知函数有最大值无最小值．【答案】 A3．函数f (x )＝|x ＋1|在[－2,2]上的最小值为( )A ．5B ．2C ．1D ．0【解析】当－2≤x ≤－1时，f (x )＝|x ＋1|＝－x －1，函数单调递减；当－1≤x ≤2时，f (x )＝|x ＋1|＝x ＋1，函数单调递增，∴当x ＝－1时，函数f (x )取得最小值，∴f (x )min ＝f (－1)＝|－1＋1|＝0，故选D.【答案】 D4．函数f (x )＝9－ax 2(a >0)在[0,3]上的最大值为( )A ．9B ．9(1－a )C ．9－aD ．9－a 2【解析】 f (x )＝－ax 2＋9开口向下，在[0,3]上单调递减，所以在[0,3]上的最大值为9.【答案】 A5．下列四个函数：①y ＝3－x ；②y ＝1x2＋1；③y ＝x 2＋2x －10；④y ＝－2x .其中值域为R 的函数个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 y ＝3－x 是一次函数，值域为R ；x 2＋1≥1，∴0<1x2＋1≤1，∴函数y ＝1x2＋1的值域不是R ；y ＝x 2＋2x －10＝(x ＋1)2－11≥－11，∴该函数的值域不是R ；对于y ＝－2x ，y ≠0，即该函数的值域不是R .∴值域为R 的函数有一个．【答案】 A二、填空题6．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为________．【解析】函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ＝－(x －2)2＋4＋a ，x ∈[0,1]，且函数有最小值－2. 故当x ＝0时，函数有最小值，当x ＝1时，函数有最大值．∵当x ＝0时，f (0)＝a ＝－2，∴f (x )＝－x 2＋4x －2，∴当x ＝1时，f (x )m ax ＝f (1)＝－12＋4×1－2＝1.【答案】 17．函数y ＝f (x )的定义域为[－4,6]，若函数f (x )在区间[－4，－2]上单调递减，在区间(－2,6]上单调递增，且f (－4)<f (6)，则函数f (x )的最小值是________，最大值是________．【解析】作出符合条件的函数的简图(图略)，可知f (x )min ＝f (－2)，f (x )m ax ＝f (6)．【答案】 f (－2) f (6)8．当0≤x ≤2时，a <－x 2＋2x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】令f (x )＝－x 2＋2x ，则f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1.又∵x ∈[0,2]，∴f (x )min ＝f (0)＝f (2)＝0.∴a <0.【答案】 a <0三、解答题9．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，求a 的值.【解】 f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，当a ≥1时，f (x )m ax ＝f (1)＝a ；当0<a <1时，f (x )m ax ＝f (a )＝a 2－a ＋1；当a ≤0时，f (x )m ax ＝f (0)＝1－a .根据已知条件得，⎩⎨⎧ a≥1，a ＝2或⎩⎨⎧ 0<a<1，a2－a ＋1＝2或⎩⎨⎧a≤0，1－a ＝2，解得a ＝2或a ＝－1.10．有一长为24米的篱笆，一面利用墙(墙最大长度是10米)围成一个矩形花圃，设该花圃宽AB 为x 米，面积是y 平方米，(1)求出y 关于x 的函数解析式，并指出x 的取值范围；(2)当花圃一边AB 为多少米时，花圃面积最大？并求出这个最大面积？【解】 (1)如图所示：∵0＜24－2x ≤10，∴7≤x ＜12，∴y ＝x (24－2x )＝－2x 2＋24x ，(7≤x ＜12)．(2)由(1)得，y ＝－2x 2＋24x ＝－2(x －6)2＋72，∴AB ＝6 m 时，y 最大为72 m 2.[能力提升]1．若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－254，－4，则m 的取值范围是( ) A ．(0,4]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，4C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞【解析】 ∵f (x )＝x 2－3x －4＝－254，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－254，又f (0)＝－4，故由二次函数图象可知：m 的值最小为32；最大为3.故m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3，故选C.【答案】 C2．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x (其中销售量单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( )A ．90万元B ．60万元C ．120万元D ．120.25万元【解析】设公司在甲地销售x 辆，则在乙地销售(15－x )辆，公司获利为L ＝－x 2＋21x ＋2(15－x )＝－x 2＋19x ＋30＝－＋30＋1924， ∴当x ＝9或10时，L 最大为120万元．【答案】 C3．函数g(x )＝2x －x ＋1的值域为________．【解析】设x ＋1＝t ，(t ≥0)，则x ＋1＝t 2，即x ＝t 2－1，∴y ＝2t 2－t －2＝－178，t ≥0， ∴当t ＝14时，y min ＝－178，∴函数g (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－178，＋∞.【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－178，＋∞ 4．已知函数f (x )＝－x 2＋2x －3.(1)求f (x )在区间[2a －1,2]上的最小值g(a )；(2)求g(a )的最大值.【解】 (1)f (x )＝－(x －1)2－2，f (2)＝－3，f (0)＝－3，∴当2a －1≤0，即a ≤12时，f (x )min ＝f (2a －1)＝－4a 2＋8a －6；当0＜2a －1＜2，即12<a <32时，f (x )min ＝f (2)＝－3.所以g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －4a2＋8a －6，a≤12，－3，12<a<32，(2)当a ≤12时，g (a )＝－4a 2＋8a －6单调递增，∴g (a )≤g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－3；又当12<a <32时，g (a )＝－3，∴g (a )的最大值为－3.。

2019-2020学年度新人教A版必修第二册6.4.3、余弦定理课时分层作业

课时分层作业(十一) 余弦定理(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，则角A 等于( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°B [由题意知，(b ＋c )2－a 2＝b 2＋c 2＋2bc －a 2＝3bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.]2．在△ABC 中，若a ＝8，b ＝7，cos C ＝1314，则最大角的余弦值是( )A ．－15B ．－16C ．－17D ．－18C [由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝82＋72－2×8×7×1314＝9，所以c ＝3，故a 最大，所以最大角的余弦值为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝72＋32－822×7×3＝－17.] 3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2－a 2－b 22ab >0，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形C [由c 2－a 2－b 22ab>0得－cos C >0，所以cos C <0，从而C 为钝角，因此△ABC 一定是钝角三角形．]4．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )A.43 B ．8－4 3 C ．1 D.23A [由 (a ＋b )2－c 2＝4，得a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝4，由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ＝2ab cos 60°＝ab ，则ab ＋2ab ＝4，∴ab ＝43.]5．锐角△ABC 中，b ＝1，c ＝2，则a 的取值范围是( )A ．1<a <3B ．1<a <5 C.3<a < 5 D ．不确定C [若a 为最大边，则b 2＋c 2－a 2>0，即a 2<5，∴a <5，若c 为最大边，则a 2＋b 2>c 2，即a 2>3，∴a >3，故3<a < 5.]二、填空题6．已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，B ＝120°，则a 2＋c 2＋ac －b 2＝________. 0 [∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2ac cos 120°＝a 2＋c 2＋ac ， ∴a 2＋c 2＋ac －b 2＝0.]7．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________.1 [∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴(3)2＝a 2＋12－2a ×1×cos 2π3，∴a 2＋a －2＝0，即(a ＋2)(a －1)＝0，∴a ＝1或a ＝－2(舍去)．∴a ＝1.]8．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.4 [因为b ＋c ＝7，所以c ＝7－b .由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，解得b ＝4.]三、解答题9．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，a ＋c ＝8，ac ＝15，求b .[解] 在△ABC 中，∵A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＝60°.由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B＝82－2×15－2×15×12＝19.∴b ＝19.10．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos (A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数；(2)求AB 的长．[解] (1)∵cos C ＝cos [π－(A ＋B )]＝－cos (A ＋B )＝－12，且C ∈(0，π)，∴C ＝2π3.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴⎩⎨⎧a ＋b ＝23，ab ＝2，∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝10，∴AB ＝10.[等级过关练]1．在△ABC 中，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( ) A.π6 B.π3 C.π6或5π6 D.π3或2π3D [∵(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，∴a 2＋c 2－b 22ac ·tan B ＝32，即cos B ·tan B ＝sin B ＝32.∵0＜B ＜π，∴角B 的值为π3或2π3.]2．在△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 的对边，且b 2＝ac ，则B 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π A [cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(a －c )2＋ac 2ac＝(a －c )22ac ＋12≥12，∵0<B <π，∴B ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3.故选A.] 3．在△ABC 中，已知CB ＝7，AC ＝8，AB ＝9，则AC 边上的中线长为________． 7 [由条件知：cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB ·AC ＝92＋82－722×9×8＝23，设中线长为x ，由余弦定理知：x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22＋AB 2－2·AC 2·AB cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49，所以x ＝7. 所以AC 边上的中线长为7.]4．△ABC 为钝角三角形，a ＝3，b ＝4，c ＝x ，则x 的取值范围是________. (1，7)∪(5,7) [①若x >4，则x 所对的角为钝角，∴32＋42－x 22×3×4<0且x <3＋4＝7，∴5<x <7. ②若x <4，则4对的角为钝角，∴32＋x 2－422×3×x<0且3＋x >4， ∴1<x <7.∴x 的取值范围是(1，7)∪(5,7)．]5．在△ABC 中，已知a －b ＝4，a ＋c ＝2b ，且最大角为120°，求三边长．[解] 由⎩⎨⎧ a －b ＝4，a ＋c ＝2b ，得⎩⎨⎧a ＝b ＋4，c ＝b －4.∴a ＞b ＞c ，∴A ＝120°，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 120°，即(b ＋4)2＝b 2＋(b －4)2－2b (b －4)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，即b 2－10b ＝0，解得b ＝0(舍去)或b ＝10.当b ＝10时，a ＝14，c ＝6.。

2019_2020学年高中数学课时分层作业1独立性检验含解析新人教b版选修1_2

课时分层作业(一)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．以下关于独立性检验的说法中，错误的是( ) A ．独立性检验依赖小概率原理 B ．独立性检验得到的结论一定正确 C ．样本不同，独立性检验的结论可能有差异 D ．独立性检验不是判定两事物是否相关的唯一方法[解析] 受样本选取的影响，独立性检验得到的结论不一定正确，选B. [答案] B2．在一项中学生近视情况的调查中，某校男生150名中有80名近视，女生140名中有70名近视，在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力( )A ．平均数与方差B ．回归分析C ．独立性检验D ．概率[解析] 判断两个分类变量是否有关的最有效方法是进行独立性检验，故选C. [答案] C3．如果有95%的把握说事件A 和B 有关，那么具体算出的数据满足( ) A ．χ2>3.841 B ．χ2>6.635 C ．χ2<3.841D ．χ2<6.635[解析] 根据独立性检验的两个临界值及其与χ2大小关系的意义可知，如果有95%的把握说事件A 与B 有关时，统计量χ2>3.841，故选A.[答案] A4．一个学生通过一种英语能力测试的概率是12，他连续测试两次，那么其中恰有一次通过的概率是( )A.14B.13C.12D.34[解析] 设A 为第一次测试通过，B 为第二次测试通过，则所求概率为P (A B )＋P (A B )＝P (A )P (B )＋P (A )·P (B )＝12×12＋12×12＝12.[答案] C5．在事件A 和B 的2×2列联表中，n 11＝10，n 12＝21，n 2＋＝35，若有95%的把握认为A 与B 有关系，则n 21可能等于( )A ．4B ．5C ．6D ．7[解析] 由题意可知χ2＝66×[10×(35－n 21)－21×n 21]231×35×(10＋n 21)×(56－n 21)>3.841，把A ，B ，C ，D 中的数据分别代入验证可知选A.[答案] A 二、填空题6．甲、乙两人射击时命中目标的概率分别为12，13，现两人同时射击，则两人都命中目标的概率为________．[解析] 设“甲命中目标”为事件A ，“乙命中目标”为事件B ，则A 与B 相互独立．于是P (AB )＝P (A )P (B )＝12×13＝16.[答案] 167．独立性检验中，两个分类变量“X 和Y 有关系”的可信程度是95%，则随机变量χ2的取值范围是________．[解析] 当χ2>3.841时，有95%的把握判断X 与Y 有关系，当χ2>6.635时，有99%的把握判断X 与Y 有关系， ∴3.841<χ2≤6.635. [答案] (3.841,6.635]8．为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠．在照射后14天的结果如下表所示：的致死作用________________________．(填“相同”或“不相同”)[解析] 统计假设是“小白鼠的死亡与使用电离辐射剂量无关”．由列联表可以算出χ2≈5.33>3.841，故有95%的把握认为小白鼠的死亡与使用的电离辐射剂量有关，所以两种电离辐射剂量对小白鼠的致死作用不相同．[答案] 小白鼠的死亡与使用电离辐射剂量无关 5.33 不相同三、解答题9．为了探究患慢性气管炎是否与吸烟有关，调查了339名50岁以上的人，调查结果如下表所示：[解] 从题目的2×2列联表中可知：n 11＝43，n 12＝162，n 21＝13，n 22＝121，n 1＋＝205，n 2＋＝134，n ＋1＝56，n ＋2＝283，n ＝339， χ2＝n (n 11n 22－n 12n 21)2n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2＝339×(43×121－162×13)2205×134×56×283≈7.469.因为7.469>6.635，所以我们有99%的把握认为50岁以上的人患慢性气管炎与吸烟有关系．10．下面是某班英语及数学成绩的分布表，已知该班有50名学生，成绩分1～5共5个档次．如：表中所示英语成绩为第4档，数学成绩为第2档的学生有5人，现设该班任意一名学生的英语成绩为第m 档，数学成绩为第n 档．(2)若m ＝2与n ＝4是相互独立的，求a ，b 的值．[解] (1)由表知英语成绩为第4档、数学成绩为第3档的学生有7人，而总学生数为50人，∴P ＝750.(2)由题意知，a ＋b ＝3.①又m ＝2与n ＝4相互独立，所以P (m ＝2)P (n ＝4)＝P (m ＝2，n ＝4)，即1＋b＋6＋a50·3＋1＋b50＝b50. ②由①②，解得a＝2，b＝1.[能力提升练]1．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算的χ2≈3.918，经查临界值表知P(χ2>3.841)≈0.05，则下列表述中正确的是( )A．有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”B．若有人未使用该血清，那么他一年中有95%的可能性得感冒C．这种血清预防感冒的有效率为95%D．这种血清预防感冒的有效率为5%[解析]因χ2≈3.918>3.841，故有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”．[答案] A2．假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为{X1，X2}和{Y1，Y2}，其2×2列联表为：A．a＝5，b＝4，c＝3，d＝2B．a＝5，b＝3，c＝4，d＝2C．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5D．a＝2，b＝3，c＝5，d＝4[解析]对于同一样本，|ad－bc|越小，说明X与Y之间的关系越弱；|ad－bc|越大，说明X与Y之间的关系越强．[答案] D3．某班主任对全班50名学生作了一次调查，所得数据如表：由表中数据计算得到χ2的观测值5.059，于是______________(填“能”或“不能”)在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关．[解析] 查表知若要在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关，χ2≈5.059<6.635，所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关．[答案] 不能4．为了研究色盲与性别的关系，调查了1 000人，调查结果如表所示：[解] 由已知条件可得下表：χ2＝1 000×(956×44×480×520≈27.139.因为27.139>6.635，所以有99%的把握认为色盲与性别是有关的.。

