2012届高三数学一轮复习课件4：导数

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导数与函数的单调性课件高三数学一轮复习

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｜解题技法｜讨论函数f（x）单调性的步骤
（1）确定函数f（x）的定义域；（2）求导数f'（x），并求方程f'（x）＝0的根；（3）利用f'（x）＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f'（x）的正负，由符号确定f（x）在该区间上的单调性. 提醒研究含参函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.
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考向2 解不等式
A.（－∞，－2）∪（1，＋∞） B.（2，＋∞） C.（－∞，－1）∪（2，＋∞） D.（－1，2）
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答案 C
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（1）若函数f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；
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所以a＞－1. 即a的取值范围是（－1，＋∞）.
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（2）若函数f（x）在[1，4]上单调递减，求a的取值范围.
⁠
1.（多选）（2023·贵阳一模）下列选项中，在R上是增函数的有
（）
A.f（x）＝x4 C.f（x）＝xex
B.f（x）＝x－sin x D.f（x）＝ex－e－x－2x
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2.已知f（x）＝x3－ax在[1，＋∞）上是增函数，则a的最大值是
.
⁠
解析：f'（x）＝3x2－a，由结论1知f'（x）≥0，即a≤3x2，又∵x∈[1，＋∞），
∴a≤3，即a的最大值是3.
答案：3
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02
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证明（判断）函数的单调性【例1】（1）（2022·北京高考·节选）已知函数f（x）＝exln（1＋x），设g （x）＝f'（x），讨论函数g（x）在[0，＋∞）上的单调性；
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高三一轮复习导数的概念、几何意义及导数的计算 (1)

