平面几何基础知识教程

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初中平面几何知识点

初中平面几何知识点一、引言平面几何是初中数学的重要分支，它主要研究平面内的点、线、面的基本性质及其相互关系。

掌握平面几何的知识点对于培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力具有重要意义。

二、点、线、面的基本性质1. 点- 点是平面几何中最基本的元素，没有大小，只有位置。

- 两个点可以确定一条直线。

2. 线- 线由无数个点组成，有长度，没有宽度和高度。

- 直线：无限延伸，没有端点。

- 射线：有一个端点，另一端无限延伸。

- 线段：有两个端点，长度有限。

3. 面- 面由无数条线组成，有长度和宽度，没有高度。

- 平行：两条直线或两个平面没有交点，称它们平行。

- 相交：两条直线或两个平面有一个或多个共同点。

三、角的基本概念和性质1. 角- 角是由两条射线的公共端点（顶点）和它们之间的一段弧线所围成的图形。

- 角的度量单位是度（°）。

2. 角的分类- 锐角：小于90°的角。

- 直角：等于90°的角。

- 钝角：大于90°且小于180°的角。

- 平角：等于180°的角。

- 周角：等于360°的角。

3. 角的性质- 邻角：两个有公共边的角。

- 对顶角：两条相交线所形成的相对的两个角。

- 同位角、内错角、同旁内角：在平行线和横截线相交时形成的角。

四、几何图形的性质1. 三角形- 三角形是由三条线段顺次首尾相连围成的封闭图形。

- 三角形的内角和为180°。

- 等边三角形：三条边等长。

- 等腰三角形：两条边等长。

- 直角三角形：一个角为90°。

2. 四边形- 四边形是由四条线段顺次首尾相连围成的封闭图形。

- 平行四边形：对边平行。

- 矩形：四个角都是直角。

- 菱形：四条边等长。

- 正方形：四条边等长且四个角都是直角。

3. 圆- 圆是由一个固定点（圆心）和所有与该点距离相等的点组成的平面图形。

- 弧：圆上两点之间的部分。

- 弦：连接圆上两点的线段。

平面几何基础知识教案

平面几何基础知识教案教学目标：通过本课的学习，学生将能够掌握平面几何的基础知识，包括点、线、面的概念，直线与曲线的区分，以及常见的几何图形和其性质等内容。

教学内容：1. 点、线、面的概念1.1 点的定义- 点是最基本的几何要素- 点是在空间中没有长度、宽度和厚度的位置1.2 线的定义- 线是由无数个点连在一起形成的- 线是没有宽度、厚度的1.3 面的定义- 面是由无数个线相互连接形成的- 面是有宽度和厚度的2. 直线与曲线的区分2.1 直线的性质- 直线上的任意两点可以连成一条直线- 直线是直的，没有弯曲2.2 曲线的性质- 曲线有弯曲的形状- 曲线可以分为封闭曲线和开放曲线两种3. 常见的几何图形及其性质3.1 线段- 线段是由两个端点和连接两个端点的线段组成的- 线段的长度等于两个端点之间的距离3.2 角- 角是由两条射线共同起点组成的- 角可细分为锐角、直角、钝角等3.3 三角形- 三角形是由三条线段组成的- 三角形的性质包括内角和为180度、直角三角形、等腰三角形等3.4 矩形- 矩形是具有四个直角的四边形- 矩形的性质包括对角线相等、面积计算公式等3.5 圆- 圆是由一条固定的几何中心和与该中心的所有点距离相等的点组成的- 圆的性质包括半径、直径、弧长、扇形等教学过程：1. 导入新知- 引入平面几何的概念，提出学生对点、线、面的理解，并进行讨论。

2. 点、线、面的概念- 通过图片和实际物体的例子来介绍点、线、面的概念，并让学生进行观察和讨论。

3. 直线与曲线的区分- 通过实际物体的例子，让学生观察直线与曲线的不同，并进行对比分析。

4. 常见的几何图形及其性质- 通过展示图片和实物，介绍线段、角、三角形、矩形和圆的定义和性质，并进行示范和解释。

5. 练习与巩固- 让学生进行练习题，巩固所学知识。

6. 总结与拓展- 对本课的内容进行总结，并引导学生进行拓展思考，如应用几何知识解决实际问题等。

平面几何的基本性质与公式解析与归纳

平面几何的基本性质与公式解析与归纳平面几何是研究二维空间中图形的形状、大小和相互关系的数学分支，它有许多基本性质和公式，能够帮助我们解决各种几何问题。

本文将对平面几何的基本性质和公式进行解析和归纳，以帮助读者更好地理解和应用这些知识。

一、点、线、面的性质1. 点：点是平面几何中最基本的概念，没有大小和形状，只有位置。

在平面上任意取两个不同的点可以确定一条直线。

2. 线：线是由无数个点连成的路径，没有宽度和厚度。

直线是最简单的线，它无限延伸，没有起点和终点。

线段是有确定起点和终点的线。

3. 面：面是由无数个点组成的平坦区域，有长度和宽度。

平面是最简单的面，它无限延伸。

二、角的性质与公式1. 角的概念：角是由两条射线共享一个起点所形成的图形。

角可以用字母表示，比如∠ABC表示以点B为顶点，以线段BA和线段BC为腿的角。

2. 角的大小：角的大小可以用度数或弧度来表示。

一周的角度为360度或2π弧度。

直角角度为90度或π/2弧度。

根据角度的大小，角可以分为锐角、直角、钝角和平角。

3. 角的和与差：两个角的和等于这两个角各自对应的两个边所成的角之和。

即∠ABC+∠CBD=∠ABD。

同理，两个角的差等于这两个角各自对应的两个边所成的角之差。

三、三角形的性质与公式1. 三角形的定义与分类：三角形是由三条线段组成的图形。

根据边的长度和角的大小，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形和一般三角形。

2. 三角形的周长：三角形的周长等于三条边的长度之和，即P=AB+BC+CA。

3. 三角形的面积：三角形的面积可以根据两个边的长度和夹角的大小来计算。

常用的计算公式有海伦公式和正弦定理。

四、四边形的性质与公式1. 四边形的定义与分类：四边形是由四条线段组成的图形。

根据边的长度和角的大小，四边形可以分为正方形、长方形、菱形、平行四边形、梯形等多种类型。

2. 平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等，对角线相交于对角线的中点。

平面几何基础知识

平面几何基础知识在数学的世界里，几何学是研究空间及其内部图形的一门学科。

平面几何则更专注于二维空间中的图形和形状。

平面几何基础知识对于理解和解决各种数学问题至关重要。

本文将介绍一些关键概念和定理，帮助读者建立起扎实的平面几何基础知识。

1. 点、直线和线段在平面几何中，点是最基本的概念。

它是几何图形中最小的单位，没有大小和方向。

直线是由无数个点组成，没有宽度和端点。

而线段则是直线的一部分，有起点和终点。

2. 角角是由两条射线共享一个公共的端点而形成的图形。

角可以通过度数或弧度来度量。

常见的角包括直角（90度）和钝角（大于90度）。

3. 三角形三角形是由三条线段组成的图形。

根据边长和角度，三角形可以分为不同的类型，包括等边三角形、等腰三角形和直角三角形等。

三角形的内角和为180度，这一性质被称为三角形的内角和定理。

4. 平行和垂直平行是指两条直线在平面上永不相交，垂直是指两条直线相交且互相成直角。

平行线有许多重要性质，如平行线的传递性和平行线和转折线之间的角度关系等。

5. 圆圆是由一个固定点到平面上任意一点的距离相等的点的集合。

圆由中心和半径来确定。

圆的重要性质包括圆心角和弧长之间的关系，以及切线和弦之间的角度关系。

6. 多边形多边形是由多条线段组成，形成一个封闭的图形。

根据边的数目，多边形可以分为三角形、四边形、五边形等。

多边形的内角和可以通过公式（n-2） × 180度计算，其中n为多边形的边数。

7. 相似和全等当两个图形的形状相似时，它们的对应角度相等，对应边长成比例。

全等指两个图形的形状和大小完全相同。

8. 比例比例是用来表示两个量之间的关系。

在几何中，比例经常用来计算线段的长度或图形的边长比。

比例的一些性质包括比例的可逆性和比例的传递性。

总结：平面几何基础知识是理解和应用数学问题的关键。

点、直线、线段、角、三角形、圆、多边形、平行和垂直、相似和全等以及比例等概念和定理，构成了平面几何的基础框架。

平面解析几何基础知识

平面解析几何基础知识平面解析几何是数学中的一个分支，研究平面上点、直线、曲线的性质及它们之间的关系。

它在几何图形的研究和数学问题的解决中起到重要的作用。

本文将介绍平面解析几何的基础知识，包括点、直线、曲线的表示方法和相关性质。

一、点的表示和性质在平面解析几何中，点被表示为坐标形式，通常用有序数对(x, y)表示。

其中，x为横坐标，y为纵坐标。

点的坐标可以用于描述点的位置和与其他点的关系。

点的性质包括：1. 对称性：对于任意点(x, y)，其对称点为(-x, -y)。

即点关于原点对称。

2. 距离公式：两点之间的距离可以通过以下公式计算：d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)，其中(x1, y1)和(x2, y2)分别表示两点的坐标。