2019-2020学年人教A版高中数学必修1 课时分层训练：第一章 1.1 1.1.3 第二课时

姓名，年级：时间：第一章1.1 1.1。

3第二课时全集、补集及综合应用课时分层训练‖层级一‖|学业水平达标｜1．已知全集U＝{1，2,3，4，5,6，7｝，A＝{x｜x≥3，x∈N｝，则∁U A＝( ）A．{1,2｝B．｛3，4,5,6,7｝C．{1，3,4,7} D．｛1，4，7}解析：选A ∵U＝{1，2，3，4,5,6,7｝，A＝｛x|x≥3,x∈N}＝{3,4,5，6,7｝，∴∁U A＝｛1，2｝．2．已知U＝R，A＝｛x|x>0}，B＝｛x｜x≤－1｝，则[A∩(∁U B)]∪[B∩（∁U A)］等于（)A．∅B．｛x|x≤0｝C．{x|x>－1} D．｛x|x>0或x≤－1}解析：选D ∵∁U A＝｛x|x≤0}，∁U B＝{x｜x〉－1}，∴A∩（∁U B）＝｛x|x>0}，B∩（∁U A)＝{x|x≤－1｝，∴［A∩(∁U B)］∪［B∩(∁U A）］＝｛x｜x>0或x≤－1｝．3．已知U＝Z，A＝｛1,3,5,7,9}，B＝{1,2，3，4，5}，则图中阴影部分表示的集合是（）A．{1,3,5｝B．{1,2,3,4,5｝C．｛7，9} D．｛2,4}解析：选D 图中阴影部分表示的集合是（∁U A)∩B＝{2,4}．4．已知全集U＝{1，2，a2－2a＋3｝,A＝｛1，a}，∁U A＝{3｝，则实数a等于( )A．0或2 B．0C．1或2 D．2解析:选D 由题意,知错误!则a＝2.5．如图所示的阴影部分表示的集合是（）A．A∩（B∩C) B．(∁U A)∩（B∩C)C．C∩［∁U（A∪B）］D．C∩[∁U（A∩B)]解析：选C 由于阴影部分在C中，且不在A,B中，则阴影部分表示的集合是C 的子集，也是∁U(A∪B)的子集，即是C∩[∁U(A∪B）]．6．已知全集U＝{n∈N｜1≤n≤10｝，A＝｛1,2，3，5,8｝，B＝{1,3,5,7，9}，则（∁U A)∩B＝________。

高中数学课时分层作业1

课时分层作业(一)数列的概念(第1课时)(60分钟100分)基础对点练基础考点分组训练知识点1数列的概念1．(5分)有下面四个结论：①数列的通项公式是唯一的；②每个数列都有通项公式；③数列可以看作一个定义在正整数集上的函数；④数列的图象是坐标平面上有限或无限个离散的点．其中真命题的个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个B解析：对①，数列1，－1,1，－1，…其通项公式a n＝(－1)n＋1，也可以是a n＝(－1)n＋3，故①错误；对②，数列的项与n具备一定的规律性，才可求出数列的通项公式，所以有的数列是无通项公式的，故②错误；对③，数列可以看作一个定义在正整数集上或正整数集的子集上的函数，故③错误；对④，由数列的定义知命题正确．故选B.2．(5分)(多选)下列关于数列的说法正确的是()A．按一定次序排列的一列数叫作数列B．若{a n}表示数列，则a n表示数列的第n项，a n＝f(n)表示数列的通项公式C．同一个数列的通项公式的形式不一定唯一D．同一个数列的任意两项均不可能相同ABC解析：因为一个数列的每一项的值是可以相同的，比如说常数列，所以D项错误，A，B，C均正确．3．(5分)下列说法错误的是()A．数列4,7,3,4的首项是4B．数列{a n}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3C．数列1,2,3，…就是数列{n}D．数列中的项不能是代数式B解析：根据数列的相关概念，可知数列4,7,3,4的第1项就是首项，即4，故A正确；同一个数在一个数列中可以重复出现，故B错误；根据数列的相关概念可知C正确；数列中的项必须是数，不能是其他形式，故D正确．故选B.知识点2数列的通项公式4．(5分)数列－1,3，－7,15，…的一个通项公式可以是()A．a n＝(－1)n·(2n－1)B．a n＝(－1)n·(2n－1)C ．a 1＝(－1)n ＋1·(2n －1) D ．a n ＝(－1)n ＋1·(2n －1)A 解析：将n ＝1代入四个选项，可知C 中a 1＝1，D 中，a 1＝1.排除C ，D ．当n ＝3时，代入B 项可得a 3＝－5，排除B.故选A ． 5．(5分)数列{8n －1}的最小项等于( ) A ．－1 B ．7C ．8D ．不存在B 解析：数列{8n －1}的最小项为a 1＝8×1－1＝7.故选B.6．(5分)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝nn 2＋8(n ∈N *)，则数列的第4项为( )A ．110B ．16C ．14D ．13B 解析：由题意，根据数列{a n }的通项公式，得a 4＝442＋8＝16. 知识点3 数列的函数特性7．(5分)已知数列{a n }满足a 1>0，对一切n ∈N ＋，a n ＋1a n ＝12，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．摆动数列D ．不确定B 解析：因为a n ＋1a n ＝12，所以数列{a n }为等比数列，a n ＝a 1⎝⎛⎭⎫12n －1. 又a 1>0，则a n >0，所以a n ＋1a n ＝12<1，a n ＋1<a n ，故数列{a n }是递减数列．故选B.8．(5分)若数列{a n }的通项公式a n ＝2nn ＋1，则此数列是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．摆动数列D ．以上都不是A 解析：因为a n ＝2n n ＋1＝2(n ＋1)－2n ＋1＝2－2n ＋1，所以a n －a n －1＝⎝⎛⎭⎫2－2n ＋1－⎝⎛⎭⎫2－2n ＝2n －2n ＋1＝2n (n ＋1)>0.因此数列{a n }是递增数列．故选A ． 9．(5分)数列{a n }的通项公式是a n ＝－n 2＋4n ＋21(n ∈N *)，这个数列最大的项是(B) A ．第1项 B ．第2项 C ．第3项D ．第4项能力提升练能力考点拓展提升10.(5分)已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．先递增后递减数列D ．常数列A 解析：由已知得a n ＋1－a n ＝3>0，故{a n }为递增数列． 11．(5分)数列0，13，12，35，23，…的通项公式为( )A ．a n ＝n －2nB ．a n ＝n －1nC ．a n ＝n －1n ＋1D ．a n ＝n －2n ＋2C 解析：原数列可变形为02，13，24，35，46，…，∴a n ＝n －1n ＋1.12．(5分)在数列{a n }中每相邻两项间插入3个数，使它们与原数列构成一个新数列，则新数列的第41项( ) A ．不是原数列的项 B ．是原数列的第10项 C ．是原数列的第11项 D ．是原数列的第12项C 解析：由于每相邻两项间插入3个数，因此原数列中的第n 项在新数列中是第1＋4(n －1)＝4n －3项．由4n －3＝41，得n ＝11，即第41项是原数列的第11项．故选C ．13．(5分)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋(－1)n ＋12，则该数列的前4项依次为( )A ．1,0,1,0B ．0,1,0,1C ．12，0，12，0D ．2,0,0A 解析：a 1＝1＋(－1)1＋12＝1＋12＝1；a 2＝1＋(－1)2＋12＝1－12＝0；a 3＝1＋(－1)3＋12＝1＋12＝1；a 4＝1＋(－1)4＋12＝1－12＝0.故选A ．14.(5分)已知数列{a n }，a n ＝a n ＋m (a <0，n ∈N *)，满足a 1＝2，a 2＝4，则a 3＝________.2 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝a ＋m ＝2，a 2＝a 2＋m ＝4，∴a 2－a ＝2， ∴a ＝2或a ＝－1.又a <0，∴a ＝－1. 又a ＋m ＝2，∴m ＝3，∴a n ＝(－1)n ＋3，∴a 3＝(－1)3＋3＝2.15.(5分)已知数列{a n }中，a n ＝nn －15.6(n ∈N *)，则数列{a n }的最大项为第________项．16 解析：因为a n ＝n n －15.6＝1＋15.6n －15.6.又n ∈N *，所以当n ＝16时，a n 最大.16.(12分)根据下面的通项公式，写出数列的前5项．(1)a n ＝n 2＋12n －1；(2)a n ＝(－1)n －1·2n －13n.解：(1)当n ＝1时，a 1＝12＋12×1－1＝2；当n ＝2时，a 2＝22＋12×2－1＝53；当n ＝3时，a 3＝32＋12×3－1＝2；当n ＝4时，a 4＝42＋12×4－1＝177；当n ＝5时，a 5＝52＋12×5－1＝269.(2)当n ＝1时，a 1＝(－1)1－1×2×1－13×1＝13；当n ＝2时，a 2＝(－1)2－1×2×2－13×2＝－12；当n ＝3时，a 3＝(－1)3－1×2×3－13×3＝59；当n ＝4时，a 4＝(－1)4－1×2×4－13×4＝－712；当n ＝5时，a 5＝(－1)5－1×2×5－13×5＝35.17.(13分)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝cn ＋dn －1，且a 2＝32，a 4＝32，求a n 和a 10.解：∵a 2＝32，a 4＝32，代入通项公式a n中得⎩⎨⎧32＝2c ＋d2，32＝4c ＋d4，解得c ＝14，d ＝2，∴a n ＝n 4＋2n ，∴a 10＝104＋210＝2710.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

2019_2020学年高中数学课时分层作业1算法的概念含解析新人教B版必修3

课时分层作业(一) 算法的概念(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．算法的每一步都应该是确定的、能有效执行的，并且得到确定的结果，这里指算法的( )A ．有穷性B ．确定性C ．逻辑性D ．不唯一性B [算法的过程和每一步的结果都是确定的，即确定性．]2．下列问题中，不可以设计一个算法求解的是( )A ．二分法求方程x 2－3＝0的近似解(精确到0.01)B ．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＋5＝0x －y ＋3＝0C ．求半径为3的圆的面积D ．判断函数y ＝x 2在R 上的单调性D [A ，B ，C 选项中的问题都可以设计算法解决，D 选项中的问题由于x 在R 上取值无穷尽，所以不能设计一个算法求解．]3．使用配方法解方程x 2－4x ＋3＝0的算法的正确步骤是( )①配方得(x －2)2＝1；②移项得x 2－4x ＝－3；③解得x ＝1或x ＝3；④开方得x －2＝±1.A ．①②③④B ．②①④③C ．②③④①D ．④③②① B [使用配方法的步骤应按移项、配方、开方、得解的顺序进行，B 选项正确．]4．阅读下面的算法：第一步，输入两个实数a ，b .第二步，若a <b ，则交换a ，b 的值，否则执行第三步．第三步，输出a .这个算法输出的是( )A ．a ，b 中的较大数B ．a ，b 中的较小数C ．原来的a 的值D ．原来的b 的值A [第二步中，若a <b ，则交换a ，b 的值，那么a 是a ，b 中的较大数；若a <b 不成立，即a ≥b ，那么a 也是a ，b 中的较大数．]5．给出下列四个语句：①某人从济南到莫斯科，可以先乘火车到北京，再坐飞机抵达莫斯科；②利用三角形面积公式S ＝p (p －a )(p －b )(p －c )(其中a ，b ，c 表示三角形的三边长，p ＝a ＋b ＋c 2)，计算三边长分别为2,3,4的三角形面积；③解不等式x 2－3x ＞2；④求过两点A (－1,0)，B (3，－2)的直线方程，可先计算直线AB 的斜率，再根据点斜式求得直线方程．其中是算法的是( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④B [算法是解决问题的一种程序性方法，③没告诉如何解此不等式．]二、填空题6．以下有六个步骤：①拨号；②等拨号音；③提起话筒(或免提功能)；④开始通话或挂机(线路不通)；⑤等复话方信号；⑥结束通话．试写出打一个本地电话的算法________(填序号)．③②①⑤④⑥ [算法的描述一定要简练，清晰，准确，由生活中打电话的常识可知应为③②①⑤④⑥.]7．已知一个学生的语文成绩是89分，数学成绩是96分，外语成绩是99分，求这三门学科成绩的总分和平均分的一个算法如下，请将其补充完整：第一步，令A ＝89，B ＝96，C ＝99.第二步，________.第三步，________.第四步，输出D 和E 的值．[答案] 计算总分D ＝A ＋B ＋C 计算平均分E ＝D 38．已知直角三角形两条直角边长分别为a ，b ，计算斜边c 的算法如下：S1 输入两直角边长a ，b 的值．S2 计算________的值．S3 输出斜边c 的值．将算法补充完整，横线上应填________． c ＝a 2＋b 2 [由题设可知c ＝a 2＋b 2.]三、解答题9．已知某梯形的底边长AB ＝a ，CD ＝b ，高为h ，写出一个求这个梯形面积S 的算法．[解] 算法如下：S1 输入梯形的底边长a 和b ，以及高h .S2 计算a ＋b 的值．S3 计算(a ＋b )×h 的值．S4 计算S ＝(a ＋b )×h 2的值． S5 输出结果S .10．写出解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝7 ①，4x ＋5y ＝11 ②的一个算法．[解] 法一(代入消元法)：第一步，由①得y ＝7－2x .③第二步，将③代入②，得4x ＋5(7－2x )＝11.④第三步，解④得x ＝4.第四步，将x ＝4代入③，得y ＝－1.第五步，得到方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝－1.法二(加减消元法)：第一步，①×5－②得(2×5－4)x ＝7×5－11.③第二步，解③得x ＝4.第三步，①×2－②得(1×2－5)y ＝7×2－11.④第四步，解④得y ＝－1.第五步，得到方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝－1.[等级过关练]1．小明中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：①洗锅盛水2分钟；②洗菜6分钟；③准备面条及佐料2分钟；④用锅把水烧开10分钟；⑤煮面条3分钟．以上各道工序，除了④之外，一次只能进行一道工序．小明要将面条煮好，最少要用的分钟数为( )A ．13B ．14C ．15D ．23C [洗锅盛水2分钟，用锅把水烧开10分钟(同时洗菜6分钟，准备面条及佐料2分钟)，煮面条3分钟，共为15分钟．]2．结合下面的算法：第一步，输入x .第二步，判断x 是否小于0，若是，则输出x ＋2，否则执行第三步．第三步，输出x －1.当输入的x 的值为－1,0,1时，输出的结果分别为( )A ．－1,0，－1B ．－1,1,0C ．1，－1,0D ．0，－1,1C[根据x的值与0的关系，选择执行不同的步骤．]3．下面是求15和18的最小公倍数的算法，其中不恰当的一步是________．S1 先将15分解质因数：15＝3×5.S2 然后将18分解质因数：18＝32×2.S3 确定它们的所有质因数：2,3,5.S4 计算出它们的最小公倍数：2×3×5＝30.S4 [质因数2,3,5的最高指数是1,2,1，算出它们的最小公倍数为2×32×5＝90，S4不恰当．]4．下面算法的功能是________．第一步，令i＝1.第二步，i除以3，得余数r.第三步，若r＝0，则输出i；否则，执行第四步．第四步，令i的值增加1.第五步，若i≤1 000，则返回第二步；否则，算法结束．求1至1 000中3的倍数[由第二步和第三步可知输出的是3的倍数，由第四步与第五步可知，输出的是1至1 000中3的倍数．]5．一位商人有9枚银元，其中有1枚略轻的是假银元，你能用天平(无砝码)将假银元找出来吗？[解]法一：算法如下：S1 任取2枚银元分别放在天平的两边，若天平左、右不平衡，则轻的一枚就是假银元，若天平平衡，则进行S2.S2 取下右边的银元放在一边，然后把剩下的7枚银元依次放在右边进行称量，直到天平不平衡，偏轻的那一枚就是假银元．法二：算法如下：S1 把9枚银元平均分成3组，每组3枚．S2 先将其中两组放在天平的两边，若天平不平衡，则假银元就在轻的那一组；否则假银元在未称量的那一组．S3 取出含假银元的那一组，从中任取2枚银元放在天平左、右两边称量，若天平不平衡，则假银元在轻的那一边；若天平平衡，则未称量的那一枚是假银元．。