第十四课时导数的概念、几何意义及导数的计算考纲要求：1.导数的概念(A) 2.导数的几何意义(B) 3.导数的运算(B)知识梳理：1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x＝x 0，即f ′(x 0)＝(2)导数的几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)．(3)函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝li m Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数． 2．导数公式及运算法则(1)(2)①[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；②[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；③⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．基础训练：1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同．( )(2)f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．( )(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( )(4)⎝⎛⎭⎫sin π3′＝cos π3.( ) (5)(3x )′＝3x ln 3.( )(6)⎝⎛⎭⎫e x ＋cos π4′＝e x .( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√ (6)√2．曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程是________．解析：∵y ＝sin x ＋e x ，∴y ′＝cos x ＋e x ，∴y ′x ＝0＝cos 0＋e 0＝2，∴曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程为y －1＝2(x －0)，即2x －y ＋1＝0.答案：2x －y ＋1＝03．求下列函数的导数：(1)y ＝x n e x ；(2)y ＝x 3－1sin x. 答案：(1)y ′＝e x (nx n －1＋x n )．(2)y ′＝3x 2sin x －(x 3－1)cos x sin 2x.[典题1] 求下列函数的导数：(1)y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ； (2)y ＝ln x x； (3)y ＝tan x ；(4)y ＝3x e x －2x ＋e ；解析： (1)∵y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ＝1x －x ＝x －12－x 12， ∴y ′＝(x －12)′－(x 12)′＝－12x －32－12x －12. (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x x ′＝(ln x )′x －x ′ln x x 2＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln x x 2. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝(sin x )′cos x －sin x (cos x )′cos 2x＝cos x cos x －sin x (－sin x )cos 2x ＝1cos 2x. (4)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e ′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′＝3x (ln 3)·e x ＋3x e x －2x ln 2＝ (ln 3＋1)·(3e)x －2x ln 2.小结：导数的运算方法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导．(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导．(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导．(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．[典题2](1)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．(2)已知f (x )＝12x 2＋2xf ′(2 016)＋2 016ln x ，则f ′(2 016)＝________. 解析：(1)f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )．由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.(2)由题意得f ′(x )＝x ＋2f ′(2 016)＋2 016x，所以f ′(2 016)＝2 016＋2f ′(2 016)＋2 0162 016，即f ′(2 016)＝－(2 016＋1)＝－2 017.答案：(1)3 (2)－2 017注意：在求导过程中，要仔细分析函数解析式的特点，紧扣法则，记准公式，预防运算错误．练习：1．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝________.解析：∵f (x )＝ax 4＋bx 2＋c ，∴f ′(x )＝4ax 3＋2bx .又f ′(1)＝2，∴4a ＋2b ＝2，∴f ′(－1)＝－4a －2b ＝－2.答案：－22．在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)的值为________．解析：因为f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝212.答案：212导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中低档题，且主要有以下几个命题角度：角度一：求切线方程[典题3](1)曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为________．(2)设曲线y ＝e x ＋12ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y －1＝0垂直，则实数a ＝________. (3)已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4.①求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；②求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．解析：(1)由于y ′＝e －1x，所以y ′x ＝1＝e －1，故曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为y －e ＝(e －1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.(2)∵与直线x ＋2y －1＝0垂直的直线斜率为2，∴f ′(0)＝e 0＋12a ＝2，解得a ＝2. (3)①∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2，即x －y －4＝0.②设切点坐标为(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)，又切线过点(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或x 0＝1，∴经过A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0.答案：(1)(e －1)x －y ＋1＝0 (2)2注意：注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．角度二：求切点坐标[典题4] 设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x(x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．解析： y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1，设P (m ，n )，y ＝1x(x ＞0)的导数为y ′＝－1x 2(x ＞0)，曲线y ＝1x (x ＞0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m 2(m ＞0)，因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1,1)．答案：(1,1)小结：已知斜率k ，求切点A (x 0，f (x 0))，即解方程f ′(x 0)＝k .角度三：求参数的值[典题5](1)若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝________.(2)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.(3)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.解析：(1)∵两曲线的交点为(0，m )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝a ，m ＝1，即a ＝1， ∴f (x )＝cos x ，∴f ′(x )＝－sin x ，则f ′(0)＝0，f (0)＝1.又g ′(x )＝2x ＋b ，∴g ′(0)＝b ，∴b ＝0，∴a ＋b ＝1.(2)∵f ′(x )＝3ax 2＋1，∴f ′(1)＝3a ＋1.又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)．∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1.(3)法一：∵y ＝x ＋ln x ，∴y ′＝1＋1x，y ′x ＝1＝2. ∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1，消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0. 由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8.法二：同法一得切线方程为y ＝2x －1.设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1)．∵y ′＝2ax ＋(a ＋2)，∴y ′x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2ax 0＋(a ＋2)＝2，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1＝2x 0－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－12，a ＝8.答案：(1)1 (2)1 (3)8小结：(1)根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P (x 0，y 0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．(2)当切线方程中x (或y )的系数含有字母参数时，则切线恒过定点．总结：1．f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，而函数值f (x 0)是一个常数，其导数一定为0，即(f (x 0))′＝0.2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．3．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．注意：1．曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点．2．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．3．直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．4．曲线未必在其切线的同侧，如曲线y ＝x 3在其过(0,0)点的切线y ＝0的两侧.课后作业：1．曲线y ＝e x 在点A (0,1)处的切线斜率为________．解析：由题意知y ′＝e x ，故所求切线斜率k ＝e x x ＝0＝e 0＝1.答案：12．已知函数f (x )＝1xcos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝________. 解析：∵f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x )，∴f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1π＋2π·(－1)＝－3π. 答案：－3π3．设曲线y ＝1＋cos x sin x在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于________．解析：∵y ′＝－1－cos x sin 2x ，∴y ′x ＝π2＝－1，由条件知1a＝－1，∴a ＝－1. 答案：－14．设直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b 的值为________．解析：设切点坐标为(x 0，ln x 0)，则1x 0＝12，即x 0＝2，∴切点坐标为(2，ln 2)，又切点在直线y ＝12x ＋b 上，∴ln 2＝1＋b ，即b ＝ln 2－1. 答案：ln 2－15．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小值为________．解析：因为定义域为(0，＋∞)，所以y ′＝2x －1x＝1，解得x ＝1，则在P (1,1)处的切线方程为x －y ＝0，所以两平行线间的距离为d ＝22＝ 2. 答案：26．已知函数f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝________.解析：f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x 0)＝2，即ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e.答案：e7．若直线l 与幂函数y ＝x n 的图象相切于点A (2,8)，则直线l 的方程为________．解析：由题意知，A (2,8)在y ＝x n 上，∴2n ＝8，∴n ＝3，∴y ′＝3x 2，直线l 的斜率k ＝3×22＝12，又直线l 过点(2,8)．∴y －8＝12(x －2)，即直线l 的方程为12x －y －16＝0.答案：12x －y －16＝08．在平面直角坐标系xOy 中，点M 在曲线C ：y ＝x 3－x 上，且在第二象限内，已知曲线C 在点M 处的切线的斜率为2，则点M 的坐标为________．解析：∵y ′＝3x 2－1，曲线C 在点M 处的切线的斜率为2，∴3x 2－1＝2，x ＝±1，又∵点M 在第二象限，∴x ＝－1，∴y ＝(－1)3－(－1)＝0，∴M 点的坐标为(－1,0)．答案：(－1,0)9．若曲线f (x )＝ax 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意，可知f ′(x )＝3ax 2＋1x ，又存在垂直于y 轴的切线，所以3ax 2＋1x＝0，即a ＝－13x3(x >0)，故a ∈(－∞，0)．答案：(－∞，0)10．已知曲线C ：f (x )＝x 3－ax ＋a ，若过曲线C 外一点A (1,0)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为________．解析：设切点坐标为(t ，t 3－at ＋a )．由题意知，f ′(x )＝3x 2－a ，切线的斜率k ＝3t 2－a ①，所以切线方程为y －(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(x －t ) ②.将点A (1，0)代入②式得－(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(1－t )，解得t ＝0或t ＝32.分别将t ＝0和t ＝32代入①式，得k ＝－a 和k ＝274－a ，由题意得它们互为相反数，故a ＝278. 答案：27811．函数f (x )＝e x ＋x 2＋x ＋1与g (x )的图象关于直线2x －y －3＝0对称，P ，Q 分别是函数f (x )，g (x )图象上的动点，则|PQ |的最小值为________．解析：因为f (x )与g (x )的图象关于直线2x －y －3＝0对称，所以当f (x )与g (x )在P ，Q 处的切线与2x －y －3＝0平行时，|PQ |的长度最小．f ′(x )＝e x ＋2x ＋1，令e x ＋2x ＋1＝2，得x ＝0，此时P (0,2)，且P 到2x －y －3＝0的距离为5，所以|PQ |min ＝2 5.答案：2512．已知函数f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，a ∈R .若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )相交，且在交点处有相同的切线，则a ＝________，切线方程为________．解析：f ′(x )＝12x，g ′(x )＝a x (x >0)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ln x ，12x＝a x ，解得a ＝e 2，x ＝e 2， ∴两条曲线交点的坐标为(e 2，e)，切线的斜率为k ＝f ′(e 2)＝12e， ∴切线的方程为y －e ＝12e (x －e 2)，即x －2e y ＋e 2＝0.答案：e 2x －2e y ＋e 2＝013．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上．∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1，∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13.∴切线的方程为y ＋6＝13(x －2)，即y ＝13x －32.(2)设切点坐标为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，y 0＝x 30＋x 0－16，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16.又∵直线l 过原点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8， ∴x 0＝－2，∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，得切点坐标(－2，－26)，k ＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．14．设函数y ＝x 2－2x ＋2的图象为C 1，函数y ＝－x 2＋ax ＋b 的图象为C 2，已知过C 1与C 2的一个交点的两切线互相垂直，求a ＋b 的值．解：对于C 1：y ＝x 2－2x ＋2，有y ′＝2x －2，对于C 2：y ＝－x 2＋ax ＋b ，有y ′＝－2x ＋a ，设C 1与C 2的一个交点为(x 0，y 0)，由题意知过交点(x 0，y 0)的两条切线互相垂直．∴(2x 0－2)·(－2x 0＋a )＝－1，即4x 20－2(a ＋2)x 0＋2a －1＝0，①又点(x 0，y 0)在C 1与C 2上，故有⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 20－2x 0＋2，y 0＝－x 20＋ax 0＋b ，⇒2x 20－(a ＋2)x 0＋2－b ＝0.②由①②消去x 0，可得a ＋b ＝52. 15．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C . (1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪⎧ k ≥－1，－1k≥－1，解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1，得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．。