二、直线的表示和性质直线是平面解析几何中的重要概念，它可以通过点斜式和一般式表示。

1. 点斜式：设直线经过点P(x1, y1)，斜率为k，那么直线的点斜式方程为：y - y1 = k(x - x1)，其中k表示直线的斜率。

2. 一般式：直线的一般式方程可以表示为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数。

直线的性质包括：1. 斜率：斜率表示直线的倾斜程度，即直线上任意两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值。

斜率为k的直线与x轴的夹角为arctan(k)。

2. 相互关系：两条直线的位置关系可以通过斜率和截距进行判断。

如果两条直线的斜率相等且截距也相等，则它们重合；若斜率相等但截距不相等，则它们平行；若斜率乘积为-1，则它们垂直。

三、曲线的表示和性质曲线是平面解析几何中的重要概念，常见的曲线有圆、椭圆、双曲线等。

它们可以由方程表示。

1. 圆的方程：设圆的圆心为点C(a, b)，半径为r，则圆的方程为：(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2。

2. 椭圆的方程：设椭圆的圆心为点C(a, b)，长半轴为a，短半轴为b，则椭圆的方程为：(x - a)^2/a^2 + (y - b)^2/b^2 = 1。

平面几何基础知识

平面几何基础知识在数学中，平面几何是研究平面上的图形、点、线、面等基本元素之间的关系和性质的一门学科。

它是数学中最基础、最重要的一个分支，对于理解和应用其他数学概念起着重要的作用。

本文将介绍平面几何的基础知识，包括点、线、面的概念以及它们之间的关系。

一、点的概念在平面几何中，点是最基本的元素。

点通常用大写拉丁字母表示，比如A、B、C等。

点在平面上没有大小，只有位置。

任意两个点之间都可以划定一条直线。

而且，任意三个点不共线，可以确定一个平面。

二、线的概念线是由一系列点连在一起形成的图形。

线有无限延伸性，没有起点和终点，可以用小写字母表示，如ab、cd、ef等。

线可以是直线或曲线。

直线是两个点之间最短的路径，也是最简单的线。

曲线则是在平面上运动形成的轨迹，它可以弯曲和交叉。

三、线段和射线线段是由两个点及其之间的所有点组成的部分，具有起点和终点，可以用符号“ ”表示。

比如AB表示线段AB。

而射线是由一个起点及其从该起点出发的所有点组成的部分，可以用符号“→”表示。

比如AB→表示以点A为起点，沿着直线AB方向上无限延伸的射线。

四、面的概念面是由无数个点和直线组成的，是一个没有厚度的二维物体。

面可以用大写字母表示，如P、Q、R等。

在平面几何中，有两种特殊的面：平面和圆。

平面由无数的直线组成，没有边界。

圆是由平面上到一个固定点的距离相等的所有点组成的。

五、基本性质和定理平面几何有许多基本的性质和定理。

下面介绍几个常见的：1. 直线的性质：直线上的任意两点可以连成一条直线，直线与直线最多只有一个公共点，直线可以无限延伸。

2. 平行线的性质：如果两条直线在平面上没有交点，那么它们是平行线。

3. 垂直线的性质：如果两条直线相交成直角，那么它们是垂直线。

4. 三角形的性质：三角形是由三条线段组成的图形。

三角形的内角和等于180度。

5. 圆的性质：圆上的任意点到圆心的距离相等，这个相等的距离叫做半径。

圆上的点可以任意连成一条弧。

初等数学有关平面几何的所有知识点

初等数学有关平面几何的所有知识点平面几何是初等数学的重要部分，它研究的是平面上的点、线和图形的性质及其相互关系。

本文将围绕平面几何的各个知识点展开介绍，包括点、线、角、三角形、四边形等内容。

一、点和线1. 点：点是平面上没有大小、形状和方向的基本要素，用大写字母表示，如A、B等。

2. 直线：直线是由无数个点组成的，且无始无终的路径。

直线上的两点可以唯一确定一条直线。

3. 射线：射线是有一个起点，没有终点的路径。

射线由起点和经过起点的任意一点确定。

4. 线段：线段是有两个端点的路径，线段的长度可以通过两个端点的距离来确定。

二、角1. 角度：角度是由两条射线共享一个起点所形成的图形，用度（°）表示。

2. 角的种类：角可以分为锐角（小于90°）、直角（等于90°）和钝角（大于90°）三种。

3. 角的度量：角度可以通过量角器或直尺等工具进行度量。

4. 角的平分线：角的平分线是将角分为两个相等的角的线段。

三、三角形1. 三角形的定义：三角形是由三条线段组成的图形，其中任意两条线段之和大于第三条线段。

2. 三角形的分类：三角形可以根据边长和角度进行分类，包括等边三角形、等腰三角形、直角三角形等。

3. 三角形的性质：三角形的内角和等于180°，任意两边之和大于第三边，三角形的高与底边的关系等。

四、四边形1. 四边形的定义：四边形是由四条线段组成的图形。

2. 平行四边形：平行四边形是具有两对平行边的四边形。

3. 矩形：矩形是具有四个内角都为直角的平行四边形。

4. 正方形：正方形是具有四个相等边且四个内角都为直角的矩形。

5. 菱形：菱形是具有四个边都相等的平行四边形。

五、圆1. 圆的定义：圆是由平面上到一个固定点距离相等的所有点组成的图形。

2. 圆的要素：圆心是圆上所有点到圆心的距离相等的点，半径是圆心到圆上任意点的距离。

3. 圆的性质：圆的直径是通过圆心且两端点在圆上的线段，圆的周长是圆的边界上的长度。

平面几何基础学习平面几何的基本概念和定理

平面几何基础学习平面几何的基本概念和定理在数学领域中，平面几何是研究平面上的图形、形状、大小、位置关系以及性质的一门学科。

通过学习平面几何的基本概念和定理，我们可以深入理解和掌握几何学的基础知识，为后续进一步的学习打下坚实的基础。

一、点、线、面的基本概念点、线、面是平面几何中最基本的概念。

点是没有大小和形状的，用字母表示，如A、B、C等；线是由一连串的点连在一起形成的，用两个点的字母表示，如AB、CD等；面是由一连串的线围成的平面，用大写字母表示，如面ABC。

二、线段、直线、射线的定义线段是由两个端点和两个端点之间的点组成，用字母表示，如AB；直线是一条没有端点的无限延伸的线段，在字母上加一个横杠表示，如AB；射线是由一个端点和这个端点向一个方向无限延伸的线段，用字母表示，如→AB。

三、平行线与垂直线的性质平行线指在同一个平面内永不相交的直线，用符号“∥”表示；垂直线指两条线段、直线或射线相交时，所成的角度为90度，用符号“⊥”表示。

平行线具有性质：1.平行关系具有传递性，即若AB∥CD，CD∥EF，则AB∥EF；2.任意一条直线与平行线横切时，所成的对应角相等。

四、三角形的性质三角形是由三条线段组成的多边形。

根据边的关系和角的关系，我们可以得出三角形的一些基本性质：1.三角形的内角和等于180度；2.等边三角形的三个边相等，三个角都是60度；3.等腰三角形的两条边相等，两个底角也相等；4.直角三角形的一个角是90度。