2019_2020学年高中数学课时作业1命题新人教A版选修2_1

课时作业1 命题|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列语句不是命题的有( )①若a >b ，b >c ，则a >c ；②x >2；③3<4；④函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)在R 上是增函数．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：①③是可以判断真假的陈述句，是命题；②④不能判断真假，不是命题．答案：C2．(陕西高考)设z 是复数，则下列命题中的假命题是( )A ．若z 2≥0，则z 是实数B ．若z 2<0，则z 是虚数C ．若z 是虚数，则z 2≥0D ．若z 是纯虚数，则z 2<0解析：实数可以比较大小，而虚数不能比较大小，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由z 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＝0，a 2－b 2≥0，则b ＝0，故选项A 为真，同理选项B 为真；而选项C 为假，选项D 为真．答案：C3．已知a ，b 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则a ⊥α，b ⊥β，则下列命题中，假命题是( )A ．若a ∥b ，则α∥βB ．若α⊥β，则a ⊥bC ．若a ，b 相交，则α，β相交D ．若α，β相交，则a ，b 相交解析：由已知a ⊥α，b ⊥β，若α，β相交，a ，b 有可能异面．答案：D4．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是( )A ．这个四边形的对角线互相平分B ．这个四边形的对角线互相垂直C ．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直D．这个四边形是平行四边形解析：把命题改写成“若p，则q”的形式后可知C正确．故选C.答案：C5．已知下列命题：(1)已知平面向量a，b，若a·b＝0，则a⊥b；(2)已知平面向量a，b，若a∥b，则a＝λb(λ∈R)；(3)若两个平面同时垂直于一条直线，则这两个平面平行；(4)若一个几何体的正视图、侧视图、俯视图完全相同，则该几何体是正方体．其中真命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：对于(1)，当a，b中有一个为零向量时，a⊥b不成立，故(1)是假命题；对于(2)，当b＝0，a≠0时，a＝λb不成立，故(2)是假命题；(3)为真命题；对于(4)，几何体还可以是球，故(4)为假命题．故选A.答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)6．下列语句中是命题的有________(写出序号)，其中是真命题的有________(写出序号)．①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？②一个数不是正数就是负数；③大角所对的边大于小角所对的边；④△ABC中，若∠A＝∠B，则sin A＝sin B；⑤求证方程x2＋x＋1＝0无实根．解析：①疑问句．没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题；②是假命题，0既不是正数也不是负数；③是假命题，没有考虑在同一个三角形内；④是真命题；⑤祈使句，不是命题．答案：②③④④7．给出下面三个命题：①函数y＝tan x在第一象限是增函数；②奇函数的图象一定过原点；③若a>b>1，则0<log a b<1.其中是真命题的是________．(填序号)解析：①是假命题，反例：x ＝2π＋π6和x ＝π4，tan ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋π6＝33，tan π4＝1,2π＋π6>π4，但tan ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋π6<tan π4. ②是假命题，反例：y ＝1x是奇函数，但其图象不过原点． ③是真命题，由对数函数的图象及单调性可知是真命题．答案：③8．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：∵ax 2－2ax －3>0不成立，∴ax 2－2ax －3≤0恒成立．当a ＝0时，－3≤0恒成立；当a ≠0时，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a <0.综上，－3≤a ≤0.答案：[－3,0]三、解答题(每小题10分，共20分)9．判断下列语句是否为命题，并说明理由．(1)若平面四边形的边都相等，则它是菱形；(2)任何集合都是它自己的子集；(3)对顶角相等吗？(4)x >3.解析：(1)是陈述句，能判断真假，是命题．(2)是陈述句，能判断真假，是命题．(3)不是陈述句，不是命题．(4)是陈述句，但不能判断真假，不是命题．10．判断下列命题的真假：(1)已知a ，b ，c ，d ∈R ，若a ≠c ，b ≠d ，则a ＋b ≠c ＋d ；(2)若x ∈N ，则x 3>x 2成立；(3)若m >1，则方程x 2－2x ＋m ＝0无实数根；(4)存在一个三角形没有外接圆．解析：(1)假命题．反例：1≠4,5≠2，而1＋5＝4＋2.(2)假命题．反例：当x ＝0时，x 3>x 2不成立．(3)真命题．因为m >1⇒Δ＝4－4m <0，所以方程x 2－2x ＋m ＝0无实数根．(4)假命题．因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有外接圆． |能力提升|(20分钟，40分)11．给出下列三个命题①若a ≥b >－1，则a 1＋a ≥b 1＋b； ②若正整数m 和n 满足m ≤n ，则 m (n －m )≤n 2； ③设P 1(x 1，y 1)为圆O 1：x 2＋y 2＝9上任一点，圆O 2以Q (a ，b )为圆心且半径为1，当(a －x 1)2＋(b －y 1)2＝1时，圆O 1与圆O 2相切．其中假命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：①因为a ≥b >－1，所以a ＋1≥b ＋1>0.所以a 1＋a －b 1＋b ＝a －b (1＋a )(1＋b )≥0，所以a 1＋a ≥b 1＋b.故①为真命题． ②因为正整数m ，n 满足m ≤n ，有m >0，n －m ≥0，所以m (n －m )≤m ＋(n －m )2＝n 2. 故②为真命题．③的实质是点P 1(x 1，y 1)在⊙O 1上，又P 1(x 1，y 1)也在⊙O 2上，但两圆相交于点P 1并不能保证两圆相切．故③为假命题．答案：B12．命题“若x ∈R ，则x 2＋(a －1)x ＋1≥0恒成立”是真命题，则实数a 的取值范围为________．解析：要使x 2＋(a －1)x ＋1≥0恒成立，则有Δ＝(a －1)2－4≤0，解得－1≤a ≤3.答案：[－1,3]13．判断下列命题的真假，并说明理由：(1)函数y ＝a x 是指数函数；(2)关于x的方程ax＋1＝x＋2有唯一解．解析：(1)当a>0且a≠1时，函数y＝a x是指数函数，所以是假命题．(2)关于x的方程ax＋1＝x＋2即(a－1)x＝1，当a＝1时，方程无解；当a≠1时，方程有唯一解，所以是假命题．14．将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．(1)6是12和18的公约数；(2)当a>－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根；(3)平行四边形的对角线互相平分；(4)已知x，y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2.解析：(1)若一个数是6，则它是12和18的公约数，是真命题．(2)若a>－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根，是假命题．(3)若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分，是真命题．(4)已知x，y为非零自然数，若y－x＝2，则y＝4，x＝2，是假命题．。

2019-2020学年高中数学课时分层作业1任意角含

课时分层作业(一)　(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．角－870°的终边所在的象限是( )A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限C [－870°＝－3×360°＋210°，∴－870°是第三象限角，故选C .]2．在－360°～0°范围内与角1 250°终边相同的角是( )A ．170°B ．190°C ．－190°D ．－170°C [与1 250°角的终边相同的角为α＝1 250°＋k ·360°，k ∈Z ，因为－360°＜α＜0°，所以－＜k ＜－，因为k ∈Z ，所以k ＝－4，所以α＝－190°.]16136125363．把－1 485°转化为α＋k ·360°(0°≤α＜360°，k ∈Z )的形式是( )A ．45°－4×360°B ．－45°－4×360°C ．－45°－5×360°D ．315°－5×360°D [∵1 485°÷360°＝4.125，∴－1 485°＝－4×360°－45°或写成－1 485°＝－5×360°＋315°.∵0°≤α＜360°，故－1 485°＝315°－5×360°.]4．若α＝k ·180°＋45°，k ∈Z ，则α所在象限是( )A ．第一或第三象限B ．第一或第二象限C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限A [当k ＝0时，α＝45°为第一象限角，当k ＝1时，α＝225°为第三象限角．]5．已知角α＝45°，β＝315°，则角α与β的终边( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线y ＝x 对称D ．关于原点对称A [α是第一象限角，β是第四象限角且45°＝0°＋45°与360°＋45°终边相同，315°＝360°－45°.]二、填空题6．若时针走过2小时40分，则分针走过的角是________．－960°　[40分＝小时，×360°＝240°，因为时针按顺时针旋转，故形成负角，2323－360°×2－240°＝－960°.]7．与2 013°角的终边相同的最小正角是________，绝对值最小的角是________．213°　－147°　[与2 013°角的终边相同的角为2 013°＋k·360°(k∈Z)．当k＝－5时，213°为最小正角；当k＝－6时，－147°为绝对值最小的角．] 8．若α，β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝________．k·360°＋60°(k∈Z)　[在0°～360°范围内与α＝－120°的终边互为反向延长线的角是60°，所以β＝k·360°＋60°(k∈Z)．]三、解答题39．已知角β的终边在直线x－y＝0上．(1)写出角β的集合S；(2)写出集合S中适合不等式－360°＜β＜720°的元素．3[解]　(1)因为角β的终边在直线x－y＝0上，3且直线x－y＝0的倾斜角为60°，所以角β的集合S＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}．(2)在S＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}中，取k＝－2，得β＝－300°，取k＝－1，得β＝－120°，取k＝0，得β＝60°，取k＝1，得β＝240°，取k＝2，得β＝420°，取k＝3，得β＝600°.所以S中适合不等式－360°＜β＜720°的元素分别是－300°，－120°，60°，240°，420°，600°.10．已知集合A＝{α|k·180°＋45°＜α＜k·180°＋60°，k∈Z}，集合B＝{β|k·360°－55°＜β＜k·360°＋55°，k∈Z}．(1)在平面直角坐标系中，表示出角α终边所在区域；(2)在平面直角坐标系中，表示出角β终边所在区域；(3)求A∩B.[解]　(1)角α终边所在区域如图①所示．(2)角β终边所在区域如图②所示．图① 图②(3)由(1)(2)知A∩B＝{γ|k·360°＋45°＜γ＜k·360°＋55°，k∈Z} .[能力提升练]1．角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为( )A．α＋β＝k·360°，k∈ZB．α＋β＝k·360°＋180°，k∈ZC．α－β＝k·360°＋180°，k∈ZD．α－β＝k·360°，k∈ZB　[法一：(特殊值法)令α＝30°，β＝150°，则α＋β＝180°.故α与β的关系为α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z.法二：(直接法)因为角α与角β的终边关于y轴对称，所以β＝180°－α＋k·360°，k∈Z，即α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z.]2．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么角α＝________．270°　[由于5α与α的始边和终边相同，所以这两角的差应是360°的整数倍，即5α－α＝4α＝k·360°.又180°<α<360°，令k＝3，得α＝270°.]。

