中考数学专题提升(十五)巧用旋转进行证明与计算

专题提升(十五)巧用旋转进行证明与计算【经典母题】已知等边三角形ABC(如图Z15－1)．(1)以点A为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转30°，作出旋转后的图形；(2)经第(1)题旋转所得的图形与△ABC之间有没有互相垂直的边？证明你的判断．图Z15－1 经典母题答图解：(1)如答图所示；(2)AD⊥BC，DE⊥AC，AB⊥AE.证明略．【思想方法】旋转前、后的图形全等，所以借此可以在较复杂的图形中发现等量(或全等)关系，或通过旋转(割补)图形，把分散的已知量聚合起来，便于打通解题思路，找到解题突破口．【中考变形】1．如图Z15－2，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连结OC，FG，则下列结论：①AE＝BD；②AG＝BF；③FG∥BE；④∠BOC ＝∠EOC，其中正确结论的个数是(D)图Z15－2A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图Z15－3，P是等腰直角三角形ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B＝135°，P′A∶P′C＝1∶3，则P′A∶PB＝(B)A ．1∶ 2B ．1∶2 C.3∶2 D ．1∶ 3图Z15－3 中考变形2答图 【解析】 如答图，连结AP ，PP ′，∵BP 绕点B 顺时针旋转90°到BP ′， ∴BP ＝BP ′，∠ABP ＋∠ABP ′＝90°.∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AB ＝BC ，∠CBP ′＋∠ABP ′＝90°，∴∠ABP ＝∠CBP ′.在△ABP 和△CBP ′中，⎩⎨⎧BP ＝BP ′，∠ABP ＝∠CBP ′，AB ＝CB ，∴△ABP ≌△CBP ′(SAS )，∴AP ＝P ′C .∵P ′A ∶P ′C ＝1∶3，∴AP ＝3P ′A . ∵△PBP ′是等腰直角三角形，∴∠BP ′P ＝45°，PP ′＝2PB .∵∠AP ′B ＝135°，∴∠AP ′P ＝135°－45°＝90°，∴△APP ′是直角三角形．设P ′A ＝x ，则AP ＝3x ，根据勾股定理，得PP ′＝AP 2－P ′A 2＝（3x ）2－x 2＝22x ，∴P ′B ＝PB ＝2x ，∴P ′A ∶PB ＝x ∶2x ＝1∶2.3．[2017·徐州]如图Z15－4，已知AC ⊥BC ，垂足为C ，AC ＝4，BC ＝33，将线段AC 绕点A 按逆时针方向旋转60°，得到线段AD ，连结DC ，DB .(1)线段DC ＝__4__；(2)求线段DB 的长度．图Z15－4中考变形3答图 解：(1)∵AC ＝AD ，∠CAD ＝60°，∴△ACD 是等边三角形，∴DC ＝AC ＝4；(2)如答图，作DE ⊥BC 于点E .∵△ACD 是等边三角形，∴∠ACD ＝60°，又∵AC ⊥BC ，∴∠DCE ＝∠ACB －∠ACD ＝90°－60°＝30°，在Rt △CDE 中，DE ＝12DC ＝2，CE ＝DC ·cos30°＝4×32 ＝23，∴BE ＝BC －CE ＝33－23＝ 3.在Rt △BDE 中，BD ＝DE 2＋BE 2＝22＋（3）2＝7.4．如图Z15－5①，在△ABC 中，AE ⊥BC 于点E ，AE ＝BE ，D 是AE 上的一点，且DE ＝CE ，连结BD ，CD .(1)判断BD 与AC 的位置关系和数量关系，并给出证明；(2)如图②，若将△DCE 绕点E 旋转一定的角度后，BD 与AC 的位置关系和数量关系是否发生变化？为什么？(3)如图③，将(2)中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变，求BD 与AC 夹角的度数．图Z15－5解：(1)BD 与AC 的位置关系是BD ⊥AC ，数量关系是BD ＝AC .证明：如答图①，延长BD 交AC 于点F .∵AE ⊥BC 于点E ，∴∠BED ＝∠AEC ＝90°.∵AE ＝BE ，DE ＝CE ，∴△DBE ≌△CAE (SAS )，∴BD ＝AC ，∠DBE ＝∠CAE ，∠BDE ＝∠ACE .∵∠BDE ＝∠ADF ，∴∠ADF ＝∠ACE. 中考变形4答图①∵∠ACE ＋∠CAE ＝90°，∴∠ADF ＋∠CAE ＝90°，∴BD ⊥AC ；(2)否．证明：如答图②，AC 与BD 交于点F ，∵∠AEB ＝∠DEC ＝90°，∴∠AEB ＋∠AED ＝∠DEC ＋∠AED ，即∠BED ＝∠AEC .∵AE ＝BE ，DE ＝CE ，∴△BED ≌△AEC (SAS )，∴BD ＝AC ，∠BDE ＝∠ACE ，∠DBE ＝∠CAE .