五、平面图形的面积计算矩形、正方形、三角形和梯形是我们常见的平面图形，根据其特点我们可以计算出它们的面积。

矩形的面积等于长乘以宽，正方形的面积等于边长的平方，三角形的面积等于底乘以高的一半，梯形的面积等于上底加下底乘以高的一半。

六、三角形的重心、外心、内心和垂心三角形有四个特殊的点，分别是重心、外心、内心和垂心。

重心是三条中线的交点，中线是由一个顶点与对应边的中点组成；外心是三角形外接圆的圆心，外接圆通过三个顶点；内心是三角形内切圆的圆心，内切圆与三条边都相切；垂心是三角形的三条高线的交点，高线是由一个顶点与对边垂直相交的线段组成。

平面几何基础知识基本定理基本性质

平面几何基础知识（基本定理、基本性质）1．勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍．2．射影定理（欧几里得定理）3．中线定理（巴布斯定理）设△ABC 的边BC 的中点为P ，则有)(22222BP AP AC AB +=+；中线长：222222a c b m a -+=． 4．垂线定理：2222BD BC AD AC CD AB -=-⇔⊥．高线长：C b B c A abc c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---=． 5．角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例．如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则ACAB DC BD =；（外角平分线定理）．角平分线长：2cos 2)(2A c b bc a p bcp c b t a +=-+=（其中p 为周长一半）． 6．正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin ===，（其中R 为三角形外接圆半径）． 7．余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=．8．张角定理：ABDAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin ．9．斯特瓦尔特(Stewart )定理：设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝BC ·DC ·BD ．10．圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．（圆外角如何转化？）11．弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角．12．圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：）13．布拉美古塔（Brahmagupta ）定理：在圆内接四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，自对角线的交点P 向一边作垂线，其延长线必平分对边．14．点到圆的幂：设P 为⊙O 所在平面上任意一点，PO =d ，⊙O 的半径为r ，则d 2－r 2就是点P 对于⊙O 的幂．过P 任作一直线与⊙O 交于点A 、B ，则P A·PB = |d 2－r 2|．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点．15．托勒密（Ptolemy ）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC ·BD =AB ·CD +AD ·BC ，(逆命题成立) ．（广义托勒密定理）AB ·CD +AD ·BC ≥AC ·BD ．16．蝴蝶定理：AB 是⊙O 的弦，M 是其中点，弦CD 、EF 经过点M ，CF 、DE 交AB 于P 、Q ，求证：MP =QM ．17．费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离．定理2 三角形每一内角都小于120°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120°，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120°时，此角的顶点即为费马点．18．拿破仑三角形：在任意△ABC 的外侧，分别作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，则AE 、AB 、CD 三线共点，并且AE＝BF ＝CD ，这个命题称为拿破仑定理．以△ABC 的三条边分别向外作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，它们的外接圆⊙C 1 、⊙A 1 、⊙B 1的圆心构成的△——外拿破仑的三角形，⊙C 1 、⊙A 1 、⊙B 1三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形；△ABC 的三条边分别向△ABC 的内侧作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，它们的外接圆⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2的圆心构成的△——内拿破仑三角形，⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形．这两个拿破仑三角形还具有相同的中心．19．九点圆（Nine point round 或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质,例如:（1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;（2）九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;（3）三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕．20．欧拉（Euler ）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上．21．欧拉（Euler ）公式：设三角形的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，外心与内心的距离为d ，则d 2=R 2－2Rr ．22．锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和．23．重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成2：1的两部分；)3,3(C B A C B A y y y x x x G ++++ 重心性质：（1）设G 为△ABC 的重心，连结AG 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点，则1:2:=GD AG ；（2）设G 为△ABC 的重心，则ABC AC G BC G ABG S S S S ∆∆∆∆===31；（3）设G 为△ABC 的重心，过G 作DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，过G 作PF ∥AC 交AB 于P ，交BC 于F ，过G 作HK ∥AB 交AC 于K ，交BC 于H ，则2;32=++===AB KH CA FP BC DE AB KH CA FP BC DE ；（4）设G 为△ABC 的重心，则①222222333GC AB GB CA GA BC+=+=+； ②)(31222222CA BC AB GC GB GA ++=++； ③22222223PG GC GB GA PC PB PA +++=++（P 为△ABC 内任意一点）；④到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即222GC GB GA ++最小； ⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则G 为△ABC 的重心）． 24．垂心：三角形的三条高线的交点；)cos cos cos cos cos cos ,cos cos cos cos cos cos (CB A yC c y B b y A a C B A x C c x B b x A a H C B A C B A ++++++++ 垂心性质：（1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍；（2）垂心H 关于△ABC 的三边的对称点，均在△ABC 的外接圆上；（3）△ABC 的垂心为H ，则△ABC ，△ABH ，△BCH ，△ACH 的外接圆是等圆；（4）设O ，H 分别为△ABC 的外心和垂心，则HCA BCO ABH CBO HAC BAO ∠=∠∠=∠∠=∠,,．25．内心：三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等；),(cb a cy by ayc b a cx bx ax I C B A C B A ++++++++ 内心性质：（1）设I 为△ABC 的内心，则I 到△ABC 三边的距离相等，反之亦然；（2）设I 为△ABC 的内心，则C AIB B AIC A BIC∠+︒=∠∠+︒=∠∠+︒=∠2190,2190,2190；（3）三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若A ∠平分线交△ABC 外接圆于点K ，I 为线段AK 上的点且满足KI=KB ，则I 为△ABC 的内心；（4）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC === A ∠平分线交BC 于D ，交△ABC 外接圆于点K ，则ac b KD IK KI AK ID AI +===；（5）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC ===I 在AB AC BC ,,上的射影分别为F E D ,,，内切圆半径为r ，令)(21c b a p ++=，则①pr S ABC =∆；②c p CD CE b p BF BD a p AF AE -==-==-==;;；③CI BI AI p abcr ⋅⋅⋅=．26．外心：三角形的三条中垂线的交点——外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等； )2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin ,2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin (C B A Cy By Ay C B A Cx Bx Ax O C B A C B A ++++++++ 外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等；（2）设O 为△ABC 的外心，则A BOC ∠=∠2或A BOC ∠-︒=∠2360；（3）∆=S abc R 4；（4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和． 27．旁心：一内角平分线与两外角平分线交点——旁切圆圆心；设△ABC 的三边,,,c AB b AC a BC ===令)(21c b a p ++=，分别与AB AC BC ,,外侧相切的旁切圆圆心记为C B A I I I ,,，其半径分别记为C B A r r r ,,．旁心性质：（1）,21,2190A C BI C BI A C BI C B A ∠=∠=∠∠-︒=∠（对于顶角B ，C 也有类似的式子）；（2）)(21C A I I I C B A ∠+∠=∠；（3）设A AI 的连线交△ABC 的外接圆于D ，则DC DB DI A ==（对于C B CI BI ,有同样的结论）；（4）△ABC 是△I A I B I C 的垂足三角形，且△I A I B I C 的外接圆半径'R 等于△ABC 的直径为2R ．28．三角形面积公式：C B A R R abc C ab ah S a ABC sin sin sin 24sin 21212====∆)cot cot (cot 4222C B A c b a ++++= ))()((c p b p a p p pr ---==，其中a h 表示BC 边上的高，R 为外接圆半径，r 为内切圆半径，)(21c b a p ++=． 29．三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系：;2sin 2cos 2cos 4,2cos 2sin 2cos 4,2cos 2cos 2sin 4;2sin 2sin 2sin4C B A R r C B A R r C B A R r C B A R r c b a ==== .1111;2tan 2tan ,2tan 2tan ,2tan 2tan r r r r B A r r C A r r C B r r c b a c b a =++=== 30．梅涅劳斯（Menelaus ）定理：设△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P 、Q 、R 则有 1=⋅⋅RBAR QA CQ PC BP ．（逆定理也成立）31．梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q，∠C的平分线交边AB于R，∠B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线．32．梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线．33．塞瓦(Ceva)定理：设X、Y、Z分别为△ABC的边BC、CA、AB上的一点，则AX、BY、CZ所在直线交于一点的充要条件是AZZB·BXXC·CYYA=1．34．塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，则AS一定过边BC的中点M．35．塞瓦定理的逆定理：（略）36．塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角分线交于一点．37．塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT 交于一点．38．西摩松（Simson）定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，（这条直线叫西摩松线Simson line）．39．西摩松定理的逆定理：（略）40．关于西摩松线的定理1：△ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上．41．关于西摩松线的定理2（安宁定理）：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点．42．史坦纳定理：设△ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于△ABC的点P的西摩松线通过线段PH的中心．43．史坦纳定理的应用定理：△ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和△ABC的垂心H同在一条（与西摩松线平行的）直线上．这条直线被叫做点P关于△ABC的镜象线．44．牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线．这条直线叫做这个四边形的牛顿线．45．牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线．46．笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．47．笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．48．波朗杰、腾下定理：设△ABC的外接圆上的三点为P、Q、R，则P、Q、R关于△ABC交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2 ) ．49．波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为△ABC的外接圆上的三点，若P、Q、R关于△ABC的西摩松线交于一点，则A、B、C三点关于△PQR的的西摩松线交于与前相同的一点．50．波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点．51．波朗杰、腾下定理推论3：考查△ABC的外接圆上的一点P的关于△ABC的西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆的弦，则三点P、Q、R的关于△ABC的西摩松线交于一点．52．波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是D、E、F，且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于△ABC的西摩松线交于一点．53．卡诺定理：通过△ABC 的外接圆的一点P ，引与△ABC 的三边BC 、CA 、AB 分别成同向的等角的直线PD 、PE 、PF ，与三边的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．54．奥倍尔定理：通过△ABC 的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与△ABC 的外接圆的交点分别是L 、M 、N ，在△ABC 的外接圆上取一点P ，则PL 、PM 、PN 与△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．55．清宫定理：设P 、Q 为△ABC 的外接圆的异于A 、B 、C 的两点，P 点的关于三边BC 、CA 、AB 的对称点分别是U 、V 、W ，这时，QU 、QV 、QW 和边BC 、CA 、AB 或其延长线的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．56．他拿定理：设P 、Q 为关于△ABC 的外接圆的一对反点，点P 的关于三边BC 、CA 、AB 的对称点分别是U 、V 、W ，这时，如果QU 、QV 、QW 和边BC 、CA 、AB 或其延长线的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．（反点：P 、Q 分别为圆O 的半径OC 和其延长线的两点，如果OC 2=OQ ×OP 则称P 、Q 两点关于圆O 互为反点）57．朗古来定理：在同一圆周上有A 1、B 1、C 1、D 1四点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P ，作P 点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P 向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上．58．从三角形各边的中点，向这条边所对的顶点处的外接圆的切线引垂线，这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心．59．一个圆周上有n 个点，从其中任意n －1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点．60．康托尔定理1：一个圆周上有n 个点，从其中任意n －2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点．61．康托尔定理2：一个圆周上有A 、B 、C 、D 四点及M 、N 两点，则M 和N 点关于四个三角形△BCD 、△CDA 、△DAB 、△ABC 中的每一个的两条西摩松线的交点在同一直线上．这条直线叫做M 、N 两点关于四边形ABCD 的康托尔线．62．康托尔定理3：一个圆周上有A 、B 、C 、D 四点及M 、N 、L 三点，则M 、N 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线、L 、N 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线、M 、L 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线交于一点．这个点叫做M 、N 、L 三点关于四边形ABCD 的康托尔点．63．康托尔定理4：一个圆周上有A 、B 、C 、D 、E 五点及M 、N 、L 三点，则M 、N 、L 三点关于四边形BCDE 、CDEA 、DEAB 、EABC 中的每一个康托尔点在一条直线上．这条直线叫做M 、N 、L 三点关于五边形A 、B 、C 、D 、E 的康托尔线．64．费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切．65．莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形．这个三角形常被称作莫利正三角形．66．布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF 相对的顶点A 和D 、B 和E 、C 和F ，则这三线共点．67．帕斯卡（Paskal ）定理：圆内接六边形ABCDEF 相对的边AB 和DE 、BC 和EF 、CD 和FA 的（或延长线的）交点共线．68．阿波罗尼斯（Apollonius ）定理：到两定点A 、B 的距离之比为定比m ：n （值不为1）的点P ，位于将线段AB 分成m ：n 的内分点C 和外分点D 为直径两端点的定圆周上．这个圆称为阿波罗尼斯圆．69．库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆．70．密格尔（Miquel ）点：若AE 、AF 、ED 、FB 四条直线相交于A 、B 、C 、D 、E 、F 六点，构成四个三角形，它们是△ABF 、△AED 、△BCE 、△DCF ，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点．71．葛尔刚（Gergonne ）点：△ABC 的内切圆分别切边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，则AE 、BF 、CD 三线共点，这个点称为葛尔刚点．72．欧拉关于垂足三角形的面积公式：O 是三角形的外心，M 是三角形中的任意一点，过M 向三边作垂线，三个垂足形成的三角形的面积，其公式： 222AB C D 4||R d R S S EF -=∆∆．平面几何的意义就个人经验而言，我相信人的智力懵懂的大门获得开悟往往缘于一些不经意的偶然事件．罗素说过：“一个人越是研究几何学，就越能看出它们是多么值得赞赏．”我想罗素之所以这么说，是因为平面几何曾经救了他一命的缘故．天知道是什么缘故，这个养尊处优的贵族子弟鬼迷心窍，想要自杀来结束自己那份下层社会人家的孩子巴望一辈子都够不到的幸福生活．在上吊或者抹脖子之前，头戴假发的小子想到做最后一件事情，那就是了解一下平面几何到底有多大迷人的魅力．而这个魅力是之前他的哥哥向他吹嘘的．估计他的哥哥将平面几何与人生的意义搅和在一起向他做了推介，不然万念俱灰的的头脑怎么会在离开之前想到去做最后的光顾？而罗素真的一下被迷住了，厌世的念头因为沉湎于平面几何而被淡化，最后竟被遗忘了．罗素毕竟是罗素．平面几何对于我的意义只是发掘了一个成绩本来不错的中学生的潜力，为我解开了智力上的扭结；而在罗素那里，这门知识从一开始就使这个未来的伟大的怀疑论者显露了执拗的本性．他反对不加考察就接受平面几何的公理，在与哥哥的反复争论之后，只是他的哥哥使他确信不可能用其他的方法一步步由这样的公理来构建庞大的平面几何的体系的以后，他才同意接受这些公理．公元前334年，年轻的亚历山大从马其顿麾师东进，短短的时间就建立了一个从尼罗河到印度河的庞大帝国．随着他的征服，希腊文明传播到了东方，开始了一个新的文明时代即“希腊化时代”，这时希腊文明的中心也从希腊本土转移到了东方，准确地说，是从雅典转移到了埃及的亚历山大城．正是在这个城市，诞生了“希腊化时代”最为杰出的科学成就，其中就包括欧几里德的几何学．因为他的成就，平面几何也被叫作“欧氏几何”．“欧氏几何”以它无与伦比的完美体系一直被视为演绎知识的典范，哲学史家更愿意把它看作是古代希腊文化的结晶．它由人类理性不可辩驳的几个极其简单的“自明性公理”出发，通过严密的逻辑推理，演绎出一连串的定理，这些在结构上紧密依存的定理和作为基础的几个公理一起构筑了一个庞大的知识体系．世间事物的简洁之美无出其右．★费马点：法国著名数学家费尔马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小．人们称这个点为“费马点”．这是一个历史名题，近几年仍有不少文献对此介绍．★拿破仑三角形：读了这个题目，你一定觉得很奇怪．还有三角形用拿破仑这个名子来命名的呢！拿破仑与我们的几何图形三角形有什么关系？少年朋友知道拿破仑是法国著名的军事家、政治家、大革命的领导者、法兰西共和国的缔造者，但对他任过炮兵军官，对与射击、测量有关的几何等知识素有研究，却知道得就不多了吧！史料记载，拿破仑攻占意大利之后，把意大利图书馆中有价值的文献，包括欧几里德的名著《几何原本》都送回了巴黎，他还对法国数学家提出了“如何用圆规将圆周四等分”的问题，被法国数学家曼彻罗尼所解决．据说拿破仑在统治法国之前，曾与法国大数学家拉格朗日及拉普拉斯一起讨论过数学问题．拿破仑在数学上的真知灼见竟使他们惊服，以至于他们向拿破仑提出了这样一个要求：“将军，我们最后有个请求，你来给大家上一次几何课吧！”你大概不会想到拿破仑还是这样一位有相当造诣的数学爱好者吧！不少几何史上有名的题目还和拿破仑有着关联，他曾经研究过的三角形称为“拿破仑三角形”，而且还是一个很有趣的三角形．在任意△ABC的外侧，分别作等边△ABD、△BCE、△CAF，则AE、AB、CD三线共点，并且AE＝BF＝CD，如下图．这个命题称为拿破仑定理．以△ABC的三条边分别向外作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙、⊙、⊙、的圆心构成的△——外拿破仑的三角形．⊙、⊙、⊙三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形，如下图．△ABC的三条边分别向△ABC的内侧作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙、⊙、⊙的圆心构成的△——内拿破仑三角形⊙、⊙、⊙三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形．如下图．由于外拿破仑三角形和内拿破仑三角形都是正三角形，这两个三角形还具有相同的中心．少年朋友，你是否惊讶拿破仑是一位军事家、政治家，同时还是一位受异书籍、热爱知识的数学家呢？拿破仑定理、拿破仑三角形及其性质是否更让你非常惊讶、有趣呢？★欧拉圆：三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点〔连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点〕九点共圆〔通常称这个圆为九点圆〔nine－point circle〕,或欧拉圆,费尔巴哈圆.九点圆是几何学史上的一个著名问题,最早提出九点圆的是英国的培亚敏.俾几〔Benjamin Beven〕,问题发表在1804年的一本英国杂志上.第一个完全证明此定理的是法国数学家彭赛列〔1788－1867〕.也有说是1820－1821年间由法国数学家热而工〔1771－1859〕与彭赛列首先发表的.一位高中教师费尔巴哈〔1800－1834〕也曾研究了九点圆,他的证明发表在1822年的《直边三角形的一些特殊点的性质》一文里,文中费尔巴哈还获得了九点圆的一些重要性质〔如下列的性质3〕,故有人称九点圆为费尔巴哈圆.九点圆具有许多有趣的性质,例如:1.三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;2.九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;3.三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕.。

