函数对称性与函数图象变换总结

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高中数学总结归纳抽象函数的对称性

抽象函数的对称性

关于抽象函数图象的对称问题，下面给出四种常见类型及其证明。

一、设y f x =()是定义在R 上的函数，若f a x f b x ()()+=-，则函数y f x =()的图象关于直线x a b =+2

对称。证明：设点A （m ，n ）是y f x =()图象上任一点，即f m n ()=，点A 关于直线x a b

+2的对称点为()A a b m n '+-，。

[]∵f a b m f b b m f m n ()()()+-=--==

∴点A'也在y f x =()的图象上，故y f x =()的图象关于直线x a b =+2

对称。二、设y f x =()是定义在R 上的函数，则函数y f a x =+()与函数y f b x =-()的图象关于直线x b a =-2

对称。证明：设点A （m ，n ）是y f a x =+()图象上任一点，即f a m n ()+=，点A 关于直线x b a =-2

的对称点为()A b a m n '--，。 ∵f b b a m f a m n [()]()---=+=

∴点A'在y f b x =-()的图象上

反过来，同样可以证明，函数y f b x =-()图象上任一点关于直线x b a =-2

的对称点也在函数y f a x =+()的图象上，故函数y f a x =+()与函数y f b x =-()的图象关于直线x b a =-2

对称。说明：可以从图象变换的角度去理解此命题。

易知，函数y f x a b =++⎛

⎝ ⎫⎭⎪2与y f x a b =-++⎛⎝ ⎫⎭

函数图像变换(整理)

函数的图象变换

函数图象的基本变换：(1)平移；(2)对称；(3)伸缩。

由函数y = f (x)可得到如下函数的图象

1．平移：

(1)y = f (x + m) (m>0)：把函数y =f (x)的图象向左平移m 的单位（如m<0则向右平移-m 个单位）。

(2)y = f (x) + m (m>0)：把函数y =f (x)的图象向上平移m 的单位（如m<0则向下平移-m 个单位）。

2．对称：

✧ 关于直线对称

(Ⅰ) (1)函数y = f (-x)与y = f (x)的图象关于y 轴对称。

(2)函数y = -f (x)与y = f (x)的图象关于x 轴对称。

(3)函数y = f (2a -x)与y = f (x)的图象关于直线x = a 对称。

(4)函数y = 2b -f (x)与y = f (x)的图象关于直线y = b 对称。

(5)函数)x (f y 1-=与y = f (x)的图象关于直线y = x 对称。

(6)函数)x (f y 1--=-与y = f (x)的图象关于直线y = -x 对称。

(Ⅱ)(7)函数y = f (|x|)的图象则是将y = f (x)的y 轴右侧的图象保留，并将y =f (x)

右侧的图象沿y 轴翻折至左侧。（留正去负，正左翻（关于y 轴对称））；

(8)函数y = |f (x)|的图象则是将y = f (x)在x 轴上侧的图象保留，并将y = f (x)

在x 轴下侧的图象沿x 轴翻折至上侧。(留正去负，负上翻；)

一般地：函数y = f (a+mx)与y = f (b -mx)的图象关于直线m

高一数学函数知识点总结4篇

高一数学函数知识点总结

高一数学函数知识点总结4篇

高一数学函数知识点总结1

知识点总结

本节知识包括函数的单调性、函数的奇偶性、函数的周期性、函数的最值、函数的对称性和函数的图象等知识点。函数的单调性、函数的奇偶性、函数的周期性、函数的最值、函数的对称性是学习函数的图象的基础，函数的图象是它们的综合。所以理解了前面的几个知识点，函数的图象就迎刃而解了。

一、函数的单调性

1、函数单调性的定义

2、函数单调性的判断和证明：(1)定义法(2)复合函数分析法(3)导数证明法 (4)图象法

二、函数的奇偶性和周期性

1、函数的奇偶性和周期性的定义

2、函数的奇偶性的判定和证明方法

3、函数的周期性的判定方法

三、函数的图象

1、函数图象的作法 (1)描点法 (2)图象变换法

2、图象变换包括图象：平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换。

常见考法

本节是段考和高考必不可少的考查内容，是段考和高考考查的重点和难点。选择题、填空题和解答题都有，并且题目难度较大。在解答题中，它可以和高中数学的每一章联合考查，多属于拔高题。多考查函数的单调性、最值和图象等。