高考数学一轮复习-用导数研究函数的单调性ppt课件

恒成立，即 ≥
恒成立，又 =
在 , +∞ 上单调递减，故
< ，所以
+
+
+
≥ ，当 = 时，导数不恒为0.故选D.
02
研考点题型突破
题型一不含参数的函数的单调性
典例1 函数y = xln x(
D )
A.是严格增函数
B.在
1
0,
e
上是严格增函数，在
1
, +∞
e
上是严格减函数
为 , .故选A.
（2）函数f x
[解析] 函数
或 =
2
x2
0,
= x 的增区间为________.
ln 2
2

⋅ − ⋅ ⋅
= ，则′ =

，当

.
.令′ = ，解得 =
∈ −∞, 时,′ < ,函数单调递减，当 ∈ ,
（2）已知函数f x = ex − e−x − 2x + 1，则不等式f 2x − 3 >
3
, +∞
1的解集为_________.
2
[解析] = − − − + ，其定义域为，
∴ ′ = + − − ≥ ⋅ − − = ，当且仅当 = 时取“=”，∴ 在
在 a, b 上单调递减，则当x ∈ a, b 时，f′ x ≤ 0恒成立.
2.若函数f x 在 a, b 上存在增区间，则当x ∈ a, b 时，f′ x > 0有解；若函数f x
在 a, b 上存在减区间，则当x ∈ a, b 时，f′ x < 0有解.

导数的概念及其意义、导数的运算(高三一轮复习)

；
gfxx′＝f′xgx[g－xf]2xg′x(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝ 16 cf′(x)
．
— 8—
数学 N 必备知识自主学习关键能力互动探究
— 9—
5．复合函数的定义及其导数
(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作y＝ 17 f(g(x)) ．
— 20 —
数学 N 必备知识自主学习关键能力互动探究
— 21 —
命题点2 导数的几何意义
考向1 求切线方程
例2
(1)(2022·湖南衡阳二模)函数f(x)＝xln(－2x)，则曲线y＝f(x)在x＝－
e 2
处的
切线方程为 4x－2y＋e＝0
.
(2)(2y0＝22－·新1e高x 考Ⅱ卷.)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为
(2)f1x′＝－f[′fxx]2(f(x)≠0)． (3)曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次函数的图象相切只有一个公共点． (4)函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越 “陡”．
f(x)＝xα(α∈Q且α≠0) f′(x)＝ 7αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝ 8 cos x
f(x)＝cos x
f′(x)＝ 9 －sin x
— 6—
数学 N 必备知识自主学习关键能力互动探究
f(x)＝ax(a>0且a≠1) f′(x)＝ 10 axln a

高考数学一轮复习第三章导数及其应用4导数的综合应用课件新人教A版2

-15考点1
考点2
考点3
当x变化时,g(x),g'(x)的变化情况如下表:
2
-∞,
3
x
g'(x)
+
0
单调递增↗
g(x)
2
,4
3
2
3
68
27
则函数 g(x)的极大值为 g
-
4
(4,+∞)
0
+
-m 单调递减↘ -16-m 单调递增↗
2
3
=
68
27
-m,极小值为 g(4)=-16-m.
∴要使 g(x)的图象与 x 轴有三个不同的交点,
则欲证
12 - 22
>2a,
只需证 2a(12 − 22 )>3x2-x1.
只需证 2a(12 − 22 )>2(x2-x1)+(x1+x2).
只需证 a(x1-x2)+
1 - 2
1 + 2
1
> .
2
因为 f'(x1)=0,f'(x2)=0,ax1=-ln x1,ax2=-ln x2,
(3)证明：由题设c>1,
设g(x)=1+(c-1)x-cx,
则g'(x)=c-1-cxln c,
ln
令 g'(x)=0,解得 x0=
-1
ln
ln
.
当 x<x0 时,g'(x)>0,g(x)单调递增;
当 x>x0 时,g'(x)<0,g(x)单调递减.
由(2)知 1<
-1
ln

高考总复习一轮数学精品课件第4章导数及其应用第1节导数的概念及其意义

v(t),则v'(t)就是加速度与时间的函数关系式.
即在点(x0,f(x0))处
2.导数的几何意义
函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0),就是曲线y=f(x)在x=x0处的切线的斜率k0,
f'(x0)
即k0=__________.
微思考已知函数y=f(x),给定一个点P(x0,y0),那么f'(x0)就是经过点P的切线的
4
√2 √2
B,直线的斜率为 m=- 3 <- 4 ,故 B 错误;
√2
C,直线的斜率为 m=- 4 ,故 C 正确;
√2
x= 2 时,等号成立,
√2
≥2√2,因此- ≤m<0.
4
对于 D,直线的斜率为 m=√2>0,故 D 错误,故选 AC.
考点三
导数几何意义的应用(多考向探究预测)
考向1 求曲线的切线方程
所以切线方程为
1
y-2=2(x-1),整理可得
4x-2y-3=0.
1
k=2,切点为(1, ),
2
考向2 求参数的值或范围
例4(1)(2024·广东惠州模拟)已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则实数
a=( C )
A.-1
B.1
C.2
D.3
1
1
解析设切点的坐标为(x0,y0),由于 y'= ,所以切线的斜率为
1 3 2
h(t)= t +t ,当t=t0时,液体上升高度的瞬时变化率为3
3
cm/s,则当t=t0+1时,液
体上升高度的瞬时变化率为( C )
A.5 cm/s
B.6 cm/s