平面解析几何基础知识曲线的旋转体体积

平面解析几何基础知识曲线的旋转体体积在平面解析几何中，曲线的旋转体体积是一个重要的概念。

在本文中，我们将介绍什么是曲线的旋转体体积，以及如何计算曲线的旋转体体积。

我们还会解释如何应用这一概念来解决一些实际问题。

一、曲线的旋转体体积的概念介绍在平面解析几何中，当一个曲线绕某一条直线旋转一周时，所形成的立体图形称为曲线的旋转体。

而曲线的旋转体体积就是这个立体图形的体积。

二、如何计算曲线的旋转体体积计算曲线的旋转体体积需要使用积分的方法。

具体而言，我们可以将曲线分割成无穷多个微小的弧段，然后将每个微小弧段旋转一周所形成的微小体积相加，从而得到整个旋转体的体积。

设曲线在直角坐标系中由函数y=f(x)(a≤x≤b)给出，将其绕x轴旋转一周。

则将曲线划分为无穷多个微小的弧段dx，每个微小的弧段dx所对应的体积元素为dV=πf^2(x)dx。

然后，对所有的微小弧段进行求和积分，即可得到曲线的旋转体体积V。

V=∫[a,b]πf^2(x)dx三、应用示例下面我们通过一个具体的应用示例来进一步说明如何计算曲线的旋转体体积。

例题：计算函数y=x^2在区间[0,1]上绕x轴旋转一周所形成的旋转体体积。

解答：根据前述的计算公式，我们可以得到函数f(x)=x^2在区间[0,1]上绕x轴旋转一周所形成的旋转体体积V为：V=∫[0,1]π(x^2)^2dx=∫[0,1]πx^4dx=π[1/5*x^5]从0到1=π/5所以，函数y=x^2在区间[0,1]上绕x轴旋转一周所形成的旋转体体积为π/5。

四、总结曲线的旋转体体积是平面解析几何中的重要概念，应用广泛。

通过使用积分的方法，我们可以计算曲线的旋转体体积。

在实际应用中，我们可以利用曲线的旋转体体积来解决一些具体的问题。

希望本文对您理解平面解析几何基础知识曲线的旋转体体积有所帮助。

（字数：525字）。

平面解析几何基础知识曲线的弧长与曲边梯形面积

平面解析几何基础知识曲线的弧长与曲边梯形面积曲线的弧长与曲边梯形面积曲线是数学中一个重要的概念，广泛应用于各个领域，包括物理、计算机图形学、工程等。

在平面解析几何中，我们可以通过一些基础知识来计算曲线的弧长和曲边梯形的面积。

本文将介绍这些基础知识，并给出相关的公式和计算方法。

1. 曲线的弧长曲线的弧长是指曲线上任意两点间的距离。

当曲线是一个函数图像时，我们可以通过积分来计算其弧长。

设曲线为y = f(x)，在区间[a, b]上的曲线弧长可以表示为：L = ∫[a,b]√(1+(y')²)dx其中，y'表示函数f(x)的导数。

这个公式的推导过程较为复杂，在此略去。

有了这个公式，我们就可以计算曲线在给定区间上的弧长了。

例如，给定曲线y = x²在区间[0, 1]上的弧长计算。

首先，我们需要求出该函数的导数：y' = 2x然后，将导数带入上述公式进行计算：L = ∫[0,1]√(1+(2x)²)dx对于这个积分，我们可以通过数值计算或其他数学方法求解。

2. 曲边梯形的面积曲边梯形是由两条曲线和两个平行线所围成的图形。

在平面解析几何中，我们可以通过积分来计算曲边梯形的面积。

假设曲边梯形的上底和下底分别为y = f(x)和y = g(x)，在区间[a, b]上的曲边梯形面积可以表示为：A = ∫[a,b] (f(x) - g(x))dx通过这个公式，我们可以计算两条曲线所围成的曲边梯形的面积。