误区提醒

1、求函数的单调区间，必须先求函数的定义域，即遵循“函数问题定义域优先的原则”。

2、单调区间必须用区间来表示，不能用集合或不等式，单调区间一般写成开区间，不必考虑端点问题。

3、在多个单调区间之间不能用“或”和“ ”连接，只能用逗号隔开。

4、判断函数的奇偶性，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数。

5、作函数的图象，一般是首先化简解析式，然后确定用描点法或图象变换法作函数的图象。

函数的对称问题重点

函数的对称问题

湖南彭向阳

一、函数的自对称问题

1．函数 y=f(x 的图象关于直线x=a 对称f(a+x=f(a-x ；

特别，函数y=f(x 的图象关于y 轴对称f(x=f(-x.

2．函数 y=f(x 的图象关于点(a,b 对称f(a+x+f(a-x=2b ；

特别，函数y=f(x 的图象关于原点对称f(-x=-f(x.

主要题型：

1.求对称轴 (中心：除了三角函数y=sinx ， y=cosx 的对称轴〔中心〕可以由以下结论直接

写出来 (对称轴为函数取得最值时的x=,对称中心为函数与x 轴的

交点外，其它函数的对称轴(中心就必须求解，求解有两种方

法，一是利用对称的定义求解；二是利用图象变换求解.

例 1 确定函数的图象的对称中心.

解析 1 设函数的图象的对称中心为〔h， k〕，在图象上任意取一点P 〔x， y〕，它关于〔 h， k〕的对称点为Q〔 2h-x， 2k-y 〕， Q 点也在图象上，即有

，由于，两式相加得

，化简得

〔*〕.

由于 P 点的任意性，即〔 * 〕式对任意 x 都成立，从而必有 x 的系数和常数项都为 0，即h=1，

k=1.

所以函数的图象的对称中心为〔1,1〕.

解析 2 设函数，那么g(x为奇函数，其对称中心为原点，由于

，说明函数f(x 的图象是由g(x 的图象分别向右、向上平移 1 个单位得到，而原点向右、向上分别平移 1 个单位得到点 (1,1.

所以函数的图象的对称中心为〔1,1〕.

例 2 曲线 f(x=ax 3+bx2+cx ，当 x=1-时，f(x有极小值；当x=1+时，f(x有极大值，且在x=1 处切线的斜率为.

反函数、函数图像、函数的对称性

反函数

●知识梳理

1.反函数定义：若函数y=f （x ）（x ∈A ）的值域为C ，由这个函数中x 、y 的关系，用y 把x 表示出来，得到x=ϕ（y ）.如果对于y 在C 中的任何一个值，通过x=ϕ（y ），x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x=ϕ（y ）就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数.这样的函数x=ϕ（y ）（y ∈C ）叫做函数y=f （x ）（x ∈A ）的反函数，记作x=f －1（y ）. 在函数x=f －1（y ）中，y 表示自变量，x 表示函数.习惯上，我们一般用x 表示自变量，y 表示函数，因此我们常常对调函数x=f －1（y ）中的字母x 、y ，把它改写成y=f －1（x ）.

2.互为反函数的两个函数y=f （x ）与y=f －1（x ）在同一直角坐标系中的图象关于直线y=x 对称.

3.求反函数的步骤：

（1）解关于x 的方程y=f （x ），得到x=f －1（y ）.

（2）把第一步得到的式子中的x 、y 对换位置，得到y=f －1（x ）. （3）求出并说明反函数的定义域〔即函数y=f （x ）的值域〕.

一. 条件存在型

例1.函数f x x ax ()=--2

23在区间[]