高考数学一轮复习第三章导数及其应用1导数的概念及运算课件新人教A版理

()
'()()-()'()
(3) () '=
[()]
2
(g(x)≠0).
6
;
-9知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
6
6.复合函数的导数
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为
y'u·u'x
y'x=
,即y对x的导数等于 y对u
的导数与
u对x
2
……
依次下去,可得点 An 的坐标为(en-1,n-1).
-24考点1
考点2
考向三已知切线方程(或斜率)求参数的值
例4已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则
(
)
A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1
C.a=e-1,b=1 D.a=e-1,b=-1
思考已知切线方程(或斜率)求参数的值的关键是什么?
1
3
∵s=3t3-2t2+2t,
∴v=s'=t2-3t+2.令 v=0,
关闭
则 t -3t+2=0,解得 t1=1,t2=2.故选 D.
D
2
解析
答案
-12知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
3.(2020四川泸州期末)已知函数f(x)的图象如图,设f'(x)是f(x)的导
函数,则f'(xA)与f'(xB)的大小关系正确的是( A )
知点在切线上求解.
2.已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数,

(完整版)高考数学第一轮复习教案——导数

高考复习—-导数复习目标1．了解导数的概念，能利用导数定义求导数．掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．了解曲线的切线的概念．在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念．2熟记基本导数公式,掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数，利能够用导数求单调区间,求一个函数的最大(小)值的问题，掌握导数的基本应用．3．了解函数的和、差、积的求导法则的推导,掌握两个函数的商的求导法则。

能正确运用函数的和、差、积的求导法则及已有的导数公式求某些简单函数的导数.4．了解复合函数的概念。

会将一个函数的复合过程进行分解或将几个函数进行复合.掌握复合函数的求导法则，并会用法则解决一些简单问题。

三、基础知识梳理：导数是微积分的初步知识,是研究函数,解决实际问题的有力工具。

在高中阶段对于导数的学习,主要是以下几个方面: 1．导数的常规问题：（1）刻画函数（比初等方法精确细微)；（2)同几何中切线联系(导数方法可用于研究平面曲线的切线）；（3)应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于n 次多项式的导数问题属于较难类型。

2．关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。

3．导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。

4．瞬时速度物理学习直线运动的速度时，涉及过瞬时速度的一些知识，物理教科书中首先指出：运动物体经过某一时刻(或某一位置)的速度叫做瞬时速度，然后从实际测量速度出发，结合汽车速度仪的使用,对瞬时速度作了说明．物理课上对瞬时速度只给出了直观的描述,有了极限工具后,本节教材中是用物体在一段时间运动的平均速度的极限来定义瞬时速度． 5．导数的定义导数定义与求导数的方法是本节的重点，推导导数运算法则与某些导数公式时，都是以此为依据．对导数的定义,我们应注意以下三点：（1)△x 是自变量x 在 0x 处的增量(或改变量)．（2)导数定义中还包含了可导或可微的概念，如果△x→0时，xy∆∆有极限，那么函数y=f （x ）在点0x 处可导或可微，才能得到f （x)在点0x 处的导数．（3)如果函数y=f （x)在点0x 处可导，那么函数y=f （x)在点0x 处连续(由连续函数定义可知)．反之不一定成立．例如函数y=|x ｜在点x=0处连续，但不可导．由导数定义求导数，是求导数的基本方法,必须严格按以下三个步骤进行：（1）求函数的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆; （2)求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00；（3)取极限，得导数x y x f x ∆∆=→∆00lim )('。

2012高考一轮复习【理科数学】课件第2单元-函数与导数--第4讲映射函数反函数函数解析式

第二单元 │ 复习策略复习策略
函数知识是高中数学最重要的内容，贯穿整个高中数学始终，并且又是学习高等数学的基础；导数是研究函数及其性质的有力工具，有着广泛的应用．本单元复习重点是函数的概念、图象、性质及其应用，以及用导数研究函数的性质．高考中，一般有四道题，三道客观题，一道解答题，分值接近30分，客观题一般考查基本函数及其性质，难度以中档为主，解答题往往利用导数研究三次函数的单调性、极值等，难度基本稳定在中等或偏上．
第二单元 │ 复习策略
4．要有意识地与解析几何、函数的单调性、极值与最值、二次函数、方程、不等式的证明等进行知识交汇、综合运用．特别是与二次函数的联系，更是复习的重点．
第二单元 │ 使用建议使用建议
1．编写意图函数是整个高中数学教学的主干知识，导数又是研究函数性质的有力工具，因此，编写时，把导数及其应用与函数合并为一单元．本单元是高考考查的重点与热点，在高考中，既有对基础知识、基本技能的的考查，又有对数学思想方法和能力的考查．
第Байду номын сангаас单元 │ 使用建议
编写中注意到以下几个问题： (1) 考虑到该部分在高考试题中的考查特点和难度，加强了对基础知识、基本方法的讲解和练习题的力度，以通性通法为主． (2) 从近几年高考来看，对于函数的概念、图象、函数性质、反函数、导数的概念、几何意义、运算及应用的知识，每年在高考的客观题中，都有涉及，选题时客观题以中档题为主，解答题适当增加难度； (3) 考虑到该部分内容是第一轮初始阶段复习的知识，但鉴于高考对本部分的考查力度及试题难度，将少量选用综合性强、思维难度大的题目．
第二单元 │ 考纲要求
(7)了解函数极限的概念． (8)掌握极限的四则运算法则．会求某些函数的极限． (9) 了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质． (10) 了解导数概念的某些实际背景 ( 如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念． (11)熟记基本导数公式 (C，xm(m为有理数)，sinx，cosx，ex， ax ， lnx ， logax的导数 ) ；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则；了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数． (12)理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 ( 导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值．