例如，给定曲线y = x²和y = x在区间[0, 1]上所围成的曲边梯形的面积计算。

根据上述公式，我们可以得到：A = ∫[0,1] (x² - x)dx对于这个积分，我们也可以通过数值计算或其他数学方法求解。

综上所述，曲线的弧长和曲边梯形的面积是平面解析几何中的基础知识。

通过合适的公式和计算方法，我们可以准确地计算出曲线在给定区间上的弧长和曲边梯形的面积。

平面几何介绍中学生平面几何的基本知识

平面几何介绍中学生平面几何的基本知识平面几何是几何学的一个重要分支，其研究对象为二维平面内的图形和相应的性质。

在中学数学课程中，平面几何是一个基础和必修的内容，对学生培养逻辑思维和空间想象力有着重要作用。

本文将介绍中学生学习平面几何所需掌握的基本知识。

一、点、线、面的基本概念在平面几何中，点、线、面是最基本的构成要素。

点是没有大小和形状的，用一个大写字母表示，如A、B；线由无数个点连成，用小写字母表示，如l、m；面是由无数个点和线围成的，用大写字母表示，如平面P、Q。

学生应该了解点、线、面之间的相互关系，以及它们的性质和特点，为后续的学习打下基础。

二、基本图形的定义和性质在平面几何中，学生需要掌握一些基本图形的定义和性质，如点、线、线段、射线、角、三角形、四边形等。

以三角形为例，学生应该了解三角形是由三条线段围成的封闭图形，其内角和为180度，同时了解等边三角形、等腰三角形和直角三角形的特点和性质。

三、直线与平面的相交关系学生应该了解直线和平面的相交关系，主要包括垂直和平行两种情况。

当一条直线与平面的交线为直角时，我们称该直线垂直于平面；当一条直线与平面的交线为平行时，我们称该直线平行于平面。

学生需要通过练习，掌握判断直线与平面相交关系的方法和技巧。

四、相似和全等的概念相似和全等是平面几何中重要的概念。

相似是指两个图形形状和大小相似，对应的角度相等，但尺寸可能不同；全等是指两个图形形状和大小完全相同，对应的角度和边长皆相等。

学生需要通过比较图形的对应边长和对应角度的大小，判断是否相似或全等，并能应用相似和全等的性质解答相应问题。

五、平面几何计算问题在平面几何中，计算问题是学生需要掌握和运用的重要内容。

比如计算两点之间的距离、计算线段的中点坐标等。

此外，还需要学会运用勾股定理、正弦定理、余弦定理等数学工具解决平面几何问题。

对于中学生而言，灵活运用这些工具求解实际问题是培养数学思维和创新能力的重要途径。

平面几何入门

平面几何入门平面几何是数学中的一个重要分支，它研究的是二维空间中平面图形的性质和关系，是几何学的基础。

在本文中，我们将带您入门平面几何的基本概念和理论，让您对这一学科有一个全面的了解。

一、点、线和面的概念平面几何的基本元素包括点、线和面。

点是平面上最基本的对象，不占据空间，用大写字母标记，如A、B、C等。

线由无数个点组成，它是一维的，没有宽度和厚度，用小写字母表示，如l、m、n等。

面是由无数个线构成的，它是二维的，拥有长度和宽度，用大写字母表示，如P、Q、R等。

二、基本图形的性质1. 点的性质：点没有大小和形状，可以在平面上移动。

2. 直线的性质：直线无限延伸，在平面上任意两点可以确定一条直线，直线上的点不限定数量。

3. 射线的性质：射线由一个端点和一个方向组成，在平面上只能延伸一个方向。

4. 线段的性质：线段由两个端点组成，有固定的长度，在平面上不能无限延伸。

5. 角的性质：角由两条射线的公共端点和位于这两条射线之间的部分组成，用大写字母表示，如∠ABC。

角的大小可以用度、弧度或直角来度量。

6. 三角形的性质：三角形是由三条线段组成的平面图形，它有三个顶点和三个边。

根据边长和角度的不同，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和一般三角形。

7. 四边形的性质：四边形是由四条线段组成的平面图形，它有四个顶点和四条边。

根据边长和角度的不同，四边形可以分为正方形、长方形、菱形、平行四边形等。

8. 圆的性质：圆是由一个固定点到平面上任意点的距离相等的点的集合。

圆由圆心和半径确定，圆心用大写字母表示，如O，半径用小写字母表示，如r。

三、平面几何的定理与推理平面几何的定理是通过逻辑推理和证明得出的，它们是描述平面图形性质和关系的真实命题。

下面介绍几个常见的定理：1. 垂直平分线定理：如果一条线段的中点处于另一条线段上，并且这条线段与另一条线段垂直相交，那么这条线段就是另一条线段的垂直平分线。

2. 同位角定理：当两条直线被一条交叉直线切割时，同位角是对应于同一边的内角或外角，它们互补。

平面几何基础

平面几何基础平面几何是几何学的重要分支之一，研究了在平面上的点、线、角以及图形的性质和关系。

它是我们理解和解决实际问题中经常用到的一种数学工具。

本文将介绍平面几何的基础知识，包括点、线、角和图形的特征与性质。

一、点的性质与关系1. 点的定义与表示：在平面几何中，点是最基本的概念，通常用大写字母表示，如"A"、"B"、"C"等。

点没有大小和形状，只有位置。

2. 点的相对位置：在平面上，点的相对位置可以用坐标来表示。

我们可以用直角坐标系或极坐标系来确定点的位置，其中直角坐标系由x 轴和y轴组成，而极坐标系由原点、极径和极角组成。

3. 点的连线：两个点之间可以用线段连接起来，形成一个直线。

直线是经过两个点的最短路径。

4. 点的投影：当点在平面上与另一个物体重叠时，它的投影就是它在平面上的垂直投影点。

投影是判断物体位置和大小的重要工具。

二、线的性质与关系1. 线的定义与表示：线是通过两个点或多个点上的连续点组成的。

可以用小写字母表示线，如"l"、"m"、"n"等。

2. 线的分类：根据线的位置和形状，我们可以将线分为水平线、垂直线、直线、曲线等。

3. 线的相对位置：在平面上，两条线可以相交、平行或重合。

相交的两条线称为交线，平行的两条线永不相交，重合的两条线完全重合。

4. 线的性质：两条平行线上的任意两个点到另一条平行线的距离是相等的。

两条垂直线的斜率乘积为-1。

这些性质在解决实际问题中起着重要的作用。

三、角的性质与关系1. 角的定义与表示：角是由两条线或线段的端点共同确定的，通常用大写字母表示，如"A"、"B"、"C"等，其中顶点位于两条边的交点处。

2. 角的度量：角可以用度数或弧度表示。

度数是常用的度量单位，360度是一个完整的角。

平面几何的基础知识

平面几何的基础知识平面几何是几何学的一个重要分支，研究平面上的点、线、面及其相互关系。

它是数学中最基础的内容之一，广泛应用于建筑、设计、工程等领域。

本文将介绍平面几何的基础知识，包括点、线、角、三角形等概念及其性质。

一、点和线在平面几何中，点是最基本的要素。

点是没有大小和形状的，可以用来确定位置。

我们用大写字母表示一个点，比如点A、点B等。

线是由无数个点连成的，它是一条没有宽度的路径。

常见的线有直线和曲线。

直线是最简单的一类线，它是无限延伸的。

曲线则有各种不同的形状，比如圆、椭圆、抛物线、双曲线等。

直线和曲线都可以用小写字母表示，比如直线l、曲线c等。

二、角角是由两条线段或线相交所形成的部分。

我们用θ来表示一个角。

角可以用来描述两个线的相对位置和方向。

根据角的大小可以分为三类：锐角、直角和钝角。

锐角是小于90°的角，直角是90°的角，钝角是大于90°小于180°的角。

三、三角形三角形是由三条线段相连而成的封闭图形。

它是平面几何中最基本的多边形。

三角形的三个顶点和三条边分别用大写字母和小写字母表示。

根据三角形的边长和角的大小，可以分为多种类型。

比如，等边三角形的三条边相等，等腰三角形的两条边相等，直角三角形的一个角为90°等。

除了常见的点、线、角和三角形，平面几何还涉及其他重要的概念，比如四边形、多边形、圆、正方形等。

这些概念都有各自的定义和性质。

四、平面几何的性质平面几何有一些基本性质，可以用来解决各种问题。

下面介绍几个常用的性质。

1. 直线的性质：直线上的任意两点可以确定一条直线，直线上的所有点与这两点的连线重合。

2. 角的性质：两个互补角的和为90°，两个补角的和为180°，相邻角的和为180°。

3. 三角形的性质：三角形的内角和为180°，等边三角形的三个内角都为60°，等腰直角三角形的两个内角分别为45°和90°。

平面几何初步

平面几何初步
在数学中，平面几何是研究二维空间中的点、线和图形之间的关系和性质的分支。