12，上存在反函数的充要条件是（） A. (]

a ∈-∞，1 B. [)a ∈+∞2， C. (][)a ∈-∞+∞，，12 D. []

a ∈12，二. 式子求解型例2.函数y x x =

-≤23

10()的反函数是（）

A. y x x =

+≥-()()113 B. y x x =-+≥-()()113 C. y x x =

函数图像的变换

函数图像的三种变换函数在中学数学及大学数学中都是极其重要的内容，函数思想是解决函数问题的理论源泉; 函数的性质是解决函数问题的基础，而函数的图象则是函数性质的具体的直观的反应。在高中阶段函数图象的变化方式主要有以下三种：一、平移变换函数图象的平移变换，表现在函数图象的形状不变，只是函数图象的相对位置在变化，其平移方式可分为以下两种：1、沿水平方向左右平行移动比如函数与函数，由于两函数的对应法则相同，xax与取值范围一样，函数的值域一样。以上三条决定了函数的形状相同，只是函数的图象在水平方向的相对位置不同，如何将函数的图象水平移动才能得到函数的图象呢？因为对于函数上的任意一点（11,yx），在上对应的点为，因此若将沿水平方向向右平移a个单位即可得到的图象。同样，将沿水平方向向左平移a个单位即可得到

的图象。2、沿竖直方向上下平行移动比如函数与函数，由于函数函数中函数y与的对应法则相同，定义域和值域一样，因此两函数形状相同，如何将函数的图象上下移动得到函数的图象呢？因为对于函数上的任意一点（11,yx），在上对应的点为，因此若将沿竖直方向向上平移a个单位即可得到的图象。同样，将沿竖直方向向下平移a个单位即可得到的图象。函数图象的平移变化可以概括地总结为：（1）函数的图象变为且的图象，只要将的图象沿水平方向向右平移a个单位，然后再沿竖直方向向上平移b个单位即可。（2）函数的图象变为且的图象，只要将的图象沿水平方向向左平移a个单位，然后再沿竖直方向向下平移b个单位即可。（3）函数的图象变为且的图象，只要将的图象沿水平方向向左平移a个单位，然后再沿竖直方向向上平移b个单位即可。（4）函数的图象变为且的图象，只要将的图象沿水平方向向右平移a个单位，然后再沿竖直方向向下平移b个单位即可。函数图象的平移的实质是有变量本身变化情况所决定的。3、例题讲解例1. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（） A. 向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B. 向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C. 向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 D. 向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度分析把函数的图象向右平移3个单位，然后再向下平移1个单位，就得到函数的图象。故，本题选A 例2 把函数的图象向右平移1单位，再向下平移1个单位后，所得图象对应的函数解析式是（）．（A）（B）（C）（D）分析把已知函数图象向右平移1个单位，即把其中自变量换成，得. 再向下平移1个单位，即得，故本题选C．

高中数学：函数对称性有关的性质

讲函数的对称性主要是讲奇偶函数图像的对称性，函数与反函数图像的对称性。前者是函数自身的性质，而后者是函数的变换问题。下文中我们均简称为函数的变换性。现通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称变换这两个方面来介绍函数对称性有关的性质。

1. 函数自身的对称性设函数

，，且在闭区间［0，7］上只有（1）试判断函数的奇偶性；（2）试求方程在闭区间［－2005，2005］上根的个数并证明你的结论。分析：由

可得：函数图象既关于x＝2对称，又关于x＝7对称，进而可得到周期性，然后再继续求解，而本题关键是要首先明确函数的对称性，因此，熟悉函数对称性是解决本题的第一步。定理1 函数的图像关于直线x＝a对称的充要条件是即

证明（略）推论函数的图像关于y轴对称的充要条件是定理2 函数的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是证明（略）推论函数的图像关于原点O对称的充要条件是偶函数、奇函数分别是定理1，定理2的特例。定理3 ①若函数的图像同时关于点A（a，c）和点B（b，c）成中心对称（），则是周期函数，且

是其一个周期。②若函数的图像同时关于直线

成轴对称（），则是周期函数，且是其一个周期。

③若函数的图像既关于点A（a，c）成中心对称又关于直线x ＝b成轴对称（），则是周期函数，且是其一个周期。以下给出③的证明，①②的证明留给读者。因为函数的图像关于点A（a，c）成中心对称。所以

代得：

又因为函数的图像关于直线成轴对称。所以代入（*）得：

得

代入（**）得：

是周期函数，且是其一个周期。

2. 不同函数对称性定理4 函数

函数图像及其变换(完整版)

函数的图像及变换

一、函数图像的变换对称变换(||)翻折翻折变换|()|翻折

左右平移平移变换上下平移横坐标不变，纵坐标伸缩伸缩变换纵坐标不变，横坐标伸缩y f x y f x ⎧⎪

⎧=⎪⎨⎪=⎩⎪

⎪⎧⎨

⎨⎪

⎩⎪

⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩

关于x 轴对称：(,)(,)x y x y →- 关于y 轴对称：(,)(,)x y x y →- 关于原点对称：(,)(,)x y x y →-- 关于y x =对称：(,)(,)x y y x →