高考总复习一轮数学精品课件第4章导数及其应用素能培优(六) 破解“双变量问题”的基本策略

f'(x)= +2ax=
<0,

∴f(x)在(0,+∞)内单调递减.
不妨假设 x1≥x2,∴|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|等价于 f(x2)-f(x1)≥4x1-4x2,
即 f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1.
+1
22 +4++1
令 g(x)=f(x)+4x,则 g'(x)= +2ax+4=
(1)解函数 g(x)=ln x- e2 +t(t∈R)的定义域为(0,+∞),且 g'(x)= − e2 = e2 .
∴函数 f(x)在(0,x2),(x1,+∞)内单调递减,在(x2,x1)内单调递增.
当 m>0 时,x1<0<x2,∴函数 f(x)在(0,x2)内单调递减,在(x2,+∞)内单调递增.
1
1
(2)证明 f(x1)-mx1=f(x2)-mx2(0<x1<x2),即 ln x1+ =ln x2+ (0<x1<x2).
由(1)知,f(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增,所以 0<x1<1<x2.
所以证明 x2+x1>2 等价于证明 x2>2-x1.
又因为 2-x1>1,x2>1,f(x)在(1,+∞)内单调递增,
因此证明原不等式等价于证明 f(x2)>f(2-x1),即要证明 f(x1)>f(2-x1),
(1)解当 a=2 时,f(x)=3ln x+2x2+1,∴f(1)=3,即切点为(1,3).

高三数学一轮复习备考：导数ppt完美课件人教课标版

考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，并求函数的极值、最值；导数在证明不等式中的应用；考查应用函数思想、转化与化归思想解决数学问题的能力，逻辑思维能力及运算能力.
附：全国卷新课改以来文科数学高考涉及导数的题目
考查利用导数研究函数的单调性以及极值问题. 考查学生应用转化与化归的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想解决问题的能力.
高三数学一轮复习备考：导数pp t完美课件人教课标版
高三数学一轮复习备考：导数pp t完美课件人教课标版
四、教学内容设计与课时安排
第一课时：复习导数的概念、运算及几何意义.重点是切线问题和函数图象的变化问题，难点是数形结合思想方法的运用.
第二课时：复习利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题.重点是含参函数单调性的讨论，难点是分类讨论思想和转化与化归思想方法的运用.
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三、教法分析
教学过程中倡导学生主动探索、动手实践、合作交流等学习方式，使课堂教学成为师生互动、对话式的学生自主探究的学习活动.
本节课主要采用下面的模式进行：给出例题→学生分组讨论→学生交流总结反思→ 老师点评→布置作业、强化复习效果 .
根据新课程标准理念，学生是学习的主体，教师只是学习的帮助者，引导者.本课以问题为中心，以解决问题为主线展开，通过解决不同类型的问题引导学生自己观察问题、归纳方法，领会思想方法. 采用自主探究、合作交流的方法进行学习，并使学生从中体会学习数学的乐趣。
高三数学一轮复习备考：导数pp t完美课件人教课标版

高考数学一轮总复习课件：导数的概念与运算

(4)f(x)＝ 1－1 2x2；
π (5)f(x)＝cos(3x2－ 6 )．
【解析】 (1)∵f′(x)＝(2x5＋8x4－5x3＋2x2＋8x－5)′，
∴f′(x)＝10x4＋32x3－15x2＋4x＋8.
(2)∵f(x)＝11＋－
xx＋11＋－
x x
＝（1＋ 1－xx）2＋（1－ 1－xx）2
π 5．设正弦函数y＝sinx在x＝0和x＝ 2 处的瞬时变化率为
k1，k2，则k1，k2的大小关系为( A )
A．k1>k2
B．k1<k2
C．k1＝k2
D．不确定
解析 ∵y＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx. π
k1＝cos0＝1，k2＝cos 2 ＝0，∴k1>k2.
授人以渔
题型一导数的概念(自主学习)
(3)设切点为(x0，y0)，则切线的斜率为k＝x02＝1，解得x0＝±1，故切点为1，53或(－1，1)．故所求切线方程为y－53＝x－1或y－1＝x＋1. 即3x－3y＋2＝0或x－y＋2＝0.
【答案】 (1)4x－y－4＝0 (2)4x－y－4＝0或x－y＋2＝0 (3)3x－3y＋2＝0或x－y＋2＝0
状元笔记
求曲线的切线方程的两种类型 (1)在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程，在点P处的切线，一定是以点P为切点；过点P的切线，不确定点P在不在曲线上，点P不一定是切点． (2)求曲线过点P(x0，y0)的切线方程的步骤为：第一步，设出切点坐标P′(x1，f(x1))；
数的平均变化率Δ Δyx的极限是否存在．
(2)利用导数定义求函数的导数时，先算函数的增量Δy，

高三第一轮复习导数(导数的概念)