2020高中数学课时分层作业1 命题新人教A版选修1-1

课时分层作业(一) 命题(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列语句中是命题的是( )A ．周期函数的和是周期函数吗？B ．sin 45°＝1C ．x 2＋2x －1>0D ．x 2＋y 2＝0B [对于A ，是疑问句，不是命题；对于C ，D ，不能判断真假，不是命题；对于B ，是陈述句且能判断真假，是命题．]2．下列命题中是假命题的是( )A ．a·b ＝0(a ≠0，b ≠0)，则a⊥bB ．若|a |＝|b |，则a ＝bC ．若ac 2＞bc 2，则a ＞bD ．若α＝60°，则cos α＝12B [因为|a |＝|b |只能说明a 与b 的模相等，所以a ＝b 不一定成立，故选B.]3．命题“垂直于同一个平面的两条直线平行”的条件是( )【导学号：97792004】A ．两条直线B ．一个平面C ．垂直D ．两条直线垂直于同一个平面D [命题的条件是“两条直线垂直于同一个平面”．]4．下列四个命题中，真命题是( )A ．a ＞b ，c ＞d ⇒ac ＞bdB ．a ＜b ⇒a 2＜b 2C ．1a ＜1b⇒a ＞b D ．a ＞b ，c ＜d ⇒a －c ＞b －dD [可以通过举反例的方法说明A 、B 、C 为假命题．]5．给出命题“方程x 2＋ax ＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a 的一个值可以是( )A ．4B ．2C ．0D ．－3C [由题意知，Δ＝a 2－4<0，故a ＝0适合题意．]二、填空题6．命题“若a>0，则二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包括边界)”的条件p：________，结论q：________.它是________命题(填“真”或“假”)．a>0 二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界) 真[a>0时，设a＝1，把(0,0)代入x＋y－1≥0得－1≥0不成立，∴x＋y－1≥0表示直线的右上方区域，∴命题为真命题．] 7．将命题“奇函数的定义域和图象均关于原点对称”，改写为“若p，则q”的形式为________.【导学号：97792005】若一个函数是奇函数，则这个函数的定义域和图象均关于原点对称[命题若p，则q的形式为“若一个函数是奇函数，则这个函数的定义域和图象均关于原点对称”．]8．给出下列语句：①空集是任何集合的真子集；②函数y＝a x＋1是指数函数吗？③正方形既是矩形又是菱形；④老师写的粉笔字真漂亮！⑤若x∈R，则x2＋4x＋5＞0；⑥作AB∥A′B′.其中为命题的序号是________，为真命题的序号是________．①③⑤③⑤[①是命题，且是假命题，因为空集是任何非空集合的真子集；②该语句是疑问句，不是命题；③是命题，且是真命题，由正方形定义可知；④该语句是感叹句，不是命题；⑤是命题，因为x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1＞0恒成立，所以是真命题；⑥该语句是祈使句，不是命题．]三、解答题9．判断下列语句中哪些是命题？哪些不是命题？(1)2＋22是有理数；(2)1＋1>2；(3)2100是个大数；(4)968能被11整除；(5)非典型性肺炎是怎样传播的？[解](1)(2)(4)均是命题；(3)(5)不是命题．因为(1)(2)(4)都可以判断真假，且为陈述句；(3)中的“大数”是一个模糊的概念，无法判断其真假，所以不是命题；(5)中的语句是疑问句，所以不是命题．10．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．(1)体对角线相等的四棱柱是长方体．(2)能被10整除的数既能被2整除又能被5整除．(3)正弦值相等的两个角的终边相同.【导学号：97792006】[解](1)若四棱柱的体对角线相等，则这个四棱柱是长方体．该命题是假命题．(2)若一个数能被10整除，则这个数既能被2整除又能被5整除．该命题为真命题．(3)若两个角的正弦值相等，则这两个角的终边相同．该命题为假命题．[能力提升练]1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，这首诗中，在当时条件下，可以作为命题的是( )A．红豆生南国B．春来发几枝C．愿君多采撷D．此物最相思A [“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题，故选A.]2．命题“第二象限角的余弦值小于0”的条件是( )A ．余弦值B ．第二象限C ．一个角是第二象限角D ．没有条件C [原命题可改写为若一个角是第二象限角，则它的余弦值小于0，故选C.]3．下列命题是真命题的是________．①0是{0,1,2}的真子集；②关于x 的方程x 2＋|x |－6＝0有四个实数根；③设a ，b ，c 是实数，若a >b ，则ac 2>bc 2；④若a ≠0，则(a 2＋1)2>a 4＋a 2＋1.④ [对于①，0是集合{0,1,2}的元素，不是真子集，故①是假命题；对于②，由x 2＋|x |－6＝0得|x |＝2，所以x ＝±2，方程有两个实数根，故②是假命题；对于③，当c ＝0时，ac 2＝bc 2，故③是假命题；对于④，当a ≠0得(a 2＋1)2＝a 4＋2a 2＋1>a 4＋a 2＋1，故④是真命题．]4．命题“函数y ＝log 2(x 2－mx ＋4)的值域为R ”为真命题，则实数m 的取值范围为________.【导学号：97792007】(－∞，－4]∪[4，＋∞) [由题意知函数y ＝x 2－mx ＋4的图象与x 轴有交点，则Δ＝m 2－4×4≥0，解得m ≥4或m ≤－4.]5．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断命题的真假．(1)当m >14时，方程mx 2－x ＋1＝0无实根； (2)平行于同一平面的两条直线平行．[解] (1)命题可改写为：若m >14，则mx 2－x ＋1＝0无实根．因为当m >14时，Δ＝1－4m <0，所以是真命题．(2)命题可改写为：若两条直线平行于同一平面，则它们互相平行．因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，所以是假命题.。

高中数学课时分层作业1命题含解析北师大版选修1_1

课时分层作业(一) 命题(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列语句是命题的是( )A．2018是一个大数B．若两直线平行，则这两条直线没有公共点C．对数函数是增函数吗？D．a≤15B[B选项可以判断真假，是命题．]2．以下说法错误的是( )A．原命题为真，则它的逆命题可以为真，也可以为假B．如果一个命题的否命题为假命题，那么它本身一定是真命题C．原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数一定为偶数D．一个命题的逆命题、否命题、逆否命题可以同为假命题B[A显然正确；B错误，原命题与否命题的真假可能相同，也可能相反；C、D为真命题．] 3．下列命题中，为真命题的是( )A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题A[B选项中，否命题为“若x≤1，则x2≤1”，为假命题；C选项中，否命题为“若x ≠1，则x2＋x－2≠0”，为假命题；D选项中，逆否命题为“若x≤1，则x2≤0”，为假命题．] 4．若命题p的逆否命题是q，q的逆命题是r，则p与r是( )A．互逆命题B．互否命题C．互逆否命题D．不确定B[因为p与q互为逆否命题，又因为q的逆命题是r，则p与r为互否命题．]5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中的假命题是( ) A．若m⊥n，m⊥α，nα，则n∥αB．若m⊥β，α⊥β，则m∥α或mαC．若m∥α，α⊥β，则m⊥βD．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥βC[C是假命题，m∥α，α⊥β时，m与β的关系可以是m⊥β，可以是m∥β，可以mβ或m与β斜交．]二、填空题6．命题“无理数是无限不循环小数”中，条件是________，结论是________．[解析]该命题可改写为“如果一个数是无理数，那么它是无限不循环小数”．条件是：一个数是无理数；结论是：它是无限不循环小数．[答案]一个数是无理数它是无限不循环小数7．已知原命题“两个无理数的积仍是无理数”，则有：①逆命题是“乘积为无理数的两数都是无理数”；②否命题是“两个不都是无理数的积也不是无理数”；③逆否命题是“乘积不是无理数的两个数都不是无理数”．其中改写正确的序号是________．[解析]①②正确，③逆否命题应为：“乘积不是无理数的两个数不都是无理数”，故③错误．[答案]①②8．有下列四个命题：①命题“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题；④命题“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中是真命题的是________(填序号)．[解析]④中由A∩B＝B，应该得出B⊆A，原命题为假命题，所以逆否命题为假命题．[答案]①②③三、解答题9．判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，同时判断这些命题的真假．(1)若a>b，则ac2>bc2；(2)若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac<0，则该二次函数图像与x轴有公共点．[解](1)该命题为假．因为当c＝0时，ac2＝bc2.逆命题：若ac2>bc2，则a>b，为真．否命题：若a≤b，则ac2≤bc2，为真．逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b，为假．(2)该命题为假．∵当b2－4ac<0时，二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，因此二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴无公共点．逆命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴有公共点，则b2－4ac<0，为假．否命题：若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac≥0，则该二次函数图像与x轴没有公共点，为假．逆否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴没有公共点，则b2－4ac≥0，为假．10．证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R.若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.[证明]原命题的逆否命题为“已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．若a＋b<0，则a<－b，b<－a，又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)．∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，即逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．[能力提升练]1．命题“若－1<x<1，则x2<1”的逆否命题是( )A．若x≥1或x≤－1，则x2≥1B．若x2<1，则－1<x<1C．若x2>1，则x>1或x<－1D．若x2≥1，则x≥1或x≤－1D[“－1<x<1”的否定为“x≥1或x≤－1”；“x2<1”的否定为“x2≥1”，由逆否命题定义知，D正确．]2．下列四个命题：(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；(2)“若a＞b，则a2＞b2”的逆否命题；(3)“若x≤－3，则x2－x－6＞0”的否命题；(4)“对顶角相等”的逆命题．其中真命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3B[(1)否命题：若x＋y≠0，则x，y不互为相反数，真命题．(2)逆否命题：若a2≤b2，则a≤b，假命题．(3)否命题：若x＞－3，则x2－x－6≤0，假命题．(4)逆命题：相等的两个角是对顶角，假命题，故选B.]3．命题“若x∈R，则x2＋(a－1)x＋1≥0恒成立”是真命题，则实数a的取值范围为________．[解析]由题意得：Δ≤0，即：(a－1)2－4×1×1≤0，解得：a∈[－1,3]．[答案][－1,3]4．已知命题“若m－1＜x＜m＋1，则1＜x＜2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是________．[解析] 由已知得，若1＜x ＜2成立，则m －1＜x ＜m ＋1也成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －1≤1，m ＋1≥2，∴1≤m ≤2.[答案] [1,2]5．已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0；命题q ：1－x ＋x 24<1，若命题p 是真命题，命题q 是假命题，求实数x 的取值范围．[解] 由lg(x 2－2x －2)≥0，得x 2－2x －2≥1，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3.由1－x ＋x 24<1，得x 2－4x <0，解得0<x <4.因为命题p 为真命题，命题q 为假命题，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－1或x ≥3，x ≤0或x ≥4，解得x ≤－1或x ≥4.所以，满足条件的实数x 的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．。

2019_2020学年高中数学课时分层作业1分类加法计数原理和分步乘法计数原理(含解析)北师大版

课时分层作业(一)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．图书馆的书架有3层，第1层有3本不同的数学书，第2层有5本不同的语文书，第3层有8本不同的英语书，现从中任取1本书，不同的取法共有( )A．120种B．16种C．64种D．39种B[由于书架上有3＋5＋8＝16(本)书，则从中任取1本书，共有16种不同的取法．] 2．有5列火车停在某车站并排的5条轨道上，若火车A不能停在第1轨道上，则5列火车的停车方法共有( )A．96种B．24种C．120种D．12种A[先排第1轨道，有4种排法，第2,3,4,5轨道各有4,3,2,1种，由分步乘法计数原理知共有4×4×3×2×1＝96种．]3．甲、乙两人从4门课程中各选修1门，则甲、乙所选的课程不相同的选法共有( ) A．6种B．12种C．30种D．36种B[∵甲、乙两人从4门课程中各选修1门，∴由分步乘法计数原理，可得甲、乙所选的课程不相同的选法有4×3＝12种．]4．植树节那天，四位同学植树，现有3棵不同的树，若一棵树限1人完成，则不同的植树方法种数有( )A．1×2×3种B．1×3种C．34种D．43种D[完成每棵树的种植都有4种方法，由分步乘法计数原理得，完成这三棵树的种植的方法总数是4×4×4＝43(种)．故选D.]5．如图，一条电路从A处到B处接通时，可构成线路的条数为( )A．8条B．6条C．5条 D .3条B[依题意，可构成线路的条数为2×3＝6(条)．故选B.]二、填空题6．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，不同的行车路线有________条．12[经过一次十字路口可分两步：第一步确定入口，共有4种选法；第二步，确定出口，从剩余3个路口任选一个共3种，由分步乘法计数原理知不同的路线有4×3＝12条．] 7．已知集合A＝{0,3,4}，B＝{1,2,7,8}，集合C＝{x|x∈A或x∈B}，则当集合C中有且只有一个元素时，C的情况有________种．7[分两类进行，第一类，当元素属于集合A时，有3种．第二类，当元素属于集合B 时，有4种．所以共有3＋4＝7种．]8．已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6,7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点共有________个．17[分两类：第1类，M中的元素作横坐标，N中的元素作纵坐标，则有3×3＝9个在第一、二象限内的点；第2类，N中的元素作横坐标，M中的元素作纵坐标，则有4×2＝8个在第一、二象限内的点．由分类加法计数原理，共有9＋8＝17个点在第一、二象限内．]三、解答题9．集合A＝{1,2，－3}，B＝{－1，－2,3,4}，从A，B中各取1个元素，作为点P(x，y)的坐标．(1)可以得到多少个不同的点？(2)这些点中，位于第一象限的有几个？[解](1)可分为两类：A中元素为x，B中元素为y或A中元素为y，B中元素为x，则共得到3×4＋4×3＝24(个)不同的点．(2)第一象限内的点，即x，y均为正数，所以只能取A，B中的正数，共有2×2＋2×2＝8(个)不同的点．10．现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．(1)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？(2)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？[解](1)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种、2种、7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70种不同的选法．(2)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，有5×2＝10种不同的选法．第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35种不同的选法．第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14种不同的选法．所以有10＋35＋14＝59种不同的选法．[能力提升练]1．已知直线Ax＋By＝0，若从0,1,2,3,5,7这6个数中每次取两个不同的数作为A，B的值，则可表示出的不同直线的条数是( )A．19 B．20C．21 D．22D[当A或B中有一个为0时，则可表示出2条直线；当A，B均不为0时，A有5种选法，B有4种选法，则可表示出5×4＝20条不同的直线，由分类加法计数原理知，共可表示出20＋2＝22条不同的直线．]2．甲、乙、丙三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方法共有( )A．4种B．5种C．6种D．12种C[若甲先传给乙，则有：甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲，3种不同的传法；同理甲先传给丙，也有3种不同的传法，共有6种不同的传法．] 3．从甲地到乙地有2种走法，从乙地到丙地有4种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则从甲地到丙地的不同走法种数为________．11[分两类，一是从甲地经乙地到丙地，有2×4种，二是直接从甲地到丙地，有3种，所以从甲地到丙地的不同走法种数共有2×4＋3＝11(种)．]4．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋b i，其中虚数有_____________个．36[完成这件事分为两个步骤：第一步，虚部b有6种选法；第二步，实部a有6种选法．由分步乘法计数原理知，共有虚数6×6＝36 个．]5．如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，求由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数．[解]长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6×6＝36(个)，另外含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”有6×2＝12(个)，所以共有36＋12＝48(个).。