∵∠BFC ＝∠ACD ＋∠CDE ＋∠BDE ＝∠ACD ＋∠CDE ＋∠ACE ＝90°，∴BD ⊥AC ；(3)如答图③，AC 与BD 交于点F .∵△ABE 和△DEC 是等边三角形，∴AE ＝BE ，DE ＝EC ，∠EDC ＝∠DCE ＝60°，∠BEA ＝∠DEC ＝60°，∴∠BEA ＋∠AED ＝∠DEC ＋∠AED ，∴∠BED ＝∠AEC ，在△BED 和△AEC 中， ⎩⎨⎧BE ＝AE ，∠BED ＝∠AEC ，DE ＝CE ，∴△BED ≌△AEC (SAS )，∴∠BDE ＝∠ACE ，∴∠DFC ＝180°－(∠BDE ＋∠EDC ＋∠DCF )＝60°，∴BD 与AC 的夹角度数为60°或120°.5．阅读下面的材料：小伟遇到这样一个问题：如图Z15－6①，在正三角形ABC 内有一点P ，且P A ＝3，PB ＝4，PC ＝5，求∠APB 的度数．小伟是这样思考的：如图②，利用旋转和全等的知识构造△AP ′C ，连结PP ′，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．(1)请你回答：图①中∠APB ＝__150°__；参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：中考变形4答图②(2)如图③，在正方形ABCD 内有一点P ，且P A ＝22，PB ＝1，PD ＝17，求∠APB 的度数和正方形的边长．图Z15－6解：(1)如答图①，把△APB 绕点A 逆时针旋转60°得△AP ′C ，由旋转的性质，得P ′A ＝P A ＝3，P ′C ＝PB ＝4，∠P AP ′＝60°， ∴△APP ′是等边三角形，∴PP ′＝P A ＝3，∠AP ′P ＝60°，∵PP ′2＋P ′C 2＝32＋42＝25，PC 2＝52＝25，∴PP ′2＋P ′C 2＝PC 2，∴∠PP ′C ＝90°，∴∠AP ′C ＝∠AP ′P ＋∠PP ′C ＝60°＋90°＝150°，∴∠APB ＝∠AP ′C ＝150°；(2)如答图②，把△APB 绕点A 逆时针旋转90°得到△AP ′D ，由旋转的性质，得P ′A ＝P A ＝22，P ′D ＝PB ＝1，∠P AP ′＝90°，∴△APP ′是等腰直角三角形，∴PP ′＝2P A ＝2×22＝4，∠AP ′P ＝45°，∵PP ′2＋P ′D 2＝42＋12＝17，PD 2＝(17)2＝17，∴PP ′2＋P ′D 2＝PD 2，∴∠PP ′D ＝90°，∴∠AP ′D ＝∠AP ′P ＋∠PP ′D ＝45°＋90°＝135°，∴∠APB ＝∠AP ′D ＝135°.∵∠APB ＋∠APP ′＝135°＋45°＝180°，中考变形5答图①中考变形5答图②∴P ′，P ，B 三点共线．过点A 作AE ⊥PP ′于点E ，则AE ＝PE ＝12PP ′＝2，∴BE ＝PE ＋PB ＝2＋1＝3，在Rt △ABE 中，AB ＝AE 2＋BE 2＝22＋32＝13.【中考预测】(1)如图Z15－7①，在正方形ABCD 中，△AEF 的顶点E ，F 分别在BC ，CD 边上，高线AG 与正方形的边长相等，求∠EAF 的度数；(2)如图②，在Rt △ABD 中，∠BAD ＝90°，AB ＝AD ，M ，N 是BD 边上的任意两点，且∠MAN ＝45°，将△ABM 绕点A 逆时针旋转90°至△ADH 位置，连结NH ，试判断MN 2，ND 2，DH 2之间的数量关系，并说明理由；(3)在图①中，若EG ＝4，GF ＝6，求正方形ABCD 的边长．图Z15－7解：(1)在正方形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∵AG ⊥EF ，∴△ABE 和△AGE 是直角三角形．在Rt △ABE 和Rt △AGE 中，⎩⎨⎧AB ＝AG ，AE ＝AE ，∴△ABE ≌△AGE (HL )，∴∠BAE ＝∠GAE .同理，∠GAF ＝∠DAF .∴∠EAF ＝∠EAG ＋∠F AG ＝12∠BAD ＝45°；(2)MN 2＝ND 2＋DH 2.由旋转可知，∠BAM ＝∠DAH ，∵∠BAM ＋∠DAN ＝45°，∴∠HAN ＝∠DAH ＋∠DAN ＝45°.∴∠HAN ＝∠MAN .在△AMN 与△AHN 中，⎩⎨⎧AM ＝AH ，∠MAN ＝∠HAN ，AN ＝AN ，∴△AMN ≌△AHN (SAS )，∴MN ＝HN .∵∠BAD ＝90°，AB ＝AD ，∴∠B ＝∠ADB ＝45°， ∴∠HDN ＝∠HDA ＋∠ADB ＝90°，∴NH 2＝ND 2＋DH 2，∴MN 2＝ND 2＋DH 2；(3)由(1)知，BE ＝EG ＝4，DF ＝FG ＝6.设正方形ABCD 的边长为x ，则CE ＝x －4，CF ＝x －6. ∵CE 2＋CF 2＝EF 2，∴(x －4)2＋(x －6)2＝102， 解得x 1＝12，x 2＝－2(不合题意，舍去)．∴正方形ABCD 的边长为12.。