导数导数的概念【提纲挈领】（请阅读下面文字，并在关键词下面记着重号）主干知识归纳1. 导数的定义(1) 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .(2) 函数f (x )的导函数（导数）函数f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx 为f (x )的导函数，导函数有时也记作y ′.2. 基本初等函数的导数公式：（1）若()f x c =(c 为常数),则()_____f x '=0；（2）若)()(Q x x f ∈=αα，则1)(-='ααx x f ；（3）若()sin f x x =，则()_____f x '=x cos ；（4）若()cos f x x =，则()_____f x '=x sin -；（5）若()x f x e =，则()_____f x '=x e ；（6）若()()01x f x a a a =>≠且，则()_____f x '=a a xln ⋅；（7）若()ln f x x =，则()_____f x '=x1；（8）若()()log 01a f x x a a =>≠且，则()_____f x '=ax ln 1⋅.方法规律总结1.应认真区分两个“导数”的定义：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数与函数f (x )的导函数（导数）.2.应注意公式的幂函数结构，不要与指数函数x a y =结构混淆.3.本节公式是下面几节课的基础，公式必须牢记.记准公式是学好本章内容的关键.4.对公式的记忆，要注意观察公式之间的联系.（1）上述基本初等函数的求导公式可分为四类，以便于记忆.① 幂函数类（注：指数α可推广到全体实数）；② 三角函数类；③ 指数函数类；④ 对数函数类.（2）对于()cos f x x =的求导公式，容易遗漏“-”. （3）对于()()01x f x a a a =>≠且和()()log 01a f x x a a =>≠且的导函数，容易弄错a ln 的位置.可用换底公式xa a x x a 1ln 1)ln ln ()(log ⋅='='加强记忆，找出差异并区分a a a x x ln )(⋅='.【指点迷津】【类型一】定义法求函数的导数【例1】：用定义法求下列函数的导数：(1) xy 2=； (2) 12+=x y . 【解析】：(1) x x x y 22-∆+=∆=x x x x )(2∆+∆-，∴=∆∆x y xx x )(2∆+-， ∴202limxx y y x -=∆∆='→∆.(2) 121)(2+-+∆+=∆x x x y ，∴x x x x x y ∆+-+∆+=∆∆121)(2121)(22+++∆+=x x x ，∴121lim0+=∆∆='→∆x xy y x .答案：(1) 22xy -='，(2) 121+='x y .【例2】：设)(x f 在0x x =处可导，且1)()3(lim000=∆-∆+→∆xx f x x f x ,则)(0x f '＝ ( )A ．1B ．0C ．3D ．31【解析】：)(0x f '==∆-∆+→∆x x f x x f x 3)()3(lim 00031131)()3(lim 31000=⨯=∆-∆+→∆x x f x x f x .答案： D【例3】：已知函数x x x f 8ln 2)(+=，则xf x f x ∆-∆+→∆)1()21(lim的值为（）A ．﹣20B ．﹣10C ．10D ．20【解析】：由82)(+='xx f ，有10)1(='f , 所以=∆-∆+→∆x f x f x )1()21(lim 0=∆-∆+→∆xf x f x 2)1()21(lim 20=)1(2f '=20102=⨯.答案： D【类型二】基本初等函数的求导【例1】：求下列函数的导数：(1) 3π=y ，（π为圆周率）； (2) 21xy =； (3) 53x y =.【解析】：(1) 0='y .(2) 由221-==x x y ，有33222)(x x x y -=-='='--.(3) 由5353x x y ==，有52525315353)(x x x y =='='-. 答案：(1) 0='y . (2) 32x y -='. (3) 52153x y ='.【例2】：求下列函数的导数：(1) x x y =； (2) x y 5=； (3) x y 5log =. (4) 3sin π=y ；【解析】：(1) )(23'='x y 2123x =. (2) 5ln 5⋅='x y . (3) 5ln 1⋅='x y . (4) 0='y . 答案：(1) y '2123x =. (2) 5ln 5⋅='x y .(3) 5ln 1⋅='x y . (4) 0='y . 【类型三】导数的简单应用【例1】：在高台跳水运动中，t s 时运动员相对水面的高度（单位：m ）是105.69.4)(2++-=t t t h ，高台跳水运动员在t =1 s 时的瞬时速度为_______________.【解析】：5.68.9)(+-='t t h ,有3.35.68.9)1(-=+-='h m/s. 答案：3.3- m/s.【例2】：为缓解南方部分地区电力用煤紧张的局面，某运输公司提出五种运输方案，据预测，这五种方案均能在规定时间T 完成预期的运输任务0Q ，各种方案的运煤总量Q 与时间t 的函数关系如图所示．在这五种方案中，运煤效率(单位时间的运煤量)逐步提高的是________．(填写所有正确的图象的编号)【解析】：②中切线的斜率逐渐增大，故②正确．答案：②【例3】：设x x f sin )(0=，=)(1x f )(0x f '， =)(2x f )(1x f '，……，=+)(1x f n )(x f n '，N n ∈，则=)(2016x f ________．【解析】：由x x f sin )(0=有=)(1x f x cos ， =)(2x f x sin -， =)(3x f x cos -，=)(4x f x sin ，……，有=)(x f n )(4x f n +，则=)(2016x f x x f sin )(0=.答案：x sin .【同步训练】【一级目标】基础巩固组一、选择题 1．若'0()3f x =-，则=--+→hh x f h x f h )()(lim000（）A ．3-B ．6-C ．9-D ．12- 【解析】：6)(22)()(lim 2)()(lim0000000-='=--+⨯=--+→→x f hh x f h x f h h x f h x f h h ,故选B.答案：B.2．已知函数f (x )＝f ′(2π)sin x ＋cos x ，则f (4π)＝ ( ) A ．0 B ．22 C ．22- D ．2 【解析】：由已知：f ′(x )＝f ′(2π)cos x －sin x . 则f ′(2π)＝－1，所以f (x )＝－sin x ＋cos x ，f (4π)＝0.答案：A .3．如图是函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的部分图象，则函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在的区间是( )A.)21,41(B ．(1,2) C. )1,21(D ．(2,3)【解析】：由图象可得01=++b a ，210<<b ，所以2110<--<a ，有231<-<a ，即123-<<-a ，由g (x )＝ln x ＋2x ＋a ，有g (21)＝ln 21＋1＋a 0<，g (1)＝2＋a 0>，所以函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点在)1,21(内．答案：C ．4．曲线3x y =在点)1,1(处的切线与x 轴及直线=x 1所围成的三角形的面积为 ( )A ．121B ．61C ．31 D ．21【解析】：求导得23x y =',所以3=切k ,所以曲线在点)1,1(处的切线方程为)131-=-x y （. 结合图象易知所围成的三角形是直角三角形,三个交点的坐标分别为)0,32(,)0,1(,)1,1(, 于是三角形的面积为=⨯-⨯132121）（61 答案：B ．5．已知函数y ＝f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程是x －2y ＋1＝0，则f (1)＋2f ′(1)＝ ( )A ．