关于y x =-对称：(,)(,)x y y x →-- 关于直线x a =对称：(,)(2,)x y a x y →-（轴对称）关于y x b =+对称：(,)(,)x y y b x b →-+ 关于y x b =-+对称：(,)(,)x y b y x b →--+ 关于点(,)P a b 对称：(,)(2,2)x y a x b y →--（点对称）

例1：已知2

()2f x x x =-，且()g x 与()f x 关于点(1,2)对称，求()g x 的解析式.（相关点法）

例2：已知函数()y f x =的图像关于直线1x =-对称，且当(0,)x ∈+∞时，有1

()f x x

，则当 (,2)x ∈-∞-时，()f x 的解析式是（）.

A. 1x -

B. 12x +

C.12x -+

D. 12x

- 例3：下列函数中，同时满足两个条件“①x R ∀∈，

()()01212f x f x ππ++-=；②当6π-

<x 3

<时，'

()0f x >”的一个函数是（） A.()sin(2)6

函数对称性与函数图象变换总结

X
x0
函数的对称性与函数的图象变换总结
从”形”的角度看，
从”数”的角度看，
Y=f(x)图像关于直线x=2对称
y
f(1)=f(3)
f (x)
f(0)= f(4)
f(-2)=f(6)
4-x
-3 -2 -1 0
1 23
x2
f(310)=f(4-310)
f(x)=f(4-x)
x
x
4567 8
函数的对称性与函数的图象变换总结
f(x)=-f(2a-x) f(a-x)=-f(a+x)
练习: (1)若y=f(x)满足f(-2-x)=f(-2+x),
则函数图像关于
对称
(2)若y=f(x)满足f(3-x)=f(4+x)
(3)若y=f(x)满足f(-2-x)=-f(-2+x),
(4)若y=f(x)满足f(3-x)=-f(4+x)
图象的关系，并画出它们的示意图.
(1)y=2-x (2)y=-2x (3)y=-2-x
y
y
y
1 Ox
1
O
-1
x
1
O
-1
x
函数图象对称变换的规律:
1.函数y=f(-x)与函数y=f(x)的图像关于y轴对称 2.函数y=-f(x)与函数y=f(x)的图像关于x轴对称 3.函数y=-f(-x)与函数y=f(x)的图像关于原点对称 4.函数y=f(x)与函数y=f(2a-x)的图像关于直线 x=a 对称

函数图象的几种常见变换

⑪ 平移变换：

左右平移---“左加右减”（注意是针对

x 而言）；

上下平移----“上加下减”(注意是针对()f x 而言).

⑫翻折变换：()|()|→f x f x ；“下沿X 轴翻折到上面”

()(||)→f x f x .“右往左翻折—沿Y 轴”

⑬对称变换：①证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图像上.

②证明图像1

C 与2

C 的对称性,即证1

C 上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在2

C 上,反之亦然.

③函数()y f x =与()y f x =-的图像关于直线0x =(y 轴)对称；函数()y f x =与函数

()y f x =-的图像关于直线0y =(x 轴)对称；

④若函数()y f x =对x R ∈时，()()f a x f a x +=-或()(2)f x f a x =-恒成立,则()y f x =图像关于直线x a =对称；

⑤若()y f x =对x R ∈时,()()f a x f b x +=-恒成立,则()y f x =图

像关于直线

a b x +=

对称；

⑥函数()y f a x =+,()y f b x =-的图像关于直线2

b a x -=

对称

(由a x b x +=-确定)；

⑦函数()y f x a =-与()y f b x =-的图像关于直线2

a b x +=

对

称；

⑧函数()y f x =,()y A f x =-的图像关于直线

A y =

对称(由

()()

f x A f x y +-=

确定)；

⑨函数()y f x =与()y f x =--的图像关于原点成中心对称；函数()y f x =,()y n f m x =--

函数图象变换

函数)(x f y

图象变换

一、平移变换

个单位

b 个单位

向左平移a 个单位

向右a 平移个单位

y=f x ()

y=f x+a ()

y=f x ()-b

y=f x ()+b

y=f x-a ()