精品2019学年高中数学课时分层作业1四种命题苏教版必修4

课时分层作业(一) 四种命题(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、填空题1．给出下列语句：①空集是任何集合的真子集； ②三角函数是周期函数吗？ ③一个数不是正数就是负数； ④老师写的粉笔字真漂亮！ ⑤若x ∈R ，则x 2＋4x ＋5>0.其中为命题的序号是________，为真命题的序号是________．[答案]①③⑤⑤2．已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是________．[解析]同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题．[答案]若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2＜33．若命题p 的逆命题是q ，命题q 的否命题是r ，则p 是r 的________命题.【导学号：71392007】[解析]不妨设p ：若A 则B ；则q ：若B 则A ；那么q 的否命题r 为：若非B 则非A .故p 是r 的逆否命题． [答案]逆否4．命题“若x ＝5，则x 2－8x ＋15＝0”，那么它的逆命题、否命题与逆否命题这三个命题中，真命题的个数有________个．[解析]由x 2－8x ＋15＝0，得x ＝3或5.所以原命题正确，而逆命题和否命题不正确，逆否命题是正确的，故真命题有1个．[答案]15．命题“若a >b ，则2a >2b－1”的否命题为________． [答案]若a ≤b ，则2a ≤2b－16．命题“若实数a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ”的逆命题是________，是________命题．(填“真”或“假”) [解析]“若p 则q ”的逆命题是“若q 则p ”． [答案]若b 2＝ac ，则实数a ，b ，c 成等比数列假7．原命题为“若an ＋an ＋12＜a n ，n ∈N *，则{a n }为递减数列”，其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是________个.【导学号：71392008】[解析]由an ＋an ＋12<a n ，得a n ＋1<a n ，所以数列{a n }为递减数列，故原命题是真命题，其逆否命题为真命题．易知原命题的逆命题为真命题，所以其否命题也为真命题．[答案]38．给出下列命题：①命题“若b 2－4ac <0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)无实根”的否命题； ②命题“在△ABC 中，AB ＝BC ＝CA ，那么△ABC 为等边三边形”的逆命题； ③命题“若a >b >0，则3a>3b >0”的逆否命题；④“若m >1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋(m －3)>0的解集为R ”的逆命题．其中真命题的序号为________．[解析]①否命题为“若b 2－4ac ≥0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实数根”，是真命题； ②逆命题为“若△ABC 为等边三角形，则AB ＝BC ＝CA ”，是真命题； ③因为命题“若a >b >0，则3a>3b >0”是真命题，故其逆否命题为真命题； ④逆命题为“若mx 2－2(m ＋1)x ＋(m －3)>0的解集为R ，则m >1”，是假命题． [答案]①②③ 二、解答题9．写出命题“若xy ＝0，则x ＝0”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假． [解](1)逆命题：若x ＝0，则xy ＝0，显然是真命题；(2)否命题：若xy ≠0，则x ≠0，因为逆命题和否命题互为逆否命题，逆命题为真命题，所以否命题也是真命题；(3)逆否命题：若x ≠0，则xy ≠0，为假命题，例如x ＝2，y ＝0，满足x ≠0，但xy ＝0，所以逆否命题为假命题．10．判断命题“若m >0，则方程x 2＋2x －3m ＝0有实数根”的逆否命题的真假.【导学号：71392009】[解]∵m >0，∴12m >0，∴12m ＋4>0.∴方程x 2＋2x －3m ＝0的判别式Δ＝12m ＋4>0.∴原命题“若m >0，则方程x 2＋2x －3m ＝0有实数根”为真命题．又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m >0，则方程x 2＋2x －3m ＝0有实数根”的逆否命题也为真命题．[能力提升练]1．命题“若a 2＋b 2＝0，则a ＝0且b ＝0”的逆否命题是________．[解析]原命题：若p 则q .逆否命题为：若非q 则非p .注意“且”否之后变“或”．[答案]若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠02．已知命题“若m －1＜x ＜m ＋1，则－1＜x ＜2”的逆否命题为真命题，则实数m 的取值范围是________．[解析]因为命题“若m －1＜x ＜m ＋1，则－1＜x ＜2”的逆否命题为真命题，所以原命题也是真命题，则⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥－1，m ＋1≤2，解得0≤m ≤1，则实数m 的取值范围是[0,1]．[答案][0,1]3．下列四个命题：※精品试卷※①“如果x 2＋x －6≥0，则x ＞2”的否命题；②“若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1”的逆命题为真命题；③命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为假命题．其中真命题的序号是________．[解析]对于①，命题的否命题为“如果x 2＋x －6＜0，则x ≤2”，由x 2＋x －6＜0，得－3＜x ＜2，能得到x ≤2，是真命题；对于②，“若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1”的逆命题为“若a ，b 中至少有一个不小于1，则a ＋b ≥2”为假命题，例如a ＝2≥1，b ＝－1，则a ＋b ＝1＜2，故②是假命题；对于③，命题“若x ＝y ，则sinx ＝sin y ”为真命题，所以它的逆否命题为真命题，故③错误．[答案]①4．已知命题p ：函数f (x )＝x 2＋mx ＋1有两个不等的负零点；命题q ：函数g (x )＝4x 2＋4(m －2)x ＋1无零点．若命题p 和q 只有一个为真命题，求实数m 的取值范围.【导学号：71392010】[解]∵命题p ：函数f (x )＝x 2＋mx ＋1有两个不等的负零点， ∴方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实数根，∴⎩⎪⎨⎪⎧m2－4>0，－m<0，解得m >2.又∵命题q ：函数g (x )＝4x 2＋4(m －2)x ＋1无零点， ∴方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0没有实数根， ∴Δ＝16(m －2)2－16<0，解得1<m <3. 若命题p 为真，命题q 为假，则m ≥3. 若命题p 为假，命题q 为真，则1<m ≤2.综上可知，实数m 的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞).。

2019_2020学年新教材高中数学课时分层作业1集合的含义(含解析)新人教A版必修第一册

课时分层作业(一) 集合的含义(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．下列各组对象不能构成集合的是( )A ．拥有手机的人B ．2019年高考数学难题C ．所有有理数D ．小于π的正整数B [B 选项中“难题”的标准不明确，不符合确定性，所以选B.]2．集合M 是由大于－2且小于1的实数构成的，则下列关系式正确的是( ) A.5∈MB ．0∉MC ．1∈MD ．－π2∈M D [5>1，故A 错；－2<0<1，故B 错；1不小于1，故C 错；－2<－π2<1，故D 正确．] 3．若a 是R 中的元素，但不是Q 中的元素，则a 可以是( )A ．3.14B ．－5 C.37 D.7D [由题意知a 应为无理数，故a 可以为7.]4．已知集合Ω中的三个元素l ，m ，n 分别是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形D [因为集合中的元素是互异的，所以l ，m ，n 互不相等，即△ABC 不可能是等腰三角形，故选D.]5．下列各组中集合P 与Q ，表示同一个集合的是( )A ．P 是由元素1，3，π构成的集合，Q 是由元素π，1，|－3|构成的集合B ．P 是由π构成的集合，Q 是由3.141 59构成的集合C ．P 是由2,3构成的集合，Q 是由有序数对(2,3)构成的集合D ．P 是满足不等式－1≤x ≤1的自然数构成的集合，Q 是方程x 2＝1的解集A [由于A 中P ，Q 的元素完全相同，所以P 与Q 表示同一个集合，而B ，C ，D 中P ，Q 的元素不相同，所以P 与Q 不能表示同一个集合．故选A.]二、填空题6．若1∈A ，且集合A 与集合B 相等，则1________B (填“∈”或“∉”)．∈ [由集合相等的定义可知，1∈B .]7．设集合A 是由1，k 2为元素构成的集合，则实数k 的取值范围是________．{k |k ≠±1} [∵1∈A ，k 2∈A ，结合集合中元素的互异性可知k 2≠1，解得k ≠±1.]8．用符号“∈”或“∉”填空：(1)设集合B 是小于11的所有实数的集合，则23________B,1＋2________B ；(2)设集合C 是满足方程x ＝n 2＋1(其中n 为正整数)的实数x 的集合，则3________C,5________C ；(3)设集合D 是满足方程y ＝x 2的有序实数对(x ，y )组成的集合，则－1________D ，(－1,1)________D .(1)∉ ∈ (2)∉ ∈ (3)∉ ∈ [(1)∵23＝12>11，∴23∉B ；∵(1＋2)2＝3＋22<3＋2×4＝11，∴1＋2<11，∴1＋2∈B .(2)∵n 是正整数，∴n 2＋1≠3，∴3∉C ；当n ＝2时，n 2＋1＝5，∴5∈C .(3)∵集合D 中的元素是有序实数对(x ，y )，则－1是数，∴－1∉D ；又(－1)2＝1，∴(－1,1)∈D .]三、解答题9．设A 是由满足不等式x <6的自然数构成的集合，若a ∈A 且3a ∈A ，求a 的值．[解] ∵a ∈A 且3a ∈A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a <6，3a <6，解得a <2.又a ∈N ，∴a ＝0或1.10．已知集合A 中含有两个元素x ，y ，集合B 中含有两个元素0，x 2，若A ＝B ，求实数x ，y 的值．[解] 因为集合A ，B 相等，则x ＝0或y ＝0.(1)当x ＝0时，x 2＝0，则不满足集合中元素的互异性，故舍去．(2)当y ＝0时，x ＝x 2，解得x ＝0或x ＝1.由(1)知x ＝0应舍去．综上知：x ＝1，y ＝0.[等级过关练]1．已知集合M 是方程x 2－x ＋m ＝0的解组成的集合，若2∈M ，则下列判断正确的是( )A ．1∈MB ．0∈MC ．－1∈MD ．－2∈M C [由2∈M 知2为方程x 2－x ＋m ＝0的一个解，所以22－2＋m ＝0，解得m ＝－2.所以方程为x 2－x －2＝0，解得x 1＝－1，x 2＝2.故方程的另一根为－1.选C.]2．由实数x ，－x ，|x |，x 2，－3x 3所组成的集合，最多含元素( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个A [当x >0时，x ＝|x |＝x 2，－3x 3＝－x <0，此时集合共有2个元素，当x ＝0时，x ＝|x |＝x 2＝－3x 3＝－x ＝0，此时集合共有1个元素，当x <0时，x 2＝|x |＝－x ，－3x 3＝－x ，此时集合共有2个元素，综上，此集合最多有2个元素，故选A.]3．已知集合P 中元素x 满足：x ∈N ，且2<x <a ，又集合P 中恰有三个元素，则整数a ＝________.6 [∵x ∈N,2<x <a ，且集合P 中恰有三个元素，∴结合数轴(图略)知a ＝6.]4．若a ，b ∈R ，且a ≠0，b ≠0，则|a |a ＋|b |b的可能取值所组成的集合中元素的个数为________．3 [当a ，b 同正时，|a |a ＋|b |b ＝a a ＋b b＝1＋1＝2. 当a ，b 同负时，|a |a＋|b |b ＝－a a ＋－b b ＝－1－1＝－2. 当a ，b 异号时，|a |a ＋|b |b ＝0.∴|a |a ＋|b |b的可能取值所组成的集合中元素共有3个．] 5．已知数集A 满足条件：若a ∈A ，则11－a∈A (a ≠1)，如果a ＝2，试求出A 中的所有元素． [解] 根据题意，由2∈A 可知，11－2＝－1∈A ；由－1∈A 可知，11－(－1)＝12∈A ；由12∈A 可知，11－12＝2∈A . 故集合A 中共有3个元素，它们分别是－1，12，2.。

2021_2020学年高中数学课时分层作业1命题(含解析)北师大版选修1_1

课时分层作业(一) 命题(建议用时：60分钟)[根底达标练]一、选择题1．以下语句是命题的是( )A．2021是一个大数B．假设两直线平行，那么这两条直线没有公共点C．对数函数是增函数吗？D．a≤15B[B选项可以判断真假，是命题．]2．以下说法错误的选项是( )A．原命题为真，那么它的逆命题可以为真，也可以为假B．如果一个命题的否命题为假命题，那么它本身一定是真命题C．原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数一定为偶数D．一个命题的逆命题、否命题、逆否命题可以同为假命题B[A显然正确；B错误，原命题与否命题的真假可能一样，也可能相反；C、D为真命题．] 3．以下命题中，为真命题的是( )A．命题“假设x>y，那么x>|y|〞的逆命题B．命题“假设x>1，那么x2>1”的否命题C．命题“假设x＝1，那么x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“假设x2>0，那么x>1”的逆否命题A[B选项中，否命题为“假设x≤1，那么x2≤1”，为假命题；C选项中，否命题为“假设x≠1，那么x2＋x－2≠0”，为假命题；D选项中，逆否命题为“假设x≤1，那么x2≤0”，为假命题．]4．假设命题p的逆否命题是q，q的逆命题是r，那么p与r是( )A．互逆命题B．互否命题C．互逆否命题D．不确定B[因为p与q互为逆否命题，又因为q的逆命题是r，那么p与r为互否命题．]5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，那么以下命题中的假命题是( ) A．假设m⊥n，m⊥α，nα，那么n∥αB．假设m⊥β，α⊥β，那么m∥α或mαC．假设m∥α，α⊥β，那么m⊥βD．假设m⊥n，m⊥α，n⊥β，那么α⊥βC[C是假命题，m∥α，α⊥β时，m与β的关系可以是m⊥β，可以是m∥β，可以mβ或m与β斜交．]二、填空题6．命题“无理数是无限不循环小数〞中，条件是________，结论是________．[解析] 该命题可改写为“如果一个数是无理数，那么它是无限不循环小数〞．条件是：一个数是无理数；结论是：它是无限不循环小数．[答案] 一个数是无理数它是无限不循环小数7．原命题“两个无理数的积仍是无理数〞，那么有：①逆命题是“乘积为无理数的两数都是无理数〞；②否命题是“两个不都是无理数的积也不是无理数〞；③逆否命题是“乘积不是无理数的两个数都不是无理数〞．其中改写正确的序号是________．[解析] ①②正确，③逆否命题应为：“乘积不是无理数的两个数不都是无理数〞，故③错误．[答案] ①②8．有以下四个命题：①命题“假设xy＝1，那么x，y互为倒数〞的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等〞的否命题；③命题“假设m≤1，那么x2－2x＋m＝0有实根〞的逆否命题；④命题“假设A∩B＝B，那么A⊆B〞的逆否命题．其中是真命题的是________(填序号)．[解析] ④中由A∩B＝B，应该得出B⊆A，原命题为假命题，所以逆否命题为假命题．[答案] ①②③三、解答题9．判断以下命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，同时判断这些命题的真假．(1)假设a>b，那么ac2>bc2；(2)假设在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac<0，那么该二次函数图像与x轴有公共点．[解] (1)该命题为假．因为当c＝0时，ac2＝bc2.逆命题：假设ac2>bc2，那么a>b，为真．否命题：假设a≤b，那么ac2≤bc2，为真．逆否命题：假设ac2≤bc2，那么a≤b，为假．(2)该命题为假．∵当b2－4ac<0时，二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，因此二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴无公共点．逆命题：假设二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴有公共点，那么b2－4ac<0，为假．否命题：假设在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac≥0，那么该二次函数图像与x轴没有公共点，为假．逆否命题：假设二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴没有公共点，那么b2－4ac≥0，为假．10．证明：函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R.假设f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，那么a＋b≥0.[证明] 原命题的逆否命题为“函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，假设a＋b<0，那么f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．假设a＋b<0，那么a<－b，b<－a，又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)．∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，即逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．[能力提升练]1．命题“假设－1<x<1，那么x2<1”的逆否命题是( )A．假设x≥1或x≤－1，那么x2≥1B．假设x2<1，那么－1<x<1C．假设x2>1，那么x>1或x<－1D．假设x2≥1，那么x≥1或x≤－1D[“－1<x<1”的否认为“x≥1或x≤－1”；“x2<1”的否认为“x2≥1”，由逆否命题定义知，D正确．]2．以下四个命题：(1)“假设x＋y＝0，那么x，y互为相反数〞的否命题；(2)“假设a＞b，那么a2＞b2”的逆否命题；(3)“假设x≤－3，那么x2－x－6＞0”的否命题；(4)“对顶角相等〞的逆命题．其中真命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3B[(1)否命题：假设x＋y≠0，那么x，y不互为相反数，真命题．(2)逆否命题：假设a2≤b2，那么a≤b，假命题．(3)否命题：假设x＞－3，那么x2－x－6≤0，假命题．(4)逆命题：相等的两个角是对顶角，假命题，应选B.]3．命题“假设x∈R，那么x2＋(a－1)x＋1≥0恒成立〞是真命题，那么实数a的取值范围为________．[解析] 由题意得：Δ≤0，即：(a－1)2－4×1×1≤0，解得：a∈[－1,3]．[答案] [－1,3]4．命题“假设m －1＜x ＜m ＋1，那么1＜x ＜2”的逆命题为真命题，那么m 的取值范围是________．[解析] 由得，假设1＜x ＜2成立，那么m －1＜x ＜m ＋1也成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －1≤1，m ＋1≥2，∴1≤m ≤2.[答案] [1,2]5．命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0；命题q ：1－x ＋x 24<1，假设命题p 是真命题，命题q 是假命题，求实数x 的取值范围．[解] 由lg(x 2－2x －2)≥0，得x 2－2x －2≥1，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3.由1－x ＋x 24<1，得x 2－4x <0，解得0<x <4. 因为命题p 为真命题，命题q 为假命题，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－1或x ≥3，x ≤0或x ≥4，解得x ≤－1或x ≥4.所以，满足条件的实数x 的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．。