12B ．1C ．32D ．2【解析】：因为点(1，f (1))在直线x －2y ＋1＝0上，所以1－2f (1)＋1＝0，得f (1)＝1.又f ′(1)＝12，所以f (1)＋2f ′(1)＝1＋2×12＝2.答案：D ．二、填空题6．设函数)(x f 在(0，＋∞)内可导，且x x e x e f +=)(，则f′(1)＝________．【解析】：x x e x e f +=)(，利用换元法可得)(x f ＝x x +ln ，=')(x f x1＋1，所以=')1(f 2. 答案：2.7．若曲线x kx y ln +=在点(1，k )处的切线平行于x 轴，则k ＝________．【解析】：∵y′＝k ＋x1，∴y ′|1=x ＝k ＋1＝0，故k ＝－1. 答案：－1. 8．曲线xy 1=上点P 处的切线平行于直线074=-+x y ,则点P 的坐标为________. 【解析】：设曲线上的点为（001,x x ），则201|0x y x x -='=，由切k 4120-=-=x ，有210±=x ，故所求点P 为：（2,21）或（2,21--）. 答案：（2,21）或（2,21--）.三、解答题9．求下列函数的导数：(1) y ＝sin2x cos 2x ； (2) y ＝(x ＋1)(1x －1)； (3) y ＝x (1＋|x |)．【解析】：(1) ∵ y ＝sin2x cos 2x ＝12sin x ， ∴ y ′＝12cos x .(2) ∵ y ＝1－x x ＝1x－x ＝21-x －21x ， ∴ y ′＝－1223-x －1221-x .(3) ∵ y ＝x ＋x |x |＝⎩⎨⎧ x ＋x 2，x ≥0，x －x 2，x ＜0. ∴ y ′＝⎩⎨⎧1＋2x ，x ≥0，1－2x ，x ＜0.答案：(1) y ′＝12cos x . (2) y ′＝－1223-x －1221-x . (3) y ′＝⎩⎨⎧1＋2x ，x ≥0，1－2x ，x ＜0.10. 已知曲线1)(+=n x x f （*N n ∈）与直线1=x 交于点P ，设曲线)(x f y =在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为n x ，求201421201520152015log log log x x x +⋅⋅⋅++的值.【解析】：n x n x f )1()(+='，=k 1)1(+='n f ，点P(1，1)处的切线方程为)1)(1(1-+=-x n y ，令0=y ，得1111+=+-=n n n x ，即1+=n n x n ，所以20151201421=⋅⋅⋅⋅⋅⋅x x x ，所以201421201520152015log log log x x x +⋅⋅⋅++=)(log 2014212015x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=1-.答案：1-.【二级目标】能力提升题组一、选择题1．已知函数x a x f ππsin )(-=，且2)1()1(lim 0=-+→h f h f h ，则a 的值为（）A.2-B.2C.π2D.π2-【解析】：x a x f πcos )(⋅-=',有a f =')1(, 所以='=)1(f a 2)1()1(lim 0=-+→hf h f h ,故选B.答案：B.2．如图所示，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为 ( )A ．y ＝1125x 3－35xB ．y ＝2125x 3－45xC ．y ＝3125x 3－xD ．y ＝－3125x 3＋15x【解析】：设该三次函数的解析式为y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d .因为函数的图象经过点(0，0)，所以d ＝0，所以y ＝ax 3＋bx 2又图象过点(－5，2)，(5，－2)，故b ＝0，所以y ＝ax 3＋cx ，将点(－5，2)代入得－125a －5c ＝2.又由该函数的图象在点(－5，2)处的切线平行于x 轴，y ′＝3ax 2＋c ，得当x ＝－5时，y ′＝75a ＋c ＝0.联立⎩⎨⎧=+=--07525125c a c a ,解得⎪⎩⎪⎨⎧-==531251c a , 故该三次函数的解析式为y ＝1125x 3－35x .答案：A ．二、填空题 3．已知函数x x f =)(，x a x g ln )(=，R a ∈.若曲线=y )(x f 与=y )(x g 相交，且在交点处有共同的切线，则切线方程为________________．【解析】：x x f 21)(='，x a x g =')(（0>x ）,由已知得⎪⎩⎪⎨⎧==x a x xa x 21ln ，解得2e a =，2e x =. ∴ 两条曲线交点的坐标为),(2e e ，切线的斜率为ee f k 21)(2='=， ∴ 切线方程为)(212e x e e y -=-，即221ex e y +=.答案：221e x e y +=. 三、解答题4. 设点P 在曲线12x y e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，求PQ 最小值.【解析】：函数12xy e =与函数ln(2)y x =互为反函数，图象关于y x =对称，函数12x y e =上的点1(,)2x P x e 到直线y x =的距离为d =，设函数min min 11()()1()1ln 222x x g x e x g x e g x d '=-⇒=-⇒=-⇒=，由图象关于y x =对称得：PQ最小值为min 2ln 2)d =-.min 2ln 2)d -【高考链接】1.（2015年全国I 卷文科第12题）设函数)(x f '是奇函数)(x f )(R x ∈的导函数，0)1(=-f ，当0>x 时，-')(x f x 0)(<x f ，则使得0)(>x f 成立的x 的取值范围是（）A.)1,0()1,( --∞B. ),1()0,1(+∞-C. )0,1()1,(---∞D. ),1()1,0(+∞ 【解析】：构造函数x x f x g )()(=，则由已知可得当0>x 时，0)()()(2<-'='x x f x f x x g ，所以)(x g 在),0(+∞上单调递减，又)(x f 是奇函数，有)(x g 是偶函数，所以)(x g 在)0(，-∞上单调递增，且0)1()1(==-g g ，所以当∈x )1,0()1,( --∞时，0)(>x f .故选A.A.5太贝克B.2ln 75太贝克C.2ln 150太贝克D.150太贝克 3.（2013年全国新课标卷Ⅰ理科第11题）已知函数f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+-0),1ln(0,22x x x x x ，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2，1]D ．[－2，0]【解析】：方法一：若x ≤0，|f (x )|＝|x x 22+-|＝x x 22-，x ＝0时，不等式恒成立，x <0时，不等式可变为a ≥x －2，而x －2<－2，可得a ≥－2；若x >0，|f (x )|＝|ln(x ＋1)|＝ln(x ＋1)，由ln(x ＋1)≥a x ，可得a ≤xx )1ln(+恒成立，令h (x )＝x x )1ln(+，则h ′(x )＝2)1ln(1x x x x+-+，再令g(x )＝1+x x －ln(x ＋1)，则 g ′(x )＝2)1(+-x x<0，故g(x )在(0，＋∞)上单调递减，所以g(x )<g(0)＝0，可得h′(x )＝2)1ln(1x x x x+-+<0，故h (x )在(0，＋∞)上单调递减，x →＋∞时，h (x )→0，所以h (x )>0，a ≤0.综上可知，－2≤a ≤0，故选D.方法二：数形结合：画出函数f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+-0),1ln(0,22x x x x x 与直线y ＝ax 的图象，如下图，要使|f (x )|≥ax 恒成立，只要使直线y ＝ax 的斜率最小时与函数y ＝x x 22-，x ≤0在原点处的切线斜率相等即可，最大时与x 轴的斜率相等即可，因为y ′＝2x －2，所以y ′|0=x ＝－2，所以－2≤a ≤0.答案：D.。