它作为数学的基础学科，不仅在学术研究中发挥重要作用，也在日常生活和实际应用中具有广泛的应用。

本文将介绍平面几何的基本概念、公理系统以及一些重要的定理和性质。

一、基本概念
1. 点：平面几何中最基本的对象，没有长度、面积或体积的概念，只有位置。

2. 线：由无数点组成，是一维的对象，没有宽度。

3. 直线：两点确定一条直线，它是无限延伸的。

4. 射线：一个起点，朝着某个方向延伸的线段。

5. 线段：两个点确定的有限长度的线段。

二、公理系统
1. 尺规作图：任给一段线段和一个点，只使用直尺和圆规能够作出与已知条件相符的尺规作图。

2. 共线定理：三个不共线的点唯一确定一条直线。

3. 垂直定理：若两直线相交，且互相垂直，则相交点的两个邻角为直角。

4. 同位角定理：当一条直线被两条平行线截断时，同位角相等。

三、重要定理和性质
1. 同位角性质：
- 内错角性质：两条平行线被一条横截线截断，内错角相等。

- 对顶角性质：两条平行线被一条横截线截断，对顶角相等。

2. 垂直性质：
- 垂直平分线定理：平分线和垂直平分线相互垂直。

- 垂径定理：在一个圆上，以直径为边的三角形必为直角三角形。

3. 三角形性质：
- 等边三角形性质：三条边相等的三角形为等边三角形。

- 等腰三角形性质：两条边相等的三角形为等腰三角形。

- 直角三角形定理：直角三角形斜边上的高是斜边上两条直角腿的调和平分线。

平面解析几何初步

平面解析几何初步解析几何是几何学和代数学的交叉领域，它研究平面内的点、线、圆等形状及其相互关系，利用代数方法进行分析和计算。

在平面解析几何中，我们将重点讨论直线、圆和二次曲线及其性质。

本文将介绍平面解析几何的基本概念和常见问题，以及一些解题技巧。

一、直线的方程在平面解析几何中，直线是最基本的几何元素之一。

一条直线可以由其上的两个点确定，我们可以通过计算斜率和截距来表示直线的方程。

直线的方程有多种形式，常见的有点斜式和截距式。

1. 点斜式方程点斜式方程形如 y-y₁ = k(x-x₁)，其中 (x₁, y₁) 是直线上的一点，k 是直线的斜率。

通过给定一点和斜率，我们可以轻松写出直线的方程。

例如，已知直线上的点 A(2,3) 和斜率 k=2，我们可以得到直线的点斜式方程为 y-3=2(x-2)。

点斜式方程的优点在于直接给出了直线的一般形式，但不适用于垂直于 x 轴的直线。

对于垂直于 x 轴的直线，我们可以使用斜截式。

2. 截距式方程斜截式方程形如 y=mx+b，其中 m 是直线的斜率，b 是直线在 y 轴上的截距。

斜截式方程适用于所有类型的直线，包括垂直于 x 轴的直线。

例如，有一条直线经过点 B(3,4) 且斜率为 1/2，我们可以得到直线的斜截式方程为 y=(1/2)x+2。

二、圆的方程圆是解析几何中的另一个重要概念，它由平面上与固定点的距离等于常数的点构成。

在平面解析几何中，圆的方程一般形式为 (x-a)² + (y-b)² = r²，其中 (a,b) 是圆的圆心坐标，r 是圆的半径。

根据圆的方程，我们可以计算圆心和半径，以及圆上的点。

例如，对于方程 (x-2)² + (y+3)² = 9，我们可以得到圆的圆心坐标为 (2,-3)，半径为 3。

利用这些信息，我们可以描绘出圆的几何形状。

三、二次曲线的方程除了直线和圆，二次曲线也是平面解析几何中的重要对象。

平面几何讲义分解

目录第一章平面几何证题方法通论1.1 概念和命题……………………………………………………………………….1.2 逻辑推理概要……………………………………………………………………1.3 几何命题的证明与三段论……………………………………………………….1.4 间接证法………………………………………………………………………….1.5 综合法和分析法…………………………………………………………………. 第二章几何证题方法分论…………………………………………………………..2.1 证线段或角相等………………………………………………………………….2.1 证线段或角的和差倍分………………………………………………………….2.3 证线段或角的不等……………………………………………………………….2.4 证直线的垂直或平行…………………………………………………………….2.5 证几何定值问题………………………………………………………………….2.6 证线段成比例或等积式………………………………………………………….2.7 几何证题的其它方法……………………………………………………………..第一章平面几何证题方法通论平面几何是中学数学教育中的一个重要内容.这是因为几何是从人们生产、生活实际需要中产生和发展起来的，它在人们的日常生活和生产实际中有广泛的应用，而且，学习几何能够很好地培养学生的逻辑思维能力、空间想象能力、绘图能力和计算能力，从而提高学生的数学素养.平面几何证题更是培养逻辑思维能力的重要而有效的载体.本章重点介绍逻辑推理的基本知识和几何证题的一般方法.1.1 概念和命题数学总是运用一些抽象的概念，从已知结论出发，经过逻辑推理导出另一些新的结论，从而构成数学的知识体系.概念、判断、推理都是人们的思维形式，而形式逻辑是研究思维形式的逻辑结构以及正确思维的逻辑规律的科学.正确的思维，必须遵循和使用形式逻辑，运用概念以作判断和推理，因而概念是推理的基础.1.1.1 数学概念概念是反映客观事物本质属性的思维形式.数学概念的形式，一般有两种方式：（1）直接从现实世界的数量关系和空间形式中抽象出来.如自然数的概念，源于对事物的数数；几何中的“点”、“直线”、“平面”、“点在直线上”等概念.“点”的本质属性是只有位置，没有大小的抽象.观察日常生活中那些“笔直的，无限伸长的”事物抽象出“直线”的概念等.这类概念称为原始概念，原始概念是下定义的，只能通过具体事例来描述它.（2）在已有概念的基础上，经过多次层次的抽象、概括而形成新的概念，在数学上称为概念的定义.数学中大量的概念都是要定义的. 定义是通过指出概念所反映事物的本质属性性来明确概念的逻辑方法. 例如，平行四边形的定义：“两组对边互相平行且相等的四边形叫做平行四边形.”这里“对边”是一个原始概念，“平行四边形”是已定义过的概念，利用这几个已知概念明确了一个新概念.1.1.2 数学命题对于某种事物（现象）及其属性，凡有所肯定或否定的断语，称为判断.例如：（1）两组对边互相平行的四边形叫做平行四边形；（2）经过两点可以作且只能作一条直线；（3）对顶角相等；（4）三角形的内角和等于0180；（5）a b b a +=+等等都是判断.判断的表述要依附语句.在数学中，表判断的语句称为命题.从上述几个判断可以看出，数学命题可以分为定义、公理、定理和法则（公式）等几种类型.定义——说明名词或术语意义的命题.公理——在数学中不经过证明直接运用的命题. 它是人类在亿万次实践活动中所总结的客观规律，由实践证明了的真命题.在平面几何中，常用的公理有：（1）经过两点有且只有一条直线.（2）连接两点的所有直线中，线段最短.（3）过直线外一点，有且只有一条直线和此直线平行.（4）矩形的面积等于它的长和宽的乘积.（5）等量公理（如等量加等量其和相等）.定理——由已经证明的真命题和公理，经过逻辑推理而得出的正确的结论.例如，“两直线相交只有一个交点.”可以从公理（1）经过逻辑推理而证明；“三角形的内角和等于0180”，它由“平角等于0180”和平行线的性质定理经过逻辑推理而证明.由一个定理很容易导出的结论称为该定理的推论；仅仅是为了证明某个定理作准备的定理，叫作引理.1.1.3 命题的结构数学命题一般分为简单命题与复合命题.简单命题由一个判断构成，结构简单，如（1）2是无理数；（2）直线a 平行于直线b ；（3）A B ??.复合命题是由两个或两个以上判断和逻辑联接词构成的命题.例1.1.1 （1）如果两个三角形中有两边及其夹角对应相等，那么这两个三角形全等；（2）若两条平行线和第三条直线相交，则同位角相等，内错角相等，外错角相等，同旁内角互补，同旁外角互补.在例1.1.1中，（1）由三个判断组成，（2）由6个判断组成，以联接词“如果…，那么”或“若…，则…”相联系而组成命题.一个命题包含两部分：条件和结论（或者假设和终结；题设和题断；已知和求证）.条件以“如果”、“若”、“假设”、“已知”等词开头，结论以“那么”、“则”、“求证”等词开头.图1.1.2图1.1.1E D A C B D A C B 命题的一般形式表述为“若A ,则B .”其中A 为条件，B 为结论. 有些命题的条件和结论表述得不分明，但很简洁，需要将字句加以改造，分出条件和结论.