2019_2020学年高中数学全一册课时分层作业(打包22套)(含解析)新人教B版选修1_1

课时分层作业(一) 命题(建议用时：40分钟)[基础达标练]1．下列语句中，命题的个数为 ( )①空集是任何非空集合的真子集．②起立！③垂直于同一个平面的两条直线平行吗？④若实数x，y满足x2＋y2＝0，则x＝y＝0.A．1 B．2 C．3 D．4B[①④为命题，②是祈使句，③是疑问句，都不是命题．]2．下列命题属于假命题的是( )A．若ac2>bc2，则a>bB．若|a|＝|b|，则a＝bC．若x∈R，则x2＋x＋1>0D．函数y＝sin x是周期函数B[|2|＝|－2|，但2≠－2，所以B项是错误的，故选B.]3．命题“梯形的对角线互相平分”的条件是( )A．四边形是梯形B．对角线C．互相平分D．对角线互相平分A[命题可改写为：若四边形是梯形，则它的对角线互相平分，所以该命题的条件是四边形是梯形，故选A.]4．下列命题中真命题的个数是 ( )①平行于同一平面的两个不同的平面平行；②不等式x＋y－1>0表示的平面区域包含边界x＋y－1＝0；③方程x2＋y2＝3表示一个圆；④程序框图中，循环结构可以不含条件结构．A．1 B．2 C．3 D．4B[①③是真命题，②④是假命题，故选B.]5．已知命题“关于x的方程x2－2x＋m＝0无实根”是真命题，则实数m的取值范围是( )A．(－∞，1) B．(－∞，1]C．(1，＋∞)D．[1，＋∞)C[因为“关于x的方程x2－2x＋m＝0无实根”是真命题，所以Δ＝(－2)2－4m<0，解得m>1.]6．下列语句中，命题是________，其中真命题是________(写出序号)．①等边三角形是等腰三角形；②若两条直线平行，则这两条直线的斜率相等；③大角所对的边大于小角所对的边．①②③①[①是命题且是真命题；②是假命题，若两条直线斜率都不存在时，这两条直线平行；③是假命题，没有考虑到“在两个三角形中”的情况．]7．命题“若a>0，则二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包括边界)”的条件p：________，结论q：________，它是________命题(填“真”或“假”)．a＞0 二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界) 真[a>0时，设a＝1，把(0,0)代入x＋y－1≥0得－1≥0不成立，∴x＋y－1≥0表示直线的右上方区域，∴命题为真命题．]8．设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线．有下列四个命题：①(a·b)c＝(c·a)b；②|a|－|b|＜|a－b|；③(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中真命题是________．②④[①平面向量的数量积不满足结合律，故①假；②由向量的减法运算可知|a|，|b|，|a－b|恰为一个三角形的三条边长，“两边之差小于第三边”，故②真；③因为[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)a·c－(c·a)b·c＝0，所以垂直，故③假；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9a·a－4b·b＝9|a|2－4|b|2成立，故④真．]9．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．(1)奇数不能被2整除；(2)实数的平方是正数；(3)当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1；(4)已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2.[解](1)若一个数是奇数，则这个数不能被2整除，是真命题．(2)若一个数是实数，则这个数的平方是正数，是假命题．例如0的平方还是0，不是正数．(3)若(a－1)2＋(b－1)2＝0，则a＝b＝1，是真命题．(4)已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2，是假命题．例如y＝4，x＝3也符合条件．10．已知：A ：5x －1＞a ，B ：x >1，请选择适当的实数a ，使得利用A ，B 构造的命题“若p ，则q ”为真命题．[解] ①若视A 为p ，则命题“若p ，则q ”为“若x >1＋a5，则x ＞1”，由命题为真命题，可知1＋a5≥1，解得a ≥4；②若视B 为p ，则命题“若p ，则q ”为“若x >1，则x >1＋a5”，由命题为真命题，可知1＋a 5≤1，解得a ≤4.故a 取任一实数均可使得利用A ，B 构造的命题为真命题，例如这里取a ＝1，则有真命题“若x >1，则x >25”．[能力提升练]1．关于直线m ，n 与平面α，β，有下列四个命题：①若m ∥α，n ∥β，且α∥β，则m ∥n ；②若m ⊥α，n ⊥β，且α⊥β，则m ⊥n ；③若m ⊥α，n ∥β，且α∥β，则m ⊥n ；④若m ∥α，n ⊥β，且α⊥β，则m ∥n .其中真命题的序号是( )A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③D [如图1所示，α，β分别为正方体的上、下底面，显然图中的m ∥α，n ∥β，且α∥β，但m 与n 不平行，故①为假命题，可排除A ，C.对于命题④，如图2所示，α为正方体的下底面，β为侧面，图中的m ∥α，n ⊥β，且α⊥β，但m 与n 不平行，故④为假命题，可排除B.故选D.]图1 图22．对于下列四个命题：①若向量a ，b 满足a·b <0，则a 与b 的夹角为钝角； ②已知集合A ＝{正四棱柱}，B ＝{长方体}，则A ∩B ＝B ；③在平面直角坐标平面内，点M (|a |，|a －3|)与N (cos α，sin α)在直线x ＋y －2＝0的异侧；④偶数的平方仍是偶数．其中真命题是________(将你认为正确的命题的序号都填上)．③④ [命题①错误，当a 与b 反向时，也有a·b ＜0；命题②错误，正四棱柱是底面为正方形的直四棱柱，而长方体的底面是一般的矩形，所以A ∩B ＝A ；命题③正确，因为|a |＋|a －3|≥|a －a ＋3|＝3＞2，cos α＋sin α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4≤2＜2，所以M 与N 在直线x ＋y －2＝0的异侧；命题④正确．]课时分层作业(二) 量词(建议用时：40分钟)[基础达标练]1．下列命题中为全称命题的是( ) A ．过直线外一点有一条直线和已知直线平行 B ．矩形都有外接圆C ．存在一个实数与它的相反数的和为0D ．0没有倒数B [命题“矩形都有外接圆”可改写为“每一个矩形都有外接圆”，是全称命题．故选B.]2．下列命题中为存在性命题的是( ) A ．所有的整数都是有理数 B ．三角形的内角和都是180° C ．有些三角形是等腰三角形 D ．正方形都是菱形C [A ，B ，D 为全称命题，而C 含有存在量词“有些”，故为存在性命题．] 3．下列命题中，是全称命题且是真命题的是( ) A ．对任意的a ，b ∈R ，都有a 2＋b 2－2a －2b ＋2<0 B ．菱形的两条对角线相等 C ．∀x ∈R ，x 2＝xD ．对数函数在定义域上是单调函数D [A 中的命题是全称命题，但a 2＋b 2－2a －2b ＋2＝(a －1)2＋(b －1)2≥0，故是假命题；B 中的命题是全称命题，但是假命题；C 中的命题是全称命题，但x 2＝|x |，故是假命题；很明显D 中的命题是全称命题且是真命题，故选D.]4．下列存在性命题中，假命题的个数是( )①存在x ∈R ，使x 2<x ； ②有些三角函数的周期是π； ③存在x ∈R ，使函数y ＝x 2＋2＋1x 2＋2的最小值为2.A ．0B ．1C ．2D ．3B [由x 2<x 得0<x <1，故①“存在x ∈R ，使x 2<x ”是真命题；三角函数f (x )＝sin 2x 的周期为π，故②为真命题；x 2＋2＝1x 2＋2，得x 2＋2＝1，即x 2＝－1，此方程无实数解，所以y ＝x 2＋2＋1x 2＋2＞2，故③是假命题．所以假命题的个数为1.]5．下列命题中为假命题的是 ( ) A ．∃x ∈R ，lg x ＝0 B ．∃x ∈R ，tan x ＝1 C ．∀x ∈R ，x 3＞0D ．∀x ∈R,2x＞0C [选项A ，lg x ＝0⇒x ＝1；选项B ，tan x ＝1⇒x ＝π4＋k π(k ∈Z )；选项C ，x 3＞0⇒x ＞0；选项D,2x＞0⇒x ∈R .]6．命题“有些负数满足不等式(1＋x )(1－9x )2＞0”用“∃”写成存在性命题为________．∃x ＜0，(1＋x )(1－9x )2＞0 [根据存在性命题的定义改写．]7．下列命题中为全称命题的是________(填所有正确的序号)． ①三角形两边之和大于第三边 ②所有的x ∈R ，x 3＋1>0 ③有些函数为奇函数 ④平行四边形对角相等①②④ [③为存在性命题，①、④为省略了全称量词的全称命题，②为全称命题．] 8．下列语句中，全称命题有________，存在性命题有________．(填序号) ①有一个实数a ，a 不能取对数； ②所有不等式的解集A 都满足A ⊆R ； ③三角函数都是周期函数吗？ ④有的向量方向不定； ⑤自然数的平方是正数．②⑤ ①④ [因为①④中含有存在量词，所以命题①④为存在性命题；因为“自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然数的平方都是正数”，所以含有全称量词，故为全称命题；③不是命题．综上所述，①④为存在性命题，②⑤为全称命题，③不是命题．]9．判断下列命题是否为全称命题或存在性命题，若是，用符号表示，并判断其真假．(1)存在一条直线，其斜率不存在；(2)对所有的实数a ，b ，方程ax ＋b ＝0都有唯一解； (3)存在实数x ，使得1x 2－x ＋1＝2.[解] (1)是存在性命题，用符号表示为“∃直线l ，l 的斜率不存在”，是真命题． (2)是全称命题，用符号表示为“∀a ，b ∈R ，方程ax ＋b ＝0都有唯一解”，是假命题． (3)是存在性命题，用符号表示为“∃x ∈R ，1x 2－x ＋1＝2”，是假命题．10．已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0.若命题“p 和q ”都是真命题，求实数a 的取值范围．[解] ∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，即a ≤x 2，当x ∈[1,2]时恒成立，∴a ≤1. ∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0，即方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根， ∴Δ＝4a 2－4(2－a )≥0. ∴a ≤－2或a ≥1.又p 和q 都为真，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ≤－2或a ≥1，∴a ≤－2或a ＝1.[能力提升练]1．下列命题中，是假命题的是 ( )A ．∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)x m 2－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减B ．∀a ＞0，函数f (x )＝(ln x )2＋ln x －a 有零点 C ．∃α，β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋sin β D ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数D [∵f (x )为幂函数，∴m －1＝1，∴m ＝2，∴f (x )＝x －1，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，故A 中的命题为真命题；∵y ＝(ln x )2＋ln x 的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞，∴∀a ＞0，方程(ln x )2＋ln x －a ＝0有解，即函数f (x )有零点，故B 中的命题为真命题；当α＝π6，β＝2π时，cos(α＋β)＝cos α＋sin β成立，故C 中的命题为真命题；当φ＝π2时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x 为偶函数，故D 中的命题为假命题．]2．已知对∀x >0，a ≤x ＋1x恒成立，则a 的取值范围为________．(－∞，2] [ ∀x ＞0，y ＝x ＋1x ≥2(当且仅当x ＝1x时等号成立)，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x min ＝2；而对∀x >0，a ≤x ＋1x恒成立，所以a ≤2.]课时分层作业(三) “且”与“或”(建议用时：40分钟)[基础达标练]1．“xy ≠0”是指( ) A ．x ≠0且y ≠0 B ．x ≠0或y ≠0 C ．x ，y 中至少一个不为0D ．x ，y 不都是0A [x ，y 要同时不等于0，才有xy ≠0.B 中包括x ≠0，y ＝0；x ＝0，y ≠0和x ≠0，y ≠0的情况．而C ，D 中都包含x 或y 可能为0的情况．]2．下列命题是真命题的是 ( ) A ．5＞2且7＞8 B ．3＞4或3＜4 C ．9≤7D ．方程x 2－3x ＋4＝0有实根B [虽然p ：3>4是假命题，但q ：3<4是真命题，所以p ∨q 是真命题．]3．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称，则下列判断正确的是( )A ．p 为真B ．q 为真C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真C [函数y ＝sin 2x 的最小正周期为2π2＝π，故p 为假命题；x ＝π2不是y ＝cos x 的对称轴，命题q 为假命题，故p ∧q 为假．故选C.]4．下列命题： ①2>1或1<3；②方程x 2－3x －4＝0的判别式大于或等于0；③周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等； ④集合A ∩B 是集合A 的子集，且是A ∪B 的子集．其中真命题有 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个C [前三个命题是“p ∨q ”形式，第四个是“p ∧q ”形式，根据真值表判断方法知命题③中两个简单命题均为假命题，故命题③是假命题．]5．p ：点P 在直线y ＝2x －3上，q ：点P 在抛物线y ＝－x 2上，下面使“p ∧q ”为真命题的一个点P (x ，y )是( )A ．(0，－3)B ．(1,2)C ．(1，－1)D ．(－1,1)C [使“p ∧q ”为真命题的点即为直线y ＝2x －3与抛物线y ＝－x 2的交点．]6．已知p ：不等式ax ＋b >0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞－b a ，q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )<0的解集为{x |a ＜x ＜b }，若“p ∨q ”是假命题，则a ，b 满足的条件是________．b ≤a ≤0 [∵p ∨q 为假命题，∴p ，q 均为假命题．p 假⇔a ≤0，q 假⇔a ≥b ，则b ≤a ≤0.]7．已知命题p ：“一次函数的图象是一条直线”，命题q ：“函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象是一条抛物线”，则下列四种形式的命题：①p ；②q ；③p ∨q ；④p ∧q 中，真命题是________．①③ [∵p 为真命题，q 为假命题，p 或q 为真，p 且q 为假， ∴①、③是真命题．]8．已知命题p ：不等式|x －1|＞m 的解集是R ，命题q ：函数f (x )＝2－mx在区间(0，＋∞)上是减函数，若命题“p ∨q ”为真，命题“p ∧q ”为假，则实数m 的取值范围是________．{m |0≤m ＜2} [若命题p 为真可得m ＜0，若命题q 为真可得m ＜2，由“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假可知p ，q 只能一真一假．若p 真q 假，可得m 不存在；若p 假q 真，可得0≤m ＜2.]9．判断下列复合命题的真假．(1)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边；(2)不等式x 2－2x ＋1>0的解集为R 且不等式x 2－2x ＋2≤1的解集为∅.[解] (1)这个命题是“p 且q ”形式的复合命题，其中p ：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q ：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为p 真q 真，则“p 且q ”为真，所以该命题是真命题．(2)这个命题是“p 且q ”形式的复合命题，其中p ：不等式x 2－2x ＋1>0的解集为R ，q ：不等式x 2－2x ＋2≤1的解集为∅.因为p 假q 假，所以“p 且q ”为假，故该命题为假命题．10．已知p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立；q ：函数f (x )＝－(5－2a )x是减函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．[解] 设g (x )＝x 2＋2ax ＋4.由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16＜0，∴－2＜a ＜2， ∴p ：－2＜a ＜2.函数f (x )＝－(5－2a )x是减函数，则有5－2a >1，即a <2.∴q ：a ＜2.又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假．(1)若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＜a ＜2，a ≥2，此不等式组无解．(2)若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2 或a ≥2，a <2，∴a ≤－2.综上，实数a 的取值范围是(－∞，－2]．[能力提升练]1．在一次跳高比赛前，甲、乙两名运动员各试跳了一次．设命题p 表示“甲的试跳成绩超过2米”，命题q 表示“乙的试跳成绩超过2米”，则命题p ∨q 表示( )A ．甲、乙恰有一人的试跳成绩没有超过2米B ．甲、乙至少有一人的试跳成绩没有超过2米C ．甲、乙两人的试跳成绩都没有超过2米D ．甲、乙至少有一人的试跳成绩超过2米D [命题p ∨q 表示的意义分为三层：(1)“甲的试跳成绩超过2米，乙没有超过2米”； (2)“甲没有超过2米，乙超过2米”；(3)“甲、乙二人都超过2米．”故该命题等价于甲、乙至少有一人的试跳成绩超过2米．]2．已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－12，－4]∪[4，＋∞)B ．[－12，－4]∪[4，＋∞)C ．(－∞，－12)∪(－4,4)D ．[－12，＋∞)C [命题p 等价于Δ＝a 2－16≥0，即a ≤－4或a ≥4；命题q 等价于－a4≤3，即a ≥－12.由p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题知，命题p 和q 一真一假．若p 真q 假，则a <－12；若p 假q 真，则－4<a <4.故a 的取值范围是(－∞，－12)∪(－4,4)．]课时分层作业(四) “非”(否定)(建议用时：40分钟)[基础达标练]1．若命题p ：0是偶数，命题q ：2是3的约数，则下列命题中为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．p ∨q C ．﹁pD ．(﹁p )∧(﹁q )B [因为p 是真命题，q 是假命题，所以p ∨q 是真命题．]2．已知命题p ：|x －1|≥2，命题q ：x ∈Z ，若“p 且q ”与“非q ”同时为假命题，则满足条件的x 为( )A ．{x |x ≥3或x ≤－1，x ∈Z }B ．{x |－1≤x ≤3，x ∈Z }C ．{0,1,2}D ．{－1,0,1,2,3}C [由题意知q 真，p 假，∴|x －1|＜2，∴－1＜x ＜3且x ∈Z ，∴x ＝0,1,2.] 3．对于p ：x ∈A ∩B ，则﹁p ( ) A ．x ∈A 且x ∈B B ．x ∉A 或x ∈B C ．x ∉A 或x ∉BD ．x ∈A ∪BC [因原命题等价于x ∈A 且x ∈B ，所以p 为x ∉A 或x ∉B .]4．设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( ) A ．﹁p ：∀x ∈A,2x ∉B B ．﹁p ：∀x ∉A,2x ∉B C ．﹁p ：∃x ∉A,2x ∈B D ．﹁p ：∃x ∈A,2x ∉BD [全称命题p ：∀x ∈A,2x ∈B 的否定是把量词“∀”改为“∃”，并对结论进行否定，即把“∈”改为“∉”．全称命题p ：∀x ∈A,2x ∈B 的否定是﹁p ：∃x ∈A,2x ∉B ，故选D.]5．已知命题p ：函数f (x )＝－(5－2m )x是减函数，若﹁p 为真，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥52B ．m ≤52C ．m ≥2D ．m ＜2C [由f (x )＝－(5－2m )x是减函数知5－2m >1，所以m <2，所以当﹁p 为真时，p 为假，所以m ≥2，故选C.]6．命题“∀x ∈R ，x 2－x ＋4≠0”的否定是________． ∃x ∈R ，x 2－x ＋4＝0 [全称命题的否定为存在性命题．]7．命题“若abc ＝0，则a ，b ，c 中至少有一个为零”的否定为________．若abc ＝0，则a ，b ，c 全不为零 [“a ，b ，c 中至少有一个为零”的否定为“a ，b ，c 全不为零”．]8．已知p ：x 2－x ≥6，q ：x ∈Z .若“p ∧q ”“ ﹁q ”都是假命题，则x 的值组成的集合为________．{－1,0,1,2} [若p 真，则x 2－x －6≥0，解得x ≥3或x ≤－2.又因为“p ∧q ”“ ﹁q ”都是假命题，所以q 为真命题，p 为假命题，故有⎩⎪⎨⎪⎧－2＜x ＜3，x ∈Z ，得x ∈{－1,0,1,2}．]9．写出下列命题的否定．(1)若m 2＋n 2＋x 2＋y 2＝0，则实数m ，n ，x ，y 全为零； (2)已知x ，y 均为非负实数，若x ＋y ＝0，则x ＝0且y ＝0. (3)面积相等的三角形都是全等三角形； (4)若m 2＋n 2＝0，则实数m ，n 全为零．[解] (1)命题的否定：若m 2＋n 2＋x 2＋y 2＝0，则实数m ，n ，x ，y 不全为零． (2)命题的否定：已知x ，y 均为非负实数，若x ＋y ＝0，则x ≠0或y ≠0. (3)命题的否定：面积相等的三角形不都是全等三角形． (4)命题的否定：若m 2＋n 2＝0，则实数m ，n 不全为零．10．已知命题p ：∀m ∈[－1,1]，不等式a 2－5a －3≥m 2＋8；命题q ：∃x ，使不等式x 2＋ax ＋2＜0.若p 或q 是真命题，﹁q 是真命题，求a 的取值范围．[解] 根据p 或q 是真命题，﹁q 是真命题，得p 是真命题，q 是假命题． ∵m ∈[－1,1]，∴m 2＋8∈[22，3]． ∵∀m ∈[－1,1]，不等式a 2－5a －3≥m 2＋8， ∴a 2－5a －3≥3，∴a ≥6或a ≤－1.故命题p为真命题时，a≥6或a≤－1.又命题q：∃x，使不等式x2＋ax＋2＜0，∴Δ＝a2－8＞0，∴a＞22或a＜－22，从而命题q为假命题时，－22≤a≤22，∴命题p为真命题，q为假命题时，a的取值范围为[－22，－1]．[能力提升练]1．已知命题p：∃x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：若a2<b2，则a<b.下列命题为真命题的是( )A．p∧q B．p∧﹁qC．﹁p∧q D．﹁p∧﹁qB[∵一元二次方程x2－x＋1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×1×1<0，∴x2－x＋1>0恒成立，∴p为真命题，﹁p为假命题．∵当a＝－1，b＝－2时，(－1)2<(－2)2，但－1>－2，∴q为假命题，﹁q为真命题．根据真值表可知p∧﹁q为真命题，p∧q，﹁p∧q，﹁p∧﹁q为假命题．故选B.]2．若命题“∃x∈R，x2＋(a－1)x＋1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为________．[－1,3] [∵命题“∃x∈R，x2＋(a－1)x＋1＜0”是假命题，∴命题“∀x∈R，x2＋(a－1)x＋1≥0”是真命题，即对应的判别式Δ＝(a－1)2－4≤0，即(a－1)2≤4，∴－2≤a－1≤2，即－1≤a≤3.]课时分层作业(五) 推出与充分条件、必要条件(建议用时：60分钟)[基础达标练]1．以q为公比的等比数列{a n}中，a1>0，则“a1<a3”是“q>1”的( )A．必要不充分条件B．