湘教版高考总复习一轮数学精品课件第四章一元函数的导数及其应用第三节利用导数研究函数的极值、最值

3π
x= 时,函数
2
f(x)有极小值
f(0)=2,f(2π)=2,所以函数 f(x)在区间[0,2π]上的最小值为-
π
3π
,最大值为2 +2,故选
2
D.
(2)由题意得
1+
g'(x)=1- 2

=
2 -(1+)
,
2

当√1 + ≤2,即 0<a≤3 时,在(2,+∞)上,g'(x)>0,g(x)在[2,+∞)上单调递增,
所以当 x=2
1 3
时,f(x)=3x -4x+4
有极小值,并且极小值为
4
f(2)=-3.
又由于 f(0)=4,f(3)=1,
所以,函数
1 3
f(x)= x -4x+4
3
在区间[0,3]上的最大值是
4
4,最小值是- .
3
研考点精准突破
考点一
利用导数研究函数的极值问题(多考向探究预测)
考向1求已知函数的极值(点)
的极大值点
就说f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值,此时大值
x0称为f(x)的一个极大值点
微点拨对函数极值的理解
(1)函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值,即端点一定不是函数的
极值点.
(2)在一个给定的区间上,函数可能有若干个极值点,也可能不存在极值点;
函数可以只有极大值没有极小值,或者只有极小值没有极大值,也可能既有

−

2
=
-
,分析易知,当
2

a=0 时,不满足
题意.当 a>0 时,若 b≤0,则 x>0 时,f'(x)>0,f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,无最大

高考总复习一轮数学精品课件第4章导数及其应用课时规范练29 利用导数研究函数的零点

数 f(x)在(0,+∞)内有两个不同的零点.
1 2 3 4 5 6
5.(2024·辽宁锦州模拟)已知函数f(x)=x3-aln x.
(1)当a=1时,求函数f(x)的极值;
(2)函数f(x)在区间(1,e]上存在两个不同的零点,求实数a的取值范围.
1 2 3 4 5 6
2 1
解 (1)当 a=1 时,f(x)=x -ln x,定义域为(0,+∞),f'(x)=3x - =
(1)若a=1,求f(x)的单调区间;
(2)讨论函数f(x)的零点个数.
1 2 3 4 5 6
解 (1)函数定义域为R,当a=1时,f(x)=e2x-ex-x,
所以f'(x)=2e2x-ex-1=(2ex+1)(ex-1).
当x<0时,f'(x)<0,当x>0时,f'(x)>0,则函数f(x)在(-∞,0)内单调递减,在(0,+∞)
1
1
所以 f(x)在(0,2),(a,+∞)内单调递增,在(2,a)内单调递减.
1
综上所述,当 a=2时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间;
1
1
1
当 0<a<2时,f(x)的单调递增区间为(0,a),(2,+∞),单调递减区间为(a,2);
1
1
1
当 a> 时,f(x)的单调递增区间为(0, ),(a,+∞),单调递减区间为( ,a).
内单调递增,即函数f(x)的单调递减区间是(-∞,0),单调递增区间是(0,+∞).
(2)当a=1时,由(1)知,f(x)min=f(0)=0,因此函数f(x)只有1个零点.

人教版高考总复习一轮数学精品课件主题二函数第四章第一节导数的概念及其意义、导数的运算

（2）过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条.
1
3.[

]′ =
−′
[ ]2
≠0 .
4.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数.
自测诊断
1.下列函数的求导正确的是( B )
A. −2 ′ = −2B. cos ′ = cos − sin
C. ln 10 ′ =
A.6.8 m/s2 B.7.6 m/s2 C.7 m/s 2 D.7.8 m/s 2
[解析]因为 = . + . ，所以′ = . + . .令 = ，得
. + . = ，解得 = 或 = −

（舍去），则当

= 时，
′ = . + . × = . ，即速度首次达到 /时的加速度为. / .故选B.
函数 = 在点0 处的导数的几何意义就是曲线 = 在点 0 , 0 处的
切线的斜率
′ 0
_____________.也就是说，曲线
= 在点 0 , 0 处的切线的斜率是_______.
− 0 = ′ 0 − 0
相应的切线方程为______________________.
三、导数的运算
1.基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导函数
= （为常数）
0
′ =___
= ( ∈ ，且 ≠ 1)
−1
′ =_______
= sin
cos
′ =______
= cos
−sin
′ =________
= ′ ⋅ .
知识拓展

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