二、对称变换

①y ＝f （－x ）与y ＝f （x ）关于y 轴对称； ②y ＝－f （x ）与y ＝f （x ）关于x 轴对称； ③y ＝－f （－x ）与y ＝f （x ）关于原点对称； ④y ＝f －1（x ）与y ＝f （x ）关于直线y ＝x 对称；

⑤y ＝|f （x ）|的图象可将y ＝f （x ）的图象在x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到x 轴上方，其余部分不变．

⑥y ＝f （|x |）的图象：可将y ＝f （x ），x ≥0的部分作出，再利用偶函数关于y 轴的对称性．三、伸缩变换

①y ＝Af （x ）（A ＞0）的图象，可将y ＝f （x ）图象上每一点的

纵坐标伸（A＞1）缩（0＜A＜1）到原来的A倍，横坐标不变而得到．

②y＝f（ax）（a＞0）的图象，可将y＝f（x）的图象上每一点

1，纵坐标不变而得到．的横坐标伸（0＜a＜1）缩（a＞1）到原来的

三、初等函数及图象(大致图象)

【高考试题剖析】

1．当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝log a x的图象

是（）

【答案】A

2．若函数f（x－1）＝x2－2x＋3（x≤1）则函数f－1（x）的草

图是（）

【解析】f（x－1）＝（x－1）2＋2 ①

⇒f（x）＝x2＋2 ②

又∵①式中x≤1，

∴x－1≤0，故②式中函数自变量x≤0，

函数图像及其变换(完整版)

函数的图像及变换

一、函数图像的变换对称变换(||)翻折翻折变换|()|翻折

左右平移平移变换上下平移横坐标不变，纵坐标伸缩伸缩变换纵坐标不变，横坐标伸缩y f x y f x ⎧⎪

⎧=⎪⎨⎪=⎩⎪

⎪⎧⎨

⎨⎪

⎩⎪

⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩

关于x 轴对称：(,)(,)x y x y →- 关于y 轴对称：(,)(,)x y x y →- 关于原点对称：(,)(,)x y x y →-- 关于y x =对称：(,)(,)x y y x →

例1：已知2

()2f x x x =-，且()g x 与()f x 关于点(1,2)对称，求()g x 的解析式.（相关点法）

例2：已知函数()y f x =的图像关于直线1x =-对称，且当(0,)x ∈+∞时，有1

()f x x

，则当 (,2)x ∈-∞-时，()f x 的解析式是（）.

A. 1x -

B. 12x +

C.12x -+

D. 12x

- 例3：下列函数中，同时满足两个条件“①x R ∀∈，

()()01212f x f x ππ++-=；②当6π-

<x 3

<时，'

()0f x >”的一个函数是（） A.()sin(2)6

专题3：函数的图象变换总结

专题三：函数的图象变换

一．平移变换：

（1）函数)(h x f y +=)0(>h 的图象是把)(x f y =的图象向左平移h 个单位得到的；

（2）函数)(h x f y -=)0(>h 的图象是把)(x f y =的图象向右平移h 个单位得到的；

（3）函数k x f y +=)()0(>k 的图象是把)(x f y =的图象向上平移k 个单位得到的；

（4）函数k x f y -=)()0(>k 的图象是把)(x f y =的图象向下平移k 个单位得到的．练习：1．将下列变换的结果填在横线上：

（1）将函数x y -=3的图象向右平移2个单位，得到函数的图象；

（2）将函数)13(log 2-=x y 的图象向左平移2个单位，得到函数的图象．

2．函数)32(-x f 的图象，可由)32(+x f 的图象经过下述变换得到（）

A ．向左平移6个单位

B ．向右平移6个单位

C ．向左平移3个单位

D ．向右平移3个单位

3．讨论函数x

x y 3132-+=的图像是由哪个反比例函数的图像通过哪些变换而得到？二．对称变换

1．同一函数的对称性（自对称）若函数)(x f y =对定义域内一切x

（1）)(x f -=)(x f ⇔函数)(x f y =图象关于y 轴对称；

（2）函数)(x f y =的不可能关于x 轴对称（除0)(=x f 外）；

（3）)(x f -=－)(x f ⇔函数)(x f y =图象关于原点对称；

（4）)()(1x f x f =-⇔函数)(x f y =图象关于直线x y =对称；

函数的对称性

一、有关对称性的常用结论

（一）函数图象自身的对称关系

1、轴对称

(1))(x f -=)(x f ⇔函数)(x f y =图象关于y 轴对称；

(2) 函数)(x f y =图象关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+⇔()(2)f x f a x =-

⇔()(2)f x f a x -=+；

（3）若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件)()(x b f x a f -=+，则函数)(x f y =的图象关于直线2

b a x +=

对称。

2、中心对称

（1）)(x f -=－)(x f ⇔函数)(x f y =图象关于原点对称；.