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [等比数列{a n }中，若a 1>0，则a 1<a 3，可得q 2>1，即q >1或q <－1；若q >1，则有q 2>1，所以a 1q 2>a 1，即a 1<a 3，所以“a 1<a 3”是“q >1”的必要不充分条件．]2．下列“若p ，则q ”形式的命题中，p 是q 的充分条件的命题个数为( ) ①若f (x )是周期函数，则f (x )＝sin x ； ②若x >5，则x >2； ③若x 2－9＝0，则x ＝3.A ．0B ．1C ．2D ．3B [①中，周期函数还有很多，如y ＝cos x ，所以①中p 不是q 的充分条件；很明显②中p 是q 的充分条件；③中，当x 2－9＝0时，x ＝3或x ＝－3，所以③中p 不是q 的充分条件．所以p 是q 的充分条件的命题的个数为1，故选B.]3．设α，β是两个不同的平面，m 是直线，且m α，则“m ∥β”是“α∥β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [由mα，m ∥β得不到α∥β；由m α，α∥β能得到m ∥β.∴“m ∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．]4．设a ，b 均为单位向量，则“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件C [由|a －3b |＝|3a ＋b |得(a －3b )2＝(3a ＋b )2，即a 2＋9b 2－6a ·b ＝9a 2＋b 2＋6a·b . 又a ，b 均为单位向量，所以a 2＝b 2＝1，所以a ·b ＝0，能推出a ⊥b ，由a ⊥b 得|a －3b |＝10， |3a ＋b |＝10，能推出|a －3b |＝|3a ＋b |，所以“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的充分必要条件．]5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，－2x＋a ，x ≤0，有且只有一个零点的充分不必要条件是( ) A ．a ＜0B ．0＜a ＜12C ．12＜a ＜1 D ．a ≤0或a ＞1A [因为函数f (x )过点(1,0)，所以函数f (x )有且只有一个零点⇔函数y ＝－2x＋a (x ≤0)没有零点⇔函数y ＝2x 的图象(x ≤0)与直线y ＝a 无公共点．由数形结合(图略)可知a ≤0或a ＞1，根据集合之间的关系{a |a ＜0}{a |a ≤0或a ＞1}，可知选A.]6．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与直线mx ＋2y ＝－8互相垂直的充要条件是m ＝________.－23 [x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与mx ＋2y ＝－8互相垂直⇔1·m ＋(m ＋1)·2＝0⇔m ＝－23.] 7．若p ：x (x －3)<0是q ：2x －3<m 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________． [3，＋∞) [p ：x (x －3)＜0，即0＜x ＜3.q ：2x －3＜m ，即x ＜m ＋32.由题意知p ⇒q ，q /⇒p ，如图所示，则m ＋32≥3，解得m ≥3.]8．若x <m －1或x >m ＋1是x 2－2x －3>0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________．[0,2] [由已知易得{x |x 2－2x －3>0}{x |x ＜m －1或x >m ＋1}，又{x |x 2－2x －3>0}＝{x |x ＜－1或x ＞3}，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤m －1，m ＋1＜3，或⎩⎪⎨⎪⎧－1＜m －1，m ＋1≤3，∴0≤m ≤2.]9．设x ，y ∈R ，求证：“|x ＋y |＝|x |＋|y |”的充要条件是“xy ≥0”． [证明] 充分性：若xy ≥0，则有xy ＝0和xy ＞0两种情况．当xy ＝0时，不妨设x ＝0，则|x ＋y |＝|y |，|x |＋|y |＝|y |， ∴|x ＋y |＝|x |＋|y |成立．当xy ＞0时，即x ＞0，y ＞0或x ＜0，y ＜0.又当x ＞0，y ＞0时，|x ＋y |＝x ＋y ，|x |＋|y |＝x ＋y . ∴|x ＋y |＝|x |＋|y |成立．当x ＜0，y ＜0时，|x ＋y |＝－(x ＋y )，|x |＋|y |＝－x －y . ∴|x ＋y |＝|x |＋|y |成立．∴当xy ≥0时，|x ＋y |＝|x |＋|y |成立．必要性：若|x ＋y |＝|x |＋|y |且x ，y ∈R ，则|x ＋y |2＝(|x |＋|y |)2，即x 2＋2xy ＋y 2＝x 2＋y 2＋2|x ||y |， ∴|xy |＝xy ，∴xy ≥0.综上，可知“|x ＋y |＝|x |＋|y |”的充要条件是“xy ≥0”． 10．已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，若﹁p 是﹁q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．[解] 由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10，∴﹁p ：A ＝{x |x ＞10或x ＜－2}．由x 2－2x ＋1－m 2≤0，得1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)， ∴﹁q ：B ＝{x |x ＞1＋m 或x ＜1－m ，m ＞0}． ∵﹁p 是﹁q 的充分不必要条件，∴AB .结合数轴有⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1＋m ＜10，1－m ≥－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1＋m ≤10，1－m ＞－2，解得0＜m ≤3.即m 的取值范围是(0,3]．[能力提升练]1．设a ∈R ，则“a ＝4”是“直线l 1：ax ＋8y －8＝0与直线l 2：2x ＋ay －a ＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件D [∵当a ＝4时，a 2＝8a ＝－8－a ⇒直线l 1与直线l 2重合，当l 1与l 2平行时，需a 2＝8a ≠－8－a，显然不可能，故此时l 1与l 2重合，故选D.]2．已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r >0)．条件p ：0<r <3，条件q ：圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件C [因为圆心C (1,0)到直线x －3y ＋3＝0的距离d ＝|1＋3|1＋3＝2，若半径r ＝3，则圆C 上恰有三个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1.故若0<r <3，则圆C 上至多有两个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1；反之也成立．故选C.]3．已知p ：x 2＋2x －3>0，q ：x >a (a 为实数)．若q 的一个充分不必要条件是p ，则实数a 的取值范围是________．[1，＋∞) [将x 2＋2x －3>0化为(x －1)(x ＋3)>0，所以p ：x >1或x <－3.因为q 的一个充分不必要条件是p ，所以p 的一个充分不必要条件是q ，所以a ≥1.]4．给出如下三个命题：①“2a >2b”是“ma >mb ”的充要条件； ②在△ABC 中，“∠A >60°”是“sin A >32”的充要条件； ③已知条件p ：x 2－3x －4≤0，条件q ：x 2－6x ＋9－m 2≤0，若q 是p 的充分不必要条件，则m 的取值范围是(－∞，－4]∪[4，＋∞)．其中正确的命题是________．③ [若2a>2b，则a >b ，而此时ma >mb 不一定成立，若ma >mb ，当m >0时，则a >b ，此时2a>2b，当m <0时，此时a <b ，此时2a<2b，所以“2a>2b”是“ma >mb ”的既不充分也不必要条件，故命题①错误；在△ABC 中，∠A ＝150°时，sin A <32，故命题②错误；若q 是p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件．由p ：－1≤x ≤4，所以由一元二次方程根的分布可得，(－1)2－6×(－1)＋9－m 2≤0，解得m ≤－4或m ≥4.故正确的命题是③.]5．求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件． [解] (1)当a ＝0时，原方程变为2x ＋1＝0，即x ＝－12，符合要求．(2)当a ≠0时，ax 2＋2x ＋1＝0为一元二次方程，它有实根的充要条件是Δ≥0，即4－4a ≥0，∴a ≤1.①方程ax 2＋2x ＋1＝0有一个负实根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x 1x 2＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，1a＜0，∴a ＜0.②方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个负实根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x 1＋x 2＜0，x 1x 2＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，－2a＜0，1a ＞0，∴0＜a ≤1.综上所述，ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a ≤1.课时分层作业(六) 命题的四种形式(建议用时：40分钟)[基础达标练]1．命题“a，b∈R，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0”的逆否命题是( )A．a，b∈R，若a≠b≠0，则a2＋b2＝0B．a，b∈R，若a＝b≠0，则a2＋b2≠0C．a，b∈R，若a≠0且b≠0，则a2＋b2≠0D．a，b∈R，若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0D[a＝b＝0的否定为a≠0或b≠0；a2＋b2＝0的否定为a2＋b2≠0.故选D.]2．命题“若一个数是负数，则这个数的平方是正数”的逆命题是( )A．若一个数是负数，则这个数的平方不是正数B．若一个数的平方是正数，则这个数是负数C．若一个数不是负数，则这个数的平方不是正数D．若一个数的平方不是正数，则这个数不是负数B[原命题的逆命题：若一个数的平方是正数，则这个数是负数．故选B.]3．已知命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3B[因原命题为真，故逆否命题也为真；又因该题的逆命题为“若b2＝ac，则a，b，c 成等比数列”为假命题，所以它的否命题也为假命题．]4．原命题p：“设a，b，c∈R，若a>b，则ac2>bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．4C[当c＝0时，ac2＝bc2，所以原命题是错误的；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是错误的；逆命题为“设a，b，c∈R，若ac2>bc2，则a>b”，它是正确的；由于否命题与逆命题的真假一致，所以逆命题与否命题都为真命题．综上所述，真命题有2个．故选C.]5．有下列四个命题：(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；(2)“若x >y ，则x 2>y 2”的逆否命题； (3)“若x ≤3，则x 2－x －6>0”的否命题； (4)“等边三角形有两边相等”的逆命题．其中真命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 B________．[1,2] [由已知，得原命题的逆命题为“若1＜x ＜2，则m －1＜x ＜m ＋1”为真命题，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1m ＋1≥2，∴1≤m ≤2.]7．给出以下命题：①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ②“若a >b ，则a 2＞b 2的逆否命题； ③“若x ≤－3，则x 2＋x －6>0”的否命题．其中真命题的个数为________．1 [命题①为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，是真命题；因为命题“若a ＞b ，则a 2＞b 2”是假命题，故命题②是假命题；命题③为“若x >－3，则x 2＋x －6≤0”，由x 2＋x －6≤0，得－3≤x ≤2，故命题③是假命题，综上知真命题只有1个．]8．给定下列命题：①若k >0，则方程x 2＋2x －k ＝0有实数根； ②“若x ＋y ≠8，则x ≠2或y ≠6”； ③“矩形的对角线相等”的逆命题；④“若xy ＝0，则x ，y 中至少有一个为0”的否命题．其中真命题的序号是________．①②④ [①∵Δ＝4－4(－k )＝4＋4k >0， ∴①是真命题．②其逆否命题为真，故②是真命题．③逆命题：“对角线相等的四边形是矩形”是假命题．④否命题：“若xy≠0，则x，y都不为零”是真命题．]9．写出命题“若定义在R上的函数f(x)，g(x)都是奇函数，则函数F(x)＝f(x)·g(x)是偶函数”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．[解]逆命题：已知f(x)，g(x)是定义在R上的函数，若函数F(x)＝f(x)·g(x)是偶函数，则函数f(x)，g(x)都是奇函数．该命题是假命题．因为函数f(x)，g(x)有可能都是偶函数．否命题：若定义在R上的函数f(x)，g(x)不都是奇函数，则函数F(x)＝f(x)·g(x)不是偶函数．该命题是假命题．逆否命题：已知f(x)，g(x)是定义在R上的函数，若函数F(x)＝f(x)·g(x)不是偶函数，则函数f(x)，g(x)不都是奇函数，该命题是真命题．10．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．”(1)写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论；(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．[解](1)逆命题：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.为真命题．用反证法证明：假设a＋b<0，则a<－b，b＜－a，∵f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，∴f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，∴f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．这与题设相矛盾，∴逆命题为真命题．(2)逆否命题：若f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，则a＋b<0.为真命题．∵一个命题⇔它的逆否命题，可证明原命题为真命题．∵a＋b≥0，∴a≥－b，b≥－a.又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)．∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．∴原命题为真命题．∴逆否命题为真命题．[能力提升练]1．已知命题p：若x＝－1，则向量a＝(1，x)与b＝(x＋2，x)共线，则在命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为 ( )A．0 B．2C ．3D ．4B [向量a ，b 共线⇔x －x (x ＋2)＝0⇔x ＝0或x ＝－1，∴命题p 为真，其逆命题为假，故在命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为2.]2．给出下列命题：①命题“在△ABC 中，若AB ＝BC ＝CA ，则△ABC 为等边三角形”的逆命题； ②命题“若a >b >0，则3a >3b >0”的逆否命题；③命题“若m >1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋(m －3)＜0的解集为R ”的逆命题．其中真命题的序号为________．①② [①命题“在△ABC 中，若AB ＝BC ＝CA ，则△ABC 为等边三角形”的逆命题为“若△ABC 为等边三角形，则AB ＝BC ＝CA ”，为真命题；②命题“若a ＞b ＞0，则3a ＞3b ＞0”为真命题，故其逆否命题也为真命题；③“若m ＞1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋(m －3)<0的解集为R ”的逆命题为“若mx 2－2(m ＋1)x ＋(m －3)<0的解集为R ，则m >1”，由于mx 2－2(m ＋1)x ＋(m －3)＜0的解集为R ⇔m ＜－15，故逆命题为假命题．]课时分层作业(七) 椭圆及其标准方程(建议用时：40分钟)[基础达标练]1．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的长轴在y 轴上．若焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．7C ．5D ．8D [将椭圆的方程转化成标准形式为y 2(m －2)2＋x 2(10－m )2＝1. 由题意知m －2＞10－m ＞0，即6＜m ＜10.由(m －2)2－(10－m )2＝22，解得m ＝8，满足题意，故选D.]2．已知椭圆x 28＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，则|PF 1|·|PF 2|的最大值是( )A ．8B ．2 2C ．10D ．4 2A [由椭圆的定义得，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝42，∴|PF 1|·|PF 2|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝8(当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号)．3．已知椭圆过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－4和点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，3，则此椭圆的标准方程是( ) A ．y 225＋x 2＝1B ．x 225＋y 2＝1或x 2＋y 225＝1 C ．x 225＋y 2＝1 D ．以上都不对A [设椭圆方程为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，且A ≠B )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧925A ＋16B ＝1，1625A ＋9B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝1，B ＝125.]4．若直线x －2y ＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( ) A ．x 25＋y 2＝1B ．x 24＋y 25＝1C ．x 25＋y 2＝1或x 24＋y 25＝1D ．以上答案都不对C [直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)，由题意知当焦点在x 轴上时，c ＝2，b ＝1， ∴a 2＝5，所求椭圆的标准方程为x 25＋y 2＝1.当焦点在y 轴上时，b ＝2，c ＝1， ∴a 2＝5，所求椭圆标准方程为y 25＋x 24＝1.]5．过椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A ，B 两点，则A 与B 和椭圆的另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长为( )A ．2B ．4C ．8D ．2 2B [因为椭圆方程为4x 2＋y 2＝1，所以a ＝1.根据椭圆的定义，知△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝4a ＝4.]6．下列命题是真命题的是________(将所有真命题的序号都填上)．①已知定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝2的点P 的轨迹为椭圆；②已知定点F 1(－2,0)，F 2(2，0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝4的点P 的轨迹为线段；③到定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)距离相等的点的轨迹为椭圆；④若点P 到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和等于点M (5,3)到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和，则点P 的轨迹为椭圆．②④ [①2<2，故点P 的轨迹不存在；②因为2a ＝|F 1F 2|＝4，所以点P 的轨迹是线段F 1F 2；③到定点F 1(－3，0)，F 2(3,0)距离相等的点的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线(y 轴)；④点M (5,3)到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和为410>8，故点P 的轨迹为椭圆．故填②④.]7．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)，P 2(－3，－2)，则椭圆的方程为________．x 29＋y 23＝1 [设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，且m ≠n )．∵椭圆经过点P 1，P 2，∴点P 1，P 2的坐标适合椭圆方程．则⎩⎪⎨⎪⎧6m ＋n ＝1， ①3m ＋2n ＝1， ② ①②两式联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19，n ＝13.∴所求椭圆方程为x 29＋y 23＝1.] 8．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin Csin B的值为________． 54 [由题意可知A ，C 恰为椭圆x 225＋y29＝1的两焦点，又点B 在椭圆上，故|BC |＋|AB |＝10.∴sin A ＋sin C sin B ＝|BC |＋|AB ||AC |＝108＝54.]9．求适合下列条件的椭圆的方程． (1)焦点在x 轴上，且经过点(2,0)和点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32； (2)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，点P 到离它较近的一个焦点的距离等于2.[解] (1)∵椭圆焦点在x 轴上，∴设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．∵椭圆经过(2,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.∴所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．∵P (0，－10)在椭圆上，∴a ＝10. ∵P 到离它较近的一个焦点的距离为2， ∴－c －(－10)＝2， ∴c ＝8，∴b 2＝a 2－c 2＝36， ∴椭圆的标准方程为y 2100＋x 236＝1. 10．一动圆过定点A (2,0)，且与定圆x 2＋4x ＋y 2－32＝0内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．[解] 将圆的方程化为标准形式为(x ＋2)2＋y 2＝62， ∴圆心坐标为B (－2,0)，半径为6，如图：由于动圆M 与已知圆B 相内切，设切点为C .∴已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离，即 |BC |－|MC |＝|BM |，而|BC |＝6，|CM |＝|AM |， ∴|BM |＋|AM |＝6.根据椭圆的定义知M 的轨迹是以点B (－2,0)和点A (2，0)为焦点的椭圆，且2a ＝6. ∴a ＝3，c ＝2，b ＝a 2－c 2＝5，。

