模块一静力学基础

任务二十六 结构刚度验算
一、填空题
1.用积分法求梁的挠曲线方程，积分常数由梁位移的（ 边界 ）条件和（ 连续光滑 ）条件来确定。

2.用叠加法计算梁变形的条件是（梁的变形很小且应力不超过比例极限）。

3.提高梁的刚度的主要措施为（ 合理选择截面形状 ）；（尽量减少梁的跨度 ）；（ 合理安排梁的约束和加载方式 ）。

4.梁截面形心的线位移，称为( 挠度 )
5.力在其它原因引起的位移上所做的功称（ 虚功） 。

6.在变形过程中，某截面所转过角度，称为该截面的 （ 角位移）。

7.位移符号“Δip ”中的两个下标i 、p ，其中下标i 的含义是（产生位移的位置）；下标p 表示 （ 引起位移的原因 ）。

8.当求得的位移Δip 为负植时，说明了（ 实际位移与虚拟力方向相反 ）。

二、选择题
1.两简支梁，一根为钢，一根为铜。

已知它们的跨度和抗弯刚度均相同，若在跨中有相同的载荷F,二者的（ B ）不同。

A.支反力
B. 最大正应力
C. 最大挠度
D. 最大转角
2.下列哪种措施不能提高梁的弯曲刚度？（ D ） A.增大梁的抗弯刚度 B.减小梁的跨度
C.增加支承
D.将分布荷载改为几个集中荷载 3. 一杆系结构如图所示，设拉压刚度EA 为常数，则节点C 的水平位移为（ 0 ）。

三、判断题
（√）1.平面弯曲梁的挠曲线必定是一条平面曲线。

（×）2.由于挠曲线的曲率与弯矩成正比，因而横截面的挠度和转角也与截面上的弯矩成正比。

（√）3.梁的挠曲线方程随弯矩方程的分段而分段，只要梁不具有中间铰，则梁的挠曲线仍然是一条光滑、连续的曲线。

F
A
B
C ︒
30︒
30
（√ ）4. 梁的变形有两种，它们是挠度和转角 。

四、计算题
1. 试用互等定理求跨度中点C 的挠度，设EI=常量。

解：（a ）
（1）将P 力移到C 截面处。

（2）由位移互等定理
EI Pal a EI Pl a θδδf B c 16162
21221=
⨯=⨯=== 方向向上 （b ）
（1）将P 力移到C 截面处，如下图
（2）由位移互等定理
EI Pl l EI l P EI l P l θf δδf c c c 4852
)2)2((3)2(23
2
31221-
=⨯-+-=⨯+===
方向向下。

2. 试求图示各梁截面B 的挠度和转角。

A
B
a)
D
C
a
l /2
l /2 P l /2
l /2 P B
C
A
b)
a
l q
B
C
A
a)
A
B
D
C P
1 2
P
B
C A
1
2
解：（1）在B 处作用虚加力Pf 和Mf ，并列出弯矩方程
f
f f
f M x a l P qx x M M x P x M -+---=--=)(21)()(222
211
（2）上式分别对Pf 和Mf 求偏导数
1)
( 1)()()( )(212211-=∂∂-=∂∂+--=∂∂-=∂∂f
f f f M x M M x M x a l P x M x P x M
（3）用卡氏定理求挠度和转角
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--+---+---=∂∂+∂∂=∂∂=+---+---+---=∂∂+∂∂=∂∂=
--a
f f a
l f f l f
l f f B a
f f a
l f f l f
l f f B dx EI
M x a l P qx dx EI
M x P dx M x M EI x M dx M x M EI x M M U
θdx x a l EI
M x a l P qx dx x EI
M x P dx P x M EI x M dx P x M EI x M P U
f 02
22
21
122
22111102
222
21
1122
221111)1()(21)1()
()()()()()]([)(21)()
()()()()(
（4）令上两式中的Pf 和Mf 为零
EI qa dx EI
qx θa l EI
qa dx x a l EI qx f a
B a
B 6)1(210)4(24)]([210302
22302
222=--+=-=+---+=⎰⎰
x 1
q
B
C
A
x 2
P f
M f
挠度和转角的方向与虚加力的方向一致。

3.求下图所示简支梁在力 P 作用下右支座处的转角 B 。

（16分）
解：作 MP 图及M 图如下
由图乘法计算转角 B
4．求下图所示刚架B 点的竖向位移，EI=常数。

P
l/2
l/2
A
B
EI
P
A
B
Pl
4
M P 图
A
B
M 图
1 1
2
c B 111l Pl ωy Pl 242θ===EI EI 16EI
q
3EI
2EI
C
B
A
a
a
a
a
1
M 图
A
B
C
解：
由图乘法计算公式，得刚架B 处竖向位移为：
ΔBV =
16EI 9qa EI a
qa 21a 2EI a 43qa 21a 31422=
+（↓）
5 .简化电机轴的尺寸和载荷如图所示，已知E=200GPa ，d=130 mm ，定子与转子的许用间隙δ=0.35mm ；校核轴的刚度。

解：
(1)用叠加法求梁的最大挠度
m
....ql Pl d E EI ql EI Pl y y C max 1003103841100351548110531301020064384548643845483434
9434
43-⨯=⎪⎭⎫
⎝⎛⨯⨯⨯+⨯⨯⨯π⨯⨯=⎪⎭⎫
⎝⎛+π=--==
(2)刚度校核
δ= m .y max m 0310
6. 试求图所示外伸梁C 点的竖向位移∆CV 。

梁的EI=常数
解：MP.M 图分别如图 (b).(c)所示。

BC 段的MP 图是标准二次抛物线；AB 段的MP 图较复杂，但可将其分解为一个三角形和一个标准二次抛物线图形。

于是由图乘法得
B
A
P=3.5
C
500
500
q=1.035
24381231)(1
12
1332211l y ql l y y y EI cv ⨯
=⨯⨯=-+=
∆ωωωω 2322l y ⨯=
228121ql l ⨯=ω 238132ql l ⨯=ω 2213l y ⨯
= 代入以上数据,于是
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯+⨯=∆41231683481333l ql l ql l ql EI
CV
()
↓=EI ql 1284
7.试求图18.23(a)所示伸臂梁C 点的竖向位移∆cv 。

设
EI=1.5x105KN.m2
解：荷载弯矩图和单位弯矩图如图 (b) (c)所示。

在AB 段, MP 和M 图均是三角形；
在BC 段，MP 图中C 点不是抛物线的顶点（因为0≠=C Q dx dM
），但可将它看作是
由 B.C 两端的弯矩竖标所连成的三角形与相应简支梁在均布荷载作用下的标准抛物线图(即图b 中虚线与曲线之间包含的面积)叠加而成。

将上述各部分分别图乘再叠加，
即得：
3645321463002121⨯⨯⨯⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯⨯⨯=
∆EI EI CV
()↓==⨯==
cm m EI 44.40444.0105.16660
66605
8. 试求图 (a)所示刚架结点B 的水平位移∆BH 。

设各杆为矩形截面，截面尺寸为b ×h ，惯性矩l=bh3/12,E 为常数，只考虑弯矩变形的影响。

解：
先作出MP 图和M 图，分别如图 (b) (c)所示。

应用图乘法求得结点B 的水平移为 ()3322111
y y y EI BH ωωω++=
∆
⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=281323221213221211222l l ql l l ql l l ql EI ()→=EI ql 834。