（2）函数)(x f y =图象关于(,0)a 对称⇔)()(x a f x a f --=+⇔()(2)f x f a x =-- ⇔)2()(x a f x f +=-；

（3）函数)(x f y =图象关于),(b a 成中心对称⇔b x a f x a f 2)()(=++-

⇔b x f x a f 2)()2(=+-

（4）若函数)(x f y = 定义域为R ，且满足条件c x b f x a f =-++)()(（c b a ,,为常数），则函数)(x f y =的图象关于点)2

,2(c b a + 对称。（二）两个函数图象之间的对称关系 1.若函数)(x f y =定义域为R ，则两函数)(x a f y +=与)(x b f y -=的图象关于直线2a b x -=

对称。推论1：函数)(x a f y +=与函数)(x a f y -=的图象关于直线0=x 对称。

高考数学函数图像的对称问题专题总结

函数图像的对称专题

一、图像的对称变换

（1）函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像____ 去下翻上_____得到；

“去下翻上”详解：x 轴及其上方的图像不动，x 轴下方的图像（如果有的话）沿x 轴对称翻折到

x 轴上方. （2）函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像______去左翻右____得到。

“去左翻右”详解：y 轴及其右边的图像不动，y 轴左边的图像（如果有的话）去掉，并将y 轴

右边的图像沿y 轴对称翻折到y 轴左边.

（3）关于,(,)x a y b y x a b ===，，的对称翻折见二（二）【例1】(1)2()2||3f x x x 的增区间是_________________.(1,0),(1,)(2)2()|2||3|f x x x k 的增区间是________________;(3,1),(0,1),(3,)

(3)若2

()|2||3|f x x x k 有6个零点，则k 的取值范围是________.(3,4)

二、图像的对称

（一）自对称

图一

图二图三

1.基本结论：

（1）若()y f x =满足()()f a x f b x +=-，则()y f x =的图象关于直线2

a b

x +=

成轴对称（图一）．特殊化： ()()f a x f a x -=+⇔()y f x =的图象关于直线x a =对称；再特殊化： ()()f x f x -=⇔()y f x =的图象关于直线0x =对称；

（2）若()y f x =满足()()f a x f b x +=--，则()y f x =的图象关于点(,0)2

函数的周期性、对称性与函数图像的平移

函数

ln||

x x

=的图像可能是（

的图像可能是（

）

A B

zl191

zl192

C D

zl193zl194

第1题图

【答案】B

【分析】函数

ln||

x x

=的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称．

当x＞0时，

ln||ln

x x x x

y x

x x

===，

当x＜0时，ln||ln()ln()

x x x x

y x

x x

===--

，此时函数图像与当x＞0时函数

ln||ln

x x x x

y x

x x

===的图像关于原点对称．B选项中的图像符合，故选B. 2．已知函数()

y f x

=，若在定义域内存在0x，使得()()

f x f x

-=-成立，

成立，则称

则称0x为函

数()

f x的局部对称点．

的局部对称点．

（1）若aÎR且a¹0，证明：函数()22

f x ax x a

=+-必有局部对称点；

必有局部对称点；

（2）若函数()2

f x b

=+在区间内有局部对称点，求实数b的取值范围；

的取值范围；

，1

42t ≤≤，

∴12b t t -=+，其中117

t t +≤≤，

所以17

188

b -

-≤≤，

（3）∵

()

x f x m m --+

-=-×+-，

由()()f x f x -=-，∴1

x m m --+-×+-=()1

x m m +--×+-，

于是于是 2

2(22)2(3)0x

m m --+-++-=（*）在R 上有解，上有解，

令()22

2x x

t t -=+≥，则2

t -

+=-，

∴方程（*）变为2

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