2020学年高中数学课时分层作业1数列的概念(含解析)北师大版必修5(2021-2022学年)

课时分层作业（一)（建议用时：60分钟)［基础达标练]一、选择题１.下列说法：①如果已知数列的通项公式，可求出数列中的任何一项；②数列１，-１，１,-1，…与数列－１，1,-1,1,…是同一数列;③所有的数列都有通项公式,且只有一个;④数列1,2,３,…,n是无穷数列．其中正确说法的个数是(）Ａ．1 ﻩ B.２Ｃ.3ﻩ D.4A［①正确;②不正确,数列1，-1,1，－1,…与数列-1,1,-1，1,…不是同一数列；③不正确，有的数列没有通项公式,有的数列的通项公式不止一个；④不正确，数列１,2,3，…,n是有穷数列，共n项,故选A。

］2．已知数列{ａn}的通项公式是a n＝n２＋2,则其第3,4项分别是()A.11,3ﻩＢ.１1，15C．1１,18 Ｄ．1３，18C［a3＝３2＋２＝11,a4＝42＋２=1８。

］3．已知数列{ａｎ}的通项公式为a n=25-２ｎ,下列数中不是数列{aｎ｝的项的是（)Ａ．1 B．-１Ｃ.2ﻩ D.3C [由ａn＝２5－2n,知a11＝3,ａ１2=1，a13=-1,所以2不是数列｛a n}中的项．]4．已知数列的通项公式是aｎ=错误!则该数列的前两项分别是( ) A．2,４ﻩＢ.2，２Ｃ．2,0 D．1,2B[当ｎ=１时,ａ1=２;当ｎ＝2时，ａ2＝22-2=2.]ﻬ5。

如图，各图形中的点的个数构成一个数列,该数列的一个通项公式是( )A．ａn=n2－ｎ+１ﻩＢ.a n=错误!未定义书签。

C.a n=＼f(ｎ(n＋１)，2) Ｄ.aｎ=错误!C［法一：将各图形中点的个数代入四个选项便可得到正确结果．图形中,点的个数依次为1，３,6，１０，代入验证可知正确答案为C 。

法二：观察各个图中点的个数，寻找相邻图形中点个数之间的关系,然后归纳一个通项公式.观察点的个数的增加趋势可以发现，ａ1=错误!,a 2＝错误!未定义书签。

，a ３＝错误!，ａ4=错误!未定义书签。

,所以猜想a n =错误!,故选Ｃ.］二、填空题６．数列错误!，错误!,错误!,错误!未定义书签。