在几何上，改造字句时，配上图形，用字母和记号表示，就显得简单明了.例1.1.2 改写下列命题的条件和结论：（1）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；（2）三角形的中位线平行于底边且等于底边的一半.解：如图1.1.1，已知D 为ABC D 边BC 上的一点，090,,ABD DC ?= 则12AD BC =.（2）如图1.1.2已知ABC D 中，,,AD DE AE EC ==则//DE BC ,且12DE BC =. 1.1.4 命题的四种形式一般地，命题有四种形式：（1）原命题：若A ,则B .（2）逆命题：若B ，则A .（3）否命题：若A ,则B （A 表示非A ）.(4) 逆否命题：若B ，则A .这四个命题的相互关系可用下图表示：互逆互互为互否逆否否图1.1.3 原命题若A,则B 逆命题若B,则A 否命题若A,则B 逆否命题若B,则A例1.1.3 写出下列命题的四种形式，并判断真假.（1）原命题：若两角对顶，则两角相等.（真）（2）原命题：三角形中，若两边相等，则对角相等.（真）解：（1）逆命题：若两角相等，则两角是对顶角.（假）否命题：若两角不是对顶角，则两角不相等.（假）逆否命题：若两角不相等，则两角不是对顶角（真）（2）逆命题：三角形中，若对角相等，则对边相等.（真）否命题：三角形中，若两边不相等，则对角不相等.（真）逆否命题：三角形中，若对角不相等，则对边不等.（真）可见，原命题是真，逆命题不一定真，而逆否命题必真.这是因为原命题表示“某事物具有某种性质”，而逆否命题表示“不具有某种性质的事物就不是该事物”，这是对同一事物的两种不同形式的判断，所以同真同假.同真同假的两个命题称为等效命题原命题和逆否命题是等效命题；因为否命题是逆命题的逆否命题，所以逆命题与否命题是等效命题.若一个定理的逆命题真，则称此逆命题为逆定理. 所以一个定理的逆命题必须经过证明它的真确性，才能称为逆定理.1.1.5 逆命题的构造方法原命题“若A ,则B ”逆命题“若B ，则A ”.当条件A 和结论B 都只包含一个事项时，以B 为条件，A 为结论，则为逆命题.当条件A 和结论B 所包含的事项不止一项时，构造逆命题时，一个结论只能交换一个条件，而且不同的交换方法，可得到不同的逆命题.例1.1.4 原命题：三角形的中位线平行于底边且等于底边的一半.条件：ABC D 中，AD DB AE EC 禳=镲镲Þ睚镲=镲铪结论：1//,2DE BC DE BC =. 构造逆命题时，将结论“//DE BC ”交换条件“AE EC =”.条件：ABC D 中，,//AD DB DE BC =,结论：则AE EC =，且12DE BC =. 逆命题：过三角形一边AB 的中点D 而平行于BC 的直线必过AC 的中点E ，且12DE BC =. 1.1.6 充分条件和必要条件如果命题“若A ,则B ”是真命题，是指从条件A 出发，经过逻辑推理，可以得到结论B ，即如果A 成立，B 一定成立（A 蕴含B ）.记为A B Þ.则称A 是B 的充分条件，B 是A 的必要条件.如，“若2x >，则2x >4”是一个真命题，那么2x >是2x >4的充分条件，2x >4是2x >的必要条件.如果原命题“若A ,则B ”真，逆命题“若B ，则A ”也真，即既有A B Þ，又有B A Þ,记作A B Û. 则称A 是B 的充分必要条件，简称充要条件.表述概念定义的命题中其条件必须是充分必要条件. 例如，平行四边形的定义：“一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形.”我们可以说“四边形为平行四边形的充要条件是一组对边平行且相等.”例1.1.5 指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件：（1）p ：()()230,:30x x q x --=-=；（2）2:4,:16;p x q x ==（3）p ：同位角相等，q ：两直线平行；（4）p ：四边形的两条对角线相等，q ：四边形是平行四边形.解：（1）p 是q 的必要条件而不是充分条件.因为()()30230x x x -=?-=，而()30x -=?30x -=.（2）p 是q 的充分条件而不是必要条件. 因为2416x x=?，而216x =?4x =.（3）p 是q 的充要条件.因为同位角相等Û两直线平行.（4）p 既不是q 的充分条件也不是q 的必要条件. 因为四边形的两条对角线相等Þ四边形是平行四边形，四边形是平行四边形Þ四边形的两条对角线相等.习题1.11.什么叫做命题？一个命题的内容包括哪两部分？2.改造下列定理的字句，配以图形和字母说明.（1）三角形的内角和等于0180；（2）一个三角形中，较大的边所对的角也大；（3）等腰三角形底边上的中线是底边的高，也是顶角的平分线；（4）在圆中，垂直于弦的半径必平分线所对的弧.3.命题有哪几种形式？怎样由原命题得出它的其他形式？它们相互关系怎样？4.写出下列命题的四种形式，指明命题的真假：（1）垂直于两平行线中的一条直线，必垂直于另一条直线；（2）四条边相等的四边形是菱形；（3）等腰三角形两底角相等；（4）直角三角形的两个锐角互余；（5）在一圆中，两条平行弦所夹的弧相等；（6）若四边形有一组对边互相平行，则另一组对边彼此垂直.5.就下面的定理写出它的逆命题，画图，用字母符号表示，并辨明真假.（1）若两个三角形由两边对应相等，则夹角大的，它所对的边也大.（2）从圆外一点引圆的两条切线长相等. （3）()()()()1324AB AC AD BC ABC AD A AD BC =^D ?Ð禳镲?镲?睚?镲?镲?铪中平分平分. 6. 指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件：(1) :,:;P A B q ac bc == （2）:5P a +是无理数，:q a 是无理数.（3）:p 两个三角形全等，:q 两个三角形相似. （4）22:,:p a b q a b >>.（5）:12,:11p x x q x x ==-=-或. （6）:,p a b 是整数，:q 20x ax b ++=有且仅有整数解.1.2 逻辑推理概要推理是又一种重要的思维形式，它是通过判断与判断词之间的有机联系，从已知前提推断新的结论的思维形式.逻辑思维对推理的基本要求是：推理要合乎逻辑，就是进行推理时要合乎推理的逻辑形式，要遵守逻辑思维的规律.合乎逻辑的推理，称为逻辑推理.1.2.1逻辑思维的基本规律1.同一律同一律的内容是：在同一时间内，从同一方面思考或议论同一事物的过程中，必须保持同一的认识.即同一事物过程中，所用的概念、判断必须确定，必须保持前后一致.具体地说，一是思维对象保持同一，不能中途变更；二是概念保持同一，要用同一概念表示同一思维对象，既不能用不同概念表示同一事物，也不能把不同事物混起来用同一概念表示，否则，推理所得的结论不真.例如：如下推理：物质是不灭的，（大前提）桌子是物质，（小前提）所以，桌子是不灭的.（结论）其结论是错误的.因为大前提中的“物质”是抽象的、哲学意义上的概念，“不灭”是指转化为其它物质；而小前提中的“物质”是具体的器物，与大前提中“物质”不是同一概念.结论中“桌子是不灭的”，桌子打碎了或烧掉了，转化为其它物质，就不是桌子了.2.矛盾律矛盾律的内容是：在同一时间内，从同一个方面，对同一思维对象不能既肯定它是什么，又不能否定它是什么.即在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断，不能同真，必有一假.矛盾律是同一律的引伸，它是用否定的形式表达同一律的内容.3.排中律排中律的内容是：在同一时间内，从同一个方面，对同一思维对象，必须作出明确的肯定或否定，不能模棱两可.排中律要求人们的思维有明确性，它是同一律和矛盾律的补充和发挥，进一步指出正确的思维不仅要求明确、不互相矛盾，要鲜明地表明肯定或否定.排中律和矛盾律都不允许思维有逻辑矛盾，违反了排中律，同时也就违反了矛盾律.它们的区别在于：矛盾律指出两个矛盾的判断，不能同真，必有一假；排中律指出了两个互相矛盾的判断，不能同假，必有一真.4.理由充足律理由充足律的内容是：在思维过程中使用的判断必须是已经证实其真确性的判断，思维推断要“有理有据”，指明“因为有A,使用有B”.1.2.2推理的种类常用的推理有类比推理、归纳推理、演绎推理等1.类比推理类比推理又称类比法，是一种从特殊到特殊的推理.它是根据两个或两类有部分属性相同，从而推出它们的其它属性也相同的推理.例如。